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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT

UNIVERSITE 7 NOVEMBRE A CARTHAGE INSTITUT DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES CARTHAGE PRESIDENCE

IHEC

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES

GESTION DE PORTEFEUILLE APPLICATION SUR LA BVMT www.memoiregratuit.com

Elaboré par : OUCHEM SKANDER

Encadré par : Mr. HELLEL

BOUINE MOEZ

Année Universitaire 2000/2001

Page 1


SOMMAIRE Introduction Générale

P3

Partie I Approche théorique de la gestion de portefeuille

P6

Chapitre 1 Rendement d’un portefeuille I Rendement d’un titre II Rendement d’un portefeuille 1 Définition d’un portefeuille 2 Rendement d’un portefeuille

P7 P7 P12 P12 P12

Chapitre 2 Risque d’un portefeuille et Attitude de l’investisseur face au risque I Risque d’un portefeuille 1 Mesure du risque 2 Risque d’un porte feuille 3 Prévision du risque II Critère du choix en situation d’incertitude 1 fonction d’utilité / Aversion au risque 2 Fonction d’utilité et approche moyenne variance

P14

Chapitre 3 Diversification moyen de réduction du risque d’un portefeuille I Diversification au niveau de la combinaison des titres 1 Diversification et corrélation 2 Diversification et taille du portefeuille II Détermination des portefeuilles efficients et construction de la frontière efficient 1 Présentation du modèle de Markowitz 2 Algorithme de la ligne critique 3 Modèle à indice de Sharpe

P22 P23 P23 P27

Chapitre 4 Introduction de l’actif sans risque I Définition de l’actif sans risque II Constitution d’un portefeuille optimal et construction de la frontière efficiente III Signification économique du portefeuille du marché

P49 P49

Chapitre 5 Diversification temporelle


P14 P14 P15 P17 P17 P19 P20

P29 P30 P37 P46

P50 P53 P57

Page 2


Partie II Application du modèle moyenne variance sur la BVMT

P60

Chapitre 1 Présentation du marché financier Tunisien I Rôle du marché financier II Organisation du marché financier 1 Historique 2 Structure du marché financier

P61 P61 P61 P62 P63

Chapitre 2 Application du modèle moyenne variance sur la BVMT I Collecte des données II Estimation des rendements et de la matrice variance covariance 1 Estimation des rendements 2 Estimation de la matrice variance-covariance III Présentation du modèle VI Analyse des résultats 1 Résultats mensuels 2 Analyse des résultats mensuels 3 Résultats annuels 4 Analyse des résultats annuels

P67 P67 P68 P68 P70 P70 P71 P71 P71 P81 P81

Conclusion

P85

Bibliographie Annexes Matrice variance-covariance mensuelle Matrice variance-covariance annuelle

P86 P87 P88 P91


Page 3


Introduction générale Au cours des dix dernières années, on a assisté à un renversement des perspectives au niveau de la gestion de portefeuille. Au lieu de considérer le portefeuille comme étant une somme d’éléments, c’est le portefeuille lui-même qui est devenu l’élément de base, les interrelations entre ces composantes prenant autant d’importance que la qualité intrinsèque de chacune d’entre elles. La théorie moderne de portefeuille a été la base de ce renversement.

Forgée au début des années cinquante par Harry Markowitz, elle sera reprise, développée et surtout conduite jusqu’à son application pratique par W.Sharpe et par d’autres dans la fin des années soixante. C’est pour la première fois que Markowitz et ses successeurs s’attaquaient à une rationalisation complète de tous les problèmes de gestion de portefeuille et construisaient une théorie globale où rien apparemment n’était laissé dans l’ombre.

Partant d’une définition simple et irréfutable de tout investissement : ce qu’on peut attendre comme rentabilité pondérée par la probabilité que cette attente soit comblée, la théorie moderne de gestion de portefeuille réussit à ne pas lâcher ce fil tout au long du chemin qui mène à la construction à tout moment du portefeuille qui convient le mieux aux objectifs définis à la fois en terme de rentabilité et de sécurité d’obtenir cette rentabilité.


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Dès le départ donc, sont annoncés les trois passages obligés du métier de gestion de portefeuille à savoir : 

L’obligation de définir, de quantifier même la rentabilité et le risque de

chaque investissement potentiel. 

L’obligation de comparer tous ces investissements possibles pour

construire des portefeuilles qui combinent d’une façon optimale les caractéristiques de leurs composantes (rentabilité optimale, risque minimal) 

L’obligation enfin de choisir parmi les portefeuilles possibles celui qui

a la meilleur couple rentabilité-risque tout en convenant aux objectifs de rentabilitérisque du client. Ainsi sont définis trois tâches bien distinctes dont on donnera les noms en anglais :  Security analysis.  Portfolio analysis.  Portfolio selection. Nous allons dans la première partie de ce mémoire, aborder ces différentes tâches de leurs points de vue théoriques. En effet nous aborderons le calcul de rendement d’un titre et d’un portefeuille par la suite quantifier leurs risques et enfin traiter le problème de sélection de portefeuille et la politique de diversification que peut mener un investisseur afin d’assurer une performance au niveau de sa gestion de portefeuille qui sous-entend la conciliation entre l’objectif rendement et l’objectif risque. Nous parlerons dans ce dernier chapitre de la diversification au niveau de la combinaison des titres ainsi que de la diversification temporelle.


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Quant à la seconde partie, elle consistera à l’application de toutes les approches théoriques présentées, notamment celles qui modélisent la diversification et la sélection de portefeuille efficient, sur le marché boursier tunisien et de dégager les éventuelles limites à cette application.


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Chapitre 1 . Rendement d’un portefeuille :


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I. Rendement d’un titre : Le taux de rendement d’une action est la mesure de la rentabilité qu’elle a procurée au cours d’une période donnée. Lorsque nous parlons de la rentabilité obtenue par un investisseur sur une action nous nous referons non seulement au dividende net que lui rapporte ce titre mais aussi à la plus-value éventuelle qu’il en retire. On peut dégager ces deux composantes du rendement dans le cas où le dividende aurait été payé à la fin de la période. Formellement le rendement d’une action se calcule comme suit : t + Dt Rt = CC -1 t-1

t - Ct-1 Rt = Ct + D C t-1

t-1 + Dt Rt = Ct - C (1) Ct-1

Avec Ct =cours de l’action à la fin de période t.

Ct-1 =cours de l’action à la fin de période t-1. Dt =le dividende encaissé à la fin de période t.

Le rapport

Ct - Ct-1 Ct-1

représente le taux de la plus-value.

Dt

Le rapport Ct -1 représente le taux de la rentabilité. La formule (1) suppose implicitement que le dividende est payé le dernier jour de la période t ou que le dividende ne soit réinvesti que ce dernier jour. Année Universitaire 2000/2001

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Nous allons dans ce qui suit tenir compte de différents cas particuliers dans le calcul du rendement d’une action. On procèdera à ce calcul dans les cas suivants : •

La distribution du dividende a eu lieu au cours de la période.

•

Echange, regroupement, fractionnement d’actions.

•

Attribution gratuite.

•

Augmentation de capital.

Le dividende est distribué au cours de la période Le rendement se calcule de la manière suivante :

(

)

Ct - 1 (2) Rt = CxdC+t-1Dt × C xd Avec C xd =cours de l’action après distribution du dividende. Ainsi on subdivise la période en deux sous périodes, la première part de fin de t-1 jusqu’au jour du détachement du coupon. On calcule (1+ R t1 ) pour cette sous période selon la formule (1). En effet le dividende a été payé à la fin de la première sous période. La seconde sous période court du jour du détachement du coupon jusqu’au dernier jour de la période t. Son rendement sans distribution de dividende se calcule comme suit :

( )

Ct 1 + Rt2 = C xd

L’application de la formule (2) se justifie en supposant que le dividende distribué à la fin de la première sous période est réinvesti et que ce réinvestissement se fait sans frais. Le dividende permet ainsi l’achat d’autres actions au cours coté ex-dividende. Le nombre des nouvelles actions étant égal au rapport : Année Universitaire 2000/2001

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Dt Cxd

Echange, fractionnement, regroupement Dans ces trois cas il s’agit d’un simple échange d’actions anciennes contre des nouvelles. Le calcul du rendement à la période t au cours de laquelle l’une de ces trois opérations a eu lieu n’est pas difficile si on prend correctement en compte le fait qu’un dividende ait éventuellement été mis en paiement au cours de la même période . Soit X= le nombre des actions qu’il faut avoir avant l’opération du capital considérée (échange, fractionnement ou regroupement) pour en détenir Y après qu’elle serait intervenue. (Y-X) représente ainsi le nombre d’actions nouvelles. Le calcul du rendement se fait comme suit :

(

YCt Rt = CxdC+t-1Dt × XC xd Si

Rt =

le

dividende

Y(Cxd + Dt) Ct XCt-1 × Cxd

-1

)- 1

(3)

a

été

payé

avant

l’opération

considérée.

(4)

Si le dividende a été payé après l’opération.

Augmentation du capital Lors de l’augmentation du capital par l’émission de nouvelles actions les anciens actionnaires ont un droit préférentiel de souscription. Ce droit est proportionnel au montant des actions détenues. Il permet au anciens actionnaires Année Universitaire 2000/2001

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d’acheter de nouvelles actions, ce droit est négociable pendant la durée de souscription. Formellement le taux de rendement se calcule comme suit :

Rt =

YCxd - (Y - X) × PE Ct × Cxd XCt-1

-1

(5)

S’il n’y pas paiement de dividende lors de l’opération d’augmentation du capital.

YCxd - (Y - X) PE Ct Rt = CxdC+t-1Dt × × Cxd Cxd

-1

(6)

Si le paiement du dividende précède l’augmentation du capital.

Rt =

YCxd - (Y - X) PE Cxd + Dt Ct × Cxd × Cxd XCt-1

-1

(7)

Si le paiement du dividende intervient après l’augmentation du capital. On peut déterminer le taux de rendement des actions sans se référer aux formules (5), (6) et (7) en supposant que le droit préférentiel de souscription est affecté à l’achat de nouvelles actions. La valeur des actions détenues à la fin de la période t rapportée à la valeur des actions détenues au début de la période t (ou à la fin de la période t-1) représente le rendement obtenu par l’actionnaire.

Attribution gratuite L’augmentation du capital peut se faire aussi par incorporation des réserves dans le capital. Ceci permet l’augmentation du nombre des actions émises par l’entreprise.


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Cette augmentation sera répartie entre les actionnaires proportionnellement au nombre des actions qu’il détenait c’est ce qu’on appelle l’attribution gratuite. Ainsi, les actionnaires acquièrent de nouvelles actions qui ont les mêmes caractéristiques en matière de perception de prochains dividendes que celles qu’il détenait avant la réalisation de l’opération d’attribution gratuite. Par conséquent le calcul du taux de rendement dans ce cas se fait de la même manière que dans les formules (3) et (4). 

Taux de rendement nominaux et taux de rendement réels

+ Rt RRt = 1 1 + Tt - 1 Avec R t =le taux de rendement nominal. T t =le taux d’inflation de la période. Ainsi le taux de rendement réel mesure le rendement perçu par l’investisseur au- delà de l’inflation.


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II. Rendement d’un portefeuille : 1-Définition d’un portefeuille

C’est la combinaison d’un ensemble de titres possédant des caractéristiques différentes en matière de valeur et de perception de dividendes. Cette combinaison se fait en des proportions différentes afin d’avoir un portefeuille bien diversifié permettant de réaliser un rendement espéré bien déterminé tout en minimisant le risque que peut courir l’investisseur. Mathématiquement un portefeuille P est un vecteur de proportions Xi relatives chacune à la proportion du capital investi dans chaque titre.

P=

X1  Xi  Xn

Avec Xi = part du capital investi dans l'actif i capital total

2-Rendement d’un portefeuille : n

Rp = ∑ XiRi i=1

C’est la moyenne des rendements des titres constituant le portefeuille pondérés par leurs proportions dans le portefeuille. On peut également calculer le rendement d’un portefeuille en se basant sur sa valeur. Le calcul se fait de la manière suivante : Année Universitaire 2000/2001

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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT t-1 Rp = VtV- tV -1

Avec V t = valeur du portefeuille à la date t V t-1 =valeur du portefeuille à la date t-1


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Chapitre 2. Risque d’un portefeuille et attitude de l’investisseur : I. Risque d’un portefeuille : 1.Mesure de risque : Les taux de rendements successifs d’une action ou d’un portefeuille peuvent avoir d’importantes fluctuations autour de leur valeur moyenne. Pour mesurer ce risque, dont l’origine revient à ces fluctuations, on a recours à l’écart type ou la variance des rendements par période. La variance de l’action sur T périodes est :

(

)

2 = 1 T Ri,t - Ri σi T ∑ t=1

Avec Ri,t= le taux rendement de l’action i au cours de la période t. Ri= la moyenne arithmétique des taux de rendement. Si, par ailleurs, on veut connaître le lien qui existe entre les fluctuations des taux de rendement de deux actions i et j il faut recourir à la covariance.

σij = T1 ∑ ∑(Ri,t - Ri)(Rj,t- Rj) n n

i=1j=1

L’interprétation de la covariance est liée à son signe. En effet si la covariance est positive alors on peut dire que les taux de rendement des actions i et j évoluent dans le même sens et si la covariance est négative alors les deux taux évoluent dans Année Universitaire 2000/2001

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deux sens contraires. Enfin si la covariance est nulle alors on conclura qu’il n’y a aucune relation entre les évolutions des rendements deux titres. On pourrait aussi définir un troisième concept qui est le coefficient de corrélation qui s’obtient en rapportant la covariance au produit des écarts type des taux de rendement des titres i et j.

ρ= σ σσ ij

ij

i

j

Ce coefficient est compris entre –1 et 1. Si le coefficient de corrélation est positif alors les taux de rendements des actifs i et j ont tendance à évoluer dans le même sens et plus

ρ se rapproche de 1 ij

plus les variations de deux variables deviennent proportionnelles. Et si

ρ

ij

est

négatif alors les deux variables ont tendance à varier dans un sens opposé. Plus ce coefficient se rapproche de –1 plus leurs variations en valeur absolue deviennent proportionnelles. En fin, une corrélation nulle indique qu’il n’y a pas de relation entre les taux de rendements des titres considérés.

