Čvrstoća materijala

^

0

SADRŽAJ

P R E D G O V O R ..................................................................................................

1

1.

U V O D ........... ............. ........................................................................................

3

2.

VRSTE O P TE R E Ć E N JA ..... ..........................................................................

5

3.

N A P R E Z A N J E ..................................................................................................

6

4.

D E F O R M A C IJ A ................................................................................................

10

5.

M EĐUSOBNA OVISNOST NAPREZANJA I D E F O R M A C IJA ...............

12

6.

PRORAČUNSKO I DOPUŠTENO N A P R E Z A N JE ....................................

15

7.

AKSIJALNO O P T E R E Ć E N JE .......................................................................

16

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8.

STANJA N A P R E Z A N JA ................................................................................ 8.1 8.2

9. v

31 31 33 36 40

S M IC A N J E .........................................................................................................

43

Analiza naprezanja i deformacija....................................................... Proračun konstrukcijskih elemenata na smicanje...........................

43 46

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH P R E S JE K A ................

49

10.1 10.2 10.3 11

16 19 22 24 29

Jednoosno stanje naprezanja............................................................. Dvoosno stanje naprezanja................................................................. 8.2.1 Mohrova kružnica naprezanja........................................... 8.2.2 Tankostijene tlačne posude...............................................

9.1 9.2 10.

Analiza naprezanja i deformacija...................................................... Proračun aksijalno opterećenihštapova........................................... Statički neodređeni za d a c i................................................................. Početna i toplinska naprezanja.......................................................... Koncentracija naprezanja.....................................................................

Statički momenti površine................................................................. Momenti tromosti površine............................................................... Momenti otpora površine...................................................................

49 49 54

U V IJ A N J E ..........................................................................................................

(56 \J

11.1 Naprezanja i deformacije štapova okruglog presjeka................... —14-.2— Dimenzioniranje štapova opterećenih na uvijanje.... .................... 11.3 Statički neodređeni za d a ci......................... .......................................

57 62 65

12 .

SAVIJANJE

67

12.1

68 68 71— 71 78 82 85 86

12.2

12.3 13.

IZ V IJ A N J E ........................................................................................................ 13.1 13.2 13.3

14.

Ravno čisto savijanje.......................................................................... 12.2.1 Naprezanja i deformacije š ta p a ..................................... Ravno savijanje silama^. _______ — -............................ ,............ 12.2.1 Analiza naprezanja š ta p a ............................................... 12.2.2 Proračun čvrstoće........................................................... 12.2.3 Elastična linija.................................................................. 12.2.4 Statički neodređeni zad aci............................................. Koso savijanje.......................................................................................

Izvijanje u elastičnom području......................................................... Izvijanje u plastičnom području.......................................................... Proračun štapova na izvijanje ....:......................................................

SLOŽENO O P TE R E Ć E N JE .......................................................................... 14.1 14.2 14.3

Teorije čvrstoće.................................................................................... Aksijalno opterećenje i savijanje štapova........................................ Savijanje i uvijanje štapova okruglog presjeka................................

90 92 35* 97 97 100 103

D O D A T A K ........................................................................................................

111

LITERATURA

117

ČVRSTOĆA MATERIJALA

3

1. UVOD Svako čvrsto tijelo pod djelovanjem vanjskog opterećenja mijenja svoj oblik i volumen, a u njemu se pojavljuju unutrašnje sile. Promjena oblika i volumena tijela naziva se deform acija, a specifično opterećenje tijela izazvano njegovim unutrašnjim silama predstavlja naprezanje. Veličina i oblik deformacije ovise o vanjskom opterećenju, temperaturi i fizičkomehaničkim svojstvima m aterijala od kojeg je tijelo izgrađeno. Deform acija raste sve dok se ne uspostavi ravnoteža između vanjskih i unutrašnjih sila, kada tijelo poprim a određeni ravnotežni položaj. U tom se položaju deformirano tijelo nalazi u napregnutom stanju. Analizu naprezanja i deformacija tijela u okviru mehanike čvrstih tijela, moguće je provesti na dva načina koji se međusobno razlikuju u pristupu i metodam a rješavanja. Prvi način koristi teorija elastičnosti, znanstvena disciplina koja obrađuje problem ponašanja čvrstih tijela na osnovi strogih i točnih postavki. Time matematičke operacije pri rješavanju postaju složene, i prem da daju točne rezultate, mogućnost njihove praktične primjene je ograničena. Drugi, praktični način, koristi nauka o čvrstoći koja svoje metode proračuna osniva na nizu pretpostavki potvrđenih eksperimentima, ali i na rezultatima dobivenim s pomoću teorije elastičnosti. To je tehnička disciplina koja proučava čvrstoću, krutost i stabilnost dijelova konstrukcija i strojeva te jednostavnijih konstrukcijskih cjelina. Čvrstoća konstrukcije je njezina sposobnost da prenese opterećenje bez loma, trajnih deformacija ili oštećenja (pukotina). D a bi neka konstrukcija očuvala svoju čvrstoću, najveća naprezanja na njezinim kritičnim mjestima ne smiju biti veća od dopuštenih vrijednosti naprezanja za materijal od kojeg je konstrukcija izgrađena. Slika 1.1 prikazuje lom broda Schenectady na dva dijela zbog nedostatne čvrstoće konstrukcije. K rutost konstrukcije podrazumijeva njezinu otpornost prema deformiranju. Pri tome, veće deformacije mogu dovesti do loma konstrukcije, a manje mogu poremetiti njezinu funkcionalnost. Zbog toga se zahtijeva da najveće deformacije konstrukcije ostanu unutar dopuštenih granica. Stabilnost jest sposobnost konstrukcije da zadrži početni ravnotežni oblik. Gubitak stabilnog ravnotežnog oblika može biti opasan kao i lom konstrukcije, je r brojni primjeri iz prakse pokazuju da nestabilnost ravnotežnog oblika konstrukcije neizbježno vodi prema njezinom uništenju.

Slika 1.1 Pored ovih bitnih zahtjeva, kojima je uvjetovan siguran rad svake tehničke konstrukcije, od nje se traži da bude ekonomična a često i sa što manjom vlastitom težinom. Zahtjevi sigurnosti i ekonom ičnosti međusobno su proturiječni. Prvi zahtijevi vode ka povećanju utroška materijala, a drugi ka smanjenju. Problem je pronaći takvo rješenje konstrukcije koje je u uvjetima normalne eksploatacije sigurno i istodobno ekonomično uz utrošak minimalne količine materijala. Iznijeti zahtijevi, određuju osnovne zadatke nauke o čvrstoći:

Zlatan Kulenović

4

•

Stvaranje proračunskih m etoda za procjenu čvrstoće, krutosti i stabilnosti konstrukcija, s ciljem postizanja sigurnosti i ekonom ičnosti njihovih praktičnih iješenja.

•

Primjena dobivenih proračunskih metoda za određivanje jedne od mogućih nepoznanica traženog najboljeg (optimalnog) rješenja razmatrane konstrukcije u ovisnosti o njezinoj namjeni, a to je oblik, dim enzije, dopušteno opterećenje ili materijal.

Matematičko opisivanje odnosa između vanjskog opterećenja, naprezanja i deformacija, znatno otežavaju složeni oblici realnih čvrstih tijela te raznovrsna fizičko-mehanička svojstva njihovih materijala. Zato se u nauci o čvrstoći uvode određene pretpostavke o svojstvima materijala i o načinu deformiranja koje idealiziraju čvrsta tijela. Time se u znatnoj mjeri olakšavaju i pojednostavljuju utvrđivanje pomenutih odnosa, pri čemu pogreška uglavnom ostaje unutar granica inženjerske točnosti (< 5 %). O snovne pretpostavke su: N eprekinutost materijala. Tijelo je potpuno ispunjeno materijom i ponaša se kao neprekinuta sredina (kontinuum). Iako realno tijelo predstavlja sustav materijalnih čestica (molekula), tj. diskretnu sredinu, ova pretpostavka nalazi svoje opravdanje u činjenici da se u vrlo malom volumenu tijela nalazi vrlo veliki broj čestica. H om ogenost materijala. Tijelo ima jednoliku strukturu po cijelom volumenu, što znači da su mu i fizičko-mehanička svojstva u svim točkama jednaka. V ećina realnih tijela izgrađena od metalnih materijala imaju takva svojstva. Ako realno tijelo ima nejednoliku strukturu, tada je ono nehomogeno. Izotropnost materijala. Tijelo ima jednaka fizičko-mehanička svojstva u svim pravcima. Neka realna tijela, posebno ona vlaknaste strukture (npr. drvo), odlikuju se različitim svojstvima u pravcima vlakana i okomito na njih. Takva su tijela anizotropna. M ale deform acije. Deform acije tijela pod djelovanjem vanjskog opterećenja su male u usporedbi s dimenzijama tijela. Ova je pretpostavka redovito ispunjena pri deformiranju tehničkih konstrukcija, a omogućuje primjenu statičkih uvjeta ravnoteže i na deformabilno tijelo, je r se pomaci hvatišta sila prilikom deformiranja mogu zanemariti. Elastičnost. Ovakvo svojstvo ima tijelo koje se nakon prestanka djelovanja vanjskog opterećenja vraća u svoj prvobitni oblik i dimenzije, a deformacije koje nestaju nakon opterećenja su elastične deformacije. Eksperimenti pokazuju da tijelo zadržava svojstvo elastičnosti samo do određene granice koja je specifična za pojedini materijal. Kada se ta granica prekorači, tijelo se više ne vraća u svoj prvobitni oblik već dobiva trajne ili plastične deformacije. Takve deformacije nisu dopuštene je r vode tehničku konstrukciju prema lomu. Rastezljivo (žilavo) tijelo nakon početnih elastičnih deformacija pokazuje sposobnost znatnih plastičnih deformacija prije loma, za razliku od krh ko g tijela koje se lomi bez značajnijih plastičnih deformacija. Svaka je tehnička konstrukcija sastavljena od više posebnih dijelova ili konstrukcijskih elem enata različitog oblika. M nogi od tih elemenata imaju jednostavne i često pravilne geometrijske oblike, tako da se njihova proučavanja u nauci o čvrstoći uglavnom svode na određivanje naprezanja i deformacija u štapovima, pločama i ljuskama. Štap je konstrukcijski element kod kojeg je jedna dimenzija (dužina) znatno veća od ostalih. Os štapa je crta koja spaja težišta svih poprečnih presjeka. Ona može biti ravna i zakrivljena, a njegov poprečni presjek uzduž te osi može biti konstantan (prizmatični štap) ili promjenljiv, slika 1 .2 a.


5

b)

c)

Slika 1.2 Ploča je konstrukcijski element kod kojeg je jedna dimenzija (debljina) znatno manja od ostalih. Srednja površina ploče je ravna i prepolavlja njezinu debljinu, slika 1.2b. L ju ska je konstrukcijski element koji ima zakrivljenu srednju površinu, slika 1.2c.

2. VRSTE OPTEREĆENJA Vanjske sile koje djeluju na čvrsto tijelo potječu od drugih tijela u njegovom okruženju. Prema mjestu djelovanja ove sile mogu biti površinske i volumenske, slika 2.1. Površinske sile djeluju na cijeloj površini tijela ili n ajed n o m njezinom dijelu, a ne ovise o masi tijela (npr. međusobni pritisak tijela pri dodiru, tlak tekućine ili plina na tijelo itd.). Ako je površina na koju djeluje površinska sila vrlo malena (točka), govori se o koncentriranoj sili. U suprotnom, radi se o kontinuiranom opterećenju koje može biti ravnomjerno ili neravnomjerno raspodijeljeno po površini. Volum enske sile djeluju na svaki djelić tijela i u većini slučajeva razmjerne su njegovoj masi (npr. gravitacijske sile, inercijske sile itd.). Slika 2.1 Ovisno o promjeni tijekom vremena, vanjske sile mogu biti statičke (stalne) i dinam ičke (promjenljive). Iskustvo i ispitivanja pokazali su da je izdržljivost konstrukcijskih elemenata pri dinamičkom operećenju niža nego pri statičkom. Kakve će deformacije čvrstog tijela nastupiti pod utjecajem vanjskih sila, ovisi o vrsti opterećenja. To se može pokazati na primjeru štapa kao najvažnijeg i najjednostavnijeg konstrukcijskog elementa. Sila, moment sile i spreg sila kao osnovni statički elementi, uzrokuju sljedeće osnovne vrste opterećenja'.

Zlatan Kulenović

6

A A ksijalno (osno) opterećenje. Sile djeluju uzduž osi štapa, tako da njegovo opterećenje može biti vlačno (rastezanje), što izaziva produljenje štapa, slika 2 .2 a, ili tlačno (sabijanje), koje proizvodi skraćenje š ta p a , slika 2 .2 b. Sm icanje, Sile djeluju u ravnini poprečnog presjeka štapa i nastoje izazvati klizanje jednog njegovog dijela u odnosu na d ru g i, slika 2 .2 c. Uvijanje (torzija). Štap je opterećen spregovima sila koji leže u ravnini njegovog poprečnog presjeka, slika 2 .2 d. Savijanje. Takvo opterećenje štapa može biti spregovima sila, slika 2.2e, ili silama u ravnini koja prolazi kroz njegovu os, slika 2.2f. U prvom se slučaju radi o čistom savijanju, dok drugi slučaj predstavlja savijanje silama. Izvijanje. Tlačno opterećenje vitkog štapa (dug i tanak štap), kada sila prijeđe određenu graničnu vrijednost, dovodi do iskrivljenja osi štapa, tj. do njegovog bočnog izvijanja, slika 2.2g. Izvijanje je, zapravo, gubitak elastične stabilnosti štapa.

F a)

b)

c)

Slika 2.2 U praksi su česti i slučajevi istodobnog opterećenja štapova s dva ili više osnovnih vrsta opterećenja. U tom se slučaju govori o složenom opterećenju.

3. NAPREZANJE Ako na neko tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da približe ili razdvoje pojedine čestice tijela, čemu se suprotstavljaju unutrašnje sile koje djeluju među česticama. Pretpostavimo da se tijelo pod djelovanjem vanjskih sila F, (; = 1,2,..., n) nalazi u ravnoteži. Ovo znači da je uspostavljena ravnoteža između vanjskih i unutrašnjih sila i da je deformiranje završeno. Za određivanje nepoznatih unutrašnih sila primjenjuje se metoda

7


presjeka, prem a kojoj tijelo zamišljeno presijecamo ravninom na dva dijela. Svaki dio tijela mora ostati u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila koje na njega djeluju, te unutrašnih sila koje zamjenjuju utjecaj odstranjenog dijela. U općem slučaju, te unutrašnje sile imaju neravnomjernu raspodjelu po presjeku. M jera intenziteta ovih sila naziva se naprezanje, i podrazumijeva veličinu unutrašnje sile na jedinicu površine u promatranoj točki presjeka.

N eka u nekoj točki O presjeka, koja se nalazi na elementarnoj površini A A , djeluje elementarna unutrašnja sila A F , slika 3.1. N aprezanje u točki O presjeka definirano je vektorom:

p

AF = lim AA-* o a j

dF

(3.1)

dA

Jedinica za naprezanje j e p a sk a l [Pa = N/m ]. U općem slučaju, vektor p n s s vanjskom normalom n presjeka čini kut
r n = psm (p

(3.2)

Tangencijalno naprezanje obično se dalje rastavlja na dvije međusobno okomite komponente u pravcima / i m , pa se može napisati: P„ = ^ „ -n + T „ ,-l + r nm-m gdje su: n , l i ih , jedinični vektori.

(3.3)

8

Zlatan Kulenović

Kroz svaku točku tijela moguće je povući beskonačno mnogo presjeka, a svakom od njih pripada različit vektor naprezanja p n . Prema tome, vektor naprezanja kao i negove komponente cr„, r„, i r nm, ovisi o mjestu na površini presjeka ali i o orijentaciji presjeka koju određuje njegova vanjska normala n . Skup svih vektora naprezanja p n u nekoj točki tijela, određuje stanje naprezanja u toj točki. Za potpuno definiranje stanja naprezanja u određenoj točki tijela, potrebno je i dovoljno poznavati vektore naprezanja za tri međusobno okomita presjeka kroz tu točku. N a svakom od tih presjeka vektor naprezanja se rastavlja na tri komponente, što znači da je u općem slučaju stanje naprezanja u točki određeno s devet komponenata naprezanja, tri normalna i šest tangencijalnih naprezanja. U skladu s tom činjenicom, izdvojimo iz nekog napregnutog tijela beskonačno maleni element oblika kocke (elementarni volumen), čija tri brida prolaze kroz promatranu točku O i leže na osima pravokutnog koordinatnog sustava xyz, slika 3.3. N a svaku površinu presjeka (plohu) toga elementa, djeluje jedno normalno i dva tangencijalna naprezanja.

Komponente naprezanja označavaju se s odgovarajućim indeksima. Norm alno naprezanje a ima indeks koordinatne osi s kojom je paralelno (npr. crx je naprezanje paralelno osi x). Prvi indeks tangencijalnog naprezanja r određen je orijentacijom presjeka (pravac vanjske normale) na kome djeluje, a drugi indeks pokazuje koordinatnu os s kojom je to naprezanje paralelno (npr. rxy je naprezanje na presjeku čija vanjska normala ima pravac osi x, a djeluje paralelno osi y). Ona površina presjeka čija vanjska normala ima smjer pozitivne koordinatne osi uzima se kao pozitivna, a ako su smjerovi suprotni, presjek je negativan. Komponenta naprezanja je pozitivna ako na pozitivnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru koordinatne osi ili ako u negativnom presjeku djeluje u negativnom smjeru koordinatne osi. U slučaju da su predznaci presjeka i smjera suprotni, komponenta naprezanja je negativna. Sve komponente naprezanja prikazane na slici 3.3, su pozitivne.


9

Devet komponenata naprezanja koje karakteriziraju stanje naprezanja u točki O, mogu se složiti u kvadratnu matricu koja glasi:

r xy Ty*

(3.4)

T* Ova se matrica naziva se matrica tenzora naprezanja ili, kraće tenzor naprezanja. Svaki horizontalni redak te matrice sadrži komponente naprezanja koje djeluju u presjeku s istom orijentacijom, dok svaki vertikalni stupac matrice čine komponente naprezanja koje su paralelne s istom koordinatnom osi. U m nožak svake komponente naprezanja i pripadne površine presjeka na kojem ona djeluje, predstavlja odgovarajuću unutrašnju silu. Kako sve te sile moraju biti u ravnoteži, njihova momentna jednadžba za os x, koja prolazi središtem napregnutog elementa paralelno o six , slika 3.3, glasi: Y j M x, = ( j yzdxdz)dy - ( r Zydxdy)dz = 0 Na osnovi ove jednadžbe, te analognih momentnih jednadžbi za osi y , i z t , slijedi: T z y = T yz

>

Tx y = %

’

T ~ = T *z

( 3-5)

Ovaj izraz predstavlja pravilo o recipročnosti (konjugiranosti) tangencijalnih naprezanja, prema kome su na dva međusobno okomita presjeka tangencijalna naprezanja jednaka i usmjerena prem a zajedničkom bridu elementa, ili od njega. Može zaključiti d a je matrica tenzora naprezanja, izraz (3.4), simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, što znači da je stanje naprezanja u točki definirano sa šest različitih komponenata naprezanja. Ovakvo stanje naprezanja naziva se prostorno ili troosno stanje naprezanja.

H =

Slika 3.4 Ako su naprezanja na dvije nasuprotne površine presjeka jednaka nuli, npr. crz = rzx = *xz ~ 0 , preostaju samo su tri međusobno različite komponente naprezanja, tj. ax ,
10

Zlatan Kulenović

Kod linearnog ili jednoosnog stanja naprezanja postoji samo je d n a komponenta naprezanja , npr.
Slika 3.5 Ravninsko i linearno stanje naprezanja konstrukcijskih elemenata mnogo se češće susreću u tehničkoj praksi, pa ćemo ih kasnije podrobnije razmotriti.

4. DEFORMACIJA Pod djelovanjem opterećenja, promjene temperature i drugih vanjskih utjecaja, čvrsto tijelo se deformira, pri čemu mijenja svoj oblik i volumen. Pri deformiranju, pojedine čestice tijela pomiču se u nove položaje. Promjena položaja neke čestice tijela opisuje se vektorskom veličinom koja se naziva pom ak. N a slici 4.1, prikazan je vektor pomaka 8 koji spaja početni i konačni položaj neke čestice, odnosno točku O u nedeformiranom tijelu, s točkom Oi u deformiranom tijelu. Kao i svaki vektor, pomak je određen svojim projekcijama na osi pravokutnog koordinatnog sustava.

Slika 4.1


11

Osim s pomakom, deformiranje okoliša neke točke može se opisati pomoću duljinskih i kutnih deformacija. Slika prikazuje točku O i njoj bliske točke A i B nedeformiranog tijela. N eka male dužine OA i OB leže na međusobno okomitim pravcima l i m . Nakon deformiranja, promatrane točke su se pomaknule u nove položaje Oi, At i Bi, pri čemu su dužine promijenile svoje duljine, a promijenio se i pravi kut između njih.

