CAPITULO 7:
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR • DISEÑO DE FILTROS FILTROS FIR • MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS FILTROS FIR - Diseño Diseño por por En Enventanado ventanado - Diseño Diseño por Muestr Muestreo eo en Frecue Frecuencia ncia - Diseño por Técnicas de Optimización Optimización
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR FILTROS FIR •
Como ya se ha mencionado los filtros FIR son los únicos que pueden presentar un comportamiento de fase lineal, aspecto de gran importancia en aplicaciones de video, de transmisión de datos o de electromedicina.
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Otro de los atractivos de los filtros FIR, y seguramente de los más importantes, es que siempre son estables al estar todos los polos en el origen del plano Z. Esto es importante en diseños de , pendiente entre las bandas de paso y atenuada, o el de filtros paso banda o de banda eliminada muy estrechos. Para conseguir estos filtros con soluciones IIR hay que aproximar mucho los polos del filtro al a zona de inestabilidad, con el peligro que conlleva.
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En contrapartida, no se pueden diseñar los filtros FIR directamente a partir de prototipos analógico y , para un mismo orden del filtro, su programacion requiere muchas más operaciones que un filtro IIR. En consecuencia, el tiempo de muestreo será mayor que con un filtro IIR para un filtro del mismo orden. A continuación se presentan los principales métodos de diseño de filtros FIR.
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR Métodos de DISEÑO DE FILTROS FIR
Diseño de filtros FIR por Enventanado
Diseño de filtros FIR por Muestreo en Frecuencias
Diseño de filtros FIR por Técnicas de Optimización
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO Para comprender la técnica de Enventanado, supóngase que se desea diseñar un filtro pasa bajos ideal con frecuencia de corte ωc. Como la respuesta frecuencial de un filtro FIR es periódica, esta puede expresarse como una serie de Fourier de la siguiente forma: ∞
Hd(e jω)
= Σ ( hd[n].e jωn ) n = ∞
Además se pueden trasladar las especificaciones al dominio temporal mediante la transformada inversa de Fourier: π
hd[n] =
1 . 2π
∫
( Hd(e jω ) e jωn . dω)
-π
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO Para el filtro pasa bajos ideal, la correspondiente respuesta impulsiva hd[n] será de duración infinita y estará dada por una función sinc discreta:
hd[n] =
ωc . π
( sinωωnn ). c
c
Se observa claramente que el filtro es un filtro IIR no causal. Este es inestable y por lo tanto no realizable.
Para hacer el filtro realizable se buscará aproximarlo a un filtro FIR de orden M+1 mediante el truncamiento de la secuencia hd[n] a solo M+1 muestras
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO Para aproximar hd[n] a un filtro FIR de orden M+1 se truncará la secuencia de la siguiente forma: h[n] = h0[n] para 0 ≤ n ≤ M 0
para n > M
h[n] = hd[n] . w[n] Donde w[n] corresponde a una venta rectangular:
w[n]
=
1
para 0 ≤ n ≤ M
0
para el resto
W(e jω) = M+1
(M+1)ω/2 ( sin(M+1) ω/2 )
La ventana rectangular que aparece como efecto del truncamiento de la respuesta impulsional hd[n] del filtro deseado presenta el problema de alterar la respuesta frecuencial del filtro resultante respecto a las especificaciones .
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO Así por ejemplo, para el caso del filtro pasa bajo ideal Hd(ejω) , la secuencia h[n] tendrá como transformada la convolución de dicho filtro pasa bajo con una función sinc (transformada de la ventana rectangular):
H(e jω) = Hd(e jω) * W(e jω)
Frecuencial de la Ventana Rect angular
Filtro Deseado Filtro Obtenido del Diseño
Fenómeno de Gibbs
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO Se observa que para conseguir H(e jω) = Hd(e jω) es necesario que W(e jω) = δ (ω), es decir, que w[n] sea una secuencia unitaria desde n =- ∞ a n = +∞, lo que es claramente incompatible con el objetivo de diseñar un filtro FIR. Una solución de compromiso es utilizar otras ventanas, alternativas a la rectangular.
