INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC
Alumnos: Salas Alvarado francisco Vásquez Ocegueda Salvador Barraza Domínguez Julio Joyce Banderas Hernández Edgar Ulises Díaz Aguiar Carlos Alberto Parra Arcila Pedro Alfonso Ortega Cortes Luis Francisco
Ing. Eléctrica Profesos: Alcantar Medina Kristhian Omar 19/febrero/2012
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también múltiple) también se utilizan. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales. Métodos para integrales unidimensionales
Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la
integral. Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando. Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de redondeo total. También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado. De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños. Métodos basados en funciones de interpolación
Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar f(x) por otro función g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La función que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas funciones son polinomios. Fórmulas de Newton-Cotes
La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k = n + 1 será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen k = n − 1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta. Regla del rectángulo El método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto (a,f(a)). Este método se llama la regla del rectángulo:
Regla del punto medio
Ilustración de la regla del punto medio.
Si en el método anterior la función pasa a través del punto este método se llama la regla del punto medio:
Regla de Simpson
Ilustración de la regla de Simpson. La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos de Simpson:
,
y
. Este método se llama regla
.
Reglas compuestas
Para cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo en algún número de subintervalos, hallando una aproximación para cada subintervalo, y finalmente sumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se
caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si bien globalmente dan valores más precisos de la integral, a costa eso sí de incrementar significativamente el coste operativo del método. Por ejemplo, la regla del trapecio compuesta puede expresarse como:
Donde
los
subintervalos
y
tienen
la
forma
con
.
Métodos de extrapolación
La precisión de un método de integración del tipo Newton-Cotes es generalmente una función del número de puntos de evaluación. El resultado es usualmente más preciso cuando el número de puntos de evaluación aumenta, o, equivalentemente, cuando la anchura del paso entre puntos decrece. ¿Qué pasa cuando la anchura del paso tiende a cero? Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o más anchuras de paso (extrapolación de Richardson ). La función de extrapolación puede ser un polinomio o una función racional. Los métodos de extrapolación están descritos en más detalle por Stoer y Bulirsch (Sección 3.4). En particular, al aplicar el método de extrapolación de Richardson a la regla del trapecio compuesta se obtiene el método de Romberg. Cuadratura de Gauss
Si se permite variar los intervalos entre los puntos de interpolación, se encuentra otro grupo de fórmulas de integración, llamadas fórmulas de cuadratura de Gauss. Una regla de cuadratura de Gauss es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluaciones del integrando, si el integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces). Algoritmos adaptativos
Si f no tiene muchas derivadas definidas en todos sus puntos, o si las derivadas toman valores muy elevados, la integración gaussiana es a menudo insuficiente. En este caso, un algoritmo similar al siguiente lo haría mejor: def integral(f, a, b): """Este algoritmo calcula la integral definida de una función en el intervalo [a,b], adaptativamente, eligiendo pasos más pequeños cerca de los puntos problemáticos.
h0 es el paso inicial.""" x=a h = h0 acumulador = 0 While x < b: if x+h > b: h = b - x if error de la cuadratura sobre [x,x+h] para f es demasiado grande: haz h más pequeño else: acumulador += integral(f, x, x+h) x += h if error de la cuadratura sobre [x,x+h] es demasiado pequeño: haz h más grande return acumulador
Algunos detalles del algoritmo requieren mirarlo con cuidado. Para muchos casos, estimar el error de la integral sobre un intervalo para un función f no es obvio. Una solución popular es usar dos reglas de integración distintas, y tomar su diferencia como una estimación del error de la integral. El otro problema consiste en decidir qué es «demasiado grande» o «demasiado pequeño». Un criterio posible para «demasiado grande» es que el error de la integral no sea mayor que th, donde t, un número real, es la tolerancia que queremos tener para el error global. Pero también, si h es ya minúsculo, puede no valer la pena hacerlo todavía más pequeño si el error de la integral es aparentemente grande. Este tipo de análisis de error usualmente se llama «a posteriori» ya que calculamos el error después de haber calculado la aproximación. La heurística para integración adaptativa está discutida en Forsythe et al (sección 5.4). Estimación del error conservativa (a priori)
Supongamos que tiene una primera derivada sobre valor medio para , para , da
acotada. El teorema del
para algún en dependiendo de . Si integramos en lados de la igualdad y tomamos valores absolutos, tenemos
de
a
en ambos
Se puede aproximar más la integral en el lado derecho metiendo el valor absoluto en el integrando, y reemplazando el término en por una cota superior:
Así, si aproximamos la integral
por su regla de integración
, el error no es mayor que el lado derecho de la ecuación. Integrales múltiples
Los métodos de integración que se han comentado hasta aquí se han diseñado todos para calcular integrales de una dimensión. Para calcular integrales de diversas dimensiones, un enfoque es expresar la integral múltiple como repetición de integrales de una dimensión haciendo uso del teorema de Fubini. Este enfoque lleva a una cantidad de evaluaciones de la función que crece exponencialmente a medida que crece el número de dimensiones. Se conocen dos métodos para superar esta llamada maldición de la dimensión. Montecarlo Artículo principal: Integración de Monte Carlo
Los métodos de Montecarlo y métodos de cuasi-Montecarlo son fáciles de aplicar a integrales multidimensionales, y pueden producir una mejor exactitud por el mismo número de evaluaciones de la función que en integraciones repetidas empleando métodos unidimensionales. Una clase grande de métodos útiles de Montecarlo son los llamados algoritmos de Cadena de Markov de Montecarlo, los cuales incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings y muestreo de Gibbs. Programas para integración numérica
La integración numérica es uno de los problemas estudiados más intensivamente en el análisis numérico. Entre las muchas implementaciones en programas se encuentran:
QUADPACK (parte de SLATEC) (código fuente): QUADPACK es una colección de algoritmos en Fortran para integración numérica basada en reglas gausianas.
