Termodinámica Unidad II Unidad II 2.2 Uso de Tablas de Vapor. Tabla de propiedades termodinámicas Para la mayor parte de las sustancias, sustancias, las relaciones entre propiedades termodinámicas termodinámicas son demasiado complejas para expresarse por medio de ecuaciones simples, por lo tanto, las propiedades suelen presentarse en forma de tablas. A continuación utilizaremos las tablas de vapor vapor de agua para mostrar el uso de las tablas de propiedades termodinámicas, termodinámicas, para otras sustancias las tablas se utilizan de la misma forma. Para cada sustancia las propiedades termodinámicas se listan en más de una tabla, ya que se prepara una para cada región de interés, como las de vapor sobrecalentado, sobrecalentado, líquido comprimido y de saturación saturación (mezcla). Tablas de saturación Las propiedades de líquido saturado y vapor saturado para el agua se enumeran en dos tablas, una en la cual el valor de entrada es la presión y otra en la que el valor de entrada es la temperatura. Dado esto, se escoge cualquiera de las dos dependiendo de si el valor que se posee es la temperatura o la presión del agua como líquido saturado más vapor saturado. Todas las tablas están ligadas directamente con los diagramas de propiedades, entonces lo ideal es identificar que significan los datos de la tabla en cada diagrama.
Figura 1 Ing FDuran
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Termodinámica Unidad II En la Figura 1 observamos que la primera columna lista los valores de la presión de saturación a la derecha de la tabla se muestra el diagrama P-v y la región de donde se toman los valores de la propiedades, la segunda muestra la temperatura de saturación para la presión dada, en la tercera columna tenemos el volumen especifico del liquido saturado vf (el valor dado en esta columna debe ser multiplicado por 10-3 o sea que si para una presión dada el vf en la tabla es 1,0265 se debe usar 0,0010265), la tercera columna muestra el volumen especifico para el vapor saturado vg, desde la columna 5 a la 11 son columnas similares a las dos de volumen específico pero para otras tres propiedades que son: la energía Interna u, la entalpía h y la entropía s.
Figura 2 En la figura 2 se muestra la tabla de saturación en función de la temperatura con la región del diagrama T-v de donde se toman los valores, la distribución de las columnas es similar a la anterior solo que aquí la primera columna es la temperatura de saturación y la segunda muestra la presión de saturación a la temperatura dada. Comencemos por dar un uso práctico a la tabla. Ejemplo: o ►Un recipiente rígido contiene 50 Kg. de agua liquida saturada a 90 C. Determine la presión en el recipiente y el volumen del mismo.
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Termodinámica Unidad II o
Solución. Localizamos en la tabla de saturación en función de la temperatura la temperatura de 90 C (temperatura de saturación ya que el recipiente contiene agua liquida saturada) y determinamos la presión de saturación como lo ilustramos en la figura 3 de la izquierda.
Figura 3 3 La cual es Psat 90oC = 70,14 kPa. El volumen específico del líquido saturado seria vf 90oC = 0,001036 m /kg, sabemos que el volumen especifico es volumen por unidad de masa tenemos que: V m3 v V vm (50kg )(0,001036 ) 0,0518m 3 m kg 3 Entonces el volumen total del recipiente es 0,0518 m . El estado de agua liquida saturada se muestra en la figura 2 a la derecha.
Interpolaciones Durante el manejo de las tablas se puede presentar el caso en el cual se trate de ubicar valores numéricos de las propiedades que no se muestran ya que las mismas no poseen todos los valores posibles, sino una selección de ellos. Para solucionar esto existen las interpolaciones lineales, con las cuales se supone que el intervalo en el cual se analiza la curva que posee a los dos puntos para la interpolación, es una línea recta. Cuando se tiene un par de puntos la interpolación que se ejecuta es simple, ya que dos puntos en un plano determinan una linea recta que pasa entre ellos, pero cuando no es suficiente con dos pares de coordenadas se hace necesario realizar dos interpolaciones simples o también llamadas una interpolación doble.