2. Risque d’un portefeuille :

Nous avons présenté la technique utilisée pour la mesure du risque d’un titre. Dans cette partie on va s’intéresser au risque total du portefeuille. Pour un portefeuille qui se compose de N titres, son taux de rendement dépendra à la fois des taux rendements des différents titres et aussi de leurs différentes proportions. Ainsi :


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT N

Rp = ∑Xi Ri i=1

Alors : N

E(Rp) = ∑Xi E(Ri) i=1

et : σp2 = X12σ12 + X1X2σ12 +  + X1XNσ1N

2 2

+ X2 X1σ21 + X2σ2 +  + X2 XNσ2N

2 2

+ XNX1σN1 + XNX2σN2 +  + XNσN NN

σp2 = ∑ ∑ Xi X j ρi jσi σ j i=1j=1

On peut aussi obtenir : NN

σp2 = ∑ ∑ Xi X j ρi jσi σ j i=1j=1

Cette dernière expression de la variance renseigne sur le lien étroit entre le risque du portefeuille et la corrélation existant entre les rendements des titres le constituant. Par ailleurs on peut définir un autre concept qui est la contribution d’un titre au risque du portefeuille. En effet la variance peut s’écrire :

[

σp2 = X1 X1σ12 +  + Xi σ1i +  + XNσ1N

[

2 Xi X1σi1 +  + Xi σi +  + XNσiN

[

]

]

2 + XN X1σN1 +  + Xi σNi +  + XNσN


] Page 17


La contribution du titre i dans le risque est alors :

[


]

C’est la contribution absolue, elle dépend de trois facteurs : 

La variance de son rendement



La covariance du titre avec les autres titres



La proportion du titre dans le portefeuille

Donc, lors de son choix du portefeuille, l’investisseur doit prendre en compte ces trois facteurs pour bien gérer son risque.

3. Prévision du risque : Au moment d’acheter un titre, d’investir sur un marché en constituant un portefeuille, l’investisseur voudrait mesurer le risque ex-ante. Or la variance ne peut être calculée que sur des fluctuations passées du taux de rendement. Toutefois les études menées, notamment par Blume, Altman, et Pogue ont montré empiriquement que la volatilité des variations des cours d’actions ou des porte-Feuilles est relativement stable. On peut donc utiliser les données historiques (ou ex poste ) pour apprécier le risque futur des actions.

II. Critère de choix en situation d’incertitude : Etant donné que l’investisseur opère son choix en matière de placement en actions en situation d’incertitude, celui-ci ne va pas se contenter seulement au critère « maximisation de l’espérance de gain ». En effet l’attitude de l’investisseur face au risque va avoir un poids très important dans la décision de la construction d’un portefeuille d’actifs financiers.


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Cette attitude est matérialisée par sa fonction d’utilité. Cette dernière permet de définir le comportement de l’investisseur dans une situation d’incertitude et par conséquent son attitude face au risque. L’importance du critère de l’utilité, s’est révélée après la constatation de ce qu’on appelle « le paradoxe de Petersbourg » exposé par Daniel Bernouilli dans son « Speciemen Theoriae Novae de Mensura Sortis 1738 » qu’on peut illustrer par l’exemple suivant : Un mendiant ne possède rien d’autre qu’un billet de loterie offrant une chance sur deux d’un gain de 20000 ducats. Averti de la chose, un riche marchand de Petersbourg propose au mendiant de lui acheter son billet pou la somme de 4000 ducats. Le mendiant a accepté immédiatement le marché. Au vu le critère de décision « maximisation de l’espérance du gain » le comportement du mendiant s’avère irrationnel. Le tableau suivant récapitule la situation à laquelle se présente le mendiant : Etats de nature Le

billet est Le billet est gagnant p=0.5 perdant p=0.5

alternatives Garder le billet Vendre le billet

20000 4000

0 4000

Espérance mathématique du gain 10000 4000

Ce mendiant dont les moindres besoins vitaux ne sont pas satisfaits va accorder beaucoup d’importance à la proposition de ce riche. En effet les 4000 ducats vont lui permettre de satisfaire ses besoins les plus urgents. Par conséquent cette somme d’argent aura une utilité supérieure à celle que la loterie pourrait lui procurer. Par conséquent, on peut en conclure que le critère de maximisation du gain espéré dans ce genre de situation ne peut constituer à lui seul la base sur laquelle on


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peut fonder notre décision. Il faut donc déterminer un autre critère qui tient compte de cette notion de risque à savoir « la maximisation de l’utilité espérée »

1. Fonction d’utilité /aversion au risque :

Le théorème de l’utilité espéré énoncé par Von Neumann et Morgenstern (1944) postule que : « Confronté à un ensemble d’alternatives dont les résultats sont aléatoires l’individu choisira celle dont l’utilité espérée est la plus élevée ». La fonction d’utilité traduit le comportement de l’investisseur face au risque. La construction de la fonction d’utilité d’un investisseur se base sur deux hypothèses fondamentales qui sont : • L’utilité marginale de la richesse est toujours positive de sorte que l’utilité

δ U(R) est fonction monotone croissante de la richesse. δR >0 Avec R=richesse obtenue par l’investisseur. • Dans toutes leurs prise de décision les agents économiques préfèrent toujours une utilité supérieure à une utilité moindre (postulat de rationalité). La construction de la fonction d’utilité est un peu délicate et la technique la plus utilisée est celle des « paris de référence » qui consiste à estimer la fonction par points. Ainsi on peut avoir deux types de fonctions d’utilité selon l’attitude de l’investisseur face au risque.

Individu non-averse au risque : Année Universitaire 2000/2001

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La courbe d’utilité d’un tel individu présente sa concavité vers le haut . 2 δ U(R) > 0 δR

En effet plus cet individu s’enrichit plus il accorde de l’utilité à une unité supplémentaire de richesse. En d’autre terme son utilité marginale de richesse est croissante. Individu averse au risque : La courbe d’utilité d’un tel individu présente sa concavité vers le bas

δ2 U(R) <0 δR En effet plus cet individu s’enrichit moins il accorde de l’utilité à une unité supplémentaire de richesse. En d’autre terme son utilité marginale de richesse est décroissante.

2. Fonction d’utilité et approche moyenne-variance :

Etant donné qu’on s’est basé sur l’approche « moyenne-variance » pour arriver à modéliser la théorie de gestion de portefeuille et déterminer en fin de démarche la méthode permettant la constitution d’un portefeuille optimal c’est à dire un portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rendement donné, on doit tracer les courbes d’indifférence relatives à chaque fonction d’utilité et dont leur équation sera le risque d’un portefeuille fonction de son rendement. Si on suppose que la fonction quadratique est la plus adaptée au comportement des investisseurs averses au risque, on peut alors tracer les courbes d’indifférence qu’y sont relatives en procédant ainsi :

U(R) = a + b R - c R2 Année Universitaire 2000/2001

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E[U(R)] = a + b E(R) - c σ2(R ) - c E2(R ) 2 2 2 E (R ) = σ (R ) + E (R )

σ2(R ) =

a - E[U(R)] b + E (R) - E2(R ) c c

Les courbes d’indifférences relatives à cette fonction d’utilité s’expriment en fonction de :

σ2(R ) et E(R)

E (R) - E2(R ) σ2(R ) = K + b c K=

a - E[U(R)] c

Toutefois il faut noter la limite de l’application d’une telle fonction pour décrire une telle attitude face au risque puisque l’utilité marginale dans ce cas n’est

[

négative que si : R ∈ -∞, b

2c

]


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Chapitre 3. La diversification : moyen de réduction risque d’un portefeuille :

Nous avons examiné dans les deux chapitres précédents les deux caractéristiques fondamentales d’un titre ou d’un portefeuille à savoir le rendement et le risque. Ainsi à tout titre ou portefeuille de rendement espéré bien déterminé est associé un risque qui est représenté par la volatilité de son rendement autour de sa valeur espérée. Par conséquent l’objectif de tout investisseur est d’arriver à constituer un portefeuille qui lui permet de réaliser un rendement espéré bien déterminé tout en minimisant le risque qui lui est associé. La question est alors si ce dernier doit répartir son capital sur plusieurs titres ou au contraire se concentrer sur un titre bien déterminé qu’il juge le moins risqué sur le marché. Ceci étant puisque comme on l’a vu chaque titre du portefeuille contribue au risque de celui ci. Ce dernier chapitre va alors montrer à quel point une politique de diversification permet à l’investisseur de concilier les deux objectifs fondamentaux d’un investissement à savoir :  Assurer un rendement espéré bien déterminé.  Minimiser le risque qui lui est associé. Nous allons par conséquent aborder dans une première partie la relation entre diversification et corrélation, puis dans une seconde la relation entre la taille d’un portefeuille et la diversification. Enfin nous allons présenter les outils mathématiques qui permettront la construction d’un portefeuille efficient (diversifié du point de vue combinaison de titres) à savoir le modèle de Markowitz (1952), Année Universitaire 2000/2001

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l’algorithme de la ligne critique et le modèle à indice de Sharpe, puis présenter le concept de la diversification temporelle.

I. Diversification au niveau de la combinaison des titres :

Markowitz a parlé du concept de la diversification comme : « une atténuation du risque par la combinaison au sein du portefeuille de plusieurs actifs financiers ». En effet la diversification efficiente est liée a deux motivations qui concernent l’investisseur à savoir la recherche d’une rentabilité maximale et la réduction du risque total du portefeuille. 1-Diversification et corrélation : On a déjà montré que la contribution d’un titre au niveau du risque d’un portefeuille dépend non seulement du risque propre au titre mais aussi de la corrélation qui existe entre ce titre et les autres titres constituant le même portefeuille. En effet la contribution d’un titre i est égale :

[


]

On va illustrer la relation entre diversification et corrélation par les deux exemples suivants : 1er exemple :

Considérons deux titres A et B qui constitue un portefeuille P avec les mêmes proportions (XA=XB=0.5). les deux titres A et B ont les caractéristiques suivantes : EA=0.15

EB=0.15

σA=0.05

σB=0.05


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Le rendement espéré du portefeuille sera constant quelque soit la corrélation entre les titres A et B puisqu’on garde la même combinaison : E(Rp)=0.5 Par contre le risque de ce portefeuille dépendra de la corrélation entre les deux titres. Ainsi pour ρAB = 1 2 2 2 σp = X2A σA + XB2 σB + 2XA XB σAσB × 0.5

= 0.0018

Le risque relatif au portefeuille est le même que celui de chaque titre par conséquent la diversification est inutile puisqu’elle ne représente à l’investisseur aucun intérêt. Ce dernier peut se concentrer sur un seul titre que ce soit A ou B et avoir le même rendement avec le même risque. Si ρAB = 0.5 2 2 2 σp = X2A σA + XB2 σB + 2XA XB σAσB × -1

=0

Ici la corrélation a diminué et a engendré la diminution de la variance du portefeuille et par la suite la réduction de son risque. Cet effet est plus perçu si ρAB = 0 c’est à dire si les titres A et B sont totalement indépendants. Si ρAB = -0.5 2 2 2 σp = X2A σA + XB2 σB + 2XA XB σAσB × -0.5

= 0.00125

Pour une corrélation négative l’effet de la diversification sur la réduction du risque est perçu davantage Année Universitaire 2000/2001

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Enfin, si ρAB = -1

σp2 = X2A σ2A + XB2 σB2 + 2XA XB σAσB × -1

=0

La diversification permet ici d’éliminer totalement le risque. Cet exemple permet de mettre en évidence l’effet de la corrélation entre les titres constituant un portefeuille sur le risque de ce dernier. En effet, plus la corrélation entre les titres tend vers –1 plus la diversification joue son rôle d’atténuation du risque. Elle tend même à l’éliminer totalement si la corrélation entre les titres est parfaitement négative. 2ème exemple :

Dans cet exemple nous allons mettre en évidence l’effet de la corrélation entre deux titres A et B qui diffèrent de point de vue espérance et écart type sur le risque du portefeuille qu’ils constituent tout en changeant à chaque fois leurs proportions. Soit les titres A et B avec les caractéristiques suivantes : EA=0.10

EB=0.20

σA=0.05

σB=0.09

On va supposer à chaque fois une corrélation bien déterminée entre les deux titres et calculer le risque et le rendement du portefeuille relatif à une combinaison donnée. Tous calculs faits les deux tableaux suivants nous donnent les espérances des portefeuilles pour chaque combinaison et les écarts type relatifs.


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT Portefeuille X A XB 1 0 1 2 0.1 0.9 3 0.2 0.8 4 0.3 0.7 5 0.4 0.6 6 0.5 0.5 7 0.6 0.4 8 0.7 0.3 9 0.8 0.2 10 0.9 0.1 11 1 0

Portefeuille 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Espérance du rendement du portefeuille 0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.1

ρ AB =1 0.09000 0.08600 0.08200 0.07800 0.07400 0.07000 0.06600 0.06200 0.05800 0.05400 0.05000


ρ AB =0.5 0.09000 0.08361 0.07749 0.07169 0.06630 0.06144 0.05724 0.05384 0.05142 0.05011 0.05000

ρ AB =0 0.09000 0.08115 0.07269 0.06476 0.05758 0.05148 0.04686 0.04420 0.04386 0.04589 0.05000

ρ AB =-0.5 0.09000 0.07862 0.06756 0.05700 0.04729 0.03905 0.03341 0.03176 0.03470 0.04124 0.05000

ρ AB= -1 0.09000 0.07600 0.06200 0.04800 0.03400 0.02000 0.00600 0.00800 0.02200 0.03600 0.05000

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Le graphique suivant permet de récapituler les deux tableaux ci dessous. Il met en relation l’écart type du portefeuille et son rendement espéré.

rendement d'un portefeuille

Evolution du rendement espéré d'un portefeuille selon l'écart type pour des niveaux de corrélation différents

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.00000

0.05000

0.10000

ρAB=1 ρAB=0.5 ρAB=0 ρAB=-0.5 ρAB=-1

Risque d'un portefeuille

Les deux exemples mettent en valeur le lien étroit entre diversification et corrélation. En effet pour mener une politique de diversification efficiente l’investisseur doit combiner dans son portefeuille les titres qui sont les moins corrélés voir même ceux qui sont parfaitement corrélés négativement. 2-Diversification et taille du portefeuille : Après avoir analysé l’impact de la corrélation existante entre les titres sur le risque d’un portefeuille, la question qui se pose est alors de déterminer le nombre optimal de titres à introduire dans un portefeuille afin d’aboutir à une diversification Année Universitaire 2000/2001

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efficiente. On suppose ici implicitement qu’à toute politique de diversification il existe une limite. La démarche suivante permet d’expliciter cette limite : Supposons qu’on a un portefeuille composé équiproportionnellement de N titres. Soit var =variance moyenne de différents titres.

cov =covariance maximale qui peut exister entre deux titres différents. On a alors 1 var + N - 1 cov σp = N N 2

Si N → +∞ alors sp2→ cov Ceci constitue la limite concrète d’une politique de diversification. Les études empiriques qui ont été menées à ce propos notamment par Evans et Archer (1968), Wagner et Lau (1971) sur le marché américain et Pogue et Solnik (1974) pour le marché français et Solnik pour les marchés de la Grande Bretagne, la France, la Belgique et les Pays Bas ont montré une limite d’une vingtaine de titres. Par conséquent l’introduction d’un titre supplémentaire au delà des vingt titres sera sans aucun intérêt pour l’investisseur vu que le gain rapporté par ce dernier titre ne couvrira pas les coûts de transaction que cet investisseur aurait a supporter.


