1. PROBLEMA 01 Resolver el problema de tanques interconectados, alrededor de un punto de operación cualquiera:
Fig. Tanques interconectados a. Planteamiento del sistema: Considerando que el área de los tanques es constante y la misma en ambos, se tiene que:
() = ∗ ( )
y
() = ∗ ( )
1)
Donde:
q1 es el caudal de entrada al tanque de altura h1. caudal entre tanques.
caudal de salida en el tanque de altura h2.
=∗ =∗ 2∗(ℎ 2∗(ℎ() ℎ() =∗ =∗ 2∗(ℎ 2 ∗(ℎ() ℎ()
Caudal puede ser aproximado por la velocidad del caudal en caída libre de la diferencia altura entre los tanques por el área de la sección del ducto entre ambos tanques: 2)
Reemplazando 2 en 1:
2 ∗∗ ∗ ℎ ( )2∗∗ 2∗∗ℎ ( )ℎ∗ () ℎ() = ((ℎℎ,ℎ,,ℎ, )) ℎ ℎ = ∗∗ ∗2∗∗ 2 ∗∗ ℎ) ∗ 2∗∗ Tomando como referencia el caudal de ingreso al primer tanque como q1 =0 con h =0, se obtiene el punto de equilibrio:
)^2
Fijando el caudal de entrada en el valor constante
ℎ = 2∗ℎ ℎ =( )^2 y
=0 y con h=0:
h1= 2*(
Ahora se procede a dar linealidad el sistema:
( ∗) ^ . ( ∗) ^ . =∗∗√ − ∗∗√ − . (∗∗∗)√ − ^. ∗∗(√ ∗)− (∗∗∗)√ . = =1/0 A=
] =[
(∗)(∗∗∗) (∗∗(∗)∗) ∗∗ ∗
]
El sistema linealizado entonces será:
[
(∗) (∗) ℎ1ℎ2= (∗∗∗∗∗) ∗∗∗(∗∗) ℎ1ℎ2 0 ][
+ [
]*q12
h1 ,h2 y q12 representan valores de equilibrio.
. Desarrollando el código en Matlab , mediante el método de Euler:
% Linealizacion en matlab clear all; close all; clc %% Variables simbolicas syms h1 h2 h q1 k u v Ar As g Q H H1 H2; % Funciones no linealizadas H1=1/Ar*(Q-k*(sqrt(h1-h2))); H2=1/Ar*(k*(sqrt(h1-h2)-sqrt(h2))); % Ecuaciones de estadob H=[H1 H2]; h=[h1 h2]; u=[Q]; % w=u, h=v %% Calculo de Jacobianos de manera simbolica As=subs(jacobian(H,h)) Bs=subs(jacobian(H,u)) % B=vpa(subs(Bs,1),4) %% Dando valores a parámetros del sistema linealizado A=vpa(subs(As,[k Ar h1 h2],[4.4272 10 0.4077 0.2039]),4) B=subs(Bs,1)
]
C=[1 1] D=0 % Matrices obtenidas A=[-0.4903 0.4903; 0.4903 -0.9806]; B=[1 0]'; C=[1 0]; D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); G=tf(num,den) step(G)
EJECUCION DEL PROGRAMA
EJECUTANDO EL PROGRAMA As = [ -k/(2*Ar*(h1 - h2)^(1/2)),
k/(2*Ar*(h1 - h2)^(1/2))]
[ k/(2*Ar*(h1 - h2)^(1/2)), -(k*(1/(2*h2^(1/2)) + 1/(2*(h1 - h2)^(1/2))))/Ar] Bs = 1/Ar 0 A= [ -0.4903, 0.4903] [ 0.4903, -0.9806]
B= 1 0 C= 1
1
D= 0 Transfer function: s + 0.9806 ---------------------s^2 + 1.471 s + 0.2404
Step Response 4.5 4 3.5 3 e d u t i l p m A
2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
2. PROBLEMA 02 3. Dado un depósito de agua de sección transversal A, con flujo másico de entrada m y salida a través de una boquilla d e área de sección transversal Ad como se o bserva en la Fig 2. Por la cual se descarga un chorro de agua a la velocidad
= (∗)
, que fluye hacia
fuera con la densidad ρ y golpea una placa de masa m , siendo este desviado allí en 90◦. La placa es acoplada como un resorte lineal con constante c. La posición de reposo del
resorte es dado en s=0.. Además se produce entre la placa y su cojinete una fricción proporcional a la velocidad w con coeficiente d. También se supone que la distancia entre la placa y la boquilla es pequeña, de modo que la fuerza de la gravedad en el c horro de agua es insignificante. La relación entre el flujo de masa de salida m.out y el nivel de llenado h > 0 es dado por: m.out gravedad.
