Универзитет у Нишу Машински факултет
Mилица З. Јовановић
ДИПЛОМСКИ РАД
НИШ, 2018. 2018.
Универзитет у Нишу Машински факултет
Милица З. Јовановић
Оптимално подешавање параметара PID контролера применом генетских алгоритама Завршни (дипломски) рад с.п. Машинско инжењерство
Кандидат:
Ментор:
Милица З. Јовановић 1540/14
Доц. др Иван Ћирић
Ниш, септембар 2018.
-2-
Резиме У овом раду разматрамо основне идеје PID контроле и методе избора параметара контролера у ситуацијама када је за управљање мултиваријабилним системима није могуће користити конвенционале методаме, већ је потребна примена хеуристичких алгоритама, конкретно овде су коришћени генетски алгоритами. Генетски алгоритам (ГА) је претраживачка хеуристика која опонаша процес природне селекције. Ова хеуристика (такође понекад називана метахеуристика) се рутински користи да генерише корисна решења за оптимизацију. оптимизацију.
Кључне речи: PID контролери, Подешавање параметара PID контролера, Генетски алгоритми
-3-
Садржај
5
1.
UVOD ............ ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............. ............ .............. ... - 8 -
2.
PID КОНТРОЛЕРИ И ЊИХОВА ПРИМЕНА .........................................................................................
- 13 -
2.1.
ТЕОРИЈА PID КОНТРОЛЕРА ...............................................................................................................
- 14 -
2.2.
ОГРАНИЧЕЊА PID КОНТРОЛЕ ............ ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .... - 14 14-
2.3.
АЛТЕРНАТИВНЕ НОМЕНКЛАТУРЕ И PID ОБРАСЦИ .......................................................................... - 15 15-
3.
ПРЕГЛЕД НАЧИНА ПОДЕШАВАЊА PID КОНТРОЛЕРА ...................................................................... - 19 1819
3.1.1.
МАНУЕЛНО ПОДЕШАВАЊЕ ..............................................................................................................
3.1.2
“ZIEGLER–NICHOLS” МЕТОДА ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............. ............ .... - 22 22-
3.1.2.
„COHEN-COON” МЕТОДА ..................................................................................................................
3.1.3.
ПРЕНОСНИ („ÅSTRÖM–HÄGGLUND“) МЕТОД ................................................................................... - 23 23-
3.1.4.
PОДЕШАВАЊЕ PID
4.
ГЕНЕТСКИ АЛГОРИТМИ .....................................................................................................................
4.1.
ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .... - 24 24-
4.2.
КРАТАК ИСТОРИЈСКИ ПРЕГЛЕД ........................................................................................................
- 24 -
4.3.
ИНСПИРАЦИЈА У БИОЛОГИЈИ ..........................................................................................................
- 25 -
4.4.
РЕПРЕЗЕНТАЦИЈА ..............................................................................................................................
-
4.5.
ОПЕРАТОРИ ВАРИЈАЦИЈЕ .................................................................................................................
- 28 -
4.6.
РЕКОМБИНАЦИЈА .............................................................................................................................
-
7 9
- 20 -
20
- 22 -
22
КОНТРОЛЕРА СПЕЦИЈАЛНИМ СОФТВЕРОМ ..................................................... - 23 23- 24 -
23
24
25 26 26-
28 34 31-
ОПТИМИЗАЦИЈА ПАРАМЕТАРА УПРОШЋЕНОГ СКАЛАРНОГ СИСТЕМА PID КОНТРОЛЕРА ПРИМЕНОМ РЕАЛНО КОДИРАНИХ ГЕНЕТСКИХ АЛГОРИТАМА .......................................................................................... - 37 48-
5.
ОПТИМИЗАЦИЈА ПАРАМЕТАРА КОМПЛЕКСНОГ МУЛТИВАРИЈАБИЛНОГ СИСТЕМА PID КОНТРОЛЕРА ПРИМЕНОМ РЕАЛНО КОДИРАНИХ ГЕНЕТСКИХ АЛГОРИТАМА ............. ............. ............. ............. ............. .... - 39 55-
5.1.
5.2
ОДЗИВ ПРОЦЕСА УПРАВЉАНОГ ГЕНЕТСКИ ОПТИМИЗОВАНИМ PID КОНТРОЛЕРИМА ............ ...... - 40 59-
6.
ЗАКЉУЧАК ........................................................................................................................................
- 41 -
7.
ЛИТЕРАТУРА .....................................................................................................................................
-
62 6363 64
БИОГРАФИЈА .................................................................................................................................................. - 64 -
-4-
1. Увод PID контрола је далеко најчешћи начин коришћења повратних информација у природном и вештачком систему. PID контролери се обично користе у индустрији, у великим фабрикама где могу постојати на хиљаде њих, у инструментима и лабораторијској опреми. У инжењерском свету појављују се у много различитих облика: као самостални контролер, као део хијерархијског, дистрибуираног управљачког система или уграђени у уградбене компоненте. Препознатљива карактеристика PID контролера је могућност коришћења три контролна фактора пропорционалног, интегралног и диференцијалног утицаја на излаз регулатора да би се применила тачна и оптимална контрола. Он показује PID контролу која континуирано израчунава вредност грешке е( t) t) као разлика између жељене SP=r(t) и измеренe измеренe варијаблe варијаблe процеса PV=y(t), а примењује корекцију засновану на пропорционалном, интегралним, и диференцијалном појачању. појачању . Контролер покушава да минимизира грешке током времена подешавањем излазне варијабле u(t), као што су отварање контролног вентила, ка новој вредности коју утврди процењена сума контролних услова. Фактор P је пропорционалан тренутној вредности SP-PV грешке е(t). Фактор I објашњава прошлост вредности SP-PV грешке и интегрише их током времена како би произвео I произвео I израз. израз. Фактор D Фактор D је је најбоља процена будуће вредности SP-PV грешке, SP-PV грешке, заснована на тренутној стопи промена. Иако PID контролер има три контролна услова, неке апликације користе само један или два како би обезбедиле одговарајућу контролу. Ово се постиже постављањем некоришћених параметара на нулу и назива се PI , PD, PD, P или I контролер у одсуству других радњи контроле. PI контроле. PI контролери контролери су прилично чести, пошто је интегрална активност осетљива на мерне буке, док одсуство интегралне вредности може спречити систем да достигне циљану вредност. Употреба PID алгоритма не гарантује оптималну контролу система или стабилност контроле. Могу се појавити ситуације у којима постоје прекомерна кашњења: мерење вредности процеса је одложено или се контрола не примењује довољно брзо.. Одзив контролера може се описати у смислу његовог одговора на грешку, степену у којем систем надмашује задату вредност и степену било које осцилације система. Али PID Али PID контролер је широко примењив, јер се ослања само на одзив измерене процесне варијабле, а не на знање или модел основног процеса. У овом раду разматрамо основне идеје PID контроле и методе избора параметара контролера у ситуацијама када је за управљање мултиваријабилним системима није могуће користити конвенционале методаме, већ је потребна примена хеуристичких 1 алгоритама , конкретно овде су коришћени генетски алгоритами.
1
Алгоритми настали експериментисањем у сврху добијања задовољавајућих резултата.
-5-
Генетски алгоритам (ГА) је претраживачка хеуристика која опонаша процес природне селекције. Ова хеуристика (такође понекад називана метахеуристика) се рутински користи да генерише корисна решења за оптимизацију. Генетски алгоритми припадају већој класи еволуционих алгоритама (ЕА) који генеришу решења за оптимизацију проблема коришћењем техника инсприсаних природном еволуцијом, као што су наслеђивање, мутација, селекција и кросингкросинг-овер. На почетку ћемо размотрити четири различита начина репрезентација кандидата за решење. Након тога, описаћемо операторе мутације и рекомбинације прикладне за сваку од четири наведене репрезентације, док ћемо на крају посматрати различите механизме селекције и замене које користимо како би регулисали популацију могућих решења. Као што ће се јасно видети, не постоји један начин за креирање ГА; он настаје настаје комбинацијом различитих оператора који су прикладни за решавање неког конкретног проблема.
-6-
1. PID контролери и њихова примена Као што смо на самом почетку рекли, препознатљива карактеристика PID контролера је могућност коришћења три контролна фактора пропорционалног, интегралног и диференцијалног утицаја на излаз регулатора да би се применила тачна и оптимална контрола. контрола. У литератури [1] Блок дијаграм 1.1 приказује принципе како се ти појмови генеришу и примењују. Он показује PID контролер који континуирано израчунава вредност грешке е( t) t) као разлика између жељене SP=r(t) и измеренe измеренe варијаблe варијаблe процеса PV=y(t), а примењује корекцију засновану на пропорционалном, интегралним, и изведеном појачању. Контролер покушава да минимизира грешке током времена подешавањем излазне варијабле u(t), као што су отварање контролног вентила, ка новој вредности коју утврди процењена сума контролних услова.
2.1 Блок дијаграм ПИД контролера у повратној петљи.
У моделу:
Фактор P је P је пропорционалан тренутној вредности SP-PV грешке е(t). На пример, ако је грешка велика и позитивна, контролни излаз ће бити пропорционално велики и позитиван, узимајући у обзир фактор појачања " К ". ". Коришћење пропорционалне контроле само у процесу са компензацијом као што је контрола температуре, резултираће грешком између задате вредности и стварне вредности процеса, јер захтева грешку за генерисање пропорционалног одговора. Ако нема грешке, нема корективног одговора. Фактор I објашњава прошлост вредности SP-PV грешке и интегрише их током времена како би произвео I произвео I израз. израз. На пример, ако постоји преостала SP-PV грешка SP-PV грешка након примене пропорционалне контроле, интегрални израз тражи да елиминише преосталу грешку додавањем контролног ефекта због историјске кумулативне -7-
вредности грешке. Када се грешка елиминише, интегрални фактор ће престати да расте. Ово ће резултирати смањивањем пропорционалног ефекта док се грешка смањује, али то се компензује растућим интегралним ефектом.
Фактор D је најбоља процена будуће вредности SP-PV грешке, заснована на тренутној стопи промена. То се понекад назива "антиципаторнa контрола", која ефективно настоји да смањи утицај SP-PV грешка испољавајући утицај контроле генерисане стопе промене грешке. Што је брза промена, то је већи ефекат контроле или лошег утицаја.
Подешавање Подешавање - Баланс ових ефеката се постиже "петљом за подешавање" како би се произвела оптимална функција контроле. Константе за подешавање су приказане ниже као " К " и морају бити изведене за сваку апликацију контроле, јер зависе од карактеристика одзива комплетне спољне петље са контролером [1]. [1]. Ово зависи од понашања сензора за мерење, финалног контролног елемента (као што је регулациони вентил), било ког одлагања контролног сигнала и самог процеса. Приближне вредности константи се обично могу иницијално унети с обзиром на врсту апликације, али су обично пречишћене или подешене тако што се "уплићe "уплићe" у праксу увођењем промене задате вредности и праћењем одговора система. Контролна Контролна акција - Математички модел и практична петља користе "директну" контролну акцију за све факторе, што значи да повећање позитивне грешке резултира повећањем позитивног контролног излаза за сумиране вредности за примену корекције. Међутим, излаз се назива "обрнут", ако је неопходно применити негативне корективне мере. На примеру датом у [1] може се видети да, ако је вентил у токовној петљи био 1001000% отвора вентила за контролу излазног сигнала од 0-100% 0-100% - значи да се рад контролера мора обрнути. Неке шеме за контролу процеса и коначне контролне елементе захтевају ову реверзну акцију. Пример би био вентил за воду за хлађење, где би режим безбедности у случају губитка сигнала био отварање вентила од 100%; стога 0% контролни излаз треба да изазове отварање вентила од 100%.
