Unidad 1 Analisis Estructural

ALVAREZ PEREZ EMMANUEL

INDICE UNIDAD 1 DEFLEXIONES POR FLEXION 1.1. 1.1.

Ecua Ecuaci ción ón dif difere erenc ncia iall de de la curva curva elá elást stic ica. a.

1.2. 1.2.

Méto Método do de la dobl doble e int integ egra raci ción ón..

1.3 1.3.

Método Área rea mo momento nto.

1.4. 1.4.

Méto Método do de la viga viga conj conjug ugad ada. a.

1.5.

onclusiones.

1.!.

"ibliograf#a.

ALVAREZ PEREZ 1 EMMANUEL 1.1 ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA $osotros conocemos %ue la curvatura de la viga recta& cuando se somete a un momento fle'ionaste& el material de la viga se deforma& dando como resultado una curvatura de a viga& verificándose bajo ciertas condiciones su(uestas establecidas)

CURVATURA!

M ρ EI 1

=

…(I)

FOR"ULA DE LA ESCUADR#A! *btención de los esfuer+os fle'iónantes en vigas. My σ = I

a$ ,os (lanos transversales antes de la fle'ión (ermanecen transversales des(ués de la fle'ión& esto es& no -a torcedura. viga es -omogéneo e isótro(o  obedece la le de /oo0e. /oo0e. %u# %u# %$ El material de la viga su(onemos %ue E es la misma (ara tracción %ue (ara com(resión. c$ ,a viga es recta  tiene una sección transversal constante (rismática. d$ ,as cargas no ocasionarán ni tracción ni (andeo de la viga. Esta condición se cum(le& si el (lano de las cargas contiene al eje de simetr#a de la sección transversal  si las cargas están en este (lano. e$ ,a carga a(licada es un momento fle'ionante (uro. 1. ebido a %ue &"' var#a a lo largo del claro de la viga& la curvatura obviamente tender#a a variar. En consecuencia& ser#a bastante dif#cil  (esado determinar la forma com(leta de la curva elástica en todas las circunstancias. or lo tanto as# es necesario e'(resar la forma de la curva elástica en términos de sus coordenadas rectangulares x , y & si vamos a usar las condiciones de (endiente  fle'ión. fle'ión.

UNID UNIDAD AD 1 ANA ANALI LISI SIS S ESTR ESTRUC UCTU TURA RAL L

1

ALVAREZ PEREZ 1 EMMANUEL 1.1 ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA $osotros conocemos %ue la curvatura de la viga recta& cuando se somete a un momento fle'ionaste& el material de la viga se deforma& dando como resultado una curvatura de a viga& verificándose bajo ciertas condiciones su(uestas establecidas)

CURVATURA!

M ρ EI 1

=

…(I)

FOR"ULA DE LA ESCUADR#A! *btención de los esfuer+os fle'iónantes en vigas. My σ = I

a$ ,os (lanos transversales antes de la fle'ión (ermanecen transversales des(ués de la fle'ión& esto es& no -a torcedura. viga es -omogéneo e isótro(o  obedece la le de /oo0e. /oo0e. %u# %u# %$ El material de la viga su(onemos %ue E es la misma (ara tracción %ue (ara com(resión. c$ ,a viga es recta  tiene una sección transversal constante (rismática. d$ ,as cargas no ocasionarán ni tracción ni (andeo de la viga. Esta condición se cum(le& si el (lano de las cargas contiene al eje de simetr#a de la sección transversal  si las cargas están en este (lano. e$ ,a carga a(licada es un momento fle'ionante (uro. 1. ebido a %ue &"' var#a a lo largo del claro de la viga& la curvatura obviamente tender#a a variar. En consecuencia& ser#a bastante dif#cil  (esado determinar la forma com(leta de la curva elástica en todas las circunstancias. or lo tanto as# es necesario e'(resar la forma de la curva elástica en términos de sus coordenadas rectangulares x , y & si vamos a usar las condiciones de (endiente  fle'ión. fle'ión.


1

ALVAREZ PEREZ 2 EMMANUEL

onsideremos la curva de la figura& %ue se su(one re(resenta un segmento de la l#nea elástica de la viga.  una distancia “ x ” de un (unto de referencia& digamos el (unto “ dL ( tendrá un cambio de (endiente de un

“ O ” , el so(orte& un incremento de

dL= ρ dθ

e'tremo al otro de “dθ” . s#& e la cual obtenemos)

dθ 1 = dL ρ

…(II)

ara ángulos (e%ue6os 7esto es fle'iones (e%ue6as8) 

dy =tanθ =θ dx

dL≈dx

nali+ando estas 9ltimas e'(resiones e'(resiones en 7::8& tendremos)

( )

2

dθ dθ d dy d y = = = 2 dL dx dx dx dx

2

dθ d y = dL d x2

( α )

⟶

2

d y

( II ) :

dx

2

=

1

…(α)

…(III)

ρ

2

( III )

⟶

*rdenando)

d y M = 2 d x EI

( II ) : 2

d y M = EI 2 d xTURA UNID UNIDAD AD 1 ANA ANALI LISI SIS S ESTR ESTRUC UCTU RAL L

…

2

ECUACIÓN DE LA CURVA ELÁSTICA DE LA VIGA


) ! erivando la e'(resión ( A )  E)*re+i,- de crta-te (V )

V =

3

dM dx

d y V = EI 3 dx

;omando e'tremos) 3

d y M = EI 3 dx

…

 E)*re+i,- de a carga ( p ) ! erivando la e'(resión ( a )

;omando e'tremos)

4

dV p= dx

p= EI

d y 4 dx

…

4

d y p= EI 4 dx

/. CONVEN CONVENCIÓ CIÓN N DE SI0NOS! SI0NOS!