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Termodinámica Unidad II
Figura 3. Ilustración para interpolación lineal como semejanza de triángulos. Para realizar una interpolación simple tomamos dos puntos conocidos P1 y P2. Las coordenadas que se muestran X y Y se reemplazan por las variables que tratemos, es decir, si una es la temperatura y la otra el volumen específico, por ejemplo, trabajamos con X como T y con Y como v, por lo cual el gráfico lineal será un gráfico de T vs. v, y asi con cualquier variable que tengamos en función de cualquier otra. Nos interesa hallar X o Y ya que para la interpolación tendremos siempre un valor de los dos. Matemáticamente, se puede plantear la interpolación como una relación de semejanza de triángulos, lo que resulta:
Interpolación como semejanza de triángulos. Ejemplo. ►Vamos a calcular el volumen específico del líquido saturado, vf, conociendo la temperatura, T = 52 ºC, con agua como sustancia. Para el ejemplo utilizaremos la tabla de L + V saturados expuesta arriba. Como 52 ºC está entre 50 y 55 ºC tomamos estos dos valor de T como si estuvieran sobre un eje X, y sus respectivos valores de vf como si estos estuvieran sobre el eje Y. Por último, cabe recordar que tenemos un valor más que es el valor de 52 ºC al cual le queremos hallar el vf, por lo cual solo nos queda una incógnita en la ecuación de arriba. Los valores han sido tomados de la Tabla de la figura 2 que usted debe tener a la mano. Todo esto se aprecia mas claramente en la tabla siguiente:
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Termodinámica Unidad II o
Punto 1 Punto por hallar Punto 2
X (T [ C]) 50 52 55
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Y (vf [m /kg]) 0,001012 y 0,001015
Como conclusión, siempre conoceremos dos puntos y un valor más que puede ser x o y. Si tenemos x podemos hallar y, si tenemos y podemos hallar x. Asi: Teniendo y
Teniendo x
Así, aplicando la ecuación para y, es decir, para el vf, tenemos: y
( x x1) ( x 2 x1)
( y 2 y1) y1 3
(52 50) (55 50)
(0,001015 0,001012) 0,001012
2 5
(0,000003) 0,001012 0,0010132 3
y = vf = 0.0010132 m /kg. Valor que, según lo esperado, está entre 0.001012 y 0.001015 m /kg. Entalpía En el análisis de cierto tipo de procesos a menudo se encuentra la combinación de propiedades u + Pv esta combinación recibe el nombre de entalpía la cual representaremos con el símbolo h [kJ/kg], entalpia especifica, o H = U + PV [kJ], entalpia. En palabras sencillas la entalpía es el contenido de calor de una sustancia. Mezcla saturada de líquido-vapor Una mezcla saturada se puede tratar como una combinación de dos subsistemas: el del líquido saturado y el del vapor saturado. Sin embargo, por lo general se desconoce la cantidad de masa en cada fase; por lo que resulta más conveniente imaginar que las dos fases se encuentran bien mezcladas y forman una mezcla homogénea, entonces las propiedades de esta mezcla serán las propiedades promedio de la mezcla saturada liquido-vapor. La calidad del vapor, la cual se define como Kilogramos de vapor por Kilogramos totales y puede expresarse en porcentaje o unitario
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En la región de equilibrio cambia la cantidad de líquido y de vapor así como la entalpía, la entropía y el volumen específico, pero no la temperatura y la presión debido a que se trata de condiciones de equilibrio. Un recipiente con una mezcla saturada líquido vapor, el volumen ocupado por el líquido saturado es Vf , y el del vapor saturado es Vg, el volumen total V es la suma de los dos:
Todos los resultados tiene el mismo formato, que podemos resumir así: ypro = yf + xyfg en donde y es v, u o h. Los valores de la propiedad promedio de la mezcla están siempre entre los valores del líquido saturado y las propiedades del vapor saturado o sea: yf ≤ ypro ≤ yg. Todos los datos de la mezcla saturada se localizan bajo la curva de saturación, con los valores del líquido y el vapor saturado. Nota el subíndice fg denota la diferencia entre los valores de vapor saturado y liquido saturado o sea vfg = vg – vf . Ejemplo o ►Un recipiente rígido contiene 10 kg de agua a 90 C. Si 8 kg de agua están en forma líquida y el resto es vapor, determine a) la presión en el recipiente y b) el volumen del recipiente. Solución: a) El estado de la mezcla liquido-vapor como se muestra en la figura 4, como las dos fases coexisten en equilibrio se tiene una mezcla saturada y la presión debe ser la de saturación a la temperatura dada. Ing FDuran
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Termodinámica Unidad II P = Psat a 90 oC = 70,183 Kpa (Tomado de la tabla de temperaturas) o
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b) De acuerdo con la tabla a 90 C se tiene que vf = 0,001036 m /kg y 3 vg = 2,3593 m /kg. Para hallar el volumen del recipiente hallamos el volumen que ocupa cada fase y l uego los sumamos: 3 3 V = Vf + Vg = mf vf + mgvg = (8 kg)(0,001036 m /kg) + (2 kg)(2,3593 m /kg) -3 3 3 3 3 V = 8,288 10 m + 4,7186 m = 4,73 m Volumen recipiente = 4,73 m . Otra forma de hacerlo es determinando primero la calidad x, luego el volumen promedio especifico vpro y por ultimo el volumen total V. m g 2kg x 0,2kg el volumen promedio es: vpro = vf +xvfg y vfg = vg - vf mT 10kg 3 3 3 3 vpro = 0,001036 m + (0,2 kg)(2,3593 m /kg – 0,001036 m /kg) = 0,473 m 3 3 V = mvpro = (10 kg)(0,473 m /kg) = 4,73 m . Figura 4 El primer método es más fácil que el segundo pero en la mayoría de los casos no se cuenta con las masas de cada fase y el segundo método es el más conveniente. ► Un recipiente de 80 L contiene 4 kg de refrigerante 134-a a una presión de 160 kPa, determine a) la temperatura, b) la calidad, c) la entalpía del refrigerante y d) el volumen que ocupa la fase de vapor. Solución: Para resolver este problema se requieren las tablas del refrigerante 134-a. (figura 5) a) El estado de la mezcla saturada liquido vapor se muestra en la figura, no se sabe si el refrigerante esta en la región de líquido comprimido, vapor sobrecalentado o mezcla saturada, pero es posible determinarlo al comparar una propiedad adecuada con los valores de líquido y vapor saturado. De la información dada se puede determinar el volumen específico.
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Termodinámica Unidad II
Figura 5 Resulta obvio que vf < v < vg, y que el refrigerante esta en la región de mezcla saturada, de manera que la temperatura debe ser la de saturación o a la presión dada; Tsat a 160 kPa = -15,60 C. b) La calidad se puede determinar a partir de: v v f 0,02 0,0007437 x 0,1569 x 0,157 v fg 0,12348 0,0007437 c) A 160 kPa se toma de la tabla que h f = 31,21 kJ/kg y hfg = 209,9 kJ/kg. Entonces h = hf + xhfg = 31,21 kJ/kg + (0,157)(209,9 kJ/kg) = 64.16 kJ/kg. d) La masa de vapor es: mg = xm T = (0,157)(4 kg) = 0,628 kg, y el volumen 3 que ocupa la fase de vapor es Vg = mgvg = (0,628 kg)(0,12348 m /kg), 3 entonces Vg = 0,0775 m = 77,5 L, el resto del volumen (2,5 L) lo ocupa el líquido. Vapor sobrecalentado Como la región de vapor sobrecalentado es de una sola fase (vapor), la temperatura y la presión ya no son propiedades dependientes, El formato de las tablas de vapor sobrecalentado se ilustra en la figura 6, como podemos observar las propiedades se indican a la derecha de la temperatura para presiones seleccionadas empezando por los datos de vapor saturado. La temperatura de saturación se da entre paréntesis al lado del valor de presión. Ing FDuran
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Termodinámica Unidad II
