Introducción a la Transformada Wavelet: Teoría y aplicaciones.
Juan V. Lorenzo Ginori
Centro de Estudios de Electrónica y Tecnologías de la Información Facultad de Ingeniería Eléctrica, Universidad Central de Las Villas Octubre de 1999.
PRÓLOGO Desde hace algo más de una década, las wavelets han constituido un tema de gran interés para matemáticos, físicos, ingenieros de diversas disciplinas y especialistas en otros campos de la ciencia y la tecnología. En especial, el conjunto de aplicaciones de las wavelets dentro del campo del Procesamiento Digital de Señales crece constantemente a partir de una intensa actividad investigativa investigativa en todo el el mundo. Como resultado de estos trabajos, han surgido herramientas software muy potentes, que si bien facilitan el análisis de señales señales e imágenes mediante la Tansformada Tansformada Wavelet, se requiere poseer, para un empleo empleo eficiente de las mismas, una adecuada preparación en los conceptos teóricos teóricos fundamentales. El objetivo de esta monografía es facilitar una rápida introducción a los conceptos básicos sobre la Transformada Wavelet y sus aplicaciones en el campo de la ingeniería, y más específicamente en el Procesamiento Digital de Señales. La misma puede servir como material de estudio en cursos cursos de postgrado sobre Procesamiento Digital Digital de Señales, Análisis Espectral Espectral y otros donde se realicen realicen aplicaciones de la Transformada Wavelet. La presentación de los diferentes temas enfatiza aquellos resultados que hoy en día son ciencia constituída, y además utiliza como ejemplos diferentes resultados recientes de investigación que han aparecido en la literatura científica científica.. El material material se ha estructur estructurado ado en tres tres capítulos capítulos:: Introducción Introducción a las Wavelets, Wavelets, La Transform Transformada ada Wavelet y Aplicaciones de la Transformada Wavelet. Se incluye un apéndice con un conjunto de ejercicios para el laboratorio de computación, los cuales requieren del empleo de MATLAB, específicamente las herramientas “Wavelet Toolbox” y “Signal Processing Toolbox”. El estudio de esta monografía presupone que el lector está familiarizado con los conceptos básicos sobre Procesamiento Digital de Señales, tales como señales y sistemas discretos, teoría del muestreo, muestreo, filtros digitales, Transformada Z y la Transformada Transformada de Fourier Discreta. El autor.
PRÓLOGO Desde hace algo más de una década, las wavelets han constituido un tema de gran interés para matemáticos, físicos, ingenieros de diversas disciplinas y especialistas en otros campos de la ciencia y la tecnología. En especial, el conjunto de aplicaciones de las wavelets dentro del campo del Procesamiento Digital de Señales crece constantemente a partir de una intensa actividad investigativa investigativa en todo el el mundo. Como resultado de estos trabajos, han surgido herramientas software muy potentes, que si bien facilitan el análisis de señales señales e imágenes mediante la Tansformada Tansformada Wavelet, se requiere poseer, para un empleo empleo eficiente de las mismas, una adecuada preparación en los conceptos teóricos teóricos fundamentales. El objetivo de esta monografía es facilitar una rápida introducción a los conceptos básicos sobre la Transformada Wavelet y sus aplicaciones en el campo de la ingeniería, y más específicamente en el Procesamiento Digital de Señales. La misma puede servir como material de estudio en cursos cursos de postgrado sobre Procesamiento Digital Digital de Señales, Análisis Espectral Espectral y otros donde se realicen realicen aplicaciones de la Transformada Wavelet. La presentación de los diferentes temas enfatiza aquellos resultados que hoy en día son ciencia constituída, y además utiliza como ejemplos diferentes resultados recientes de investigación que han aparecido en la literatura científica científica.. El material material se ha estructur estructurado ado en tres tres capítulos capítulos:: Introducción Introducción a las Wavelets, Wavelets, La Transform Transformada ada Wavelet y Aplicaciones de la Transformada Wavelet. Se incluye un apéndice con un conjunto de ejercicios para el laboratorio de computación, los cuales requieren del empleo de MATLAB, específicamente las herramientas “Wavelet Toolbox” y “Signal Processing Toolbox”. El estudio de esta monografía presupone que el lector está familiarizado con los conceptos básicos sobre Procesamiento Digital de Señales, tales como señales y sistemas discretos, teoría del muestreo, muestreo, filtros digitales, Transformada Z y la Transformada Transformada de Fourier Discreta. El autor.
CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN A LAS WAVELETS. La teoría de las wavelets wavelets (onditas, ondículas) ondículas) ha devenido un marco de referencia unificado para una variedad variedad de técnic técnicas as que han sido sido desar desarrol rollad ladas as de forma forma indepe independi ndient entee para para difere diferente ntess aplica aplicacio ciones nes den dentro tro del procesamiento digital de de señales, entre las que se encuentran: encuentran:
•
Procesamiento de señales en multirresolución. multirresolución.
•
Visión por computadoras.
•
Desarrollos en series de wavelets en matemática aplicada.
•
Compresión de datos (señales, imágenes).
•
Reducción del ruido en señales e imágenes.
•
Análisis espectral de señales no estacionarias.
Además existe un vasto campo de aplicaciones potenciales, que dan lugar en la actualidad a una intensa actividad investigativa. investigativa.
La Transformada Wavelet en el procesamiento de señales. La Trans Transfor formad madaa Wavele Wavelett (WT) (WT) en el con contex texto to del proces procesami amien ento to digit digital al de señale señales, s, es partic particula ularme rmente nte importante para el análisis de señales no estacionarias, ya que proporciona una alternativa a la transformada de Fourier local clásica (STFT), a la Transformada de Gabor o a las Distribuciones Tiempo-Frecuencia. Tiempo-Frecuencia. La diferencia básica entre la WT y la STFT es que en lugar de una ventana de análisis única, la WT utiliza ventanas cortas en tiempo para las altas frecuencias y ventanas de larga duración para las frecuencias bajas, realizando un análisis de frecuencia frecuencia “de Q constante”, es decir, de anchura anchura de banda relativa constante. constante. La Transformada Transformada Wavelet también también se relaciona relaciona directamente directamente con el análisis análisis tiempo-frecu tiempo-frecuenci enciaa basado basado en la distribución de Wigner-Ville, que es un ejemplo de las llamadas distribuciones tiempo-frecuencia (DTF), muy utilizadas en el análisis de señales no estacionarias.
Wavelets. Las funciones funciones que conforman conforman la base para la descomposi descomposición ción de señales señales con la WT reciben el nombre nombre de “wavelets” (onditas u ondículas), ondículas), y son obtenidas a partir de una función prototipo prototipo mediante contracciones y dilataciones temporales o espaciales (escalado), así como desplazamientos en el tiempo o en el espacio, según el caso. La wavelet prototipo puede ser considerada como una función de filtrado pasobanda. La propiedad de los diferentes filtros asociados a las funciones wavelets de poseer un factor de calidad Q constante, es una consecuencia de que ellos son versiones escaladas de la función prototipo. En el análisis mediante la WT, se introduce la noción de escala en sustitución de la frecuencia (esta última es característ característica ica de la transform transformada ada de Fourier). Fourier). Esto cond conduce uce a las representacio representaciones nes tiempo-escala tiempo-escala,, que son equivalentes a las representaciones tiempo-frecuencia propias de la STFT y de las DTF.
Tipos de wavelets utilizadas utilizadas en diferentes aplicaciones. aplicaciones. De acuerdo con las aplicaciones específicas, se utilizan diferentes tipos de Transformadas Wavelets. 1
•
Para las señales continuas:
•
Para las señales discretas en el tiempo:
Transformada wavelet continua. Desarrollos en series de wavelets. Transformada Wavelet Discreta (DWT).
La DWT es el caso más importante en el procesamiento digital de señales e imágenes, en ella se utiliza el procesamiento de señales “multirate”, “multirate”, es decir, donde se combinan diferentes frecuencias de muestreo. La DWT se relaciona relaciona con esquemas esquemas de codificación codificación en subbandas subbandas que se utiliza utiliza en la codificación codificación (compresió (compresión) n) de señales.
Análisis de señales estacionarias. Para comprender mejor la naturaleza del análisis de señales mediante wavelets, es importante considerar el concepto de señal estacionaria: estacionaria: las señales estacionarias son son aquellas en las que sus propiedades propiedades estadísticas no varían en el transcurso del tiempo. Ejemplo : En un proceso estocástico estacionario en sentido amplio, el valor medio es constante para todos los valores del índice temporal (o sea, es independiente del tiempo) y la función de autocorrelación depende solamente de la diferencia de índices temporales n = n 2 - n1 . Para estas señales, la herramienta clásica de análisis espectral es la Transformada de Fourier. En el caso continuo: ∞
G(f) =
∫ R(
) e - j
τ
ωτ
dτ
-∞
(1.1)
R(τ ) = E[x(t), x(t + τ )]
Cuando Cuando se utiliza utiliza la transformad transformadaa discreta de Fourier, Fourier, el análisis análisis de los coeficientes coeficientes define define la noción noción de un contenido global de frecuencias en la señal.