GIRO

ANTIORARIO 23$

(θ )

ORARIO 24$

23$ POSITIVO

FLECHA


3

ALVAREZ PEREZ 4 EMMANUEL ( δ )

24$ NE0ATIVO

E5ERCICIO 61.

7

EI =3 × 10 Kg / cm k =2  / m =2000 Kg / cm

50 Kg

se a(lica en el e'tremo de la viga =>ué (arte de esta carga

so(ortará el resorte?

SOLUCIÓN

E+tructura+ 7i*ere+t8tica+ de 19 grad

Estructura rimaria o :sostati+ada& es conjugada como su(erabundante o redundante RB

& la misma %ue será igual a) RB = R (δ B −0.1 ) cm RB =2000 Kg / cm! ( δ B −0.1 ) cm

UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL RB =2000 ! ( δ 4 B−0.1 ) Kg


or estática determinamos) M A  R A

∑ " =0 #

⟶

{

R A =( 50− R B ) Kg

M A =75 ( 50− R B ) Kg / cm

} MOMENTO

M = 50 − RB x −75 ( 50− R B) 2

EI

d y dx

2

=( 50 − RB ) x −75 ( 50− R B ) 2

dy x EI =( 50− R B ) −75 ( 50− R B ) x + $ 1 dx 2 EIy =( 50 − RB )

x

3

6

−75 ( 50 − R B )

x

:21$

2

2

+ $ x + $ 1

2

:2/$

álculos de las constantes de integración) de acuerdo a las condiciones de frontera. x =0 ⟶ θ A ⟶ (1 ) : $ 1=0 x =0 ⟶ y A ⟶ ( 2 ) : $ 2=0 x =75 cm ⟶ y B =−δ B ⟶ ( 2 )

UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL

5

ALVAREZ1PEREZ 6 EMMANUEL

− EI δ B=

75 50 −2000 ( δ −0.1 ) ] ( 75 ) − [ 50 −2000 ( δ −0.1 ) ] ( 75 ) + 0 ( 75 ) + 0 [ 6 2

7

−3 × 10 δ B = 311 250 000 δ B

3

2

B

B

1

75 50 −2000 δ + 200 ] ( 421875 )− [ [50 −2000 δ +200 ] (5625 ) 6 2 B

B

=35 156 250


6


δ B= 0.11295 cm δ B ≈ 0.113 cm

RB =2000 ( 0.113−0.1 ) Kg =2000 ( 0.013 ) RB =26 Kg

E5ERCICIO 6/ alcular la viga -i(erestática  construir los diagramas de momentos fle'ionantes  fuer+as cortantes. onsidere %ue & a& E  : son conocidos.

SOLUCIÓN E+tructura 7i*ere+t8tica de /9 grad ,ibero las restricciones debido al a(oo  %ue es un em(otramiento (erfecto.


7

1 - 1

2 - 2

3 - 3

&

Momentos genéricos en las secciones ALVAREZ PEREZ 8 EMMANUEL



Secci,-

1 - 1

0%x%a

M = M A x − M A

2

d y EI 2 = R A x − M A dx

2

EI

Secci,-

2 - 2

a%x%3a 2

EI

dy = R A x − M A x + $ 1 & & & & & & '(1) 2 dx 3

2

x x = R A x − M A − ( ( x − a) 2

d y dx

M = M A x − M A− ( ( x −a )

2

dy x ( 2 EI = R A − M A x − ( x −a ) +$ 3 & & & & & & ' ( 3) 2 2 dx

Secci,-

3 - 3

3 a %3 x % 4 a

EIy = R

x

− M

x

2

−

(

M =) ) ( x − a ) +$ 3 x + $ 4 & & & ' ( 4 ) 3

A A or simetr#a f#sico 7geométrica8 6  asimetr#a 2 6 de cargas

R A = R B M A = M B

∑ R A − ( + (− R B=0 R A = RB

demás) M A= M B 2

d y EI 2 =− R A ( 4 a− x ) + M A dx

2

(4 a− x ) dy EI = RESTRUCTURAL + M A x + $ UNIDAD 1 ANALISIS 8 5 & & & & & &( 5 ) A 2 dx


álculo de las constantes de integración de acuerdo a las condiciones de frontera (ara)

x =0 x =a x =a

dy =0 dx

(1):

⟹

y =0 dy dy = dx y*+ =dx d-. *+ y d-.