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II. Détermination des portefeuilles efficients et, construction de la frontière efficiente Jusqu’à présent, on a traité les avantages de la diversification dans la constitution d’un portefeuille. En effet, nous avons montré l’impact de la taille de portefeuille ainsi de la covariance existante entre les titres le composant sur le risque de ce dernier. De ceci, on a pu tirer 2 règles de gestion de portefeuilles qui sont : -

constituer un portefeuille d’une vingtaine de titres

-

choisir des titres qui sont peu corrélés

Or, notre but est d’aboutir à une diversification efficiente c’est-à-dire arriver à construire un portefeuille optimal de point de vue risque et rendement. L’optimalité réside donc dans la minimisation du risque pour un rendement fixé de ce dernier ou la maximisation du rendement pour un risque donné. Or, par le suivi des deux règles annoncées ci-dessus, on n’aboutira pas certainement à une diversification efficiente. On va alors dans ce chapitre, présenter quelques méthodes de calcul amenant à une diversification et qui sont tous inspirés des travaux de Markowitz.


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT 1-Présentation du modèle de Markowitz : Analyse moyenne-variance

Lorsqu’on n’impose aucune contrainte de type inégalité sur les proportions à investir dans chaque titre, le problème consiste à déterminer les proportions à investir dans chaque titre pour minimiser le risque du portefeuille. Il faut tout d’abord présenter toutes les hypothèses sur lesquelles Markowitz a basé son modèle. Ces hypothèses sont de deux types : celles relatives aux actifs financiers et celles relatives au comportement des investisseurs. •

Hypothèses relatives aux actifs financiers :

H1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque : le return d’un actif financier pour toute période future est par conséquent une variable aléatoire dont on fait l’hypothèse qu’elle est distribuée selon la loi normale : c’est-à-dire une distribution symétrique et stable entièrement définie par ~ ~ E(Ri ) et σ(Ri ) . La distribution peut être objective c’est-à-dire basée sur les fréquences relatives des returns observés dans le passé comme elle peut être subjective. H2 : Les returns des différents actifs ne sont pas indépendants les uns des ~ ~ Cov R i,Ri )≠0 . ( autres c’est-à-dire que leurs covariances ne sont pas nulles : •

Hypothèses relatives au comportement des investisseurs :

H3 : Le comportement des investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins prononcé d’aversion au risque. H4 : Les investisseurs sont rationnels : ils opèrent leurs choix en se basant sur leurs fonctions d’utilité bien qu’elles soient subjectives. Année Universitaire 2000/2001

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H5 : L’horizon de décision est le même pour tous les investisseurs : Il s’agit d’une seule période. •

Formalisation du modèle :

Etant

donné la définition de l’efficience qu’on a déjà annoncé dans

l’introduction de ce chapitre ; le problème de gestion de portefeuille se présente ainsi : La fonction objective s’écrit : Min Var(Rp) = ∑∑xi x j σij

sous les contraintes :

E(Rp) = ∑xi E(Ri) = E*

∑xi = 1 Pour résoudre ce problème, on s’appuiera sur la technique du multiplicateur de Lagrange :

£=∑∑xi x jσ ij + λ(∑xi E(Ri2) - E*) + λ2(∑xi -1) La détermination des proportions optimales à investir dans chaque actif pour réaliser un rendement E* déterminé se fait par l’annulation des dérivées partielles de la fonction £ par rapport aux différents xi ainsi que λ1 et λ2 ce qui nous donne un système de N+2 équations linéaires à N+2 inconnues.

∂£ = 2 x1σ11 + 2 x 2σ12 +  + 2 x nσ1n + λE(R1) + λ2 = 0 ∂x1 ∂£ = 2 x1σ n1 + 2 x 2σ n2 +  + 2 x nσ nn + λE(Rn ) + λ2 = 0 ∂xn ∂£ = x1E(R1 ) + x 2E(R 2 ) +     + x n E(R n ) - E* = 0 ∂λ1


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∂£ = x1+ x2+     + xn - 1 = 0 ∂λ2 Ce système à N+2 équations peut se formaliser matriciellement comme suit : CX = K Avec :

2σ11 2σ12  2σ1n E(R1)      C = 2σn1 2σn2  2σnn E(Rn) 0  E(R1) E(R2 ) E(Rn ) 1 1 0  1  x1   x =  x n  λ1  λ2 

1  1 0 0

0 0 K =    E*  1 

Ainsi le portefeuille optimal représenté par le vecteur X* s’écrit : X* = C-1 K Ce portefeuille est efficient puisqu’il réalise le rendement E* fixé tout en minimisant le risque qui y est relatif. •

Construction de la frontière efficiente :

La valeur X* ainsi déterminée, représente le portefeuille optimal qu’il faut en investir pour utiliser le rendement E*. En considérant successivement différentes valeurs de E*, on aura autant de portefeuilles optimaux caractérisés par un rendement E* et un risque matérialisé par *2 2 2  la variance du portefeuille σ  R p  = σ  


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L’ensemble de ces portefeuilles permet de construire la frontière efficiente. Cette dernière met en relation le rendement espéré et le risque minimal qui lui est associé. Ainsi, l’investisseur doit choisir un portefeuille dont les caractéristiques E* et

σ * appartiennent à la frontière efficiente. Par conséquent, il doit déterminer un niveau de rendement espéré et accepter le risque qui lui est associé ou bien fixer un risque minimum et accepter le rendement espéré qui lui est associé. •

Détermination analytique de la frontière efficiente :

Le problème d’investissement peut s’écrire de la façon suivante : Min X’VX Sous contrainte : DX = d Avec :

 Var(R1) Cov(R1;R2)   Cov(R1;Rn )  Var(R2) Y=  Cov(R2;Rn )  Var(Rn )   Cov(Rn;R1)  x1  E(R1) 1 E* M'      ; U =  ; d =   x=   ; D=  ; D=     1  1  U'   xn E(Rn)

En effet, la contrainte : ∑ x i E i = E* S’écrit : M’X = E* Et la contrainte ∑ X i = 1 s'écrit : U’X = 1 Année Universitaire 2000/2001

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Le portefeuille optimal s’obtient alors comme suit : X* = V-1 D-1 (DV-1 D’)d Var (R p ) = X*’ V X* = [ V-1 D’ (DV-1 D’)-1 d]’ VX-1 D’ (DV-1 D’)-1 d = d (DV-1 D’) –1 d

E* M' or comme on l’a déjà explicité : d =   ; D =   U'   1  L’équation de la frontière efficiente est la suivante : 2

σp=

c ac - b

2

E* -

2b E* + a 2 2 ac - b ac - b

avec a = M’V-1M b = M’V-1U c = U’V-1U Cette équation n’est autre que celle d’une parabole

E*

b/c


2

σp

Page 35

Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT 1/c

•

Détermination du sommet de la parabole :

Soit E* = x 2

Soit σ p = y Le point S sommet de la parabole s’obtient en annulant la dérivée dy par rapport à x :

∂y = 0 ⇒ 2c 2 x - 2b 2 = 0 ∂x ac - b ac - b ⇒ x* = b c

()

( )

2 y x=b = ∂* b = c c 2

=

c

b )2 ( 2 c

ac-b

2b b + a 2c 2 ac-b ac-b

2

b

2

  ac-b c  

-

2b

2

  ac-b c  

+

a

2

ac-b

2 2 2 ac−b b − 2b + ac = = 2  ac −b 2 c    ac b − c   





=1 c La parabole ne représente pas en totalité la frontière efficiente étant donné que la partie inférieure est dominée par la partie supérieure puisque les portefeuilles appartenant à cette dernière pour un risque égal à ceux de la partie inférieure permettant de réaliser un rendement plus élevé. Revenons à la formule de X*(E*) : X*(E*)’ = V-1D’ (DV-1D’)-1 d Année Universitaire 2000/2001

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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT -1  MV M -1  X*(E*) = V [M , U]  -1  U'V M

-1  M'V U E*   -1   1  U'V U 

⇒ X*(E*) =

-1  c -b E*  -1 V M , V U    2   b a   1  ac - b

⇒ X*(E*) =

-1  cE* -b   -1 V M , V U   2   a bE *    ac - b

1

1

-1 -1 ⇒ X*(E*) = cE* - b2 V M + a- bE*2 V U ac - b ac - b

c b - b -1 a - b b -1 b c c V U = Xs Par suite X*( ) = V M+ 2 2 c ac - b ac - b 2

-1 -1 a- b ⇒ Xs = b - b2 V M + V U 2  ac - b  ac - b  c  

-1

⇒ Xs = 1 V U c Posons

(α - bE*) c = α 2

αc - b

-1

-1

V M V U X*(E*) = (1-α) +α b c X*(E*) = (1-α) Xp + αXs Sous cette forme, un portefeuille optimal s’exprime comme combinaison de 2 portefeuilles :


Page 37

Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT -1

V M Xp = b -1

V U et Xs = c Ainsi, tout investisseur est alors amené à faire un certain dosage de risque minimum puisqu’il choisira une proportion α du portefeuille à risque minimum Xs. Ce dosage dépendra du niveau du rendement à réaliser. Cette dernière relation permet ainsi de fixer la condition de l’efficience d’un b portefeuille, puisque tout portefeuille optimal doit avoir un rendement supérieur à c

et leurs coordonnées E* et σ 2 doivent vérifier l’équation de la frontière efficiente. 2-Algorithme de la ligne critique : Cet algorithme a été développé par Markowitz et ce pour arriver à déterminer un portefeuille optimal en cas de l’existence de contraintes de type inégalité qui délimitent le champ de variation des proportions xi. Dans ce qui suit nous allons nous inspirer de la présentation qu’a fait Sharpe (1970) de cet algorithme. L’algorithme de la ligne critique a traité le problème de choix de portefeuille d’une autre façon. La présentation du problème d’investissement a été plutôt géométrique. En effet : Considérons une frontière efficiente en un de ses points. Au point correspond une tangente. La pente de celle-ci est la plus élevée qu’il soit possible d’atteindre. Année Universitaire 2000/2001

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L’équation de cette tangente est :

σ

2

= α + λE

pf

Dire qu’il s’agit de la tangente à pente la plus élevée revient à dire qu’il s’agit de la tangente pour laquelle α est le plus faible possible. Or α = σ

2

- λE

pf

Par suite, la fonction objective devient : Minimiser α = σ

2

- λE et le portefeuille efficient correspondant à une

pf

valeur particulière de λ est celui par lequel ses proportions xi

minimisent la

fonction qu’on vient d’expliciter ci-dessus. On obtiendra alors la frontière efficiente durant toutes les valeurs possibles de

λ. La valeur de λ pente de la tangente représente le taux d’échange, ou économiquement dit le taux de substitution entre l’espérance et la variance du return pour l’investisseur qui choisira un portefeuille situé sur le point de tangence entre la droite : σ

2

= α + λE Et la frontière efficiente. Une valeur infinie de λ signifie que

pf

l’investisseur n’accorde aucune importance à la variance et se préoccupe uniquement à l’espérance de rendement. Une valeur nulle de, présente uniquement la signification inverse. On peut formaliser. Ainsi, le problème de choix de portefeuille se présent de la manière suivante : Année Universitaire 2000/2001

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Minimiser λ∑xi E(Ri) + ∑∑ xi xj σ ij N

Avec la contrainte : ∑xi = 1 i=1

Et ceci pour toutes les valeurs de λ comprises entre +∞ et 0. • Détermination d’un portefeuille efficient en l’absence de contrainte de type inégalité. Tout portefeuille qui minimise la fonction objectif pour une valeur donnée de

λ est un portefeuille efficient. Ainsi, déterminer les proportions xi revient à annuler la dérivée de la fonction objectif par rapport à ceux-ci.

£ = -λ ∑xi E(Ri) + ∑∑ xi xj σij + γ [∑xi - 1] ∂£ = -λE1+ 2 x1σ11 +  + 2 x σ + γ = 0 ∂x1 N 1N ∂£ = -λEn+ 2 x σ +  + 2 x σ + γ = 1 ∂xn N NN 1 N1 ∂£ = ∂σ x1 + x2 + ……………. XN – 1 = 0 Sous forme matricielle on peut alors l’écrire : CX = K + λ E On obtient alors le portefeuille efficient correspondant à une valeur particulière de λ . 2

σ pf = X*' V X* Année Universitaire 2000/2001

Page 40

Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT '

-1 -1 = C [K + λ E] VC [K + λ E]    

 Déterminations des portefeuilles efficients avec les contraintes de type inégalité : Le plus souvent on impose aux proportions xi des contraintes de type inégalité telle que par exemple d’imposer une proportion d’être positive ou de limiter par deux bornes et d’exiger qu’elle appartienne au champ de variation délimité par ces deux bornes.

