INSTITUTO
TECNOLOGICO TECNOLOGICO DE TAP TAPACHULA ACHULA
UNID UNIDAD AD III: III: GENE GENERA RACI CION ON DE VARI RIAB ABLE LES S ALETORIAS. SIMULACION CATEDRÁTICO: ING. MILTON CARLOS HERNANDEZ RAMIREZ
ALUMNOS: Acosta Cruz Adela Guadalupe. Guadalupe. Arévalo rees Adal!erto. Adal!erto. De la cruz !arr"os H"l#a $r"stel De le%& '"lc(es Isa!el )o#u$a" Lucero Sele&e Izu#" Mé&dez *o&ce Nael" Ru"z Sa&t"a+o.
5 SEMESTRE “B”
2 NOVIEMBRE DE 2015 CONTENIDO
*AG.
I&troducc"%& …………………………………………………………..…. ,
,.-. Co&ceptos !/s"cos ………………………………………………..……. 0 ,.1. 'ar"a!les aleator"as d"scretas …………………………………….....… 2 ,.,. 'ar"a!les aleator"as co&t"&3as ……………………………………...… -1 ,.0. Métodos para +e&erar var"a!les aleator"as ……………………….….. 1,.0.-. Método de la tra&s4or#ada "&versa …………………………….…… 1,.0.1. Método de co&voluc"%& …………………………………………….…. 11 ,.0.,. Método de co#pos"c"%& …………………………………………….… 1, ,.5. *roced"#"e&tos espec"ales ……………………………………….…….. 10 ,.2. *rue!as estad6st"cas. 7*rue!as de !o&dad de a8uste9 ……..…….….15
Co&clus"%& …………………………………………………………….….. 12 :"!l"o+ra4"a …………………………………………………………….….. 1;
3 INTRODUCCION :usca#os #étodos
?-9.
Ha cuatro #étodos +e&erales de +e&erac"2& de var"a!les aleator"as u&a ser"e de #étodos part"culares de las d"st"&tas d"str"!uc"o&es.
La 4ac"l"dad de apl"cac"o& de d"c(os #étodos? as6 co#o el coste co#putac"o&al asoc"ado a los #"s#os? var4a #uc(o se+u& la 4a#"l"a de var"a!les aleator"as a las
Nor#al#e&te e@"ste& var"os al+or"t#os
Al+u&os de estos 4actores so& los s"+u"e&tes
E@act"tud se (a& de o!te&er valores de u&a var"a!le co& u&a prec"s"2& dada. A veces se t"e&e su4"c"e&te co& o!te&er u&a apro@"#ac"2& otras &o.
E4"c"e&c"a el al+or"t#o
4 3.1.- CONCEPTOS BÁSICOS =& +e&erador de &3#eros aleator"os es u& d"spos"t"vo "&4or#/t"co o 46s"co d"seBado para produc"r secue&c"as de &3#eros s"& u& orde& apare&te. Al+or"t#os Los al+or"t#os para la +e&erac"%& de valores u&"4or#e#e&te d"str"!u"dos est/& prese&tes e& todas las calculadoras le&+ua8es de pro+ra#ac"%&? suele& estar !asados e& co&+rue&c"as &u#ér"cas del t"po
El é@"to de este t"po de +e&eradores de valores de u&a var"a!le aleator"a depe&de de la elecc"%& de los cuatro par/#etros
respecto al cual se calcula& los restos
Estos cuatro valores de!e& ser &3#eros e&teros &o &e+at"vos ?
5 *or la co&d"c"%& a&ter"or? es ev"de&te
-. El &3#ero #/@"#o de c"4ras
d"st"&tas
? as6
lle+ar/ u& #o#e&to e&
9? para ev"tar
aleator"os. *or e8e#plo? para los valores
se
o!t"e&e la s"+u"e&te secue&c"a de valores 1--21,->,-0-5-1;11;12-,>,-1--2 La secue&c"a +e&erada t"e&e co#o lo&+"tud -2 &3#eros 7el &3#ero +e&erado e& la dec"#osépt"#a pos"c"%& es el 1 "&"c"al? por lo
Rect"4"cac"%&
M/@"#o co#3& d"v"sor
*ara cada pr"#o p de #
S" 0 es d"v"sor de # S" cF>
F,19.
co&duce&
6 # es pr"#o
*ara cada 4actor pr"#o p de #- 7Rect"4"cac"%& la co&d"c"%& es
*or e8e#plo? to#a&do co#o valores
se
o!t"e&e la s"+u"e&te secue&c"a de &3#eros? 1--1,-,>15>,- 11>;2-
3.2.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 'ar"a!le aleator"a d"screta u&a '.A. es d"screta s" su recorr"do es u& co&8u&to d"screto. E& +ra& ca&t"dad de e@per"#e&tos aleator"os es &ecesar"o cua&t"4"car los resultados? es dec"r? as"+&ar a cada resultado del e@per"#e&to u& &3#ero? co& el 4"& de poder real"zar u& estud"o #ate#/t"co. S" la var"a!le aleator"a es d"screta la descr"!"#os se+3& su d!"#$%&'( d)
*#+$,$d,d)!?
