UIS ´ ESCUELA DE MATEMATICAS CALCULO 2 ´ VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCI ON
Resumen
Ejercicios planteados de volumenes solidos de revoluci´ on on
Al tratar de hallar el volumen de un s´ olido, encaramos el mismo tipo de olido, problemas que al buscar ´areas. areas. Tenemos una idea intuitiva de lo que significa volumen, pero debemos afinarla aplicando el c´alculo alculo para dar una definici´on on exacta de volumen. 1.
C´ alculo alc ulo de vol´ umenes umenes de s´ olidos olidos con los m´ etodos etodos de rebanadas, discos y anillos
1. Encuentr Encuentree el volumen del s´ olido olido S descrito. a )
Un cono circular recto con altura h y radio r de la base
b)
Una piramide con altura h y base rectangular con dimensiones b y 2b.
c)
Un tetraedro tetraedro con 3 caras mutuamente mutuamente perpendiculare perpendicularess y tres aristas aristas mutuamente perpendiculares con longitudes de 3 cm, 4 cm y 5 cm .
d )
La base base de S es una una regi´ region o´n el´ıptica ıpt ica con c on la curva c urva frontera fro ntera99x2 +4y 2 = 36. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son tri´ angulos angulos rect´ angulo angulo is´ osceles con la hipotenusa en la base. osceles
2. La base de S es un disco circular con radio r. Las secciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, son tri´angulos angulos is´ osceles osceles con altura h y lado desigual en la base. a )
Establezc Establezca a una integral integral para obtener obtener el volumen volumen de S.
b)
Interprete la integral como un ´area area y encuentre el volumen de S.
3. Halle el volumen com´un un a dos esferas, cada una con radio r, si el centro de cada una se encuentra sobre la superficie de la otra. 4. Un taz´on on tiene una forma semejante a un hemisferio con un di´ametro ametro de 30 cm. Se coloca una pelota con di´ametro ametro de 10 cm dentro del taz´on on y se vierte agua en ´este este hasta una profundidad profund idad de h cent´ cent´ımetros. ımetros . Encuentre Enc uentre el volumen del agua en el taz´on. on. 1
5. Algunos de los pioneros del c´alculo, Kepler y Newton por ejemplo, pensaron en el problema de determinar los vol´umenes de las barricas de vino. (Kepler de hecho en 1715 public´o un libro dedicado a los m´etodos para calcular esos vol´ umenes con el t´ıtulo Stereometr´ıa Doliorum.) En ocasiones aproximaban el perfin lateral con p´arabolas. a )
Una barrica de altura h y radio m´ aximo R se construye haciendo girar alrededor del eje de abscisas, la p`arabola y = R cx2 ,
−h ≤ x ≤ 2
h
2
−
, donde c es una constante positiva. Muestre que el 2
radio en los extremos del tonel es r = R b)
− d, con d = ch4
.
Muestre que el volumen comprendido es V = πh (2R2 + r2
− 25 d ) 2
6. Consideremos una regi´ on R que tiene ´area A situada arriba del eje x. Al girar R alrededor del eje x, barrer´a un s´ olido con volumen V 1 . Cuando R gira alrededor de la recta y = k (donde k es un n` umero positivo),barre un s´ olido de volumen V 2 . Exprese V 2 en t´erminos V 1 ,k y A.
−
7. Obtenga la f´ormula del volumen de una esfera generada al hacer girar alrededor del eje x la regi´on acotada por el c´ırculo x2 + y 2 = r2 y el eje x. 8. Obtenga la f´ ormula del volumen de un cono circular recto de altura h y un radio de base a, generado al hacer girar la regi´on acotada por un tri´angulo rect´ angulo alrededor de uno de los catetos. 9. Calcule el volumen del s´olido generado cuando la regi´on limitada por la π π curva y = csc x, el eje x y las rectas x = y x = se gira alrededor del 6 3 eje x. π
10. La regi´on acotada por la curva y = cot x, la recta x = , y el eje x gira 6 alrededor del eje x. Calcule el volumen del s´olido que se genera. 11. Un tanque de aceite (de forma esf´erica ) tiene 20 cm de di´ ametro. ¿ Cu´anto aceite contiene si la profundidad del aceite es 8 metros? 12. Un paraboloide de revoluci´ on se obtiene por la rotaci´on de la par´abola y2 = 4 px alrededor del eje x. Encuentre el volumen limitado por un paraboloide de revoluci´on y un plano perpendicular a su eje si el plano se encuentra a 10 cm del v´ ertice, y si la secci´on plana de la intersecci´on es un circunferencia de 6 cm de radio. 13. La base de un s´olido es la regi´on encerrada por una circunferencia con radio de 4 cm y todas las secciones planas perpendiculares a un di´ametro fijo de la base, son tri´angulos is´ osceles con altura de 10 cm y una cuerda del c´ırculo como base. Obtenga el volumen del s´ olido. 2
14. La base de un s´olido es la regi´on acotada por una circunferencia con radio de r unidades,y todas las secciones planas perpendiculares a un di´ametro fijo de la base son tri´ angulos is´ osceles rectos,cuya hipotenusa est´a en el plano de la base. Encuentre el volumen del s´olido. 15. Resuelva el ejercicio anterior si los tri´angulos is´ osceles rectos tienen un cateto en el plano de la base. 16. Dos cilindros circulares rectos, ambos con radio r unidades, tienen ejes que se cortan con ´angulos rectos. Obtenga el volumen del s´olido com´ un a los dos cilindros. 17. Se corta una cu˜ na de un s´ olido con forma de cilindro circular recto y radio r cm, por medio de un plano a trav´ es de un di´ametro de la base, inclinado o 45 con respecto al plano de ´esta. Obtenga el volumen de la cu˜na. 18. Se corta una cu˜ na de un s´olido con forma de cono circular recto con base de radio igual a 5 m y una altura de 20 m, por medio de dos semiplanos que contienen los ejes del cono. El ´angulo entre los dos planos mide 30o . Determine el volumen de la cu˜ na. 2.