Análisis de señales no estacionarias. estacionarias. El análisis de Fourier produce resultados satisfactorios si la señal x(t) está formada solamente por componentes estacionarias. No obstante, cualquier cambio abrupto que experimente en el tiempo una señal no estacionaria tendrá efecto sobre todo el eje de frecuencias en la función densidad espectral de potencia G(f). Una herramienta de análisis espectral que se adapte a las características características de las señales no estacionarias, debe ser capaz de realizar el análisis de forma localizada en el tiempo. Esta es una característica esencial de la Transformada de Fourier Local (STFT), de la Transformada de Gabor y de las distribuciones tiempo-frecuencia. En ellas la señal es "visualizada" a través de una "ventana" dentro de la cual ella es prácticamente estacionaria. La Transformada Wavelet también posee la propiedad de realizar el análisis espectral espectral de forma localizada, y en este caso con la característica de poseer "Q constante".
Transformada de Fourier Local: Análisis con resolución constante. La Transformada de Fourier Local o de tiempo corto (STFT) permite representar una señal en el plano tiempofrecuencia. Se enfatiza en este caso que la STFT puede verse tanto como un proceso de "enventanado" de señal como un banco de filtros pasoband pasobanda. a. Cada coeficiente coeficiente de la Transform Transformada ada de Fourier se comporta comporta como la respuesta de un filtro pasobanda a la señal de entrada. En este caso, la anchura de banda de todos los filtros es 2
constante y depende inversamente de la duración de la ventana temporal de análisis de la señal. Esto determina que el análisis mediante la STFT se caracterice por poseer una resolución constante, no dependiente del tiempo. La fig. 1 ilustra el concepto de resolución constante en el análisis de Fourier local.
FIGURA 1.1
Principio de incertidumbre en el análisis tiempo-frecuencia. Se define la anchura de banda efectiva de una señal, que se identifica con la resolución en el dominio de la frecuencia, como f G(f) df ∆f = B = ∫ ∫ G(f) df 2
2
2
2
2
(1.2)
De forma análoga se define la dispersión temporal efectiva como
∆t 2 = Ts 2 =
∫ ∫ g(t)
2
t 2 g(t) dt 2
dt
(1.3)
El principio de incertidumbre de Heisenberg-Gabor establece que la resolución temporal y la frecuencial no pueden ser simultáneamente tan pequeñas como se quiera, sino que se cumple la relación 3
∆f ∆t ≥
1
(1.4)
4π
Resolución tiempo-frecuencia. Una vez que se ha seleccionado una ventana específica para calcular la STFT, la resolución tiempo-frecuencia queda determinada con un valor único para todo el plano t-f. En este caso la resolución expresa tanto el mínimo espaciamiento temporal que puede existir entre dos señales, tal que aún sea posible diferenciarlas en el dominio del tiempo, como el mínimo espaciamiento frecuencial entre sus espectros tal que sea posible diferenciarlas en dominio de la frecuencia. La fig. 2 muestra las funciones base utilizadas en la STFT, así como las celdas en que queda dividido el plano tiempo-frecuencia de acuerdo con la resolución constante en ambos dominios.
FIGURA 1.2
La Transformada Wavelet Continua (CWT): Análisis multirresolución. Para superar las limitaciones de resolución propias de la STFT, sería necesario variar ∆f y ∆t dentro del plano t-f, con el objetivo de obtener un análisis multirresolución. En este caso, la resolución en tiempo se incrementará o decrecerá junto con la frecuencia central del filtro de análisis. Una forma de variar ∆f es la siguiente:
∆f f
= c = constante.