GSL: GNU Scientific Library. La Librería Científica de GNU (GSL) es una librería numérica escrita en C que provee una amplia gama de rutinas matemáticas, como la integración por Montecarlo. ALGLIB: Es una colección de algoritmos en C# / C++ / Delphi / Visual Basic / etc., para la integración numérica]].
Se pueden encontrar algoritmos de integración numérica en GAMS class H2.
4.1.-Formulas de integración de Newton-Cortes Las fórmulas de integración de Newton-Cortes son los tipos de integración numérica más comunes.se basan en la estrategia de reemplazar una función aplicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar. I = ʃ f(x)dx Ξ ʃ n(x)dx Donde f n(x)= un polinomio de la forma: Fn(x)= ao + a1x +……+ an-1 + anxn Donde n es el grado de polinomio. Por ejemplo, en la figura “a” se utiliza un polinomio de primer grado (una línea recta) como una aproximación. En la figura”b” se emplea una parábola con el mismo propósito.
La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Existen formas cerradas y abiertas en la de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración figura “a”.
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. La
notación
,
es y
una
abreviatura
de
,
con
el grado. Regla del trapecio
Regla del trapecio
Ilustración de la regla del trapecio. La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.
Y el error es:
Siendo ξ un número entre a y b.
Las formas abiertas tienen limites de integración que se extienden mas aya del intervalo de los datos figura “b”.
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.
Regla del punto medio
Ilustración de la regla del punto medio. En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.
Y el error es:
Siendo ξ un número entre a y b.
4.1.1 Regla Trapecial La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado:
()
Una línea recta se puede representar como:
() () ()() () El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b:
() ()() ( )
El resultado de la integración es:
() ()() Que se denomina regla de trapecio.
Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une f(a) y f(b) en la figura 21.4. Recordando que la figura para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. Por lo tanto la integral aproximada es: I= ancho x altura promedio.
Figura 21.4 Representación gráfica de la regla del trapecio
Figura 21.5 a) b)
Formula del área de un trapezoide: altura por promedio de las bases. Para la regla del trapecio: el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide esta sobre su lado.
I= (b-a) x altura promedio Donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la función en los puntos extremos o [f(a) + f(b)]/2
Error de la regla del trapecio Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (figura 21.6). Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:
()()
Donde esta en algún lugar en el itnervalo de a a b. la ecuación anterior indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (con curvatura), puede ocurrir algún error.
La regla del trapecio de aplicación múltiple Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de la integración de a a b en varios segmentos, y aplicar el método a cada uno de ellos (figura 21.7). Las aéreas de los segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman formulas de integración, de aplicación múltiple y compuestas. La figura 21.8 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para obtener integrales de aplicación múltiple. Hay n + 1 puntos igualmente espaciados (x 0, x 1, x2, …, xn). En consecuencia, existe n segmentos del mismo ancho:
Si a y b se designan como x 0 y xn, respectivamente, la integral completa se representara como
() () () Sustituyendo la regla de trapecio en cada integral se obtiene
) ()() ()( ) ()( O agrupando términos;
()()()
Figura 21.7
Ilustración de la regla del trapecio de aplicación múltiple. a) Dos segmentos b) Tres segmentos c) Cuatro segmentos d
Cinco se mentos
() ()∑()() Como la sumatoria de los coeficientes de f(x) en el numerador dividido entre 2n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio ponderado de los valores de la funcion. De acuerdo con la ecuacion anterior, a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los dos puntos extremos f(x0) y f(xn). Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación multiple al sumar los er rores individuales de cada segmento, asi
Figura 21.8 Formato general y nomenclatura para
integrales
de
aplicación
Donde
() ∑ () ()
es la segunda derivada en un punto
localizado en el segmento i. Este resultado se simplifica al
estimar la media o valor promedio de la seg unda derivada
múltiple.