βii≤xi≤βsi où βii constitue la borne inférieure de xi Et βsi constitue la borne supérieure de xi. La solution déterminée comportera des proportions de xi de 3 catégories : -

Des proportions qui ont le statut down : C’est à dire que leurs valeurs

des xi seront égales à leurs bornes inférieures. -

Des proportions qui ont le statut in : c’est-à-dire que leurs valeurs de xi

appartiennent aux champs de variation définis. -

Des proportions qui ont le statut up : C’est-à-dire que leurs valeurs

atteindront leurs bornes supérieures. On peut alors illustrer ce qu’on vient d’annoncer par les graphiques suivants :

£

Xi « Statut in »

1

Année Universitaire 2000/2001βii

βsi

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Xi « Statut down »

£

2

βii

£

βsi

Xi « Statut up »

3

βii

-

βsi

Dans le graphique 2 la valeur pour laquelle ∂£ =0 est en dehors du ∂xi

champ de variation de xi ( β à gauche de βii ). Cette proportion xi a lors un statut down et ∂£ >0 . ∂xi -

Dans le graphique 3, la valeur pour laquelle ∂£ =0 est supérieure à βsi ∂xi

par conséquent xi sera égal à βsi et elle a alors un statut up ∂£ < 0 . ∂xi Année Universitaire 2000/2001

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Ceci nous amène à déterminer les conditions pour lesquelles une proportion xi soit optimale et appartienne par conséquent à la solution optimale. -

Pour une proportion qui a un statut down, xi = βii et ∂£ >0 ∂xi

-

Pour une proportion qui a un statut in, βii ≤ xi ≤ βsi et ∂£ =0 ∂xi

-

Pour une proportion qui a un statut up, xi = βsi et ∂£ < 0 ∂xi

Recherche d’une solution : Supposons qu’on veuille résoudre le problème d’optimisation pour une valeur particulière λ' de λ et qu’on connaisse le statut des différentes variables xi. LE système d’équation de Lagrange qu’on a instauré subira des modifications en fonction des statuts des différentes variables xi. En effet, si : -

xi possède un statut in alors la ième

ligne restera la même puisque

∂£ est toujours nulle. ∂xi -

xi possède un statut down alors dans la ième on doit changer ∂£ =0 par ∂xi

xi = βii . -

enfin, si xi a un statut up alors dans la ième ligne on doit changer ∂£ = 0 ∂xi

par xi = βsi

Par conséquent, la matrice c ainsi que les vecteurs x et E devront être évidemment modifiés pour tenir compte de ces changements. La solution trouvée après transformation devra vérifier :

∂£ < 0 pour un xi de statut up. ∂xi Année Universitaire 2000/2001

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∂£ = 0 pour un xi de statut in. ∂xi ∂£ > 0 pour un xi de statut down. ∂xi et sera de la forme suivante :

xi = βii pour tout titre i = down xi = Ai + ai λ pour un titre i = in

xi = βsi pour un titre i = up. Ainsi en plaçant λ par λ ’, on obtient la solution relative particulière de λ . •

Changement de statut de variable et λ critique

En changeant la valeur de la variable λ deux cas sont envisageables : -

La première est que toutes les variables xi gardent le même statut,

ainsi, déterminer la solution optimale pour la nouvelle variable de λ revient à remplacer λ dans les équations relatives aux différentes proportions xi. -

Le deuxième cas est que cette nouvelle variable de λ changera le statut

des variables xi. Dans ce cas on doit tenir compte et de modifier la matrice c et E pour déterminer la solution adéquate aux nouveaux statuts. Par conséquent, on doit à chaque fois, déterminer les λ critiques ( λ c ) relatives à chaque variable xi qui, en appliquant des λ inférieurs à celle-ci, on changera le statut de la variable xi. Ainsi pour une variable qui a un statut down ou up pour un λ donné, λ c y est relatif se calcule de la façon suivante : elle est égale à celle qui annule ∂£ ∂xi puisqu'elle deviendra ainsi à statut in. Année Universitaire 2000/2001

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Donc ∂£ = 0 ⇒ λ ci ∂xi Pour une variable qui avait un statut in, le changement sera ou bien dans le sens d’un statut up ou dans le sens d’un statut down. Le sens de changement dépendra de la valeur de a i puisque l’équation de x i sera x i = A i + a i -

Si a i est négatif, la variable x i a tendance d’atteindre

βii puisqu'on doit noter que α diminuera au fur et à mesure. Par conséquent :

λ ci =

βii - Ai ai Si au contraire a i est positif, la variable x i a tendance à atteindre

-

βsi .

λci =

βsi - Ai ai

Ces valeurs critiques relatives à chaque variable x i permet d’apporter un jugement sur la validité de la solution calculée pour l’ancienne valeur de λ . Ainsi, cette solution admissible lorsque λ sera égale à la plus grande valeur des λ c . Pour cette valeur particulière de λ c on peut déterminer une solution particulière qui y est relative et qu’on caractérisera de solution de coin. •

Déroulement de l’algorithme de la ligne critique :

Notre objectif est de déterminer les portefeuilles efficients relatifs à chaque valeur de. Celle-ci varie de +∞ à zéro.


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Si la valeur de λ est égale à l’infini, comme on l’a déjà annoncé précédemment, l’investisseur ne se préoccupera que du rendement espéré. Par conséquent, il va investir tout son avoir dans le titre le plus élevé. Ce comportement rationnel va caractériser chaque variable x i par un statut de départ qui n’est autre que : -

Le titre qui a le rendement espéré le plus élevé aura un statut in.

-

Les autres titres auront un statut down.

-

On devra alors apporter les changements adaptés à cette situation

et calculer ainsi les différentes proportions x i . La solution trouvée cessera d’être admissible pour λ c la plus élevée de toutes les variables x i , on aura ainsi pour cette valeur de λ un portefeuille coin. On changera par la suite la valeur de λ et on adaptera la matrice c, K et E à ce changement et on calcule de nouveau une solution relative à la nouvelle situation qu’on étudiera l’admissibilité par les λ c des différentes proportions x i . On cessera lorsque la solution demeurera valable ou admissible jusqu’à une valeur de λ = 0. Ceci nous amène à construire les portefeuilles coins pour chaque valeur critique de λ .

⇒ Ainsi par l’intermédiaire de l’application de cet algorithme, on arrive à déterminer les portefeuilles efficients relatifs à chaque valeur de λ tout en tenant compte de différentes contraires de type inégalité imposées aux variables x i telle que la non vente à découvert de titre en imposant des valeurs positives des différentes proportions.

⇒ Mais on constate qu’à chaque changement de λ critique, on doit adapter les matrices c, K et E et inverser c ce qui demande un temps non négligeable, de Année Universitaire 2000/2001

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plus, il faut estimer tous les paramètres de c. Le modèle à indice de sharpe a permis de remédier à ce problème.

3-Modèle à indice de sharpe : Afin de remédier au problème de calcul des différents paramètres de la matrice c et l’inversion de la matrice c, le modèle à simple indice de sharpe a relié le rendement de chaque titre à celui d’un indice général du marché. R jt = a i + b i R I,t + ej t Où R jt est le return du titre j au cours de la période t R it est le return de l’indice I au cours de la période t. e jt est un terme aléatoire qui respecte les hypothèses classiques de l’analyse de régression. Le return du portefeuille s’écrit : R pf = X 1 a 1 + X 2 a 2 +………+ X n a n + R I,t (X 1 b 1 + X 2 b 2 + ……+ X n b n ) +X 1 e 1t +……………..+ X n e nt Si on suppose que X N+1 = X 1 b 1 + X 2 b 2 + ……+ X n b n R pf,t devient : X 1 a 1 + X 2 a 2 +…..+ X n a n + X n+1 R 1,t + x 1 e 1t + …… + x n e nt

 2  E R  = : X 1 a 1 + X 2 a 2 +…..+ X n a n + X n+1 E I  pf,t  2 2   2 2 2 2 2 2 Var R  = X σ + X σ +……… + X σ + X σ  pf,t  1 e1 n+1 I 2 e2 n e  


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 Recherche de portefeuille efficient : La fonction objectif est la même que celle de l’algorithme de la ligne critique :

- λ E pf + σ

2 pf

N

Les contraintes sont : ∑xi=1 i=1

De plus, il faut imposer que X N+1 = X 1 b 1 + X 2 b 2 + ……+ X n b n Les deux contraintes peuvent être combinées comme suit : On a : X n = 1 - X 1 + X 2 + ……+ X n-1 X n+1 = X 1 b 1 + X 2 b 2 + ……+ X n-1 b n-1 + b n - X 1 b 1 - ……- X n-1 b n-1 La fonction objective devient alors : £ = - λ E pf + σ

2

+ γ [X 1 (b 1 – b n )+ X 2 (b 2 – b n )+ ……+ X n-1 (b n-1 – b n )+ b N -

pf

X n+1 ] En supposant que toutes les variables x i ont un statut in, en annulant les dérivées de £ par rapport aux x 1 , ……….x n , x n+1 et γ , on arrive au système d’équations suivant :

∂£ = −λa1 +2x1 σ e21 +γ (b1−bn ) ∂x1 ∂£ = −λa2 +2x2 σ 2 +γ (b2 −bn ) e2 ∂x2 ∂£ = −λan−1 +2xn−1 σ en2 −1 +γ (bn−1−bn ) ∂xn−1


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∂£ = -λan +2xn σ en2 = 0 ∂xn ∂£ = -λE1 +2xn+1 σ12 -γ = 0 ∂xn+1 ∂£ = X 1 (b 1 – b n )+ X 2 (b 2 – b n )+ ……+ X n-1 (b n-1 – b n )+ b N -X n+1 ∂γ Sous forme matricielle, on peut écrire le problème comme suit : CX = K ; avec

0  2σ e21    0 2σ e2n−1 C= 0 0  0 0  b1−bn bn−1−bn

0 0 b1−bn     0 0 bn−1−bn  2σ e2n 0 0  0 2σ I2 −1  0 −1 0 

 λa1   x1         X =  xn−1 ; K = λan−1  λan   xn   λE1   γ   −bn  L’étude que nous avons faite jusqu’à maintenant était concentrée sur la méthode de choix d’un portefeuille efficient qui est constitué exclusivement en actifs risqués.


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Chapitre 4.Introduction de L’actif sans Risque L’introduction d’un actif sans risque dans cette étude se révèle d’une grande importance étant donné qu’un actif sans risque est un actif dont le rendement est certain et la variance est nulle. Ce chapitre se consacrera par conséquent à l’étude de l’introduction d’un tel actif sur le choix d’un portefeuille efficient et arriver à construire, enfin, la frontière efficiente adaptée à ce cas de figure. IDéfinition d’un actif sans risque L’existence d’un actif dont le return est positif et certain et dont le risque est nul requiert la vérification de 4 conditions essentielles qui sont : 1-

Absence de risque de défaut

Cette condition implique qu’il existe au moins un emprunteur pour lequel l’éventualité de non paiement a une probabilité nulle. 2-

Absence de risque d’intérêt ou risque de taux


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Cette condition implique que la valeur cde cet actif à l’échéance est indépendante de toute modification de la structure du taux d’intérêt subséquentes à la date d’émission. Pour un actif présentant une ou plusieurs échéances intermédiaires de distribution des revenus, il y a un effet d’incertitude su le revenu qui produira le réinvestissement des revenus intermédiaires. 3-

Anticipation rationnelle de l’inflation

Cette condition n’implique pas l’absence d’inflation mais l’anticipation de cette dernière, c’est-à-dire que l’investisseur doit être protégé contre le risque de l’inflation par une prime d’inflation adéquate afin de ne pas perdre le pouvoir d’achat des unités monétaires reçues à l’échéance. 4-

Absence de risque de liquidité

C’est-à-dire que l’actif ne doit présenter aucune restriction d’achat ou de vente par les participants au marché. Ainsi, peut être considéré comme actif sans risque, les bons de trésor, les obligations émises par l’Etat. II- Constitution d’un portefeuille optimal et construction de la frontière efficiente : L’investisseur, face à une telle situation d’investissement, va partager son capital entre actifs risqués et l’actif sans risque et ceci afin de réaliser un rendement espéré bien déterminé en minimisant le risque qu’il pourrait courir. Le rendement du portefeuille s’écrit comme suit :


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 x1   avec X =      xn 

E(R pf ) = M' X + rf xn +1

xn+1 étant la proportion relative à l’actif sans risque. M’ : vecteur des rendements espérés des actifs risqués.

