UNIDAD 2: ELEMENTOS DE UNION INTRODUCCIÓN Existen diversos métodos de unión de las piezas de una máquina. De forma permanente o fija, mediante soldadura, o de modo semipermanente, por remachado o mediante pernos o tornillos de sujeción, y por otros diversos medios, tales como el uso de ahesivos. En esta unidad se tratará este tipo de problemas. 2.1 PERNOS, TUERCAS, TORNILLOS DE MAQUINAS Los tornillos de sujeción y pernos constituyen uno de los elementos más útiles de las máquinas y son de gran uso debido a que las uniones mediante pernos son desmontables. Su diseño varía desde el caso sencillo en que basta algún cálculo simple, hasta el otro extremo en que es necesaria una extensa experimentación destinada a simular alguna condición particular. 2.1.1 Nomenclatura La terminología usada es la siguiente, según se muestra en la figura 2.1. Paso: Es la distancia entre dos hilos adyacentes. Se designa por p. Avance: Es la distancia que recorre una tuerca paralelamente al eje de la rosca de un perno, cuando gira una vuelta completa. En el caso de una rosca simple, el avance es igual al paso; en el caso de roscas múltiples, el avance es igual a np, donde n es el número de hilos o entradas. Diámetros mayor, menor y de paso o medio, se muestran en la figura 2.1. Area de Esfuerzo de Tracción: Es el área calculada utilizando un diámetro promedio entre el diámetro menor y el diámetro de paso.
FIGURA 2.1. Formas de las roscas UN e ISO
2 La figura 2.2 muestra la configuración de la rosca métrica según ISO 68. El ángulo de la rosca es de 60º y las crestas de los hilos pueden ser aplanadas o redondeadas. Las roscas métricas se especifican indicando el diámetro nominal mayor y el paso, en mm. Por ejemplo: M 12 x 1,75.
p 8
H 8
H
Rosca Interna
p 2
5H 8
p 4 H 4
p 2 H 4
60º 30º
60º
paso p
H 0,5 3 p
Rosca Externa Diámetro menor básico Diámetro de paso Diámetro mayor básico FIGURA 2.2
Existen diversos tipos de roscas, con origen en los países de mayor desarrollo. Las de mayor uso son las roscas métricas, corriente y fina, la rosca UN (Unified National), corriente (UNC), y fina (UNF) de amplio uso en los países anglosajones, rosca trapecial, rosca redonda, roscas en diente de sierra, rosca cuadrada, etc. En las Tablas 2.1 y 2.2.se muestran los datos para algunas roscas métricas normales e inglesas, respectivamente. TABLA 2.1: ROSCAS METRICAS NORMALES
Diámetro Mayor Nominal, mm 1,6 2 2,5 3 3,5 4 5 6
Serie Corriente Area de Esfuerzo Paso, mm de Tracción, mm2 0,35 1,27 0,4 2,07 0,45 3,39 0,5 5,03 0,6 6,78 0,7 8,78 0,8 14,2 1 20,1
Serie Fina Paso, mm
Area de Esfuerzo de Tracción, mm2
3 8 10 12 14 16 20 24 30 36 42 48 56 64 72 80 90 100
1,25 1,5 1,75 2 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6 6 6 6
36,6 58 84,3 115 157 245 353 561 817 1.120 1.470 2.030 2.680 3.460 4.340 5.590 6.990
1 1,25 1,25 1,5 1,5 1,5 2 2 2 2 2 2 2 2 1,5
39,2 61,2 92,1 125 167 272 384 621 915 1.260 1.670 2.300 3.030 3.860 4.850
TABLA 2.2. Roscas del sistema inglés (Serie gruesa UNC) Diámetro nominal, pulg. 0 (0,06”) 1 (0.073”) 2 (0,086”) 3 (0,099”) 4 (0,112”) 5 (0,125”) 6 (0,136”) 8 (*) (0,164”) 10 (*) (0,19”) 12 (*) (0,216”) 1/4 5/16 3/8 7/16 1/2 9/16 5/8 3/4 7/8 1 1⅛ 1¼ 1⅜ 1½ 1¾
N° de hilos por pulgada 64 56 48 40 40 32 32 24 24 20 18 16 14 13 12 11 10 9 8 7 6
Area del Esf. De Tracción Pulg2 mm2 0,0026 0,0031 0,049 0,06 0,08 0,091 0,014 0,0175 0,0242 0,0318 0,0524 0,0775 0,1063 0,1419 0,1819 0,226 0,3345 0,4617 0,6057 0,7633 0,9691 1,1549 1,4053 1,4902
9,03 11,3 15,6 20,52 33,81 50 68,58 91,55 117,35 145,81 215,81 297,87 390,77 492,45 625,22 745,1 906,84 961,42
4 2 2¼ 2½ 2¾ 3 3¼ 3½ 3¾ 4
2,4982 3,2477 3,9988 4,934 5,9674 7,0989 8,3286 9,6565 11,0826
1.611,74 2.095,29 2.579,87 3.183,22 3.849,93 4.579,93 5.373,28 6.229,99 7.150,05
2.1.2 Tornillos de Transmisión Los tornillos de transmisión de fuerza o movimiento se utilizan para transformar el movimiento angular en movimiento rectilíneo, como ocurre en los gatos mecánicos, husillos de torno, prensas manuales, etc. En este tipo de tornillos generalmente se usa rosca cuadrada. En la figura 2.3a se muestra un tornillo de potencia general y en 2.3b uno de rosca cuadrada, que tiene un diámetro medio dm, un paso p, un ángulo de avance λ y un ángulo de hélice φ, que soporta una carga axial de compresión F. Obtendremos una expresión para el momento necesario para subir y para bajar la carga, como se muestra en la figura 2.4.
(a)
(b) FIGURA 2.3. Tornillo de potencia
5 A) Fuerzas generadas en los tornillos de potencia
W
W
(a)
(b) FIGURA 2.4
Para calcular la fuerza necesaria para levantar un peso W, podemos suponer que ésta es la misma que se necesitaría para hacer deslizar un bloque de peso W sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura 2.4, en la parte a) para subirla y en parte b) para bajarla. a) Para subir la carga:
F F
x
F N cos Nsen 0 F N ( cos sen )
y
W Nsen N cos 0 N
W cos sen
(2.1) (2.2)
De donde, para subir la carga:
L Dm Dm L cos sen tg FS W W W W L cos sen 1 tg Dm L 1 Dm Del mismo modo, para bajar la carga: L Dm Dm L cos sen FB W W W L cos sen Dm L 1 Dm
(2.3)
(2.4)
en que Dm es el diámetro medio de la rosca y L es el avance. El torque necesario para subir o para bajar la carga W es igual a la fuerza por Rm = 0,5Dm: De donde, para subir la carga:
6
TS
WDm Dm L 2 Dm L
(2.5)
Del mismo modo, para bajar la carga: TB
WDm Dm L 2 Dm L
(2.6)
Como el Torque no puede ser negativo, en los tornillos autobloqueantes se requiere que: L (2.7) Dm L 0 tg Dm Si el roce es cero: T0
WDm Dm L WL 2 Dm L 2
(2.8)
La eficiencia de la rosca es: T0 (2.9) T Las ecuaciones anteriores se han desarrollado para rosca cuadrada, la cual tiene las características que se muestran en la figura 2.5. e
p
p 2 p 2
D
Dm = D – 0,5p
Dr = D – p FIGURA 2.5, Características rosca cuadrada
Los tornillos de potencia, generalmente se apoyan sobre un rodamiento axial, o rodamiento de empuje, destinado a soportar las fuerzas axiales que se producen en los tornillos de potencia. También se puede usar un collarín de empuje, como se muestra en la figura 2.6. Si fc es el coeficiente de roce del collarín, el torque requerido para hacer girar el tornillo es: (2.10)
7
Fig. 2.6. Fuerzas sobre el rodamiento de empuje B) Análisis de esfuerzos en los tornillos de potencia B.1. Esfuerzo de corte por torsión sobre el cuerpo del tornillo (2.11) B.2. Esfuerzo de compresión sobre el tornillo (2.12) B.3. Esfuerzo combinado de Von Mises sobre el cuerpo del tornillo Suponiendo que el tornillo actúa como una columna corta, es decir, RE < 40. Si no es así, habrá que aplicar la ecuación de Johnson o de Euler, según corresponda. (2.13) B.4. Esfuerzos sobre la rosca del tornillo En la figura 2.7 se muestra un esquema de una rosca, con la fuerza actuando sobre el diámetro medio. El esfuerzo de apoyo de la rosca sobre el tornillo σB es: (2.14) Donde nt es el número de roscas en contacto.
8 La rosca trabaja en flexión con: y,
(2.15)
Entonces, la parte superior de la raíz de la rosca, tanto en el tornillo como en la tuerca es: (2.16) En el centro de la raíz de la rosca hay un esfuerzo cortante máximo: (2.17) El estado de esfuerzos en la parte superior de la raíz de la rosca es:
(2.18)
y
σB
Fig. 2.7. Fuerza sobre la rosca de un tornillo de potencia Con el estado de esfuerzos de las ecuaciones (2.18) se obtiene el esfuerzo de Von Mises σ’. Suele ser práctica habitual hacer una primera iteración despreciando el esfuerzo σZ, se calcula un diámetro referencia, el cual se aumenta ligeramente hasta cumplir que σ¨< σADM.
