P.A.U. Comunidad de Madrid 2000-2016 EJERCICIOS RESUELTOS
MATEMÁTICAS B PAU COMUNIDAD de MADRID 2000-2016 EJERCICIOS RESUELTOS
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Antonio Benito G. Master en educación
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ÍNDICE
1. ÁLGEBRA 2. GEOMETRÍA
ANÁLISIS 3. ANÁLISIS
4
ANÁLITICA
67 115
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1
Álgebra - Matemáticas B P.A.U. Comunidad de Madrid 2000-2016 EJERCICIOS RESUELTOS
2016 Junio (Opción A)
2 0 1 1 1 1− −− , , , , 12 01 11 , 11 01 11 . ·− −·−−−− → − −− → − → − − →→ −: − → − −−→− − → 212 001 111; det0→∃−. →−. 11 01 11 10 01 00 ~⏟+ 10 11 01 11 01 00 ~⏟− 10 01 01 01 11 00 ~⏟+ 1 1 1 0 0 1 − 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 0 1 20 01 001 1 1 2 10~ 10 01 001121 11 0121 → 0 0 2 1 0 1 (0 0 1 2 0 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 − 121 10 021 →212 001 111 121 10 021 121 11 123 2 2 2 2 2 2 31 522 124 . 0. 2.
a) Despeje en la ecuación matricial: cuadradas invertibles. Exprese de la forma más simple posible. b) Para
siendo
matrices
determine la matriz tal que
a) Recordemos que:
(cuando las inversas existen)
Extraemos prefactor común en el primer miembro: Postmultiplicamos ambos miembros por
b)
Entonces:
Utilizando el método de Gauss para obtener la inversa:
2016 Juni o (Opción B)
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
a) Discutirlo según los valores del parámetro b) Resolverlo para el caso c) Resolverlo para el caso
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
1
a) Escribamos la matriz del sistema
y la matriz ampliada
:
31 11 2 21 (5 1 2 4 )
det 315 11 1 22 ⏟++ 416 10 224 16 26128 4 det 0→2 ˅ 2 3
Si
Si
b)
Si
0
3 → 2 ˄ 2 →det0→º ó3 3 1 2 1 2→ 15 3 1 22 24 ; 31 11 0→ 2; 3 1 1( 4 0 )1
orlando este menor:
15 31 4218 01 220→ 2; º ó3→ 1 . 2→ 315 111 222 214 ~348 100 002115 ~340 100 002113 → ( ) 0003 ¡!→ 315 11 1 202 214 . ( ) 1 1 0 1 0 0 2 1 2 2 1 2 ∆ ∆ 4 41 2 4 43 2 48 2
(sistema compatible determinado) .
Por las fórmulas de Cramer:
3 1 0 0 1 0 1 2 2 7 2 2 ∆ ∆ 5 44 2 7 44 2 284 7 3 1 1 4 0 1 1 1 2 1 1 2 ∆ ∆ 5 41 4 6 40 2 144 72 → ,,2,7, 72 MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
2
c)
3 1 2 1 2 15 3 1 22 24 . ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 ′~ 35 13 22 14 −−~⏟ 00 48 48147 −~⏟ 00 40 40 70 → 22 447 → 714 , ∈ℝ 4 { 0 34 220 . 0. 2 0 1 12 2 13 40 → ( ) 1 2 2 0 2 + 2 7 6 det 12 2 13 +⏟+ 72 6 1· 1 0 2 1 2det 0→1 172 6 1 271˅ 2 61 1 2 1 3 Sicompatstemaible 1 ˄ 2→det0→º 3 → ó3 determinado 1→ 112 121 113 040 +~⏟+ 00 1 001 141040 −~⏟ 00 1 001 101040→ ( 0004→ ) Sistema incompatible 2→ 212 222 113 040 ~⏟++ 200 220 170080 −~⏟+ 100 200 470 480→ ( ) 2 Si s t e ma º 2 → , c o mpat i b l e ó3 indeterminado (sistema compatible determinado).
Por el método de Gauss:
2015 Septiembre (Opción A)
Dado el sistema de ecuaciones:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro b) Resolverlo para c) Resolverlo para
a) Escribamos la matriz ampliada
Si
Si
y la matriz de coeficientes :
Segunda ecuación:
Si
con un grado de libertad.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
3
0 →4 0 → ,,4,4,0 34 0→ 220 4 2→ 48 10 20 47 48→278 44 → → , , 48,47,2,∈ℝ 47 00 00 2 3 123 1 2 26 22 5 2 4 12 22 5 2 3 10 2 22 5 22 2·5 ⏟ 10 ⏟ 10 1 10·330 5 1 3 1 ↔ 2 1 3 22 243 102612 111 3 222 +26 2 3 1 2 2 26 2·2 1 2 3 ↔⏟ 1 2 3 41 1 2 3 ⏟+ 41 2 34·312 31 10, . . →31 10 31 10→3 3 3 3 33 3 3 3 → 3 → → → , , ∈ℝ 3 43 1 0 21 1.
b) Si
Sistema compatible determinado:
c) Si
2015 Septiembre (Opción B.1)
Sabiendo que el determinante
y usando las propiedades de los determinantes, calcula el
valor de los siguientes determinantes: a)
b)
a) b)
2015 Septiembre (Opción B.1)
Dada la matriz Sea
hallar todas las matrices que conmuten con A, es decir, que cumplen
Entonces:
2015 Juni o (Opción A)
Discuta el sistema:
51
según los valores de
y, si es posible, resuélvalo para
4 3 1 ∆ 15 2 1 32 2421 71 31 87 3 1 7 ; ∆0→ ˄ 7→∆0→
El determinante de la matriz de coeficientes:
Por el método de Gauss:
Si
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Sistema crameriano (compatible determinado).
4
Si
Si
4 3 0 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1→ 15 1 2 1111 ~↔⏟ 45 31 0101 −−~⏟ 00 11 11 4444 ~⏟− 1~0 121 1441 → 2 2 → coSimpatstemaible 3 , ∈ℝ 4 0 0 10 0 2 7 1 º 1. 23 7indet1erminado1 2111 1 7 7→ 45 37 6101~00 1117 223444~00 11 22 271 1 1~ 0 21 27 4 114 4 → 2 114 → incSiompatstemaible. 0 0 0 17 11 { 0 174 114
2015 Juni o (Opción A.1)
001 010 100 300 030 003: . 63
Dadas las matrices:
a) Hallar b) Resolver la ecuación: a)
b)
001
01 1000 01 1010 01 00→ 0 0 1 00 0 ·· 0 1 ;
63→63→ 6 3 63→ − ·→− · ∃− →− ·− ·→ − · 6 3 6 0 0 0 0 3 6 0 3 6300 60 0603 30 0003 90 06 603 090 306100 010 001 ~⏟− 600 009 309101 001 002 ~⏟+ 100 8 900 009140 001 220 ~ 2 1 2 1 0 0 1~ 0 01 00 90 19 09 →− 90 19 09 → 0( 0 1 19 0 29 ) ( 19 0 29 )
Llamamos:
Si
. Por el Método de Gauss:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
5
2 9 0 19 3 0 0 29 0 19 23 0 13 01 19 02 00 30 03 01 19 02 ·3 0 13 02 ( 9 0 9 ) ( 9 0 9 ) (3 0 3 ) 1 2 3 1 0 0 03 1 2,00 10 01 . det 0. 2 914 2 7; det 0→7 | |2 1292 ˄ 7→ 3
2015 Juni o (Opción A.2)
Dadas las matrices:
a) Hallar el rango de según los valores de b) Hallar de modo que a)
101 2220→ 2 2→ 7→0 70→2 2;˅ 7→ 2 1 2 3 det 03 10 0212220→7 Si
Si
Si
b)
2014 Septiembre (Opción A)
1 0 1 1 21, 00, − . − 2, . 1, . det 11 1 21110 0 12 1 1+ 1 1 1 1 1 11→
Dadas las matrices:
se pide:
a) Determinar el valor o valores de para los cuales no existe la matriz inversa b) Para hallar la matriz inversa c) Para calcular todas las soluciones del sistema lineal
a) Las matrices cuadradas no invertibles son aquéllas cuyo determinante es nulo.
0 0 − det 1 2 1 2; det 0 1 →∄ 1 2 2 1 2 2
b) Para
2→31 22 21 ∃−.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
y
Utilizando el Método de Gauss:
6
311 222 221 100 010 001 +~⏟− 100 028 32413 1 001 001 ~↔⏟ 100 028 32413 1 001 001 −~⏟+ 1 1 1 4 0 80 44 3 1 00 11 ~⏟+ 120 240 005 1 44 33~ 10 01 00 12245 316 1/84 → 0 0 3 1 1 0 −+ 0 0 3 1 1 0 (0 0 1 13 13 0 ) 112 13 14 − 2451 116 1/8 0) ( 3 30 1 1 1 0 0 0 1,→10 11 1200→0 → → 20 20 20 2 , ∈ℝ 3 7211 11 1. 2 1 1 −, →− −→ − . 3 7 1 1 −→−→−. 2 det 0. 6 det 3 776; det 0→ 7. ∀ 67 2 37 2 11 11→ ; →13 27 11 11→37 21 21 5 21 371 371 5 →25 25 371 → 21 → 2 21 → 371 21 2 2 2
c) Para
Se trata de un sistema homogéneo con dos ecuaciones y tres incógnitas (compatible indeterminado con un grado de libertad). Tomamos como incógnita libre:
con
2014 Septiem bre (Opción B.1)
Dada la ecuación matricial:
a) Calcular el valor o valores de para los que esta ecuación tiene solución. b) Calcular en el caso a) Sean
y
Si existe
entonces
Para ello, ha de ser
Así pues, la ecuación tiene solución
b) Pongamos
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7
2014 Septiem bre (Opción B.2)
2 1 3 5 2 2 1 13 11 41 6 . 2 1 3 1 1 1 1 1 1 6 6 5 2 2 1 2 2 1 0 0 3 12 13 11 41 6 ~↔⏟ 23 11 34 5 −−~⏟ 00 32 57 187 ; − 1 1 1 6 127 4221 1210 129 18 0 0 3 12 det 00 32 57 187 320 573 18 0→6. 242132162212; det 4. 6→det0→2 14→ 3 4 6→ 21 21 11 90→ 3 1 0 ,, 101 000, ,, 123 . 1, 1, 1 0, . 0 1210→231 231 30 → 230 30 . 1 3 1 1231 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 30 02 13 00 −~⏟ 00 26 3830 −~⏟+ 00 60 8133 → 3 92 ( ) Estudiar el rango de la matriz
según los valores del parámetro
Sometamos a la matriz dada a transformaciones elementales (método de Gauss), que no alteran su rango:
Por tanto:
y
2014 Juni o (Opción A)
Dadas las matrices:
a) Calcular b) Si c) Si
se pide:
para que
sea una solución del sistema
¿qué condición o condiciones debe cumplir para que el sistema lineal homogéneo sea compatible determinado? y resuelva el sistema
a)
Por el Método de Gauss:
b) Para que un sistema cuadrado (en este caso, de tres ecuaciones y tres incógnitas) sea compatible determinado es preciso que el rango de la matriz de coeficientes sea máximo (en este caso, 3). Para ello, el determinante de esta matriz no ha de ser nulo.
1 1 1 1 11 01 1→det 11 01 11 11 det 0→0 ˅ 1
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8
0 , 0 , 0 0 ˄ 1 0 → ,,0,1,0 1 0 10 10 10→1 0 → 1 1 1 0 1 1 0 1 1 30 2 1 − 2. 1 1 30 2 1 det 130 12 1 ⏟− 130 05 1 ⏟− 120 05 10 52;det 0→ 52 0→ 52 →± √ 210 → ∃−, ∀ ± √ 210 2, 130 122 122 100 010 001 −+~⏟ 100 152 2410 13 001 001 −−~⏟++ 500 050 436 32 6 211 005 +~⏟− 2 1 2 2 1 2 1 5 0 150 00 1015 55 1020 ~ 10 01 001 132 435 → − 1 32 435 0 0 3 6 2 5 (0 0 1 2 3 3) (2 3 3) Entonces, el sistema homogéneo tiene solución única (la trivial,
c)
), si
2014 Juni o (Opción B.1)
Dada la matriz
, se pide:
a) Hallar el valor o valores de para que la matriz tenga inversa. b) Calcular la matriz inversa en el caso
a) Una matriz cuadrada tiene inversa si y solamente si su determinante es distinto de 0.
b) Para
calculemos la inversa por el Método de Gauss:
2014 Juni o (Opción B.2)
Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos, se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos, el coste es de catorce euros. Se pide: a) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador. b) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.
2322 →421228 52322 → 52614 104644 → 2322 →1053070 52614
a) Llamemos al precio de cada cuaderno, al precio de cada rotulador, al de cada bolígrafo.
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Sumando miembro a miembro: Sumando miembro a miembro:
96 2426
9
69 2624 83869326244872787230 0 1 1 1 1 1 11 , ,000 , . , , 1. . , 1. 0 1 1 1 | | 1 11 11 ⏟− 100 1 11 11 ⏟ò 1+ 11 1 11 ⏟− 110 1 1 01 ⏟ò 1 11+ 1 1 11 11 1 1 1 0→ 4 1 ˄ 1→det 1 1 1 1 1 1 1 1→11 11 11 111→ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1→11 11 11 11 ~⏟++ 00 00 20 00 ~⏟ 00 00 10 00 ; 00 01 01 + ↔ 10→ 3 → 0 , , , ∈ℝ 1 1 1 1 0 3 →000 100 100 100000→0 . → 0 º ó 4 0 0 → 0 , ∈ℝ Obtenemos finalmente:
b)
2013 Septiemb re (Opción A)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Calcular el determinante de Determinar el rango de según los valores de b) Resolver el sistema homogéneo en el caso de que c) Resolver el sistema homogéneo en el caso de que
a)
Si Si
Si
(Método de Gauss).
b)
c)
(sistema compatible indeterminado con tres grados de libertad)
Como
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad
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10
2013 Septiemb re (Opción B)
21 12 1 1 . 1. 1 121 11 11 1 2 1 ( ) 2 2 0 det 11 11 11 ⏟− 11 11 20 ⏟ ò 2·1+ 2 1 1 212 2 2 2 2 1 2˅ 2 1; det 0→1 3 2 ˄ 1→det 0→º 3 → ó3 2→ 211 211 211 141 ~⏟− 210 210 210145→ ( 2 1 1) 2 2 1 1 2 2 2 → 1→ 21 11 21 22 ~⏟+− 00 30 30 20→º ó 3 ( ) 20 →2 0 →,,0,2,2 1→ 210 111 101 200 ~⏟− 210 011 001200 →2 0 2 ( ) 2 4 2 1 1 2 2 2 2 2 1→~ 00 30 30 20→ 332 → 3 23 → 323 43 → 23 ,∈ℝ
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro b) Resolverlo para el caso c) Resolverlo para el caso .
a) Escribamos las matrices asociadas al sistema:
Si
Si
Si
Sistema compatible determinado.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad (hay una incógnita libre). b) c)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
11
2013 Jun io (Opción A)
750 3 , 2 .
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
4. 2.
a) Discutirlo según los valores de b) Resolverlo para el caso c) Resolverlo para el caso
se pide:
10 17 151 203 ( ) 7 5 2 5 det 10 1 11 ⏟− 10 0 1 11 ⏟ ò 1·1+ 1 2 1 2 1 2; det3 0→1 ˅ 2. 1 ˄ 2→det 0→º 3 → ó3 2 3 → 1→ 110 171 511 203 ~⏟+ 00 1 617 561203 ~⏟− 00 1 607 560903 → ( ) 2 0 2 7 5 0 2 7 5 0 2 7 5 2→ 10 21 11 23 ~⏟− 00 13 1326 −~⏟ 00 10 1020→º 2 → ó3 − ( ) 4→ 410 741 511 203 ~⏟− 400 971 5112120 ~⏟− 400 907 1 50130120 →4750 → 912 1030 ( ) 2 2, → , , 1 , 3 1 3 7 2 2→~ 200 710 510200 →2750 → 2 ,∈ℝ 110 11 201 012 011 101, 4. .
a) Escribimos las matrices asociadas al sistema:
Sistema compatible determinado.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad (una incógnita libre). b)
c)
2013 Jun io (Opción A)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Hallar el valor de para el cual la ecuación matricial b) Calcular la matriz para c) Calcular el determinante de la matriz en función de
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
tiene solución única.
12
− → −, − −det→ 0. −− →− →− 1 0 det 10 11 211; det 0→1→∀∈ℝ1} 1110 4411 00211 0 0 1 4 0 1 0 0 3 0 8 1 4 0 10 11 2100 10 01 ~⏟− 00 31 210 1 01 01 ~⏟+− 00 30 52 11 11 03 ~⏟++ 1 4 8 1 4 8 15 0 150 00 33 123 246 ~⏟ 10 01 00 515 515 525 →− 515 515 525 0 0 5 1 1 3 − (0 0 1 15 15 35) ( 15 15 35) − 1 4 8 0 0 1 5 5 5 2 3 11 − 012 011 101 151 115 253 53 57 145 5 5 5) ( ( ) 5 5 5 det ·detdet ·det det012 011 1011 det 1 →det 1 ·1 21 346 1 3 1 33 . 1. 131 1 314 363 ( ) 3 4 1 4 3 4 det 11 1 31 ⏟+ 21 10 11 ⏟− 10 10 11 ⏟− 110 110 311 85; det 0→3 850→ 113 18± 3 √ 66460 →1 ˅ 53
a) Admitamos que existe la matriz inversa
Pero, para que exista
b)
c)
. Postmultiplicando ambos miembros por ella:
ha de ser
es invertible. Calculemos su inversa por el método de Gauss:
2012 Septiembre (Opción A)
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutir el sistema según los valores de b) Resolverlo para
a) Escribamos las dos matrices asociadas al sistema:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
13
3 1 ˄ →det 0→º 3 → ó3 3 1 4 6 1 0 1 3 1 1→ 21 10 31 33 ~↔⏟ 23 11 34 36 +−~⏟ 00 ( ) 2 2 → 10 0 1 1133 →
Sistema compatible determinado.
01 11 33 ~⏟+ 1 1 3
0 0 0 0 º ó3 5 3 4 3 53 → 18 523 31 363 ~893 525 9123 9189 ~⏟+ 813 250 933 999 −+~⏟ 10 02 36189 ~⏟ 103013 3399 +~⏟ 10 01 3399 → 2 Si s t e ma → i n c o mpat 0 5 15 631 0 01 35 15 633 0 030 18 3 ible 1→~ 00 0 1 1030→3 → 3 ,∈ℝ 22 8 , 24 . 5. 12 100 21 824 ; ( ) 1 0 2 2 ′ −−~⏟ 00 10 12 ;40→4 82 4 0 3 4→º 3 → 1ó0 3 2 2 2 4→′ ~ 00 01 0700→º 2 → ó3 Sistema compatible indeterminado con un grado de
libertad (una incógnita libre).
b)
2012 Septiembre (Opción B)
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutirlo según los valores de b) Resolverlo para
a) Vamos a considerar las dos matrices asociadas al sistema:
por Gauss:
Sistema compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado con un
grado de libertad (una incógnita libre).
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
14
b)
22 → ,,2,2,0 15 10 21 82 +~⏟ 10 01 2922→29 ( 2 0 5 4 ) − 0 0 1 0 0 12 4 21 21 2 , 68 , 33 , , . 2, . 1, . det 21 21 2 211 111 1 ⏟++ 2 12 1 100 2 14 1111 100 1 0→0 4 1 1 ; det ˅ 1 ˅ 1. 0→ 3 0 ˄ 10 ˄ 01→det 0→10 1 121020; 110 1220→ 2 1→1 21 1 211 12 ; 11 1120→ 2 1→12 12 12; 11 11 20→ 2 12 2 2 4 2→ 14 12 22 68 ( ) 2 26 1 1 2 6 1 1 2 6 38 → ,,23 , 0, 83 20 → 0 ′~⏟ 12 11 2164 −~⏟− 00 23 0380 → 338 3 4 1 1 1 1→ 12 12 12 33 . ( ) 1 1 1 4 1 1 1 4 ′ −~⏟− 00 24 0015 −~⏟ 00 0 2 0013→03→ 5→
2012 Jun io (Opció n A)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Hallar el rango de en función de los valores de b) Para hallar, si existe, la solución del sistema c) Para hallar, si existe, la solución del sistema
a)
b)
c)
El sistema
tiene como matrices asociadas:
El sistema
tiene como matrices asociadas:
Sistema incompatible.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
15
2012 Jun io (Opció n B)
1 1 2 0 1 2 4 1 2 1 01 23 23 37 83 . 0, . 4 1 ≥2. 3×4 4 1 ≤3. 140→ 2 3 ∆23 23 371 2 ⏟+0 2433 1005 371 ⏟− 5243 201 53 ⏟− 5402 012 35 1001 12 5104610104 4401 ∆0→1 3 1→∆0→ 1→243 131 714 823 −~⏟+ 243 131 1005 201 −~⏟ 243 11 3 000 012~ 243 11 3 01 2 000; 243 311 201 ⏟+ 247 310 201 121420→ 2 − 01 2 10 1 210 − 243 132− 713 823−; det −01 2 10 1−0212240→∃ −→ → → →− 0 2 1 1 0210 01 00 ~↔⏟ 1 2 0 1 0100 01 10 +~⏟ 10 01 2100 01 12 ~⏟+ 10 0 1 2100 01 12 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 01 0 1 4 11 1 2 1 1 1 4 4 2 4 4 2 4 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 ~⏟−− 00 0 2 4011 11 22~ 00 10 01 121 112 11 →− 21 12 11 ( ) 4 4 2 ( ) 4 4 2 1 1 1 14 41 2 4 1 1 2 1 2 3 4 21 12 11 23 32 73 83 02 0 1 01 10 ( 4 4 2)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Estudiar el rango de la matriz en función de b) Para calcular la matriz que verifica: a)
es
, por lo que
Orlamos este menor:
b)
Hallemos
por el Método de Gauss:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
16
2011 Septiem bre (Opción A.1)
1 3 2 212 100 . 1 3 2 1 1 22 00 3×3→ ≤3; 11 130→ ≥2; ∆ 11 13 2 ⏟+ 11 31 02432 2; ∆0→2. 2 0 2→∆0→ 2 0 3. 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 2→ 20 00 22 , 2 1 10 220; 0 1 10 220→ 3. 3, ∀ ∈ℝ s i n cos 0 cos0 s0in 10 . . s i n cos 0 detcos0 s0in 10 ⏟ ò 1·1+ cossin scosin si n cos cos 1 s i n sin scosin 00cossin scoisn 00 10 01 00 cos 0 0 1 0 0 1 0 0 s1in cos 0 · · ·· co0s s0in 10 244 0 . 1. 2. Calcular el rango de la matriz
Como
según los valores de
es
orlamos este menor:
con
tomamos el otro menor:
Así pues:
2011 Septiem bre (Opción A.2)
Dada la matriz
, se pide:
a) Calcular su determinante. b) Hallar la matriz c) Hallar la matriz ` a)
b)
c)
2011 Septiembre (Opción B)
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutirlo según los valores de b) Resolver el sistema para c) Resolver el sistema para
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
17
2 4 0 40 1 0 ( ) 2 4 0 1 2 0 ∆det 2 1 ⏟ ò 2·1· 2·1· 11++ 11 222
a) Consideremos las dos matrices asociadas al sistema:
1 0 1 0 ∆ 0→ 0→ 0 ˅ 2 3 0 ˄ 2→∆ 2 →∆ 0→ 0→ º 3 → óó 3 2 2 4 0 0 2 4 0→ 01 00 00 00 ; 1 00→º ó 32 → ( ) 00 , ∈ ℝ. 2 2 4 0 8 1 2 0 4 1 2 0 4 2 3 → 2→ 1 824 20 04 ~ 1 4 22 1004 +~⏟− 00 100 10160 → º ó ó ( ) 22 10 → 2 4 0 4 1 2 0 1 2 0 2 2 1→ 1 111 10 01 ~ 1 1 11 1001 ~⏟+− 00 3 1 0112 → 32 → 1 1 ( ) ,,, 0,1,1 42 1 2 0 4 24 42 ∈ℝ 2→′ 2→′~~ 00 100 10160 → 1016 → 1610 → 1610 2 2 21 1 1 .. 2 2, 1 1, 122 .. 2 3×3,2 ≤3. det 21 1 12 4 2 224; det 0→2 ˅ 2. Sistema compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado
con un grado de libertad (una incógnita libre:
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad (una incógnita libre).
b)
c)
2011 2011 Juni o (Opción A)
Dada la matriz:
se pide:
a) Calcular su rango en función de los valores valores de b) En el caso de
discutir el sistema discutir
en función de los valores de y resolverlo
cuando sea posible.
c) En el caso de a)
es una matriz
resolver el sistema resolver por por lo que
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Calculemos su determinante: Calculemos
18
b)
2 ˄ 2→det 0→ 0→ 3.3. 2→421 4 212 2 4214 ; detdet 0 14 22 0→ 0→ 2.2. 2→21 12 12; det 0 41 220→ 0→ 2.2. 41 22 41 21 → 41 22 41 21 ~ 21 21 2111 ~⏟+ 20 3 1 20 13 22 1 1 22 1 2 1(22 1 1 2 ) 2 1 2 − 0 2 0 1 ~ 00 12 00 1 1 −~⏟ 00 10 00 1 3; 30→ 3 0→33. 3→00030→ 2 2 1 2 1 3→′ 3→′~~ 00 10 0010 → º óó 2 3 → 1 221 1 1 → 1 → 1 , ∈ℝ 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1→21 11 11 22 → 21 11 11 22 ~↔⏟ 22 12 11 12 ++~⏟ ( ) 2 2 3 → 3 00 1 103 111236 → 36 1 → ,,, 2,1,3 0 1 1 ,, 0 2 0 1 10 , , 2,, . 0 1. 00 1 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 det 0 2 0 1 10 211++ 1 1 1 1 21 1 21 21 21 det 0→ 20→0 022˅ 2 2 22 2 . 3 0 ˄ 2→det0→ 2→det 0→º óó 3 3 → Entonces: Entonces:
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un
grado de libertad (una incógnita libre).
c)
2011 2011 Juni o (Opción B)
a) Discut Discutir ir el sistema de ecuaciones ecuaciones
con con
según los valores de
b) Resolv Resolver er el sistema en los casos casos
y
a) Escrib Escribamos amos la la matriz matriz amplia ampliada da del del sistema: sistema:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Sistema compatible determinado.