V(Rpf ) = X'VX , en effet, l’actif sans risque est de variance nulle. Le problème d’investissement se présente comme suit : Min X’VX Sous contrainte : U’X + x n+1 = 1 La résolution de ce problème après écriture sous forme Lagrangienne donne les résultats suivants : X*=

E0 − rf −1 V Π avec Π = (M - rfU) −1 Π'V Π

(Π - E0 U)' V xn+1 = 1 - U' X* =

-1

Π

-1

Π 'V Π

2

σ* = X*' V X* 2

E0 − rf  −1 −1 σ * =   Π'V VV Π −1  Π'V Π  2

2

σ* =

σ*=

(E0 − rf )2 Π'V Π −1

E0 −rf Π'V Π −1


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT  E0 = Π'V Π . σ * + rf ; C’est l’équation de la frontière efficiente dans le plan −1

écart type rendement espéré. C’est bien l’équation d’une demi droite, d’où l’introduction d’un actif sans risque a bien transformé la frontière efficiente de façon particulièrement simple. •

Portefeuille de marché, portefeuille emprunteur et portefeuille

prêteur -

Portefeuille de marché : Etant donné le portefeuille optimal

choisi par l’investisseur en présence de l’actifs sans risque, on peut définir le portefeuille du marché comme suit : Xm= X* ; X* étant le vecteur d’actifs risqués choisi par l’investisseur. U'X'*

Nous constatons ainsi que le portefeuille du marché est constitué que d’actifs risqués et il est indépendant des préférences de l’investisseur (ne dépend pas de E 0 ) Calculons le rendement et le risque de ce portefeuille : −1

Xm= 1−1 .V Π U'V Π −1

1 − U'X m = 1 − U'

V Π −1

U'V Π

=0

Nous constatons ainsi que le portefeuille du marché n’est constitué que d’actif risqué et qu’il est indépendant des préférences de l’investisseur (ne dépend pas de E 0 . Calculons le rendement de ce portefeuille :


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT −1

V Π

Um = M'Xm = M' −1 U'V Π 2

σ =X'mVXm m −1

2

Π'V Π

m

−1   U'V Π   

σ =

2

−1

σm=

Π'V Π −1

U'V Π

On peut bien montrer que le point (σ m , U m ) est bien un point de la frontière efficiente que ce soit construite sans actif sans risque ou avec l’actif sans risque. Ainsi, c’est le point de tangence entre les 2 frontières efficientes. Le portefeuille de marché est bien un portefeuille optimal puisque Um>b . c III-Signification économique du portefeuille du marché :  Notion de l’équilibre du marché financier : Le portefeuille du marché correspond à l’équilibre du marché financier qui se défini par l’égalité entre l’offre et la demande de chaque actif risqué présent sur le marché. L’atteinte d’un tel équilibre requiert tout d’abord que les prix s’établissent de manière que pour chaque actif, la demande soit exactement égale à l’offre. Par conséquent, si deux actifs présentent le même vecteur pay-off conditionnels aux états de la nature, doivent avoir le même prix : C’est la loi de l’unicité du prix. Année Universitaire 2000/2001

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Si par ailleurs, les ventes à découvert sont permises, une seconde condition doit être vérifiée à fin de réaliser l’équilibre du marché. Cette condition n’est autre que l’impossibilité de réaliser un profit d’arbitrage sans risque. Une différence de prix entre deux actifs risqués ou deux portefeuilles qui ont le même vecteur de rendement conditionnellement aux états de nature présente aux investisseurs une opportunité d’arbitrage sans risque puisque ceuxci se comportant de manière rationnelle doivent vendre à découvert le titre ou le portefeuille le plus coûteux pour acheter le moins cher. D’une manière générale, on peut dire que la condition de l’unicité de prix est la condition fondamentale pour atteindre l’équilibre du marché financier. •

Composition du portefeuille du marché

Etant donné que le portefeuille du marché est un portefeuille d’équilibre, les proportions de chaque titre doivent correspondre à l’égalité entre l’offre de chaque titre et sa demande. La demande d’un titre sera égale à la somme des demandes individuelles de chaque investisseur. j = proportion relative au titre j Ainsi, soit xm

d jk : demande de l’investisseur k en titre j. −k  k  j −k  j  djk = W k 1−x x ; En effet, x =1−x x j  n+1 m  n+1 m k

−k

k

X =U'X Xm et U'X =1−x

k

n+1

w k étant le capital investi par l’investisseur. A l’équilibre :


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT k

∑djk = Sj : offre du titre j. j=1

Calculons la capitalisation boursière : S m . n

Sm=∑ Sj j=1

n K

Sm=∑

∑djk

j=1 k=1

k  j  Sm=∑ ∑W k1−x  x  n+1 m j=1 k=1 n K

n

Sm=∑ x

j K

 

  n+1

∑W k1−x

j=1 m k=1

k

K k   Sm = ∑W k1−x  n+1  k =1

j

j

D’où : Sj=Smx  x = Sj m m Sm Par conséquent, la proportion x j relative à chaque titre composant le portefeuille du marché est égale à l’importance des fonds propres de chaque entreprise par rapport à la capitalisation boursière. •

Portefeuille emprunteur, portefeuille préteur :

Etant donné que le portefeuille du marché est un portefeuille optimal (efficient), tout portefeuille efficient choisi par un investisseur sera une combinaison linéaire du portefeuille du marché et de l’actif sans risque :


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 1  Xm   X*   αXm  = α  + (1−α)   =  0  0   xn+1  1−α          -

Pour α = 1, le portefeuille choisi par l’investisseur sera exclusivement

constitué de titres risqués et égal au portefeuille du marché.

-

Pour α = 0, le portefeuille choisi par l’investisseur est composé en sa

totalité par l’actif sans risque. 0<α<1

Pour 0 < α < 1, le portefeuille choisi est composé par les actifs risqués et

l’actif non risque par conséquent ce portefeuille est prêteur puisque la proportion relative à l’actif sans risque est positive (1- α ) > 0.

-

Pour α > 1, (1- α ) est négative, la proportion relative au titre sans risque

est négative, il s’agit d’un emprunt fait par l’investisseur afin d’augmenter le capital investi en actifs risqués.

α>1

Rendement 0< α <1 Um

M

Rf

σm Risque Année Universitaire 2000/2001

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Chapitre 5.La diversification temporelle Beaucoup de chercheurs ont tenté de mesurer l’effet de la diversification temporelle qui consiste à allonger la période de détention d’un portefeuille d’actions au lieu d’augmenter le nombre d’actions. Tout d’abord, on calcule le rendement annuel moyen R n pour chacune des années N à partir des valeurs mensuelles R t . Année Universitaire 2000/2001

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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT 12

Rn =1/12∑ Rt t =1

La variance de ces rendements annuels moyens est calculée comme suit : N

Var(Rn)=1/ N ∑(Rn − Rn)2 n =1

Les études empiriques présentées ci-dessus ont montré que si l’on prolonge la période de détention des titres de N périodes à P périodes on aura : Var(Rp) < var(Rn) Don le risque du portefeuille a été ainsi réduit grâce à la diversification temporelle. Parmi ces études, on peut citer celle réalisée par Ibbotson et Sinquefield qui ont calculé les moyennes des séries de rendements mensuels des échantillons de titres (obligation ; action) sur une période s’étalant de 1926 à 1981 ensuite ils ont calculé les moyennes annuelles à l’aide de la méthode présentée. Cette étude a monté que les moyennes annuelles sont sensiblement différent es des moyennes sir la totalité de la période. C’est par exemple, pour les actions la moyenne des rendements annuels est de 9.1% alors que l’année 1931 enregistra un rendement de –43.34% et 1933 enregistre 53.99%. Ces constructions montrent clairement que la détention du portefeuille sur une période plus longue amortit la variabilité des rendements autour de la valeur moyenne et diminue ainsi le risque. Lloyd et Modani ont retenu les statistiques calculées par Ibboston et Sinququefield sur une période de 1946 à 1980 puis pour chaque période (1année, 2 année, 3année…). Année Universitaire 2000/2001

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Ils divisent le rendement moyen par l’écart-type pour avoir le rendement annuel par unité de risque. Les auteurs constatent que le rendement par unité de risque augmente lorsque la période de détention augmente. Voulant comparer l’efficacité de la diversification dans le temps et celle dans l’espace Lloyd et Haney ont porté leur étude sur un échantillon de 100 actions et ont calculé leurs rendements sur 12 semestres entre 1971 et 1976 tout en constituant des portefeuilles avec un nombre de titres croissant. Les résultats ont montré que la diversification est plus intéressante en terme de réduction de risque que la diversification sur les marchés. La détention de 1 à 12 semestres d’un portefeuille de 1 titre permet de réduire l’écart-type de 0.359% à 0.055% soit une différence de 0.304%. alors que l’augmentation de nombre des titres de 1 à 100 ne diminue le risque que de 0.359% à 0.267% soit 0.092% sur une période d’un semestre. Ces études prouvent que la diversification temporelle d’un portefeuille permet de réduire son risque. Cette conclusion a été critiquée par plusieurs auteurs qui estiment que le mode de calcul des paramètres utilisés dans ces tests n’est pas pertinent. En effet selon ces auteurs, dont fait partie R.McEnally, la véritable mesure du risque pour l’investisseur n’est pas la variance des rendements moyens mais la variance de la série de rendements sur l’ensemble de la période.


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Chapitre1. Présentation du marché financier tunisien : I.Rôle du marché financier : Le marché financier peut être défini comme un lieu de rencontre entre une offre et une demande de capitaux dont le support est une valeur mobilière, action, obligation ou nouveaux produits financiers (billets de trésorerie, certificat de dépôt, etc..) En tant qu’institution économique le marché ,est appelé à remplir différentes fonctions qui peuvent être regroupées autour des missions principales suivantes : Année Universitaire 2000/2001

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-Circuit de financement de l’économie permettant de drainer les ressources d’épargne disponibles et d’assurer leur canalisation vers ceux qui en ont besoin (les entreprises pour l’essentiel) . -Un instrument organisant la liquidité de l’épargne investie à long terme. Cette deuxième fonction assurée par le marché secondaire, où bourse de valeurs mobilières, est aussi importante que la première car si les produits financiers proposés ne soient pas suffisamment liquides, les épargnants hésiteraient à s’engager. -Un instrument d’allocation des ressources d’épargne entre les différents secteurs d’activité, d’une manière plus précise, on attribue au marché financier la faculté d’orienter l’épargne valeur en priorité vers les secteurs d’activité les plus performants économiquement. -Un outil de mesure de la valeur des actifs, en affichant à chaque séance de bourse un cours pour un titre donné, le marché financier (le compartiment bourse) constitue un instrument de mesure de la valeur des entreprises à côté des autres techniques d’évaluation (analyse des bilans, expertise de l’outil de production etc..)

II Organisation du marché financier tunisien :

1Historique : La première étape : Commence de la date de création de la bourse en 1969 ( pour la loi 69-13 du 28-02-59) jusqu’à 1989, date de la première réforme. Dans cette étape le marché financier n’a pas joué son rôle dans : -

Le financement des entreprises, puisque ce dernier se faisait

presque exclusivement par recours au crédit bancaire et le lancement des emprunts obligataires qui exigeaient l’autorisation de l’état. -

La mobilisation de l’épargne, en effet : *la bourse était un simple bureau d’enregistrement *la liquidité était faible


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*le rendement était faible *la fiscalité était lourde

La deuxième étape : Entre 1989 et 1994, est caractérisée par un engagement de réformes qui sont reportées sur deux échéances : -Une première réforme juridique dans le cadre de la loi N°89-49 du 08-031989, cette première réforme a maintenu le cumul de la fonction de contrôle et de réglementation d’une part et la gestion professionnelle des valeurs mobilières d’autre part par une structure unique qui s’appelle le conseil de la Bourse de Tunis qui est sous la tutelle du ministère des finances. -Une deuxième réforme dans le cadre de la loi N°94-117 du 17-11-1994, dans cette réforme, l’organisation

le fonctionnement du marché financier vont être

réexaminés. L’examen apporté sur les quatre axes suivants : *la réorganisation des structures boursières. *la réforme de l’intermédiation en bourse. *la création d’une société spécialisée dans la compensation de dépôts et la garde des titres (STICODEVAM) . *la possibilité aux investisseurs étrangers d’accéder à la bourse Tunis. La troisième étape : Est caractérisée parla mise à niveau du système de négociation par l’installation d’un logiciel acquis à la bourse de Paris pour avoir un nouveau système de cotation électronique.

2/Structure du marché financier :

La restructuration du marché financier a permis la création de quatre institutions à savoir : -Le conseil de marché financier « C.M.F » Année Universitaire 2000/2001

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-La bourse des valeurs mobilières de Tunis « BVMT » -La société tunisienne interprofessionnelle de compensation et de dépôt de valeurs mobilières « STICODEVAM » (démarrage le 15-11-1995) . -Le fonds de garantie marché « FGM » .

Le conseil du marché financier : Le conseil du marché financier est chargé de veiller à la protection de l’épargne investie en valeurs mobilières, produits financiers négociables en bourse et tout autre placement donnant lieu à un appel public à l’épargne. Il est chargé d’organiser et de veiller au bon fonctionnement des marchés de valeurs mobilières et de produits négociables en bourse. Le CMF assure la tutelle des organismes de placement collectif en valeurs mobilières : la BVMT, les intermédiaires en bourse et la STICODEVAM sont soumis au contrôle permanent du CMF. Ne sont pas soumis au contrôle du CMF les marchés d’instruments crées en représentation des opérations de banques ou de bons ou de billets à cours terme négociables sur les marchés relevant de la BCT.

Le CMF dispose de toutes les prérogatives qui lui sont nécessaires pour mener les missions qui lui sont attribuées en vertu des lois et règlements en vigueur, ainsi que les prérogatives nécessaires à l’administration des services qu’il crée à cette fin. Notons enfin que le CMF peut, dans l’exercice de sa mission, collaborer avec les organismes étrangers homologués ou assumant les attributions équivalentes aux siennes et signer des accords avec ces organismes après l’approbation des autorités tunisiennes compétentes.

La bourse des valeurs mobilières de Tunis : La B.V.M.T est essentiellement chargée de : Année Universitaire 2000/2001

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-Mettre en place les structures techniques et administratives nécessaires à l’installation du marché et qui sont de nature à assurer la sécurité matérielle et juridique des opérations dans les conditions requises de célérité. -Se prononcer sur l’admission et l’introduction des valeurs mobilières et produits financiers à la côte de la bourse et leur radiation ainsi que sur la négociabilité des produits financiers sur les marchés, sauf opposition du CMF. -Enregistrer les opérations effectuées et les cours établis sur ces marchés. -Suspendre l’ensemble de la cotation d’une valeur mobilière ou d’un produit financier chaque fois qu’il y a un risque technique ou un risque en relation avec l’information financière la variation inhabituelle des cours et en informant sans délai le CMF. -Publier les informations relatives aux opérations, les cours, les avis et communiqués dont la publicité est exigée par la loi. -Veiller à la conformité des opérations effectuées sur le marché, à la réglementation et aux procédures en vigueur. -Dénoncer dés qu’elle en a connaissance au CMF les opérations, agissements, pratiques, documents et faits contraires à la loi. -Etablir les règlements de parquet et les soumettre à l’approbation du CMF. -Gérer le fond de garantie marché visé à l’article 62 de la présente loi. -Formuler au CMF, les propositions et avis sur les questions rentrant dans son objet et relatives au développement du marché.