9 Ejercicio 2.1. (8.1 Budynas) Un tornillo de transmisión de potencia de rosca cuadrada tiene un diámetro mayor de 32 mm y un paso de 4 mm con roscas dobles y se va a emplear en una aplicación similar a la que se presenta en la figura 2.3a Los datos que se proporcionan incluyen f = fc = 0.08, dc = 40 mm y F = 6.4 kN por tornillo. a) Encuentre la profundidad de la rosca, el ancho de rosca, el diámetro de paso, el diámetro menor y el avance. b) Determine el par de torsión necesario para elevar y bajar la carga. c) Encuentre la eficiencia durante la elevación de la carga. d) Calcule los esfuerzos de torsión y compresión en el cuerpo. e) Encuentre el esfuerzo de apoyo. f) En el caso de la rosca, determine los esfuerzos flexionante en la raíz, cortante en la raíz y el esfuerzo de von Mises y el esfuerzo cortante máximo en la misma ubicación. SOLUCION: a) dm = d − p/2 = 32 − 4/2 = 30 mm dr = d − p = 32 − 4 = 28 mm l = np = 2(4) = 8 mm b)
c)
10 d)
e)
f) Estado de esfuerzos:
Esfuerzo de Von Mises:
De la observación del estado de esfuerzos se aprecia que, debido a que no hay esfuerzos cortantes en la cara x, σ X = 41,5 MPa es un esfuerzo principal, por lo que el estado de esfuerzo se reduce a esfuerzo plano en el plano x – y. Entonces:
Por lo tanto: σ1 = 41,5 MPa;
σ2 = 2,79 MPa;
σ3 = - 13,18 MPa
Con los esfuerzos principales se puede obtener el máximo esfuerzo de corte:
En la Tabla 2.3 se muestran los coeficientes de fricción de pares roscados, y en la Tabla 2.4 se muestran los coeficientes de fricción para collarines de empuje.
11 Tabla 2.3. Coeficientes de roce para combinaciones tuerca - tornillo
Tabla 2.4. Coeficientes de roce para collarines de empuje
2.1.2 Tornillos Normales de cabeza hexagonal En la figura 2.8 se muestra un tornillo estándar de cabeza hexagonal. Los puntos de concentración de tensiones están en la entalladura y en el inicio de la rosca. La longitud de las roscas es: L = 2D + 6 mm, para L ≤ 125 y D ≤ 48 L = 2D + 12 mm, para 125 < L ≤ 200 L = 2D + 25 mm, para L > 200
30º
R
H
Cabeza
Vástago
Hilo o rosca Golilla
Tuerca
Figura 2.8. Perno de cabeza hexagonal
12 En la nomenclatura convencional un perno es el que se muestra en la figura 2.8. En cambio, un tornillo no lleva tuerca y se usa, entonces, en un agujero roscado. En la figuras 2.9 se muestran distintas formas de cabezas de tornillos y pernos. En nuestro país, las Normas NCh 300, NCh 1184, NCh 1185, NCh 1186 y NCh 1230 entregan terminología, nomenclatura, designación, formas de representación, etc., de acuerdo a Normas ISO.
Figura 2.9. Cabezas típicas de tornillos para máquinas; a) Cilíndrica ranurada; b) Plana; c) Con casquillo hexagonal.
Fig. 2.10. Tuercas hexagonales
13
Fig. 2.11. Cabezas usadas en tornillos de máquinas
Fig. 2.12. Perno y llaves Allen (o Parker) 2.1.3 Uniones apernadas La función de los pernos de unión es que los elementos que se unen permanezcan sin separarse, razón por la que se requiere de una fuerza de apriete F 1. Al apretar la tuerca
14 el perno es traccionado y se mantiene la fuerza de sujeción; este efecto se llama pretensado o precarga del perno y aparece en la conexión después que la tuerca ha sido apretada, sin importar si se ejerce o no carga externa. Esta fuerza se determina experimentalmente a partir del roce en los hilos y de las dimensiones del perno. Según Shigley: 5T , o bien T = 0,2F1d d donde F1 es la fuerza de apriete en N; F1
(2.18)
T es el torque en N-m; d es el diámetro nominal del perno en m. Si no es posible calcular la precarga, el mismo autor recomienda las siguientes magnitudes para la precarga: F1 = 0,75σAT, para conexiones reutilizables F1 = 0,9σAT, para conexiones permanentes Donde σ es la tensión de fluencia del perno y AT es el área del esfuerzo de tracción. Los proveedores generalmente proveen Tablas de torques de apriete, de acuerdo al grado y diámetro del perno. Empaquetadura (O’ ring)
Golillas (arandelas)
(b) (a) Fig. 2.13. Uniones apernadas En la figura 2.13a se muestra una unión apernada típica. La carga resultante sobre el perno es: kb Fb F1 F2 k m kb donde kb y km son las rigideces (fuerza dividida por alargamiento, equivalente a la constante de un resorte) para el perno y para cada uno de los elementos que se unen, incluyendo empaquetaduras, golillas, etc., cuando corresponde. b es la deformación por unidad de carga para el perno.
15 F2 = P es la carga de tracción externa Recordemos que para un resorte F = kx, por lo que k
F . x
Por su parte, para un elemento en tracción:
F ; A
x ; L0
E F
AE x L0
Puede verse que la barra a tracción, en régimen elástico se comporta igual que un resorte de constante k = AE/L0. La figura 2.13b muestra otra carga en que el perno trabaja a tracción. En este caso se trata de un perno que aprieta la tapa de un recipiente a presión, penetrando en un agujero roscado. Un perno, con una longitud roscada y otra sin roscar, se comporta en forma equivalente a dos resortes en serie, cuya constante equivalente es: 1 1 k eq ki
Para el caso del perno:
kT
AT E ; LR
kd
Ad E LSR
donde: AT = Area transversal del esfuerzo de tracción, ya definida anteriormente; LR = Largo del perno en su parte roscada; Ad = Area transversal en el diámetro mayor del perno; LSR = Largo del perno sin roscar. Entonces:
L L 1 1 1 R SR k e kT k d AT E Ad E
ke
Ad AT E LR Ad LSR AT
2.1.4 Resistencia del perno En las especificaciones normales, la resistencia se expresa en términos de la resistencia mínima a la tracción o resistencia límite mínima. La carga límite (proof load), es la fuerza máxima que un perno puede resistir sin sufrir deformación plástica, por lo que la resistencia límite es el cuociente entre la carga límite y el área del esfuerzo de tracción (Tablas 2.1 y 2.2). En nuestro país la Norma NCh 206 consigna dos tipos de aceros para pernos corrientes, cuyas especificaciones se muestran en la Tabla 2.5.
16 TABLA 2.5. Mataeriales para pernos corrientes según NCh 206 MATERIAL
% C Máx
A 37 - 20 A 42 -23
0,22 0,23
%P Máx 0,04 0,04
%S Máx 0,015 0,015
σú kg/mm2 37 42
σ0 kg/mm2 20 23
% Alargamiento 22 20
En USA, tanto las Normas SAE como las ASTM especifican diversos grados da resistencia de los pernos. En la Tabla 2.6 se muestran las especificaciones correspondientes a la Norma SAE para dimensiones en pulgadas. La Tabla 2.7 muestra las especificaciones SAE para pernos en el Sistema Métrico. En este último caso, el número a la izquierda del punto, multiplicado por 100, representa aproximadamente, la resistencia a la tracción del material, mientras que el número a la derecha del punto indica 0,X la relación entre la tensión de fluencia y la resistencia a la tracción del material. Por su parte, ASTM utiliza Números ASTM que van desde el A 307, variando los tipos de acero y/o sus tratamientos térmicos. TABLA 2.6 Grados SAE para pernos con dimensiones en pulgadas Resistencia Mínima, kpsi (kg/mm2) Límite a la Última a la Mínima de Fluencia Tracción Fluencia (Perno) (Material)
Grado
Diámetro Pulgadas
1
¼ - 1½
33(23,1)
60(42)
36(25,2)
2
¼-¾ ⅞ - 1½ ¼ - 1½
55(38,5) 33(23,1) 65(45,5)
74(51,8) 60(42) 115(80,5
7(53,9) 36(25,2) 100(70)
4
5
¼-1 1⅛ - 1½
85(59,5) 74(51,8)
120(84) 105(73,5)
92(64,4) 81(56,7)
5.2
¼-1
85(59,5)
120(84)
92(64,4)
7
¼ - 1½
105(73,5)
133(93,1)
115(80,5)
8
¼ - 1½
120(84)
150(105)
130(91)
8.2
¼-1
120(84)
150(105)
130(91)
Material
Acero de bajo o medio carbono Acero de bajo o medio carbono Acero de medio carbono estirado en frío Acero de medio carbono templado y revenido Acero Martensítico de bajo carbono, templado y revenido Acero Aleado de medio carbono, templado y revenido Acero Aleado de medio C, templado y revenido Acero Martensítico de bajo C, templ. y revenido
Marca de Cabez a NO NO NO
17 TABLA 2.7 Grados SAE para pernos milimétricos
Designación Grado 4.6 4.8 5.8 8.8 9.8 10.9 12.9
M5 – M 36 M1.6 – M16 M5 – M24 M17 – M36 M1.6 – M16 M6 – M36 M1.6 – M36
Resistencia Mínima, MPa Límite a la Última a la Mínima de Fluencia Fluencia Tracción (Material) (Perno) 225 400 240 310 420 340 380 520 415 600 830 660 650 900 720 830 1.040 940 970 1.220 1.100
Tabla 2.8. Especificaciones ASTM para pernos de acero
18 En la Tabla 2.9 se dan equivalencias aproximadas entre pernos SAE métricos y en pulgadas, y de acuerdo a Norma ASTM. Tabla. 2.9. Equivalencias aproximadas de pernos
2.1.5 Carga en los pernos Sean: F1 = Precarga o fuerza de sujeción o de apriete F2 = (Fb)2 + (Fm)2 = Carga de tracción externa (Fb)2 = Parte de la carga externa tomada por el perno (Fm)2 = Parte de la carga externa tomada por los elementos de la unión Fb = (Fb)2 + F1 = Carga Total en el perno Fm = (Fm)2 – F1 = Carga Total en los elementos de la unión Las fuerzas, en función de las rigideces y de la fuerza de tracción externa son: Fb 2 k b F2 CF2 y, ( Fm ) 2 1 C F k m kb Experimentalmente se ha encontrado que C varía entre 0,1 y 0,2, es decir que los elementos conectados toman entre 80 y 90% de la carga externa. Torque de apriete
T
Fi d m 2
1 d m sec Fi c d c KFi d 2 d m L sec
(N-m)
Donde:
d tg sec 0,625 C K m 2d 1 tg sec En promedio, μ y μc son aproximadamente iguales a 0,15 y, en tal caso se obtiene que K = 0,2.