@
x - x 1
...
x $
*7@9
p- p1
...
p$
7 'olva#os al e@per"#e&to aleator"o de la&zar u&a #o&eda , veces
Espac"o #uestral SFccc? ccs? css? csc? sss? ssc? scc? scs Sea J F &3#ero de caras?
@ F >? -? 1? ,
Escr"!a la d"str"!uc"%& de pro!a!"l"dades de J
@ *7@9
Modelo para el (/)#+ d) $#+! e& #oc("las de estud"a&tes Sea J u&a var"a!le aleator"a
@
>
-
1
,
*7@9
>?
>?1
>?1
>?-
5
a9 Descr"!a la 4or#a de la d"str"!uc"%& !9 Kué proporc"%& de estud"a&tes lleva& , o #e&os l"!ros 7
9
c9 Kué proporc"%& de estud"a&tes lleva& #/s de 1 l"!ros 7
9
d9 Kué proporc"%& de estud"a&tes lleva& e&tre 1?- 1? l"!ros 7
9
8 e9 Kué proporc"%& de estud"a&tes lleva& e&tre - 1 l"!ros 7
9
La d!"#$%&'( d) *#+$,$d,d)! de u&a var"a!le aleator"a d!&#)", X es u&a 4u&c"%& 7ta!la o re+la9? de&otada por p(x) o * X=x ?
P#+*)d,d)! d) %(, %(&'( d) d!"#$%&'(
-. Los valores de las pro!a!"l"dades est/& e&tre > - 7
1. La su#a de las pro!a!"l"dades es - 7
9 para todo x
9
T,/,+ ,/,# Sea X el
&3#ero
de
perso&as
de
(o+ares
e&
el
ce&so
7(ttpPPQQQ."&e.clPcd1>>1P"[email protected](p 9
@
-
1
,
0
5
2
; #/s
p7@9
>?--
>?-
>?11
>?1,
>?-0
>?>;
1>>1
9 a9 KCu/&to de!e ser la pro!a!"l"dad de
N+ "+d,! ,! ",$,! #)*#)!)(",( %( /+d)+ d!&#)"+ =& #odelo d"screto puede serv"r para descr"!"r la d"str"!uc"%& de u&a var"a!le cual"tat"va? pero &o cual
Mascota *err Gat o *roporc" %&
o
Otra s
>?;> >?0> >?1>
10
KEs esta u&a d"str"!uc"%& d"screta le+6t"#a
S"
X
es u&a var"a!le aleator"a d"screta
pro!a!"l"dad p-? p1?... p$? e&to&ces la /)d, + ) ,+# )!*)#,d+ d) X est/ dado por
la ,#,(, d) X est/ dada por
la d)!,&'( )!"4(d,# d) X est/ dada por
11
E& el caso del &3#ero de caras al la&zar , #o&edas? la d!"#$%&'( d)
*#+$,$d,d)! de J es @
>
-
1
,
p7@9
-P
,P
,P
-P
La /)d, de J es
12
la d)!,&'( )!"4(d,# de J es Calcule las #ed"as desv"ac"o&es est/&dar e& los de#/s e8erc"c"os.
3.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Es a
D)(&'(: =&a %(&'( d) d)(!d,d es u&a 4u&c"%& o curva
El /rea total !a8o la curva es "+ual a uno calcula#os pro!a!"l"dades co#o /reas !a8o la curva de de&s"dad.
13 P#+*)d,d)! d) %(, %(&'( d)(!d,d:
La %(&'( d)(!d,d de u&a var"a!le aleator"a &+("(%, X es u&a
4u&c"%&?
de&otada por f(x)?
-.
La de&s"dad es s"e#pre #aor o "+ual a cero.
1. El /rea !a8o la curva de de&s"dad es u&o
,.
F es el /rea o proporc"%& e&tre a !
L, d!"#$%&'( N+#/,
E@"ste u&a d"str"!uc"%& de 4recue&c"as te%r"ca lla#ada d"str"!uc"%& &or#al?
14 Notac"%&
se lee X es u&a var"a!le aleator"a co&t"&ua co&
d"str"!uc"%& Nor#al? co& #ed"a
desv"ac"%& est/&dar
.
La %(&'( d)(!d,d de u&a var"a!le aleator"a Nor#al est/ dada por
?
