Variable Compleja y Ecuaciones Diferenciales - R. Fuster

sen 3
3 cos 2

cos3
3 cos

1.18 · Utilizando la fórmula de De Moivre, obtener las siguientes sumas: n

n

L k=O

cosk
L sen k

donde

es un homomorfismo de grupos y que, dado z E e, si z =1- 0, entonces ~(Argz) = Para cada natural n, probar que las raíces n-ésimas de 1 forman un subgrupo de (J. Probar que se trata del grupo cíclico de orden n.

fzr.

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1.22 Sean Wo

wo, WI, . . . , Wn - I

+ WI + .. .+Wn-I

que, si

zn

= 1 Y z -¡.

19

las raíces n-ésimas de la unidad. Probar que

= O. Deducir de este resultado y del problema anterior

1, entonces 1 + z

1.23 Resolver la ecuación

zn

= Z,

+ z2 + ... + zn - I = O.

n E N.

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Capítulo 2

Sucesiones y series

La convergencia de sucesiones y series de números complejos se reduce, como veremos enseguida , al caso real: una sucesión (o una serie) de números complejos converge a a + bi (a y b reales) si, y sólo si, sus partes real e imaginaria convergen a a y b respectivamente.

2.1.

SUCESIONES CONVERGENTES

Una sucesión { zn } ~=l de números complejos converge al número complejo z, por definición, si la sucesión de números reales {I Zn - Z I} converge a cero . Esta convergencia se expresa también diciendo que el límite de Zn es z, y se representa simbólicamente por lím Zn = Z ó lím Zn = Z

n-+oo

Teniendo en cuenta la definición de límite de una sucesión de números reales, resulta que lím Zn = Z {::=::;>

Ve

> O 3no

E N/n

> no => I zn - Z 1< e

Por otra parte, y dado que el número complejo x + yi tiene el mismo módulo que el vector (x, y), resulta que, para Zn = an + bni Y Z = a + bi,

luego

21

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Capítulo 2: Sucesiones y series

y, como consecuencia inmediata de lo que ya conocemos sobre sucesio. nes en JRn, que

es decir, límzn =

Z

<=}

límre(zn)= re(z) y límim(zn) = im(z)

También se deducen de (2.1) las siguientes propiedades.

*

El límite de una sucesión, si existe, es único.

*

Si lím Zn = a) lím( Zn

Z

y lím W n = w, entonces,

+ wn ) = Z + W

b) límaz n = az, Va E JR

*

Toda sucesión convergente está acotada: 3M > O / I Zn 1< M Vn E N

*

Si {zn } converge a z, todas sus subsucesiones convergen al mismo z.

*

Una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy*: VE; > O 3no E N / n, m ~ no =?I Zn - Zm 1< E;

*

Toda sucesión acotada t iene alguna subsucesión convergente (teorema de Bolzano-Weierstrass).

Diremos que un número Z es punto de acumulación de la sucesión {zn } si existe alguna subsucesión de {zn } que converge a z . La propiedad anterior se puede expresar entonces diciendo que toda sucesión acotada ti ene algún punto de acumulación. Además , toda sucesión convergente tiene un único punto de acumulación (su lími te) .t Otras propiedades simples de los límites de sucesiones de números complejos, que no pueden deducirse de (2 .1 ) puesto que en JR2 no está definido el producto, son las siguientes: 'Lo cual se expresa diciendo que e es completo. t ... y el lector puede entretenerse buscando alguna otra relación entre sucesiones y pun tos de acumulación.

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23

Sucesiones divergentes y el punto del infinito

Teorema 2.1 Si lím Zn = Z y lím W n = w, entonces lím Zn W n = zw. Además, si W T-1- O, lím w n- 1 = w- 1 y por lo tanto, lím ~ = .2.. Wn W La demostración, que se realiza como en el caso real, se deja para el lector. O Nótese que, puesto que IR e e, las sucesiones de números reales son un caso particular de las sucesiones de números complejos, siendo entonces las propiedades anteriores una extensión perfecta de las conocidas para el caso real.

2.2.

SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFINITO

Se dice que la sucesión {zn} diverge a infinito o que su límite es infinito, y se representa simbólicamente por límn -+ oo Zn = 00, o simplemente lÍm Zn = 00, si y sólo si lím 1Zn 1= oo. En definitiva, lím Zn

= 00

{::=}

Vk

> O :Jno E N/n

~ no

=}

1Zn 1> k

Si una sucesión diverge a infinito, entonces todas sus sub sucesiones divergen a su vez a infinito, así que no tiene puntos de acumulación. Por lo tanto, para sucesiones divergentes a infinito no se puede formular un resultado similar al teorema de Bolzano-Weierstrass t . De hecho, las únicas sucesiones que no tienen puntos de acumulación son las divergentes a infinito (así pues, el hecho de no tener puntos de acumulación caracteriza en las sucesiones divergentes a infinito). Si, por el contrario, imaginamos un punto del infinito hacia el cual convergieran estas sucesiones, resultaría que toda sucesión tendría algún punto de acumulación, lo cual es muy interesante desde el punto de vista de la topología. Por ello vamos a ampliar el plano complejo añadiéndole dicho punto.

e

Definición 2.1 Sea 00 un objeto cualquiera que no sea un número complejo, al cual llamaremos el punto del infinito . Consideremos el tObsérvese que, evidentemente, estas sucesiones no están acotadas.

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24

Sucesione

conjunto C U{ oo} al que llamaremos plano ampliado y que representaremos simbólicamente por C*. Las operaciones habituales de C se extienden al plano ampliado según las siguientes fórmulas: ; "

ooz 00 +

",

.'

'~; !~I

00 -

z 00 00

z

~ o

z z

zoo

0000

z + 00 z - 00 O

00

00 00

00

=

00

Vz

-1 O

Vz Vz Vz Vz Vz

E E E E

C C C C

-1 O

El módulo del infinito se define como 1 00 1= +00 pero carece de sentido hablar del argumento del punto del infinito, así como de las operaciones: 00 O y 00 ± 00, 000, 00 O La anterior extensión de C tiene diversas ventajas. En primer lugar, todas las propiedades enumeradas en el apartado 1 de este capítulo siguen siendo válidas mientras no involucren operaciones carentes de sentido como por ejemplo 00 + oo. Por otra parte, como era nuestro primer objetivo, en el plano ampliado no existe ninguna diferencia entre las sucesiones convergentes a un número finito (un número complejo) y las que tienen límite infinito (las divergentes a infinito), sucesiones estas últimas que podemos decir que son convergentes en el plano ampliado. Por último, el teorema de Bolzano- Weierstrass, en el plano ampliado se transforma en el siguiente: toda sucesión tiene algún punto de acumulación. Por el contrario, el plano ampliado tiene otros inconvenientes. El principal de ellos sería el de que, tal y como hemos definido las operaciones en C* éste no tiene estructura de cuerpo (ni ninguna otra estructura algebraica típica), por lo que habremos de vigilar las operaciones que realizamos en él. Otra dificultad estriba en el aspecto geométrico: si todos los números complejos se representan o se corresponden con los puntos del plano, ¿dónde representar el punto del infinito? Debería colocarse de forma que todas las sucesiones que se alejan indefinidamente del origen (o de cualquier otro punto) se acerquen al punto del infinito, lo cual,

Figura

en la representación ant una respuesta satisfacto proyección estereográficl utilizados en la confec: plana de superficies esí representación de C*. Consideremos en el, denados e identifiquemc que el eje real sea el e. por otra parte la esfera intersección de esta esfe la circunferencia 1 z 1 = ponderían a los polos nc

Si P es un punto ge corta el plano XY en 1 NZ, donde Z es un pun punto P de la esfera dis la esfera, el punto Z del biunívoca de la esfera f llamado proyección este De esta forma podei

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25

I

l Figura 2.1 : Proyección estereográfica. en la representación anterior resulta imposible. Fue Riemann quien dio una respuesta satisfactoria a esta cuestión con lo que se conoce como la proyección estereográfica y que no es otra cosa que uno de los métodos utilizados en la confección de mapas, es decir , en la representación plana de sup erficies esféricas. Veamos a continuación cómo es esta representación de C*. Consideremos en el espacio lR? un sistema rectangular de ejes coordenados e identifiquemos el plano XY con el plano complejo, de modo que el eje real sea el eje X y el imaginario el eje Y. Consideremos por otra parte la esfera centrada en el origen y de radio unidad. La intersección de esta esfera con el plano XY (el ecuador de la esfera) es la circunferencia 1z 1= 1. Los puntos N (O ,O, l) y S(O ,O,- l) corresponderían a los polos nort e y sur respectivamente (véase la figura 2.1). Si P es un punto genérico de la esfera, distinto de N, la recta N P corta el plano XY en un único punto Z y, recíprocament e, la recta N Z, donde Z es un punto del plano XY, corta a la esfera en un único punto P de la esfera distinto de N. Es decir, al asociar al punto P de la esfera, el punto Z del plano XV, establecemos una correspondencia biunívoca de la esfera sin el polo norte en el plano , a la que hemos llamado proyección estereográfica (figura 2.1). De esta forma podemos representar todo el plano complejo sobre

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.' "

s

Capítulo 2: Sucesiones y series

26

la esfera sin el punto correspondiente al polo norte, punto este último donde veremos que viene perfectamente representado el punto del infinito. Nótese que los números complejos de módulo 1 quedan representados en el ecuador, en el mismo punto sobre el que se encontraban. Los del interior de la circunferencia de módulo uno, es decir, los de módulo menor que uno, quedan representados en el hemisferio sur y los de módulo mayor que uno, los de fuera de la circunferencia, quedan representados en el hemisferio norte. Así pues, conforme nos alejamos del origen en el plano complejo, nos acercamos al polo norte en su representación en la esfera.

con el argumento de z.! La representación e infinito, convergería gec deduce el mismo hecho lím An = ~, luego la lati es 7r/2 (no pudiendo de Con todo ello, heme un único punto de la es también llamarse esjerc

Para determinar analíticamente esta correspondencia, consideremos las coordenadas geográficas de P, que son la latitud A y la longitud ¡..t

2.3.

(A EJ - 7r/2, 7r/2[,

Sea {zn}~=l una su. real, a partir de dicha sucesión {Sn} de sus su

¡..t E

[-7r, 7r[ ).

N N

"-+~ 4

1

2

/'

//

A

O

..

DE f\

P /

//1 /

SERIES

Izl

z

y decimos que la serie: de sus sumas parciales, la serie y se representa 00

Si Po es la proyección de P sobre el plano complejo, entonces la longitud ¡..t de P es el ángulo formado por el semieje real positivo y la semirecta OPo. Por lo tanto, el argumento principal de z coincide con ¡..t. y además, se verifica 1 z 1= tan(¡ + ~); es decir, la proyección estereográfica de P, cuyas coordenadas geográficas son (A, ¡..t), es el número complejo tan(

7r

A

¡+ "2)( cos ¡..t + i sen ¡..t)

Otras consideraciones geométricas que se deducen de esta representación analítica serían, por ejemplo, que los paralelos de la esfera se proyectan sobre círculos concéntricos y que los meridianos se proyectan sobre las semirrectas que parten del origen. La longitud de P coincide

n=l

En otro caso se dice qu Es fácil comprobar ( (en C) es un espacio VE a cada serie su suma e números complejos es ( partes reales y la de las. {zn} . (También se ded otra que la de ]R2.) SSi en un punto del mer diano 1800 es medianoche. los argumentos de los núme 11 ¿Se puede asociar algur

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Series de números complejos

con el argumento de z.§ La representación en la esfera de una suceSlOn {zn} divergente a infinito, convergería geométricamente al polo norte. Analíticamente se deduce el mismo hecho de que, si lím tan( ¡ + A2n) = +00 , entonces lím An = luego la latitud que deberemos asociar al punto del infinito es 7r /2 (no pudiendo determinarse entonces su longitud)~. Con todo ello, hemos conseguido representar cada punto de e* por un único punto de la esfera. Así representado, el plano ampliado suele también llamarse esfera de Riemann.

i,

2.3.

SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS

Sea {zn} ~= 1 una sucesión de números complejos. Como en el caso real, a partir de dicha sucesión formamos la serie L Zn, es decir, la sucesión {Sn} de sus sumas parciales, n

y decimos que la serie L Zn es convergente si existe y es finito el límite de sus sumas parciales, en cuyo caso a dicho límite se le llama suma de la serie y se representa por n

00

L n=l

Zn

= lím S n (= Ji.~ L

Zk)

k=l

En otro caso se dice que la serie diverge. Es fácil comprobar que el conjunto de todas las series convergentes (en e) es un espacio vectorial sobre e, y que la aplicación que asocia a cada serie su suma es lineal. También se observa que una serie de números complejos es convergente si, y sólo si, lo son las series de las partes reales y la de las partes imaginarias de los términos de la sucesión {zn} . (También se deduce trivialmente de que la topología de e no es otra que la de 1R2 .) §Si en un punto del meridiano terrestre 0° es mediodía, entonces sobre el meridiano 180° es medianoche. ¿De qué día? ¿Tiene esta pregunta alguna relación con los argumentos de los números complejos? 11 ¿Se puede asociar alguna longitud al número complejo O?

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28

Capítulo 2: Sucesiones y series

Otra propiedad inmediata es la del papel irrelevante del término a partir del cual comienza la serie para determinar la convergencia, o no, de una serie, que conocemos para series reales y que en e se enuncia de igual forma:

=

00

n= l

n= p

L znconverge si, y sólo si, 3p E N / L znconverge debido a lo cual representaremos la serie, como ya hemos hecho antes, por I: Zn sin mención al término desde el que ésta empieza mientras no haya ambigüedades (el valor de la suma de la serie sí depende del término inicial). Teorema 2.2 (Condición necesaria de convergencia) Si la serie = O.

I: Zn es convergente, entonces lím Zn

Demostración .- Sea S la suma de la serie y sean Sn las sumas parciales, es decir, lím Sn = S. Como Zn = Sn - Sn -l , lím zn = S - S = O O Dado que una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy, resulta que Teorema 2.3 (Condición de Cauchy) La serie te si, y sólo sí,

I: Zn es convergen-

p+q

VE

> O 3n o E N / p > no y q E N====}I

L Zn 1< E

O

n= p

Si se verifica que la serie I: 1 Zn 1 es convergente, decimos que la serie I: Zn es absolutamente convergente. Entonces, de la condición de Cauchy y la desigualdad triangular se deduce que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia ordinaria . Teorema 2.4 (Criterio de la raíz) S ea a ces

= lím sup

~ , enton-

a) si a < 1 la serie I: Zn es absolutamente convergente

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Series de números complejos

b) si a > 1 la serie

L

Zn

diverge

Demostración. - Supongamos a

< 1 Y sea r

/ O :::; a

< r < 1.

Como límsup ~ < r, ~ < r a partir de cierto no. Por lo tanto, Vn:2 no Puesto que O < r < 1, la serie (geométrica) L r n es convergente, y por el criterio de comparación para series reales, L 1 Zn 1 es convergente. Supongamos ahora a > 1. Como límsup 1 Zn 1> 1, existe una subsucesión { Znk : k E N} de {zn } de modo que límk-+oo 1Znk 1> 1 Y por ello {zn } no puede converger a cero . O

Ejemplo.- La serie geométrica L zn, con Z E C. a) Puesto que límsup ~ (a) si (b) si

1Z 1< 1, la serie converge absolutamente y 1Z 1> 1 la serie diverge.

b) Si 1Z 1= l · diverge.

===}

lím

1zn 1= 1

Para el único caso convergente,

===}

lím zn .¡:. O, luego también

1Z 1< 1, hallemos la suma L

luego, Zp - O límSn = - - 1- Z

En definitiva, 00

Lz

n=p

n

zP = 1- P

Vz /

1z 1< 1

El criterio del cociente para series se deduce del siguiente lema.

: = pZn :

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30

Lema 2.1 Sea {a n } una sucesión de números positivos. Se verifican las siguientes desigualdades: an+l . f van n¡;:;- < n¡;:;- < an+l , . f1lmm - < _ l'lmm _ l'lmsup van _ l'lmsup-an

an

Demostración.- La segunda desigualdad es conocida y la tercera se demuestra de forma similar a la primera, que es la que probaremos. Sea a = líminf~. Si a = 0, la desigualdad es inmediata; en caso an contrario, para cualquier b tal que < b < a existe p E N de forma que

°

Yn ? p de donde, si n

> p, ba p bap+l

< ap+l < ap+2

ban-l

< an

De estas n - p desigualdades obtenemos:

< bn-p- lap + l <

...

< ban- l

Luego,

b\/b- pa p <

yra;:

Yn >

yra;:

Yb < a

p

y tomando límites inferiores:

b luego a

~

lím inf yta:;;.

~

lím inf

D

Corolario 2.1 (Criterio del cociente) Sea {zn} una sucesión de números complejos no nulos.

'Z,:ñi ' < 1, la serie L Zn es absolutamente convergente. Si líminf '¡:ñi > 1, la serie L Zn diverge. D '

a) Si límsup b)

Ejemplo.- La serie L :~ converge absolutamente en todo el conjunto e, como se comprueba inmediatamente aplicando el criterio del cociente.

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2.3.1.

31

SERIES BILÁTERAS

Las series numéricas se han introducido con el fin de dar un significado matemático a la idea de suma de infinitos términos,

Al desarrollar la variable compleja veremos cómo también va a ser necesario trabajar con sumas doblemente infinitas del tipo

.. . + L3 + L2 + L l + Zo + Z l + z2 + z3 + ... cuya representación más natural será (2.2) n =- oo

Diremos que la serie (2.2) converge si, y sólo si, las dos series (ordinarias) +00 +00 (2.3) ¿ Zn y

¿Ln

n=O

n=l

convergen. En tal caso, la suma de la serie (2.2) se define como la suma de las series (2.3), es decir,

n =- oo

n=O

n=l

La serie (2.2) converge absolutamente, es decir, ¿~':- oo verge si, y sólo si, las series (2.3) convergen absolutamente.

1

an

1

con-

Ejemplo.- Estudiemos el carácter de la serie bilátera 1

1

+00

Z2

zn

... + 221 + -Z + 1 + Z + ,2. + ... = n=-oo ¿ -1n-1'. Z . Por el criterio del cociente, lím I zn+1

I Zn I

I = lím _1_z_1 = O n

+1

Z

E

e-

{O}

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Capít ulo 2: Sucesiones y series

y

lím I L(n+l)

I Ln I

I=

lím ~ = O n +1

e-

para todo z E {O} -, luego las dos series correspolldientes a (2.3) convergen absolutamente y por tanto, la serie estudiada converge ab solutamente en todo {O} . Para terminar, obsérvese que si la serie (2.2) converge, entonces su suma coincide con el límite

e-

lím( z_n

+ ... + Ll + Zo + Zl + ... + zn)

(2.4)

pero puede ocurrir que la serie (2.2) no converja y que, sin embargo, el límite (2.4) exista y sea un número finito. Considérese por ejemplo la sene:

.. . -1-1-1-1+0+1+1+1+1+ ...

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SUCESIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS: CONVERGENCIA

2.1 Determinar si las siguientes sucesiones son o no convergentes. En caso afirmativo, calcular sus límites. 2 a) n + 1 _ ~i b) n + 2n - 1 _ _ n_ i 3n n2 - 1 3n 2 n +2 2 . n n . d) n + z c ) -3- - + - - z -n - 1 n +1 n- i 2.2 Demostrar el teorema 2.1. 2.3 Estudiar la convergencia de las sucesiones {zn } y número complejo tal que

a)

I z 1<

b) Izl>l

1

C;zn}

siendo z un

c)lzl=l

2.4 Demostrar que si un~ sucesión de números complejos converge, entonces la sucesión de sus medias aritméticas converge al mismo límite , es decir, , 11m

n~oo

Zn

=Z

===>

l' 1m

n--+ oo

Zl

+ Z2 + ... + Zn = Z n

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Ejercicios y problemas

2.5 a) Probar que, si lím Zn = z, entonces, lím I Zn 1=1 Z l. b) ¿Es cierto que lím Z n = Z ===> lím arg x Zn = arg x z? c) ¿Qué condición deberían cumplir Z y x para que la respuesta al apartado anterior fuese afirmativa? d) ¿Podemos asegurar que , si 11m 1Zn 1= a y lím arg x Zn =
Z

= x + iy,

lím (1

n ---+- oo

entonces,

+ ~) ~ = eX ( cos y + i sen y) n

SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFINITO

2.7 Si alguna de las sucesiones del ejercicio 2.1 no era convergente, estudiar su divergencia a oo . 2.8 Encontrar todos los puntos de acumulación de la sucesión {zn }, siendo Z un número complejo de módulo unidad . Sugerencia: distínganse dos casos, según sea Z una raíz k - ésima de la unidad (para algún natural k) o no (éste es el caso difícil) .

2.9 Probar que el resultado del problema 2.4 no es cierto si

Z

= oo.

PROYEC CIÓN ESTE REOGRÁFICA

2.10 Si sobre la esfer a de Riemann se consideran las coordenadas cartesianas (X l, X2, X3), ¿cuáles son las coordenadas de la imagen sobre ella del número complejo z?

2.11 Si al punto P de la esfera de Riemann le corresponde el número complejo z, ¿cuál es la imagen del punto antípoda de P? 2.12 La ciudad de Valencia se encuentra situada a 32.29° de latitud norte ¿Qué número complejo merece el honor de llamarse "Valencia"? y a 0.24° de longitud oeste.

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34

Capítulo 2: Sucesiones y series

SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS

2.13 Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series:

a) L: cost!i sent d)

L:

c) '"

b) L:~

L:

e)

(27)n

L..J

vn!

Z

E

nO

,

Q>

1

f) L: z7n

(i:)'2n

2.14 Demostrar que lím,J...; = O Y lím 2.15 Determinar los valores de

(cost+ i sent)n

-.H-: vn!

= e.

ce para los

que converge la serie

y hallar la suma de la serie para todos ellos . CONVERGENCIA NO ABSOLUTA

2.16 a) Sean {zn}~I Y {wn}~=l dos sucesiones de números complejos. Y sea Zn la suma parcial n-ésima de {zn}. Probar la jórm ula de suma ció n parcial de Abel: n

n

L ZkWk k=l

=

Zn w n+1 - L Zk(Wk+1 - Wk) k=l

b) Demostrar el criterio de Dirichlet: Si L: Zn tiene las sumas parciales acotadas y {w n } es decreciente (por lo tanto real) y converge a O, entonces L: Zn W n es convergente. 2.17 Estudiar el carácter de la serie

' " (cos t ~

+ i sen t) n nO<

2.18 Supongamos que L:~~ Zn converge absolutamente. a) Probar que cualquier reordenación suya converge a la misma suma: si v .: N ~ N es una aplicación biyectiva entonces L:~~ Zv(n) converge y

+00 L Zv(n) n=l

+00

= LZn n =l

http://carlos2524.jimdo.com/ Ejercicios y problemas b) Sea r¡ : N

--+

35

N una aplicación inyectiva. Demostrar

entes

+00

¿1

+00

z'1(n)

1::::

n=l

>1

que

¿1

Zn

1

n=l

y que la desigualdad es estricta si, y sólo si, alguno de los términos que falta en la última serie es no nulo.

MULTIPLICACIÓN

DE SERIES

2.19 Dadas dos series ¿;t~ término a término resulta:

an y ¿;t~

ao bo aobo

+ + +

al b1 albo aOb1

+ + + +

a2bO a1b1

+ + + +

aobo

+

(albo

+

aobt)

+

a2 b2

os. Y

ación

bn, multiplicándolas

(a2bo

+

a(b,

+

formalmente

aob2)

+

Por lo tanto, aparentemente +00

+00

¿an¿bn 10=0 n=O

ciales onces

+00

=

¿cn n=O

(2.5)

siendo Cn = ¿k=O an-kbk. Probar que, si ¿;t~ an converge absolutamente y ¿;t~ b.; converge, entonces ¿;t~ Cn también converge y efectivamente se verifica la igualdad (2.5), (éste es el teorema de Mertens). La serie ¿;t~ Cn se llama producto de Cauchy de ¿;t~ an y ¿;t~ bn·

que N es

2.20 Sean x e y dos números reales. a) Sumar la serie ¿;t~ (i:;{ (Sugerencia: calcular sus partes real e imaginaria). b) Obtener la suma de ",+00 (x+iy¡n

L..m=O

n!

.

2.21 Dar un ejemplo de dos series convergentes cuyo producto no lo sea.

de Cauchy

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36 SERIES BILÁTERAS

2.22 Determinar los valores de z E

n=- oo

e para los que converge la serie bilátera n =O

y hallar la suma de la serie para todos ellos. Compárese el resultado con el

del ejercicio 2.15. 2.23 ¿Por qué es incorrecto el siguiente razonamiento (debido a Euler)?

,,+00 zn L-n=O ,,+00 z-n L-n=l

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Capítulo 3

Funciones complejas

e

En este capítulo nos vamos a limitar casi tan sólo a trasladar a los conceptos relativos a funciones (límites, continuidad, etc.) reales de una o varias variables reales. La salvedad se refiere a uno de los teoremas más importantes de las matemáticas: el teorema fundam ental del álgebra.

3.1.

LA TOPOLOGÍA DE


Como en el caso de las sucesiones y sus límites, en realidad lo único que hemos de hacer en esta sección es remitirnos a la topología de JR2 : diremos que un conjunto A de números complejos es abierto, cerrado, conexo, compacto, acotado, ... en si, y sólo si, el conjunto

re

B = {(a, b) E JR2: a + bi E A} es abierto, cerrado, conexo, compacto, acotado, ... en JR2. Evidentemente, esta definición traslada automáticamente todas las propiedades del plano euclídeo al plano complejo. En particular, una sucesión de números complejos {zn} converge a z si, y sólo si, para cualquier entorno U de z podemos encontrar un término de la sucesión a partir del cual todos los términos pertenecen a U (lo cual coincide perfectamente con la definición de convergencia de sucesiones dada en el capítulo 2). Una ventaja de esta caracterización de límites de sucesiones por entornos es la de su extensión al plano ampliado: diremos que un conjunto U es un entorno de infinito si, y sólo si, existe un real positivo

37

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Capítulo 3: FuncÍones complejas

r de modo que U contiene al exterior del disco de centro el origen y de radio r. (Ver ejercicio 3.3.)

3.2.

FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE REAL

En este apartado estudiamos las funciones complejas de variable real, que son las que admiten un tratamiento más simple por su total similitud con las funciones vectoriales de variable real. Por definición, una función compleja de variable real es una aplicación f de un conjunto D(f) e IR. en re. Si t es un punto de D(f), f(t) es un número complejo que, por tanto, podrá escribirse en la forma

f(t) = u(t) + iv(t) es decir, descompuesto en sus partes real e imaginaria. De este modo hemos definido a partir de f dos nuevas funciones, u y v, funciones reales de variable real. Además, la correspondencia

f

~

(u,v)

es biunívoca, de forma que, como veremos, la mayoría de las propiedades de f se pueden deducir de las correspondientes del par (u, v). Escribiremos f = u + iv para representar que

f(t) = u(t)

+ iv(t),

u(t), v(t) E IR.

Vt E D(f)

Definición 3.1 Sea f una función compleja de variable real. Sea t o un punto de acumulación del .dominio de f y Zo E C*. Diremos que el límite de f en t o es Zo si, y sólo si, para cada entorno U de Zo existe un entorno V de t o de manera que f((V - {zo})nD(f)) e U. En tal caso escribiremos lím f(t) = Zo t--+to

Teorema 3.1 Sea f = u + iv una función compleja de variable real. S ea t o un punto de acumulación del dominio de f y Zo = Xo + iyo E El límite de f en t o es Zo si, y sólo si, los límites de u y v en t o son respectivamente Xo e Yo. Es decir,

re.

lím f(t) = lím u(t)

t--+to

t--+to

+ i t--+to lím v(t)

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39

Funciones complejas de variable real

Demostración.- Si t es un punto del dominio de f, entonces, por las propiedades del módulo, se tiene: u(t) - xo 1 v(t) - Yo 1 f(t) - zo

1

1 1 1

< < <

f(t ) - zo 1 f(t) - zo 1 u(t) - xo 1

1 1 1

+

1

v(t) - Yo

1

O

Ejemplo.lím( cos i7r t-+1

+ i sen t7r) =

lím cos t7r t -+ 1

+ i lím sen t7r = t-+1

COS 1f

+ i sen 1f =

- 1

Definición 3.2 Sea f una función compleja de variable real Y t o un punto de acumulación del dominio de f. Diremos que f es continua en t o si, Y sólo si, límt -+ to f(t) = f(to). Se dice que f es continua en un conjunto de puntos si, Y sólo si, lo es en cada uno de los puntos del conjunto . Diremos que f es uniformemente continua en un conjunto A de puntos de su dominio si, Y sólo si,

Como consecuencia del teorema anterior, la continuidad y la continuidad uniforme de f son equivalentes respectivamente a la continuidad y a la continuidad uniforme de u y v. Por lo tanto, si I< es un conjunto compacto de números reales y f es continua en I<, entonces f es uniformemente continua en I<. Se tiene, además, lo siguiente.

Teorema 3.2 Sea I< un conjunto compacto de números reales Y f una función compleja de variable real continua en I<. Entonces, f está acotada en I< , es decir, existe una constante M de manera que

1f(t) 1< M Vt E I< Demostración.- Basta tener en cuenta que u y v son uniformemente continuas (y por lo tanto acotadas) y que

1f(t)

I ~I u(t)

I + I v(t) I

O

Definición 3.3 Sea f = u + iv una función compleja de variable real. Si t o es un punto interior del dominio de f, diremos que f es derivable en t o si existe Y es finito el límite lím .:......: f (:.....:. t )_- -=f-,-(t-,-o) t - to

t -+to

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Capítulo 3: Funciones complejas

En tal caso, el número complejo 1'(t ) = lím f(t) - f(to) o t-+to t - to se llama la derivada de f en too Se dice que f es derivable en un subconjunto del interior de su dominio si, y sólo si, lo es en cada uno de los puntos de dicho subconjunto.

De modo análogo se pueden definir las derivadas sucesivas de f , ya que la función derivada, 1', es a su vez una función compleja de variable real. Además, teniendo en cuenta el teorema 3.1, si f = u + iv, f es derivable en t o si , y sólo si, lo son u y v y se tiene: 1'(t o) = u'(t o) + iv'(to)

+ i sen t, entonces f es derivable en todo

Ejemplo.- Si f( t) = cos t y l' (t) = - sen t + i cos t.

~

+ iv una función compleja de variable real definida en un intervalo cerrado [a , b]. Si u y v son integrables (en el sentido de Riemann) en [a, b], diremos qu e f es integrable (integrableRiemann) en [a , b]. La integral de f en [a, b] se defin e por

Definición 3.4 Sea f = u

lb

f(t)dt =

lb

u(t)dt

+i

lb

v(t)dt

Definición 3.5 Una primitiva de la función compleja de variable real f en un conjunto A es una función F qu e verifica F'(t) = f(t) Vt E A

Teorema 3.3 (Regla de Barrow) Sea f = u

+ iv.

Si U y V so n primitivas de u y v en A respectivam ente, entonces F = U + iV es una primitiva de f en A. Además, si f es integrable en [a , b] e A, se verifica la regla de Barrow:

lb

f(t)dt = F(b) - F(a)

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Funciones complejas de variable real

Ejemplo.-

r/ Jo

2

d_t_ _ cos t + i sen t __

r/ (cost 2

Jo

isent)dt

+ i cos t I~ /2

sen t

W

sen "2

.

W

+ Z cos "2

-

sen O -

.

Z cos

O

1- i Teorema 3.4 (Derivación paramétrica) Sea

f : [a, bl xle, d[ ----+ C una función continua' derivable respecto a la segunda variable y con esta derivada parcial continua. Entonces, la función g :Jc, d[ ----+ C, definida por g(y) = es derivabl e en

le, d[

lb

f(x, y)dx

, y su derivada viene dada por g'(y) =

lb

Dd(x,y)dx

La demostración de los teoremas 3.3 y 3.4 se deduce directamente de la descomposición de f como u + iv y de aplicar a u y v simultáneamente los teoremas correspondientes para funciones reales. O Como nota final a este apartado de funciones complejas de variable real digamos que, como resulta evidente, todas las definiciones y teoremas son extensiones del caso de funciones reales de variable real, es decir, que si una función f real de variable real es considerada como función compleja, las definiciones en un caso y otro coinciden, sin más que tener en cuenta que f = f + iO. 'Es decir, ¡(x , t) [a , b]x]c,d[.

= u(x , t) + iv(x , t) , siendo u, v funciones

reales continuas en

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3.3.

Capítulo 3: Funciones complejas

FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA

Una función compleja de variable compleja es una aplicación de un subconjunto D(J) de C en C . Son éstas las funciones que estudiaremos en los próximos capítulos. . Si f es una función compleja y z es un punto del dominio de f, podemos escribir

f(z) = u(z)

+ iv(z)

donde u y v representan funciones reales de variable compleja. Además considerando z = x + iy, podemos escribir

f( z ) = u(x,y)

+ iv(x,y)

do~de

ahora u y v representan funciones reales de dos variables reales. Ello significa que la función compleja f está biunívocamente determinada por el par de funciones reales de dos variables reales u y v, es decir, existe una biyección entre el conjunto de funciones complejas de variable compleja y el de funciones vectoriales de dos variables reales:

f(x+iy)

+------t

(u(x , y) , v(x,y))

Teniendo en cuenta la teoría de funciones de dos variables reales los conceptos de límites y continuidad van a ser fácilment e trasladados a funciones complejas. No ocurrirá así con el concepto de derivación que, por su diferente tratamiento, será est udi ado en el próximo capítulo.

Definición 3.6 Sean f una función compleja de variable compleja, Zo un punto de acumulación del dominio de f y Wo E C*. Diremos que el límite de f en Zo es Wo si para cada entorno U de Wo existe un entorno V de Zo tal que si z E V nD(J) y z f:. zo, entonces f( z ) E U. En tal caso escribiremos lím f( z ) = Wo

z ~ zo

http://carlos2524.jimdo.com/ Funciones complejas de variable compleja

43

Nótese que en la definición anterior queda incluido el caso Zo = (x), recordando la definición de entorno de (X) . También hemos incluido el caso de que el límite sea (X) con la misma consideración. t Si Zo = Xo + iyo Y Wo = ao + ibo, se prueba de inmediato que lím f(z) = Wo z-+zo

l~m(x,y)-+(xO,Yo)u(x,y) = ao y hm(x,y)-+(xO,Yo) v(x, y) = bo

+----+ {

Definición 3.7 Una función f se dice continua en un punto Zo de acumulación de su dominio si, y sólo si, lím f(z) = f(zo)

z---tZQ

f se dice continua en un conjunto si lo es en cada uno de sus puntos.

Por supuesto, la continuidad de f en Zo = Xo + iyo equivale a la continuidad de u y v en (xo,Yo). Además es fácil comprobar el siguiente teorema.

Teorema 3.5 (Algebra de límites) Si lím f(z) = a y lím g(z) = b, Z--+ZQ Z--+ZQ entonces

a) Z--+ZQ lím (J(z ) + g(z)) = a + b b) z-+zo lím(af(z)) = aa Va E

e

c) lím (J( z ) g( z)) = ab Z-+ZQ

d) Z-+ZQ lím (J ( z ) / 9 ( z )) = a / b e) z---t lím 1 f(z) 1=1 a 1 zo Siendo válidas las propiedades de a) a e) incluso cuando a, b, Zo y/ó a son infinitos, mientras no entrañen operaciones imposibles. También para b = O en d) si a =1= O. D t Esta es la razón de haber dado la definición a partir de entornos frente a la tradicional (VE > O 38 > O... ) que obliga a dar definiciones específicas para los casos de límite infinito y/o en el infinito.