La société tunisienne interprofessionnelle de compensation et de dépôt de valeurs mobilières : En tant qu’intervenant la STICODEVAM a pour objet de mettre en place un système informatisé pour la compensation et le dépôt des valeurs mobilières, en vue de permettre aux personnes physiques ou morales exerçant les professions bancaires ou boursières, de placer les valeurs mobilières dont elles sont dépositaires ou dont elles assurent la négociation, sous le régime des comptes courants des valeurs mobilières. Année Universitaire 2000/2001

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La société exerce, en conséquence, les attributions suivantes : -Ouvrir des comptes courants de valeurs mobilières aux noms des intermédiaires en bourse, banques, établissements financiers, ou autres organismes publics ou privés exerçant une activité financière, bancaire, ou boursière, dont elle aura accepté l’application. -Inscrire dans les comptes courants précités, les titres ainsi reçus en dépôt ou ainsi immatriculés à son nom et opérer tout virement comptable entre ces comptes. -Et généralement effectuer toutes les opérations d’ordre bancaire et commercial telles que définies par la loi en vigueur ainsi que, éventuellement, par toute disposition légale ou réglementaire ultérieure.

Le fond de garantie marché : Ce fond récemment constitué par les intermédiaires en bourse donne au marché financier tunisien un nouveau statut. En effet seul il pouvait garantir aux intermédiaires et à leurs clients la bonne fin de la transaction réalisée dans tous les cas de figures car même si l’intermédiaire vendeur ou acheteur tombe en faillite, le fond se substitue à lui pour livrer à l’autre partie de la transaction, soit des titres soit les fonds. Donc pour le financement du fond de garantie de marché, tous les intermédiaires en bourse négociant dans le système électronique contribuent à ce financement. Il existe trois types de contribution : -contribution initiale égalitaire entre tous les intermédiaires. -contribution régulière versée en fonction du risque de marché de chaque intermédiaire. -contribution exceptionnelle versée dans le cas où les deux premières contributions ne suffiraient pas à couvrir le défaut.


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Chapitre2. Application du modèle : I.Collecte des données : Les données nécessaires à notre étude sont les cours et les dividendes des différents titres collectés auprès de la bourse des valeurs mobilières de Tunis ainsi que les taux d’intérêt des bons de trésor émis par la banque centrale de la Tunisie sur la période d’observation. Celle-ci concerne les six dernières années à savoir :1995, 1996, 1997, 1998, 1999, et 2000. Année Universitaire 2000/2001

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Pour le choix de l’échantillon, on a éliminé certains titres dont les cotations peu régulières, et on a éliminé toute nouvelle action introduite en bourse durant la période d’analyse. L’échantillon retenu est constitué par les 23 titres suivants : ATB : Arab Tunisian Bank BDET : Banque de Développement Economique de Tunisie BIAT : Banque Internationales Arabe de Tunisie BNDT : Banque Nationale de Développement Touristique BNA : Banque Nationale Agricole BS : Banque de Sud BT : Banque de Tunisie STB : Société Tunisienne de Banque UBCI : Union Bancaire pour le Commerce et L’industrie BTEI : Banque Tunisienne et des Emirats d’Investissement AMEN : Amen Banque BH : Banque de l’Habitat TL : Tunisie Leasing SFBT : Société Frigorifique et de Bière de Tunisie AMS : les Ateliers Mécaniques du Sahel ICF : Industries Chimiques du Fluor PALM BEACH : Palm Beach Hotel Tunisia TAIR : Tunisair PLACTN: Placement de Tunisie STIL : Société Tunisienne de l’Industrie de Lait MONOPRIX : Magasin Monoprix UIB : Union Internationales de Banque SITEX : Société Industrielle de Textile Tout programme amenant à déterminer un portefeuille efficient se base sur les deux critères principaux critères d’efficience à savoir le rendement espéré et le Année Universitaire 2000/2001

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risque, ceux-ci sont approchés respectivement par la moyenne des rendements et par la variance. Nous procèderons alors à l’estimation des moyennes des rendements de chaque titre ainsi qu’à la détermination de la matrice variance-covariance, pour cela nous nous baserons sur le logiciel Excel de Microsoft.

II. Estimation des rendements et de la matrice variancecovariance : Nous avons retenu deux horizons d’investissement. Le premier s’étale sur une période d’un mois et le deuxième sur une période d’un an. 1/Estimation des rendements : Le taux de rendement d’une action à l’instant t se présente comme la somme des plus-value en capital et des dividendes rapportée au cours de l’action au début de la période. Dans notre cas c’est la différence entre le cours de fin du mois (ou de l’année) et le cours de début du mois (ou de l’année) à laquelle on ajoute un dividende si ce dernier est distribué, le tout est rapporté au cours de début du mois ( ou de l’année). Formellement le taux de rendement se calcule comme suit : -pour le rendement mensuel : t-1 + Dt Rt = Ct - C (1) Ct-1

Avec Ct =cours de l’action à la fin de période t.

Ct-1 =cours de l’action à la fin de période t-1. Dt =le dividende encaissé à la fin de période t. -pour le rendement annuel : Année Universitaire 2000/2001

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(

)

Ct - 1 (2) Rt = CxdC+t-1Dt × C xd Avec C xd =cours de l’action après distribution du dividende. Etant donné que le dividende est distribué au cours de l’année. Index 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Nom de société ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX

rendement mensuel -0,0049 -0,0083 -0,0018 0,0007 -0,0051 -0,0037 -0,0023 -0,0008 -0,0019 0,0092 -0,0041 -0,0143 0,002 0,0266 0,0111 0,006 -0,0013 0,0055 0,0124 -0,0025 0,0026 -0,0068 -0,0037

rendement annuel -0,18675338 -0,07525081 -0,01703635 -0,117145 -6,37E-02 -0,13882515 -0,04579381 -0,00157851 -0,05345541 0,09475681 -0,06661029 0,00630445 0,03820565 0,46190027 0,13280111 0,05329894 -0,12407294 0,03199674 0,07825794 -0,03627399 0,03975318 0,03176739 -0,06296821

2/ Estimation de la matrice variance-covariance : A partir des rendements moyens, on peut calculer la matrice variancecovariance qui détermine à la fois, la volatilité du rendement de chaque titre autour de sa moyenne et la covariance entre les rendements des différents actifs ; c’est à dire la dépendance entre les évolutions des rendements des titres. Les annexes 1 et 2 donnent les matrices variance-covariance relatives, respectivement, aux horizons mensuel et annuel.

III. Présentation du programme : Année Universitaire 2000/2001

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Sous la forme matricielle, le programme se présente comme suit :

Min X’VX Sous contraintes DX=d

Avec X : vecteur de la composition du portefeuille (23 composantes) V : matrice variance-covariance (carré d’ordre 23)

M' D=  U'  M : vecteur des rendements espérés des différents titres (23 composantes) U : vecteur unitaire (23 composantes)

E* d =   1  E*=rendement espéré par l’investisseur Cette présentation étant relative à un problème de minimisation à deux contraintes ( ∑X i =1 et M’X=E*) qu’on peut élargir en introduisant par exemple la contrainte de la non possibilité de vente à découvert (X i >=0). L’introduction d’un actif sans risque de rendement espéré rf dans l’ensemble des titres qui peuvent faire partie du portefeuille choisi par l’investisseur, changera les deux contraintes qui deviennent : ( ∑X i + x n+1 = 1 ) et ( M’X + x n+1 rf =E*) Pour cela, nous avons eu recours au logiciel ″Solveur″ du menu outils du logiciel Excel.

IV. Analyse des résultats : Année Universitaire 2000/2001

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1/Résultats mensuels : Afin de mener une analyse fine et intéressante nous avons procéder à : -La construction de la frontière efficiente pour les deux cas possibles :avec ou sans possibilité de vente à découvert. -La détermination de la composition des portefeuilles, en prenant des rendements différents : 0.02, 0.01 et 0.001 et ceci dans les deux cas de figure prédéfinis. -L’étude de l’influence de l’introduction de l’actif sans risque (dans notre cas, il s’agit d’un bon de trésor de rendement annuel 5.875%) dans la construction de la frontière efficiente ;toujours dans les deux cas possibles. Et aussi, son impact dans la composition des portefeuilles à rendements : 0.02, 0.01 et 0.001. -La détermination des caractéristiques du portefeuille de marché. -Mettre en évidence la relation entre la part du capital investi dans les titres risqués et le rendement espéré du portefeuille, aussi dans les deux cas possibles.

2/ Analyse des résultats mensuels :

-A partir du vecteur rendement des titres nous remarquons la dominance des rendements négatifs (à raison de 60% des titres) avec un rendement maximum enregistré par la SFBT (2.66%). -La matrice var-cov montre plutôt des relations positives entre les évolutions des rendements des titres à l’exception de AMEN qui est négativement corrélé avec plusieurs titres (BIAT, BDET, BNA etc..). -A partir des deux graphiques de la frontière efficiente, on remarque bien que la frontière ″sans possibilité de vente à découvert″ garde l’allure d’une hyperbole comme celle dans le cas de la possibilité de vente à découvert.


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Rendement espéré

Frontière efficiente (possibilité de vente à découvert) 0,015 0,01 0,005 0 0

0,01

0,02 Ecart-type

0,03

rendement espéré

Frontière efficiente (sans possibilité de vente à découvert) 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 0

5

10

15

20

risque: écart-type


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Pour le cas de la vente à découvert l’extremum de la frontière efficiente a les caractéristiques suivantes : Le portefeuille à risque min Xs composition ATB 0,00798787 BDET -3,5305E-05 BIAT -0,01002568 BNDT 0,05400995 BNA 0,04970318 BS 0,05714023 BT 0,08948878 STB -0,01495475 UBCI -0,04315803 BTEI 0,16933711 AMEN 0,28737399 BH -0,06362515 TL 0,02712059 SFBT -0,01137143 AMS -0,09156043 ICF 0,17875697 PALM -0,03992076 TAIR 0,01723695 PLACTN 0,1826526 STIL 0,02028347 MONOPRIX 0,13408663 UIB -0,02596205 SITEX 0,0254353 Total 1

-La comparaison des portefeuilles à rendement 0.02, 0.01 et 0.001 dans les deux cas de figure laisse dégager les interprétations suivantes : Détermination de la composition du portefeuille à un rendement donné(avec vente à découvert)

Rendement

0,02

Rendement

0,01

Rendement

0,001

Variance

0,00158717

Variance

0,00061191

Variance

0,00044868

Index ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT

X -0,09923545 -0,09801636 -0,21483034 0,21913804 -0,08852786 0,0526374 -0,19416859


X -0,03508627 -0,03939624 -0,09128123 0,1208368 -0,00524805 0,05518772 -0,02408444


X 0,02248675 0,01320818 0,02064847 0,03313256 0,07005397 0,05732501 0,12890918


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX

0,12134679 0,02372162 0,45904133 0,06072364 -0,16243535 0,03330116 0,14839856 -0,04344947 0,20513203 -0,13084321 0,00481047 0,43058316 -0,0043332 0,28652135 -0,06858672 0,05907101

STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX

0,03934327 -0,01626425 0,2855096 0,19636003 -0,10316316 0,02879238 0,05262782 -0,07212507 0,18911436 -0,07630943 0,01223816 0,28154717 0,01044997 0,194961 -0,04292524 0,03891509

STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX

-0,03471114 -0,05211913 0,12959288 0,31810485 -0,04982672 0,02392137 -0,03349123 -0,09773033 0,17448774 -0,0272338 0,01889336 0,14708371 0,02377189 0,11242074 -0,01973041 0,02080213

Composition des portefeuilles (sans possibilité de vente à découvert) Rendement

0,02

Rendement

0,01

Rendement

0,001

Variance

0,006754889

Variance

0,00129929

Variance

0,00061217

Index

X

Index

X

Index

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX

0 0 0 0 0 0,0212421 0 0 0 0,39696845 0,06775692 0 0 0,11857273 0 0,07225807 0 0 0,23891207 0 0,07413781 0 0,01015185

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX

ATB 0 BDET 0 BIAT 0 BNDT 0 BNA 0 BS 0 BT 0 STB 0 UBCI 0 BTEI 0,056400919 AMEN 0 BH 0 TL 0 SFBT 0,547991754 AMS 0 ICF 0 PALM 0 TAIR 0 PLACTN 0,395607328 STIL 0 MONOPRIX 0 UIB 0 SITEX 0

X 0 0 0 0,04164074 0,05346798 0,05910188 0,11971253 0 0 0,1696307 0,2927479 0 0 0 0 0,05824225 0 0,01499075 0,07509119 0,01400265 0,06770111 0,00072631 0,032944

*l’augmentation du rendement espéré s’accompagne d’une augmentation du risque. Année Universitaire 2000/2001

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*Pour un même rendement, l’interdiction de la vente à découvert oblige l’investisseur à subir un risque plus élevé. *Dans le cas de la non possibilité de ventes à découvert, l’augmentation du rendement espéré laisse l’investisseur s’orienter vers les titres les plus rentables au détriment des titres les moins rentables qui au paravent avaient des proportions négatives c’est à dire étaient vendus à découvert. -L’introduction de l’actif sans risque permet de construire les deux frontières efficientes suivantes :

Frontière efficiente (avec possibilités de ventes à découvert) rendement espéré

0,25 0,2

0,15 0,1

0,05 0 0

0,2

0,4

0,6

écart-type


Page 77


rendement espéré

Frontière efficiente (sans possibilité de ventes à découvert) 0,03 0,02 0,01 0 0

0,05

0,1

0,15

écart-type Il s’agit de deux droites qui ont pour ordonné à l’origine le point (0 ; 0.004985). Ce sont les caractéristiques de l’actif sans risque puisque son risque est nul et son rendement mensuel est de 0.4985%. -La non possibilité de ventes à découvert permet d’établir une limite de rendement attendu ou espéré qu’on peut atteindre. Cette limite étant égale à 2.66% et le portefeuille critique étant composé en totalité du titre SFBT. -La détermination des caractéristiques du portefeuille du marché selon le modèle de Markowitz donne : X m =(V-1Π)/(U’V-1Π)

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB

X 0,40152883 0,35948669 0,75776667 -0,54404077 0,56613095 0,07134191 1,13637616 -0,52243278


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX total rendement variance

-0,28814868 -0,89703417 1,11961698 0,30137685 -0,00853338 -0,60049901 -0,2662881 0,07818655 0,29589799 0,06269514 -0,73839703 0,11149606 -0,43110137 0,133039 -0,09846448 1 -0,05826128 0,01627638