19 Tabla 2.10. Torques de apriete para ASTM A325 Bolt Size TPI 1/2 5/8 3/4 7/8 1 1-1/8 1-1/4 1-3/8 1-1/2
13 11 10 9 8 7 7 6 6
Tension Tightening Torque Range (ft lbs) (Min - Max) Min Max Plain Galv Waxed 12000 14000 100 - 117 125 - 146 50 - 58 19000 23000 198 - 240 247 - 299 99 - 120 28000 34000 350 - 425 438 - 531 175 - 213 39000 47000 569 - 685 711 - 857 284 - 343 51000 61000 850 - 1017 1063 - 1271 425 - 508 56000 67000 1050 - 1256 1313 - 1570 525 - 625 71000 85000 1479 - 1771 1849 - 2214 740 - 885 85000 102000 1948 - 2338 2435 - 2922 974 - 1169 103000 124000 2575 - 3100 3219 - 3875 1288 - 1550
Tabla 2.11. SAE GRADO 2
Bolt Size TPI 1/4 5/16 3/8 7/16 1/2 9/16 5/8 3/4 7/8 1 1 1/8 1 1/4 1 3/8 1 1/2
20 18 16 14 13 12 11 10 9 8 7 7 6 6
Proof Clamp Tightening Torque (ft lbs) Load (lbs) Load (lbs) Waxed Galv Plain 1750 1313 3 7 5 2900 2175 6 14 11 4250 3188 10 25 20 5850 4388 16 40 32 7800 5850 24 61 49 10000 7500 35 88 70 12400 9300 48 121 97 18400 13800 86 216 173 15200 11400 83 208 166 20000 15000 125 313 250 25200 18900 177 443 354 32000 24000 250 625 500 38100 28575 327 819 655 46400 34800 435 1088 870
20 Tabla 2.12. ASTM A449 / SAE GRADO 5
Proof Clamp Tightening Torque (ft lbs) Load (lbs) Load (lbs) Waxed Galv Plain 20 2700 2025 4 11 8 18 4450 3338 9 22 17 16 6600 4950 15 39 31 14 9050 6788 25 62 49 13 12050 9038 38 94 75 12 15450 11588 54 136 109 11 19200 14400 75 188 150 10 28400 21300 133 333 266 9 39250 29438 215 537 429 8 51500 38625 322 805 644 7 56450 42338 397 992 794 7 71700 53775 560 1400 1120 6 85450 64088 734 1836 1469 6 104000 78000 975 2438 1950 5 104500 78375 1143 2857 2286 4 1/2 137500 103125 1719 4297 3438 4 1/2 178750 134063 2514 6284 5027 4 220000 165000 3438 8594 6875 4 271150 203363 4660 11651 9321 4 328350 246263 6157 15391 12313
Bolt Size TPI 1/4 5/16 3/8 7/16 1/2 9/16 5/8 3/4 7/8 1 1 1/8 1 1/4 1 3/8 1 1/2 1 3/4 2 2 1/4 2 1/2 2 3/4 3
Tabla 2.13. ASTM A354-BD / SAE GRADO 8
Bolt Size TPI 1/4 5/16 3/8 7/16 1/2 9/16 5/8
20 18 16 14 13 12 11
Proof Clamp Tightening Torque (ft lbs) Load (lbs) Load (lbs) Lubricated Plain 3800 2850 6 12 6300 4725 12 25 9300 6975 22 44 12750 9563 35 70 17050 12788 53 107 21850 16388 77 154 27100 20325 106 212
21 3/4 7/8 1 1 1/8 1 1/4 1 3/8 1 1/2 1 3/4 2 2 1/4 2 1/2 2 3/4 3 3 1/4 3 1/2 3 3/4 4
10 9 8 7 7 6 6 5 4 1/2 4 1/2 4 4 4 4 4 4 4
40100 55450 72700 91550 120000 138600 168600 228000 300000 390000 480000 517650 626850 745500 874650 1014300 1163400
30075 41588 54525 68663 90000 103950 126450 171000 225000 292500 360000 388238 470138 559125 655988 760725 872550
188 303 454 644 938 1191 1581 2494 3750 5484 7500 8897 11753 15143 19133 23773 29085
376 606 909 1287 1875 2382 3161 4988 7500 10969 15000 17794 23507 30286 38266 47545 58100
Tabla 2.14. Torques de apriete para Pernos milimétricos
22 2.1.6 Uniones a Tracción con pernos Ejemplo 2.2. Se requiere una unión apernada de dos pletinas de acero ASTM A 36,de 5 m de largo cada una, la que debe soportar una carga de 3 ton. Usar un Factor de Seguridad de 2: a) Si no se requiere de apriete especial; b) Si se requiere de apriete suficiente para que no haya deslizamiento entre las pletinas (μ = 0,3).
SOLUCION: Resistencia del material:
0 36 kpsi 2.520 kg / cm 2 a) Si no se requiere de apriete, entonces el perno trabaja al corte.
Considerando un solo perno corriente de acero A 37 – 20 con σ0 = 20 kg/mm2; pero esta es la tensión de fluencia del material, por lo que consideraremos como tensión de fluencia del perno el 90% de σ0, es decir, 18 kg/mm2.
Por lo tanto:
0
P 3.000 18 ADM 2 4,5 A A FS 4
A = 666,7 mm2 De la Tabla 2.1 se observa que se requiere un perno M 36, con A = 817 mm2. Como este es un perno muy grande, probaremos con dos pernos, dispuestos como se muestra. Además mejoraremos la resistencia del perno, usando grado SAE 5.8 con σ0 = 38,7 kg/mm2. P 2 P 2
P d
23
0 P 1.500 38,7 ADM 2 9,7 A A FS 4 A = 154,8 cm2 De la tabla 2.1 podemos elegir un perno M 16 x 2, con A = 157 cm2 Cálculo de la pletina El espesor lo calcularemos usando el aplastamiento del agujero.
APL
P 1.500 1.500 25,2 2 ADM APL 0 12,6 A eD 16e 2 2
e = 7,44 mm Se adopta e = 8 mm. Calculamos el ancho de la pletina:
P 3.000 375 ADM 12,6 A 8b 2 D b 32
b = 61,76 mm;
Se adopta b = 80 mm
Cálculo de la distancia h:
P 1.500 2 ADM 6,3 ; A 8h
h = 29,76
Se adopta h = 30 mm, por lo que el traslape mínimo de las pletinas debe ser de 76 mm; se adopta un traslape de 80 mm. Entonces, la unión queda como se muestra.
24 8
80
32
24 80
OBS: Dos perforaciones para pernos M 16 x 2.
24 b) Para que no haya deslizamiento, el apriete debe proporcionar una fuerza de roce que equilibre la carga externa. Así: μFAP = 3.000
FAP
3.000 10.000 kgf 0,3
Si usáramos los mismos pernos M 16, la tensión sobre ellos sería:
10.000 63,7 kg / mm2 157
Como este esfuerzo es mucho más alto que la tensión de fluencia del perno (38,7 kg/mm2), es necesario rediseñar la unión. Por lo tanto, se mantiene el diámetro pero usaremos un perno grado SAE 10.9, con una tensión de fluencia de 830 MPa (84,6 kg/mm2). Puede observarse que la fuerza de apriete de 10.000 kgf equivale a 0,752σ 0, como se recomienda. El Torque necesario para este apriete según Tabla está entre 204 y 278 N-m. Según fórmula:
T 0,2DF 0,2 0,016 10.000 9,81 313,9 N m Ejemplo 2.3. Una forma alternativa de unir las dos pletinas, manteniendo la colinealidad de las fuerzas se muestra en la figura 2.14.