D uljinska deform acija s definira se kao relativno produljenje neke elementarne dužine, tj. kao omjer produljenja i početne dužine. Oznaka e ima indeks pravca odnosno osi s kojom je dužina paralelna. Duljinska deformacija u točki O za pravac / , data je izrazom: 0 ,A ,-0 A M e, = lim — — --------= lim — oa->o OA oa->o i

(4.1)

K utna deform acija y definira se kao promjena prvobitnog pravog kuta između dvije elementarne dužine. Oznaka y ima indekse pravaca odnosno osi s kojim a su dužine paralelne. Kutna deformacija u točki O za pravce l i m , glasi: y.

= lim (Z O A B - Z O .A .B .) = - - lim a oa->q i 1 1 2 oa-*o O B -*0

OB-tO

(4.2) ’

Kod izotropnih materijala duljinsku deformaciju s izaziva normalno naprezanje a, a kutnu deformaciju y izaziva tangencijalno naprezanje r. Zato se katkad duljinska deformacija naziva normalnom, a kutna deformacija tangencijalnom. Osim duljinskih i kutnih deformacija, ponekad se koristi i volum enska deform acija ev. Ona izražava relativnu promjenu volumena malenog napregnutog elementa tijela u promatranoj točki, tj: ,■ AK ev = lim ----(4.3)

v

v->o V

Duljinska, kutna i volumenska deformacija bezdim enzionalne su veličine. Skup svih duljinskih i kutnih deformacija za sve moguće pravce koji prolaze kroz neku točku tijela, definira stanje deform acije u toj točki. Za potpuno definiranje stanja deformacije u određenoj točki tijela, potrebno je i dovoljno poznavati duljinske i kutne deformacije za tri međusobno okomita pravca kroz tu točku. Ako su ti pravci paralelni s osima pravokutnog koordinatnog sustava xyz, tada postoje tri duljinske deformacije: ex , ey , Sz išest kutnih deformacija: />,, - yyx, yyz = Yzy. "fa - Yxz ■ Ranije je pokazano da je stanje naprezanja u nekoj točki tijela moguće opisati s tri normalne i šest tangencijalnih komponenata naprezanja, koje čine matricu tenzora naprezanja. N a osnovi analogije, može se zaključiti da je i stanje deformacije u točki određeno sa šest međusobno neovisnih komponenata deformacije. Duljinske deformacije i polovice kutnih deformacija, elementi su matrice tenzora deformacije ili kraće tenzora deform acije, koji glasi:

Zlatan Kulenović

12

2 rw 1

H=

£y 1

1

2 Y zx

2 7zy

2 1

^

2 Yyz

(4.4)

Ova je kvadratna matrica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, a opisuje opći slučaj stanja deformacije pri kojem je napregnuti element promijenio i oblik i volumen, kako to pokazuje slika 4.2. U tehničkoj praksi komponente deformacija vrlo su male, reda veličine IO' 3 i manje. Takve male deformacije samo se i razmatraju u nauci o čvrstoći, kako je to u uvodu istaknuto.

5. MEĐUSOBNA OVISNOST NAPREZANJA I DEFORMACIJA Opterećenjem tijela u njemu se pojavljuju naprezanja, a ono se pri tome deformira. Povećanjem opterećenja rastu naprezanja ali se povećavaju i njegove deformacije. Također, može se utvrditi da deformacije tijela ovise i o vrsti njegovog materijala. Prema tome, postoji određena veza između naprezanja i deformacija svakog čvrstog tijela, koja ovisi o fizičkomehaničkim svojstvima materijala od kojeg je tijelo izgrađeno. Za praktične proračune tehničkih konstrukcija od različitih materijala, potrebno je poznavati međusobnu ovisnost naprezanja i deformacija. Ova se ovisnost određuje ispitivanjem standardnih uzoraka materijala, tzv.epruveta, pokusim a rastezanja, sabijanja, smicanja itd. Najčešće se izvodi pokus rastezanja epruvete u obliku štapa kružnog poprečnog presjeka, mjerne duljine / i promjera d, kao na slici 5.1. N a posebnom stroju za kidanje, postupno se povećava vlačna sila F sve do prekida epruvete. Tijekom pokusa epruveta se produljuje za AI, a istodobno se njezin promjer smanjuje za Ad. D ijeljenjem sile F početnom površinom poprečnog presjeka A , dobiva se naprezanje:

To je tzv. konvencionalno naprezanje. Stvarno naprezanje je veće, je r se površina poprečnog presjeka smanjuje tijekom pokusa. Ako se produljenje A l podijeli početnom duljinom /, dobiva se relativno produljenje epruvete ili uzdužna duljinska deformacija-.


13

A/ £ =1

(5.2)

O mjer smanjenja promjera Ad i početnog promjera d, predstavlja relativno suženje epruvete ili poprečnu duljinsku deform aciju: Ad

(5.3)

~7

U praktičnoj upotrebi, rezultati pokusa najčešće se prikazuju dijagramom u kojem se daje ovisnost konvencionalnog naprezanja a o uzdužnoj duljinskoj deformaciji e . Takav dijagram rastezanja ili a - s dijagram za jedan meki (konstrukcijski) čelik , ima izgled kao na slici 5.2.

d

A

J i

A

Slika 5.1

Slika 5.2

N a dijagramu rastezanja uočavaju se karakteristične vrijednosti naprezanja: granica proporcionalnosti crp, granica elastičnosti &e , granica tečenja a f , granica čvrstoće i granica kidanja
Zlatan Kulenović

14

N akon određene deformacije, naprezanje ponovno raste, dostiže maksimalnu vrijednost (?m koja se naziva i vlažna čvrstoća, a zatim pada do < j k , kada se epruveta lomi. Produljenje epruvete pri rastezanju, prati suženje njezinog poprečnog presjeka. Do pojave tečenja materijala to je suženje jednoliko po cijeloj duljini, a jednolika su i naprezanja i deformacije u cijeloj epruveti. Kad se naprezanje približi granici tečenja, počinje naglo suženje n ajed n o m m jestu epruvete (vrat), gdje naprezanja i deformacije postaju izrazito veće nego u ostalom dijelu epruvete. Zato se sve do točke T dijagrama rastezanja, konvencionalno i stvarno naprezanje neznatno razlikuju, a poslije te točke njihove razlike postaju sve veće. Dijagrami rastezanja različitih tehničkih m aterijala vrlo su različiti po obliku i vrijednostima naprezanja, ali se ipak mogu svrstati u četiri osnovne skupine, kako to pokazuje slika 5.3. Pokusi sabijanja daju slične a - s dijagrame kao i pokusi rastezanja. Kod rastezljivih materijala (npr. meki čelik, bakar, bronca itd.), granici tečenja pri rastezanju odgovara granica gnječenja pri sabijanju, kada počinju znatnije plastične deformacije materijala. Vlačnoj čvrstoći odgovara granica čvrstoće pri sabijanju ili tlačna čvrstoća. Krhki materijali (npr. kaljeni čelik, sivi lijev, beton itd.) ne mogu se plastično deformirati, što znači da nakon elastičnih deformacija praktički odmah dolazi do razaranja meterijala. Treba istaknuti da je kod krhkih materijala tlačna čvrstoća znatno veća od vlačne čvrstoće (npr. za sivi lijev približno 4 puta).

Slika 5.3

Z a sve vrste dijagrama rastezanja, slika 5.3, pri malim deformacijama postoji linearna ovisnost odnosno proporcionalnost naprezanja a i deformacija s . Ta su područja u dijagramu izvučena debljom crtom. Također, pokusim a je pokazano da postoji proporcionalnost između poprečne e P i uzdužne duljinske deformacije s , pri čemu su one uvijek suprotnog predznaka (pri rastezanju epruveta se produljuje uz smanjenje presjeka, a pri sabijanju nastupa skraćenje epruvete uz povećanje presjeka). Te dvije zakonitosti mogu se prikazati izrazima: cr —E • £

;

ep = -v -£

(5.4)

Ovi izrazi predstavljaju H ookeov zakon jednoosnog stanja naprezanja. To je temeljni zakon nauke o čvrstoći, je r sva dobivena rješenja vrijede u njegovim granicama, tj. do granice proporcionalnosti a p . Koeficijenti proporcionalnosti u izrazima (5.4), su: E - Youngov m o d u l elastičnosti i v Poissoitov koeficijent. To su konstantne veličine za određeni materijal. Modul elastičnosti ima dimenziju naprezanja pa mu je jedinica paskal. Npr. za čelik je E = 210 GPa. Poissonov koeficijent je


15

bezdimenzijska veličina koja za izotropne materijale iznosi 0 < v< 0,5. Za većinu m etala je v » 0,3. Pokusima smicanja može se utvrditi ovisnost između tangencijalnih naprezanja r i kutnih deformacija y za neki materijal. Takva se ovisnost prikazuje x - y dijagramom , koji je sličan a - s dijagramu, slika 5.4. I u ovom slučaju pokazano je da postoji područje proporcionalnosti naprezanja i deformacije, što znači da H ookeov zakon smicanja glasi: r = G -y (5.5) Koeficijent proporcionalnosti u ovom izrazu je: G m odul sm icanja (klizanja). Modul smicanja je također konstantna veličina za određeni materijal. N jegova jedinica je paskal. Npr. za čelik vrijedi G = 80 GPa.

Slika 5.4

Pošto karakteriziraju elastična svojstva čvrstoga tijela, veličine E , G i v , nazivaju se konstante elastičnosti. Njihove se veličine za različite tehničke materijale mogu pronaći u tehničkim priručnicima.

6. PRORAČUNSKO I DOPUŠTENO NAPREZANJE Elementi tehničkih konstrukcija proračunavaju se tako da budu u eksploatacijskim uvjetima sigurni, što znači da se pod djelovanjem opterećenja ne deformiraju trajno ili da ne dostignu granicu loma. D a bi se proračun naprezanja i/ili deformacija konstrukcijskih elemenata mogao provesti, razmatranu konstrukciju potrebno je m odelirati kako geometrijski, tako i po osnovi operećenja. Zbog toga se stvarna konstrukcija prikazuje proračunskom shem om , na kojoj su ucrtane samo glavne dimenzije i pretpostavljeno opterećenje. N a slici 6.1a, kao primjer, p rikazanje čelični nosač T profila koji je n ajed n o m kraju čvrsto zavaren za vertikalnu stijenku, a na njegovom slobodnom kraju pričvršćen je elektromotor. N a proračunskoj shemi te konstrukcije oblika konzole, slika 6.1b, opterećenje je prikazano težinom konzole Gk , težinom elektromotora G em i promjenljivom centrifugalnom silom Fc = me a 2, gdje su: m ,e \ co - masa, ekscentricitet i kutna brzina rotora elektromotora.

a)

^

b)

F

Zlatan Kulenović

16

Zbog ovakvog pristupa pri proračunu, treba razlikovati stvarno i proračunsko naprezanje. Stvarno naprezanje je ono koje se u konstrukcijskom elementu pojavljuje u radnim uvjetima, a proračunsko naprezanje predstavlja očekivanu vrijednost naprezanja u konstrukcijskom elementu dobivenu proračunom. Proračunsko naprezanje razlikuje se od stvarnoga, a za to postoji više razloga: nedovoljno poznavanje opterećenja koje djeluje na konstrukciju, neodgovarajući izbor proračunske sheme kojom nisu uzeti u obzir svi detalji stvarne konstrukcije, ograničena točnost izraza koji se koriste u nauci o čvrstoći, postojanje dodatnih naprezanja (početna, montažna i toplinska) koja su najčešće nepoznata, itd. Zbog svega toga, proračunsko naprezanje samo je procjena stvarnog naprezanja. Da se konstrukcija ne bi slomila, jasno je da stvarno naprezanje mora biti manje od čvrstoće materijala. M eđutim, u mnogim slučajevima ne smije se dopustiti pojava niti najmanje plastične deformacije. Prema tome, stvarno naprezanje u rastezljivim materijalima treba da bude manje od granice tečenja, a kod krhkih materijala znatno manje od granice čvrstoće. Budući da stvarno naprezanje može biti veće od proračunskog, potrebno je osigurati da najveće proračunsko naprezanje bude manje od nekog dopuštenog naprezanja
Dopušteno naprezanje rastezljivih materijala definira se izrazima:

S

’

d

S

(6 . 1)

a za krhke materijale vrijedi:

(6 .2) gdje je: a T- granica tečenja, r T- smična granica tečenja, crM- vlačna odnosno tlačna čvrstoća, r M- smična čvrstoća materijala, S - koeficijent sigurnosti. Izbor koeficijenta sigurnosti S ovisi o mnogim faktorima, a neki od njih su: vrsta opterećenja i njegova promjenljivost tijekom vremena, oblik i važnost konstrukcije, moguća opasnost za ljudski život itd. Uvijek se uzima da je S > 1, najčešće 1,5 < S < 2,5, ali ponekad može biti i S > 10!

(7 . AKSIJALNO OPTEREĆENJE 7.1 ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA N eka je ravni prizm atični štap proizvoljnog poprečnog presjeka, na krajevima opterećen koncentriranim silama F koje djeluju duž njegove osi z, slika 7.1a.

17


Slika 7.1 Štap se nalazi u napregnutom stanju, što znači da se u njemu pojavljuju unutrašnje sile. Za određivanje veličine i raspodjele tih sila, koristit ćemo metodu presjeka. Presijecimo poprečno štap ravninom na dva dijela, a utjecaj odbačenog dijela zamijenimo sustavom unutrašnjih sila raspodijeljenih po površini presjeka. N jihova rezultanta djeluje u težištu T presjeka i ima pravac osi štapa, pa predstavlja uzdužnu silu N u promatranom presjeku. U ovom je slučaju uzdužna sila pozitivna jer je opterećenje štapa vlačno. Pri tlačnom opterećenju štapa, uzdužna sila je negativna. Jasno je da su i pravci svih unutrašnjih sila paralelni osi štapa z, što znači da se u svakoj točki presjeka površine A, javlja samo normalno naprezanje a . N a svakoj elementarnoj površini dA djeluje unutrašnja sila a - d A, kako to pokazuje slika 7.1b. Promatrani dio štapa nalazi se u ravnoteži, pa mora biti ispunjen uvjet: (7.1) A

Da bi se ova jednadžba mogla riješiti, potrebno je poznavati zakon raspodjele normalnog naprezanja u po poprečnom presjeku, tj. zakon raspodjele unutrašnjih sila. Raspodjela naprezanja ovisi o položaju presjeka štapa. U presjeku koji se nalazi u blizini kraja štapa gdje djeluje koncentrirana sila F, raspodjela naprezanja je neravnomjerna zbog q pojave lokalnog naprezanja. M eđutim, prema Saint-V enantovom principu udaljavanjem od m jesta djelovanja opterećenja, neravnomjernost raspodjele naprezanja po presjeku sej^ q smanjuje, pa se dovoljno daleko od krajeva štapa može uzeti ravnomjeran rasp o red Z C 3D naprezanja. Eksperimenti potvrđuju, da je na udaljenosti h (najveća dimenzija p o p r e č n o g ©} presjeka) od krajeva štapa, raspodjela naprezanja po presjeku praktički jednolika, tj. a — konst., slika 7.2. Prema tome, jednadžba (1) glasi: odnosno

r

a -A = F

A

pa je naprezanje'.

(7.2)

Zlatan Kulenović

18

CT* konst.

(J = konst. ■ fir h / ------------------ 1------------------------------ -

Slika 7.2

Slika 7.3

U slučaju vlačnog opterećenja štapa (N > 0), naprezanje je pozitivno (cr > 0 ) , a kod tlačnog opterećenja (N < 0), naprezanje je negativno ( a < 0). Aksijalno opterećenje štapa uzrokuje promjenu njegove duljine, slika 7.3. Ukupna promjena duljine štapa (produljenje ili skraćenje), razlika je njegove duljine nakon deformiranja l\ i duljine prije deformiranja /: A/ = /, - /

(7.3)

Pri vlačnom opterećenju A/ > 0, a pri tlačnom A/ < 0. Pošto je u praksi redovito duljina štapa mnogo veća od njegove poprečne dimenzije ( / » h), utjecaj ruba može se zanemariti i uzeti jednolika raspodjela deformacija kako po presjeku, tako i po duljini štapa. Uzimajući u obzir Hookeov zakon, uzdužna duljinska deform acija štapa u tom slučaju glasi:

Ako se u izraz (4) uvrsti izraz (2), slijedi ukupno produljenje (skraćenje) štapa: (7.5)

Veličina E A naziva se aksijalna krutost štapa i predstavlja mjeru opiranja štapa deformiranju u pravcu njegove osi.

Slika 7.4

Slika 7.5

19


U slučaju da se poprečni presjek štapa ili njegovo opterećenje mijenjaju skokovito, tj. ako štap ima više dijelova (i = 1 , 2 ,..., ri) različite aksijalne krutosti ili su u njegovim pojedinim presjecima uzdužne sile različite, slika 7.4, tada ukupno produljenje štapa iznosi:

A/ = Z y X

(7-6)

gdje je: /,— duljina i- tog dijela štapa na kojem je N,= konst i E,Ai= konst. Ako je prom jena presjeka ili operećenja duž osi z štapa duljine / kontinuirana, slika 7.5, izraz (7.6) dobiva oblik: rNdz (7 -7)

7.2 PRORAČUN AKSIJALNO OPTEREĆENIH STAPOVA Temeljni zahtjev pri proračunu svakog konstrukcijskog elementa u obliku štapa opterećenog vanjskim silama uzduž svoje osi, jeste osigurati da njegova eksploatacija protekne bez opasnosti od loma ili trajnih deformacija. Ovo znači da maksimalno normalno naprezanje <7max, koje se pojavljuje u točkama poprečnog presjeka štapa, m ora biti manje od odgovarajućeg dopuštenog naprezanja a d . Stoga je iz dijagrama uzdužnih sila koje izazivaju normalna naprezanja, potrebno dobiti najveću vrijednost uzdužne sile N mm, a zatim odrediti najveće naprezanje u poprečnom presjeku. Prema tome, uvjet čvrstoće štapa glasi: (7.8)

4

N a osnovi ovog izraza, mogu se rješavati sljedeći praktični zadaci:

1. Za zadane vanjske sile i dopušteno naprezanje, odrediti potrebnu površinu poprečnog presjeka štapa: N A > ——

Rješavanje ovoga zadatka naziva se dim enzioniranje. 2. Za zadane vanjske sile i poznatu površinu presjeka štapa, provjeriti stvarno naprezanje: Nm

Dobivena vrijednost naprezanja služi za procjenu čvrstoće štapa. 3.

Za zadanu površinu presjeka i dopušteno naprezanje štapa, odrediti veličinu vanjske sile kojom se štap smije aksijalno opteretiti:

20

Zlatan Kulenović

F < a d -A Osim čvrstoće štapa, potrebno je osigurati i da njegova maksimalna deformacija £max bude manja od dopuštene deformacije s d , što znači da maksimalno produljenje (skraćenje) štapa m ora biti manje od dopuštene promjene duljine Ald . Dakle, potrebni uvjet krutosti štapa je: A/ma x = % ^ A / rf EA

(7.9)

PRIMJER 1

Čelični štap konstantnog presjeka opterećen je silama duž svoje osi kao na slici. Odrediti naprezanja u dijelovima 1, 2 i 3 štapa, te ukupnu promjenu njegove duljine. Zadano: /<’, = 5 0 k N ,F 2 = 15 k N , Fj = 10 k N ,

/2

= 1m ,

/3

«

11.

X EA

F a = 4 5 k N , £ = 200 G P a ,,4 = 500 m m 2, /, = 0,5 m ,

U

Ii

p c1

f4

Fi

= 1,5 m . N,

N

2

Na osnovi dijagrama uzdužnih sila N slijede: Naprezanja: a-, =

N.

F.

50-10"

A

A

500 -10 -6

cr, =

■= 100 MPa

N 2 _ Fi ~ F2 _ ( 5 0 - 1 5 ) -10’3 =70 M Pa A 500-10“ 45 -1 0 '

o-, =-

500-10"

■= 90 MPa

Promjene duljina:

2 00

N 2l2

^ 3 EA

IO" 6

200

LA O o

35-1 oON

EA

-

o 0

A/,

EA '

50-0,5 1

A/ 2 =

N I

•o O

A/,

= 2 ,5 - 1 0 “ 4 m

= 3,5-IO ' 4 m •IO" 6

45-1,5 200-106 -500-10"

= 6,75-IO " 4 m

N,

21


Ukupna prom jena duljine, u ovom slučaju izduženie štapa, iznosi: Alv = A/, + Al2 + A/ 3 = (2,5 + 3,5 + 6,75)• IO' 4 = 12,75 • IO"4 m = 1,275 mm

PRIMJER 2

Kruta horizontalna greda AB zanemarljive težine, oslonjena je zglobno u točki A a u točki B povezana je s vertikalnim bakrenim štapom BC, pravokutnog presjeka kao na slici. Odrediti potrebne dimenzije poprečnog presjeka štapa BC te pomak točke B, ako se greda AB optereti ravnomjerno raspodijeljenim kontinuiranim opterećenjem q. Zadano: q = 16 k N /m , / = 4m , £ = 100G P a,

tC CM

m

“|

a d = 40 M Pa . ( M f ^

V eličinu sile F koja opterećuje štap BC na vlak, moguće je dobiti na osnovi jednadžbe ravnoteže grede AB: '£ i M A = o

- q - l ■— + F - l = 0

F

?A<— UJ.__:

/7 = i ! = i ^ i = 3 2kN

E>

2

2

Potrebne dimenzije presjeka štapa slijede iz njegovog uvjeta čvrstoće:

Pomak točke B = produljenje štapa BC.