Ces résultats sont inattendus puisque le rendement de ce portefeuille est négatif. Ceci peut être expliqué par d’une part l’existence de proportions négatives, d’autre part les rendements négatifs de la majorité des titres( 60% des titres ont des rendements négatifs). Donc l’atteinte de l’équilibre du marché boursier tunisienne peut pas être possible selon le modèle de Markowitz qui se base sur un vecteur des rendements espérés qui est positif. -La comparaison entre les portefeuilles de rendement 0.02, 0.02 et 0.001 dans les deux cas de figure en présence de l’actif sans risque laisse dégager les mêmes interprétations que dans le cas de la non présence de l’actif sans risque : Composition des portefeuilles en variant le rendement espéré avec possibilités de ventes à découvert

Rendement

0,02

Rendement

0,01

Rendement

0,001

Variance

0,00091736

Variance

0,00010242

Variance

6,4617E-05


-0,09520923 -0,08510073 -0,18009247 0,12851245 -0,13478529 -0,01683142 -0,2698123 0,12399439


-0,03267614 -0,03045802 -0,05899277 0,04760628 -0,04238741 -0,00601864 -0,08882514 0,04124383


0,02521494 0,02245114 0,04784784 -0,03382867 0,03592749 0,00445927 0,07173361 -0,03293591


Page 79

Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX Rf

0,06842245 0,21303837 -0,26570101 -0,07153348 0,00263263 0,14248621 0,06317675 -0,01849026 -0,07032963 -0,01483339 0,17538918 -0,02646826 0,10240255 -0,03167725 0,02344761 1,23736213

UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX Rf

0,02408208 0,06845 -0,09042429 -0,02414825 -0,002819 0,0482285 0,02121374 -0,00601463 -0,02420694 -0,00528219 0,05821645 -0,00885625 0,03560786 -0,01060998 0,0079516 1,07911933

UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX Rf

-0,01803039 -0,05679247 0,07037638 0,01896454 -0,0008885 -0,03777399 -0,01676963 0,00494823 0,01856758 0,00391825 -0,04655789 0,00702304 -0,02701681 0,0083755 -0,00618876 0,93697522

Composition des portefeuilles en variant le rendement espéré sans possibilités de ventes à découvert Rendement

0,02

Rendement

0,01

Variance

0,00675376

Variance

0,00067752

Variance

0,00018366

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX Rf

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,15419393 0 0 0 0,14659295 0,00982741 0 0 0 0,15318594 0 0 0 0 0,53619977

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIB SITEX Rf

0,01596914 0,01937877 0 0 0,04929361 0,02882931 0,09089272 0 0 0 0,1667617 0,01518147 0 0 0 0 0 0 0 0,00618334 0 0,016044 0,01348513 0,57798082

ATB 0 BDET 0 BIAT 0 BNDT 0 BNA 0 BS 0 BT 0 STB 0 UBCI 0 BTEI 0,05646803 AMEN 0 BH 0 TL 0 SFBT 0,54793644 AMS 0 ICF 0 PALM 0 TAIR 0 PLACTN 0,39559553 STIL 0 MONOPRIX 0 UIB 0 SITEX 0 Rf 0

Rendement 0,00099975

Toutefois la comparaison de ces portefeuilles avant et après introduction de l’actif sans risque s’avère plus intéressante. En effet pour le cas de vente à découvert on remarque que les proportions négatives sont plus importantes en Année Universitaire 2000/2001

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nombre et en valeurs et que les proportions positives ont diminué et ceci au profit de l’actif sans risque dont la proportion est supérieure à 1 pour les différents portefeuilles. Pour le cas de non possibilité de vente à découvert, la proportion de l’actif sans risque tend à diminuer au profit des titres les plus risqués. -Les deux graphiques suivants mettant en relation la part du capital investie dans les titres risqués et le rendement espéré pour les deux cas de figure soutiennent les deux interprétations que nous avons dégagé dans ce qui précède.

part du capital

Evolution de la part du capital investie dans les titres risqués en fonction du rendement éspéré 1 0 -1 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

-2 -3 -4 rendement espéré


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part du capital

Evolution de la part du capital investie dans les titres risqués (sans possibilité de vente à découvert) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,01

0,02

0,03

rendement espéré

En effet pour le cas de possibilité de ventes à découvert la relation entre rendement espéré et part du capital investie dans les titres risqués est plutôt négative. Dans le cas de la non possibilité de ventes à découvert la relation ces deux paramètres est plutôt positive jusqu’à un rendement de ( 1.6%) à partir duquel la part du capital investie dans les titres risqués reste constante et égales à 1 et ceci jusqu’à la limite de rendement qu’on a déjà définie(0.0266). En se basant sur la caractéristique que le portefeuille du marché est constitué en totalité par les actifs risqués, on peut affirmer que le rendement de ce portefeuille appartient à l’intervalle [ 0.016 ;0.0266] ce qui peut représenter l’équilibre réel du marché.

3/ Résultats annuels : Dans cette étude nous allons : -construire la frontière efficiente sans et en tenant compte de la possibilité de ventes à découvert. -Déterminer la composition des différents portefeuilles en variant le rendement espéré (0.1 ; 0.2 ; 0.25) et ceci pour les deux cas de figures. Année Universitaire 2000/2001

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4/Analyse des résultats : -A partir du vecteur des rendements espérés on remarque l’importance des rendements négatif en valeur et en nombre. -D’après la matrice variance-covariance, on remarque : -L’existence de covariances négatives donc des relations négatives entre l’évolutions des rendements de plusieurs titres tels que le titre BT avec celui de l’ATB,BNA,BNDT, ….Ces covariances sont élevées en termes de valeur absolue (>1%). -L’existence des covariances qui sont très faibles telle cov(BS,BTEI) qui égale à 2.7 10-7 . -La frontière construite en tenant compte de la possibilité des ventes à découvert laisse dégager une opportunité d’investissement très importante puisque le risque relatif aux différents rendements attendus est minime qu’on peut approcher par zéro : L’écart type pour un rendement annuel de 45% est de l’ordre de 10-6. Ceci peut s’expliquer : -Soit par la vente à découvert des titres qui sont négativement corrélés. -Soit par les proportions positives des titres qui sont négativement corrélés ; ce qui permet à la diversification de pleinement son rôle de remède contre le risque.


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Frontière efficiente avec possibilité de vente à découvert Rendement espéré

2 1,5 1 0,5 0 0

0,00000002 0,00000004 0,00000006 Risque:écart-type

-L’interdiction de la vente à découvert donne des résultats qui sont plus réalistes vue que les variances ne sont plus minimes et atteignent 64.6% pour un rendement de 45%.

Frontière efficiente (sans ventes à découvert) rendement espéré

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

écart-type

Ceci est confirmé par la comparaison qu’on amènera sur les portefeuilles à rendement 0.1, 0.2 et 0.25 dans les deux cas énoncés. Année Universitaire 2000/2001

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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT composition des portefeuilles efficients en variant les rendements espérés(avec possibilité de vente à découvert)

rendement

0,1

rendement

0,2

rendement

0,25

variance

1,7911E-15

variance

5,5747E-15

variance

3,501E-14

Nom ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BANK BH TL SFBT AMS ICF PALM BEACH

X -0,337748 0,03283404 0,2521568 0,00538371 0,07095785 0,01275851 0,07477458 0,00518425 0,00139621 0,05454435 0,02257125 0,01346282 0,09192492 0,01104189 -1,555E-05 0,63778954 -0,0085698

Nom ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BANK BH TL SFBT AMS ICF PALM BEACH TUNISAIR PLACTSIE STIL MONOPRIX UIB SITEX

X -0,74867853 0,07090513 0,32053241 0,01517293 0,15601333 0,02875552 0,03719736 0,0140486 0,00192665 0,11710508 0,05169229 0,03754298 0,15004005 0,04512077 0,01256487 0,7376056 -0,02265046

Nom ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BANK BH TL SFBT AMS ICF PALM BEACH

X -0,9541451 0,0899407 0,3547204 0,0200677 0,1985412 0,0367543 0,0184087 0,0184809 0,0021922 0,1483855 0,066253 0,0495832 0,1790977 0,0621599 0,0188549 0,7875135 -0,0296907

TUNISAIR 0,10156426 PLACTSIE 0,02035581 STIL -0,0031317 MONOPRIX 0,02625817 UIB -0,0493863 SITEX -0,0361077

0,07807168 0,04453749 -0,00644652 0,05576027 -0,11152223 -0,08529528

TUNISAIR 0,0663255 PLACTSIE 0,0566284 STIL -0,0081038 MONOPRIX 0,0705114 UIB -0,1425902 SITEX -0,1098892

composition des portefeuilles efficients pour un rendement donné (sans possibilité de vente à découvert)

Rendement

0,1

Rendement

0,2

Rendement

0,25

Variance

0,0082721

Variance

0,08143536

Variance

0,15076631

nom X ATB 0 BDET 0 BIAT 0 BNDT 0 BNA 0 BS 0 BT 0 STB 0 UBCI 0 BTEI 0,4012003 AMEN BANK 0 BH 0




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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT TL 0 SFBT 0,073791 AMS 0 ICF 0,5211138 PALM BEACH 0

TL 0 SFBT 0,32866937 AMS 0 ICF 0,37207945 PALM BEACH 0

TUNISAIR 0,0038949 PLACTSIE 0 STIL 0 MONOPRIX 0 UIB 0 SITEX 0

TUNISAIR PLACTSIE STIL MONOPRIX UIB SITEX

0 0 0 0 0 0

TL SFBT AMS ICF PALM BEACH TUNISAIR PLACTSIE STIL MONOPRIX UIB SITEX

0 0,4566844 0 0,2996899 0 0 0 0 0 0 0

En effet pour un même rendement attendu le portefeuille optimal est plus risqué dans de la non vente à découvert qu’avec possibilité de ventes à découvert.

Conclusion générale L’objectif de notre étude a été de cerner, l’apport de la théorie au problème de sélection de portefeuille. Par la suite, on a essayé d’appliquer le modèle de moyenne-variance sur la BVMT en prenant au premier lieu des rendements mensuels ensuite des rendements annuels. Cette application a permis de retrouver beaucoup de résultats théoriques, tel que l’allure des frontières efficientes.

Toutefois, on a rencontré des résultats inattendus, en effet on a pu voir que le portefeuille de marché, qui théoriquement correspond à la situation d’équilibre entre offre et demande de titres, est un portefeuille à rendement négatif. Ceci s’explique par les rendements négatifs de la majorité des titres vue la baisse des cours après l’adoption de la cotation électronique en 1996. Année Universitaire 2000/2001

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Aussi, l’élimination de l’hypothèse de vente à découvert rend les résultats plus pratiques. En effet, pour les rendements annuels l’interdiction de la vente à découvert a permis d’associer des risques plus réalistes aux différents rendements attendus des portefeuilles construits.

Il faut noter qu’on peut étendre l’étude par la prise en considération de nouvelles contraintes telle que la limitation de l’investissement dans un titre quelconque.

Enfin, il faut souligner l’importance du critère de l’utilité dans ce genre de décision d’investissement qui se révèle par conséquent d’un grand apport pour compléter cette étude.

Bibliographie Ouvrage : Théorie financière (4éme édition )Robert Cobbaut (économica ) Gestion de portefeuille (3eme édition ) Broquet Marché financier :gestion de portefeuille et de risque Pilverdier Revue : Revue de financier n°96-1994 Revue de l’association française de finance :juin 1993 –vol 14 n°1 Finance : juin 1997 vol 18 n°1 . Année Universitaire 2000/2001

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Données : Cours, dividendes et bons de trésors (période de 6 ans 1995-2000)


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Matrice variance-covariance (rendements mensuels) ATB ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX

0.01027757 0.001306867 0.002040299 0.001161333 0.001589515 0.000393228 0.000828557 0.002693124 0.002449795 0.000826649 4.44904E-05 0.00360491 0.000663327 0.002538556 0.003287436 0.000764507 0.002912208 0.001491133 0.00129878 0.002341498 0.00245249

BDET

BIAT

BNDT

BNA

BS

BT

0.00130687 0.01073852 0.00234986 0.00157772 0.00516137 0.00178571 0.00080724 0.00397665 0.00325234 0.00042241 -0.00037 0.00339121 0.00172887 0.00287382 0.00119777 0.00047911 0.00201359 -0.0004132 0.00163009 0.00098693 0.00087671

0.0020403 0.00234986 0.00307986 0.00076027 0.00144978 0.00077507 0.00088383 0.00151057 0.00243478 0.00080115 -3.3955E-06 0.00371241 0.00138067 0.00211203 0.00245707 0.00143125 0.00183805 0.00110708 0.00155953 0.00102692 0.00111827

0.00116133 0.00157772 0.00076027 0.00297849 0.00096071 0.00141556 0.00096682 0.00091195 0.00140746 0.00044933 0.00034915 0.0017491 0.00167931 0.00096661 0.00059559 0.00045715 0.00173963 0.00078793 0.00047374 0.00071577 -0.00044383

0.00158952 0.00516137 0.00144978 0.00096071 0.00468109 0.00066822 0.0003612 0.00325525 0.00192151 0.00035494 -1.1577E-05 0.00284848 0.00140897 0.00107418 0.0015859 0.00034277 0.00117423 0.00051843 0.00146327 0.00219396 0.000875

0.00039323 0.00178571 0.00077507 0.00141556 0.00066822 0.00898182 0.0003642 0.00054524 0.00073464 5.6662E-05 -3.9166E-05 0.00041044 0.00083488 0.00092365 0.00092166 0.00075321 7.557E-05 -0.00078397 -0.00139033 0.003025 -9.2164E-06

0.00082856 0.00080724 0.00088383 0.00096682 0.0003612 0.0003642 0.00316711 0.00085253 0.0016408 0.00066907 -0.00037227 0.00097921 0.00117047 0.00088562 0.001063 0.00051709 0.00102232 0.00170266 0.00103485 -1.6746E-05 8.1144E-05


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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT UIB SITEX

STB 0.00269312 0.00397665 0.00151057 0.00091195 0.00325525 0.00054524 0.00085253 0.00583966 0.00150232 0.00027843 0.00046132 0.00358732 0.00092178 0.00126894 0.00233524 0.00026864 0.00102256 0.00097921 0.00179891 0.00211671 0.00094308 0.00181152 0.00122697