Figura 2.14. Unión de dos pletinas colineales
25 Ejemplo 2.4. Se va a utilizar un conjunto de tres pernos SAE grado 5 para proporcionar una fuerza de apriete de 12.000 lb entre dos componentes de una máquina; los tres pernos soportan la misma carga. Determinar el tamaño adecuado del perno si se van a someter a un apriete de 75% de su resistencia de prueba. Determinar, además el torque de apriete. SOLUCIÓN: Supondremos que D < 1”, por lo que de la Tabla 2.3, P = 85.000 psi, y ADM = 0,75 x 85.000 = 63.750 psi P 4.000 ADM A 0,0627 pu lg 2 A 63.750 De la Tabla 2.5 elegimos un perno de 3/8 pulgadas.
Torque:
3 T 0,2 DF 0,2 4.000 300 lb pu lg 25 lb pie 8 Según Tablas el torque fluctúa entre 29,5 y 33 lb-pie Ejemplo 2.5. En la figura se muestra una situación típica. Como ejemplo calculemos la rigidez del sistema, considerando los siguientes datos: Espesor de cada placa de acero : 20 mm Diámetro del perno de acero :20 mm Empaquetadura de cobre : Espesor: 3 mm Diámetro exterior: 40 mm Diámetro interior: 22 mm
Dm
Aquí se utilizará el modelo del cono para calcular la rigidez de los elementos que se unirán. El valor del ángulo puede variar entre 25 y 45°. Lo más usual es que se use 30 ó 45°. En este curso se utilizará 45°. Entonces: Para el perno: 22 2,1 10 6 AE kb 4 1,434 10 6 L 4 , 6 perno Para la empaquetadura:
k mE
AE L emp
4 2 2,2 2 4
1,2 106
0,6
17,53 106
26 Para las placas de acero, se aplica un modelo que considera una región afectada por la sujeción que se aproxima a dos troncos de cono, generados por las líneas trazadas a 45º. Entonces, la rigidez se calcula como si fuera un cilindro hueco de diámetro exterior Dm y diámetro interior 22 mm (en este caso). Cálculo de Dm: Φ 40 20
Φ 22
20
60
Entonces, para las placas:
k mP
AE L PL
6 2 2,2 2 4 4
2,1 106
12,85 106
Por lo tanto:
C
kb 1,434 0,045 kb k E k Pl 1,434 17,53 12,85
y,
Fb 0,045F1
Ejemplo 2.6. En otra aplicación veamos el caso de una tapa de caldera mostrada en la figura. Supongamos que la caldera tiene un diámetro interior de 40 cm y trabaja con una presión máxima de 20 kg/cm2; la estanqueidad de la unión requiere una presión de apriete en la empaquetadura de 300 kg/cm2. La empaquetadura es de cobre y tiene un diámetro exterior de 50 cm. Se determinarán el número de pernos y las especificaciones para los pernos. Considerar C = 0,3.
Empaquetadura
500 800 400
SOLUCIÓN:
27 Para el cálculo de la fuerza externa total sobre los pernos se considerará un área media entre el diámetro interior de la caldera y el diámetro exterior de la empaquetadura, es decir: D
40 50 45 cm 2
F2 pA 20
D 2 4
20 45 31.809 kgf 4 2
Para el cálculo de la fuerza de pretensión sobre los pernos consideraremos el área del anillo que forma la empaquetadura:
F1 pc A 300
50 2 40 2 4
300 900 212.058 kgf 4
Si consideramos C = 0,3, tendremos la carga total sobre los pernos: Fb CF2 F1 0,3 31.809 212.058 221.600,7 kgf
Seleccionemos, en primera instancia un perno SAE grado 4 y un Factor de Seguridad de 2. De la Tabla 2.3, la resistencia límite de este perno es de 45,5 kg/mm2. Por lo tanto: Fb 4.550 adm 2.275 A 2
A
221.600,7 97,46 cm 2 , 2.275
Para un perno de 1” el área de tracción es de 3,9077 cm2, por lo que el número de pernos grado 4, resulta ser:
n
AT 97,46 24,93 n 25 pernos A0 3,9077
El perímetro disponible es P = πDext = 80π = 251,3 cm, lo que significa que cada perno irá a una distancia de 10 cm, lo cual es aceptable (en la práctica se exige un espaciado entre 3,5 a 7 diámetros, es decir entre 7,8 y 15,6 cm). Cálculo del torque de apriete: T KFi d 0,2
212.058 9,81 25,4 422,7 N m 25 1.000
Esta magnitud del torque puede requerir de un sistema hidráulico o neumático de apriete. Además debe verificarse que el torque no exceda la tensión de fluencia en corte del material.
28 Ejemplo 2.7. Resolver el ejemplo 2.1 suponiendo que se aplica una carga externa adicional de 3.000 lb después que se aplicó la carga de apriete inicial de 4.000 lb a cada perno. Suponer, además, que la rigidez de los elementos que se unen es 3 veces la rigidez del perno. Calcular la fuerza en cada perno, en los elementos unidos y el esfuerzo final sobre los pernos. SOLUCIÓN: C
1 0,25 1 3
Fb F1 F2
kb 4000 0,25 3.000 4.750 lb k m kb
Fm 1 C F2 F1 0,75 3.000 4.000 1.750 lb
Es decir, el conjunto todavía tiene un apriete de 1.750 lb. Esfuerzo en el perno: El perno utilizado, de (3/8)”, tiene un área de 0,0775 pulg 2:
4.750 61.290 psi 0,0775
El 75% de la resistencia límite de prueba es 0,75 x 85.000 = 63.750 psi, por lo tanto pudiera ser necesario aumentar el diámetro, por ejemplo a (7/16)” con un área de 0,1063 pulg2. Así:
4.750 46.685 psi 0,1063
46.685 0,55 85.000
Por lo tanto, esta última elección es más segura que la anterior. Ejemplo 2.7. Resolver el problema anterior suponiendo que el ensamble tiene una empaquetadura de elastómero flexible que separa a los elementos y que la rigidez del perno, entonces es nueve diez veces más grande que la del ensamble. SOLUCIÓN: C
10 0,909 1 10
Fb F1 CF2 4000 0,909 3.000 6.727,3 lb Fm 1 C F2 F1 0,091 3.000 4.000 3.727 lb
29 Esfuerzo en el perno: Ahora el perno utilizado, de (7/16)”, con un área de 0,1063 pulg 2:
63.286 0,745 85.000
6.727,3 63.286 psi 0,1063
Se concluye que el perno de (7/16)” es adecuado para las nuevas condiciones.
2.1.7 Uniones con pernos sometidos a corte En la figura 2.15a se muestra el caso general de una unión sometida a corte. En las figuras siguientes se muestran diversas configuraciones con sus formas de falla. Figura 2.15b: Falla por flexión (del remache de diámetro D). En este caso, en que los elementos que se unen tienen un espesor importante, el Momento flector puede estimarse en Fe/2, donde e es el espesor total de los elementos que se unen. El esfuerzo se determina usando la fórmula clásica de la flexión. D Mc 2 32M 3 I D 4 D 64 M
Figura 2.15c: Corte puro (del remache de diámetro D).
F F A D2 4
Figura 2.15d: Rotura de uno de los elementos por tracción.
F A = e x (b – 2d) A donde A es el área neta de la sección transversal de la chapa.
Figura 2.15e: Aplastamiento de la chapa o del remache o perno. F A donde A es el área proyectada del perno: A = eD, siendo e el espesor de la chapa más delgada y D el diámetro del perno. Figuras 2.15f y g: Cizalle o desgarro en los bordes. Este tipo de falla se evita colocando el perno a lo menos unas dos veces el diámetro, desde el borde.
30
(a) Caso General
(b) Flexión (c) Corte puro
(f) Desgarre por corte
(e) Aplastamiento
(d) Falla por tracción
(g) Desgarre por tracción
FIGURA 2.15
2.1.8 Uniones con carga excéntrica P En el caso de cargas excéntricas, los pernos, además de resistir la carga de corte directa, deben resistir el momento que origina la carga excéntrica. La carga directa se distribuye en forma uniforme sobre cada perno, es decir: P F' n donde n es el número de pernos.
FIGURA 2.16
El momento que hace la carga P se distribuye formando pares de fuerzas sobre los pernos; la magnitud de estas fuerzas la designaremos por F”. Estas fuerzas son perpendiculares a los radios definidos con respecto al centro de gravedad de los pernos, por lo que debe localizarse dicho punto.
31 F”A A
B P/n
F”C
F”B
G
C
D F”D
Si designamos por rA, rB, rC, rD, los radios desde el centro de cada perno al centro de gravedad G, entonces el momento de la fuerza P es igual a la suma de los momentos de las fuerzas sobre cada perno. M FA" rA FB" rB FC" rC FD" rD Por otra parte, cada fuerza es proporcional a su radio, por lo que podemos escribir:
FA" FB" FC" FD" rA rB rC rD
FIGURA 2.17
De las dos ecuaciones anteriores podemos despejar la fuerza sobre el perno n-ésimo:
Fn"
Mrn ri2
Finalmente, se obtiene la fuerza resultante sobre cada perno y se calcula aquel que soporte la fuerza más alta.
Ejemplo 2.7. Se determinarán las especificaciones de los cuatro pernos para el montaje dado.
Se desea dimensionar el sistema de sujeción que se muestra en la figura. La chapa y la abrazadera son de acero A 37 – 24. Se utilizan pernos de acero grado 4. El factor de seguridad mínimo para todos los tipos de falla debe ser de 2.