Figura 6 En comparación con el vapor saturado, el sobrecalentado se caracteriza por: Presiones menores: P < Psat a una T dada. Temperaturas superiores: T > Tsat para una P dada. Volúmenes específicos superiores: v > vg a una T o P dada. Energías internas superiores u > ug a una determinada P o T. Entalpías superiores: h > hg a P o T especificas. Ejemplo o ► Determine la energía interna del vapor de agua sobrecalentado a 1 MPa de presión y a una temperatura de 240 C Solución o Como podemos observar en la tabla de la figura 6 la temperatura de 240 C no esta registrada por lo que tendremos que hacer una interpolación lineal. o X (T [ C]) Y (u[kJ/kg]) Punto 1 200 2622,3 Punto por hallar 240 Y Punto 2 250 2710,4 o
Efectuando la interpolación se obtiene para la energía interna un valor de 2692,8 kJ/kg para 240 C
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Termodinámica Unidad II o
► Determine la energía interna del vaporde agua sobrecalentado a 0,15 MPa y a una temperatura de 220 C. Solución Al revisar las tablas de vapor sobrecalentado vemos que tenemos valores para 0,1 y 0,2 MPa de presión, y, 200 y 250 o C. Para obtener el valor deseado de u, se debe hacer una interpolación doble de los datos que se tienen. Mediante una primera interpolación con respecto a la temperatura tenemos: P = 0,1 MPa X (T [oC]) Y (u [kJ/kg]) Punto 1 200 2658,2 Punto por hallar 220 y Punto 2 250 2733,9 o Efectuando la interpolación para la presión de 0,1 MPa a las temperaturas de 200 y 250 C tenemos que la energía a la o presión de 0,1 MPa y 220 C de temperatura es u = 2688,48 kJ/kg. Efectuamos la interpolación a la presión de 0,2 MPa. P = 0,2 MPa X (T [oC]) Y (u [kJ/kg]) Punto 1 200 2654,6 Punto por hallar 220 y Punto 2 250 2731,4 o Efectuando la interpolación para la presión de 0,2 MPa a las temperaturas de 200 y 250 C tenemos que la energía a la o o presión de 0,2 MPa y 220 C de temperatura es u = 2685,32 kJ/kg. Por consiguiente a 0,15 MPa y 220 C es el promedio de estos dos últimos valores, que aproximadamente u = 2686,9 kJ/kg. ► Determine la temperatura del agua en un estado que esta a P = 0,5 MPa a una entalpía h = 2890 kJ/kg. Solución A 0,5 MPa las tablas de vapor saturado nos indican que hg = 2794,2 kJ/kg, puesto que h > hg esto implica que tenemos vapor sobrecalentado. Localizamos la h = 2890 kJ/kg en la tabla de vapor sobrecalentado a la presion dada, pero observamos que este valor no esta por cual tenemos que interpolar linealmente entre los valores 2855,8 y 2 961,0 kJ/kg o sea: P = 0,5 MPa X (T [oC]) Y (h [kJ/kg]) Punto 1 200 2855,8 Punto por hallar x 2890 Punto 2 250 2961,0 o Al efectuar la interpolación entre las temperaturas de 200 y 250 C la temperatura a la cual tenemos una entalpía de o 2890 es de: 216,3 C.
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Termodinámica Unidad II Líquido Comprimido Las tablas para líquidos comprimidos no son muy comunes, el formato de las tablas de liquido comprimido son muy similares a las de vapor sobrecalentado, una de las razones por las que hay muy pocos datos es la relativa independencia de sus propiedades respecto a la presión. A falta de datos una aproximación general es considerar el líquido comprimido como un liquido saturado a la temperatura dada. Esto se debe que las propiedades del liquido comprimido tienen mayor dependencia de la temperatura que de la presión. Dado P y T: v v f u
u f
h h f
