Unidad u5 e3

ELECTROTECNIA III-1

UNIDAD 5. CIRCUITOS TRIFÁSICOS CON CARGAS CONECTADAS EN DELTA, ALIMENTADAS CON TENSIONES SIMÉTRICAS. 1. CARGAS BALANCEADAS. Alimentada di!e"tamente en # te!minale. Cuando se conectan tres impedancias idénticas, como se muestra en la figura, estas constituyen una carga alanceada conectada en delta! A

 I  A

 I CA

 I CA  Z

ABC

Z   I AB , I F 

 I  AB  I  B

B  I C 

 Z 

 I  BC 

C  I  BC 

 I CA

 I  A , I  L

"I#$RA N%&ERO 1!

'i dic(a carga se alimenta con un sistema trif)sico simétrico, se puede concluir *ue las magnitudes de las intensidades de corriente en las impedancias deen ser iguales, esto es,  I AB

I BC

ICA

I F 

y la corriente de l+nea de la fase A es,  I  A

I AB

I CA

IF

% $, $, $ I F % &'$, $

( I F  % ($, $$

uesto *ue las corrientes est)n desfasadas entre si 1. grados, podemos oser/ar  *ue la magnitud de la corriente  I  A es (  /eces mayor *ue la magnitud de la corriente corriente  I  AB , cuando tenemos  I  AB  o  I CA  y *ue est) atrasada 0. grados con respecto a la corriente secuencia de fases ac! a *ue el sistema est) alanceado, podemos concluir *ue lo mismo sucede con las otras dos fases, por lo *ue la magnitud de las corrientes de l+nea ser)n ( /eces mayores *ue las corrientes de fase, esto es,  I L

( I F 

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-

En el caso de tener una alimentaci4n con secuencia de fases ac, las corrientes de l+nea se adelantan 0. grados con relaci4n a sus respecti/as tensiones de fase! E5emplo 3-1! La impedancia de la carga conectada en delta *ue se muestra en la figura est) formada por un resistor de ,3. Ω y un inductor de 6,7 m8 por fase, dic(a carga tiene una ca+da de tensi4n de l+nea de 9:. ;, de una frecuencia de :. 8<, con una secuencia de fases A=C! Tomando como referencia a la ca+da de tensi4n V  AB , determine> a? las corrientes de fase, ? las corrientes de l+nea! A

 Z

Z 

=

C

 Z 

'OL$CI@N! La reactancia inducti/a por fase es,  X L

& fL &

)$, $ *, &+ 1$ ( (, 5$

La impedancia por fase es,  Z 

&,5$ (,5$ (,5$ ',($%5 ',($%5', ',55$

Las tensiones de l+nea son, V  AB

')$%$,$$ -

V  BC 

')$ % 1&$,$$ -

V CA

')$ % &'$,$$ -

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-

En el caso de tener una alimentaci4n con secuencia de fases ac, las corrientes de l+nea se adelantan 0. grados con relaci4n a sus respecti/as tensiones de fase! E5emplo 3-1! La impedancia de la carga conectada en delta *ue se muestra en la figura est) formada por un resistor de ,3. Ω y un inductor de 6,7 m8 por fase, dic(a carga tiene una ca+da de tensi4n de l+nea de 9:. ;, de una frecuencia de :. 8<, con una secuencia de fases A=C! Tomando como referencia a la ca+da de tensi4n V  AB , determine> a? las corrientes de fase, ? las corrientes de l+nea! A

 Z

Z 

=

C

 Z 

'OL$CI@N! La reactancia inducti/a por fase es,  X L

& fL &

)$, $ *, &+ 1$ ( (, 5$

La impedancia por fase es,  Z 

&,5$ (,5$ (,5$ ',($%5 ',($%5', ',55$

Las tensiones de l+nea son, V  AB

')$%$,$$ -

V  BC 

')$ % 1&$,$$ -

V CA

')$ % &'$,$$ -

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-0

a? Las Las corri corrien ente tess de fas fasee son, son,

')$%$,$ 1$,$ % 5',5 $ A  Z  ',($%5',5

r

V F 

 I F 

 I  AB

1$, $ % 5', 5$ A / I BC 1$, $% $ % 1', 5$ A / I CA 1$, $% $ % &*', 5$ A

 ? las corrientes de l+nea son,  I  L  I  A

( I F %

IF 

($, $

( 1$ 1$, $% $ % 5' 5', 5 ($ ($, $ 1+5, ( % +', 5$ A

1+5, ( % +', 5$ A / I B 1+5, ( % &$ &$', 5$ A / I C  1+5, ( % (&', 5$ A V CA  I CA

 I C 

 I  B

V  AB

 I  BC 

0 5',5$  I  AB

 I CA

V  BC   I  A

E5emplo 3-! Cada fase de una carga trif)sica alanceada conectada en delta ∆? consiste de un inductor de .,.. 8 en serie con la cominaci4n en paralelo de un capacitor  de 3,.. 3,.. µ" y una resistencia de .. Ω! 'uponga una tensi4n de l+nea de .. ;, con una frecuencia angular ω B 9.. rads! Encuentre> a? la corriente de fase, ? la corriente de l+nea y c? la potencia acti/a total asorida por la carga!

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-9

 I  L

$,&$$  &$$ 5,$$ F  I F 

'OL$CI@N! La impedancia del inductor es,  Z  L

  L  '$$ $,&$$ +$,$ %*$,$$

La impedancia del capacitor es,  Z C 

1

1 % *$, $ 5$$ % *$, $$ ) C  '$$ 5,$$ 1$

 

La impedancia del resistor es,  Z  R

&$$%$,$$

La impedancia de fase es,  Z F

Z L

 Z C Z R  Z C

Z R

+$, $ % *$, $

5$$% *$,$ &$$% $,$ 1&, + % (, $ 5$$% *$,$ &$$% $,$

a? La corri corrient entee de de fas fasee es, es, r

 I F 

V  L  Z F 

&$$%$,$ 1,15 ,15 % (, $ A 1&,+%(,

 ? La corriente de l+nea es,  I L

( I F 

( 1, 15 &, $$ A

c? La pote potenc ncia ia acti acti/a /a es, es,  P

(V L I F  "2

( &$$ 1, 15 "2 (, (,  )* )*( 3

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-3

E5emplo 3-0! 2os motores eléctricos trif)sicos est)n conectados a una red trif)sica cuya tensi4n de l+nea V   es de 9:. ;, /er la figura! Los datos de los motores eléctricos son>  P 1 en la flec(a? B 1.,.. D, cos θ1 B .,6.. y η1 B 73 FG  P  en la flec(a? B 7,.. D, cos θ B .,7.., η B 6. F! 2etermine> a? la corriente de l+nea del con5unto, ? el factor de  potencia en la instalaci4n del con5unto, y c? la potencia eléctrica consumida por los motores!  L

A B C

&1

&-

'OL$CI@N! La corriente tomada por el motor 1 es,  P 1

 I 1

( V  L "2

1

1

1$,$$ 1$( 1),'1A ( ')$ $, *$$ $,+5$

Tomando en cuenta el )ngulo del factor de potencia del motor 1, tenemos  I 1

  1),'1% "2 1 $,*$$ 1),'1% &5,+$ A

La corriente tomada por el motor  es,  P &

 I &

( V  L "2

&

&

+,$$ 1$( 1(,*5A ( ')$ $,+$$ $,*$$

Tomando en cuenta el )ngulo del factor de potencia del motor , tenemos  I &

  1(,*5% "2 1 $,+$$ 1(,*5% (),*$ A

a? La corriente tomada por el con5unto de motores es,  I

I1

I &

  1),'1% &5,+ 1(,*5% (),* ($,& % ($,*$ A

 ? El factor de potencia del con5unto es, FP 

"24($, * $,+5+ AT

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-:

c? La potencia eléctrica consumida por los motores es,  P

( V L I  "2

( ')$ ($, & $, +5+ &$, ) 1$( 3 &$,) 63

Alimentada a t!a78 de l9nea.  I cC 

c

 Z  L

 I C 

C  I  BC 

V bc

 Z 

V ca

 I aA

 

 Z  L

 I  A  I CA

a

A

V ab

 I bB

 Z 

 Z  L

 Z 

 I  AB

=

 I  B

"I#$RA N%&ERO ! uesto *ue la alimentaci4n es simétrica las ca+das de tensi4n tamién son simétricas, de a*u+ *ue Vab Vbc Vca Vl   

