ZBIRKA DETALJNO DETALJNO REŠENIH ZADATAKA ZA II RAZRED
VLADIMIR BEČEJAC Ova zbirka ima cilj da se brže i lakše shvate zadaci iz oblasti predviđene planom i programom za II razred. Skoro svi zadaci iz zbirke su detaljno rešeni. Zbirka će biti b iti u potpunosti gotova na kraju školske godine kada budu pređene sve oblasti. Zelenom bojom su šrafirani zadaci koje mogu rešiti svi učenici (oni su uglavnom za ocene 2 i 3), žutom bojom su šrafirani zadaci z adaci za ocene 4 i 5, sa crvenom bojom su označeni za 4 i 5, ali za njihov rad je potrebno malo više više razmišljanja i truda. Tamno zelenom bojom su označena rešenja zadataka. Plavom bojom su su označene neke pomoćne stvari koji bi pomogle u rešavanju zadatka. Ljubičastom bojom su označeni predlozi za kontrolne zadatke. Zadaci su uglavnom uzimani iz «Zbirke rešenih zadataka iz matematike 2» mr Venea T. Bogoslavova; i «Zbirke rešenih zadataka za drugi razred srednjih škola» (treće izdanje) dr Dušana Georgijevića i dr Milutina Obradovića.
OBLAST I: STEPENI I KORENI KORENI 2 −2 − + 3 ⋅ 2 −3 3 Izračunaj: 0 1 −2 2 + 5⋅ 2 −2 2 3− 3
1.
2 − 2 − + 3 ⋅ 2 −3 3 Rešenje: 0 1 −2 2 + 5⋅ 2 −2 2 3− 3
2. Uprosti izraz: x y 4
−3
−1
−1
.
1 1 + 3⋅ 2 8 2 3 = 1 + 5 ⋅1 2
−1
1 3 + 4 8 9 = 1 +5 4
2
3−
1
2 3
3−
2
1 4
−1
9 3 + 4 8 = 21 4 3
−1
21 8 = 21 3
−1
8
= 21 = 24 . 21 3
4
9 −4
⋅ x −3 y −6 ⋅ ( xy ) ⋅ ( x 3 y 2 ) ⋅ (xy −2 ) . −3
3
Rešenje: −4
x 4 y −3 ⋅ x −3 y −6 ⋅ ( xy ) ⋅ ( x 3 y 2 ) ⋅ ( xy −2 ) = x 4 y −3 x −3 y −6 x −3 y −3 x −12 y −8 x 3 y −6 = x 4−3−3−12 +3 y −3− 6−3−8−6 = x −11 y −26 −3
3
x 5 y −2 Uprosti izraz: −3 z
3.
x 5 y −2 Rešenje: −3 z
5
5
4
z −6 y 6 12 . x
4
z −6 y 6 x 25 y −10 z −24 y 24 y −10 z −9 y 24 z −9 y 14 12 = ⋅ = = −15 48 23 23 z x x x x 3a −3 −3 9a −1 −2 30 Uprosti izraz: −2 : −3 : −6 . 5b 5b a b
4.
Rešenje : 1 −3 1 −2 1 3 −3 9 −2 b 3 ⋅ 9 ⋅ b 3 6 3a −3 −3 9a −1 −2 30 3 6 : a : a ⋅ a a : a ⋅ a = : = = 2 3 6 − − − 5b 5b a b 1 1 30 5 5 30 5 ⋅ 2 5 ⋅ 3 2 3 b b b b 3b 2 −3 9b 3 − 2 b 1 b 1 1 81b 6 b : = 3 : ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = 5a 5a 30a 6 3b 2 3 9b 3 2 30a 6 27b 6 25a 2 30a 6 5a 3 5a 125a 9 125a 9 ⋅ 81b 6 ⋅ b = = ab 27b 6 ⋅ 25a 2 ⋅ 30a 6
5. Uprosti izraz : 2(1 +1 a
x
)
−
1 2(1 − a − x )
−
1 a −2 x − 1
.
Rešenje : 1 2(1 + a x )
=
−
1 2(1 − a − x )
a x − 1 − a x (a x + 1) 2(a x + 1)(a x − 1)
−
+
1 a − 2 x − 1 a 2 x a 2 x − 1
=
=
1 2(a x + 1)
−
1
a − 1 x a
2
a x − 1 − a 2 x − a x 2(a x + 1)(a x − 1) −1
x
+
−
1 1 a 2 x
= −1
1 2(a x + 1)
−
a x
−
a 2 x
2(a x − 1) 1 − a 2 x
=
a 2 x − 1 1 − 1 − a 2 x + 2a 2 x = = = 2(a 2 x − 1) 2(a 2 x − 1) 2 −1
a 2 x a 2 x
−1
y −1 + x −1 x −1 + y −1 y −1 − x −1 Uprosti izraz : −1 + −1 − x −1 y −1 . 2 xy + yx
6.