De estas tres la más sensible a las variaciones de presión es la entalpía. Aunque la aproximación anterior produce un error insignificante en v y u, en h alcanza niveles indeseables. Si embargo a presiones y temperaturas entre moderadas y bajas se reduce el error al evaluar h a partir de: h h f v f ( P P sat ) en vez de considerarla igual a hf . En general el líquido comprimido esta caracterizado por: Presiones superiores: P > Psat a una T dada. Temperaturas inferiores: T < Tsat a una P dada. Volúmenes específicos inferiores: v < vf a una P o T dadas. Energías internas inferiores: u < uf a una P o T dadas. Entalpías inferiores: h < hf a una P o T dadas. Ejemplo o ► Determine la energía interna del agua liquida comprimida a 80 C y 5 MPa de presión con: a) datos de la tabla para líquidos comprimidos y b) datos para líquidos saturados. ¿Cuál es el error en el segundo caso? Solución o A 80 C la presión de saturación del agua es de 47,416 kPa y como 5 MPa es mayor a 47,416 kPa (P > Psat), de tal manera que lo que tenemos es liquido comprimido, como ilustramos en la figura 7. a) De la tabla de líquido comprimido tenemos:
P = 5 MPa o
u = 333,82 kJ/kg
T = 80 C
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Termodinámica Unidad II b) De la tabla de saturación tenemos: o
para una Tsat = 80 C u
El error cometido es
u f
334,97 333,82
334,97
kJ kg
(100) 0,34% que es menor a 1%
333,82
El uso de tablas de vapor para determinar propiedades. Ejemplo ►Para el agua, determine las propiedades faltantes y las descripciones de las fases del siguiente cuadro: o
T [ C] a) b) c) d) e)
P [kPa] 200
122 75
1000 500 800
u [kJ/kg]
x 0,6
Descripción de la fase
1600 2950 0,0
Solución. Caso a) En este caso se nos da la presión 200 kPa y calidad x = 0,6, lo cual significa que el 60% de la mezcla es vapor y el 40% se encuentra en la fase líquida. Por lo tanto, se tiene una mezcla saturada líquido-vapor a una presión de 200 kPa. Entonces la temperatura debe ser la temperatura de saturación a la presión dada, al revisar la tabla de vapor esta o temperatura es Tsat = 120,21 C, la energía interna promedio será upro = u f + xu fg, a la presión dada uf = 504,5 kJ/kg y ufg = 2024,6 kJ/kg Finalmente la upro = 504,49 kJ/kg + (0,6)(2024,6) kJ/kg = 1719,3 kJ/kg. Descripción de la fase = líquido-vapor (mezcla saturada). Caso b) En este caso se nos da la temperatura y la energía interna promedio, pero desconocemos que tabla usar para determinar las propiedades faltantes debido a que no hay pista si se tiene mezcla saturada, liquido comprimido o vapor Ing FDuran
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Termodinámica Unidad II sobrecalentado. Para determinar la región se recurre primero a la tabla de saturación y se determina los valores de uf y o ug a la temperatura dada. La temperatura de 122 C no esta en tabla, por lo cual tenemos que interpolar para encontar los dos valores de energía: o
Punto 1 Punto por hallar Punto 2
X (T [ C]) 120 122 125
Y (uf [kJ/kg]) 503,6 Y 524,83
o
Punto 1 Punto por hallar Punto 2
X (T [ C]) 120 122 125
Y (ug[kJ/kg]) 2528,9 y 2534,3
Al efectuar la interpolación obtenemos que uf = 512,09 kJ/kg y ug = 2531,06kJ/kg. A continuación comparamos estos valore con el valor dado de u = 1600 kJ/kg, y vemos que cae entre estos dos valores o sea uf ≤ u ≤ ug por lo que podemos concluir que tenemos una mezcla saturada líquido-vapor , recordemos que si u < uf es líquido comprimido y si u > ug vapor sobrecalentado, entonces la presión debe ser la de saturación a la temperatura dada, lo cual implica que tenemos que interpolar de nuevo: o X (T [ C]) Y (P [kPa]) Punto 1 120 198,67 Punto por hallar 122 y Punto 2 125 232,23 u u f kJ Al interpolar la Psat = 212,09 kPa, la calidad se determina así: x u fg u g u f 2531,06 512,09 2018,97 u fg kg 1600 512,09
0,54 , los criterios seguidos para determinar si se tiene liquido comprimido, mezcla saturada o vapor 2018,97 sobrecalentado también se pueden usar cuando la entalpía h, o el volumen especifico v se dan en lugar de energía interna u o cuando se tiene la presión en lugar de la temperatura.
x
Caso c) Es similar al b) solo que aquí se da la presión en vez de la temperatura. Siguiendo el argumento anterior se leen los valores de uf y ug a la presión dada en la tabla. Una presión de 1000 kPa leemos queuf = 761,39 kJ/kg y ug = 2582,8 kJ/kg, el valor de u especificado es de 2950 kJ/kg, el cual es mucho mayor que ug a 1 MPa, en consecuencia se tiene como fase: vapor sobrecalentado y la temperatura en este estado se determina en la tablas de vapor sobrecalentado mediante interpolación: o X (T [ C]) Y (u[kJ/kg]) Punto 1 350 2875,7 Punto por hallar x 2950 Punto 2 400 2957,9 Ing FDuran
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Termodinámica Unidad II o
Al interpolar tenemos que la temperatura es T = 395,19 C, para este caso la columna de calida queda en blanco ya que la calida solo se calcula para mezcla saturada. Caso d) En este caso se dan la temperatura y la presión, pero nuevamente no se puede decir que tabla es la que vamos a usar para determinar las propiedades faltantes. Para determinar la región de la que se trata de nuevo recurrimos a la tabla de saturación y se determina la temperatura de saturación a la presión de 500 kPa (5 bar) la cual es Tsat = 151,83 o C a continuación se compara el valor de T dado con la Tsat, sin olvidar que: Si T < Tsat Se tiene liquido comprimido Si T = Tsat Se tiene mezcla saturada. Si T > Tsat Se tiene vapor sobrecalentado o Para el caso T = 75 C la cual es menor que Tsat a la presión especificada, por lo tanto se tiene como fase: liquido comprimido y, comúnmente, se determinaría la energía interna a partir de la tabla de liquido comprimido, pero esta vez la presión dada es mucho menor el valor mínimo de presión que aparece en la tabla de liquido comprimido que es 5 o MPa: por consiguiente, se justifica tratar el liquido comprimido como liquido saturado a la temperatura dada (75 C): kJ , en este caso la columna de calidad quedaría en blanco por las razones ya conocidas. u u f 313.9 kg Caso e) La calida se da como x = 0, por lo que se tiene liquido saturado al presión de 800 kPa, entonces la temperatura o seria la de saturación a esta presión y la energía interna seria la del liquido saturado. Tsat = 170,41 C y uf = 720,22 kJ/kg. La tabla completa quedaría así: o
a) b) c) d) e)
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T [ C] 120,21 122 395,5 75 170,41
P [kPa] 200 212,09 1000 500 800
u [kJ/kg] 1719,3 1600 2950 313,9 720,22
x 0,6 0,54 --------0,0
Descripción de la fase Mezcla saturada Mezcla Saturada Vapor Sobrecalentado Liquido comprimido Liquido Saturado
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Termodinámica Unidad II o
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► Dos kilogramos de agua a 200 C estan contenidos en un recipiente de 0,2 m . Determine: a) Presión en bar. b) Entalpia en kJ. c) La masa y el volumen de vapor en el interior del recipiente. Solución: Datos: m = 2 kg. o T = 200 C. 3 V = 0,2 m . a) Con el volumen y la masa calculamos el volumen especifico en el estado correspondiente: V 0,2m 3 m3 v 0,1 m 2kg kg o 3 3 A la temperatura de 200 C observamos en la tablas de saturacion que vf = 0,001157 m /kg y vg = 0,12721 m /kg, al comparar estos valores con el del volumen especifico calculado vemos que v f v v g lo cual implica que el estado actual del agua es de Mezcla saturada (ver grafico) por lo tanto la presión es la presión de saturación a la temperatura o dada 200 C que de acuerdo con las tablas d
e saturación es de Ps = 1554,9 kPa, como 1 bar = 100 kPa Ps = 15,549 kPa.
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Termodinámica Unidad II
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b) La entalpia especifica es h = hf + xh fg, a la temperatura dada de 200 C l as tablas de saturación indican que: hf = 852,26 kJ/kg y hfg = 1939,8 kJ/kg, para completar el calculo nos hace falta la calidad de la mezcla del estado dado, v v f v v f (0,1 0,001157)m 3 / kg 0,784 78,4% de la mezcla es la cual calculamos así: v = vf + xvfg x v fg v g v f (0,12721 0,0011157)m 3 / kg vapor. Ahora procedemos a calcular la entalpía h = 852,26 kJ/kg + (0,784)(1939,8)kJ/kg h = 2373,06 kJ/kg, pero nos H kJ piden la entalía es kJ, sabemos de h )(2kg ) 4752,12kJ por lo tanto H = 4752,12kJ. H hm (2373,06 m kg m g m g xmT (0,784)(2kg ) 1,568kg _ de _ vapor , para c) Para calcular la masa de vapor en la mezcla tenmos que x mT determinar el volumen sabemos que el volumen especifico del vapor es
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Termodinámica Unidad II
v g
V g m g
V g v g m g
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(0,12721
m3 kg
3
)(1,568kg ) 0,1995m 3 Vg = 0,1995 m de vapor.
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