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Capítulo 3: Funciones complejas

Corolario 3.1 Si f y 9 son continuas en Zo E e y si a E e} entonces f + g } af} fg } f/g (si g( zo) # O) Y 1 f 1 son continuas en Zo . O Ejemplo.- La función f( z) = Z2 se escribe en la forma f = u+iv como

f(x luego es continua en todo son continuas en JR.2.

+ iy) = X2 e, ya

y2

+ 2xyi

que u(x, y) = X2 - y2 Y v(x, y) = 2xy

Teorema 3.6 (Composición de funciones continuas) Si f es continua en Zo E y 9 es continua en Wo = f(zo) entonces fog es continua en Zo.

e

La demostración es análoga al caso real.

3.4.

O

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Consideremos un polinomio p( z) = anz n + an_lZ n- 1 + ... + al z + ao con coeficientes complejos, de grado n y no constante, es decir, a n # O y n ~ . 1. Vamos a probar en este apartado que dicho polinomio tiene al menos una raíz en C. Este resultado se conoce como teorema fundamental de álgebra y generaliza el teorema 1.3 (todo polinomio de grado dos tiene raíces complejas). Por otra parte, este teorema marca una diferencia fundamental entre la variable compleja y la real. Nótese por último que, con 'el resultado que hemos avanzado, garantizamos a su vez que todo polinomio de grado n puede descomponerse en producto de n polinomios de grado uno (descomposición factorial del polinomio a partir de sus n raíces complejas, iguales o distintas, en factores primos). Lema 3.1 La función f(z)

Demostración.- Si z

=1 p(z) 1tiene

mínimo (absoluto).

# 0,

f(z)

=1 z In

lan

+ an-l + ... + ao I z zn

Sea

g(z) = an

I

+ -an-l + ... + -aol z zn

http://carlos2524.jimdo.com/ El teorema fundamental del álgebra

45

Entonces

lím g(z)

z-+oo

=1

an 1> 1a2n

1

luego

::1M > O / g(z) > tomando ahora N

f(z)

1

~n

Vz E

1

re / 1z 12: M

= máx{M, 12 1~ I} , obtenemos, para 1z 12: N, =1

zn 1g(z)

2: 2 1

ao 1 1 an ·1 a -2- =1ao n

1= f(O)

es decir,

f(O) ::; f(z) y

f

re / 1z 12: N {z E re : 1z 1::; N}

Por otra parte, el conjunto J( = es continua en J(, luego f tiene un mínimo en ::Izo E J( /

(3.1)

Vz E

f(zo) ::; f( z)

Vz E

De (3.1) y (3.2), y puesto que O E mínimo, es decir,

f (zo) ::; f (z )

J(,

es un compacto decir,

J(, + es

re / 1z 1::; N

(3.2)

se concluye que Zo es el

Vz E e o

Teorema 3.7 (Fundamental del álgebra) El polinomio p(z) tiene al menos una raíz compleja.

Demostración.- Probaremos que, si Zo es el mínimo de f(z) =1 p(z) 1, entonces p(z~ = o. Para ello, consideremos la función q(z) = p( z + zo) . La función q( z) es también un polinomio de grado n y por tanto

Para probar que p(zo) = O, probemos que q(O) = O, y puesto que q(O) = bo, veamos que bo = o. Supongamos que por el contrario bo i- O. Sea entonces m > O el primer Índice tal que bm i- O. El polinomio q( z ) podrá escribirse como

t Porque la topología de ([ es la de

lP/?

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46

Capítulo 3: Funciones complejas

Consideremos la ecuación

que, como sabemos del capítulo 1, tiene m raíces distintas . Sea a una de ellas (a m = y consideremos la función h(z) = q(az):

- t;)

-f!

cnz n + Cn _1Zn-1 + .. . + bm( )zm + bo bo(1- zm) + zm(cm+lZ + Cm+2Z 2 + ... + cnz n- m )

h(z)

Dado que

, ( 11m z-+o Cm+1Z

+ Cm+2Z 2 + ... + Cnz n- m) =

O

resulta que

luego, si 1 z 1< 8, se tiene que 1 h(z) 1<1 bo 111 - zm 1 + 1 zm 11 bo 1=1 bo 1 (11 - zm 1 + 1 zm 1) En particular, para O < x < 8 < 1, 1 h(x) 1< 1 bo 1 (1 - xm

+ xm) =1 bo 1=1 h(O) 1

es decir, 1 q(ax) 1< q(O) con lo que 1q(O) 1 no sería mínimo. O Corolario 3.2 Sean Zl,Z2"",Zr las raíces de

y sean mI, m2, . .. , m r sus multiplicidades respectivas. Entonces, n

p(z)

mI

+ m2 + ... + m

y

r

an(z - Zl) m (Z - Z2)m 1

2

•••

(z - zr)m r

Demoslración. - Como p(z) es divisible por (z - Zl)m 1 , por (z - Z2)m 2 , etc., también lo es por su producto, y por tanto

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EjercÍcÍos y problemas

Veamos que q(z) es un polinomio constante. Si suponemos que, por el , contrario, el grado de q(z) fuera 1 o mayor, éste tendría al menos una raíz, que sería raíz también de p( z), lo cual contradice las hipótesis, si fuera distinta de las Zk Y también si fuera una de ellas pues aumentaría la multiplicidad de la misma. Luego q(z) = k. Igualando ahora en (3.2) el coeficiente de zn se obtiene que k = an0 O

Ejemplo.- Dado que todo número complejo no nulo admite n raíces n-ésimas distintas, si a E e-o, el polinomio zn - a se descompone en factores primos en la forma

siendo

{Wl,W2, . ..

,wn } las raíces n-ésimas de a.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS LA TOPOLOGÍA DE

C

3.1 Indicar, entre los siguientes conjuntos de números complejos, cuáles son abiertos y cuáles cerrados:

a) c) e) g)

{z E C / 1z 1< l} {z E C / 1 z 1;::: l} { z E C / re(z) = im(z)} {1,1+i,1+2i,1+3i, ... }

b){ z EC/l z l::;l} d) {z E C / 1z li l} f) {z E C / 3::; im(z) < 7} h) {l, 1 + t, 1 + it, 1 +

i., ... }

3.2 De los conjuntos del problema anterior, determinar los que son conexos y los acotados.

3.3 Demostrar que, en C*, una sucesión {zn} converge a z (que puede ser infinito) si, y sólo si, para c1lalquier entorno U de z existe un término de la sucesión a partir del cual todos los términos están en U . FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE REAL

3.4 Hallar el conjunto imagen , 1m f, siendo

a) f(t)=t+it 2 , tE~

f la función definida por

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48

Capítulo 3: Funciones complejas

b) f(t) = 5 +3 sent + (-2+3 cost)i, tE [0,211'"] c) f(t) = 5 + 3sen t + (-2 + 3cost)i, t E [O, +oo[ d) f (t) = 5+3sent+(-2+6cost)i, tE [0,211'"] e) f(t)=i/t, tiO f) f(t) = sen 2 t - (cos 2 t)i, tE lR describiendo en cada caso el aspecto geométrico del conjunto 1m f. Este problema debe convencer al lector (si no estaba ya convencido) de que la imagen continua de un intervalo es una curva. Si f es derivable en to , entonces (reU'(to), imU'(to)) es el vector tangente a dicha curva en el punto f(to). Hallar el vector y la recta tangentes a 1m f, para cada una de las funciones f, en todos los puntos en que existan. 3.5 Sea A E e un conjunto abierto. Probar que A es conexo si, y sólo si, para cualquier par de puntos a, b E A existe un a función continua f : [0 ,1] ----- A de modo que a = f(O ) y b = f(l). Explicar el significado geométrico de este resultado. ¿Es cierta la equivalencia anterior si A no es abierto? 3.6 Caracterizar en términos de derivadas los puntos de una curva plana en los que la recta tangente es a) horizontal b) vertical c) la bisectriz del primer cuadrante 3.7 Formalizar la demostración de todos los teoremas de la sección 3.2. 3.8 [Longitud de una curva] Sea f: [a ,b] -----

e una función continua. Si

a = to < tI < ... < t n = b es una partición cualquiera de [a, b], entonces la longitud de la poligonal de vértices f(to),f(tl), ... , f(t n ) es n

¿

I f(tk)

- f(tk-I)

I

k=1

Parece razonable suponer que si la partición tiene muchos puntos , la longitud de la poligonal es una buena aproximación de la longitud de la curva representada por f. Así pues, se define la longitud de f como n

lU)

= sup ¿ I f(tk) k=1

- f(tk-I)

I

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49

Ejercicios y problemas

entendiéndose que el supremo se toma sobre todas las particiones posibles. La función f se llamará rectificable si tiene una longitud finita. Probar que si f es derivable y l' continua en [a, b], entonces f es rectificable y

1(1)

=

¡b

1

1'(t) 1 dt

3.9 Teniendo en cuenta el problema anterior (aunque no se haya resuelto), calcular la longitud de las curvas

z Z

= p( cos t + i sen t) , = p( cos 3t + i sen 3t),

O :::; t :::; 21l' O:::; t :::; 21l'

Las dos curvas recorren el mismo rango y sin embargo sus longitudes son distintas. ¿Por qué? 3.10 a) Comprobar que la función y = A( cos t + i sen t) , t E R., donde A es una constante compleja arbitraria, verifica la ecuación diferencial y' - iy = O. b) Demostrar que cualquier solución de y' - iy = O es de la forma y = A(cost + isent) c) Hallar todas las soluciones complejas de la ecuación y' + iy = O. d) Hallar todas las soluciones reales de la ecuación y" + y = O. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA

3.11 Demostrar los teoremas 3.5 y 3.6. 3.12 Demostrar que si p(z) es un polinomio no constante, entonces lím z -+ oo p( z) = 00 3.13 Obtener el límite lím z -+ oo R(z), si R(z) es el cociente de dos polino-

mios. 3.14 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(z) d) f(z) g) f(z)

=z

= 1~z2 = re(z)

b) f(z) e) f(z) h) f(z)

f (x + i y) = eX ( cos y + i sen y)

=1 z 1 = arg z

f) f(z)

= arg x z

i) f(z)

c)

= re(z)3 - im(z) = In z + iargz 1

1

3.15 La definición de continuidad es perfectamente válida para funciones cuyo rango y dominio son subconjuntos de C*. Para cada función del problema anterior, determinar si es posible definir f( 00) de modo que f sea continua en oo.

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50

Capítulo 3: Funciones complejas

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

3.16 Sea pez) un polinomio de coeficientes reales:

Demostrar que sus raíces complejas son conjugadas dos a dos, es decir, si w es una raíz de p( z ) entonces ÜJ también lo es y que además ambas raíces tienen la misma multiplicidad. 3.17 Deducir del problema anterior que, en F., los polinomios primos son todos los constantes, todos los de primer grado y algunos de los de segundo grado. Dar la versión real del Corolario 3.2. 3.18 ¿Qué se puede decir acerca del grado de los polinomios primos sobre el cuerpo Q? 3 .19 1) Hallar la descomposición factorial (compleja) de cada uno de los polinomios siguientes:

a) z2 + z + 1

d) Z3 + 1 g) 7z 3 - 21

b) z4 + z2

e)

Z3 -

+1

Z2 -

Z -

2

c) z2 + (3 - i)z - 3i f) 5z 4 - 15z 3 + 15z 2 - 5z

2) Hallar la descomposición factorial (real) de cada uno de los polinomios siguientes:

a) x2 + x + 1 d) x 3 + 1

b) x 4 + x2

e)

x3 -

+1

X2 -

X -

2

c) 7x 3 - 21 f) 5x 4 - 15x 3

+ 15x 2 -

5x

3) Hallar la descomposición factorial de los polinomios del apartado anterior, trabajando ahora sobre Q. FRACCIONES SIMPLES

3 .20 a) Utilizar el teorema de Bezout y el corolario 3.2 para demostrar que toda fracción racional R( z ) = ~ , donde p( z), q( z ) son polinomios y q( z ) no es constante, puede descomponerse en la forma

R(z)

Pl(Z)

= Po(z) + (z -

Zl

)

m I

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51

donde Zl, Z2, ... , Zr son las raíces de q( z), mI, m2, ... , m r sus multiplicidades respectivas, Po un polinomio cuyo grado es la diferencia entre los grados de p(z) y q(z) y Pk polinomios de grado menor que mk, 1 :S k :S r. b) Sea r( z) un polinomio de grado menor que m y Z k un número complejo. Probar que existen Al, A2, . . . , Am E tales que

e

(3 .3)

c) Los dos apartados anteriores permiten descomponer en fracciones simples las fracciones racionales de coeficientes complejos. Deducir la descomposición en fracciones simples en el caso real. 3.21 Descomponer en fracciones simples la fracción racional (coeficientes

complejos) J~l y la fracción racional (coeficientes reales) l~l.

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Capítulo 4

Funciones holomorfas

Definiremos la derivada de una función compleja de variable compleja de la forma natural

f'(zo)

= lím z-+zo

f(z) - f(zo) Z - Zo

y veremos que las propiedades de las derivadas de las funciones de variable real siguen verificándose. Sin embargo la derivabilidad compleja no es lo mismo que la diferenciabilidad en JR2.

4.1.

LA DEFINICIÓN DE DERIVADA

Definición 4.1 Sea U e e un abierto y Zo E U. Sea f una función compleja definida en U. Se dice que f es derivable u holomorfa en Zo si existe y es finito el límite

, f( z) - f(zo) 11m ----'-----'------'--...:... z-+zo Z - Zo

En tal caso, el límite se representa por f'( zo ) y se denomina la derivada de f en el punto Zo. Diremos que f es holomorfa en un conjunto A e U si lo es en cada punto de A. Si f es holomorfa en un abierto A e U, entonces queda definida una nueva función f':A --+ e z ---+ f'( z)

53

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54

que se llama función derivada de f en A. Se puede definir la derivada segunda de f, f", como la función derivada de 1'; y así sucesivamente definir fl/l, v , etc.

t

= z2

Ejemplo.- La función f(z)

es holomorfa en z

=

1, Y 1'(1)

= 2,

ya que lím f( z) - f(l) Z - 1

= lím Z2 -

z ..... 1

z ..... 1 Z -

1 1

= lím(z + 1) = 2 z ..... 1

También se tiene que la función derivada de Z2 en 2

2

, z - Zo = l'1m ( z 1ln1 z ..... zo Z - Zo z ..... 1

Ejemplo.- f(z) = k

4.2.

=?

+ Zo ) =

I'( z) =

o

2 Zo

Vz E

e es 2z, ya que

VZo E

e

e.

LAS CONDICIONES DE CAUCHy-RIEMANN

El hecho de que la aplicación

e a

JR2

+ bi

(a, b)

identifique números complejos con puntos del plano euclídeo JR2 , ha dado como resultado en el capítulo anterior que el estudio de límites o de la continuidad de funciones en se redujera al caso correspondiente en JR2. Cabría entonces esperar que la función

e

f(x

+ iy) =

u(x,y)

+ iv(x , y)

fuera derivable en Xo + iyo si, y sólo si, las funciones u(x,y) y v(x,y) fueran diferenciables en (xo, Yo). Sin embargo esta situación no se da, como se desprende del siguiente ejemplo.

Ejemplo.- La función f( z ) =

e, ya que,

si

z no

es holomorfa en ningún punto de

z - Zo lím - - = Wo E z ..... zo z - Zo

e

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55

Las condiciones de Cauchy-Riemann

entonces

, Z; - Zo 11m =Wo

n-+oo

Zn - Zo

para cualquier sucesión {Zn } , (zn si Zn = Zo

+ 1/ n,

=1=

zo) convergente a

Zoj

sin embargo,

, l/n entonces Wo = 11m -/- = 1 1 n

mientras que

. / ' --i/n Zn =. Zo + z n, entonces Wo = l 1m .-/- = -1 z n

SI

En cambio, las funciones reales asociadas a f( z), u( x, y) v(x,y) = -y, sí que son diferenciables (en todo 1I~.z).

x y

Analicemos con más detenimiento la relación entre holomorfía en y diferenciabilidad en JR2. De acuerdo con la definición de límite,

, f(z) - f( zo) - f'( ) 11m Zo

Z -+ Zo

Z -

e

(4.1)

Zo

es equivalente a

I

, If( Z) - f(zo) - f'(zo)(z - zo) 11m = O z-+zo

z - Zo

(4.2)

Tomando: z = x + iy , Zo = xo + iyo, f(z) = u(x,y) + iv(x , y), f'(zo) = a + bi, tendremos

f'( zo)(z - zo) =

[a + bi][(x + yi) - (xo + yoi)] [a(x - xo) - b(y - Yo)] + i[a(y - Yo) - b( x - xo) ]

Así pues,

I

f ( z) - f ( zo) - l' (zo) (z - zo) I [u(x,y) + iv(x,y)] - [u(xo, Yo) + iv(xo, Yo)] -[a(x - xo) - b(y - Yo)] + i[a(y - Yo) - b(x - xo)]

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56

Capítulo 4: Funciones holomorfas

Teniendo en cuenta la identidad entre los módulos de números complejos y vectores del plano,

I

f(z) - f(zo) - f'(zo )(z - zo) I I (u(x,y) ,v(x, y)) - (u(xo,yo),v(xo,Yo)) - (a(x - xo) - b(y - Yo), a(y - Yo) - b(x - xo))

expresión que podemos escribir en forma matricial como

I

I

f(z) - f(zo) - f'(zo)( z - zo)

I (u(x,y),v(x,y)) -

(u(xo,yo) ,v(xo,Yo))

-[(x,y) - (xo, Yo)] ( :!:b : )

= (u(x,y),v(x,y)),

Si consideramos la función F(x , y) anterior se simplifica bastante:

I

I F(x , y) -

la expresión

I

f( z ) - f( zo) - f'( zo)(z - zo) =

I

F(xo , yo) - [(x, y) - (xo,Yo)] (:!:b

!) I

Por lo tanto, (4.1) es equivalente a !F(X , y) - F(xo , Yo) - [(x,y) - (XO,yo)] lím

(~b

:)! =

'--------;-:----:--:-----:--;--~-------':.....!.

I (x, y) -

(x ,y)-(XO,yo)

lo cual significa que F es

(x o, Yo)

d~fe1'enciab le

I

O

(4.3)

en (xo , Yo) Y además su matriz

jacobiana es

Es decir, partiendo de que

f

es holomorfa en zo hemos llegado a que

D1u(xo, Yo) D 2u(xo , Yo)

= =

D 2v(xo , Yo) Y -D1v(xo , Yo)

que es lo que se conoce como condiciones de Cauchy-Riemann.

(4.4)

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57

Recíprocamente, si F es diferenciable en (xo, Yo) Y verifica las 'condiciones de Cauchy-Riemann, (4.4), eligiendo

(4.5) de (4.4) se deduce (4.1) ; y hemos probado el siguiente resultado. Teorema 4.1 (Condiciones de Cauchy-Riemann) La función f = u + iv es holomorfa en Zo = Xo + iyo si, Y sólo si, la función F = (u, v) es diferenciable en (xo, Yo) Y verifica además las condiciones (4.4). En tal caso, la derivada de f en Zo viene dada por (4.5). O Ejemplo.- Consideremos la función f(z) = Z2 = X2 - y2 + 2xyi. En este caso, u(x,y) = X2 - y2, v(x,y) = 2xy. La función F = (u,v) es diferenciable por serlo u y v en todo ~?, además, D1u(x , y) = 2x = D 2v(x , y) y D 2u(x , y) = 2y = -D1 v(x,y) luego f es holomorfa en todo e y f'( z) = 2x + 2yi = 2(x + yi) = 2z. Ejemplo.- Si f(x + yi) = eX(cosy + iseny), entonces F(x,y) = (eX cos y, eX sen y) es diferenciable en JR2 y verifica las condiciones de Cauchy-Riemann, luego f es holomorfa en e y f'( z) = f( z) . Ejemplo.- Si f(z) = re( z ), entonces, F(x, y) ciable en JR2 , pero su matriz jacobiana es:

= (x, O),

que es diferen-

luego f( z) no es holomorfa en ningún punto .

4.3.

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

En este apartado nos limitaremos a probar que las propiedades elementales de las funciones derivables de variable real se siguen verificando para funciones de variable complej a. Las demostraciones son exactamente las mismas que para el caso real. Teorema 4.2 Si f es holomorfa en Zo, entonces es continua en Zo .

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58

Capítulo 4: Funciones holomorfas

Demostración.- Si z

=1=

Zo, entonces

fez) = (f( z ) - f( zo))( z - zo) z - Zo

lím {f( Z) - f( zo)} lím (z - zo) + f(zo)

lím fe z ) = z --+ zo

f

Z -

Z--+zo

Zo

z --+zo

1'(zo)O + f(zo) = f( zo)

=

luego

+ f( zo) ===>

es continua en Zo.

O

Teorema 4.3 (Derivada de la suma) Si f y 9 son holomorfas en Zo, entonces f + 9 es holomorfa en Zo. Además,

(f

+ g)'(zo) = 1'(zo) + g'(zo)

Demostración.-. lím (f + g)( z ) - (f + g)( zo) z --+ zo z - Zo

=

, 1

fe z ) + g(z) - f( zo) - g( zo) Z - Zo

1m~~~~~~~~~

Z -+ Z o

=

}i.~ {f( Z; =~;zo) + g( z; =~~zo)}

=

1'(zo)

+ g'( zo)

O

Teorema 4.4 (Derivada del producto) Si f y 9 son holomorfas en Zo, entonces f 9 es holomorfa en Zo. Además,