C,#,&")#!"&,!: -
Su +r/4"co se#e8a u&a ca#pa&a s"#étr"ca? cuas colas se e@t"e&de& (ac"a el "&4"&"to ta&to e& d"recc"%& &e+at"va co#o e& la pos"t"va.
El pro#ed"o? la #ed"a&a la #oda de la d"str"!uc"%& t"e&e& el #"s#o valor.
La d"str"!uc"%&
)!"4(d,#.
El pro#ed"o &os "&4or#a so!re la *+!&'( o u!"cac"%& de la
15 d"str"!uc"%& e& el e8e (or"zo&tal la desv"ac"%& est/&dar re4le8a la d!*)#!'( de los valores co& respecto al pro#ed"o.
Los pu&ta8es del test de "&tel"+e&c"a para &"Bos ISC 7esc(ler I&tell"+e&ce Scale 4or C("ldre&9 s"+ue& u&a d"str"!uc"%& Nor#al co& #ed"a ->> desv"ac"%& est/&dar de -5 7(ttpPP&"colo+"c.4ree.4rPA.(t#9. Nos "&teresa sa!er K
16 C4&%+ d) 4#),! d) %(, D!"#$%&'( N+#/,:
D)(&'(:
S"
? la var"a!le (+#/, )!",(d,#,d, es
d"str"!uc"%& Nor#al co& #ed"a cero var"a&za "+ual a u&o Z es el &3#ero de desv"ac"o&es est/&dar e&to&ces x es #aor a la #ed"a µ . S" Z V > e&to&ces x es #e&or a la #ed"a µ . S" Z F > e&to&ces x es "+ual a la #ed"a µ .
t"e&e
.
17
*ara cual
•
67839 de las o!servac"o&es se e&co&trar/& a %(, desv"ac"%& est/&dar de la #ed"a? es dec"r de&tro del "&tervalo
7
se cu#ple
?
W
9
18 •
58;9 de las o!servac"o&es se e&co&trar/& a d+! desv"ac"o&es est/&dar de la #ed"a? ".e. de&tro del "&tervalo
7
1
?
W1
9
•
8<9 de las o!servac"o&es se e&co&trar/& a "#)! desv"ac"o&es est/&dar de la #ed"a? ".e. de&tro del "&tervalo
7
,
?
W,
9
19 Au&
Tabla: áreas de a
d!s"r!#$%!&' Normal
20 C4&%+ d) 4#),! a9
E&cue&tre el /rea de la d"str"!uc"%& Nor#al est/&dar
!9
E&cue&tre el /rea de la d"str"!uc"%& Nor#al est/&dar
c9
E&cue&tre el /rea de la d"str"!uc"%& Nor#al est/&dar z F-?11
d9
E&cue&tre el /rea de la d"str"!uc"%& Nor#al est/&dar
e9
E&cue&tre el /rea de la d"str"!uc"%& Nor#al est/&dar
P%(",=)! d) CI Supo&+a
co& d"str"!uc"%&
a9 Kué proporc"%& de &"Bos te&dr/ u& CI #e&or a 5 !9 Kué proporc"%& de &"Bos te&dr/ u& CI #aor a 5 c9 Kué proporc"%& de &"Bos te&dr/ u& CI e&tre 5 --5
Co&t"&ua&do co& el #odelo
para el pu&ta8e de CI para &"Bos?
co&s"dere la s"+u"e&te pre+u&ta Kué pu&ta8e de CI de!e te&er u& &"Bo para u!"carse e&tre el -X co& #/s alto pu&ta8e
21 El t"e#po > #etros #ar"posa s"+ue u&a &or#al co& #ed"a 55 se+u&dos desv"ac"%& est/&dar de 5 se+u&dos.
a9 Los or+a&"zadores de u& ca#peo&ato dec"de& dar cert"4"cados a todos los &adadores &adadores e& los ->> #etros #ar"posa? cu/&tos cert"4"cados se &eces"tar/&
!9 KCo&
Sea X es
a9 Muestre +r/4"ca#e&te esta d"str"!uc"%& e& part"cular !9 E&cue&tre el ra&+o e&tre cuart"les de la d"str"!uc"%& c9 E&cue&tre d9 E&cue&tre
Se cree
22 Las alturas de los p"&os so& #ed"das e& #etros. Dec"d"re#os rec(azar la ("p%tes"s &ula s" la altura de u& p"&o selecc"o&ado al azar del !os
a9 Calcule la pro!a!"l"dad del Error T"po I? α !9 Calcule la pro!a!"l"dad del Error T"po II? β c9 Calcule el valor p s" la altura del p"&o selecc"o&ado 4ue de ?5 #etros.