Zlatan Kulenović

22

8 = M = ±l

E -A

= ________ ______________ 100-IO6 -0,02-0,04

= 1,6 -IO -3 =

1 ,6

mm

deform iranja

7.3 STATIČKI NEODREĐENI ZADACI U tehničkoj praksi česte su statički neodređene konstrukcije kod kojih je broj nepoznatih sila veći od broja raspoloživih, međusobno neovisnih statičkih uvjeta ravnoteže (u općem slučaju postoji šest uvjeta ravnoteže u prostornim, a tri u ravninskim problemima). Takve je zadaće moguće riješiti postavljanjem potrebnog broja dopunskih uvjeta deform acije, koji slijede iz geometrijske analize načina deformiranja tijela. Pri tome se uvažava činjenica da veze dijelova razmatrane konstrukcije (tijela), prije i poslije deformiranja m oraju ostati nerazdvojene (uvjet kom patibilnosti deformacija). Uvjetima deformacije opisuju se određene funkcionalne veze između promjena duljina pojedinih elemenata sustava, a oni se najčešće izvode na osnovi nacrtanog p la n a pom aka. Pri postavljanju uvjeta deformacije često se koristi princip superpozicije. Prema njemu, ako je tijelo opterećeno s više sila, pomak neke njegove točke jednak je zbroju pomaka te točke zbog svake sile pojedinačno. Ovaj se postupak smije upotrijebiti samo za konstrukcije kod kojih su pomaci linearno ovisni o opterećenju, tj. za konstrukcije za koje vrijedi H ookeov zakon. U Nauci o čvrstoći uglavnom se razmatraju samo takve konstrukcije. Postupak rješavanja statički neodređenih zadataka pokažimo na prim jeru konstrukcije sastavljene od tri elastična štapa jednake krutosti E A , koji su spojeni u točki A i opterećeni silom F , kako to pokazuje slika 7.6.

Ako se čvor A oslobodi veza, slika 7.7, možemo pisati: 1. ^ X = 0

-

sin a + S 3 sin a — 0

2 .2 _ ,Y = 0

- S i c o s a - S 2 - F - S 3c o s a = 0

Uvjeti ravnoteže:


23

Dakle, dvije su jednadžbe ravnoteže a tri nepoznate sile u štapovima S t , S 2 i 5 3. Prema tome, zadatak je je d a n p u t statički neodređen. Zato je potrebno postaviti jo š jedan dopunski uvjet deformacije, što se može učiniti na osnovi plana pom aka koji prikazuje položaj konstrukcije prije i poslije deformiranja, slika 7.8. Valja naglasiti da su svi pomaci mnogo manji od dimenzija razmatrane konstrukcije, a prikazani su pretjerano velikim da bi slika bila jasnija.

Vidljivo je da se svi štapovi nakon opterećenja produljuju, zbog čega se točka A vertikalno spušta i pomiče u novi položaj Ai. Pomaci A]A 2 i AAj predstavljaju produljenja štapova A/, i A12 . Zbog malih pomaka možemo dovoljno točno luk AA 2 zamijeniti okomicom AA 3 na štap 1, pri čemu se kut a nije promijenio. Iz trokuta A A 1A 3 slijedi:

Uvjet deform acije:

s Kako je

1

1 l .

A/, = ----- c o s a EA

i

3. A /,= A /2c o s a

s •/ A/ 2 = —— , uvjet deformacije izražen preko sila, glasi: EA S { = S 2 cos 2 a

Konačno, rješavanjem jednadžbi 1, 2, i 3, slijede veličine nepoznatih sila u štapovima: c

p

F co s2 a l + 2 cos a

p

F l + 2 cos a

PRIMJER 3

Štap sastavljen iz dva različita dijela, ukliješten je na svojim krajevima i u točki C opterećen aksijalnom silom F. Odrediti reakcije u uklještenjima A i B. Zadano: F , l , E A .

Zlatan Kulenović

24

Oslobodimo štap veza dodavanjem nepoznatih reakcija FA i Fa , kao na gornjoj slici. Jedini uviet ravnoteže ie: 1.

£ z =

0

- ^ , + ^ - ^ = 0

Zadatak je jedanput statički neodređen je r imamo dvije nepoznanice, što znači da je potrebno postaviti još jedan dopunski uvjet deformacije. On slijedi iz činjenice da su oba kraja štapa nepomična, što znači da je uzdužni pomak svakog od njih jednak nuli. Odaberemo li npr. kraj B koji smo prethodno oslobodili uklještenja, za njega možemo napisati potrebni uviet deform acije: 2. S „ = 0

Prim jenom metode superpozicije, ukupni pomak SB točke B jednak je zbroju pomaka SBF zbog djelovanja sile F (produljenje) i pomaka SBB uzrokovanog reakcijom FB (skraćenje),

S '= S m * S m =—

EA

Iz ove jednadžbe slijedi: FB =

- f e ^ +4 ^ l = 0

l 2EA

EA

2F

Uvrštavanjem te vrijednosti u uvjet ravnoteže, dobiva se: FA

F_ 3 '

7.4 POČETNA I TOPLINSKA NAPREZANJA

U statički neodređenim konstrukcijama mogu se pojaviti naprezanja koja nisu posljedica djelovanja vanjskog opterećenja. Obično se to događa pri sastavljanju (montaži) konstrukcije zbog netočnosti izrade njezinih pojedinih elemenata, ili zbog promjene njihove

25


temperature. U prvom slučaju radi se o početnim naprezanjim a, dok se u drugom slučaju pojavljuju toplinska naprezanja. Takva naprezanja vrlo su opasna je r se teško otkrivaju, a pri opterećenju konstrukcije zbrajaju se s naprezanjima koje izaziva vanjsko opterećenje. Rezultat može biti lom konstrukcije, iako je naprezanje koje potječe od vanjskog opterećenja manje od dopuštenog. Pojavu početnog naprezanja pokažimo na primjeru horizontalne krute grede koju treba povezati s dva vertikalna štapa, slika 7.6. izrade karaći za 8 od potrebne duljine. Za spajanje, potrebno je istodobno sabiti štap 1 za A h , i rastegnuti štap 2 za Ah .

Kao rezultat takvog postupka u štapovima s površinama presjeka 4

i i , , pojavljuju se sile

S, i ^ 2 , koje izazivaju početna naprezanja:

crsl =

—

S A

1

(tlačno naprezanje),

S < j S2 = — (vlačno naprezanje) A

V alja naglasiti da konstrukcija pri montaži nije izložena nikakvom vanjskom opterećenju. Pojam toplinske deformacije pojasnimo na slobodnom štapu koji na temperaturi t ima duljinu /, slika 7.7. Zagrijavanjem štapa za At, on će se produljiti za: (7.10)

Al = a lA t

gdje je: a - koeficijent toplinskog rastezanja [°C‘ 1 ili K '1]. Za male promjene temperature (A t = 100 °C do 200 °C), on se može smatrati konstantnim.

t + At F

Slika 7.7

____

I

Slika 7.8

Duljinska deformacija štapa izazvana promjenom temperature iznosi:

Zlatan Kulenović

26

K ada je štap istodobno opterećen aksijalnom silom na vlak i zagrijan, tada je njegova ukupna duljinska deformacija: e

= ef + s T = — +

E

aAt

(7.12)

Ako je širenje štapa spriječeno, npr. zbog nepomičnih i krutih stijenki između kojih je on učvršćen, slika 7.8, ukupna deformacija jednaka je nuli, tj.: £ = “ + aA t = 0

(7.13)

Odavde slijedi toplinsko naprezanje u štapu: a = ~aEAt

(7.14)

U ovom slučaju naprezanje u štapu je tlačno (a < 0), je r je temperatura povišena (A t > 0). Pri smanjenju temperature (At < 0), u štapu bi se pojavilo vlačno naprezanje (a > 0).

PRIMJER 4

Kruta ploča povezana je sa tri vertikalna ravna štapa jednake površine A. Srednji štap je kraći za 8 od potrebne dužine, kako to pokazuje slika. Odrediti početna naprezanja u štapovima naskon sp ajan ja. Zadano: A = 1 cm 8 = 0 , 6 mm , / = 1 m.

200 GPa

o Nakon spajanja, koje je izvedeno sabijanjem krajnjih štapova i rastezanjem srednjeg štapa, u štapovima će se pojaviti sile. Odredimo njihove veličine.

nakon spajanja

Uvjeti ravnoteže:

1. ] T y = o S t - S 2 + S } = 0 __ 2 . ^ M o =0 S ^ a - S . - a ^ O

27


Zadatak je očigledno jedanput statički neodređen, pa dodatni uvjet dobivamo na osnovi položaja sustava nakon spajanja. Uvjet deformacije:

Rješavanje:

3. A /.+ A /, = S

iz (1) => S 2 = 2 S t , iz (2) SEA

ili

SI SI — - + —^ - = S EA EA

=> S, = S 3, što uvršteno u (3) daje:

0 ,6 -10 ~3 -200-10 -1-10~ 3-i

Početna naprezanja u štapovima (naprezanja prije opterećenja konstrukcije vanjskim opterećenjem) su: S,
3

o-, =-

A

4 -1 0 '

L = -------------

A

= -4 0 M Pa

(tlačno naprezanje)

1-10“'

8-10 —r = 80 M Pa 1-10

(vlačno naprezanje)

PRIMJER 5 Čelični valjak 1 i bakreni cilindar 2 , nose krutu ploču težine G. Za koliko se mora promijeniti temperatura da bi: a) sila u valjku 1 nestala b) sila u cilindru 2 nestala c) sile u oba dijela postale jednake

Y /A

m

Zadano: G = 20 kN, E, = 210 GPa, E 2 = 120 GPa, A\

=

10 cm2, A 2 = 5 cm2,

I2 —

a , = 125-IO-7K '1,

« 2=165-IO ' 7 K '1.

N akon opterećenja i promjene temperature, u dijelovima 1 i 2 pojavljuju se sile F\ i F 2, kako to pokazuje slika. A /, =

A l2 U vjet ravnoteže: 1. Y i = 0 F . + F 2 - G = 0

nakon deform ii anja ^

o v jj e su nepoznate sile, pa je potrebno postaviti uvjet deformacije, koji se dobiva na osnovi slike pomaka.

Zlatan Kulenović

28

Uvjet deformacije:

2. A/, = Al2

Kako promjena duljine dijelova nastaje uslijed vanjskog opterećenja (težina) i promjene temperature, uvjet deformacije se može napisati na sljedeći način: 2. A/ir - A/lf = Al2T - Al2F , gdje indeks T označava promjenu zbog temperature a indeks F promjenu uslijed opterećenja. ili:

Fi — l a J A t -1— F=Ja 2lA t-----------E tA t ' E 2A2

a) U trenutku kada sila u valjku 1 nestaje, opterećenje preuzima cilindar 2. Fx = 0 =>(1)=>

F2 = G

=>(2)=>

At = _____________________________________________________ —------------= ----------^ --( a 2 - a l)E 2A2 (165-125)■ IO“7 -120-IO6 -5-10 " 4 Dakle, temperatura se mora povećati za 83,3 °C.

b) Kada nestaje sila u cilindru 1, valjak 2 preuzima sav teret. F2 = 0

=>(1)=> FX= G

At _

=5>(2)=> ________________

G

(a , - a 2)E lAl

^0______________ = _23 g »c (125 -1 6 5 )• 10“7 -210-10 6 10-10 4

U ovom je slučaju potrebno smanjiti temperaturu za 23,8 °C.

c) V aljak 1 i cilindar 2 jednako su opterećeni. F,=F2

=>(!)=>

Fx= F 2 = I

=>(2)=>

1

At = - G («i ~ a 2) \ E [ A {

Potrebno je zagrijati sustav za 29,8 °C.

1

E 2A 2 j

= ... = 29,8 °C


29

7.5 KONCENTRACIJA NAPREZANJA

U praksi su kod aksijalno opterećenih dijelova oblika štapa, zbog konstrukcijskih ili eksploatacijskih razloga, često prisutni različiti oblici nagle promjene njegovog poprečnog presjeka: suženja, zarezi, utori, otvori i si., kako to pokazuje slika 7.9.

N a mjestima takvih geometrijskih diskontinuiteta koji oslabljuju presjek štapa, ali i na mjestima djelovanja koncentriranih sila tc mogućih, defekata u strukturi materijala, raspodjela naprezanja više nije jednolika, je r dolazi do lokalnog povećanja naprezanja. Ta se pojava naziva koncentracuja naprezanja, pri čemu na svakom takvom mjestu maksimalno naprezanje može višestruko premašiti proračunsko naprezanje i dovesti u pitanje nosivost konstrukcije. Određivanje naprezanja u blizini diskontinuiteta vrlo je složeno i ne može biti napravljeno analitičkim metodama nauke o čvrstoći. Iako su neki jednostavniji i za praksu važni slučajevi riješeni metodam a teorije elastičnosti, danas se problemi koncentracije naprezanja rješavaju eksperimentalnim i numeričkim metodama. Koncentracija naprezanja aksijalno opterećenog štapa koju izazivaju dva polukružna utora prikazana je na slici 7.10.

Slika 7.10 Kao mjera koncentracije naprezanja služi koeficijent koncentracije naprezanja a K. On predstavlja omjer maksimalnog lokalnog naprezanja
Zlatan Kulenović

30

a K = ?JSSL an

(7.15)

a ■ je: • a„ = — F . gdje 4,

Koeficijent koncentracije

naprezanja

a K ovisi

od oblika

i veličine geom etrijskog

diskontimdteta, te od vrste opterećenja.

Slika 7.11

Slika 7.12

Ilustraciju raspodjele naprezanja oko središnjeg kružnog otvora u aksijalno vlačno opterećenom plosnatom štapu daje fotografija na slici 7.11. Fotografija je nastala kao rezultat primjene eksperimentalne fotoelasticimetrijske metode, često korištene u analizi koncentracije naprezanja opterećenih konstrukcijskh elemenata. Ovisnost koeficijenta koncentracije naprezanja o veličini središnjeg kružnog otvora u štapu, data je na slici 7.12. Općenito vrijedi: koncentracija naprezanja j e veća što j e prijelaz nagliji, zarez i utor oštriji, a p olum jer otvora manji. Koncentracija naprezanja naročito je opasna kod statički opterećenih konstrukcijskih elemenata izrađenih od krhkog materijala, je r može biti uzrok pojave pukotina i izazvati lom. Posebno valja istaknuti da prvorazrednu važnost koncentracija naprezanja dobiva kod dinamičkog opterećenja bez obzira da li je materijal krhak ili rastezljiv, je r je utvrđeno da se izdržljivost konstrukcijskog elemenata oslabljenog presjeka bitno smanjuje. Slika 7.13, prikazuje dinamički lom (tzv. zam orni lom) koljenčaste osovine klipnog motora na rukavcu ležaja izazvan koncentracijom naprezanja.

Slika 7.13

31


8. STANJA NAPREZANJA 8.1

JEDNOOSNO STANJE NAPREZANJA

Analiza naprezanja aksijalno opterećenog štapa provedena je u njegovom poprečnom presjeku (Poglavlje 7.1). M eđutim, eksperimenti pokazuju da slom štapa nastaje ne samo po ovom presjeku, već i po presjecima koji s osi štapa zatvaraju određeni kut. Iz toga slijedi d a je potrebno poznavati stanje naprezanja u svim točkama i svim presjecima (poprečnim i kosim) štapa, kako bi se analizom toga stanja utvrdili neophodni uvjeti za njegov ispravan proračun. Analizu naprezanja na proizvoljnom kosom presjeku provest ćemo na primjeru prizmatičnog štapa opterećenog aksijalnim silama F na vlak. Zamislimo da smo štap presjekli nekom kosom ravninom čija normala n zatvara kut (p s osi štapa z , slika 8 . la.

Slika 8.1 Kut (p je pozitivan ako raste u smislu suprotnom gibanju kazaljke na satu. Površina poprečnog presjeka je A , a površina kosog presjeka je An. N a slici 8.1b, prik azan je lijevi dio štapa odvojen kosim presjekom na kome djeluje vektor naprezanja p n u pravcu osi štapa. Iz uvjeta ravnoteže toga dijela štapa, slijedi: Z Z = 0 - F +p„-An = 0

(8.1)

gdje je p„ ■A n- rezultanta unutrašnjih sila na presjeku. K ako je An = -------, a normalno naprezanje u poprečnom presjeku štapa prema izrazu (7.2) cos cp iznosi (j =

slijedi: p n =<7cos
(8.2)

Dakle, naprezanje na kosom presjeku ovisi od njegovog kuta (p. Veličine normalne i tangencijalne komponente ovoga naprezanja možemo izračunati pomoću izraza (3.2), i one iznose:

Zlatan Kulenović

32

Analizom ovih izraza dolazimo do sljedećih zaključaka:

1.

za (p -

0

(poprečni presjek)

=>a „ = a = crmax = a , r„ =

2

K . za (p = — (uzdužni presjek)

=>cr, =

0

0

= crmiI1 = er2

r„ =

0

M aksimalnu, odnosno minimalnu vrijednost normalnog naprezanja na kosom presjeku nazivamo glavna naprezanja i obilježavamo ih sa cr^ i cr2 . Pravci (1) i (2), na kojima djeluju glavna naprezanja nose naziv glavni pravci naprezanja. Presjeci na kojima djeluju glavna naprezanja, odnosno presjeci kojim a su glavni pravci normale, zovu se glavni presjeci. U glavnim presjecim a nem a tangencijalnih naprezanja (r„ = 0 ). M aksimalno tangencijalno naprezanje

r max leži u presjeku koji s poprečnim

presjekom zatvara kut e p - n r / 4 . U slučaju aksiialno opterećenog štapa, postoji samo jedno glavno naprezanje i to cr, = a , dok je drugo cr2 = 0 . Glavni presjek je poprečni presjek, a glavna os (1) je os štapa z . Prema tome, ovakvo stanje naprezanja predstavlja jednoosno stanje naprezanja. Tenzor naprezanja ima samo jedno glavno naprezanje, tj:

M = h ]

PRIMJER 6 Poluga jednog brodskog stroja površine poprečnog presjeka A, opterećena je u radu aksijalno silama F na vlak. Provjeriti čvrstoću poluge u kosom presjeku koji je nagnut za kut a , kako to pokazuje slika. Zadano: F = 1 MN, A = 0,01 m2, a = 30°, crd = 140 M Pa dopušteno normalno naprezanje, Td = 7 0 M Pa - dopušteno tangencijalno naprezanje.

(8-4)

33


y

Naprezanje u poprečnom presjeku poluge: 'V A

n

ct = — = — = 100 MP a A 0,01 e N orm ala

n

kosog presjeka zatvara kut

e " " " 'T ,

•V n

cp = a = 30° s osi štapa z . N orm alna i tangencijalna komponenta naprezanja u kosom presjeku iznose: <7n = crcos 2 (p = lOOcos2 30° = 75 M Pa r„ = y s i n 2 ^ = -^ -s in (2 -3 0 ° ) = 43,3 MPa

Kako je:

cr„ <
o

8.2 DVOOSNO STANJE NAPREZANJA

Ako u nekoj točki opterećenog tijela komponente naprezanja za bilo koji presjek kroz tu točku leže u jednoj ravnini, odnosno ako u njoj djeluju dva glavna naprezanja, tada u toj točki postoji dvoosno stanje naprezanja. U takvom se stanju naprezanja nalazi npr. tanka. ploča opterećena.po konturi silama /•'(/' ~

1 , 2 ..... n)

koje djeluju u ravnini ploče xy, slika 8 .2 .

Budući d a je debljina ploče h mala u odnosu na njene druge dimenzije, moguće je promatrati samo srednju površinu ploče. N a izdvojeni napregnuti element ploče koji predstavlja okolicu neke točke O, djeluju tri komponente naprezanja: a x , a y i = r yx, kako to pokazuje slika 8.3. Sve prikazane komponente naprezanja su pozitivne (vidi 3. Poglavlje).

Slika 8.2

Slika 8.3

Zlatan Kulenović

34

X

Prikazane komponente naprezanja ovise o orijentaciji presjeka za koji je vezan koordinatni sustav. Odredimo njihove veličine za presjek proizvoljne orijentacije kroz točku O. Za određivanje stanja naprezanja u pomenutoj točki, presijecimo napregnuti element nekim kosim presjekom, čija normala x (čitamo iks potez), zatvara kut (p s osi x, slika 8.4. N a tom presjeku djeluju komponente naprezanja a x i r

.

