UNIDAD 2 2.1) La velocidad de una partícula que se encuentra moviendo en el plano (x,y) está identificada por un valor numérico de 11,00 m s y un án!ulo de 110" 110" medidos respecto del e#e x positivo. $eterminar las componentes del referido vector velocidad.%
2.2) &n vector velocidad posee las si!uientes componentes' x % 21,00 unidades y y *+,00 unidades. allar' a) el valor numérico o ma!nitud del tal vector. -) la direccin del mismo.% a)
-)
2./) í en una operacin con dos vectores A y Ū se comprue-a que la ma!nitud de la suma y de la diferencia son i!uales, demuestre cmo resultan estar u-icados am-os vectores entre sí.% artir de la condicin de que los vectores & y sumados o restados dan un vector cuya ma!nitud no varía. ondicin dada en el enunciado. & 3 & % •
4l vector suma de 3 & puede 5allarse por el 6eorema del coseno.
3 & 2 3 &2 7 2 . & . cos (alfa) (1) •
4l vector resta de 7 & puede 5allarse por el 6eorema del coseno.
7 & 2 3 &2 3 2 . &
(2)
omo 3 & 7 & (por enunciado) •
e i!uala (1) a (2) y se despe#a el án!ulo (alfa).
7&3& 2 3 &2 3 2 . . & . cos (alfa) 2 3 &2 % 2 . . & . cos (alfa) 2 . . & . cos (alfa) % 2 . . & . cos (alfa) cos (alfa) % cos (alfa) 2. cos (alfa) 0 cos (alfa) 0 (alfa) 809 or lo tanto son vectores perpendiculares entre sí. 2.:) $ado dos vectores representados como' Ā (/ i 3 : j 7 * k) y Ê ( % i 3 j 3 2 k ), encontrar' a) el vector resultante. -) el valor numérico del vector resultante. c) el vector diferencia (Ā – Ê). d) el án!ulo conformado entre los vectores datos.% a)
-)
c) d)
2.*) 4n el análisis de un movimiento le 5an proporcionado los si!uientes vectores posicin correspondientes al vuelo de un aeroplano' Â = (3 i – 2j) y el Ū = (- i – 4j), y le piden calcular' a) (Ā + Ū). -) (Ā – Ū). c) ; Ā + Ū │. d) ; Ā – Ū │. e) la direccin que se ori!ina tanto en el vector (Ā + Ū) como en el vector (Ā – Ū), respecto del e#e 5ori
d)
e)
θ 2 -6
α
≅−71°41`+360° ≅288°
2
β 4
2.+) uenta con tres vectores definidos como' Ā=(6 i –8 j); B= ( - 8 i + 3 j ) y C= (26 i +1 j ), y verifica que cuando produce la si!uiente operacin' (a Ā + - B + C), o-tiene como resultado cero. $eterminar los valores de las cantidades a y -.%
2.=) &n repartidor de facturas de servicios p>-licos en su moto, de-e despla
a otro despla
2.B) &n vector como el Ā posee >nica componente ! ( - ) i!ual a /,00 cm de lon!itud y >nica componente " (+) i!ual a 2,00 cm de lon!itud. a) $ar la expresin del vector Ā empleando la notacin de vectores unitarios. -) $etermine el valor numérico y la direccin del vector Ā. c) CDué vector Ū cuando se lo suma al Ā nos da un vector resultante o neto sin componente en la direccin ! y una componente en la direccin " (-) de :,00 cm de lon!itud E.% a)
-)
α ≅ −33,7 º +180º =
146,3º
(án!ulo del se!undo cuadrante)
c)
2.8) $adas las coordenadas de dos (2) puntos tales como 1 (:F *F %=) y 2 (% /F +F 12), encontrar la distancia entre dic5os puntos.%
2.10) Las posiciones del movimiento de una nave espacial vienen identificados por los si!uientes vectores' Ā = (3 i – 4 j + 4 k) y # = (2 i + 3 j – $ k). $eterminar' a) el valor numérico de los vectores definidos como' C = (Ā + #) " D = (2 Ā – #). -) 4xprese los vectores C y D en funcin de sus componentes rectan!ulares.%
2.11) $ados los si!uientes vectores posicin' Ā = ( 3 i + 3 j ) , Ū = ( i – 4 j ) e % = ( - 2 i + & j ), aplicando el método de las componentes determinar' a) el valor numérico y la direccin de un vector definido como ' = ( Ā + Ū + % ). -) ídem anterior para otro vector expresado como' = ( - Ā – Ū + % ).% O
=
A + U + I
O
=
A − U + I =
=
( 3 + 1 − 2 ) i + ( 3 − 4 + 5) j
=
2i
( − 3 − 1 − 2) i + ( − 3 + 4 + 5) j
+
4 j
⇒
O
i + 6 j
= −6
=
⇒
2
O
2
+
=
4
2
=
4,5 ⇒ θ
( − 6) 2
+
6
2
=
=
arctg 2
8,5 ⇒ α
=
=
63,4º
arctg ( − 1)
2.12) $ado un vector A (o-licuo a!udo con la 5ori
@
%
? A
G
H
2.1/) $e acuerdo a lo estudiado y para los si!uientes casos exprese las propiedades que poseen como tales los si!uientes vectores A y B' a) A + B A – B. -) A + B C y A 3 B I C I. c) A 3 B C y A2 3 B2 C2. d) A + B A – B .% a) A3H A%H
⇒
H0
-) A3H y IAI3IHI II c) A3H y A23H2 2
⇒ α
⇒ α
09
809
=
135º
d) IA3HI IA%HI
⇒ α
809
2.1:) 4n un trián!ulo como el que se muestra de lados a y -, demuestre que el área del mismo tiene un valor de' A 1 2 ! .% a
h
α
-
2.1*) @os 5an dado dos vectores posicin representados como' /1 (/ i + : j – * k) y /2 ( - i + 2 j + + k). $eterminar' a) sus lon!itudes. -) su producto escalar. c) el vector suma. d) su producto vectorial.
2.1+) ontamos con el si!uiente sistema de ecuaciones vectoriales' ( + ) (11 i – j 3 * k) y ( – ) ( - * i + 11 j + 8 k ), y de-emos calcular lo si!uiente' a) el vector y el . -) el án!ulo que se conforma entre los vectores y ( + ).%