Rešenje : −1
−1
−1
y −1 + x −1 x −1 + y −1 y −1 − x −1 −1 + − −1 −1 −1 2 xy yx x y + −1
−1
−1
1 1 1 1 1 1 − + + y x x y y x + − = = x y 2 1 + xy y x
x + y x + y a−b −1 −1 2 2 xy xy x y x y x + y 2 xy + + ab x y ( ) = 2 + − = + − − = + − x + y = 2 xy x 2 + y 2 2 1 x y x y + + x + y 2 ab xy =
( x + y )2 x + y
− x + y = x + y − x + y = 2 y
7. Izračunaj: (2
)(
). 19 ) = (2 5 ) − ( 19 )
5 − 19 2 5 + 19
Rešenje: (2 5 − 19 )(2 5 +
2
8. Dokazati da je A i B jednako: A = A = 1− B = 9 +
=
2a −1
a2 − 2a +1
=
a2
a2
(a − 1 − 3a )(a − 1 + 3a ) a2
2
1−
2a − 1
=
B = 9 +
a2
(a −1)2
= 20 − 19 = 1
=
a2
.
a −1
a a2 2 9a + (− 2a − 1)(4a − 1)
=
(a − 1 − 3a )(a − 1 + 3a )
=
a2
2 2 9a − 8a − 4a + 2a + 1
a2
=
2 a − 2a + 1
a2
a −1 a
9. Racionališi: 1
Rešenje:
1 7 7
⋅
7
10 4
7
7
10. Racionališi: Rešenje:
7
=
10 4
25
10
= 4
25
5
10
=
2
5
⋅
5
=
10 5 5
5
=2 5
11. Racionališi: 2 +1 3 . 1
Rešenje:
⋅
2− 3
2+ 3 2− 3
=
2− 3 4−3
= 2− 3
12. Racionališi: a + 1 −a + a1 + 1 . Rešenje: a +1− a +1 a +1
=
(a + 1)
(
⋅
a +1 a +1
)=
a +1 −1
a +1
13. Racionališi:
3
a + 1 −1
2 −1
( 2) ⋅ 2 −1 ( 2) 4
3 3
2
=
a a +1 + a +1 − a −1 a +1
=
a + 1 ⋅ (a + 1) − ( a + 1) a +1
.
a + 1 −1
⋅ 4
3
) a + 1)
a +1 ⋅ a +1
a +1 −1
a +1 +1
a +1 +1
14. Racionališi
(a + 1 − (
a
a
Rešenje:
Rešenje:
=
2 2
=
a a +1 − a a +1−1
=
a
(
)=
a +1 −1 a
a +1 −1
.
+ 3 2 +1 + 2 +1 3
=
(
) = 4(
4 3 4 + 3 2 +1
( 2) 3
3
−1
3
3
) = 4(
4 + 3 2 +1 2 −1
3
)
4 + 3 2 +1
=
=
15. Racionališi: Rešenje:
7
1 7
x
⋅ 2
7
1 7
x
5
x
5
x
2
. 7
=
16. Racionališi:
7
x
5
x 1
7
=
)
2+ 3 + 5
((
=
x
)
⋅
5
x
.
2+ 3+ 5
1
( Rešenje:
7
2+ 3 − 5
(
2+ 3 − 5
)
2+ 3 − 5
)
6
2⋅6
((
=
12 + 8
⋅
12 − 8
12 + 8
=
2
2+ 3 − 5
=
2 + 2 6 + 3−5
2+ 3 − 5
=
⋅
2 6
6 6
.
12 − 8
Rešenje: 30 − 20
( 2 + 3) − ( 5) 3)− 5 ) 6 2
12
30 − 20
17. Skrati razlomak:
2+
2+ 3 − 5
=
30 − 20
)
12 + 8
12 − 8
)=
360 − 240 + 240 − 160 4
=
6 10 − 4 10 4
=
10
=
2
18. Izvrši naznačene operacije:
4
1 + 2 x + x ⋅ 2
x 5 + x 4 x 2 − 1
⋅
1 x 2
−
1 x 4
Rešenje: 4
1 + 2 x + x ⋅ 2
x 5 + x 4 x − 1 2
⋅
1 x
1
−
2
x
x 5 + x 4 x 2 − 1
= ( x + 1) ⋅ 2
4
4
x − 1 2
⋅
x
4
= x + 1 ⋅
x 5 + x 4 x
4
= x + 1 ⋅ x + 1 =
= x + 1
19. Uprosti izraz:
4
a 3 − 6a 2 x + 12ax 20 − 8 x 3 b 2 (a + x)
:
a − 2 x b
Rešenje: a − 6a x + 12ax 3
4
2
b 2 ( a + x)
20
− 8 x 3
:
20. Korenovati sledeći koren: Rešenje:
5 4
a − 2 x b 5 4
=4
( a − 2 x)
3
b 2 ( a + x)
:
(a − 2 x )2 b2
=4
(a − 2 x )
3
b 2 ( a + x )
⋅
b
2
(a − 2 x )2
=4
a − 2 x a + x
32
32 = 20 32 = 20 2 5 = 4 2
1 1 − 1 1 2 8 − 3 2 2 1 − 2 Izračunaj: 16 + 27 2 − . 9
21.