Respuesta Frecuencial de la Vent ana Ideal W(e jω) = δ (ω)
Frecuenci al de la Ventana Rectang ular Truncamiendo para M=10
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANAS Una ventana es simplemente una secuencia de muestras de longitud M+1 que se multiplica por las muestras originales de hd[n], a fin de obtener un filtro FIR, minimizando los efectos de distorsión en frecuencia respecto al Hd(e jω). Las ventanas han de cumplir con dos objetivos: 1. Aproximarse a una delta, en el sentido de que su transformada de Fourier se concentre alrededor de ω = 0 (módulo estrecho alrededor de ω = 0 y muy realzado respecto al módulo en frecuencias ω ≠ 0). 2. Su cálculo no debe ser demasiado dificultoso , ya que ello alargaría el periodo de muestreo de la señal.
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANAS
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANAS
Ventanas en el Dominio del Tiempo
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANAS
Respuestas Frecuenciales de cada Ventana
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANAS
Filtros FIR Obtenidos con cada Ventana
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kaiser La ventana de Kaiser es una de las ventanas más utilizadas en el diseño de filtros, ya que permite controlar las características de discriminación del filtro y su selectividad mediante la selección adecuada de sus parámetros. La expresión que define la Ventana de Kaiser es la siguiente:
Donde: - I0 : es la Función Modificada de Bessel de primera especio y orden cero - β : es un número real arbitrario que determina la forma de la ventana - M : es la longitud de la ventana.
El parámetro β permite controlar la discriminación del filtro, y la longitud M su selectividad. Las ventana de Kaiser según la selección de sus parámetros puede presentar comportamientos similares a las demás ventanas presentadas anteriormente, por lo que se suele decir que es una ventana cuyo comportamiento es programable
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kais er Variación de la forma de las Ventanas de Kaiser según β
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kais er Variación de las Respuestas Frecuenciales de las Ventanas de Kaiser según variaciones de β y M
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kais er Ecuaciones de Diseño para Filtros Pasa Bajo: β y M
min
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kais er Ejercicio:
Mediante el método de envetanado para el diseño de filtros FIR, diseñe un filtro pasa bajos que respete las características del filtro deseado que se detallan a continuación. Utilice una ventana de Kaiser. H e jω
=
0.975
H e jω
1
| H(e jω) | ≤ 0.1
ara ω
0.2π
para 0.3π ≤ ω ≤ π
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kais er Solución:
| H(e jω) | =
0.975 ≤ | H(e jω) | ≤ 1 | H(e jω) | ≤ 0.1
Venta de K aiser ( β=2.4 y M=35) Respuesta Impulsiv a del Filtro Deseado hd [n] Respuesta Impulsiv a del Filtro Obtenido h[n]
para |ω| ≤ 0.2π para 0.3π ≤ ω ≤ π
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR VENTANA de Kais er Solución:
| H(e jω) | =
0.975 ≤ | H(e jω) | ≤ 1 | H(e jω) | ≤ 0.1
Venta d e Kaiser ( β=2.4 y M=35)
para |ω| ≤ 0.2π para 0.3π ≤ ω ≤ π
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR Fenómeno de Gibbs Cuando una función en el dominio del tiempo tiene una discontinuidad de salto en un punto, su serie de Fourier mantiene unas oscilaciones en dicho punto. Este comportamiento se llama fenómeno de Gibbs. En el diseño de filtros FIR por enventanado, el fenómeno de Gibbs aparece cuando se hace un truncamiento a hd[n] con el propósito de aproximarlo a un filtro (FIR) Entre más significativo sea el truncamiento, mayor será la cantidad de oscilaciones de Gibbs que aparecen en el dominio de la frecuencia. Por el contrario, mientras mayor sea la cantidad de muestras que se tomen mayor + , e e ecto e s se m n m za.
Otra forma de minimizar el fenómeno de Gibbs es elegir una ventana adecuada.