Cuando las cargas conectadas en delta est)n alanceadas y las impedancias de las l+neas son iguales entonces,  Z  AB

Z BC

Z CA

Z 

 Z aA

Z bB

Z cC

Z L

ara determinar la relaci4n de las corrientes en la carga con las tensiones en la fuente, se aplica la ley de tensiones de Hirc((off a los circuitos cerrados! ara el circuito aA=a! V ab

I  A Z  L

I AB Z

IB ZL

ZL IA

IB

I AB Z  

'ustituyendo las epresiones de las corrientes de l+nea por las de sus componentes de fase, tenemos V ab

Z  L I  AB

I CA

I BC

I AB

Z I AB

ZL

& I AB ICA I BC

Z I AB 

or otro lado tenemos *ue,

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-J

 I  AB

I BC

I CA

$

2espe5ando a  I  AB ,  I  AB

I BC

I CA

'ustituyendo en la ecuaci4n de V ab  tenemos, V ab

( Z  L I  AB Z I AB I AB ( Z L Z  

2espe5ando a  I  AB  tenemos, r

 I  AB

V ab

( Z  L Z 

En forma similar se pueden otener las otras corrientes, por medio de las f4rmulas siguientes> r

 I  BC 

r

 I CA

V bc

( Z  L Z 

V ca

( Z  L Z 

E5emplo 3-9! 'e da el circuito de la figura donde, la tensi4n de l+nea en la fuente es igual a 9. ;, las impedancias de fase son Z  B 1.,.. .,.. Ω y la impedancia de las l+neas es  Z   B .,3.. .,.. Ω! 2eterminar> a? las corrientes de l+nea y de fase del sistema, ? las tensiones en la carga, c? la ca+da de tensi4n en la l+nea, d? la potencia acti/a consumida por  la carga, e? la potencia pérdida en las l+neas y f? construir el diagrama fasorial de tensiones y corrientes! Considere la tensi4n V ab como referencia y una secuencia de fases ac!  L

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-7

A

a  Z   L

 Z 

 Z 

=

 

C  Z 

 Z   L

c  Z   L

'OL$CI@N! Las tensiones de l+nea son,

&'$ % $, $$ - / V ab &'$ % 1&$, $$ - / V ab &'$ % &'$, $$ -

V ab

a? Las corrientes de fase son, r

&'$%$,$ &$,*%$,$$ A Z  ( $,5$$ % $, $ 1$, $$ % $, $

V ab

 I  AB

( Z  L  I  BC

&$, * % 1&$, $$ A / I CA &$, * % &'$, $$ A

Las corrientes de l+nea son √0 /eces mayores *ue las corrientes de fase y est)n 0.,.. atrasadas con respecto a ellas, de donde  I  A

( I  AB %  I  B

AB

($, $

( &$, * % $, $ ($, $ (), &% ($,$$ A

(), & % 15$, $$ A / I C  (), & % &$, $$ A

 ? Las ca+das de tensi4n en la carga son, V  AB V  BC

Z I  AB

1$,$$% $,$ &$,* % $,$ &$*% $,$$ -

&$* % 1&$, $$ - / V CA &$* % &'$, $$ -

c? Las ca+das de tensi4n en las l+neas son, V aA

Z  L I  A

$,5$$% $,$ (),& % ($,$ 1+,1$% ($,$$ -

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-6

V bB

1+,1$ % 15$, $$ - / V cC 1+,1$ % &$, $$  

d? La potencia acti/a consumida por la carga es,  P

(V L I F "2

F 

( &$* &$, * "2 4$, $ 1(,1$ 1$( 3 1(, 1$ 63

e? La potencia acti/a pérdida en las l+neas es,

(VlL I L "2 f? 2iagrama fasorial!  P L

( 1+,1$ (), & 1 1, *)) 1$( 3 1,*)) 63

lL

 I C  V ca

ac  I CA  I  AB

V ab

0.,..  I  BC 

 I  B

 I  A

V bc

E5emplo 3-3! El sistema de la figura muestra una fuente y su carga conectada en delta alanceada, determine> a? las corrientes de fase en la carga, ? las corrientes de l+nea, c? las ca+das de tensi4n en la carga, d? las potencias acti/a, reacti/a y aparente, y e? los factores de potencia de la carga y del sistema! ac

1,$$$

c

C

 I C 

1,(($ m V bc

V ca  Z  L

:. 8<  

 Z 

V ab

1&$,$%$,$$ -

1$,)$ m

 I  A

a

A  Z  L

 Z 

(,$$

=

 I  B

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ELECTROTECNIA III-1.

'OL$CI@N! Las impedancias de la l+nea y la carga son,

& f LL &

 X L

1, $$$ $,5$1 1,11+ %&),)$

 Z  L

& fL &

 X

)$ 1, (($ 1$ ( $, 5$1

)$ 1$, )$ 1$ ( ', $$

(,$$ ',$$ 5,$$%5(,1$

 Z 

Las tensiones de l+nea son, V ab

1&$, $% $,$$ - /

V bc

1&$, $% 1&$, $$ - / V ca 1&$,$ % &'$, $$ -

a? Las corrientes de fase en la carga son, r

 I  AB

V ab

( Z  L

1&$,$%$,$ 1','% '&,5$ A Z  ( 1,11+ % &),) 5, $$ % 5(,1 1', ' % 1)&, 5$ A / I CA 1', ' % &+&, 5$ A

 I  BC

 ? Las corrientes de l+nea son √0 /eces mayores *ue las corrientes de fase y est)n 0.,.  atrasadas con respecto a ellas, de donde .

 I  A

( I  AB %

AB

($,$

( 1',' % '&, 5 ($,$ &5, 5% &, 5$ A

&5, 5 % 1*&, 5$ A / I C  &5, 5 % (1&, 5$ A

 I  B

 ? Las ca+das de tensi4n en la carga son, V  AB

Z I  AB

V  BC

5,$$% 5(,1 1','% '&,5 (, %1$,)$ -

(,  % 1$*, '$ - / V CA (,  % &&*, '$ -

c? La potencia comple5a tomada por la carga es,  S

( Z I F & ( 5, $$ % 5(, 1 1', '& (, &)

1$( % 5(, 1$ -A (,&) %5(,1$ 6-A

1,*5 1$( &,)1 1$0( -A 1,*5 &,)16-A

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-11

2e donde las potencias acti/a, reacti/a y aparente tomadas por la carga son,  P

1, *5 63 / Q &, )1 k 7a! IND / S  (, &) 6-A

La potencia comple5a tomada por las l+neas es,  S L

( Z  L I L& ( 1,11+ % &), ) &5, 5& &,1+ 1$( % &), )$ -A : 1,*5$ 1$(  * -A 2e donde las potencias acti/a, reacti/a y aparente tomadas por las l+neas son,  P L

1,*5$ 63 / QL * 6 7a! IND / S L &,1+ 6-A

La potencia comple5a suministrada por la fuente es,  S  f

SL

S 

&,1+ 1$( % &),) (,&) 1$( % 5(,1 5,($ 1$( % '&,5$ -A

:(,*1 1$( (,5 1$( -A 2e donde las potencias acti/a, reacti/a y aparente suministradas por la fuente son,  P f

(,*163 / Q f (, 5 6 7a! IND / S f  5, ($ 6-A

d? El factor de potencia de la carga es, FP 

"2

"25(,1$ $,)$$AT

El factor de potencia del sistema es, FP  f

"2

f 

"2 '&, 5$ $, ( AT

E5emplo 3-:! $na fuente trif)sica simétrica, con tensiones de l+nea de 97. ;, alimenta a tra/és de l+neas, con impedancia de Z   B .,.7.. .,.. Ω, dos cargas alanceadas conectadas en delta, cuyas caracter+sticas son> Carga 1 de 7.,. D;A, con factor de potencia .,7.. adelantado, con una tensi4n nominal de 99. ;G Carga  de J3,. D, con un factor de  potencia .,7.. atrasado, con una tensi4n nominal de 99. ;!  L

2eterminar> a? las corrientes de l+nea totales *ue toman las cargas, ? las ca+das de tensi4n en la carga, c? las potencias acti/a, reacti/a y aparente *ue suministra la fuente, y d? el factor de potencia del sistema!

