INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS
UNIDAD 7 GENERALIDADES 1.2. Descripción del Tren Motriz: ¿Qué es un engrane? Los enganes se estudian porque LA TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO ROTATORIO DE UN EJE A OTRO que se presenta practicamente en todas las maquinas imaginables. Los engranes constituyen uno de los mejores medios disponibles para transmitir este tipo de movimiento.
Nomenclaturas. Los engranes rectos sirven para transmitir movimiento rotatorio entre ejes paralelos; por lo común son cilíndricos y los dientes son rectos y paralelos al eje de rotacion, a continuación en la figura 1, se muestran las partes de un engrane recto: Circulo de paso.- es un círculo teórico sobre en que generamente se basan todos los cálculos. Los círculos de paso de un par de engranes acoplados son tangentes entre sí. Pinón.- es el engrane más pequeño de los dos engranes acoplados; el más grande se llama casi siempre el Figura 1. Engranes Recto. engrane. Paso circular (𝑷𝒄 ).- es la distancia (en pulgadas) medida sobre el círculo de paso, que va desde un punto sobre los dientes hasta un punto correspodiente sobre un diente adyacente. Paso diametral (𝑷).- es el número de dientes que el engrane por pulgada de diámetro de paso. Las unidades del paso diametral son el reciproco de pulgadas. Nótese que en realidad no se puede medir el paso diametral sobre el engrane propiamente dicho. Módulo (𝒎).- es la razón del diámetro de paso al número de dientes. La unidad de longitud acostumbrada es el milímetro. El módulo es el índice del tamaño del diente en el SI (Sistema Internacional), en tanto que el paso diametral sólo se emplea con las unidades comúnmente empleadas en Estados Unidos (Sistema Ingles). Addendum o cabeza (𝒂).- es la distancia radial entre el borde superior y el cículo de paso. Dedendum o raiz (𝒃).- es la distancia radial que va del borde inferior hasta el cículo de paso. Altura total (𝒉𝒕 ).- es la suma del addendum y el dedendum.
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS Los engranes helicoidales se usan para transmitir movimiento entre los ejes no paralelos y paralelos. Cuando se emplean con ejes no paralelos reciben el nombre de engranes helicoidales cruzados. Las forma de los dientes de un engrane helicoidal es un helicoide de involuta, esto es, si se corta un trozo de papel dándole la forma de un paralelogramo y se enrolla alrededor de un cilíndro, el borde angular del papel se convierte en una hélice. Si a continuación se desenrolla el papel, cada punto de la orilla angular genera una curva involuta. La superficie obtenida cuando cada punto de la orilla genera una involuta recibe el nombre de helicoide de involuta. (Figura 2)
Figura 2. Engrane Helicoidal
Las formulas que utilizaremos son: 𝑃= Donde: P.- Paso Diametral (Dientes por Pulgada) N.- Número de dientes. d.- Diametro de Paso (Pulg., o mm) m.- Módulo (mm)
𝑁 𝑑
𝑚=
𝑑 𝑁
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Tipos de engranes. Existen diferentes tipos de engranes como se ve en la siguiente figura 3.
Figura 3. Tipos de Engranes
Componentes principales de un Tren Motriz. Los trenes motrices tambien llamados trenes de mecanismos son todos aquellos mecanismos que se disponen en diversas combinaciones en serie y en paralelo, de tal manera que el elemento impulsado de uno de los mecanismos es el impulsor de otro. (Figura 4) Un tren de engranes es una serie de conjuntos de engranes coplados. Los trenes de engranes se utilizan comúnmente para lograr reducciones de velocidad significativas. Muchas fuentes de potencia mecánica, como los motores de combustión interna, las turbinas y los motores eléctricos, operan en forma eficiente a altas velocidades (1800 − 10,000 𝑟𝑝𝑚). Muchas apliaciones de potencia, como las puertas automáticas de los estacionamientos, las ruedas impulsoras de los automóviles y los ventiladores de techo, requieren bajas velocidades (10 𝑎 100 𝑟𝑝𝑚) para su operación. Por ello, la reducción de grandes velocidades es un requerimiento usual, donde el uso de trenes de engranes es muy común.
Figura 4. Tren de Engranes en paralelo simple.