Rešenje: 1 1 − 1 − 1 8 − 23 2 12 1 2 8 4 1 = 16 + 27 2 − = 2 + 27 3 2 − 1 9 9 = 2 − 9 = −7
(
2 + 3 33
)(
) (
2 −3 =
)(
2 +3
)
2 −3 =
=
a −b
22. Izračunaj:
1
a−b
+
1
1
a2 + b2 a−b 1
1
a2 + b2
=
(
a−b
+
1
a2 − b2
(a − b )(
a+ b
a− b
)(
)
a− b
a2 − b2
a−b
=
1
1
a+ b
a−b
+
a− b
(a − b )(
+
) (
a+ b
a+ b
)(
a −b
=
)
a− b
a+ b
)
=
23. Obavi naznačene operacije: a +2a2 −
(a − b )(
a− b
+
a−b
2a + 2
+
⋅
a− b
a+ b+ a− b a −b
a
a− b
⋅
a+ b a+ b
)=2
=
a
a − 2 . ⋅ a+2 a − 2a 2
Rešenje: a 2 a − 2 a + 2 2a a 2a − 2 2 a + 2a a − 2 a + 2 ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ a+2 = a 2 + 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 2 a 2 a 2 a a 2 a + − + − − + (a + 2 ) 2a a 2a − 2a 2a + 2 2a a − 2 a 2a + 2 2a a 2a − 2a 2a + 2 2a a − 2 ⋅ ⋅ = − + = − + 2 a+2 = 2 a 2 a 4 a 2 2 a 2 ( a 2 ) a ( a 2 ) − + − − a 2 a −
= =
(a 2a + 2 2a )(a − 2) − ( a 2a − 2a )a + ( 2a + 2 2a ) ⋅ 2 2 a ( a − 2) 2 a 2 + 4a 2a ( a − 2)
⋅
a− 2 a+2
2a( a + 2)
=
2a ( a − 2)
24. Izračunati vrednost izraza x
a− 2
⋅ 2
a+2
=
=
a 2 2a + 2 a 2 a − 2a 2a − 4 2a − a 2 2a + 2a 2 + 4 2a ( a − 2)
a− 2 a−2
− 2 x − 1 za x = 1 + 2 .
Rešenje: (1 + 2 ) − 2(1 + 2 ) − 1 = 1 + 2 2 + 2 − 2 − 2 2 − 1 = 0 2
25. Izračunaj:
6 − 4 2 + 8 − 2 15
.
Imati u vidu da je Legranžeova formula: A ± B =
2 A + A − B
2
±
2 A − A − B
2
.
Rešenje: Primenom gore navedene formule dobijamo: 6 − 4 2 + 8 − 2 15 =
=
6+2 2
−
6−2 2
26. Izračunaj:
+
6 + 36 − 32
8+ 2 2
2
−
8−2 2
−
6 − 36 − 32 2
+
8 + 64 − 60 2
−
8 − 64 − 60 2
= 4 − 2 + 5 − 3 = 2− 2 + 5 − 3
40 2 − 57 − 40 2 + 57
.
Rešenje: Kako je 40 2 < 57 možemo napisati 40 2 − 57 − 40 2 + 57 = 57 − 40 2 − 40 2 + 57 =
= 4 2 − 5 − 5 − 4 2 = −10
(5 − 4 2 )
2
−
(5 + 4 2 )
2
=
=
a +4 2
27. Uprosti izraz:
2
a 2 − 4 + 4 a 2 a 2 2 a +4 a +4 = = 2 2 2 2 (a − 4) + 4 a − 4 + 4 a a 4a 2 2a Rešenje: a2 + 4 a2 + 4 = = 2 =2 2 2 a 4 + (a + 4)
a +4
a +4
2
(a
2
− 4)
2
=
2
4a 2
a − 8a + 16 + 16 4
⋅ a 2 + 4a 2
2
= 2
4
2
2
28. Uprosti izraz:
x − 4 x − 4 + 2 x + 4 x − 4 − 2
.