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-1

 Z  L

A

a  Z  L

;

B

 Z  L

"

C

CAR#A 1

CAR#A 

'OL$CI@N! La potencia comple5a se puede epresar como,  S 

V & <

 Z 

2e donde las impedancias de las cargas son, <

 Z 1

''$& ,&)%(),*$ ( 1 +$,$ 1$ % "2 $,+$$% (

& V FN 

 S 1 F 

 Z 1 <

 Z &

& VFN

& V FN

  ,&)% (),*$ ''$&

 

%"2 1 FP & 5,$ 1$ % "2 1 $,+$$ ( "2 & ( $,+$$ (

 P &

 S & F 

 Z &

),&$% (),*$

  ),&$%(),*$

La impedancia e*ui/alente es,  Z 

 Z 1 Z &  Z 1

Z &

,&)% (),* ),&$% (),* ',1%(,'$ ,&)% (),* ),&$% (),*

Tomando como referencia la tensi4n V ab , con secuencia de fases ac, las corrietes de fase totales son, r

 I  AB

V ab

( Z  L

'+$%$,$ 1$+,* % (,& $ A Z  ( $,$+$$ % $, $ ',1 % (,'

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-10

 I  BC

1$+, * % 1&(, &$ A / I CA 1$+, * % &'(, &$ A

a? Las corrientes de l+nea son,

( I  AB %

 I  A

 I  B

AB

($, $

( 1$+,* % (, & ($, $ 1++, )% ((, &$ A

1++, ) % 15(, &$ A / I C  1++, ) % &(, &$ A

 ? Las ca+das de tensi4n en la carga son, V  AB

Z I  AB

',1 % (,' 1$+,* % (,& '5'% $,&$ -

'5' % 11*, +$ - / V CA '5' % &(*, +$ -

V  BC

c? La potencia comple5a tomada por las cargas es,  S car 

<

(V  L I F  ( '5' % $, & 1$+, * % (, & 1'+, ( 1$( % (, '$ -A

La potencia comple5a tomada por las l+neas es,  S  L

( Z  L I L& ( $, $+$$ % $, $ 1++, )& +, 5' 1$( % $, $$ -A

2e donde la potencia comple5a suministrada por la fuente es,  S  f

S car

S L

1'+,( 1$( % (,' +,5' 1$( % $,$ 15),+ 1$( % (,&$ -A

:15),) 1$( +,+$ 1$( -A Las potencias acti/a, reacti/a y aparente suministradas por la fuente son,  P f

15), ) 63 / Q f +, +* 67a! IND / S f  : 15),+ 6-A

d? El factor de potencia del sistema es, FP  f

"2

f 

"2 (, &

$, **+ AT

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-19

Ci!"#it2 e=#i7alente m2n2>?i"2 de #na "a!@a "2ne"tada en delta ;alan"eada. Las ecuaciones de las corrientes de fase para cargas alanceadas conectadas en delta ∆?, muestran *ue al igual *ue un circuito con cargas alanceadas en estrella ?, se pueden resol/er utili
A  Z 

 Z 

 Z   Z 

 Z 

= =  Z  C C I&E2ANCIA' =ALANCEA2A' EK$I;ALENTE' "I#$RA N%&ERO 0! 'e puede demostrar *ue,

( Z  / Z 

 Z

 Z 

(

Las impedancias en estrella por fase, e*ui/alentes de la impedancia en delta son,  Z 

 Z 

(

La tensi4n al neutro e*ui/alente en la fuente es, u r

V n

V  L

(

%

 L

($,$

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-13

El circuito e*ui/alente monof)sico es, >  I  L

F

 Z  L  Z 

V n

n

V N 

 N

"I#$RA N%&ERO 9!

La ca+da de tensi4n al neutro en la carga, aplicando la regla de la di/isi4n de tensi4n es, u r

u r

V  N

V n

 Z 

 L  Z 

La ca+da de tensi4n de l+nea en la carga es,

( V  N %

V  L

N 

($, $

La corriente de l+nea es, r

V  N 

 I  L

 Z 

La corriente de fase en la carga conectada en delta es, r

 I F 

 I  L

(

%

 L

($,$

E5emplo 3-J! La carga alanceada conectada en delta ∆? de la figura, con impedancias por fase de Z ∆ B :.,: 30,1. Ω, se alimenta con una fuente simétrica conectada en delta, con tensiones de l+nea de . ;, y tiene una secuencia de fases ac, las impedancias de las l+neas, cada una, son de  Z  B .,1117 :,:. Ω! Encuentre> a?! Las corrientes en la carga, ?! Las ca+das de tensi4n en la carga, c?! Las potencias tomadas por la carga y d?! Las potencias suministradas por la fuente! Tome como referencia la tensi4n V ab !  L

 I cC 

c

 Z  L

 I C 

C

 I  BC  V bc

 Z 

V ca

 I aA  

 Z  L

 I  A  I CA

a

V ab

A

 I bB

 Z  L

 Z 

=

 Z 

 I  AB

 I  B

'OL$CI@N!

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-1:

$tili > F  I  L

 Z  L  Z 

V n

n

V N 

 N

La tensi4n e*ui/alente al neutro en la fuente, tomando como referencia a la tensi4n V ab , es u r &&$ V n % ($,$ 1&,$% ($,$$ ( Con/irtiendo las impedancias en delta a impedancias en estrella tenemos, )$,)%5(,1  Z   Z  &$,& % 5(,1$ 1&,1( 1),15 ( ( a?! La corriente de l+nea es, r

V n

 I  L

 Z  L

Z 

1&,$% ($,$ ),&)% +(,$$ A $,111+ % &),) &$,& % 5(,1

Las corrientes en las l+neas son,  I  A

), &) % +(, $$ A / I B ), &) % &$(, $$ A / I C  ), &) % (&(, $$ A

Las corrientes de fase, en la carga son, r

 I F 

 I  L

(

%  L ($, $

),&) % +(, $ ($, $ (, )1 % 5(, $ $ A (

Las corrientes en las cargas son,  I  AB

(,)1 % 5(, $$ A / I BC (,)1 % 1(, $$ A / I CA (,)1 % &*(, $$ A

 ?! Las ca+das de tensi4n en la carga son, V  L

Z I F 

)$,) % 5(,1$ (,)1% 5(,$ &1*% $,1$ -

Las ca+das en las cargas son,

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-1J

&1* % $,1$ - / V BC &1* % 11*, *$ -  V CA &1* % &(*,*$ -

V  AB

c?! La potencia comple5a tomada por la carga es, u r

<

(V  L I F  ( &1* % $,1 (, )1 % 5(, $ &, ( 1$( % 5(,1$ -A

 S C 

1,'&( 1$( 1,+*5 1$( -A 2e donde las potencias acti/a, reacti/a y aparente tomadas por la carga son,  PC

1, '&( 63 / QC 1, +*5 67a! IND / S C  &, ( 6-A

d? La potencia comple5a suministrada por la fuente es, <

(V n I  L ( 1&, $ % ($, $ ), &) % +(, $ &, (* 1$( % 5(, $ -A

 S  f 

1,'(+ 1$( 1,*$* 1$( -A 2e donde las potencias suministradas por la fuente son,

1, '(+ 63 / Q f 1, *$* 67a! IND / S f  &, (* 6-A

 P f

E5emplo 3-7! El motor & de la figura tiene aplicadas en sus terminales tensiones simétricas de ,0. D; y toma 1.,. D;A con un factor de potencia de .,:.. adelantado! Calcule> a? las tensiones de l+nea en la fuente, ? la potencia suministrada por la fuente y c? el factor de potencia en la fuente! $,5$$   &,$$