en todo el intervalo como:
∑ ()
() ∑ () ()
Por lo tanto, S f<(xi)> n-f< y la ecuacion
se describe como:
Asi, si se duplica el numero de segmentos, el error de truncamiento se divide entre cuatro.
()
Observe que la ecuacion de la ecuacion
∑ ()
es un error aproximado debido a la naturaleza aproximada
Ejemplo: Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral:
∫
Tenga en cuenta que el valor real es 1.4626…
Solución: Usando la fórmula directamente con los siguientes datos: a= 0; b=1;
()
Si se asume el área como un solo trapecio, se tiene que:
()+ ()* () Observando la Fig. 10 y teniendo en cuenta el resultado obtenido con el método trapezoidal tomando el área como un solo trapecio (1.85914), se puede comprobar que dicho valor es superior al valor real que es de 1.4626. El valor real es el área bajo la curva azul, que corresponde a la función dada y el valor calculado de 1.85914 corresponde al área bajo la curva de color rojo, que correspondería a la forma que toma el área asumiéndola como trapecio.
4.1.2 Método de Simpson 1/3 REGLAS DE SIMPSON. Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez mas finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. A las formulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson. Reglas de Simpson 1/3 La Regla de Simpson 1/3 resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación:
̃ () ()
Figura 21.10
()
Si se designan se representa por un polinomio de lagrange de segundo grado, [véase la ecuación (18.23), la integral se transforma en
()() )() () *( )( ) () (( )( ) )() ()+ (( )( ) Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente fórmula:
̃ ()()() () Donde, en este caso,
()
esta ecuación se conoce como regla de Simpson
1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de newton-cotes. Las especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación (21.14). Una alternativa para obtenerla se muestra en el cuadro 21.3, donde se integra el polinomio de newton- Gregory para llegar para llegar a la misma fórmula. La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar usando el formato de la ecuación (21.5):
̃ (⏟) ⏟() () ()
Donde (b+a)/2.
()
que esta dado por
Observe que, de acuerdo con la ecuación (21.15), el punto medio esta ponderado por 2/3; y los dos puntos extremos, por 1/6. Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3 tiene un error de truncamiento de (cuadro 21.3).
() ( ) ()
()()
O como
()
Donde esta en algún lugar en el intervalo de a . Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que en la regla del trapecio. No obstante , una comparación con la ecuación (21.6) indican que es más exacta de lo esperado en lugar de ser proporcional a la tercera derivada, el error proporcional a la cuarta derivada. Esto es porque, como se muestra en el cuadro 21.3 el termino del coeficiente de tercer grado se hace 0 durante la integración de la interpolación polinomial. En consecuencia, la regla de Simpson 1/3 alcanza una precisión de tercer orden aun cuando se base en solo tres puntos. En otras palabras, ¡da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se obtenga de una parábola!\ Obtención y estimación del error de la regla de Simpson 1/3
la regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de interpolación de newton-Gregory hacia adelante.
() () *() () () ()() () ()()()+
Observe que se escribió el polinomio hasta el término de cuarto grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperaría. La razón de esto se verá un poco después. Advierta también que los límites de integración van de por lo tanto, cuando se realizan las sustituciones para simplificar (recuerde el cuadro 21.2) la integral es de :
() () *() () () ()() () ()()()+
Que al integrarse tiene
* () () () () () + Y evaluando en los límites se obtiene
() *() () () () ()+
()
Observe el resultado significativo de que el coeficiente de la tercera diferencia dividida es 0. Debido a que , la ecuación (c21.3.1) se reescribe como:
() ()() () ()() () ⏟ ()()() ⏟ () Así, el primer término es la regla de Simpson 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Puesto que se suprime la tercera diferencia dividida, se obtiene el resultado significativo de que la formula tiene una precisión de tercer orden.