(1.5)
En este caso, el banco de filtros de análisis se compone de filtros pasobanda con anchura de banda relativa constante ("análisis de Q constante"). La respuesta de frecuencia para este caso sigue una escala logarítmica en lugar de una escala lineal. La desigualdad establecida por el principio de incertidumbre se satisface aún, con resoluciones en tiempo o en frecuencia tan buenas como se desee aunque no simultáneamente. En este caso para las altas frecuencia hay una mayor resolución temporal (mayor anchura de la ventana temporal) y una menor resolución frecuencial (menor anchura de banda). Para las bajas frecuencias ocurre lo contrario. Este concepto de análisis con Q constante es el que se utiliza en la Transformada Wavelet. 4
LA Transformada Wavelet Continua (CWT). En la CWT todas las respuestas impulsivas de los filtros que componen el banco de análisis se definen como versiones escaladas (es decir, comprimidas o dilatadas en tiempo) de una función prototipo, h a (t) =
1 a
t a
h
(1.6)
donde a = factor de escala. Definición: X w (a,τ ) =
1
∞
∫
x(t) h
a -∞
∗
t - τ dt a
(1.7)
donde τ es un factor de retardo de tiempo. La misma función prototipo h(t), o wavelet básica, se utiliza para todas las respuestas impulsivas de los filtros. El factor de escala y el retardo son los argumentos de la transformada. La figura 3 muestra la relación entre anchuras de banda y escalas en el dominio de la frecuencia para la STFT y para la CWT. Obsérvese que para esta ultima la resolución se incrementa (es decir, hay una mayor anchura de banda de los filtros elementales) a medida que aumenta la frecuencia.
FIGURA 1.3 Relación entre las ventanas.
5
Sea h(t) = g(t) exp (-2π f o t)
(1.8)
una ventana modulada. Entonces h a (t) =
1 a
t = a
h
1 a
t exp (-2π f o t) a a
g
(1.9)
donde f = f o/a , a = f o/f , y una dilatación en g (a >1) significará una reducción tanto en la frecuencia central como en la anchura de banda.
Escalado en la Transformada Wavelet. Al analizar la expresión 1.7 X w (a,τ ) =
1
∞
∫
a -∞
x(t) h
∗
t - τ dt a
puede verse que dilatar la función wavelet h(t) en el tiempo equivale a comprimir la señal x(t). De otro lado, comprimir la función wavelet h(t) en el tiempo equivale a expandir la señal x(t). La escala desempeña aquí un papel análogo al que tiene en los mapas geográficos: al incrementarse a (la escala), se comprime la señal x(at), con lo que se observa una porción mayor de ésta, es decir, un intervalo temporal de mayor duración. La figura 4 muestra ejemplos de las funciones base (la wavelet madre dilatada en diferetnes proporciones) así como de la forma de las celdas en el plano t-f para la Transformada Wavelet Continua.
6
Figura 1.4 Ejemplo 1: Wavelet de Haar (pulso rectangular). La función wavelet de Haar se define como
0, H(t) = 1,
t < 0, t ≥ 1
(1.10)
0 ≤ t <1
Esta función cumple con la condición de ortonormalidad: ∞
∫ h (t) dt = 1 2
(1.11)
'∞
y además ∞
< h(t - k) h(t - l) > =
∫ h(t - k) h(t - l) dt = δ
kl
k, l ∈ Z
(1.12)
-∞
El escalado en el dominio del tiempo se expresa como
( a ) = 10
h' (t) = h t
0≤ t t
< 0,
≥a
(1.13)
Wavelet de Haar en el dominio de la frecuencia. De la transformada de Fourier de h(t) se obtiene
7
H(f) =
sen(π f)
π f
(1.14)
exp(-jπ f)
y además H(f)
= sen(π f) = sinc (f)
(1.15)
π f
El escalado en el dominio de la frecuencia se expresa como H' (f) = a sinc (af) exp(-j π af) H' (f)
=a
sinc (af)
=a
(1.16)
H(af)
En la figura 5 se muestran la función wavelet de Haar y su espectro de frecuencias.