41

a -051... 1 $$$Ω

0  1 $$$

0  &5$

$,5$$   &,$$

4&

$,5$$   &,$$

0  &5$ $,5$$   &,$$

  0  1 $$$ $,5$$   &,$$

4(    $    $    $    1    ,   0

0  &5$ $,5$$   &,$$

c

   $    $    $    1    ,   0

&

   $    $    $    1    ,   0

'OL$CI@N! uesto *ue se trata de cargas alanceadas, la soluci4n del prolema se puede otener  utili
ELECTROTECNIA III-17

f 

 I  L

 Z  L

41

 I 1&

 Z L

4&

 I &(

4(  I  M 

 I &

 I 1  Z 1

 I (

 Z &

 Z (

 Z M

n La impedancia de la l+nea en forma polar es,

$,5$$ &,$$ &,$)%),$$

 Z  L

La impedancia del motor por fase es, V  L

(

 Z M

 S 

& &  L

V 

S 

&,($ 1$( 1&$,$ 1$(

&

'',1

(  Z M

Z M

% "2 1 FP M '',1 % "2

1

$, )$$ '',1 % 5(,1$

Las impedancias e*ui/alentes de los grupos de capacitores son,  Z 1

 Z &

 Z (

 Z 

1

1$$$% *$,$ (((% *$,$ $ (

&

&5$ % *$,$ +(,( % *$,$ $ (

(

1$$$% *$,$ (((% *$,$ $ (

(  Z 

(  Z 

(

Las tensiones y corrientes en el circuito, considerando la tensi4n al neutro en la carga como referencia son, u r

V ( N 

&,($ 1$( % $,$ % $, $ 1, (&+ 1$( % $, $$ ( (

V  L

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-16

r

 I M

r

 I (

V & N

 Z M V ( N   Z (

 I &(

IM

V &(

I &( Z  L

V &( V ( N  r

 I &

((,' % 5,& &,$)% ),$ )+,+ %1((,&$ -

)+,+ %1((,& 1,(&+ 1$( % $,$ 1,&+& 1$( % &,&$ -

 Z &

V 1&

I 1& Z  L

((,' % 5,& 15,(*% *&,& '),+ % )+,1$ A

I &

'),+ % )+,1 &,$)% ),$ *),' %1'',1$ *),' %1'',1 1,&+& 1$( % &,& 1,&$+ % 5,$$ -

V 1n V 1& V & N 

 I  L

I1

1,&+& 1$( %&,& 15,(*% *&,& $ A +(,( % *$,$

V & N 

I &(

 I 1

1,(&+ 1$( %$,$ (,**%*$,$$ A ((( % *$,$

  ($,1% 5(,1 (,**% *$,$ ((,' % 5,&$ A

I (

 I 1&

r

1,(&+ 1$( %$,$ ($,1%5(,1A '',1% 5(,1

V ( N 

V 1n  Z 1 I 1&

1,&$+ 1$( %5,$ (,)(%*5,$$ A (((% *$,$ (,)(% *5,$ '),+ % )+,1 5$,1% $,$$ A

a? Las tensiones de l+nea en la fuente son, V L

( V 1 N 

( 1, &$+ 1$( &,$* 1$( -

La potencia comple5a es,  S

<

(V 1n I  L ( 1, &$+ 1$( % 5, $ 5$,1 % $, $ 1+1, ) 1$( % )5, $$ -A 1+1,) %0)5,$$ 6-A ), 1)',)6-A

 ? 2e donde las potencias acti/a, reacti/a y aparente suministradas por la fuente son,

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-.

 P : ), 63

/

Q : 1)',) 67a! CA

/

 S : 1+1,) 6-A

El factor de potencia en la fuente es, FP  : "201 4)5,$$ : $,'&( AD

E5emplo 3-6! La carga 1 de la figura tiene una configuraci4n en estrella alanceada, mientras *ue la carga  tiene una configuraci4n en delta alanceada! Encontrar! a? el /alor asoluto de la corriente  I  A , ? el /alor asoluto de la tensi4n en la carga V  AB , c? la potencia acti/a total tomada por cada carga y d? el factor de potencia /isto por el generador cuando> Vab

)5+ - / Z  L ), $$ $

/ Z 1 &$, $ $  Z  L

a

/ Z

&

(), $  &, $

A

 I  A

Carga 1

#enerador    trif)sico

 Z  L

 I  B

c

 Z  L

 I C 

= Carga 

C

'OL$CI@N! uesto *ue se tienen cargas alanceadas, se puede utili
"  Z 1

V n

f  I  L

 Z &

n

V n

 N

 Z L

"  Z 

 N

n

2onde la tensi4n al neutro es, V n

)5+ (+$( (

V l 

Con/irtiendo las cargas en delta a una configuraci4n en estrella tenemos *ue su impedancia e*ui/alente por fases es,  Z &

 Z 

(

&

(),$ &,$ 1&,$$ &',$ (

&),+ %)(,'$

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-1

La impedancia en paralelo de la carga es,  Z F

&$,$ $ 1&,$$ &',$ &$,$ $ 1&,$$ &',$

 Z 1 Z &

 1  Z &

1&,$$ ),$$ 1(,'& %&),)$

 la corriente de l+nea es, r

(+$%$,$ &$,$ % 1+,'$ A ),$$% $,$ 1(,'&% &),)

V n

 I  L

 Z  L

Z F

a? 2e donde el /alor asoluto de la corriente de l+nea  I  A  es,

&$,$A

 I  A

 ? La ca+da de tensi4n al neutro en la carga es, V  N 

Z F I  L

1(,'&% &),) &$,$ % 1+,' &)+% +,&$ -

El /alor asoluto de la tensi4n en la carga es, V AB

( V N 

( &)+ ')' -

c? La corriente en la carga 1 es, r

r

 I 1

I  L

 Z &

 &

 Z 1

&$, $ % 1+, '

&),+%)(,' 1(, '1 % +, &$ A &$, $ % $, $ &),+ % )(,'

La corriente en la carga  es, r

 I &

r

I  L

 Z 1  Z 1

 &

&$,$ % 1+,'

&$,$%$,$ 1$,$1 % 55, &$ A &$,$ % $,$ &), + % )(, '

Las potencias acti/as totales tomadas por las cargas son,

( I1& R1 ( 1(, '1& &$, $ 1$, * 1$( 3 1$,* 63  P& ( I && R& ( 1$, $1& 1&, $$ (, )1 1$( 3 (,)163

 P1

d El factor de potencia /isto por la fuente es igual al coseno del )ngulo de la corriente suministrada por la fuente, esto es, FP  f 

"2

1+,'

$,*'*AT

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-

E5emplo 3-1.! Calcule las potencias totales, aparente, acti/a y reacti/a, y el factor de potencia del sistema de la figura! A

A=C

15,$$ &$,$

6  Ω

1&5,$%$,$$ 1  Ω

&$,$

1  Ω 1  Ω 6  Ω

6  Ω

15,$$

= 15,$$

&$,$

C 'OL$CI@N! Las impedancias son,

15,$$ &$,$ &5,$%5(,1$

 Z 

  *, $$ 1&,$$ 15,$$ %05(,1$

 Z 

Transformando las cargas conectadas en estrella a cargas conectadas en delta tenemos,  Z

G

( Z  ( 15, $$ % 5(,1 '5, $ % 5(,1$

La impedancia e*ui/alente de las ramas en paralelo es, G

 Z F

 Z Z 

G

 Z

Z 

&5,$ % 5(,1 '5,$ % 5(,1 &5,$%&$,+$ &5,$ % 5(,1 '5,$ % 5(,1

La corriente de fase es, r

 I F 

V  L  Z F

1&5,$%$,$ 5,$$% &$,+$ A &5,$%&$,+

La corriente de l+nea es,  I  L

( I F % F  ($, $

( 5, $$ % &$, + ($, $ +, )) % 5$, + $ A

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-0

La potencia comple5a es,  S

<

(V F  I F  ( 1&5, $ % $, $ 5, $$ % &$, + 1 +5 % &$, +$ -A 15(  ))) -A

2e donde,  S

1+5 -A / P 15( 3 / Q ))) 7a! IND

El factor de potencia del sistema es, FP 

"2&$,+ $,*(5 AT

&. CARGAS DESBALANCEADAS. Alimentada di!e"tamente en # te!minale. A

 I  A

 I CA  Z  AB

 Z CA

 I  AB  I  B

B

 Z  BC 

 I C 

 I  BC 

C

"I#$RA N%&ERO 3! 'i las impedancias de la carga mostrada en la figura no son idénticas, constituyen lo *ue se denomina una carga desalanceada conectada en delta! 'i una fuente trif)sica se conecta a esta carga, las ca+das de tensi4n en las impedancias se conocen y las corrientes en las l+neas se pueden estalecer sumando fasorialmente las dos corrientes de las fases in/olucradas en la l+nea en cuesti4n! Las corrientes en las cargas son, r