(2):

⟹

$ =0 $ =0

$ 1 =$ 3 ∴ $ =0 $ 1 a + $ 2=$ 3 a + $ 4 ∴ $ =0

( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , (4 )

@em(la+ando los valores de las constantes en las e'(resiones 2

tendremos) x =0

dy x EI = R A − M A x & & & & & & & & & &' ( I ) 2 dx

EIy = R A

x

3

6

− M A

x

2

2

& & & & & & & & & & ' ( II )

2

dy x ( 2 EI = R A − M A x − ( x −a ) & & & & '( III ) dx 2 2

Estas e'(resiones (or s# solas no resuelven el (roblema& (or%ue si bien nos brindan las ecuaciones de giros  flec-as& se encuentran en función de R A y M A A (or lo %ue resulta

( 5 ) , ( 6 ) &  calcular el valor de las constantes

necesario em(lear las e'(resiones $ 5 y $ 6

.

x =4 a ⟶

⟶

dy =0 ⟶ ( 5 ) dx

x =4 a ⟶ y = 0 ⟶ ( 6 ) $ 5

$ 5 =−4 M A a

⟶

@eem(la+ando el valor de

2

−8 M A a =−4 $ a +$ 5

en la e'(resión anterior& obtenemos) 2

$ 6 =8 M A a


9

6

ALVAREZ PEREZ 10 EMMANUEL @em(la+ando esos 9ltimos valores de las constantes en

( 5 )  ( 6 )  considerando

las e'(resiones anteriores 7:8& 7::8& 7:::8& 7:B8 tendremos) 2

dy x EI = R A − M A x & & & & & & & & & & & & & & & && '( I ) dx 2

EIy = R A

x

3

6

− M A

x

2

& & & & & & & & & & & & & & & & & ' ( II )

2

2

dy x ( 2 EI = R A − M A x − ( x −a ) & & & & & & & & & & & ' ( III ) dx 2 2

EIy = R A

x

3

6

− M A

x

2

2

( − ( x − a ) & & & & & & & & & & & .. ( IV ) 3

6

2

(4 a− x ) dy EI = R A + M A x − 4 M A a & & & & & & & & & & ' (V ) dx 2 álculo de las reacciones) y =0

( a

(IV):

6

dy dy ¿*+, = ¿d-. dx dx

4

= R A a−2 M A 3

( α

(III) y (IV) respe!"#$%e&!e 2

2

−2 ( a =−4 R a + 2 M a @esolviendo simultáneamente 7C8  7D8)

( / R A =

M =

UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 10

11 ( 16

3 ( a


E5ERCICICO 6;. alcular la flec-a en la sección   el giro en la sección " de la viga. onsidere %ue %& a& E& e : son conocidos.

CARGA TRIANGULAR , ( x ) , = x a , , ( x )= x , ( ) , ( x )= x a

CAR0A PARA<ÓLICA 0

0 2

y =−k x

(1)1

'&e e*e%s e!er%"&$r e+ #$+r e +$ &s!$&!e ,-./ pr +$s &""&es e r&!er$: P$r$ e+ p&! ,. e per!e&ee $ +$ r#$ !"e&e % re&$$s 0

y =− 0

x =a 2

−=−k ( a )


k =

 2

ALVAREZ PEREZ ,uego ecuación de la (arábola& (ara los ejes y 0  12 laEMMANUEL 0

y =

ara)

−, 2

x

!

x = x + a ⟶

!!

y =, ( x ) =, −(− y 0 )

0 2

(2)

0

= +

0

0

= −

0

y = y − , & ( / )

⟶

( α ) y ( / ) 2 (2 )

x 0 será)

y −, =

−, (

a

x − a )

2

2

( x − a ) a ( x −a ) y = 1− a ( x − a ) ,( x ) =, 1 − y = −

2

2

[

2

2

]

2

2

a

ESTRUCTURA ISOSTÁTICA •

∑ "# =0

⟶

RB = A1 + A1 RB =

,a 2

A 1= A.-ad-3 4 A 2= A.-ad- 3a (a.5673a

2

+ ,a 3

7

RB = ,a

•

+ ∑ M A =0 2− MA − A

( ) ( 2

1

3

A 1=

3

)

a − A2 a + a + R B ( 2 a ) =0


8

a

2

A 2= a

( )( ) ( )(

a ALVAREZ PEREZ 13 EMMANUEL − M − A

2

M A=

− a

−

3

M A=

−

3

2

3

12

13 12

7

3

3

) ( )(

a a + a + 8

7 6

a

2a

)=0

2

a + a

8

7

2

2

a −

3

2

, a + ,a 3

11

2

11

a

11

M A=−2 , a −

M A=

3

( )( )