Figura 1.5
Ejemplo 2|: Wavelet de Shannon. La función wavelet de Shannon en el dominio del tiempo está dada por h(t)
= sen(π t) = sinc t π t
(1.17)
y la transformada de Fourier correspondiente es
1, H(f) = 0
f < 1 f
≥
2 1 2
(1.18)
El escalado de la función de Shannon se expresa en el dominio de t como h(t /a) =
sen π (t /a)
π (t /a)
(1.19)
y en el dominio de f
1 H(af) = 0
< 1 / 2a f ≥ 1 /2a f
(1.20)
En la figura 6 se muestran la función wavelet de Shannon y su espectro de frecuencias. 8
Figura 1.6 Escala y resolución. Resolución: Es la anchura de banda de la señal equivalente de tiempo continuo. Esto hace que una versión sobremuestreada no tendrá mayor resolución que una críticamente muestreada, para una misma señal. Escala: La escala expresa la relación entre la duración de la señal y la duración de la ventana temporal de análisis. Los cambios de escala en una señal continua no alteran su resolución, ya que ellos pueden ser invertidos. En las señales de tiempo discreto un incremento de la escala puede conducir a un sub-muestreo (en una ventana de mayor duración, para una misma cantidad de muestras, las mismas van a estar más espaciadas), lo cual automáticamente reduce la resolución pues el proceso no puede ser invertido. Disminuir la escala, por otra parte, implica una interpolación en el muestreo, que es reversible. En este caso no se altera la resolución. La figura 1.7 ilustra las relaciones entre escala y resolución.
9
Figura 1.7 Análisis y síntesis con wavelets. El análisis con wavelets (cálculo de la Transformada Wavelet) da como resultado un conjunto de coeficientes que indican cuán cerca está la señal de una función base específica. Cualquier señal general puede ser representada mediante su descomposición en wavelets. En este caso, sería deseable que las wavelets de índice continuo ha,τ (t) se comportaran como si fueran una base ortogonal. El análisis se efectúa computando los productos internos y la síntesis y puede considerarse como un proceso de suma de todas las proyecciones ortogonales de la señal en las wavelets. ∞
X w (a,τ ) =
∫ x(t) h
*
a,τ
(t) dt
(1.21)
-∞
x(t) = c
∫ ∫
X w (a, τ ) h a,τ (t)
da dt a2
(1.22)
donde c es una constante que depende de h(t).
Características de las wavelets en la CWT. * Las funciones ha,τ(t) no forman una base ortogonal, sino muy redundante, ya que se definen para los parámetros a y τ que varían en forma continua. * La fórmula de reconstrucción se satisface siempre que h(t) sea de energía finita y pasobanda, lo cual implica que ella oscila en el tiempo como una onda de corta duración, es decir, una wavelet. * Si se supone que h(t) es suficientemente regular, la condición de reconstrucción es 10
∞
∫ h(t) dt = 0
(1.23)
'∞
* Una señal puede ser reconstruida sólo si su valor medio es igual a cero.
Escalogramas. El espectrograma se define como el módulo cuadrado de la STFT, y es una herramienta de uso común en el análisis de señales, dado que ella proporciona una distribución de la energía de la señal en el plano tiempofrecuencia. Además del espectrograma, debe recordarse que existe también la formulación de las distribuciones tiempo-frecuencia. El espectrograma de wavelets, o escalograma se define como el módulo cuadrado de la CWT. Este es una distribución de la energía de la señal en el plano tiempo-escala, asociado con la medida dadt/a 2, y expresada de esta forma en términos de potencia por unidad de frecuencia, al igual que el espectrograma. En el escalograma, la energía de la señal se distribuye con diferentes resoluciones de frecuencia (véase la fig. 4).
Espectrogramas y escalogramas.
•
Tanto los espectrogramas como los escalogramas producen una representación visual bidimensional de las señales, susceptible de ser interpretada, y en la cual cada patrón en el dominio tiempo-frecuencia o tiempoescala contribuye a la energía global de la señal.
•
Tanto el espectrograma como el escalograma se utilizan para propósitos de filtrado.
• Ni el espectrograma ni el escalograma pueden ser invertidos, en general. •
Ambos son funciones bilineales de la señal analizada y en consecuencia pueden aparecer términos "cruzados" que generan patrones de interferencia indeseables.
En el caso de las wavelets, se ha demostrado también que las representaciones de fase en determinados casos pueden reflejar más claramente que el escalograma algunas características locales de la señal. La figura 8 ilustra comparativamente los espectrogramas y escalogramas para las funciones delta de Dirac en los dominios del tiempo y de la frecuencia. La figura 9 muestra el espectrograma y el escalograma de una señal “chirp” (modulación lineal de frecuencia).
11
Figura 1.8
Figura 1.9
12
CAPÍTULO II: LA TRANSFORMADA WAVELET. Discretización de los parámetros tiempo y escala. La discretización de los parámetros tiempo y escala en el cálculo de la Transformada Wavelet se justifica a partir de varias consideraciones.