19
2 00 11 11 00 ~⏟+ 00 10 01 00 (2 0 0 2) − 1 0 0 1 º óó 2 3 → 2→ 000 110 110 224 ; 0004→ ( ) 0 1 1 0 0 1 0→ ~ 01 00 00 10 → 1 → ,∈ℝ 11 → ,,, 3,1,1 1→ 00 1100 001 113 → 3 ( ) 11 1 11 1 2 11 1,, . 0 0, 00 1 1 1 1 1 1 ∆ ∆ ⏟ 1 1 1 1 1 1 + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ⏟−− 1 00 0 2 0 2 1 2; ∆∆ 0 → ˅ 2 1 ˄ 2→∆0→ 2→∆0→ 3 1→11121 2112 1211 211 1+1~⏟+2 1101 012 021 201 ; 11 21 0→ 0→ 2 2→11 11 22 11 ~⏟−− 00 00 00 00→ → 1 0 1 1 0 1 0→ 11 11 02 11 00 11 11 00 11 00 ~⏟+ 0 1 01 00 1200 ~ 0 1 01 00 1100 ~⏟− 0 1 01 00 0100 → 1 1 2 1 0 + 0 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 , ∈ℝ 0 → 0 ∈ ℝ 0→
Sistema
compatible indeterminado con un grado de libertad (una incógnita libre).
de de la última ecuación
Sistema incompatible.
b) Resolución para
Resolución para
2010 2010 Septiembre (Opci (Opci ón A-General) A-General)
Dada la matriz:
se pide: se
a) Estudiar el rango de según los valores del parámetro b) En el caso
resolver el sistema:
a) Consideremos el menor de orden 3:
b)
El sistema
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
es un sistema homogéneo (siempre compatible)
20
2010 Septiem bre (Opción B.1-General)
Dado el sistema:
20 , 23
se pide:
a) Estudiar la compatibilidad del sistema. b) Añadir una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Razonar la respuesta. c) Añadir una ecuación para que el sistema sea incompatible. Razonar la respuesta. a) Escribimos las matrices asociadas al sistema:
12 12 11 03; 12 12 0→
2 º ó 23 → 20 23 ,, 12 12 11 0 →⏟ 12 11 12 11 12 12 350, 20 1→1 23 12 12 11 2 12 12 11 033→ 12 12 0, 12 12 11 0 ˄ 12 2 1 300→ 350 6350. 2, 1, 1, 0→20 0 0 1 20 , . − 1. 0 0 ≤3;1 det 0 1 20 ⏟+ 00 1 2 ⏟ ò 2; det 0→0 ˅ 2. 0˄2→det 2 2 0→ 3 0 0 0 0→00 20 01 202; 01 020→ 2 2→ 20 12 04; 12 040→ 2 0 ˄ 2→∃− Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
b) Para que el sistema
sea compatible determinado, los coeficientes
han de
verificar que
pudiendo adoptar cualquier valor. Tomamos, por ejemplo: c) Para que el sistema
sea incompatible, ha de ser
y
Al ser
Tomamos, por ejemplo:
2010 Septiem bre (Opción B.2-General)
Dada la matriz:
se pide:
a) Estudiar su rango, según los valores del parámetro b) ¿Para qué valores de existe la matriz inversa ? Calcularla para a) Es
b) Una matriz cuadrada tiene inversa solo si su determinante es no nulo. Entonces:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
21
1 1 00 10; 1→ 1 1 00 1010 01 000 ~↔⏟1 21 1 00 1001 10 00 ~⏟+ 10 00 0101 11 00 ~↔⏟ 10 01 0300 10 01 0 1 3 0 0 1 01 10 30 00 0 11 0 0 −1 3 00 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 −~⏟ 00 10 011 3 1 3 10→ 1 3 1 3 10 , 10 025 10, . 0 4 1, 4 100 , ≤2 det 10 025 100, ∀ ∈ℝ→º ó3 → 10 02 1010 ; 5 4 5 10 02 1010 −~⏟ 10 02 1010 ~⏟− 10 02 10 10 4;250→ 4 5 4 ∀ 0 5 5→0 2 0→Si0ste0ma25incompatible. 2 2 3 1 0 1 0 ; 0 2 0 4 5 4 10 10 02 10 0 −~⏟ 10 02 10 0 ~⏟− 10 02 10 0 ;2050→4 4 5 4 10 2 0 5 0 10 0 0 0 205 4→º ó 23 → ~ 10 02 1004→0 2 → ,∈ℝ 24 0 0 00 Para
por el método de Gauss:
2010 Septiembre (Opción A-Específic a)
El sistema:
donde
tiene diferentes soluciones según sea la matriz
a) Determinar, si existen, el valor o valores de para los que el sistema es compatible determinado (independientemente del valor de ). b) Si
determinar, si existen, el valor o los valores, el valor o los valores de para
los que el sistema es incompatible. c) Si
determinar, si existen, el valor o los valores, el valor o los valores de para
los que el sistema es compatible determinado. a)
El sistema nunca será compatible
determinado.
b) Las matrices asociadas al sistema correspondiente serían:
por Gauss:
c) Las matrices asociadas al sistema correspondiente serían:
por Gauss:
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
22
2010 Septiembre (Opción B-Específic a)
Dado el sistema de ecuaciones:
0.
, 1 .
se pide:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro b) Resolverlo para
11 1 1 ( 1 1 1 ) 1 1 2 2 2 ∆det ⏟ 1 1 1 1 + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 11 ⏟−− 210 10 00 2 1 2 1; ∆0→2 ˅ 1 3 2 ˄ 1→det0→º ó 33 → 1 1 2 2 1 1 2 2 2→ 21 21 11 41 +~⏟+ 10 20 10 43 →0 003 incSiompatstemaible (1 1 1 1 ) 1→ 11 11 11 11 → 1→ ( ) 1 º ó 13 → 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0→ 10 01 11 01 ~⏟− 00 1 1 1101 ~⏟+ 00 01 1201→ 0 → 21 ( ) ,, 1 , 1 , 1 { { 222 0 220 , 40 0. 3.
a) Escribamos las matrices asociadas al sistema:
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad.
b)
2010 Jun io (Opci ón A.1-General)
Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:
a) Determinar para qué valores del parámetro b) Resolverlo para el caso
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
se pide:
el sistema tiene soluciones distintas de
23
,,0,0,0 1 1 1 1 21 14 2 ; 3→det 0→21 14 2 2 150→ 3 1± 1 120 √ 4 → ˅ 52 30 → 3→ 121 143 123 000 −~⏟− 100 773 144 000 ~⏟− 100 730 140 000→740 5 7→ 4 7 , ∈ℝ. 11 21 , 10 01, , . . 10 01→12 15 2 0 0→ →2 11 121 1121 11 21 2 1 3 → → → 1 1 5 2 3 25·369· · · 3 3 · 69 11 21 2110 01 712 · 7 127 3 12192119 1919 3819 210 210 219 5919 , 22 2 . 0. 11 00 121 22 ( ) 1 1 ∆det 1 00 12 1+ 1 12 2; ∆0→0 ˅ 2.
a) Como un sistema homogéneo siempre tiene, al menos, la solución trivial , el que tenga más soluciones significa que ha de ser compatible indeterminado. Esto sucederá cuando el rango de la matriz de coeficientes sea menor que 3.
b)
Tomando
2010 Jun io (Opci ón A.2-General)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Hallar dos constantes tales que b) Sin calcular explícitamente y utilizando solo la expresión anterior, obtener la matriz a)
b)
2010 Jun io (Opció n B-General)
Dado el sistema de ecuaciones:
se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro b) Resolverlo en el caso
a) Escribamos las dos matrices asociadas al sistema:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
24
3 0 ˄ 2→det0→º ó 33 → 1 2 1 1 2 1 2 2 2→ 21 00 21 22 −~⏟ 01 00 01 22 →0002→ (1 0 1 0 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 0→ 01 00 21 22 ~⏟− 00 00 22 22 ~⏟− 00 00 10 10→ ( ) 2 2 → º ó130 1 0 0 1 0→′~00 00 10 10→ 1 → 1 , ∈ℝ 16 20 333, 2 4 6 6 0 3 . 10 2 200 301 3323 34 3 36 62 2 32 26 40 63216 20 33→26 40 6326 40 63 216 20 33 2 ·3 1296 10 20 30 1 2 3 1 2 3 1 2 3 32 30 31 1032 30 31 10·32 0 1106 0 310·330 32 34 36 32 34 36 2 4 6 2 4 6 62 2 32 2 6 3 −⏟− 26 0 3 ↔⏟ 26 0 3 416 20 334·312 Sistema compatible determinado
Sistema incompatible)
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
b)
2010 Jun io (Opción A-Específica)
Sabiendo que:
utilizando las propiedades de los determinantes, calcular:
a) El determinante de la matriz b) c)
a) b)
c)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
25
2010 Jun io (Opción B.1-Específi ca)
Se considera el sistema:
233 520 1.9 0.
y se pide:
a) Discutirlo según los valores de b) Resolverlo para el caso de
215 11 213 309 ( ) 2 3 2 3 2 3 ∆det 15 11 21 ⏟− 13 11 22 ⏟− 12 10 023⏟ ò 21+ 1 23 223; ∆0→230→ 2 3 →det 0→º ó 33 → 2 3 3 2 3 3 2 3 → 15 1 21 09 ; 1 20 ,det 0 15 12 090→ ( ) 2 3 → 0→ 215 101 312 309 ;∆det 6. 3 0 3 2 3 3 2 0 3 0 1 2 1 0 2 1 1 0 ∆ ∆ 18 30 ∆ ∆ 9 16 1 6 3; ∆,,53,96 1 5,16 5; ∆ 5 61 9 66 1 100 11 01, 1 1 det 00 11 01·11 0; ∃−, ∀0 ; a) Escribamos las dos matrices asociadas al sistema:
Sistema compatible determinado
Sistema incompatible.
b)
Por las Fórmulas de Cramer:
2010 Jun io (Opción B.2-Específi ca)
Dada la matriz:
estudiar para qué valores de tiene inversa y calcularla siempre que sea
posible. Es
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
entonces:
por el método de Gauss:
26
10 1 0110 01 00 −~⏟ 10 01 1010 1 00 ~⏟− 0 10 000 1 1 10 ~ 10 01 0010 11 01 0 1 0 0 1 − 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 (0 0 1 0 1 1 ) 1 1 1 → − 00 11 01 ( ) 0 111 2 21 1, . 2009 Septiemb re (Opció n A)
Dada la matriz
a) Determinar los valores del parámetro para los cuales es invertible. b) Determinar los valores del parámetro para los cuales la matriz es invertible. c) Para calcular, si es posible, la matriz inversa de a)
b)
c)
1 2 1 2 det 0 11 12 ⏟− 00 01 221 2 221 det0→0 ˅ 1→ ∃−, ∀0 ˄ 1 detdet 2 1 →∃−, ∀0 ˄ 1 1 1 2 − 1→ ∃ . 1 1 2 11 11 2210 001 001 ~⏟−1 0 1 01 421 1 01 00 ~↔⏟ 0 1 11 12 10 00 01 ~⏟− 0 11 0 1 03 10 01 1 0 1 41 0 00 10 13 4 01 00 04 14 1 341 10 00 10 14 0 1 01 01 ~⏟+− 00 40 0411 11 40 ~ 00 10 01141 114 10 → ( ) 4 4 1 3 1 4 4 1 1 − 41 14 1 ( 4 4 0)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Por el método de Gauss:
27
2009 Septiemb re (Opció n B.1)
20 20 20 , 0. 5.
Dado el sistema:
se pide:
a) Obtener los valores del parámetro para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de b) Resolver el sistema para
,,0,0,0 2 1 2 1 2 1 5 0 1 1 22→det 1 1 22 ⏟− 01 3 21 −⏟− 01 6 3 01 ⏟ ô 6515 1·1+ 1 6 1 65 5 3→det 0→ 1 ˅ 5 0 0 0 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5→ 51 15 2200 ~⏟−− 00 2 37 9100 −~⏟ 00 03 1000→5 20 30 → 5 3 5 → 3 , ∈ℝ 41 21 34 21 , . 41 21 34 21 41 21 34 21 →42 42 34 21 28 42 → 1612868 161286 → 4343 8442 22 28 42 →84424 43432 222 86434 8 6 4 3 4 8 6 4 3 4 4222 44 32 24 13 22 ~⏟+ 00 20 120 91 80 +−~⏟ + 43432 → 222 (2 1 2 1 2 ) −+ (0 2 12 7 12) a) Como un sistema homogéneo siempre tiene, al menos, la solución trivial , el que tenga más soluciones significa que ha de ser compatible indeterminado. Esto sucederá cuando el rango de la matriz de coeficientes sea menor que 3.
b)
2009 Septiemb re (Opció n B.2)
Dadas las matrices
obtener una matriz cuadrada de orden 2 que verifique
la ecuación matricial:
Vamos a hacer una resolución directa, sin calcular matrices inversas. Sea
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
la matriz pedida.
28
1 4320 3 23 → 20 800 620 4120 931 840 −~⏟ 800 620 4120 010 2080 → 53 → 5 (0 0 0 3 4 ) + (0 0 0 3 4 ) { 43 { 433 15⁄⁄33 42⁄⁄33 4422 , 449 . 1. 4 41 2 2 4 4 9 ( ) 4 4 2 2 2 1 ∆ 4 41 24 14 122 8 44821 210 12245 61; ∆0→0 ˅ 1 ˅ 5 3 0 ˄ 1 ˄ → ∆0→det 0→º ó 33 → Sistedetmaercmompatinadoible 2 3 → 0→ 400 010 200 009 → (4 4 2 )2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1→ 14 14 11 19 ~⏟↔ 24 24 11 19 −−~⏟ 00 00 35 15 ~⏟− 00 00 30 120→ ( ) 2 3 → 15⁄ → 41⁄5 4⁄15 12⁄5 21⁄⁄55 ~⏟ 201 54 101 21 ~⏟ 101 52 51 11 −~⏟ 10 485 11591 (4⁄5 4⁄5 1⁄5 9 ) 4 4 1 45 ↔ 4 4 1 45 − 0 16 5 41
2009 Junio (Opción A)
Dado el sistema:
se pide:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro b) Resolverlo para a) Escribimos las matrices asociadas:
Sistema incompatible.
Sistema incompatible.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
29
2 3 → ~−⏟ 100 4850 1150 9441 1→ 144 441 121 219 ~⏟++ 400 0 48 216 267 ~⏟ 200 0 28 111 117 → ( 221) (1 ) ( ) 1 →1 1, 87 → , , 1, 1 1 2 24 32 . 23112 42 ; 23 110→ 2 ( ) 2 1 ∆det 3 21 24812 2682 812; ∆0→2 ˅ 6 3 → 2 ˄ 6→det 0→ 2 2 ˅ 6→º 2 → ó2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2→ 2321 42 ~⏟−− 00 11 22 ~⏟+ 00 10 20→2 2 → , 0,2 2 ( ) 6 11 11 11, . 1. det 11 11 11 +⏟+ 211 21 21 2111 11 11 ⏟−− Sistema incompatible.
b)
2009 Jun io (Opci ón B.1)
Dado el sistema:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro b) Resolver el sistema cuando sea posible. a) Escribimos las dos matrices asociadas:
b)
Sistema incompatible.
Sistema compatible determinado.
2009 Jun io (Opci ón B.2)
Dada la matriz
se pide:
a) Estudiar su rango, según los valores del parámetro b) Obtener su matriz inversa para a)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
30
2100 110 101 2 1; det 0→2 ˅ 1 0→ 3. 2 ˄ 1→det 2. 2→det 101 1 12 211 0→ 1→11 11 11 ~⏟−− 00 100 100→ 1. 1 1 1 1→ 11 11 11 ;det 40→∃−. 111 111 111 100 010 001 ~⏟++ 00 1 021 120111 010 001 ~↔⏟ 00 1 201 102111 001 010 −~⏟+ 0 2 20 0001 01 11~10 01 0010⁄2 1⁄02 11⁄⁄22→ − 10⁄2 1⁄02 11⁄⁄22 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1⁄2 1⁄2 0 1⁄2 1⁄2 0 222 100 111 , . 1. 1 12 22 ∆det 222 100 111 ⏟ ò 11+ 22 11 ˅ 1±√ 5 2 1 1; ∆0→ 10→ 2 −±√ 0→ 3. 1 ˄ →det −±√ →∆0 0 1 1110→ 2. 1 ˅ 1 ˄ −±√ →det 0→∃−. 1√ 5 1√ 5 1 ˄ ˄ 2 2 2 2 1 −. 40→∃ 1→ det 2 0 1 22 20 1110 01 002 ~↔⏟0 222 02 1101 10 00 ~⏟− 20 02 1001 1 1 00 ~⏟− 20 02 0001 12 10 ~ 2 0 2 0 0 1 1 20 00 200 0 11 1− ⁄20 0 1 0 10 1 1 010⁄21 0 1 1 00 10 011⁄02 11⁄2 10 → − 1⁄02 11⁄2 10
b)
Vamos a calcularla por el método de Gauss:
2008 Septiemb re (Opció n A)
Dada la matriz:
se pide:
a) Determinar su rango, según los valores del parámetro b) Decir cuándo la matriz es invertible. Calcular la inversa para a)
b)
Así pues,
es invertible si:
Por el método de Gauss:
2008 Septiemb re (Opció n B.1)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
31
234 234 24268 220 1 2 1 3 4 1 2 1 3 4 1 2 1 3 4 1 2 1 3 4 122 420 122 630 840 ~⏟ 111 220 111 330 440 ~⏟−− 000 402 000 603 804 ~⏟ 000 200 000 300 400 ~⏟+ ( ) ( ) − ( ) − ( ) 100 020 100 030 040 → 2 2 → º ó 4 (0 00 0 0) 0 → 23 234 , , ∈ℝ 2 Resolver el sistema:
Sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad.
2008 Septiemb re (Opció n B.2)
El cajero automático de una determinada entidad bancaria sólo admite billetes de 50, de 20 y de 10 euros. Los viernes depositan en el cajero 225 billetes por un importe total de 7.000 euros. Averiguar el número de billetes de cada valor depositado, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20 euros.
20 225 ≡nº de bi l e t e s de 50 € 225 5020107000 ≡nº nº dede bibill eetteess dede 1020 €€ → 2 →52700 −→⏟− 20 20 75 →⏟ 100 3225 → 3175 124700 75 50 2 , 1 . 2. 1 1 12 ; ∆det 1 1 1 ∆0→ 1 1 2 10→1 ˅ 1 1 ˄ 1→det0→º 2 → ó2
Llamemos
2008 Junio (Opción A)
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro Resolverlo cuando la solución sea única. b) Determinar para qué valor o valores de el sistema tiene solución en la que a) Escribimos las matrices asociadas:
Sistema compatible determinado.
Resolvemos por las fórmulas de Cramer:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
32
2 ∆ 12 2 1 1 ∆ 1 12 1 12 1 1 1 1 ∆∆ 1 11 11 1 11 1 11 1 1 ˄ 1→, 2 , 1 1 1 2 → 1→ 11 11 20 ~⏟+ 10 1022→ 1 1 1 2 1 1 2 1→ 11 2 ~⏟− 0 0 0→º 1 → ó 2 2→ 2 , ∈ℝ 3 1 3 1 2→122→23→ 2 ; 232 21 1 2→4. 1
Solución única:
Sistema incompatible.
Sistema compatible
indeterminado con un grado de libertad. b) En el caso de solución única:
En el caso de infinitas soluciones:
Por tanto,
2008 Junio (Opción B)
1 1 1 ⋯ 1 1 11⋮ 19⋮ 19⋮ ⋯⋯⋱ 11⋮ 11⋮ , ( 1 1 1 1 9 ) det 111 911 110. 1 1 1 det 1 1 9 1 19 ⏟++ 00 10 01 20100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 det 111 119 119 119 111 ⏟++ 000 1000 1020 1022 222 10.000 1 1 1 1 9 + 0 0 0 0 10
Dada la siguiente matriz de orden :
a) Calcular el determinante de la matriz b) Calcular el determinante de la matriz c) Calcular el determinante de la matriz a) b)
c)
se pide:
. . .
+
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
33
2007 Septi embre (Opció n A)
1 21 1 21, . 11 121 121 11 ( ) 1 1 2 12 1 0 ∆det 1 21 11 −⏟+ 21 11 01 ⏟ ô 1·1+ 1212 11 ⏟+ 1 11 20 1 1 1 2 2 2 1 2 ; ∆0→ ˅ 2 2 2 3 ˄ 2→det0→º 33 → ó 2 1 2 3 4 2 1 2 2 1 1 → 21 11 ~11 42 22 13 ~↔⏟ 12 43 24 23 −~⏟+ ) ( 10 2 1 0241 −~⏟ 10 2 1 0241 → 2 → 3 0 2 0 4 1 3 0 2 01 0 12 1 3 2 1 1 3 2 1 2→ 21 12 11 23 −~⏟− 00 55 33 44 ~⏟− 00 05 03 40 → ( ) 2 º ó23 → 7 1 1 3 2 1 5 5 321 2→′~00 05 03 40 → 534 → 45 35 , ∈ℝ { {
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.
a) Escribimos las matrices asociadas al sistema:
Sistema compatible determinado.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
b)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
34
2007 Septi embre (Opció n B.1)
, 0 0 1 0 0 2 10 10 00 20 20 00 → ∃→⏟ − − → − − − − − − → − → − , 100 010 001 · 00 10 10 00 10 10 →− 1 0 0 1 0 0 − 100 010 001100 100 100 200 200 200 100 010 001200 020 002→ 100 100 100 233, 235 1, Calcular una matriz cuadrada sabiendo que verifica:
siendo:
2007 Septi embre (Opció n B.2)
Dado el sistema de ecuaciones:
se pide:
a) Calcular de manera que, al añadir una tercera ecuación de la forma el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.
a)
2 2. 233 12 23 13 35 235 12 23 13 35→ , 1 1 1 ( ) 1 2 3 0 2 3 1 2 0 2 , 12 230→ 12 123 350 → 1170 → 7 0 { 1 1 233 12 23 13 35 −~⏟ 10 12 37 13 +~⏟ 235 → 4 (1 1 1 4) − 0 1 4 1 − 253⁄⁄ → ,,253 , 113 , 23 111 →113 10 10 117 11 →71 0 0 3 2 32 23⁄ En:
ha de ser
por lo que, al ser
b) Tendríamos el sistema:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
35
2007 Ju nio (Opción A.1)
111 11 . ∆det 11 1 11111 11 1 11 ⏟− 101 01 1 111 ⏟ ò ·1·1+ 11 1 111 1 2; ∆0→0 ˅ 2. 0→ 3. 0 ˄ 2→det 0→0002 1111 2 100 ; 11 10 0→ 2. 2→22 11 21; 11 210→ 2. −20 10 − 86 97. − − . → → → → 2×2, 289 89 89 → 20 10 86 97 →22 89 → 67 67 67 267 → 230 3 0 →230 3 230 → → , con , ∈ℝ. 2 2 0 − 3 , det 0→2 0→0 ˄ 0. 32 , con 0 5 2 0 0 20 50 01 0 0 01, , , . 1, . 5 2 0 0 0 5 2 0 →20 50 010 0 010 0 0120 50 01→
Estudiar el rango de la matriz:
según los valores del parámetro
2007 Ju nio (Opción A.2)
Sean las matrices:
Como
son matrices
Ahora bien, como ha de existir
Hallar una matriz tal que:
también lo ha de ser. Sea, pues:
entonces
2007 Ju nio (Opción B)
Sean las matrices
a) Encontrar las condiciones que deben cumplir b) Para calcular
se pide:
para que se verifique
a)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
36
b)
5252 52 52 0 52 25 0 250 250 01 70 70 01→5225 → → 257 257 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 1→10 10 01→ 10 10 0110 10 0120 20 0120 20 10 2 2 0 1 1 0 4 4 0 2 2 ·20 20 0110 10 0140 40 0120 20 100 512 0 2 2 0 2 2 2 2 0, … , 2 2 00 512 512 512 0 0 0 1 001 001 83 31 , 10 01, det det d et det det . det det , det detdet. 3 1 3 1 1 0 1; det 83 31 1→ det· →det 8 3 8 3 0 1 det 1 det1→det d et 38 31 det10 01. det84 21det 0;det det 110→ → · detdet→ d et 2 2→det det →1 1 →det 1det11 det detdet →1 1→0→ → , , , ∈ℝ Así sucesivamente:
2006 Septi embre (Opció n A)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Comprobar que y que b) Sea una matriz cuadrada de orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple la siguiente igualdad: ? Razonar la respuesta. c) Encontrar todas la matrices cuadradas de orden 2, tales que: a)
b)
c)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
37
2006 Septi embre (Opció n B.1)
Dado el sistema
30 , 235
se pide:
a) Resolverlo. b) Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4.
85 12 13 31 05 −~⏟ 10 11 5305 ~⏟− 10 01 5855→55 58 Sistema compatible e indeterminado con un grado de libertad: 55 , ∈ℤ 4→585 54→44→1→ ,,3,0,1 0 00 00 . ⋯ . →0 0 0 →0 → 0 → 0 0 0 no admi s i b l e → 0→ ˅ 1 → ˅01 11 { 1→0 0 0→0 0 0 0 → , ∀ ∈ℕ→⋯ 10→ { 100 101→1000 10100 0 0 , 1 0 0. 1 1 10 ∆det 11 11 101 ⏟+ 1 1 1 0 1 1 1 1 + ⏟ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 ò ∆0→1 ˅ 2 a) Escribimos las dos matrices asociadas:
b)
2006 Septi embre (Opció n B.2)
a) Halla todas las matrices
distintas de
tales que
b) Para cualquiera de las matrices obtenidas en el apartado anterior, calcular:
a)
b)
2006 Jun io (Opción A.1)
Dado el sistema homogéneo: de
averiguar para qué valores de tiene soluciones distintas
Resolverlo en tales casos.
Un sistema homogéneo es siempre compatible. Sea
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
38
Si
1 ˄ 2→∆0→ , , 0 , 0 , 0 . 1 ˅ 2 1→ 110 111 110 000 ~⏟+ 100 211 001000 +~⏟+ 100 010 001000→ 0 → 0 ( ) ↔ 0 , ∈ℝ 20 → 2→ 123 121 110 000 −−~⏟ 100 552 133 000 ~⏟− 100 520 130 000→530 ( ) 3 5 , ∈ℝ 10 21, . 2 22 1 2 1 2 2 2 2 →0 1 0 1→ 2→ 2 → 0 → 0 , , ∈ℝ 222 11 11, . . 2. 1≤≤3. det222 11 11211 11 1121 1 2 21 0→0 2 1 1 ; det ˅ 1 ˅ 1. 3. 0 ˄ 12 ˄110 →det 00→ 0→02 210 111;d1et 20 110→2. 1→2 221 111 11 ;det0 22 110→2. 1→22 11 11,det0 11 11 0→2. Sistema crameriano. Como es homogéneo, solución trivial:
Entonces, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) cuando
2006 Jun io (Opción A.2)
Dada la matriz
encontrar todas las matrices
tales que
2006 Junio (Opción B)
Dada la matriz
se pide:
a) Determinar su rango, según los valores del parámetro b) Determinar para qué valores de existe la matriz inversa de
Calcularla para
a) Es
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
39
b)
det0→∃−.