(fg)'( zo) = 1'( zo)g( zo) + f( zo)g'(zo) Demostración. , fe z )g( z) - f( zo)g( zo) 1m 1

~~~--~~~

Z -+ Z Q

Z -

Zo

=

lím f( z )g(z) - f( zo)g( z ) + f(zo)g( z ) - f(zo)g(zo) Z -+ Z Q Z - Zo

=

}i.~ {g( z /( zl =~;zo) + f( zo)g( z; =~~zo)}

=

g( zo)1'( zo) + f( zo)g'( zo)

ya que 9 es continua en Zo. O

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59

Teorema 4.5 (Derivada del cociente) Si f y 9 son holomorfas en Zo y si g( zo) =1= O) entonces f / 9 es holomorfa en Zo. Además)

U / g)'( zo) = 1'(zo)g(zo)(- (z(zo)g'(zo) 9 Zo Demostración .- En virtud del teorema 4.4, basta con probar que 1/ 9 es holomorfa y que

(l/g)'

= -g'( zo) g(ZO)2

Dado que g( zo) =1= O Y que 9 es continua en Zo, para z bastante próximo a Zo, g( z ) =1= O, Y se puede calcular el cociente: 1

9W -

1

~

z - Zo

g( zo) - g( z ) zo)

= g( z )g( zo)( z -

luego lím -'-..(1-'-..:/g~)(~z-') -~ ( 1-'-..:/g~)-'(zo~)

l'

z ~~o ,

{-(g (z) - g( zo)) } l' { 1 } z - Zo z~ g(z)g(zo) )

1

-g (zo g(zo))2

O

Ejemplo .- Sea p( z) una fun ción polinómi ca. Combinando los teoremas 4.3 y 4.4, se obtiene que p( z) es derivable en todo C. Si

p( z) = aO+al z + ... +anz n entonces

p' (z ) =

al

+ 2a2 z + ... + rwnz n- l

Ejemplo.- Sea f(z) = p( z)/ q(z) una fun ción racional (es decir, p y q son fun ciones polinómicas) . De lo demostrado hasta aquí se deduce que f( z) es holomorfa en todo e excepto en las raíces de q( z ). Teorema 4.6 (La regla de la cadena) Si 9 es holomorfa en Zo y si f es holomorfa en 100 = g( zo), entonces f o 9 es holomorfa en Zo. Además) (f o g)'(zo) = 1'(wo)g'(zo)

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60

Capítulo 4: Funciones holomorfas

Demostración. - Elijamos un en Zo, tenemos que 381 > O / O <1 z - Zo

é

> O cualquiera. Por la holomorfía de 9

1< 81 ~

Ig( z) - g(zo) - g'(zo)1 z - Zo

<1

de donde,

0<1 z - zo 1< 81 ~ \g(z) - g(zo) \ < 1+ 1g'(ZO) 1 z -

(4.6)

Zo

Por otra parte, como lím j'(g( zo)) {g( Z) - g(zo) - gl(ZO)} = O z - Zo

z-> zo

382

> O / 0<1 z - Zo 1<

82 ~

1f , (g(zo)) 1\g( z)z --

g(zo) Zo

-

E; 9, (zo) \ <-

2

(4.7)

A partir de este punto , distinguiremos dos casos :

a) 3r > O / O <1 z - Zo Dado que

1< r

~

g(z)

f= g( zo)

f es holomorfa en wo,

3¡.t > O / O <1

W - ,Wo 1<

¡.t

~ \

f (w) - f (Wo ) I \ é W _ Wo - f (wo) < 2(1+ 1g'(ZO) 1)

Puesto que 9 es continua en Zo y ¡.t > O, existe 83 , O < r, tal que

1z -

Zo 1< 83

~ O

<1 g(z)

- g(zo)

1< ¡.t

luego

. I:z -

Zo

1< 83

===}

\f(9(Z)) - f (g(zo)) _ !'(g( zo)) \ < E; g( z ) - g(zo) 2(1+ g'(zo) 1)

(4.8)

1

.' ~o.mando 8 = mín{81 ,82 ,83 } y O <1 z - Zo '. (~ . 7" .~~ sigue:

=

If(g(z)~ ~~g(zo))

_ j'(g( ZO)) g'( ZO) I

1< 8,

de (4.8), (4 .6 ) Y

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61

< If(9( Z)) - f(g(zo)) _ f'(g( zo)) llg(z) - g( zo) I g(z) - g(zo)

+

1

f'(g(zo))

z - Zo

Ilg(Z; =~~zo) - g'( zo)1 ~ =é

< (1+ Ig'(zo) 1) 2(1+ 1:'(ZO) 1) + b) Vr > O :Jz / 0<1 z - Zo 1< r y g(z)

= g(zo).

En este caso, g'( zo) = O, porque existen números z tan próximos como se quiera a Zo para los que g(zl=;~zo) = O. Por lo tanto, las desigualdades (4.6) Y (4.7) se transforman en

0<1 z - zo 1< 81

=}

Ig(z) - g( zo) I < 1 z - zo

(4.9)

y

0<1 z - zo 1<

82

=}

1f'(g( zo)) Ilg(z) - g(zo) I < ~ Zo

z -

2

(4.10)

Como en el caso a), de la derivabilidad "de f en wo y la continuidad de gen Zo, podemos deducir la existencia de un número positivo 84 , de modo que

1z - Zo 1< 84 g(z) i- g(zo)

}

=}

If(g(z)) - f (g(zo)) _ f'(g( zo))1 < ~ g(z) - g(zo) 2

(4.11 )

Finalmente, si 8 = mÍn{8 1,82,Ó4 }, y 1z - Zo 1< 8, de (4.9), (11. 10') y (4.11) obtenemos - - _ ."-- -

=~~g(zo)) - f'(g(zo))g'( zo) I If(9( Z); =~~g(zo)) I

If(9( Z); =

< If(g( z)) -

f(g( zo)) _ f'(g( zo)) g( z) - g(zo)

+

1

f'(g( zo))

Ilg(z; =~~zo) 1<

Ilg(Z) - g(zo) I z - Zo

é

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si g(z)

Capítulo 4: Funciones holomorfas =1=

g(zo). Pero es que, si g(z)

= g(zo),

entonces

f(g(z)) - f(g(zo)) _ f'(g( zo))g'( zo)! = O « z - Zo !

€

!)

O

Teorema 4.7 (Otra regla de la cadena) Sea 9 una función compleja de variable real derivable en Xo y f una función compleja de variable c9mpleja holomorfa en Wo = g(xo). Entonces, f o 9 es derivable en Xo y además, (f o g)'( xo) = f'(wo))g'( xo) La demostración es exactamente la misma que la del teorema anterior, ¡pero se trata de un teorema distinto! O

Teorema 4.8 (Derivada de la función inversa) Sea f holomorfa en un entorno de Zo, con derivada continua en Zo y de modo que f'( zo) =1= O. Entonces, existen entornos U y V de Zo y f( zo) respectivamente de manera que f aplica U en V biyectivamente. Además, la función inversa f-I: V ~ U es holomorfa en f(zo) y

Demostración. - Supongamos Zo = Xo + iyo Y f = u + iv y consideremos la función F(x,y) = (u(x,y),v(x,y)). Según el teorema 4.1, Fes diferenciable en (xo, Yo) Y su matriz jacobiana es

por lo tanto, el determinante jacobiano de F en (xo, Yo) es:

+ (DIV(XO,YO))2 1 DI u( xo, Yo) + iD I v( xo, Yo)

(DIU(XO,YO))2 =

1

f'(zo)

2

1

=1=

O

2

1

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63

Propiedades de las derivadas

Así pues, por el teorema de la función inversa, aplicado a F, existen dos entornos U1 y Ví en JR2 de (xo, Yo) Y F(xo, Yo) respectivamente, de modo que F aplica U1 en VI biyectivamente, que F - 1 : VI ---t U1 es diferenciable y que la matriz jacobiana de F- 1 en F(xo, Yo) es la inversa de la matriz jacobiana de F en (xo, Yo), es decir, la matriz:

Así hemos probado que F- 1 es diferenciable en F( Xo, Yo) Y verifica las condiciones de Cauchy-Riemann, luego f-l es holomorfa en f(zo) y además:

1 o f'(zo) Es conocido que si la matriz jacobiana de una función F diferenciable en un abierto conexo es nula, entonces F es constante. Naturalmente, del teorema 4.1 se deduce el resultado análogo para el caso complejo. Además, las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten formular otras condiciones suficientes para que f sea nula.

un abierto conexo Y sea f : U ---t e holomorfa en U. Cualquiera de las siguientes condiciones implica 'que f es constante: a) f'( z ) = O Vz E U b) I f(z) I es constante en U e) r e(J) es constante en U d) im(J) es constante en U

Teorema 4.9 Sea U

ee

Demostración .- a) Es consecuencia inmediata del teorema 4.l. c) Si f = u + iv y u es constante, entonces, f'( z)

D 1 u(x,y)+iD 1 v(x,y) D 1 u(x,y) - iD 2 u(x,y) 0- iO = O

y se termina con a). d) Se demuestra igual que e).

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64

b) Si 1f(z) 1= O entonces f(z) = O Y por lo tanto f es constante. Si 1f(z) 1= k i= O, u 2 + v 2 = k2. Derivando parcialmente respecto a las dos variables esta expresión:

2u(x,y)DIU(X,y) 2u(x,y)D2U(X,y)

+ 2v(x,y)DIV(X,y) + 2v(x,y)D2V(X,y)

O O

Ecuaciones que, por las condiciones de Cauchy-Riemann, son equivalentes a

U(X, y)D1u(x, y) + v(x, y)D1v(x, y) - u(X,y)DIV(X,y) + v(x,y)D1u(x,y)

O O

que, considerando D1u(x,y) y D1v(x,y) como incógnitas, es un sistema lineal cuyo determinante es

-(U(X,y))2 - (v(X,y))2

= _k 2 i= O

es decir, es un sistema homogéneo, compatible y determinado, luego la única solución es la trivial: D1u(x , y) = O Y DIV(X,y) = O, de donde se sigue que J'( z) = O Y se termina con a). O

EJERCICIOS Y PROBLEMAS LA D EF INICIÓN DE DERIVADA

4.1 Utilizando la definición , calcular la derivada de en los que exista, siendo

a) f( z ) = zn d) f( z) = im(z)

b) f( z) = ~ e) f( z) =

1:z2

4.2 Sea f : D(J) ---+ del siguiente modo: g :

e derivable en

{z : z

E

D(J)}

z

Probar que g es derivable en

c) f( z) = z f) f(x + iy) = ax

+ byi

a, b E Ro

Zo y definamos una nueva función g

---+ --->

Zb

f en todos los puntos

e g(z) = f (z)

Y expresar g'( zo) en términos de

f.

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65

Ejercicios y problemas

4.3 [Una versión de la regla de L'H6pital] Sean f y g derivables en un entorno de Zo y tales que f(zo) = g( zo) = O, g'(zo) -:f O. Probar que

lím f(z) Z--+ZQ

=

g(z)

lím f'( z ) Z --+ ZQ

g'(z)

4.4 ¿En qué puntos es holomorfa la siguiente función?

e-l/lzl

f( z ) = { O

si si

z z

-:f O

=O

4.5 Utilizando únicamente la definición, probar que la función

f (x + i y) = eX ( cos y + i sen y) es derivable en todo problema a z = O.

e y que

f'(z) = f(z), Vz

E

C. Indicación: redúzcase el

LAS COND I C IO NES DE CAUCHy-RIEMANN

4.6 Utilizando las condiciones de Cauchy-Riemann, estudiar la holomorfía de las siguientes fun ciones :

a) f( z ) = z3 d) f( z ) = z re(z)

b) f(z) = In I z I +iargz e) f(z) = z2

4.7 Hallar una función e( z) holomorfa en

e(O) = 1 e(z + w) = e(z)e(w) e(x)=e x VxE R

c)f(z)=lzl

f) f(z)

= (Z-1)(Z+2)2

e que verifique las condiciones: Vz, w E

e

Probar que existe una única función con estas características. 4.8 a) Probar que si f = 1t + iv es holomorfa en Zo = Xo + iyo Y f'( zo) -:f O entonces las curvas 1t( x, y) = constante y v( x, y) = constante son perpendiculares en (xo, yo). b) Comprobarlo estudiando las funciones f( z) = z, fe z) = z2 Y f( z) = ~. 4.9 Expresar las condiciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.

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Capítulo 4: Funciones holomorfas

4.10 [Desarrollo de Taylor de un polinomio] Sea pez) una función polinómica de grado menor o igual que n. Probar que para cualquier Zo E e se pueden encontrar n + 1 números complejos a n , an-l, . .. , ao E tales que

e

Expresar los coeficientes an , an-l, ... al, ao en términos de las derivadas sucesivas de p en Zo. Determinar los coeficientes Al, ... , Am de la descomposición en fracciones simples (3.3) del problema 3.20. 4.11 Deducir del problema anterior la conocida fórmula para los coeficientes del binomio:

n ) n! -(n-m)!m! ( m 4.12 Probar que la función f( x + iy) = JrXYT verifica las condiciones de Cauchy-Riemann en z = O pero no es derivable en z = O. 4.13 En cada uno de los siguientes apartados, averiguar si la función u es la parte real de alguna función holomorfa en un entorno del punto Zo que, además, toma en Zo el valor indicado. En caso afirmativo, calcular f:

a) u(x, y) = x b) u(x, y) = x c) u( x, y) = x2¡y2 d) u( x, y) = cosh x cos y e) u( x, y) = cosh x cos y f) u( x, y) = x - y g) u(x,y) = eY / x

=1 =1 =i Zo = ~

Zo Zo Zo

Zo Zo Zo

=~

=3 = 1 +i

f( zo) = O f(zo)=l-i f(zo) = -í f( zo) = i f( zo) = 1 f( zo) = vis i f(zo) = e

4.14 Probar que si f y g son dos funciones holomorfas en un abierto conexo y sus partes reales son iguales, entonces sus partes imaginarias difieren en una constante. 4.15 Hallar todas las funciones u tales que

es derivable en algún abierto no vacío.

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67

Ejercicios y problemas

4.16 a) Determinar todas las funciones f = u + iv tales que f y 9 = v + iu son holomorías (simultáneamente) en algún abierto no vacío. b) Determinar todas las funciones f = u + iv tales que f y 7 son holomorfas (simultáneamente) en algún abierto no vacío. 4.17 Supongamos que Probar que

lím Zn lím W n

f es derivable y f' continua en el disco 1 z - Zo 1< r .

= Zo = Zo

}

l 1m ' f( zn )-f(wn)

====>

Z n-Wn

= f'( Zo )

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

4.18 Utilizando las propiedades de las derivadas, calcular puntos en los que exista, siendo

a) fez) = z5 + z4 + z3 + 5z - 1 c) fe z ) = (z + i)3(z - i)2

f'

en todos los

b) fez) = l~ z d) fe z ) = (z2 +~)(~-5i)

4.19 Sea f una función compleja de variable compleja y sean p(z ) =1 f( z) 1, E Arg fe z ). Probar que si p (o cp) es una función constante, entonces f es constante.

cp(z)

4.20 Repetir el problema 4.4 utilizando los resultados de esta sección. 4.21 Sean

h , 12, ... , f n funciones derivables (h( z )h(z )", fn(z ))' h(z)h(z) ,·· fn(z)

f{( z)

en z. Probar que

f~( z)

f~( z)

= he z ) + hez) + ... + fn(z)

Deducir que si pez) es un polinomio de grado n y Zl, Z2, . .. , Zn sus raíces (repetidas tantas veces como requiera su multiplicidad), entonces

P'(z)

1

1

1

--=--+--+ ... +-pez) Z-Zl Z- Z2 Z-Zn

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Funciones' analíticas

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Capítulo 5

La integral curvilínea

La integral curvilínea juega un papel fundamental en el estudio de las funciones de variable compleja, si se adopta el punto de vista de Cauchy. Este tipo de integrales nos interesa por su aplicación a la teoría y por algunas consecuencias de ésta al cálculo de integrales impropias o a las transformaciones integrales y no por ellas mismas. Por ello, daremos una definición bastante restrictiva (tan sólo aplicable a caminos regulares a trozos) .

5.1.

CAMINOS

Por definición , un camino es una función compleja de variable real, continua, cuyo dominio es un intervalo cerrado.

,: [a,b]

~C

Evidentemente, el conjunto imagen de " {,(t): t E [a , b]} , es una curva plana, que llamaremos el rango de, y que representaremos por r. r es un conjunto compacto y conexo; ,(a) y ,(b) se llaman extremos del camino. Diremos que el camino, es regular si es derivable en [a, b]* y si " es continua en [a , b] . Ello significa que r tiene vector tangente en todos sus puntos .

'En los extremos se considera la única derivada lateral posible .

71

http://carlos2524.jimdo.com/ Capítulo 5: La integral curvilínea

72

,(b) }

~ //

,(t)

,(a) ---+-+-----+---'-+----+---+---

/

b

t

a

Figura 5.1 : Camino.

~ ,(a) // ---+--+--+--+--~ I

a

I

I

b

Figura 5.2: Camino regular a trozos.

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Caminos

Si existe una partición de [a, b],

a

= t o < tI < t 2 < ... < t n - I < t n = b

de manera que la restricción de , a cada subintervalo, [tk, tk+l], es reguIar , se dice que, es regular a trozos. Un camino, se dice simple si

es decir, , es inyectiva en la, b[. El camino de la figura 5.2 es simple. Si un camino verifica que ,(a) = ,(b), entonces se dice que el camino es cerrado. Si , es un camino r~gular a trozos, el número

1(,)

= ¡ b I ,'(t ) I dt

se llama longitud de ,. (La integral existe por ser ,'(t) continua a trozos 'en [a ,b].)

Definición 5.1 Si Z I Y Z2 son dos números complejos distintos ) el segmento orientado de ZI a Z2 es e/camino (regu lar) :

,: [0,1] t

---t ---t

e, ,(t) =

ZI

+ t(Z2 -

El rango de este camino se representará por

La longit ud del segmento

[Zll

[ZI

1

ZI)

Z2] '

Z2] coincide con I Z2 -

Si

son caminos y se cumplen las igualdades :

ZI

l.

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Capítulo 5: La integral curvilínea

~

r(a)=r(b)

/~+--+----I-

./

a

t

b

Figura 5.3: Camino cerrado. podemos defin

por la expresir

Este camino ~ representa pOI

-...........

/

¡:::: ,.,

,(a)

Definición 5. ,(b)

I

I

a

b

Figura 5.4: Segmento.

tenación de lo que además SE

Definición 5. y radio R, que

http://carlos2524.jimdo.com/ Caminos

75

Figura 5.5: Concatenación 1 = 11 + 12· podemos definir entonces un nuevo camino

por la expresión: Este camino se llama concatenación de los caminos , 1,/2, .. ' Ir Y se representa por /1 + 12 + .. . + Ir'

Definición 5.2 La poligonal [ZI' Z2, . .. ,Zr +ll se define como la concatenación de los segmentos [ZI' Z2 ], [Z2' Z3], ... , [Zr, Zr +ll. Una poligonal que además sea simple y cerrada es un polígono.

e

Definición 5.3 Sean Zo E y R > O. La circunferencia de centro Zo y radio R, que representaremos por C(zo, R), se define como el camino:

[0,27rl --. t

----+

e Zo

+ R( cos t + i sen t)

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76

Capítulo 5: La integral curvilínea

Polígono.

Poligonal abierta.

Figura 5.6: Caminos poligonales.

o

t

27('

Figura 5.7: Circunferencia C( l , R) .

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Carninos

Su longitud es r2~

l(C(zo,R)) = Jo

r2~

IR(-sent+icost)ldt = Jo

Rdt=27rR

como era de desear.

Ejemplo.- El camino 11:

[0,7r]

---+

~

t

e 11 (t) = Zo

+ R( cos 2t + i sen 2t)

tiene el mismo rango que C(zo, R), aunque no sea el mismo camino. Por otra parte, el camino 12:

[0 ,27r] t

---+

~

c· 12 ( t) = Zo

+ R( sen t + i cos t)

también recorre los mismos puntos que C(zo, R), pero, entre otras cosas, en sentido contrario. C(zo, R), 11 Y 12 definen la misma curva, y se dice que son distintas parametrizaeiones de la curva.

Definición 5.4 Sean 11 : [a, b] ---+ e y 12 : [e, d] ---+ e dos caminos. Diremos que 11 y 12 son parametrizaciones o caminos equivalentes si existe una función u : [a, b] ---+ [e, d], derivable en la, b[, con derivada continua, de manera que a) u(t) > Vt E]a, b[ b) u(a) = c, u(b) = d e) 12(u(t)) = 11(t) Vt E [a, b] A la función u se le llama cambio de parámetro.

°

El camino 11 del ejemplo es equivalente a C(zo, R); 12 no lo es.

Definición 5.5 Con las mismas condiciones que en la definición anterior, pero cambiando la condición a) por a') u( t) < Vy E]a, b[, y la condición b) por b') u( a) = d, u( b) = c, se dice que 11 y 12 son dos caminos opuestos o de sentido contrario.

°

Téngase en cuenta que aunque dos caminos recorran el mismo rango, no por e.11o han de ser equivalentes u opuestos. Por ejemplo, el camino

,: [0,47r] t

---+

~

e I(t) = zo+R(cost +isent)

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78

I 11(a)

11 (b) 12 (d)

Figura 5.8: Caminos opuestos.

no es equivalente a ninguno de los anteriores (recorre el rango dos veces). Se propone como ejercicio sencillo probar que la longitud de dos caminos, regulares a trozos , equivalentes u opuestos, es la misma. t

5.2.

LA INTEGRAL CURVILÍNEA. PRIMITIVAS

Definición 5.6 Sea I : [a, b] ----t e un camino regular a trozos, r su rango y sea f : r ----t e una función. Se dice que f es integrable a lo largo de I si la función g, compleja de variable real, definida por

g(t) = f(¡(t)),'(t) es integrable-Riemann en [a , b]. En tal caso llamaremos integral curvilínea (o de línea, o simplemente integral) de f a lo largo de I al valor de la integral J: g(t)dt , que representaremos por J, f(z)dz o simplemente J, f· Es decir,

1, f = 1, f(z)dz = ¡b f(¡(t)),'(t)dt t Esta propiedad se suele expresar diciendo que la longitud de una curva es independiente de la parametrización y de la orientación.

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79

Una condición suficiente para garantizar la integrabilidad de f a lo largo de 1 es que f sea continua., porque en tal ca.so 9 es continua a trozos. Ejemplo

1.- Vamos a calcular la integral

1

I(t)

z2dz

10

z2dz,

1,

1

1

10

=

(t2

e + it

Vt E [O, 1J

+ it)2(2t + i)dt

(2t5

+ 5it

4

-

4t3

-

it2)dt

~(i-1) 3 Teorema veces). de dos a.t

5.1 (Propiedades

de la integral

a) Sean f y 9 funciones integrables a lo largo del camino 1 y sean a y /3 números complejos. La función a] + /39 es integrable a lo largo de 1, Y además

1,

a]

s, r su le a lo or

+ /39

=a

1, f + 1, /3

11

l+].

f

12

c) Si 11 Y 12 son dos caminos equivalentes y f es integrable a lo largo de 11, entonces f es integrable a lo largo de 12, y además

j12L= j11f d) Si 11 Y 12 son dos caminos de 11, entonces

es inde-

g

b) Si 1 = 11+ 12 Y f es integrable a lo largo de 11 y de 12, entonces f es integrable a lo largo de 1, Y además

jf=j 1 1curvialar de lemenfe

curvilínea)

opuestos y f es integrable a lo largo f es integrable a lo largo de 12, y además

j12f - -j 11f

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80

e) Si f está acotada sobre e! rango de un camino, (es decir) si 3M ~ O / 1 f(¡(t)) 1::; M Vt) ) y es integrable a lo largo de! mismo camino) entonces

1, f 1::; 1(¡)M

1

Demostración.- a) se deduce de que (af

+ (3g)(¡(t))¡'(t)

=

af(¡(t))¡'(t)

+ (3g(¡(t))¡'(t)

y de aplicar la linealidad de las integrales de Riemann. b) Como, =

,1 + ,2,

y se obtiene el resultado deseado. y son equivalentes, existe un cambio de parác) Puesto que

,1 ,2

metro u, que cumple todas las condiciones para realizar un cambio de variable en la integral de Riemann. Por lo tanto, si ponemos u(t) = x,

J: f(¡l(t))¡~(t)dt

J: f(¡2(u(t)))¡~(u(t))u'(t)dt

= Jcd f (¡2 (X ) )¡~ (x ) dx

es decir,

1,1 f - 1,2 f d) Por el mismo razonamiento que en c) se obtiene una fórmula similar pero ahora la integral va de d a e, produciéndose así el cambio de signo.

e) 1

J,f

J: f(¡(t))¡'(t)dt J: f(¡(t))¡'(t) dt J: 1f(¡(t)) 1I,'(t) 1dt M J: 1,' (t) 1dt 1

1

< <

1

1

Ml(¡)

1

O

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g

')'( t) ,),(a)

( a

t

')'(b) ~

81

g(')'(b))

g(')'(a)) 'b Figura 5.9: Composición g o ')'.

Es inmediato comprobar que si ')' : [a, b] ~ e es un camino regular a trozos y g es una función holomorfa con derivada continua sobre el rango de ')', entonces g o ')' es a su vez un camino regular a trozos. Este hecho nos va a permitir enunciar un teorema de cambio de variable para integrales de línea.

Teorema 5.2 (Cambio de variable) Sea g una junción derivable con derivada continua sobre el rango del camino 1, y sea j una junción integrable a lo largo del camino g o ')'. Entonces

r

JW Y

j(z)dz

=j

j(g(w))g'(w)dw

')'

Demostración.- Utilizando simplemente la definición de la integral curvilínea. obtenemos:

1,

j(z)dz

=

lb

j(g o ')'(t))(g o ')')'(t)dt

=

lb

j(gb(t)))g'b(t))')"(t)dt

Por otra parte, j(g(w))g'(w) es integrable a lo largo de ')' si existe la integral:

lb

j(g(')'(t)))g'(')'(t))')"(t)dt

Y en tal ca.so coincide con ésta, luego ya está todo probado.

O

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82

Capítulo 5: La integral curvilínea

Ejemplo.- Una integral de Riemann de una función real de variable real puede considerarse como una integral de línea compleja:

¡b f(t)dt

=

la

¡

f(z)dz

l[a,b]

Consideremos por ejemplo la integral

fo21r (cos3 t + sen 2 t + 1 )dt

(5.1 )

haciendo el cambio de variable

z = cos t

+ i sen t

El segmento [0,211"] se convierte en la circunferencia C(O, 1), cos t - i sen t

Z -1

- sen t

dz

y

+ i cos t

= izdt

z -

= 2i sen t

luego: z

+ Z -1 = 2 cos t

es decir, cost

Z2 + 1 = - -- y

2z

Z -1

sent

Z2 -

1

=- - 2iz

con lo que la integral (5.1) se transforma en

1

C(O,l)

+ [Z2,z 2:- 1] 2 + 1 [Z2+1]3 2z d .

. ZZ

Z

De este modo, una integral racional en senos y cosenos, sobre el intervalo [0,211"] se transforma en una racional en la circunferencia C(O, 1). Como veremos en el capítulo 10, este tipo de integrales se calculan fácilmente haciendo uso del teorema de los residuos. Definición 5.7 Sean f y F dos funciones complejas definidas en un abierto A. Si F es holomorfa en A y F'(z) = f(z) Vz E A, diremos que F es una primitiva de f (en AJ.

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83

e

Teorema 5.3 (Regla de Barrow) Sea,: [a , b] - - - t un camino regular a trozos. Si f es integrable a lo largo de , y si F es una primitiva

de f en un abierto que contiene al rango de " entonces 1, f(z)dz = F(¡(b» - F(¡(a» En particular, si , es cerrado, la integral de f a lo largo de , es nula. Demostración. -

1,

f(z)dz = ¡b f(,(t»),'(t)dt = ¡b F'(¡(t»),'(t)dt

Luego, por la regla de la cadena, tenemos

1,f(z)dz

= ¡b(Fo,)'(t)dt = (Fo,)(b) - (Fo,)(a)

aplicando la regla de Barrow a la última integral de Riemann.

O

El teorema anterior tiene como consecuencia muy importante ló siguiente: supongamos que la función f es continua en el abierto A donde, además , admite una primitiva F; si y son dos caminos regulares a trozos cuyos rangos están contenidos en A y si además sus extremos coinciden (¡l(ad = '2(a2), 'l(b1 ) = 12(b 2», entonces las integrales de f a lo largo de uno y otro camino coinciden. Esta propiedad se expresa diciendo que la integral de f es independiente del

,1 ,2

camino en A. Ahora bien , así como por el teorema fundamental del cálculo se tiene que toda función continua en un abierto de lR admite una primitiva en dicho abierto, en variable compleja esta propiedad no se verifica, como se comprueba en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.- La función fe z ) = (z - at 1 es continua (incluso derivable) en el abierto {a}. Si calculamos la integral de f en la circunferencia a, R):

e-

e(

¡

JC(a,R)

f(z)dz =

¡21r Rf(a+R(cost+isent»(-sent+icost)dt

Jo

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84

Capítulo 5: La integral curvilínea

= Jo¡21r R( cos t R. + 2 sen t ) (- sen t + i cos t)dt = fo21r idt

=

21ri

luego f no tiene primitiva en ningún abierto que contenga a C(a, R) , pues , según el teorema anterior, al ser C(a, R) un camino cerrado , la integral debería ser nula.

Ejemplo.- La integral del ejemplo 1 se podría haber calculado simplemente usando la regla de Barrow: dado que z3 /3 es una primitiva de z2, tenemos 31')'( 1) z311+i (1 + i)3 z2 dz = z3 ')'(0) = 3 o = 3

1,

(Utilizamos la notación F( z) I~ = F(b) - F(a) como en el caso real.)

_ __ __ Corolario 5.1 Si F Y G son dos primitivas de A, entonces F - G es constante en A.

f

en un abierto conexo

Dem.ostración.- Sea Zo E A. Puesto que A es abierto conexo , para cu~lquiet: z E A existirá un camino regular a trozos, "(, que vaya de Zo a z, e:p.tóÍlces

1, f(w)dw = F( z ) - F( zo) = G( z) - G( zo) l~~ego >

;

:.:': . ':.:?: F(z) - G(z) = F(zo) - G(zo) = k :).

Vz

E

A

O

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85

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CAMINOS

5.1 Describir geométricamente los caminos: a) 'Y(t) = 1 + t 2 + ti -1 ~ t ~ 1 b) 'Y(t) = acost + ibsent O ~ t ~ 211", a,b > O c) 'Y(t) = acost - ibsent O ~ t ~ 211", a,b > O d) 'Y(t) = t(cost + ibsent) O ~ t ~ 411" e) 'Y(t) = cosht + isenht -1 ~ t ~ 1 -a~t~a

f)'Y(t)=c+it

5.2 a) Probar que la longitud del segmento [Zl,Z2] es 1Z2 es la longitud de la poligonal [Zl, Z2, ... , zn]?

Zl

l. b) ¿Cuál

5.3 Probar que dos caminos (regulares a trozos) equivalentes u opuestos tienen la misma longitud.

e

5.4 [Parametrización natural] Sea 'Y : [a, b] ---> trozos y 1(1') su longitud. Considérese la función s:

[a, b]

--->

[O, lb)] s(t)

-+

un camino regular a

= J:

1

'Y'(t) dt 1

Probar que s es un cambio de parámetro. LA INTEGRAL CURVILÍNEA. PRIMITIVAS

5.5 Calcular la integral curvilínea

a) b) c) d) e)

fez) = z3 fez) = re(z) fez) =1 t 1 fez) = (z_la)n fez) = z~a

i

1'( t) 'Y(t) 'Y(t) 'Y(t) 'Y(t)

f(z)dz, siendo:

= t 2 + it,

O~ t ~ 1

= 2t + 2it, O ~ t ~ 1 = t - it, -1 ~ t ~ 1

= C(a, R),

n":f 1

= C(a, R)

5.6 Completar los detalles en la demostración del teorema 5.1. 5.7 Sea R

>1 a 1> O.

a) Demostrar la desigualdad

r

dz

<

JC(O .R) z2 - a 2 -

211"R R2-

1

a 12

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86 b) Demostrar que

r

lím

dz

R-++oo JC(Q,R) z2 - a 2

=O

5.8 Demostrar que si f(z) = ~~l donde P y Q son funciones polinómicas y el grado de Q supera al de P menos en dos unidades, entonces

lím

R-++oo

1,R

f(z)dz

=O

siendo "IR cualquier arco de la circunferencia C(O, R). 5.9 [Invariancia por traslación] Sea "1 : [a, b] --+ e un camino regular a trozos y f una función integrable a lo largo de l' Dado a E e se define el camino la mediante la fórmula la(t) = I(t) + a. Demostrar que

1,

f(z)dz

1

= ,a f(z -

a)dz

INTEGRAL CURVILÍNEA REAL Y COMPLEJA

En este apartado suponemos al lector familiarizado con la integral curvilínea de dos variables reales. 5.10 Podemos identificar el camino I : [a, b] --+ e con la curva en R? --+ JR2 definida por 'f(t) = (re("((t)), im("((t))). Probar que, si

'f : [a,b] f(x

+ iy) = u(x, y) + iv(x, y), ~ f(z)d z =

h

Udx - vdy + i

h

vdx

+ udy

5.11 Demostrar que si U e e es un abierto simplemente conexo, I un camino cerrado regular a trozos y f una función holomorfa en U con derivada continua en U, entonces

~ f(z)dz = O 5.12 Expresar mediante una integral curvilínea compleja el área encerrada por el rango de un camino cerrad.o simple regular a trozos.

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Capítulo 6

El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Vimos en el capítulo 5 (ejemplo 2) cómo, contrariamente al caso real, una función continua en un abierto puede no tener primitiva. Ello es debido realmente al hecho de que la geometría plana es mucho más rica que la recta. En este capítulo encontraremos una clase muy amplia de subconjuntos de en los que toda función holomorfa admitirá primitiva. Además, del resultado central que obtendremos, se van a derivar la práctica totalidad de las propiedades de las funciones de variable compleja. Terminaremos definiendo una función de variable compleja de gran interés.

e

6.1.

EL

TEOREMA DE CAUCHy-GOURSAT

Naturalmente, un triángulo es un polígono cerrado formado por tres segmentos (los lados del triángulo), es decir, el camino [Zl,Z2,Z3,Zll . En todo el apartado consideraremos el triángulo [Zl' Z2, Z3, zl l Y la región cerrada T formada por éste y sus puntos interiores. El diámetro de Tes:

D(T) =

máx{1

Zl -

Z2

1,1 Z3 -

Zl

1, 1Z2

-

Z3

1}

Si Z 12 , Z 23 Y Z31 son los puntos medios de los lados del triángulo, se observa inmediatamente que el triángulo inicial [ZlZ2, Z3, zl l y los cuatro triángulos en que queda dividido (ver la figura 6.1) son todos ellos

87

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Z1

Z1

Figura 6.1: Triángulos.

semejantes y, además, la longitud de cada uno de los cuatro triángulos es la mitad de la longitud del triángulo inicial, y lo mismo ocurre con los diámetros respectivos.

Teorema 6.1 (Teorema de Cauchy-Goursat para triángulos)

Sea f holomorfa en T. Entonces

r

f(z)dz

J [Z l I Z2,Z3,Zl]

= O.

Demostración.- Si dividimos [Z1' Z 2 , Z3, Z1] en cuatro subtriángulos según se indica en la figura 6.2 y llamamos ..yo al t riángulo inicial y ,(1) , ,(2), ,(3) Y ,(4) a los cuatro subtriángulos respectivamente, es inmediato que 4

¿ k=1

J

(k)

f (z)dz

=

,

ya que los lados j.nteriores de los

, (k)

1'o

f( z) dz

(6.1)

se recorren dos veces , pero en

sentidos opuestos. De (6.1), por la desigualdad triangular, se sigue que

Sea decir ,

,1el triángulo que proporciona la máxima integral en (6.2), es (6.3)

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89

Figura 6.2: Subdivisiones.

Si repetimos el mismo proceso dividiendo ahora 11 en cuatro subtriángulos, obtendremos otro triángulo 12 de modo que

y, por tanto,

Por recurrencia, construimos la sucesión de triángulos {,n}

Vn E N

(6.4)

Por otra parte, de acuerdo con las observaciones previas al teorema, si Tn es la región formada por In Y su interior, (6.5) y

(6.6)

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funcion es logarítmicas

De (6 .5) se deduce que líII1n .... oo D(Tn ) = O. Por lo tanto, {Tn } es una sucesión contractiva de conjuntos compactos no vacíos cuyo diámetro tiende a O: por el teorema de Cantor, la intersección de todos ellos es un punto, 00

Puesto que 38

f

es holomorfa en zo, dado [ > O,

> O / O < z - Zo < 8 1

1

===?

If (z)

- f (zo) z - Zo

f' (zo) I < [

Elijamos p E N de modo que T p esté contenido en el círculo de centro Zo y radio 8. Entonces,

1z -

Zo

1< ó

Por otra parte, dado que

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91

resulta que, por la regla de Barrow,

¡ (f( zo) + J'( zo)( z - zo))dz = In

O

luego

lJ,n f( Z)dz l

=

lJ,n (f(z) - [f( zo)

< l(¡n) máx{lf(z ) z ETn

+ J'(zo)( z - zo)])dz l [j( zo) + J'( zo)( z - zo)JI} \In?. p

es decir,

\In?. p

(6.7)

Relacionando (6.7) Y (6.4) , obtenemos que

luego

r f( z )dz = O

1,0

D

Rebajando un poco las hipótesis , podemos obtener una nueva versión del teorema 6.1 que nos resultará muy útil. Corolario 6.1 S ea Zo E T. Si f es holomorfa en T - i zo} y continua

en T , entonces la integml de f a lo largo del triángulo [Zl ' Z2, Z3, zll es cero. Demostración.- Distinguiremos varios casos según la posición de Zo en T (ver figura 6.4). a) Zo es un vértice de T (por ejemplo Zo = Zl). Podemos elegir dos puntos a y b en los segmentos [Zl ' z2l Y [Z3, zll respectivamente, tan cercanos a Zo como queramos ; Entonces

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Zo

= Zl

Zl

Zl

caso a)

caso c)

caso b)

Figura 6.4: Posibles posiciones de

Zo.

Puesto que a T2 y T3 se les puede aplicar el teorema 6.1, queda

r

f -

J[Zl ,Z2 ,Z3 ,Zl)

r

f

J[zl,a,b,z¡)

Puesto que f es continua, es obvio que el límite (cuando a y b tienden a zo) de esta última integral es 0, y se obtiene el resultado para este caso. b) Zo está en un lado del triángulo (por ejemplo en [Zl' Z2]) ' Dividimos el triángulo en dos, de forma que ahora Zo es vértice de ambos triángulos, por lo que, aplicando el caso a), se vuelve a obtener el resultado esperado. c) Zo es interior a T. Se divide T en tres triángulos a los que se puede aplicar el caso a). O 6.1.1.

CONJUNTOS ESTRELLADOS Y PRIMITIVAS

Definición 6.1 Sea A un subconjunto de C. Diremos que A es estrellado si existe a E A de modo que el rango del segmento [a, zL para cualquier z de A, permanece dentro de A. Es decir, 3a E A / (1 - t)a

+ tz E A

Vt E [0,1] Vz E A

Es evidente que todo conjunto convexo es estrellado. Un ejemplo interesante de conj unto no estrellado es e - {zo} , donde Zo es cualquier

http://carlos2524.jimdo.com/ El teorema de Cauchy-Goursat

93