C´ alculo de vol´ umenes mediante cascarones cil´ındricos
1. Emplee cascarones c`ılindricos para calcular el volumen de los s´olidos que se describen a continuaci´on. a )
Una esfera de radio r.
b)
Un cono circular recto, con altura h y base de radio r.
2. La regi´on limitada por las curvas x = y 2 2yx = 6 y2 gira alrededor de los ejes indicados. Determine el volumen del s´olido generado.
−
a )
El eje x.
b)
El eje y.
c)
La recta x = 2.
d )
La recta y = 2.
−
3. Halle el volumen del s´olido generado por el giro de la regi´on delimitada por la gr´afica de y = 4x recta x = 2. .
−
x4
8
, el eje y y la recta y = 6, con respecto a la
4. Obtenga el volumen del s´ olido generado por la revoluci´on de la regi´on del ejercicio anterior con respecto al eje y. 5. Obtenga el volumen del s´olido generado por la revoluci´on alrededor del eje y de la regi´on limitada por la gr´ afica y = 3x x3 , el eje x y la recta x = 1.
−
3
6. Encuentre el volumen del s´olido generado por la rotaci´on,alrededor de la recta y = 1, de la regi´on limitada por dicha recta y la p´arabola x2 = 4y . Considere elementos rectangulares de ´area paralelos al eje de revoluci´on. 7. Determine el volumen del s´olido generado por la rotaci´on, alrededor del ejex, de la regi´on acotada por las curvasy = x3 y x = y 3 . Considere elementos rectangulares de ´area paralelos al eje de revoluci´on. 8. Encuentre el volumen del s´olido generado por la rotaci´on, alrededor del eje y, de la regi´on limitada por la curva y = sen x2 , el eje x y las rectas x=
√π 2
yx=
√π
9. Calcule el volumen del s´ olido generado por la rotaci´on, alrededor del ejey , de la regi´on acotada por la curva x2/3 + y 2/3 = a2/3 . 10. La regi´ on del primer cuadrante delimitada por la curva x = cos y 2 , el eje y y el eje x, 0 x 1, se hace girar alrededor del eje x. Obtenga el volumen del s´olido de revoluci´on que se genera.
≤≤
11. A trav´ es de un s´ olido de forma esf´erica de 6 cm de radio, se produce un orificio de 2 cm de radio, y el eje del hueco es un di´ametro de la esfera. Obtenga el volumen de la parte de la esfera que queda despu´es de la perforaci´ on. 12. En un s´ olido de forma esf´erica de 4 plg de di´ametro se hace un orificio de 2 3 plg de radio. Halle el volumen de la porci´on hueca del s´olido.
√
13. Obtenga el volumen del s´olido generado por la revoluci´on con respecto al eje y de la regi´on delimitada por la gr´afica de y = x 3 , y las rectas x = 1,x = 5 y y = 0. Considere elementos rectangulares de ´ area paralelos al eje de revoluci´on.
| − |
14. Un s´ olido de revoluci´ on se forma al hacer girar alrededor del eje y la regi´ on delimitada por la curva y = x, el eje x y la recta x = c(c > 0). Tome elementos rectangulares de ´area paralelos al eje de revoluci´on para determinar un valor de c que produzca un volumen de 12 unidades c´ubicas.
√ 3
15. Calcule el volumen del s´olido generado por la revoluci´on alrededor del eje on externa a la curva y = x2 situada entre las rectas y = 2x 1 y, de la regi´ y y = x + 2.
−
16. Una esfera con radio de 10 cm es cortada por dos planos paralelos en el mismo lado del centro de la esfera. La distancia del centro de la esfera a uno de los planos es 1cm y la distancia entre los dos planos es 6 cm. Calcule el volumen de la porci´on s´ olida de la esfera entre los dos planos.
4