•
Las bases continuas de wavelets h aτ(t) se comportan en el análisis con wavelets tal como si constituyeran una base ortonormal.
•
Resulta importante obtener una base ortonormal verdadera mediante la discretización apropiada de los parámetros tiempo-escala a, τ .
•
Para los valores continuos (a, τ) en haτ(t) hay redundancia en la representación de la señal x(t). La computación de la transformada X w(a,τ) para todos los posibles valores de a y τ constituye una sobrecarga computacional innecesaria.
•
Si el muestreo de los parámetros a y τ se realiza de forma apropiada, es posible obtener una base ortonormal de wavelets.
Wavelets diádicas . Un caso particular muy importante se tiene cuando a y τ se encuentran muestreadas según una red diádica. Dado que dos escalas a 0 < a 1 corresponden a dos frecuencias f 0 > f 1, los coeficientes de la transformada wavelet en la escala a1 pueden ser sub-muestreados a una frecuencia que es la fracción (f 0/f 1) de la frecuencia de muestreo en la escala a0. La figura 2.1 muestra un retículo de muestreo diádico en el plano tiempo-escala.
Figura 2.1
Construcción de wavelets diádicas.
13
Para construir wavelets según una estructura diádica, los parámetros tiempo y escala se discretizan de acuerdo con una red de muestreo diádico. Sean a = (a0) j
τ = k(a0) j T
y
entonces se representa mediante φ j 2 0
la función wavelet de escalado, con una escala muestreada
φ jn (t ) = a φ (a 0 t - nT) - j
(2.1)
En lo sucesivo se utilizará la notación j j φ 2 j (t) = 2 φ (2 t) (2.2) Si además se conciben traslaciones de las wavelets en el eje del tiempo según potencias de dos, se obtiene finalmente
φ jn (t ) = 2- j φ 2 ( t - 2- j n) j
(2.3)
El proceso de construcción de una wavelet diádica es como sigue: 1) Se realiza el escalado de una función wavelet según φ 2 j (t) = 2 j φ (2 j t)
(2.4)
2) Se realiza entonces la normalización y traslación de la wavelet. (2.5) φ jn (t) = 2 -j φ 2 j (t - 2 -j n) En este análisis, j = 0, -1, -2 . . . y representa el índice de la escala. Obsérvese la relación que existe entre escala y traslación: cuando una wavelet se dilata, p. ej. para j = -1 1 (2.6) φ 2 j (t) = φ (2 -1 t) 2 es al mismo tiempo trasladada en 2-j n = 2n.
Observaciones acerca de las wavelets diádicas.
• La dilatación de la “wavelet madre” tiene lugar primero, y luego se realiza la traslación con un período dilatado en el eje del tiempo. • En las wavelets de soporte compacto (es decir, estrictamente limitadas en tiempo), cuando se duplica la duración temporal, el período de muestreo también se duplica, lo que se corresponde con un sub-muestreo en la teoría del filtrado digital de tasa múltiple ( multirate). • Para diferentes valores de j y de n, se obtiene el conjunto completo de una base de wavelets, de acuerdo con
φ jn (t) = 2 -jφ 2 (t - 2 -j n) j
(2.7)
• Nótese que en este caso se han discretizado los parámetros de dilatación o escala (a) y de retardo de tiempo (τ ), pero no la wavelet propiamente dicha. Esto último deberá efectuarse también para hacer posible el cálculo numérico de la Trasformada Wavelet. Bases de wavelets ortogonales. La teoría de las wavelets proporciona los elementos necesarios para balancear los elementos siguientes:
• La redundancia, es decir, la densidad del muestreo. • Las restricciones en la función φ (t) para que el esquema de reconstrucción funcione de manera apropiada. 14
Es necesario además tener en cuenta lo siguiente:
• Si la redundancia es alta (es decir, si hay un sobremuestreo elevado), las restricciones con respecto a las funciones base serán poco exigentes. • Si la redundancia es pequeña (cercana a la “crítica”), entonces las funciones base estarán muy restringidas. Este problema ha sido abordado y resuelto mediante la teoría de las estructuras de wavelets, en la cual las bases de wavelets se comportan exactamente como si fueran ortonormales (aunque podrían no ser linealmente independientes.) En una “cuadro apretado” (tight frame ), las wavelets formarán una base ortonormal del espacio de señales. La condición de ortonormalidad se expresa como ∞
1, j = j' , n = n' 0, j ≠ j' , n ≠ n'
∫
φ jn (t) φ j'*n' (t) dt =
−∞
(2.8)
Una señal arbitraria puede ser representada exactamente en términos de una suma ponderada de funciones base, de la forma siguiente: x(t) = c jnφ jn (t) (2.9)
∑ j,n
Las funciones base φ jn(t) se obtienen a partir de una función prototipo única φ (t) mediante escalados y desplazamientos, de modo que ellas forman así una base ortonormal.