Figura 6.5: Conjuntos estrellados. número complejo. Como vimos en el ejemplo 2 del capítulo anterior, sobre este tipo de conjuntos las funciones holomorfas no siempre admiten primitiva.

Lema 6.1 Sea A un abierto estrellado y f una función continua en A. Si para todo triángulo 'Y que, junto con su interior, está contenido en A se verifica que

entonces

f

admite una primitiva en A.

Demostración.- Sea a E A el punto que verifica que el rango de [a , z] está contenido en A para todo z E A. Podemos entonces definir la función F( z) = f(u )du Vz E A (6.8)

r

J[ a,z]

Probaremos que F es holomorfa en A y que F'(z) = f( z) en A. Dado que A es abierto, fijado z E A, existirá r > O de modo que el círculo de centro z y radio r está contenido en A. Entonces , por ser A estrellado, para cualquier w de dicho círculo, el triángulo [a, z, w, a] está contenido, junto con su interior, en A. Así pues,

r

J[a ,z,w,a]

f(u)du=O

luego

r

J[a,z]

f(u)du

+ J[z,w] r f(u)du + Jr[w,a] f(u)du = O

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94

I

~:: z

(

A

a

!

!

1

Figura 6.6: F( z ) = I¡a ,z] f(u)du. de donde

F(z) - F(w)

=

(

J[w,z]

f(u)du

La integral del segundo miembro de la expresión anterior se puede calcular parametrizando el camino [w, z] como:

u=w+t(z-w) , du=( z -w)dt luego

la la

F(z) - F(w) F( z) - F(w) z- w

1

f(w 1

+ t( z -

w))(z - w)dt

f( w + t(z - w))dt

por lo tanto

1F(Z: =~(w) -

f( z) 1

= Ila

1

f(w

+ te z -

w))dt - f( z) 1

1

=

Ila [J(w + tez - w)) -

f( Z) ]dtl

(6.9)

Dado que f es continua en A, límw-+zf(w + t(z - w)) = f( z ), y para cualquier é > O existirá Ó > O de manera que

0<1 z - w 1< ó

=}

1f(w + t(z -

w)) - f( z)

Esto último junto con (6.9) nos conduce a que

F( Z) - F(w) _ f( z) l ::; {1 ~dt

I

z-

w

Jo

2

=

~<é 2

é

1< 2'

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luego hemos probado que F es una primitiva de

95

f

en A.

O

Corolario 6.2 Sea A un abierto estrellado y sea Zo E A. Si f es holomorfa en A-{ zo} y continua en A) entonces f admite una primitiva en A. Demostración.- Es consecuencia inmediata del corolario 6.1 y del lema 6.1. O

Teorema 6.2 Sea A un abierto estrellado y sea Zo E A. Si f es holomorfa en A - {zo} y continua en Zo) entonces: a) si 1 es un camino cerrado regular a trozos) la integral de f a lo largo de 1 es cero) b) si 11 y 12 son dos caminos regulares a trozos cuyos extremos coin ciden) las integrales de f a lo largo de 11 y 12 son iguales. Demostración.- Puesto que, por el corolario 6.2, f admite una primitiva en A, el resultado se obtiene aplicando la regla de Barrow. O

Así pues, hemos probado que, en: las condiciones del teorema 6.2, la integral de f es independiente del camino elegido (lo cual también se expresa diciendo' que f es un campo conservativo en A). Por lo tanto, en (6.8) se puede cambiar [a , z] por cualquier camino que vaya de a a z siempre que su rango esté contenido en A.

6.2.

LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

En este apartado nos proponemos extender al campo complejo la función logarítmica" de variable real, In t, inversa de la exponencial e t . Sabemos que In t es una función continua definida solamente para t > O y que es derivable, siendo l/t su derivada. También sabemos que In 1 = O. Las dos últimas afirmaciones se resumen en lnt

=

l

1

t

1 -du

u

Vt > O

(6.10)

"Para evitar confusiones adoptaremos la siguiente not ación: lag z para la función logarítmica de variable compleja y In t para la de variable real.

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat . Funciones logarítmicas

Por ello, resulta tentador definir la función logarítmica de variable compleja a partir de la expresión log z

=

1 ~dw

o, más generalmente, logz

=

[l,z]

w

r ~dw J,w

(6.11)

donde, es un camino regular a trozos que va de 1 a z.

Para empezar, habrá que exigir que el origen no pertenezca a f , (el rango de ,), puesto que la función f(w) = l/w no está definida en dicho - - - - punto. Pero además , para que la definición (6.11) sea correcta, deberá ser la integral independiente del camino , j para ello necesitamos que l/w tenga primitiva, cosa que ya sabemos que no se verifica en C- {a}. Ahora bien, de acuerdo con el teorema 6.2, si restringimos el dominio de i/w a un abierto estrellado, este problema quedará subsanado. Si recordamos que los números reales negativos no tenían logarit: ffiO (teal) deberemos intentar definir un logaritmo complejo para el :conjunto A = {z E C : arg z =1= -7!'} es decir, todos los números complejos excepto el semieje real negativo. Evidentemente, A es un abierto estrellado (tomando cualquier punto del semieje real positivo para "llegar" al resto de puntos), y, por lo tanto, la función f(w) = l/w , holomorfa en A, admite una primitiva que llamaremos la determinación principal de la función logaritmo complejo (más tarde veremos por qué este nombre) y que se puede representar mediante la fórmula: log z = ~dw

r J,w

siendo, cualquier camino regular a trozos en A que vaya de 1 a z, para cualquier z de A. Por la definición dada, son evidentes las propiedades: a) logx = lnx \::Ix>

a.

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97

Las funciones logarítmicas

z

Figura 6.7:

r = PI + r

2

•

b) log z es holomorfa en A, siendo su derivada 1/ z

Vz E A.

Trataremos ahora de "hallar" el logaritmo complejo de z. Aunque parece razonable el cálculo de log z desde 1

1.[1 ,z) -dw w ésta no resulta la mejor elección del camino, ya que conduce a la integral: 1 z -1 log z = dt o tz + 1 - t

la

que no podemos calcular. En cambio, el camino 11 + 12 de la figura 6.7 proporciona un par de integrales inmediatas como sigue: el camino 11 puede parametrizarse como

[1 , 1 z

11:

IJ

---+

~

t


=t

luego

I = 1,1%11-dt = In j11 -dw t W

1

1

z

1

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

El camino 12 es un arco de circunferencia de radio metrización más simple viene dada por 12:

[O, arg z]

1

z

1

cuya para-

---+C

t

-+

12(t)

=1 z 1(cost+isent)

así pues ,

1

1 -dw

12 w

=

l

arg

o

z

1

sen t + i cos t) . dt 1 z 1 (cos t + z sen t)

z

1 (-

=

l

arg

o

z .

zdt

= z. arg z

En definitiva, puesto que log z =

r,t ~dw + r ~dw w 1,2

J

W

hemos obtenido la expresión:

Vz E A

log z = In 1 z 1 +i arg z

Esta es la razón que justifica el haberla llamado determinación principal del logaritmo , ya que la hemos basado en la determinación principal del argumento. Además, la expresión anterior sugiere la idea de definir otras determinaciones del logaritmo.

Definición 6.2 Cada número real x define una determinación del 10garitmo: la función logx:

Ax ---+ C z -+ logx z

donde Ax = {z E C : arg x z

#- x -

= In

1

z 1 +i arg x z

7l" }

Es conveniente expresar la fun ción logx t como una integral curvilínea. Veamos cómo podemos conseguirlo. Sea Zo = cos x + i sen x. Puesto que la posición de Zo respecto de la semirrecta x + 7l" E Arg z es la misma que la de 1 respecto al semieje real negativo, es de es perar que logx se pueda representar como

r ~dw w

J,

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99

· Las funciones logarítmicas

z¡

Figura 6.8: f = f) + f 2 • siendo 1 un camino que vaya de Zo a z . Para ello elij amos el camino 1 = 11 + 12 de la figura 6.8 .

e

~

[1,1 z 1]

/ 1:

11(t) = t zo

-t

Como

I~ (t) =

zo, tendremos:

1

1,121-dt Zo =

1

-dw =

11 W

1

t zo

In 1 z

1

y para 12,

12 : [x , arg x z] t I~(t)

~ -t

e 12(t)

=1 z 1(cost + isent)

=1 z 1(- sen t + i cos t) = i /2 (t), luego

1

1

-dw= 12 w .

¡ar xidt=i(argxz -x) g z

x

Es decir,

1~dw = I

W

In 1 z 1 +i arg x z - ix

tNo debe confundirse la función logx con el logaritmo en base x.

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Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat.

Con lo cual casi hemos obtenido el resultado

log, z Como consecuencia fundamental:

=

ix

+j

deseado.

En realidad,

,w~dw

de esta relación, ya es inmediata

log, es holomorfa en Ax y) además) log~ z Definición

Funciones logarítmicas

=

la propiedad

1/ z Vz E Ax

6.3 Sea z -=f. O. Representaremos

por Log z el conjunto de todos los valores que pueden tomar las determinaciones del logaritmo en z, es decir)

Es inmediato

Logz

=

Log z

= In I z I +i Arg z

{log, z: x E lR}

que

Luego cada número complejo tiene una infinidad numerable de 10garitmos complejos que difieren entre sí un múltiplo entero de 21l'i. Por otra parte, de las propiedades del logaritmo real y de los argumentos complejos, se deduce que: para cualesquiera números complejos no nulos z y w,

= =

Logzw Log-

z w

Logz

+ Logw

Logz - Logw

Ejemplos.-

EL

TEOR.EMA

6.1 Demostra la integral a lo J de Cauchy-Gou por un polígon:

6.2 Probar qu por un polígon puntos,

Log e log, 1 10g211' 1 Log( -1) 10g(1 i)

+

log¿ 7i

=

= = = = =

{l + 2k1l'i : k E Z} O 271"i {(1l'+2k1l')i: k E Z} In J2 + i¡ In 7 + i~

1

en los (

6.3 Dar un e} 6.1 pero no el t 6.4 Supongan

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Ejercicios y problemas

7i

.1 -1

1

+i e

EJERCICIOS Y PROBLEMAS EL

TEOREMA DE CAUCHy-GOURSAT

6.1 Demostrar que la integral a lo largo de un polígono se puede reducir a la integral a lo largo de una concatenación de triángulos. Deducir el teorema de Cauchy-Goursat para el polígono: si f es holomorfa en la región formada

por un polígono I junto con su interior, entonces

i

f(z)dz

= O.

6 .2 Probar que si f es holomorfa en todos los puntos de la región formada por un polígono I junto con su interior, excepto en un conjunto finito de

puntos, en los que es continua, entonces

i

f( z )dz

= O.

6.3 Dar un ejemplo de una integral a la que se pueda aplicar el problema 6.1 pero no el teorema 6.2. 6.4 Supongamos que O < r < R. Calcular la integral

r lC(o,r)

R+z d z(R - z) z

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Capít ulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas

Aplicar el resultado obtenido para demostrar que

1211'

1 27l' o

R2

r2

-

R2 - 2Rr cos t

+ r 2 dt = 1

< R, utilizar la integral

6.5 Si O ::; r

1

C(O,r)

1 - - dz R- z

para demostrar que

1211'

1 27l' o

Rcost

+ r 2 dt=

R2 - 2Rr cos t

r

-:c-::----=-2 R2 - r

6.6 [Una demostración del teorema fundamental del álgebra] Sea

un polinomio no constante y supóngase que P( z) no tiene raíces (entonces -::j:. O). Escribiendo P( z ) = zQ( z) + ao probar que

ao

1

Q(z)

ao

= -+-z P(z) zP(z) Integrar esta igualdad en la circunferencia C(O, R) y llegar a una contradicción. Concluir que P(z) ha de tener alguna raíz. 6.7 Evidentemente la unión de dos conjuntos estrellados no tiene porqué ser estrellada. ¿Y la intersección? ¿ Qué ocurre si el centro de las dos estrellas es el mi smo? LAS

Fu&cfoI'H~SrOGARíTMICAS'---. ,. ., ~

'

.

- 6 : ~ Hallar t ,óg.'t , log z y log1l' z, siendo

'4\i} Z = f; 'e) z±:.l + 'f 6.9

;pr_~ba!( que,

=1 z =1-

b) z

f) si zw

Lag zw

-::j:.

i

c) z g) z

= -1 = ei

d) z = i h) z = -ei

O,

= Lag z + Log w

z Log w

= Log z -

Logw

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103

Ejercicios y problemas

6.10 ¿En qué condiciones es cierta la siguiente igualdad?

6.11 Demostrar que log(1 + i)2 = 21og(1 ¿Es cierto que log( 1 - i)2 = 2log(1 - i)?

+ i).

6.12 Resolver las ecuaciones

a) Logz = ni} d) log z = Íi g) log1l"

z

b) Log z = {1} e) log z = 1

c) Log z = {O} f) logz = O

=1

6.13 ¿Es posible extender continuamente la función logx a algún punto de la semirecta {z E e : x E Arg z }? 6.14 a) Determinar el rango de la función logx' b) Probar que logx es una función inyectiva. c) Sea ex la inversa de logx' Demostrar que, para todo z de su dominio, e~(z) = e(z). d) Si z = a + bi está en el dominio de ex, probar que ex(z) = ea ( cos b + i sen b). 6.15 Discutir la validez del siguiente razonamiento:

(_1 )2

= 1 => log(-1)2 = log1 = O => 21og(-1) = O => log(-1) = O

6.16 Probar las siguientes identidades:

= ~(log(i + x) -log(i arccos x = -ilog(x + i~)

arctanx

x))

x E R.

-1 <

x:::; 1

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Capítulo 7

Series de potencias. Funciones elementales

Hemos empleado la integral curvilínea en el capítulo 6 para definir la función logarítmica. Ahora vamos a terminar de definir todas las funciones elementales en el campo complejo (decir "todas" es quizás algo exagerado ya que, en realidad , sólo vamos a necesitar una función elemental, jy ésta ya la conocemos, dado que es la inversa de las funciones logarítmicas!). Para ello, utilizamos la siguiente técnica -análoga· a la empleada en el caso de las funciones logarítmicas- que se basa en que las fun<;iones elementales de variable real coinciden todas ellas con su serie de Taylor, de forma que usaremos la igualdad:

para definir la misma función en variable compleja. (Para ello, obviamente, debemos comenzar con el estudio de las series de potencias complejas y sus propiedades.) Por otra parte, la variable compleja va a revelar un sorprendente parentesco entre la función exponencial y las funciones trigonométricas, parentesco que será la base de la extensión de éstas al dominio complejo. • Análoga en el sentido de extrapolar al campo complejo propiedades conocidas en el campo real.

105

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106

Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

7.1.

SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS

Sean zo, ao, al, a2, ... números complejos cualesquiera. Una serie de potencias centrada en Zo es una expresión del tipo 00

L

an(z - Zo

00

= ao + L

t

n=O

an (z - Zo

t

(7.1)

n=l

Para cada Z E e, (7.1) es una serie numérica. Lo primero y fundamental será estudiar su convergencia. Para ello utilizaremos el criterio de la raíz:

*

si límsup tamente,

:;JI an(z -

zo)n

*

si límsup

:;JI an(z -

zo)n 1> 1, entonces la serie diverge.

1< 1, entonces la serie converge absolu-

Si a(z) = límsup :;JI an(z - zo)n 1=1z - Zo llímsup ~, entonces la serie converge para aquellos z E e tales que a( z ) < 1, es decir, Slempre que

<

1

z - Zo

1

z - Zo 1 >

1

1

límsup~

y diverge si

1

límsup~

No sabemos qué ocurre cuando 1

z - Zo

1

=

1

límsup~

Estas afirmaciones siguen siendo válidas si convenimos que _1_ - O + 00 •

t=

+00 Y

Definición 7.1 El radio de convergencia de la serie (7.1) se define como

r=

1 ------~====

límsup~

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107

Series de pótencias complejas

y el círculo de convergencia de la misma serie como

B( zo, r) = {z E

e:z1

Zo 1< r}

es decir, la bola abierta de centro Zo y radio r. t

A la hora de calcular el radio de convergencia es conveniente recordar la relación entre el límite de la raíz n-ésima y el límite del cociente (lema 2.1). En resumen, la serie (7.1) converge absolutamente dentro de su círculo de convergencia, diverge en el exterior del mismo y puede converger o diverger en la frontera de éste. t

Ejemplo.- La serie geométrica L zn tiene radio de convergencia 1, ya que límsup V'I = 1. Esto, significa que converge para 1z 1< 1 y diverge para 1z 1> 1. Además, según se vio en el primer ejemplo del capítulo 2, esta serie diverge en todos los puntos de la frontera, 1z 1= 1. Ejemplo .- La serie

L znn!

tiene radio de convergencia O, ya que

luego sólo converge para z = O.

Ejemplo.- Las series ya que

L (z ~;t y L ~~ tienen radio de convergencia +00 ,

1 n~/ , V 11m 1/ n:1-1' - 1m /(n/ +I 1)! 1 n.

1

luego convergen en todo

' ( 1- 11m -

n!

n

_ l'1m -1- -_ O n +1

+ 1) I. -

e.

Llegados a este punto conviene comentar que es posible extender a sin ninguna dificultad, la teoría de convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones de variable real§ que el lector posiblemente

e,

tA los efectos de series de potencias convendremos en que B( zo, +=)

B(zo,O)

= {zo} .

tNótese el significado del nombre de serie centrada en zo. §Como haremos (ventajosamente) en el capítulo 11.

=e

y

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108

Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

conoce~. En tal caso podríamos demostrar que la convergencia de las series de potencias complejas es uniforme sobre los compactos interiores al círculo de convergencia y deducir de ello la continuidad y derivabilidad de las mismas. Sin embargo, nos limitaremos a probar, en este momento, que las series de potencias pueden derivarse término a término sin necesidad de aludir a la convergencia uniforme.

7.1.1.

DERIVACIÓN DE UNA SERIE DE POTENCIAS

Teorema 7.1 Supongamos que la serie L: an(z - zo) n tiene radio de convergencia r > O. La función f definida en el círculo de convergencia B(zo, r) por 00

f(z) =

L

an(z - zo)n

n=O

es derivable y su derivada es 00

f'(z)

= L: nan(z -

zo)n-l Vz E B(zo, r)

n=l

Derr¡{y;{ración.En primer lugar se observa que las dos series de poten. , • '1' .~

G,las,. ~ .'..:....:

..

tienen el mismo radio de convergencia, ya que: límsup

11 (n + l)a

n +1

v'ñ+l" 11an +1 I = límsup 11 an+l I = límsup~

I =

límsup

Dado Zl E B(zo, r), entonces, ambas series convergen y deberemos probar que 00

f'(Zl)

= L: nan(zl n=l

ITSi no es así, puede consultar el apéndice A.

- zo) n-l

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109

Series de potencias complejas

es decir, si 00

= ¿: nan(z -

ZO)n-l

, f(Zl) - f(w) 11m

= 9 () zl

g(z)

n=l

en B(zo, r), entonces

w-+Z¡

Zl -

W

Para ello, tomemos primero un rl < r tal que Zl E B(zo, rl)' y tomemos también un r2 < rl de forma que B(Zl,r2) e B(zO,rl)'

Sea entonces w E B(Zl' r2):

=

~ { (zl-zO)n _ (w-zo)n L..- a n n=l Zl - W

-

(

n Zl - Zo

)n-l }_ () -

*

Teniendo en cuenta la fórmula.:

An _ B n

=

(A - B )(A n- 1 + An- 2B n-l (A - B)

¿: An-k B k

k=l

+ ... + AB n- 2 + Bn-l)

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110

obtenemos que

Esta última expresión es la suma de una serie que vamos a dividir en una suma parcial más su resto como sigue:

\a n

{};(ZI- zot -k(w -

Zo)k - n(ZI -

{'f 1ZI 1{'f r~-kr; + nr~-I}

~I an 1

Zo In-kl W - Zo

zot-I}\

I +n 1ZI- Zo In-I} k

k=1

~I an

k=1

< 2n 1 a n

1

r~ -I

puesto que rl < r, ¿ nanr~-I converge absolutamente, luego 1 r~-I converge, y, por el criterio de comparación, (*) es una serie convergente de forma que dado é > O, existe no E N tal que

¿ 2n 1 an

é

< 2: (7.2) (A partir de no el resto está acotado en módulo.) Por otra parte, la suma parcial

es un polinomio (de la variable w) que podemos representar por p( w ) tal que p(zo) = O, luego, por continuidad, lím w --+ zQ p(w) = O, y, dado é > O existe 8 > O (8 < r2 para que p( w) esté definido) de manera que

1w -

Zo

é

1< 8 ~I p(w) 1< ?

(7.3)

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111

Series de potencias complejas

Finalmente, si nemos que

1Z

w

-

--.:...l)_-..:.......:.f(--,-w) - L.J ~ -.::.. . .o.f(Z

l

Zl -

<

lE

+ <

6

n=l

W

1<

8, teniendo en cuenta (7.2) y (7.3), obte-

na n ( Zl

Zo

-

)n-ll

an {E(Zl - zo)n-k(w - zo)k - n(Zl -

n=~+1 an {E(Zl -

zot-1}1

zot-k(w - zo)k - n(Zl - zot-

1 }

6

"2+"2=6

O

Corolario 7.1 Si el radio de convergencia de la serie de potencias an(z - zo)n es r > O) entonces la función definida por la suma de esta serie es infinitamente derivable y su derivada de orden k (siempre definida sobre el mismo círculo de convergencia) es

L~=o

00

fk)(z) =

L

n(n - l) ... (n - k + l)a n(z - zot- k o

n=k De aquí se deduce que, puesto que fk)(zo)

= k(k -

l) ... lak

= k!ak,

¡n)(zo) (7.4) , n = 0,1,2, ... n. y de esta última expresión se deducirán importantes resultados en el próximo capítulo; de momento observemos tan sólo que si dos series de potencias centradas en un mismo Zo convergen a la misma función en un entorno de Zo) entonces sus términos son idénticos o, dicho de otra forma, dos series distintas (centradas en zo) no pueden converger a la misma función. an

=

Ejemplo.- Consideremos la serie de potencias

Su radio de convergencia es r =

1

límsup :J1/n converge en la bola 1 z - 1

< 1.

1

1, luego la sene

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112

Capít ulo 7: Series de potencias. Funciones elemen tales

Sea f( z) la función holomorfa definida mediante ella:

1z -

1<

I

I

Su derivada es:

f(

j'( z) =

-I r -In (z - l)n-l

n=l

n

00

~) - l r - 1 (z

=

- l)n-l

n=l 00

L) -lr(z -

=

l)n

n=O 00

E(l - z)n

=

n=O Es decir, una serie geométrica de razón 1 - z, con su suma vale:

j'(z)

= 1-

1

1 - z 1< 1, luego

(~ _ z) = ~

Si recordamos del capítulo anterior que ésta es precisamente la derivada (en su dominio de definición) de cualquier determinación del logaritmo, tendremos que, en particular para la determinación principal, puesto que f( z) y log z tienen la misma derivada, ambas funciones difieren en una constante. Luego

f( z) -log z

= k 1z -

°

1 1< 1

Ahora bien, dado que f(l) = ao = y que log 1 = 0, entonces k = 0, y se concluye que la suma de la serie de potencias inicial es precisamente la determinación principal del logaritmo complejo (en el dominio de la serie); en definitiva:

E( - l r 00

n=l

-1

(z -l )n n

= log z

S1

1z -

1 1< 1

(7 .5)

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Las funciones elementales

7.2.

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

7.2.1.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Como hemos visto en un ejemplo anterior, la serie de potencias +00, es decir, converge en todo C. La función definida por medio de esta serie se conoce con el nombre de función exponencial de variable compleja y se representa por exp z o por eZ , es decir, L:~~ :~ tiene radio de convergencia

exp z = e Z =

+00

zn .

n=O

n.

L,

(7.6)

Vz E C

Vamos a analizar las propiedades de esta función. Según el teorema 7.1, es derivable en todo el plano complejo y su derivada es +00

exp' z =

+00

zn- l

zn

L n-,= L , n. n.

n =l

n=O

es decir , exp' z = expz

(7.7)

Vz E C

De donde además se deduce que todas las derivadas sucesivas de exp z coinciden con exp z. Para encontrar nuevas propiedades de exp z introducimos una función auxiliar: para cada w E C consideramos la función

fw : C Z

---+ -T

C f w(z ) = exp(w - z )exp z

= ew- zez

que es holomorfa en C y cuya derivada es

luego f w(z) es constante. Ahora bien, exp z, para valores reales de z , es la función exponencial real (pues coincide con el desarrollo en serie de Taylor de esta función); en particular, exp O = 1, y como f w (z) era una función constante, f w(z ) = f w(O) , se obtiene que

Vz ,w E C

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114

Poniendo en esta última expresión z' fórmula:

= w-z, obtenemos la deseable

Vz,z' E Tomando ahora z' luego

=

e

(7.8)

- z, resulta que exp( - z) exp z

(eZ)-l =e -z

Vz E

= exp O = 1,

e

(7.9)

de donde, además deducimos que

Vz E

e

(7.10)

Hasta aquí hemos conseguido generalizar satisfactoriamente las propiedades básicas de la función exponencial real. A partir de este momento obtendremos propiedades tal vez un poco sorprendentes. Trataremos de expresar la función exponencial en términos de funciones cono cidas. Para ello, observamos que, si z = x + iy, entonces, de acuerdo con (7 .8),

exp(x

+ iy) =

expxexpiy

donde exp x es la exponencial real y basta con estudiar la función exp iy. Utilizando directamente la definición:

e'Y

=

cos y + i sen y

Vy E IR.

como es conocido de series de potencias reales). Luego exp( x

+ i y) = e X+iy = e X ( cos y + i sen y)

Vx,yEIR.

(7.11)

El resto de propiedades que siguen son consecuencia inmediata de esta expresión.

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Las funciones elementales

115

Teorema 7.2 a) La función expz es periódica, con período 27ri . Más exactamente,

eZ = eW

{=::}

3k E Z / z -

W

= 2k7ri

b) 1 e Z 1= ere(z), im(z) E Arge z . Luego, si 1 z 1= r =1- O ya E Argz, podemos escribir' /' z = re ai = exp(1og r + ai) (expresión de z en forma exponencial) Z E R {=::} im(z) = 2k7r para algún k ,E Z Z d) e es imaginario puro {=::} im(z) = 2k7r + ~ para algún k E Z

c) e

e) exp( %i)

= i,

exp( 7ri)

=-

1, exp( 3; i)

=-

i, exp(27ri)

= eO = 1

O

A partir de la forma exponencial, podemos expresar el prod ueto de números complejos como sigue.

La fórmula de De Moivre quedará como

Y, finalmente, las raíces n -ésimas vienen expresadas por la fórmula z = re

ai

nC

===:;,wk=yreXp

a

+ 2 k7ri , n

k=O,1 , 2, . .. ,n-1

Otra consecuencia importante de las propiedades de la función exponencial es la siguiente. La circunferencia de centro z y radio r, es decir, el conj unto

{z

+ r(cost + isent): t

E [O,27rJ}

puede expresarse como

{z + re it : t E [O,27rJ} y, en particular, los números complejos de módulo 1 son todos los de la forma

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

116

Naturalmente, no podemos terminar este apartado sin estudiar en qué sentido continúan siendo funciones inversas las funciones exp y log. En sentido estricto esto es imposible, dado que exp no es inyectiva. También puede haber problemas con el hecho de que, del logaritmo , tenemos infinitas determinaciones. Teorema 7.3 Sea a E IR Y consideremos la determinación del logaritmo loga. Entonces

a) elogaz = z 'o) loga e = z Z

Vz E

e-

si a -

7r

{O} ~ im(z)

< a + 7r

Demostración.- a) exp(loga z) = exp(ln 1 z 1 +i arg a z) = exp(1n 1z !) exp(i arg a z) =1 z 1exp(i arga(z)) = z . (z .¡:. O para que loga z esté definido.)

b) loga e Z = ln(1 eZ 1) + i arg a eZ = ln(e X ) + iy = x + iy = z, ya que

y por hipótesis y E [a - 7r,a +

7r[,

luego y = arga(z) O

U na última propiedad deseable de e sería la de que Z

Esta se verifica para z complejo y w E N , pero para el caso general no podemos intentar ver si se cumple, ya que aún no sabemos elevar un número complejo a otro.

'7.2.2.

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para definir las funciones trigonométricas podríamos, como en el caso de la función exponencial, generalizar la expresión de estas funciones como serie de potencias. Sin embargo, la fórmula (7.11) permite definirlas de una forma más directa: puesto que

eib e -ib

cos b + i sen b cos b - i sen b

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Las funcion es elem entales

117

sumando y restando ambas expresiones , obtenemos: eib e ib

+ e- ib

2 cos b

e-

2i sen b

_

ib

luego eib

cos b =

é b _ e- ib

+ e- ib 2

'

sen b =

2i

Estas últimas expresiones, conocidas como fórmulas de Euler nos sugieren definir las funciones trigonométricas complejas como: cosz =

2

senz= - - - 2i

Vz E

e

(7.12)

A partir de aquí, las restantes funciones trigonométricas se definen como en el caso real: sen z tan z = - - , cos z cos z cotz = - - ,

1 cos z

sec z = - -

SI COS Z

-¡:. O

1

csc z = - si sen z -¡:. O sen z sen z Y, a partir de (7.12), se obtienen inmediatamente

a) Las deri vadas: cos' z = - sen z,

sen' z = cos z

Vz E

e

(7.13 )

b) cos z y sen z son periódicas, con período 211': cos(z

+ 211') = COS z,

sen( z + 211') = sen z

Vz E

e

(7.14)

c) cos z es una función par y sen z una impar, es decir, cos( - z ) = cos z,

sen(- z) = -sen z

Vz E

e

(7.15 )

También es fácil demostrar las fórmulas clásicas de la trigonometría.

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118

Teorema 7.4 Sean z, w E C. Se verifican las siguientes igualdades: a) cos 2 z + sen 2 z = 1 b) cos (z + w) = cos z cos w - sen z sen w c) sen(z + w) = sen ·z cos w + sen w cos z Demostración.- Son fácilmente deducibles de la propia definición; veamos, como ejemplo, la primera: cos 2 z +sen 2 z

= ( éz +2 e-

iZ ) 2

+

(e

iZ

e2iz + e- 2iz + 2e o

-2Z.e -

iZ ) 2

e2iz + e- 2iz

_

2eo

-------------+-------------4 -4 4/4 = 1 O

Vamos ahora a obtener la expresión de las funciones trigonométricas en forma de series de potencias: cos z =

esto es,

z2n

00

cos Z =

L:( -l t -2n()'.

n=O

Análogamente, para sen z, +00

sen z =

z 2n+ l

L: (-1 t (2n + 1),.

n=O

Finalmente observemos que no todas las propiedades de las funciones sen y cos reales se pueden trasladar al campo complejo: las funciones complejas sen y cos no son acotadas. Para probar este hecho basta observar que si x es real, entonces cos xz =

e-X

+ eX 2

= cosh x

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Las funciones elementales

119

y

sen xz

=

e- X _ eX

2i

= i senh x

y, por lo tanto, límx-++ oo cos xi = límx-++ oo sen xi = oo.

7 .2 .3.

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las funciones hiperbólicas se definen, como se hace generalmente en el caso real, mediante las fórmulas coshz =

eZ + e- Z 2 '

eZ

e- 'Z

_

senhz = - - -2

Vz E
(7.16)

Se propone como ejercicio al lector el estudio de sus propiedades y de la relación entre éstas y las trigonométricas. 7.2.4.

POTENCIAS COMPLEJAS

Si z y w son dos números complejos y z =1- 0, la definición "razonable" de ZW es

(7.1 f . Obsérvese que, en principio, ZW no es un número sino un conjunt@>, una colección (probablemente infinita) de ellos . Aquí nos limitaremÜ'" a estudiar cuántos valores distintos toma la potencia ZW y su relació.R con potencias y raíces. En primer lugar, si w = n E N, es de desear que zn coincida con 1" "vieja" fórmula de zn = z z· . . z (n factores). Para ello, escribiendo 2 en forma polar: z = I z I exp( i arg x z ) con x cualquier real, por la fórmu la de De Moivre,

zz ··· z

I z In exp(ni arg x z ) exp( 7L In z ) exp( ni arg x z ) exp( n logx z)

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120

Capítulo 7: Series de potencias . Funciones elementales

según la definición (7.17), luego zn coincide, para cualquier determinación del logaritmo, con el producto de n factores iguales a z. Además, ello significa que zn toma un único valor. También resulta evidente, según (7.17), que si w = 0, el único valor que toma ZW es l. Veamos ahora qué ocurre con exponentes enteros negativos: análogamente al caso anterior, es de esperar que z-n coincida con (l/zt; esta última expresión coincide a su vez, por lo probado arriba, con el producto de n factores iguales a 1I z, es decir,

(~r

=

11

1

zz

z

I ~ In exp (ni argA ~)) exp( -n In z) exp( -ni arg x z) exp( -n logx z) z-n Vx E IR luego, nuevamente, la definición de zW, para z = -n , n E N, toma un único valor y coincide con la clásica. Estudiemos el caso en que w es racional. Si w = pi q con p y q primos entre sÍ, ZW debería dar la q-ésima raíz de zP, que, como sabemos , tiene exactamente q valores distintos, y esto es precisamente lo que ocurre con ZW: Si j3 es un argumento de w, entonces todos los argumentos de w son de la forma O' = j3 + 2br, k E Z, y, por tanto, exp( w[ In I z I +iO' ])

exp( w[ In I z

I +i(j3 + 2br) ]) exp(w[ In I z I +ij3 + 2bri ]) exp(w[ In I z I +ij3 ]) exp(~2ki7r) q

como q no divide a p, exp(E2ki7r), al variar k en Z , toma exactamente q q valores distintos (para k = 0, 1,2 , ... , q - 1, por ejemplo, y los demás se repiten), luego hay exactamente q argumentos de w que dan distintos valores a zW; es decir, zp/q =

{exp(~[ In I z I +i j3])exp ( ~2ki7r): k q

q

= 0, 1,2, ... ,q -1}

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Series de poten cias biláteras

donde (3 es un argumento cualquiera de w . Por otra parte, zp/q

exp(E[ In q

I z I +i(3 ])exp(E2ki7l') q

exp((ln I z I +i(3)E + (2ki7l' E)) q

q

exp((ln I z I + i(3 + 2ki7l') E) q

yIexp( (In I z I +i(3 + 2ki7l') p) V'zP que era lo que habíamos anunciado . Por último, dejamos para el lector la comprobación de que, si w no es racional, ZW toma infinitos valores distintos .

Ejemplo.- Cálculo de ii. ii = eiLogi = e lnl+i(I +2br) =

e -I+2br*

En cuanto a' la derivada de las funciones potenciales , es claro que, fijada una determinación del logaritmo, logx, la función

es derivable en

7.3.

e-

{w: x + 7l' E Arg w} y su derivada es

SERIES DE POTENCIAS BILÁTERAS

Consideremos una serie de la forma (7.18) n=-oo

-De modo que ii es un conjunto iufini to ¡de números reales! Poniendo k obtenemos la curiosa expresión ~ E ii.

=O

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

De acuerdo con el capítulo 2, diremos que es convergente si lo son las dos series +00

+00

E an(z -

zot

y

E a_n(z -

zo)-n

(7.19)

n=l

n=O

Si en la segunda de estas dos series ponemos w convierte en

(z -

ZO)- l ,

se

(7 .20) que es una serie de potencias centrada en O, de forma que, si R es el radio de convergencia de la primera serie de (7.18),

R= y

1

límsup~

SI

r=límsup~ entonces l/r es el radio de convergencia de (7.20). Así pues, la condición suficiente para que (7.18) sea convergente es que 1

z - Zo 1< R y

1 1

Z - Zo

1

1


o también

1Z - Zo 1< R y (luego ha de ser r

1 Z - Zo 1>

r

< R o la serie no convergerá en ningún punto).

De esta forma, la serie (7.18) converge en la corona circular o anillo

A(zo;r, R)

= {z E e: r <1 z -

Zo 1< R}

diverge en el exterior del anillo, y no sabemos si converge o diverge en su frontera t .

Ejemplo.- Para la serie bilátera

n=-oo

tEs decir, en el conjunto {z E C

:1z -

Zo

1= rol z -

Zo

1= R}.

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123