 I  AB

r

 I  BC 

V  AB  Z  AB V  BC   Z  BC 

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-9

r

 I CA

V CA  Z CA

 la "2!!iente de l9nea 2n,  I  A

I AB

I CA

 I  B

I BC

I AB

 I C

I CA

I BC

 

E5emplo 3-11! $na fuente trif)sica simétrica de tres (ilos y 9. ;, cuya secuencia de fases es A=C, est) conectada a una carga desalanceada conectada en delta con las impedancias siguientes>  Z  AB

1$, $$ % &$, $$

/

Z BC

5, $$ % *$,$$

/

Z CA

+, $$ % &$,$$

A

 I  A

 I CA  Z  AB

 Z CA

 I  AB  I  B

B  I C 

 Z  BC 

 I  BC 

C

2eterminar la corriente *ue (ay en cada fase de la carga y en cada l+nea! Tome como referencia la tensi4n de l+nea V  AB &'$%($,$$ -  ;! 2iu5ar el diagrama fasorial para la carga! 'OL$CI@N Las corrientes de fase son r

 I  AB

r

 I  BC 

V  AB  Z  AB V  BC   Z  BC 

&'$%($,$ &',$%1$,$$ A 1$,$$%&$,$ &'$% *$,$ '+,$ % 1+$,$ $ A 5,$$%*$,$ $NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-3

r

V CA

 I CA

 Z CA

&'$% &1$,$ ($,$ % 1*$,$ $ A +,$$% &$,$

Las corrientes de l+nea son,  I  A

I AB

I CA

 I  B

I BC

I AB

 I C

I CA

I BC

&',$ %1$,$ ($,$ % 1*$,$ 5(,& % 1,1$ A '+,$ % 1+$,$ &',$ %1$,$ 1,+ % 1),$ A

 

($,$ % 1*$,$ '+,$ % 1+$,$ 1*,1+% 15,+$ A V  AB

V CA

 I CA

 I C 

 I  AB

 I  BC 

 I  A

 I  B

V  BC 

E5emplo 3-1! $na fuente trif)sica, conectada en delta ∆?, con tensiones de l+nea de . ;, con secuencia de fases A=C, tiene conectada una carga desalanceada conectada en delta, como se muestra en la figura, con los /alores de Z   B 1.,.. .,.. Ω, Z   B 3,.  .,. . Ω y  Z   B .,. 0.,.. Ω! Otenga> a? las corrientes de l+nea, ? las potencias totales, c? trace el diagrama fasorial y d? diu5e, el tri)ngulo de potencias de la carga!  AB

 BC 

CA

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-:

A

 I  A

 I CA  Z  AB

 Z CA

 I  AB  I  B

B

 Z  BC 

 I C 

 I  BC 

C

'OL$CI@N! Las tensiones de l+nea, considerando a la ca+da de tensi4n V  AB  como referencia, son

&&$ % $, $$ - / V BC &&$ % 1&$,$$ - / V CA &&$ % &'$,$$ -

V  AB

Las corrientes de fase son, r

&&$%$,$ &&,$ % ($,$$ A 1$,$$%($,$

V  AB

 I  AB

 Z  AB

r

V  BC 

 I  BC 

 Z  BC 

r

V CA

 I CA

 Z CA

&&$ % 1&$,$ +,+$% 1&$,$$ A &5,$%$,$ &&$% &'$,$ 11,$$% &1$,$$ A &$,$ % ($,$

a? Las corrientes de l+nea son,  I  A

I AB

 I  B  I C

I CA

I BC I CA

I AB I BC

 

&&,$ % ($,$ 11,$$% &1$,$ ((,$ % ($,$$ A +,+$% 1&$,$ &&,$ % ($,$ &(, %11,+$ A 11,$$% &1$,$ +,+$% 1&$,$ 1',$*%111,($ A

 ? Las potencias comple5as por fase son, <

 S  AB V  AB I  AB

&&$ % $,$ &&,$ % ($,$ ',+' 1$( % ($,$$ -A ',+' % ($,$$ 6-A

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-J

<

&&$% 1&$,$ +,+$% 1&$,$ 1,*() 1$( % $,$$ -A 1,*() % $,$$ 6-A

 S BC  V  BC  I  BC 

<

&&$% &'$,$ $ 11,$$% &1$,$

 S CA V CA I CA

&,'& 1$( % ($,$$ -A &,'& % 0($,$$ 6-A La potencia comple5a total es,  S

S  AB

S BC

S CA

',+' 1$( % ($,$ 1,*() 1$( % $,$ &,'& 1$( % ($,$

+,(1 1$( % +,'$ -A +,&& 1$( 1,&1$ 1$( -A +,(1% +,'$ 6-A 2e donde las potencias totales son,  S

+, (1 6-A / P +, && 63 / Q 1, &1$ 67a! IND

c? El diagrama fasorial es, V CA

 I C   I  B

 I CA V  AB  I  BC 

 I  AB  I  A

V  BC 

d? El tri)ngulo de potencias es, S  B 7,01 D;A Q B 1,-1. D/ar IN2  P  B 7,-- D

E5emplo 3-10! La fuente de la figura es simétrica y tiene una secuencia de fases  positi/a! Encuentre> a?  I aA , ?  I bB , c?  I cC  , d? la potencia comple5a total proporcionada por la fuente!

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-7

 

=

1$,$$ a

n

A

 5,$$

1&$,$ %$,$$ 01$,$$ c

C

'OL$CI@N! uesto *ue tenemos tensiones simétricas y secuencia de fases positi/a, la tensi4n . V  AB  tendr) una magnitud 0  /eces mayor *ue la tensi4n V an  y estar) 0.,.  adelante de ella, esto es

= 0 ×1., . ., . + 0.,. = .7 0., .. ;

V  AB

 las otras tensiones de fase son, V  BC

= .7  − 6., .. ; ,

V CA

= .7 − 1., .. ;

Las corrientes de fase son, r

=

 I  AB

r

 I  BC 

r

 I CA

V  AB

 Z  AB

=

V  BC 

 Z  BC 

=

V CA

 Z CA

=

=

=

.70.!. = ., 7  0., .. A 1., .. + 5.,.

.7  − 6., . = 91, : − 17., .. A ., . + 53, ..

.7  − 1., . = .,7 − 1., .. A ., . − 51.,..

Las corrientes de l+nea son, a?  I aA

= I AB − I CA = .,7  0., . − .,7 − 1., . = 9.,   93, .. A

 ?  I bB

= I BC − I AB = 91, : − 17., . − .,7  0., . = :., 3− 1J.,1. A

c?

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-6

 I cC

= I CA − I BC =  .,7 − 1.,. − 91,: − 17., . = 0:, . − 0.,.. A

d? La potencia comple5a total es, S

L

L

L

= S  AB + S BC + S CA = V  AB I  AB + V BC I BC + V CA I CA  = .7  0., .× .,7 − 0., . + .7 − 6., .× 91, : − 17., .+ .7 − 1., .× .,7 1., . = :,1 ×1.0  9 3, .. ;A B : ,1 93,.. D;A

Alimentada a t!a78 de l9nea.  Z a

a

 I  A

A  I CA

V ca

V ab

 Z b

c

 Z  AB

 I 1

 I  AB

=  I &  Z c

 I (

 I  B

  V bc

 Z CA

C  Z  BC 

 I  BC 

 I C 

"I#$RA N%&ERO :! $tili
$

 

Za Z b I1

 Z AB I 1

Z AB

Zb I 1

Zb Z BC I &

Z BC Z AB

Zb I &

Z AB I (  

Zc I&

Z BC I  (  

Z BC

Z CA I (

$tili
$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-0.