Употреба PID алгоритма не гарантује оптималну контролу система или стабилност контроле. Могу се појавити ситуације у којима постоје прекомерна кашњења: мерење вредности процеса је одложено или се контрола не примењује довољно брзо. У овим случајевима неопходна је компензација са електромагнетском компатибилношћу. Одзив контролера може се описати у смислу његовог одговора на грешку, степену у којем систем надмашује задату вредност и степену било које осцилације система. Али PID Али PID контролер је широко примењив, јер се ослања само на одзив измерене процесне варијабле, а не на знање или модел основног процеса.
Математичка форма Управљачка функција може се написати као
() () () () -8-
где K где K p, p, K i и K d d , све ненегативне, означавају коефицијенте за пропорционална, интегрална и диференцијална појачања ( понекад означене као P, I и D). У стандардном облику једначине, K једначине, K i и K d се замењују са
, и K T ; предност ће бити да p d d
Ti и Td имају неко разумљиво физичко значење, јер представљају време интеграције и време диференцијације. диференцијације.
2.1.
Теорија PID контролера
Шема PID контролера, контролера, дата у литератури [1], [1], је названа по три његова корективна фактора, чија сума представља изманипулисану варијаблу ( М М V V). ) . Пропорционални, интегрални и изведени коефицијенти се сабирају за израчунавање излаза PID излаза PID контролера. Дефинисањем u(t) као излаз регулатора, коначан ко начан облик управљачке функције је
() () () () () где је : К р – пропорционално – пропорционално појачање, појачање, К i – интегрално – интегрално појачање, појачање, К d – диференцијално појачање, појачање, d – диференцијално e(t) = SP - PV(t) PV(t) - грешка (SP (SP је је задата вредност, а PV а PV (t ) је процесна варијабла) t - време τ - варијабла интеграције (преузима вредности од времена 0 до садаш њег t) Подједнако, преносна функција у Лапласовом домену PID контролера је
где је s је s комплексна променљива
()
Пропорционална вредност Пропорционална вредност производи излазну вредност која је пропорционална вредности грешке. Пропорционални одговор се може прилагодити множењем грешке константом Кр константом Кр,, названом пропорционално појачање. појачање. Пропорционална вредност даје
() Висока пропорционалнa вредност доводи до великих измена у излазу за дату промену грешке. Ако је пропорционално појачање превисоко, систем може постати -9-
нестабилан. Насупрот томе, мало појачање резултира малим излазним одговором велику улазну грешку и мање одзивног или мање осетљивог контролера. Ако пропорционално појачање прениско, контролна активност може бити премала када реагује на поремећај система. Теорија индустријске праксе указују на то пропорционални фактор треба да допринесе већем делу излазне промене.
на је се да
Губитак стања Пошто је неопходнo унети грешку која није нула за покретање, пропорционални контролер обично функционише са такозваном грешком у сталном стању. [1 [1] Грешка при стабилном стању (SSЕ (SSЕ ) је пропорционална добитку процеса и обратно пропорционална пропорционалном појачању. SSЕ се може ублажити додавањем компензационог термина предиспозиције на задату вредност AND излаза или динамички коригован додавањем интегралног израза.
Слика 2.2. 2.2. Одзив PVОдзив PV-а а на корачну промену SP у SP у односу на време, за три вредности Kp вредности Kp (К i и К d држане константне)
Интегралнa вредност Допринос интегралног појма пропорционалан је и величини грешке и трајању грешке. Интеграл у PID контролеру је збир тренутне грешке током времена и даје акумулирани офсет који је раније требало исправити. Акумулирана грешка се затим помножи интегралним појачањем ( појачањем ( К К i) и дода се на излаз регулатора. Интегралнa вредност даје
∫ () - 10 -
Интегрални излаз убрзава кретање процеса према задатој тачки и елиминише преостале грешке у сталном стању које се јављају са чистим пропорционалним контролерима. контролерима. Међутим, пошто интегрални израз одговара акумулираним грешкама из прошлости, то може довести до тога да садашња вредност прекорачи задате вредности. вредности.
Слика 2.3. 2.3. Реакција PV Реакција PV на степенску промену SP у SP у односу на време, за три вредности К i (К p и К d су константне)
Диференцијална вредност Диференцијал процесне грешке израчунава се одређивањем нагиба грешке током времена и помножавањем ове стопе промене помоћу диференцијалног фактора К d d . Величина доприноса диференцијалог израза укупној контролној акцији назива се диференцијално појачање, појачање, К d d. Диференцијална вредност је дата као
() Диференцијална акција предвиђа понашање система и тиме побољшава време и стабилност система. Идеални диференцијал није узрочни, тако да имплементације PID контролера укључују додатно филтрирање нископропусних параметара за диференцијални израз за ограничавање високе фреквенције и шум. Диференцијална акција - 11 -
ретко се користи у пракси, - према једној процени у само 25% распоређених контролера због променљивог утицаја на стабилност система у апликацијама из стварног света.
Слика 2.4. 2.4. Одзив PVОдзив PV-а а на јединичну промену SP-а SP-а у односу на време, за три вредности К d (К p и К i одржана константа)
Контролна петља Подешавање контролне петље је подешавање његових контролних параметара (пропорционални опсег / појачање, интегрално појачање / ресет, појачање / брзина диференцијала) до оптималних вредности за жељени контролни одговор. Према [1], стабилност (без неограничене осцилације) је основни захтев , али изнад тога, различити системи имају различито понашање, различите апликације имају различите захтеве, а захтеви могу бити сукобљени једни с другима. PID контрола је тежак проблем, иако постоје само три параметра и у принципу је једноставно описати, јер мора задовољити сложене критеријуме унутар ограничења PID контроле. Сходно томе, постоје различите методе за подешавање петље, а софистицираније технике су предмет патената; овај одељак дат у [1] описује неке традиционалне ручне методе за подешавање петље. - 12 -
Изгледа да је пројектирање и подешавање PID подешавање PID контролера концептуално интуитивно, али може бити тешко у пракси, ако се постигну вишеструки (и често сукобљени) циљеви, као што су кратка транзијентa и висока стабилност. PID контролeри често обезбеђују прихватљиву контролу користећи подразумевана подешавања, али перформансе се генерално могу побољшати пажљивим подешавањем, а перформансе могу бити неприхватљиве са лошим подешавањем. Уобичајено је да се почетни дизајн више пута прилагођава рачунарским симулацијама све док систем затворене петље не изврши или компромитује по жељи. Неки процеси имају степен нелинеарности и тако параметри који добро функционишу ф ункционишу при условима пуног оптерећења не функционишу када се процес покреће без оптерећења; ово може бити кориговано распоређивањем добитка (користећи различите параметре у различитим оперативним областима).
Стабилност Ако су параметри PID контролера (појачања пропорционалног, интегралног и диференцијалног израза) изабрани погрешно, контролни улаз може бити бити нестабилан, тј. његов излаз се раздваја, са или без осцилације, а ограничен је само засићењем или механичким преломом. Нестабилност је узрокована вишком добитка, нарочито у присуству значајног заостајања. Генерално, потребна је стабилизација одговора и процес не сме осцилирати за било коју комбинацију процесних услова и задатих вредности, мада је понекад маргинална стабилност (ограничена осцилација) прихватљива или пожељна. Математички, порекло нестабилности може се видети у Лапласовом домену. Укупна преносна функција петље је:
) () (())(() где су: су: K(s): PID преносна функција G(s): Преносна функција постројења Систем се назива нестабилним када се функција трансфера затворене петље разликује за некo некo s. s. Ово се дешава у ситуацијама када је K(s)G(s) је K(s)G(s) = -1 . Обично ово се дашава када је |K(s)G(s)| = 1 са фазним помаком од 180 степени. степени. Стабилност је загарантована када је K(s)G(s) < 1 за фреквенције које трпе високе фазе. Општи формализам овог ефекта познат је као Најквистов критеријум стабилности.
- 13 -
Оптимално понашање Оптимално понашање при промени процеса или промени задате вредности варира у зависности од апликације. Два основна захтева су регулација (одбацивање сметњи - задржавање на задату вредност) и праћење команде (имплементација промена постављених вредности) - ово се односи на то колико добро контролисана варијабла прати жељену вредност. Специфични критеријуми за праћење команди укључују време пораста и време усаглашавања. Неки процеси не смеју дозволити прекорачење процесне варијабле изван задате вредности ако је, на пример, то небезбедно. Остали процеси морају смањити потрошњу енергије у постизању нове задате вредности.
2.2.
Ограничења PID контроле
Иако су PID контролери примењиви на многе проблеме у контроли и често се задовољавају без икаквих побољшања или само грубог подешавања, они могу лоше да раде у неким апликацијама и генерално не пружају оптималну контролу. Основна потешкоћа са PID контролом је то што је систем контроле повратних информација, са константним параметрима и без непосредног знања о процесу, а самим тим и укупне перформансе су реактивне и компромисне. Иако је PID контрола најбољи контролер у посматрачу без модела процеса, боље перформансе се могу добити очигледно моделовањем актера процеса без прибегавања посматрачу. PID контролери, када се користе сами, могу дати слабе перформансе када се PID петље морају смањити, тако да контролни систем не прекорачи, осцилира или лови у вредности контролне тачке. Такође имају потешкоће у присуству нелинеарности, може регулисати размену између времена одзива, не реаговати на променљиво понашање процеса (рецимо, процес се мења након што се загреје), и лагано реагују на велике поремећаје. Најзначајније побољшање је укључивање контроле feed-forward са знањем о систему и коришћењем PID-а PID-а само за контролу грешке. Алтернативно, PID-ови PID-ови се могу мењати на мање начине, нпр. променом параметара (било распоређивање појачања у различитим случајевима коришћења или адаптивно модифицирање на основу перформанси), побољшање мерења (већа брзина узорковања, прецизност и тачност и нискониско-пасивно филтрирање ако је потребно), или каскадирање више PID контролера.
- 14 -
Линеарност Још један проблем са PID контролерима је то што су линеарни, а посебно симетрични. Стога, перформансе PID контролера у нелинеарним системима (као што су HVAC системи) варијају. На пример, код контроле температуре, уобичајени случај употребе је активно грeјање (преко грејног елемента), или пасивно хлађење (загревање, али без хлађења), тако да се прекорачење може само споро поправити - не може се силити надоле. У овом случају PID треба да буде подешен да буде преоптеретљив, да би се спречио или смањио прекорачење, мада то смањује смањ ује перформансе (повећава време сакупљања).
Шум у диференцијалном изразу Проблем са диференцијалин изразом је у томе што појачава мерење виших фреквенција или процесни шум који може изазвати велике промене у излазу. Често је корисно филтрирати мерења помоћу нископропусног филтера како би се уклониле компоненте виших фреквенција. Како се нископропусно филтрирање и контрола диференцијала могу једнократно поништити, количина филтрирања је ограничена. Тако нискобуџетна инструментација може бити важна. Може се користити нелинеарни средњи филтер који побољшава ефикасност филтрирања и практичне перформансе. У неким случајевима [1], диференцијални опсег може се искључити са мало губитка контроле. Ово је еквивалентно коришћењу PID контролера као PI контролера.
2.3.