Figura 7.1: El Anillo A(zo; r, R) tenemos R = r = 1, luego los únicos puntos en los que puede haber convergencia son los de la circunferencia 1z 1= 1. Pero para estos, el término general de las series no puede converger a O. Este ejemplo demuestra que una serie bilátera puede no converger en ningún punto.

Ejemplo.- Estudiemos ahora la convergencia de la serie bilátera +00 (z - 2i)n

n~3

(n + 3)!

En est e caso, r = O, porque a_ n = O para n Por lo tanto, la serie converge en el anillo

A(2i; 0, +(0) =

e-

> 3. Además, R

= +00.

{2i}

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS

7.1 Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

+00 n a) L~ n=l n +00 e) L z2n n=3 +00 i) L 2n z n! n=2

+00 n b) L~3 n=l n +00 f) L(3+(-ltt zn n=l +00 j) L(n + Tn)zn n=O

+00 n c) L 2n zn n=O

+00 g) L nn z n n=l

+00 d) L zn!

n=O +00 , h) L ~ zn nn n=l

7.2 Estudiar la convergencia de las siguientes senes de potencias en la frontera de su círculo de convergenciat :

7.3 Hallar el radio de convergencia de la serie L~~ anz n cuyos coeficientes son los números de Fibonacci:

7.4 Utilizar el criterio de Di richlet (problema 2.16) para probar que, si la sucesión {an} es decreciente y converge a O y si el radio de convergencia de L anz n es 1, entonces esta serie converge en todos los puntos de la frontera de su círculo de convergencia excep to quizás en z = 1. DERIVA CIÓ N DE SERIES DE POTENC IAS

7.5 Sumar las series +00

n

a) L ~ n=l n 7.6 Probar que, si la serie de potencias f( z) = L~~ an (z - zo)n tiene radio de convergencia no nulo , entonces existe una primit iva de f que también puede expresarse como la suma de un a serie de potencias.

7.7 Sumar las series t En algún caso , puede ser útil el uso del Cri terio de Dirichlet (ver problema 2. 16).

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125

EjercÍcÍos y problemas

+00

a)

L

+00

b)

nzn-l .

L n(n -

+00

1)zn-2

c)

n=2

n=l

L

n(n + 1)zn

n=l

7.8 Si el radio de convergencia de la serie f(z) = ¿~~ an(z - zo)n es positivo y al i:- O, probar que f es inyectiva en un entorno de Zo .. 7.9 [Multiplicación de series de potencias] Utilizando el teorema de Mertens (problema 2.19) probar que las series de potencias pueden multiplicarse término a término en el interior del mínimo círculo de convergencia, es decir, demostrar que si

+00

f(z)

=L

an(z - zot

1z -

Zo

1< r

bn(z - zo)n

1z -

Zo

1< r

n=O

+00

g(z)

=L

n=O

entonces

Iz-zol
(7.21 )

7.10 Demostrar que existe una única serie de potencias e(z) que tiene las siguientes propiedades: a) el radio de convergencia r es no nulo

= ¿~~anzn

b) e'(z) = e(z) 1z 1< r c) e(O) = 1 Probar que r = +00. Probar que e(z + w) = e(z)e(w) Vz,w la función e(x + iy) en la forma u(x,y) + iv(x,y).

E C. Escribir

7.11 En este problema, tratamos las series de potencias formalmente, sin preocuparnos de la convergencia. Representemos el Conjunto de todas las series de potencias (centradas en el origen) con coeficientes complejos como

q[z]] :

Definiendo la suma del modo obvio y el producto mediante la fórmula (7.21), demostrar q:ue q[z]] es un dominio de integridad pero no un cuerpo. Caracterizar las series invertibles.

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126

Capítulo 7: Series de potencias. Fun ciones elementales

7.12 Supóngase que la función fe z ) puede expresarse como una serie de potencias en un e~torno del origen y que feO) f: O. Demostrar entonces que la función 1/ fe z ) también puede expresarse como una serie de potencias en un entorno del origen (determínese dicha serie). Aplicar el resultado obtenido a fe z ) = 1 - z - z2 Y comparar el resultado con el problema 7.3. Obtener una expresión explícita (no recurrente) para los números de Fibonacci. FUN é IONES ELEMENTALES LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

7.13 Demostrar el teorema 7.2. 7.14 Representar en forma exponencial los números

1 +i

1-i .

-l.+i

-l-i

7.15 Hallar el módulo y los argumentos de

7.16 a) Probar que eZ

= eZ.

b) Probar que, si

1z 1= 1, entonces eZ = e- Z•

7.17 Hallar las sumas

¿ k=O cosCa + kb) .

¿ k=O sen(a + kb)

7.18 Estudiar la derivabilidad de las funciones exp( ~) y exp(z ). 7.19 Demostrar que eZe W = eZ+w utilizando el problema 7.9 .. 7.20 Demostrar que eZ

= límn-->+ oo (1 + *) n

para todo z E C:

7.21 Supongamos que f es derivable en el abierto conexo U (de lR o C) y quezo E U. Demostrar que si .

j'(z ) - cfez) f( zo) entonces

fe z ) = yo é

o

Vz E U

Yo

(z - zo)

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Ejercicios y problemas

de en ido ner

LAS

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

7.22 Demostrar que las funciones trigonométricas su dominio y las derivadas son

= -senz = cos z 1 = --cos? z = 1 + tan2 z

cos' z sen'z tan'z

7.23 Concluir la demostración 7.24 Demostrar

son holomorfas en todo

si cos z f:- O

del teorema 7.4.

que la identidad

ez+iw

=

e cos w Z

(

+ isen w)

es válida Vz, w E C. 7.25 Demostrar -Z

LAS

FUNCIONES

cos(x

+ iy)

cos x cosh y - i sen x senh y

sen(x

+ iy)

sen x cosh y

+ i cos x senh y

+ senh2 y

I cos(x + iy) I =

Jcos2

I sen(x + iy) I

Jsen2 x

X

+ senh2

y

HIPERBÓLICAS

7.26 Demostrar

)y

las siguientes identidades:

las siguientes

propiedades

de las funciones

cosh y senh: a) cosh z = cos iz, senh z= -i sen iz Vz E C b) son holomorfas en C y cosh' z = senh z, senh' z = cosh z e) son periódicas con períodq 27ri d) cosh(-z) = coshz, senh(-z) = -senhz Vz E C e) cosh 2 z - senh 2 z 1 Vz E C f) cosh(z + w) cosh z cosh w + senh z senh w Vz, w E C g) senh(z + w) senh z cosh w + cosh z senh w Vz, w E C

= =

+00 z2n

h) cosh z

=

+00

z2n+l

= n=O L -()' senh z = L ( )' 2n . n=O 2n + 1 .

Vz E C

hiperbólicas

Vz E C

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Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales

7.27 La función tanh se define por medio de la fórmula

tanh z

senhz

= -cos-h-z

Vz E

el

cosh z ::J

o

a) Probar que tanh es holomorfa en todo su dominio y hallar su derivada. b) Probar que tanh z = -i tan izo POTENCIAS COMPLEJAS

7.28 Probar que, si w distintos.

f/. IQ

y z

::J O, entonces

ZW

toma infinitos valores

7.29 Hallar las siguientes potencias complejas: .! p

7.30 ¿Es cierta alguna de las siguientes igualdades?

a) b)

z2w = (zw)2 = (z2)w az+w =az a w

¿Cuándo lo es cada una de ellas? PROBLEMAS DIVERSOS

7.31 ¿Para qué valores de z es real eZ , cos z , sen z , tan z , cosh z, senh z ó

tanh z? ¿E imaginario puro? 7.32 Resolver las siguientes ecuaciones: a) e Z = 1 + i b) e Z = i d) cos z = O e) sen z = O g) cos z + sen'z = 2 h) cos z + sen z j) cosh z = O k) senh z = O

=w

c) ez =v'3+i f) sen z = 1000 i) sen z - cos z = i 1) cos z = cosh z

7.33 [Solución trigonométrica de la ecuación de tercer grado] a) Probar que la ecuación de tercer grado

puede reducirse a la forma w

3

+ pw + q = O

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129

mediante el cambio z = w - ~. b) Haciendo w = ks, buscar el k adecuado para transformar esta última ecuación en 4s 3 - 3s + , = O (7.22) c) Demostrar que 4 sen 3 a - 3 sen a + sen 3a = O 'Va E e d) Concluir que una solución de (7.22) es s = sen a si a verifica la igualdad sen 3a = , . 7.34 Utilizar el método del problema anterior para hallar alguna raíz del polinomio

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Capítulo 8

Funciones analíticas

Es bien conocido que una función de variable real, f, puede ser derivable en un intervalo abierto, 1, sin que por ello su derivada, 1', sea a su vez derivable (o ni tan sólo continua) en l. Por ello se habla de funciones de clase es decir, derivables con continuidad hasta orden n, o de clase eoo , derivables hasta cualquier orden. Cuando una función es de clase oo en 1, es también conocido que se puede obtener la serie de Taylor de f centrada en un punto del intervalo 1, pero incluso es posible que esta serie no converja, o, aún convergiendo, que no lo haga a la propia función que la engendra. El concepto de función analítica en un punto Xo viene ya desde las funciones de variable real y se asigna a aquellas funciones de clase oo en un entorno de Xo cuya serie de Taylor converge a la propia función en algún entorno de Xo. Sorprendentemente veremos en este capítulo que todas las funciones complejas holomorfas en un abierto U, son analíticas en todos los puntos de U (donde la definición de analiticidad será la extensión natural del concepto mencionado para funciones reales). Además es de destacar que esta propiedad es ¡una consecuencia casi inmediata! del teorema de Cauchy-Goursat .. De este modo queda considerablemente restringida la clase de las funciones holomorfas en conjuntos abiertos: solamente lo son aquellas que, localmente, coinciden con una serie de potencias. Así, por ejemplo, la función -derivable en IR-

en,

e

e

si t -::/: O si t = O

f( t) 131

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Capítulo 8: Funciones analíticas

no admite ninguna extensión holomorfa en ningún entorno del origen . Veremos finalmente una serie de propiedades importantes de las funciones derivables de variable compleja que si no se verificaban en el caso de derivabilidad real es precisamente debido a la diferencia que allí existía entre derivabilidad y analiticidad en abiertos.

8.1.

FUNCIONES ANALÍTICAS

Definición 8.1 Una función f es analítica en el punto Zo si existen un 8 > y una serie de potencias centrada en Zo que converge a f en la bola 1 z - Zo 1< 8. Diremos que f es analítica en el abierto U si lo. es en cada uno de

°

sus puntos.

f

Como ya sabemos, si

es analítica en Zo, +00

f (z)

¿

=

an (z - Zo

t

1

z - Zo 1< 8

n =O

entonces los coeficientes de la serie son necesariamente a n = f;'~!zo), luego ésta no es otra que la serie de Taylor de f en Zo, es decir,

f

f( z ) =

r\zo) (z - zot . 1z - Zo n.

n =O

1< 8

Lema 8.1 Sea g una función continua definida sobre el rango cammo "

r

de un

y consideremos la función

f( z)

=

~ 27rZ

1g(w) dw '"'/ W -

Entonces f es analítica en C -

r.

Z

z E

c-r

(8.1)

AJás precisamente, dado a E C -

r,

+00

f(z)

¿

cn(z - at

Vz/l z -al
(8.2)

siendo d( a, r) la distancia entre el punto a y el rango de 1 los coeficientes de la serie (8.2) son

Además,

=

n=O

Cn

1

= -2 ' 7rZ

1 '"'/

(W

g(w) -

a )n +1 dw

n = 0,1, 2, ...

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Funciones analíticas

Demostración.- Fijemos a en e - r y sea r = d(a, r). Recordando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica,

k

I:t n=O

n

1 _ tk+l =--

1- t

obtenemos que

Vtfd Si en la última fórmula elegimos t = ~~:' w E resulta:

w- a w- z

-- =

ry

1

z - a

< r

1

(z - a)n (z - a)k+l I: + -'------'---,n=O(w -a )n (w- z )(w-a)k k

Multiplicando ambos miembros por g(w) ,

w-a

t

g(w) = g(w) (z _ at + g(w) (z - a)k+l w-z n=O(w-a)n+l w-z(w - a)k+l Ahora integramos ambos miembros a lo largo de , (respecto de w),

g(w) dw ,w-z

1

=

k n=O

I:

[1 (

g(w) ] n )n+1 dw (z - a) ' W- a

1

g(w) (z +,-( w- z w-

a)k+1 )k+l dw (8.3) a

y, teniendo en cuenta (8.1) y (8 .3),

f( z) =

t [-21.1 (

n=O

g(w?

1rz, w - a

donde

Rk(Z) =

+1

1z - a 1< r (8.4)

1,wg(w)- z (w(z -- a)k+l dw a)k+l

Vamos ahora a probar que tendremos

dW] (z-at+Rk(z)

n

lím Rk(z)

k-.

z - a I~ a

Iw -

+00

= o: si w E r y 1z -

z_ -_a.. .:1. < 1

.:....1

r

a

1< r

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134

y

1w -

z

1=1 w -

a

+a -

z I ~I w - a

1- 1a -

Por otra parte, como 9 está acotada sobre

3M> O / 1g(w) 1::; M luego

1Rk(Z) 1::;

1

27r 1(')')

(1 z-r al)

z I~ r -

1

r-I

Tomando entonces límites cuando k tiende a (8.4), obtenemos:

8.1. 1.

=

+00 [ 1

L

n=O

-2 ' 7rZ

1 "Y

(

g(w) )

W -

a

n

+1

]

dw (z - a)

n

1

r

M a- z

1

de forma que el segundo término t iende a O cuando k tiende a l < 1. ser Iz-a r

f (z)

z

r,

Vw E

k+

1a -

+00

1z -

a

+00

por

en la expresión

1< r

D

(8.5)

INDICE DE UN CAMINO CERRADO

La integral curvilínea,

1 (z) "Y

-1-1~

= 27ri

"Y

w -

Z

donde z no pertenece al rango de 1, juega un papel muy importante en toda la teoría de funciones de variable compleja. En este apartado vamos a darle una interpretación geométrica, para el caso en que I sea un camino (regular a trozos) cerrado . En tal caso, al menos desde el punto de vista intuitivo, resulta evidente que el conjunto complementario del rango de I es una unión finita de abiertos disjuntos dos a dos (llamados sus componentes conexas), todos los cuales, excepto uno, son acotados. En el caso particular de un camino cerrado y simple, existen únicamente dos componentes conexas: una acotada que corresponde al interior de la curva y la no acotada. * *Este hecho aparentemente trivial constituye el teorema de la curva de lardan.

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135

Figura 8.1: Componentes conexas. Nuestro objetivo inmediato es el de probar que el valor de esta integral, cuando z varía en el complementario del rango de " es constante dentro de cada componente conexa. Para ello, basta con observar que del lema 8.1, aplicado a g(w) = 1, se deduce que la función 1"( es derivable y, si 1z - a 1< d(a, r), entonces su derivada es

1

I () 1 dw 1"( z = 27ri "( (w _ a )2

Pero esta última integral es nula, aplicando la regla de Barrow, porque (w~a)2 es una derivada en e - r. Por lo tanto, 1~ (z) = O Vz E

e- r

e 1"( es constante sobre cada componente conexa de su dominio.

Definición 8.2 Sea, un camino cerrado regular a trozos y sea z un punto situado fuera del rango de ,. Se define el Índice del camino , respecto al punto z como el número:

Lema 8.2 Sea, : [a, b] ----+ e un camino cerrado regular a trozos y sea r su rango. Si z rf- r , entonces 1"(( z) es un número entero.

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136

Capítulo 8: Funciones analíticas

Demostración.- Consideremos la función auxiliar F : [a ,b]

---+

t

C F(t)

=

(t

, '(t) dt

la ,(t) -

z

Deberemos probar que F(b? E íl. 27l'z

Sea G(t) = (¡(t) - z)e-F(t) para t E [a, b] . G(t) es continua en [a, b] y derivable salvo quizás en un conjunto finito de puntos de [a, b], y su derivada es:

G'(t)

-F'(t)(¡(t) - z )e- F(t)

+ , '(t )e-F(t)

- , ' (t) (¡(t) _ z)e- F(t) ,(t) - z

+ , '(t) e-F(t)

O Así pues, G es constante en los subintervalos de [a, b] donde es derivable. Pero de este hecho y de la continuidad de G se deduce que G es constante en todo [a, b]. Por tanto , G(b) = G(a), es decir,

(¡(b) - z)e- F(b) = (¡(a) - z)e-F(a) Como , es un camino cerrado y i- O, luego

z

no está en el rango de " entonces

,(b) - z = ,(a) - z

e- F(b) = e- F(a) y, de aquí,

F(b) - F(a) = 2k7ri para algún k E íl . Finalmente, como F( a) = O (p or la definición de F) obtenemos que F(b) = 2k7l'i. O Teorema 8.1 Sea, un camino regular a trozos y sea f su rango . En-

tonces: C - f.

LA z) =

O si z pertenece a la componente conexa no acotada de

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137

Funciones analíticas

Demostración. - Sea l(¡) la longitud de I y elijamos z en la componente conexa no acotada de forma que d(z, f) sea mayor que 21(¡). Ello significa que 1w - z 1> 21(¡) Vw E f .

z

d(z , f )

~,

'~ f

Por lo tanto, si k

= I-y(z),

1 wdw_ Z 1~ 12bn. 1= 1 "1

es decir, 1 k 1 ~ k = O. O

1",

1 l(¡) 21(¡)

= 21

y como k E Z , esta desigualdad sólo es posible si

Ejemplo.- (Indice de una circunferencia) La circunferencia I = C(zo, r) divide el plano en dos componentes conexas, la acotada y la no acotada. Ya sabemos que sobre la no acotada el Índice es cero. Por otro lado, sobre la no acotada, el Índice es constante y, por lo tanto, coincide con I-y(zo), es decir, si 1Z- Zo 1< r ,

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Capítulo 8: Funciones analíticas

138

o

.zo 1

Figura 8.2: Indice de una circunferencia

Ejemplo.- Consideremos el camino ,: [0,61l"] t

-----t -t

e ,(t)=zo+re- it

El rango de este camino es el mismo que el de la circunferencia del ejemplo anterior, pero ahora se recorre en sentido contrario y, además, ~e dan tres vueltas a la misma circunferencia. O

-3

.zo

Aunque el Índice en la componente no acotada sigue siendo cero, el Índice de esta curva respecto a un punto interior es:

1 la = I,(zo) = -. 21l"Z o

6

I,(z)

11"

-rie- it - 't dt re'

= -3

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Funciones holomorfas en un abierto

139

o

Figura 8.3: El número de vueltas. Los dos ejemplos sugieren la siguiente interpretación geométrica: el Índice LJ z) es el número de vueltas que da el camino ¡ alrededor del punto z. Además, el signo del Índice podría significar el sentido en que se recorre la curva (desde"el "punto de vista" del punto z) . Esta interpretación puede venir avalada por nuestra intuición: aunque ello no es rigurosamente correcto, porque el logaritmo de w - z no está bien definido en ningún camino cerrado que rodee a z, la integral f-y :;'::.z debería de ser la variación del logaritmo de w - z a lo largo de ¡ y cada vez que la curva da una vuelta en sentido positivo alrededor de ¡, el logaritmo varía en 27ri; luego, si ¡ da m vueltas a z, resultará

Corno ejemplo de esta idea obsérvese la Figura 8.3, donde, en cada componente conexa hemos escrito el Índice correspondiente de la curva.

8.2.

FUNCIONES HOLOMORFAS EN UN ABIERTO

Teorema 8.2 (Fórmula de la integral de Cauchy) Dado un conjunto abierto y estrellado U y un camino cerrado regular a trozos ¡

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140

Capítulo 8: Funciones analíticas

cuyo rango,

r , está contenido f( z )Ly(z ) =

~ 27l'Z

en U . Si f es holomorfa en U, entonces

1

f(w) dw

"'( W -

r

Vz E U -

Z

Demostración.- Consideremos la función g : U

----4C f(w)-f( z)

w

-;

g(w)

= { f'(~r

si w

=1=

z

SI W

=

Z

que es una función holomorfa en U - {z } y continua en z. Por lo tanto, según el teorema de Cauchy-Goursat,

i

g(w)dw = O

Es decir,

1f(w)dw-f(z) l~dw =O "'(w - z

"'( w- z

1

f (w)dw- f (z)27l'i J"'((z) =0 O "'(w - z Combinando el lema 8.1 con el teorema 8.2, obtenemos finalment e la equivalencia entre funciones analíticas y holomorfas. Teorema 8.3 Sea f holomorfa en el abierto U . Enton ces : a) f es analítica en U, b) la serie de Taylo r de f centrada en el punto a E U converge a f en la bola {z E C :I z - a 1< R} , siendo R la distancia de a a la frontera de U, c) las derivadas sucesivas de f en un punto cualquiera a E U vienen dadas por

f n) ( a )

--

~. 2n

1

C(a,r)

f (tu )

(w - a) n+l

d tu, O < r < R , n = O, 1,2, .. . (8.6)

(fórmula integral de Cauchy para las derivadas) .

La función f( z) = _ 1_2 es holomorfa para cualquier l+ z ± i. Por lo tanto, analítica en el abierto U = C - {i, -i} según

Ejemplo.-

z

=1=

O

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Funciones holomorfas en un abierto

141

el apartado a) del teorema anterior. Además, la serie de Taylor de f alrededor del punto a = O, apartado b), converge para 1z 1< 1. Dicha serie es fácil de determinar recordando la serie geométrica: se trata de la suma de la serie geométrica de razón - Z2. Por lo tanto,

f(z) = _1_ = 1 + Z2

~(-ltz2n

1z 1<

f:'o

1

Ejemplo.- Vamos a calcular la integral 1=

1

eZ

-dz

C(0,2) z3

Por el apartado c) del teorema 8.3, si f(z) 1"(0) = exp(O) = 1 = 22!

.1 e: dz

?rZ

luego 1 = 8.2.1.

= exp z: C(0 ,2) Z

?rí.

LA SERIE BINÓMICA

Es ésta una serie de potencias que resulta muy útil si se intenta sumar series numéricas o desarrollar en serie de Taylor algunas de las funciones más importantes (logarítmicas, inversas de las trigonométricas, etc.). Para construirla, vamos a tratar de extender la famosa fórmula del binomio de Newton a exponentes no necesariamente naturales: sabemos que z EC, m=0,1,2, ... y pretendemos obtener una expresión análoga para (1

+ z)"',

Para ello , la primera dificultad estriba en la definición de ( tQue ya es pretender, si se tiene en cuenta que (1 siempre , una infinidad de funciones.

+ z)'"

~

a E

c. t

) para

no es una sino , casi

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Capítulo 8: Funciones analíticas

142

un valor complejo de

0:.

. que si (m) El problema' es n

m! (m-n)!n!'

o: ) debería ser ( _ O:!)' " lo que nos obligaría a definir o:! para ( m o: m .m. o: E C. t Ahora bien, dado que

m) ( n

=

m(m - l)(m - 2)··· (m - n + 1) n!

también es natural la siguiente definición:

Definición 8.3 Si o: es un número complejo, entonces

°

si n = si n = 1,2, ... Observemos que, si n, m E N Y m

< n, entonces ( : )

0, de

modo que

(1

.

+ z)m =

E : +00 (

)

zn

Así que vamos a considerar la serie de potencias (8.7) que llamaremos serie binómica. Su radio de convergencia es +00 si o: E N U {O}, ya que en tal caso se trata de una suma finita. En otro caso,

+

1n- -11= l =1 l, m n-++oo

luego la serie (8.7) converge, para t ica.

1z 1<

o: - n

1, a una cierta función analí-

t En realidad , esto lo haremos en el capítulo 13.

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143

Vamos a probar que esa función es precisamente la determinación principal de (1 + z)<>, es decir, la función

g(z) = (1

+ z)<> =

1z 1< 1

z e<> log(1+ ),

La función 9 es holomorfa, y su derivada es

--61--------

g'(z) = a(l + zt luego

(1 + z)g'(z ) = ag(z) (8.8) Si escribimos 9 por su serie de Taylor +00

g(z) = ¿anz n , n=O

1z 1<

(8.9)

1

y substituimos en (8.8), resulta: +00

(1

+ z) ¿

nanz n- 1 =

n=l

+00

¿((n + l)an+l n=O

+00

¿

aanz n

n=O

+00

+ nan)zn = ¿

aanz n

n=O

Y, de aquí,

n=O,1,2, ... es decir,

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144

fórmula recurrente que nos va a permitir determinar los coeficientes a n :

g(O)

1 Q:

1

",(", -1) 2

",(", -1)(",-2) 3·2

Con lo cual, hemos logrado probar que, si (1 minación principal de la potencia,

+ z)'"

representa la deter-

(8.10)

Ejemplo.-

La serie geométrica puede reencontrarse como un caso particular de la serie binomial: puesto que la función f(z) puede escribirse como

=l!Z

. f( z)

= (1

- Z) -l

teniendo en cuenta (8.10), tenemos que:

Si calculamos los números combinatorios

-1) (-1)(-1-1)···(-1-n+1) n = = (-1) ( n n! para

n = 1,2, ... y por lo tanto

f(z) = 1 +

+00

L

+00

zn =

n=l

L

zn

n=O

Ejemplo.- Vamos ahora a desarrollar en serie de Taylor la función f ( z)

= (1

1 _ z2)1/2

=

(2

1- z )

_! 2

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Las consecuencias

(eligiendo la determinación principal de la potencia). Puesto que

"( -} )

(-~)( -~ - 1)··· (-~ - n

+ 1)

n! 2n-1

13

( _l )n 22' .. - 2n! n I · 3· .. (2n - 1) (-1 ) 2nn! '

n =1 ,2, . . .

Resulta

f(z)

1 (1 - Z2) 1/2 1+

+ ¿oo( : n=1

8.3. 8 .3.1.

-1

)n1.3 .. . (2n -1 )( 2)n - z 2n n!

LAS CONSECUENCIAS D ESIGUALDADES DE CAU CHY. TEOREMA DE L IOUVILL E

Supongamos que f es una función holomorfa (analítica) en la bola abierta B ( a, R), R > O Y sea r / O < r < R. Puesto que la circunferencia C(a, r) es un compacto, 1 f 1 tendrá un máximo Mr en dicha circunferencia: Vz E C(a, r) 1f(z) 1::; M r Si tenemos en cuenta la fórmula integral de Cauchy para las derivadas (8.6),

¡nl(a) = ~

r

f(w)

27ri JC(a,rl (w - a)n+1

dw

n =O , 1,2 , ...

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Capítulo 8: Funciones analíticas

tomando valores absolutos en ambos miembros, obtenemos

1¡n)(a) 1= ~ Ir 211"

f(w) dwl < ~211"r M r (w - a )n+1 - 211" rn+l

lC(a ,r)

es decir, n=O,1,2, ...

(8.11 )

fórmulas que se conocen con el nombre ~e desigualdades de Cauchy. Su principal consecuencia es el teorema de Liouville, que probaremos a continuación.

Definición 8.4 Una función f :

e ----+ e,

derivable en todo el plano

complejo, se denomina entera.

Teorema 8.4 (Teorema de Liouville) Si f es una función entera, entonces, o bien f es constante, o bien f no está acotada. En otras palabras, las únicas funciones enteras acotadas son las funciones constant es. Demostración.- Supongamos que f es entera y acotada:

1f(z)

3M > O /

I~

Vz

M

E

e

Como consecuencia, para cualquier a E e, si M r es el máximo de 1 en la circunferencia C(a, r), tendremos que M r ~ M , y, aplicando la desigualdad de Cauchy para n = 1, obtenemos 1

f

1f'(a) I~

M r

Va E

Tomando límites cuando r tiende a

1f'(a) luego f'(a) = O Va E

eyf

I~ O

e,

Vr> O

+00

resulta

Va E

e

es constante.

O

Del teorema de Liouville podemos deducir una nueva demostración del teorema fundamental del álgebra: en efecto, si suponemos que P(z) es un polinomio no constante y que no tiene raíces complejas, entonces

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147

Las consecuencias

la función f (z) = 1/ P( z) es entera. Según el teorema de Liou ville, f (z) no podría estar acotada. Sin embargo, dado que límz -+ oo 1P( z) 1= +00, se tiene que lím z -+ oo f(z) = O, así que

::Ir > O / 1f (z) 1< 1 si 1z 1> r Por otra parte, como el disco 1 z 1:::; r es compacto, en dicho disco, y

(8 .12)

f

::1M > O / 1f (z) 1:::; M si 1z 1:::; r

está acotada

(8.13)

De (8.12) y (8.13) se deduce entonces que 1 f(z) 1:::; 1 + M

Vz E C

en contradicción con el hecho de que f no estaba acotada, con 16 que se concluye la demostración. . En el capítulo 7 nos había sorprendido el hecho de que las funciones trigonométricas no fueran acotadas. Ahora es evidente que no podían serlo.

8.3.2.

PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS

Diremos que u~a función f tiene un cero aislado en el punto a E C, o que a es un cero aislado de la función f, si f( a) = O y existe r > O de forma que si O <1 z - a 1< r entonces f(z) =1- O. Es decir, f se anula en a pero no en las proximidades de a. Lema 8.3 Sea f holomorfa en el abierto conexo U. Si f(z) = O en entorno del punto a E U, entonces f se anula en todo U.

UTl;

Demostración.- Consideremos el subconjunto de U,

V={wEU: ¡n)(w) =0,

n=0,1,2, ... }

Es obvio que a E V, ya que para que f se anule en un entorno de a, todos los coeficientes de la serie de Taylor de f centrada en a deberán ser nulos§. Por tanto, V =1- 0. §Téngase en cuenta la unicidad de la serie de Taylor.

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Capítulo 8: Funciones analíticas

148

Por otra parte, si w E V, entonces la serie de Taylor de f centrada en w tiene todos sus coeficientes nulos, lo que implica que la función f se anula en un entorno de w. Así pues, algún entorno de cada w E V está contenido en V, luego V es abierto. Finalmente, si w V, su serie de Taylor tiene algún coeficiente no nulo, lo que significa que alguna derivada de f no se anula en ningún punto de un entorno de w. Luego V es cerrado. Dado que U es conexo y V es un subconjunto no vacío de U, abierto y cerrado, necesariamente V coincide con U. O

rt

Corolario 8.1 Si f es holomorfa en un abierto con exo U, y es constante en un entorno del punto a E U, entonces f es constante en U. O Teorema 8.5 (Principio de los ceros aislados) Sea f una fun ción holomorfa y no constante en el ab ierto con exo U. Si a E U y f (a) = O, entonces a es un cero aislado de f. D emostración.- Sea R > O de modo que la bola 1 z - a 1< R esté contenida en U. Por el teorema 8.3, f coincide con su serie de Taylor en dicha bola: +00

L cn( z -

f( z ) =

at

Vz /

1z

- a

1< R

n=O

Puesto que f es no constante, alguno de los coeficientes Cn ha de ser no nulo. Además, Ca = f( a) = O, luego existe un primer entero positivo, p, de modo que cp -¡:. O.'¡ Por lo tanto , +00

f(z)

=L

cn( z - at

Vz /

1z - a 1< R

n=p

Si hacemos el cambio n=m+p , obtenemos +00

f( z)

=

L

cm+p(z - a)m+p

Vz /

1z -

m =O ~ Se dice entonces que

f ti ene un cero de orden

p en a.

a

1<

R

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149

Las consecuencias

es decir,

f(z)

= (z -

+00

a)P

L

cm+p(z - a)m

= (z -

a)Pg(z)

m=O

siempre que 1z - a 1< R. Por otra parte, g( a) = cp i=- O y, por la continuidad de g, existe r ~ R de forma que g( z ) i=- O siempre que I z - a 1< r . Ahora bien, si z i=- a, (z - a)P i=- O, luego

f (z) i=- O

si O <1z - a

1< r

O

Del principio de los ceros aislados se deduce otra propiedad importante de las funciones analíticas.

Teorema 8.6 (Principio de identidad) Supongamos que f y g son dos funciones derivables en el abierto conexo U y que existe una sucesión de puntos de U, {zn }, convergente, de modo que n

= 1, 2, .. ..

Entonces, f y g coinciden en U. Demostración.- Sea a = límzn . La función holomorfa F( z ) = f( z) - g(z) verifica

F( zn)

=O

Vn

luego, por la continuidad de F , F(a) = o. Pero entonces a es un cero no aislado de F, con lo que F es constante:

F(z)

= F(a) = O

Vz E U

es decir,

fez) = g( z)

Vz E U O

El principio de identidad se puede aplicar fácilmente para observar que las funciones elementales definidas en el capítulo 7 son las únicas extensiones holomorfas de las correspondientes funciones reales.

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150

8.3.3.

PRINCIPIO DEL MÓDULO MÁXIMO

Teorema 8.7 (Principio del módulo máximo) Sea f holomorfa y no constante en el abierto U. Entonces 1 fino tiene ningún máximo relativo en u. Demostración.- Probaremos que si 1 f 1 tiene algún máximo relativo y es derivable en U, entonces es constante: supongamos que z es un máximo relativo de 1 f 1, entonces,

3R > O / 1w - z 1< R

1f(w)

===?

I~I f( z )

1

(8.14)

Tomemos un radio r / O < r < R: según la fórmula de la integral de Cauchy, 27rif(z)

=

f(w) --dw

1

C (z,r) W -

=

1

Z

2 11"

o

f( z +ré t ) " "t riettdt re'

=

1 2

11"

o

f( z

+ re,t" )idt

tomando módulos , ¡ 211"

27r 1f( z) I~ Jo luego

O~

1 2

11" {I

f( z

1f( z + re it ) 1dt

+ reit ) 1-

1 f( z ) I}dt

~O

donde la última desigualdad proviene de (8.14). Tenemos entonces que ¡211"

Jo {I f( z + re

it

)

1- 1 f( z) I}dt

=O

donde el integrando es negat ivo o nulo para todo t, luego ha de ser nulo, es decir:

f(z)

= f(z + reit)

luego f(z) = f(w) si constante. O

si O ~ t

1 z - w 1< R,

~

27r, O < r < R

y, por el corolario 8.1, f es

Corolario 8.2 Si f es holomorfa en el abierto U y J( e U es un compacto, entonces el máximo de f en J( se alcanza en la frontera de J(.

O

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Las consecuencias

8.3.4.

LA REGLA DE L'HoPITAL

Si f y 9 son funciones derivables en un entorno de a y si f (a) = g( a) = O, entonces se puede calcular el límite lím z -+ a ~ mediante la regla de l'Hopital. Teorema 8.8 Si f y 9 son funciones holomorfas en B( a, r), r idénticamente nulas, y si f(a) = g(a) = O, entonces

lím

f (z)

= lím

z-+a

g(z)

z-+a

> O, no

l' (z ) g'(z)

Demostra ción .- Las funciones f y 9 pueden expresarse, en B( a, r), como +00

f(z)

+00

= L: bn(z - at = (z - ay L: bn+p{z - at n=p

n=O

+00

g(z)

=

(z - a)q

L: cn+q(z -

at

n=O

Por lo tanto, f(x) = (z - a)PF(x) y g(x) = (z - a)qG(x), donde F y G son funciones holomorfas en B(z, r) y no nulas en a. Así pues,

f(z) g(z)

=

(z _ a)p-qF(z) G(z)

(8 .1 5)

Además, sin más que calcular las derivadas correspondientes, se comprueba que

1'(z) = (z _ ay-qpF(z) + (z - a)F'(z) g'(z) qG(z) + (z - a)G'(z)

(8.16)

Distinguiremos ahora tres casos: a) Si p > q, entonces los límites cuando a tiende a infinito de (8.15) y (8.3.4.) son oo. b) Si p < q, entonces ambos son O. c) Si p = q, entonces ambos límites son iguales a

F(a) G(a)"

O

Ejempl~.-

Apliquemos la regla de l'Hopital para calcular el límite

, z- z 1l m - - . z-+i Z4

+1

l' 1 i , z- i 1l m - - = l m -3 = z-+i z4 + 1 z-+i 4z 4

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Capítu lo 8: Funciones analíticas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 8.1 Probar que la función continua en el origen.

sen ~ no puede extenderse a una función

z3

INDICE DE UN CAMINO CERRADO

8.2 Probar que para, z en la componente conexa acotada de C-f, I,.¡(z) = 1 en cada uno de los casos representados en las figuras (estos caminos suelen utilizarse en diversas aplicaciones de la variable compleja):

FUNCIONES HOLOMORFAS EN CONJUNTOS ABIERTOS FÓRMULAS INTEGRALES DE CAUCHY

8.3 Calcular las siguientes integrales:

a)

1r 1

eZ

b)

-dz

C(O,2) z

d)

Z

e

lc(o,2) z2(z -

g)

1)

dz

e)

C(O,2) z4

1

- - dz

C(1 ,5) z2

1 - - dz

C(3i,1O) z2

1 1

eZ

-dz

+9

c) f)

1 1

eZ

--dz C(O,2 ) z - 1 1 - - dz C(3i,1) z2 + 9

+9

8.4 Utilizar la integral

de Liouville: si acotada.

r

lC(o,r)

(z - f~~) b)dz para demostrar el teorema a z-

f es holomorfa

y no constante en C, entonces

f no está

8.5 Sean al , a2, ... , a n números complejos distintos. Suponiendo que T, 1:::: k :::: n calcular

1ak 1<

r

dz

lC(O,r) (z - at}(z - a2)'" (z - an)

http://carlos2524.jimdo.com/ 153

Ejercicios y problemas

8.6 Sea a un número real. Demostrar que

( 27r

Jo

ea cos t

cos( asen t )dt

= 7r

SERIES DE TAYLOR

8.7 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del origen, indicando el conjunto de puntos en los que la serie converge a f, las siguientes funciones f: 1 1 Z2 - 5z + 6 az+ b 8.8 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del punto zo, indicando el conjunto de puntos en los que la serie converge a f, en los siguientes ,=asos:

1

a) f (z) = - , z e) f (z ) = cos z, w2 e) f( z ) = ( e dw, J[O,z)