∀0 ˄ 1 ˄ 1 24 11 21; det12 2→ 1 21 112 2422 2121 1 422 121 3 6 6 12 21 22 12 22 12 51 66 22→ ( 1 1 4 1 4 1 ) 1 5 1 ∗ 63 56 61 →− det1 ∗ 124 1212 1212 6 2 2 ( 12 16 16 ) 10 21, 10 01, . . 10 01→10 410 2 0 0→ →1 410 2110 212 10 21 1 → 2, 1 → 2 0 1 0 →24 42 4 43 2 42 34 24 4 354510 21410 01 10 101 ↔↔ ↔ . 10 21 10 21→2 2 2 → 2 2 22 0 2 → → 0 , , ∈ℝ Por lo tanto, la matriz inversa de
existe:
2006 Septiembr e (Opció n A)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Hallar las constantes y tales que: b) Calcular utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior. c) Hallar todas las matrices que satisfacen: a)
b)
c) Tengamos en cuenta que el producto de matrices no es, en general, conmutativo:
Buscamos, pues, las matrices
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
que permutan con
40
2006 Septiembr e (Opció n B)
000 00 0 100 10 1, . 0,. . 00 0 00 0 00 00 0 → 00 00 000 0 00 00 00→ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 · 00 00 00· 00 00 00 −. det100 101 1010→∃ 10 1 0 1 00 −~⏟ 10 01 10 1 00 −~⏟ 10 01 0010 1 → 0 0 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1−− 0 0 1 0 0 1 − 00 10 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0→100 0102 01→1 000 10 1010 003 10 0100 10 01 → 00 10 01 00 10 0100 10 01 . 10 011 00 00 1 1 3 1321 2 , 2. 4 1 1 112 231 2134 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∆det 21 1 ⏟ 1 ⏟ 3 1 1 1 1 1 1 + − 2 2 1 2 2 1 2 2 0 0 1 11 12 21 ⏟ ò 1 212 1 2124 ∆0→1 ˅ 2 ˅ 4.
Dadas las matrices:
a) Hallar b) Hallar la matriz inversa de c) En el caso particular de a)
b)
c)
se pide:
hallar
Por el método de Gauss:
Y así sucesivamente:
2006 Junio
(Opción A)
Dado el sistema de ecuaciones:
se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. a) Consideramos las matrices asociadas al sistema:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
41
3 1 ˄ 2 ˄ 4 →det0→º 3 → ó3 2 1 1 2 1 1 3 3 1→ 11 22 33 34 ~⏟+ 01 02 30 14→0001→ IncSiompatstemaible. (1 1 1 3 )1 1 1 3 1 1 1 3 2→ 21 12 30 34 −~⏟− 00 11 11 31 ~⏟+ 00 0 1 1032→0001→ ( ) 2 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 4→ 41 32 32 74 ~⏟− 11 22 2244 ~⏟− 10 20 2040→º 2 → ó 3 (3 1 1 3 ) 3 1 1 3 0 5 5 9 4→′~10 20 2040 −~⏟ 0 5 00 0020 −~⏟+ 50 00 0020→5 59 52 → ⁄ 25 95⁄ ,∈ℝ 231, 22 5, 12 12 31 12 −~⏟ 10 23 3710 −~⏟+ 30 03 7530→ 15 353 →370 → 7 3 , ∈ℝ 231 1 1 2 3 22 5 → 25 11 1 2 ; 12 210→≥2 ( ) 2 2.
Sistema compatible determinado.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. b)
2006 Juni o (Opción B.1)
Dado el sistema de ecuaciones:
se pide:
a) Resolverlo. b) Hallar dos constantes de manera que, al añadir al sistema anterior una tercera ecuación el sistema resultante sea compatible indeterminado. a)
b)
Las matrices asociadas:
Para que el sistema sea compatible indeterminado, ha de ser:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
42
12 12 310 3180 →6, 5 512 121 12 →3150 5 1 0 − − ,− 23− 11 12 11 . → → → → 5 2 ;→ 23 11 23 11 12 11 →32 → 32 4 1 25 , 3 24 9 6 9 11 32 → , → 11 1 7 6 7 100 212 023 110 111 231, . . 11 11 2110 01 00 ~⏟− 10 01 231 1 01 00 ~⏟+ 10 11 201 1 01 10 ~⏟− 0 1 3 0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 1 3 0 0 1 − 10 01 2012 11 11 ~⏟− 30 01 0014 11 31 ~10 01 0041⁄3 11⁄3 11 → 0 0 3 1 1 0 0− 0 43⁄31 11⁄3 01 0 0 1 1⁄3 1⁄3 0 11⁄3 11⁄3 10 − − →− → − →− −4→ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 3 1 3 1 4 3 1 3 113 1 2 0 11⁄3 11⁄3 10 00 12 23 11⁄3 1⁄13 25⁄3 00 00, 31 4110 01 00 00 ; det 0 00 00→det 00 000→ det det ·det ·det det det0→ De esto se desprende:
2006 Juni o (Opción B.2)
Hallar una matriz tal que:
Sea
siendo
2004 Septiembr e (Opció n A.1)
Dadas las matrices:
se pide:
a) Determinar la matriz inversa de b) Determinar una matriz tal que a) Por el método de Gauss:
b) Premultiplicamos ambos miembros por la inversa recién calculada:
2004 Septiembr e (Opció n A.2)
a) Si
¿cuál es el determinante de ?
b) Calcular un número tal que: a)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
como
43
10 01 31 4110 01 00 00→31 4110 0131 4110 0100 00→ 31 4131 4131 4131 41 10 0100 00→ 52 83231 410 000 00→ 0 0 65 88 52 8362 820 000 00→22 0 0→ 23 1 650→ 5 880→1 → 1 220→1 1 { 230→3 3 1 , 1 . 2. 11 13 11 11 ( ) 3 1 3 1 ∆det 11 1 1 −⏟+ 11 0 1 0 1 111 3 0 1 101 ⏟ ò 1·1·1+ 3 1 11 14 22 12 ; ∆0→1 ˅ 2. 3 1 ˄ 2→det 0→º ó 33 → 0 2 0 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1→ 11 11 11 11 ~⏟−+ 10 21 0110 ~⏟+ 10 01 0110→ ( ) 2 2 → º ó3 b) Considerando que
(Único valor que satisface las cuatro ecuaciones).
2004 Septiembr e (Opció n B)
Dado el sistema de ecuaciones:
se pide:
a) Discutirlo, según los valores de b) Resolverlo en el caso de
a) Escribimos las matrices asociadas:
Sistema compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
44
21 32 12 21 ~⏟− 20 31 1320 ~⏟+ 20 31 1320 +~⏟ 20 01 8320~⏟ (1 1 1 1) − 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 2 → 10 01 4310→ 0 0 0 0 º ó3 14 1 0 4 1 41 2→ ~ 00 10 30 00→30 → 3 ,∈ℝ 11240 , 0 0 . 1 2 4 1 2 4 ∆det 11 1 11 ⏟+ 10 1 10 ⏟ ò 11+ 11 14 1 14 3; ∆0→3. 3 3→det0→º ó3,→,0,0,0 4 2 4 2 3→11 32 11 ;det 0 41 22 0→º ó3 → 3→ 141 322 141 000 ~⏟ 121 312 121 000 ~⏟+ 210 211 201000 ~⏟− 20 5 1 2000 +~⏟ 20 00 2000~⏟ 10 00 1000→ 0 0 → , ∈ℝ 0 0 1 0 0 − 0 1 0 0 − 0 1 0 0 2→
Sistema compatible indeterminado con un grado de
libertad. b)
2004 Junio
(Opción A)
Dado el sistema de ecuaciones:
se pide:
a) Estudiar su compatibilidad, según los valores del parámetro b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. a) Se trata de un sistema homogéneo (siempre compatible).
Sistema compatible determinado. Solución trivial.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. b)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
45
2004 Juni o (Opción B.1)
315 110 120 100 00 1 000, −. ·· . 1 10 10 10→∃−. det 3 13 10 10 10 015 001 +~⏟ 2 10 01 10 13 01 00 ~⏟+ 10 10 01 13 01 00 ~⏟+ 10 01 00 11 02 01 5 1 2 0 0 1 − 0 1 2 5 0 1 1 00 00 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 − 1 2 1 2 1 1− − −, −: ·· →− ·· − − − → − −− − → − − →− − 1 0 0 1 0 0 112 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 21 1100 0 1 001 2 21 11 1 2 21 1100 0 1 0000 21 11 1 0 0 1 1 2 1 1 2 1 2 21 0000 21 11 →21 43 43 21 , 32 21, 221 1 21 13 12 12 ; 13 12 70→ 2. 32 → ( ) 2→13 2 1 210 ª→⏟ 1 21 2113 1213 12 0→570 5 0 →50 Dadas las matrices:
se pide:
a) Hallar b) Hallar la matriz tal que:
(Nota:
a)
Por el método de Gauss:
b) Considerando que
indica la traspuesta de ).
premultiplicando por
y postmultiplicando por
2004 Jun io (Opción B.2)
a) Dado el sistema:
escribir una ecuación de la forma
(distinta de las
anteriores) de manera que el sistema resultante de tres ecuaciones y dos incógnitas siga siendo compatible.
b) Dado el sistema:
escribir una tercera ecuación de la forma
(distinta de las anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas que resulta siga siendo compatible indeterminado.
a)
Para que el sistema sea
compatible, ha de ser:
. Podemos tomar:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
46
221 2 2 1 1 21 → 1 1 2 11 ; 1 2. 212 122 0→1 ( ) det 0→1 1 2 ª⏟ 21 12 21 12 21 210→5500→ ∆21 21 1110→∆ ª⏟ 21 1121 11121 12 0→350 3 3 →3341 →35 4 25 3439 , 2 1. 31 241 131 952 ; ( 3. ) det 0. 0 1 3 3 4 3 det 1 21 11 ⏟−− 0 1 01 11 ⏟ ò 1·1+ 10 311 det0→10→ 1 2 3 4 3 9 0 1 0 3 0 0 0 0 1→ 11 21 11 52 −~⏟− 01 11 0132 ~⏟−− 01 10 0113 →º 2 → ó3 ( ) 1 3 1 → 3 , ∈ℝ b)
para ser compatible indeterminado,
c) Como
. Podemos tomar:
2003 Septiembr e (Opció n A)
Dado el sistema de ecuaciones:
a) Determinar los valores de b) Resolverlo para
se pide
para que el sistema dado tenga solución única.
a) Escribimos las dos matrices asociadas: determinado, ha de ser
para que el sistema sea compatible
Para ello, tiene que ser
b) Por el método de Gauss:
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
47
2003 Septiembr e (Opci ón B.1)
Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes , 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios, y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12000 euros. A una segunda agencia le vende 10 billetes a destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13.000 euros. A una tercera agencia le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7.000 euros. Se pide: a) b)
Hallar el precio de cada tipo de billete. Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros europeos comunitarios (suponiendo que mantiene constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios) para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias.
≡ ≡ ≡ 10101012000 1200 500 300 21300 102013000 → ⏟ → ⏟ → , , 3 00, 4 00, 5 00 − 10107000 700 . 400 30· 080·30203032000. 380009800→ 0020··40030·9800510032000→720080001500032000→ 8000 2251225%→ Aumento del 225% . − − 12 11 , . − − → → ⏟ → ⏟ → , ú. ∃ − −1−− → − − →=⏟ − − − − − − − − → ⏟ → → ⏟ 1 = →= = ≠→ 1 1 1 1 12 111 , 1.→ → 2 1 2 1 2 2 1 2 0 1 21 1 1 222 0 1 → 1 → → → 2 21 22 12 221 02 1 0
a) Sean: precio del billete con destino nacional, precio del billete con destino extranjero comunitario y precio del billete con otros destinos. Entonces:
b) Total de ventas:
Entonces, si llamamos al índice porcentual:
2003 Septiembr e (Opci ón B.2)
a) Sean dos matrices invertibles que verifican la identidad se tiene la fórmula (en la que es la matriz identidad): b) Dada la matriz: a)
b)
Comprobar que entonces
hallar la matriz para la cual se verifica:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
48
2003 Ju nio (Opción A)
22 1 3. 1 1. . 3 3 33 33 →⏟ 9 32 → 32 1→2 → ⏟ 2 1 + 23 . {2 2 {12 → ,,32 , 1, 32 2 1 11 111 321 ( ) 22 2 0 2 1 1 ∆det 1 1 11 ⏟++ 1 11 01 ⏟ ò 0˅ 1 1 2 121 21 1; ∆0→1 1·1+ 21 3 0 ˄ 1→∆0→º 3 → ó3 2 1 1 2 1 3 3 2 3 → 2 1 0→ 01 10 11 21 ; 0 10 01 0 1 2110→ ( ) 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 → 11 11 11 21 ~⏟+ 10 12 10 23 ~⏟+ 00 32 00 53 ~⏟− ( ) 10 32 01 35 →0001→ 0 0 0 1
Se considera el sistema de ecuaciones:
Se pide:
a) Resolverlo para b) Discutirlo según los valores de a)
b) Escribimos las matrices asociadas al sistema
Sistema compatible determinado.
Sistema
incompatible.
Sistema incompatible.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
49
2003 Ju nio (Opción B.1)
2 2 1 1 1 2 2 ⏟− 22 ⏟ ò 1·1+ 22 2 0 0 1 1 1 1 2 − − ⏟ 2 1 2 0 2×2 3 10·39 03. 0 · . ·3 1·39 03→ 3 10 39 03 339 3 0 3 3 0 →3 → → 3 39 39 3 339 30 0 3 0 0 0 3→30→0 → 0 0 0 0 0 3→0 , , ∈ℝ. 3 , , ∈ℝ 0 0 . 2, 10 11 1 1( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 det 01 1 11 ⏟+ 01 1 0 1 101 1 010;10 110→ 2,∀ ∈ℝ1 .1 01 Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad:
2003 Ju nio (Opción B.2)
Encontrar un número real
y todas las matrices de dimensión
(distintas de la matriz nula), tales
que: Sea
Entonces:
Si
Si
(no se admite)
Entonces:
2002 Septi embre (Opció n A)
Se considera el sistema de ecuaciones:
a) Discutirlo, según los valores de b) Resolverlo en los casos en que sea posible. c) En el caso indicar la posición relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el sistema.
a) Escribimos las matrices asociadas:
Orlamos el menor
en
con la cuarta columna:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
50
1 1 ∆01 1 101 11 11 ⏟− 100 11 1 11 1100 111 112 1; ∆0→0 ˅ 1. 2 0 ˄ 1→∆0→ → 3 2 2 0→º → ó3 101 110 011 000 ~⏟− 100 111 110 000 ~⏟+ 100 110 001000→ ( ) 0 0 → , ∈ℝ 2 2 1→º → ó3 10 11 11 11 ~⏟− 10 11 1111 ~⏟+ 10 12 0121→ 1( 1 1 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 22 22 → , ∈ℝ. 1 1 24 2 2→22
Entonces:
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
Resolvemos:
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
Resolvemos:
b)
. El sistema es incompatible, por lo que:
Los tres planos no tienen ningún punto en común. Como, además, dos a dos no son paralelos, se intersecan determinando tres rectas paralelas. 2002 Septi embre (Opció n B)
.
, − . , . 1 1 , 0 .
Sea una matriz cuadrada de orden que verifica la igualdad: Se pide: a) Expresar b) Expresar
en términos de en términos de
c) Calcular para que
siendo la matriz cuadrada de orden
para cualquier número natural
siendo
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
51
a) b) c)
− ,↔·↔ , ·, · ,…→ , , sisi esesimparpar 0 →1 →10 110 110 01→10 1 10 01→11
2002 Ju nio (Opción A.1)
Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que, hace 14 años, la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento; que, dentro de 10 años, la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que, cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años.
≡ ≡ ≡ 145 1414 10 1010 42 145 1414 101010 → 42 55126 55126 4176 10 42 →⏟− 10 → ⏟ 10 − 232 232 44 → ⏟ → 18 16 . 125 400 14 323 . 41 33 0→ . 0 2 ∆40 41 33 ⏟ ò 41+ 1 32 43 2; ∆0→4 ˅ 23 ∆125 14 332 ⏟+ 24 1 5 1 302 ⏟− 04 4 5 1 302 ⏟+ 004 65 302 ⏟ ò 41+ 6 32 431212 4; ∆0→4. Edades actuales:
edad de la madre,
edad del hijo mayor,
edad del hijo menor.
Hace 14 años:
Dentro de 10 años:
Cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre (dentro de
años), el hijo pequeño tendrá:
Sistema:
La madre tiene 44 años y los hijos 18 y 16 años respectivamente.
2002 Ju nio (Opción A.2)
Calcular el rango de la matriz
según los valores del parámetro
Orlamos este menor:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
52
4→ 2 4→ 3 2 20 . 1 . 1. 2. 11 1 11 02 201 ~⏟+− 110 100 02122 ·~⏟− 110 100 002212 (→ 2) . 0 1 11 21 2 21 Si s t e ma 1 2 0 ˄ 1→ 2 → → c o mpat i b l e 2 1 1 determinado. 2 0→ 01 → 02 2 1→2 → → 00 1 2 1 , ∈ℝ 1 1, 2→2 → , , 1, 66 21 41 21 . 2. 1.
Concluimos, pues:
2002 Junio (Opción B)
Se considera el sistema:
Se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro b) Resolver el sistema para c) Resolver el sistema para a) Método de Gauss:
Entonces:
son valores clave.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
b) Del apartado anterior: c)
2001 Septiembre (Opción A)
Se considera el sistema:
a) Discutirlo según los valores de b) Resolver el sistema para c) Resolver el sistema para
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
53
1 1 42 11 ( 0 1 1 ) det 0 1 11 142 ⏟− 10 230 214 ⏟ ò 1·1+ 1 23 23 1 3; det 0→1 ˅ 3. 3 1 ˄ 3→→detA0→º 3 → ó3 2 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 1 1→ 0 1 11 12 11 ~⏟+ 00 21 2121 ~⏟ 00 10 1010→º ó 23 → ( ) − 3→ 310 311 241 311 ~⏟− 300 1011 1041 312 ~⏟+ 300 1010 1040 2812 → ( ) 00029→ 231 2 1 4 2 1 4 2 0 3 1 1 1 53 → 2→ 0 1 21 12 12 ~⏟+ 00 51 0132 ~⏟− 00 51 01 32 → 2 ( ) ,, 13 , 3 , 7 5 55 3 1 1 4 1 1 0 3 0 30 1→ ~ 00 10 1010 ~⏟− 00 10 1010→ 1 → 1 ,∈ℝ 101 433 544 . , − . . 0 3 4 0 3 4 1 0 1 11 43 54 11 43 54 11 34 34 ;
a) Consideremos las matrices asociadas al sistema:
Sistema compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
Sistema incompatible.
b)
c)
2001 Septiembre (Opción B)
Se considera la matriz:
Se pide:
a) Comprobar que verifica la igualdad: b) Justificar que tiene inversa y calcular c) Calcular a)
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
siendo la matriz identidad y la matriz nula.
54
b)
·111 304 314 101 433 544 100 100 100 → ·→ ·→ → ·→ − − → − 111 403 413 · · · ·101 334 445 22 232 56. . 12 1 1 32 22 −~⏟ 10 31 12 22 −~⏟ 10 13 21 22 8 5( 1 6) − 0 6 10 4 − 0 0 8 0 0→8. 3 3 → 8→º ó 2 3 8→º ó 23 → ⁄ 43 5 1 1 2 2 4 3 0 5 3 54 ⁄3 , ∈ℝ 8→′~00 30 1020 ~⏟− 00 30 1020→ 32 → 23 (por definición de matriz inversa)
Entonces:
c)
2001 Junio (Opción A.1)
Se considera el sistema:
Se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.
a) Método de Gauss:
;
Entonces:
b)
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
2001 Junio (Opción A.2)
Comprueba que las siguientes matrices tienen el mismo determinante:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 11 11 11 111 1 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 det 11 11 11 11 ⏟−− 00 0 0 ⏟− 00 0 00 ⏟ ò −
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
55
1+ 01 10 ⏟++ 00 111 111 · 11 11 · 1 1 1 1 1 1 det 111 1 11 1 1 11 0 0 100 110 101, 101 1 1 2 . . 100 110 101100 110 101100 210 201; ·100 210 201100 110 101100 310 301… 100 10 01100 110 101100 10 1 01 1→ 100 10 01 101 1 1 2101 101 202 ; → 100 10 01101 101 202 1 −1 0 0 1 0 0 1 − 1 00 10 0100 10 01 −~⏟+ 00 10 0100 10 01 → 00 10 01 → −100 10 01101 101 202 111 101 202 11 34. −. · 5 21 1 24 − →11 34 10 01→ 3 30 31 3 1 0 4 3 → ˄ → ˄ 4 4 0 1 40 41 1 1 →
2001 Junio (Opción A.3)
Sea un número natural y sean las matrices:
a) Calcular b) Hallar la matriz que verifica la ecuación: a)
b)
Calculemos
por el Método de Gauss:
2001 Junio (Opción B.1)
Sea la matriz
Se pide:
a) Calcular
b) Resolver el sistema
a) Por la definición de matriz inversa, si
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
56
b)
− 14 31 5 2124→− · 1 5 − 2124 ·15 2124→·1 5 14 31 2124→·1 5 123→13 512 → → − ··1 , 7,4 23 29 65 121 111 26 395 12 11 2 39 ~↔⏟ 11 11 2635 ~⏟+ 12 10 42 38 ~⏟− 1( 1 6 5) 2 1 9 + 3 0 2 12 11 10 22 24; 2160→8. 0 0 2160 3 8→º 3 → 1ó1 233 2 1 0 7 2 2 → 8→′ ~ 10 00 0240 ~⏟+ 10 00 0240→º ó 3 42 27 14 24 → ,∈ℝ 1 1 2 3 2 8→21 11 86 95 12 11 0→ 21 1 → →1 1 6 51 1 2 32 1 8 9→286 395 1 233 → 13 23 → 2 3 , 0 0 0 0
2001 Junio (Opción B.2)
a) Discutir en función de los valores de y resolver cuando tenga más de una solución el sistema:
b)
Si el rango de la matriz
es 2, determinar una combinación lineal no nula de
las tres filas, así como una combinación lineal de las cuatro columnas.
a) Método de Gauss:
Entonces:
Sistema compatible determinado.(Solución única)
Sistema compatible
indeterminado con un grado de libertad. Queda:
b) Del apartado anterior se tiene que
para
Las dos primeras filas (y las dos primeras columnas) son linealmente independientes.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
57
3 3 1 1 4 → 29 → 952111 → 5 → 1 4 → 4 →4 0 , 000 111 11 11 11 .. 1 1 1 3. 1. 111 11 11 11 ; ≤3. 1 1 1 ( ) 1 3 1 1 1 3 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 det 1 1 11 11 +⏟++ 1 1 11 111 3 1 1 11 111 ⏟−− − 0 1 0 0 3 11 1 0 1 1 0 1 1 00 ⏟ ò 3 · 1 · 11++ 1 0 1 1 0 1 1 00 311 11 3 1; det 0→3 ˅ 1. ≤3 3 ˄ 1→det 1→det 0→ 0→ 4 → ≤3. 3→det1 1 → ≤3. 11 31 311 311 ~⏟− 100 410 410 344 +~⏟+ 100 410 410 344 ~⏟ 100 110 101311 → 3( 1 1 1 ) +− 0 4 4 8 0 0 0 0 −− 0 0 0 0 º ó 333 → 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1→ 1111 11 11 ~⏟−− 00 00 0000 → º ó 31 → ( ) −
2001 Junio (Opción B.3)
Se considera el sistema de ecuaciones: a) Discutirlo según los valores de b) Resolverlo para c) Resolverlo para
a) Escribimos las matrices asociadas:
es es
Sistema incompatible.
Sistema compatible determinado.
Sistema compatible
indeterminado con dos grados de libertad (dos incógnitas libres).
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
58
b)
c)
1 1 1 3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 3→′ ~ 00 00 1010 −~⏟+ 00 00 10110 → ,,, 1,1,1 , , ∈ℝ 1→ 1→ 1→ 1→1 0 1 10 2 121.. 2 0 1, 00.. det 0 1 10 2 121 ⏟+ 0 1 10 2 02 1 2 1 2 4 1 12 2 134 ;det4 0→ 3 4 0 →1 1 ˅ 3 − ↔ ∃ ↔1 1 ˄ 3 10 10 11.. 2→ 10 10 1110 201 000 2~↔⏟ 12 10 2101 00 10 ~⏟− 02 20 2420 00 11 +~⏟ 2 0 2 0 0 1 ↔ 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 −1 20 02 0002 42 11 ~ 10 01 0001 12 121 → − 01 12 21 0 0 1 0 1 −0 (0 0 1 0− 1 02) (0 1 02) · ·. 1 1 0 1 0 1 102 100 121 1 2 212 100 010 001 ˅ 1 2 212 102 100 121 100 010 001 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 1→01 01 12 → 01 01 121 000 → 0 20 0 → 2 ,∈ℝ 20
2000 Septiembre (Opción A)
Se considera la matriz:
Se pide: Se
a) Encontrar los valores de para los que esta matriz es invertible. b) Hallar la inversa para y comprobar el resultado. c) Para
resolver el sistema
a) Una matriz cuadrada tiene inversa solamente cuando su determinante es distinto de cero.
b)
Por Por el método de Gauss:
Se ha de comprobar que:
c)
o bien:
Esto es:
El sistema homogéneo homogéneo es:
Como las dos primeras ecuaciones son equivalentes, nos queda:
2000 Septiembre (Opción B)
Discutir según los valores de y, cuando proceda, resolver los sistemas: MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
59
a)
50 230 2 0 11 11 15 00 ~⏟+ 12 01 16 00 ~⏟− 12 01 16 00.. 2 0 0 2 0 0 0 0 6 0 60→6. 3 ,,, 0,0,0 6→º óó 23 → 6→º ó 3 32 → 3 20 ~⏟ 11 0 1 1300 ~⏟− 01 01 3200 → 20 2 0 0 0 0 0 0 0 0 30 → ,∈ℝ 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 5 5 5 5 134 00 ~⏟− 000 200 45 139 00 ~⏟ 000 200 45 131 00 211 102 321 00 −~⏟− 000 221 25 + ( ) − 1 1 0 5 0 0 2 13 ~ ⏟ 0 0 1 +−+ −+ 0 0 0 0.. 3 0→ 4 3→ 0→º ó 33 → → ,,, 0,0,0 2×2. . · · · · . → ; . →· · · 50 20 0
b)
a) Reordenamos las ecuaciones y aplicamos el método de Gauss:
Sistema compatible determinado.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
Queda:
b)
Sistema incompatible.