Slika 8.4 Dobiveni pravokutni trokutni element ima stranice d x, dy i d y , te debljinu h. Jednadžbe statičke ravnoteže unutrašnjih sila promatranog elementa, skraćene s debljinom h, glase:

1 . £ X = 0
2 . ^ 7 = 0 Fxy - d ^ - z ^ ■dycos

Kako je r

=r

dx ■ dy , — = simp i — = cos(p, rješavanjem jednadžbi (8.5) slijedi: dy dy crx = a x cos2

Uzimajući

u

obzir

2 l + 2 co s 2 ® cos < p = ------------- —, —

2

( 8 . 6)

= - ( a x - (Ty ) sin cpcos (p + x (cos2 ^ o -s in 2
relacije

poznate

sm ^ co sip = sm 2 ^

napisati u obliku:
ct„

iz . i

trigonometrije:

2 ___ l - 2 c o s2 ii>

sin

? , 2 ^ . . . cos cp - s i n (p = cos2cp, ovi se izrazi mogu

u , —cr„ -cos2(p + zx s m 2 c p

(8.7) crr - cr„ -sin 2cp + t co s 2 cp

Izrazima (8.7), definirana je prom jena normalnog i tangencijalnog naprezanja na kosom presjeku u ovisnosti o d njegove orijentacije (kut (p). U prethodnom je poglavlju pokazano da se ekstremne vrijednosti normalnog naprezanja - glavna naprezanja cr, i a 2 , pojavljuju u presjecima u kojima nem a tangencijalnih naprezanja. Stavljajući ž xy= 0 i (p =
35


, lT *y— tan 2
( 8.8)

Slika

Slika 8.5

8 .6

Očito je da izraz ( 8 . 8 ) daje dva rješenja i to
7r/ 4

jt/ 2

.

s većim normalnim

naprezanjem ( crt ili cry). Na osnovi izraza (8.7) i ( 8 .8 ), slijede veličine glavnih naprezanja: crr - er„

+ Tr.

(8.9)

gdje predznak (+) odgovara glavnom naprezanju er, = crmax, a predznak (-) odgovara glavnom naprezanju a 2 =
+ T*y = -

(8. 10)

Za određivanje deformacija napregnutog elementa sa slike 8.3, primijenimo princip superpozicije, slika 8.7. Crtkano je prikazan početni oblik elementa, a punom crtom njegov deformirani oblik pod djelovanjem pojedinačnih komponenata naprezanja. Normalna naprezanja izazivaju samo duljinske deformacije (uzdužnu i poprečnu), dok je tangencijalno naprezanje uzrok jedino kutne deformacije.

i"

L„

Slika 8.7

Zlatan Kulenović

36

Sve pojedinačne komponente deformacije mogu se odrediti primjenom Hookeovog zakona, izrazi (5.4) i (5.5). Ukupne deformacije dobivaju se zbrajanjem odgovarajućih pojedinačnih komponenata, tj:
>S II

1 X

E

(8.11)

u Izraz (8.11) predstavlja H ookeov zakon za ravninsko stanje naprezanja. Pomoći njega mogu se odrediti deformacije kada su poznata naprezanja i konstante elestičnosti E, G i v . Ako su poznate deformacije, Hookeov se zakon može napisati u sljedećem obliku: E , X a * = J — l ( £* + y£y)

( 8- 12)

17 v = T ~ ~ j ( £ y + V £ x ) 1- V

Txy =

Grv

8.2.1 MOHROVA KRUŽNICA NAPREZANJA Promjena normalnog i tangencijalnog naprezanja na kosom presjeku pri njegovom zakretanju, osim s pomoću izraza (8.7), može se zorno pratiti s pomoću M ohrove kružnice naprezanja. Ako se iz izraza (8.7) eliminira kut ep, kvadriranjem i zbrajanjem njegovih jednadžbi, dobiva se neposredna ovisnost komponenata naprezanja, tj.: 2 ff. + cr„ i

(

/

+ (r f = \ xy )

i7rx - cr„y

K

2

\ (8.13) J

Izraz (8.13) jednadžba je kružnice u koordinatnom sustavu o r , sa središtem S

+
\2

i polumjerom

R =

+

Ova se kružnica naziva M ohrova kružnica

naprezanja. Svaka njezina točka određena je s dvije koordinate a x i r

tj. dvije

komponente naprezanja koje djeluju na nekom presjeku. Kako dva okomita presjeka predstavljaju dijametralno suprotne točke kružnice, za njezino crtanje predznak tangencijalnog naprezanja se mora definirati drukčije, tj. na sljedeći način: pozitivno tangencijalno naprezanje je ono koje zarotirano za 90° suprotno smjeru kretanja kazaljke na satu, pada na pravac normale presjeka. Za normalno naprezanje raniji


37

dogovor o predznaku ostaje nepromijenjen, tj. vlačno naprezanje je pozitivno, a tlačno negativno. Slika 8 . 8 , pokazuje pravilo o predznacima kom ponenata naprezanja za crtanje M ohrove kružnice.

Slika

8 .8

Slika 8.9

Zlatan Kulenović

38

Da bi se mogla nacrtati M ohrova kružnica za dvoosno stanje naprezanja, potrebno je poznavati komponente naprezanja na dva međusobno okomita presjeka. Postupak je u tom slučaju sljedeći: 1. Skicirati napregnuti element, označiti dva međusobno okomita presjeka A i B te ucrtati poznate komponente naprezanja, slika 8.9a. 2. U koordinatnom sustavu a r nacrtati točke A ( a x , r xy) i B (a y , z yx), čija spojnica siječe os a u središtu kružnice S. Konstruirati kružnicu koja prolazi točkama A i B. slika 8.9c. 3. M ohrova kružnica siječe os cr u točkama 1 i 2, čime su određene veličine glavnih naprezanja cr, i cr2 . N jihove pravce tj. glavne pravce (1) i (2), određujemo pomoću pola normala P. Pol P dobivamo kao presjecište normala presjeka u točkama A i B. Pravci povučeni iz pola P kroz točke 1 i 2, glavni su p ra v c i, a kut je kut glavnih pravaca naprezanja, slika 8.9c. Napregnuti element s glavnim naprezanjima prikazan je na slici 8.9b. 4. Želimo li odrediti komponente naprezanja na nekom presjeku C, slika 8.9a, potrebno je iz pola P povući paralelu s normalom presjeka x . Ta paralela siječe kružnicu u točki C, čije su koordinate ( a x , ž xy) tražene komponente naprezanja, slika 8.9c.

PRIMJER 7 Dvoosno stanje naprezanja u točki presjeka opterećenog dijela brodskog stroja, dato je matricom tenzora naprezanja: -10 - 4 MPa H = -4 8 Odrediti: a) komponente naprezanja na presjeku čija normala čini kut ep = -3 0 ° s osi x zadanog presjeka, b) glavna naprezanja i njihove pravce.

y a) Veličine komponenti naprezanja u točki zadanog presjeka, na osnovi matrice tenzora naprezanja, su: a x = -1 0 M P a , c v = 8 MPa, rxy ~ ryx =

MPa.

Napregnuti element ima izgled kao na slici. Komponente naprezanja na kosom presjeku imaju veličine:


gx -

(7X + a G x —<7 x ^— L + ~^~ 2 — L c o s ^ (P + r xy sin 2^7 =

= - 1 0 + 8 + -1 0 -

8

cos(_ 60o^ _ 4 sin(_ 60o) = _

2

MPa

ax~ a> ■ ~ , xy = ----------2 - s m 2 + r„, xy co s 2 iz t>= _ 1Q_ O = ----- — - sin (-6 0 °) - 4 cos(-60°) = - 9 ,8 MPa

b) Glavna naprezanja:

° r +° y ±

-1 0 2

+

8

+

± J f z l 0 z l | + ( _ 4)J VV 2

cr, = 8,9 M Pa ,

cr2 = -10 ,9 MPa

Kut glavnih pravaca: ta n 2 p 0 =

M ohrova kružnica naprezanja:

2r„,

ax- a y

.... 2 - (- 4 ) -

10 -

= 0,444

=>

Zlatan Kulenović

40

8.2.2 TANKOSTIJENE TLAČNE POSUDE Posude pod unutarnjim tlakom, npr. spremnici, rezervoari, kotlovi i si., imaju oblik osnosimetričnih ljuski tankih stijenki. Površina takvih ljuski nastaje rotacijom neke ravninske krivulje z = f ( y ) oko osi simetrije z, slika 8 . 1 0 . K ako je debljina stijenke ljuske h malena u usporedbi s ostalim dimenzijama, može se uzeti da u njoj vlada dvoosno stanje naprezanja. Ovo znači da se pod utjecajem unutarnjeg tlak ap u stijenki ljuske pojavljuju naprezanja samo u meridionalnom (m) i cirkidarnom (ep) pravcu, dok se naprezanje u radijalnom pravcu (pravac normale n na površinu ljuske), može zanemariti. Da bismo odredili pomenuta naprezanja, izdvojimo jedan napregnuti element ljuske s pomoću dva meridionalna i dva cirkulama presjeka i razmotrimo njegovu ravnotežu, slika 8 . 1 1 .

Slika 8 .11

Slika 8.10 Oznake na slici su: a m, a

- meridionalno i cirkularao naprezanje (to su glavna naprezanja: < j v =
je r tangencijalnih naprezanja zbog simetrije nema). Rm, R v - polumjeri zakrivljenosti ljuske u meridionalnom i cirkulam om pravcu. dsm = R md & , dsv = R vd(p - duljine stranica elementa u meridionalnom i cirkulamom pravcu. Jednadžba ravnoteže sila u pravcu normale n glasi:

„ , , . d 9 di9 Kako su kutovi mali, vrijedi: si n— » —

J

2

2

. i

. dtp dtp sin— « — , pa gornja jednadžba dobiva

2

2

(8.14)

41


Ovo je tzv. Laplaceova jednadžba. U njoj se pojavljuju dva nepoznata naprezanja a,„ i a v , što znači da je za njihovo određivanje potrebna još jedna jednadžba koja se dobiva razmatranjem ravnoteže dijela ljuske iznad neke paralele, slika 8 . 1 2 . Jednadžba ravnoteže sila u pravcu osi z glasi: ^ F z = 0 p r 1n - u m2rnh%m.9 = 0 pa je meridionalno naprezanje: (8.15)

Jednadžbe (8.14) i (8.15), potpuno definiraju stanje naprezanja u tankostijenoj osnosimetričnoj posudi pod konstantnim unutrašnjim tlakom, i vrijede neovisno o njenom obliku.

Slika 8.12 U praksi su sfem i i cilindrični oblik tlačnih posuda najčešći. N a slici 8.13, prik azan je sfemi, a na slici 8.14, cilindrični spremnik plina.

Slika 8.14

Slika 8.13

A S S \\V s \\ \l \

\

X

(J 'p =

2crm

|

\

*

>

♦ ♦

1 R

Slika 8.15

Slika 8.16

h

Zlatan Kulenović

42

Odredimo veličine naprezanja u takvim tlačnim posudama. Sferna posuda: Kod ovakvog oblika, slika 8.15, vrijedi: R m = Rv = R , r = R s i n # . Ako se ove vrijednosti uvrste u izraze (8.14) i (8.15), slijede veličine naprezanja u stijenki posude:

Dakle, naprezanje u meridionalnom i cirkulamom pravcu je jednako. Cilindrična posuda: Za zatvorenu cilindričnu posudu (bez obzira na oblik dna), slika 8.16, vrijedi: R m =™, R9 = R , r = R , & = 7v/ 2 . Uvrštavanjem tih vrijednosti u izraze (8.14) i (8.15), dobivaju se veličine naprezanja u stijenki posude:

Zaključimo da je naprezanje u cirkulamom pravcu dvaput veće od naprezanja u meridionalnom pravcu, tj: a =2
PRIMJER 8

Cilindrični rezervoar za skladištenje propana prikazan slikom, ima promjer D i polusfem a dna, a izrađen je zavarivanjem od čeličnih ploča debljine h. Radni tlak propana je p . Odrediti raspodjelu naprezanja po dužini rezervoara te postojeći koeficijent sigurnosti prema lomu, ako je dopušteno naprezanje materijala rezervoara crd . Zadano: D = 3 m, h = 2,5 mm, p = 1,7 MPa, a d = 480 MPa.

Odredimo naprezanja u sastavnim dijelovima rezervoara. Cilindrični dio (plašt rezervoara):

pR pD pR pD a m = — = -----, a = —— = —— 2h 4h h 2h


43

Sfemi dio (polusferno dno rezervoara): cr = a,r = J v 2h

4h

Raspodjela meridionalnog a m i cirkulamog naprezanja a

po dužini rezervoara data je na

donjoj slici. Pri tome nije uzeto u obzir naprezanje uslijed lokalnog savijanja koje se pojavljuje na m jestima spajanja cilindričnog i sfemog dijela.

Očigledno je da se maksimalno naprezanje pojavljuje u cilindričnom dijelu i to u cirkulamom pravcu. Veličina ovoga naprezanja je: u

*

== — 1’7 ' 3 T = 1 02M Pa M 2h 2-2,5-10

c ( v o L i'C - v ^ v

K oeficijent sigurnosti prem a lomu u tom slučaju iznosi: S =^ = =^ = 4,71 o-mav cr„ 102

9. SMICANJE 9.1 A N A L IZ A NAPREZANJA I DEFORMACIJA Ako na štap djeluju dvije bliske &il&£ okomito na njegovu i pomaknu dijelove štapa u njegovom ponrečn&m presieku. slika 9.1. Ovakvo oprerećenje naziVaj>ej2s/fl^ smicanje. M eđutim, poprečne sile F djeluju na nekom rastojanju e, što znači da se pojavljuje spreg sila momenta M = F - e , koji uzrokuje savijanje. Ipak, kako je krak takvog sprega veom a malen (e « ) , savijanje se u praksi obično zanemaruje što znači da se u

Zlatan Kulenović

44

poprečnom presjeku štapa pojavljuje samo tangencijalno naprezanje r , dok je normalno naprezanje u jednako nuli.

Slika 9.1

Slika 9.2

N a svakoj elementarnoj površini dA presjeka štapa, djeluje tangencijalna unutrašnja sila r • dA. Njihova rezultanta je poprečna sila Q. Uvjet ravnoteže lijevog dijela štapa površine presjeka/4, slika 9.2, glasi: £ y =0

Q —F = 0

ili

j rdA = F (9.1)

Ovu je jednadžbu moguće riješiti samo ako je poznat zakon raspodjele tangencijalnog naprezanja r po poprečnom presjeku. U općem slučaju raspodjela toga naprezanja nije ravnomjerna, ali se za praktične proračune približno uzima d a j e ono jednako u svim točkama presjeka. To znači da je tangencijalno naprezanje konstantno i jednako nekom srednjem tangencijalnom naprezanju, tj. r = vsr = konst. Izraz (9.1) u tom slučaju dobiva oblik: r JcM = F

odnosno

tA

=F

A

p a je naprezanje'. F T= — A

ili

O T=— A

'

(9.2)

Ovaj izraz je približan a koristi se kod dimenzioniranja ili kod provjere čvrstoće konstrukcijskih elemenata izloženih smicanju, pri čemu se rezultat obično korigira odgovarajućim koeficijentom sigurnosti. Uvjet čvrstoće glasi: (9.3) gdje je rd - dopušteno naprezanje na smicanje (npr. za čelične konstrukcije r d a 0 ,8 crd ). Prema pravilu o recipročnosti (konjugiranosti) tangencijalnih naprezanja (Poglavlje 3), napregnuti element štapa izložen čistom smicanju ima izgled kao na slici 9.3a. Slika 9.3b,


45

prikazuje M ohrovu kružnicu naprezanja u tom slučaju, a slika 9.3c daje izgled napregnutog elementa s glavnim naprezanjima. N a osnovi slike 9.3, vidljivo je da su glavna naprezanja cr, = r i cr2 = - r , koja djeluju pod kutom ±45° prema tangencijalnim naprezanjima r , pa se može zaključiti: čisto sm icanje ekvivalentno j e istodobnom rastezanju i sabijanju u međusobno okomitim presjecima.

6 ^ -Z b) Slika 9.3

Za analizu deformacija pri čistom smicanju, razmotrimo napregnuti element kao na slici 9.4. Kvadratni oblik elementa zbog djelovanja tangencijalnih naprezanja prelazi u oblik romba, pa zbog malih deformacija vrijedi:

"""*

As

(9.4)

gdje je: y - kutna deformacija (relativno smicanje), As - apsolutno smicanje. Slika 9.4 Duljinska deformacija dijagonale napregnutog elementa, prema slici 9.4, iznosi:

Al

AiCOs45

1 As

1

(9.5)

S ~ T ~ ~ h /. ~~2'~h~27 / sin 45 Ova deformacija nastaje djelovanjem glavnih naprezanja cr, = - c r 2 = r , pa se može izraziti poznatom relacijom Hookeova zakona za dvoosno stanje naprezanja, izraz (8.11), tj.:

Zlatan Kulenović

46

Izjednačavanjem izraza (9.5) i (9.6), slijedi:

(9.10)

G = ----------- - modul smicanja (elastična konstanta koja je već definirana u 2 ( 1 + v) Poglavlju 5).

gdje je:

Ovaj izraz predstavlja H ookeov zakon smicanja ije d n a k je izrazu (5.5).

9.2 PRORAČUN KONSTRUKCIJSKIH ELEMENATA NA SMICANJE

U tehničkoj praksi postoji niz primjera kod kojih je smicanje dominantno nad drugim vrstam a opterećenja konstrukcijskih elemenata, tj. kada tangencijalno naprezanje r ima primarnu ulogu. Tipični su primjeri spojevi dijelova konstrukcija ostvareni zakovicama, zavarivanjem, klinovima, svomjacima, itd.

d Slika 9.5 Razmotrimo zakovični spoj dva lima koji je opterećen silama F kao na slici 9.5. Kako je debljina lim a h mala, normalno naprezanja u zakovici promjera d zbog savijanja spregom sila M = F - h , zanemarljivo je u odnosu na tangencujalno naprezanje koje se pojavljuje uslijed smicanja poprečnom silom F u njenom crtkanom presjeku. Ako je sila F dovoljno velika, trup zakovice bit će prerezan u tom presjeku, slika 9.6.


47

Uvjet čvrstoće na smicanje zakovice je: T = ^ -< rd A

7ld2

(9.11)

gdje je: A = —— - površina smicanja, slika 9.7, xd - dopušteno tangencijalno naprezanje.

Pri dimenzioniranju zakovice, obično se kontrolira i veličina bočnog površinskog tlaka p , koji izaziva lim djelovanjem na njezin trup. Zakon raspodjele površinskog tlaka nije poznat je r na njega, između ostalog, utječe i obrada rupe zakovice. Međutim, ako se pretpostavi da je srednja vrijednost tlaka konstantna i da on djeluje okomito na dodirnu polucilindričnu površinu, tada uvjet čvrstoće na površinski tlak glasi:

P =-^ -iP d Ap

(9-12)

Slika 9.8 gdje je:

Ap = d -h - površina uzdužnog presjeka dijela trupa zakovice, slika 9.8, pd - dopušteni površinski tlak ( a 1,7-i-2 ,2 a d).

Drugi primjer tehničkog smicanja jest preklopni zav aren i spoj dva lima opterećen silama F kao na slici 9.9a. Poprečni presjek zavara najčešće ima oblik istokračnog trokuta stranice h, slika 9.9b. N ajm anja širina poprečnog presjeka je a = /?cos45°, pa najmanji odnosno najslabiji presjek zavara duljine l ima površinu A = a •/. N a tom se presjeku pojavljuje i normalno a i tangencijalno naprezanje r . M eđutim, kako je čvrstoća na smicanje čelika m anja nego njegova čvrstoća na rastezanje ( r d < a d), proračun se provodi samo na smicanje.

Slika 9.9

Zlatan Kulenović

48

Uz pretpostavku da je srednja vrijednost tangencijalnog naprezanja r presjeku, uvjet čvrstoće zavara glasi:

konstantna po

gdje je: A = a - I = 0,7 h l - površina smicanja.

PRIMJER 9

Zglobna veza kao na slici, opterećena je silama F. Odrediti potrebni prom jer d osovinice, ako je poznato dopušteno tangencijalno naprezanje njezinog materijala zd . Zadano: F = 60 kN, rd = 80 MPa.

Osovinica je opterećena na smicanje, a u ovom slučaju sudjeluju njezina dva poprečna presjeka od kojih svaki ima površinu presjeka A =

t t - .

.

4

, kako to pokazuje slika:

. . .

Uvjet cvrstoce na smicanje osovmice je:

* ^

r = — < rd

Odavde slijedi: d > I----- > > 0,0219 m V^-80-l0: 1 ItT . Konačno, usvajamo potrebni promjer osovinice: d = 22 m m .

.

=>

nd2

A = --------- >

49


10. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA

U izrazima nauke o čvrstoći pojavljuju se geometrijske veličine koje ovise o obliku, dimenzijam a i položaju ravnih presjeka štapa. Takve veličine su statički m omenti površine, momenti tromosti površine i momenti otpora površine.