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO
Resumen
El método de diseño de filtros FIR por Enventanado se basa en obtener un filtro FIR h[n] que se aproxime lo mejor posible al filtro h d[n] que resulta de la transformada inversa de la respuesta frecuencial del filtro que se desea diseñar: Hd(ω). Para ello, el filtro h[n] se obtendrá truncando la secuencia de h d[n] a la longitud escogida que determinará el orden del filtro FIR. Con ello ya se tendría el diseño concluido si no fuera por los sobre impulsos y rizados que aparecen en la respuesta frecuencial como consecuencia del truncamiento (Fenómeno de Gibbs ). Estos rizados pueden reducirse seleccionando adecuadamente la ventana con que se efectúe el truncamiento de h d[n], por ello según el filtro a diseñar se deberá elegir la ventana adecuada. En el diseño de filtros FIR la selección de la ventana es un compromiso entre el rizado añadido a la respuesta frecuencial deseada y el ancho de la banda de transición de dicho filtro. La ventana de Kaiser es una de las ventanas más utilizadas en el diseño de filtros, ya que permite controlar las características de discriminación del filtro y su selectividad mediante la selección adecuada de sus parámetros.
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR ENVENTANADO
Conclusiones
Si bien el diseño de filtros FIR por enventanado de la respuesta impulsional truncada es fácil de diseñar, pierde algo de sistemática al tenerse que “tantear” el mejor tipo de ventana. Por otro lado, el efecto del truncamiento y posterior enventanado de la secuencia puede alterar las frecuencias de corte, por lo que es conveniente permitir una cierta tolerancia en las especificaciones del filtro. La respuesta impulsional hd[n] es fácil de obtener para prototipos ideales. Sin embargo, si el perfil de la respuesta frecuencial del filtro Hd(e jω) es más complicada, resulta muy engorrosa la obtención de la respuesta impulsional hd[n]. En este caso, es preferible el método de diseño por muestreo en frecuencia o por técnicas de optimización.
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA Otra forma para diseñar filtros FIR es ajustando la respuesta frecuencial del filtro a diseñar H(ω) a la de las especificaciones de la respuesta frecuencial del filtro deseado H d(ω) directamente en el dominio frecuencial, sin calcular la transformada inversa de Fourier hd[n] como en el caso anterior. Para realizar el ajuste del filtro a diseñar H(ω), este método consiste en muestrear en , d formado por todas las muestras que se obtengan de Hd(ω) y la respuesta impulsional h[n] del filtro diseñado se obtendrá por la transformada de Fourier Discreta Inversa de H(ω)
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA Para comprender la técnica de Muestreo en Frecuencia, supóngase que se desea diseñar un filtro pasa bajos ideal con frecuencia de corte ωc. Como la respuesta frecuencial de un filtro FIR es periódica, esta puede expresarse como una serie de Fourier de la siguiente forma: ∞
Hd(e jω)
= Σ ( hd[n].e jωn ) n=0
Si se muestrea la respuesta frecuencial deseada Hd(e jω) en los N puntos ω=2πk/N (diseñando un filtro FIR de orden N), siendo k = 0, 1, …, N-1, se tiene la Transformada de Fourier Discreta de la secuencia h[n] será: N-1
j 2π k.n N
H[k] = Σ ( h[n].e n=0
)
IDFT
h[n] =
N-1 1 ( Nk=0
Σ
j 2π k.n N
H[k].e
)
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA Para comprender la técnica de Muestreo en Frecuencia, supóngase que se desea diseñar un filtro pasa bajos ideal con frecuencia de corte ωc.
H[k] = Σ ( h[n].e
)
N-1
N-1
H(z) = Σ ( n=0
H(z) = H(z)
h[n].z-1
)=Σ
n=0
N-1 N-1 1 H[k] Nk=0 n=0
Σ
Σ
N-1 -N 1 – Z = N k=0
Σ
[e
[
h[n] =
[
2π k N
H[k]
1–
N-1 1 Nk=0
j 2π k.n N
Σ ( H[k].e n
.
z-1
)] .
j 2π k e N .z-1
]
Σ ( H[k].e
)] z-1
)
CAP7: DISEÑO DE FILTROS FIR DISEÑO POR MUESTREO EN FRECUENCIA Variación de las Respuestas Frecuenciales de los filtros Obtenidos según la cantidad de Muestras M