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Clasificación y principales configuraciones del tren motriz. La razón de velocidades angulares es un término utilizado para describir la cantidad que resulta cuando la velocidad angular de un elemento impulsado se divide entre la velocidad angular del elemento impulsor, o sea, 𝑒 = 𝜔41 ⁄𝜔21. Pero en el caso de los trenes de engrajes rectos en cuestiones de velocidades angulares, se le conocera como el valor del tren y la ecuación será: 𝑒=
𝑛𝐿 𝑛𝐹
Donde: e.- El valor del Tren motriz. nL.- La velocidad angular del ultimo engrane del tren de engranes. nF.- La velocidad angular del primer engrane del tren de engranes. También el valor del tren se puede obtener mediante la relación del número de dientes de los engranes, esto es, 𝑒=
𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂𝑆 𝐷𝐸 𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸𝑆 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝐸𝑁𝐺𝑅𝐴𝑁𝐸𝑆 𝐼𝑀𝑃𝑈𝐿𝑆𝑂𝑅𝐸𝑆 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂𝑆 𝐷𝐸 𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸𝑆 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝐸𝑁𝐺𝑅𝐴𝑁𝐸𝑆 𝐼𝑀𝑃𝑈𝐿𝑆𝐴𝐷𝑂𝑆
Observese que también se pueden utilizar los diámetros de paso en lugar del número de dientes. Para los engranes con ejes paralelos se usará la siguiente convención de signos:
Si el último engrane gira en el mismo sentido que el primero, e es positivo. Si el último engrane gira en sentido opuesto al primero, e es negativo
Ejemplo: (De un TREN DE ENGRANES RECTO) Calcúlese la velocidad y dirección de rotación del engrane 8 de la figura. ¿Cuál es la razón de velocidad o valor de tren? Como podemos ver en este ejemplo, el engrane 2 esta girando a 𝑛𝐹 = 1200 𝑟𝑝𝑚 (𝑐𝑚𝑟) y en un engrane impulsor (o motriz) que tiene contacto al engrane 3 que llamando engrane impulsado (o movido), como observamos el engrane 3 y 4 esta unidos mediante un eje
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS por lo tanto la misma velocidad angular del engrane 3 es el la misma que el engrane 4. Por lo tanto el engrane 4 se llamará engrane impulsor y esta en contacto con el engrane 5. Este engrane se le llamará o se le conocerá como un engrane loco. Esto es toma la función de engrane impulsado y de engrane impulsor a la vez, ya que tembién esta en contacto con el engrane 6 al cual llamaremos engrane impulsado. El engrane 7 esta en el mismo eje que el engrane 6, y se llamará engrane impulsor y el engrane 8 se llamará engrane impulsado. Esto lo vemos en las siguientes ecuaciones, 𝑒=
+𝑛81 +𝑛21
∴
𝑒=
𝑛81 ⋯ (1) 1200
Por el número de dientes o paso diametral, tenemos; +𝑁2 −𝑁4 +𝑁5 −𝑁7 𝑒= ( )( )( )( ) −𝑁3 +𝑁5 −𝑁6 +𝑁8 𝑒= (
+18 −15 +33 −16 )( )( )( ) −44 +33 −36 +48
𝑒 ==
142560 5 = 2509056 88
𝑒 = 0.0568 Pero como de la ecuación 1 tenemos que: 𝑒=
𝑛81 1200
∴
1200 ∗ 𝑒 = 𝑛81
𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜
1200 (0.0568) = 𝑛81
𝑛81 = 68.1818 𝑟𝑝𝑚 (𝑐𝑚𝑟) Problemas: En la figura se muestran los diámetros de paso de un juego de engranes rectos que forman un tren. Calcúlese el valor de tren y las velocidades y direcciones de rotación de los engranes 5 y 7.
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS La figura muestra un tren que consta de engranes rectos, cónicos y un gusano junto con su engrane. El piñón cónico está montado sobre un eje que se impulsa mediante una banda en V sobre poleas. Si la polea 2 gira a 1200 rpm en la dirección mostrada, encuéntrese la velocidad y dirección de rotación del engrane 9.
Úsese la transmisión de camión de la figura y una velocidad de entrada de 3000 rpm. Encuéntrese la velocidad del eje motriz para cada engrane de avance y para el engrane de reversa.