10.1 STATIČKI MOMENTI POVRŠINE

Razmotrimo proizvoljan ravni presjek površine A s ucrtanim koordinatnim sustavom xy i težištem T, slika 10.1. Ako su x T i y T koordinate težišta presjeka, a dA veličina elementarne površine, tada su statički m om enti površine oko osi x i y definirani sljedećim izrazima: S x = \y d A = y TA A

( 10.1)

S y = jxdA = x TA

Prema izrazima (10.1) slijedi da statički moment površine može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli za os koja prolazi kroz njezino težište. Dimenzija statičkog momenta jest [m3].

10.2 MOMENTI TROMOSTI POVRŠINE Prema slici 10.1, definicije momenata tromosti (inercije) površine su kako slijedi A ksija ln i m om enti trom osti oko osi x i y : Ix = \/d A A

( 10.2)

I y = \ x l dA

P olarni m om ent trom osti oko pola O: = j r 2đA

(10.3)

Kako je r = jc + y , izraz (10.3) može se napisati na sljedeći način: (10.4)

Zlatan Kulenović

50

C entrifugalni m om enti trom osti oko osi x i y : (10.4)

J xy = ! yX = \xydH

Polarni i aksijalni i momenti tromosti uvijek su pozitivni, dok centrifugalni moment tromosti može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli. Centrifugalni moment tromosti jednak je nuli, ako je bilo koja od osi x ili y ujedno i os simetrije presjeka. N a primjer, na slici 10.2, prikazana je površina simetrična s obzirom na os x. Vidljivo je da svakoj elementarnoj površini dA koja se nalazi više osi x, odgovara simetrično postavljena elementarna površina dA ispod te osi, pa centrifugalni moment tromosti cjelokupne površine prema definiciji iznosi: 4 , = \[xy + x ( - y ) ] d A = 0

Jedinica svih m omenata tromosti površine je [m ]. N a osnovi same definicije momenata tromosti površine, slijede dva pravila korisna za njihovo izračunavanje: Pravilo zbrajanja. M oment tromosti složenog presjeka za neku os jednak je zbroju momenata tromosti pojedinih njegovih dijelova za istu os.

Slika 10.3 Tako je prema slici 10.3, aksijalni moment tromosti prikazanog složenog presjaka za os x: Ix ~ Ix\

+ Av2

Ixi

Ix*

Pravilo paralelnog pom aka. M oment tromosti presjeka za neku os neće se promjeniti ako se čitav presjek ili jedan njegov dio pomakne paralelno s tom osi. N a slici 10.4, prikazanje niz presjeka jednake površine koji se mogu dobiti iz prvog presjeka paralelnom pom icanjem njegovih dijelova paralelno s osi x. Aksijalni momenti tromosti I x svih prikazanih presjeka, jednak je.

51


m ' m i

1

1

i

X 1

Slika 10.4 Momenti tromosti površine ovise o položaju koordinatnog sustava. Razmotrimo kako se mijenjaju momenti tromosti pri njegovoj translaciji odnosno rotaciji.

‘

a

y

.____. X

/ I Va

Translacija koordinatnog sustava. N eka su poznati momenti tromosti I x , I i I s

ri A

rt

obzirom na k. osi x i y, koje prolaze kroz težište presjeka T. Odredimo momente tromosti s obzirom na paralelno pomaknute osi x ' i y \ kako to pokazuje slika 10.5.

V T

y

y

X

Veza između starih i novih koordinata glasi:

b

X' pa prema definiciji aksijalni moment tromosti za translatiranu os x ' iznosi: Slika 10.5 I'x = \ y ' 2dA = j ( y + b)2dA = ^ y 2dA + 2b ^ydA + b 2 JdA

Članovi gornjeg izraza imaju vrijednosti:

j y 2dA = I x , jy d A = S x = 0 (os x je težišna os) i A

A

JdA = A . A

N a analogan način može se dobiti vrijednost aksijalnog momenta tromosti za translatiranu os y', te centrifugalnog momenta tromosti za osi x ' i y'. Konačni izrazi za momente tromosti pri translaciji koordinatnog sustava jesu:

K = I ,+ b \A I'y = Iy +a 2A

(10.5)

l'xy - Ixy + °bA Izrazi (10.5) predstavljaju tzv. Steinerovo pravilo. Članovi I x , 1y i 1xy često se nazivaju i vlastiti momenti tromosti, a članovi a 2A , b2A i abA položajni momenti tromosti.

Zlatan Kulenović

52

Očigledno je da od svih momenata tromosti za skup paralelnih osi, najmanju vrijednost ima onaj u odnosu na težišnu os.

Rotacija koordinatnog sustava. N eka su poznati momenti tromosti I x, I i I s obzirom na k. sustav xy. Odredimo momente tromosti za k. sustav x y , koji je zakrenut oko težišta presjeka T za kut ep, slika 10.5. V eza između starih i novih koordinata u ovom slučaju glasi:

x = xcosq> + ysirup y = - x sin (p + y c,os ep Slika 10.5 Aksijalni moment trom osti za zakrenutu os x prema definiciji je: I x = j y 2dA = j ( - x s i n p + yc o sip )2dA = sin2
A

A

Članovi ovoga izraza imaju vrijednosti:

A

A

j x 2dA = I y , jxydA = I xy i j y 2dA = I x . A

A

A

N a analogan način može se dobiti vrijednost aksijalnog momenta tromosti za zakrenutu os y , te centrifugalnog m omenta tromosti za osi x i y . Nakon trigonometrijskih transformacija, slijede konačni izrazi za momente tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava u obliku:

cos 2cp - 1

sin 2 ip

r cos 2 ep + /

sin 2(p

( 10.6)

——sin 2cp + 1 cos 2 (p

Usporedimo li izraze (10.6) s izrazima (8.7), koji daju promjenu naprezanja na presjeku pri njegovom zakretu (Poglavlje 8.2), vidimo da među njim a postoji potpuna analogija: normalnom naprezanju
. Prema tome, svi zaključci izvedeni za naprezanja mogu

se primijeniti i na momente tromosti. Po analogiji, aksijalni i centrifugalni momenti tromosti komponente su tenzora tromosti, čija je matrica simetrična i dana izrazom:


53

(10.7)

Izrazi (10.6) pokazuju kako se mijenjaju veličine momenata tromosti u ovisnosti od kuta rotacije koordinatnog sustava (p. Očito je da mora postojati određeni par k. osi zakrenut za neki kut, za koje aksijalni momenti tromosti imaju ekstremne vrijednosti, dok je centrifugalni moment tromosti jednak nuli. To su glavne osi tromosti (1) i (2), za koje glavni momenti tromosti 1 1 = / max i / 2 = iznose:

gdje je cpa kut što ga glavne osi tromosti (1) i (2) čine s koordinatnim osima x i y. Kao i pri naprezanju, izraz ( 1 0 .8 ) daje dva rješenja i to čini s većim aksijalnim momentom tromosti ( I x ili I y ) kut manji od n /A . Napomenimo još jednom d a je za glavne osi tromosti površine presjeka centrifugalni moment tromosti / 12 = 0 . Ako glavne osi tromosti prolaze kroz težište presjeka T, nazivaju se glavne centralne osi tromosti, a momenti tromosti za te osi nazivaju se glavni centralni momenti tromosti. U slučaju da je bar jedna težišna os ujedno i os simetrije prasjeka, tada su težišne osi glavne centralne osi tromosti. N a slici 10.6 prikazan je pravokutni presjek sa svojim glavnim centralnim osima tromosti. Slika 10.7 pokazuje položaj glavnih centralnih osi presjeka jednog brodskog nosača, složenog od dva standardna profila.

Slika 10.6

Slika 10.7

Zlatan Kulenović

54

P olum jeri trom osti presjeka površine A definirani su ovako:

(10.9)

Jedinica radijusa tromosti je fm]. Geometrijsko značenje radijusa tromosti slijedi iz same definicije. Naime, prema izrazu (10.9) vrijedi: I x = i] ■A , što pokazuje da je polumjer tromosti udaljenost na koju treba koncentrirati svu površinu da se njezin moment tromosti za određenu os ne bi promijenio, slika 1 0 .8 .

Slika 10.8

Slika 10.9

10.3 MOMENTI OTPORA POVRŠINE M omenti otpora površine definirani su prema slici 10.9. A ksija ln i m om enti otpora oko osi x i y :

Wx = - ^ ~ jVmax

,

W =—

(10.10)

X max

gdje su x max i j max najveće udaljenosti konture presjeka od koordinatnih osi. Polarni m om ent otpora : Wp = ^ ~ rmax

( 1 0 .1 1 )

gdje je rmax najveći polum jer konture presjeka (vrijedi samo za kružne i prstenaste prasjeke).


55

Jedinica za momenate otpora je [m ]. V alja pomenuti da pravilo zbrajanja za momente otpora površine ne vrijedi.

PRIMJER 10 Odrediti momente tromosti i momente otpora za težišne osi sljedećih jednostavnih presjeka koji su česti u tehničkoj praksi: a) pravokutnog b) kružnog c) prstenastog.

a) Ix = f y 2d A .

Prema slici je:

dA = b d y , što

dA

uvršteno u prethodni izraz daje:

t

h

I x = b \ y 2dy = b

2

h_

---------

. , > Pa Je: K

bh3

2

10 12

2

h

.* r; yV

Tf

2

N a sličan se način može napisati: b 2htf_ I y = h | x 2d y , pa slijedi: I y = 12

Težišne osi x i y su osi simetrije, što znači da je:

I xy = 0 . bh

FF„ =— y«.

.

Prema slici je: _ymax = —, te slijedi: Wx = - ^ y - i konačno: 2 _ 6 2 hb2 Analogno: W = ----- . I i W za neokruglepresjeke se ne upotrebljavaju! 6 —

b)

I p = j r 2dA .

Prema slici je: dA = 2 r x d r (element

A

površine je u obliku prstena), što uvršteno u prethodni izraz daje: _ ,

Kako je svaka os koja prolazi kroz središte kruga težište T ujedno i os simetrije, vrijedi: I x = I y .

56

Zlatan Kulenović

Pošto je: I p - 1x + I y , dobiva se: I x = I y = — , odnosno I x = I = 2 64 /

=

0

(simetrija).

Wx =W y =-

Wp = — - .

Pošto je: y max = -J , konačno slijedi: D Očigledno vrijedi: rmax= — , pa je:

Wx =W y = ~ -

W =

7tP 3 16

c) Prema 1 P = 1„°

pravilu

zbrajanja

momenata

tromosti,

vrijedi:

1 ° P_ nD 32 i 32 ^ •

Ako se uvede omjer unutrašnjeg i vanjskog promjera y/ = ~ *

gornji izraz poprima oblik: I p = ^ I

u

o vom —

slučaju:

vT)‘‘ I,- = / „ = — ( ! - ( / ) . 64 .-A ■ . Očigledno vrijedi: y max =

Wx =W y =

= 0

(1

,

- i / / 4).

I x = I y = -^ -

odnosno:

(simetrija).

;r£ > 3

, slijedi:

).

max

=—

Z> ■ Kako je: rmax= — , dobivaše:

kD

3

—( 1 - ^ ) .

-*-0

Ako na štap djeluju momenti čiji vektori imaju pravac njegove uzdužne osi, slika 11.1, tada je on opterećen na uvijanje ili torziju. U općem slučaju uvijanja u štapu se pojavljuje prostorno stanje naprezanja, međutim u ovisnosti od oblika poprečnog presjeka štapa, moguće je uvesti odgovarajuće pretpostavke kojima se znatno pojednostavljuje rješavanje i dobivaju izrazi pogodni za inženjersku praksu.


57

11.1 NAPREZANJA I DEFORMACIJE ŠTAPOVA OKRUGLOG PRESJEKA

Najveći broj konstrukcijskih elemenata opterećenih na uvijanje u praksi ima oblik ravnog štapa kružnog ili prstenastog poprečnog presjeka. Analiza naprezanja i deformacija u tom se slučaju provodi uz sljedeće pretpostavke: 1. Pri deformiranju štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os štapa. 2. Poprečni presjeci zakreću se kao krute figure, tj. ne deformiraju se u svojoj ravnini. 3. Norm alno naprezanje jednako je nuli. Razmotrimo okrugli štap uklješten na jednom kraju, a na drugom opterećen vanjskim momentom uvijanja M ,, slika 11.2. Eksperimenti pokazuju da se svaka njegova izvodnica nakon deformiranja zakreće za neki konstantan kut y . Kvadrat na površini štapa poprima oblik romba, što znači da je izložen smicanju tangencijalnim naprezanjima r . Kao zorni prikaz može poslužiti slika 11.3, koja pokazuje izgled okruglog gumenog štapa prije i poslije uvijanja. Svaki poprečni presjek štapa zakreće se oko osi štapa u odnosu na susjedni presjek za kut ep, koji se naziva kut uvijanja.

■ V \\\\\\\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \

Slika 11.3

Slika 11.2

Izdvojimo iz štapa jedan elementarni cilindar dužine dz i polumjera r, slika 11.4. Njegov desni presjek pri uvijanju zakreće se u odnosu na lijevi za kut d(p, a izvodnica AB zakreće se za kut y i dolazi u položaj A B|. Kako je kut y vrlo mali, može se pisati: BB, = y d z = rd

Slika 11.4

(i

(11.1)

Zlatan Kulenović

58

gdje je: 9 =

dz

- relativni kat uvijanja (analogan s kod aksijalnog opterećenja štapa)

Izraz (11.1) daje raspodjelu kutnih deformacija. Vidljivo je kutna deformacija linearno raste od nule u osi štapa ( r = 0 ), do maksimalne vrijednosti na površini štapa ( r = R ).

N adalje, razmotrimo ravnotežu jednog dijela štapa, slika 11.5. S lijeve strane na njega djeluje vanjski moment M t , a s desne strane unutrašnje sile raspodijeljene po

|y |,

površini presjeka. N a svaku elementarnu površinu dA djeluje unutrašnja sila r - d A . U vjet ravnoteže dijela štapa glasi: X X - =0

¡ r d A -r -M ,= 0

(11.2) Slika 11.5

Da bi se ova jednadžba m ogla riješiti, potrebno je poznavati raspodjelu tangencijalnog naprezanja r po površini presjeka. Ako se u Hookeov zakona smicanja r = G y , uvrsti izraz ( 1 1 . 1 ), slijedi: T = G r9

(11.3)

što uvršteno u izraz ( 1 1 .2 ), daje: G 9 j r 2dA = M, A

Kako je j r 2dA = I p - polarni moment tromosti površine presjeka, izraz (10.3), dobiva se A

relativni k u t uvijanja: M 9 =- ± G Ip

(11,4)

Veličina Glp naziva se krutost na uvijanje (torzijska krutost). Uvrštavanjem izraza (11.4) u izraz (11.3), slijedi naprezanje'. T=^ r

(11.5)

P

Pomoću ovoga izraza moguće je dobiti vrijenost tangencijalnog naprezanja u bilo kojoj točki presjeka. Očito je da naprezanje linearno raste od nule u osi štapa, do maksimalne vrijednosti na površini štapa ( r = rmax = R ). Veličina maksimalnog naprezanja je:

r‘'m ax = ^j r 7p

max

Tjr

K

gdje je W - polarni moment otpora površine presjeka, izraz ( 1 0 . 1 1 ).

(1 VA 1 6 )


59

N a slici 11.6a, pokazana je raspodjela naprezanja po kružnom presjeku, a slika 11.6b, daje raspodjelu naprezanja po prstenastom poprečnom presjeku štapa.

a)

-max

b)

-max

Slika 11.6 Kako su u okomitim presjecima tangencijalna naprezanja međusobno jednaka (pravilo o recipročnosti tangencijalnih naprezanja - Poglavlje 3), raspodjela tangencijalnih naprezanja u uzdužnim presjecim a štapa jednaka je kao i u poprečnim, slika 11.7. Sve ostale komponente naprezanja u tim presjecim a jednaka su nuli. Prema tome, pri uvijanju se ostvaruje čisto smicanje koje je ekvivalentno istodobnom sabijanju i rastezanju u dva međusobno okomita pravca (Poglavlje 9.1). Glavna naprezanja u tom slučaju čine kut od 45° s uzdužnom osi štapa z, kako je to pokazano na slici 1 1 . 8 .

Slika 11.8 Kao potvrda izvedenih zaključaka može poslužiti izgled loma štapa opterećenog na uvijanje, koji je izrađen od različitih materijala. Poznato je da kod rastezljivih m aterijala lom pri uvijanju izaziva najveće tangencijalno naprezanje, a kod krhkih materijala uzrok takvog loma je najveće normalno vlačno naprezanje. N a slici 11.9, prikazanje lom štapa od aluminija (rastezljiv materijal) čija je površina okomita je na uzdužnu os štapa. Lom nastaje uz prethodne plastične deformacije po ravnini u kojoj je tangencijalno naprezanje r najveće. N asuprot tome, lom štapa od sivoga lijeva (krhak materijal), nastaje pod kutom od 45° prema uzdužnoj osi, tako d a je površina loma okomita na pravac glavnog naprezanja cr,, slika 1 1 . 1 0 .

Zlatan Kulenovlć

60

Slika 11.10

Slika 11.9

Elementarni kut zakreta dva bliska presjeka štapa je d

(11.9)

< P = \d < p = )^ j-d z 0

p

Ako je po cijeloj duljini štapa M t = konst. i G I = konst. , tada izraz (11.9) poprima oblik:

ep-.

M .l G I.

( 11. 10)

Jedinica za kut uvijanja je [rad].

U slučaju da se poprečni presjek štapa ili njegovo opterećenje mijenjaju skokovito, tj. ako štap ima više dijelova (i = l , 2 ,...,n) različite krutosti na uvijanje ili su u njegovim pojedinim presjecima momenti uvijanja različiti, slika 1 1 . 1 1 , tada je ukupni kut uvijanja:

( 11. 12)

gdje je:

duljina /-tog dijela štapa na kojem je M ti = konst. i G , I , = konst.


61

PRIMJER 11 Čelični štap promjenljivog kružnog poprečnog presjeka uklješten je na kraju A, a na slobodnom kraju C opterećen je momentom uvijanja M , . Odrediti:

B

m

0

c "S

(D

a) M aksimalno naprezanje u oba dijela štapa, b) Kut zakreta slobodnog kraja štapa u odnosu na uklještenje. Zadano: M , = 150 Nm, / = 1 m, d =

1

-o —

l

-...^

IVU

25 mm, G = 80 GPa.

B N epoznati reaktivni moment u uklještenju A, dobiva se iz uvjeta ravnoteže: Y jM z = 0 - M m a

a

+ M ,= 0

= m , ■150 N m .

Dijagram m om enata uvijanja štapa ima izgled kao na slici.

naprezanja a) M aksimalna pojavljuju se na vanjskim rubovim a dijelova štapa i iznose:

1615010 n \ 2 -25 -IO “3 ) 3

M.

© i)

= 6,1 MPa

i
u BA

l

U/p

= 8 r max! = 48,8 MPa

Prema tome, dio 2 ima osam puta veće maksimalno naprezanje od dijela 1. Dijagram promjene r naprezanja uzduž štapa dat je na gornjoj slici. Nije uzeta u obzir koncentracija naprezanja koja se pojavljuje u presjeku B (mjesto nagle promjene presjeka štapa). M aksimalna vrijednost naprezanja na tom mjestu može se odrediti pomoću koeficijenta koncentracije naprezanja , koji ovisi od oblika zaobljenja u prijelaznom području. Slika pokazuje približnu raspodjelu naprezanja u zoni koncentracije naprezanja. -

Zlatan Kulenović

62

b) Ukupni kut zakreta presjeka C u odnosu na presjek A, jednak je zbroju kuteva zakreta oba dijela štapa (metod superpozicije). Možemo pisati: M ,, l PCA ~ VcB

■*"

P bA ~

G Ip2

M ., I ^

M. I

1

n { ld y

G IpX

32 32-150 -1

ili

------

1

1

;r-80-10 l (2-25-10

)

180 180 = -----
n

n

(25-10

1

nd

4

32

= 5 ,2 -IO ’ 3 rad )

»3_

Dijagram promjene kuta z a k r e ta ^ uzduž štapa, dat je na prethodnoj stranici.

11.2 DIM ENZIONIRANJE ŠTAPOVA OPTEREĆENIH NA UVIJANJE

Dimenzioniranje odnosno određivanje promjera štapova opterećenih na uvijanje provodi se na osnovi uvjeta čvrstoće i uvjeta krutosti. Uvjet čvrstoće: Prema ovom uvjetu (kriteriju), čvrstoća štapa će biti očuvana ako je maksimalno tangencijalno naprezanje r max manje od dopuštenog tangencijalnog naprezanja r d ,tj:

(11.13)

Uvjet krutosti: Prema ovom uvjetu (kriteriju), krutost štapa je zadovoljavajuća ako je maksimalni relativni kut uvijanja <9max manji od dopuštenog relativnog kuta uvijanja 9 đ , tj:

(11.14) G

Ip

Na osnovi gornjih izraza može se zaključiti da polarni moment otpora presjeka W karakterizira čvrstoću štapa pri uvijanju, a polarni moment tromosti presjeka I p karakterizira krutost štapa protiv uvijanja. Odredimo veličine potrebnog promjera štapa kružnog poprečnog presjeka, slika 11.12a. IVI JLLJ J-VJ„ — M , , odnosno 1 —— ^ >^ — M < . Konačno slijedi: Na osnovi izraza (11.13) je W >

'\ H


1%

n

^

~

,

\ h {

Slika 11.12

D>

Izraz (11.14) daje / V

>

63

16 M ,

(11.15)

3

— ili — — > .N a osnovi ovoga dobivamo: G 9d 32 G 9d

D

>4

32M ,

(11.16)

Na analogan način mogu se dobiti veličine potrebnog promjera štapa prstenastog poprečnog presjeka kod kojeg je (// =

) slika 11.12b. Iz uvjeta čvrstoće slijedi:

\6 M .