Sistema compatible determinado(y homogéneo)
2000 Junio (Opción A)
Para una matriz cuadrada, se define su traza como la suma de los elementos de su diagonal principal. En lo que sigue, supondremos que y son matrices cuadradas a) b) c) d) a)
b)
Comprobar que se verifica: Comprobar que se verifica: Utilizando los resultados anteriores, demostrar que Encontrar dos matrices para las que:
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
es imposible es
60
c)
· · →→→ → → 1 0 0. 0 1 2. 10 01→5,50 00 2. 50 00, 5, 52·5. 12 2 1 1 .2 1 . 2 2. 2 1 1 11 12 1 1( 1 1 2) 1 1 2 2 2 1 1 1 ∆det 11 1 1 +⏟+ 11 1 1 211 1 1 ⏟−− 1 1 1 200 10 10 2 1; ∆det 0→1 ˅ 2. 3 1 ˄ 2→∆0→º 3 → ó 3 1 ˅ 2→ 1→ 111 111 111 000 →Tres planos coincidentes: 0 ( ) 0,0,0. 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 2→ 11 21 21 00 ~⏟++ 00 33 33 00 ~⏟+ 00 10 1000→ ( ) 2 º ó 23 → ≡ 20 0 Esto es imposible, pues
d)
Se tiene:
y es
Evidentemente:
2000 Junio (Opción B)
Se considera el sistema de ecuaciones:
a) Comprobar que es compatible para cualquier valor de b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones en los casos c) Resolverlo para a) Escribimos las matrices asociadas:
Sistema compatible determinado.
b)
Se obtiene un sistema homogéneo en ambos casos. Y un sistema homogéneo es siempre compatible (pues admite la solución trivial)
Sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad. Es la ecuación cartesiana de un plano que pasa por
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
Los dos primeros planos determinan la recta
(que pasa por el origen de
coordenadas) y el tercer plano contiene a dicha recta.
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
61
Se tienen, pues, tres planos del mismo haz de planos.
c)
2 1 1 0 2 0 2 0 1 0 1 0 0 ′~ 00 10 1000 ~⏟+ 00 10 1000 −~⏟ 00 10 10 00→0 → ,∈ℝ
MATEMÁTICAS B. ÁLGEBRA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
62
2
Geometría Analítica - Matemáticas B P.A.U. Comunidad de Madrid 2000-2016 EJERCICIOS RESUELTOS
2016 Junio (Opción A-1)
≡10,, ≡20,
Dados los planos determine, en caso de que existan, el valor o posibles valores del parámetro para cada uno de los siguientes supuestos: a) Que sean paralelos. b) Que sean perpendiculares. c) Que la recta intersección de ambos sea perpendicular al plano a)
b) c)
. ≡10 ≡20→ :⃗⃗121,,1,,11 1 1 11 21 1 1 1 1
⫽ ↔ 2 ↔ 1 1 2 → 1 ⏊ ↔⃗ ·⃗ 0→·11· 1·10→210→ ⃗ 10 ≡20 →⃗ ⃗ ×⃗ 1 1 111,1, 1 1 1 ⃗ ≡0→⃗ 1,1,10; ⏊→,⫽⃗→í1⃗ 01,0,0 01 → 10→ 1
2016 Junio (Opción A-2)
2 , 1 , 1 , 0,2,1, 1,3,0 2,1,1. 0,2,1, 1,3,0 2,1,1. Dado el punto
Hallemos el plano
determine el punto simétrico de respecto al plano que pasa por los puntos
que pasa por
⃗ 1,5,1 ⃗ 2,1,2→≡12 51 2 12 10→ ≡992 10→≡10→⃗ 1,0,1; 2,1,1 1 . : ≡1 : ∩→ 2 110→220→1→ 1 , 1 , 0 ,, ⃗ ⃗ 1, 11→0 ′ → 1, 0 , 1 1, → → 0 , 1 , 1 10→1 1 La dirección del plano:
Perpendicular a por
Si
Proyección ortogonal de sobre
es el simétrico pedido:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
64
2016 2016 Junio (Opción B)
0,0,5,3, 0,0,6,4, 2,2,4,2 2 2,2,3,1, ⃗ 0,0,1,1, ⃗ 2,2,1,11 ⃗ 2,2,2,22 →→⃗ , ⃗, ⃗ 220 112 1120→ ⃗, ⃗ ⃗ → , ,, coplanarios ⃗ 0,0,1,1 ⃗ 0,0,1,1⃗ → ⃗ ⃗ → es un paralelogramo. ⃗ ×⃗ 20 11 11 |0,2,2| 0 2 22 √ √ 8 2√ √ 2 . 12 0,0,5,3 2,4,2 1, 92 , 52→1, 92, 52 ⃗ ×⃗ 0,0,2,22, ⃗ 0,0,2,22 0,1,1 9 1 ≡ 52 , ∈ ℝ 2 2 , 1, 0 1, , 2 2,2,4,2. 1,1,0,11 9⁄√ √ 5959. .. ⃗ 1,1,,22 ⃗ 2,2,4,2; ∀∈ℝ, ∄ ∈ℝ ⃗ ⃗ . ⃗ ⃗ ⃗ 11,1,1,112. 2 4 2 ⃗ ⃗ ⃗ | | | 424822 18| 18 ,, ⃗,×,⃗ 1 1 ⃗ 1 |424822| → | | | | 28, 28, 6, 4 2| 2 24, 2 4, 3, 2 | 12 4 22 9 ; ,, √ √ 95959 → ,, 2 4 1833 2 √ √ 22 429 Se consideran los puntos
y se pide:
a) Comprobar que los puntos dados son coplanarios y que el polígono es un paralelogramo. b) Calcular el área de dicho paralelogramo. c) Determinar el lugar geométrico de los puntos cuya proyección sobre el plano es el punto medio del paralelogramo.
a)
Son coplanares (linealmente dependientes) En un paralelogramo, los lados opuestos determinan vectores iguales.
b)
c) El lugar geométrico pedido es la la recta perpendicular a dicho plano trazada trazada por el punto medio de una diagonal del paralelogramo. Sea el punto medio de la diagonal El vector normal a ese plano es: Entonces, el lugar geométrico pedido es la recta:
y también
.
2015 Septiembre (Opción A)
La recta pasa por el punto y tiene como vector director y y tiene como vector director y
a) Calcular >0 para que la distancia entre ambas rectas sea b) Calcular para que sea perpendicular a la recta que pasa por a)
; la recta pasa por el punto
y por
y tal que Esto Esto es, y nunca son colineales (linealmente dependientes). Por tanto, las rectas se cortan (concurrentes) o se cruzan (alabeadas). Además: En En todo caso:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
65
22 429√ √ 429 59→2 59→2 4300→ 2150→ 5 0 no, puepue3s se pipide 0 ⏊→⃗ ⏊⃗ → ⃗ · ⃗ ..0 → 1,1,,22⃗· 1,⃗1,1,111, 0→120→1 1,1,11. 1,1,1,1, 1,1,0,2 ≡0, ≡60, ≡0. 3, . , ′′ .
b) Sea
la recta que pasa por
y
Entonces,
2015 Septiembre (Opción B)
Dados los puntos
y los planos: y
a) Calcular los valores de para que los tres planos se corten en una recta. b) Para calcular la ecuación del plano que contiene al punto y es perpendicular a la recta calcular intersección de los planos y c) Hallar la distancia entre los puntos y siendo siendo el el simétrico de respecto al plano
a) Para que los tres planos dados se corten en una recta el sistema sistema que determinan (que resulta ser homogéneo) ha de ser compatible indeterminado con un grado de libertad. Por ello, el rango de la matriz del sistema (o de coeficientes) ha de ser 2.
b)
0 → 01 0 61 00 ; 10 0 61 0→ 60 60 2→ 0 1 1 0 1 1 { → 3(˅ 2 ) 0 ⃗ 3 ∩ ≡ 20 →≡2 → 1, 1 , 2 , 1 → ⃗ 1, 1 , 2 , 1 1,1,1,1 ∈ → .. ≡20; 11 211 10→2→≡2201 1 .. ⃗ ⃗ 11,0, 1→≡ → ≡ 1 ∩1 , ≡0→ 1,1,, 0→1→ 0→1→ 0, 0 , 1, 0 ⃗ ⃗ ′ → 1, 1 , 0 , 1 1 10 → 11 → 1,1,1,11; 1,1,0,2 → ⃗ 0,0,1,,3 → , → 1 1 , ⃗ 0 11 3 √ √ 1010 ⃗ 2,2..,3,4, 1,1,1,11 ⃗ 1,1,, 55 1,1,1,0. 0, ⃗2,1,4 2 3 4 ⃗ ⃗ |,, | 11 1 15 |10344215| 1 0344215| |62| 62|; y sea
es es el vector
normal del plano pedido Entonces: Entonces:
c) Sea la recta perpendicular a Obtengamos el punto
por
Entonces, Entonces,
que es la proyección ortogonal de sobre que
Finalmente el simétrico buscado,
cumple que:
2015 Junio (Opción A.1)
Los vectores
a) Hallar b) Obtener la recta incluida en el plano pasa por el punto a)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
determinan un paralelepípedo de volumen 6
con dirección perpendicular a
y que
66
626 → Dos soluciuciones: 6 6→| 6→ |62| 62| 6→626 0 ..
≡240;∈→2100→1→ 2410 ≡2410→≡ ≡2410→≡ 0 → ≡ 21 , ∈ℝ ∈ ℝ 0
b) Consideremos el plano
perpendicular a por el punto
2015 Junio (Opción A.2)
1 2 9, ≡2210 ≡ 1 .. 1,1,1,2 y por radidi o22 22 9 3.00 √ √ 93. ≡220 | | | 124 3 ,, → 1|124| 3 → 3 22 2 3≡2260 39 → 12 6 → ≡22120 → |3 | 9→39 4,4,6,6, 0,0,0,0 ≡44 83 2 ̅. ∈ ′ ̅ ∈ , 4,4,8,0 ∈ ⃗ 4,4,3,22; 2,2,3,3. ∈→ ∈→44, 44,83,22 → ⃗ 24, 24,53,32 32 ⃗⏊⃗ → ⃗ · ⃗ 0 → 24 2444 53 5 3 · 6 32 32 ·60 →20100→2→ 4,14,4
Se considera la superficie esférica Hallar los planos tangentes a paralelos al plano
el plano
La esfera dada tiene por centro
Los planos paralelos al plano tienen por ecuación: esfera ha de ser igual al radio de ésta. Sea, pues:
y su distancia al centro de la
2015 2015 Junio (Opción B)
Se consideran los puntos y la recta siguientes:
a) Hallar un punto cuya proyección sobre sobre sea el punto medio de b) Calcular la distancia de a . c) ¿Existe algún punto de modo que estén alineados?
a)
b)
el punto medio de
⃗ ⃗ ⃗ × ⃗ ,, ⃗ ; ⃗ × 04 32 62 27,7,12,4 → 41694 914416 4 2 209 09 11· 1 1· 1 9 4 6 6061 061 √ √ √ √ 4√ √ √ √ 4914416 4 1 694 √ √ 2929 29 29 .
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
67
c) Tres puntos del espacio están alineados cuando determinan dos vectores colineales (o linealmente dependientes).
⃗ 4,6,6 ⃗ 44,83,1283 83 2 6 ⃗ ⫽⃗ ↔ 44 ↔ 4 6 2 6 1 13 → 6 683 9 → 33 32 ¡Horror!→No existe.
2014 Septi embre (Opci ón A.1)
2,0,2, 3,4,1, 5,4,3 , .0,1,4. . ⃗ 1,4,1, ⃗ 3,4,1→⃗×⃗ 13 44 11⃗ 0,4,16→ ∆ 12 ⃗ ×⃗ 12 0 4 16 12 √ 272 2√ 17 ⃗ 1,4,1, ⃗ 3,4,1 , ⃗ 2,1,6→ ⃗ , ⃗, ⃗213 414 116 214 410 160100→ 16 ⃗ , ⃗, ⃗ 16 |100| 503 ≡210 ≡20 , ≡3230 .. ∩210 → 3 21 212 3 ≡ 20 → 2 → 2 →5 → ≡5 ,∈ℝ ⃗ 0,1,0 , ⃗ 1,3,2 ⃗ ·⃗ |0 ·11·30·2| 3 3√ 14 á, →cos2 ⃗ · ⃗ √ 0 1 0 ·√ 1 3 2 √ 14 14 cos2 3√ 1414 →sin 3√ 1414
Se dan los puntos
y
Se pide:
a) Calcular el área del triángulo de vértices b) Calcular el volumen del tetraedro a)
b)
2014 Septi embre (Opci ón A.2)
Se dan los planos:
se pide:
a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por y b) Calcular el seno del ángulo que la recta anterior forma con el plano a)
b)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
68
2014 Septiembre (Opción B)
≡2230, ≡12 22 1 . . ′ 3,2,1 . 21 2 2 2 21 30→24222230→05→∄→ ‖ | | 5 5 1,2,1∈, ‖→, , |22·122·13| 1 2 √ 9 3 32 2 3,2,1. ⃗ ⃗ →≡ 12 ∩, : 2 3 2 2 2 1 230→99→1→1, 3 , 1 →2,1,2 1, 3, 1 ⃗ ⃗ ,, 21 1 →21 13 →3 4 →′1,4,3 0, 1,0,1, ≡561 ≡0 . . 0 , 0 , 0 , , . ⃗ . ⃗ 1,5,6→ 1 5 . ≡16 ∩ 561 , 1 5561 61→6620→ 313 →3431 , 1315 . 1313 ⃗ ′⃗ → ,,
Se dan el plano y la recta siguientes:
a) Estudiar la posición relativa de y de b) Calcular la distancia entre y c) Obtener el punto simétrico de
respecto del plano
a) Sustituyamos en las coordenadas de un punto genérico de , para ver si comparten algún punto.
Recta y plano no tienen ningún punto común. Son paralelos. b)
c) Obtengamos la recta perpendicular a por Ahora, calculamos
Si
Como
proyección ortogonal de sobre
es el simétrico buscado, entonces:
2014 Junio (Opción A)
Dados el punto
el plano
y la recta
se pide:
a) Calcular el punto simétrico de respecto de b) Hallar la distancia de a c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas intersecciones de con los ejes coordenados
y las
a) Consideremos la recta que pasa por y es perpendicular a A continuación obtenemos
En
Si
(la proyección ortogonal de sobre ):
sustituimos las coordenadas de un punto genérico de y se obtiene:
es el simétrico buscado, entonces
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
69
b)
331 3431 3731 313 , 1315 , 1831 3431 , 1531 , 1331→ 153118 153113 → 30315 →′3731 , 3310 , 315 31 31 31 0 0 ⃗ ∈ ≡0 →≡0 → 0 , 0 , 0 ⃗ 0,0,1; ⃗ 1,0,1→⃗×⃗ 10 00 110,1,0 , ⃗ ⃗×⃗ ||00,,01,,10|| 0√ 001 1 0 → , 1 ≡561 0, 0,1 16 → 0,01, 16 → ⃗⃗ 0,01, 16 → 0, , 0 0, , 0 0, ,0 5 5 5 1, 0, 0 1,0,0 ⃗ 1,0,0 1 0 0 16 ⃗ , ⃗, ⃗ 16 0 15 06 16 301 1801 10 0 1 ≡22 ≡22 2,1,0, . . 1 1 1 ≡22 →≡22 ; 2·1 2 22→1→ 0 1 ∩1, 0 , 1 ⃗ 0,2,1 1,0,1 ⃗ ⃗ 2,1,0. ⃗⃗ ×⃗ 02 2 1 101,2,4. ≡240. ∈→12·04 10→5→≡2450 1, 2 2, ⃗ ⃗ 3,12,. ‖→⃗ ⏊ ⃗ →⃗ ·⃗ 0 → 3,12,·2,1,00→
c) Las intersecciones de
con los ejes de coordenadas:
2014 Junio (Opción B)
Dados el plano
y la recta
a) Estudiar su posición relativa. b) Determinar el plano que contiene a y es perpendicular a c) Determinar la recta que pasa por corta a y es paralela a
a) Ponemos la recta en forma paramétrica y sustituimos las coordenadas en la ecuación del plano:
Recta y plano se cortan en el punto
b) El plano pedido pasa por Por tanto,
c) Sea
y su vector normal es ortogonal a los vectores
y
Así pues:
el punto de en el que se corta con la recta pedida . Entonces: Como
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
70
26 5 5 ⃗ 61200→ 2 → 3,6, 2 →⃗ 6,12,5→ ≡ 112 5 2,2,1, 0,1 ,2, 2,0,4, 2,6,2, ⃗⃗ 2, 2,31,,32 →⃗ 2 ⃗ → ⃗‖⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗4,0,,46,,16 . ⃗ ⃗ ⃗ 2,3,3. 2 1 2 1 49 , , ⃗ ⃗×⃗ 2|2,33,33| ||9,2,2,3,38|| √ √ 841464 99 22 . 1 49 ⃗ ×⃗ 24 32 ⃗359,2,8→∆ 12 ⃗ ×⃗ √ 8 1464 2 2 1 , 2 , 1 ≡2220 ′ ′ . . ′ ′ ⃗ 1. 22 . ⃗ 1,2, 2→≡ 12 ∩ 1 2 . 222 1220→990→1→ ′ 0 , 0 , 1 ⃗ | ′ | 1, 2, 2 1 443→ : 3/2 √ , 10 2 0 11 1 , , → , 1 , 0 2 2 2 2 1 3 14 21 94 0→ ≡ 2 1 ≡0 2→≡ 210
2013 Septi embre (Opci ón A-1)
Dados los puntos:
se pide:
a) Probar que el cuadrilátero es un trapecio y hallar la distancia entre los dos lados paralelos. b) Hallar el área del triángulo ABC.
a)
, pero
trapecio. Sea la recta la que contiene al lado
b)
no lo son. Se trata, pues, de un
Entonces,
La distancia pedida:
2013 Septi embre (Opci ón A-2)
Dados el punto y el plano un punto de modo que el segmento
, sea la esfera que es tangente al plano en es uno de sus diámetros. Se pide:
a) Hallar el punto de tangencia b) Hallar la ecuación de a)
Si
es un diámetro de la esfera, entonces
resulta ser la proyección ortogonal de sobre
Comencemos trazando la recta perpendicular a por Calculamos b)
sustituyendo en la ecuación de las coordenadas de un punto genérico de
El diámetro de la esfera es El centro de es el punto medio del diámetro
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
El radio es
esto es el punto:
71
2013 Septiembre (Opción B)
1 , , 2 1 , 2 , 1 , 1,2,3 1,1,2 4,1,3. . . ⃗ , ⃗, ⃗1 0→2110 1 34 2120→28420→220→ 1 ≡ 11 11 21 0→3 13 20 30→ ⃗ ⃗ · 0→ ≡30→ ⃗ 1 , 1, 0 ; ‖ → ⏊ ⃗ → · ⃗ 0 → 1 , , 2 1 , 1, 0 ∉, 10→1. 1 , 2 , 1 1230, ‖ ⃗ ·⃗ |1,1,1·1,1,2| |1 12| |0| cos ⃗ ⃗ →cos |1,1,1| 1,1,2| √ 1 11√ 1 14 √ 3√ 6 0→ 2 1 ≡1 1,0,2 ≡1 , 3 . . . 1 1 1 ≡1 → →1,1,0∈ ⃗ 1,1,1 ⃗ ⃗ ≡1 →1, 0 , 3 1 , 1 , 0 ; 0, 1 , 3 3 ⃗, ⃗, ⃗ 011 111 31010→ alabeadas se cruzan ⃗ ⃗2 ,2,1,, 12 1,0,2, 1 , 1, ∈, 1, , 3∈→ 2 2 1 2 2 422 2 1 ⃗ ‖ ⃗ → 2 → → 2 1 1 21 12
1,1,1 Sean
la recta con vector dirección que pasa por el punto
y
que pasa por el punto la recta con vector dirección
a) Hallar para que las rectas y se corten. b) Hallar para que la recta sea paralela al plano definido por c) Hallar el ángulo que forman y
la recta con vector dirección que pasa por
y
a) Claramente los vectores directores de ambas rectas no son colineales, por lo que dichas rectas se cortan o se cruzan. Para que se corten, los vectores directores de ambas y el vector que une un punto de una de ellas con un punto de la otra han de ser coplanares (o linealmente dependientes).
b)
El plano dado
Además, c) Sea el ángulo pedido. Entonces:
pues
por lo que
y
se pide:
2013 Junio (Opción A)
Dados el punto
y las rectas
a) Determinar la posición relativa de y b) Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por y corta a y a c) Determinar las ecuaciones de la perpendicular común a y a a)
y
,
Al no ser colineales (linealmente dependientes) los vectores directores, las rectas se cortan o se cruzan:
b) Sea la recta pedida. Sean los puntos de dicha recta:
Ha de ser:
Restando miembro a miembro:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
72
72 →1 72 2 72 → 52 32 → 53 342→ 72 →92 , 52 , 72→⃗111 112 , 52 , 32→⃗ 2⃗ 11,5,3→ ≡ 23 5 , ∈ℝ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ℎ: × 11 11 101,1,0 : ≡11 1 11 00 30→ ≡30. ∩. 4 0030→3→4,2,3∈ℎ→ℎ≡2 , ∈ℝ 3 210, 1,0,1 ≡210 ≡330 , . . ⃗ ‖ ⃗‖ . ⃗ 23 10 10⃗ 1,2,3 ⃗ 2,1,1, ≡112 21 131 0→5 155 10→ ≡20 90º, 3 2 1 √ si n cos ⃗⃗ ·|⃗⃗ | 1 |1,22,3·322,1,1| 1 1 | √ 223| 14 1 4 6 2 2 1 √ √ →arcsi n √ 1421 ≡ 4 1 2 , ≡2270 2 1 3 42 1 . ≡23 42,1,23
c) Vector director de la perpendicular común Consideremos el plano
que contiene a y es perpendicular a
A continuación, obtengamos el punto
Este punto está en la recta pedida.
2013 Junio (Opción B)
Dados el punto
, el plano
y la recta
a) Determinar la ecuación del plano que pasa por b) Hallar el ángulo entre y a) Sea el plano pedido. Entonces, Entonces, como
se pide:
es paralelo a y perpendicular a
y también
Es
será:
b) Si es el ángulo pedido, Entonces:
donde es el ángulo que forma la recta y la normal al plano.
2012 Septi embre (Opci ón A-1)
Se dan la recta y el plano mediante:
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno. Ponemos la recta en forma paramétrica:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Un punto genérico es:
73
233 | | 2 4 2 1 2 2 37| 23| ˅ , 1→ 2 1 2 1→ 3 1→|23|3→233 53 → 23 , 83 ,3 → 1 → ˅14 , 2 , 3 { 3 33 4 ≡ 12 22 2 , ≡24 2,3,4 4,1,2 1 4 ⃗ 2,2,2→2 23 1,14,1; ≡42 →≡42 4 →⃗ 1,1,2 ≡ 11 11 21 0→≡3 2 32 40→ ≡32110→ ≡32110 ⃗ 3,1,2→⃗ 3, 1,2 →≡ 4 1 2 3 1 2 2,1,1, 3 , 0 , 2 . ′′ ≡11. ≡3. ,,. ⃗ ′⃗ →32,31 01,214 3, 0, 2→ 1,1,3 3, , 2→23 1 →1 5 → ′4,1,5 1 1 1 0 ⃗ ≡ 1 1 1 →≡1 → 1, 1 , 1 ⃗ 2 , 1 , 1 . ⃗ → ≡0;∈→2110→2→≡20 , ∩ 1 1 20→0→1,1,0
2012 Septi embre (Opci ón A-2)
Dadas las rectas:
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por y es paralelo a las rectas dadas. b) Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por y es perpendicular al plano hallado anteriormente. a)
Plano pedido:
b) Sea la recta pedida.
