Vibración libre - Dinámica estructural

Ingeniería Sísmica - Tarea 1 M.C. con Especialidad en Ingeniería y Administración Administración de la Construcción

1. Determine y grafique la respuesta de un sistema de un grado de libertad bajo las siguientes condiciones. a) Vibración libre no amortiguada a.1)

Periodo fundamental:

T ≔ 0. 5 s

Desplazamiento inicial:

y0 ≔ 2 cm

Velocidad inicial:

y' 0 ≔ 0.6

cm

v0 ≔ y' 0

s

Cálculos:

ω≔

Frecuencia angular:

2

ω = 1 2. 5 7

T

Vibración libre no amortiguada para cada intervalo:

y t

rad s

y t ≔ y0 ⋅ cos ω ⋅ t ⋅ s +

v0 ω

⋅ sin ω ⋅ t ⋅ s

cm 0.25

0. 7 5

2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

0.35

0.7

1.05

1.4

1.75

2.1

2.45

2.8

3.15

3.5

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

t

(1)


a) Vibración libre no amortiguada a.2)


T≔3⋅s


y0 ≔ 2 cm

Velocidad inicial:

y' 0 ≔ 0.6

cm

v0 ≔ y' 0

s

Cálculos:

2 ω≔― T

Frecuencia angular:

ω = 2. 0 9

Vibración libre no amortiguada para cada intervalo:

y t

rad

― s

y t ≔ y0 ⋅ cos ω ⋅ t ⋅ s +

v0 ω

⋅ sin ω ⋅ t ⋅ s

cm 0. 0 7

3.07

2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

0.35

0.7

1.05

1.4

1.75

2.1

2.45

2.8

3.15

3.5

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

t

(2)


b) Vibración libre amortiguada b.1)


T ≔ 0. 5 s


y0 ≔ 2 cm y' 0 ≔ 0.6

Velocidad inicial: Relación de amortiguamiento:

cm

―

v0 ≔ y' 0

s

ξ ≔ 0. 0 5

Cálculos:

2

Frecuencia angular:

ω≔

Frecuencia angular amortiguada:

ω D ≔ ω ⋅

Coeficiente de fase:

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾2 ⎛ v0 + y0 ⋅ ξ ⋅ ω ⎞ A ≔ y0 2 + ⎜ ⎟ ω D ⎝ ⎠

T

‾‾‾‾ 1 − ξ2

y t ≔

Vibración libre amortiguada:

−ξ ⋅ ω ⋅ t ⋅ s

rad

ω D = 12.55

⎛ y0 ⋅ ω D ⎞ ϕ ≔ atan ⎜――― ⎟ ⎝ v0 + y0 ⋅ ξ ⋅ ω ⎠

Angulo de fase:

y t

ω = 1 2. 5 7

s rad

― s

A= 2.01 cm

ϕ = 1. 5

A ⋅ sin ω D ⋅ t ⋅ s + ϕ

cm 2 1.6 1.2 0.8 0.4 0

0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

3.6

4.2

4.8

5.4

6

-0.4 -0.8 -1.2 -1.6 -2

t

(3)


b) Vibración libre amortiguada b.2)


T ≔ 0. 5 s


y0 ≔ 2 cm y' 0 ≔ 0.6

Velocidad inicial: Relación de amortiguamiento:

cm

―

v0 ≔ y' 0

s

ξ ≔ 0. 2

Cálculos:

2

Frecuencia angular:

ω≔

Frecuencia angular amortiguada:

ω D ≔ ω ⋅

Coeficiente de fase:

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾2 ⎛ v0 + y0 ⋅ ξ ⋅ ω ⎞ A ≔ y0 2 + ⎜ ⎟ ω D ⎝ ⎠

T

‾‾‾‾ 1 − ξ2

y t ≔

Vibración libre amortiguada:

−ξ ⋅ ω ⋅ t ⋅ s

rad

ω D = 12.31

⎛ y0 ⋅ ω D ⎞ ϕ ≔ atan ⎜――― ⎟ ⎝ v0 + y0 ⋅ ξ ⋅ ω ⎠

Angulo de fase:

y t

ω = 1 2. 5 7

s rad

― s

A= 2.05 cm

ϕ = 1. 3 5

A ⋅ sin ω D ⋅ t ⋅ s + ϕ

cm 2.1 1.75 1.4 1.05 0.7 0.35 0

0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

3.6

4.2

4.8

5.4

6

-0.35 -0.7 -1.05 -1.4

t

(4)


c) Vibración armónica no amortiguada c.1)

Po/k:

yst ≔ 1 cm

Desplazamiento inicial: y0 ≔ 0 cm

y' 0 ≔ 0

Velocidad inicial:

cm

―

Periodo de la carga:

T c ≔ 0.5 s


T ≔ 0 .5 s

v0 ≔ y' 0

s

Cálculos:

Frecuencia angula:

2 ω≔― T

Frecuencia angular de carga:

ωc ≔

Angulo de fase:

2

ωc = 12.57

T c

rad

― s

rad s

Vibración armónica no amortiguada:

‖ ω c y t ≔ ‖ if ＝1 ‖ ω ‖ ‖ 1y ‖ ‖ −― st ω ⋅ t ⋅ s ⋅ cos ω ⋅ t ⋅ s − sin ω ⋅ t ⋅ s ‖ ‖ 2 ‖ ‖ else ‖ ‖ | | 1 sin ω ⋅ t ⋅ s − ϕ ‖ ‖ yst ⋅ | 2| ⎛ ⎞ ‖ ω ‖ | | c 1 − ‖ ‖ | ⎝ω⎠ | ‖ ‖

ϕ ≔ ‖ if v0 ＝ 0 ‖ ‖ 0 ‖ else ‖ ⎛ ω ⋅ y0 ⎞ ‖ ‖ ‖ atan ⎜― ⎟ ‖ ⎝ v0 ⎠ ‖ ‖ ϕ=0

y t

ω = 1 2. 5 7

cm 37.5 30 22.5 15 7.5 0 -7.5

0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

3.6

4.2

4.8

5.4

6

-15 -22.5 -30 -37.5 -45

t

(5)


c) Vibración armónica no amortiguada c.2)

Po/k:

yst ≔ 1 cm


y' 0 ≔ 0

Velocidad inicial:

cm

―


T c ≔ 0.5 s


T ≔ 1 .0 s

v0 ≔ y' 0

s

Cálculos:

Frecuencia angula:

2 ω≔― T

Frecuencia angular de carga:

ωc ≔

Angulo de fase:

2

rad

―

ωc = 12.57

T c

s

rad s

Vibración armónica no amortiguada:

‖ ω c y t ≔ ‖ if ＝1 ‖ ω ‖ ‖ 1y ‖ ‖ −― st ω ⋅ t ⋅ s ⋅ cos ω ⋅ t ⋅ s − sin ω ⋅ t ⋅ s ‖ ‖ 2 ‖ ‖ else ‖ ‖ | | 1 sin ω ⋅ t ⋅ s − ϕ ‖ ‖ yst ⋅ | 2| ⎛ ⎞ ‖ ω ‖ | | c 1 − ‖ ‖ | ⎝ω⎠ | ‖ ‖

ϕ ≔ ‖ if v0 ＝ 0 ‖ ‖ 0 ‖ else ‖ ⎛ ω ⋅ y0 ⎞ ‖ ‖ ‖ atan ⎜― ⎟ ‖ ⎝ v0 ⎠ ‖ ‖ ϕ=0

y t

ω = 6. 2 8

cm 0.39 0.325 0.26 0.195 0.13 0.065 0 -0.065

0

0.6

1.2

1.8

2.4

3

3.6

4.2

4.8

5.4

6

-0.13 -0.195 -0.26 -0.325 -0.39

t

(6)


d) Vibración armónica amortiguada d.1) Po/k:

yst ≔ 1.0 cm


y' 0 ≔ 0

Velocidad inicial: v0 ≔ y' 0

cm

― s


T ≔ 0. 5 s


T c ≔ 0.5 s

Relación de amortiguamiento:

ξ ≔ 0.05

Cálculos:

2 ω≔― T 2 ωc ≔ T c

Frecuencia angula: Frecuencia angular de carga:

1− Coeficiente:

C ≔ yst ⋅

D ≔ yst ⋅

Coeficiente:

≔ A

ω

s

C = 0 cm

2

ωc ω

2

⎛ ⎛ ωc ⎞ ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎜1 − ⎟ + 2 ξ⋅ c ω⎠ ⎝ ⎝ω⎠⎠ ⎝

D= −10 cm

2

−D

A

A⋅ ξ⋅ ω− ωc ⋅C B ≔ ―――― ω

Coeficiente

s rad

ω D ≔ 0.995 0.995 ⋅ ω

ωc

⎛ ⎛ ωc ⎞ 2⎞ ⎛ ω ⎞ ⎜1 − ⎟ + 2 ξ⋅ c ω⎠ ⎝ ⎝ω⎠⎠ ⎝

2

Coeficiente:

ωc = 12.57

2

−2 ξ

rad

―

ω = 1 2. 5 7

10= cm

B= 0.5 cm

Vibración armónica amortiguada:

y t ≔

− ξ⋅ ω ⋅ t ⋅ s

y t

⋅ A ⋅ cos ω D ⋅ t ⋅ s + B ⋅ sin ω D ⋅ t ⋅ s

+ C ⋅ sin ωc ⋅ t ⋅ s + D ⋅ cos ωc ⋅ t ⋅ s

cm 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8 -10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

(7)


d) Vibración armónica amortiguada d.2) Po/k:

yst ≔ 1.0 cm


y' 0 ≔ 0

Velocidad inicial: v0 ≔ y' 0

cm

― s


T ≔ 0. 5 s


T c ≔ 1 s

Relación de amortiguamiento:

ξ ≔ 0.05

Cálculos:

2 ω≔― T 2 ωc ≔ T c

Frecuencia angula: Frecuencia angular de carga:

ω D ≔ 0.99 0.995 5⋅ω Coeficiente:

1− C ≔ yst ⋅

D ≔ yst ⋅

≔ A

ω

s rad s

C = 0.88 cm

2

ωc ω

2

⎛ ⎛ ωc ⎞ ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎜1 − ⎟ + 2 ξ⋅ c ω⎠ ⎝ ⎝ω⎠⎠ ⎝

D= −0. −0.09 cm

2

−D

A

A⋅ ξ⋅ ω− ωc ⋅C B ≔ ―――― ω

Coeficiente

rad

―

ωc

⎛ ⎛ ωc ⎞ 2⎞ ⎛ ω ⎞ ⎜1 − ⎟ + 2 ξ⋅ c ω⎠ ⎝ ⎝ω⎠⎠ ⎝

2

Coeficiente:

ωc = 6.28

2

−2 ξ Coeficiente:

ω = 1 2. 5 7

0.0=9 cm

B= −0. −0.44 cm

Vibración armónica amortiguada:

y t ≔

− ξ⋅ ω ⋅ t ⋅ s

y t

⋅ A ⋅ cos ω D ⋅ t ⋅ s + B ⋅ sin ω D ⋅ t ⋅ s

+ C ⋅ sin ωc ⋅ t ⋅ s + D ⋅ cos ωc ⋅ t ⋅ s

cm 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

(8)


2. Calcule la respuesta de un sistema de un grado de libertad sujeto a un pulso P(t) =Posen(πt/td), si:

td ≔ 0.5 s Datos de columna:

P 0 ≔ 500 kgf b ≔ 20 cm

W ≔ 1000 kgf h ≔ 20 cm

L ≔ 300 cm

Cálculos:

b ⋅ h3

Inercia de columnas:

I ≔

Módulo elástico:

E ≔ 15100

I= 1333 13333. 3.33 33cm cm 4

12 kgf 25 0 ― 2 ⋅ ‾‾‾ cm

Rigidez de columnas:

12 E ⋅ 2 I k ≔ ――― L3

Frecuencia angular:

ω≔

m≔

Masa:

kgf E= 23875 238751.9 1.96 6― cm 2 k = 2829 2829.6 .65 5

‾‾‾ k⋅

ω = 5 2. 6 8

W W

kgf

―

cm

rad

m = 10 1 0 1. 97

s s2 m

⋅ kgf

Integral de Duhamel

P 0 td y t ≔−

0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 0

⎛

⎛ t s ⎞⎞ sin ω t s − ω td sin ― ⎝ ⎝ td ⎠⎠ ω m ω 2 ⋅ td 2 −

2

y t

0.1

0.2

0.3

0.4

cm

0.5

t Gráfica 1. Comportamiento del sistema durante el pulso hasta td.

(9)


y' t ≔

P 0 ⋅ td ⋅

d

−

⎛ ⎝

⋅ sin ω ⋅ t − ω ⋅ td ⋅ sin ω m ω 2 ⋅ td 2 −

dt

⎛ ⋅ t ⎞⎞ ― ⎝ td ⎠⎠

2

y 0.5 = −0.02 cm Condiciones iniciales para vibración libre no amortiguada:

Función de desplazamiento para vibración libre:

y' 0.5 ⋅ s = −1.53

g t ≔ y0

y0 ≔ y 0.5 cm

v0 ≔ y' 0.5 ⋅ s

s

cos ω t s +

v0 ω

⋅ sin ω t s

u t ≔ ‖ if t ⋅ s ≤ td

‖ ‖ y t ‖ else if t ⋅ s > t d ‖ ‖

u t

g t

cm 0.2 0.18 0.15 0.13 0.1 0.08 0.05 0.03 0

0

0.5

1

-0.03 -0.05

t

Gráfica 2. Comportamiento del sistema hasta td=0.5s complementado con la vibración libre.

(10)

Vibración libre - Dinámica estructural

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