P = 1.000 kgf 4 e
3
e
100
20
Cálculo de las cargas sobre los pernos: La fuerza de corte directa sobre cada perno es: 1.000 F' 250 kgf 4
100
250
FIGURA 2.18
32
F”A A
B F’B
F”C
F’A
F”B
G
C
D F”D F’C
El Momento que hace la fuerza P con respecto a G es: M = 1.000 x 0,8 x 30 M = 24.000 kg - cm La fuerza que origina el momento sobre cada perno es: M r 24.000 F" 848,5 kgf 4r 2 45 2 Para calcular las fuerzas resultantes sobre cada perno escribiremos las fuerzas individuales en forma vectorial.
FIGURA 2.19
FA' FB' FC' FD' 250 0,6 iˆ 0,8 ˆj 150i 200 j FA" 848,5 cos 45 iˆ sen45 j 600i 600 j
Luego: FA FA' FA" 750i 400 j FA 850 kgf
FB" 848,5 cos 45 iˆ sen45 j 600i 600 j Luego:
FB FB' FB" 750i 800 j FB 1.096,6 kgf
FC" 848,5 cos 45 iˆ sen45 j 600i 600 j Luego:
FC FC' FC" 450i 400 j FC 602,1 kgf
FD" 848,5 cos 45 iˆ sen45 j 600i 600 j Luego:
FD FD' FD" 450i 800 j FD 917,9 kgf
Por lo que el perno más cargado resulta ser el de la posición B, con 1.096,6 kgf. La fuerza de apriete debe ser suficiente para impedir el deslizamiento de los componentes que se unen. Es decir, en el límite, suponiendo un coeficiente de roce μ = 0,25:
33 F1 2FR = FB = 2μF1 F1
FB 1.096,6 2.193,2 kgf 2 2 0,25
FB FR FIGURA 2.20
Según Tabla 2.3 la Resistencia Límite a la Tracción de un perno grado 4 es de 45,5 kg/mm2, valor con el que procedemos a calcular el diámetro del perno, aplicando previamente el factor de seguridad.
F1 2.193,2 45,5 adm 22,75 A A 2
A 96,4 mm2
De la Tabla 2.1 elegimos un perno de 14 mm de diámetro con un área de 115 mm2, o bien, de la Tabla 2.4, un perno de 9/16”. Si fallara la pretensión los pernos trabajarán al corte puro, por lo que debe asegurarse contra este modo de falla.
FB 1.096,6 4,77 kg / mm2 2 A 2 115
Según la Teoría de Von Mises, ' 3 , por lo que el factor de seguridad con respecto a la falla por corte resulta ser: 45,5 45,5 FS 5,5 2 3 4,77 3 Aún cuando actuaran simultáneamente los esfuerzos de corte y el de tracción (lo que es prácticamente imposible), el esfuerzo efectivo sería: 2
F ' 1 3 2 A
19,072 34,772
20,78 kg / mm2
Por lo que el Factor de Seguridad, aún en esta situación muy poco probable es:
FS
0 45,5 2,18 ' 20,78
Espesor de la abrazadera. La tensión de contacto o de aplastamiento sobre la abrazadera es:
34 FB 1.096,6 24 adm 12 kg / mm2 2eD 2 14e 2 Se adopta e = 4 mm.
e 3,26 mm
La tensión de contacto en la columna es:
FB 1.096,6 3,92 kg / mm2 Adm eD 14 20
e
e h
Cálculo por desgarre. Para la abrazadera el área de desgarre es A = 2ae, por lo que: F 1.096,6 0,5 24 B adm 6 2ae 2 4h 2
100
h’ 20
De donde h > 22,8 mm. Se elige h = 25 mm FIGURA 2.21 Observamos que la distancia efectiva entre cada perno es de 86 mm, por que está asegurado que no habrá desgarre en esta posición. Debe observarse que la fuerza FB tiene una componente vertical y otra horizontal, por lo que el valor elegido para h sobredimensiona un poco el sistema. Para la columna:
FB 1.096,6 0,5 24 adm 6 h' e 20h' 2
De donde h’min > 9,14 mm. Se elige h’ = 25 mm, igual que en la abrazadera. Resistencia de la conexión. La sección A – A trabaja a tracción y flexión combinadas, originadas por las componentes horizontal y vertical de la fuerza P. Para el cálculo de las tensiones debe considerarse el área neta de la sección transversal.
A
Diámetro 14
164 600 100
A 25 4
800 kgf
FIGURA 2.22
35 Ancho de la abrazadera b: b = 100 + 2 x 25 + 2 x 7 = 164 mm El área y el momento de inercia van multiplicadas por 2 porque la abrazadera tiene dos orejas.
M = 800 x (25 + 10) = 28.000 kg-cm Area Neta AN = 2(0,4 x 16,4) – 2(0,4 x 1,4 x 2) = 13,12 – 2,24 = 10,88 cm2 Esfuerzo de Tracción:
T
600 600 55,15 kg / cm 2 AN 10,88
Momento de Inercia: 0,4 16,43 0,4 1,43 I 2 2 0,4 1,4 52 237,7 cm 4 12 12
El Esfuerzo de Flexión máximo de tracción se produce en la parte superior de la abrazadera:
F
Mc 28.000 8,2 965.92 kg / cm 2 : I 237,7
Por lo que el esfuerzo total es de 1.021,1 kg/cm2 y el Factor de Seguridad resulta ser:
FS
2.400 2,35 2 1.021,1
Se concluye que las dimensiones adoptadas son aceptables, aún cuando el pilar central debe verificarse al pandeo, para lo cual se requiere conocer la altura sometida a compresión. 2.1.9. Cargas asimétricas
36 En muchos casos la disposición de los pernos no es simétrica, como el ejemplo visto. En tal caso se debe calcular el centro de gravedad de la figura, CG, como se muestra en la figura 2.23.
Fig. 2.23. Disposición asimétrica de pernos.
F1 CG r1
F2 r2
2.1.10. Otras aplicaciones A) Acoplamientos (machones)
Fig. 2.24. Acoplamiento
37 Acoplamiento sometido a torsión pura:
Fig. 2.25. Moto-reductor/acoplamiento
F
Fig. 2.26. Conexión de tuberías
0,866R 0,5R
Tubería sometida a flexión; pernos del lado de tracción trabajan a tracción y a corte; los pernos del lado de compresión sólo trabajan a corte. q kg/m 20 m
38 Tubería de 1 m de diámetro que transporta agua, de OD = 1.016 mm, espesor 12 mm, Ix = 477.000 cm4, W = 9390 cm3; A = 379 cm2; k = 35,5 cm; q = 297 kg/m. Tubo ASTM A 53 – 73 Grado B, con σ0 = 24,6 kg/mm2, σU = 42,1 kg/mm2. Peso del agua: W = ρAL
ωT = 297 + 785,4 = 1.082,4 kg/m RA = RB =10.824 kgf MMax = 10.824 x 10 = 108.240 kg-m 10,824 x 106 kg-m
Momento flector considerando carga distribuida: M(10) = 54.030 kg-m
39
Factor de seguridad del tubo: (significa que podría disminuirse un poco el espesor del tubo. Deformación: y = 23,64 mm < yADM Fuerzas sobre los pernos M(7) = 49.205,1 kg-m La fuerza sobre los cinco pernos superiores tienen que equilibrar M(7): 49.205,1 = F1R + 2F2Rsen60° + 2F3Rsen30° sen30° = 0,5
El tubo tiene 508 mm de diámetro exterior; supongamos preliminarmente pernos M 20, por lo que se necesitan unos 40 mm para espacio de la tuerca y el perno. Supongamos R = 550 mm = 0,55 m. Entonces: F1 = 29.821,3 kgf Elegimos un perno grado SAE 10.9: 9.8 10.9
M1.6 – M16 M6 – M36
650 830
900 1.040
720 940
Donde, σ0 = 830 MPa = 84,7 kg/mm2 Con FS = 2: A = 703,3 mm2 De Tabla 2.1 se obtiene un perno M 36 x 4, con A = 817 mm2 > 703,3.
La fuerza de apriete para este perno es: Fap = 0,75σ0 x A = 0,75 x 84,7 x 817 = 51.900 kgf Fuerza total sobre el perno: FT = 51.900 + 0,2 x 29.821,3 = 57.864 kgf
40 Se debe ampliar R para acoger una tuerca M 36. Se adopta R = 570 mm, con lo cual F1 disminuirá ligeramente a 28.775 kgf. Esfuerzo de tracción:
El esfuerzo de corte directo es:
Entonces: El esfuerzo efectivo de Von Mises es:
CALCULO DEL ACOPLAMIENTOS (BRIDAS, FLANGES O MACHONES) V(1) = 10.824 – 1.082,4 x 1 = 9.742 kgf Cálculo del espesor del disco (de acero ASTM A 36; σ 0 = 25,2 kg/mm2; σADM = 12,6 kg/mm2: e = 9,6 mm; Se adopta e = 10 mm Los discos trabajan a la flexión con M = M(7) = 49.295,1 kg-m Se adopta un diámetro externo D = 1.300 mm
2.2 Unión con chavetas y pasadores En la figura 2.17 se muestran los tipos más habituales de chavetas y pasadores usados en el diseño y construcción de máquinas.