2

−, a

3

2

2

,a

12

2

,a

(licación de la ecuación diferencial de la l#nea estática 

Secci,- 1 = 1

0%x%a

M = M A

[ ( ) ]( ) 1

2

,x ( x ) x 3 a

3

,x 13 2 M = M A − 1 p-.7 MA = , a 6a 12

M =

12

2

,a −

,x

2

2

2

d y 13 x 2 EI 2 =  a − 12 6a dx

EI

dy 13 2 , 0 = , a x − x + $ 1 & & & & & & & & & & & ( I ) 24 a dx 12

=

13

2

− ,x

5

2


ALVAREZ PEREZ 14 EMMANUEL 

Secci,- / = /

a % x % 2a

2

M = R B ( 2 a − x )−

[

onde  ( x )= 1− M = R B ( 2 a − x )−

M = R B ( 2 a − x )−

M = R B ( 2 a − x )−

M = R B ( 2 a − x )−

( , x ) ( 2 a− x ) 3

3

( x −a )

2

2

a

x ,

,

1

−

a

2

2

]

}[

3 8

( 2 a− x )

[ a −( x −2 xa +a )] ( 2 a − x )

2

[ a − x −2 xa+ a ] ( 2 a − x )

2

2

,

2

2

2

]

2

2

(− x +2 ax ) ( 4 a − 4 ax + x ) 2

4a

( 2 a − x )

2

, 4a

( 2 a− x ) e&!r"

]

( x − a )

2

4a

3

re 8

{ [ 2

x

2

2

2

, 2 2 3 4 3 2 2 3 M = R B ( 2 a − x )− 2,[−4 a x + 4 a x − x + 8 a x − 8 a x + 2 a x ] 4a M = RB (2 a − x )− − x 4 + 6 a x3 −12 a2 x 2 +8 a3 x 2

2 ( 2 a − x ) d y , 4 EI 2 = R B x + 6 a 3x 3−123 a2 x 23+ 8 a3 x ) , − 2 (− 2 2 2 [−412a a x +6 a x +8 a x − x ] M = d R x B ( 2 a − x )− 2 4a

2

(

)

( 2 a− x ) dy , − x 6 ax x x EI = RB − 2 + −12 x 2 + 8 a 3 + $ 3 dx 2 5 4 3 2 4a 2

EIy =+ R B

Orde-ada!

( 2 a − x ) 6

(

5

6

4

2

5

2

2

4

2

)

, − x 6 ax 12 a x x − 2 + − + 8 a3 + $ 3 x + $ 4 30 20 3 2 4a 2

(

)

( 2 a − x ) dy , − x 3 ax EI = RB − 2 + −4 a2 x 3 + 4 a3 x2 + $ 3 & ( III ) da 2 5 2 4a 2

( 2 a − x )

− x

5

6

4

3 ax


5 2

4

4

3

3

ALVAREZ PEREZ 15 EMMANUEL CONDICIÓN DE
•

x =0 2

dy =0 2 ( I ) 2$ = 0 dx

x = 20 2 y =0 2 ( IV ) :

(

)

6

, −64 a 3 4 0 = 0− + a6 x 32−a 6 x 16 + a6 x 8 + 2 a $ 3 + $ 4 2 30 10 3 4a

( 6

)

−, a −64 + 96 − + 32 + a $ + $ 0= 16 2 2

4a

30

10

(

3

3

6

0

=

− a −64 + 288 −480 + 230 2

4a

30

)+

4

2 a $ 3

+ $

4

6

−, a ( 64 )+ 2 a $ + $ 0= 3

2

4a

0

=

−64  a

4

4

+ 2 a $ + $ 3

120 8a

4

4 3

x =a 2

⟶

"""

= 2 a $ + $

4

dy dy / *+8*-.da= / d-.-c9a dx dx

(

2

)

5

a , −a 3 5 M A a− a =− RB − 2 + a −4 c5 + 4 c 5 + $ 3 24 a 2 5 2 4a ,

13 12

4

5

5

3

3

−2 a ,+a15 a7 ,+¿a ,a − + + 3

10 24

12

(

3

13 , a 40

¿ , − RB a − , ¿ M A a− a = 20 24 a , a 13 , a 4 a ,a − +2 =$

)=

2

3

(

3

3

12

24

3

(

200

−5 + 39

3

40

)

)

2

3

a =$ 3 120 UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 15

,a

3

234 120

=$

3

$ 3

M A=

13 12

7

RB = ,a

#

2

,a


$ 3 =

(B )

⟶

39

,a

"""

3

( A ) : 8

4

15

8

 a =2 a

4

15

,a −

(

117 60

117 60

)

3

 a + $ 4

4

, a =$ 4

−101 30

7

EIy = a 6

(

( 2 a − x )

3

6

{

) ( −



− x

2

6

30

4a

[

+

3 ax 10

6

5

4

)

−a x + a x + 2

4

"""

4

, a =$ 4

3

3

3

117 60

 a3 x −

]

6

101 30

4 117 101 , −a 3 a 4 4 δc = ,a − 4 + −a 6+ a3 x 3 + ,a − ,a 30 10 3 60 30 EI 36 4a 1

1

δc = EI

{

7

4

7

4

36

{

4

,a δc = EI

,a −

7 36

4

,a

−

4

4

120

118 120

+

[ −1+ 9−30 + 40 ] + 117 , a − 101 , a 60

117

−

60

4

30

}

}

101 30

{ [

}

]