Алтернативне номенклатуре номенклатуре и PID обрасци Идеалан у односу на стандардни PID образац
Облик PID контролера најчешће се среће у индустрији, а онај који је најрелевантнији за подешавање алгоритама је стандардни облик. У овом облику Кp појачање се примењује на I на I out out и Dout изразе, што даје:
(() (( (() () ())
где је: Ti интегрално време Т d диференцијално d диференцијално време У овом стандардном облику, параметри имају јасно физичко значење. Конкретно, унутрашња сума даје нову јединствену вредност грешке која се надокнађује за будуће и - 15 -
прошлe прошлe грешке. Додавање пропорционалних и диференцијалних компоненти ефикасно предвиђа вредност грешке у Т d времену d времену (или узорцима) у будућности, под претпоставком да контрола петље остаје непромењена. Интегрална компонента прилагођава вредност грешке како би компензовала збир свих претходних грешака, са намером да их потпуно елиминише у Т i времену (или узорцима). Доби jена jена компензована појединачна вредност грешке је скалирана једним појачањем К појачањем К p. p. У идеалном облику, приказан у одељку теорије контролера [1]
() () () () параметри добиjања су повезани са параметрима стандардног облика кроз
и
. Ова паралелна форма, где се параметри третирају као једноставно појачање, је најопштија и флексибилна форма. Међутим, то је и облик у којем параметри имају најмање физичко тумачење и углавном су резервисани за теоријски третман PID контролера. Стандардни облик, иако је мало сложен математички, у индустрији је чешћи. * Реципрочно појачање
У многим случајевима, манипулисана променљива излаз PID контролера је несразмeрни разломак између 0 и 100% неке максималне вредности, а превођење у стварне јединице (као што је брзина пумпе или вати снаге грејача) налази се изван PID контролера. Процесна варијабла, међутим, је у димензионисаним јединицама као што је температура. У овом случају је уобичајено изразито појачање Кp не као "излаз по степену", већ у облику температуре 1 / Кp која је "степени по пуном излазу". Ово је опсег над којим се излаз промени од 0 до 1 (0% до 100%). *
Ослобађање диференцијалног деловања на PV на PV
У већини комерцијалних система контроле, диференцијална акција се заснива на варијаблама процеса, а не грешком. То значи да промена задате вредности не утиче на диференцијалну акцију. То је зато што дигитализована верзија алгоритма ствара велики нежељени шпиц када се промени задата вредност. Ако је задата вредност константа, промене у PV -у ће бити исте као промене у грешци. Због тога, ова модификација не разликује начин на који управљач управљач реагује на поремећај процеса.
*
Ослањајуће пропорционално деловање на PV на PV
Већина комерцијалних управљачких система нуде могућност да се сразмерно деловање заснива искључиво на варијаблама процеса. То значи да само интегрална акција одговара променама задате вредности. Модификација алгоритма не утиче на начин на који управљач реагује на поремећај процеса. Основно пропорционално дејство на PV - 16 -
елиминише тренутну и евентуално веома велику промену излаза узроковану изненадном променом на задату вредност. У зависности од процеса и подешавања, ово може бити корисно за одговор на корак подешене тачке.
(() ( () () () Кинг описује ефикасну методу засновану на графикону. Понекад је корисно написати PID регулатор у Лапла совом облику трансформације:
() Када се користи овај формулар, лако је одредити функцију преноса затворене петље.
() ()()
следи
Иако се ово чини веома корисним за уклањање нестабилних полова, то практично није случај. Функција преноса затворене петље од поремећаја до излаза и даље садржи нестабилне полове. *
Серијe / интерактивни облик
Још једна репрезентација PID контролера је серија, или интерактивни облик
() ( )
где су параметри повезани са параметрима стандардног облика кроз
и
За
Овај облик се у суштини састоји од PD и PI контролера у серији, и учинио је раније (аналогне) контролоре лакше изградити. Када су контролори касније постали дигитални, многи су наставили да користе интеракциони облик. - 17 -
* Дискретна имплементација Анализа за дизајнирање дигиталне имплементације PID контролера у микроконтролеру (MCU) (MCU) или FPGA уређају захтева да се дискретизује стандардни облик PID контролера. контролера. Приближавање диференцијала првог реда врши се са коначним разликама. Интегрални термин је дискретизован, са временом деловања Δt Δt, како следи,
()∑( ∑() Термин диференцијала се апроксимира као,
( () () ( ) Стога, алгоритам брзине за имплементацију дискретизованог PID контролера у МCU добија се диференцирањем u(t ), користећи нумеричке дефиниције првог и другог диференцијала и решавање за u(t k k ) и на крају добијање
() ( ) () () ()
- 18 -
3. Преглед начина подешавања PID контролера Постоји неколико начина за подешавање PID петље. Најефективнији методи генерално укључују развој неког облика процесног модела, а затим одабире P, I и D на основу параметара динамичког модела. Ручно подешавање може трајати релативно трајати релативно дуго времена, нарочито за системе са дугим временским циклусом. Избор методе ће у великој мери зависити од тога да ли се петља може узети "офлајн" за подешавање и време одзива система. Ако се систем може откључати ван мреже, најбољи начин подешавања често подразумева подвргавање система промени степена у инпуту, мерење излаза као функције времена, и коришћење овог одговора за одређивање контролних параметара. Табела 3.1 3.1 Избор Избор методе подешавања
Метода
Предности
Мануелно подешавање
Не захтева математику; онлајн
„Ziegler – Nichols “
Доказани метод; онлајн
„Tyreus Luyben“
Софтверски алати
Доказани метод; онлајн
Конзистентно подешавање; онлајн или офлајн офлајн могу да користе технике рачунарског аутоматизованог система контроле (C (C Аut Аut о D); D); могу укључити анализу вентила и сензора; омогућава симулацију пре преузимања; може подржати нестабилно стање ( NSS NSS ) подешавање
„Cohen – Coon“
Добри процесни модели
„ÅströmHägglund“
Може се користити за аутоматско подешавање; амплитуда је минимална, тако да је овај метод најмањи узнемирујући процес
- 19 -
Мане Захтева искусно особље. Узнемиреност процеса, пробне грешка, врло агресивно подешавање. Узнемиреност процеса, пробне грешка, врло агресивно подешавање. Неки трошкови укључени или обука укључена. Мало математике; офлајн; једино добро за процесе првог реда Сам процес је суштински осцилаторан
3.1.1. Мануелно подешавање
Ако систем мора остати на мрежи, прво је подешен један начин подешавања Ki и Kd вредности на нулу. Повећати Кр Повећати Кр све док се излаз петље не осцилира, онда је Кр је Кр потребно подесити на приближно половину те вредности за реакцију типа "четврта амплитуда". амплитуда". Затим треба повећати К i све док се офсет не исправи у дозвољеном времену за процес. Међутим, превише К i ће изазвати нестабилност. На крају, повећати К повећати К d d, ако је потребно, све док петља није прихватљиво брзо дошла до своје референце након поремећаја оптерећења. Међутим, превише К d d ће изазвати прекомеран одговор и прекорачe прекорачeње. Брзо PID подешавање петље обично брзо надира да брже достигне задату вредност; међутим, неки системи не могу прихватити прекорачење, у том случају је потребан систем затворене петље који ће захтe захтeвати подешавање К подешавање К p значајно мање од половине од поставке Кp које је узроковало осцилацију. Табела 3.2 3.2 Ефекти Ефекти повећања параметра, независно
Параметар
Време пораста
Прекорачење
Време смирења
Губитак стања
Стабилност
Kp
Смањите
Повећати
Мала промена
Смањити
Деградирати
Ki
Смањите
Повећати
Повећати
Елиминисати
Деградирати
Kd
Мала промена
Смањити
Смањити
Нема ефекта у теорији
Побољшајте ако је Кd мали
Ефекти различитих PID параметара параметара [1] (Кp, Кi, Кd) на корак одговора система (слика 3.1 3.2, 3.3, 3.4)
Слика 3.1
- 20 -
Слика 3.2
Слика 3.3
- 21 -
Слика 3.4
3.1.2
“Ziegler–Nichols” метода
Још један метод хеуристичког подешавања званично је познат као “Ziegler–Nichols” метода, коју су 1940. године представили Џон Г. Зиеглер и Натаниел Б. Никхолс. Као и у претходној методи, К i и К d d појачања су прво подешена на нулу. Пропорционално појачање је појачање је повећано док не достигне крајње појачање, појачање, К u, на којем излаз петље петље почиње почиње осциловати. осциловати. К u и период осцилације Т u се користе за постављање појачања на следећи начин:
Контролни тип P PI PID
Kp 0.50Ku 0.45Ku 0.60Ku
Ki / 0.54Ku/Tu 1.2Ku/Tu
Kd / / 3KuTu/40
Овe Овe вредности појачања односе се на идеалан, паралелни облик PID контролера. Када се примењује на стандардни PID констролер, само интегрални и изведени временски параметри Т i и Т d зависе d зависе од осцилационог периода Т u. u. 3.1.2.
„Cohen-Coon” метода
Ова метода развијена је 1953. године и заснива се на моделу првог реда + временског одлагања. Слично методу, „Ziegler „Ziegler –Nichols” развијен је сет параметара подешавања како би се добио одговор затворене петље са односом 1/4. Вероватно највећи проблем са овим параметрима је да би мала промена у параметрима процеса могла потенцијално довести до нестабилности система затворене петље.
- 22 -
3.1.3.
Преносни („Åström–Hägglund“) метод
Карл Јохан Астром и Тор Хаглунд, објављени 1984. године, релејни метод привремено управља процесом помоћу контроле бангбанг-бангбанг-а и мери резултирајуће осцилације [1]. Излаз се пребацује (као ако је релеј) између две вредности контролне варијабле. Вредности морају бити изабране тако да процес прелази задату вредност, али не морају бити 0% и 100%; Избором одговарајућих вредности, опасне осцилације се могу избећи. Све док је променљива процеса испод задате вредности, контролни излаз је подешен на вишу вредност. Чим се креће изнад задате вредности, контролни излаз је постављен на нижу вредност. Идеално је да је излазни таласни сигнал скоро квадратни, троши једнако време изнад и испод задате вредности. Израђују се период и амплитуда насталих осцилација и користе се за израчунавање коначног добитка и периода, који се затим уносе у методу „Ziegler „Ziegler –Nichols”. Конкретно, коначни период Т u се претпоставља да је једнак посматраном периоду, а коначно појачање се израчунава као К као К u = 4b / 4b / πа, где је а амплитуда осциловања процесне варијабле, а b је амплитуда промене излазног регулатора која је узроковала. 3.1.4.
Pодешавање PID контролера специјалним софтвером
Већина модерних индустријских објеката више не мењају петље користећи ручне методе израчунавања приказане горе. Уместо тога, користе се PID подешавања софтвером за оптимизацију петље како би се постигли доследни резултати. Ови софтверски пакети прикупљају податке, развијају процесне моделе и предлажу оптимално подешавање. Неки софтверски пакети могу чак развити подешавања тако што ће прикупљати податке из референтних промена. Математичко подешавање PID петље индукује импулс у систему, а затим користи фреквенцијски одзив контролисаног система како би дизајнирао вредности PID петље. У петљи са временом одзива од неколико минута препоручује се подешавање математичке петље, јер за пробу и грешкe грешкe могу проћи дани само да би се пронашли стабилни скуп петљи. Оптималне вредности је теже наћи. Неки регулатори дигиталне петље нуде функцију самонастављања у којој се веома мале измене задатака шаљу у процес, омогућавајући самом контролеру контролер у да израчуна оптималне вредности подешавања. Друге формуле су доступне за подешавање петље према различитим критеријумима перформанси. Многе патентиране формуле су сада уграђене у PID софтверe софтверe подешавања и хардверске модуле. Напредак у аутоматизованом PID програму за подешавање петље такође пружа алгоритме за подешавање PID петља у динамичном или нестабилном стању ( NSS). NSS). Софтвер ће моделирати динамику процеса, кроз поремећај и израчунати PID контролне параметре као одговор.
- 23 -
4. Генетски алгоритми 4.1.