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS Una tranasmisión simple de tres velocidades y una reversa se muestra en la figura. El flujo de potencia es el siguiente: (a) primera velocidad: el engrane 4 hace contacto para engranar con el engrane 7; la potencia fluye a través de los engranes 2, 5, 7, 4. (b) Segunda velocidad: el engrane 3 hace contacto para engranar con el engrane 6; la potencia fluye a través de los engranes 2, 5, 6, 3. (c) Tercera velocidad: el engrane 3 hace contacto directo con los dientes del embrague del engrane 2; una transmisión de impulso directa. (d) Engrane de reversa: el engrane 4 hace contacto para engranar con el engrane 9; la potencia fluye a través de los engranes 2, 5, 8, 9, 4. Un automóvil con esta transmisión tiene una relación diferencial de 3:1 y un diámetro exterior de llanta de 24 pulgadas. Determine la velocidad del motor para el carro bajo las siguientes condiciones: (i) el engrane de la primera velocidad y el automóvil están viajando a 15 mi/h; (ii) el engrane de la tercera velocidad y el automóvil están viajando a 55 mi/h; (iii) el engrane de la reversa y el automóvil viajan a 3.5 mi/h.
Componentes principales de un Tren Motriz. Los trenes de engranes rectos tienes los centros de los engranes sujetos a cuerpos fijos. En los trenes de engranes planetarios (se el conoce también como tren epicíclico), se elimina tal restricción, pues al eslabón que sostiene los centros de los engranes se le permite moverse. (Figura 5) Los trenes planetarios se usan para obtener grandes reducciones de velocidades en un espacio menor que el de un tren de engranes convencional (enganes rectos). Sin embargo, el mayor beneficio es la capacidad para modificar fácilmente el valor del tren. Como todos los eslabones son capaces de moverse, es factible modificar el vaor del tren al sujetar diferentes engranes o transportadores. En la practica, la conexión del eslabón fijo se realiza con mecanismos de freno o de embrague , con lo que libera un eslabón y fija otro. Por tal motivo, los engranes de trenes planetarios son muy comunes en las transmiciones automotrices.
Figura 5. Enganes Planetarios
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS Como el movimiento se asemeja a los planetas que giran alrededor del Sol de nuetro sistema solar, se aplicó a este sistema el término de tren de engranes planetarios. Al aplicar la comparación, el engrane central se conoce como SOL o SOLAR. Los engranes que giran alrededor del engrane solar se conocen como PLANETAS o SATELITES. Un TRANSPORTADOR o PIEZA PORTASATELITES mentiene a los enganes planetarios en órbita alrededor del sol. Por último, el tren suele estar encerrado en un engrane interno llamado ENGRANE ANULAR o DE ANILLO o CORONA. (Figura 6)
Figura 6. Tren de engranes Planetarios o Tren de enganes Epicícloidal
Clasificación y principales configuraciones del tren motriz. La razón de velocidades angulares es un término utilizado para describir la cantidad que resulta cuando la velocidad angular de un elemento impulsado se divide entre la velocidad angular del elemento impulsor, o sea, 𝑒 = 𝜔41 ⁄𝜔21. Pero en el caso de los trenes de engrajes rectos en cuestiones de velocidades angulares, se le conocera como el valor del tren y la ecuación será: 𝑒=
𝑛𝐿 𝑛𝐹
Donde: e.- El valor del Tren motriz. nL.- La velocidad angular del ultimo engrane del tren de engranes. nF.- La velocidad angular del primer engrane del tren de engranes. También el valor del tren se puede obtener mediante la relación del número de dientes de los engranes, esto es,
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS 𝑒=
𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂𝑆 𝐷𝐸 𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸𝑆 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝐸𝑁𝐺𝑅𝐴𝑁𝐸𝑆 𝐼𝑀𝑃𝑈𝐿𝑆𝑂𝑅𝐸𝑆 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝑁Ú𝑀𝐸𝑅𝑂𝑆 𝐷𝐸 𝐷𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸𝑆 𝐷𝐸 𝐿𝑂𝑆 𝐸𝑁𝐺𝑅𝐴𝑁𝐸𝑆 𝐼𝑀𝑃𝑈𝐿𝑆𝐴𝐷𝑂𝑆
Observese que también se pueden utilizar los diámetros de paso en lugar del número de dientes. Para los engranes con ejes paralelos se usará la siguiente convención de signos:
Si el último engrane gira en el mismo sentido que el primero, e es positivo. Si el último engrane gira en sentido opuesto al primero, e es negativo.