AD
(2gh)^0.5 , donde g es la aceleración de la
Determinando la fuerza de impacto en el plato :
∗ ΔΔ = (∗) = ∗ + ∗ = ∗ =2∗∗∗∗ℎ F
Determinando el modelo del sistema:
∗∗ ℎ = = ∗∗(2 ∗∗ℎ)^0.5 = ∗ + 2∗∗∗∗ℎ = ∗(2 ∗∗ℎ). = = + 2∗∗∗ ∗ℎ = ̇ 2 ∗ 1 = ∗ ∗ ∗ √ 1=0 → 1= 2∗∗(∗)^2 ̈ 2 =3=0 → 3=0 2∗∗∗ ̇3= ∗3 ∗2+ ∗1=0 → 2= ∗∗ ∗∗ ∆∆ ̇̇ = 0∗ 00 01 ∗∆∆+ 10∗∆ ∆ ∆ ̇ 2∗∗∗ 0 1 =0 1 0∗23+ + Cs =
*
C. Linealizacion del sistema
-
3. El mecanismo está formado por tres cuerpos rígidos, como se muestra en la figura un carro de masa , acoplado a través de una articulación de rotación a una barra con masa , longitud y momento de inercia . A su vez a la primera barra esta acoplada, en el otro extremo y también a través de una articulación de rotación, una segunda barra de masa , longitud y momento de inercia , despreciando los rozamientos lineales y angular de los tres cuerpos.
Se tiene un pendulo doble imvertido, basadas en las leyes de movimiento de Newton para posteriormente realizar el análisis matemático y obtener las ecuaciones que lo describen.
Para facilitar el diseño, se descompone las piezas y se realiza el análisis de los cuerpos por separado:
a.
Para el carro
Aplicando la segunda ley de newton al movimiento lineal del carro se obtiene las siguientes ecuaciones, sumando las fuerzas en el diagrama del cuerpo del carro: En dirección horizontal
1) En dirección vertical
2) Derivando la posición del carro respecto al tiempo obtenemos la velocidad del mismo:
Se supone una distribución uniforme de la fuerza de reacción vehículo en las ruedas.
del suelo sobre
b. Sistema de barra
Sumando las fuerzas en la barra 1 en la dirección horizontal:
Ahora sumando las fuerzas en la dirección vertical se obtiene:
Realizando las sumatorias de torques:
1
De la misma forma que obtuvimos la velocidad del carro, lo hacemos para la barra 1, derivando las posiciones de e respecto al tiempo para obtener sus respectivas velocidades.
Derivamos el ángulo:
Subsistema de barra 2:
Ahora sumando las fuerzas en la dirección vertical:
Derivando el ángulo de la segunda barra:
Relación entre variables: Ahora se van a establecer las ecuaciones de ligadura entre variables debida a la unión mecánica de los elementos. Así, la posición del centro de masa de la barra 1, en los dos ejes y el ángulo que forma con la vertical, tienen la siguiente relación con la posición del carro:
De igual modo, la posición del centro de masas de la segunda barra en cada eje tiene la relación con la primera barra y los ángulos de ambas con la vertical:
Las ecuaciones anteriores relacionan posiciones, por lo que derivándolas y utilizando se relacionan velocidades y aceleraciones:
Linealizando el modelo:
, , , . )
Considerando que el sistema opera con pequeñas variaciones cerca de un punto de funcionamiento, entonces se procedió a obtener un modelo lineal, sea g( una función no lineal escalar de n variables de estado x. Esta función no lineal también se puede expresar como una representación aproximada lineal alrededor de un punto establecido mediante una expansión en series de Taylor de la siguiente manera. Suponiendo que la función se quiere linealizar alrededor del punto X0. Para aplicar la linealización a nuestro modelo necesitamos encontrar el punto de equilibrio del sistema, para calcular el punto de funcionamiento o punto de equilibrio. Las derivadas de las variables se anulan y se dispone del valor de entrada para dicho punto, en este caso Fo.
Ahora realizamos la linealización de las ecuaciones no lineales, el sistema consta de catorce ecuaciones no lineales por lo que es necesario linealizar todo el sistema, a tr avés de su aproximación lineal con la pérdida de información correspondiente, para esto tomamos el punto de equilibrio:
Descripción de las variables de estado:
El espacio de estados es otro método que permite modelar un sistema físico. Se representa por un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. A esta representación se le llama ecuación de estado. Una forma general de expresar la dinámica de un sistema lineal es:
A continuación se detallan los valores de los parámetros para realizar la simulación. Datos de parámetros:
Diagrama del pendulo invertido en simulink:
