345
5.1.6.2. Neuravnoteženi Vitstonov most (metoda skretanja) Pored uravnoteženog Vitstonovog mosta u nultoj metodi često se koristi i nepotpuno uravnoteženi Vitstonov most u metodi skretanja. Nepotpuno uravnoteženi Vitstonov most u metodi skretanja koristi se obično u slučajevima kada vrednost merene otpornosti odstupa neznatno od ravnotežne vrednosti. Kada je odstupanje ΔRx od ravnotežne vrednosti Rx0 malo (ΔRx << Rx0 ) struja merne dijagonale je srazmerna ovom odstupanju ΔRx. Najčešće se smatra da se most napaja stalnim naponom U = const, što odgovara slučaju da je unutrašnja otpornost izvora napajanja zanemarljivo mala (R0 ≈ 0). Drugi, suprotan slučaj je da se most napaja stalnom strujom I = const, što odgovara slučaju da je unutrašnja otpornost izvora napajanja velika prema ekvivalentnom otporu mosta (R0 >> Rem). Da bi izveli izraz za struju merne dijagonale Ig posmatraćemo prvo most napajan stalnim naponom kao što je naznačeno na slici 5.20.
Ig = I5
Sl. 5.20. Vitstonov most napajan stalnim naponom Primenjujući Kirhofove zakone možemo napisati sledeće jednačine: Za čvor B važi: I 2 = I1 − I 5
(1)
346
Za čvor D važi: I 4 = I3 + I5
(2)
Za kolo ABDA važi: I1 R1 + I 5 R5 − I 3 R3 = 0
(3)
Za kolo BCDB važi: I 5 R5 + I 4 R4 − I 2 R2 = 0
(4)
odnosno, s obzirom na jednačine (1) i (2):
− I1 R2 + I 3 R4 + I 5 (R2 + R4 + R5 ) = 0
(4')
Za kolo ABCVA važi: − I1 R1 − I1 R2 + I 5 R2 + U = 0
(5)
Rešenjem po I3 jednačine (3) dobija se: I3 =
I1 R1 + I 5 R5 R3
Uvrštenjem u jednačlnu (4′) dobija se: I1 (R1 R4 − R2 R3 ) + I 5 [R5 (R3 + R4 ) + R3 (R2 + R4 )] = 0 (4'')
Rešenjem po I1 jednačine (5) dobija se:
I1 =
U + R2 I 5 R1 + R2
.
Uvrštenjem u jednačinu (4") i rešenjem po I5 dobija se:
I5 =
U (R2 R3 − R1 R4 ) R5 (R1 + R2 )(R3 + R4 ) + R1 R3 (R2 + R4 ) + R2 R4 (R1 + R3 )
.
Možemo do izraza za struju merne dijagonale neuravnoteženog mosta doći i na mnoge druge načine. Prikazaćemo jedan od njih, a to je postupak superpozicije. Za početak uzmimo da nulti indikator sa šeme sa slike 5.18. nije vezan. Za napon UBD možemo pisati:
347
U BD = U AB − U AD
,
odnosno, prema šemi:
U BD = R1 I1 − R3 I 3
.
Za struju gornje grane mosta prema šemi sa slike 5.18. imamo:
I1 =
U R1 + R2
,
a za struju donje grane mosta: I3 =
U R3 + R4
.
Uvrstivši izraze za struje I1 i I3 u izraz za napon UBD dobijamo: ⎛ R1 R1 R4 − R2 R3 R3 ⎞ ⎟⎟ = U − U BD = U ⎜⎜ (R1 + R2 ) (R3 + R4 ) ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
.
Za struju merne dijagonale IBD imaćemo: I BD =
U BD Rg + Rem
,
gde je Rg otpornost nultog indikatora, a Rem ekvivalentna otpornost mosta posmatrano iz čvorova B i D. Kako je u ovom slučaju predpostavijeno da se most napaja stalnim naponom U, to je otpornost izvora napajanja R0 = 0, pa će se na osnovu šeme sa slike 5.21. za ekvivalentnu otpornost mosta napajanog stalnim naponom imati: Rem =
R1 R2 R R + 3 4 R1 + R2 R3 + R4
.
348
Sl. 5.21. Most napajan stalnim naponom. Određivanje ekvivalentne otpornosti RBD Za struju merne dijagonale IBD dobija se: R1 R4 − R2 R3 U (R1 R4 − R2 R3 ) (R1 + R2 ) (R3 + R4 ) = . = R3 R4 R1 R2 Rg (R1 + R2 ) (R3 + R4 ) + (R1 + R2 ) R3 R4 + R1 R2 (R3 + R4 ) Rg + + R1 + R2 R3 + R4 U
I BD
Za napon merne dijagonale UBD dobija se: U BD = Rg I BD =
U (R1 R4 − R2 R3 ) (R1 + R2 ) (R3 + R4 ) + (R1 + R2 ) R3 R4 + R1 R2 (R3 + R4 ) Rg
.
Ako se u prvoj grani mosta nalazi merena otpornost Rx koja od svoje ravnotežne vrednosti Rx0 odstupa za ΔRx, dakle: R1 = Rx = Rx 0 + ΔRx =
R2 R3 + ΔRx R4
,
za struju merne dijagonale se dobija: I BD =
U ΔRx R4 Rg (Rx 0 + R2 )(R3 + R4 ) + (Rx 0 + R2 ) R3 R4 + Rx 0 R2 (R3 + R4 ) +
[
]
+ ΔRx Rg (R3 + R4 ) + R3 R4 + R2 (R3 + R4 )
,
349
a za napon merne dijagonale UBD: U BD =
U ΔRx R4
(Rx 0 + R2 ) (R3 + R4
) + (Rx 0 + R2 ) R3 R4 + Rx 0 R2 (R3 + R4 ) + Rg
⎡ R R + R2 (R3 + R4 )⎤ + ΔRx ⎢(R3 + R4 ) + 3 4 ⎥ Rg ⎢⎣ ⎥⎦
.
Kod neuravnoteženih mostova nejčešće su otpornosti sve četiri grane jednake, pa potom jedna od njih odstupa za ΔRx. Dakle: Rx 0 = R2 = R3 = R4 = R
.
U ovakvom slučaju obrazac za struju IBD se pojednostavijuje i postaje: I BD =
U ΔR x 4 R (Rg + R ) + ΔRx (2 Rg + 3R )
.
Za napon merne dijagonale UBD dobija se tada: U BD =
U ΔRx ⎛ ⎛ R ⎞⎟ R + ΔRx ⎜ 2 + 3 4 R ⎜1 + ⎜ R ⎟ ⎜ Rg g ⎠ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
.
Ako je odstupanje ΔRx od ravnotežne vrednosti Rx0 malo (ΔRx << Rx0), dobijaju se uprošćeni obrasci za struju i napon merne dijagonale: I BD =
U ΔRx 4 R (Rg + R )
U BD =
U ΔR x 4 R (1 + R Rg )
i
S obzirom da u ovim uprošćenim obrascima postoji linearna zavisnost između odstupanja ΔRx i struje IBD, odnosno napona UBD, nazivaju ovi obrasci linearizovanim.
Posmatraćemo sada Vitstonov neuravnoteženi most napajan stalnom strujom kao što je to naznačeno na slici 5.22.
350
Sl. 5.22. Vitstonov most napajan stalnom strujom Primenjujući Kirhofove zakone, možemo napisati sledeće jednačine: Za čvor A važi: I = I1 + I 3
,
odavde: I 3 = I1 − I
(1)
Za čvor B važi: I1 = I 5 + I 2
I g = I5
odavde:
I 2 = I1 − I 5
(2)
Za čvor C važi: I = I2 + I4
odavde:
I 4 = I − I 2 = I − I1 + I 5
(3)
Za kolo ABDA važi:
I1 R1 + I 5 R5 − I 3 R3 = 0
(4)
351
Odnosno, s obzirom na jednačinu (1):
I1 (R1 + R3 ) + I 5 R5 − I R3 = 0 odavde:
I1 =
(4')
I R3 − I 5 R5 R1 + R3
(4")
Za kolo CBDC važi:
I 2 R2 − I 5 R5 − I 4 R4 = 0
(5)
odnosno, s obzirom na jednačine (2) i (3):
I1 (R2 + R4 ) − I 5 (R2 + R4 + R5 ) − I R4 = 0
(5')
Uvrštava juću jednačinu (4") u jednačinu (5) dobija se:
I [(R2 + R4 ) R3 − (R1 + R3 ) R4 ] − I 5 [(R2 + R4 ) R5 − (R1 + R3 )(R2 + R4 + R5 )] = 0 Odavde se za struju merne dijagonale dobija:
I5 =
I (R2 R3 − R1 R4 ) R5 (R1 + R2 + R3 + R4 ) + (R1 + R3 )(R2 + R4 )
.
Kao i u slučaju mosta napajanog stalnim naponom možemo do izraza za struju merne dijagonale neuravnoteženog mosta napajanog stalnom strujom doći i na mnoge druge načine. Prikazaćemo i u ovom slučaju postupak superpozicije. Predpostavimo da nulti indikator na šemi sa slike 5.20 nije vezan. Za napon UBD možemo pisati: U BD = U AB − U AD , odnosno, prema šemi sa slike 5.20:
U BD = R1 I1 − R3 I 3
.
Za jačinu struje gornje grane mosta prema šemi sa slike 5.20. imamo:
I1 = I
R3 + R4 R1 + R2 + R3 + R4
.
Za struju donje grane mosta prema šemi sa slike 5.20. imamo:
I3 = I
R1 + R2 R1 + R2 + R3 + R4
.