Основни појмови
У теорији еволуције, неку околину настањује популација јединки којима је ”циљ” презивети и размнозавати се. Подобност (енг. fitness) fitness) тих јединки говори нам колико је поједина јединка успесна у испуњавању испуњавању тих циљева, дакле репрезентује шансу јединке да преживи довољно дуго како би се размножавала. У контексту решавања проблема јединке изједначавамо с кандидатима за решење. Квалитету тих потенцијалних решења, дакле колико добро она апроксимирају решење проблема, мошемо искористити како би одлучили с коликом ће вероватноћом одређени кандидат за решење учествовати у конструкцији следећих кандидата (интуитивно, (интуитивно, што кандидат за решење боље апроксимира решење та би вероватноћа требала бити већа). Следећа таблица приказује везу појмова из теорије еволуције и еволуцијских алгоритама.[3][4] алгоритама.[3][4]
4.2.
Кратак историјски преглед
Идеја примене Дарвинових принципа еволуције на рацунално решавање проблема датира још из 19401940-их година, дакле чак и пре развоја модерних рачунала. Већ Већ 1948. године Туринг је предлозио ”генетско или или еволуцијско претраживање”, а 1962. Бремерман је Бремерман је спроводио експерименте на ”оптимизацији уз еволуцију и рекомбинацију”. реко мбинацију”. 60-их 60-их година развијене су 3 различите имплементације основне идеје еволуцијских алгоритама. У САДСАД-у, Фогел, Овенс и Валш развили Валш развили су еволуцијско програмирање (енг. evolutionary programming), programming), док је Холанд своју методу назвао генетским алгоритмом. Истовремено, у Немачкој, Рехенберг и Швифел развили Швифел развили су еволуцијске стратегије (енг. evolution strategies). strategies). Неко време та су се подручја развијала одвојено, но од раних 9090-их година она се сматрају различитим представницима једне гране. У исто време појавила се и четврта подврста, подврста, генетичко програмирање. Данас се сви алгоритми из тог подручја - 24 -
називају заједничким заједничким термином, еволуцијски еволуцијски алгоритми. Стари називи остали су као називи подврста алгоритама.
4.3.
Инспирација у биологији
Дарвинова теорија еволуције даје нам објашњење биоразноликости и механизама којима се постиже биоразноликост. У макроскопском погледу на еволуцију, главну улогу игра процес природне селекције. У околини у којој може живети само одређен број јединки, очито је да је потребан неки облик селекције, ако се жели избеци експоненцијалан раст популације. популације. Природна селекција фаворизује фаворизује оне јединке које су најбоље прилагођене условима околине, тј. које најбоље могу искористити доступне ресурсе. Овако описана природна селекција је једна од две основне идеје теорије еволуције. Друга основна идеја резултат је фенотипских варијација унутар популације. Фенотип јединке су карактеристике јединке (физичке или бихевиористичке) које имају директан утицај на интеракцију интеракцију јединке с околином, дакле које утичу на њену подобност, подобност, а преко тога и на вероватност вероватност преживљавања. Свака јединка јединствена јединствена је комбинација фенотипских карактеристика. Ако околина те фенотипске карактеристике оцени повољно, онда се оне задржавају у популацији кроз потомство те јединке, док се негативно оцењене карактеристике губе јер губе јер негативно оцењене јединке чешће умиру без потомства. Дарвин је уочио да се мале насумичне варијације, мутације, у фенотипу догадају током репродукције из генерације у генерацију. Као резултат тих варијација, појављују се и оцењују нове комбинације својстава. Најбоље међу њима преживе и размножавају се, тиме омогућујући еволуцију. Укратко, популација се састоји од одређеног броја јединки. Вероватноћа да се те јединке размножавају директно зависи од тога колико су оне добро прилагођене околини. Размножавањем успешнијих јединки, уз повремене мутације, појављују се нове јединке. Тиме се, уз довољно времена, мења цела популација, дакле она еволуира. Графички се тај процес мозе приказати као на графу 1. Z-оса Z-оса графа приказује подобност (fitness), fitness), дакле већи “z” придружујемо бољој подобности и обрнуто. X и Y осе придружујемо неким карактеристикама јединке. Очито, у XX-Y равни сада су садржане све могуће комбинације карактеристика, док се на Z-оси Z-оси може очитати подобност јединке с тим карактеристикама. Неку популацију сад можемо замислити као скуп тачака у простору, где свака тачка представља једну јединку. Еволуцију тада можемо замислити као процес поступног помака популације на већу висину. висину. Ваља споменути да је, због коначног броја јединки као и због насумичности у целом процесу, могућ губитак добро прилагођених јединки из популације. То нам, за разлику од процеса оптимизације, омогућује и ”помицање низбрдо” те нам ништа не гарантује да ће се популација вратити истим путем. Из тога следи да је могуће побећи из локалних оптимума и постићи глобални оптимум.[3] оптимум.[3]
- 25 -
Слика 4.1 4.1 Пример Пример вредности зависности комбинације 2 гена
4.4.
Репрезентација Репрезентација јединки
Први корак у конструкцији конструкцији било којег ГА је репрезентација кандидата за решење. за решење. То укључује дефиницију дефиницију генотипа и пресликавања с генотипа у фенотип. У овој целини целини ближе ћемо се позабавити неким уобичајеним начинима репрезентације. Напоменимо Напоменимо како се у пракси често користе и комбинације овде наведених репрезентација, будући да је то често најприроднији начин на који се неки проблем може приказати.
Бинарна репрезентација Први начин репрезентације репрезентације који ћемо анализирати, уједно је и најједноставнији. У њему је генотип приказан као стринг бинарних замена. За конкретан проблем, прво морамо одлучити колика ће нам бити дужина стринга и како цемо осигурати да се сви стрингови пресликавају у ваљано решење проблема и обрнуто, да сва решења могу бити приказана. Код проблема у којима се јављају Булове варијабле, пресликавање генотипа у фенотип је природно, но битбит -стрингови се користе и за кодирање информација које изворно нису у бинарном облику. Нпр. битбит-стринг дузине дузине 80 можемо представити као 10 8-битних 8-битних природних бројева или пет 1616-битних реалних бројева. Напоменимо како се обично бољи бољи резултати резултати добију директном репрезентацијом кандидата за решење као природних или реалних бројева. Један од проблема с којим се сусрећемо код репрезентације бројева у бинарном облику је тај што битови на различитим местима имају различиту вредност. вредност. Код проблема у којем радимо с природним бројевима, желимо да нам је вероватноћа мутације броја 7 у број 8 иста као и вероватноћа мутације броја 7 у број 6. Но, уколико репрезентујемо те бројеве у бинарном облику, вероватноћа промене 0111 у 1000 је очито много мања од вероватноце промене 0111 у 0110. Тај проблем може
- 26 -
се решити употребом Грејовог кодирања. То је начин репрезентовања који гарантује да 2 суседни природни бројеви увек имају Хемингову удаљеност једнаку једнаку 1 2.[4]
Репрезентација природним бројевима Размотримо сада проблем где сваки ген може попримити неку вредност из скупа с више од 2 члана. Нпр. размотримо проблем тражења оптималног оптималног пута на ортогоналној мрежи. Тада можемо вредности гена приказати као 0,1,2,3 што репрезентује горе, доле, лево, десно. Тај скуп чак не мора бити ни ограничен; решења можемо тражити на читавом N. N. У сваком случају, природније је кандидате за решења репрезентовати директно као природан број него као битбит-стринг. Вратимо се још мало на пример с кретањем по ортогоналној мрежи. Још једно питање које је вредно размотрити је како дефинисати ”блиске” смерове. Конкретно, хоћемо ли код оператора мутације дозволити директну директну промену из смера севера у смер југа, или ћемо дозволити само промену у суседне смерове. То питање можемо објаснити; постоји ли за сваки скуп вредности које ген може попримити нека природна релација блискости?
Репрезентација реалним бројевима Решавање многих проблема своди се на одређивање поретка у којем се морају одиграти одређени догађаји. Природан начин репрезентације таквих проблема је као пермутација скупа природних бројева. Уочимо, за разлику од репрезентације скупом скупом природних бројева, у овом слуцају сваки се број може појавити само једном те томе морамо прилагодити и операторе мутације и рекомбинације. рекомбинације. Постоје 2 класе проблема за које се најчесће користи репрезентација пермутацијама. У првој класи налазе се проблеми у којима је кључан поредак догађаја, нпр. кад имамо лимитиране ресурсе или време, а завршетак неких задатака је битнији од других. Тако нпр. низ [1, 2, 3, 4] може имати битно различиту вредност функције подобности од [4, 1, 2, 3]. У другу класу проблема 3 спадају проблеми у којима је фокус на појму суседства или блискости два алела .Типичан представник тог типа проблема је проблем трговачког путника; дакле проблем проналаска потпуног обиласка n градова минималне дужине. Можемо одмах видети битну разлику у односу на прву класу проблема; наиме [1, 2, 3, 4] и [4, 1, 2, 3] имају исту подобност; поредак обиласка није битан, битна је само укупна дужина пута. Постоје 2 начина кодирања репрезентације пермутацијама. пермутацијама. Прва, и најчешће корисћена, је она у којој i-ти i-ти елемент низа репрезентује догађај који се догодио i-ти i-ти по реду, док у другом вредност iтог елемента репрезентује позицију на којој се догодио i-ти i-ти догађај. Нпр. за проблем трговацког путника на 4 града [ А, Б, Ц, Д], пермутација [2, 3, 1, 4] у првом начину кодирања означава циклус [ Б ,Ц , А, Д], док у другом начину кодирања одговара циклусу [Ц, А, Б, Д].
2
Хемингова удаљеност (енг. Hamming measure) measure) за 2 стринга једнаке дужине дефинише се као број позиција на којима су они различити. различити . 3 3Алел је облик појединог гена. Нпр. могући алели сваког гена у бинарном приказу су 0 и 1.
- 27 -
4.5.
Оператори варијације Мутација
Мутација је заједничко име за све операторе који из генотипа само једног родитеља креирају само једно дете, уз помоћ неке врсте насумичне промене. У овом поглављу описаћемо разне врсте оператора мутациј м утациј
Мутација код бинарне репрезентације Са неколико изузетака, најчешће коришћен оператор мутације код бирарног кодирања је оператор који засебно проматра сваки ген и сваком даје малу вероватност 4 да је промени из 0 у 1 или обрнуто. Број Број промена није фиксиран; за стринг стринг дужине L у просеку ће се променити вредности. Слика 4.2 Слика 4.2 приказује стринг у којем је дошло до мутације на позицији 6.
Слика 4.2 4.2 Пример мутације битбит-стринга
Проблем бирања оптималног параметра је добро проучен; углавном зависи од типа проблема с којим се сусрећемо. Нпр. желимо ли популацију у којој све јединке имају високу подобност, или желимо пронаћи само једну такву јединку. јединку. Но, можемо рећи да се генерално узима такав параметар да у просеку долази до измене једне измене једне мутације по генерацији и једне мутације у потомству.
Мутација код репрезентација природним бројевима Код репрезентације природним бројевима постоје 2 главна облика мутације. Оба та облика независно проматрају сваки ген па га мутирају с веројатносћу .
Насумично ресетовање У овом случају промену битова из претходног поглавља проширујемо тако да нову вредност насумично бирамо из скупа скупа дозвољених вредности на свакој позицији. позицији. Овај тип
4
називамо параметар мутације. мутације .
- 28 -
мутације погодан је кад није битно колико ћемо се мутирањем помакнути у простору, будући да је вероватноћа вероватноћа одабира једнака одабира једнака за сваку вредност.