2012 Septiembre (Opción B)
Dado el punto
se pide:
a) Hallar el punto b) Hallar el punto c) Hallar el punto a) Sea
simétrico de respecto del punto simétrico de respecto de la recta simétrico de respecto del plano
Ha de ser
b)
Obtengamos el plano que es perpendicular a por
A continuación hallamos la proyección ortogonal del punto sobre
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
que es el punto
74
,,, ⃗ ′⃗ ′ →1,0,11, 1, 0→11 → 10 1 ′ ′ 0 , 1 , 1 ≡30→ ⃗ 1 , 1 , 1 . . 2 1 . ∩ ≡1 . 1 7 4 2 2 1 130→130→ → , , 3 3 3 3 ,,, 73 13 ⃗ ′⃗ ′ →73 2, 43 1, 23 1 73 , 43 , 23→ 243 113 → 83 , 53 , 13 { 3 3 1,3,1, ,2,0, 1,5,4 2,0,2, . , , ⃗, 1,1,→1⃗, ⃗, ⃗ 1 1 1 → 1 0 1 ⃗⃗1,0,23,,53 ⃗ , ⃗, ⃗0→ 01 32 350→ 01 70 530→ 43 7 1⃗ 113,0→7340→ ⃗ ⃗ , 734 1 1 6 ⃗ , ⃗, ⃗ 6 |734| 1076 |3 4|7→|3 4|6 346→ ˅ 32 → 346→ 3 { ̅ ,, /, , } , 1, →⃗ 3 ⃗ 1→| 1,13,1 5| |1, 4 5, → 4| → 3 1 5 4 → 69 21 1025 816→≡410310 Finalmente, si
c)
se tiene:
Hallemos la recta perpendicular a por
Y ahora
Para acabar, si
, que es la proyección ortogonal de sobre
se tiene:
2012 Junio (Opción A)
Dados los puntos
se pide:
a) Hallar de modo que los cuatro puntos estén el mismo plano. b) Hallar los valores de para que el tetraedro con vértices en estos cuatro puntos tenga un volumen igual a 7. c) Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de y a)
coplanarios
Como
coplanares (linealmente dependientes)
,
b) Utilizamos el resultado anterior:
c) El lugar geométrico
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
es el plano mediador del segmento
75
2012 Junio (Opción B)
Dadas las rectas:
1 2 1 ≡ 3 5 2 ≡ 3 5 3 , 5 ∈ ≡⃗ 2,1,03∈,5,2 ≡1, ⃗ 1,1,0 →⃗ 3,2,5; ⃗ , ⃗, ⃗313 521 52010 2 21 5 25080→ rectas alabeadas se cruzan ⃗ ×⃗ 13 51 20⃗ 2,2,2; , ⃗⃗ ,⃗×⃗,⃗ |2,|8|2,2| 2 82 2 √ 812 √ 43 4√ 33 . ≡2310,≡ 1 ≡2310, 2 1 2 2 . . 12 ⃗ 1 1,1,2∈ 2,1,2, ≡22 → 12,1,22 → , , |21 23√ 21 | 221| 2 1 2 13 221| → 1 3 3 1 2 946→1→ 3 , 0 , 0 |9√ 4|14 |√ 6|14 →|9 4|| 6|→ 946→˅ 1 → 1 , 5 , 5 2 4 2 4 ≡2310 1 0, 0→ 12 →12 ,10,0 0,0,0→ 1 ⃗ , ⃗, ⃗ 0,0→ →0, , 0 6 3 3 0, 0→0,0,1
a) Estudiar su posición relativa. b) Hallar la distancia mínima entre ellas. a)
las rectas no son paralelas ni
coincidentes, pues los vectores directores no son colineales.
b)
como las rectas se cruzan, utilizamos la fórmula:
2011 Septiembre (Opción A)
Dados los planos:
y la recta:
a) Hallar el punto (o puntos) de que equidista de y de b) Obtener el volumen del tetraedro que forma con los planos coordenados OXY, OXZ, OYZ. c) Obtener la proyección ortogonal de sobre a) Como
y
b) Los puntos de corte del plano
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
es
Sea, pues,
con los ejes de coordenadas son:
76
11 2 0 0 1 1 1 1 1 6 00 130 10 6 6 6 · 6 36 ⏊ ,⊂ . ⃗ 2 ∩. 1 1 ⃗ 2,1,3, 1,1,2∈, 2,1,2→≡ 22 11 32 0→ ≡5 1103,10→≡230 5 0 , ∈ 36 3 230 ≡2310 → ⃗ 1 2 0⃗ 6,3,5 →≡353 5 ,∈ℝ 2 1 3 0,1,1 ≡ 1 1 ≡ 0 2 1 1 0. , . 12 1 ≡ , ⃗ 2,1,1. 12, 1, ∈ . ⃗ 1 2·2 12, 2, 2·1 1. 1⃗⏊⃗10→610→ →⃗ ·⃗ 0→ 1 2 7 1 → , , 6 3 6 6 ,, 23 23 43 ⃗ ′⃗ →23 , 136 , 56 23 , 76 , 16→ 761 1356 → 1023 { 3 6 6 → 43 , 103 , 23 ∩, 0 , 0 , . 0,1,1∈→⃗ 0,1,1⃗ . ⏊→⃗ ·⃗ 0→0,1,1· 2 , 1 , 10 →0111 0→0→0,0,0→⃗ 0,1,1→≡0 ,∈ℝ
c) Obtengamos el plano que es perpendicular a y contiene a la recta pedida (proyección ortogonal de sobre ) es la intersección de los planos
La recta
y
2011 Septiembre (Opción B)
Dado el punto
y las rectas:
a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de respecto de b) Determinar la recta que pasa por tiene dirección perpendicular a la recta y corta a la recta a) Ponemos la recta en forma paramétrica: Sea Es Si
b) Llamemos Como
con
la proyección ortogonal de sobre Como
es el punto simétrico buscado:
a la recta pedida. Sea
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
el punto de
en que se corta con
Al ser
77
2011 Junio (Opción A)
00 , ≡00 ≡, ≡ ≡23724. ≡ 1 5 1 ≡ 1 1 1 2 2 2 3 1 ∩: 23724→2→2,2,2 ; ∩:⃗ 2,2024→12→ 1 2, 0 , 0 ; 2 , 2 ∩: 03024→8→0,8,0. ⃗⃗12, → 0 , 0 0, 8 , 0 16 ⃗ , ⃗, ⃗ 16 120 2 280 020 16 ·2·12·8·110 101 10032·|1| 32 ⃗ 1,2,2 ⃗ 2,3,1→⃗ ⃗ ×⃗ 12 23 ⃗214,3,1; 0,1,51,,11∈∈ : ≡114 1532 1112 0 : ≡24 33 11 0 17118 51110→≡3980 10→≡8711160 → ≡8≡62 14 8 711160 71116 ≡ 3980 ;0→ 98 → 101313 →0, 1134 , 1130∈→ 4 14 ≡ 13103 ,∈ℝ { 13 ≡221, ≡21,
a) Calcular el volumen del tetraedro que tiene un vértice en el origen de coordenadas y los otros tres vértices en las intersecciones de las rectas
con el plano
b) Hallar la recta que corta perpendicularmente a las rectas: a)
Entonces:
b)
Obtenemos el plano que contiene a
y a la recta pedida
Obtenemos el plano que contiene a
y a la recta pedida
2011 Junio (Opción B.1)
Dados los planos:
se pide:
a) Estudiar su posición relativa. b) En caso de que sean paralelos, hallar la distancia entre ellos. En caso de que se corten, hallar un punto y un vector director de la recta que determinan. a) Considerando que
⃗2,1, 2 ⃗ 12,1,12, 2 1 1 2 ⃗·⃗ 2,1,2·1,1,221430→ y
y que:
Los vectores normales no son colineales (linealmente dependientes), por lo que ambos planos no son coincidentes ni paralelos. Por ello, se cortan en una recta. Veamos si lo hacen perpendicularmente: Se cortan de forma oblicua. MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
78
21 ; ≡221 32→ 23⃗; 0→ 23 1→ 13 ;23 , 13 , 0 ∈ ⃗×⃗ 21 11 22 0,6,3→⃗ 13 0,6,3→⃗ 0,2,1 1,21,3,0,0, 0,2,0 0,0, 1. 2,1,1. , , . ⃗ ⃗ 1, 2 , 0 1, 0 , 1 . ≡11 1 20 010→ ≡2 120→ ≡2220 ⃗ 2,1,1→ ≡230→ 20;1,≡230 2,3∈ →2230→3→ ⃗ 1,2,0 ⃗ 1,0,1 ⃗ 0,2,3. 1 2 0 1 1 ⃗ ⃗ ⃗ 6 , , 6 0 1 20 13 16 |8| 43 0 . ≡31 ≡0 . 0 0, 1 , 3 ∈ 0, 0 , 0 ∈ 1 ≡ → , ≡ → 3 ⃗ 1,0,0 ⃗⃗ 0,1,1 ⃗ ⃗ ×⃗ 10 01 010,1,1 ,1,3 0,,→⃗ , 1, 3 0 ⃗ ‖ ⃗ → 0 11 31 →0 2 →0,2,2 → ≡1 3 ,∈ℝ 0 1 3 1 0 0 ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ,×⃗, |00,11,11| 0 |21| 1 √ 22 √ 2 . , , ⃗ |0,1,1| 0 1 1 √ 2
b) Sea, pues,
sumando miembro a miembro ambas ecuaciones:
2011 Junio (Opción B.2)
a) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos b) Hallar la ecuación del plano que contiene al punto c) Hallar el volumen del tetraedro de vértices a) Los puntos dados determinan los vectores:
b) Es
c) El tetraedro está construido sobre los vectores Entonces:
y es perpendicular al vector
y
Entonces:
,
2010 Septi embre (Opci ón A.1)
Dadas las rectas
y
Se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta que corta a y y es perpendicular a ambas. b) Hallar la mínima distancia entre las rectas y a) Ponemos las rectas en forma paramétrica:
La dirección perpendicular a ambas rectas: Dos puntos genéricos de sendas rectas: Entonces:
b)
También:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
79
2010 Septi embre (Opci ón A.2)
1 2 ,≡ 21 ≡3 , 2 0,1,2
Dadas las rectas punto
determinar la ecuación de la recta que pase por el
y corta a las rectas dadas.
2 21 1 2 ~⏟− 2 →≡1 1,2,3∈ ⃗ 1,0,1. 2,0,1∈ ⃗ 1,1,1 ⃗ 1,1,5 ⃗ 2,1,1 12
:≡11 01 15 0→ ≡6 120→≡680 1 2 : ≡21 10 11 0→ ≡1 20→≡30 2 680 550 ∩→ ≡ 30 →⏟− 30 →≡ 1 ,∈ℝ ≡23 0 , 2 , 4 ⃗ 0,2,6 ⃗ 1,0,. 041 , 2 2 4 ≡01 20 6 0→ ≡26 22 40→ ≡320 2 3 1 ≡230 ; ‖ → ≡320 3 1 2 →2 ˄ 2 3 3 230 →≡ 23 2 →≡23 ≡2 310 2 ,∈ℝ 320 →⏟+ ≡320 Consideremos el plano
que pasa por y contiene a
Consideremos el plano que pasa por y contiene a
La recta pedida:
2010 Septi embre (Opci ón B.1)
Dados el plano y
y el plano
c) Para
y los vectores
Se pide:
a) Calcular los valores de b) Para
determinado por el punto
para que ambos planos sean paralelos.
, determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ambos planos. determinar los puntos que están a igual distancia de ambos planos.
a)
b)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
80
c)
≡2340 →‖. ,, , ,→ ≡2320 |22 34| | | | 232| 2 34| 232| → 3 1 2 3 1 234232 √ 14 √ 14 → |2 34|| 232|→234˅ 232 → 46220 60 i˅mposible →≡2310 Sea
tal que:
(Plano paralelo medio de
y
)
2010 Septi embre (Opci ón B.2)
1 1 ≡2 2 ≡ 21 1 3 2 1 , 0 , 1 , 3 , 3 , . . ⃗ ⃗ ⃗ → 1,0,⃗ 1∉. 1, 3 , 2 1, 3, 2 . 1 3 2 ⃗ → 1 3 2 →11→ 0 2 20 ≡ → 210 ≡ 2 2 210→≡ 2 1 2 2 0 37 → 0→23620→ ‖→⃗ ⏊⃗ →⃗ ·⃗ 0→ 2 , 1 2, 1· 1 , 3, 2 ≡ 177 17 177 0→≡177170 ⃗ ⃗ ∈ ≡2 2 → 1, 0 , 0 21 21 10 2,1,5→ 21 1 ≡ 21 13 52 0→≡17 170→≡177170
Sean las rectas:
a) Dados los puntos: determinar el valor de los puntos sea paralela a b) Hallar la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a a)
b) Si el plano
para que la recta
que pasa por
contiene a , entonces pertenece al haz de planos de arista
2ª resolución:
2010 Septi embre (Opci ón B.3)
Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos:
⏊ ≡571, ≡235 ⏊ →→⃗⃗ ⏊⏊⃗⃗ → ⃗ ⃗ ⃗ ×⃗ 52 31 1720,19,17→≡2019170; 0,0,0∈→0→ ≡2019170
Llamemos al plano pedido. Si
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Podemos coger:
81
2010 Junio (Opción A.1)
Sean las rectas:
≡ 2 13 41 ≡ 1 1 4
a) Determinar las ecuaciones de la recta perpendicular común a ambas rectas. b) Calcular la distancia mínima entre ambas rectas.
a)
0 1 4 0 , 1 , 4 0 , 0 , 0 ⃗ ⃗ ⃗ ≡⃗ 2,3,1 ≡⃗ 1,1,4 →, , 21 31 410→ 2,13,,,4∈ 4∈ ⃗ 2, 31, 4 4
Las rectas dadas son alabeadas (se cruzan). Tomemos un punto genérico de cada una de ellas:
y obligaremos a que sea perpendicular a ambas rectas el vector
⃗ . ⃗×⃗ 21 31 4⃗113,9,1. 2 44 44 13 44 1 → ⃗‖→ 213 31 9 1 →31 9 1 . La recta pedida es la que pasa por Un vector de la dirección perpendicular común (y, por tanto, colineal con
es:
Entonces:
141 2521352 →5351237 31152 → 251317 3136936 251 317 317 1268 317 317 1268 251 , 251 , 251 → ≡ 13251 9251 1251 0 1 4 2 3 1 ⃗ ⃗ ⃗ , , , ⃗×⃗ |113,1 9,41| 13 |95| 1 √ 2551 5√ 251251 .
De este modo:
b) La distancia mínima entre dos rectas que se cruzan:
2010 Junio (Opción A.2)
: ≡ 1 2 1 , 2,0,1 2 1 3 ′ . ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1,2,1∈ 2,1,3→ 3,2,0 × 23 21 036,9,1
Sea la recta y el punto
a) Hallar la distancia del punto a la recta. b) Hallar las coordenadas del punto simétrico de respecto de a)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
82
, ⃗⃗×⃗ 6 219 3 1 √ √ 11184 √ √ 579 √ 4713 . . ⃗ ⃗ 2,1,3 ≡230;∈→2·203 10→7→≡2370 ∩, : 12 2 →2122 31370→1480→ 47 → ≡13 : 17 , 170 , 197 ⃗ ′⃗ →1 13 ′,, 7 17 2, 170 0, 197 1 17 , 107 , 197→ 107 1077 →′ 127 , 270 , 317 197 127 3 ≡ 12 11 ≡22 0,1, 1 . ⃗ ∈ 0,1, 1∈ ⃗ 1,2,1; ≡22 → 0 , 2, 3 1,2,1 3 ⃗ ⃗ ∉→ ‖ → 1 1 , ⃗ 0,3,4 ⃗ . ≡01 32 14 0→≡54 13 10 → ≡54310 0 3 4⃗ , ⃗ ⃗×⃗ 1|1,22,11| ||1,5,2,4,31|| 1 52 431 √ √ 560 5√ 33 .
b) Trazamos desde
un plano perpendicular a Entonces:
Obtenemos
`proyección ortogonal de sobre
Llevamos este valor a la recta
El punto
lo deducimos de la relación vectorial:
2010 Junio (Opción B.1)
Sean las rectas:
a) Hallar la ecuación del plano que determinan. b) Hallar la distancia desde el punto a la recta a) El punto
y
Son rectas coplanarias. El plano que las contiene está determinado por
Entonces:
b)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
83
2010 Junio (Opción B.2)
1,0,0, 0,2,0 0,0,3. . ⃗ ⃗ ⃗ 1 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 0 , 0 , 3 . 16 ⃗ , ⃗, ⃗ 16 100 020 003 16 |6| 1 1 , ⃗ 1,2,0 ⃗ 1,0,3. ≡ 11 20 030→≡6 1320→≡63260→ ⃗6,3,2⏊ 6 0,0,0 :≡32 6 36 1 8 1 2 6·63·32·260→4960→ → , , 49 49 49 49 ,, 3649 3649 7249 ⃗ ′⃗ →3649 , 1498 , 1492 3649 , 1849 , 1249→ 121849 121849 → 364924 → ′ 7249 , 3496 , 2494 { 49 49 { 49 ≡24250 ≡1 − + 2, 3/2, 0, 11/2 6 . √ 2, . ⃗ 1,2,53250→11 . ⃗ 2,,4. ∈1,1,3∈21·14 ⊂→⃗⏊˄⃗ →1,2,5·2,,40→22200→11 ˄ → 11 ≡224250. 3 2 ∈ ⃗ ⃗ 2, 2,4. ≡ 2112 4 ; 32 2,2, 112 4∈ { 2232 2224 112 425 , √ 6 → 2 2 4 √ 6 →
Sea el plano que contiene a los puntos
Se pide:
a) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos dados. b) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano a) Los vectores que determinan el tetraedro son:
Entonces:
b) El plano está determinado por
Escribamos la recta
Entonces:
que pasa por
y es perpendicular a
calculemos su intersección con (la proyección ortogonal Si llamamos
y, a continuación
de sobre ):
al simétrico pedido, se tiene:
2010 Junio (Opción B.3)
Dados el plano:
y la recta:
a) Calcular los valores de para que la recta esté contenida en el plano. b) Para el valor hallar el punto (o los puntos) que pertenecen a la recta que es perpendicular a y pasa por y que dista (o distan) unidades de c) Para el valor hallar el seno del ángulo que forman a) Observamos que
b)
y que
También:
Llamemos a la recta tal que:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
y
Entonces:
84
|344221625| 12 1 √ 6 →| 2 4|18→± →± 24 2 → √ 24 121→ 125,1,1572 → 2 , 1 , 2 2 ⃗ ⃗. 18 3√ 5 2 →sincos ⃗⃗ ·|⃗⃗ | ||11,,22,,55·| 22,,2,2,44|| |2√ 420| 30√ 24 12√ 5 10 ≡ 1 2 ≡ 3 1 31 ⃗ ⃗ · 0 ⃗ ⃗ 0,0,0∈, 1,2,, 3,0,3∈ ,1,1, ⃗ , ⃗˄, ⃗0 → 1·2·1 10 2 → 1 1 2 →21 31 102 310 →3630 ≡2210, ‖ |2 ·012·0| ≡220. 0 , 1 , 0 . , , 2 1 2 | 1|3 ; , 3→ | 1|3 3→| 1|9→1±9 ≡22100 ˅ →10→ 8→ ≡2280 Dos soluciones:
c) Sea dicho ángulo. Y sea el ángulo que forma el vector director Entonces, ambos ángulos son complementarios:
con el vector normal
2009 Septi embre (Opci ón A.1)
Dadas las rectas:
Determinar los valores de los parámetros
para los cuales dichas rectas se cortan perpendicularmente.
Para que esto suceda, los vectores directores han de ser ortogonales, y las rectas coplanarias. Esto es: Si
ha de suceder:
2009 Septi embre (Opci ón A.2)
Dado el plano encuentren a 3 unidades de él. Cualquier plano
hallar las ecuaciones de los planos paralelos a éste que se
puede escribirse así:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Un punto de es
Entonces:
85
2009 Septiembre (Opción B)
≡ 11 1 1 ≡210, . 1,0,0∈ ⃗ 1,1,1, ⃗ 1,1,2. ⃗ ·⃗ 1120→ ∩ 1 ≡ → 1 , , . 1 210→1→2, 1, 1 . ≡1 ∩ . 2 1 2210→620→ 13 →23 , 13 , 23 ,,, ⃗2 ′⃗1 3 23 1, 13 0, 23 0 23 , 13 , 23→ 13 313 → 13 , 23 , 43 23 23 ′ 5 1 1 . ⃗′ 3 , 3 , 3 →⃗ 3⃗′ 5,1,1→ ≡ 25 11 11 Dada la recta:
Y el plano:
hallar la ecuación de la recta
simétrica de la recta respecto de
El punto y es Como plano dado no son incidentes ni paralelos. Calculemos su punto de intersección
La recta dada y el :
Sustituimos en :
A continuación, obtenemos el punto simétrico de respecto de .Y la intersección
Para obtener el simétrico
La perpendicular a por es la recta
es la proyección ortogonal de sobre
Sustituyendo:
utilizamos la relación vectorial:
La recta pedida es la recta que pasa por
Hallemos su vector director:
2009 Junio (Opción A)
≡34,0,0,0 0. 0, 0, 0. . ⃗ ⃗ 1,3,1→≡ 3 . ∩ , . 334→ : 4 → 4 , 12 , 4 11 ⃗ 11⃗ 11 →11 ,,
Dado el plano:
se pide:
a) Punto simétrico del punto respecto del plano dado. b) Calcular el coseno del ángulo que forman el plano y el plano c) Calcular el volumen del tetraedro determinado por el plano y los planos a) Empezamos trazando la perpendicular desde al plano A continuación, hallamos (la intersección de sobre Sustituimos en los valores de El simétrico pedido
Es
que es la proyección ortogonal de
verifica la relación vectorial:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
86
811 114 0, 1112 0, 114 0 114 , 1211 , 114 → 24118 → ′ 118 , 2114 , 118 { 11 ⃗ 1,3,1 ⃗ 0,0,1. 1 1 1 √ →cos |⃗⃗·|⃗⃗ √ 1 3|1 ·03·01·1| 1 ·√ 0 0 1 √ 11 11 ⃗ 0, 0→4→4, 0 , 0 4, 0 , 0 43 →0, 43 , 0 → ⃗ 0, 43 , 0 → 0,0,0 0,0→ 0, 0→4→0, 0 , 4 ⃗ 0, 0 , 4 4 0 0 1 1 4 6 ⃗ , ⃗, ⃗ 6 00 03 40 16 634 329 ≡ 12 23 1 ≡ 22 1 21 . . 0,0,0, . ⃗⃗ 2,2,13,,11 → 1, 2 , 0 ∈ ≡ 22 1 31 2 110→≡2 10 240→ ≡210 ⃗ 2,⃗ 0,2⃗ ∈ ⃗3 23,22,2→ 3 2 2 , , 22 31 11 ⏟− 20 23 01140→ , ⃗⃗ ,⃗×⃗, ⃗ |14| ⃗ |2,014,4| 2 014 4 √ 1420 7√ 55 . 22 31 11 02 222 22 03 3 → ≡ 0 ≡ 2 . 2
b) El ángulo que forman ambos planos es el menor de los ángulos formados por sus respectivos vectores normales:
c) Los vértices del tetraedro son:
2009 Junio (Opción B)
Dadas las rectas:
a) Hallar la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a b) Determinar la distancia entre las rectas c) Estudiar si la recta , paralela a , paralela a y que pasa por a) El plano pedido pasa por
b)
corta la recta
y tiene la dirección bidimensional de
Las rectas se cruzan.
c) Recta
y recta
Igualamos:
Sistema incompatible.
Las rectas no tienen ningún punto en común. Como no son paralelas, han de ser alabeadas (se cruzan)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
87
2008 Septi embre (Opci ón A.1)
1,1,3 0,1,0 . 2 , , , ,,. , , →⃗ ⃗ →| 1, 1, 3| | , 1, | → 1 3 1 → 1 21 21 69 21 →26100→ ̅, 350 ⃗ 1,0,3→≡3 1 →,1,3. . ⃗ 1,0,33 ⃗ ,0,3→ , ⃗ 1 0 33 10 2010 , 0 3 10 , 2, → 10 20102 10 →10 201040 → 1 1 → 3 210→ 1→3 ˅1,31,1,,13 ≡ 11 22 3 ≡ 2 13 4 , 2 1 1, 2 , 0 ∈ 0, 1 , 0 ∈ 13 ≡22 → ; ≡ → 3 ⃗ 1,2,3 ⃗ 4 ⃗ 2,3,4 ⃗ ⃗ ×⃗ 12 23 341,2,1 , 1 2 ≡ 11 22 13 0→≡8 12 240→≡4220
Dados los puntos
y
a) Hallar todos los puntos tales que la distancia entre sea igual a la distancia entre Describir dicho conjunto de puntos. b) Hallar todos los puntos contenidos en la recta que pasa por que verifican donde indica distancia. a) Sea
Entonces:
(Se trata del plano mediador del segmento segmento y pasa por su punto medio).
b)
que es perpendicular a dicho
Ahora debemos calcular
2008 Septi embre (Opci ón A.2)
Dadas las rectas:
Hallar las ecuaciones de la recta perpendicular común a la recta dada.
Dirección de la perpendicular común:
Vamos a trazar dos planos. El primero,
que contiene a y a la perpendicular común:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
88
, 1 ≡12 23 14 0→≡112 170→≡112720 4220 ;0→10 2 →2,10,0∈→ ∩→≡112720 ≡ 21 102 1 ≡1 1 1 ≡ 2 3 4 , , . √ 29 12 ≡13 4 1 21341→1→ 3,2,4 ≡0. ∩: 1 213 1 2, 13, 4 ⃗→40→→ 22,33,44 , ⃗ 22 33 44 4 84 9189 163216 29 5829 , √ 29→ 29 5829√ 29→29 582929→29 580→ 0→ ≡0 ˅ 29 20→2 → ≡20 2 ≡3 1, ≡1 . 1,
El segundo,
que contiene a y a la perpendicular común:
2008 Septiembre (Opción B)
Dados el plano
y la recta:
a) Hallar el punto determinado por la intersección de con b) Hallar el plano paralelo a y tal que el segmento de recta comprendido entre los planos tenga una longitud de unidades. a) Ponemos la recta en forma paramétrica y sustituimos en la ecuación del plano:
b) Un plano paralelo a tiene la forma: El punto de intersección
Entonces:
2008 Junio (Opción A)
Dadas las rectas
se pide:
a) Discutir su posición relativa, según los valores del parámetro b) Si calcular la distancia mínima entre ambas rectas.
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
89
a)
1 2, 0 , 1 ∈ 1, 3 , 0 ∈ ⃗ ≡2 → ; ≡ → ; 1, 3 , 1 3 ⃗ ⃗ , 1 , 1, 1, 1 1 1 11 1 →11 → → ⃗, ⃗, ⃗11 131 11 →⏟+ 0 1 213 014 ⃗ ⃗ ⃗ 0→ , , 0→ 0→⃗, ⃗, ⃗0→ ⃗×⃗ 11 11 11⃗ 0,2,2 ⃗ , ⃗, ⃗4·14→ 1→ , ⃗⃗ , ⃗×⃗,⃗ 0 |24| 2 2√ 42 √ 2 . 0,0,1, 1,0,1 , 0,1,2 1,2,0, . , . ⃗ 1,0,2, ⃗ 0,13 ⃗ 1,2,1. ⃗ , ⃗, ⃗101 012 23170→ ⃗, ⃗ : 0 0 1 ≡ 10 01 23 0→≡2310 7 1 4 √ , |2 ·13·201| √ 2 3 1 √ 14 2 . ¡Imposible!
Las rectas no son paralelas ni coincidentes. Veamos si son concurrentes o alabeadas:
Las rectas son coplanarias y, por tanto, concurrentes (se cortan) Las rectas no son coplanarias y, por tanto, alabeadas (se cruzan).
b)
Las rectas se cruzan.
2008 Junio (Opción B.1)
Dados los puntos
se pide:
a) Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios. b) Hallar la ecuación del plano determinado por c) Hallar la distancia del punto al plano
a) Para ello, probemos que los vectores que determinan no son coplanares, es decir, que son linealmente independientes. Los cuatro puntos no son coplanarios.
b)
c)
es el plano que pasa por y tiene como dirección bidimensional
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
90
2008 Junio (Opción B.2)
≡32100 1,2,3, . . . . ⃗ ⃗ 13 3,2, 1→ ≡ 13 22 31 o bien: ≡22 ,∈ℝ 3 : 3 1 32 2 2 3 100→1414 0→1→∩ 2, 0 , 4 ≡0 → : 3· 0 20100→5→0, 5, 0 0 ⃗ 3,2,1 ⃗ 1,7,3→⃗×⃗ 31 27 31⃗ 13,10,19→ ∆ 12 ⃗×⃗ 12 13 10 19 12 √ 630 3√ 270 ≡ − − +−3 ≡2210 5 →3 , 5 , 1∈ ≡1 3→ 0 , 2 , 2 | | 2 3 5 2 11| | , 1→ 2 1 2 √ 9 1→||3→3→˅6,8,4 3 ≡27 4 ≡0 2,1,2
Dados el plano a) b) c) d)
y el punto
se pide:
Hallar las ecuaciones de la recta perpendicular al plano por el punto Hallar el punto de intersección de con Hallar el punto de intersección de con el eje Hallar el área del triángulo
a) El vector director de la recta coincide con normal del plano:
b) Sustituyendo en las paramétricas de es: c)
Sustituyendo en
d)
2007 Septi embre (Opci ón A.1)
Halla los puntos de la recta:
cuya distancia al plano
es igual a 1.