(11.17)

Z)>3

)rd a uvjet krutosti daje:

D>

12M , 4

n ( \ - V ') G 9 d

(11.18)

Valja naglasiti da se uvijek usvaja veća od dvije vrijednosti promjera dane izrazima (11.15) i (11.16), odnosno (11.17) i (11.18), jer ona zadovoljava oba kriterija.

Konstrukcijski elementi oblika štapa koji služe za prenos rotacijskog gibanja i snage kod strojeva jesu vratila. Ona u radu prenose momente uvijanja, ali i poprečne i uzdužne sile od elemenata koje nose (remenice, zupčanici, zamašnjaci i si.). To su tzv. teška vratila koja su izložena uvijanju, savijanju i aksijalnom opterećenju (npr. brodska vratila), koja će biti razmatrana u Poglavlju 14. Laka vratila prenose samo momente uvijanja, slika 11.13, i pripadaju ovom Poglavlju.

Zlatan Kulenović

64

Slika 11.13 Ako je poznata snaga P koju takvo vratilo prenosi i njegov broj okretaja n , moment uvijanja M , se može odrediti pomoću izraza: 30 P M ,= — -

n n

(11.19)

gdje su jedinice veličina sljedeće: P [W], » [m in -1] i M , [Nm],

PRIMJER 12 Dimenzionirati šuplje čelično vratilo s četiri remenice kao na slici. Pogonska rem enica 0 dobiva snagu od motora, dok remenice 1, 2 i 3 tu snagu predaju. Zadano: P, = 40 kW. P 2 = 2 0 k W , P3= 30 kW, n = 1000 m in ', yz = d/ D = 0,6, rd = 4 5 MPa, 3° = 2 °/m, G = 85 GPa.

Snaga na pogonskoj remenici je: P0 = Pt + P2 + P3 = 40 + 20 + 30 = 90 kW. Dijagram raspodjele snage P uzduž vratila, prikazan je na gornjoj slici. Očito je da maksimalna proračunska snaga iznosi jPmax =P0 - P l = 50 kW. .................................., , 30 P 30 50-103 M aksimalni moment uvijanja pri toj snazi je: M ,max = ------ = ------------ — = 477,5Nm. n n 7i 1000 M r“ D > si

16M /T - Ž

n ( \ - y / )rd

\ x - ( 1 - 0,6

) *

4 5 * 10

S 0,0396 m.


65

1 fb -

.M

0

2

3

A

/ ',

/)Fi

-

đ

,, f

/i p1

..E ....I pm ax 1i /

Uvjet krutosti:

,9max =

_

Vi

®

fp \

0

.... FT " ......... m

p3

p,

< 9d . Pri tome je ^

= ^ - 2 =0 , 0 3 5 ^ .

P

Potrebni vanjski promjer vratila koji zadovoljava ovaj uvjet je:

D > J .... - 2 A/p ~.... = J 3 f 4 7 7 ’5 , 1 * 0,0370 m. ] 7i(\ - y/4 )G 9 d ] j x ■(1 - 0,64) •85 • 10 9 •0,035 Usvajamo veću vrijednost vanjskog promjera vratila (prema uvjetu čvrstoće) i zaokružujemo je na standardnu vrijednost D = 40 mm. Unutrašnji promjer vratila u tom je slučaju d = y/ ■D = 0,6 ■40 = 24 m m .

11.3 STATIČKI NEODREĐENI ZADACI K od rješavanja problema uvijanja u praksi se pojavljuju statički neodređeni zadaci, kod kojih raspoloživi broj statičkih jednadžbi ravnoteže nije dovoljan za određivanje svih nepoznatih veličina. Pri rješavanju takvih zadataka primijenjuje se isti princip kao i u slučaju statički neodređenih zadataka pri aksijalnom opterećenju (Poglavlje 7.3). U z statički uvjet ravnoteže, u ovakvim se slučajevima koristi i dodatni uvjet deformiranja koji se osniva na odgovarajućim kutovima uvijanja. Ponovimo, kut uvijanja predstavlja zakret jednog presjeka štapa u odnosu na drugi.

Zlatan Kulenović

66

PRIMJER 13 Štap promjnljivog presjeka ukliješten je na svojim krajevima A i B, a na sredini opterećen je momentom uvijanja M ,. Dio 1 ima puni kružni a dio 2 prstenasti poprečni presjek. Odrediti reaktivne momente u uklještenjim a i skicirati dijagram momenata uvijanja štapa. Zadano: M , , /, G, I pl = 2 I p2.

U uklještenjima se pojavljuju reaktivni momenti M A i M B . Uvjet ravnoteže: 1. £ m 2 = o

M a - M , + M b =0

Dakle, zadatak je jedanput statički neodređen, pa je potreban još jedan dopunski uvjet deformacije. Kako su oba kraja štapa nepomična, njihov međusobni kutni zakret ne postoji. Ako zamislimo da smo npr. kraj B oslobodili uklještenja (vidi sliku), tada njegov zakret u odnosu na kraj A mora biti jednak nuli, što znači da uvjet deformacije glasi: 2

.
Primjenom metode superpozicije, ukupni kutni pomak kraja B, jednak je zbroju kutnih pomaka dijelova štapa zbog djelovanja momenata uvijanja M B i M , , pa uvjet deformacije poprima oblik:

67


M b l M„ l M .l — — + — ---------- — = 0, G I., G1 P1, G IP1 , Iz uvjeta ravnoteže sada slijedi: M A =

. , . ... .. M iz kojeg se dobiva: M „ = — L B 3

2 M,

D ijagram m omenata uvijanja M , prikazan je na gornjoj slici.

12. SAVIJANJE

Štap je opterećen na savijanje kada vanjsko opterećenje djeluje u ravnini koja prolazi kroz njegovu uzdužnu os z. Ta se 'ravnina naziva ravnina opterećenja, slika 12.1. Konstrukcijski element oblika štapa oslonjen o podlogu i opterećen na savijanje, uobičajeno nosi naziv greda, pri čemu on dobiva zakrivljeni oblik, slika 1 2 .2 .

ravnina opterećenja

U nekom presjeku tako opterećenog štapa pojavljuju se unutrašnje sile. Ako se_u poprečnim—presjecima od unutrašnjih sila pojavljuje samo moment- savijanja, štap je opterećen na čisto savijanje. U slučaju da se osim momenta savijanja pojavljuju i poprečne sile, tada se govori o savijanju silam a: U ovisnosti od položaja ravnine opterećenja, razlikujemo ravno savijanje i koso savijanje. Kod ravnog savijanja ravnina. opterećenja prolazi kroz je dnu od glavnih osi tromosti .presjeka štapa, slika 12.3a. Ako to nije slučaj, radi se o kosom^savajaiijii, slika 12.3b.

>/ /

k % b) Slika 12.2

Slika 12.3

Zlatan Kulenović

68

12.1 RAVNO ČISTO SAVIJANJE

12.1.1 NAPREZANJA I DEFORMACIJE ŠTAPA N eka je ravni prizmatični štap opterećen na krajevima spregovima sila momenta M, koji djeluju u ravnini yz, slika 12.3. Pretpostavimo da poprečni presjek štapa ima os simetrije y, pa savijanje nastaje u ravnini opterećenja yz. M omenat savijanja jednak je uzduž štapa, a poprečnih i uzdužnih sila nema.

Slika 12.3 N akon djelovanja opterećenja štap se deformira, a njegova uzdužna os prelazi u zakrivljenu crtu koja se naziva elastična linija. U ovom slučaju elastična linija ima konstantnu zakrivljenost (polumjer zakrivljenostip = k o n st.), što znači d a je to kružnica, slika 12.4a.

Slika 12.4 Očito je da se uzdužna vlakna na gornjoj strani štapa skraćuju a na donjoj produljuju. Naravno, postoje vlakna koja ne mijenjaju svoju duljinu a leže u neutralnoj površini štapa čiji se presjek s ravninom opterećenja naziva neutralna Unija, a njezin trag po poprečnom presjeku zove se neutralna os, slika 12.4b. N a osnovi takvog razmatranja, pri čistom savijanju uvode se sljedeće pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: 1. Poprečni presjeci nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju. 2. Postoji samo komponenta naprezanja crz (jednoosno stanje naprezanja). Naglasim o da i u ovom slučaju smatramo da su deformacije malene i da vrijedi Hookeov zakon.


69

Da bismo doveli u vezu deformacije vlakana s naprezanjima, razmotrimo jedan deformirani element štapa između dva bliska poprečna presjeka koja međusobno zatvaraju kut d a , slika 12.5. Vlakno na udaljenosti y od neutralne linije koje prije deformiranja ima duljinu CD = AB = dz = p d a , produljuje se za ED = Adz = y d a , pa je nakon deformiranja njegova duljina dz + A d z. Uzdužna deformacija toga vlakna, prema definiciji iznosi:

dz

pda

p

(12.D

Izraz (12.1) pokazuje da se deformacija mijenja linearno po visini presjeku štapa. Kako je izduženje vlakna posljedica djelovanja naprezanja, prema Hookeovom zakonu i izrazu (12.1), slijedi naprezanje: ( 12.2)

= E S z= ~ y

Da bismo odredili položaj neutralne osi i polumjera zakrivljenosti neutralne linije p , presijecimo poprečno štap zamišljenom ravninom na dva dijela i razmotrimo ravnotežu lijevog dijela. N a slici 12.6, prikazanje taj izdvojeni dio na koji s lijeve strane djeluje vanjski spreg momenta M, a s desne strane unutrašnje sile raspodijeljene po poprečnom presjeku površine A. N a svaku elementarnu površinu dA s koordinatama x i y, okomito djeluje unutrašnja sila a 2 d A , pa uvjeti ravnoteže toga dijela štapa glase:

L £Z =0

jcrdA = 0 A

2. ^ M x = 0

M -^c rd A -y = 0 A

3. ^ M y = 0

ja d A -x = 0 A

U vrštavajući izraz (12.2) u iz: njegove jednadžbe dobivaju oblik: 1. ~ j y d A = 0 Slika 12.6 Kako je — * 0 , mora biti (ydA = S X = 0 (statički moment površine). P i

Zlatan Kulenović

70

Ovo znači da os x prolazi kroz težište T presjeka i da je ujedno i njegova neutralna os (x = n -n ). 3. — \xydA = 0 P a Pošto je jxydA = I xv = 0 (centrifugalni moment površine), možemo zaključiti da su osi x i y A

glavne centarlne osi tromosti poprečnog presjeka. Dakle, kod ravnog savijanja jedna od težišnih osi presjeka predstavlja neutralnu os a kroz drugu težišnu os prolazi ravnina opterećenja. 2. M - — [ y 2dA = 0 P a Po definiciji je

j y 2dA = I x (aksijalni moment tromosti površine), pa iz gornje jednadžbe

slijedi zakrivljenost elastične linije štapa: T P = TE Ix

1

(12'4)

Veličina E IX naziva se krutost na savijanje. Budući da je M = konst. i E IX = konst., slijedi da je polum jer zakrivljenosti elastične odnosno neutralne linije štapa pri ravnom čistom savijanju p = k o n st., što znači da elastična linija ima oblik kružnog luka. Ako se izraz (12.4) uvrsti u izraz (12.2), dobiva se konačni izraz za norm alno naprezanje'. o\ = — y

(12.5)

Pomoću ovog izraza moguće je odrediti naprezanje u bilo kojoj točki presjeka štapa. Može se zaključiti d a je raspodjela normalnog naprezanja < j z linearna po visini poprečnog presjeka. U točkama neutralne osi (y = 0 ), naprezanja nema, dok se najveća naprezanja pojavljuju u točkama presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi ( y = y max), slika 12.7.

71


Prema tome, maksimalna vrijednost normalnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa opterećenog na ravno čisto savijanje iznosi: _M _ t

T y max

_M _

(12.6)

r„

I

wr

N a osnovi izraza (12.6), može se zaključiti da se najmanja naprezanja pri istom opterećenju pojavljuju kod štapova čiji poprečni presjeci imaju najveći otporni moment Wx uz najmanju površinu A (najmanja težina). Poprečni presjek zadane visine h imao bi najveći moment otpora kada bi njegova površina A bila raspodijeljena u dva tanka pojasa površine A /2 , koja su povezana rebrom zanemarljive debljine, slika 12.8a. M oment otpora takvog idealnog presjeka iznosi: W, =

Ah

(12.7)

U stvarnosti pojasovi moraju imaju određenu debljinu kao i rebro koje ih povezuje. N a taj način nastaje I profil, slika 12.8b. Omjer m omenta otpora stvarnog presjeka i momenta otpora idealnog presjeka naziva se iskorištenost presjeka, tj: b)

a) Slika 12.8

( 12.8)

Npr. za kružni presjek

tj =

0,25, za pravokutni presjek

tj -

0,33, a za I profil tj - 0,61 - 0,65,

što znači d a je on najbliži idealnom presjeku te ima veliku primjenu u praksi.

12.2 RAVNO SAVIJANJE SILAMA

12.2.1 ANALIZA NAPREZANJA ŠTAPA K od savijanja silama u nekom poprečnom presjeku štapa osim momenta savijanja M, pojavljuje se i poprečna sila Q, slika 12.9. M oment savijanja uzrokuje normalno naprezanje < j z , a poprečna sila uzrok je pojave tangencijalnog naprezanja r zy, i predstavlja rezultantu svih unutrašnjih sila koje djeluju u poprečnom presjeku, tj: Q = \ T:ydA

(12.9)

A

Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je poznavati raspodjelu tangencijalnog naprezanja po poprečnom presjeku, koja nije ravnomjerna. To znači da pomaci svih elementarnih površina dA presjeka pri deformiranju nisu međusobno jednaki, što ima za posljedicu iskrivljenje

72

Zlatan Kulenovlć

(deplanaciju) poprečnog presjeka. M eđutim, u teoriji elastičnosti pokazano je da su takvi pomaci zanemarljivi u usporedbi s pomacim a zbog rotacije presjeka, pa pretpostavka da poprečni presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju, približno vrijedi i u slučaju savijanja silama. Prema tome, normalno naprezanje a z može se odrediti kao i pri čistom savijanju pomoću izraza (12.5), tj: M

Slika 12.9

i

V eličinu tangencijalnog naprezanja xzy dobit ćemo razmatranjem elementa duljine dz izdvojenog iz štapa opterećenog silama na savijanje kao na slici 12.10. Na bočne stranice elementa djeluju unutrašnje sile M i Q, odnosno M + d M i Q, kako to pokazuje slika 1 2 . 1 1 . Promotrimo ravnotežu donjeg sloja toga elementa na udaljenosti y od neutralne linije, koji je na slici šrafiran. Taj sloj je posebno prikazan prostorno slikom 1 2 . 1 2 , sa svim naprezanjima koje na njega djeluju. N a bočnim presjecima p o v ršin e^ ,, zbog djelovanja momenata

f

i

dz

fF

F, t 1 1 -i—r-

P.f

f

t ' '

(Q) 1

F’ 1 ’ 3

'h

savijanja M i M + d M djejuju normalna naprezanja a z i crz + d a z , te tangencijalna

naprezanja

x:v

izazvana Slika 12.10

poprečnim silama Q.

CTzdA1

( O z + d a J d A .,

Slika 12.11

Slika 12.12


73

Prema pravilu recipročnosti tangencijalnih naprezanja, na gornjoj plohi sloja širine b, djeluje tangencijalno naprezanje r K = t , čija se raspodjela može smatrati konstantnom po površini bdz . U vjet ravnoteže elementa sa slike 12.12, glasi: 2

> o

- k

dAj - r y2 bdz + J ( a \ + d a , )dA t = 0

A,

A,

Uvrštavanjem izraza (12.5) i rješavanjem, slijedi: dM Tyz

dz fy d A , bi

Budući d a je prema definiciji iz statike ^< ~ = Q , konačni izraz za tangencijalna naprezanja dz može se napisati u obliku: ( 12.10)

gdje je: S x = jy d A t - statički moment površine At sloja, oko osi x.

Izraz (12.10) daje raspodjelu tangencijalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka štapa opterećenog na savijanje silama. N a osnovi njega možemo zaključiti da se najveće tangencijalno naprezanje r max pojavljuje u točkama presjeka koje leže na neutralnoj osi (os x), je r statički moment površine sloja tada ima najveću vrijednost. Tangencijano naprezanje jednako je nuli u svim točkama presjeka koje su najudaljenije od neutralne osi (rubne točke), pošto površina sloja ne postoji. Između tih vrijednosti, tangencijalna naprezanje se gotovo uvijek mijenjaju po zakonu parabole. Tako npr. za pravokutni p r e s je k , slika 12.13, vrijedi:

'max ♦♦♦♦♦♦♦

♦ m m

Slika 12.13

im

m

m

im

Zlatan Kulenović

74

f'j. (fm ■+ y I =

S * = A\ ■yi = b \ - - y

bh 3 12

'

v / Ako se ove dvije vrijedosti uvrste u u izraz (12.10), dobivamo: 60

r h2

\

T - ^

( 12.11)

Dakle, tangencijalna naprezanja ovise o kvadratu koordinate y, tj. raspodijeljena su po zakonu parabole. M aksimalno naprezanje javlja se u neutralnoj osi ( y = 0) i iznosi:

= _30 = 30 rmax

2 bh

( 12.12)

2A

Kako je srednje tangencijalno naprezanje uzeto pri smicanju zsr = — (Poglavlje 9.1), očito je /1 d a je maksimalno tangencijalno naprezanje 50% veće od srednjeg naprezanja ( r max = 1,5Tsr). N a sličan način za kružni presjek, slika 12.14, može se dobiti:

Vidljivo je da su i u ovom sličaju tangencijalna naprezanja raspodijeljena po zakonu parabole. Naprezanje ima maksimalnu vrijednost za y = 0 i iznosi:

rmax

4Q

4Q

3r 2K

3A

(12.14)

što znači da je maksimalno tangencijalno naprezanje 33% veće od srednjeg naprezanja Omax = l , 3 r s,).


75

Slika 12.15, prikazuje jedan poprečni presjek grede oblika I-profila s unutrašnjim silama, m om entom savijanja M i poprečnom silom Q. Data je raspodjela normalnog naprezanja crz i tangencijalnog naprezanja r zy po visini presjeka. Skok u dijagramu tangencijalnih naprezanja na prijelazu rebra i pojasa, izazvan je naglom promjenom širine presjeka. Pri tome koncentracija naprezanja nije uzeta u obzir.

Slika 12.15

b)

Zlatan Kulenović

76

Provedena analiza pokazuje da u točkama štapa opterećenog na ravno savijanje silama, vlada dvoosno stanje naprezanja. Zato je važno pri analizi naprezanja odrediti ekstremne vrijednosti naprezanja, odnosno glavna naprezanja. To možemo učiniti na osnovi već poznatih izraza ( 8 . 8 ) i (8.9) (Poglavlje 8.2), koji daju veličine i pravce glavnih naprezanja, a koji u ovom slučaju glase:

N a primjeru konzole pravokutnog poprečnog presjeka koja je opterećena jednolikim kontinuiranim opterećenjem q , slika 12.16a, prikažimo raspodjelu normalnih i tangencijalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka, te glavna naprezanja i njihove pravce. N orm alna naprezanja mijenjaju se po linearnom zakonu, a tangencijalna naprezanja po zakonu parabole. Na neutralnoj liniji, a , je nula, a t zy ima maksimalnu vrijednost. N asuprot tome, na rubovima a z ima maksimalnu vrijednost, dok je t zy jednako nuli. U presjeku z, prikazano je pet napregnutih elemenata s odgovarajućim naprezanjima. U presjeku z 2 prikazani su elementi s glavnim naprezanjima. Duž rubova je a z jedno glavno naprezanje, dok je drugo jednako nuli. U sredini štapa vlada čisto smicanje, pa glavna naprezanja čine s osi z kut od 45°. N a slici 12.16b, prikazane su trajektorije naprezanja. To su dvije ortogonalne skupine krivulja čije tangente podudaraju s pravcima glavnih naprezanja u odgovarajućoj točki. Njihovo poznavanje važno je za praksu pogotovo u slučaju nosivih armiranih konstrukcija, a posebno ako su one izgrađene od armiranog betona. Unutrašnja čelična armatura takvih nosača mora se, sto je moguće više, poklapati s pravcima glavnih vlačnih naprezanja.

PRIMJER 14 Greda pravokutnog presjeka b x h, opterećena je kontinuiranim opterećenjem q. Odrediti glavna naprezanja u prikazanoj točki C. B Zadano: q = 15 kN/m, = 100 mm, h = 2b, y = 50 mm, z = 0,3 m, / = 3 m.