Rešenje: x − 4 x − 4 + 2
=
x + 4 x − 4 − 2
Dati izraz je jednak
x − 4 − 4 x − 4 + 4 + 2
( x − 4 − 2) ( x − 4 + 2)
2
=
x + 4 + 4 x − 4 − 4 − 2
4 − x − 4 = x − 4 1
x − 4 − 2 + 2 x − 4
2
+2
=
−2
x − 4 − 2 + 2
x − 4 − 2 + 2
=
x − 4 + 2 − 2
x − 4
4 < x < 8 x ≥ 8
29. Izračunati vrednost izraza da datu vrednost x: ( a − x)( x − b) + ( a + x )( x + b) ( a + x )( x + b) − (a − x )( x − b)
za x = ab
Zamenom x u izraz dobijamo: ( a − x)( x − b) + ( a + x )( x + b) ( a + x )( x + b) − ( a − x )( x − b)
=
=
( a − ab )( ab − b) + ( a + ab )( ab + b)
=
(a + ab )( ab + b) − ( a − ab )( ab − b)
a ( a − b) b ( a − b ) +
a( a + b) b( a + b)
a( a + b) b( a + b) −
a ( a − b) b ( a − b )
4
ab ( a − b ) + 4 ab ( a + b )
4
ab ( a + b ) − 4 ab ( a − b ) a+2
30. Uprosti izraz:
a−2 a+2 a−2
a+2
Rešenje:
a−2 a+2 a−2
+ −
+ −
a−2 a+2
4
=
4
=
ab ( a − b + a + b) ab ( a + b − a + b )
=
ab ( a − b ) +
ab ( a + b )
ab ( a + b ) −
ab ( a − b )
2 a
=4
2 b
a b
a−2 a+2 a−2 a+2 a + 2⋅ a + 2 + a − 2 ⋅ a − 2
a−2 a+2
=
=
a−2⋅ a+2 a + 2⋅ a + 2⋅ − a − 2 ⋅ a − 2 a−2⋅ a+2
=
a+2+a−2 a+2−a+2
=
2a 4
=
a 2
=
31. Obavi sledeće operacije: x x ⋅ x : ( x ) Rešenje: x x ⋅ x : ( x ) = x ⋅ x : x = 3
3
2
3
2
−1
3
2
5
3
−1
2
3
−3
2
3
3
6
x 5 ⋅ 6 x 4 : 6 x −9 = 6 x
x y x 2 y 2 Izraz ispred korena uneti pod koren i uprostiti: − 3 4 . 2 2 4 y x x 2 x y y − +
32.
3
x 2 − y 2 x y ( x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 − y 2 ) x 2 y 2 x 2 − y 2 ⋅ Rešenje: − 3 4 = 3 =3 ⋅ =3 2 2 4 3 3 2 2 2 2 2 2 y x xy xy 2 x x y y x y − + ( x − y ) ( x − y ) 3
Primer kontrolnog zadatka iz oblasti STEPENI I KORENI: 4 4 − − 1 3 1 3 3 − 1. Izracunaj: 4 4 + 2 2 4 −0, 25 − 2 ⋅ 2 2
a −2 + b −2 a 2 + b 2
−1
a 2 − 4ax + 4 x 2
ab + 2bx
b) :3 ⋅ ab + 2bx + b −1 ab (a − 2 x )2 1 1 (a − 1) a + 1 3. Racionalisi: a) b) c) 6 3 a +1 2+ 3+ 5 3 −3 1 + x 1 − x 4. Izračunaj vrednost izraza za datu vrednost x: za x = − 1 + 1 + x 1 − 1 − x
2. Uprosti izraze: a)
a
−1
6
:
4
a 2 − 4 x 2 b
2
5 3 2
.
5. Izvrši naznačene operacije: a) 11 − 4 6 + 5 + 2 6 b) 3 x 2 x −1 ⋅ 3 x −1 x ⋅ 3 x −1 x x ⋅ x 2 x x −1 3
OBLAST II: IMAGINARNI I KOMPLEKSNI BROJEVI: BROJEVI:
33. Izračunaj: i . 3
Rešenje: i 3 = i 2 ⋅ i = −i
34. Izračunaj:
− 36 + − 16 + − 64 − − 49 .
Rešenje: − 36 + − 16 + − 64 − − 49 = 36 ⋅ (− 1) + 16 ⋅ (− 1) + 64 ⋅ (− 1) − 49 ⋅ (− 1) = = 6i + 4i + 8i − 7i = 11i
35. Izračunaj (svedi na oblik a + bi ): (3 + 2i ) + (5 + 8i ) Rešenje: (3 + 2i ) + (5 + 8i ) = 3 + 2i + 5 + 8i = 8 + 10i
36. Izračunaj (svedi na oblik a + bi ): (6 + 2i )(6 − 2i ). Rešenje: (6 + 2i )(6 − 2i ) = 36 − 4i 2 = 36 − 4 ⋅ (− 1) = 40
37. Izračunaj (svedi na oblik a + bi ): (3 + i )(2 + 3i ) − (1 − i ) . 2
Rešenje: (3 + i )(2 + 3i ) − (1 − i )2 = 6 + 2i + 9i + 3i 2 − (1 − 2i + i 2 ) = 6 + 11i + 3i 2 − 1 + 2i − i 2 = 5 + 13i + 2 ⋅ (− 1) = 3 + 13i 3 + 2i Izračunaj (svedi na oblik a + bi ): . 1+ i 3 + 2i 1 − i (3 + 2i )(1 − i ) 3 + 2i − 3i − 2i 2 3 − i − 2 ⋅ (− 1) 3 − i + 2 5 − i 5 1 ⋅ = = = = = = − i Rešenje: 1+ i 1− i 1 − (− 1) 2 2 2 2 2 1− i2
38.