Ponemos la recta en forma paramétrica:
2007 Septi embre (Opci ón A.2)
Se consideran las rectas:
Hallar las ecuaciones continuas de la recta que contiene al punto perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores.
y cuyo vector director es
Empezamos con los vectores directores:
⃗ 11 11 10⃗ 1,1,2 ⃗ 12 10 10⃗ 1,2,1 ⃗ 11 21 12⃗ 3,1,1→ ≡ 23 11 21
Si es la recta pedida:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
91
2007 Septiembre (Opción B)
Sean las rectas:
≡ 1 11 22 ≡350 380 . . 35 →8,1,0∈ 0,1,2∈ ⃗ 1,1,2 ⃗: 0→80 11 30 30 9,3,3→⃗ 13 3,1,1 0 1 2 ⃗ , ⃗: ≡ 13 11 21 0→≡35 14 20→ ≡354130 32 16√ 5 ‖ →, , |33·85·14·013| 5 4 √ 50 5 . 1,2,3 ≡ 10 ≡2310, 0 , , . . ⃗ ∈ 1 → 1, 0 , 0 1, 1 , 0 0 1 2⏊ 3 ⃗ ⃗ 1, 1,2,1,03 →
a) Hallar la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a b) Calcular la distancia entre el plano y la recta a)
. En la recta
y
El plano pasa por y tiene la dirección bidimensional
b)
2007 Junio (Opción A)
Dados el punto
y la recta
y el plano
se pide:
a) Ecuación del plano que pasa por es paralelo a y perpendicular a b) Ecuaciones de la recta que pasa por corta a y es paralela a a)
Si
es el plano pedido (
tiene como dirección bidimensional:
≡ 11 21 30 0→≡3 13 230→ ≡330 ∩→1,,0. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2, 2, 3 ; ‖ → ⏊ ⃗ → · ⃗ 0 → 1· 22 23·30→3150→5→ ⃗ 3,3,3. : ⃗ ⃗ 1,1,1. ≡ 11 21 31
b) Sea la recta pedida. Llamemos
Tomamos como director de
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Entonces:
Entonces:
92
2007 Junio (Opción B)
Dados los puntos
,2,, 2,,0,,0,2
a) ¿Existe algún valor de para el cual los puntos dados estén alineados? b) Comprobar que, si los puntos dados no están alineados, determinan un triángulo isósceles. c) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo para y hallar la distancia de este plano al origen de coordenadas. a)
∆ 0 ⃗ 2,2, ⃗ 0,2,2. ⃗ ⃗ 20 22 2 →242→1 22 0→2 ; 21→ ⃗ 2, , 2; ⃗⃗ 2 2 22 √ √ 338 8 →⃗ ⃗→ ⃗ 0→0,2,0, 2,2,0 ⃗ 0,2,2→≡020 222 002 0→ ≡44 240→≡20 2 2√ 3 , |√ 01002| 1 1 √ 3 3 . 0,1,0 1,0,1, ,,,, . . , , ≡3 . , →,→ 21 ⃗ ⃗ → 0 1 0 1 0 1 21 21→ 22210 1 0 , ⃗ 0, 1√ 3 →1 0 10 1 √ 3→ 3; , 0220 0 , 1 , 0 3 . √ ⃗ 1,1,1 ⃗ , 1,10→1 . ⃗⏊⃗ →⃗ ·⃗ 0→1 1 11·0→ 1 3 24 2 ,, 1 →⏟− 1 →1 → 2 ,∈ℝ y
Si los puntos están alineados, los vectores
y
son
colineales, esto es:
Los puntos dados nunca están alineados.
b)
Los lados
c)
son iguales, por lo que el triángulo es isósceles.
2006 Septiembre (Opción A)
Dados los puntos:
se pide:
a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos que equidistan de y de b) Determinar la ecuación que verifican los puntos cuya distancia a es igual a la distancia de a c) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos del plano tales que el triángulo es rectángulo con el ángulo recto en el vértice a)
Se trata del plano mediador (perpendicular al segmento
b)
Se trata de una superficie esférica de centro
c)
Entonces,
por su punto medio).
y radio
verifica:
Se trata de una recta.
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
93
2006 Septiembre (Opción B)
Un plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos:
1,0,0, 0,,0 0,0,4.
Se pide:
0 . ⃗ ⃗ ⃗ 1 , 0 , 0 , 0 , , 0 0 , 0 , 4 . 16 100 00 040 16 ·|4| 23 ||2→||3→303no˅ se admite 3⃗ 1,3,0 ⃗ 1,0,4→ ⃗×⃗ 11 30 04⃗12,4,3 ∆ 12 ⃗ ×⃗1 12 |12,4,3| 112 1312 4 312 12 √ 169 132 3 ∆ ·ℎ→2 3 · 2 ·ℎ→ℎ 13 . ≡ 12 22 4 ≡ 23 11 21 . 23 12 ∩→ 12, 2 2, 4 1 ≡ 22 ≡ . ∩→ 2 2, 1, 2 4 ⃗ 12,2 2 2, 4 ⃗ ⃗ . ‖ ⃗12 22, 22 1,42→12 12 2→ 2 2 → 2 2 2 1 4 22 1 2 6 2530 1 224444 → 424244 1073420 −→⏟ 107 10370 →10 11 3 20 →3043130 107 3420 3 3 2 1 7 2 6 ⃗ 1, 1 no admi s i b l e , , 15 15 15 1330 , 89 →⃗ 29 , 179 , 269 ⃗ 15⃗ 9⃗ 2,17,26→ 0,0,0 ≡ 2 17 26
a) Hallar el valor de de manera que el volumen del tetraedro sea 2. b) Para el valor de obtenido en el apartado anterior, calcular la longitud de la altura del tetraedro correspondiente al vértice a) El tetraedro está construido sobre los vectores
b) Para
El volumen de un tetraedro es la tercera parte de la superficie de la base por la altura.
2006 Junio (Opción A)
Sean las rectas:
a) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las dos rectas anteriores. b) Hallar la recta perpendicular común a las rectas a)
Llamemos:
Entonces:
Entonces:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Y se ha de cumplir:
(al pasar por
)
94
1,2,0∈ ⃗ 2,2,4; ⃗2,1,2∈ ⃗ 1 3,1,1→ ⃗×⃗ 3 2 12 146,10,8→ 2 6,10,83,5,4 ⃗ 3,5,4. 1 2 ≡ 23 52 440→≡28 120 240→≡7530 ≡233 151 241 0→≡ 215 118 20→≡1518230 7 79 7 7 9 7530 ≡1518230 → 10 , 50 ,0∈→≡ 310 550 4 ≡0, 4,3,1. 4 ≡3 → 4 , 3 , . 4 , 3 , 0 . ⃗ 4,3, ⃗ 4,3,0. ⃗ 1 1 1 1 5 ⃗ ⃗ ∆ 2 × 2 44 33 0 2 |3 , 4 , 0| 2 | 3,4,0| 2 3 4 0 2 4 1 0 3 1 0 1 0 √ √ √ , , 52 1→ 25 →± √ 510 → 4√ 150 35√ 10 5 √ 10 5 , 5 , 5 2550 ≡ 43 74 1 ≡2240 ⃗ ⃗ ⃗ 4,7,0∈ 3,4,1. 12 21 259,12,3 3⃗ →⃗ colineal con ⃗ → ‖ ⃗42·75·050→∉ b)
El vector director de la perpendicular común es Construimos dos planos, de modo que cada uno de ellos contenga a una de las rectas y a la dirección perpendicular común. La recta pedida será la intersección de los dos planos:
2006 Junio (Opción B.1)
Sea la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene como vector director punto contenido en dicha recta, tal que si llamamos a su proyección sobre el plano triángulo tenga área 1. Se tiene que: El triángulo
Hallar un el
La proyección de sobre es
está construido sobre los vectores:
Su superficie es:
2006 Junio (Opción B.2)
Determinar la posición relativa de las rectas:
Observamos que:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
(las rectas dadas son paralelas)
95
2005 Septi embre (Opci ón A.1)
≡ 2 2 2 ≡4 ≡2 1 6 14 20 21 2 22 0 6 ) ( det 2214 200 6 21 21+ 221 61 238 det 0→2 ˅ 83 3 2 ˄ →det 0→º 3 → ó3
Discutir según los valores del parámetro real la posición relativa de los planos:
Consideramos las dos matrices asociadas al sistema determinado por los tres planos:
Sistema compatible determinado.
Los tres planos tienen un único punto en común (el vértice del triedro que forman).
2 → 146 000 148 224 −−~⏟ 100 000 11041442 → ( ) ≡2 ≡1 8 1 0 1 8 8 3 3 0 3 3 0 3 14 2 8 2 4 1 3 → 103 03 1033 83 ~⏟ 63 07 31 125 −~⏟− 00 07 0715285→ ( 3 ) − ≡338 ≡33 Sistema incompatible.
Son
paralelos y
corta a los dos.
Sistema incompatible: Son los dos.
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
paralelos y
corta a
96
2005 Septi embre (Opci ón A.2)
Se consideran las rectas:
3 ≡27 4 ≡0
, 3 3 3 →3,0,3∈ ⃗ 1,1,2 ≡230 →≡23 →≡32 4 →≡72 ⃗ ≡27 → 0 , 7, 4∈ 1,2,1 4 ⏊⏊ →⃗ ⃗ ×⃗ 11 12 21⃗ 3,1,1. 0,0,0∈→ ≡3 ,∈ℝ 34 →1→∩, 3,: 1, 1 237 2 3 1 10, 1,1210 ,0. . 10 231 310, ≡2310 ppararaa0 2310 2 ≡620 →≡ ; 1→ → 620 1 6 69 ⃗ ⃗ 6,2,1∈ 01 21 369,3,2→ ≡ 23 ,∈ℝ 12 1,1,0∈231 310→2·13·01 1 13·010→ 1 1 5 4 130→ →≡ 4 0→≡51240 3 3 3 3 12 210 12 ⃗ ≡10 →≡ 1 → 1 → 1, 1 , 0 2, 1 , 1 10→⃗ , 2,33 ≡ 2 3 1 ‖ →⃗∉⏊˄⃗ ; ⃗⏊⃗ →⃗ ·⃗ 0 → 2,1,1·,2,330→22330 →610→ 16 →≡ 16 136 52 56 0→≡131550 113·115·0570→ 1,1,0∉
a) Hallar la recta perpendicular a ambas, que pasa por el origen de coordenadas. b) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta con la recta obtenida en el apartado anterior. a)
Como
b) Sustituyendo en los valores de las ecuaciones paramétricas de
2005 Septiembre (Opción B)
Se considera la familia de planos: Se pide:
siendo
un parámetro real.
a) Determinar la recta común a todos los planos de la familia. b) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto
c) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta: a) La familia de planos (haz) queda:
en la que tomamos los
planos:
b)
c)
Como:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
97
2005 Junio (Opción A)
Dado el punto
1,3,1,
se pide:
,, 3 1 14 , 3→⃗ 1| 1, 3 3, 11|3→ 1 3 1 3→ 9→ 26220 1 , 3 , 1 3. ⃗ 3 , 1 , 1 4 . 31, 2, 2 4 ⃗ 3→ , 3→ 3 1 2 2 4 3→ 9→ 3 1 2 2 4 9→9 610→ 4441616 0 , 1 , 1 ˅ 26 260→26 10→1→3,2,3 ≡ 12 13 14 ≡ 11 21 2 . 1,1,1∈ ⃗ 2,3,4; 1,2,⃗0∈ ⃗ 1,1,21 ⃗×⃗ 21 3 1 2410,0,5→⃗ 5 10,0,52,0,1 1 1 1 ≡ 22 30 14 0→≡3 110 16 10→≡310610 ≡112 210 12 ≡15 220→≡5290 28 28 17 3 10610 25 25 ≡ 5290 ;0→ 1710 → ≡ 2 0 110 ⃗ 2,1,1→⃗, ⃗, ⃗221 113 124 ⏟++ 10 2 041 13183415 , ⃗⃗ , ⃗×⃗,⃗ 10 0|15| 5 5√ 155 3√ 55 . a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos b) Calcular los puntos de la recta:
cuya distancia a es igual a 3.
cuya distancia a es igual a 3.
a)
Se trata de la superficie esférica de centro b) Un punto genérico de la recta dada:
y radio Entonces,
2005 Junio (Opción B)
Dadas las rectas:
a) Hallar las ecuaciones de la recta que corta a las dos y es perpendicular a ambas. b) Calcular la distancia mínima entre a)
Construimos dos planos, cada uno de los cuales contiene a una de las rectas y a la dirección perpendicular común a ambas. La recta pedida es la intersección de estos planos:
b)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
98
2004 Septiembre (Opción A)
≡236, 0,0,0 . . ⃗ ⃗ 1,2,3→≡ 2 , ∈ℝ. 3 ∩ 0 , 0 , 0 , : 22336→146→ 3 →3 , 6 , 9 7 ⃗ ′7⃗ 7 7: ,, 37 37 → 67 37 0, 67 0, 97 0 37 , 67 , 97→ 679 679 → 18127 → ′ 67 , 172 , 178 ⃗71,2,37→ 7 →0,0,0∈ ⃗ 0,0,1 1 2 3 ≡ 0→≡20 0 0 1 0 ≡ →2·03·00→6→6, 0 , 0 0 ⃗ 6, 0 , 0 0 ≡0 0→023· 0 6→3→0, 3 , 0 →⃗⃗ 0,0,03,,20 → 0 ,62 0 0 { ≡0 →02· 0 36→2→0, 16 ⃗ , ⃗, ⃗ 16 00 30 02 16 |36| 6 0 ≡224 ,,,0∈|2 2·04| 0}; ≡2240. | | 2 4| 2 4| 3→ ; , 3→|2 4|9→ 2 3 32 130 2 1249 2130 0 ˅ → 250 ˅ → 2 50 249 0 : 25 ≡213 , ∈ℝ ≡ ,∈ℝ 0 0
Dado el plano
se pide:
a) Hallar el punto simétrico del respecto de b) Hallar el plano perpendicular a que contiene a c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de intersección de con los ejes coordenados. a) Sea la recta perpendicular a Obtenemos genéricas de
(proyección ortogonal de
Calculamos el simétrico
b) Si
por el origen. Entonces,
sobre
sustituyendo en las coordenadas
a partir de la relación vectorial:
es el plano pedido
y los vectores
determinan su dirección
a) Hallar el conjunto formado por los puntos del plano y b) Describir dicho conjunto.
que distan 3 unidades del plano:
bidimensional. Entonces:
c)
2004 Septi embre (Opci ón B .1)
a)
b) Se trata de dos rectas paralelas contenidas en el plano coordenado
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
99
2004 Septi embre (Opci ón B .2)
El plano
≡222
determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide:
a) Hallar la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen. b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a dicha altura. c) Calcular el área de la cara del tetraedro que está contenida en el plano
. 0 , 0 , 0 ≡2220. 2 ℎ, |22·02·002| 2 1 3 . 2 ⃗ , ⃗ 2,2,1→≡2 ,∈ℝ 0 ≡ →22· 0 02→1→1, 0 , 0 0 ⃗ 1, 1 , 0 ≡ 00 →2· 0 202→1→0, 1 , 0 → → 0 ⃗ 1, 0 , 2 ≡0 →2· 0 2· 0 2→2→0, 0 , 2 ⃗ ×⃗ 11 01 0⃗22,2,1→∆ 12 ⃗ ×⃗ 12 2 2 1 32
a) La altura desde el origen es la longitud del segmento perpendicular al plano trazado desde el origen de coordenadas. En otras palabras, es la distancia de a
b) La recta pedida es perpendicular al plano
c)
por lo que
2004 Junio (Opción A)
23 ≡12 ≡2320, ≡32220. 4 . 3·22·142→ 2,1,4∈ ⃗ 3,2,2,11,4;∉ ≡322→ ⃗ 3, 2 , 1 . ⃗ . ⃗ →⏊. ∉ ≡22230→⃗ 2,2,2. 2·22·12·430→ 2 , 1 , 4 ⃗·⃗ 3,2,1·2,2,26420→⃗ ⏊⃗ ⃗∉⏊⃗ → ‖ | | 1 1 3 √ , , |2 ·22·12·43| 2 2 2 √ 12 2√ 3 6 .
Se consideran la recta:
y los planos:
a) Hallar la posición relativa de la recta con cada uno de los planos. b) Calcular la distancia de a a)
La recta y el plano
Además, Por consiguiente: tienen un único punto en común y, además, son perpendiculares. Igualmente:
(Paralelos)
b) Por tratarse de una recta y un plano paralelos:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
100
2004 Junio (Opción B)
Se consideran los planos:
≡233 ≡1 ≡33
.
a) Estudiar su posición relativa, para los distintos valores del parámetro b) En los casos en los que los tres planos anteriores se corten a lo largo de una recta común, hallar un vector director de dicha recta. a) Construimos las dos matrices asociadas al sistema formado por los tres planos:
21 3 1 13 (3 1 3 ) 2 3 2 3 21 1 1 3 2 ∆det 13 1 13 −⏟ 10 13 10 1 3 3 1 2; det 0→ 13 ˅ 2. 3 ˄ 2→det0→º ó 33 → 3 3 2 3 1/3 2 3 1 / 3 → 13 1/31 13 1/31 −~⏟ 30 10 03 8/33 → ( ) ≡3330 ≡33 0 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2→ 13 12 31 12 ; 1 20 13 12 210→º 2 → ó 3 ( ) ∩ →⊂. ⃗ 2 →≡2323 ; ⃗ × ⃗ 21 1 21 32 217,0,7→ ⃗ 7 7,0,7→ ⃗ 1,0,1
Sistema compatible determinado. Los
tres planos tienen un único punto en común (el vértice del triedro que determinan).
Sistema incompatible.
Los planos corta con ellos.
son paralelos. El plano
se
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. La tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Esto significa que el tercer plano pasa por la recta que determinan los dos primeros:
b)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
101
2003 Septi embre (Opci ón A.1)
1,0,1 0,2,0 . ≡270. 1,0,1 ⃗⃗1,1, 2,2,11 → 1 1 ≡ 11 22 11 0→≡4 120→ ≡220 ≡ 11 11 1 ≡3 31 →⃗0,1,2,2,1∈3 ⃗1, 1,1,1∈,1 ≡13 3 →≡13 22 →≡22 13 1 1 1 1 2 ⃗ ⃗ ⃗ →, , 0→11 21 31 0 →⏟++ 11 10 20 0→ + 12 20→40→ 4 1· 1 4→≡011 221 131 0→≡2 210→≡250 ≡0 ≡ − + ′ , ′ 1 2 12 :1 2120→ 50→0→ 1 , 0 , 1 ≡0. 1 2 120→ 2 2 2 50→ 5 → 1 5 , 5 , 1 5 →′⃗ 5 , 5 , 25 , 2→′⃗2→ 5 25 25 925 2→ 1009 →± 103 → ≡ 103 0 ≡ 103 0
Se dan los puntos y el plano perpendicular a y pasa por los puntos El plano pedido pasa por
Determinar el plano que es
y tiene como dirección bidimensional:
2003 Septi embre (Opci ón A.2)
Se dan las rectas:
a) Hallar el valor de para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano. b) Para el valor de obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene. a)
Son
b)
coplanarias
2003 Septi embre (Opci ón B.1)
Se dan el plano
y la recta
a) Calcular el punto en el que se cortan. b) Encontrar un plano , paralelo a tal que el punto en el que se cortan el plano esté a distancia 2 del punto hallado en el apartado anterior. a) Ponemos en forma paramétrica:
y sustituimos en
b) Un plano paralelo a es
Sustituyendo:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
y la recta
102
2003 Junio (Opción A)
2 , ≡3 3 ≡10 ≡1 , ≡2 , ∩→110→ 12→ 12 →1, 12 , 12 ∩→2210→ 23→ 23 →2, 26 , 23 ∩→3310→ 34→ 34 →3, 312 , 34 42 , 12 1 ⃗ 1, 26 12 , 23 12 1, 12 61 , 23 1 ⃗ 1, 312 26 , 34 23 1, 23 42 1 1 12 1 2 , , alineados→⃗‖⃗ → 1 621 3 23 1 → 42 6 1 →1 36 1 11 2 21 3 →42 2→ 12 1 3 1 23 1 ⃗ 1→1,1,1 1,1,0→ ≡1 ,∈ℝ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 1,1,1→ 1 1 ⃗1 , ⃗ ⃗×⃗ 1|11,1,00| ||11,,1,1,00|| 11 11 0 0 √ √ 22 1 .
Se dan el plano
y las rectas
a) Calcular el valor de para que los puntos de corte del plano con las rectas alineados. b) Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por esos tres puntos. c) Calcular la distancia de esa recta al origen de coordenadas.
estén
a) Sustituimos en las coordenadas genéricas de cada una de la rectas:
b) c)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
La recta pedida:
103
2003 Junio (Opción B.1)
20 2 ≡226 ≡210 ∈ 0 , 2, 1 2 ≡ 12 →≡2 → 12 ⃗ 11,1,2 1 1 1,3,0∈ 12 →≡ 3 2 →⃗ 1 , , 1 22 →≡ 3 ≡ 26 { ⃗‖⃗ {→ 1 1 22 →2{2 2→21 2 2 ‖→ ∉12 2ciert1o, pues: 132 ⃗ 2 1 ⃗ ⃗. 1,5,1→≡11 51 12 0→≡113 24 10 →≡113420 ≡26 1,1,1 ≡ − +− .. 1 , ⃗ ⃗ 1,1,2. 1 , : ≡12 : →1→2, ∩→2,111 21 26→66 ⃗ ⃗ ,, → 21 3 1,1,22, 2, 1→12 21 →3 3 → ′3,3,3 , : ≡230, ⃗⃗ . ∈→ 12 3 2·13·110→4→≡2340. ≡1 : ∩→21 233 140→ 1410→ 141 →87 , 143 , 1514
Se dan las rectas:
a) Hallar el valor de para que sean paralelas. b) Para el valor de obtenido, determinar el plano que contiene a ambas rectas. a)
b) Sea el plano pedido. Entonces, está determinado por el punto y los vectores
2003 Junio (Opción B.2)
Se dan el plano
, el punto
a) Hallar el simétrico de b) Hallar el simétrico de a) Recta
respecto de respecto de
perpendicular a
Proyección ortogonal de
El punto simétrico
b) Plano
la recta:
por
sobre
pues
Punto
verifica la relación vectorial:
perpendicular a por
pues
Como
También:
Proyección ortogonal de
sobre
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Punto
104
⃗ ⃗ ′′,, ′ ′ → 8 1 9 17 , 1114 , 2914 87 , 143 , 1514→ 143 771114 → 747 → 97 , 47 , 227 { 1514 2914 { 227 1 ≡ 261 ≡ 0 .2 2, ⃗ 0,0, ∈ 11 12 066,6,3→⃗ 6,6,32,2,1 22 2 11 →2 ⃗ ∈ . 0 , 1 , 0 2 , , 1 ⃗ ⃗ ∉, 2→ ‖ ; 0 , 1 , 0 010→ ‖ 2→ 1 1 1 0 1 0 1 ⃗ 0,1, 6→ ⃗, ⃗, ⃗ 22 2 116 ⏟− 20 2 2 160 23 0→ y se cruzan. 0 1 1⃗ 6 4 1 4 1 2 ⃗ , , 2 ⃗ × 2 2 1 3 3 3 3 2→ ‖ →, , ⃗ |2,2,1| |2,2,1| 2 2 1 19√ 794 √ 3353 √ 953 . ≡2 ≡1 . ≡3 11 1 1 21 1 1 3
El punto simétrico
verifica la relación vectorial:
2002 Septiembr e (Modelo: Opción A)
Sean las rectas:
a) Determinar su posición relativa, según los valores de b) Para hallar la distancia entre ellas. a)
como, además,
pues
(rectas paralelas)
b)
2002 Septiembr e (Modelo: Opción B)
Se consideran los planos:
Se pide:
a) Calcular los valores de para los cuales los tres planos anteriores contienen una recta en común. b) Para los valores de calculados, hallar unas ecuaciones cartesianas de dicha recta común. a) Escribimos las dos matrices asociadas al sistema lineal que determinan los tres planos:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
105
1 1 2 2 2 1 1 1 det 1 1 11 +⏟+ 1 1 11 21 1 11 ⏟−− 211 110 1 00 211 3 2 ˄ 1→det 0→º 3 → ó3 2 1 1 1 2 1 1 1 1→ 11 11 11 13 ~⏟−− 00 00 00 15 →0005→ ( 1 1 )2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2→ 21 21 11 13 +~⏟− 00 33 33 11 −~⏟+ 00 30 0310→ ( ) 2 2 → º 1 1ó 3 22 ′~ 00 30 023210→ ≡331 1 ≡12 ≡22. 1,1,0∈ ⃗⃗1,2,1,2,11 → 1 1 ≡ 12 21 11 0→≡3 13 130→ ≡20 1,1,1, 2,2,2 1,3,3 ⃗,,⃗. , 11 0 →21, 21, 211, 3 , 3 →31 31 →2 2 → 0,2,2 Para que los tres planos tengan una recta en común, el sistema ha de ser compatible e indeterminado con un grado de libertad.