Мутација помаком Овде мутацију имплементирамо као мали помак (позитивни или негативни) од тренутне вредности за сваки ген с неком вероватноћом . Вредност помака се обично сваки пут насумично бира из неке дистрибуције симетричне око 0, за коју је вероватноћа одабира малог параметра већа од вероватноће одабира великог параметра (нпр. нормална дистрибуција). Проблем бирања оптималне величине помака није тривијалан те се понекад користи више од једног једног оператора. Уобичајена решења су коришћење тзв. малог и великог помака, или коришћење малог помака у пару с оператором насумичног ресетовања. Наравно, улога малог помака је фино угађање решења, док је функција великог помака, као и оператора насумичног ресетирања омогућавање бржег претраживања целог простора, као и бег из локалног минимума. минимума.
Оператори мутације код репрезентација реалним бројевима У овом случају, оператори мутације дефинисани су тако да вредност сваког алела насумично мењају унутар унутар његовог његовог домене ([ ]). Дакле, резултат мутације је следећа трансформација:
Поново разликујемо 2 случаја, случаја, по литератури [4]:
1. Униформна мутација
’
Код овог оператора, оператора, вредност xi насумично се извлаче из To To je најједноставнији тип мутације, мутације, аналоган промени битова код бинарне репрезентације и насумичном ресетовању код природних бројева. бројева.
2. Неуниформна Неуниформна мутација мутација с фиксном фиксном дистрибуцијо дистрибуцијом м Ово је најчешће коришћен тип мутације код репрезентација реалним бројевима. Аналоган је мутацији помаком код природних бројева. Као и у мутацији помаком, тренутној вредности алела додајемо неку вредност. Опет, желимо да је помак у већини слуцајева мали, што постижемо подешавањем параметара дистрибуције из које извлачимо вредност помака. Такоде, напоменимо да се овај тип мутације најчешће примењује с вероватношћу 1 по гену, док параметром мутације контролишемо стандардну девијацију (најцесце Гаусове) дистрибуције.[4] дистрибуције.[4]
- 29 -
Оператори мутације за репрезентације пермутацијама Код репрезентација пермутацијама, пермутацијама, више није могуће независно посматрати сваки ген (нпр. резултат мутације само једног алела више није пермутација). Уместо тога, мутација ће помицати алеле по геному. Поседица тога је да ће параметар мутације у овом случају бити вероватноћа подвргавања стринга мутацији, уместо вероватноће да мутацији подвргавамо неки ген.Посматраћемо 4 типа мутација:
1. Мутација Мутација заменом У овом типу мутације насумично бирамо 2 позиције у стрингу и заменимо њихове вредности. Види слику 4.3. 4.3.
2. Мутација Мутација уметањем уметањем У овом слуцају насумично одаберемо 2 алела, једног помакнемо тако да је поред другог, а остале помакнемо за једно место, уколико је то потребно. Пример је дат на слици 4.4.
Слике 4.3 Пример 4.3 Пример мутације заменом
Слика 4.4 Пример 4.4 Пример мутације уметањем
3. Пермутациона Пермутациона мутација мутација Овде је цели стринг, или неки његов подскуп насумично пермутован. На слици 4.5 4.5 дат је пример с пермутованим подскупом од треће до шесте позиције.
Слика 4.5 Пример 4.5 Пример пермутационе мутације пермутационе мутације
- 30 -
4. Мутација Мутација инвертовањем инвертовањем Мутација инвертовањем функционше на следећи следећи начин: начин: насумично одаберемо 2 позиције у стрингу и заменимо редослед вредности измеду измеду њих. њих. Пример мутације инвертовањем дат је на слици 4.6 4.6,, поново измеду позиција 3 и 6.
Слика 4.6 Пример 4.6 Пример мутације инвертовањем
Рекомбинација
4.6.
Рекомбинација је процес у којем је ново решење добијено комбинацијом генетског материјала 2 (или више) родитеља те је једна од компоненти ЕА по којој се разликују од осталих алгоритама за глобалну оптимизацију. Често се, се, према литератури [4] уместо термина рекомбинација користи енг. crossover , иако је строго гледано crossover случај рекомбинације с тачно два родитеља. Оператор рекомбинације обично се примењује с вероватношћу , обицно [0.5, 1]. Уобичајен поступак је следећи: одаберу се 2 родитеља па се насумично одабере неки број из [0, 1] и упореди с . Уколико је тај број мањи од , рекомбинацијом се добију 2 потомка, док се у супротном случају копирају родитељи. Последица тога је да се у скупу потомака налазе неке нове јединке, али и неке копије већ постојећих. Дакле, за разлику од параметра мутације , који даје вероватноћу да ће делови хромозома бити мутирани, независно једни од других, даје вероватноћу да ће неки изабрани пар пар родитеља бити подвргнут подвргнут оператору рекомбинације.
Оператори рекомбинације за бинарне репрезентације Три стандардна облика рекомбинације користе се код бинарних репрезентација. Ближе ћемо се позабавити случајевима у којима од 2 родитеља добијамо добијамо двоје потомака, што се лако додирује.
Рекомбинација у једној тачки
У овом типу оператора рекомбинације одабиремо насумичан број из [0 , [0 , l − 1], где је l дузина l дузина стринга и након тога ”пресечемо” оба родитеља у тој тачки и заменимо њихове задње делове. (слика 4.7) 4.7) - 31 -
Слика 4.7 Пример 4.7 Пример рекомбинације у једној тачки
Рекомбинација у n тачака
Природна генерализација рекомбинације у једној тачки, стринг смо пресекли на више од једне тачке па потомке добили тако да смо алтернирали делове из првог и другог родитеља. ˇНа слици 4.8 дат је пример рекомбинације у 2 тачке. Приметимо да рекомбинација у n тацака има тенденцију тенденцију да оне гене који су на блиским позицијама оставља заједно у потомцима; штавише, за парни n то се догађа и с генима који су на супротним странама стрингова. Следећи начин рекомбинације имун је на тај проблем.
Слика 4.8 Пример 4.8 Пример рекомбинације у две тачке
Униформна рекомбинација
Док су претходна 2 оператора делила родитеље на неки број подскупова гена родитеља и спајала их како би добили потомке, код ове методе сваки ген посматрамо засебно па насумично бирамо од којег ћемо га родитеља наследити. Та се метода најчешће имплементира помоћу стринга од L случајних варијабли из униформне дистрибуције на [0, 1]. На свакој позицији, уколико је вредност случајне варијабле испод неке вредности (најчешће 0.5) копирамо тај ген из првог родитеља, иначе га копирамо од другог. Други потомак добије се супротним поступком. Види слику 4.9 4.9
- 32 -
Слика 4.9 Слика 4.9 Пример Пример униформне рекомбинације
Оператори рекомбинације за репрезентације природним бројевима Код овог типа репрезентације, оператори рекомбинације дефинишу се идентично као и код бинарне репрезентације.
Оператори рекомбинације за репрезентације реалним бројевима Постоје 2 опције за рекомбинацију стрингова реалних бројева: 1. Аналогна дефиниција оператора као и у осталим случајевима. Оператори тог типа познати су и као дискретне рекомбинације. Приметимо да је главни недостатак овако дефинисаних оператора тај што је мутација једини начин којим се у популацију могу увести нове вредности; другим речима, ако из родитеља x и y креирамо дете z дете z вреди вреди или .
2. Оператор који, за сваки ген, креира нову вредност алела код потомка. Дакле, z Дакле, z i = αxi+(1−α)yi, за неки α [0, 1]. Предност овако дефинисаног оператора је могућност стварања новог генетског материјала. С друге стране, приметимо да се у свакој новој генерацији, јер је z i увек измеду xi и yi , смањује распон вредности алела. Оператори тог типа познати су и као аритметичке рекомбинације. Приметимо да овај тип оператора не можемо дефинирати на бинарним репрезентацијама и на репрезентацијама природним бројевима, будући да се може догодити да z i дефинишемо на горе описан описан начин више није бинаран, односно природан број.
Аритметичка рекомбинација Три типа аритметичке рекомбинације ближе ћемо описати у овом поглављу. У сва 3 случаја, параметар α може се одабрати насумично над [0 , 1], али најчешће се користи нека константа. Уколико је α = 0.5 тада се ради о униформној аритметичкој рекомбинацији.
Једноставна рекомбинација Прво бирамо тачку рекомбинације к. Тада, првих к вредности из родитеља 1 копирамо у дете 1, а првих к вредности из родитеља 2 копирамо у дете 2. Остатак места у оба детета попунимо аритметичким срединама родитеља.
- 33 -
Дете 1: Дете 2:
( ) () ( ) ()
Слика 4.10 Пример 4.10 Пример једноставне аритметицке рекомбинације к = 5, α = 0.5
Рекомбинација на једном месту Одаберемо неки алел к. На тој позицији, у оба детета ставимо просек алела родитеља на тој позицији. Остале алеле препишемо од родитеља. Дете 1: Дете 2:
( ) ( )
Униформна рекомбинација Ово је најћешће коришћена аритметичка рекомбинација. Креира 2 детета на следећи начин.
Дете 1: Дете 2:
⃗ ( )⃗ ⃗ ( )⃗
- 34 -
Слика 4.11 Пример 4.11 Пример аритметичке рекомбинације на једном месту , к=2, α=0,5
Слика 4.12 Слика 4.12 Пример Пример униформне униформне аритметичке рекомбинације, аритметичке рекомбинације, α=0,5
Оператори рекомбинације за репрезентације пермутацијама Већ на први поглед јасно је да за овакав тип репрезентација не можемо оператор рекомбинације дизајнирати на исти начин као у претходним случајевима. Због тога постоје специјално дизајнирани оператори специјализовани за рад с пермутацијама. Овде ћемо детаљно описати 2 најпознатија таква оператора:
1. Парцијално Парцијално укрштање укрштање Парцијално укрштање први су употребили употребили Голдберг и Лингле као оператор рекомбинације за проблем трговачког путника u, након чега су се појавиле многе варијације тог алгоритма. Следи алгоритам једне од варијација, употребљене од стране Витлеја. Графички приказ дат је је на сликама 4.13, 4.14, 4.15. 4.15. 1. Насумично одаберемо 2 тачке укрстања укрстања (Т1, Т1, Т2), Т2), сегмент између њих копирамо из првог родитеља ( R1) R1) у прво дете ( D1). D1). 2. Почевши од Т1 тражимо елементе у другом родитељу ( R2) R2) који још нису копирани.
3. За сваки од тих елемената i, у D1 у D1 погледамо који елемент ј елемент ј R1 је R1 је копиран на његово место.
- 35 -
4. Ставимо и на позицију коју је ј заузимао у R2. R2. Знамо да на ту позицију нећемо стављати ј стављати ј јер јер њега већ имамо у детету. 5. Ако је место које ј заузима у R2 у R2 већ заузето у потомку неким елементом к, ставимо и на позицију коју к заузима у R2 у R2.. 6. Тиме смо завршили с елементима који се појављују у сегменту укрштања . Остатак потомка попунимо елементима из R2, R2, док друго дете креирамо аналогно, са замењеним улогама родитеља.
Слика 4.13 4.13 Парцијално укрстање , корак 1
Слика 4.14 4.14 Парцијално Парцијално укрстање, корак 2. Приметимо, 7 је први елемент у R у R2 2 који се не налази у средњем сегменту у R у R1. 1. Позиција коју 7 заузима у Р2 у детету заузима 5. Сада гледамо на којој је позицији у R у R2 2 5. Видимо да ту позицију у детету већ заузима 3, па тражимо позицију коју у R у R2 2 заузима 3. коначно, то је позиција 2, која је која је слободна, па на њу моземо ставити 7. Аналогно понављамо по нављамо за 1.