1

f (z) = 2"' z d) f (z) = sen z,

Zo = 1 Zo = ~ Zo = O

b)

f) f (z)

= ( J[O ,z)

senw dw , w

Zo = 1 Zo = i Zo = O

8.9 a) Desarrollar en serie de Taylor centrada en O la función 10g(1 - z ). b) Utilizar el problema 7.9 para encontrar el desarrollo de Taylor de (log(l- Z))2.

8.10 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del punto -1 + i la función = log z. ¿Converge la serie a f en todo el círculo de convergencia?

f( z) Los

NÚMEROS DE BERNOUILLI

8.11 a) Probar que la función

f(z) = {

(-l

si z si z

f

O

=O

es analítica en O. oo b) Si f( z ) = ~ zn es la correspondiente serie de Taylor, los números bn son los llamados números de Bernouilli. Probar que b1) Bo = 1

L:t

b2) ( n+l) O Bo b3) B2n+l = O

+ (n+l) 1 "in ~ 1

Bl

+ ... + (n+l) n

Bn

=O

http://carlos2524.jimdo.com/ Capítulo 8: Funciones analíticas

154

8.12 a) Utilizar los números de Bernouilli para hallar el desarrollo de Taylor de la función (z) = { z cot z s~ z :1 O g 1 SlZ=O

alrededor del origen. b) Hallar el desarrollo de Taylor de tan z alrededor del origen. Sugerencia: probar que tan z = cot z - 2 cot 2z. LAS CONSECUENCIAS DESIGUALDADES DE CAUCHY

8.13 Sea f una función entera. Probar que si 3M > O de modo que If( z )1 ::; A Izl Vz E C, entonces f es lineal, es decir, f(z) = az para algún a E C. PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS . PRINCIPIO DE IDENTIDAD

8.14 ¿Puede existir una función analítica en O y que en z = 1 , ~ , !, tome los valores indicados en los siguientes apartados?

L ...

a) 0,1, 0,1, O" 1, ... 1 2 3 4 5 6 d) 2'3'4'5'6'7· ··

8.15 ¿Puede extenderse a una función entera la función sen l~z ? 8.16 ¿Puede extenderse la función (real de variable real) derivable en O

f( x)

={

3

x sen O

~ s~ x :1 O SI X = O

a una función analítica en O? ¿Y a una función holomorfa en O? 8 .17 Supongamos que la función f es analítica y no constante en todos los puntos del compacto J(. Probar que entonces el número de ceros de f en J( es finito. PRIN CIPIO DEL MÓDULO MÁXIMO

8.18 Sea R la región formada por el triángulo de vértices 0, 2, i junto con su interior. Hallar el punto o los puntos en los que el módulo de la función f( z ) = (1 + z)2 alcanza su máximo absoluto.

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155

8.19 [Principio del módulo mínimo) Sea f derivable y no constante en el abierto U. a) Probar que si I f I tiene un mínimo relativo en algún punto a E U, entonces f( a) = o. b) Si K e U es compacto y el mínimo mínzEK I f( z ) I no es cero, entonces dicho mínimo se alcanza en la frontera de K. c) Hallar los puntos en los que la función del problema 8.18 alcanza su mínimo absoluto. d) Poner un ejemplo que demuestre que los resultados de este problema no tienen porqué verificarse si el mínimo (absoluto o relativo) es o. 8.20 [Teorema de la aplicación abierta) Sea f holomorfa y no constante en el abierto U. Demostrar que si V e U es abierto entonces f(V) es abierto. REGLA DE L'HOPITAL

8 .21 Calcular los siguientes límites:

sen z lím - z-+O z

lím z2(z - i)5 z-+i (z2 + 1)5

FUNCIONES ARMÓNICAS

Una función de dos variables reales, u(x, y) , que admite derivadas parciales continuas al menos hasta el orden 2, en el abierto V, se dice armónica si verifica la ecuación de Laplace ~ + ~ = O. Si v(x,y) es también armónica y está ligada con u por las condiciones de Cauchy-Riemann, se dice que v es armónica conjugada de u. En este grupo de problemas se estudia la relación entre las funcion es armónicas y las holomorfas. Supondremos siempre que V es un abierto de JR2 y U la versión compleja de V, es decir, U = {x + iy: (x,y) E V}. 8.22 Demostrar que f = u + iv es holomorfa en U si, y sólo si, u y v son armónicas (y v es armónica conjugada de u) en V . 8.23 Si v es armónica conjugada de u ¿de qué función puede decirse que es armónica conjugada de v? 8.24 Probar que si u es armónica en V y V es estrellado, entonces u es la parte real de alguna función derivable en U, es decir, existen armónicas conjugadas de u. Probar que dos armónicas conjugadas de u difieren en una constante. Sugerencia: si u es la parte real de f , entonces f' = ~~ - i~;.

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Capítu lo 8: Funciones analíticas

8.25 Hallar el valor de a para que la función u(x, y) x3 armónica y encontrar todas las armónicas conjugadas de u.

+ axy2

sea

8.26 [Principio del máximo] Sea u armónica y no constante en V. Probar que u no tiene ningún máximo relativo en V y por lo tanto, si J( e V es compacto, el máximo de u en J( se alcanza en la frontera de J( . Sugerencia: localmente u es la parte real de una función holomorfa f. Aplíquese el principio del módulo máximo a ef(z). 8.27 Probar que si u es armónica y acotada en R? , entonces es constante.

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Capítulo 9

Series de Laurent. El teorema de los residuos

Hemos visto en el capítulo 8 que una función holomorfa en un disco Iz - al < r puede expresarse de forma única como una serie de potenCIas. Veremos ahora que si f es analítica en un anillo

A(a; r, R)

o ~ r < R ~ +00

(9 .1)

entonces f se expresa, también de forma única, como una serie de potencias bilátera +00

f(z)

= L

an(z - at

(9.2)

n=- (X)

a la que llamaremos serie de Laurent de f en A( a; r, R). El caso más interesante, por sus múltiples aplicaciones, es el de las funciones holomorfas en excepto en algunas singularidades aisladas, ai , es decir, cuando f es derivable en A( ai ; 0, Ri ), ya que entonces la serie de Laurent permite deducir el teorema de los residuos.

e

9.1.

SERIE DE LAURENT EN UN ANILLO

Supongamos que f es derivable en el anillo (9.1). Demostraremos que entonces f puede desarrollarse como una serie de Laurent de la forma (9.2). Además, los coeficientes a n , n E Z de esta serie tienen el 157

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

mismo aspecto formal que los coeficientes de la serie de Taylor*:

1

f( w)

(

(9.3)

a n = 21l'i JC(O,s) (w _ a)n+l

donde s es cualquier radio comprendido entre r y R. El razonamiento que seguiremos es análogo al empleado pa~a probar el desarrollo de Taylor: en primer lugar, notemos que el anillo 9.1 no es estrellado y por lo tanto, la integral a lo largo de una circunferencia de una función holomorfa no tiene porqué ser nula. Lo que sí que es cierto, es que esta integral es independiente del radio de la circunferencia: Lema 9.1 Sea 9 holomorfa en A(a; r, R). La función

G: ]r,R[ s

--t -7

e G(s)

= (

JC(a,s)

g(w)dw .

es constante. Demostración. -

G( s) = { ,

, g( w )dw = (27r g( a

JC(a,s)

+ seit)iseitdt

Jo

Aplicaremos el teorema de derivación paramétrica (teorema 3.4): la función h( s, t) = g( a + seit)isét es continua y diferenciable con derivadas parciales continuas (ya que 9 es holomorfa) en ]r, R[x [O, 21l'], siendo estas últimas ah as (s, t)

' 2' " = g( a + se't)ise ,t + g( a + se' t)ie't

~~ (s, t) = g( a + se it )( iseit )2 + g( a + seit )( _se it ) luego

-ah at (s, t) =, iS -ah as (s, t) -Tienen el mismo aspecto formal, pero no son las derivadas sucesivas de f, ya que de ésta no sabemos ni siquiera que esté definida en a,

http://carlos2524.jimdo.com/ Serie de Laurent en un anillo

159

Así pues, G es derivable y

luego G es constante. O Ahora ya podemos deducir la versión de la fórmula de la integral de Cauchy para un anillo.

Teorema 9.1 (Fórmula de Cauchy para el anillo) Supongamos que f es holomorfa en el anillo A( a; T, R) . Entonces, para todo z en el anillo, si se eligen Tl y T2 de modo que

se tiene f(z) = _1

27ri

r } C (a,T2)

f(w) dw _ _ 1 w- z 27ri

r } C (a ,T¡)

f(w) dw w- z

Demostración.- Sea z un punto cualquiera del anillo. Sobre A( a; Tl> T2) definimos la función

Es evidente que g es holomorfa en todos los puntos salvo, quizás, en w = z . Veamos que aquí también lo es: puesto que f es holomorfa en z, existirá un 8 > O de modo que f se desarrolla en serie de Taylor en el disco de centro z y radio 8, 00

f(w) = I>n(w n =O

zt

1w -

z

1< 8

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

Por lo tanto, si O <1w -

1< 8,

Z

I:~~

gw () =

an (w - z) n

-

f (z )

w- z I:~~ an(w - z )n w-z +00

L

an(w - zt- l

n =l

(donde la última expresión de g( w) es también válida si w = z) luego 1w - z 1< 8 y en particular holomorfa en z. Aplicando entonces el lema 9.1, res ulta que la función

9 es analítica en

G(s) =

r

g(w)dw

J C(a,s)

es constante. Por tanto, G(rl) = G(r2), luego

r J C(a,T2)

f(w)-f( z )dw= w - ·z

r J C (a ,TI)

f(w)-f( z) dw w - z

es decir,

r J C (a ,T2)

f(w) d w _ z w

f(w)

1

1 --dw

C(a,T2) W -

=

r

Z

f(w) dw -

J C(a ,TI) w -

z

f(w)

1 --dw

1

C (a, T¡) W -

Z

Por lo ta.nto,

r

f Cw)dw - f(w)27ri =

J C(a,T2 ) tu -

z

r J C(a,TI)

f(w)dw_O w- z

En las condiciones del teorema anterior, llamemos fun ciones

1z rl

a

ft

1< r2

<1z -

a

1

O

y

h

a las

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161

Se tiene entonces

f( z)

=

ft( z)

+ h( z)

(9.4)

Si aplicamos el lema 8.1 a fl, concluimos que ft es holomorfa en a 1< r2 Y que su desarrollo en serie de Taylor alrededor de a es :

1z -

+00

L cn(z -

fl( Z) =

ar

1z -

a

1< r2

(9.5)

n =O

donde los coeficientes se calculan mediante la fórmula C

n

= _1_

27l"i

r l C (a,r2)

f(w) dw (w - a)n+1

n=O,1,2, ...

(9.6)

A fin de obtener un resultado similar para h, hacemos el cambio de variable 1 -1 w- a= dw = - 2 U u que transforma la circunferencia C( a, rd en -C(O, ;?;). Por tanto,

2j

f(a+~)(_~)du

_ C(O,r¡-l) ~

27l"i

+a- z

u2

r

_ _ 1_ f(a + ~)/u du 27l"i l C (O ,r¡-l) 1 - (z - a)u __1_

27l"i donde g( u) = f(a

r

g(u)

l C(O,r¡-l)

du

1 - (z - a)ll

+ ~)/u.

Si ponemos

tendremos:

f2( Z) =

_l_F (_1_) z- a z -a

(9.7)

Ahora bien, a F puede aplicársele el lema 8. 1: +00

F(u)

=- L

m =O

cmu m

1

1u 1<-r

(9.8)

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

¡

donde Cm

-_ _1_

21ri

C(O,l/r)

g(u) du u m +1

= 0, 1,2, ...

m

Teniendo en cuenta (9.7) y (9.8), resulta

1 l
_ 1

es decir,

1

- 00

-h(z)

L

=

n =-l

cn (z-a )n

1

z - al>

rl

n=-1,-2,-3, ... Si ahora deshacemos el cambio, obtenemos 1

n C = 21ri C n

j -C(O,r¡)

= _1_ 21ri

r

(w - a)f(w)

-dw

(w - a)n

(w - a)2

f(w)

lC(O,r¡)

dw

(w - a)n+1

n=-1,-2,-3, . ..

n=-1,-2,-3, ...

(9.9)

Observemos además que, por el lema 9.1, las expresiones (9.6) y (9.9) son independientes de rl Y r2: C

n

= _1_

21ri

r

f(w)

lC(o,s)

dw

(w - a)n+l

n E::E, r < s < R

(9.10)

Finalmente, de (9.4), (9.5) Y (9.8) obtenemos +00

f(z)

=

L

cn(z - at

r

<1

z - a

1< R

(9.11)

n=-oo

(Nótese que la expresión (9.10) es válida en todo el anillo A( aj r, R) y no sólo en A(aj rl, r2) .)

Definición 9.1 Sea f una función holomorfa en el anillo A(aj r, R). La serie bilátera (9.11), donde los coeficientes Cn vienen dados por la expresión (9 .10), se llama serie de Laurent para f en el anillo.

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Serie de Laurent en un anillo

Al igual que la serie de Taylor, la de Laurent es la única serie bilátera que representa a J en el anillo A(a; r, R). Para probar esto, recordemos las propiedades de las funciones JI y h : a) J(z) = !t(z)

+ h(z)

rl

<1z - a l< r2

b)

JI

es holomorfa para 1 z - a 1< r2

c)

h

es holomorfa para 1z - a

1> rl

Además, es evidente que

d) límz _= h(z) = O Pues bien, JI y h son las únicas funciones que verifican a), b), c) y d). En efecto: si gl y g2 también verifican a), b), c) y d), poniendo

1z 1z -

SI SI

a a

1< r2 1> rl

tendríamos

G( z ) = Jl(Z) - gl( Z) = g2(Z) - h(z) para rl < 1 z - a 1< r2 · Entonces, G es una función entera, ya que JI - gl es holomorfa para 1z - a 1< r2 Y g2 - J2 lo es para 1z - a 1> rl, Y además G es acotada, porque tiende a O cuando z tiende a oo . Por el teorema de Liouville, G(z) = O Vz E e, luego !t = gl Y h = g2· El siguiente teorema resume todo lo deducido en este párrafo.

Teorema 9.2 Supongamos que la función

A(a; r, R) Entonces,

J

O~

r

J


es holomorfa en el anillo

~

+00

se expresa de forma única como serie bilátera

+=

f(z) =

¿

cn(z - at

n=-=

r

<1z -

a

1< R

Además, los coeficientes de la s eri e vienen dados por

en = _1_ 27ri

r JC(Q ,s)

J(w) dw (w - a) n+I

n E Z, r


O

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Capítulo 9; Series de Laurent. El teorema de los residuos

Definición 9.2 Sea f h%morfa en A( a; r, R ) y sean fl y h las dos únicas funciones que verifican 1, 2, 3 y 4. A f¡ Y h las llamaremos parte regular y parte principal, respectivam ente, de f respecto de a.

Ejemplo.- Consideremos la función f( z) = ez z - 3. +00 zn Z

Dado que e =

¿

l ' resulta que

n =O

n.

+00 zn-3

f( z) =

¿-, n.

n =O

Z-1

Z

1

Z2

+ Z-2 + _2 + l' + l' + l5.' + ... 3. 4.

Z-3

es el desarrollo en serie de Laurent de f en el anillo A(O; O, +(0) . Además, sus partes regular y principal resp ecto a O son 00

zn

~ (n + 3)!

fl (z)

=

z -3

+ Z -2 + -z -1 2

Ejemplo.- La fun ción 1

f( z) = (z - 2)(z + 1) es holomorfa en el anillo A(O; 1,2). Dado que

1] f( z) =-1 [1 --3 z - 2 z+ l y que

y

z! ~ E(~r 1z1> 1=

1

la serie de Laurent en A es

f (z) =

1{

1

1

1

1

Z

z2

z3

-'3 .. . z3 + z2 + :; + 2' + 22 + 23 + 24 + ...

}

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Singularidades aisladas. Clasificación

9.2.

SINGULARIDADES AISLADAS. CLASIFICACIÓN

Definición 9.3 Se dice que f tiene una singularidad aislada en a E O de modo que f es holomorfa en el anillo A(a;O,r). Si a es una singularidad aislada de

f , sabemos que f

se descompone

en

f(z) = fl(Z) + h(z)

0<1 z - a

1< r

donde fl es holomorfa en 1 z - a 1< r y f2 lo es en
h( z) =

L

1z

cn(z - at

- a

1>

O

(9.12)

n=-(X)

Pues bien, atendiendo a la forma de esta serie, se clasifica la singularidad del siguiente modo: lº-. Si f2(Z) = O para 1z-a 1> O, diremos que f ti ene una singularidad evitable en el punto a. El nombre se justifica por el hecho evidente de que f coincide con su p ar te regular, y por lo tanto basta con "redefinir" f(a) = fl(a) para obtener una función holomorfa en a. 2º-. Si la serie (9.12) se reduce a un número finito de términos, es decir, si el conjunto

{n>O:c n ::lO} tiene un máximo m, diremos que f tiene un polo de orden m en a. 3º-. En cualquier otro caso diremos que f tiene en a una singularidad

esencial. Evidentemente, si f tiene un polo de orden m en a, entonces la función g( z ) = f( z )(z - a)m tiene en a una singularidad evitable. Ejemplo 1.- Las funciones

f( z) =

senz {

Z

i

si z ::1 O si z = O , g( z) = (z

~ 2)3'

h( z) = exp (z

~

J

tienen, en O, 2 Y 1 respectivamente, una singularidad evitable, un polo de orden tres y una singularidad esencial, ya que las series de Laurent

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

correspondientes son:

1 +00

sen z

=

- z-

z2n+1 -; ~(_l)n (2n + 1)!

1

(z _ 2)3 = l(z - 2)

-3

1 +00 ( 1 exp-=L -

z - 1

n=O

=

0<1 z -

,

z- 1

z2n ~(-lt (2n + 1)! ' +00

)

n

1 n!

2

1< +00

Lo

-=

0<1 z 1< +00

n =- oo

(z - 1) (-n)!

t'

O <1 z - 1

1< +00

Es conveniente poder clasificar las singularidades aisladas de una función sin necesidad de conocer su serie de Laurent (entre otras cosas, porque esta serie puede no ser fácilmente determinable) . Teorema 9.3 Sea a una singularidad aislada de la función f. Entonces, a) f tiene una singularidad evitable en a si, y sólo si, el límite límz ..... af(z) existe y es finito . b) La singularidad es un polo si, y sólo si, el límite lím z ..... a f(z) es infinito. En este caso el polo es de orden m si, y sólo si, límz..... a(z - a)m f( z) es finito y no nulo. c) La singularidad es esencial si el límite 1ímz ..... a f(z) no existe.

La demostración se deja como ejercicio para el1ector. O Ejemplo.- La función tan z tiene una singularidad aislada en ~. Como

, 1 11m tan z = - = 00 z ..... 1r/2 O se trata de un polo. Por otra parte, según la regla de l'H6pital, ' l1m

z ..... 1r /2

(7r) z - - tan z = 2

l'1m senz+(z-~)cos z = -1 - sen z

z ..... 1r /2

luego el polo es de primer orden.

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9.3.

167

EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

Supongamos que la función f tiene una singularidad aislada en el punto a. Entonces, para r > Osuficientemente pequeño, f no tiene en el disco de centro a y radio r ningún punto singular distinto del propio a.

Si I es un camino cerrado regular a trozos contenido en dicho disco y que no pasa por a, y si además la serie de Laurent de f alrededor de a es +00

f(z)

=

L

cn(z - at

n=-oo

entonces, la integral de

f

a lo largo de I será

1f(z)dz = 1 L

+00

en(z - atdz

'Y n= - oo

'Y

Si suponemos que · se puede intercambiar la integral con la serie, resulta

1

+00

f(z)dz

L

=

1

n (z - at dz

C

n=-oo

'Y

'Y

Ahora bien, la función (z - a)n admite como primitiva a (z:~~+l siempre que n f= -1. Luego todas las integrales del segundo miembro son nulas salvo, tal vez, la correspondiente a n = -1:

1

f(z)dz

'Y

=

C11 ~ 'Y

z - a

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

y obtenemos

(9 .13) La fórmula (9.13) es un caso particular del t eorema de los residuos que vamos a probar enseguida. De ella se desprende que la integral a lo largo de I depende únicamente de uno de los coefi cientes de la serie de Laurent, L l ' Por este motivo debemos prestarle atención. Definición 9.4 Sea a una singularidad aislada de la func ión f. Si la serie de Laurent de f alrededor de a es

f( z)

=

+00

L

cn(z - a)n

n=-oo

entonces, el residuo de f en a es el término por R¡(a).

Ll,

qu e representaremos

Ejemplo.- Para las funciones del ejemplo 1, los residuos en los puntos singulares son:

Si a es una singularidad evitable de f, entonces R¡(a) = O. En el caso de polos, se puede calcular el residuo por medio de un límite. Teorema 9.4 (Cálculo del residuo en un polo) Supongamos qu e f tiene e:¿ a un polo de orden m. Entonces, 1 d",-l R¡(a) = (m _ 1)! E~~ dz m - l [(z - a)"'f(z)J

Demostración. - La serie de Laurent de f alrededor de a es +00

f( z ) =

L

c,,(z - a)"

n= -Hl

Multiplicando por (z - a)m resulta +00

( z - a ) mf( z ) -_ """ L..J n=- m

Cn (~ -

+00 a )>1.+'" -- """ L..J
-

a )/, .

O
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El teorema de los residuos

Derivando ahora m - 1 veces esta última igualdad, tenemos dm-1 - - [ ( z - a)m f(z)] = dz m - 1

+00

L

k(k -1)··· (k - m

+ l)ck-m(z -

a)k-m+l

k=m-l

y, tomando límites ,

lím

z -+ a

dm - 1 - - 1 [(z dz m -

- a)m f( z) ] = (m - l)!cl O

Ejemplo.- La función f(z) = z2 _ ;z+2 tiene dos polos de primer orden en a = 2 y b = 1. Los residuos correspondientes son: R¡(2) = lím( z - 2)f(z) = lím ( (z z-+2

Z -

)/)Z ) = lím _z_ = 2 z- 1

2 z- 1

R¡(l) = lím(z - l)f(z) = lím _ z _ = -1 z-+1 z ..... 1 Z - 2

Ejemplo.- La función f(z) = eZ(z + i)-2 tiene un polo de orden 2 en z = -i. Por lo tanto, R¡( -i) = l/U }~~i dd ((z

z

+ i)2 f(z))

=

E~, e

Z

i

= e- = cos 1 - i sen 1

El próximo lema nos permitirá demostrar el teorema de los residuos sin necesidad de justificar que las series de Laurent pueden intercambiarse con la integración. Lema 9.2 Sea a una singularidad aislada de f y sea +00

h(z) =

L (

n=1

C-

Z -

n

a

)n

la parte principal de f respecto de a. Sea +00

g(z) =

~ (z

Entonces, g admite una primitiva en

C- n

_ a)n

re -

{a}.

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170

Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

Demostración.- La serie ¿~~ (zc:::)n converge para todo z =f. a . Por lo tanto, la serie ¿~~ c_nw n tiene radio de convergencia infinito. Puesto que

n~1 ·1 1,@Ic-nl , 1lmsup VI C- n I = lmsup - -n -l

también la serie

wn-l

+00

LC-

n--

n- 1 n=2 tiene radio de convergencia infinito. Así pues, la función wn-l

+00

G(w) = es entera, y

+00

G'(w) =

L

n=2

L -c-

-C- n -

n - 1

n 2 nw -

VwEC

n=2

Por la regla de la cadena, la fun ción h(z) = GC ~ J es holomorfa en

C-{a} ,y 1

h'( z)

=-

+00

(z _ a)2

E-(z ~~)n-2 = g(z)

Vz =f. a

O

Teorema 9.5 (Teorema de los residuos) Sea U un abierto estrellado y f una función holomorfa en U salvo en un conjunto finito de puntos {al, a2, ... , ak}. Si I es un camino cerrado con rango incluido en U y que no pasa por ninguna de las singularidades, entonces,

1

f( z) dz = 27ri

"/

k

L L,(ap)R¡(ap) p=l

Demostración .- Sean fl ,h, ... ,fk las partes principales de f en al, a2,' . . , ak respectivamente. La función f - fl tiene una singularidad evitable en al' Puede, por tanto, redefinirse en este punto para obtener una función, h l , holomorfa en al, luego holomorfa en U excepto en a2, a3, · .. , ak· Si consideramos ahora la fun ción h l - h podemos del

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171

El teorema de los residuos

Figura 9.1: J'"I f(z)dz

= 27ri[R¡(ad + R¡(a2) + 2R¡(a3) -

R¡(a5)].

mismo modo redefinirla en a2 para obtener la función h 2 holomorfa en U excepto en a3, a4, ... , ak. Repitiendo el proceso k veces obtendremos finalmente la función hk holomorfa en todo U y que coincide con f - fl - h - ... - fk en U - {al, a2 , ···, ad· Por el teorema 6.2,

i Es decir,

i

luego

hk( z) dz = O

(f( z) - fl( Z) - h( z) - ... - fk( Z))dz

1

=O

L 1fp(z)dz k

f(z)dz =

p=l

'"1

'"1

Ahora bien, puesto que p=1,2, ... ,k

donde gp es una función que admite primitiva en U - {a p } por el lema 9.2, obtenemos:

1

f( z)dz =

'"1

L 1fp( z )dz k

p=l

'"1

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172

Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

1; { ¡ Rf(a p)

z

~zap + ¡ 9p(Z)dZ}

k

L {211"iRf (a

p

)I, (a p )

+ O}

O

p=l

Ejemplo.- Cálculo de la integral

r

1=

Z

J C(O ,4)

e - 1 dz Z2 + z

Las únicas singularidades de :~¡! son al = O Y a2 = -1. Dado que eZ - 1 lím-- = 1 z->O Z2 + z en O tiene una singularidad evitable y R f (a1) = O. En a2 tiene un polo de primer orden , y

Z -1' (z +1)( eZ -1)_lí e -1_ -1 R( f az ) 1m m -- - 1 - e z->-l . Z2 + Z z->-l Z Así pues, 1

= 211"i(O + (1 -

e- 1 ))

= 211"i(1 -

e- 1 )

Ejemplo.- . Cálculo de la integral 1=

r

J C(o, r)

z 2 sen(1/ z )dz

La función tiene un único punto singular en a = O. Se trata de una singularidad esencial , ya que 2 2~ n 1 1 ~ z sen(l/ z) = z f:'o(-l) (2n + 1)! z2n+l = f:'o(-l

Además, 1

Rf (O) = - 3! = luego

1

-6

1 t (2n 1+ 1)! z 2n-1

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173

Ejercicios y problemas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS SERIE DE LAURENT EN UN ANILLO

9.1 Desarrollar en serie de Laurent la función f( z) en el anillo A(zo; r, R) siendo

a) f( z ) = Z~l b) f( z) = z ~l c) f( z) = z ~l d) f( z) = Z ~l e) f( z ) = (z-a t(Z-b) (O f) f(z) = (z-a)(z - b) (O g) f( z ) = e 1/ z h) f( z ) = v'1~z2

<1 a 1<1 b 1) <1 a 1<1b 1)

Zo = O Zo = O Zo = 1 Zo = 1 Zo = a Zo = b Zo = O Zo = z

r=O r=1 r=O r=1 r=O r =1 b - a 1 r=O r=O

R=1 R=+oo R=l R=+oo R =1 b - al R= +oo R=+oo R=l

(En el apartado h) debe elegirse una determinación de la raíz que sea holomorfa en el anillo indicado.) SINGULARIDADES AISLADAS. CLASIFICACIÓN

9.2 Demostrar el teorema 9.3.

9.3 Determinar y clasificar todas las singularidades aisladas de las funcio-

nes

1 z - z3 1 e) 10g--2 z+

a)--

Z2

b ) -1

+ zn

f) tan z

Z2 -

2z

c) -'z3=-_-3-z:O--2-+-2-z sen z g) - -

z -a

d) e 1 / z h) zn zm

+1 +1

9.4 Demostrar el teorema de Casorati- Weierstrass: Si f tiene una singularidad esencial en zo, entonces la imagen de cualquier entorno de Zo es densa en C. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS

9.5 Hallar los residuos en todas las singularidades aisladas del problema

9.3 . 9.6 Calcular las siguientes integrales :

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Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos

174

a

)r

dz

J C (l,l) z 4

)r

b)

+1 z dz

d)

c JC(1,1/2) (z - l)(z - 2)2

e)

r

J C (Q ,r)

sen~dz Z

9.7 Calcular la integral

¡(1+ Z + Z2)

(e ~+ ez~l + ez~2 )dz

siendo I el camino representado en la figura.

r

JC (Q,2)

r

~ z4 + 1

J C (2 ,1O)

f)

r

J C (Q ,r )

zdz (z - 3)( z5 - 1)

sen 2

~dz z

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Capítulo 10

Aplicaciones del teorema de los residuos

Veremos en este capítulo cómo es posible hallar el valor de una amplia clase de integrales reales (principalmente impropias) haciendo uso del teorema de los residuos. Más adelante, esta técnica será util en relación con otros problemas de interés tales como las funciones eulerianas o la transformada de Laplace. Además, veremos cómo se puede aplicar dicho teorema a la localización de ceros y polos de algunas funciones . Debemos hacer dos advertencias previas: cuando hablamos en este capítulo, del valor de una integral impropia, nos referimos, si ésta no es convergente en el sentido habitual, a su valor principal en el sentido de Cauchy. Además, damos por sentado que los caminos a lo largo de los cuales se integra en la sección 1 tienen todos índice 1 respecto a sus puntos interiores. Este hecho es claro intuitivamente si se tiene en cuenta el significado geométrico del índice, pero si el lector lo desea puede hacer fácilmente una demostración analítica de ello*.

'Ver problema 8.2.

175

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

•

•

Figura 10.1 : La circunferencia C(O, 1) y las singularidades de R

10.1.

CÁLCULO DE INTEGRALES REALES

10.1.1.

I NTEGRALES DEL TIPO

1

27r

R(sent,cost)dt

Supongamos que R(x, y) = ~~~:~~ es una función racional cuyo denominador no se anula en la circunferencia x2 + y2 = l. Para calcular la integral ¡ 27r

1=

Jo

R(sent ,cost)dt

hacemos el cambio de variable z = eit . Entonces, dz = ieit dt, es decir, dt = ~:. Además, el intervalo [0 ,27r] se transforma en la circunferencia

C(O,l). Por otra parte,

(eit )2_1 2ié t

eit _ e- it sent = - - - 2i y

cos t

=

ét + e- it 2

Z2 -

2iz

1

http://carlos2524.jimdo.com/ Cálculo de integrales reales

177

luego

1= (

f(z)dz

Je(O ,l)

t.

donde f (z) = R( z~~ 1, z22~ 1) Dado que R( x, y) no tiene singularidades en x2 + y2 = 1, f( z) es holomorfa en la circunferencia C(O,l) y, por el teorema de los residuos , k

1 = 27ri

L R ¡(a

p)

p=l

donde {a l , a2, . .. , ak} son las singularidades de circunferencia.

Ejemplo.- Cálculo de 1 = {27r

Jo

di =

di 2 + sen i 1

~ dz,

2Z

f

interiores a dicha

Haciendo el cambio

Z2 -1 seni = - 2i z

resulta

1= { J C(O, l)

dz 2 = ( 2dz iz(2 +" Z2~1) J C(O,l ) Z2 + 4iz - 1

Los puntos singulares de la función

2 f( z) = z2+4iz -1 son las raíces del denominador , al = (-2

+ V3)i,

y, dado que

1al 1<

a2 = (- 2 - V3)i

1y

1a2 1>

1, resulta

1 = 27riR¡(ad Además , a l es un polo de primer orden, cuyo residuo es

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178

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

-R

R

Figura 10 .2: El Camino IR Por lo tanto

10 . 1.2~

. +00 INTEGRALES DEL TIPO 1 00

F(t)dt

Sea ahora F( z ) = ~~;~ una función racional que no posea singularidades reales. Si el grado del denominador Q(z) es al menos dos unidades mayor que el del denominador, la integral

1=

+00 - 00

1

F(t)dt

es convergente. Para calcularla integraremos a lo largo del camino IR de la figura 10.2, formado por el segmento [-R , RJ y la semicircunferencia fR .

Probaremos en primer lugar que tiende a

+00.

Lema 10.1 Sea f

R

r F(z)dz converge a O cuando R JrR

el camino semicircular parametrizado como f:

[O,1rJ

----t

u

--t

e f(u)

= Réu

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Cálculo de integrales reales

Si F( z) = ~f;l es una func ión racional de modo que el grado de Q supera al menos en dos unidades al de P, entonces

lím { F(z)dz = O

R-+oo

Jr R

Demostración. - Dado que F( z) es racional, únicamente posee un conjunto finito de singularidades, que son las raíces de Q(z). Sea Rl una constante que supere en módulo a estas singularidades. Podemos escribir F( z) en la forma

donde m-n

2: 2.

Entonces,

Como lím z -+ oo g( z) =

3Ro > Rl /

1:: 1, podemos

asegurar que, si

1g(z) 1< M

Vz E

1:: 1< M,

e / 1z 12: Ro

Por lo tanto,

1F(z) 1< De aquí, si R

2:

M Rm-n

Vz E

e / 1z 1= R 2: Ro

Ro, M 7rM z ) dz < 7r R - - = Rm-n- l rR F ( Rm-n

IIr

1

> O, el segundo miembro de esta desigualdad tiende a cero cuando R tiende a +00. O

y, dado que m-n - 1

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180

Si calculamos la integral

j

•

F(z)dz

•

"IR

eligiendo R bastante grande para que -fo-das las singularidades de F, {al, . .. ,ad, contenidas en el semiplano superior, queden en el interior de la curva, tendremos

-R

•

•

•

•

R •

o bien,

y calculando límites para R tendiendo a +00,

Ejemplo.- Cálculo de la integral ]-

¡

+

tdt

(X)

-(X)

(t 2 + 4t + 13)2

Aquí podemos aplicar directamente el método expuesto arriba. Las singulari dades de F( z) = (2 z (z 2 + 4z + 13)2 = 0,

Z

+ 4z + 13

)2 son las raíces de la ecuación

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Cálc ulo de integrales reales

es decir, al

-R

a2

= -2-3i

Ambas son polos de segundo orden. De ellas solamente al está en el semi plano superior. Por lo tanto,

R

1

= -2+3i,

z

, d { (z - al )2 'Ir } = 2'1rz.z-+al hm = -dz (z2 + 4z + 13)2 27

Si F( z) es una función par, es decir , si F( - z ) = F(z) , entonces el mismo método puede aplicarse para calcular la integral

r oo F(t)dt

1 = Jo ya que

1

1= -

2

j+oo F(t)dt - 00

Ejemplo.- Cálculo de 1-

¡+OO ~ Jo

Las singularidades de f (z) =

1 + t4

1;z4son

las ralces cuartas de -1:

a l = eif

a3 = e

-R

R

i~ 4

de las cuales sólo al Y a2 se encuentran por encima del eje real (además son polos de primer orden).

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182

Así pues, 1 2

1= -

¡+oo - 00

dz

1 2

- 27ri(R¡(ad + R¡(a2))

=

--4

1 +z

Dado que

R () ¡ al

l'

l'

z - ai

1

1_3

= Z~i 1 + Z4 = Z ~i 4z 3 = ¡ai

resulta

1

7rexp(i~) [ 3 7 r 4 exp( - i4")

~

[exp ( -i~) 4 4 7r 7r -cos-

4

+ exp( -.i4~)]

4

7rV2 4 10.1.3 .

7r ] + exp( - i¡)

INTEGRAL ES DEL TIPO

1:

1:

00

F(t)cosatdt Ó

F(t) sen atdt

Consideremos una función racional F(z) = ~¡:~ en la que el grado de Q supera al menos en una unidad al de P y donde P y Q tienen coeficientes reales . Si llamamos 1 a 11 + i12 , donde

11 =

¡ +oo F( t) cos atdt

12 =

- 00

entonces

1=

1:

¡ +oo F(t)senatdt - 00

a>O

00

F(t)eaitdt

1 se calcula de modo análogo al caso anterior, utilizando el siguiente lema:

Lema 10.2 (Lema de Jordan) Sea F(z) = ~¡:~ una función racional de coeficientes reales en la cual el grado de Q supera al menos en una unidad al de p ) y sea a > O. Entonces) lím R--+oo

donde f

R

r

JrR

F(z)eaiZdz = O

es el camino del lema 10.1.

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Cálculo de integrales reales

Demostración.- Consideremos la función f(t) = sen t - ~, O ~ t ~ ~ y calculemos su valor mínimo. Puesto que f(O) = f(~) = O, y

f" (t)

= - sen t


se tiene que mÍn {f (t) : O ~ t ~

7r

2"} = O

luego 2t sen t -< -7r

7r

O -< t -< -2 t

(10.1)

Por otra parte, del mismo modo que en el lema 10.1, se puede probar que, si n y m son los grados de P y Q respectivamente, existen constantes M y Ro de modo que M

1F(z) 1< Rm-n

Vz E

e / 1z 1= R ~ Ro

Entonces

De aquÍ, (10.2) Teniendo en cuenta (10.1) y (10.2) ,

< 2 2

M Rm-n-l

(i e-aR~ dt

Jo

M 7r (1 _ e- aR) Rm-n- 1 2aR 7rM

-aR=-m---n ( 1 - e -aR) tEsta expresión se conoce con el nombre de desigualdad de Jardan, y conviene recordarla para una próxima aplicación.

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

184

R

y basta tomar límites para

~

oo. O

Ejemplo.- Cálculo de las integrales

=j 1

1

+OO

- 00

t2 -

t cos t dt 2t + 10

. 1 = 1 +d

S ea

1

2

1 = 2

=

j+oo - 00

j +OO t -00

t sen t 2 -

2t

+ 10 dt

te it 2 2 Odt t - t+1

Calculemos la integral

J =

¡

z

"IR Z2 -

-R

R

2z

+ 10

. etZdz

Las singularidades del integrando son al = 1 + 3i Y a2 = 1 - 3i. Si R es bastante grande, entonces al es interior a IR' y, SI

f( z ) =

J = 211"iR¡(ad = ~3 [(cos 1 - 3 sen 1) 3e

z Z2 -

2z

+ 10

. etZ

+ i(3 cos 1 + sen 1)]

Teniendo en cuenta el lema de Jordan resulta 1 = J , luego 11"

11 = 3e 3 (cos 1 - 3 sen 1)

12

11"

= -3e3 (3 COS 1 + sen 1)

Ejemplo.- Cálculo de la integral +OO cos at - dt o t 2 + b2

i

a,b> O

cos at f·' P uesto que t 2 + b2 es una unClOn par , tenemos +oo cos at 1 -2 - d t= 2 o t +b 2

i

j+oo - 00

cos at dt t 2 + b2

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185

Cálculo de integrales reales

y ahora podemos emplear el método descrito.

Sean

_ j+OO

11 -

cos at 2 b2dt

12

+

t

- 00

_ j+OO - 00

senat 2 b2dt

t

+

y sea

Si calculamos la integral

R> b resulta

= 21riR¡(b) = i

J

y como J

= 1 por el lema de Jordan , 11 = ~e-ab, 12 = +00 cos at d

1 o

10 .1.4.

e- ab

1r

- - t= - e t2 + b2 2b

o. Así pues,

-ab

I NTEGRA LES D E FUNCIONES CON POLOS EN EL EJE REAL

P ara calcular integrales similares a las est udiadas en las secciones 10.1.2. y 10 .1.3., pero en las cu ales la función F( z) tiene algún polo simple en el eje real, haremos uso del siguiente lema. Lema 10.3 Supongamos qu e

