VERIFICACION TORRICELLY – BERNOULLI 1. OBJETIVOS:
Verificar de forma experimental las ecuaciones de Torricelly y Bernoulli aplicada en la hidrodinámica.
2. FUNDAMENTO TEORICO:
Evangelista Torricelly (1608-1647) fue un físico matemático italiano, y uno de los primeros discípulos de Galileo, entre sus contribuciones científicas científicas se encuentra encuentra la comprobación comprobación de que el flujo de un líquido por un orificio es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del liquido resultado conocido como
h
ley de Torricelly. V
(1)
El principio de Bernoulli también denominado denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1783) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: i.
Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
ii.
Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.
iii.
Potencial de presión: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.
A1
La figura muestra un recipiente cilíndrico de sección transversal A1 contenido agua hasta una altura H por encima
1
de un orificio de área A 2 que se ha practicado en la pared dh
lateral. Donde la velocidad de escurrimiento del liquido a través del
H h1
2
orificio es v2, puede calcularse aplicando la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 ubicado en la superficie libre del liquido y en el punto 2 ubicado en el lado externo del orificio.
(2)
Si el área transversal del recipiente A1 es muy grande comparado con el área del orificio A2 con el nivel de referencia tenemos:
; ; Remplazando en la ecuación (2)
De donde:
(3)
Se observa que la ecuación de Bernoulli y la ecuación de Torricelly llevan al mismo resultado de velocidad. El caudal de líquido que fluye por el orificio para una altura de carga H, esta dado por la ecuación de continuidad.
(4)
(5)
Remplazando (3) en (4)
Ecuación que permite calcular el caudal de descarga Q i a través del orificio. Sin embargo, el caudal real de descarga Q R es menor al calculado por la ecuación (5) por distintos factores como ser: contracción lateral del líquido al atravesar el orificio, turbulencias en el flujo del fluido, perdidas por rozamiento, etc. Estos factores se expresan en el coeficiente en el coeficiente de descarga c d definida por:
De donde: Es decir:
(6)
(7)
Por otro lado también permite observar que el caudal que fluye a través del orificio, calculado por la ecuación (7), es igual a la disminución del volumen del líquido en el recipiente en un pequeño intervalo de tiempo dt.
(8)
El signo señala que el volumen disminuye al transcurrir el tiempo, el recipiente se vacía. De la ecuación (8)
(8)
Donde el diferencial de volumen evacuado dv en un diferencial de tiempo dt, corresponde a una disminución de la altura de carga dh, y esta dado por:
(9)
Como la altura de carga del liquido varia en función al tiempo, la velocidad de escurrimiento calculado por la ecuación (3), también varia y, para una altura de carga genérica h, esta dada por:
(10)
Luego, el caudal calculado por la ecuación (7) también es variable y toma la forma.
(11)
Remplazando (11) y (9) en (8) obtenemos:
(12)
Integrando:
∫ ∫
(13)
Remplazando límites:
(14)
De la ecuación (14) se tiene:
(15)
Ecuación que permite calcular el tiempo de descarga del líquido desde el nivel H hasta h. Realizando un cambio de variable en la ecuación 15 se tiene:
(16)
(17)
(18)
(19)
Entonces la ecuación 15 se puede escribir en la forma:
(20)
La ecuación (29) corresponde a la ecuación de un línea recta, en laboratorio mediremos los tiempos empleados por el liquido en descender desde la altura H hasta una altura h. Con los valores de H y t mediante la ecuación (19) y (18), es posible calcular los distintos valores de x e y, con lo cual obtendrá un conjunto de valores experimentales (x,y) cuya grafica de acuerdo a la ecuación (20), será una recta de pendiente B positiva.
Para validar las ecuaciones de Torricelly y Bernoulli que esta representada por la ecuación (15) es posible realizar una prueba de hipótesis del siguiente modo: El valor nominal de A es
√ , el valor experimental es A.