V ab u r

 Z a

Z AB

V bc

Zb

Zb

$

Zb Zb

Z BC

 Z  AB

I 1

Z AB Z C 

r

Z BC

Z BC

Z AB

I&

 

Z BC

 

r

Z CA

I (

'i las corrientes son las inc4gnitas,  I 1 r

 Z a

Z AB

 I &

Zb

Zb

Zb

r

Zb

Z BC

 Z  AB

 I (

1

Z AB Z C 

Z BC

Z BC Z AB

Z BC

V ab u r

 

V bc

Z CA

$

Las corrientes de fase son,  I  A  I  B  I C 

I 1 I&

I 1 I &

E5emplo 3-19! La carga conectada en delta de la figura es desalanceada, con impedancias por fase de Z   B 39,J 0J,:. Ω, Z   B 77,1 J6,3. Ω y Z   B 77,1 J6,3. Ω, esta se alimenta con una fuente simétrica conectada en delta, con secuencia de fases positi/a, con tensiones de 1J,. ;! Considere *ue las resistencias de los alimentadores son cada una de .,3.. Ω! Encuentre> a? las corrientes de l+nea, ? las corrientes de fase y c? las ca+das de tensi4n en la carga!  AB

 BC 

 Z a

a

CA

 I  A

A  I CA

V ca

V ab

 Z b

c

 Z  AB

 I 1

 I  AB

=  I &  Z c

 I (

 I  B

  V bc

 Z CA

C  Z  BC 

 I  BC 

 I C 

'OL$CI@N! Empleando el método de corrientes de malla, tenemos

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-01

Las tensiones en la fuente son, considerando la tensi4n V ab  como referencia, V ab

1&, $% $, $$ - / V bc 1&, $% 1&$, $$ - / V ca 1&, $% &'$, $$ -

Las impedancias de las mallas son,  Z 11

 Z &&

Z  L

Z  L

Z AB

$,5$$% $,$ 5', % (,) $,5$$% $,$ 55,5 % (,$$

Z L

Z BC

 Z 1&

Z &1

Z   L

$,5$$%$,$$

 Z 1(

Z (1

Z   AB

5',%(,)$

$,5$$ % $,$ ++,1% *,5 $,5$$ % $,$ ++,( % +,*$

Z L

 Z &(  Z ((

Z  AB

Z BC

Z CA

Z   BC 

Z (&

++,1%*,5$

5', % (,) ++,1% *,5 ++,1% *,5 &&$% )*,*$

$tili
 I & r

 I (

55, 5% (, $ $, 5$$ % $, $ 5',  % (, )

$, 5$$ % $, $ ++, ( % +, * ++,1% *, 5

5',  % (, ) ++,1 % *, 5 &&$ % )*, *

1

1&, $% $, $ 1&, $ % 1&$, $ $

&, '( % 1, * &, '* % 1)+, ) 1, '(& % 1(+,+

a? Las corrientes de l+nea son,  I  A  I  B

I&

I 1

I 1

&,'(% 1,*$ A

  &,'*% 1)+,) &,'(% 1,* (,)+%15$,'$ A  I C 

I &

  &,'*%11,'$ A

 ? Las corrientes en las fases son,  I CA  I  AB

IA

I CA

I (

  1,'(&%'1,&$ A

&,'(% 1,* 1,'(&% '1,& &,&*% (),$ A

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-0

 I  BC

I CA

1,'(& % '1,& &,'* %11,' 1,'() %1)1,$ A

I C 

c? Las ca+das de tensi4n en la carga son, V  AB V  BC 

Z  AB I  AB Z  BC  I  BC 

V CA

Z CA I CA

5', % (,) &,&*% (), 1&5,( % $,*$ ++,1% *,5 1,'() %1)1, 1&),5 % 11+,+$ ++,1% *,5 1,'(& % '1,& 1&),& %1&$,$ -

E5emplo 3-13! La fuente de la figura es simétrica y e(ie una secuencia de fases M?! La resistencia de las l+neas es de 1,... Ω, las impedancias de la carga son $  Z  AB 1$,$$%$,$$ ,  Z  BC  5,$$%*$,$$ y  Z CA 1$,$$% *$,$ ! Encuentre> a? las corrientes de l+nea y ? la potencia comple5a total proporcionada por la fuente! Considere como referencia a la tensi4n V ab &$+%$,$$ - !

 Z a

a

 I  A

A  I CA

V ca

V ab

 Z b

c

 Z  AB

 I 1

 I  AB

=  I &  Z c

 I (

 I  B

  V bc

 Z CA

C  Z  BC 

 I  BC 

 I C 

SOLUCIHN. Las tensiones en la fuente son, V ab

&$+ % $, $$ - / V bc &$+ % 1&$, $$ - / V ca &$+ % &'$, $$ -

Las impedancias de las mallas son,  Z 11

Z  L

Z AB

Z L

1,$$$ % $,$ 1$,$$% $,$ 1,$$$% $,$ 1&,$$% $,$$

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-00

 Z &&

Z  L

Z BC

 Z 1&

Z &1

Z    L

1,$$$%$,$$

 Z 1(

Z (1

Z   AB

1$,$$%$,$$

1,$$$ % $,$ 5,$$% *$,$ 1,$$$ % $,$ 5,(*% )+,&$

Z L

 Z &(  Z ((

Z  AB

Z BC

Z   BC 

Z (&

5,$$%*$,$$

1$,$$% $,$ 5,$$% *$,$ 1$,$$% *$,$ 11,1+ % &),)$

Z CA

$tili
 I 1 r

 I & r

 I (

1&, $$ % $, $ 1, $$$ % $, $ 1$, $$ % $, $

1, $$$ % $, $ 1$, $$ % $, $ 5, (* % )+, & 5, $$ % *$, $ 5,$$ % *$, $ 11,1+ % &),)

1

&$+ % $, $ &$+ % 1&$, $ $

((, *% 15, & &5, & % 1'&, ' &&, ' % &',1

a? Las corrientes de l+nea son,  I  A  I  B

I&

I 1

 I C 

I 1

  ((,*%15,&$ A

&5,& %1'&,' ((,* %15,& 5(,1%1(,$$ A I &

&5,& %1'&,' &5,& % (,)$ A

 ? Las corrientes de fase son,  I  AB  I  BC

IA

I CA

((,* %15,& &&,' % 155,* 1&,&% 1,&$ A

I CA

I C 

&&,' % 155,* &5,& % (,) '$,* %11,&$ A

 I CA

I (

&&,' % &',1$ &&,' % 155,*$ A

c? La potencia comple5a tomada por la carga es,

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-09

 S CAR

&

Z  AB I AB

&

&

Z BC I BC

Z CA I CA

1$,$$% $,$ 1&,&& 5,$$% *$,$ '$,* & 1$,$$% *$,$ &&,' & (,) 1$( %)5,+ $ -A

La potencia comple5a tomada por las l+neas es,  S  LIN

Z  L I A&

Z L I B&

Z L I C &

1,$$$% $,$ ((,*& 1,$$$% $,$ 5(,1& 1,$$$% $,$ &5,&& ',)$ 1$( % $,$$ -A La potencia comple5a total suministrada por la fuente es,  S  f

S CAR

S LIN 

(,) 1$( % )5,+ ',)$ 1$( % $,$ ),*) 1$( % &+,$ -A

),1$ 1$( (,(5 1$( -A  Solución del circuito utiliando el !"todo de con#er$ión delta a e$trella%

$n método alternati/o de soluci4n es con/ertir las cargas conectadas en delta a su e*ui/alente conectado en estrella! La relaci4n entre las impedancias en delta y sus impedancias e*ui/alentes en estrella se muestra en la figura siguiente! A

A

 Z  A  Z  AB

= C

 Z CA

 Z  B

 Z C 

= C "I#$RA N%&ERO J!