-ir

“J}' I

Da bismo odredili tražena naprezanja, potrebno je odrediti unutrašnje sile u presjeku z: Poprečna s il a :

Qz = A - q z = ^ - - q z = ^ - ~ 15-0,3 = 18kN

Moment savijanja:

M ,= A z

0 , 3 - l ^ = 6,08kNm

Izračunate vrijednosti su naznačene na Q i M s dijagramu grede.


77

y\ i\ \ i

X

c

ty t>

Odredimo geometrijske karakteristike poprečnog presjeka grede, koje su potrebne za izračunavanje naprezanja i to: Statički moment površine za os x u točki C (šrafirana površina na slici): (u

2

:— y 2

A CM 2

= 3,75-IO *4 m 3

.. , ■ ■ • •, r bh3 0 ,1 - 0 ,2 3 , a _5 4 Aksijalm moment tromosti površine presjeka za os x: I x = -y^- = — —— = 6,67 -10 m

Naprezanja u točki C: Norm alno naprezanje: cr. = — *-y = — _5 •0,05 = 4558 Pa Ix 6,67-10 T • Q SX 18-3,75-IO "4 ini1T1 Tangencijalno naprezanje: r = — - = ----------------- r = -1 0 1 2 Pa S J F J * bi 0,1-6,67-10“5

a naprezanje je pozitivano a r naprezanje je negativano, prema pravilu o predznacima naprezanja (Poglavlje 3). Izračunata naprezanja su prikazana na

Glavna naprezanja:

cr, = 4773 + ( - 1012)2

tan2
a.

= - •\ ^ , l2> = -0,444 4558

=*

ct2 =

-2 1 5

Pa

Zlatan Kulenović

78

N apregnuti element u točki C s glavnim naprezanjima i M ohrova kružnica naprezanja:

z

12.2.2 PRORAČUN CVRSTOCE U poprečnom presjeku štapa opterećenog na savijanje silama, u općem slučaju pojavljuju se i normalno i tangencijalno naprezanje. Praksa pokazuje da je za uobičajene duljne i oblike presjeka štapa, normalno naprezanje znatno veće od tangencijalnog, pa se proračun čvrstoće izvodi prema najvećem normalnom naprezanju <7 max. Naime, na mjestu gdje je normalno naprezanje najveće, tangencijalno je naprezanje jednako nuli. Prema tome, uvjet čvrstoće glasi:

(12-16)

gdje je: M max - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku štapa. Izraz (12.16), primjenjuje se za štapove izrađene od rastezljivog materijala koji ima jednaku vlačnu i tlačnu čvrstoću. Kod takvih štapova preporučuje se upotrijebiti poprečni presjek simetričan u odnosu na neutralnu os (x os). U slučaju da je materijal štapa krhak, njegova vlačna čvrstoća je nekoliko puta m anja od tlačne, pa posebno valja provjeriti čvrstoću u vlačnom a posebno u tlačnom području. Tada je povoljno koristiti poprečne presjeke nesimetrične prema neutralnoj osi štapa, slika 12.17. Uvjeti čvrstoće u tom slučaju glase: M„

s vm ax

vd

(12.17) Mm

- sVt max < (7 tdj

gdje je: crvd i a td - dopušteno vlačno odnosno tlačno naprezanje, udaljenost točaka konture presjeka u vlačnom odnosno tlačnom području.

i y ,m3X - najveća

79


CJtr

max

yv,

Slika 12.17 Korištenjem izraza (12.16) ili (12.17), prilikom određivanja potrebnog oblika i dimenzija poprečnog presjeka štapa, očito je da će samo u njegovom opasnom presjeku biti (Tmia=crd- U svim ostalim presjecima duž štapa je crmax<
a= max— z —=w <7j

d

Xz

pa m oment otpora površine njegovog poprečnog presjeka mora biti: Wr. = M j .

(12.18)

Takav oblik štapa naziva se idealni oblik i predstavlja štap jednake čvrstoće na savijanje. Konstrukcijski elementi jednake čvrstoće na savijanje imaju široku primjenu u praksi. Kao prim jer razmotrimo jednostavnu gredu opterećenu vertikalnom silom F u sredini raspona, slika 12.18. Odredimo njezin idealni oblik za dva različita poprečna presjeka, kružni i pravokutni. M oment savijanja u presjeku z iznosi:

Za kru žn i poprečni p resjek moment otpora presjeka je Wxz = nd] ~32

Odatle je porebni promjer grede:

7td,

, pa izraz (12.18) glasi:

Fz 2

16Fz

Dakle, promjer grede se mijenja po kubnoj paraboli. Na slici 12.18a, prikazanje idealan oblik grede (paraboloid) koji zadovoljava gornji izraz. U praksi se idealni oblik grede zamjenjuje stepenastim oblikom, pri čemu on obuhvaća idealni oblik i nigdje ga ne presjeca. Tako se

Zlatan Kulenović

80

redovito oblikuju osovine, slika 12.19. Osovine su konstrukcijski elementi koji služe za prijenos rotacijskog gibanja i u radu su opterećene samo na savijanje, za razliku od vratila koja su izložena savijanju, uvijanju a ponekad i aksijalnom opretećenju (Poglavlje 11.2).

praktični oblik

Slika 12.18 Kod pravokutn og poprečnog presjeka konstantne visine h i promjenljive širine bz , moment b h2 otpora iznosi Wxz = —— ,p a n a o s n o v i izraza (12.15) slijedi potrebna širina presjeka:

3Fz h ađ Vidljivo je da se širina grede m ijenja po linearnom zakonu, pa je idealni oblik grede kao na slici 12.18b. Zbog velike širine, ovakva se greda u praksi uzdužno razrezuje u više elemenata (lamela) jednake debljine, koji se slažu jedan na drugi. Tipičan primjer je lisnata opruga (gibanj), slika 1 2 .2 0 .

Slika 12.19

Slika 12.20

81


PRIMJER 15 y ti z z Odrediti potrebne dimenzije poprečnog presjeka čeličnog grednog nosača (h = ?), koji je na prepustu opterećen kontinuiranim oprerećenjem q.

B

/ft/rt

2

I

az

VTTTTT

h /2

Zadano:

£

q = 4 k N /m ,

/ = 1 m,

o\, = 120 M Pa.

Iz dijagrama momenata savijanja M s vidljivo je d a j e opasni presjek točka A, gdje moment ima maksimalnu vrijednost: M‘ m ■q l7/ 2 max

' W =

Uvjet čvrstoće:

I

>

M

ma*

5h 4 Kako je :

pa je:

h ■{2 h f

2____

5/ ) 4

12

12

8

i

y a* = h ,

slijedi: ------> h

ql^_ 2 a,.

4 q l2 4-4-1 > 0,0299 m. h > \ \ - — >3 5crrf V5 - 1 2 0 - 1 0 J

Usvajamo: h = 30 mm.

Na slici su prikazane potrebne dimenzije poprečnog presjeka grede, koje osiguravaju njegovu nosivost pri zadanom opterećenju.

82

Zlatan Kulenović

12.2.3 ELASTIČNA LINIJA Elastična linija predstavlja mjeru deformacije štapa pri savijanju. Poznavanje oblika elastične linije važno je pri ispitivanju krutosti ovako oprerećenih konstrukcijskih elemenata, analizi njihovih vibracija pri dinamičkom opterećenju te kod rješavanja statički neodređenih zadataka, je r se na osnovi nje dobivaju potrebni uvjeti deformiranja.

Na slici 12.21, prikazan je gredni nosač koji se deformira zbog opterećenja silama F ,(/ = l,2 ,...n ). Pretpostavlja se da su deformacije male i da je utjecaj poprečne sile neznatan. U tom se slučaju zakrivljenost elastične linije može definirati kao i kod čistog savijanja izrazom (12.4), koji u ovom slučaju glasi:

P

E l EI

(12.19)

Slika 12.21 gdje je p polum jer zakrivljenosti elastične linije grede u presjeku z, u kome djeluje moment savijanja M ,. Budući da se moment savijanja mijenja duž raspona grede, m ijenja se i polumjer zakrivljenosti u skladu s izrazom (12.19). Iz matem atike je poznato da se zakrivljenost krivulje y = y(z), izražena preko njenih derivacija po promjenljivoj z, može odrediti na osnovi formule: d^y d z2 P

3/2

l +f ^

( 12.2 0 )

l3/2 :(l + / 2):

\d z

Izjednačimo izraze (12.19) i (12.20). Zbog malih deformacija, za praktične proračune može se uzeti d a j e y ' 2 zanemarljivo mala veličina u odnosu na jedinicu, pa slijedi:

( 12.21)

v' = ±

EJ

Predznak

(+)

ili

(-),

uzima se

prema izboru koordinatnog sustava. Uobičajena orjentacija koordinatnih osi je kao na slici 1 2 .2 2 .

y >0 Slika 12.22

83


Elastična linija je konveksna prema pozitivnom smjeru o siy (y " < 0) uz djelovanje pozitivnog momenta savijanja (M > 0), a konkavana ( y ’ > 0) pri negativnom momentu (M < 0). Ovo znači da su y" i M z uvijek imaju suprotne predznake. Prema tome, izraz (12.21) poprima oblik:

(12.22 ) X

Ovo je diferencijalna jednadžba elastične linije. M oment savijanja M z uvrštava se s predznakom dogovorenim u Statici. Izraz (12.22) predstavlja linearnu diferencijalnu jednadžbu drugoga reda, koja se analitički rješava dvostrukim integriranjem. Nakon prvog integriranja dobiva se y '(z ) = ta n ^ «
Nagib

=>

Progib

=>

(12.23)

Konstante integracije C, i C2 određuju se iz rubnih uvjeta, koji slijede iz načina oslanjanja krajeva štapa i neprekinutosti njegove elastične linije, kako je to pokazano na slici 12.23.

za z = 0

y = 0 (nema progiba u točki A)

za z = 0

y = 0 (nema progiba u točki A) y ' = 0 (nema nagiba u točki A)

Z

Z

za z, = z 2

y t = y 2 (jednaki progibi) y'i = y'i (jednaki nagibi)

2

Slika 12.23

Zlatan Kulenović

84

PRIMJER 16 N aći progib i nagib slobodnog kraja B konzole opterećene silom F kao na slici. Zadano: F , / , E IX.

Moment savijanja u presjeku z: 0 < z< l

M z = - M A + A - z = F (z - l )

tA=F Diferencijalna jednadžba elastične linije može se napisati na sljedeći način: E Ixy " = - M z = - F { z - l ) Integriranjem ovog izraza, dobiva se nagib:

E Ixy ' = ~ ^ j ^ - + C,

N akon ponovnog integriranja, slijedi progib:

E Ixy = -

^

o

^

+ C tz + C2

Određivanje konstanti integracije: Uvjeti oslanjanja

=>

l)zaz = 0

F/3 I z (1 )je: 0 = — + C 2, slijedi C2 6

>>=0,2)zaz = 0

y '= 0

F l2 . 6

F l2 F l2 I z (2 )je: 0 = - — + C , , slijedi C, = ^ y Uvrštavanjem vrijednosti konstanti u gornje izraze, nakon sređivanja dobiva se:


85

Elastična linija, dakle, predstavlja parabolu trećeg reda. N a slobodnom kraju B konzole je z = / , pa traženi nagib i progib na tom mjestu imaju veličine: , F l2 < pn = yy na = ------~ ° O T7T

F l1 yny D ---------'lT T T

1

Uočimo da je u ovom slučaju cpB =
12.2.4 STATIČKI NEODREĐENI ZADACI U tehničkoj praksi česti su primjeri statički neodređenih grednih nosača kod kojih je broj nepoznatih reakcija u osloncima veći od broja statičkih uvjeta ravnoteže. Princip iješavanja takvih statički neodređenih zadataka pri savijanju, jednak je kao kod aksijalnog opterećenja odnosno uvijanja štapova. To znači d a j e osim uvjeta ravnoteže potrebno postaviti onoliko uvjeta deformacije, koliko je zadatak puta statički neodređen. Pri tome se statički neodređeni sustav svodi na statički određen - osnovni sustav, uklanjanjem prekobrojnih veza i njihovom zamjenom nepoznatim reakcijama. Uvjeti deformacije obično izražavaju činjenicu da je odgovarajući pomak na mjestu uklonjene veze jednaki nuli.

PRIMJER 17

B

1.

f

1

i

2

2

r h . 7Z Z2

Za konzolu poduprtu i opterećenu prema slici, odrediti reakcije u osloncima A i B. Zadano: F , l , E IX.

F

B

Uvieti ravnoteže: ( i.£ r =o

t

1 2

2 .J ^ M a = 0

1

A -F +B =0 - M A - F ■1/2 + B ■1/2 = 0

|A

-A_ 77777?,

2

|B

Zlatan Kulenović

86

Zadana greda jedanput je statički neodređena, je r ima 3 napoznate reakcije u osloncima: A, M A i 5 , a na raspolaganju imamo samo dva postavljena uvjeta ravnoteže. Pretvorimo ovu statički neodređenu gredu u statički određenu - osnovnu gredu (konzolu), uklanjanjem oslonca B kao statički prekobrojne veze. Umjesto njega dodajmo njegovu nepoznatu reakciju B. Očigledno je da vertikalnog pomaka - progiba točke B u stvarnosti nema, pa iz te činjenice slijedi potrebni uviet deformacije: 3-A=0

l

B

B

B,

Prim jenom m etode superpozicije, pomak točke B je:

gdje je:

f B = f BF + f BB

5 F /3 f BF = — ----- progib u točki B zbog djelovanja samo sile F 48E IX B I3 / \ f BB = --------- (T) - progib u točki B zbog djelovanja samo reakcije B 3 E IX

Vrijednosti progiba f BF i f BF izračunate su analitički (vidi Poglavlje 12.2.3), ali se mogu naći i u odgovarajućim tablicama. Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti u uvjet deformacije, on glasi:

3.

5F l3

B I3

48£7

3E I

= 0 , pa nije teško dobiti nepoznatu reakciju u točki B:

5F B =— . 16

v . . 11F . Nepoznate reakcije u točki A slijede na osnovi uvjeta ravnoteže i iznose: A = —— i

____ _ 1 6

3

Ma= A 16

Fl

12.3 KOSO SAVIJANJE Kada ravnina opterećenja kosa i ne prolazi kroz glavne centralne osi tromosti x i y poprečnog presjeka štapa, nastaje koso savijanje, slika 12.24. Presjek ravnine opterećenja s poprečnim presjekom je trag opterećenja R, koji s pozitivnim smjerom osi x zatvara kut

87

/o p te re ć e n ja '

\< p T( X

Slika 12.25 Razmotrimo konzolu pravokutnog poprečnog presjeka opterećenu na slobodnom kraju silom F, koja s osi x kao glavnom centralnom osi tromosti zatvara kut ep, slika 12.26. U nekom presjeku z ovako opterećenog štapa, pojavljuju se unutrašnje sile Q i M . Poprečna sila Q izaziva tangencijalno naprezanje u presjeku, dok je moment savijanja M uzrok pojave normalnog naprezanja. M eđutim, tangencijalno naprezanje je maleno u usporedbi s normalnim, pa se obično zanemaruje. Vektor momenta savijanja M

okomit je na trag

opterećenja R , a može se rastaviti na dvije komponente M x i M y , kako to pokazuje slika

V eličine ovih vektora su: M x = -M sin< p ,

M y = -M cos< p

Predznak ( - ) u skladu je s dogovorom iz Statike (gledano s desne strane).

(12.24)

Zlatan Kulenović

88

Prema tome, koso savijanje predstavlja istodobno savijanje oko osi x i y. U točki C (x ; y) prvog kvadranta, komponente momenata savijanja izazivaju vlačna naprezanja: -

Mv a " = — —x 2 T

= -j-y >

(12.25)

Prema metodi superpozicije, ukupno naprezanje crz u točki C jednako je algebarskom zbroju normalnih naprezanja cr' i a ", pa uzimajući u obzir izraz (12.24), slijedi:

a , = cr' + cr" = - M

i ■ \ sm® cos© —y + -----—x

(12.26)

U ovom izrazu moment savijanja M uvrštava se s odgovarajućim predznakom u datom presjeku z. Geometrijsko mjesto točaka poprečnog presjeka u kojima je normalno naprezanje jednako nuli predstavlja neutralnu os štapa. Dakle, stavljajući crz = 0 u izraz (12.26), slijedi jednadžba neutralne osi: y = - — COt (D K1*

(12.27)

To je jednadžba pravca koji prolazi kroz težište presjeka T, a njegov kut nagiba prem a osi x je: y l \axiy/ = — = — - c o t q> x I..

(12.28)

Neutralna os dijeli poprečni presjek na vlačnu i tlačnu zonu, slika 12.28. U svim slučajevima kada je I x * I neutralna os n-n nije okomita na trag opterećenja R . Kod poprečnih presjeka kod kojih je I x = / (npr. krug i kvadrat), kosog savijanja nema. Izraz (12.26) pokazuje da je raspodjela naprezanja a , linearna funkcija od koordinata točke x i y. To znači da se najveće naprezanje
89


Jasno je da ta najveće naprezanje mora biti manje od dopuštenog, što znači da uvjet čvrstoće štapa pri kosom savijanju glasi: sin®

COSC?

------— sVmax H--------r — X max

y

¿a -.

(12.29)

J

gdje je M mm - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku štapa. Kako se kod kosog savijanja radi o istodobnom savijanju u dvije međusobno okomite ravnine, u ku p n ip ro g ib 8 štapa u promatranom presjeku z, dobiva se geometrijskim zbrajanjem komponentnih progiba Sx u pravcu osi x i 8 u pravcu osi j', slika 12.29, i iznosi: S=

(12.30)

Pravac vektora ukupnog progiba 8 okomit je na neutralnu os nSlika 12.29

PRIMJER 18

7

R

Pravokutni presjek dimenzija b x /? drvene grede opterećene i oslonjene kao na slici, nagnut je za kut a . Odrediti maksimalno naprezanje u gredi. Zadano: q = 3 kN/m, / = 3 m, b = 150 mm, h = 200 mm, a = 18,5°.

Opasni presjek grede nalazi se na sredini raspona, gdje moment savijanja ima maksimalnu vrijednost, koja iznosi: a l2 3 -3 2 M max= ^ = ^ - = 3,375 kNm

Momenti tromosti presjeka za osi x i y su: bh* I =-

Iy

0,15-0,23

12

12

/ib3

0,2-0,153

12

12

= 1 -1 0 -4 m 4 = 5,625-10’5 m 4

Zlatan Kulenović

90

Kut traga opterećenja R\

(p = 90° - a = 90° -18,5° = 71,5°

Kut neutralne osi n-n: ta n w =

1

c o tm = ----- i—^ — r cot71,5° = -0,595 5,625-IO '5

y/ = -30,7°

N a osnovi slike presjeka s ucrtanim tragom opterećenja i neutralnom osi, može se zaključiti da se maksimalno naprezanje pojavljuje u točkama C i D, je r su one najudaljenije od neutralne osi n-n. Koordinate točke C: xc = - - = - —

c

2

2

= -0,075 m

° ’2 = - 0,a1 ,m y r = —h = -----c 2 2

^"m ax

CTC

= -3 ,3 7 5 10"

^ m a x

sin^t» cos cp ~ yc ^ xc

sin71,5° x 1 T 0 -4

• ( - 0 , 1) +

cos71,5

•(-0,075) = 4,3 M Pa (vlak).

5,6251-10"5

Naprezanje u točki D ima isti iznos ali je suprotnog predznaka, tj: a D = -4 ,3 M Pa (tlak).

13. IZVIJANJE

Pod djelovanjem vanjskog oprerećenja elementi konstrukcija kao elastična čvrsta tijela, deformiraju se i poprimaju novi ravnotežni oblik, koji se razlikuje od početnog. Pri tome se im a u vidu ravnoteža vanjskih i unutrašnjih sila. Jasno je da jedan konstrukcijski element može zauzeti više različitih deformiranih oblika ovisno o rasporedu i veličini oprterećenja, a takav ravnotežni oblik može biti stabilan, indiferentan i labilan. Od izuzetne je važnosti da konstrukcijski element bude u stabilnoj ravnoteži, je r su u suprotnom moguće njegove velike deformacije pod opterećenjem i vjerojatni lom, iako su naprezanja u takvom elementu daleko manja od dopuštenih. Ovo znači da sigurnost konstrukcijskog elementa čiji ravnotežni oblik nije stabilan, zapravo i ne postoji. Prema tome, osim čvrstoće i krutosti konstrukcije, prvorazredno značenje ima i pitanje njezine stabilnosti. Ovo je posebno izraženo u suvremenim konstrukcijama, gdje se do minimuma smanjuju


91

poprečne dimenzije zbog uporabe otpornijih materijala i nastojanja da se težina što više smanji. Pojam stabilnosti ravnoteže oblika pojasnimo na primjeru prizmatičnog štapa, koji je na donjem kraju ukliješten, a na gornjem opterećen silom F na tlak, slika 13.1a. Pretpostavlja se da je štap idealno ravan, izrađen od homogenog materijala i idealno centrično opterećen. Pod djelovanjem sile, štap će se skratiti, ali će zadržati ravni oblik. Zamislimo da na tako opterećeni štap kratkotrajno djeluje mala bočna sila A H . Stap se savija u stranu odnosio izvija, pri čemu dobiva krivocrtni oblik, slika 13.1b. Nakon prestanka djelovanja bočne sile, moguća su sljedeća tri slučaja ponašanja štapa: a) Štap se vraća u prvobitni pravocrtni oblik. On se nalazi u stabilnoj elastičnoj ravnoteži. To se događa uvijek kada je sila manja od neke kritične sile F kr, slika 13.2a. b) Stap zadržava izvijeni krivocrtni oblik ali se dalje ne deformira. Radi se o indiferentnoj elastičnoj ravnoteži. koja nastupa pri kritičnoj sili, slika 1 2 .2 b. c) Štap se jako izvija u stranu, pri čemu može doći do njegovog loma. Ovo je nestabilna elastična ravnoteža, koja nastupa kada je sila veća od kritične, slika 13.2c. Slika 13.1

Odstupanje od ravnog oblika, nehomogenost materijala ili ekscentričnost opterećenja, u praksi imaju jednak učinak kao i mala bočna sila A H , što znači da do izvijanja štapa dolazi uvijek kada tlačna sila prijeđe kritičnu vrijednost. Zato je osnovna zadaća u ovom poglavlju, određivanje veličine kritične sile F h. za različite oblike i dimenzije štapova izrađenih od različitih materijala.