39. Odredi module brojeva: a) 4 + 3i Rešenje: a) z = 4 2 + 3 2 = 5 b)
b) 7 − 2i
z =
7 2 + ( −2) 2 = 53
40. Reši po z jednačinu: (2 + i ) z = 5 + 4i . Rešenje:
(2 + i ) z = 5 + 4i Odavde je z =
5 + 4i 2 − i 2+i
41. Reši jednačinu po nepoznatoj z =
⋅
2−i
=
(5 + 4i )(2 − i ) 4 −i
2
=
10 + 8i − 5i − 4i
2
4 +1
=
10 + 3i + 4 5
=
14 5
3
+ i 5
+ i : (1 + i ) x + (2 + i ) y = 5 + 3i .
Rešenje: (1 + i ) x + (2 + i ) y = 5 + 3i x + 2 y = 5 − x − 2 y = −5 − y = −2 y = 2 x + ix + 2 y + iy = 5 + 3i = = = 3 3 3 x y x y x y + = + = + = x = 1 x + 2 y + ( x + y )i = 5 + 3i Kompleksan broj je: z = 1 + 2i
42. Reši jednačinu po nepoznatoj z =
+ i : 2 x + (1 + i )( x + y ) = 7 + i .
Rešenje: 2 x + (1 + i )( x + y ) = 7 + i 3 x + y = 7 3 x + y = 7 3 x + y = 7 3 x + y = 7 9 + y = 7 y = −2 2 x + x + ix + y + iy = 7 + i = = = = = x + y = 1 x = 3 x = 3 − x − y = −1 2 x = 6 x = 3 3 x + y + ( x + y )i = 7 + i Kompleksan broj je: z = 3 − 2i
43. Odredi realne brojeve x i y ako je x +1 iy = 2 1+ i + − 21+ 4i . Rešenje: 1
x + iy
=
1 2+i
+
1
− 2 + 4i
⇒
1
x + iy
=
( −2 + 4i ) + ( 2 + i ) (2 + i)( −2 + 4i)
⇒
1
x + iy
=
5i
− 4 − 2i + 8i + 4i
⇒ −8 + 6i = 5i ( x + iy ) ⇒ −8 + 6i = 5 xi + 5 yi 2 ⇒ −8 + 6i = 5 xi − 5 y 6 −8 Odavde je x = = 1,2 a y = = 1,6 5 −5
2
⇒
1
x + iy
=
5i
− 8 + 6i
⇒
Predlog prvog pismenog zadatka iz oblasti STEPENI, KORENI i KOMPLEKSNI BROJEVI: −1
−1
1 1 b −1 + a −1 a −1 + b −1 b− − a− + − −1 −1 . 1. Uprosti izraz: −1 −1 2 ab ba a b +
2. Racionališi: a) 3. Uprosti:
14 4
b)
3+8 2
1 2 − 2− 3
4+ 4+2 3 + 4−2 3 .
−0 , 75 2 0 − 1 4 1 ⋅ 3 4 + 216 . 4. Izračunaj: 2 3 3 − 3 2 5. Nađi realne brojeve x i y tako da je (8 − 3i ) x + (5 − 2i) y = −1 .
( )
OBLAST III: KVADRATNA JEDNAČINA 44. Reši jednačinu: 3 x 2 = 0 . Rešenje: 3 x 2 = 0 x 2 = 0
x1, 2 = 0
45. Reši jednačinu: x 2 − 1 = 0 . Rešenje: x 2 − 1 = 0 x 2 = 1
x1, 2 = ±1
46. Reši jednačinu: x(2 x + 1)(2 x + 3) = 0 Rešenje: x(2 x + 1)(2 x + 3) = 0 x1 = 0 2 x + 1 = 0 ⇒ 2 x = −1 ⇒ x 2 = −
1 2
2 x + 3 = 0 ⇒ 2 x = −3 ⇒ x3 = −
3 2
47. Reši jednačinu: x − 5 x + 6 = 0 Rešenje: Zadatak se može uraditi na dva načina: 1. x 2 − 2 x − 3 x + 6 = 0 x ( x − 2) − 3( x − 2) = 0 ( x − 3)( x − 2) = 0 x1 = 3 x 2 = 2 2
2. način: Pomoću diskriminatne kvadratne jednačine: x1, 2 x1 =
5 +1 2
=3
x 2 =
5 −1 2
= 2.
− (−5) ± (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 5 ± 25 − 24 5 ± 1 = = = 2 ⋅1 2 2
48. Reši jednačinu: Rešenje:
2 x − 5 x − 11
+
2 x − 5 x − 11
+
7 − 3 x ( x − 6) 2 + 1
7 − 3 x ( x − 6) + 1 2
=
x − 4 x − 11
+
=
x − 4 x − 11
+
( x − 3)
2
( x − 6) 2 + 1
( x − 3) 2 ( x − 6) + 1 2
.