Слика 4.15 Парцијално 4.15 Парцијално укрстање, резултат
- 36 -
Посматрајмо сада суседне алеле у родитељима. Видимо да су у оба родитеља суседне вредности 22-3 и 4-5. Но, у D1 у D1,, само је веза 44-5 остала сачувана. То нарушава тзв. својство сачувања веза које каже да свака информација присутна у оба родитеља такође треба бити присутна и у њиховим потомцима. Размислимо ли, примећујемо да је то својство задовољено за све досад описане операторе, осим за парцијално урштање. Но, постоји неколико оператора за пермутацијске репрезентације који задовољавају и то својство. Описујемо их у наставку.
2. Укрштање са сачуваним везама Укрштање са сачуваним везама (енг. Edge (енг. Edge Crossover у даљњем тексту ЕС тексту ЕС ) се заснива на идеји да, колико год је то могуће, у потомству требају бити суседни само они елементи који већ имају то својство у бар једном од родитеља. родитеља. Овде ћемо укратко описати једну од верзија тог алгоритма. Конструисаћемо тзв. таблицу веза, која за сваки елемент даје све елементе који су њему суседни у бар једном родитељу. родитељу. ”+” у таблици значи да је веза присутна у оба родитеља. Оператор ради на следећ и начин: 1. 2. 3. 4. 5.
Конструисаћемо таблицу веза. Насумично одабери почетни елемент и стави га у дете. Постави тренутни – тренутни – елемент елемент = = унос. У таблици обриши сва појављивања тренутни тренутни - елемент За тренутни тренутни - елемент Ако постоји веза присутна у оба родитеља, њу одаберемо као следећи елемент. Иначе одаберемо елемент повезан с тренутним елементом који има најмање других веза. Уколико 2 елемента задовољавају неки од горњих услова насумично одаберемо једног од њих. 6. Уколико дођемо до елемента за којег више немамо ниједну везу у попису, дете надопуњавамо на другу страну. Уколико ни то не можемо направити, нови елемент бирамо насумичним одабиром.
Очито, само у задњем случају може доћи до креирања нових веза. Пример ЕС Пример ЕС даћемо даћемо на иста 2 родитеља као и ранијим примерима, дакле [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] и [2, 3, 5, 4, 7, 1, 6, 8]. Таблица веза приказана је на таблици 2.1, док је конструкција детета детаљно приказана у таблици 2.2.
3. Укрстање са оцуваним редом Почетак је сличан као и код парцијалног укрстања, но други део алгоритма је различит; овде је циљ сачувати информације о релативном реду елемената низа. Наводимо кораке алгоритма: 1. Насумично одаберемо 2 тачке укршатања, копирамо сегмент између те две тачке из R1 у D1. D1. - 37 -
Елемент
Везе
1 2 3 4 5 6 7 8
2, 6, 7, 8 1, 3+, 8 2+, 4 ,5 3, 5+, 7 3, 4+, 6 1, 5, 7, 8 1, 4, 6, 8 1, 2, 6, 7
Табела 4 Табела 4.1 .1 Таблица веза
Могући избори
Избор
Разлог
Дете
1-8 2, 6, 7, 8 3, 5 4, 5 4, 6 7 6, 8 6
1 2 3 5 4 7 8 6
Насумично Насумично Најмања веза Заједничка веза Насумично Заједничка веза Једини избор Насумично Једини избор
[1] [1, 2] [1, 2, 3] [1, 2, 3, 4] [1, 2, 3, 5, 4] [1, 2, 3, 5, 4, 7] [1, 2, 3, 5, 4, 7, 8] [1, 2, 3, 5, 4, 7, 8, 6]
Табела 4 Табела 4.2 .2 Конструкција детета код ЕC
1. Почевси од друге тачке укрштања укрштања у R2, R2, преписујемо преостале неискорисчене бројеве у прво дете у поретку истом као у R2. R2. Кад додемо до краја R2 краја R2,, настављамо од почетка 2. D2 креирамо аналогно, са замењеним улогама R1 улогама R1 и R2. R2.
Слика 4.16 Уксрштање с очуваним редом , корак 1 - 38 -
4. Циклично укрстање укрстање
Слика 4.17 Укрштањем с очуваним редом, корак 2
Последњи тип укштања с којим ћемо се детаљније позабавити је циклично укрштање. Оно се користи када желимо што боље сачувати информације о томе на којој се позицији налази који елемент. На почетку поделимо елементе у циклусе. Циклус је подскуп елемената који има својство да је, код поравнатих родитеља, сваки елемент циклуса на истој позицији у неком од родитеља као и још неки елемент из тог циклуса у другом родитељу. Након што смо поделили пермутацију у циклусе, потомке стварамо наизменично бирајући циклусе из сваког родитеља. Опишимо сада детаљније процес стварања циклуса: 5. I 5. II 5. III 5. IV 5. V
Почињемо с првом неискоришћеном позицијом у R1 у R1.. Промотримо алел на истој позицији у R2 у R2 Помакнемо се на позицију с истим алелом у R1 у R1.. Додамо тај алел у циклус. Понављамо кораке 22-4 док се не вратимо на почетак.
Следеће 2 слике приказују идентификацију циклуса на родитељима [1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] и [3, 1, 6, 5, 8, 2, 4, 7] (слика 4.18 4.18)) и конструкцију потомства (слика 4.19) 4.19)
Слика 4.18 Циклично 4.18 Циклично укрштање, идентификација циклуса
- 39 -
Слика 4.19 Циклично 4.19 Циклично укрштање, креирање деце
5. Рекомбинација Рекомбинација с више више родитеља родитеља Досад смо се бавили унарним (мутација) и бинарним (укрштање) операторима варијације. Природно се намеће идеја повећања оператора рекомбинације на више ( n ) родитеља. То повећење је релативно лако дефинисати деф инисати и имплементирати, иако не постоји директан биолошки еквивалент. N -арне операторе рекомбинације можемо категоризовати с обзиром на основни механизам који се користи код комбинирања информација из родитеља. Овде ћемо само навести различите категорије и дати референце на радове у којима се може детаљније проучити сваки од њих:
Оператори базирани на фреквенцијама алела, генерализирају униформно укрштање. Оператори базирани на сегментацији и рекомбинацији родитеља, генерализирају укстање у н тацака. Оператори базирани на нумерицким операцијама на алелима с реалним вредностима, који генерализирају аритметицке операторе р екомбинације.
Повецање броја родитеља у рекомбинацији не мора нужно довести до побољшања перформанси ЕА, то увелико зависи од типа рекомбинације, типа рекомбинације, као и од самог проблема. Но, велики број експеримената на разним проблемима проведених у [4 [4] показују да је корисћење више од 2 родитеља најчешће корисно.
- 40 -
Реално кодирани генетски алгоритми Код конвенционалних генетских алгоритама су све променљиве бинарно кодиране и јединка заједно чини један бинарни низ. Бинарни низови чине хромозом без обзира на природу самих променљивих. При претраживању континуалног простора за оптималним решењем бинарно кодираним код ираним генетским алгоритмом јављају се разне потешкоће. У циљу превазилажења ових потешкоћа последњих година су развијени и примењују се реално кодирани генетски алгоритми, који се у литератури називају још и континуални генетски алгоритми, код којих су променљиве представљене реалним бројевима. Употреба реално кодираних променљивих у генетском алгоритму доноси бројне предности у односу на бинарно кодиране. Ефикасност генетских алгоритама је поведана јер нема потребе за додатном конверзијом променљивих у бинарне бројеве и обратно, мање меморије је потребно за прорачун, постиже се већа прецизност јер нема губитака тачности који се јављају при дискретизацији у бинарне вредности и постоји веда слобода употребе различитих генетичких оператора [2] Фитнес функција је функција је функција коју желимо да оптимизујемо. У литератури има и назив функција циља, функција доброте, функција способности или евал функција. Њоме се остварује оцена квалитета јединке. Постоји више начина за дефинисање функције циља. За задати оптимизациони проблем најведу потешкоду представља дефинисање функције циља. Она треба верно да одражава проблем који се решава. При томе оптимизациони алати покушавају да нађу минимум фитнес функције. Јединка је свака тачка на коју можемо применити фитнес функцију. Вредност фитнес функције за једну јединку је њен резултат ( scope). scope). Уколико генетски алгоритам примењујемо за тражење глобалног минимума функције једне променљиве x променљиве x у интервалу [ x xmin, xmax] тада се једно решење x [xmin , xmax ] представља једном јединком, односно једним хромозомом. За генетски алгоритам је значајно да хромозом представља могуће решење задатог проблема. На пример, ако је фитнес функција:
вектор (2, -3, 1), чија дужина одговара броју број у променљивих у проблему, је једна јединка. Резултат јединке (2, –3, 1) је f (2, –3, 1) = 51. Једна јединка се често назива геном, а векторски параметри који је карактеришу се називају гени. Популација је низ јединки. На пример, ако је величина популације 100, а број променљивих фитнес функције 3, популација је представљена матрицом 100 x 3. Иста јединка се може појавити више пута у популацији. На пример, јединка (2,(2,-3,1) се може појавити у више колона матрице. При свакој итерацији генетски алгоритам извршава серије прорачуна на тренутно актуелној популацији, како би произвео нову популацију. Свака успешна популација се назива нова генерација. - 41 -
Разноврсност (разноликост) се односи на средње растојање између јединки у популацији. Популација има високу разноликост ако је средње растојање велико; у осталим случајевима има ниску разноликост. На слици 4.20 популација са леве стране има високу, док популација са десне стране има ниску разноликост.
Разноврсност је од суштинског значаја за генетски алгоритма, због тога што омогућава алгоритму да има ширу област претраживања.
Слика 4.20, Слика 4.20, Разноврсност почетне популације Вредност фитнес функције једне јединке је вредност фитнес функције за ту јединку. Због тога што софтверски алати проналазе минимум фитнес функције, најбоља фитнес вредност за популацију је најмања фитнес вредност за све јединке у популацији. Да би креирао следећу генерацију, генетски алгор итам селектује одређене јединке у тренутно актуелној популацији, који се називају родитељи, и користи их за креирање јединки следеде генерације, које се називају потомци. Типично, алгоритам радије бира родитеље који имају бољу фитнес вредност. Алгоритам почиње креирањем иницијалне (почетне) популације (слика 4.21). 4.21). У следедем кораку он креира нову популацију. Да би креирао нову популацију, генетски алгоритам користи јединке тренутно актуелне популације и изводи следеће кораке :
Рангира све чланове тренутно актуелне популације према прорачуну њихове фитнес вредности. Скалира редове фитнес резултата да би их конвертовао у ранг њихове вредности. Селектује чланове – родитеље, родитеље, зависно од њиховог фитнеса. Неке јединке у тренутно актуелној популацији, које имају нижу фитнес вредност, бирају се као елита. Они прелазе у следеду генерацију. Производи (креира) популацију потомака од изабране популације родитеља. Овај поступак се изводи променама у геномима родитеља – мутацијом или комбинацијом гена родитељског пара – укрштањем. – укрштањем. - 42 -
Замењује тренутно актуелну популацију потомцима, како би формирао нову генерацију. Алгоритам се зауставља (завршава) када један од критеријума за заустављање буде испуњен.
У примеру са слике 4.21 слике 4.21 почетна популација има 20 јединки, што је унапре дефинисана вредност. Треба обратити пажњу на чињеницу да се све јединке ове популације налазе у горњем десном квадранту. То значи да су њихове координате између 0 и 1, због тога што је унапред дефинисана вредност опсега у коме де се оне наћи [0;1]. Уколико је приближно познато где лежи тачка минимума за посматрану функцију, може се подесити почетна вредност тако да та тачка лежи близу средине подручја. На пример, ако је тачка минимума функције коју је потребно минимизовати близу тачке [0 0], 0] , може се подесити почетни опсег у границама [-1;1] [-1;1].. Међутим, као што овај пример показује, генетски алгоритам може да нађе минимум и ван граница почетно дефинисаног опсега.