Planteo de Hipótesis Hipótesis nula.- el valor de A experimental no difiere del valor de A nominal
Hipótesis Alterna.- el valor de A experimental difiere del AN nominal
El calculo del “t” calculado
| |
∑∑(∑ )
con
∑()
El valor de “t” tabulado
Decisión
Acepta la hipótesis nula H0 Rechaza la hipótesis nula H0
3. MATERIALES Y EQUIPOS:
Vaso de Precipitado
Recipiente con orificio circular y provisto de un indicado de nivel.
Cronómetros
Vernier y regla milimétrica
Colector de agua.
4. PROCEDIMIENTO:
i.
Con el recipiente en posición vertical y el orificio cerrado, llenar el recipiente con agua.
ii.
Medir el tiempo que emplea el nivel del líquido en descender hasta la altura en estudio h.
iii.
Para la misma altura h, repetir los pasos 1,2 y 3 por lo menos 3 veces.
iv.
Repetir los pasos 1, 2, 3 y 4 para seis diferentes alturas H. 5. CALCULOS Y GRAFICOS:
i.
Construir la grafica y vs x, experimental y ajustada de forma lineal, interpretar la grafica.
Primero se presenta los datos de los valores obtenidos en laboratorio: Alturas (m)
t1
t2
t3
tpromedio
0,21
124,2
123,6
122,1
123,30
0,18 0,15 0,12 0,09 0,06
108,78 91,60 75,69 56,50 32,08
107,91 91,50 72,85 52,47 31,00
De ahí se sacan los valores para la tabla de x=t y de y=
107,44 91,30 72,63 53,64 28,88
108,04 91,47 73,72 54,20 30,65
√
√
x=t y= 0,46 123,30 0,42 108,04 0,39 91,47 0,35 73,72 0,30 54,20 0,24 30,65 Gracias a estos datos, se puede realizar una regresión por calculadora, obteniendo los siguientes datos:
Introduciendo los datos en Excel se puede obtener la grafica de los puntos y la recta ajustada. y = 0.0023x + 0.1752 R² = 0.9998
y vs Tiempo 0.50 0.45 ) y ( a r u t l a a l
0.40 0.35
e d z i a R
0.30 0.25 0.20 20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
Tiempo (s)
Puntos Experimentales
ii.
Curva Ajustada
Realizar una prueba de hipótesis para A experimental al 98% de confiabilidad.
Planteo de Hipótesis Hipótesis nula.- el valor de A experimental no difiere del valor de A nominal
Hipótesis Alterna.- el valor de A experimental difiere del AN nominal
El calculo del “t” calculado
| |
con
| |
El valor de “t” tabulado
Decisión
Como
Se acepta la hipótesis nula H , entonces el valor de A calculado es igual 0
al valor del A nominal 6. CONCLUSIONES:
Mediante una regresión se logro llegar a un elevado valor de r 2, esto nos indica que los valores que obtuvimos en la regresión lineal son muy acercados a la realidad. La ecuación de la recta ajustada es: y = 0,0023x + 0,1752 Y además se demuestra la hipótesis nula, donde el valor experimental no difiere del valor nominal de A. 7. CUESTIONARIO:
i.
¿Qué es el coeficiente de descarga?
El coeficiente de descarga es una relación entre la cantidad de liquido que sale por un orificio en un determinado momento, sobre unidad de ti empo. ii.
¿Que es el flujo laminar y el flujo turbulento?
El flujo laminar es el que estudiamos normalmente en hidrostática, cuando el fluido se mueve uniformemente y no se toma en cuenta la viscosidad y el rozamiento con las paredes del recipiente; mientras que en el flujo turbulento ya se toman en cuenta estos aspectos, y se encuentran casos mas parecidos y aplicables a nuestra vida cotidiana. iii.
¿Qué consideraciones se toman en el fluido para utilizar la ecuación de Bernoulli?
Para aplicar la ecuación de Bernoulli, no se toma en cuenta la viscosidad del liquido, además solo se puede aplicar (de esta manera) a movimientos en el flujo laminar. iv.
Para fluidos no estacionarios ¿Es posible aplicar la ecuación de Bernoulli?, ¿Por qué?
De esta manera, y presentada así no se la puede aplicar, pero se la puede ajustar, tomando en cuenta las distintas velocidades que se presentaran, la viscosidad y el rozamiento con las paredes del recipiente.