,a 4 4 32+ 702 3 −,−54 5 4 5−494 5 }− ,117 a , a3 ^ , a δc =θ = 1 { 70 − 1212 a + a a a + a + 16 32 16 δc = =1.37 2 B 2 360 EI EI 5 2 60 4a

{( [) ( − − = { [ + ]+

]

3

} )

− a −32 117 θB = a + 24 −32 + 16 + 5 , 60 dy −7 EI ( 2 a−4 x ) − x 3 117 EI = ,a − + ax − 4 a x + 4 a x + ,a 1

2

dx

6

2

2

1

= θB EI

,a 4

32

5

8

3

4

5

4a

3

5

2

2

117 60

3

,a

}

UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 16 θB =

1

EI

{ [ 3

− a −32+ 40 4

5

]

+

117 60

3

a

}

3

3

2

3

60

}

 a4


θB =

θB =

1

EI

{

+

20

{ [

117 60

a

3

−, a −32+ 40

1

EI

4

3

a

θB =

3

−8  a

5

3

]

}

+

117 60

3

,a

}

−24 + 117 93

3

a

=1.55

a

3

CONDICIONES DE FRONTERA O DE


A*> ?,vi θA : 0

δ A =0

A*> @i

A*> E?*trad θA =0

θA : 0

δ A =0

δ A =0

1./ "BTODO DE DO
debajo de las tolerancias admisibles del trabajo %ue se va a reali+ar. ALVAREZ PEREZ 19 EMMANUEL simismo& en las vigas de (isos %ue tengan (or debajo cielo raso de eso o escalona& se suele limitar la defle'ión má'ima a 1F3!G de claro& (ara %ue no a(are+can grietas en el eso. Hna de las más im(ortantes a(licaciones del estudio de la deformación de las vigas es& (or otra (arte la obtención de ecuaciones de deformación %ue& junto con las condiciones de e%uilibrio estático& (ermitan resolver las vigas estáticamente indeterminadas.
terminación& o cambio de forma en las cargas re(artidas8& lo %ue dar#a lugar a ALVAREZ PEREZ 20 EMMANUEL dos integraciones (ara cada tramo & (or consiguiente dos constantes (ara cada tramo también. ,a determinación de estas constantes se -ace laboriosa  se está e'(uesto a errores. fortunadamente& estas com(licaciones (ueden evitarse escribiendo una 9nica ecuación de momentos válida (ara toda la viga& (ese a las discontinuidades de carga.





Ecuación de
entro de la am(lia variedad de funciones matemáticas e'istentes se ALVAREZ PEREZ 23 EMMANUEL encuentran algunas %ue (resentan com(ortamientos e'tra6os e ines(erados cuando se le asignan determinados valores a laFs variableFs inde(endienteFs. ic-o com(ortamiento se describe con el nombre de singularidad de la función. once(to intuitivo de continuidad :ntuitivamente se asocia la idea de continuidad de una función al -ec-o de no levantar el lá(i+ cuando se re(resenta la función. ,as discontinuidades generalmente se clasifican en varios ti(os& siendo las llamadas de salto uno de los ti(os más frecuentes. entro de dic-o ti(o e'isten las discontinuidades de salto (untuales& en las %ue la función se desv#a un 9nico (unto del camino más ra+onableA las discontinuidades de salto finito& en las cuales la función salta un valor  (rosigue de forma continua a (artir de a-#A  (or 9ltimo las discontinuidades de salto infinito& en las %ue la función alcan+a un valor infinito. Estas 9ltimas son las %ue reciben el nombre de singularidades. riterio de análisis de continuidad en funciones de una variable) Hna función

es continua en

si  sólo si)

está definido. E'iste el l#mite de El l#mite de

cuando cuando

tiende a .

tiende a

coincide con

.

unciones singulares E'iste una gran variedad de funciones elementales %ue contienen singularidades en sus dominios. Hna de las más comunes suele ser la -i(érbola elemental . Esta función (osee una singularidad en el (unto & en dic-o (unto la función (resenta un com(ortamiento %ue tiende al infinito. ic-a función (one de manifiesto la caracter#stica de %ue toda función racional cuo denominador se anule (resentará una singularidad en el (unto en el %ue eso suceda. s# (ues la función (resentará una singularidad en el (unto . *tras funciones %ue contienen singularidades son

ó

.

nálisis de las singularidades $ormalmente las singularidades no (ueden estudiarse em(leando técnicas aritméticas elementales& a %ue suelen im(licar o(eraciones %ue son im(osibles UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 23

de24reali+ar 7(or ejem(lo& dividir (or cero8. En lugar de eso& el método (referido ALVAREZ PEREZ EMMANUEL (ara anali+ar el com(ortamiento de las funciones en sus singularidades es el (aso al l#mite. Estudiando el l#mite de una función en su (unto singular se (uede obtener información valiosa de su com(ortamiento en ese (unto. omo ejem(lo comentar %ue nadie (uede calcular %ue toma en el (unto el valor infinito& sin embargo& estudiando el valor %ue toma su l#mite en ese (unto  anali+ando la tendencia de la función en las cercan#as es (osible asegurarlo.

es una singularidad de

se dice %ue

es singular en

si no

& decimos %ue es una singularidad no aislada

si es singular en . Es decir& a una distancia arbitraria& sigo encontrando otra singularidad. es una singularidad aislada& si es una singularidad  no es no aislada. entro de las singularidades aisladas& las (odemos clasificar en) Evitables) uede definirse un valor tal %ue olares)

tiende a

al acercarse a

sea analitica en

.