41
(a)
(b)
(d)
(e)
(c)
(f)
FIGURA 2.17
a) Chaveta cuadrada b) Chaveta redonda c) y d) Pasadores redondos e) Pasador cónico f) Pasador elástico tubular partido
Estos elementos se emplean para fijar sobre sus ejes piezas tales como poleas, engranajes, ruedas de fricción, etc. Las chavetas o cuñas se usan para transmitir movimiento de rotación; los pasadores, además, evitan los desplazamientos axiales. En la práctica, el espesor de la chaveta no debe exceder de un cuarto del diámetro del eje, debiendo ajustarse su longitud para resistir las tensiones de corte impuestas por el torque transmitido.
e
R
FIGURA 2.18
El torque que se genera en una transmisión de potencia de P CV girando a N rpm es: 71.620 P kg cm N La fuerza de corte sobre la chaveta es: T V R Si L es el largo de la chaveta, el área sometida a corte es eL.
Por lo tanto el esfuerzo de corte es:
V adm eL
T
42 En general, la mayor dimensión de la chaveta no debe exceder del 25% del diámetro del eje. 2.3 Uniones Soldadas En la actualidad se usan extensamente los procesos de soldadura como forma de unir una o más piezas. Si se adoptan todas las precauciones en cuanto a selección de los materiales que se van a unir, tipo de electrodos, parámetros del proceso de soldadura, precalentamiento, alivio de tensiones residuales, etc., el resultado de una unión soldada es perfectamente confiable. Los tipos más usuales de soldaduras y de las ranuras donde ellas se depositan se muestran en la Tabla de la figura 2.19. TIPOS DE SOLDADURA AL ARCO O POR GAS TIPO DE SOLDADURA CLASE DE RANURA CORDON FILETE MUESCA SIMPLE EN V MEDIA V EN U
EN J
FIGURA 2.19 En la figura 2.20 se muestran las diferentes posiciones usadas para soldar, de acuerdo con Norma AWS A 3.0.
43
Figura 2.20. Posiciones de soldadura En nuestro país, uno de los principales proveedores de elementos para soldadura es INDURA. En la Tabla 2.5 se muestra la composición química de electrodos ofrecidos por esta empresa, junto con su correspondiente designación según AWS. En la Tabla 2.6 se muestran las propiedades mecánicas del material de aporte. 2.3.1 Uniones a tope En la figura 2.21 se muestran algunas soldaduras a tope típicas. La zona en la que se deposita el cordón de soldadura se denomina garganta. El espesor del cordón h, se considera equivalente al espesor de la chapa más pequeña. La soldadura trabaja a tracción y a corte, como se muestra en la figura 2.22. Las tensiones correspondientes son: TRACCION
CORTE
h
FIGURA 2.21
44
TABLA 2.5: ELECTRODOS DE USO FRECUENTE
45
TABLA 2.6.
46
47 Refuerzo
L
h
FIGURA 2.22 La figura 2.22 muestra una unión a tope sometida a una carga de tracción F. Los esfuerzos, tanto de tracción (o de compresión)como de corte sobre la soldadura son:
SOLD
F ADM SOLD hL
SOLD 1,414
F ADM SOLD hL
h es el espesor mínimo de las planchas a unir y L es el largo efectivo del cordón. El valor de h no incluye el espesor del refuerzo. Este último sirve para compensar defectos (poros, grietas) de la unión; pero también hace de concentrador de esfuerzos, por lo que en el caso de cargas que producen fatiga, es usual que se elimine este refuerzo. 2.3.2 Uniones de filete o de traslape Los estudios de la Teoría de la Elasticidad y de Fotoeslasticidad muestran que los mayores esfuerzos se producen en la cara DB mostrada en la figura 2.23a, originando un esfuerzo normal y un esfuerzo tangencial.
τ h σx σn
FIGURA 2.23a
hcos45
F
48 El área sobre la que actúa el esfuerzo es A = Lhcos45º, y la componente normal de F sobre el área DB es Fcos45º, por lo que los esfuerzo normal y de corte son:
n
F cos 45º F Lh cos 45º hL
El cálculo de los esfuerzos principales permite obtener:
1, 2
n
F F F F F n 2 1,118 2 2hl 2hl hl 2hl hl 2 2
2
2
De donde.
1 1,618
F ; hl
2 0,618
F ; hl
max 1,118
F hl
Sin embargo, en la práctica se suele calcular el esfuerzo de corte en función del área de la garganta, por lo que:
F F 1,414 adm Sold hl cos 45º hl
La ecuación anterior es para un solo cordón. Naturalmente si son dos, como en la figura 2.23a, el área debe multiplicarse por 2. Otro caso se presenta en la soldadura de filete como la que se muestra en la figura 2.23b. F
L
h
F Figura 2.23b Igual que en el caso anterior:
F F 1,414 adm Sold hl cos 45º hl
49 2.3.3 Torsión en uniones soldadas Consideremos un perfil en voladizo, como en la figura 2.24, unido a una columna por dos cordones paralelos. En el apoyo hay una reacción que consiste en una fuerza de corte V = F, y un momento M = Fd. La fuerza de corte produce esfuerzo de corte primario: F ' A donde A es el área total de las gargantas.
F
r
r0
G
τ" τ' d
FIGURA 2.24 El momento produce un esfuerzo de corte secundario, por torsión del cordón, cuya magnitud es:
"
Mr J
donde r es la distancia desde el centro de gravedad del grupo de soldaduras al punto en estudio y J es el momento de inercia polar del grupo de soldaduras con respecto a G. Obsérvese que el Momento tiende a torcer el cordón, de la misma forma en que ocurriría en un ejes de sección rectangular sometido a torsión. Existen tablas que entregan el momento de inercia unitario Ju para diversas configuraciones. Entonces el momento de inercia resulta ser unitario, J u y como el ancho de la garganta es 0,707h, el momento de inercia del cordón puede determinarse a partir de las fórmulas preestablecidas, usando la siguiente relación: J = 0,707hJu En la Tabla 2.6 se muestran algunas de las relaciones más habituales para los momentos de inercia polares, para diferentes configuraciones.
50
TABLA 2.6 SOLDADURA T= Pa d
a
Area y Ubicación de G A = 0,707hd d x 0; y 2
Ju d3 12
P b d b d
y
A = 1,414hd b d x ; y 2 2
d 3b 2 d 2 6
A = 1,414hb b d x ; y 2 2
b b 2 3d 2 6
x
b G
d
y
A = 0,707h(2b + d) b2 d2 x ; y 2b d 2b d
x
2b d 3 b 2 b d 3
d
A = 0,707h(2b + d) b2 d x ; y 2b d 2
b 2d 3 d 2 b d 3
d
A = 0,707h(b + 2d) b d2 x ; y 2 b 2d
b d 3
d
A = 1,414h (b + d) b d x ; y 2 2
b
y x
b
y x
b
y
b d 4 6b 2 d 2 12b d
2b d
12
b 2d
12
6
x
G R
A = 1,414πhR
2πR3
51
2.3.4 Flexión en uniones soldadas
y F b b h x
d
z h
FIGURA 2.24 Del mismo modo que en la situación anterior, la reacción vertical en el apoyo produce F Mc un esfuerzo de corte primario ' . El momento produce un esfuerzo normal , A I donde I es momento de inercia basado en el área de la garganta de la unión soldada. También pueden obtenerse fórmulas del momento de inercia unitario, I u, para diversas configuraciones, como se muestra en la Tabla 2.6. El momento total se obtiene de la relación: I = 0,707hIu TABLA 2.7 SOLDADURA d
b d
Area y Ubicación de G A = 0,707hd d x 0; y 2
Iu d3 12
A = 1,414hd b d x ; y 2 2
d3 6
52 b G
d
y
A = 1,414hb b d x ; y 2 2
bd 2 2
x
b d
A = 0,707h(2b + d) b2 d x ; y 2b d 2
d2 6b d 12
d
A = 1,414h (b + d) b d x ; y 2 2
d2 3b d 6
d
A = 0,707h(b + 2d) b d2 x ; y 2 b 2d
2d 3 2 yd 2 y 2 b 2d 3
d
A = 1,414h (b + d) b d x ; y 2 2
d2 3b d 6
y x
b
y x b
y
x
b
y
x
A = 1,414πhR
G
2πR3
R
Finalmente, debe tenerse presente que la mayoría de las Normas vigentes recomiendan los esfuerzos admisibles para el material de aporte que señalan en las Tablas siguientes. En la Tabla 2.8 se muestra la resistencia admisible para distintos tipos de uniones soldadas. TABLA 2.8 TIPO DE CARGA Tracción Aplastamiento Flexión Compresión simple Corte
TIPO DE UNION A tope A tope A tope A tope A tope o de filete
ESFUERZO ADMISIBLE 0,6σ0 0,9σ0 0,6σ0 0,6σ0 0,4σ0
En la Tabla 2.9 se muestran los factores de reducción de la Resistencia a la Fatiga. TABLA 2.9
53 TIPO DE UNION A tope con refuerzo De filete transversal De filetes paralelos A tope en T
K 1,2 1,5 2,7 2
Algunos especialistas recomiendan espesores mínimos de la soldadura, de acuerdo al espesor de las placas que se sueldan Estos valores se muestran en la Tabla 2.10. TABLA 2.10. ESPESORES MINMOS DE SOLDADURA ESPESOR DE LA PLACA Pulgadas mm Hasta (1/2) Hasta 12,7 > (1/2) – (3/4) > 12,7 - 19 > (3/4) – 1,5 > 19 – 38,1 > 1,5 – 2,25 > 38,1 – 57,2 > 2,25 - 6 > 57,2 – 152,4 >6 > 152,4
ESPESOR MINIMO (h) DE SOLDADURA Pulgadas mm 3/16 4,8 1/4 6,4 5/16 7,9 3/8 9,5 1/2 12,7 5/8 15,9
Ejemplo 2.8. Calcular la fuerza admisible para la unión a tope de dos planchas de acero A 37 – 24, de 100 mm de ancho y 3 mm de espesor, soldadas con electrodo E 6010. SOLUCIÖN: Esfuerzos Admisibles:
En la chapa:
ADM = 1.400 kg/cm2
En la soldadura: En tracción En corte Fuerzas admisibles:
ADM = 0,6 x 44 = 26,4 kg/mm2 ADM = 0,4 x 44 = 17,6 kg/mm2.