Слика 4.21 Креирање 4.21 Креирање почетне популације У сваком кораку генетски алгоритам користи текућу популацију за стварање потомака која ће чинити следеду генерацију. Алгоритам селектује групу јединки из текуће популације – родитеље, – родитеље, који предају своје гене потомцима. Алгоритам обично узима за
- 43 -
родитеље јединке које имају бољу фитнес вредност. Такође се могу специфицирати функције (критеријуми) које де алгоритам користити при селек цији родитеља. Генетски алгоритам ствара три типа потомака за следед у генерацију: Елитни потомци су јединке текуде генерације са најбољим фитнес вредностима. Те јединке аутоматски остају у следећој генерацији. Укрштени потомци се креирају комбинацијом гена родитељског пара. Потомци настали мутацијом су засновани на извођењу мутације над генима једног родитеља. Шематски дијаграм стварања ових типова потомака приказан је на слици 4.22. Алгоритам ствара нову популацију укрштањем тако што комбинује пар родитеља у тренутно актуелној популацији. У свакој координати вектора нових јединки (потомака) подразумеване функције укрштања по методи узимања случајних узорака селект ујугене ују гене два родитеља и додељују их потомцима.
Слика 4.22 Типови потомака настали генетским операцијама Алгоритам ствара потомке мутацијом бирајући јединке - родитеље по методи случајног узорка и мењајући њихове гене. Слика 4.23 показује јединке (потомке), то јест популацију друге генерације; посебним ознакама представљени су елитни потомци, као и потомци настали укрштањем и мутацијом
- 44 -
Слика 4.23 Популација 4.23 Популација друге генерације На слици 4.24 приказане су популације у 6060-тој, 8080-тој, 95 тој, 95--тој и 100100-тој итерацији. По дијаграмима се може закључити да како број итерације (генерације) расте, јединке из тих популација се међусобно приближавају – групишу и постају све ближе тачки минимума [0 минимума [0 0].
Слика 4.24 Популације 4.24 Популације у различитим итерацијама генетског алгоритма
- 45 -
Прекид генетског алгоритма одређују следећи параметри[2]: параметри[2]:
Број генерација – алгоритам се зауставља када број генерација достигне унапред дефинисану вредност. Временско ограничење – алгоритам се завршава када се достигне унапред дефинисано време трајања оптимизације у секундама. Гранична вредност фитнес функције – када вредност фитнес функције за најбољу тачку у тренутно актуелној популацији достигне задату граничну вре дност. Стагнирање генерација – алгоритам – алгоритам се зауставља када средње промене у вредности фитнес функције буду мање од дозвољене вредности – толеранције. – толеранције. Временско стагнирање – алгоритам се зауставља ако нема напретка у вредности фитнес функције за време неког унапред дефинисаног временског интервала. Толеранција функције – дозвољено одступање вредности фитнес функције (толеранција).
Алгоритам се завршава чим се неки од о д ових услова испуни. Након што се алгоритам заустави у складу са испуњењем једног од наведених услова, резултати рез ултати оптимизације се могу поправити поведањем вредности ових параметара.[2] параметара.[2] Да би се остварили бољи резултати генетског алгоритма обично је потребно експериментисати са различитим опцијама. Избор најбољих опција подразумева испробавање и појаву грешке. Један од најважнијих фактора који одређује перформансе генетског алгоритма је разноликост популације. Ако је средње растојање средње растојање између јединки велико, раноликост је висока; висока; ако је средње растојање мало, разноликост је ниска. ниска. Ако је разноликост превише висока или превише ниска, генетски алгоритам неде бити довољно квалитетан. Повећање величине популације омогућава генетском алгоритму да претражује више тачака и на тај начин добије боље резултате. Међутим, с друге стране, поведање величине популације изазива повећање времена потребног за извођење генетског алгоритма за сваку генерацију. Скалирање фитнес функције конвертује редове фитнес резултата као оџива на фитнес функцију у низ вредности које су прилагођене селекцији. Функција селекције користи скалиране фитнес вредности како би селектовала родитеље за стварање следеде генерације. Селекциона функција додељује веду могудност селекције јединкама са већом скалираном вредношћу. Опсег скалираних вредности утиче на перформансе генетског алгоритма. Ако су скалиране вредности у врло широком опсегу јединке са вишом вредношду репродукују се много више, убрзо доминирају популацијом, онемогудавајуди алгоритму претраживање других области на простору за претраживање. С друге стране, ако је опсег скалираних вредности врло мали, све јединке имају готово исте шансе за репродукцију и претраживање де напредовати врло споро. Због тога што алгоритам минимизира фитнес функцију нижи редови резултата имаде веду скалирану вредност.
Селекцијом се бирају родитељи следеде генерације на основу њихове вредности фитнес функције. Једна јединка може бити изабрана више пута као ро дитељ, при чему даје - 46 -
своје гене ведем броју потомака. Стохастички униформна селекција заснива се на чињеници да сваки родитељ одговара оном делу линије процеса оптимизације, чија је дужина пропорционална његовим скалираним вредностима. Алгоритам се креде дуж линије одвијања процеса у корацима исте величне. При сваком кораку селектује родитеље који се налазе на том делу процеса. Много одређенија селекција је на основу остатка, која се састоји из два корака:
У првом кораку функција бира родитеље на основу њихове целобројне вредности фитнес функције за сваку јединку. У другом кораку селектује додатне родитеље користеди стохастичку (случајну) селекцију.
Репродукција је генетска операција којом се контролише како генетски алгоритам ствара нову генерацију. Битни параметри репродукције су: су:
Број елите – број јединки са најбољим фитнес вредностима у текудој генерацији које ће гарантовано преживети у следедој генерацији. Те јединке се зову елитним потомцима. Избор великог броја елитних потомака проузроковаде да изабране јединке доминирају популацијом, што де смањити ефикасност претраживања. Фракција укрштања – скуп јединки у следедој генерацији, које су настале укрштањем.
Генетски алгоритам користи јединке текуће генерације за стварање деце следеће генерације. Осим елитне деце, која су настала од јединки текуде генерације са најбољим фитнес вредностима, генетски алгоритам креира потомке настале укрштањем изабраних гена пара јединки текуде генерације и њиховом комбинацијом, као и потомке настале мутацијом - применом промена на јединкама текуде генерације ради стварања деце. Оба процеса су суштина генетског алгоритма. Укрштање омогудава алгоритму да извуче најбоље гене различитих јединки и да их комбинује у потомке супериорних карактеристика. Мутација је заснована на разноликости популације и повећава вероватноћу да де алгоритам генерисати јединке са бољим фитнес вредностима.[2] вредностима.[2]
- 47 -
5. Оптимизација параметара упрошћеног скаларног система PID
контролера применом реално кодираних генетских алгоритама
Циљ овог задатка је пројектовати генетски алгоритам у програму Ма програму Маtlab tlab који ће доћи до најбољих вредност пропорционалног, интегралног и диференцијалног појачања за PID контролер који је примењен на одређени систем чију преносну функцију задајемо. задајемо. Нека је наша преносна функција
Наш програм пре промене параметара PID контролера изгледа као
где са s са s дефинишемо преносну функцију.
На слици 5.1 можемо видети изглед одзива преносне функције пре промена параметара PID контролера.
- 48 -
Слика 5.1 Одзив преносне функције пре подешавања параметара PID параметара PID контролера Сада ћемо доделити неке насумичне вредности параметара Kp параметара Kp,, Ki и Kd , да бисмо видели какав ће бити одзив система после извесних подешавања параметара PID контролера. Нека вредности параметара износе: Kp = Kp = 100, Ki = Ki = 200, = 50. Kd = Након тога, дефинисаћемо вредност преносне функције PID контролера која износи
()
Изглед преносне функције у програму Matlab програму Matlab
- 49 -
На слици 5.2 можемо видети изглед графика одзива преносне функције.
Слика 5.2 График одзива преносне функције за вредности параметара појачања Kp појачања Kp = 100, Ki = 200, Kd = 50 Са графика се може закључити да је одзив система јако лош, да систем има осцилација, и да му је потребно доста времена да дође у устаљено стање. Разлог томе јесу наше вредности параметара појачања, па у вези са тим, морамо променити њихове вредности. Нека су сада вредности параметара појачања следеће: Kp = Kp = 200, Ki = Ki = 300, Kd = = 50. Сада на слици 5.3 можемо видети изгед графика одзива преносне функције PID контролера после промена вредности пропорционалног и интегралног појачања.
- 50 -
Слика 5.3 График одзива преносне функције за вредности параметара Kp параметара Kp = 200, Ki = 300, Kd = 50 И даље нам одзив није најбољи, али је довољно добар да можемо да наставимо са даљим подешавањима. Можемо закључити да нам промене вредности параметара Ki и Kd побољшавају одзив система, али не знамо које су нам тачне вредности параметара потребне. То ћемо решити тако што ћемо извршити оптимизацију параметара система PID контролера. Постоји много метода за оптимизацију параметара система, ми ћемо, за наш случај, одабрати методу оптимизације параметара система PID контролера применом генетских алгоритама. Прва ствар коју радимо, јесте дефинисање наше функције, што би у програму Matlab изгледало као
где смо са Ј са Ј дефинисали дефинисали име наше функције, а са x са x варијаблу, која ће у параметрима Kp параметрима Kp,, Ki и Kd мењати Kd мењати своју вредност под утицајем генетских алгоритама.
- 51 -
Дефинисања преносне фукције у програму
Matlab
Наш циљ је проналажење тачне вредности параметара појачања за које ће одзив система бити добар,и за то постоји више начина за решавање, а један од њих јесте налажење одзива контролера током неког одређеног временског периода. Дакле, прво дефинишемо време, које у програмском пакету Matlab пакету Matlab изгледа као:
Након тога, дефинишемо вредност грешке:
Последњи корак јесте дефинисање наше функције Ј као производ суме времена t и апсолутне вредности грешке и вредности dt
Сада је наша функција потпуно дефинисана и можемо да почнемо са оптимизацијом. Кликом на опцију Optimization отвара нам се нови прозор где ћемо дефинисати вредност фитнес функције, која ће имати исту вредност као и наша фукција Ј, унети број параметара појачања, дефинисати границе (eng. Bounder ), ), и покренути оптимизацију где ће, ако је све подешено како треба, одзив наше функције бити у реду.
- 52 -
Изглед прозора Optimization за дефинисање и подешавање параметара система за оптимизацију применом генетских алгоритама
Након завршетка оптимизације, на графицима, слика 5.4 5.4, можемо видети како су се вредности параметара Kp, Kp, Ki и Kd , промениле током времена, времена, који је најбољи а који средњи фитнес, kao фитнес, kao и колико нам је генерација било потребно за оптимизацију.
Слика 5.4 Графици 5.4 Графици промене најбоље и средње вредности фитнеса кроз генерације
- 53 -
Можемо закњучити да наше тражене вредности параметара појачања PID контролера износе: Kp = Kp = 249.8165 Ki = Ki = 499.9998 Kd = = 24. 8416.
На следећем графику, слика 5.4, видимо и како изгледа одзив система, где моћемо да закључимо да нема осцилација и да је мало времена потребно да систем доће у устаљено стање.
Слика 5.5 5.5 График одзива система након подешавања параметара PID параметара PID контролера применом генетских алгоритама
- 54 -
5.1.