.

Esenciales) El l#mite no es inde(endiente del camino&  a9n más& la función toma valores (or todo el (lano com(lejo 7e'ce(to uno8 en un entorno a  lo -ace infinitas veces. Es (osible estudiar el ti(o de singularidad no aislada& mediante el desarrollo de ,aurent en la corona centrada en .
:nter(retación f#sica de las singularidades El estudio de las singularidades desde el (unto de vista matemático se limita es(ec#ficamente a resolver el (roblema de la función %ue no está definida en el (unto de estudio. ;eor#as tales como el electromagnetismo clásico de Ma'Nell contienen singularidades en sus ecuaciones básicas. En la teor#a de Ma'Nell una de las singularidades más conocidas es la %ue (redice un cam(o eléctrico infinito en el lugar



1.; "ETODO DEL AREA DE "O"ENTO DEFINICION.4 Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos. El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión.

De la ecuación general de flexión tenemos:

Integrando:


ALVAREZ PEREZ 26 EMMANUEL engamos presente que

curvatura de un elemento viga.

El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones %ue el de la doble integración.
DE"OSTRACION! Es un método sencillo (ara determinar las (endientes  flec-as en las vigas& en las cuales intervienen el área del diagrama de momento  el momento de dic-a área



@ecordemos %ue

-oo0e entonces de la fórmula de fle'ión se tiene)

Entonces

:ntegrando tenemos&


En de momento flector observamos %ue Md' es el área del ALVAREZ PEREZ EMMANUEL 28el diagrama elemento diferencial raado situado a una distancia ' de la ordenada %ue (asa (or ". or tanto la ecuación anterior nos conduce al (rimer teorema del método del área de momentos %ue dice) la variación o incremento de la (endiente entre las tangentes tra+adas a la elástica en dos (untos cuales%uiera   " es igual al área del diagrama de momentos flectores entre estos dos (untos dividido (or E:.

K es (ositivo cuando va en sentido anti -orario 7ósea corres(onde a un área (ositiva del momento flector8. l observar la segunda figura anterior& la distancia vertical desde " -asta la tangente tra+ada a la curva (or otro (unto cual%uiera  es la suma de los segmentos dt interce(tados (or tangentes sucesivas tra+adas a la elástica en (untos sucesivos& entonces& cada uno de éstos segmentos es igual a dtL 'dKA integrando&

ero como

Entonces&

IbL istancia del centroide del área al eje vertical al cual le estamos sacando la desviación& en éste caso ser#a con res(ecto a ".


;bFa la desviación tangencial de " res(ecto de   es (ositiva si el (unto ALVAREZ PEREZ EMMANUEL 29 L Es considerado %ueda (or encima de la tangente  negativa si %ueda (or debajo de la tangente En la maor#a de los casos (rácticos& la elástica es tan llana %ue no se comete error a(reciable su(oniendo %ue ds es igual a su (roección d'. En estas condiciones& se tiene) 7b8

Evidentemente& dos tangentes tra+adas a la elástica en   & como en la figura 1Ob& forman el mismo ángulo dK %ue el %ue forman las secciones *  *& (or lo %ue la desviación angular& o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos (untos cuales%uiera   "& es igual a la suma de estos (e%ue6os ángulos) 7c8

*bsérvese también& figura 1Ob& %ue la distancia desde el (unto " de la elástica& medida (er(endicularmente a la (osición inicial de la viga& -asta la tangente tra+ada a la curva (or otro (unto cual%uiera & es la suma de los segmentos dt interce(tados (or las tangentes sucesivas tra+adas a la elástica en (untos sucesivos. ada uno de estos segmentos dt interce(tados (or las tangentes sucesivas tra+adas a la elástica en (untos sucesivos. ada uno de estos segmentos dt (uede considerarse como un arco de radio ' 

ángulo

dK)

dt L ' dK e)

,a longitud t"F se llama desviación de " con res(ecto a una tangente tra+ada (or & o bien& desviación tangencial de " con res(ecto a . ,a figura 2 aclara la diferencia %ue UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 29

e'iste la desviación tangencial t"F de " res(ecto de   la desviación ALVAREZ PEREZ EMMANUEL 30 entre tF" de  con res(ecto a ". En general& dic-as desviaciones son distintas.