En la chapa: Fadm A 14 100 3 4.200 kgf
Refuerzo
54 En la soldadura:
En Tracción: F sold Lh
Fadm 26,4 100 3 7.920 kgf
En corte:
1,414
F sold Lh
Fadm
17,6 100 3 3.734 kgf 1,414
Usando Von Mises: 2
2
F F F F ' 3 31,414 7 2,65 SOLD 26,4 Lh Lh Lh Lh 2
2
FADM = 2.993,5 kgf Por consiguiente, la fuerza admisible es de 2.993,5 kgf.
Ejemplo 2.9. Calcular la unión para las mismas planchas, pero con el cordón formando 45º con la fuerza.
F
F
SOLUCION: σ
La componente de la fuerza en la dirección normal al plano es: Fn = Fcos45º El área de la soldadura es: A
τ
3 100 cos 45º
Entonces los esfuerzos normal y de corte son:
55 F F cos 45 F cos 2 45º F kg/mm2 300 A 300 600 cos 45º F kg/mm2 600
n
Los esfuerzos principales son:
1, 2
n
F F F F F n 2 2 1.200 1.200 536,6 1.200 600 2
1
De donde.
2
F ; 370,8
2
2
F ; 970,64
max
2
F 536,6
Por lo tanto:
1
max
F 26,4 Fadm 9.789 kgf 370,8 F 1,414 17,6 Fadm 6.679 kgf 536,6
Usando Von Mises: 2
2
F F F F 7 2,65 SOLD 26,4 31,414 600 600 600 600
' 2 3 2
FADM = 5.977,4 kgf Pero la chapa sigue teniendo la misma resistencia por lo que Fadm = 4.200 kgf.
Ejemplo 2.10. Calcular la fuerza admisible para la unión soldada, la cual se ejecutará con un cordón por cada lado de la placa horizontal, de 5 mm de espesor, a todo lo ancho del perfil C.
56
12 F
r 50
152
124
Área = 22,77 cm2 Peso = 17,88 kg/m I x 851,5 cm 4 ; I y 67,23 cm 4
6,4 152
G xG =22,1
76 SOLUCION: El Momento Flector con respecto al CG es: 15,2 M F 12,4 20 F kg cm 2 De la Tabla 2.6: b d
y x
A = 1,414hb b d x ; y 2 2
b b 2 3d 2 6
57
El Area es: A = 1,414hb = 1,414 x 0,5 x 15,2 = 10,75 cm2 La fuerza de corte produce esfuerzo de corte primario:
' 1,414
F F 0,132 F A 10,75
El momento produce un esfuerzo do corte secundario, por torsión del cordón, cuya magnitud es: Mr 20 F 2,5 7,6 1.358F " 8,875F 2 2 J 0,707hb b 3d 0,5 15,2 2 3 5 2 6 2
Por lo tanto: τ = 9F
2
Y,
9F adm Sold 1.760 kg / cm 2 Fadm 195,6 kgf Considerando la resistencia de la chapa:
Mc 12,4 F 2,5 2,48F 1.400 Fadm 564,5 kgf I 1,2 53 12
Considerando Von Mises:
' 3 15,6F SOLD 2.640 De donde: FADM = 169,4 kgf Por lo tanto, la fuerza no debe exceder de 169,4 kg.
Ejemplo 2.11. Determinar la fuerza admisible sobre el montaje que se muestra, en el que se suelda un cajón cuadrado de 1,2 m de largo, de 100 x 100 x 3 mm (Peso = 8,96 kg/m; A = 11,4 cm2; I = 177 cm4). El espesor del cordón de soldadura es de 10 mm. SOLUCION:
58 y F
d
x
De la Tabla 2.7: b G
A = 1,414hb b d x ; y 2 2
d
y
bd 2 2
x
A = 1,414hb = 1,414 x 1 x 10 = 14,14 cm2
'
F F 0,071F A 14,14
Mc Iu
120 F 5 1.697,3F 1,697 F 2 bd 10 10 2 0,707 1 2
Esfuerzos principales:
1, 2 De donde.
1,697 F 1,697 F 2 2 0,071F 0,849 F 0,852 F 2 2 2 2 2
1 1,7 F ;
2
2 0;
max 0,852F
Por lo tanto: 1 1,7 F 2.640 Fadm 1.552,9 kgf
max 0,852F 1.760 Fadm 2.065,7 kgf Resistencia del perfil:
59
Mc 120 F 5 1.400 Fadm 413 kgf I 177
Usando Von Mises:
' 2 3 2
1,697 F 2 30,071F 2
1,701F SOLD 2.640
De donde: FADM = 1.551,6 kgf Por lo tanto, la fuerza admisible queda impuesta por la resistencia del perfil y será de 413 kgf. Sin perjuicio de lo anterior, el pilar vertical debe ser comprobado al pandeo. Ejemplo 2.12. Se usa un tubo de acero ASTM A 53 grado B (0,3% C y 1,2% Mn) como un recipiente para almacenar un gas a una presión de 20 kg/cm2. El tubo tiene 1,5 m de largo y pesa 160 kg/m, incluido el peso del gas. Las características del tubo se indican en la Tabla que se incluye. Por razones de espacio el tubo se soldará a una placa base de acero A 36, la cual se apernará a una viga - pilar laminada HEA 1000, con las características que se incluyen en el adjunto.
Características del tubo Diámetro Nominal Diámetro Exterior Espesor de pared Presión de prueba Peso propio 0 u
: 24” : 609,6 mm : 9,52 mm : 46,5 kg/cm2 : 141 kg/m : 2.400 kg/cm2 : 4.200 kg/cm2
Se requiere diseñar el sistema, especificando espesores de soldadura, diámetro de pernos y número de ellos, espesor de la placa base y verificación de la resistencia de la columna.
60
HEA EJE XX EJE YY Momento Radio Momento Radio Módulo Módulo de de de de resistente resistente Inercia Giro Inercia Giro
Dimensiones h
b
a
e
R
Espesor Espesor Espesor Sección Alma Ala Angulo Masa Sección KG/M CM² HEA MIM MIM MIM MIM MIM Alma Ala
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 400 450 500 550 600 650 700 800 900 1000
96 114 133 152 171 190 210 230 250 270 290 310 330 350 390 440 490 540 590 640 690 790 890 990
100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300
5,0 5,0 5,5 6,0 6,0 6,5 7,0 7,5 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,5 15,0 16,0 16,5
8,0 8,0 8,5 9,5 9,5 10,0 11,0 12,0 12,5 13,0 14,0 15,5 16,5 17,5 19,0 21,0 23,0 24,0 25,0 26,0 27,0 28,0 30,0 31,0
12 12 12 15 15 18 18 21 24 24 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 30 30 30
16,7 19,9 24,7 30,4 35,5 42,3 50,5 60,3 68,2 76,4 88,3 97,6 105,0 112,0 125,0 140,0 155,0 166,0 178,0 190,0 204,0 224,0 252,0 272,0
21,2 25,3 31,4 38,8 45,3 53,8 64,3 76,8 86,8 97,3 112,0 124,4 133,5 142,8 159,0 178,0 197,5 212,0 226,0 242,0 260,0 286,0 321,0 347,0
Ix
Wx
ix
ly
Wy
CM 349,0 606,0 1030,0 1670,0 2510,0 3690,0 5410,0 7760,0 10450,0 13670,0 18260,0 22928,0 27693,0 33090,0 45069,0 63722,0 86975,0 111900,0 141200,0 175200,0 215300,0 303400,0 422100,0 553800,0
72,8 106,0 155,0 220,0 294,0 389,0 515,0 675,0 863,0 1013,0 1260,0 1479,0 1678,0 1891,0 2311,0 2896,0 3550,0 4146,0 4787,0 5474,0 6241,0 7682,0 9485,0 11190,0
4,06 4,89 5,73 6,57 7,45 8,28 9,17 10,10 11,00 11,90 12,70 13,60 14,40 15,20 16,80 18,90 21,00 23,00 25,00 26,90 28,80 32,60 36,30 40,00
iy CM
134 231 389 616 925 1340 1955 2770 3668 4760 6310 6985 7436 7887 8564 9465 10370 10820 11270 11720 12180 12640 13550 14000
26,8 38,5 55.6 76,9 103,0 134,0 178,0 231,0 282,0 340,0 421,0 466,0 496,0 526,0 571,0 631,0 691,0 721,0 751,0 782,0 812,0 843,0 903,0 934,0
2,51 3,02 3,52 3,98 4,52 4,98 5,51 6,00 6,50 7,00 7,49 7,49 7,46 7,43 7,34 7,29 7,24 7,15 7,05 6,97 6,84 6,65 6,50 6,35
61
En la figura siguiente se muestra la disposición, incluyendo una fuerza excéntrica F = 100 kgf.