Zlatan Kulenović

92

13.1 IZVIJANJE U ELASTIČNOM PODRUČJU Razmotrimo štap zanemarljive težine, zglobno oslonjen na krajevima i opterećen tlačnom silom F. U trenutku kada sila dostigne kritičnu vrijednost F kr, štap se izvija a njegova uzdužna os prelazi u elastičnu liniju y = y ( z ) , kako to pokazuje slika 13.3. Diferencijalna jednadžba elastične linije u tom slučaju ima oblik: M, y

= -

iy Ako se uvede oznaka:

k2= ^ -

EI„

y" + k 2y = 0

slijedi:

y

K-y E IX

E IX

(13.2)

(13.3)

Ovo je homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima, čije opće rješenje glasi: y = C1sin fc + C2c o ste

Slika 13.3

(13.1)

(13.4)

gdje su C, i C2 konstante integracije koje se određuju iz rubnih uvjeta.

Rubni uvjeti (uvjeti oslanjanja) su: 1. za z = 0 , y = 0 (nema progiba u točki A), što uvršteno u izraz (13.4) daje: C 2 = 0 . 2. za z = / , y = 0 (nema progiba u točki B), pa izraz (13.4) postaje: C, sin kl = 0 . Ovaj će izraz biti zadovoljen ako je: a ) C , =

0

ili b ) s i n W =

0

.

U slučaju a), dobivamo y = 0 , tj. elastična linija je pravac, što znači d a j e pravocrtni oblik jedan od mogućih ravnotežnih oblika štapa. U slučaju b), slijedi:

k =— ,

« = 0,1,2,...

(13.5)

pa jednadžba elastične linije izvijenog štapa, izraz (13.4), poprima oblik: . nn y = C, sin — z ' /

(13.6)

a izraz (13.2) daje veličinu kritične sile: HV

EI

(13.7)


93

Elastična linija može imati više oblika (formi), ovisno o tome koju vrijednost ima n. Svakom takvom obliku odgovara druga vrijednost sile izvijanja. Ako je n = 0 , elastična linija je pravac a kritična sila je nula. Za praksu je od najvećeg interesa slučaj kada kritična sila ima najmanju vrijednost, što se očigledno javlja za n = 1 , kada elastična linija ima oblik sinusnog poluvala, slika 13.3. Pokusi su pokazali da izvijanje nastaje oko one osi poprečnog presjeka za koju je krutost štapa najmanja, a to je glavna osi tromosti (2), slika 13.4. Dakle, ako se u izraz (13.7) uvrsti n = 1 i I x = / 2 = 7min, slijedi:

Fkr =

n 2E l

(13.8)

gdje je l0 - slobodna duljina izvijanja. Ova se vrijednost kritične sile naziva i E ulerova kritična sila, a vrijedi za proizvoljno učvršćene krajeve štapa. D uljina izvijanja /„ predstavlja razmak između dvije susjedne točke infleksije elastične linije izvijenog štapa (duljina sinusnog poluvala). N a slici 13.5, prikazani su osnovni oblici i slobodne duljine izvijanja za različite načine učvršćenja štapa.

a)

c)

b) Slika 13.5

U trenutku izvijanja štapa, kritično naprezanje iznosi:

94

gdje je:

Zlatan Kulenović

A=

— bezdimenzijska karakteristika štapa koja se naziva vitkost štapa, ^min - minimalni polumjer tromosti presjeka štapa.

Izraz (13.9) prik azan je grafički na slici 13.10 i ima oblik hiperbole. Budući da je pri rješavanju diferencijalne jednadžbe elastične linije pretpostavljeno E = konst., ovaj izraz vrijedi samo u elastičnom području, tj. za: crkr < o P (granica proporcionalnosti). Uvrštavajući crkr= a P

i

A = ZP u izraz

(13.9), dobiva seg ra n ičn vitkost:

Ap = n \ — v °v

(13.10)

Dakle, izrazi (13.8) i (13.9) vrijede samo ako je A > AP .

13.2 IZVIJANJE U PLASTIČNOM PODRUČJU Kod štapova kod kojih je /i < Ar , izvijanje se odvija u plastičnom (neelastičnom) području za koje ne vrijedi Hookeov zakon, što znači da se izraz (13.9) ne može primijeniti. U plastičnom području za izračunavanje kritičnog naprezanja koriste se izrazi dobiveni eksperimentalno.

Tetmajerov pravac


95

Ako je XT vitkost štapa pri granici tečenja

07

, tada se u praksi za područje XT < X < XP,

najčešće primjenjuje Tetm ajerov izraz za kritično naprezanje koji glasi: a kr= a - bX

(13.11)

gdje su a i b koeficijenti koji ovise o vrsti materijala i mogu se naći u tehničkim priručnicima. Npr. za meki čelik kod kojeg je XT » 6 0 i XP « 1 0 0 , vrijedi a = 310 i ¿= 1 ,1 4 , pri čemu je a kr [MPa], Grafički prikaz izraza (13.11) ima oblik pravca, slika 13.11. Za područje 0 < X < XT uzima se da je kritično naprezanje približno konstantno i jednako naprezanju na granici tečenja, tj: crkr = a T .

13.3 PRORAČUN ŠTAPOVA NA IZVIJANJE Prema dijagramu crkr( X ) , slika 13.11, vidljivo je da postoje tri područja u kojima se aksijalno tlačno opterećeni štapovi različito ponašaju i proračunavaju. To su: I. područje: 0 < X < XT To su kratki štapovi u kojih se tečenje materijala pojavljuje prije nego izvijanje. Dakle, izvijanja nema, a štapovi se proračunavaju kao aksijalno tlačno opterećeni (Poglavlje 7.2). II. područje: XT < X < Xp Ovo su srednje dugčki štapovi, koji se proračunavaju na izvijanje s pomoću Tetmajerovog izraza (13.11). —— — III. područje: X > Xp Takvi vitki štapovi, proračunavaju se na izvijanje prema Eulerovom izrazu (13.9). Bez obzira 0 kojem se području izvijanja radi, mora se voditi računa da štap ima izvjesnu sigurnost protiv izvijanja, što znači da se dopušteno naprezanje pri izvijanju definira kao:

gdje je: S - koeficijent sigurnosti (stabilnosti). On ovisi faktorima. Npr. za čelik vrijedi S = 1,5 -s- 3 i više.

0

materijalu, vitkosti i drugim

Pri proračunu štapova na izvijanje, u praksi se ponekad koristi i tzv. a> - postupak. U tom slučaju, proračun na izvijanje svodi se na proračun tlačnog opterećenja. Da bi se štap osigurao protiv izvijanja, uzima se co puta veća sila opterećenja od stvarne, tj:

96

Zlatan Kulenovlć

co-F

(13.13)

gdje je: co - koeficijent izvijanja, a d - dopušteno tlačno naprezanje. Koeficijent co ovisi od materijala i vitkosti štapa, a može se naći u tehničkim priručnicima.

PRIMJER 19

Odrediti promjer d spojne poluge AB klipnog mehanizma jedne brodske crpke, ako se zahtijeva da poluga u radu ostane u elastičnom području. M aksimalna tlačna sila u poluzi je F max, a potrebni koeficijent sigurnosti protiv izvijanja je S. Zadano: F max = 4 , l k N , / = 1 m , £ = 2 1 0 G P a , 5 = 4 .

S obzirom da je spojna poluga tlačno opterećena i zglobno vezana na svojim krajevima za pogonski član OA i klip B, proračunski model ima izgled kao na slici. \ Pošto se zahtijeva da pri radnom opterćenju \ poluga ostane u elastičnom području, pri • proračunu na izvijanje treba koristiti Eulerov / izraz za kritičnu silu, koji u ovom slučaju / glasi:

\

P

kr

_

m[n

^ ,2

Fkr

lo=l

~ —

max '

0

jzd Kako je / min = ----- , slijedi potrebni promjer poluge: 64

d =i

64F

- S-l 2 ti ' E

64 - 4,1 - 4 -1

=

0,02

m=

20

mm.

Vn 1 •210• IO6

Potrebno je još provjeriti vitkost poluge pri usvojenim dimenzijama.

Vitkost poluge: X = — , /„ = / = 1 m = 1000 mm, /min = . l ^ 1- =

7id4 64 7id2

d

20

44

= 5 mm,

~T~ pa je: X =

1000

= 200. Budući d a j e X > XP (« 1 0 0 ), proračun je ispravno proveden.


97

PRIMJER 20 Tlačno opterećeni čelični štap neke rešetkaste konstrukcije, pravokutnog je poprečnog presjeka i zbog velike duljine ima dva bočna oslonca kao na slici. Odrediti kritičnu silu izvijanja pri kojoj štap gubi svoju stabilnost.

e p

Zadano: b = 50 mm , h = 80 mm , / = 2,5 m , E = 210 GPa , a P = 230 MPa.

Pri kritičnoj sili elastična linija izvijenog štapa dobiva oblik kao na donjoj / 2,5 slici. Dakle, slobodna duljina izvijanja je / 0 = —= = 1,25 m.

i

2

A

Izvijanje nastupa oko osi s minimalnim momentom tromosti presjeka, pa minimalni polum jer tromosti iznosi:

mm

= 14,4 mm. (

V itkost štapa: A =

= g6

8

2 )> min

.

14,4

Granična vitkost: AP = tt.

■= n

12 1 0 - 1 0 3 V

% % = 95.

(1 )

% 9a

230

} Pošto je

A < AP , izvijanje štapa se odvija u plastičnom području, što znači da za proračun

treba treba koristiti Tetmajeriv izraz: a kr = 3 1 0 -1 ,14A = 3 1 0 -1 .1 4 -8 6 ,8 = 211 MPa. N a osnovi veličine kritičnog naprezanja, kritična sila u razmatranom slučaju ima vrijednost: Fkr = cr^

= 2 1 1 - 5 0 1 0 “3 - 8 0 1 0 “

- 0. 844 MN.

14. SLOŽENO OPTEREĆENJE

14.1 TEORIJE ČVRSTOĆE Analizirajući osnovne oblike opterećenja štapa pojedinačno (aksijalno opterećenje, smicanje, uvijanje i ravno čisto savijanje) utvrdili smo da niz faktora, kao što su najveće normalno naprezanje <7 max, najveće tangencijalno naprezanje r max, najveća linijska

Zlatan Kulenović

98

deformacija £-max, najveća kutna deformacija / max i si., mogu imati utjecaj na pojavu njegovog kritičnog stanja tj. loma ili plastičnog (trajnog) deformiranja. Ako je štap opterećen bilo kojom kombinacijom takvih osnovnih opterećenja, radi se o složenom opterećenju, što podrazumijeva i složeno stanje naprezanja (dvoosno ili troosno). U tom je slučaju teško dati odgovor koji od navedenih faktora ima najveći utjecaj na kritično stanje, je r se svi oni pojavljuju istodobno i međusobno su neodvojivi, a bitan utjecaj imaju i svojstva materijala konstrukcijskog elementa. Teorijsko riješenje ovoga problema još nije pronađeno, a eksperimenti kojim bi se utvrdila pojava kritičnog stanja za sve moguće kombinacije utjecajnih faktora, bili bi skupi, dugotrajni a često i tehnički neizvedivi. Zbog toga pojavile su se različite hipoteze o slomu materijala ili teorije čvrstoće, koje nastoje predvidjeti pojavu kritičnog stanja pri složenom opterećenju konstrukcijskog elementa, na osnovi eksperimentalnih podataka dobivenih pri rastezanju. Svaka od takvih teorija čvrstoće uzima jedan od faktora kao najutjecajniji, a zatim pretpostavlja da (T j kritično stanje složeno opterećenog elementa nastaje onda kada maksimalna vrijednost najutjecajnijeg faktora dostigne graničnu vrijednost istog faktora, pri kojoj se aksijalno opterećeni štap izrađen od istog materijala lomi 0 * 1 ili plastično deformira. Zato se uvodi pojam ekvivalentnog naprezanja a ukv, jednoosnog naprezanja koje izaziva isto stanje kao i složeno naprezanje štapa. V ažnost teorija čvrstoće je u tome da omogućuju procjenu čvrstoće nekog konstrukcijskog elementa bez provođenja ispitivanja neposredno do loma, odnosno trajnih deformacija.

Slika 14.1

Postoji više teorija čvrstoće ali nijedna od njih nije sveobuhvatna, tj. nije upotrebljiva za sve vrste materijala. N avest ćemo samo najvažnije teorije čvrstoće, koje su se potvrdile u praksi. Sve one polaze od glavnih naprezanja cr, > cr, > cr3, slika 14.1. 1. Teorija najvećeg norm alnog naprezanja Ovo je najstarija teorija prema kojoj kritično stanje nastupa kada najveće normalno naprezanje dostigne kritičnu vrijednost. Od triju glavnih naprezanja mjerodavno je samo ono koje ima najveću apsolutnu vrijednost. Uvjet čvrstoće tada glasi: ^ •v = a™ , ^ o d gdje je:

(14.1)

crekv - ekvivalentno naprezanje (u općem slučaju to je određena kombinacija

naprezanja),

2.

99

Teorija najvećeg tangencijalnog naprezanja

Prema toj teoriji kritično stanje nastupa kada najveće tangencijalno kritičnu vrijednost. Uvjet čvrstoće glasi: (14.2)

max

Kako je kod troosnog stanja naprezanja r max =

cr, - a. ^

i rd =

pa izraz (14.2) postaje:

(14.3) Za dvoosno stanje naprezanja (ct 3 = 0 ) , taj izraz poprima oblik: (14.4) Ova teorija daje dobre rezultate kod rastezljivih materijala.

3.

Teorija najveće distorzijske energije

Ovo je novija teorija koja se naziva i H M H teorijom čvrstoće, prema autorima koji su na njoj radili (M. T. Huber, R. von Mises, H. Hencky). Pod utjecajem vanjskog opterećenja tijelo se deformira, pri čemu ono m ijenja svoj oblik i volumen. Rad vanjskih sila pri tome se pretvara u potencijalnu energiju deformiranja, koja se jednim dijelom troši na promjenu oblika tijela i naziva energija distorzije, a njezin drugi dio otpada na promjenu volumena tijela i nosi naziv energija dilatacije. Prema ovoj teoriji, kritično stanje nastaje kad gustoća distorzijske energije dostigne kritičnu vrijednost. Uvjet čvrstoće tada glasi:

uM < (uJd

(14.5)

gdje je: Uod - gustoća distorzijske energije, (UM )d - dopuštena gustoća distorzijske energije. U nauci o čvrstoći izvodi se izraz za gustoću distorzijske energije preko glavnih naprezanja u sljedećem obliku: (14.6)

Dopuštena gustoća distorzijske energije dobije se uvrštavanjem a , = a d i cr2 = c r 3 = 0 (jednoosno stanje naprezanja) u izraz (14.6) i iznosi: (14.7)

Zlatan Kulenović

100

Ako se u uvjet čvrstoće (14.5) uvrste izrazi (14.6) i (14.7), konačno slijedi:

(14.8)

Za dvoosno stanje naprezanja (
Slika 14.2

14.2 AKSIJALNO OPTEREĆENJE I SAVIJANJE ŠTAPOVA

Razmotrimo prizm atični štap pravokutnog presjeka koji je istovremeno opterećen na vlak silama F i momentim a M n a savijanje u ravniniyz, kako to pokazuje slika 14.3. U nekom poprečnom presjeku z štapa uslijed uzdužne sile N = F, pojavljuje se normalno naprezanje cr'2 koje iznosi:

(14.10)


101

M om ent savijanja M X = M , u istom presjeku uzrokuje pojavu normalnog naprezanja a " koje glasi: »

Mr M = —- y

(14.11)

Slika 14.3 U kupno normalno naprezanje u nekoj točki promatranog presjeka, dobiva se algebarskim zbrajanjem naprezanja izazvanih aksijanim opterećenjem i savijanjem, tj: <7 — CT + <7 = — f- — —y 1 ■ A I y n

n

i T

X

©

Slika 14.4

(14.12)

Zlatan Kulenović

102

N a slici 14.4, prikazana je raspodjela naprezanja po visini poprečnog presjeka štapa zbog aksijalnog opterećenja i savijanja, te ukupnog naprezanja nakon njihovog zbrajanja. Očigedno je da se ekstremne vrijednosti normalnog naprezanja javljaju na gornjem odnosno donjem rubu presjeka štapa, te da se razlikuju po veličini i predznaku. Ovo znači da se neutralna os n-n ne poklapa s osi x, već je paralelno pomaknuta i dijeli presjek na dvije nejednake zone, tlačnu i vlačnu. Pošto predznaci ispred komponenata naprezanja cr' i er" ovise od smjerova unutrašnjih sila N odnosno M x u promatranom presjeku, veličina maksimalnog normalnog naprezanja cr.max u općem slučaju može se dobiti na osnovi izraza:

CTzmax= ± — ± — A Wr

(14.13)

PRIMJER 21

Dimenzionirati pravokutni poprečni presjek okvira stege (h = ?), koja je nakon pritezanja opterećena kako to pokazuje slika. Koliki je u tom slučaju pomak neutralne osi poprečnog presjeka? Zadano: F = 20 kN , / = 120 mm , b = 20 mm , a d = 120M Pa .

a ;

N

N

103


H orizontalni dio okvira stege možemo promatrati kao štap pravokutnog popračnog presjeka koji je složeno opterećen aksijalno i na savijanje. U svakom presjeku toga dijela, unutrašnje sile imaju veličine: N = F i M x = F - l . N a slici je pokazana raspodjela normalnih naprezanja po visini presjeka okvira, izazvanih uzdužnom silom N i momentom savijanja M , . M aksimalno naprezanje pojavljuje se u točki A na gornjem rubu presjeka, pa uvjet čvrstoće glasi: N M F F- I ^ ma x = < m„ + < max= 7 + ^ r ^ Hi + ~bhr ~
N akon uvrštavanja zadanih podataka, slijedi:

120h 2 - h - 0,72 > 0 [m].

Ova kvadratna jednadžba ima dva rješenja. Usvajamo pozitivno rješenje, što znači da je potrebna visina poprečnog presjeka tijela stege h = 0,082 m = 82 mm.

Jednadžba neutralne osi je:

N +— M *- v = a, =— A I

ili

F F -l ----+ —i i 3r - j' = V. ih + bh3

0

0

.

12 Rješavanjem ove jednadžbe, nakon sređivanja, dobiva se pomak y = -4 ,6 7 m m .

v

neutralne osi

n-n :

14.3 SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPOVA OKRUGLOG PRESJEKA

N eka je štap kružnog poprečnog presjeka istodobno opterećen na savijanje momentom M X = M i na uvijanje momentom M z = M n koji su na slici 14.5 prikazani svojim vektorima. U točkam a bilo kojeg poprečnog presjeka štapa koje ne leže na osi z, javlja se normalno naprezanje a 2 zbog momenta savijanja i tangencijalno naprezanje r zbog momenta uvijanja, što znači da u tim točkama vlada dvoosno stanje naprezanja. Slika 14.6, daje raspodjelu ovih naprezanja po poprečnom presjeku štapa. Najveće normalno naprezanje crmax pojavljuje se o točkama A i B presjeka koje su najudaljenije od osi x, dok najveće tangencijalno naprezanje r max djeluje po čitavom obodu kružnog presjeka.

Zlatan Kulenović

104

Slika 14.5

Slika 14.6 Maksmalna naprezanja u točkama A i B kružnog presjeka iznose: M .M * JVmax = ---, > i

M' Tmax = T = --j -

M , _ M,

(14.14)

Wp

Napregnuti elementi oko točaka A i B s ucrtanim naprezanjima, zorno su prikazani su na slici 14.7 u prostornoj i ravninskoj projekciji. Na osnovi izraza (12.12), slijede veličine glavnih naprezanja u točkama A i B

Čvrstoća materijala

Recommend Documents