jednačinu množimo sa ( x − 11)(( x − 6) 2 + 1) odnosno sa
( x − 11)( x 2 − 12 x + 37) . Dobijamo: ( 2 x − 5)( x 2 − 12 x + 37) + (7 − 3 x)( x − 11) = ( x − 4)( x 2 − 12 x + 37) + ( x − 3) 2 ( x − 11) 2 x 3 − 5 x 2 − 24 x 2 + 60 x + 74 x − 185 + 7 x − 3 x 2 − 77 + 33 x = x3 − 4 x 2 − 12 x 2 + 48 x + 37 x − 148+ x3 − 11 x 2 − 6 x 2 + 66 x + 9x − 99 − 32 x 2 + 33 x 2 + 174 x − 160 x − 262 + 247 = 0 x 2 + 14 x − 15 = 0
− 7 ± 49 + 15
x1, 2 =
1
x1 = 1
x 2 = −15
49. Reši jednačinu: x 2 + 2 x − 3 x + 1 + 3 = 0 . x + 1, x ≥ −1 x + 1 = − x − 1, x < −1
Rešenje: x 2 + 2 x − 3 x + 1 + 3 = 0 1) x ≥ −1 x 2 + 2 x − 3 x − 3 + 3 = 0 x 2 − x = 0 x ( x − 1) = 0 ⇒ x1 = 0 ∨ x 2 = 1
Rešenja su 0 i 1. 2) x < −1 x 2 + 2 x + 3 x + 3 + 3 = 0 x 2 + 5 x + 6 = 0 x1, 2 =
− 5 ± 25 − 24 2
=
− 5 ±1 2
x1 = −3 ∨ x 2 = −2
Rešenja su -3 i -2. 50. Reši jednačinu: x 2 − 8 x + 12 = x 2 − 8 x + 12 . Rešenje: Jednačina x 2 − 8 x + 12 = x 2 − 8 x + 12 je ekvivalentna jednačini x − 6 ⋅ x − 2 = x 2 − 8 x + 12 . x − 6, x ≥ 6 x − 6 = − x + 6, x < 6
1) x < 2 ( − x + 6)(− x + 2) = x 2 − 8 x + 12 x 2 − 6 x − 2 x + 12 = x 2 − 8 x + 12
Rešenja su (−∞,2)
x − 2, x ≥ 2 x − 2 = − x + 2, x < 2
2) 2 ≤ x < 6 (− x + 6)( x − 2) = x 2 − 8 x + 12 − x 2 + 6 x + 2 x − 12 = x 2 − 8 x + 12 −2
2
+ 16 − 24 = 0 − 8 ± 64 − 48 − 8 ± 4 x1, 2 = = ⇒ x1 = 6 ∨ x2 = 2 −2 −2 Rešenje je samo 2.
3) x ≥ 6 ( x − 6)( x − 2) = x 2 − 8 x + 12
KONAČNO REŠENJE se dobija 1) ∪ 2) ∪ 3) a to je x ∈ (−∞,2] ∪ [6,+∞)
x − 8 x + 12 = x − 8 x + 12 Rešenja su [6,+∞ ) 2
2
b
a
= 2. x − a x − b Rešenje: Množenjem jednačine sa ( x − a)( x − b) dobija se b( x − b) + a( x − a) = 2( x − a)( x − b) . Daljim
51. Reši jednačinu ako su a i b realni parametri:
+
sređivanjem se dobija: xb − b 2 + ax − a 2 = 2( x 2 − ax − bx + ab) xb − b 2 + ax − a 2 = 2 x 2 − 2 xa − 2 xb + 2ab 2 x − 2 xa − 2 xb + 2ab − xb + b − ax + a = 0 2
2
2
2 x 2 − 3 xa − 3 xb + a 2 + 2ab + b 2 = 0 a = 2; b = −3( a + b) x; c = ( a + b) 2 x1, 2 =
=
3a + 3b ± ( −3a − 3b) 2 − 8(a + b) 2 4
3a + 3b ± a 2 + 2ab + b 2
x1 =
4 3a + 3b + a + b 4
=
=
4a + 4b 4
=
3a + 3b ± 9a 2 + 18ab + 9b 2 − 8a 2 − 16ab − 8b 2 4
(3a + 3b) ± ( a + b) 4
= a+b
x 2 =
52. Reši bikvadratnu jednačinu: x 4 − 1 = 0 . Rešenje: Vrši se smena x 2 = t . Dobija se jednačina: t 2 − 1 = 0 x 2 = 1 (t − 1)(t + 1) = 0 x1, 2 = ±1 t 1, 2 = ±1
3a + 3b − a − b
5 ± 25 − 1 1
=5±2 6
2a + 2b 4
=
a+b 2
x 2 = −1 x3, 4 = ±i
53. Reši bikvadratnu jednačinu: x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 . Rešenje: Smena: x 2 = t . Dobija se jednačina: t 2 − 10t + 1 = 0 x 2 = 5 + 2 6 t 1, 2 =
4
=
x1, 2 = ± 5 + 2 6
x 2 = 5 − 2 6 x3, 4 = ± 5 − 2 6
=
54. Reši bikvadratnu jednačinu:
4 x + 4 2
5
+
2
+5 4
Rešenje: Jednačina se može napisati i ovako 4 t
+
5 t + 1
2
+4
+
5 x + 4 +1 2
= 2 . Smena: x 2 + 4 = t .