F = 100 kgf
SOLUCIÓN: Para el tubo: Diámetro Interior d = D – 2e = 609,6 – 2 x 9,52 = 590,6 mm Momentos de Inercia: Axial: I
D 64
4
d4
60,96 64
4
59,06 4 80.642 cm 4
Polar: J = 2I = 161.284 cm4 Esfuerzos en el tubo: En la unión con la placa base el tubo está sometido a flexión, torsión y a los esfuerzos producidos por la presión interior. Esfuerzo longitudinal:
60,96 20 pR 2 320,2 kg / cm 2 L 2e 2 0,952 Esfuerzo tangencial:
62 T = 2L = 640,4 kg/cm2 La fuerza F produce un torque T = F x R = 100 x 30,48 = 3.048 kg-cm Esfuerzo de corte debido a la torsión: TR 3.048 30,48 0,58 kg / cm 2 J 161.284 Esfuerzo de Flexión:
En el diagrama siguiente se muestran las cargas que producen flexión. M = 160 kg/m
1,5 m R
F
Y
R 160 1,5 100 0 R 340 kgf
M M 100 1,5 160 1,5 F
100
1,5 0 M 330 kg m 33.000 kg cm 2
Mc 33.000 30,48 12,5 kg / cm 2 I 80.642
Entonces, el esfuerzo total en la dirección x es: X = L + F = 320,2 + 12,5 = 332,7 kg/cm2 Estado de esfuerzos en la parte superior: T
X
Esfuerzo de Von Mises
63
'
2
1
2 T X2 T2 6 XZ 2
X
1
2
X2 T2 X T 3 2
' 332,7 2 640,4 2 332,7 640,4 3 0,58 2 550,7 kg / cm 2 El Factor de seguridad para el tubo es: 2.400 FS T 0 4,36 ' 550,7 Cálculo de la Soldadura De acuerdo a Tabla 2.9, trabajaremos en una primera aproximación con un espesor de soldadura de 6 mm. El cordón de soldadura está sometido a una fuerza de corte directa R = 340 kgf, a torsión y a flexión. Esfuerzo de corte directo: R 340 340 ' 4,19 kg / cm 2 A 1,414Rh 1,414 30,48 0,6 Esfuerzo de corte por torsión J = 0,707hJu Según Tabla 2.6:
G R
A = 1,414πhR
Ju = 2πR3
J = 0,707h x 2(30,48)3 = 0,707 x 0,6 x 2 x (30,48)3 = 75.473,7 cm4
"
TR 100 30,48 30,48 1,23 kg / cm 2 J 75.473,7
El esfuerzo de corte total es:
= ’ + ” = 5,42 kg/cm2
Esfuerzo de Flexión: De la Tabla 2.7: I = 0,707hIu I = 75.437,7 cm4
Iu = 2R3
64
Mc 33.000 30,48 13,33 kg / cm 2 I 75.437,7
Esfuerzo de Von Mises:
' 2 3 2 13,332 3 5,42 2 16,3 kg / cm 2 Como la resistencia a la fluencia de la soldadura es de 2.640 kg/cm 2, el tamaño del cordón resulta sobredimensionado. Cálculo de los pernos Consideraremos una placa base cuadrada de 800 mm de lado, y cuatro pernos, separados 700 mm. Los cuatro pernos resisten la fuerza de corte directa, y los de la parte superior, una carga de tracción originada por el Momento Flector. Esfuerzo de corte:
R 85 4 A A Fuerza de Tracción en cada perno: M = 33.000 = 2F’ x 35;
F’ = 471,4 kgf
Fuerza de apriete: El apriete debe ser suficiente para impedir el deslizamiento de la placa base con respecto al pilar. Si consideramos un coeficiente de roce μ = 0,25 tenemos:
FR
R 85 kgf 0,25F " F " 340 kgf 4
Consideraremos una fuerza total de tracción de 820 kgf. Probaremos con pernos SAE Grado 2, con una resistencia de prueba de 3.850 kg/cm2 (Tabla 2.3 para diámetro hasta ¾ pulgadas). Adoptaremos un Factor de Seguridad FS = 3. Por lo tanto:
ADM
3.850 1283,3 kg / cm 2 3
F 1.283,3 A
A
820 0,64 cm 2 64 mm 2 1.283,3
De Tabla 2.5 elegimos un perno de ½ “con una sección de 91,55 mm2. Se sobredimensiona porque todavía debemos incluir el esfuerzo de corte
65 Entonces los esfuerzos son:
85 92,8 kg / cm 2 0,9155
820 895,7 kg / cm 2 0,9155
Esfuerzo de Von Mises:
' 2 3 2 895,7 2 3 92,8 2 910 kg / cm 2 ADM Placa base La placa base se hará de acero A 36 con una resistencia a la fluencia de 36.000 psi, ó 2.520 kg/cm2. Calcularemos el espesor en base a la resistencia al aplastamiento. Consideremos una resistencia de 0,50 = 1.260 kg/cm2.
Apl
85 85 1.260 e 0,053 cm 0,53 mm eD 1.260 1,27
Elegimos, e = 6 mm debido al espesor del cordón de soldadura. Pilar El alma del pilar tiene un espesor de 16,5 mm por lo que resiste adecuadamente el aplastamiento.
Ejemplo 2.13. Se debe diseñar un sistema en voladizo, de largo L, para soportar un motor eléctrico de 140 HP que pesa 2 toneladas. El sistema consta de un pilar I 450 x 400 x 298 y dos canales 400 x 100 x 43,4, sobre las cuales se suelda una placa de acero de 650 x 500 x 15 mm. Las canales se fijan al pilar vertical utilizando pernos o soldadura, en cuyo caso se usa electrodo AWS E 6010. Todo el material será acero A 37 24. El apriete inicial de los pernos debe impedir el deslizamiento de la placa con respecto al pilar (Suponer μ = 0,3). Considerar un Factor de Seguridad de 2 para tener en cuenta el peso propio de las canales. Se requiere; a) Determinar el largo máximo L en m, de acuerdo a la resistencia de las canales; b) Determinar el espesor y longitud de la soldadura para tal opción, considerando soldadura en la parte superior e inferior de las canales; c) Número, dimensiones y grado de los pernos, para la opción apernada; d) Comprobar la resistencia al aplastamiento en los agujeros de los pernos tanto en el pilar como en las canales y el desgarre en las canales para las solicitaciones a que está requerida. Soldadura Peso Motor L, m 500
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PROPIEDADES: 100
A = 55,3 cm2, IX = 6.670 cm4; IY = 459 cm4;
x
Para el pilar: IX = 127.000 cm4 IY = 34.200 cm4 A = 380 cm2
Espesor e = 12 mm W x = 445 cm3 WY = 61,5 cm3
W X = 5.660 cm3 WY = 1.710 cm3 Espesor alma y ala e = 32 mm
X
SOLUCIÓN: a) Supondremos que cada canal soporta 1.000 kgf a la distancia L del empotramiento. M = 1.000 x 100L kg-cm
ADM
2.400 1.200 kg / cm 2 2
M 100.000 L ADM 1.200 WX 445
L = 5,34 cm Para simplificar se supondrá L = 5 m. b) Supondremos, en principio, que la longitud del cordón cubre todo el ancho del pilar (L = 400 mm = 40 cm). Por lo tanto, el Momento al centro del cordón es 5,2 m. b d
y x
A = 1,414hb b d x ; y 2 2
b b 2 3d 2 6
67 La fuerza de corte produce esfuerzo de corte primario:
' 1,414
F 1.000 25 A 40h h
El momento produce un esfuerzo do corte secundario, por torsión del cordón, cuya magnitud es: Mr 1.000 520 20 20 487,6 2 2 J h 0,707 40h 40 3 40 6 2
"
2
Por lo tanto: 512,6 h
512,6 adm Sold 1.760 kg / cm 2 h
h 0,327 cm 3,3 mm
Como el espesor de las canales es de 12 mm, se adopta h = 5 mm. Este resultado sugiere que la longitud de los cordones puede ser inferior a 40 cm. c) Sujeción con pernos 1.000 kgf
5.200
37 6
40 0
210 28 0
5.000
Corte primario: Consideraremos 4 pernos, localizados como se muestra. F'
r
1.000 250 kgf 4
F ' 250 j
1 350 280 2 210 2 mm 17,5 cm 2 2
M = 1.000 x 5,2 = 5.200 kg-m = 520.000 kg-cm
F"
M 520.000 7.428,6 kgf 4r 4 17,5
r 4
3
F ”
68
F F ' F" 250 j 7.428,6(0,6i 0,8 j ) 4.457,2i 6.192,9 j
F = 7.630 kgf Fuerza de apriete:
FAP F
FAP
7.630 25.433,33 kgf 0,3
Si seleccionamos pernos grado SAE 12.9, con σ0 = 970 MPa, tenemos:
970 25.433,3 9,81 49,4 A 2 A = 514,43 mm2 Elegimos un perno M 30 (Grado 12.9) con A = 561 mm2 d) Esfuerzos de aplastamiento:
AP
7.630 2.119,4 kg / cm 2 1,2 3
Como este esfuerzo es mayor que el admisible, el problema se resuelve soldando un anillo en cada agujero, de 12 mm de espesor, 30 mm de diámetro interior y, por ejemplo un diámetro exterior superior al hexágono de la cabeza del perno.
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