Sistema compatible determinado.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
b)
2002 Junio ( Opción A)
Hallar una ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta plano
El plano pedido pasa por el punto
y es perpendicular al
y tiene la dirección bidimensional:
2002 Junio ( Opción B)
Los puntos
son tres vértices consecutivos de un paralelogramo. Se pide:
a) Hallar las coordenadas del cuarto vértice y la superficie del paralelogramo. b) Clasificar el paralelogramo por sus lados y por sus ángulos. a) Sea
Si los vértices consecutivos son
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
se verifica la relación vectorial:
106
⃗ √ 1 1 1 ⃗ 1 2 3 2 3 2 √ 31 1 1 √ 3 ⃗ ·⃗ 1,1,1·1,1,111110→ ⃗ 3⃗. , ⃗ ⃗ . 1,2, 1 3,6,9, ⃗ ⃗—3⃗ →⃗ ⃗ 3⃗→ 1 ⃗ ⃗⃗ ⃗ →⃗⃗ ⃗ ⃗ → 1 3→ 1 ⃗ 3 ⃗ 0⃗ →4 1 ⃗ 0⃗ →410→ 4 333 ,,; ⃗ 3⃗ →3 , 6 , 9 31, 2 , 1→ → 663 933 ⁄ 32 3⁄ → 32 , 3, 32 32 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 2, 1 , 0 0 , 1 , 3 . . , . . ⃗ 0,1,1, ⃗ 3,1,0 ⃗ 1,1,3. ⃗×⃗ 0 3 11 10⃗ 1,3,3 ∆ 12 ⃗ ×⃗ 12 10131 3 √ 219 16 ⃗, ⃗, ⃗ 16 31 11 03 16 |7| 76 ℎ1 7 1 √ 19 7 7√ 19 3 ∆ ·ℎ→ 6 3 · 2 ·ℎ→ℎ √ 19 19 . →⃗ ⃗ 3,1,0 →⃗ ⃗ 1,0,2. ⃗×⃗ 31 10 02⃗ 2,6,1; ⃗ , ⃗, ⃗0 31 110 0217→ , ⃗⃗ , ⃗×⃗,⃗ √ 2 6|7| 1 √ 741 7√ 4141 .
b) Medimos los lados no paralelos:
Se trata de un cuadrado o un rombo. Estudiemos el ángulo: No forman 90º. Por lo tanto es un rombo.
2001 Septiembr e ( Opció n A)
Los puntos
verifican la relación:
a) Calcular el valor que toma en la expresión: b) Si y hallar las coordenadas del punto de partida. a) Es
b)
2001 Septiembr e ( Opció n B)
Se considera el tetraedro cuyos vértices son
a) Hallar el área del triángulo y el volumen del tetraedro b) Calcular la distancia de al plano determinado por c) Hallar la distancia entre las rectas a)
Es:
b) La distancia pedida es la altura
c)
del tetraedro anterior.
Las rectas no son paralelas ni
coincidentes.
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
107
2001 Junio ( Opció n A)
≡1,0,00,1,1 , 1,1,0. . ′ . ≡0; 1,0,0∈ ⃗ ∈→100→1→≡10. 0,1,1. . ⃗∩. ⃗ . 1 1 1 1 ≡ →10→ →1, , 2 2 2 ⃗ 0, 1 , 1→⃗ 2⃗ 0,.1,1→ ≡1,1,00,1,1. ,,. 2 2 10 1 →′1,0,1 ⃗ ′⃗ →0, 12 , 121, 12 , 12→ 121 112 →0 2 2 1 1 1 1 ≡2 2 ≡2 2 ⃗2, 1,1,1∈,2 ⃗1, 1,21,0∈1,21. 1 1 1 1 ⃗ , ⃗, ⃗0→ 11 1 2210→210 0 23 0→330→ 1 , ⃗ ⃗ → 11 11 22 0→≡4 14 20→ ≡30 66890. . 0. . 69 69 81699916→ 3 3 4 5 → CentRardoio: :53,3,4
Sean la recta
y el punto
Se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a por b) Hallar el punto simétrico de respecto de a)
Construimos el plano perpendicular a
El punto es la proyección ortogonal de sobre La recta pedida
por
Es Ahora,
es la recta
b) Sea
2001 Junio ( Opció n B)
Sean las rectas:
a) Hallar para que sean coplanarias. b) Para el valor obtenido, hallar el plano que las contiene. a)
b)
Las rectas son coplanarias si:
queda determinado por
2000 Septiembre ( Opción A)
Sea la superficie esférica de ecuación: a) b) c) d)
Calcular su centro y su radio. Hallar la ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta de cortar dicha esfera por el plano Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en su punto del eje
a) Completamos cuadrados:
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
108
3,3,4 0,1,0→ ,,3,3,40,1,0 66890 → 669 → 69 0 0 3 3 → CentRadroio: :3 3 , 3 , 0 69999 3 → 0 0 ≡00⃗→⃗ 0,3,4→≡340;∈→0→≡340 690→3→Punto de tangencia: 3,0,0. 1,,0, 1,1,2 1,1,. . ⃗ ⃗ → 0 , 1 , 2 0 , 1, 1 2⃗ 2,0,02,0,0→⃗×⃗ 0⃗, ∀ ∈ℝ→ ⃗×⃗ 00 1 ⃗ ⃗ →, ∆ 12 ⃗×⃗ 12 |2,0,0| 12 2 0 0 12 ·2 1 ≡ − − ≡20. ⏊→⃗ ‖ ⃗ → ,4,2‖2,1,→ − → 8 ⃗ ·⃗ 0 →2 420 4 ⊂→1,⃗0⏊,1⃗ ∈ →2·10·10 → 2 2
b) La recta pedida pasa por c)
d)
y tiene la dirección de
Sustituyendo:
2000 Septi embre ( Opció n B.1)
Se consideran los puntos
a) Comprobar que no están alineados, sea cual fuere el valor de b) Hallar el área del triángulo que determinan. a)
linealmente independientes (no colineales)
b)
no están alineados.
2000 Septi embre ( Opció n B.2)
Sean la recta:
a) Calcular b) Calcular a)
b)
y el plano:
para que sean perpendiculares. para que la recta esté contenida en el plano.
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
109
2000 Junio ( Opción A)
×2,1,11,3,5, || √ 6. ⃗ ,,→ ×2,1,12 1 1,2,221,3,5→ 1 1 1 32 → 23 →1 23 →⏟− 222 23 −→⏟ 1 23 →1 25 32,1, ; || 3 2 1 6 1010 1→ 1, 2, 1 || √ 6 →6 10106→3 520→ 23 →˅ 53 , 55 , 23 { ⃗ ,1,,1,2 ⃗ 1,,1 3,3,0 0, 2. ⃗· ×⃗ 0. ⃗,,⃗ 1 1 1 2 10 →⏟− 01 1 10→ 0 11 10 →⏟− 0 1 0 10→ 10 01 10→ 1 1 1 1 1 01 1 1 1 10→ 1 0→ 1˅ 2, ℝ . ⃗,,⃗ }. 3,3,0. ℝ 223 15 3,3,02,3,42,1,21,2,1→323 → → 24 420 12 ⃗ ⃗ 15 24 12 0 1 0 0→⃗ · ×⃗ ⃗,,⃗ 01 10 000
Resolver la siguiente ecuación vectorial:
sabiendo que
Ponemos:
2000 Junio ( Opción B)
Dados los vectores:
a) Determinar los valores de para los que son linealmente dependientes. b) Estudiar si el vector depende linealmente de los vectores dados, para c) Justificar razonadamente si, para se cumple la igualdad: a) Para ello, ha de ser:
b) Para los vectores son linealmente independientes. Entonces, forman una base de Por lo tanto, determinan una base Entonces, cualquier vector de se puede expresar como combinación lineal de ellos. En particular,
c)
MATEMÁTICAS B. GEOMETRÍA ANÁLITICA PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
110
3
Análisis - Matemáticas B P.A.U. Comunidad de Madrid 2000-2016 EJERCICIOS RESUELTOS
2016 Septi embr e (Opci ón A)
6 0. ℝ →+lim 6 ∞·∞∞ → l→−im 6 lim→+6 − lim→+ 6 ⏟ →+lim 131 ∞1 0 { ô 6 6 lim lim→+ lim→+ 1 1·∞∞ →+ ∞ 0→6· 6 As í n t o t a hor i z ont a l : Si→∞ 0 0→⏟> 60→6 →Cortes con los ejes: 06,,60 6 → 1 6 3 1 6 · 3 · 1 3 3 ; 0→3→33 3→ 0→decreci crecientente e → deccrerceeceenen∈∈3∞,,3∞ Máxim3o,3relativo: 3→0→
Se considera la función: a) Determinar su dominio, sus asíntotas y sus cortes con los ejes. b) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos. c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la recta tangente a la curva en el punto de abscisa a)
y la función es continua en su dominio
Entonces, hacia
b)
No hay asíntotas verticales.
no hay asíntota horizontal ni oblicua.
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
112
c)
0→06→ 0 , 6 . 0 , 0 0 30 06,,60 3 1→≡61·0→≡6→Vértices: 6 18 1 , ≤0 5 51 , 0 − 50→50 50→50 l→im l→im 51 1 15 01 →lim l→i m 5 5 l→−im lim→− 511 0 → Asíntot0 a hor i z ont a l : lim lim→+ 5 0 →+ 0→ 511 → 5 11 En 0: 0→ 51 →1 5 ℎ 1 1 55ℎ 5ℎ 5 0−lim→ ℎ0 l i m lim l i m → 1 ℎ 1 → ℎℎ → 55ℎ 25 → ∄′0 ℎ 1 1 55ℎ 5ℎ 5 {0+lim→ ℎ0 l i m l i m l i m ℎ → ℎ 1→, ℎ 0→ 55ℎ 25 → 55 1 , 0 1 1 ln| 5|− ln|5 | − − − 5 5 l n 5l n 6l n 6l n 52l n 62l n 5l n 36l n 25l n 3625 El punto de tangencia es
Tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
Y la pendiente de la recta tangente:
. Entonces:
2016 Septi embr e (Opció n B)
Se considera la función:
a) Estudiar su continuidad y calcular sus asíntotas. b) Estudiar su derivabilidad y calcular sus derivadas donde sea posible. c) Calcular:
a) La función es continua en toda la recta real, pues
. Y, además:
Por tanto, no hay asíntotas verticales:
No hay asíntotas oblicuas. b) Estudiemos la derivabilidad:
c) Considerando la definición de la función y la propiedad ”aditiva” de la integral respecto al intervalo:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
113
2016 Junio (Opción A)
l n 1 1− 0 ≥0 l i m →− 2. − 0→10 0. ln10 − →lim →lim0· 00 → es continua en 0 1 l n 1 l→−im lim→− 1 ..; ⏟ô →−lim 11 1∞1 0 2 2 ·− → − 1− −1→ 21 → 2′22→ 2 1 2→40 ln1 − 1 − − 1 l n 1 → − 1 ; cambio: ln1 →1→ln2; 1 10→0 l n 2 2 2 2l2n2 l n 2 − ; partes:− →−− − − − − − − 11 2 ln21 2 −
Se considera la función:
a) Estudiar su continuidad y hallar
b) Obtener la recta tangente a la curva c) Calcular:
en
a) Considerando que , tenemos que es composición y cociente de funciones continuas (y el denominador no se anula) en el primer tramo. Y es producto y composición de funciones continuas en el segundo tramo. Hagamos, pues, el estudio local en
Por consiguiente, es continua por doquier.
b)
Recta tangente: c)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
114
2016 Junio (Opción B.1)
12, ∈ℝ, 13, 11 14. 5 ,6, 14∈ℝ, 12, ∀∈ℝ, → 62→ 6 2→ 3 12→612→2 13→23 1 4 4 32 2 1 1→621 → → → 25 3 28 2 14→1224 → 6, ∀ ∈ℝ,2→ 2; 6→3 3 2 5→ 5→1 5 2 2 28 2 → → → 3 5 14→ 2 14→82214 3 25 0 1 |0,ln|, ≤00 l n , 01 0 1→ln0 →| · l n | 0 ≥1→ln≥0 0, ln, es cont≥1inua en 1 0: →lim 00 1 l n l→im l→i mln .⏟.· →lim 1 .⏟. →lim 1 l→i m0 → es continua en 0 ô 0 0−0 0+l→i m 00 l→i m l n0 l→i mln∞ → no es derivable en 0 1 1 ln→ ln· ln1 ln→ ln· 1 ln1 → 11−+1 1 → no es derivable en 1 a) Determine el polinomio y b) Determine el polinomio
sabiendo que
, sabiendo que
a) Si es un polinomio y
b) Si
para todo
es un polinomio y
para todo
y además se verifica:
y que además verifica:
entonces es de tercer grado. Por tanto:
entonces es de segundo grado. Por tanto:
2.016 Junio (Opción B.2)
Estudie la continuidad y la derivabilidad en
y en
de
Considerando que:
En es continua por ser constante. En es continua, pues es producto y composición de funciones continuas (logaritmo natural y valor absoluto). Entonces: Estudio local en
Derivabilidad en
(usando la definición de derivada):
Derivabilidad en
(usando las fórmulas de derivación):
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
115
2015 Septi embre (Opció n A.1)
4 123 123 4 0 2612; 0→12 620→ −±√ − ∉ℝ 0, ∀ ∈ℝ 120, es creciente, ∀∈ℝ 123 4
a) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función: b) Demostrar que la ecuación tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga. a)
Como ’ es un polinomio de 2º grado que no se anula y es Por ello, la función dada es siempre creciente.
entonces
b) La función polinómica es continua por doquier, en particular en cualquier intervalo cerrado que consideremos. Vamos a tantear la función dando algunos valores:
1123420 010 0. 1,0, ∈ 1, 0 0, , , ∈, 0. , , 0, ∀ ∈ℝ. 1 − lim 1 − →−lim 1 − →+ 1 − 1 − →−− 1− −3− 0 − 3− − −4− − 4 l→+im 1 − .⏟.· →+lim 1 .⏟. →+lim 1 ∞1 0 ô lim 1 − ∞·∞ ∞ →−
Y, como es continua en en virtud del Teorema de Bolzano, existe al menos un valor que O sea, existe al menos una solución de la ecuación dada.
tal
El carácter único de esta solución se concluye a partir del siguiente razonamiento:
Si hubiese dos soluciones distintas, por ejemplo con verificando: al ser también derivable en toda la recta real, y en particular en el abierto aplicando el Teorema de Rolle, llegaríamos a que existe un valor tal que Pero esto es imposible, pues anteriormente comprobamos que 2.015 Septiemb re (Opció n A.2)
a) Calcular la integral definida:
b) Calcular:
a) Por partes:
b)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
116
2015 Septiembre (Opción B)
Dada la función:
0 , l, n , ≤0 ′
se pide:
ℝ − . 0. →lim l→i m 00 1 l n →lim l→i ml n l→i m l n ..⏟· lim → 1 .⏟. lim → 1 lim →0 ô { 0 0 1 l n , 0 ln→ ln1· , ≤0 ; → 2 1ln 2 → 0 ℎ0 ℎ 0 0−lim lim 0 → ℎ ℎ →∄′ 0 → 0 ℎ0 ℎl n ℎ0 0+lim ℎ lim→ ℎ l→i m l n ℎ∞ n, , 0 1l 2 0 ; 2 → − 2 2, ; → → 2 22 − 22− ·2−122 2 5 25 4 ln11 0. 40 , 10 ˄1 → 1,2 ∪ 2,∞ ˄ →±2 a) Calcular el valor de para que sea continua en todo . b) Calcular donde sea posible. c) Calcular:
a) En cada tramo la función es suma y producto de funciones continuas. Vamos a forzar, pues, la continuidad en
Entonces, la continuidad en
se garantiza con
b)
Por consiguiente:
c)
por partes:
partes:
2015 Junio (Opción A)
Dada la función:
a) Determinar el dominio de y sus asíntotas. b) Calcular la recta tangente a la curva en c) Calcular
a) Para que exista
ha de ser:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
117
Asíntotas verticales:
l→−im 4 ln11lim→− 13 0∞+ ∞→ 1 asíntota vertical 20− ln33 ∞ →2 asíntota vertical l→im 4 llnn11 l→im 4 11 02+ ln33 ∞ 0 asíntota horizontal, 1 l n 1 l n 1 1 1 lim 4 1 lim→+ 4 lim→+ 1 .⏟. →+lim 2 lim→+ 1 000 →+ ô 1 l n 1 4 1l n 1 1 3 1 4·2 → 0 1 4 1 4 1 00→ 4 4 30,0 3 0 4 0→ 4 4 ln1112 41 ln11 ln41 2 4 2 ln| 4|ln | 4| 1 ; ln1 1→ 1 → 2 2 ln1 1 ln | 4| 2 ln 1 Asíntota horizontal:
pues:
b)
Punto de tangencia
y pendiente de la recta tangente
c)
cambio:
2015 Junio (Opción B)
Dada la función:
sin ,1, 0 ≥0 ′
a) Estudiar su continuidad. b) Estudiar su derivabilidad y calcular c) Calcular:
donde sea posible.
a) En cada uno de los tramos hay cociente, producto y suma de funciones continuas (y el denominador no se anula en el primer tramo). Por tanto, basta hacer el estudio local en
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
0. 118
l→im lim→ sin .⏟. →lim cos1 1 →∃lim 0→ 0. ô → l→i m 1 10 →lim lim n sin 1→ → cossi 1 0− l→im cossi n .⏟. →lim cossi2ncos l→im si2n 0 ô 0+ l→im 1 10−→ 0→´ 1, , 0 0 1 ; → 33 2 → 2 2 31 2 1 1 1 4 ′ . 1 4 1 4 14 24 54 10→1 → 10→1 ∞,∞,44 ∪ 4,4,11 ∪ 1,1,∞∞ 40→4 l→−im 11 1 4 011− 131 ∞ →1 →−lim 1 4 0+ 3 ∞ continua en
Entonces,
es continua por doquier.
b)
no es derivable en
c)
por partes:
2014 2014 Septi embre (Opció n A)
Dada la función:
a) Determinar su dominio y sus asíntotas. b) Calcular y determinar los extremos relativos de c) Calcular: a)
asíntota ntota vertical
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
119
l→−im 11 1 4 131 440− ∞ →4 →−lim 1 4 3 0+ ∞ l→±im lim→± 1 1 4lim→± 1 1 1 1 4 ±∞1 1 1±∞4 0 1 1 0 1 → 1 asíntota horizontal 1 4 4 4 1 3 12 1 1 4 4 1 4 1 4 1 4 0 → 3112 4 0→3 120→ 4→±2 31242 0 valor pequeño→ 3 14 24 0 → crece en 2, 2 2 1 2, 2 2 → 3 3 4 4 dec r e c e en 2, 2, 2 2 2 1 12 0 Máximo relativo: 2,2, 222, 2,2 2 333446 0 → deccrreecceeenen2,22, 2 , 2 ,2 → 2 3 6 0 Mínimo relativo: 2,22, 2, 23 2213 00 →→ MMíánxiimmooeenn 22 6 1220 1 4 → 2 27 1 44 1 4 4 1 4 | | | | | | l n 1 l n 1 4l 4l n 4 1 4 l n 2l n 114l n 504l n 41l n 24l n 2 4ln519ln24ln5 4ln519l n 24ln5 asíntota ntota vertical
b)
De otro modo:
c)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
120
2014 2014 Septi embre (Opció n B)
Dada la función:
5si n 1 ,2 3, 2 , 0 00 0 ..
a) Hallar, si existe, el valor de para que sea continua. b) Decidir si la función función es es derivable derivable en para algún valor de c) Calcular la integral:
a)
l→im lim→ 5si2n 12 lim→ 5sin2 .⏟. →lim 5cos1 3 2 → 3 ô 0 l→im lim→ 3 3 { 3. 5si n ℎ 1 5si n ℎℎ6ℎ 3 0 ℎ 0 2 lim→ 2ℎℎ 5sinℎ 0− lim→ ℎ5sinℎ5ℎlim→ 2ℎ ℎ 5cosℎ5 lim→ 2ℎ .⏟. →lim 4ℎ .⏟. →lim 4 0 ô ô − → 0+ lim→ 0 ℎℎ 0 lim→ ℎ 33 lim 1 0 ℎ → 5cossi n ∀ ∈ ℝ, 0 1 2, , 00
b) Para que una función sea derivable es nece sario que sea continua. Por tanto, es preciso que sea
no es derivable en
c)
→ → 3 1 3 3 ln5 n5 1 3 ln 5 3 5l n 553l n 538l n 51 Por partes:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
121
2014 Ju nio (Opción A.1)
:ℝ→ℝ
2 2, 2, 21616 . 4
a) Sea una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa es un punto de inflexión de la gráfica de y que la recta de ecuación es tangente a la gráfica de en dicho punto, determinar: b) Determinar el área de la región plana acotada limitada por la gráfica de la función y el eje OX. a) Sabemos que una curva comparte con su tangente el punto de tangencia y la pendiente en dicho
216 21616 2→ 1616→ 16→ 216 20. 216, 20 216, 4 0→ 40→ ≡0; 4; 0→ 0 0 40 ˅ →4˅ 4 − 4 5 −0 5 4 2 56 512256 5 5 512
punto.
Entonces, en
En un punto de inflexión, la segunda derivada vale 0. Entonces,
b)
Resumiendo:
2014 Ju nio (Opción A.2)
12 si n 3 5 26 l→im →+lim 121 12 si n 3 2 3cos3 l→im .⏟. →lim 2 .⏟. →lim 9si2 n3 12 ô ô
Calcular los límites siguientes:
30 2 12 5 5 26 5 30 212 l→+im 121 lim→+ 2 21 .⏟. →+lim 2 1 2 1 30 2 12 5 5 lim→+ 2 1 2 1 5000 2000 2
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
122
2014 Ju nio (Opción B)
Dada la función: a) Calcular:
l−n,1 , ≥00, lim →−l im →+ ℝ ′ lim lim→−ln1 ln∞ ∞ →− se pide:
b) Calcular , de modo que c) Estudiar la derivabilidad de a)
sea continua en todo . y calcular donde sea posible.
− l→+im ..⏟· →+lim .⏟. →+lim 2 .⏟. →+lim 2 ∞2 0 ô ô
10 en 0 0. 2ln10 l im llim→im llim n 1 → 0 0 0·10 → → 0, 0 0. 1 1 ′ l n 1→ 1 2 →′ 2 21 22 1 1 1 ; 0−0+→ ∄′0 0+l0−li m→im2 → 2 0 1 12, 2, 0 0 44 2227
b) En cada tramo, la función es continua, pues es suma, resta, producto y composición de funciones continuas, y además . Hagamos el estudio local en
Entonces, para que la función sea continua en
ha de ser:
c) Para que una función sea derivable, ha de ser necesariamente continua, por lo que
2013 Septi embr e (Opció n A)
Dada la función:
a) Obtener las asíntotas de su gráfica. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los puntos de inflexión. c) Esbozar la gráfica de la función.
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
123
a)
− + → ∞,1 ∪ 1,4 ∪ 4,∞ l→−im 445 27270− ∞ →1 asíntota vertical →−lim 5 0+ ∞ l→im 044− 271027 ∞ →4 asíntota vertical →lim 0+ 10 ∞ l→+im 44 2227 0 →−lim 44 2227 0→0 asíntota horizontal
Habiendo asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua. b)
4 44 2271 82 14 27 1 8 1 27 4 0, ∀ ∈ℝ→0, ∀ ∈ ∞,1 ∪ 1,4 ∪ 4,∞ → es creciente en su dominio 44 2271 → 4·24 4 27·42·121 48 127 21 4 31 4 ⏟+ 2 1344 416 1 1 49 4 5107 46172 527 4 1 446172 1 − 5 0 2 0→ 20→2 , , 2 → ˅ + 0 2 2 7 461720→∄∈ℝ 2, 52 punto de inflexión 252 →0, 225 0→ 4 27 8827108 20 20 0→ 0→ 0→351000→ → 7 7 , 0 { 4 22 422
c) Cortes con los ejes:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
124
2013 Septi embr e (Opci ón B.1)
Dada la función:
Se pide:
1
0. · 0→0 0 01 0→0,0 1 1·1·2 1 1 →01 010→ 11 1 · 1 1 1 1 1 arctan 1arctan10arctan014 44
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en b) Calcular:
a) El punto de tangencia:
La pendiente:
La recta tangente: b)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
125
2013 Septi embr e (Opci ón B.2)
Dada la función: Se pide: a) Calcular
lim →+lim →− →lim , l→−im 1 →+lim 1 l→im − ++1 ∞1 0 →∄lim→ →lim ∞ 01 asíasíntnottoatahorverizontticalal 1 0, ∀ ∈ℝ0}→ decreciente en su dominio.
b) Esbozar la gráfica de asíntotas. a)
y estudiar la existencia de
determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y las
b) Las anteriores consideraciones nos proporcionan:
2013 Ju nio (Opción A.1)
3 ℝ3} lim 27 ∞→ 3 asíntota vertical → 3 0+
Dada la función:
a) Hallar las asíntotas de su gráfica. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de a) Es
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
en el punto de abscisa
2. 126
lim→± 16 9 lim→± 1 6 9 ±∞→ l→±im 3 lim→± 69 lim→± lim→± 69 lim→± 1 6 9 lim→± 1 61 9 1 9 6 6 9 lim→± lim→± 69 lim→± 69 lim→± 1 6 9 9 6 lim→± 1 6 9 6→6 asíntota oblicua 2→2 2 32 8→2,8 9 28 3 3 3·23 332 → 2 3 3 1 28 8282→2848
No hay asíntota horizontal. Busquemos la oblicua (
:
b) Punto de tangencia:
Pendiente:
Recta tangente:
2013 Ju nio (Opción A.2)
3 9 3 3 9 9 39 9 39 12 29 3 9911 1 2 ln| 9| 131 +>⏟ 12 ln 9arctan3 3 3 3 1 3 − 1 3· − ln|| 2 2 3 2 ln|| 2 38 l n 2 42 32 0 12 218 l n 2
Calcular las siguientes integrales:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
127
2013 Ju nio (Opción B)
2cos ,
, , 2·2 cos·0 si n 02cos 0→sin 20 2· 2 si n · c os2si n 2 ; 2 0→ 02 0 → 2cos 2 → → 2 { 2cos 0 Máximo:0,2 por la continuidad de Mínimos:2 , 0 y 2 ,0 2 4cos2; 0→4cos20→cos20→ 2 22 → 44 80 8sin2→ 4480 →Inflexiones: 44, 1, 1 1 cos2cos sin 2cos 1→2cos 1 cos 2 s i n 2 2 2 12 sin0 12 sin0 2 3, , ≤33 , 410 0. 4,8. 3, l imlim ll→imim393 → ;917→ 8 17 410 → → 38→ →3102 → 33−+3 410 3. 4 →∄′3→ 0→1020→5; 5410·55 21→ 5,21
Dada la función se pide: a) Calcular los extremos absolutos de b) Calcular los puntos de inflexión de c) Calcular:
a)
b)
c)
en
en
2012 Septi embre (Opció n A)
Dada la función:
se pide:
a) Hallar el valor de para que sea continua. ¿Es derivable para ese valor de ? b) Hallar los puntos en los que c) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de en el intervalo
a) En cada tramo, por tratarse de expresiones polinómicas, la función es continua. Hagamos, pues, el estudio local en forzando la continuidad.