3.; M>TODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS E@"ste& var"os #étodos
3.;.1 M>TODO DE LA TRANS?ORMADA INVERSA El #étodo de la tra&s4or#ada 7o tra&s4or#ac"%&9 "&versa? ta#!"é& co&oc"do co#o #étodo de la "&versa de la tra&s4or#ada? es u& #étodo para la +e&erac"%& de &3#eros aleator"os de cual
23 la "&versa para al+u&as d"str"!uc"o&es de pro!a!"l"dad. El #étodo de :o@Muller es u& e8e#plo de al+or"t#o
• Sea J u&a var"a!le aleator"a cua d"str"!uc"%& puede ser descr"ta por la cd4 . • Se desea +e&erar valores de J a - es la lo&+"tud del su!"&tervalo? o sea ! Y a. El #étodo de la tra&s4or#ada "&versa 4u&c"o&a de la s"+u"e&te #a&era -. Se +e&era u& &3#ero aleator"o a part"r de la d"str"!uc"%& u&"4or#e sta&dard se lo lla#a u.
1. Se calcula el valor @ tal
se lo lla#a Jele+"do.
,. Se to#a Jele+"do co#o el &3#ero aleator"o e@tra6do de la d"str"!uc"%& caracter"zada por .
3.;.2 M>TODO DE CONVOLUCI@N
24 Co&voluc"%& es u& operador #ate#/t"co
. *ara ello? d"spo&e#os de
#uestreos de a#!as seBales e& los "&sta&tes de t"e#po
7do&de & $ so& e&teros9.El /rea es? por ta&to?
3.;.3 M>TODO DE COMPOSICI@N Deter#"&ar cu/l era el #étodo de co#pos"c"%& de ol4+a&+ A#adeus Mozart (a s"do u&a cuest"%& #u estud"ada. La v"s"%& dec"#o&%&"ca de este te#a se !asa!a a #e&udo e& u&a co&cepc"%& ro#/&t"ca e "deal"zada del proceso de co#pos"c"%& los estud"os #/s rec"e&tes (a& tratado de a!ordar el asu&to a través del e@a#e& s"ste#/t"co de las cartas docu#e&tos
25
3.5 PROCEDIMIENTOS ESPECIALES E@"ste& d"4ere&tes t"pos de #étodos para +e&erar var"a!les aleator"as? pero ta#!"e& e@"ste& casos espec"ales para +e&erar estas los cuales so& Las d"str"!uc"%& de *o"sso& parte de la d"str"!uc"%& !"&o#"al Cua&do e& u&a d"str"!uc"%& !"&o#"al se real"za el e@per"#e&to u& &3#ero & #u elevado de veces la pro!a!"l"dad de é@"to p e& cada e&sao es reduc"da? e&to&ces se apl"ca el #odelo de d"str"!uc"%& de *o"sso& Se t"e&e
• p V >?-> • p [ & V -> La d"str"!uc"%& de *o"sso& s"+ue el s"+u"e&te #odelo El &3#ero e es 1?;-1 l F & [ p 7es dec"r? el &3#ero de veces &
26 $ es el &3#ero de é@"to cua pro!a!"l"dad se est/ calcula&do La d"str"!uc"%& !"&o#"al parte de la d"str"!uc"%& de :er&ou"ll" La d"str"!uc"%& de :er&ou""l" se apl"ca cua&do se real"za u&a sola vez u& e@per"#e&to La d"str"!uc"%& !"&o#"al se apl"ca cua&do se real"za& u& &3#ero & de veces el e@per"#e&to de :er&ou""l"? s"e&do cada e&sao "&depe&d"e&te del a&ter"or. La var"a!le puede to#ar valores e&tre > s" todos los e@per"#e&tos (a& s"do 4racaso N s" todos los e@per"#e&tos (a& s"do é@"tos.
3.6 PRUEBAS ESTADSTICA. PRUEBAS DE BONDAD DE AUSTE E& la co&strucc"%& del #odelo de s"#ulac"%& es "#porta&te dec"d"r s" u& co&8u&to de datos se a8usta aprop"ada#e&te a u&a d"str"!uc"%& espec64"ca de pro!a!"l"dad. Al pro!ar la !o&dad del a8uste de u& co&8u&to de datos? se co#para& las 4recue&c"as o!servadas O real#e&te e& cada cate+or6a o "&tervalo de clase co& las 4recue&c"as esperadas te%r"ca#e&te E. *rue!a \" cuadrada La prue!a \" cuadrada (ace uso de la d"str"!uc"%& del #"s#o &o#!re para pro!ar la !o&dad del a8uste al co#parar el estad6st"co de prue!a Jo1 co& el valor e& ta!las de la #e&c"o&ada d"str"!uc"%& \" cuadrada co& v +rados de l"!ertad u& &"vel de s"+&"4"ca&c"a al4a.
27
CONCLUSI@N
28
BIBLIOGRA?IA •
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