Aplicación simple de la regla de Simpson 1/3
Planteamiento del problema. Con la ecuación (21.15) integre
Desde
()
recuerde que la integral exacta es 1.640533
solución
()
()
()
Por lo tanto, la ecuación (21.15) se utiliza para calcular
̃ () Que representa un error exacto de
Que es aproximadamente 5 veces más que una sola aplicación de la regla del trapecio del (ejemplo 21.1)
() () () El error estimado es
Donde -24000 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo, obtenida usando la ecuación (PT6.4). Como en el ejemplo 21.1, el error esta aproximado de sin embargo, como este caso tiene que ver con un polinomio de quinto grado, el resultado concuerda.
()
La regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple
Así como en la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en varios segmentos de un mismo tamaño
la integral se puede representar como
() () () Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene
̃ ()( )() ()( )() ()( )() O, combinando términos y usando la ecuación (21.17)
4.1.3.-Método de Simpson 3/8 La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres. De esta manera, se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo En una manera similar a la regla se Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es: x3
x0
f ( x)dx
3h b
( f ( x0 ) 3 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ( x3 ))
Donde h = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 3/8 puede expresarse también de la siguiente forma: I ≈ (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3). 8
Ejemplo: Use la regla de Simpson 1/3 y 3/8 para integrar la siguiente función: f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5 Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533. - Por Simpson 3/8 Cada separación va a tener: x = (0 + 0.8)/3 = 0.2667 x0 = 0 x1 = (0 + 0.2667) = 0.2667 x2 = (0.2667 + 0.2667) = 0.5333 x3 = 0.8 f(x0) = f(0) = 0.2 f(x1) = f(0.2667) = 1.432724 f(x2) = f(0.5333) = 3.487177 f(x3) = f(0.8) = 0.232
Sustituimos los valores en la ecuación: I ≈ (b-a) f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3). 8 I ≈ 0.8 0.2 + 3(1.432724) + 3(3.487177) + 0.232. 8 I ≈ 1.519170
4.2 CUADRATURA DE GAUSS
En el capítulo 21 estudiamos fórmulas de integración numérica o cuadratura conocidas como ecuaciones de Newton-cotes. Una característica de estas fórmulas (con excepción del caso especial de la sección 21.3) fue que la estimación de la integral se basó en valores igualmente espaciados de la función. En consecuencia, la localización de los puntos que se usaron en estas ecuaciones eran predeterminados o fijos. Por ejemplo, la regla del trapecio se basa en obtener el área bajo la línea recta que une a los valores de la función, en los extremos del intervalo de integración. La fórmula que se utiliza para calcular esta área es I=(a-b)[ ( f( a ) + f( b ) ) / 2 ] Donde a y b son límites de integración y b - a =el ancho del intervalo de integración. Debido a que la regla del trapecio necesita los puntos extremos, existen casos donde la formula pueda dar un gran error. Ahora, suponga que se elimina la restricción de los puntos fijos y se tuviera la libertad de evaluar el área bajo una línea recta que uniera dos puntos cualesquiera de la curva.
Al ubicar estos puntos en forma inteligente, definiríamos una línea recta que equilibrara los errores negativo y positivo. Así que, llegaríamos a una mejor estimación de la integral. Cuadratura de Gauss es el nombre de una clase de técnicas para realizar tal estrategia. Las formulas particulares de cuadratura de Gauss descritas en esta sección se denominan fórmulas de Gauss-Legendre. Antes de describir el procedimiento, mostraremos que las fórmulas de integración numérica, como la regla del trapecio, pueden obtenerse usando el método de coeficientes indeterminados. Este método se empleara después para desarrollar las fórmulas de Gauss-Legendre. Cuadratura de Gauss En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada así debido a Carl Friedrich Gauss, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes w i para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:
Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.
Fórmula para calcular w i
Lista de coeficientes de w i y puntos x i para n=1,....,5 Número de puntos, n
Puntos, xi
Pesos, wi
1
x1=0
w1 =2
2
w1 =1 w2 =1
3
x1=-0.7745966 x2=0 x3=0.7745966
w1 =0.55555 w2 =0.88888 w3 =0.55555
4
x1=-0.861136311 x2=0.33998104 x3=0.33998104 x4=0.861136311
w1 =0.3478548451 w 2 =0.6521451549 w3 =0.6521451549 w 4 =0.3478548451
5
x1=-0.90617984 x 2=0.53846931 x3=0 x4=0.53846931 x5=0.90617984
w1 =0.23692688509 w 2 =0.4786286705 w3 =0.56888888w4 =0.4786286705 w5 =0.23692688509
Cambio de intervalos Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de aplicar la cuadratura de Gauss:
Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:
Ejemplo: Aproxime la integral f(x) = x3 + 2x2 de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.
n=2 2n − 1 = 2(2) − 1 = 3 Con n = 2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)