Para los terminos de velocidades angulares para un sistema de TRENES PLANETARIOS la relación de velocidades angulares y el valor del tren será: 𝑒=
𝑛𝐿 − 𝑛𝐴 𝑛𝐹 − 𝑛𝐴
Donde: e.- es el valor del tren de engranes. nF.- es la velocidad angular del primer engrane del tren planetario, rpm. nL.- es la velocidad angular del último engrane del tren planetario, rpm. nA.- es la velocidad angular del brazo del tren planetario, rpm.
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS Ejemplo: (De un TREN DE ENGRANES PLANETARIOS) En la siguiente figura se presenta un mecanismo conocido como el engrane de Humpage. Encuentre la relación de velocidades angulares 𝜔𝐴 ⁄𝜔𝐵 .
El procedimiento para este análisis se realiza primero en encontrar cual es la velocidad angular del brazo 6, por lo cual debemos tener la siguiente relación de velocidades angulares, esto es: engrane 5, brazo 6 y engrane 1; con respecto al análisis en relación de dientes engranes son: 5, 4, 3, 1. 𝑒=
𝜔𝐿 − 𝜔𝐴 𝜔1 − 𝜔6 = 𝜔𝐹 − 𝜔𝐴 𝜔5 − 𝜔6
Si consideramos que 𝜔1 = 0, y que 𝜔5 = 1. 𝑒=
0 − 𝜔6 ⋯ (1) 1 − 𝜔6
Toamdo la relación de dientes de engranes tenemos que: 𝑁5 𝑁3 36 70 𝑒 = ( ) (− ) = ( ) (− ) 𝑁4 𝑁1 30 84 𝑒=−
2520 = −1 2520
Tomando la ecuación 1, obtenemos que: −1 =
−𝜔6 1 − 𝜔6
−1(1 − 𝜔6 ) = −𝜔6
∴
(−1 + 𝜔6 ) = −𝜔6 𝜔6 =
∴
−1 = −2𝜔6
1 = 0.5 2
Ahora como sabemos cuanto es el valor del brazo 6, obtendremos el valor de la relación;
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS 𝜔𝐴 𝜔 ⁄𝜔𝐵 = 2⁄𝜔5 Por lo que, 𝑒=
𝑒=
𝜔𝐿 − 𝜔𝐴 𝜔2 − 𝜔6 = 𝜔𝐹 − 𝜔𝐴 𝜔5 − 𝜔6
𝜔2 − 1⁄2 𝜔2 − 0.5 = 1 0.5 1 − ⁄2
⋯ (2)
Aquí observamos que la relación del tren cambia, entonces; 𝑁5 𝑁3 36 70 𝑒 = ( )( ) = ( )( ) 𝑁4 𝑁2 30 20 𝑒=
2520 21 = = 4.2 600 5
Tomando la ecuación 2, 4.2 =
𝜔2 − 0.5 0.5
2.1 + 0.5 = 𝜔2
∴
4.2(0.5) = 𝜔2 − 0.5 ∴
𝜔2 = 2.6
Por lo tanto, la relación será: 𝜔𝐴 𝜔2 2.6 = = = 2.6 𝜔𝐵 𝜔 5 1
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS Problemas. En el siguiente mecanismo, el engrane 2 gira a 60 𝑟𝑝𝑚 en la dirección mostrada. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane 12.
Se muestra el conjunto de engranes Para el tran de engranes, la flecha A gira a planetarios flecha de transmisión para el servo de un avión. Si la flecha A se conecta al motor, 300 𝑟𝑝𝑚 y al flecha B a 600 𝑟𝑝𝑚 en las direcciones determine la relación de velocidades angulares mostradas. Determine la velocidad y la dirección de rotación de la lfecha C. 𝜔𝐴 ⁄𝜔𝐵 .
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS En el tran de engranes planetarios, la flecha A gira La flecha A gira a 100 𝑟𝑝𝑚 en la dirección a 450 𝑟𝑝𝑚 y la flecha B a 600 𝑟𝑝𝑚 en las direcciones mostrada. Calcule la velocidad de la flecha C e mostradas. Clacule la velocidad de la flecha C e indique indique su dirección de rotación. su dirección de rotación.
El tren de engranes planetarios conicos mostrado, la flecha A gira en la dirección mostrada a 1250 𝑟𝑝𝑚 y la flecha B a 600 𝑟𝑝𝑚 en la dirección mostrada. Determine la velocidad de la flecha C en magnitud y dirección.