 Z  BC 

Las ecuaciones para las e*ui/alencias son, 2e delta ∆? a estrella ?!  Z  A

 Z  AB Z CA  Z  AB

Z BC

Z CA  Z C 

/

Z B

Z AB Z BC  Z AB

Z BC

Z CA

/

 Z  BC Z CA  Z  AB

Z BC

Z CA

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-03

La transformaci4n de una conei4n en delta a una conei4n en estrella reempla
 Z  L

A

 I  A

 Z  A  I 1

N  Z  B

;

 Z  L

 I  B

 Z C 

B

C  I &

"

 Z  L

 I C 

"I#$RA N%&ERO 7! Aplicando el método de mallas y utili
& Z  L Z A Z B

 I 1 r

 Z  L

 I &

ZL

1

Z B

& Z L Z B Z C 

ZB

V ab u r

V bc

2e donde las corrientes de l+nea son,  I  A

/ I B I & I 1 / I C 

I1

I &

Las ca+das de tensi4n en la carga e*ui/alente en estrella son, V  AN

/ V BN Z B I B / V CN  Z C  I C   

Z  A I  A

Lasa ca+das de tensi4n en la carga conectada en delta son, V  AB V AN

V BN

/ V BC V BN V CN / V CA V CN V AN  

Las corrientes de fase en la carga son, r

 I  AB

V  AB  Z  AB

r

/ I BC

V BC Z BC

r

/ I CA

V CA Z CA

E5emplo 3-1:! La carga conectada en delta de la figura es desalanceada, con impedancias por fase de Z   B 39,J 0J,:. Ω, Z   B 77,1 J6,3. Ω y Z   B 77,1 J6,3. Ω, esta  AB

 BC 

CA

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-0:

se alimenta con una fuente simétrica conectada en delta, con secuencia positi/a, con tensiones de 1J,. ;! Considere *ue las resistencias de los alimentadores son cada una de .,3.. Ω! Encuentre> a? las corrientes de l+nea, ? las ca+das de tensi4n en la carga c? las corrientes de fase en la carga, d? la potencia comple5a tomada por la carga y e? la potencia comple5a suintrada por la fuente!  Z  L

a

 I  A

A  I CA

V ca

 Z  AB

V ab  Z  L

c

 I  B  I  AB

 

V bc

 Z CA

C

=  Z  L

 Z  BC 

 I  BC 

 I C 

'OL$CI@N! Las tensiones en la fuente son, considerando la tensi4n V ab  como referencia, V ab

1&, $% $, $$ - / V bc 1&, $ % 1&$, $$ - / V ca 1&, $ % &'$, $$ -

Las impedancias e*ui/alentes de delta a estrella son,  Z  A

 Z  B

 Z C 

 Z  AB Z CA

 AB  Z BC Z CA  Z  AB Z BC   Z  AB

Z BC

Z CA

 Z  BC Z CA  Z  AB

Z BC

Z CA

5', % (,) ++,1% *,5 &1,*%',&$ 5',  % (, ) ++,1 % *, 5 ++,1 % *, 5 5', % (,) ++,1% *,5 &1,*%',&$ 5', % (,) ++,1% *,5 ++,1% *,5 ++,1% *,5 ++,1% *,5 (5,(%+*,1$ 5', % (,) ++,1% *,5 ++,1% *,5

a? Las corrientes de malla, utili
 I &

& Z  L Z A Z B  Z  L

ZB

ZL

Z B

& Z L Z B Z C 

1

V ab u r

V bc

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-0J

L2 t8!min2 de la mat!i de malla 2n, & Z  L Z A Z B & $, 5$$ % $,$ &1, *% ', & &1, *% ', & '',5 % '), ($  Z  L

$,5$$% $,$ &1,* % ',&

Z B

&&,& % 1((,$

& Z  L Z B Z C  & $, 5$$ % $,$ &1, *% ', & (5, (% +*,1 5(,* % &, ( 'ustituyendo /alores en la ecuaci4n de las corrientes de malla tenemos, & Z  L

 I 1 r

 Z  L

 I &  I 1 r

 I &

ZA

ZB

ZB

ZL &ZL

'', 5 % '), ( &&, & % 1((,  &&, & % 1((,  5(, * % &, (

1

Z B

ZB

1

Z C 

1&, $ % $, $ 1&, $ % 1&$, $

V ab u r

V bc

&, '( % 1, * &, '* % 1)+, 

2e donde las corrientes de l+nea son,  I  A  I  B

I&

I 1

I 1

&,'(% 1,*$ A

  &,'*% 1)+, &,'(% 1,* (,)+%15$,($ A

 I C 

I &

&,'*% 1)+, &,'*% 11,( $ A

 ? Las ca+das de tensi4n en la carga e*ui/alente conectada en estrella son, V  AN 

Z  A I  A

&1,* % ',& &,'(% 1,* 5(,& % &',$ -

V  BN 

Z  B I  B

&1,* % ',& (,)+%15$,( +$,) % 1)&,5$ -

V CN 

Z C  I C 

(5,( % +*,1 &,'*%11.( +,*% 1$$,'$ -

 las ca+das de tensi4n en la carga son, V  AB V AN V  BC V BN

V BN  V CN 

5(,& % &', +$,) % 1)&,5 1&5,& % $,*$ +$,) % 1)&,5 +,* %1$$,' 1&),' % 11+,*$ -

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-07

V CA V CN

V AN

 

+,* %1$$,' 5(,& % &', 1&),& %1&$,)$ -

d? Las corrientes de fase en la carga son, r

r

 I  BC 

1&5,&%$,* &,&*% (), $ A 5',%(,)

V  AB

 I  AB

 Z  AB V  BC 

 Z  BC 

r

1&),' % 11+,* 1,'(%1)1,)$ A ++,1%*,5

1&),&%1&$,) 1,'(&%'1,1$ A ++,1%*,5

V CA

 I CA

 Z CA

d? La potencia comple5a tomada por la carga es,  S CAR

& Z  AB I AB

& Z BC I BC

5', . % (., ) &, &*

&

& Z CA I CA

++, 1 % . *, 5 1, '(.

&

++, 1 % . *, 5 1, '(&

&

$

)$. % )1,1 -A

e? La potencia comple5a tomada por las l+neas es,  S L

Z  L I A&

Z L I B&

Z L IC&

Z L I A&

$, 5$$ % $, $ &, '(& (, )+& &, '*&

I B&

I C&

 

1&, + % $, $$ -A

 la potencia comple5a suministrada por la fuente es,  S  f

S CAR

S L

)$ % )1,1 1&,+% $,$ )1( % )$,$$ -A

E5emplo 3-1J! La fuente de la figura es simétrica y e(ie una secuencia de fases M?! La resistencia de las l+neas es de 1,... Ω, las impedancias de las cargas son  Z  AB 1$,$$%$,$ $ ,  Z  BC  5,$$%*$,$ $ y  Z CA 1$,$$% *$,$ $ ! Encuentre> a? las corrientes de l+nea y ? la potencia comple5a total proporcionada por la fuente! Considere como referencia a la tensi4n V ab &$+%$,$$ - !

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-06

 Z  L

a

 I  A

A  I CA

V ca

 Z  AB

V ab  Z  L

c

 I  B  I  AB

 

V bc

 Z CA

C

=  Z  L

 Z  BC 

 I  BC 

 I C 

SOLUCIHN. Las tensiones en la fuente son, &$+ %$,$$ - / V bc &$+ % 1&$,$ $ - / V ca &$+ % &'$,$ $ -

V ab

Las impedancias e*ui/alentes de delta a estrella son,  Z A

 Z  B

 Z C 

 Z  AB Z CA  Z  AB

Z BC

Z CA

1$,$$% $,$ 1$,$$% *$,$ +,*'% )(,' $ 1$,$$%$,$ 5,$$%*$,$ 1$,$$% *$,$ 1$,$$% $,$ 5,$$% *$,$ ','%11),)$ 1$,$$%$,$ 5,$$%*$,$ 1$,$$% *$,$

 Z  AB Z BC   Z  AB

Z BC

Z CA

5,$$% *$,$ 1$,$$% *$,$ ','%&),)$ 1$,$$%$,$ 5,$$%*$,$ 1$,$$% *$,$

 Z  BC Z CA  Z  AB

Z BC

Z CA

a? Las corrientes de malla, utili
 I 1 r

ZA

 Z  L

 I &

ZB

ZB

ZL &ZL

1

Z B

ZB

Z C 

V ab u r

V bc

L2 t8!min2 de la mat!i de malla 2n, & Z  L Z A Z B & 1,$$$ % $, $ +, *' % )(,' ',' % 11), ) 5, )) % '5, $$  Z  L

Z B

1,$$$% $,$ ',' %11),)

',1&% 5,*$

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-9.