352
Uvrstivši izraze za struje I1 i I3 u izraz napona UBD dobijamo:
U BD = I
R1 (R3 + R4 ) − R3 (R1 + R2 ) R1 R4 − R2 R3 =I R1 + R2 + R3 + R4 R1 + R2 + R3 + R4
.
Za struju merne dijagonale IBD imaćemo: I BD =
U BD Rg + Rem
,
ade je Rg otpornost nultog indikatora, a Rem ekvivalentna otpornost mosta posmatrano iz čvorova B i D. Kako je u ovom slučaju predpostavljeno da se most napaja stalnom strujom I, to je otpornost izvora napajanja vrlo velika (R0 ≈ ∞), pa se na osnovu šeme sa slike 5.23. za ekvivalentnu otpornost mosta napajanog stalnom strujom dobija:
Rem =
(R1 + R3 )(R2 + R4 ) R1 + R2 + R3 + R4
.
Sl. 5.23. Most napajan stalnom strujom. Određivanje ekvivalentne otpornosti Rem Za struju merne dijagonale IBD dobija se:
353
R1 R4 − R2 R3 I (R1 R4 − R2 R3 ) R1 + R2 + R3 + R4 = = ( R1 + R3 )(R2 + R4 ) Rg (R1 + R2 + R3 + R4 ) + (R1 + R3 )(R2 + R4 ) Rg + R1 + R2 + R3 + R4 I
I BD
.
Za napon merne dijagonale UBD dobija se: U BD = Rg I BD =
I (R1 R4 − R2 R3 ) (R + R3 )(R2 + R4 ) R1 + R2 + R3 + R4 + 1 Rg
.
Ako se u prvoj grani mosta nalazi merena otpornost Rx, koja od svoje ravnotežne vrednosti Rx0 odstupa za ΔRx, dakle:
R1 = Rx = Rx 0 + ΔRx =
R2 R3 + ΔRx , R4
za struju merene dijagonale se dobija: I BD =
I ΔRx R4 Rg (Rx 0 + R2 + R3 + R4 ) + (Rx 0 + R3 )(R2 + R4 ) + ΔRx (Rg + R2 + R4 )
.
Za napon merne dijagonale UBD dobija se:
I ΔRx R4
U BD = Rx 0 + R2 + R3 + R4 +
(Rx 0 + R3 )(R2 + R4 ) + ΔR Rg
x
⎛ R2 + R4 ⎞ ⎟ ⎜1 + ⎟ ⎜ R g ⎠ ⎝
Kao što je rečeno, kod neuravnoteženih mostova, najčešče su otpornosti sve četiri grane jednake, a jedna od njih odstupi od ravnotežne vrednosti za ΔRx. Dakle:
Rx 0 = R2 = R3 = R4 = R
.
Obrazac za struju merne dijagonale IBD se pojednostavljuje i postaje:
354
I BD =
I ΔR x
.
⎛R ⎞ 4 (Rg + R ) + ΔRx ⎜⎜ g + 2 ⎟⎟ ⎝ R ⎠
Za napon merne dijagonale UBD, dobija se: U BD =
I ΔR x ⎛ ⎛1 2 R ⎞⎟ + ΔR x ⎜ + 4 ⎜1 + ⎜ R ⎟ ⎜R R g ⎠ g ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
.
Ako je odstupanje ΔRx od ravnotežne vrednosti Rx0 malo (ΔRx << Rx0), dobijaju se uprošćeni obrasci za struju i napon merne dijagonale: I BD =
U BD =
I ΔR x 4 (Rg + R )
I ΔRx ⎛ R 4 ⎜1 + ⎜ R g ⎝
i
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
.
Kao što je rečeno, ovi se obrasci nazivaju linearizovanim, s obzirom da u njima postoji linearna zavisnost IBD i UBD od ΔRx.
5.1.7. Tomsonov most Rečeno je da je Vitstonov most podesan za merenje otpornosti srednjih, pa i velikih, vrednosti u granicama od 1 Ω do 1 MΩ, pa i 100 MΩ. Međutim, za merenje otpornosti malih vrednosti nije podesan, jer se u slučaju merenja otpornosti male vrednosti ne mogu da zanemare otpornosti veza kojima je mereni otpornik Rx vezan za čvorove A i B (vidi šemu slike 5.20). Stoga je za merenje otpornosti malih vrednosti razvijen dupli Tomsonov most (neki ga nazivaju i Kelvinov most, jer je Tomson za zasluge postao Lord Kelvin). Šema veza Tomsonovog mosta predstavljena je na slici 5.24. U samom mostu obično su ugrađeni otpornici R1, R2, R3 i R4. Rs je standardni otpornik, a Rx otpornik čija se otpornost meri. Otpornici Rs i Rx vezani su međusobno provodnikom male otpornosti Rk, (kratka veza). Kroz