f

tiene un polo simple en a E IR.

y sea Ir el camin o

Ir : [a,;3]

-+

e,

I(t)

= a

+ re it

Enton ces,

líml,r F(z)dz

r--+O

=

(;3 - a)iRF(a)

a

P .

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186

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

Demostración.- El desarrollo de Laurent de F alrededor de a puede escribirse como

donde F 2 (z) es la parte regular de F. Así pues ,

j

F(z)dz

= a-l

"Ir

j

~a + j

"Ir Z -

"Ir

F2(z)dz

(10.3)

Puesto que F2 es holomorfa en un entorno de a, admite una primitiva G( z ), luego

j

F2(Z)dz = G(a + re i/3) - G(a + reio)

"Ir

y tomando límites

límj F2 (z)dz = G(a) - G(a) = O

r-+O

"Yr

Por otra parte,

-dz- =

j

"Ir Z -

a

¡/3 ----¡¡dt rié = i((3 - a) t

o

re

Tomando entonces límites en (10 .3) se obtiene el resultado deseado . O

Ejemplo.- Cálculo de

+00 sen t

1 o

-dt t

Procediendo de modo análogo al empleado en la sección 10.1.3. llamamos +oo cos t +oo sen t J2 = --dt JI = --dt

j

- 00

j

t

- 00

t

Entonces, puesto que la función se;t es par, la integral buscada es Hagamos J = JI + iJ2 Y consideremos la integral

J=

éz

j -dz z "1

I;.

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Cálculo de integrales reales

-R

-r

187

R

r

Figura 10.3: El Camino I donde I es el camino de la figura (10.3). Obsérvese que éste es análogo al camino empleado en los apartados anteriores, pero hemos evitado pasar por el origen (mediante una sez micircunferencia) ya que la ·función F(z) = e: tiene una singularidad en O. Puesto que F no tiene ningún punto singular en el interior de " tenemos que J = O. Por otra parte, según el lema de Jordan,

lím R-+ oo

ir

éz

-. dz = O rR zz

-,r,

Además , el camino opuesto de Ir, es el del lema 10.3 para a = 0,0: = O y f3 = 'Ir, siendo a un polo simple con residuo 1 ya que

éz

1

00

in Z n

1

i

z

z

z

n=O

n!

z

1

2!

-=-2:-=-+---+ ... Por lo tanto,

lím r-+O

¡

eiz

-. dz = -'lriR¡(O) = -'lri

Ir ZZ

Teniendo en cuenta que

J = ¡ F +

kR

J-r F + ¡~ F + h¡R F = O -R

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

188

y tomando límites para r

OY R

---t

j

0= o bien,

---t

+00

+oo F( z )dz -

- 00

obtenemos 'Tri

z = 'Tri j +oo -cosz-zdz + i j+oo -senz-dz - 00

- 00

Luego

1

+ 00

o

sen z 'Tr - - dz = z 2

Ejemplo.- Cálculo de la integral

I_ -

j+oo __d_t_ _ t(t 2

- 00

-

4t

+ 5)

La función 1

f(z)

=

t(t2 - 4t + 5)

tiene tres polos simples: Zl

= O,

Z2

= 2 + i,

Z3

= 2- i

Y Z3 son siempre exteriores al camino ,. En cambio, para R y r bastante grande y pequeño respectivamente, Z2 es interior a,. Por lo tanto Zl

Si calculamos el residuo obtenemos

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189

Cálculo de integrales reales

Por lo tanto, teniendo en cuenta el Lema 10.1, lím

1 J

r -+O,R-+ oo

=

'r

f( z )dz

&

+ oo

- 00

+ lím

t(t2-4t+5)

r-+O

1

dz

'rrz(z2-4z +5)

= _27ri1 + 2i 10 es decir,

1

= 27r -5

7ri

-

l'1m

1

HO

dz

Ir Z(Z2 -

4z

+ 5)

Si ahora aplicamos el lema 10.3,

'1

hm

r -+O

Luego 1 =

'rr

dz z(z2 - 4 z

. 7ri + 5) = -7rzR¡( O) = - 5

2;. ( ) r+ taFtdt Jo oo

10.1.5 .

I NTEGRALES DEL TIPO

Sea F( z) = ~¡;~ una función racional, y a un número real pero no entero. Supongamos que F no tiene puntos singulares en [O , +00[, que m y n son los grados de P y Q respectivamente y que m > n + a + l. Entonces la función

G( z ) = F( z )ea 1og"t es holomorfa en el abierto estrellado e - [O, +ooL excepto en las singularidades {al , . .. , a p } de F. Por lo tanto, si 1 es el camino de la figura 10.4 , para R grande y r pequeño,

Ahora bien,

j12 G

tiende a O cuando R

--+

+00

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190

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

• •

14

11

•

= 11 + 12 +

Figura 10.4: 1

13 + 14·

ya que, para 1z

1= R, tenemos 1exp(alogll"z) 1=1 expa(ln 1z 1+ iargll"z) 1= ea lnlzl = R a

~M>O

y

/

I~~:~I ~ R~n

como en los lemas 10.1 y de Jordan; por lo tanto,

que tiende a cero porque hemos supuesto que m - n > a + 1. Veamos que también resulta

lím

r-+O

1 G(z)dz 14

= O

Dado que F(z) es continua en O, ~M'

>O

y ~ ro

Entonces, para r

~

> O / 1z

I~ ro =?

ro,

¡

1

14

G(z)dz

I~ 27rrM'r a

1F(z) 1< M'

http://carlos2524.jimdo.com/ Cálculo de integrales reales

que tiende a O cuando r

~

191

o.

Por lo tanto podemos concluir que lím

r--+O,R--++oo

{fJ

G(z)dz +

,1

t

f

J,3 G(Z)dZ} = 21C'i k=l Ra(ak)

(10.4)

Ahora bien, cuando 1" ~ Oy R ~ +00, los caminos /1 y 13 tienden a convertirse en el eje positivo recorrido en el sentido O ~ +00 Y +00 ~ O respectivamente, pero la determinación que hemos escogido para za, es decir,

exp(alog1l"z)

= exp(a(1n 1z 1+iarg1l" z)) =1 z

la exp(aiarg1l"z)

es discontinua precisamente en el semieje real positivo. Observemos que, para un punto z de /1, el argumento arg1l" es ligeramente mayor qu e cero, y que lím

r--+O,R--++oo

arg1l" z = O

En cambio, si z se encuentra sobre 13, su argumento es casi 21C', Y lím

r --+O,R--++oo

arg1l" z = 21C'

Así pues , lím

r--+O,R--++oo

za =l z la

sizE / 1

y

de lo cual concluimos lím

r--+O,R--++oo

{fJ,! G + Jf G} '3

10+

00

t aF(t)dt -

10+

00

t ae21l"ia F(t)dt

(1 - e2 1l"ia)I

Teniendo en cuenta la igualdad (10.4): (10.5)

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

(puesto que a

rt. Z,

e 2".ai =1= 1).

Ejemplo.- Cálculo de la integral 1 =

r oo 1rt+ t dt.

Jo

2

z) tIene . d os po1os d e pnmer or d en en A qUl,' G() z = exp( a lag". 2 al =

l+z i Y a2 = - i, cuyos residuos son

Rc(i) = lím z-+i

(z - i)ealog"z . . (z - z) (z + z)

2i

e~ai

Rc(-i) = -. -2z

luego

1

=

21fi. { e ~~i 1 - e- "" 2z

_

e 32".ai }

= V2 1f

2z

2

Sugerimos al lector como ejercicio el cálculo de esta integral repitiendo el proceso teórico, es decir, sin aplicar directamente la fórmula

(10.5).

10.2.

PRINCIPIO DEL ARGUMENTO. TEOREMA DE

Rou-

CRÉ Para terminar este capítulo vamos a obtener una interesante aplicación del teorema de los residuos a la localización de los ceros de una función: sea f holomorfa en el abierto estrellado U excepto en un número finito de polos {b l , b2 , ... , bp }. 1--------- - -----, Sea, un camino cerrado, regular a trozos, contenido en U y que no pase por ninguno de los ceros y polos de f. Sean {al, a2, ... ,aq } los ceros de f interiores a , . (¿Por qué forman un conjunto finito?) Y consideremos por último la función

g(z)

f'(z)

=

f(z)

10 10

1

o

1

:

1 1

o

o

o

1

,o

o

1

o

1

1

1 o o

o

1

100

L __

1

o

1 1

UI:

~

1

___0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 o ceros d e

f

o polos de f

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193

Principio del argumento. Teorema de Rouché

Es evidente que las únicas singularidades de 9 son los ceros y polos de f. Por lo tanto, según el teorema de los residuos , (10.6) Calculemos estos residuos: si a es un cero de ces, en un entorno de a,

f(z)

=

f,

de orden m, enton-

(z - a)mh(z)

donde h es analítica y no se anula en a. Por lo tanto,

f'( z)

=

m(z - a)m-1h(z) + (z - a)mh'(z) f' (z) f( z)

= ~ + h'(z ) z- a

h(z)

luego Rg(a) = m . Es decir, el residuo de ~l:} en un cero de precisamente su multiplicidad. Si ahora b es un polo de orden n de f, tendremos

f(z)

=

f

es

(z - btnh(z)

y repitiendo el mismo razonamiento, Rg(b) = -no Esto es, el residuo de ~((:l en un polo de f es precisamente su orden (con signo negativo).

Combinando estos dos resultados con (10.6), obtenemos

siendo mk la multiplicidad del cero ak, Y nk el orden del polo bk . En particular, si , es un contorno de Jordan, es decir, un camino cerrado simple y orientado positivamente (I"(( z) = 1, si z es interior a

,); _1_

¡ f' (z) dz

27ri "( f( z )

=

N _ P

(10.7)

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194

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

donde N Y P son respectivamente el número de ceros y polos de f contados tantas veces como indique su multiplicidad y su orden respectivamente. Para interpretar geométricamente la relación (10.7) hagamos el cambio de variable w = f(z), dw = f'(z)dz, con lo cual obtenemos

-1 27l'i

1,

dw= N - P -

fa,,! W

es decir, (10.8) La igualdad (10.8) se conoce como principio del argumento, e indica que (con las condiciones puestas al principio de la sección) el número de ceros menos el de polos de f interiores a, coincide con el número de vueltas que el camino f o , da alrededor del origen. Como consecuencia del principio del argumento vamos a probar el teorema de Rouché.

Teorema 10.1 (Teorema de Rouché) Sean fl y f2 funciones holomorfas en el abierto estrellado U, y sea, : [a, bJ ~ U un contorno de Jordan que no pase por ninguno de los ceros de f1. Si

1fz(¡(t)) 1<1 entonces, f1 y f1 de ,.

+ f2

Demostración. - Sea h

f1(¡(t))

1

Vt E [a, bJ

tienen el mismo número de ceros en el interior

= [¡~h, entonces h'

= f~ + f~

_ f1

f1

+ fz f'

fl

1

luego

h' h

f~ + f~ = -=---=-

h+fz

Además h no tiene ceros ni polos sobre el rango de " si fl(Z) + fz(z) = O, entonces 1h(z) 1=1 fz(z) l·

ya que

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195

Principio del argumento. Teorema de Rouché

Por otra parte, si t E [a , b] 1

h(¡(t))

1

=

lo que significa que el rango r de h o '"Y es interior al disco 1 z - 1 1< 1. Así pues, el origen está en la componente conexa no acotada de e - r, y

ho"((O) =

o

Por tanto, h tiene tantos ceros como polos (iN - P = O!) en el interior de '"Y. Pero los ceros de h son los de 11 + h, y sus polos son los ceros de f¡. O

Ejemplo.- Consideremos la función polinómica

y vamos a averiguar cuántas' raíces posee en el interior del círculo 1.

Izl <

Si consideramos las funciones

11(Z) h (z ) entonces ,

1 = 11 + h

- 7z 4 Z5

+ Z3 -

2

y

1h(z) 1::; 4

1f¡(z) 1= 7

si 1z

1= 1 si 1z 1= 1

Por lo tanto, 1 y 11 tienen el mismo número de ceros en 1z 1< 1, según el teorema de Rouché. Como evidentemente 11 posee un cero cuádruple en z = O, concluimos que 1 tiene cuatro ceros en el disco 1 z 1< 1.

Ejemplo.- El teorema de Rouché permite dar una tercera prueba del teorema fundamental del álgebra. Sea 1(z) = anz n

+ an_lZn-1 + ... + alZ + ao,

an

#O

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196

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

un polinomio no constante. Llamemos

JI

y

h

a las funciones

Puesto que

para algún r

> O se tendrá

11z(z) 1< 1 11(Z)

si 1z

1:::; r

Por lo tanto, 11 y 11 + h = 1 tienen el mismo número de ceros en el disco 1 z 1:::; r. Dado que 11 tiene un cero de orden n en dicho disco, el número de ceros de 1 interiores a él es n ::::: 1.

Ejemplo.- Determinemos el número de ceros de la ecuación 2z 5

-

6z z + z

+1 =

O

contenidos en el anillo A(O; 1,2). Para ello hallamos en primer lugar los ceros contenidos en el disco 1z 1< 2. Si 11( Z) = 2z 5 y 1z(z) = -6z z + z + 1, entonces, para 1z 1= 2 se tiene 1h(z) 1:::; 26 1JI(z) 1= 64 luego la ecuación tiene sus cinco raíces en el disco

1

z 1< 2.

Veamos cuántas de ellas están en 1 z 1:::; 1. Elegimos gl(Z) = -6z 2 Y 92(Z) = 2z 5 + z + 1. Para 1z 1= 1 resulta

1gl(Z) 1= 6 luego dos-raíces de la ecuación están en este último disco. Por tanto, en el anillo A(O; 1,2) se encuentran tres raíces de la ecuación dada.

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197

Ejercicios y problemas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CÁLCULO DE INTEGRALES REALES

10.1 Calcular las siguientes integrales: 2'1r

dt , a> 1 o a + cos t 'Ir cos33t c) dt - 'Ir 5 - 4 cos 2t 2'1r dt e) , a o (1 - 2acost + a2)2

a)

1 ¡ 1

dt 1 + sen 2 t

¡ 2'1r

b)

Jo 2'1r

1

d) o

i

±1

f)

¡27r Jo

dt b + cos t )2' a > b > O 2 (cos 3t) dt ,a i ±1 (1- 2acost + a2)2 (a

10.2 Demostrar que

r

Jo

2n

(2n)!

tdt

sen

n EN

= 22n(n !)2 7r

10.3 Calcular las siguientes integrales:

a)

¡ ¡

- 00

c)

2t2 - 1

+oo +oo

- 00

r oo e) Jo

t

4

+ 5t 2 + 4

r oo

dt b)

cost (2 2)( 2 b )dt, a, b > O,a i b t +a t + 2 dt (1+t 2)n ,nEN

J

- 00

dt 2 t + 2t + 2 t2

+ 00

d)

1

(

o

1+t

2)2dt

10.4 Calcular las siguientes integrales:

a)

¡

- 00

1

+ 00

c)

cos t

+oo

(t 2

tsen at

~b2dt, a,b

o t +oo e) (

¡

- 00

+ a 2)( t 2 + b2 ) dt,

+

a

b)

> b> O

>O

d

cos t

t

+ a )2 + b2dt ,

r oo tsenat d t + t,

L oo

1

+ 00

) o

4

4

a

>

O

t3 sen t dt (1+t 2)(9+t 2)

a, b > 0

10.5 Calcular las siguientes integrales:

¡ ¡

t cos t dt - 00 5t + 6 +oo cos at c) - -3dt , a > O - 00 1- t

a)

+oo

t2 -

¡+oo

sen t (t2+4)(t_ 1)dt

¡+oo

sen at t(t2 + b2) dt , a> O, b i O

b)

Loo

d)

Jo

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Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

198

10.6 Calcular la integral

+= sen2 t - 2-dt o t

i

(Sugerencia: utilizar la función e2~'2-1.) 10.7 Calcular la integral

+= sen3t - 3-dt t 3 (Sugerencia: utilizar la fu'nción e ;'-;/'+2.)

i

o

10.8 Calcular las integrales

a)

i

+=

lnt

-2- -2dt, a> t +a

o 10.9 Calcular las integrales

a)

+=

i¡+= o

c) Jo

°

b)

+= In2 t -2- -2dt, a> o t +a

i

tp - l

- - dt, O < p < 1 1 +t tP (1 + t 2 )2dt, -1 < p < 3

b)

i

+=

o

tP -

1

-2

+t

dt, -1

°
10.10 [Inversión de la transformada de Laplace) Sea Co un número real positivo cualquiera de modo que la función F es analitica en el semiplano {z E e: re(z) > col. 1 Calcular el límite lim - , F(z)etzdz, siendo c > Co y

¡C+ib b-+= 27rt c-ib

a) F(z)

c) F( z) e) F( z) ,

f) F(z)

1

= -z

a

= z2 +a2' = (z -

a>O

a

b)2

+a2'

b) F(z)

1 = -, zn

d) F( z)

= z 2 + a 2'

z

a> 0, bE R

z - b

= (z- b)2 +a 2'

a> O, bE R

10.11 [Integrales de Fresnel) Probar que

i+= v'2i += io sen t dt = o cos t2dt = -4 2

(Sugerencia: calcular J"'( é

z2

dz siendo I el camino de la figura.)

n EN

a>O

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199

Ejercicios y problemas

PRINCIPIO DEL ARGUMENTO. TEOREMA DE ROUCHÉ

10.12 Hallar el número de raíces de la ecuación dada que son interiores al círculo de radio R:

a) z8 - 4z 5 + Z2 - 1 = O, R = 1 c) z6 - 5z = 25, R = 2 e) z9 - 2z6 + z2 - 8z - 2 = O, R = 1

= 25, R = 1 d) z3 + z + 1 = O, R = ~ f) 27z11 - 18z = 10, R = 1 b) z6 - 5z

10.13 Hallar el número de raíces de la ecuación dada que son interiores al anillo de radios r y R.

a) z6 - 5z =.25 b) Z6 - 5z = 25 c) 4z 4 - 29z 2 + 25 = O d) z7 - 5z 4 + z2 - 2 = O 10.14 Sea a

r =1 ,R =2 r = 2,R = +00 r = 2,R = 3 r=1,R=2

> e. a) Probar que la ecuación

tiene n raíces en el círculo 1 z 1< 1. b) Probar que al menos una de ellas es positiva. c) ¿Cuántas son reales? 10.15 [Un teorema de punto fijo] Demostrar que si f es analítica en el disco 1z 1::; 1 y 1 f(z) 1< 1 ' O):

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200

Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos

a) Z5 + z4 + 2z 3 - 8z - 1 = O b) z4 - 3z3 + z2 - Z + 1 = O e) Z5 + 5z 4 - 5 = O Sugerencia: considerar un camino semicircular formado por el segmento [Ri, - Ri] Y la semicircunferencia de centro O y radio R situada en el semiplano derecho, con R bastante grande.

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Convergencia uniforme

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Capítulo 11

Sucesiones y series de funciones de variable compleja

Dada una sucesión de funciones complejas {fn}~= l' cuyo dominio es un subconjunto A de C, se definen las convergencias puntual y uniforme del mismo modo que en el caso real, y las propiedades de continuidad, derivabilidad e integrabilidad se trasladan sin ningún problema. Ahora bien, respecto a algunos resultados que el lector recordará (y si no es así puede consultar el apéndice A de este texto) como que la convergencia uniforme de una sucesión de funciones derivables reales no implica que la sucesión pueda derivarse término a término, en el caso complejo, una vez más, se presenta una situación bastante más agradable: sólo con que la sucesión converja uniformemente sobre los discos compactos de un abierto, puede efectuarse la derivación término a término, y además, las derivadas sucesivas también convergen uniformemente en dichos discos . Para probar esta propiedad, demostraremos previamente el teorema de Morera, que es el recíproco del teorema de Cauchy-Goursat para el triángulo.

11.1.

CONVERGENCIA PUNTUAL Y UNIFORME

Definición 11.1 Sean f, f1, 12, · .. ,fn, . . . funciones complejas definidas en A e C. Diremos que {fn} converge a f puntualmente en A Sl

lím fn(z) = f(z)

n--++ oo

203

Vz E A

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Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

y que {In} converge uniformemente a f en A si

I ==> {I

Ve> O 3no E N n ~ no

fn(z) - f(z)

1< e

Vz E A}

Es inmediato que {In} converge uniformemente a f en A si , y sólo SI,

lím sup

n-+oo zEA

Ejemplo.- Sea O < R

1fn( z) .

f(z)

1= O

< 1 Y sea la sucesión

Entonces, {In} converge puntualmente a f( z) sup Izl~R

y como límRn

1zn 1=

sup r n O~r~R

fn( z ) = zn, 1 z 1:::; R.

= O.

Además,

= Rn

= O, la convergencia es uniforme en

{ z : 1 z 1:::; R}.

Se pueden probar exactamente igual que en el caso real las siguientes propiedades.

Teorema 11.1 (Condición de Cauchy) La sucesión {In } converge uniformemen te a f en A si, y sólo si,

Teorema 11.2 (Continuidad) Si la sucesión {In} converge uniformem ente a f en A y si todas las func iones f n son continuas en Zo E A, entonces f es continua en Zo. O A continuación probaremos el teorema relativo al intercambio entre la integración sobre cualquier camino regular a trozos y el paso al límite.

Teorema 11.3 (Integración) Si la sucesión {In} converge uniformem ente a f en el rango r del camino I y si todas las fun ciones f , fl , h , ... son integrables a lo largo de 1, entonces

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205

Convergencia puntual y uniforme

Demostración.- Sea L la longitud de ,: L uniforme tenemos , dado é > O, que 3no E N / 'in ~ no Por lo tanto, si n

li 11.1.1.

~

no ,

i

f(z)dzl

fn( z )dz -

=

li

= l(¡).

Por la convergencia

1fn( z ) - f(z) 1<

é

2L

(Jn(z) - f( z ))dzIZ(¡) 2~ <

é

O

EL TEOREMA DE MORERA

Teorema 11.4 (Teorema de Morera) Sea f una función continua en el abierto U. Si la integral de f es nula sobre cualquier triángulo contenido) junto con su interior) en U) entonces f es derivable en U.

Demostración.- Sean Zo E U y r > O de modo que

Zl

P Zo

: 1z - Zo 1::; r}

K = {z

Z

e

U

Definimos la función F:

Probaremos en primer lugar que que F' = f. Si Z, Zl E K, tenemos:

f

K z

----t

-+

e F( z )

= f¡ zo,z) f(w)dw

es holomorfa en el interior de K y

F( z ) - F( z¡) _ f( Zl) Z -

=

Zl

_1_ z - Zl

{r

J[zo,z )

f(w)dw

-1

[zo, z)

f(W)dW} - f( Zl)

Ahora bien, como por hipótesis

1

[zo ,Z , Z I ,zo )

f( w )dw = O

(11.1)

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Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

resulta que

r

f(w)dw -

J[zo,z]

r

=

f(w)dw

J[zo,zd

r

f(w)dw

J[Z¡,z]

Por lo tanto, (11.1) se transforma en

F(z) - F(ZI) _ f(zd z - ZI F(z) - F(ZI) _ f(ZI) z - ZI

= _1_

r

f(w)dw - f(zd

Z - ZI J [Z¡,z]

= _1_

Z - ZI

r

[j(w) _ f(ZI) ]dw

(11.2)

J[Z¡,z]

Por otra parte, por la continuidad de

f

en ZI, dado

é

> O,

:38> O / así pues, en (1 1.2) podemos tomar módulos para obtener:

Hasta aquí hemos probado que F es holomorfa en el interior de K y que F'(z) = f(z) si 1z - Zo 1< r. Ahora bien, como F es holomorfa en un abierto, entonces es analítica, luego su derivada es a su vez derivable en Zo. Como Zo es un punto arbitrario de U, hemos probado que f es derivable en todo U. O

11.1.2.

CONVERGENCIA UNIFORME Y DERIVACIÓN

e

Sea A e un abierto y fl, 12, .. . , f n, ... funcion es holomorfas en A. Supongamos que la sucesión Un} converge uniformemente a f en todos los círculos cerrados contenidos en A . Entonces, si elegimos uno de tales discos, para cualquier triángulo T interior a él, tendremos

!rfn(w)dw

=O

n

= 1,2,3, ...

por el teorema de Cauchy-Goursat. Por otra parte, por el teorema de integración, tendremos

lím r fn(w)dw = O JTr f(w)dw = n-++oo JT

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Convergencia puntual y uniforme

Por lo tanto, el teorema de Morera asegura que

f

es holomorfa en A.

Tomemos ahora r > O de modo que el círculo 1 z - Zo 1::; r + R continúa estando en A. Para cualquier z del círculo 1 z - Zo 1::; R, la circunferencia e (z, r) es interior a A. Aplicando la fórmula de la integral de Cauchy para las derivadas, tenemos

f'(z)

= _1

f'(Zn)

= _1

f

f(w) dw

f.

fn(w) dw

21ri JC(z,r) (w - Z)2

y

21ri JC(z,r) (w - z)2

Así pues,

1

f~(z) -

1'(;;)

2~ Ifc(z,r) fn~:) ~ ~;w) dwl

1

<

~21rr~ máx 21r r Iw-zl=r

< ~

máx r Iw-zol:S::R+r

1

1

fn(w)) - f(w)

fn(w) - f(w)

1

1

y esta última desigualdad asegura que f~ converge uniformemente a f' en el disco 1w - Zo 1::; R + r (y por lo tanto en el disco 1w - Zo 1::; R). Como ahora {f~} verifica las hipótesis iniciales: es una sucesión de funciones holomorfas que converge uniformemente en los discos compactos de A, entonces podemos aplicar el mismo razonamiento para probar que {f~} converge uniformemente en los discos-cofup~ctos. En definitiva, hemos probado lo siguiente: Teorema 11 .5 Sea {fn} una sucesión de funciones holomorfas en el abierto A que converge uniformemente en los discos compactos de A a la función f. Entonces, a)

f

es holomorfa en A.

b) Las sucesiones {f~)}n, k = 0,1,2,-... convergen uniformemente en los discos compactos de A a fk). O

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11.2.

Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

SERIES DE FUNCIONES

Diremos que la serie de funciones de variable compleja z=~~ fn converge puntualmente (uniformemente) a la función f en A si la sucesión de sumas parciales {Sn} ,definida como

converge puntualmente (respectivamente uniformemente) a f en A. En tal caso, también se dice que f es la suma puntual (uniforme) de la serie, y se escribe +00

L

fn(z) = f(z),

z E A

n=l

Evidentemente los resultados de las secciones 11.1. y 11.1.2. se trasladan de inmediato a las series de funciones.

Teorema 11.6 (Condición de Cauchy) La serie formemente en A si, y sólo si,

z= f n converge uni-

p+q

VE > O .3no

N / Vp

E

~ no

Vq

E

L

N,

fn( z )

< E Vz

E A

O

n=p+l

Teorema 11. 7 (Continuidad) Si ~ fn converge a f uniformem ente en A y todas las funciones f n son continuas en Zo E A, entonces f es continua en zo. O ~ f n de funciones integrables a lo largo del camino '"Y converge uniformemente s obre el rango de '"Y a la fun ción f , y si f es a su vez integrable a lo largo de '"Y, enton ces

Teorema 11.8 (Integración) Si la serie

1

f( z) d z =

"1

+00

+00

j n=l L f n(z )dz = L j n=l "1

"1

f n(z)dz O

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209

Series de funcion es

Teorema 11.9 (Derivación) Si la serie L: f n converge a f uniformemente en los discos compactos del abierto A y si todas las funciones f n son holomorfas en A} ent onces a) f es holomorfa en A. b) Para k E N} L:~~ f~)(z) f k)(z) uniformemente en los discos compactos de A. O

De la condición de Cauchy se deduce inmediatamente el criterio de Weierstrass. Teorema 11.10 (Prueba M de Weierstrass) Sea de funcion es que verifican la condición

I fn( z ) I~ M n

Vz E A,

L: f n

una sene

n = 1, 2, ...

Si la serie L: M n converge} entonces L: fn converge absoluta y uniformemente en A. D emostración .- Sea

€

> O. Por la convergencia de L: M n , v+q

3no E N

/

Vp

~no

Vq

N,

E

L

M n <€

n=v+1

por lo tanto, Vz. E A v+q

L

n=v+1

v+q f n(z)

<

L

v+q Ifn(z) 1 ~

n=v+1

L

v+q Mn =

n=v+ 1

L

M n <€ O

n=v+1

Ejemplo.- Toda serie de potencias converge uniformemente en los subconjuntos compactos de su círculo abierto de convergencia: en efecto, si el radio de convergencia de +00

L an( z -

zot

n=O

es p, y si J{ es un subconjunto compacto del círculo I z - Zo 1< p, ·podemos elegir r, O < r < p, de modo que J{ esté contenido en el disco cerrado de centro Zo y radio r, es decir, J{

e {z

E

e : Iz -

Zo I~ r}

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Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

Entonces,

L I an I r n es convergente, la convergencia uniforme de L an(z - zo)n en K.

y como la serie

prueba M asegura la

EJERCICIOS Y PROBLEMAS CONVERGENCIA UNIFORME Y PUNTUAL

11.1 Demostrar que la sucesión {zn} converge puntual pero no uniformemente en el disco 1z 1< 1. 11.2 Estudiar la convergencia uniforme de las sucesiones

1 1

+ zn

zn 1 + z2n

sen nz n

11.3 Demostrar los teoremas 11.1 y 11.2. 11.4 Supongamos que In y gn convergen uniformemente a I y 9 respectivamente en A. Probar que In + gn converge uniformemente a 1+ g.

*.

11.5 Sea In(z) = ~ y gn(Z) = Evidentemente, gn converge uniformemente a a en C y In converge uniformemente a ~ en e - {a}. Probar que gnln no converge uniformemente en C - {O}. 11.6 El problema anterior demuestra que el producto de sucesiones de funciones uniformemente convergentes no tiene porqué conservar la convergencia uniforme. Probar que si In y gn convergen uniformemente y están acotadas en A entonces Ingn converge uniformemente en A.

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Ejercicios y problemas

gura la

11.7 Sea U un abierto acotado. Utilizar el principio del módulo máximo para probar que si las funciones i; son analíticas en U y continuas en U, entonces la convergencia uniforme de Un} en la frontera de U implica la convergencia uniforme en U. 11.8 Una sucesión de funciones {fn} converge localmente uniformemente a f en el abierto U si para todo z E U existe un número positivo 8z de modo que I« converge a f uniformemente en B(z,8z). Probar que las tres afirmaciones siguientes son equivalentes: a) fn converge a f uniformemente en los discos compactos de U b) fn converge a f uniformemente en los sub conjuntos compactos de U c) i« converge a f localmente uniformemente en U

=

11.9 Considérese la sucesión de funciones enteras fn(z) se~nz Probar: a) esta sucesión converge uniformemente a O en R. y b) la sucesión de las derivadas no converge a O en ningún punto. ¿Por qué no contradice este resultado el teorema de derivación? SERIES

iforme-

DE FUNCIONES

11.10 Estudiar

la convergencia uniforme de la serie geométrica

11.11 Estudiar

la convergencia uniforme de las series +00 1 (

a) ""' L -n2

1)

z" + -zn

n=l +00 c) ""' sen nz L n2 n=l

L zn.

+00

b) d)

L e-nz

n=O +00

L sen~z

n~l

n

specti11.12 Probar que el criterio de la prueba de Weierstrass no es condición necesaria para la convergencia uniforme.(Sugerencia: utilizar la serie L z;: .) ar que 11.13 Estudiar

+00 (_l)n+1 la convergencia uniforme de la serie

L -'---"---

n=l de funrgencia atadas

11.14 a) Estudiar

Z

+n

la convergencia puntual y absoluta de la serie (11.3)

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Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja

b) Sea

A

= {z

E

e : z -# 0,1

1::;

arg z

¡}

c) Sumar la s

Probar que la convergencia de (11.3) no es uniforme en A.

e) Probar que la serie

(_l)nzn

"

LJ 1

converge uniformemente

LA TRANSFORM

+ z2

y absolutamente

en A.

((8) =

que la función zeta de Riemann,

1

L -, n

+00

11.15 Probar

converge

S

11.18 Dada formada disc. Probar que o gente en el s¡ no converge ¡ analítica en E

n=l

uniformemente en {8 : re( 8) en el semiplano re( 8) > 1.

> x} para todo x > 1. Por lo tanto, es analítica

a e

11.16 a) Probar que la función

1

f(z)

11.19 Halle

2z

+00

= -Z + L

Z

n=l

e-

es holomorfa en Z. Demostrar simples con residuo R¡(n) = 1.

2

n

-

Es obvio que resultado ant

2

que en todos los enteros posee polos 11.20 Dem mada de {an

Ni

b) Sea Q f/- Z y N un entero positivo. Considérese el camino r N de la figura. Hallar

rN

N

N+

e excepto

en

-Ni

c) Probar que 1 --;;----;;-= Q2 _ n2

cot

1['

z

1[' ---

Q

n=-oo

1

+00

11.17 a) Probar que la función

L

2

n=l Z

+n

2

es derivable en

un conjunto de polos y hallar los residuos correspondientes. b) Probar que 1['

tanh

1['Q

'x se Ilam:

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c) Sumar la serie

213

+00 1 2". n =l n

L

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DISCRETA

11.18 Dada la sucesión de números complejos {a n } ~~ se define su tmnsformada discreta como la función de variable compleja F(s) = ¿~~ e-nsa n . Probar que o bien existe x E R* de modo que la serie en cuestión es convergente en el semiplano re( s) > x y divergente para re( s) < x o bien la serie no converge en ningún punto. Si se da el primer caso, demostrar que F es analítica en el semiplano re(s) > x . 11.19 Hallar la transformada discreta de las siguientes sucesiones:

a) 1,0,0, ... ,0, ... C)

b) 1,1 ,1, ... ,1, ...

a 2a , ... ,e na ... l ,e,e

Es obvio que la transformada discreta es lineal: deducir de este hecho y el resultado anterior las transformadas de {sen an} y {cos an}. 11.20 Demostrar que si bn = an+l n = 0,1,2, .. . y F(s) es la transformada de {a n }, entonces la transformada de {b n } será G(s) = eS F(s) - aoe s .

• x se llama la abscisa de convergencia.

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Capítulo 12

Integración paramétrica

En el próximo capítulo, así como en la segunda parte, nos vamos a preocupar del estudio de algunas funciones que se definen por medio de integrales. Los problemas que aparecen aquí son análogos· a los planteados en el tema de sucesiones y series de funciones y, como allí, se resuelven con mucha más facilidad y resultados más agradables en el caso complejot. En concreto, dada una función de dos variables complejas, f(w, z), y un camino" consideramos la función

F(z)

=

1, f(z, w)dw

y tratamos de averiguar si F conserva las propiedades de continuidad y derivabilidad de f .

12.1.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS PROPIAS

En este apartado consideramos un camino regular a trozos

, : [a, b]

---t

C

y una función

f:Axf---tC ·Los mismos . tRespecto al caso real, véase el apéndice B.

215

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Capítulo 12: Integración paramétrica

e

(donde A e y r es el rango de ,). Si para cada z E A la función f(z, w) es integrable -respecto a la segunda variable- a lo largo de " queda definida una nueva función

F:

A Z

--t -t

C F(z)=J,f(z,w)dw

En el caso particular ,(t) = t, entonces r es precisamente el segmento [a, b] del eje real. En este caso representaremos esta función como

F(z) =

¡b

f(z, t)dt

Teorema 12.1 (Continuidad) Sean A e e un conjunto compacto y r el rango del camino regular a trozos,. Si la función f es continua en A x r, entonces F es continua en A.

Demostración.- Dado que el conjunto A x r es compacto, f es uniformemente continua. Por lo tanto, dado é > O,

38> O/

1Z l 1Wl

_

Z2 1< 8 } W2 1< 8

:::}I

f( zI, Wl)

-

f(Z2, W2)

1<

é

21(¡)

donde l(¡) es la longitud del camino ,. Por lo tanto, si 1 Zl - Z2 1< 8 tendremos

1f(Zl'W)

- f(Z2'W)

1<

é

21(¡)

Vw E

r

luego, 1

F(Zl) - F(Z2)

1

li

{f(Zl'W) - f(Z2'W)} dwl é

< l(¡) 21(¡) ::; é

O

Corolario 12.1 Sean A e e un conjunto abierto y r el rango del camino regular a trozos,. Si la función f es continua en A x r, entonces F es continua en A.

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217

Integrales paramétricas propias

Demostración .- Basta probar que F es continua en todos los puntos de A. Si Zo E A podemos encontrar un radio ro > O de modo que el disco cerrado de centro Zo y radio ro esté contenido en A. Por el teorema anterior, F es continua en el disco y en particular en zo. D Obsérvese que los resultados anteriores significan que, si f es continua, se puede intercambiar la integración respecto a una variable con el paso al límite respecto a la otra, es decir, lím Z----+ZQ

¡

'"Y

f(z, w)dw =

¡

"Y

lím f(z, w)dw Z---+ZQ

=

¡ f

f(zo, w)dw

Ahora probaremos un resultado análogo en relación con las derivadas.

Teorema 12.2 (Derivación bajo el signo integral) Si f es el rango del camino regular a trozos !, A e ce un abierto y f es continua en A x f y parcialmente derivable respecto a z en A x f, entonces F es holomorfa en A y anf Fn)(z) = I azn (z,w)dw

¡

Es decir, puede intercambiarse la derivación respecto a z con la integración curvilínea. Demostración.- Sea Zo E A. Si elegimos R > O de modo que el disco cerrado 1( = {z : 1 z - Zo 1::::: R} esté contenido en A, entonces f(z, w) puede desarrollarse en serie de Taylor en el interior del disco: +00

f(z, w) = I:an(w)(z - zot

z E

1(,

w Ef

(12.1)

n=O

donde, según la fórmula de la integral de Cauchy para las derivadas,

a n w = ~ anf (zo w = _1_ () n! az n , ) 27ri

r lC(zQ ,R)

f(rp, w)

(rp - zo)n+l

drp

Al ser f una función de dos variables, los coeficientes a n de la serie de Taylor dependen de w. Vamos a demostrar que esta dependencia es continua, es decir, que para todo natural n la función an(w) es continua en f.

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218

Capítulo 12: Integración paramétrica

Como f es continua en el compacto 1< x r, entonces es uniformemente continua y, dado é > O existe 8 > O de modo que