Оптимизација параметара комплексног мултиваријабилног система PID контролера применом реално кодираних генетских алгоритама PID управљање процесом
Описаћемо пример линеаризованог мултиваријабилног модела који има 3 улаза и 4 излаза, као што је дато на слици 5.6. 5. 6.
Слика 5.6 Слика 5.6 Блок Блок--шема управљања процесом са PID са PID контролерима
Систем се састоји од два паралелна PID контролера. Процесом са слике се управља са два паралелна PI контролера. Структура PID контролера датог система управљања ће бити написана као: као:
односно,
() ()
Претпоставићемо да је модел нормализован за неке вредности параметара - 55 -
̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ За нумеричко одређивање оптималних параметара PID контролера као у прошлом примеру, користићемо реално кодиране генетске алгоритме, који су базирани на принципима еволуционе генетике и природне селекције. селекције . На слици 5.7 дата је шема генетске оптимизације параметара PID контролера, где је yd жељена вредност излаза, u је излаз система, и u је излаз из PID контролера, односно управљачки улаз. Грешка е једнака је разлици је разлици жељеног и стварног излаза.
Слика 5.7 5.7 Шема генетске оптимизације параметара PID параметара PID контролера
Узећемо да нам вектор
[ ] чији су елементи једнаки појачањима PID контролера преставља хромозом, док су сама појачања заправо гени који чине потенцијална решења проблема подешавања параметара PID контролера применом генетских алгоритама. Хромозом θ са реално кодираним елементима еволуира из генерације у генерацију применом еволуционих пераметара како би постигао боље перформанце у свакој генерацији. Код генетске оптимизације PID контролера за управљање датим процесом једну популацију ће чинити 20 хромозома. Почетна вредност хромозома биће: биће:
Θ = [0,0,0,0,0,0], - 56 -
а хромозоми прве генерације ће узимати вредности из опсега [0,50]. Основне генетске операције помоду којих настаје нова генерација и које обезбеђују глобалн у минимизацију фитнес функције без тестирања свих могудих решења су с елекција, укрштање и мутација. Селекцијом смо одредили најбоље елементе популације, односно елитне елементие и изабрали по 2 елитна хромозома из сваке генерације. генерације. Они ће сада сада бити преношени у наредну генерацију и учествоваће у укрштању. Остали елементи за укрштање бирани су рулет селекцијом, односно случајним сл учајним избором. Одабрани хромозоми родитељи р одитељи подељени су у две групе и извршили смо расипно укрштање. Мутација је извршена над случајно изабраним хромозомима деце, чиме је формирана нова популација. Функцију циља, односно фитнес функцију дефинисаћемо у следећем облику:
| ̂ | | ̂ | () ∑ ∑ Параметар к је тежински фактор и у овом случају нека има вредност к=2. Након покретања видимо да је оптимизација трајала 100 генерација и добијени су следећи параметри ПИД контролера: K P1=21.59; 21.59; K i1 27.60; K d1 6.66; i1=27.60; d1=6.66; K p2=6.37; 6.37; K i2 0.17; K d2 i2=0.17; d2=21.09 , а вредност фитнес функције за овако добијене параметре износи f износи f (θ) = (θ) = 13.47. За незнатно измењене генетске операције, где је популацију чинило 30 хромозома, хромозоми прве генерације су бирали вредности из опсега [0, 20] и бирана су по 3 елитна елемента, добијени су следећи параметри PID контролера: K P1=18.55; 18.55; K i1 19.84; K d1 13.53; i1=19.84; d1=13.53; K p2=5.87; 5.87; K i2 0.0039; K d2 i2=0.0039; d2 =9.30 , док је вредности фитнес функције нешто нижа и износи f износи f (θ) = (θ) = 10.76. На крају је ова генетска оптимизација поновљена, али је хромозом почетних вредности дефинисан као вектор чији су елементи резултати претходне оптимизације, Θ=[18.55, 19.84, 13.53, 5.87, 0.0039, 0.0039, 9.30] и добијени су параметри: K P1=35.89; 35.89; K i1 40.93; K d1 7.43; i1=40.93; d1=7.43; K p2=5.93; 5.93; K i2 0.0039; K d2 i2=0.0039; d2 =9.05 , а вредност финес функције је f је f (θ) = (θ) = 6.84.
- 57 -
Taбела Taбела 5.1. Вредности параметара PID параметара PID контролера добијене у 3 генетске оптимизације и одговарајуде вредности фитнес функције
Бр. Генерација
Θ почетно
1
100
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
2
100
[0, 0, 0, 0, 0, 0]
100
[18.55, 19.84, 13.53, 5.87, 0.0039, 9.30]
3
[21.59, 27.60, 6.66, 6.37, 0.17, 21.09] [18.55, 19.84, 13.53, 5.97, 0.0039, 9.30] [35.89, 40.93, 7.43, 5.93, 0.0039, 9.05]
Θ
Фитнес финција f финција f (θ) 13.47
10.76
6.84
У табели 5.1 приказане су све вредности параметара PID контролера добијене у 3 генетске оптимизације, као и одговарајуде вредности фитнес функције.
Слика 5.8 5.8 Промена најбоље и средње вредности фитнеса кроз 100 генерација за другу генетску оптимизацију параметара PID параметара PID контролера
- 58 -
Слика 5.9 5.9 Промена најбоље и средње вредности фитнеса кроз 100 генерација за треду генетску оптимизацију параметара PID параметара PID контролера
На слици 5.8 5.8 и 5.9 5.9 приказане су графици промене средње вредности и најбоље вредности фитнес функције за 100 генерација друге и треће генетске оптимизације. Очигледно је да и најбоља вредност и средња вредност фитнес функције конвергирају ка решењу добијеном на крају оптимизације.
5.2.
Одзив процеса контролерима
управљаног генетски оптимизованим оптимизованим PID
На сликама 5.10 5.10 и 5.11 5.11 приказани су одзиви система са почетним поремећајима и са параметрима PID контролера добијеним у 3 различите генетске оптимизације.
- 59 -
Слика 5.9 5.9 Одзиви система са почетним поремећајима и са параметрима PID параметрима PID контролера добијеним у 3 различите генетске оптимизације
Зеленом бојом је на дијаграму приказан одзив затвореног система за параметре PID контролера подешене првом генетском оптимизацијом, црвеном бојом за параметре подешене другом оптимизацијом, са измењеним генетским операцијама, док је плавом приказан одзив након треће генетске оптимизације, код које су почетна решења заправо резултати друге оптимизације. Потпуно је логично да одзив има најмањи прескок, најмање време успона и време смирења након треће генетске оптимизације, јер је и вредност фитнес функције за ово решење најмања.
- 60 -
Слика 5.10 5.10 Одступање излазне снаге од номиналне за системе са почетним поремедајима управљане PID управљане PID контролерима подешеним са 3 различите генетске оптимизације
На слици 5.10 5.10 приказано је одступање излазне снаге приказаног постројења од номиналне вредности током 360 секунди и одзиви система са параметрима PID контролера добијених другом и трећом оптимизацијом се готово поклапају. Такође, овај одзив система не карактерише велика брзина процеса, због динамике самог процеса, али и због тежинског фактора који се јавља у фитнес функцији.
- 61 -
6. Закључак
Развојем науке и технологије човек је за своје потребе створио велики број разних помоћних уређаја, како би лакше дошао до жељеног циља. Један од њиј јесу PID контролери који су далеко најчешћи начин коришћења повратних информација у природним и вештачким системимам. Обично се користе у индустрији као и у некој лабораторијској опреми. Могу се појавити у више различитих облика попут самосталних контролера, дистрибуираног управљачког система или уграђен у појединим компонентама. Помоћу PID контролера можемо измерити грешку процеса као разлику жељене и измерене вредности, а коју такође можемо контролисати разним подешавањима излаза. У пракси се PID контролери израђују тако да свако од три дејства (пропорционално, интегрално и диференцијално) контролера дусу са подесивим параметрима. Након једноставне процедуре подешавања параметара најчешће се може постићи задовољавајући одзив система чак и у случају када није познат математички модел објекта управљања. У тим случајевима ови контролери представљају најбоље решење. Постоје бројне методе за подешавање параметара PID контролера, од којих су, генерално, најтачније оне које укључују математички модел објекта управљања. У пракси, то често није случај па се примењују мање прецизне али такође прихватљиве методе, као што је у нашем случају сл учају примена генетских алгоритама. У овом раду описана је примена генетских алгоритама за оптимално подешавање параметара PID контролера. Генетски алгоритми су нам служили да нам покажу колика је подобност (фитнес функција) функција) појединих јединки успешна у испуњавању циљева преживљавања и размножавања. Циљ овог рада јесте да примена кодираних генетсих алгоритама који доводе до тога да понашање претпостављеног система буде што приближније понашању реалног система. Закључили смо да, да би то било могуће прецизно одредити, неопходно је да излаз система буде мерљив и коначан у сваком тренутку као и да сваки параметар мора бити у корелацији са излазом. Употреба генетских алгоритама не гарантује оптималну контролу система или стабилностсистема, јер се могу појавити различите сметње попут кашњења самог процеса, јер је сам процес релативно спор, али је применљива и омогућава довољно прецизан одговор на постављени циљ - 62 -
7. Литература [1]
[2]
[3]
https://en.wikipedia.org/wik https://en.wiki pedia.org/wiki/PID_contro i/PID_controller ller
Иван Ћирић, НЕУРО – ФАЗИ ГЕНЕТСКО МОДЕЛИРАЊЕ И УПРАВЉАЊЕ ПРОЦЕСОМ САГОРЕВАЊА , Мастер рад, Универзитет у Нишу, Машински факултет Ниш, 2010. Ниш https://sr.wikipedia.org/sr-el https://sr.w ikipedia.org/sr-el/Genetski_algo /Genetski_algoritam ritam
Томислав Дрожђек, ГЕНЕТСКИ АЛГОРИТМИ И ПРИМЈЕНЕ, Дипломски рад, Свеучилиште у Загребу, Природословно Природословно – математички математички факултет – Математички Математички одсјек Загреб, Загреб, 2015. Загреб Загреб
[4]
[5]
http://e.math.hr/category/klju-nehttp://e.math.hr /category/klju-ne-rije-i/genetskirije-i/genetski-algoritam algoritam
Биљана Борак, ГЕНЕТСКИ АЛГОРИТАМ ЗА РЕШАВАЊЕ ЛОКАЦИЈСКОГ ПРОБЛЕМА СНАБДЕВАЧА ОГРАНИЧЕНОГ ОГРАНИЧЕНОГ КАПАЦИТЕТА КАПАЦИТЕТА У ВИШЕ НИВОА , Дипломски – мастер рад, Универзитет у Београду, Математички факултет Београд, 2009. Београд
[6]
[7] [8] [9]
http://www.ni.com/white-pap http://www.n i.com/white-paper/3782/en/ er/3782/en/ “I nst nstr uc uctti on: PI D Cont Contr oller ller D esign sig n”, University of Michigan
CONTROL ” Araki, M. “PI D CONTROL
- 63 -
Биографија
Милица Јовановић, рођена 23.01.1995. у Пироту. Гимназију у Пироту завршава 2014. на природно – математичком смеру са одличним успехом. успехом. Исте године уписује академске студије на Машинском факултету, факултету, Универзитета у Нишу, на смеру Машинско инжењерство. Даље у плану има да настави школовање на мастер академским студијама и настави да проширује своје знање у пољу Техничко – технолошких – технолошких наука. Током студирања била је члан Студентског Парламента, где је обављала функцију студента – продекана. Учествовала у разним пројектима, тимским радовима, обиласцима разних фирми широм Србије и шире, обиласцима разних сајмова технике и технолошког развоја. Течно говори Енглески језик.
- 64 -