Figura /. En general& tF" no es igual a t"F

El significado geométrico de las ecuaciones 7c8  7d8 conduce a los dos teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos fle'ionantes de la figura 1Oc& se observa %ue M d' es el área del elemento diferencial raado situado a distancia ' de la ordenada %ue (asa (or ". -ora bien& como es la suma de tales elementos& la ecuación 7c8 se (uede escribir en la forma)718

Esta es la e'(resión algebraica del ;eorema :& %ue se (uede enunciar como sigue)

Tere?a 1! ,a derivación angular& o ángulo entre las tangentes tra+adas a la elástica en dos (untos cuales%uiera   "& es igual al (roducto de 1FE: (or el área del diagrama de momentos fle'ionantes entre estos dos (untos. ,a figura !OPc muestra como la e'(resión ' 7M d'8 %ue a(arece dentro de la integral en la ecuación 7d8 es el momento del área del elemento raado con res(ecto a la ordenada en ". or tanto& el significado geométrico de la integral de ' 7M d'8 es el momento con res(ecto a la ordenada en " del área de la (orción del diagrama de momentos fle'ionantes com(rendida entre   ". on ello la e'(resión algebraica es) ;"F L 1FE: Q7área8" I"


ALVAREZ PEREZ 31 EMMANUEL El área bajo el diagrama de curvatura entre dos (untos   " es igual al cambio en las (endientes entre esos dos (untos sobre la curva elástica.

Ángulo
tangente

mide

en

en

radianes.

" Áreas

medido

desde

la

(ositivas

indican

%ue

tangente la

en

(endiente

. crece.

Tere?a /! ,a desviación tangencial de un (unto " con r es(ecto a la tangente tra+ada a la elástica en otro (unto cual%uiera & en dirección (er(endicular a la inicial de la viga& es igual al (roducto de 1FE: (or el momento con res(ecto a " delo área de la (orción del diagrama de momentos entre los (untos   ". El (roducto E: se llama rigide+ a la fle'ión. *bsérvese %ue se -a su(uesto tácticamente %ue E e : (ermanec#an constantes en toda la longitud de la viga& %ue es un caso mu com9n.



Momento de (rimer orden con res(ecto a  del área bajo la curva de entre  J ". El teorema es) ,a desviación de la tangente en un (unto  sobre la curva elástica con res(ecto a la tangente (rolongada desde otro (unto "& es igual al momento del área bajo la curva MFE: entre los (untos  " con res(ecto a un eje .
a

la

(osición

original

de

la

viga



se

denomina

flec-a.

CONVENCION DE SI0NOS.4 ,os convenios de signos siguientes son de gran im(ortancia) la desviación tangencial de un (unto cual%uiera es (ositiva si el (unto %ueda (or encima de la tangente con res(ecto a la cual se toma esta desviación&  negativa si %ueda debajo de dic-a tangente.

El otro convencionalismo es el %ue se refiere a las (endientes. Hn valor (ositivo de la variación de (endiente %" indica %ue la tangente en el (unto situado a la derec-a& "& se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente tra+ada en el (unto más a la i+%uierda& & es decir& %ue (ara (asar de la tangente en  a la tangente en " se gira en sentido contrario al del reloj&  viceversa (ara los valores negativos de %".



1. "ETODO DE LA VI0A CON5U0ADA DEFINICION.4 Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real  cua carga es el diagrama de momento flector reducido a(licado del lado de la com(resión. ,a viga conjugada es siem(re una viga estáticamente determinada. Este método consiste en -allar el momento en la viga real  cargarlo a la viga conjugada. ,uego dando corte  aislando unas de las (arte de mejor conveniencia& se obtiene el cortarte %ue será el giro de la viga real  el momento en la viga conjugada será el des(la+amiento en la misma  también se le denomina viga conjugada a una barra en la %ue las cargas son los diagramas de momentos de las cargas reales dadas. Este método al igual %ue el de eje elástico  área de momentos& nos (ermite calcular los giros  fec-as de los elementos -ori+ontales denominados vigas o de los verticales llamados columnas. ,a fig. 1 muestra un ejem(lo de este ti(o de vigas.

"ARCO ISTORICO.4 El método de la R viga conjugada R Mo-r %uien lo

(resentó

en

1P!P.

Es de gran

se debe a

im(ortancia

*tto

(ara la

determinación de deformaciones& (or la o(eratividad %ue introduce este método. UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 33

CRISTIAN OTTO "OR.4 ALVAREZ PEREZ 34 EMMANUEL -ristian

*tto

Mo-r 7Sesselburen& P

de

octubre de 1P35 O resde& 2

de

octubre de 1T1P8 fue un ingeniero civil alemán& uno de los más celebrados del siglo I:I.

VIDA.4 Mo-r (erteneció a una familia terrateniente de Sesselburen en la región de /olstein  estudió en la Escuela olitécnica de /anóver. En los inicios de 1P55& durante su vida laboral tem(rana estuvo trabajando en el dise6o de v#as de ferrocarriles (ara las v#as de los estados de /anóver  *ldenburg& dise6ando algunos (uentes famosos  creando algunas de las (rimeras armaduras de acero. 9n en sus (rimeros a6os construendo v#as de tren& Mo-r se sent#a mu interesado (or las teor#as de mecánica  la resistencia de materiales  en 1P!U& se -i+o (rofesor de mecánica en el olitécnico de
sus

estudiantes.