Algoritmo de Mallat para el análisis multirresolución con wavelets. Definiciones básicas. 1. A2 j se define como un operador multirresolución, que aproxima una señal a la resolución 2 j. Las señales, a resoluciones sucesivamente inferiores, pueden obtenerse mediante la aplicación repetida del operador A2 j (-J ≤ j ≤ -1). J especifica la resolución mínima. A2 j x(t) es la aproximación más cercana de la función x(t) a la resolución 2 j. Las señales a la resolución 2 j+1 contienen por lo tanto toda la información necesaria para construir la señal a la resolución 2 j. 2. Se define φ (t) como una función de escalado. Para localizar cualquier característica de una función variante en el tiempo, es posible seleccionar una función φ (t) exponencialmente decreciente, de modo que su transformada de Fourier tiene la forma de un filtro pasobajo. Las wavelets de Shannon y de Haar que ya han sido mostradas, constituyen ejemplos de funciones de escalado. Una propiedad básica de las funciones φ (t) es que ellas pueden ser cambiadas de escala en forma diádica, de acuerdo con φ 2 j (t) = 2 j φ (2 j t) donde
j = 0, -1, -2, . . . -J, j∈ Z.
Un conjunto de funciones base ortonormales queda definido por
φ jn (t) = 2 -j φ 2 (t - 2 -j n) j
(2.10)
15
3. Se define ψ (t) como una función wavelet. Para analizar detalles más finos en la señal, se escoge una función wavelet derivada de la función de escalado correspondiente. La transformada de Fourier de la función wavelet Ψ(ω) tiene la forma correspondiente a un filtro pasobanda. Una propiedad básica de las funciones ψ (t) es que ellas pueden ser cambiadas de escala en forma diádica: ψ 2 j (t) = 2 j ψ (2 j t ) (2.11) Se puede formar entonces una base de funciones wavelet ortonormales, mediante la dilatación de una función ψ (t) por un coeficiente 2 j, trasladándola posteriormente en 2-jn y por último normalizándola por el factor
ψ jn ( t) = 2-j ψ 2 j ( t - 2-j n)
(2.12)
El conjunto de funciones wavelet y de escalado forman una dualidad entre sí, resolviendo la señal en una señal de aproximación y otras de detalles finos, respectivamente. El algoritmo multirresolución descompone una señal x(t) con ayuda de las funciones de escalado φ (t) y de las funciones wavelet ψ (t). Estas funciones resuelven conjuntamente la señal en sus componentes gruesa o aproximación y fina o detalle . La señal, a una resolución r, se obtiene mediante el re-muestreo a la tasa correspondiente, y mediante suavizamiento por medio de un filtro pasobajo φ (t), cuya anchura de banda es proporcional a r. φ (r) = r φ (rt)
(2.13) En una escala diádica (binaria), se obtiene una aproximación de la función x(t) para la resolución r = 2 j (-J ≤ j ≤ -1), mediante el re-muestreo en todas las escalas : en cada escala sucesiva se elimina una muestra alterna. En la figura 2.2 aparecen ejemplos de funciones típicas de escalado y la wavelet asociada, así como los espectros de frecuencia respectivos.