= 2 . Množenjem sa t (t + 1) dobija se: 4t + 4 + 5t = 2t 2 + 2t ⇒ 2t 2 − 7t − 4 = 0 ⇒ 7 ± 49 + 32
⇒ t 1, 2 =
= 2.
=
14
7±9 14
⇒ t 1 =
16 14
=
8 7
1
∨ t 2 = − . 7
Vraćamo se na smenu i dobijamo: x 2 + 4 − x 2 =
8 7
=0
20 7
55. Reši jednačinu:
34 4
2
+
2 x + 1
− 1 1 − 2 x
=
2 x − 1 2x + 1
.
Rešenje: Jednačinu množimo sa (2 x − 1)(2 x + 1) za x ≠ 34
+
4 x − 1 2
2 x + 1 1 − 2 x
=
1 2
2 x − 1 2 x + 1
34 − ( 2 x + 1) 2 = ( 2 x − 1) 2 34 − 4 x − 4 x − 1 − 4 x + 4 x − 1 = 0 2
2
34 − 8 x 2 − 2 = 0 8 x 2 − 32 = 0 8( x − 2)( x + 2) = 0 x1, 2 = ±2
56. Formiraj kvadratnu jednačinu ako su joj koreni: a
Rešenje: x1 =
i x 2 =
b
a+b a−b 2 x − ( x1 + x 2 ) x + x1 x 2 = 0
a a+b
i
b a−b
.
.
b a b a + ⋅ =0 x + a +b a −b a + b a − b a2 + b2 ab 2 x − 2 x + 2 =0 2 2 a −b a −b x − 2
x 2 − 7 x + 12 = 0
57. Skrati razlomak:
x 4 − 7 x 3 + 12 x 2 3 x − 48 3
x1, 2 =
.
7 ± 49 − 48 2 x1 = 4 x 2 = 3
Rešenje:
x 4 − 7 x 3 + 12 x 2 3 x − 48 x 3
=
x 2 ( x 2 − 7 x + 12) 3 x ( x − 16) 2
=
x ( x − 3)( x − 4) 3( x − 4)( x + 4)
=
x ( x − 3) 3( x + 4)
58. Data je kvadratna jednačina (m + 1) x 2 − 2(m + 3) x + 9 = 0 . Odredi realni parametar m da rešenja budu realna i jednaka. Rešenje: D = 0 a = m + 1, b = −2m − 6, c = 9 b 2 − 4ac = 0 (−2m − 6) 2 − 4( m + 1) ⋅ 9 = 0 4m + 24m + 36 − 36m − 36 = 0 2
4m(m − 3) = 0 m1 = 0 m2 = 3
59. Reši jednačinu: x − 1 ⋅ x + 2 = 4 . x − 1, x ≥ 1 x + 2, x ≥ −2 x + 2 = Rešenje: x − 1 = − x + 1, x < 1 − x − 2, x < −2 1) x < −2 2) − 2 ≤ x < 1 ( − x + 1)( x + 2) = 4 ( − x + 1)(− x − 2) = 4 x − x + 2 x − 2 = 4
− x 2 + x − 2 x + 2 − 4 = 0
x 2 + x − 6 = 0
2 x + x + 2 = 0
2
x1 = 2
x 2 = −3
Rešenje je samo -3 pošto je ono manje od -2.
Rešenja su kompleksni brojevi.
3) x ≥ 1 ( x − 1)( x + 2) = 4 x 2 − x + 2 x − 2 − 4 = 0
Konačna rešenja su samo brojevi -3 i 2.
x + x − 6 = 0 2
x1 = 2
x 2 = −3
Samo je 2 rešenje. 60. U jednačini 4 x 2 − 2(m + 1) x + m 2 − 3m − 1 = 0 odredi parametar m tako da rešenja po x budu jednaka. Rešenje: Diskriminanta treba da bude jednaka 0. 2 b − 4ac = 0 (−2m − 2) − 4 ⋅ 4 ⋅ (m − 3m − 1) = 0 2
2
4m 2 + 8m + 4 − 16m 2 + 48m + 16 = 0
− 12m 2 + 56m + 20 = 0 / : −4 3m 2 − 14m − 5 = 0 m1, 2 = m1 =
7±8 3
15 3
=5
m2 = −
1 3
61. Sastavi bar jednu kvadratnu jednačinu čija su rešenja 4 ± 5i . Rešenje: Koristi se formula x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x 2 = 0 . x 2 − ( 4 + 5i + 4 − 5i ) x + ( 4 + 5i )(4 − 5i) = 0 x 2 − 8 x + 16 + 25 = 0 x 2 − 8 + 41 = 0
62. Data je jednačina (m + 1) x 2 − 2(m + 3) x + 9 = 0 . Odredi realan broj m da rešenja budu a) realna i jednaka b) budu recipročni brojevi. Rešenje: a) Da bi jednačina imala jednaka rešenja mora diskriminanta da bude jednaka D=0 b 2 − 4ac = 0 (−2m − 6) 2 − 36(m + 1) = 0 4m 2 + 24m + 36 − 36m − 36 = 0 4m 2 − 12m = 0 4m( m − 3) = 0 m=0 ∨ m=3
b) Da bi rešenja bila recipročna mora x1 = c a
1 x 2
odnosno x1 x2 = 1 .