LO0ROS CIENTIFICOS.4 En 1PU4& Mo-r formali+ó& la -asta entonces solo intuitiva& idea de una estructura estáticamente indeterminada. Mo-r fue un entusiasta de las -erramientas gráficas  desarrolló un método (ara re(resentar visualmente tensiones en tres dimensiones& (reviamente (ro(uesto (or arl ulmann. En1PP2& desarrolló el método gráfico en dos dimensiones (ara el análisis de tensión conocido como c#rculo de Mo-r  lo usó (ara (ro(oner la nueva teor#a de resistencia de materiales& basada en el esfuer+o cortante. ;ambién desarrolló el diagrama SilliotO Mo-r (ara el des(la+amiento de armaduras  la teor#a de Ma'NellOMo-r (ara el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.

El35método de la viga conjugada consiste en -allar el momento en la ALVAREZ PEREZ EMMANUEL viga real  cargarlo a la viga conjugada. ,uego& a(licando la estática se -allan las cortantes  momentos en la viga ficticia. onde el cortarte será el giro de la viga real  el momento en la viga conjugada será el des(la+amiento en la misma. Este método es 9til cuando es fácil determinar la le de momentos flectores de la (rinci(al.
MA

A







M

A

A

 M

MA 

E'iste una relación entre el cortante obtenido en la viga conjugada  el ángulo girado en la misma sección en la viga (rinci(alA



una

relación

entre

el

momento flector en la viga conjugada  el es(la+amiento (roducido en esa misma sección en la viga (rinci(al

= / A !> A  + M

*

A

 

$

+

/

A

 

A



; M A

M    
*

     R= A e& + +$ #">$ &>$$B  0  R= A + A  VM   W@ M A 

M  A R= A A +EI / EI ? ? MA M Ap+"$& Ae+pr"%er !ere%$ e MCr  UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 35  A  

A MA

 M






A

 AA 

M   EI ?

X  XAM  /

 A

EI ?



R= A  A M   / EI ?

 

  =  1DCB 36 e +$ #">$ &>$$ UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL ? er

EI

er

3DCB e MCrB

  

0 @ se&!" Cr$r"B


POSTULADOS.4 1. El giro en cual%uier sección de la viga real& es igual al cortante en la sección corres(ondiente de la viga conjugada. 2. ,a flec-a en cual%uier sección de la viga real& es igual al momento flector en la viga conjugada en la sección corres(ondiente. ,os a(oos de la viga real& (ara la viga conjugada se transforman a las indicadas en la figura. Estas transformaciones se -an -ec-o teniendo en cuenta %ue la viga conjugada debe ser estáticamente determinada.

CONVENCION DE SI0NOS!
Apy $r!"+$ %J#"+ e& e+ "&!er"r

  1  2   0@ =   0 F F $r!"+$"J& @ M =   0F    0 E%p!r$%"e&!

 



 0@  =   0 F e!re% F  0 @ M =   0F

+"*re

E!re% +"*re UNIDAD 1 ANALISIS ESTRUCTURAL 37    0@  =   0 FF e%p!r$%"e&!    0@ M =   0F


RELACIONES VI0A REAL  VI0A CON5U0ADA

a8 ,a longitud de la viga real  de la conjugada es la misma. b8 ,a carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. c8 ,a fuer+a cortante en un (unto de la viga conjugada es la (endiente en el mismo (unto de la viga real. d8 El momento fle'ionantes en un (unto de la viga conjugada es la flec-a en el mismo (unto de la viga real. e8 Hn a(oo sim(le real e%uivale a un a(oo sim(le en la viga conjugada. f8 Hn a(oo em(otrado real e%uivale a un e'tremo libre o voladi+o de la viga conjugada. g8 Hn e'tremo libre 7voladi+o8 real e%uivale a un em(otramiento conjugado. -8 Hn a(oo interior en una viga continua e%uivale a un (asador o articulación en la viga conjugada.



TA
En algunos casos& en es(ecial cuando las estructuras son estáticamente indeterminadas& la viga conjugada (uede resultar inestable. Este inconveniente %ueda resuelto cuando se carga a la misma& a %ue el (ro(io estado de cargas le confiere estabilidad.



1. CONCLUSIONES  ,a ecuación está limitada al estudio de dimensiones (e%ue6as debido a las condiciones del trabajo a %ue los resultados sobre(asan de la realidad.  ,a ecuación es válida (ara vigas %ue no estén sometidas a cargas %ue e'ceda del l#mite elástico de sus materiales.  El trabajo %ue se está desarrollando sobre El Método de Área de Momentos& es básico (ara nuestra formación (rofesional& de a-# su estudio& es de suma im(ortancia (or el a(orte de investigación  de análisis del com(ortamiento de una estructura sometida a deformaciones en estudio (ara obtener resultados reales& con la finalidad de tomar decisiones en mejoras de la comunidad.


Unidad 1 Analisis Estructural

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