0.00088474 -0.0003704 0.00133243 -6.2762E-05 0.00029683 0.00070922 0.0014788 0.000916212 0.00098042 0.00074234 0.00022829 9.2141E-05 0.00035042 0.00103457

UBCI

BTEI

AMEN

0.0024498 0.00325234 0.00243478 0.00140746 0.00192151 0.00073464 0.0016408 0.00150232 0.00760207 0.00055925 0.0002731 0.00531791 0.0022939 0.00290248 0.00144058 0.00122695 0.00336556 0.00152933 0.00219244 0.00125278 0.00128646 0.00031792 -0.00054305

0.00082665 0.00042241 0.00080115 0.00044933 0.00035494 5.6662E-05 0.00066907 0.00027843 0.00055925 0.0028252 -0.00024927 0.0009938 0.00044393 0.00075833 -8.4437E-05 -1.9874E-05 0.00091618 0.00082666 0.00015362 0.00055717 -2.2681E-05 0.0003675 -0.00032513

4.449E-05 -0.00036999 -3.3955E-06 0.00034915 -1.1577E-05 -3.9166E-05 -0.00037227 0.00046132 0.0002731 -0.00024927 0.00261881 0.00080268 4.4096E-05 0.00063643 0.0002706 -0.00016595 0.00081523 -0.00043221 -0.00065911 -0.00089409 0.00023129 0.00029785 0.00074409


BH 0.00360491 0.00339121 0.00371241 0.0017491 0.00284848 0.00041044 0.00097921 0.00358732 0.00531791 0.0009938 0.00080268 0.02170901 0.00217135 0.00337005 0.00402538 0.00251334 0.00539594 0.00284368 0.00512397 0.00540297 0.00286108 0.00144861 0.00100157

TL

SFBT

AMS

0.00066333 0.00172887 0.00138067 0.00167931 0.00140897 0.00083488 0.00117047 0.00092178 0.0022939 0.00044393 4.4096E-05 0.00217135 0.0038828 0.00260043 0.00189501 0.00160679 0.00180925 0.00136385 0.00080038 0.00150305 9.7251E-05 0.001407 -0.00028826

0.00253856 0.00287382 0.00211203 0.00096661 0.00107418 0.00092365 0.00088562 0.00126894 0.00290248 0.00075833 0.00063643 0.00337005 0.00260043 0.01901899 0.00045217 0.0017732 0.00465427 0.00439847 7.1967E-05 0.00351209 0.00083139 -0.00146556 -0.00069253

0.00328744 0.00119777 0.00245707 0.00059559 0.0015859 0.00092166 0.001063 0.00233524 0.00144058 -8.4437E-05 0.0002706 0.00402538 0.00189501 0.00045217 0.01821739 0.00664599 0.00550277 -0.00020078 0.00387709 0.00045384 0.00313897 0.00221057 0.0011742

Page 90


ICF

PALM

TAIR

PLACTN

0.00076451 0.00047911 0.00143125 0.00045715 0.00034277 0.00075321 0.00051709 0.00026864 0.00122695 -1.9874E-05 -0.00016595 0.00251334 0.00160679 0.0017732 0.00664599 0.00546393 0.00297554 0.00083774 0.00102159 -0.00030599 0.00119676 0.00200794 -0.00018351

0.00291221 0.00201359 0.00183805 0.00173963 0.00117423 7.557E-05 0.00102232 0.00102256 0.00336556 0.00091618 0.00081523 0.00539594 0.00180925 0.00465427 0.00550277 0.00297554 0.01313699 0.00101342 0.00107295 0.00113476 0.0031779 -0.00485576 -6.9622E-05

0.00149113 -0.00041324 0.00110708 0.00078793 0.00051843 -0.00078397 0.00170266 0.00097921 0.00152933 0.00082666 -0.00043221 0.00284368 0.00136385 0.00439847 -0.00020078 0.00083774 0.00101342 0.01316738 0.00075986 0.0005723 0.00022575 0.0015606 0.00049957

0.00129878 0.00163009 0.00155953 0.00047374 0.00146327 -0.00139033 0.00103485 0.00179891 0.00219244 0.00015362 -0.00065911 0.00512397 0.00080038 7.1967E-05 0.00387709 0.00102159 0.00107295 0.00075986 0.00606791 0.00092581 -4.8791E-05 0.00065158 0.00035374


STIL

MONOPRIX

UIB

SITEX

0.0023415 0.00245249 0.00088474 0.00091621 0.00098693 0.00087671 -0.00037042 0.00098042 0.00102692 0.00111827 0.00133243 0.00074234 0.00071577 -0.00044383 -6.2762E-05 0.00022829 0.00219396 0.000875 0.00029683 9.2141E-05 0.003025 -9.2164E-06 0.00070922 0.00035042 -1.6746E-05 8.1144E-05 0.0014788 0.00103457 0.00211671 0.00094308 0.00181152 0.00122697 0.00125278 0.00128646 0.00031792 -0.00054305 0.00055717 -2.2681E-05 0.0003675 -0.00032513 -0.00089409 0.00023129 0.00029785 0.00074409 0.00540297 0.00286108 0.00144861 0.00100157 0.00150305 9.7251E-05 0.001407 -0.00028826 0.00351209 0.00083139 -0.00146556 -0.00069253 0.00045384 0.00313897 0.00221057 0.0011742 -0.00030599 0.00119676 0.00200794 -0.00018351 0.00113476 0.0031779 -0.00485576 -6.9622E-05 0.0005723 0.00022575 0.0015606 0.00049957 0.00092581 -4.8791E-05 0.00065158 0.00035374 0.02731602 0.00070728 -0.00027558 -0.00017797 0.00070728 0.00587719 0.00095766 0.00061757 -0.00027558 0.00095766 0.01788255 0.00087705 -0.00017797 0.00061757 0.00087705 0.00802219

Page 91


Matrice variance-covariance (rendements annuels) ATB ATB 0.046309391 BDET 0.05047713 BIAT 0.01607449 BNDT 0.050548818 BNA 0.047382432 BS 0.054410562 BT -0.019106192 STB 0.034122751 UBCI 0.027875001 BTEI 0.001078348 AMEN 0.053785474 BH 0.052750914 TL 0.011810272 SFBT 0.070895343 AMS 0.038817396 ICF 0.008660454 PALM 0.017415656 TUNISAIR -0.036392942 PLACTSIE 0.013769882 STIL 0.042066498 MONOPRIX 0.008435237 UIB -0.015571312

BDET 0.05047713 0.09605139 0.00325489 0.04905463 0.04900806 0.06677967 -0.01063909 0.03162599 0.02319819 -0.01513473 0.06462084 0.0237518 0.02129943 0.11200945 0.00830007 0.02230596 0.03247384 -0.08886786 0.01549638 0.04723986 -0.00325623 -0.01810068


BIAT

BNDT

BNA

BS

BT

0.01607449 0.003254891 0.019144791 0.010617172 0.015102237 0.018601056 -0.01415329 0.004607427 0.017380018 0.002678482 0.015100149 0.01435227 0.003137032 0.037771961 -0.01878062 -0.00459506 -0.00149108 0.006570533 -0.00388157 0.024494156 0.005418692 -0.01160485

0.050548818 0.049054632 0.010617172 0.085564529 0.050358779 0.057491687 -0.00837489 0.067366546 0.02078205 0.016748622 0.068375981 0.105894405 -0.00623219 0.099201666 0.133310303 0.01332349 0.03018656 -0.03807797 0.033974791 0.080143279 0.03066457 0.011891521

0.047382432 0.049008058 0.015102237 0.050358779 0.055834045 0.052588029 -0.031061132 0.024385783 0.015900275 -0.005352196 0.049505175 0.04605076 0.006651879 0.008985427 0.030755415 0.013666344 0.013802144 -0.054114302 0.001550644 0.02422228 -0.001212052 -0.039690668

0.054410562 0.066779666 0.018601056 0.057491687 0.052588029 0.066523349 -0.01800828 0.040885071 0.036114866 2.70028E-05 0.06568182 0.056311118 0.016860059 0.113377869 0.03500373 0.010341101 0.02350245 -0.04559425 0.018466436 0.058078128 0.010751069 -0.01240714

-0.0191062 -0.0106391 -0.0141533 -0.0083749 -0.0310611 -0.0180083 0.034073 0.0143352 0.0037716 0.0128103 -0.0092766 0.0052265 0.0017038 0.069076 0.0404354 -0.0068804 0.0055656 0.0349342 0.025112 0.0118648 0.0158277 0.0561573

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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT SITEX

-0.004059342 0.02675761 -0.01229142 0.032336844 -0.019787959 0.005740053 0.0385012

STB

UBCI

BTEI

AMEN

BH

TL

SFBT

AMS

0.03412275 0.03162599 0.00460743 0.06736655 0.02438578 0.04088507 0.01433515 0.06989896 0.03142155 0.02638108 0.0551624 0.10056889 0.00220939 0.1434646 0.14264875 0.0018381 0.0269372 0.00680506 0.04944909 0.07501879 0.03930232 0.051073 0.04168296

0.027875 0.02319819 0.01738002 0.02078205 0.01590028 0.03611487 0.00377156 0.03142155 0.05107259 0.01322173 0.03627479 0.04048545 0.02797179 0.13523878 0.02473494 -0.0114437 0.00775016 0.03387111 0.02863419 0.03435689 0.01819152 0.0280986 -0.007309

0.001078348 -0.015134732 0.002678482 0.016748622 -0.005352196 2.70028E-05 0.012810348 0.026381081 0.013221732 0.019609975 0.007883551 0.043405127 -0.002942276 0.052418713 0.067015877 -0.008432047 0.003064429 0.038782741 0.022436898 0.025620011 0.022729572 0.036672863 0.013135804

0.05378547 0.06462084 0.01510015 0.06837598 0.04950518 0.06568182 -0.00927664 0.0551624 0.03627479 0.00788355 0.06999707 0.0766797 0.01239682 0.13504962 0.07487494 0.01018168 0.02841445 -0.03840155 0.03018168 0.07189535 0.02103757 0.00618818 0.02169126

0.05275091 0.0237518 0.01435227 0.10589441 0.04605076 0.05631112 0.00522652 0.10056889 0.04048545 0.04340513 0.0766797 0.16566921 -0.00675624 0.14394233 0.22785764 0.00027052 0.03031826 0.02116262 0.06348037 0.09877751 0.05827055 0.0563556 0.03302765

0.01181027 0.02129943 0.00313703 -0.00623219 0.00665188 0.01686006 0.00170375 0.00220939 0.02797179 -0.00294228 0.01239682 -0.00675624 0.02783445 0.04685254 -0.01914067 -0.00490098 0.0009156 0.0106239 0.01051591 -0.01355287 -0.00485777 0.00507971 -0.02046438

0.07089534 0.11200945 0.03777196 0.09920167 0.00898543 0.11337787 0.06907598 0.1434646 0.13523878 0.05241871 0.13504962 0.14394233 0.04685254 0.68690744 0.11803109 -0.0188988 0.07059708 0.0533713 0.11987278 0.26766081 0.10113075 0.17441216 0.16933819

0.0388174 0.00830007 -0.01878062 0.1333103 0.03075542 0.03500373 0.04043537 0.14264875 0.02473494 0.06701588 0.07487494 0.22785764 -0.01914067 0.11803109 0.40210292 0.00403239 0.04272955 0.04403643 0.10678192 0.08767969 0.08085431 0.11833053 0.06584453


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ICF

PALM

0.00866045 0.02230596 -0.00459506 0.01332349 0.01366634 0.0103411 -0.00688038 0.0018381 -0.01144366 -0.00843205 0.01018168 0.00027052 -0.00490098 -0.0188988 0.00403239 0.01203289 0.00811359 -0.04213726 -0.00466833 0.00396847 -0.00640126 -0.01770351 0.00940131

0.01741566 0.03247384 -0.00149108 0.03018656 0.01380214 0.02350245 0.0055656 0.0269372 0.00775016 0.00306443 0.02841445 0.03031826 0.0009156 0.07059708 0.04272955 0.00811359 0.01766489 -0.02594791 0.01725563 0.03797369 0.01102884 0.01364987 0.03135179

TUNISAIR PLACTSIE -0.03639294 -0.08886786 0.00657053 -0.03807797 -0.0541143 -0.04559425 0.03493417 0.00680506 0.03387111 0.03878274 -0.03840155 0.02116262 0.0106239 0.0533713 0.04403643 -0.04213726 -0.02594791 0.15970784 0.02933686 -0.01643323 0.03116769 0.08240892 -0.02318128


0.01376988 0.01549638 -0.00388157 0.03397479 0.00155064 0.01846644 0.02511203 0.04944909 0.02863419 0.0224369 0.03018168 0.06348037 0.01051591 0.11987278 0.10678192 -0.00466833 0.01725563 0.02933686 0.04549492 0.03986238 0.02960474 0.05933834 0.03136802

STIL

MONOPRIX

UIB

SITEX

0.0420665 0.04723986 0.02449416 0.08014328 0.02422228 0.05807813 0.0118648 0.07501879 0.03435689 0.02562001 0.07189535 0.09877751 -0.01355287 0.26766081 0.08767969 0.00396847 0.03797369 -0.01643323 0.03986238 0.16108763 0.05376669 0.05170245 0.09679745

0.00843524 -0.00325623 0.00541869 0.03066457 -0.00121205 0.01075107 0.0158277 0.03930232 0.01819152 0.02272957 0.02103757 0.05827055 -0.00485777 0.10113075 0.08085431 -0.00640126 0.01102884 0.03116769 0.02960474 0.05376669 0.03109778 0.04565329 0.03300874

-0.01557131 -0.01810068 -0.01160485 0.01189152 -0.03969067 -0.01240714 0.0561573 0.051073 0.0280986 0.03667286 0.00618818 0.0563556 0.00507971 0.17441216 0.11833053 -0.01770351 0.01364987 0.08240892 0.05933834 0.05170245 0.04565329 0.1114283 0.0643679

-0.00405934 0.02675761 -0.01229142 0.03233684 -0.01978796 0.00574005 0.03850121 0.04168296 -0.00730904 0.0131358 0.02169126 0.03302765 -0.02046438 0.16933819 0.06584453 0.00940131 0.03135179 -0.02318128 0.03136802 0.09679745 0.03300874 0.0643679 0.1139039

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