siempre que 1'P - Zo

1= R Y Wl, W2 E r.

1an(Wl) - an(W2) I:S

Por lo tanto,

1 é é 27r 27r R Rn+1 = Rn

Así pues, los coeficientes a n (w) son funciones continuas. Por otra parte, la serie (12.1) converge uniformemente en r. Para probarlo aplicamos la prueba de Weierstrass. La continuidad uniforme en el compacto 1< x r asegura la existencia de una cota para f:

1f( z,w) I:S M Vz

3M> O /

E 1<, Vw E

r

Entonces,

.. Ahora podemos aplicar el teorema de integración para series de fun,cibnes (el teorema 11.8). La integral respecto a I puede intercambiarse ;con la serie:

¡ L an(w)(z - zor dw E(i an(w)dw) (z - zor +00

F(z)

'Y n =O

=

1z - Zo 1< R

(12.2)

Esta última ecuación indica que F es analítica (¡una serie de potencias!) en el interior del disco 1 Z - Zo 1< R. La derivada de F en Zo es el coeficiente de 1 Z - Zo 1 en 12.2:

F'(z)

=

i

al(w)dw

=

i ~~(zo,w)dw

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219

Integrales paramétricas impropias

Del mismo modo podemos determinar las derivadas sucesivas de F:

Si se compara este teorema con el correspondiente en el caso real, 2

. la h·' . de contmm · ·d a d d e 8f o b servaremos que no se precIsa IpotesIs 8z' 88zf2 '

ff3f

8z 3 '

...

Ejemplo.- En el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y en relación con problemas de la técnica (tales como la difusión del calor a través de un cilindro) aparecen las funciones de Bessel de primera especie:

Ja(z) = -1171" cos(at - zsent)dt, 7r o

z E

e

Puesto que la función

f (z, t) es continua en

12.2.

ex

= cos (at

- z sen t)

[O , 7rJ Y derivable respecto a z, J a es derivable y

1171"

J~(z)

- sen( at - z sen t) sen tdt 7r o

J~(z)

1171" cos(at - zsent)sen 2 tdt -7r o

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS

Hasta aquÍ hemos considerado siempre integrales curvilíneas alo largo de caminos 'Y : [a, bJ -----t e, a, b E R Si extendemos el concepto de camino a intervalos abiertos o semiabiertos las integrales resultantes pasan a ser impropias y las dificultades de la teoría aumentan. Sin embargo, (como siempre pasa) son éstas las más interesantes por sus aplicaciones.

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Capítulo 12: Integración paramétrica

12.2.1.

INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE

Un camino sin fin es una aplicación continua

,: [a, +oo[--t a representaremos como IU el camino

lu:

[a ,u] --t lu(t) = I(t)

Si IU es regular a trozos Vu > a diremos que I es regular a tro zos.

Definición 12.1 Sea I un camino sin fin regular a tro zos y supongamos que g es una función compleja de variable compleja integrable a lo largo de IU para cada u > a. Si existe y es fin ito el límit e lím

u .... +oo

1 "'tu

g(z)dz

(12.3)

diremos que g es integrable a lo largo de I o que la integral a lo largo de I de g es convergente y representaremos el límite (12.3) como

Ejemplo.- El intervalo [O, +oo[ es un camino sin fin. La integral a lo largo de [O, +oo[ de una función g(z) coincide con la integral impropia r oo

Jo

g(t)dt

De modo general, la integral a lo largo de cualquier camino sin fin es equivalente a una integral impropia de variable real:

i

g(z)dz =

la+ oo g(¡(t)),'(t)dt

y su estudio se reduce al de las integrales impropias de variable real.

Teniendo en cuenta este hecho, diremos que la integral J"'t g( z )dz conoo verge absolutamente si la integral Jo+ I g(¡( t)),' (t) I dt converge y

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Integrales paramétricas impropias

podemos asegurar que la convergencia absoluta implica la convergencia ordinaria, lo que finalmente nos permite utilizar los criterios de convergencia absoluta conocidos. Ejemplo.- Sea, la semirecta

L

, : [1 , +oo[ t

--te -t

,(t) = tei1f / 4.

La integral f"l ~; converge absolutamente, puesto que

¡+oo 1 JI ,(t) 1

1

I ,(tn dt =

¡+oo 1 JI t 2dt

es convergente. Por otra parte,

j

"1

dz = z

i1f

¡+oo e / 4 dt = ¡+oo dt JI te'1f/4 JI t

luego es divergente. Dado el camino sin fin , : [a, +oo[ --t e, si v > u > a, representamos por ,uv su restricción al subintervalo [u , vl. ,uv está pues definido por la fórmula ,uv(t) = ,(t), u:S; t :s; v. Teorema 12.3 (Condición de Cauchy) La integral

i

g(z)dz con-

verge si} y sólo si} VE- > O 12.2.2.

3uo

> a / v>

u

>

Uo

=}

liuvg( z )dzl <

E-

O

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE

Consideremos una función f:Axf--te

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Capítulo 12: Integración paramétrica

donde A e e y r es el rango de un camino sin fin ,. Diremos que la integral f. .J(z, w)dw converge puntualmente en A si existe y es finito el límite líIIlu_+oo f"Yu f( z, w)dw para cada z E A, es decir, si fijado z E A la integral de gz(w) = f( z, w) es convergente. En tal caso queda definida una nueva función

F: A z

e

---t

F(z) = f"Y f(z, w)dw

-+

Al igual que ocurre con las sucesiones y series de funciones, la convergencia puntual no conserva las propiedades de continuidad o derivación, como se ve en el ejemplo siguiente. Ejemplo.- La función f(z,w) = integral paramétrica +00

F(z) =

1 o

l+:2w 2

es continua en

z 2

l+zw

exe

y la

2 dw

converge puntualmente en [O, +00[. Sin embargo, F no es continua, ya que mediante un cálculo directo se comprueba que, para x > O, F(x) = f mientras que F(O) = O. Siguiendo el paralelismo con las sucesiones y series de funciones introducimos un concepto de convergencia más restrictivo. Definición 12.2 Sean A e e, , un camino sin fin y r su rango. Supongamos que f es una función definida en A x r y la integral paramétrica f"Y f(z , w)dw converge puntualmente a F en A. Diremos que la convergencia es uniforme o que la integral converge uniformemente a F en A si

VE: > O 3uo> a / u

~ Uo

=?

{Iiu

f(z, w)dw - F(z) 1 < E: Vz

Teorema 12.4 (Condición de Cauchy)

La integral

EA}

i

f(z, w)dw

converge uniformemente en A si, y sólo si,

VE: > O

3uo

> a v> u > Uo

=?

{Iiuv

f(z,w)dwl

< E: Vz

E

A}

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223

Integrales paramétricas impropias

La demostración se propone como ejercicio para el lector. O

Teorema 12.5 (Prueba M de Weierstrass) Sea r el rango del camino sin fin regular a trozos,. Supongamos que las funciones

f :A

X

r~e

y

M : r ~ 1R+

verifican la desigualdad

I f(z,w) y que la integral impropia

Entonces)

l

r

I~

M(w) Vz E A Vw E

l

M(w)dw es convergente.

f(z, w)dw converge uniforme y absolutamente en A.

Demostración.- Sea

é

> O. Puesto que

f"Y

M( w )dw converge,

~ Uo ~ Iluv M(w)dwl

:3uo > a / v > u

<

é

Por lo tanto,

Iluvj( z,w )dwl

v

11

< <

l l

j( z,,(t)),'(t)dtl

v

lf(z,,(t)),'(t)1 dt v

M(¡(t)) b'(t) 1dt =

l

v

M(w)dw <

é

O

A partir de aquí, podríamos dedicarnos a reproducir las demostraciones de los teoremas del capítulo anterior. Sin embargo, no va a ser necesario hacerlo: el paralelismo que hemos venido observando con la teoría de sucesiones y series de funciones no es en absoluto casual y ahora vamos a sacarle el máximo provecho. Supongamos que {un}~~ es una sucesión creciente de números reales de modo que Uo = a y lím Un = +00. Si la función j( z, w), definida en A x r, es integrable a lo largo de Vu > a, entonces podemos construir la sucesión de funciones

'u

Fn(z) =

¡

"YUn

f(z, w)dw

zEA

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224

y se demuestra sin ninguna dificultad que la convergencia puntual o uniforme de la integral J,f(z,w)dw a la función F implica el mismo tipo de convergencia de Fn a la misma función F. Por lo tanto, la convergencia de integrales paramétricas se reduce a la de sucesiones de funciones y los dos teoremas siguientes son triviales.

Teorema 12.6 (Continuidad) Sea

r

el rango del camino sin fin re-

gular a trozos I y sea f{ un conjunto compacto. Si

i

f( z, w)dw con-

ve rge uniform emente a F en f{ , y la func ión f es continua en f{ x entonces F es continua en f{. O

f{

El teorema anterior continúa siendo válido si en lugar del compacto se considera un conjunto abierto .

Teorema 12.7 (Derivación bajo el signo integral)

i

r,

S i la integral

f( z, w)dw converge uniform em ente a F( z ) en los discos com pactos

del abierto A , y f admit e una derivada parcial respecto a la variable z en A , entonces, a) F es holomorfa en A. b) Para todo n E N, Y para todo z E A ,

(12.4)

o

A demás, la convergencia de (12.4) es uniform e en los discos compactos de A. O

Ejemplo.- Sea f( t) , t :2: 0, una función acotada y continua y consideremos la integral paramétrica

10+ Puesto que 3M >

1f (t) e- zt

I~

00

f(t)e - ztdt

°/ 1

M 1e- zt

(12.5)

f (t) I~ M Vt 2

1= M e- re(z )t

~

°

M e- at

si r e( z ) :2: a

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Integrales paramétricas impropias

Por otra parte, la integral

¡

+oo

o

Me - atdt =

M

lím __ (e-at - 1) t_+oo a

converge a ": siempre que a > O. Por lo tanto, (12.5) converge uniformemente en el semiplano

{zEC:

re( z )~a}

para cualquier a > O. Por lo tanto, la convergencia es uniforme en todos los subconjuntos compactos de {z E C: re(z)

> O}

La función F que resulta es la transformada de Laplace de f +. Del teorema de derivación se sigue que F es analítica y sus derivadas suceSIvas son

n = 1,2, . ..

12.2.3.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE

Llamaremos camino sin fin de segunda especie a una función continua

, :]a, b]

--t

C

Como en los párrafos anteriores, podemos hablar del rango de " o decir que, es regular a trozos si lo es su restricción a los intervalos de la forma [u, b] a < u < b. Sea f : A x r - - t C una función no acotada en las proximidades de (z,,(a)) para algún z E A. La integral paramétrica

'u

Áf(z,w)dw

( 12.6)

t Cuando la estudiemos en la segunda parte impondremos unas condiciones menos restrictivas a f.

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Capítulo 12: Integración paramétrica

converge puntualmente a la función F(z) en A si

lím

u--+a+

1

fez, w)dw

"fu

= F(z)

Vz E A

y converge uniformemente a F en A si

VE- > O 3uo > a / a

< u:::;

{ILu

uo =*

f(z,w)dw - F(z)1

< E- Vz E

A}

Por supuesto, la condición de Cauchy (cuyo enunciado dejamos para el lector ) y la prue1?.?- de Weierstrass se demuestran como en la sección anterior.

Teorema 12.8 (Prueba M de Weierstrass) Sea

r

el rango del caSupongamos que las

mino sin fin de segunda especie regular a trozos "y. funciones f : A x --t y M: - - t jR+

r

e

r

verifican la desigualdad

Vz

1 f(z,w) 1:::; M(w) y que la integral impropia Entonces,

L

E A, Vw

r

E

L

M (w )dw es convergente.

fez, w)dw converge uniforme y absolutamente en A. O

Si {un} es una sucesión decreciente de puntos de la, b] de modo que lím Un = a, entonces la convergencia puntual (o uniforme) de (12.6) es equivalente a la de la sucesión de funciones Fn(z) =

1

fez, w)dw

"fu n

y, por lo tanto, los siguientes teoremas son inmediatos .

Teorema 12.9 (Continuidad) Sea gular a trozos

"y

y sea

J{

r

el rango del camino sin fin re-

un conjunto compacto. Si

L

fez, w)dw con-

verge uniformemente a F en J{ y la función f es continua en J{ x entonces F es continua en J{. O

r,

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227

Teorema 12.10 (Derivación bajo el signo integral) Si la integral i f ( z,w )dw converge uniformemente a F(z) en los discos compactos del abierto A y admite una derivada parcial respecto a la variable z en A, entonces a) F es holomorfa en A. b) Para todo n E N, Y para todo z E A,

(12 .7) Además, la convergencia de (12.7) es uniforme en los discos compactos de A. O

12.2.4.

INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS: CASO GENERAL

Terminemos de generalizar el concepto de camino diciendo simplemente que es una aplicación .continua 1 : 1 ----+
La definición que sigue reduce las integrales paramétricas a los casos ya estudiados:

Definición 12.3 Si 1 = 11 + 12 Y 11, 12 son caminos sin fin de primera o segunda especie y las integrales f'YI f( z, w)dw f'Y2 f(z, w)dw convergen uniformemente a F 1 y F 2 respectivamente entonces diremos que f'Y f (z, w)dw converge uniformemente a F1 + F 2 .

http://carlos2524.jimdo.com/ Capít ulo 12: Integración paramétrica

228

EJERCICIOS Y PROBLEMAS En todos los ejercicios en los que aparecen potencias complejas, se trota de la determinación principal (zW = ewlogz). INTEGRALES PARAMÉTRICAS PROPIAS

12.1 Sea

1 a

f una función continua en [O,a]. Probar que la función F(z)

e- tz f(t)dt

=

es entera y determinar su desarrollo de Taylor en el origen.

12.2 a) Probar que la función de Bessel J ex es solución de la ecuación dife-

rencial

z 2 w" + zw'

+ (t 2 -

(

2

)w = '

°

b) Hallar las derivadas de Jo: de todos los órdenes. 12.3 Desarrollar en serie de Taylor en el origen las funciones de Bessel Jo y JI. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS

12.4 Probar que toda integral paramétrica impropia puede reducirse a suma de integrales impropias de primera y segunda especie. 12.5 Estudiar la convergencia uniforme de las siguientes integrales:

a) d)

Jor+

oo

r oo Jo

e-

zt 2

dt

sen t dt

t

b) e)

r+

oo

Jo1

1

sen t dt F

Z

t sen tdt

En el apartado f) se trata de una integral con dos parámetros (la definición de convergencia uniforme se extiende sin dificultad a dos o más parámetros). Además la función resultante es la función beta, objeto del próximo capítulo. 12.6 Estudiar la convergencia uniforme de las integrales

siendo

a) a E lR Y ,(t) = té", tE [l,+oo[ b) a E lR Y ,(t) = té", t E]O,l]

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Ejercicios y problemas

12.7 Probar que las siguientes funciones son enteras y calcular sus deriva-

das:

h( z)

=j

+ OO - 00

2

e- t cos ztdt ,

Jz( z)

=

+00

1 1

tZ - h- dt cos t

12 .8 Demostrar el teorema 12.4. LA TRANSFORMADA DE LAPLA C E

12.9 Estudiar la relación existente entre las transformadas de Laplace de

f

y

1'.

12.10 Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:

a)f(t)=l d) f(t) = cosat

b) f(t) e) f(t)

= eat

= senat

c) f(t) f) f(t)

= tn

= ebt g(t).

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Capítulo 13

Las funciones de Euler

Las funciones Gamma y Beta aparecen en múltiples situaciones en Matemática Aplicada: en relación con otras funciones especiales (las de Bessel, por ejemplo) o con las transformadas integrales; o en cálculo de probabilidades, relacionadas con algunas funciones de distribución. En este capítulo definimos estas dos funciones (como integrales paramétricas) y estudiamos sus principales propiedades. Puesto que las definiremos en el campo complejo, la teoría general de funciones de variable compleja va a sernos extremadamente útil para nuestro estudio. De hecho, alguno de los resultados que obtendremos resulta mucho más costoso si se adopta el punto de vista de las funciones de variable real. Durante todo el capítulo, trabajaremos con integrales impropias en las que aparecerán funciones potenciales de la forma t Z donde t > O Y z es un número complejo. Por lo tanto, con el fin de evitar ambigüedades, convendremos en fijar siempre la determinación principal de la potencia. En otras palabras , si t > O Y z E e, entonces t Z = ezlnt .

13.1.

LA

FUNCIÓN GAMMA

Consideremos la integral paramétrica

(13.1) Dado que la función

231

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Capítulo 13: Las funciones de Euler

es continua respecto a t en ]0 , +oo[ pero no está acotada* en las proximidades de t = O, la convergencia puntual y/o uniforme de (13.1) se debe estudiar a partir de las dos integrales

En cuanto a 11 , como

I e(z- l)lnt I e- t e(re(z)-I) In t e-t t re(z) -1 e- t

< eligiendo una constante a

t re(z )-1

O < t :::; 1

> O, tendremos O < t :::; 1

re(z) :::: a

y entonces, la prueba de Weierstrass nos permite concluir que 11 converge absoluta y uniformemente en

{ z E C: re(z):::: a} para todo a > O (porque f~ ta-1dt converge puntualmente en

= f~

tld~a converge) y de aquí que 11

{ z E C: re( z) > O} Se puede probar que 11 es divergente en el resto del plano complejo , es decir en el conjunto

{z EC: re(z):::;O} Estudiemos ahora la convergencia de 12 : elijamos un entero positivo d. Si re(z) :::; d tendremos (13.2) • Al menos para algunos valores de z.

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233

La [unción Gamma

Aplicando reiteradamente la regla de L'Hopital se comprueba que

luego It"'" td-1e-tdt converge y la desigualdad (13.2) asegura la convergencia uniforme de /2 en el conjunto {z E

e:

re( z ) :::; d}

y de este hecho se concluye la convergencia puntual de /2 en todo el plano complejo. De todo lo expuesto podemos extraer la siguiente conclusión: la integral paramétrica / definida en (13.1) converge uniformem ente en {z E e: b ~ r e( z) ~ a} Va, b E lR / b > a > O Y puntualmente en { z E e: re( z ) > O}. Definición 13.1 La función euleriana de segunda especie o función Gamma de Euler se defin et como

r:

{z E

e:

r e(z )

> O}

--+

e

z Teorema 13.1

r

es analítica en todo el sem iplano {z E

e:

r e(z )

> O}

y sus derivadas sucesivas son

Demostración.- Puesto que la función f( z , t) = t z-1e- t es continua y derivable respecto a la variable z en el dominio de r, la conclusión es inmediata por los teoremas de derivación del capítulo 12. O

Las propiedades más simples de la función próximo teorema:

r

se enumeran en el

tMás adelante extenderemos su dominio a otro más general.

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234

Teorema 13.2 (Propiedades de la función Gamma)

a)r(l)=l b) r(z + 1) = zr(z) c) r(n) = (n - 1)!

Vz E el re(z) > Vn E N

Demostración.-

a) r(1)

o

00

= Jo¡+oo e-tdt = _ e- t 1+o = 1

b) Integrando por partes en

encontramos

= (n-1)r(n-1) = (n-1)(n-2)r(n-2) = ... = (n-1)! O A causa de la propiedad c) algunos autores llaman a r la función factorial e incluso puede encontrarse en algunos textos la función r( z + 1)

c) r(n)

representada como z!

13.1.1.

I

-

-

LA FUNCIÓN GAMMA DE VARIABLE REAL

Si restringimos nuestra atención a los valores positivos de la variable, entonces es obvio que

r(p) > O ~a

que e-tt p -

1

Vp> O

> O Vp > O. Además , Vp> O

luego

r

es una función convexa. Más aún, veremos enseguida que es logarítmicamente convexa, es decir, si consideramos la función

f:

entonces,

f

es convexa.

IR+

------+

p

-t

IR

f(p) = In r(p)

http://carlos2524.jimdo.com/ 235

La función Gamma

Para demostrar este hecho, utilizaremos la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz: dadas dos funciones reales ft y 12,

(13.3) siempre que las integrales del segundo miembro de (13.3) sean convergentes. Si derivamos dos veces la función J obtenemos

j'(p)

=

f"(p)

r'(p) r(p) r"(p)r(p) - r'(p)2 r(p)2

así que habremos de probar que

r"(p)r(p) - r'(p)2 ya que entonces

f"

~

O y por lo tanto

J es

~ O

(13.4)

convexa.

Tenemos:

r(p) r'(p)

r"(p)

10+ 10+ 10+

00

00

00

e-I e-tdt

(In t)tZ-Ie-tdt (In 2 tW-Ie-tdt

luego para deducir (13.4) de (13.3) basta con elegir

JI (t) J2(t)

r

Según el teorema (13.2) y según lo que acabamos de decir, la función de variable real reúne las siguientes propiedades:

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236

Capítulo 13: Las funciones de Euler

6 5 4

3 2 1

O '----1---1----+--+---+----+

O 1 234 5 6 Figura 13.1: La función f de variable real (positiva).

a) f(l) = 1 b) f(p + 1) = pf(p)

Vp> O

c) f es logarítmicamente convexa. Lo que resulta realmente sorprendentet es que estas tres propiedades caracterizan la función f: ésta es la única función que las posee. En el teorema 13 .3 demostramos este hecho y además encontramos una nueva expresión de la función Gamma. Teorema 13.3 (Bohr-Mollerup) Sea 9 :]0, +00[--+]0 , +oo[ una función que verifica las p1'Opiedades

a)g(l)=l b) g(p + 1)

= pg(p)

Vp> O

c) 9 es logarítmicament e convexa. t Al menos sorprende a los autores.

http://carlos2524.jimdo.com/ 237

La [unción Gamma

Entonces, g(p) = f(p) Yp Además,

f(p) =

, bm

> O. nPn!

(p + n)(p + n - 1)· .. p

n-++ oo

Yp> O

Demostración .- Probaremos que si 9 verifica a) , b) Y c), entonces

g(p)

, bm

=

n-++oo

'

nPn!

(p + n)(p + n - 1)··· p

Yp> O

(13.5)

Esto significa que únicamente existe una función positiva que verifique a), b) y c), luego ha de coincidir con f. Observemos en primer lugar que, para n E N a) y b) permiten concluir que g(n) = (n - 1)! Por otro lado, si x > O no es entero y n es la parte entera de x, entonces x = n + p con O < P < 1, luego

g(x)

=

g(n + p)

=

(n

+p -

l)(n + p - 2)··· pg(p)

Por la convexidad logarítmica de g, p

1

l+p

l+p

-- + --

1

===>

lng (-p- (n - 1)

In g( n)

l+p

<

-P-In g(n

l+p

+ _l_(n + p)) l+p

- 1) + -l-ln(n + p) l+p

es decir, ln(n-1)!

< 1:pln(n -2) 1 1

(1 + p) ln(n - 1)! (1 + p)On(n - 1) + ln(n - 2)!] (1 + p) ln(n - 1) + ln(n - 2)!

+ 1 + p ln( (n + p - 1)( n + p - 2) ... pg(p)) < pln(n - 2)! + ln((n + p - 1)(n + p - 2)· · · pg(p)) < pln(n - 2)! + ln((n + p - 1)(n + p - 2)· ·· pg(p)) < ln((n + p - l)(n + p - 2) ··· pg(p))

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238

Capítulo 13: Las funciones de Euler

Eliminando los logaritmos quedará:

(n - l)P(n - 1)! -(n-+-----'-p---1-)('--n....:..+-p------'-2)-.-. .-p ~ 9 (p )

Vn

E

N

(13.6)

Por otra parte, volviendo a aplicar la convexidad logarítmica,

+pI=} lng(n + p) lng((l -

(1 - p)

< (1 -

+ p(n + 1)) p) lng(n) + plng(n + 1) p)n

es decir, ln((n

+p -

l)(n + p - 2)··· pg(p))

g(p)

~

(1 - p) ln(n - 1)!

nP(n - 1)! (n+p-1)(n+p-2)···p

~

+ pln n!

Vn E N

(13.7)

Combinando (13.6) Y (13 .7), resulta

(n - l)P(n - 1)! < g(p) < nP(n - 1)! (n+p-l)(n+p-2)· ·· p - (n+p-1)(n+p-2) · · · p luego 1

~ --'-(n--.::...,~)..:.=~~,..:...L-l""")!'-- ~ (n+p-l}(n+p-2)···p

(n: JP

Tomando límites respecto a n , . 9 () p =

, 11m

n-++ oo

(n-1) P(n-1)! (p + n - 1) (p + n - 2) ... p

O
Cambiando n por n - 1, obtenemos (13.5) para O < p < 1; el caso general se deja como ejercicio. O 13.1.2.

PROLONGACIÓN ANALÍTICA DE GAMMA

En este apartado extendemos el dominio de la función Gamma a todos los números complejos , excepto el cero y los enteros negativos. Para ello, sustituimos en la integral

re(z) > O

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239

La [unción Gamma

la serie

con lo que obtenemos

Si la integral y la serie pueden intercambiarse resultará:

+00 ( E

l)n {1 n 1 -n! Jo e+ - dt

+00 (_l)n =

1

(13.8)

E---;Y-z+n

n=O

¿Podemos realmente intercambiar la integral con la serie? Desde luego, la serie es uniformemente convergente, pero la integral es impropia y no hemos estudiado la posibilidad de intercambiar integrales impropias con series de funciones. Para obviar este problema, supongamos que re( z) > 1: en tal caso, 11 no es impropia y nuestros razonamientos son correctos. Así pues, podemos expresar la función f como

f(z)

=

1 1,+00 E -,--+ e- e- t dt n. z + n

+00 (_l)n

1

re(z)

>1

(13.9)

1

n=O

Ahora bien, aplicando el criterio del cociente a la serie (13.8) se comprueba que ésta converge absolutamente Vz E {O, -1, -2, ... }, así que la serie y la integral del segundo miembro en (13.9) convergen siempre que z -=1- 0, -1, -2, ...

e-

Teorema 13.4 La función G(z) =

1 1,+00 E -,--+ en. z + n

+00 (_l)n n=O

1

e- t dt

z-=l-O,-1,-2, ...

1

es holomorfa en todo su dominio. Todos los puntos singulares 0, -1, -2, ... son polos simples y sus residuos son

Rc(-m)

( _l)m

=--

m!

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240

Demostración.- Supongamos que junto compacto .

J(

e e-

{O, -1 , - 2, ... } es un con-

Si r es la distancia de J( a {O, -1 , -2 , .. . }, entonces r > O Y

(-:r

I

z: n

I ~ ~! ~

'iz E

J(

luego la serie (13 .8) converge uniformemente sobre los subconjuntos compactos del dominio de G. Por lo tanto, la serie y la integral del segundo miembro de (13.10) son funciones holomorfas. Finalmente, para m E {O, 1,2, ... }, la serie Ln;ém (-~r m~ n es convergente, luego si 1z + m 1< 1

lo cual demuestra que (_I,m - m es L..!.f-. O m.

- ry¡,

es un polo simple de G y que el residuo en

Sabemos que G coincide con f para re( z) > 1, pero según el principio de identidad, deben coincidir sobre todo el dominio de f . En definitiva, podemos definir

Definición 13 .2 La función f

f(z) =

+00 (_l )n

1

+00

I: - n.,---+ r z +n

n=O

se

define como

t

l

Z -

e- t dt

z =1- O, -1 , -2, ... (13.10)

JI

La propiedad f(p + 1) = pf(p) sigue cumpliéndose en todo el dominio de la función Gamma. f es analítica en todo su dominio y en los puntos de discontinuidad J( = O, -1, - 2, ... tiene polos simples con k residuos Rr( - k) = •

(-N

. Nota.- Se podría hacer una objeción a la forma en que hemos prolongado la función Gamma: ¿Por qué elegir (13.10) como definición y no cualquier otra fórmula razonable?

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n con-

>Oy El( e

Ulll-

241

Por ejemplo, como r(z) = r(z + 1)/ z para re( z) > O, esta expresión se puede utilizar de modo recursivo para extender r hacia la izquierda en el plano complejo. "Pues bien, la respuesta es simple: no importa cuál sea el procedimiento que se utilice; gracias al principio de identidad cualquier extensión holomorfa de r coincide en su dominio con la nuestra. Además, como cero y los enteros negativos son polos simples, no es posible una extensión holomorfa de r a estos puntos.

onjun-

de G. 13.10) 6

s con-

5 4

dt

3 2

duo en 1

1 prin-

f. En

-6

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2

-3

13.10)

el doo y en les con

rolo nn y no

~

Figura 13.2: La función Gamma de variable real.

5

6

http://carlos2524.jimdo.com/ 242

Capítulo 13: Las funciones de Euler

13.2.

LA FUNCIÓN BETA

Estudiaremos ahora la integral paramétrica

Como la función

f(t,z,w)

e- l (1- t)w- l

=

es no acotada para t = O Y t = 1 debemos analizar las dos integrales 1

10"2 t Z- l (1 - t )W- ldt

¡l e-l(1 _ t)W- ldt 2

Empecemos por 11 . Si O < t

<

~ entonces

I e- l (1 - t)W- l I = t e(Z) - 1(1 _ I

tre(W) - l

< tre(z)- l =

1

tl-re(z)

'*

Puesto que J02 converge si, y sólo si, a < 1, eligiendo re( z) > O tendremos 1- re(z) < 1 luego 1l (z,w) converge (puntualmente) en el conjunto

{(z, w): re(z) > O} Por otra parte, si hacemos el cambio de variable u = 1- t en 12(z, w) ,

12(z,w)

=

¡ tZ- l (1 _ t)W- l dt = 1o"2(1 - uY- lUW- l du = l (w,z) 1

I

1

2

luego 1z (z, w) converge (puntualmente) en el conjunto

((z,w): re(w) > O} Así pues, 1 converge en el primer cuadrante

((z,w): re(z) > O, re(w) > O}

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243

Además se comprueba fácilmente que la convergencia es uniforme§ sobre los conjuntos de la forma

a>O

{(z,w): re(z):::: a, re(w):::: a}

Definición 13.3 La función euleriana de primera especie o función Beta de Euler se define como

re(z) , re(w) > O Teorema 13.5 (Propiedades de la función Beta) Dados dos números complejos z y w tales que re( z) > O y re( w) > OJ

a) f3(z, 1) = ~ b) f3(z,w) = f3(w,z)

c) f3(z

+ 1,w) =

z~wf3(z,w)

d) f3(z,w) = 2fo~ cos 2z- 1
e) f3(z,w)

= fo+=

(1~:):+wdu

Demostración.- Un cálculo directo permite probar a): f3(z , 1) =

¡

1

o

e - 1dt = -e

1 1

z o

= -1

z

Para demostrar b) hacemos el cambio de variable t = 1 - u :

Escribiendo f3( z + 1, w) en la forma [1 ( _ t_ )Z (1 _ t)z+w- 1dt

Jo

1- t

§ La convergencia uniforme puede extenderse sin mayores dificultades al caso de integrales dependientes de más de un parámetro. De todos modos, para las necesidades de nuestro texto basta con considerar la convergencia uniforme respecto a cada uno de los parámetros.

http://carlos2524.jimdo.com/ 244

Capítulo 13: Las funciones de Euler

y haciendo una integración por partes se comprueba c) .

d) : El cambio

t

= sen 2 cp,

dt

= 2 sen cp cos cp,

1- t

= cos 2 cp

proporciona el resultado deseado. Finalmente, el cambio adecuado para demostrar e) es 1 - t = l~U . O Lema 13.1

Demostración. -

Si z + w = 1, las propiedades enumeradas en el teorema 13.5 se traducen en

f3( z ,l - z) = 13(1 - z,z) =

¡

+oo u-z

o

--du, 1

+u

o < re( z ) <

1

Veamos cómo es posible el cálculo de esta integral por medio de una integral curvilínea. Si '"'1 = '"'11 + '"'12 + '"'13 + '"'14 es el camino de la figura 13.3, entonces la integral a lo largo de '"'1 de la función

f(u) = exp( - z 10g7r u) l+u es l' ( 27rZ·R f (1) = 2· 7rZ 1m u u ..... - 1

lím

27ri

u) + l)ex p (-1 z+log7r u

e- z (lnHiarg,,(-l))

u-+-l

De modo similar al utilizado en el capítulo 10 se puede probar que

lím

R ..... +oo

j

"11

f(u)du

= límj O r .....

"13

f(u)du

=O

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Figura 13.3: 1 = 11

245

+ 12 + 13 + 14·

Por lo tanto,

!~JPr

[ll

f(u)du

+

l2

f(u)du

+

l3

exp( - z (ln u + 27ri)) du J+ oo 1 +u

rO

f(u)du

+

+

i4

f(u)du]

¡+oo exp( - z In u) du Jo 1 +u

es decir, - 27riZ)1+oo exp(- z ln u)du = 27rze ' -i7rZ (1 - e o 1 +u En definitiva, ,B(z, 1- z )

e- i7rz

.

27rz

.

1 - e- 2t7rz

7r sen 7rZ

(13 .11 )

expresión conocida como la fórmul a de los complementos. 1

Ejemplo.- Vamos a calcular la integral

r Jo

h

utilizando la fór1 - x3 mula de los complementos: si hacemos el cambio de variable X

3

- t,

-

x --

tt , dx =

I t1._1 3 3

-

http://carlos2524.jimdo.com/ 246

Capítulo 13: Las funcÍones de Euler

resulta:

13.3.

RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES

(3

Y

r

La fórmula r.J( fJ

z,w

) = f(z)f(w)

(13.12)

f(z+w)

es sin duda la más importante de este capítulo y permite obtener algunos resultados muy importantes. Existen múltiples procedimientos para demostrarla, desde los que utilizan la expresión de Gamma como un producto infinito (que no hemos estudiado aquí) hasta la que consiste en un cambio de variable a coordenadas polares en una integral doble~. Nosotros combinaremos el teorema de Bohr-Mollerup con el principio de identidad para obtener la prueba. Para aplicar el teorema de Bohr-Mollerup deberemos empezar por limitarnos a valores positivos de las variables: fijemos q > O y consideremos la función

g(p)

=

f(p + q) r(q) (J(p,q)

Vp> O

Nótese que lo que hemos de demostrar es que g(p) = r(p) Vp > Para ello, basta con comprobar las hipótesis del teorema 13.3:

o.

1fEsta demostración es agradable por lo simple que resulta formalmente. Sin embargo, teniendo en cuenta que se trabaja con una integral doble impropia, la prueba rigurosa no es tan elemental como parece a primera vista (ver problema 13.15).

http://carlos2524.jimdo.com/ Relación entre las funciones

f3

yr

247

a)

g(l) =

r(1 + q) f(q) 1 r(q) ,6(l,q) = qr(q) = 1

q

b) f(p + 1 + q) R( + 1 ) f(q) fJ P ,q

g(p + 1)

(p+q)f(p+q) p R( ) r( q) p + q fJ p, q pg(p) c) Finalmente, hemos de probar que 9 es logarítmicamente convexa. La convergencia uniforme (respecto a cada uno de los parámetros) de la integral

,6(z,w)

=

10

1

t Z - 1 (1_ t)W- 1 dt

en los subconjuntos compactos del primer cuadrante permite calcular las derivadas parciales respecto a z y w. En particular,

10

1

10

1

(In t)t P- 1 (1 - t)q- 1 dt (ln 2 t)t P- 1 (1 - t)q- 1 dt

y de aquí se concluye - exactamente igual como lo hicimos con la función Gamma- que ,6, respecto a la variable p, es logarítmicamente convexa. Por lo tanto, 9 también lo es y se obtiene, como deseábamos, que

,6(p, q)

=

f(p )f( q) r(p + q)

p,q> O

Finalmente, el principio de identidad asegura la fórmula

R( fJ

z,W

) = f(z)f(w) f(z+w)

re(z),re(w) > O.

Esta expresión nos permite también extender la función Beta a todos los valores para los que existe Gamma.

http://carlos2524.jimdo.com/ .Capítulo 13: Las funciones de Euler

248

Definición 13.4 La función Beta se define como

(3( z,w )

=

f(z)r(w) f(z+w)

Vz ,w E e

Teorema 13.6

1

f(2)

=

/ z,w,z + w i- 0, -1, -2, ... Vi

Demostración.- Sabemos por el lema 13.1 que (3(t,~) =

f(t)f(t) f(l) =

13.4.

7r

7r,

luego

O

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE EULER

Como decíamos al principio del capítulo , las funciones Beta y Gamma aparecen constantemente en problemas matemáticos. Para terminar este capítulo comentaremos algunas de sus aplicaciones.

13.4.1.

LA FÓRMULA DE WALLIS

Las integrales del tipo

In

= fo'i sen

n

epdep

se conocen como integrales de Wallis. En principio, estas integrales pueden calcularse utilizando fórmulas de reducción . Ahora bien, el uso de las funciones eulerianas permite obtener el resultado de modo inmediato: teniendo en cuenta las propiedades de la función Beta,

1 n+1 1 1f(~)fO) In = 2(3(-2- ' 2) = 2 f(~ + 1) =

:Ji

f(~)

2f(~ + 1)

a) Si n es par, n = 2k, tendremos:

VKr(k + ~) 2 r(k + 1) VK (k + ~ - l)(k + ~ 2 k! 7r

-

(2k - 1 )(2k - 3) ... 1

2)··· ~VK (13.13)

http://carlos2524.jimdo.com/ Aplicaciones de las funciones de Euler

249

b) Si n = 2k - 1,

.Ji

r(k) Tf(k + t) 2k (k - 1)! 2 (2k -1)(2k -3)···1

1

(13.14)

De los valores hallados para las integrales de Wallis podemos ahora deducir la fórmula de Wallis. Para ello, consideramos la sucesión de funciones 7r

0< - r -<21/'

Como en [O, 7r /2J se tiene que O :S sen