& Z  L Z B Z C  & 1,$$$ % $, $ ',' % 11), ) ',' % &), ) , &1% 5), ( 'ustituyendo /alores en la ecuaci4n de las corrientes de malla tenemos, & Z  L

 I 1 r

 Z  L

 I &  I 1 r

 I &

ZA

ZB

ZB

ZL &ZL

5, )) % '5, $ ',1& % 5, * ',1& % 5, * , &1 % 5), (

1

Z B

ZB

1

Z C 

&$+ % $, $ &$+ % 1&$, $

V ab u r

V bc

((, * %15, & &5, & % 1'&, '

2e donde las corrientes de l+nea son,  I  A  I  B

I&

I 1

 I C 

I 1

  ((,*%15,& $ A

&5,& %1'&,' ((,* %15,& 5(,1%1(,$$ A

I &

&5,& %1'&,' &5,& % (,)$ A

 ? Las tensiones e*ui/alentes al neutro en la fuente son, u r

V an

V bn

V ab

(

%

ab

($, $

&$+ %$ 0 ($,$ : 1&$,$ %0($,$$ (

1&$, $ % 15$, $$ - /

V cn

1&$, $ % &$, $$ -

La potencia comple5a total suministrada por la fuente es, <

<

<

 S V an I A V bn I B V cn I C 

1&$,$% ($,$ ((,*% 15,& 1&$,$% 15$,$ 5(,1% 1(,$ 1&$,$% &$,$ &5,& % (,) ),* 1$( %&+, $ -A

(. EFECTO DE LA IMEDANCIA DE UNA FUENTE CONECTADA EN DELTA.

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-91

En todos los e5emplos anteriores , se (a considerado *ue son conocidas las tensiones en las terminales del generador, y *ue son independientes de las corrientes suministradas  por el generador! Esta consideraci4n con frecuencia es astante pr)cticaG no ostante, en muc(os casos tamién se deen tomar en cuenta las impedancias de la fuente! En este caso la soluci4n de los prolemas se complica astante, deido a la reacci4n de las corrientes de las diferentes fases dentro de la m)*uina, la cual re*uiere del uso de las reactancias propias y mutuas de los de/anados como se estudia en los cursos de m)*uinas rotatorias! 'i la fuente trif)sica consiste de tres transformadores monof)sicos, o uno trif)sico, cuyas impedancias internas se conocen, el circuito a5o estudio se puede resol/er r)pidamente por  cual*uiera de los deferentes métodos ya epuestos, aplicando el *ue presente mayores /enta5as! Las impedancias serie locali
 Z a

a

 Z ca

A

 Z  A

V ab

V ca

N

 Z ab  Z  B

;

"

 Z b

Z C 

C

B

 Z bc

V bc

 Z c

FIGURA NJMERO *A. Las impedancias del circuito de la nue/a estrella son,  Z aN

Za

ZA

/ Z bN Z b Z B / Z cN Z c Z C

 

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-9

a

 Z ca

V ab

 I (  Z cN N

V ca

 Z aN   Z ab

 I 1  Z 

bN 

 I &

"

;  Z bc V bc

FIGURA NJMERO *B. Resol/iendo el circuito de la figura nmero 6=, por el método de mallas tenemos *ue las impedancias propias y comunes de las mallas son,  Z 11

 

Z aN

Z bN

Z ab

 Z 1&

Z &1

Z bN 

 Z 1(

Z (1

Z aN 

 Z &&

 

Z bN

 Z &(  Z ((

 

Z cN Z (&

Z aN

Z bc

Z cN 

Z cN

Z ca

Escriiendo la soluci4n de las corrientes de malla en forma matricial tenemos,  I 1

 Z 11

r

 I &

Z &1

r

 Z (1

 I (

Z 1& Z && Z (&

Z 1( Z &( Z ((

1

V ab u r

V bc u r

V ca

 las corrientes de l+nea son,  I aN

IA

I1

I(

/ I bN I B I & I 1 / I cN I C  I ( I &

E5emplo 3-17! La carga conectada en delta de la figura es desalanceada, y est) formada por las impedancias siguientes> entre las fases A y = tiene un resistor de 0.,. Ω en serie con un inductor de 7.,. m8, entre las fases = y C tiene un resistor de .,. Ω y entre las fases C y A tiene un resistor de 1.,.. Ω en serie con un capacitor de :3 µ"! La carga se alimenta con una fuente simétrica conectada en delta, con una tensi4n de 13,. ; por fase, con una frecuencia de :.,. 8<, con una secuencia de fases ac, *ue tiene una impedancia interna de .,1... Ω por fase! La fuente se une a la carga por medio de l+neas *ue tienen una

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-90

impedancia de .,1... Ω! 2eterminar> a?! Las corrientes de l+nea, ?! Las ca+das de tensi4n en la carga, y c?! Las corrientes de fase en la carga!  Z  L

a   V ab 

 Z  f  a

  V ca 

A

 Z  AB

 

 Z CA

 Z  f 

c

 Z  L

 

 Z  f  c

C

=  Z  BC 

  V bc 

 Z  L

'OL$CI@N! Las impedancias de la carga son,

($, $  &

 Z  AB

)$,$ +$,$ 1$0( '&, ) % '5, &$

&$,$%$,$$ 1  Z CA 1$, $$  1',15 % '5,$$ 0) & )$,$ &)5 1$ Los fasores de tensi4n de la fuente, considerando a V ab G como referencia son,  Z  BC 

V ab G

1&5,$ % $, $$ - / V bc G 1&5,$ % 1&$, $$ - / V ca G 1&5,$ % &'$,$$ -

Con/irtiendo la carga en delta a una carga en estrella tenemos,  Z  A

 Z  B

 Z C 

 Z  AB  Z  AB

Z BC

 Z  AB  Z  AB

Z CA

Z BC 

Z BC

 Z  BC  Z  AB

Z CA

Z CA

Z CA

Z BC

Z CA

'&,) % '5,& 1',15 % '5,$ *,5&% 1+,'$ '&,) % '5,& &$,$ % $,$ 1',15% '5,$ '&,) % '5,& &$,$ % $,$ 1(,'5%&),) $ '&,) % '5,& &$,$ % $,$ 1',15% '5,$ &$,$ % $,$ 1',15% '5,$ ','% )(,)$ '&,) % '5,& &$,$ % $,$ 1',15% '5,$

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-99

A

 Z  A  Z  AB

 Z 

CA

 N

 Z  B

Z C 

=

C

 Z  BC 

Adicionando a la estrella las impedancias de las l+neas tenemos, a  Z   L

A  Z   A

 Z   B

=  Z   L

 Z bN  Z cN

 Z C 

C  Z   L

c

   Z aN

 N

ZA ZB ZC

Z L Z L Z L

*,5&% 1+,' $,1$$$ % $,$ *,)1% 1+,&$ 1(,'5% &),) $,1$$$% $,$ 1(,5'% &),'$ ',' % )(,) $,1$$$% $,$ ',5&% )&,5$

Rediu5ando el circuito tenemos,

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA

ELECTROTECNIA III-93

a

 Z   L

 Z  f 

A

a

 Z   A

 I (

V ab  I 1

   Z  f 

 N

V ca   Z C 

C

 Z   B

=

 I &

 Z   L

c

 Z  f 

 Z   L

 

c V bc 

Resol/iendo el circuito por el método de mallas tenemos, Las impedancias propias y mutuas de las mallas son,  Z 11

Z aN

Z bN

Z f

 

*,)1% 1+,& 1(,5'% &),' $,1$$$ % $,$ &1,) % +,$$  Z 1&

 Z 1(  Z &&

Z bN

Z cN

Z f

 

Z aN

Z cN

Z f

 

Z (1

Z  bN  Z aN 

1(,5'%&),'$ *,)1% 1+,& $

1(,5'% &),' ',5&% )&,5 $,1$$$ % $,$ 1',')% +,$$  Z &(

 Z ((

Z &1

Z (&

Z cN 

',5&% )&,5$

*,)1% 1+,& ',5&% )&,5 $,1$$$% $,$ 1(,(1% (1,+$

Escriiendo las ecuaciones en forma matricial tenemos,

&1, ) % +, $ 1(, 5' % &), ' *, )1 % 1+, &

 I 1 r

 I & r

 I (

1(, 5' % &), ' *, )1 % 1+, & 1', ') % +, $ ', 5& % )&, 5 ', 5& % )&, 5 1(, (1 % (1, +

1

1&5, $ % $, $ 1&5, $ % 1&$, $ 1&5, $ % &'$, $

2e donde,  I 1

',5) % 1, &$ A / I & (, '' % 1$$,$$ A /

I (

, && %1'(,+$ A

$NI2A2 3! CAR#A' CONECTA2A' EN 2ELTA