16
Figura 2.2
La señal de aproximación gruesa. La señal escalada se suaviza por medio de un filtro pasobajo ψ 2 j (t) = 2 j/2 ψ (2 j t )
(2.14)
Se obtiene una aproximación C 2 j de la señal x(t) a la resolución 2 j según ~ -j -j C2 j x = < x(t), φ 2 j ( t - 2 n) > = x(t) * φ 2 j (2 n)
(2.15)
donde
~ φ 2 j (t) = φ 2 j (− t)
(2.16)
Observaciones:
• La operación de correlación permite obtener la magnitud de la componente de la señal x(t) en el eje correspondiente a φ 2 j(t - 2-jn) en el espacio de señales de las funciones ortonormales así definidas. • La segunda parte de la ecuación establece la equivalencia con una operación de convolución (que ha de ser discreta-aperiódica para el procesamiento computacional.) C2 j x es la aproximación (“gruesa”) de x(t). La función φ (t) recibe el nombre de función de escalado. La función
φ 2 j = 2 jφ (2 j t)
(2.17)
conforma una familia de filtros paso bajo a la escala j. 17
En el dominio de la frecuencia la aproximación está dada por ˆ j X(ω ) = X(ω )Φ (2-j ω ) C 2
(2.18)
Observe que la transformada se comprime en el eje de frecuencia cuando la función en el dominio del tiempo se dilata y viceversa:
ˆ j+1 X(ω ) = X(ω )Φ (ω C j+1 ) 2 2
(2.19)
Las funciones de aproximación gruesa a las escalas j y j+1 se relacionan mediante el filtro pasobajo H( ω ). ω ω Φ (2.20) j = H(ω )Φ j+1
2
2
Si se consideran señales discretas, la relación entre las funciones de aproximación a las escalas j y j+1 es iω
Φ(e
j
2
iω
) = H(e )Φ (e iω
2
j+1
)
(2.21)
donde h[n] =
1 2
< φ (t/2) φ (t - n) >
H(e ) = iω
∞
∑ h[n]e
(2.22)
−iω n
(2.23)
n =- ∞
H proporciona el filtrado pasobajo adicional requerido para pasar de la escala j+1 a la escala j. Valores más negativos de j generan una menor resolución y un incremento de la escala en forma proporcional.
La función de detalle. Cuando la función x resulta escalada a una resolución menor, se pierden detalles que pueden ser recuperados al reconocer que el detalle es la diferencia entre las señales de aproximación gruesa en dos niveles sucesivos de descomposición, lo cual se expresa como
D 2 j x = C 2 j+1 x - C 2 j x
(2.24)
En la próxima iteración, la señal gruesa C 2 jx se descompone en otro par de señales de aproximación gruesa y detalle, correspondientes a la escala siguiente. La señal gruesa se obtiene del filtrado pasobajo mediante filtros con anchuras de banda sucesivamente reducidas. La señal remanente (detalle) se obtiene mediante un filtro pasobanda, cuya función de transferencia de Fourier viene dada por
Ψ (ω ) = Φ(ω /2
j+1
) − Φ (ω / 2 ) j
(2.25)
Observación: Este es un proceso de filtrado con tasa de muestreo múltiple, en el que es necesario diezmar por un factor 2 cada vez que se divide por dos la resolución.
Relación entre las señales de aproximación y detalle.
• Existe un filtro G( ω ) que relaciona las funciones de escalado y wavelet según 18
ω ω Ψ (ω ) = G Φ 2 2
(2.26)
La función wavelet (detalle) Ψ(ω) para la resolución mitad, se obtiene mediante un proceso de filtrado pasobanda y diezmado a partir de la función de aproximación a la resolución dada
G(e ) = H(e iω
j(ω -π )
(2.27)
)
donde G y H son los llamados “filtros-espejo en cuadratura”.
Definición formal de las señales de aproximación y detalle. Señal de aproximación gruesa: es la aproximación discreta a una señal x para la resolución 2 j, que se obtiene mediante la convolución de la señal con la función de escalado, seguida de un muestreo uniforme a la tasa 2 j. -j
C2 j x = < x(t) φ 2 j (t - 2 n) >
(2.28)
Señal de detalle: Cuando una señal experimenta un escalado desde la resolución 2 j+1 hacia la resolución 2 j, (-J ≤ j ≤ 0), queda una señal residual. Este residuo puede extraerse como señal de detalle a la resolución 2 j mediante la convolución de x(t) con la forma debidamente escalada y trasladada de la función wavelet, seguida de un remuestreo a la tasa 2 j. -j
D2 j x = < x(t) ψ 2 j (t - 2 n) >
(2.29)
El operador de detalle D 2 j genera detalles sucesivamente finos de la señal, y tiene el efecto equivalente a un filtrado pasobanda. La figure 2.3 ilustra en un diagrama de bloques el proceso de generación de las señales de aproximación y detalle.
Objetivo de la transformada wavelet multirresolución. El objetivo de la Transformada Wavelet es arribar, comenzando por C 20, a la descomposición (C 2-J, { D2 j}), -J ≤ j ≤ -1, donde C2-J es la función gruesa a la escala J, y { D 2 j} son las diferentes componentes de detalle de la función x.
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