=1 9
=1 m +1 9 = m +1 m=8
63. U jednačini (k − 1) x 2 + (k − 5) x − (k + 2) = 0 odredi parametar k tako da je − k + 5 − k − 2 x1 x 2 = k − 1 k − 1 Nejednačinu ćemo pomnožiti sa x 1x 2 i dobijamo 2( x1 + x 2 ) > 2 x1 x 2 − k + 5 − k − 2 > 2⋅ ⇔ − k + 5 > −2k − 4 ⇔ k > −9 k − 1 k − 1
Rešenje: x1 + x2 =
1 x1
+
1 x 2
> 2.
64. Konstruiši grafik funkcije y = x − x + x 2 i ispitaj joj tok. Rešenje: y = x − x ⋅ x + 1 y = − x 2 + 2 x I: x < −1 y = x − (− x)(− x + 1) y = x − x 2 + x II: − 1 ≤ x < 0 y = x − (− x)( x + 1) y = x + x 2 + x y = x 2 + 2 x y = x − x 2 − x y = − x 2 III: x ≥ 0 y = x − x( x + 1) −2 −4 = 1 β = = 1 c) − x 2 + 2 x = 0 x(− x + 2) = 0 x = 0 ∨ x = 2 d) x=0 y=0 I: a) a=-1 b) α = −2 −4 4 −2 β = = 1 c) x ( x + 2) = 0 x = 0 ∨ x = −2 d) x=0 y=0 II) a) a=1 b) α = = −1 2 III: a) a=-1 b) α = 0 β = 0
4
c) − x 2 = 0
x=0 y
f(x)=x-abs(x+x^2)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
2
3
4
5
6
7
8
9
65. Dat je skup funkcija y = ax 2 − 2 x − 5 . Odredi parametar a tako da funkcija dostiže maksimum za y = −2 . − 20a − 4 12a = −4 a = −3 −2 = − 8a = −20a − 4 Rešenje: 4a
− x 2 + 2 x − 5 < −1 . 66. Reši nejednačinu 2 2 x − x − 1 Rešenje: − x 2 + 2 x − 5 +1 < 0 2 x 2 − x − 1 x 2 + x − 6 = 0 − x 2 + 2 x − 5 + 2 x 2 − x − 1 <0 2 x 2 − x − 1 x = −3 ∨ x = −2 2 x + x − 6 <0 2 2 x − x − 1
+ + +
x 2 + x − 6 2 x 2 − x − 1 x 2 + x − 6 2
2
+ -
2 x 2 − x − 1 = 0 x = 1∨ x = −
+ + +
+ -
1 2
+ + +
− x − 1
-∞
-3
-2
-
1 2
1
+∞
1 ,1 2
x ∈ (− 3,−2) ∪ −
67. Reši nejednačinu
x 2 + 5 x + 12 x 2 + 9 x + 12
≤ 1: x 2 + 5 x + 12
x 2 + 5 x + 12
≤1 ∧ 2 ≥ −1 . + 9 x + 12 x + 9 + 12 Date dve nejednačine se rešavaju isto kao u prethodnom zadatku, a kao konačno rešenje se uzima presek rešenja date dve nejednačine. Konačno rešenje je x ∈ [− 4,−3] ∪ (0,+∞ ) .
Rešenje: Data nejednačina je ekvivalentna sa nejednačinama:
x + y 2 = 7 68. Reši sistem jednačina: 2 . xy = 12 Rešenje: Ako uvedemo nepoznatu y 2 = z , dobijamo x + z = 7 y = 5 xz = 12 x + y = 6 xy = 6 x = 7 − z x = 6 − y x + y = 6 (7 − z ) z = 12 (6 − y ) y = 5 ( 2,3), (3,2) z 1 = 4 z 2 = 3 y1 = 5 y 2 = 1 x1 = 4 x 2 = 3 (5,1), (1,5)
2
x 2 y + xy 2 = 30 69. Reši sistem jednačina . xy x y 11 + + = Rešenje: Ako uvedemo smene y = z + = t zamenimo u jednačinama dobijamo zt = 30 z + t = 11 z = 11 − t (11 − t )t = 30 t 1 = 6 t 2 = 5 z 1 = 5 z 2 = 6 (t , z ) = (6,5), (5,6)
70. Koji od navedenih grafika pripada skupu funkcija y = x 2 − x − 2 x − x 2 . y 1
2 1 1
2 -1
4
1
9
1
2
3
-1
8
1 -1
7
-1
-2 6
-2
-3
-2
5 -4
-3
-3
4 -5
-4
-4
3 -6
-5
2
-6
-6
1
-7
-7
-5
-7 -8 1
2
3
-9
-1
-8
A Rešenje: Tačan odgovor je pod A.
B
C
D
2
3