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1.3. Análisis de par motor y potencia en un tren motriz Engranes rectos. En la siguiente figura se muestra un piñón con centro en O2 que gira en el mismo sentido del movimiento de las manecillas de reloj, a n2 (rpm), y que la impulsa un engrane con centro en O3, a n3 (rpm). Las reacciones entre los dientes ocurren a lo largo de la línea de presión AB. La acción del piñón sobre el engrane se ha remplazado por la fuerza W que actúa en el punto de paso, en la dirección de la línea de presión. Puesto que el engrane está sostenido por su eje, debe actuar una fuerza F igual y opuesta, en la línea de los centros. Un análisis similar del piñón muestra las mismas observaciones son validas. En cada caso, las fuerzas tienen la misma magnitud y dirección opuesta, son paralelas y se encuentran en el mismo plano. Por consiguiente, constituyen un par. Nótese que el diagrama de cuerpo libre del piñón tiene las fuezas resueltas en componentes. En este caso se emplean con superdindices r y t para indicar las direcciones radiales y tangenciales con respecto al circulo de paso. El más rápido usar los mismos superíndices para las componentes de las fuerza F que ejerce el eje sobre el engrane. El momento de par W t y F t es el momento de torsión que se debe aplicar para impulsar al juego de engranes. Cuando el radio de paso del piñón se designa como r2, el momento de torsión es: 𝑇 = 𝑟2 𝑊 𝑡 Donde; T.- momento de torsión aplicado. (positivo para la dirección opuesta al movimiento de las manecillas de reloj). W t.- es la magnitud de la fuerza. Aquí observamos que la fuerza radial W r no tiene finalidad por lo que respecta a la transmisión de potencia. Por esta razón, W t se denomina con frecuencia fuerza transmitida. Si se dan caballos de potencia y la velocidad del piñón, se puede obtener la fuerza tangencial W t a partir de la ecuación:
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS 𝑊𝑡 =
(33000)(12) ℎ𝑝 2 𝜎 𝑟2 𝑛2
En donde, 𝑟2 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 [𝑖𝑛] 𝑦 𝑛2 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 [𝑟𝑝𝑚]. 𝑊 𝑟 = 𝑊 𝑡 tan ∅
𝑊=
𝑊𝑡 cos ∅
Donde es el angulo de presión. Engranes Helicoidales. En el manejo de las fuerzas sobre los engranes helicoidales, conviene determinar las fuerzas axiales, trabajar con ella de forma independiente y tratar el resto con las componentes de las fuerzas de las misma manera como se hacen en los engranes restos. La fuerza resultante W se divide en tres componentes 𝑾𝒂 , 𝑾𝒓 𝒚 𝑾𝒕 que son respectivamente, las fuerzas axiales, radiales y tangenciales. La fuerza tagencial es la transmitida y la que es efectiva en la transmisión del momento torsional. Donde el ángulo de presión transversal se designa como ∅𝑡 y el angulo de helice como , por lo tanto; 𝑾 = 𝑾𝒂 + 𝑾𝒓 + 𝑾𝒕 𝑾𝒂 = 𝑾𝒕 𝐭𝐚𝐧 𝝍 𝑾𝒓 = 𝑾𝒕 𝐭𝐚𝐧 𝝓𝒕 Engranes conicos rectos. En la determinación de las fuerzas sobre los dientes en los engranes conicos, se acostumbra a utilizar las fuerzas que ocurriran en el punto medio del diente sobre el cono de paso. La fuerza tangenciale resultante ocurre probablemente en algun punto entre el punto medio y el extremo grande del diente, pero sólo se tendrá un error pequeño al hacer esta suposición. Las fuerza taangencial o transmitida es: 𝑊𝑡 =
𝑇 𝑟
Donde r es el radio promedio del cono de paso, y T es el momento de torsión.
INGENIERIA MECÁNICA CURSO: MECANISMOS 𝑾 = 𝑾𝒂 + 𝑾𝒓 + 𝑾𝒕 𝑾𝒓 = 𝑾𝒕 𝐭𝐚𝐧 𝝓 𝒄𝒐𝒔 𝜸 𝑾𝒂 = 𝑾𝒕 𝐭𝐚𝐧 𝝓 𝒔𝒆𝒏 𝜸