No es derivable en
b)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
El punto
128
4,8, 20 mo absoluto. 5421→Máxi 812→Mínimo absoluto.
c) Por el teorema de Weierstrass, al ser continua en alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Entonces, evaluamos la función en los extremos del intervalo y en sus puntos singulares (pues es derivable en dicho intervalo):
2012 Septi embr e (Opció n B)
·sin , 2 , . 0 0, . ,. 2 →sin 00 → ·sin0→No la hay. sin · → ∫ si2 → n · cos ·sin cos2·cos → ∫ cossin cos ·s i n s i n ·s i n c o s→ cos2 · s i n cos n 2cos ·sin cos2sicos2si n 2cos 10210 02·1 4 , 0 2·01 → ·sin0→ 2· s i n · c os→ Pendiente de la normal: 1 1 1 →Ecuación de la normal: 1 ,2, 3 1 →3 2→ 62
Dada la función
se pide:
a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuación
tiene alguna solución en
b) Calcular la integral de en el intervalo c) Obtener la ecuación de la recta normal a la gráfica de
en el punto
a) Se trata de una función continua en toda la recta real (pues es producto de un polinomio y un seno), por lo que es continua en el intervalo considerado.
b) Integramos por partes:
Volvemos a integrar por partes:
c)
Punto de tangencia:
2012 Ju nio (Opción A.1)
Hallar de modo que la función valor y tenga en un punto de inflexión.
alcance en
un máximo relativo de
2 →23 1 á 12→ 1120 →1320
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
129
I2nfl93→15 exión en 3→ 30→1820→9 ; 9151→5 2012 Ju nio (Opción A.2)
cos sin2 1cos 2 cos →∫c2 o s s i n si n 2 si n → sin → ∫2 s i n cos cos2 cos → cos2→ sin2→ si n 2 cos2 →5 sin2 cos5→
Hallar razonadamente las siguientes integrales definidas:
La primera: Integramos por partes.
De nuevo, por partes.
15 sin2cos5 → cos 1 sin 2cos5 1 0 2 1 0 2 2 1 5 5 5 5 cos2→2si n 2 ·→ 2 →cos1 sin2· 2 0→cos01 sin2 − 2 1cos2 1 í ⏟ó→ 12 − 1 12 arctan− . 12 arctan1arctan1 12 4 4 4 cos , ,,.. /40. 2cos· si n si n2→ 2cos2→ 4sin2
La segunda: Por cambio de variable.
2012 Ju nio (Opción A.3)
Dada la función:
se pide:
a) Calcular sus extremos relativos en b) Calcular sus puntos de inflexión en c) Hallar la primitiva de tal que a)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
130
0→sin20→si n20→2 ∈ℤ→ 2 ∈ℤ 1→ –,: → 20→Mínimo en , ,0 2 2 2 2 2 20→Máxi 0→0→ 0 m o e n 0 , 0 0, 1 1→ 2 → 220→Mínimo en 2 , 22 , 0 0→2cos220→cos 2 0→ 2 ∈ℤ→ 4 2 ∈ℤ. En el intervalo ,: 34→ 3440→Inflexión en 34, 34 341, 12 4 → 440→Inflexión en 4 , 4 1 4 , 2 34 → 3440→Inflexión en 34 , 3443, 21 4 → 4 40→Inflexión en 4 , 4 4 , 2 cos2cos sin →cos2cos 1cos →1cos22cos → cos 12 2cos 12 1cos2 12 12 sin2 40→ 12 4 12 sin20→ 28 0→ 28 → 2si4n2 28 En el intervalo
b)
c)
2012 Ju nio (Opción B.1)
Dadas las funciones:
3l√ n1 , l n , ℎsin 3 l i m . →+ . 0,2, ℎ.
a) Hallar el dominio de
y el
b) Calcular c) Calcular, en el intervalo las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
131
1 10 1 30 ˄ → ˄3 →√ 3 ˄˅ √ 3 → √ 3 → √ 3,∞ 1 1 1 3 3 3 3l n 1 1 1 1 l→+im √ 3 ⏟ →+lim 2√ 2 3 lim→+ √ 13 lim→+ 1 3 √ 301 0 3 ô →ln lnln →ln · l n l n l n ′ 1 1 1 → ⏟ 1· l n l n · · → l n l n → l n l n í ln lnln ln1→1 0 11→ 1 cos →ℎsi∈ℤ→ ℎsiℎ0→si n →ℎn0→ n 1 ∈ℤ →⏟ ∈, 0, →El punto: , 0 0→ ℎ0→cos 0→ 2 ∈ℤ ∈→⏟, 1→ 322 3 210→Mínimo relativo en 32 , 23 23, 1 { 2 10→Máximo relativo en 2 , 2 2 ,1
a) Para que exista
ha de ser:
b) Derivación logarítmica:
c)
2012 Ju nio (Opción B.2)
Dada la siguiente función, hallar los límites pedidos:
√ 3 9 →lim , →−lim , →+lim →−lim . l→im √ 3 9 ⏟ →lim √ √ 3·3·√ √ 33 lim→ √ √ 33 0 l→−im √ 3 9 −⏟−→ 60+ ∞ 3 3 1 1 3 l→+im √ 9 ⏟ →+lim 1 9 lim→+ 1 9 √ 101 0 1
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
132
3 1 3 3 3 lim √ 9 ↔⏟− →+lim 9 lim→+ √ 9 ⏟ →+lim 1 9 1 →− · 3 9 ∫ 3 ∫ 1→1 1 →3 2→2 3 ·3 13 13 ·3 1 3≥0→≥3→3,∞ 9 · 1 9 9 23 1·9 2 33·2 9 2 39 9153 395 359 ; 2 39 2 39 2 39 0→5 9, 359 35 9−l→i m 2 359 l i m lim → 29√ 3 → 2√ 3 √ 6 3 9 359 35 { 9+l→i m 2 359 l i m l i m 39 → 29√ 3 → 2√ 3 √ 6 →′ 3∄ 35 5 59 9 9 0 ∄ 0 3 { 54√ 2 →Máxi m o r e l a t i v o: 5, 4 2 √ 90→Mínimo relativo: 9,0 l→+im 42−+ →−lim 42−+ 13 √ 914
2012 Ju nio (Opción B.3)
a) Sea
una función continua. Si se sabe que:
hállese:
b) Hallar el dominio de definición y los extremos relativos de la función: a) Por cambio de variable:
b) Para que la función exista, ha de ser:
Obsérvese que no es derivable en
Dominio Signo de Monotonía de
pues:
Crece
Máx.
Decrece
Mín.
Crece
2011 Septi embr e (Opció n A)
a)
Calcular los siguientes límites:
b) Calcular la siguiente integral:
c) Hallar el dominio de definición de la función: Hallar el conjunto de puntos en los que esta función tiene derivada. MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
133
l→+im 42−+ 42 − 42+1 402 12 l→−im 42−+ 42 + ∞2 0 0→1 13 →6·, 1→4 1 6· 1 1 ln|| 1 l n 4l n 1 1 · 2 l n 2 6 13 6 13 6 6 6 13 ln 2 Dom ∈ℝ/ 914≥0} 9140→ 9±√ 28156 27 → 91472→ ∞,7 ∪ 2,∞ 2√ 29 →∃ s i 9140→ 914 ∃, ∀ ∈∞,7∪2,∞ ,, 0 cos1 , 0 0 si n 0. 1 − + 0 →lim l→i m0 si n 0 l→im l→i m cos1 ⏟ l i m sin ô → cos 1 0 →l→i m l→i m 0→ 0 a)
b) Cambio de variable:
c)
2011 Septi embr e (Opci ón B.1)
Sea la función:
Hallar para que sea continua en
Si
es continua
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
134
2011 Septi embre (Opció n B.2)
si n 0 2. si n 0 2. 0 → 0→sin0→2 sin sin |cos||cos|| 11||11| 4 si n n 2sin 2 1 1 cos2 1 sin2 2si 2 2 · 4 5 √ 123 . 45 1→9 3→49 10 → 101 → 1 1 1 1 2 √ 10 √ 10 10 32 10 3 101 6863 543 101 · 6323 31615 123 0→±2; 123 ≥0, ∀ ∈ 2,2 → 2,2. √ 123 2√ 1623 ; 0→0. 02√ 203 → í : 2,0 2,0 20 á : 0,2√ 3
a) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de
y el eje
entre las abscisas
b) Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la gráfica de alrededor del entre las abscisas a)
b) El carácter periódico de la función
nos permite poner:
2011 Juni o (Opción A.1)
a) Hallar la integral definida:
b) Hallar los valores mínimo y máximo absolutos de la función: a) Efectuamos el cambio de variable:
b)
Entonces:
La función existe y es continua en Por el teorema de Weierstrass, alcanza en dicho intervalo su máximo y su mínimo absolutos. Obtengamos sus puntos singulares:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
135
2011 Ju nio (Opción A.2)
√ l i m →+ 4 30 √ √ l→+im √ ⏟ →+lim √ ⏟: →+lim √ lim→+ 11 1 101 1 4 3 0 ∃ ∈ℝ/ →−→+lliimm ∞ ℝ→ ∞ ∃∈ℝ/ 0 , : 0→ ∃∈ , / 4 30. 4 3→ 20 3→ ℝ. , 0 , → ∃∈ : 0 , 0. 20 30, ∀ ∈ℝ. a) Hallar el límite:
b) Demostrar que la ecuación solo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número real m. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan. a)
b) Consideremos la función:
Entonces, aplicando el teorema de Bolzano a la función en el intervalo es solución de la ecuación: es derivable en todo
Si hubiera otra solución
entonces:
Ahora bien: de la ecuación dada.
(por el teorema de Rolle)
tal que
De esto se sigue que no puede haber más soluciones
2011 Ju nio (Opción B)
1 1. 1, . 1. 3 1 4 3 3 3 1 → 0,4·1→· 1 30→ 3 31 → 33 3 3 → 12 1120→ íá1,1,4 4 1→ 1120→ 0→3 30→1→
Dada la función:
a) Determinar el valor de de modo que la función posea un mínimo relativo en Para el valor obtenido, hallar los otros puntos en los que esta función tiene un extremo relativo. b) Para obtener todas las asíntotas de la gráfica de c) Esbozar la gráfica de la función con a)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
136
1 1 1 →lim 1 01− ∞ → 0 í →lim ∞→No hay horizontal. {→lim 0+ ∞ 1 1 1 1 lim→ l→im l→i m1í1; lim l i m 0→ → → } , ∀ ∈ℝ 0 , 4 √ 3 , 1 1 3 2 7 √ → 1 ; 0→± √ 3 →: {√ 3, √ 427
b) Se obtiene:
c) Al ser
tenemos una función impar.
Con estos datos y las asíntotas antes calculadas:
2010 Septi embre (Opció n A.1)
Hallar los siguientes límites:
32 32 →+lim 75 →−lim 75 arctan00. l→i m1arctan →⏟ lnl→im ln1arctan →l n l→i m ln1arctan→
l→im1arctan
a) Recordemos que:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
137
b)
c)
1 1 · · l n 1arct a n 1arct a n 1 lnl→im →⏟ lnl→im 1 →ln→ ô 32 32 2 l→+im 75 ⏟ →+lim 75 ⏟ →+lim 5 25 ô ô 2 3 3 2 30 2 − 3 32 32 lim 75 lim→+ 75− ⏟ →+lim 7 5 lim→+ 7 5 lim→+ 7 5 70 →− 3 7
2010 Septi embre (Opció n A.2)
Hallar las siguientes integrales definidas:
√ 4 cos 4 → 2√ 24 0→2 → → 1→√ 3 √ 4 √ √ √ √ 3 2 2√ 3 cos →cos sin cos si n si n si n cos→ cos sincos sin cos0·s in 0cos02
a) Cambio de variable:
b) Por partes:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
138
2010 Septi embre (Opció n A.3)
Hallar el valor de a de modo que
3 →lim 3 4 + − · − + 3 3 6 1 →lim 3 ⏟ →lim 1 3 1 l→i m 1 3 l→i m 1 63 + −+ − l→im 1 613 , →lim 6 3 l→i m 163 6→ ↓ − →− 4→6ln4→ 2l6n2 → 13 l n 2→ ln√ 2
2010 Septi embre (Opció n A.3)
Hallar el valor de las siguientes integrales definidas
15 10 9 14→1 15→ 16→1 15 − 9 − 19 19 29 11→1 9→1 10→10 10 9 − 1 − 21 20− 211 201 211 201 212
a) Cambio de variable :
y además:
b) Cambio de variable:
y además:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
139
2010 Septi embre (Opció n B.1)
1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 1 , 0 , 0 , 3, , , 0,0,0 1,1,2,0 1 , , 0,0 ⃗⃗1, 0, 0→→0, , 0 ≡11 21 10 0→≡ 3 0; 0,0→ 3 →0,0, 3 → 0 0 1 1 0 ⃗ ,0,0, ⃗ 0,,0 ⃗ 0,0, 3→ 6 ⃗ , ⃗, ⃗ 6 0 0 30 → 1 1 3 3 ·1 6 3 >⏟ 618 → 6 · 3 629 3 − 9 − 0 0 2 0→2 90→ 92 ; 92+0+ →í 92 3 520 5
Los puntos con determinan un plano que corta a los semiejes positivos de en los puntos respectivamente. Calcular el valor de para que el tetraedro determinado por los puntos y el origen de coordenadas tenga volumen mínimo. Determinemos el plano
que pasa por
y tiene como dirección bidimensional
2.010 Septiemb re (Opció n B.2)
Dada la función:
a) Obtener sus asíntotas. b) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad. c) Representar gráficamente esta función.
3 30 l→−im 3 520 ∞ − 5 0 → 5 520 30 5 0+ ∞ {lim 3→−lim520 ∞ →No hay asíntota horizontal. →+ 3 520 5 {→−lim 5 ∞ 310 3 520 30 30 30 310 310 → , c o n l i m 5 5 5 →± 5 0 310
a) Asíntota vertical:
Dividimos los polinomios y obtenemos como cociente:
y como resto:
Entonces, la asíntota oblicua es: MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
140
b) Hallemos la derivada y la derivada segunda:
3 30 30 30· 2 5 3 520 310 → → 5 5 → 5 5 0→ ó 5→ 0→ ∈∈∞,5,∞5 60 →5→ 5 0→04→0,4 5√ 265 , 0 5±√ 2 65 6 0→3 5200→ 6 → 5√ 265 , 0 6 1 0 3 530 0→ 35 5 30 0→ 5 10→5√ ˅ 5√ 10 10 0→Máx. rel. 5√ 10,5√ 10 ′5√ 5√ 100→ Mín. rel. 5√ 10,5√ 10
c) Terminamos el estudio. Cortes con los ejes y monotonía:
La representación gráfica:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
141
2010 Ju nio (Opción A.1)
Dada la función:
a) b) c) d)
21
Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hallar los puntos de inflexión de su gráfica. Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de esta función. Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de
, 2, 1. 2 2 21 → 2 12 1 1 ; 0→20→0 0→ esesdecrcerceicientente eenen∈∈0∞,,0∞ 0→0→ 1 0→0→ 21 → 2 1 12·2 · 2 · 1 121 28 → 3 √ 3 7 √ 6 12 ; 0→6 20→ 13 → ˅ 3√ 3 → √ 33 74 3 3 4 3 √ 33 →3 0→ ∈∞, √ 333 3 1 0→ √ 3 √ 3 → 0→ ó ∈ √ 3 , √3 3 3 √ √ 0→ → ∈ 3 ,∞ { 3 PUNTOS DE INFLEXIÓN: √ 33 , 74 √ 33 , 74 ℝ 2 1 2 l→±im 1 lim→± 1 1 10 10 1→1 el eje de abscisas y las rectas
a) Obtengamos la derivada de la función, que está definida en toda la recta real:
b) Obtengamos la segunda derivada de la función:
c) Asíntotas verticales no hay, pues la función es continua en
.
Asíntota horizontal:
Ya no hay asíntota oblicua.
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
142
Cortes con los ejes: Gráfica cartesiana:
2 0→2→0, 0→ 20→∄
d)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
143
2 2 1 → 21 2→ 2 2 2→ 0→ 10→ 0˅ ; 20→2 10→∄ ó . 2 1 − 2 1 2 2− 1 1 2 2− arctan 02 41arctan10arctan021 4 124 2010 Ju nio (Opción A.2)
Hallar los límites:
3 58 √ →+lim 12 →lim1 4 3 58 3 58 √ ⏟ lim lim l→+im √ 3 58 →+ 1 2 12 / →+ 12 3 5 8 √ 0 08 2 lim→+ 1 2 02 2 1 · · 1 1 1 →lim1 4 ⏟ →lim 1 41 l→im 1 4↓ ln 45,
a)
b)
2010 Ju nio (Opción A.3)
Dada la función:
se pide:
a) Su dominio y sus asíntotas verticales. b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
450 4±√ 3 6 5 450→ → 4551 1 2 5→ 450 51→ → ∞, 5∪ 1 , ∞ 450 1→ 450
a) La función logarítmica natural existe y es continua siempre que el argumento logarítmico sea positivo. Entonces, habrá que resolver la inecuación:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
144
l i−m ln 45∄lim→li−mlnln45 51 l n 0+ ∞ →Asíntota vertical: 5 → → − l im ln 45l∄lim→i mlnln45 51 l n 0+ ∞ →Asíntota vertical: 1 → → 24 0→240→2∉ ln 45→ ; 45 0→ decrece en ∈ ∞,5 22 →5→ 51 1→0→ crece en ∈ 1,∞
b) Calculemos la derivada de la función:
2010 Ju nio (Opción B.1)
Dada la función:
· l n √ 0 ,2 , ≤0 ℝ. 1. 0. 0. 1 · l n l n √ √ 2 0 l→im lim→ 2 ·⏟ →lim √ 2 ⏟ →lim 2 l n 2· √ 22√ l→i m 2 ln2· 2 ô 0 l→im l→i m 0→ 0 → √ 2· ln , ≤0 0→00.0 y está 0→√ 2· ln 0→ln0→1 →Los puntos: 0,0 1,0 1,0.ln √ 2 √ ·ln·2 ·ln2 l n 2 · l n · l n 2 √ · l n 2 √ √ 2 √ 2 → → 2 → 2 1 12 → ≡0 12 1→≡ 12 12
a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en b) Hallar los puntos de corte con los ejes coordenados. c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa a) Tal como está definida, la función es continua en
b) Con el eje OY:
Obliguemos a que lo sea en
Con el eje OX:
c) Punto de tangencia:
Pendiente:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
145
2010 Ju nio (Opción B.2)
9,21 9 0,13,01,, 3,01. 0,9. 921 9 →9 21→ 280→24 21 −9 2 1 8 2 8 164 83216 64 36 3 − 3 3 −
Dadas las funciones
, se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado. c) Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX el recinto acotado por la gráfica de y el eje OX. a)
b)
c)
La parábola cóncava alcanza su máximo. La recta
corta a los ejes en los puntos pasa por los puntos
En éste último El dibujo, más abajo.
→ 3 ; 9 9 . 0 3 −9 2 8118 2816 5 12965
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
es una función par, esto es:
146
2009 Septi embr e (Opci ón A.1)
Dada la función:
l n 1 , 10 0 12 , 0 0. 1, 0, l n 1 1 l→i m l→im ⏟ →lim 2 l→im l i m → 22 21 ô , l→i m 22 0 :l i m lim → 22 → 22 2 0. 1,˅ 1 12 → 2 12 → 1→ 1, 1 1, 1→ l n 1 , 10 ˅ 0 12 , 0 l n 1 ℎℎ 1 2l n 1 ℎ2ℎℎ 2 ℎ 2ℎ 0l→im 0 ℎ0 l i m l i m ℎ → 2 ℎ → ℎ 22ℎ 2l n 1 ℎ2ℎℎ 222ℎ2ℎ2ℎ 1ℎ l→im 2ℎ ⏟ →lim 6ℎ l→im 6ℎ1ℎ ô l→im 61ℎ2 13 → ∃0 13
a) Determina a, b para que sea continua en b) Para estudia si es derivable en
utilizando la definición de derivada.
a) Calculemos el límite:
Si
quedaría:
Por tanto, ha de suponerse
Para la continuidad será preciso que:
b)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
147
2009 Septi embr e (Opci ón A.2)
cos 8 ℎ ln ln2 →l n 3ln2 →⏟: ′ 3ln23· 22 → 3 ln23 → 3ln212 cos 8 → 0 ℎ6 1 0. 0 0 . 0 2 ∈0,2 1. 2 1 1·1 1· 1 03 1→ 1 1 1→ 1 2 1→ 3 0→ 30→ √ √ 3 00√ 3 √ 3 √ 23 →Puntos: 0,0, √ 3, √ 23 √ 3, √2 3 √ 3 2 00 01, 01·0→ 0,2, 0,2 ∈ 2200 20 20 →1.
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
2
Utilizando derivación logarítmica:
Como la función es constante:
Por ser
continua, en virtud del Teorema fundamental del Cálculo y la Regla de la cadena:
2009 Septi embr e (Opci ón B.1)
Dada la función:
a) Halla el punto (o puntos) de su gráfica en los que la pendiente de la recta tangente sea 1. b) Halla la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa c) Sea
una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que
Demostrar que existe al menos un valor
tal que
a) La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada en dicho punto.
b) Como
la recta tangente pedida es:
c) Aplicando el Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial (LAGRANGE) a la función en ele intervalo obtenemos que existe al menos un valor tal que:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
148
2009 Septi embr e (Opci ón B.2)
−, ≥0,0, 2. , −; 0→ − 0→ 0→ 0→ ≤0→ 0, ∀ ∈ℝ→ ≤0→ , ∀∈ℝ 0 en → ln2 0→ l n l n 0→ → ∈ ∞, 2 2 0→ ln →0→ ∈ln ,∞ 2 2 { ln2ln − √ √ ln √ 2√ → í 2 2√ → Mínimo relativo: 2 , √ 2 l i m ˅ l i m →+ →− − l i m ∞0∞ →+ 0→ →−lim −0±∞±∞ →No hay as í n t o t a hor i z ont a l . l i m →+ 0 →→−lim 0→Asíntota∞horizontal: 0 0→ −−0. − − 1 1 ,lim 1 1 + →+ 48 + ++ ++ + 1 1 lim→+ 1 48 ⏟ →+lim 1 48↓ 1 1 , 0 0→ l→+im 48 40, 0 → 0→1√
Dada la función: siendo un parámetro real, se pide: a) Hallar sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Estudia para qué valor o valores de la función dada tiene alguna asíntota horizontal. c) Para hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de el eje OX y las rectas a) Derivamos:
b) Para que exista asíntota horizontal, ha de existir y ser finito :
c)
El área es:
2009 Ju nio (Opción A.1)
Calcular, según los valores del parámetro
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
el límite siguiente:
149
2009 Ju nio (Opción A.2)
∫ − 2− − → −− 2 − − 2 − − → − − →− 2− 2− → − − − 22→ 0 2·02→ − 22 −− 22 2 22 1 5 ,. 00. 50→1 1→0→ 1 1500 →0→ es5creciente. 0 0→ es decreciente. 15→1150 → 0 →0→ es creciente. 5→ cre50 c iedecnterenecie∈nteen∞,∈1∪1,55,∞ Mí n i m o r e l a t i v o en: 5 Máxi m o r e l a t i v o en: 1 1416→ 3 1 5 1 ·1 13 151 410 4; 0→1 ℎ4á 4→ 4→ → Punt o de i n f l e x i ó n en: 4 0 1→ 54 → 1 5 4 4 5 1 51 1 6; 00→ 15 10→ 65 → 5 1 5 → 5 2 6 8 5
Calcular la integral:
Obtengamos la integral indefinida por partes:
Hallamos también por partes:
2009 Ju nio (Opción B)
Si la derivada de la función es: obtener: a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de b) Los valores de en los cuales tiene máximos relativos, mínimos relativos, o puntos de inflexión. c) La función sabiendo que a) La monotonía de una función nos la proporciona el signo de su derivada.
b) Consideraciones anteriores nos llevan a que:
c) Utilizamos el cambio:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
150
2008 Septi embre (Opció n A)
− 1,
Dada la función: se pide: a) Dibujar su gráfica, estudiando crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas. b) Calcular:
ℝ 0,∀ ∈ℝ. 01. l→+im − 1lim→+ 1 ⏟ →+lim 2 ⏟ →+lim 2 0→ 0→+ ô ô lim − 1lim→+ 1∞→No hay hacia ∞. →− − 1 lim→− lim→+ 1 lim→+ 1∞→No hay oblicua. − 1 − ·2− 12− 21→ 1→0 1 →1→ → es decreciente, ∀∈ℝ 0 − 21−2 2− 1 43−13 0→3 2 0→ 1→ c o nvexa en ∈ ∞, 1 1, 0→ c ó nca v a en ∈ 1 , 3 13→ →I n f l e xi o nes: 3→ 0→ convexa en ∈ 3,∞ 3, 10
a) Se observa que
b) Integramos por partes:
y que
No hay asíntotas verticales. Y que
2− → −1 →
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
151
− 1−2 − 12 − − 12 − → − →− −− − − − − − 12 2 23 23 6 3 3 6 23 ln √ 4 Cambio sugerido: − 1 ln → 4 → 1 l n 1 l n 1 4 l n 4 · 4 4 4 4 · 4 → 4l16n1 − → − →− − − √ 4 4 − √ 4 2− − √ 4 2 − −− √ 2 −− − −− √ 2 1 − → → 1 → 10→⏟= √ 4 √ 4 →ln 10→ ±√ 2 4 → 2 √ 4 0→∄2 { 2 ln√ 2 4 Calculamos por partes:
2008 Septiembr e (Opció n B)
Calcula las integrales:
a) Integramos por partes:
b)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
152
2008 Juni o (Opción A.1)
4 5 →+lim →+lim 3 6 lim lim →+ 1 ∞·1 0 ∞ →+ Pues es:→+lim ⏟ →+lim 2 ⏟ →+lim 2 0 ô ô 2 5 2 5 6 l→+im 43 56 lim→+ 6 312 16 <<→→⏟ = →+lim 312 16 00 01 0 1 ·ln ·ln →ln ·2ln· ln 2l n ln0→1 − 0→ln·l n 20→ln20→ln2→ 2ln· 1 2 2ln1 120→í 10→ Mínimo relativo: 1,0 − 2− 0→á −4− →Máximo relativo: 1 , 4 − →−− ·ln−−1 − 0→ln10→ln1→ 2 · 2ln 1 2ln → − 2−1 2 0→ Punto de inflexión: 1 , 1 1 1 , 0, 0, 1.
Estudia los siguientes límites: a)
b)
2008 Juni o (Opción A.2)
Obtener los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función:
2008 Juni o (Opción B)
Dada la función:
a) Para cada valor de calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de el eje OX y las rectas b) Halla el valor de para el cual el área obtenida en el apartado anterior es mínima. a) En primer lugar, veamos si la gráfica de la función corta al eje OX en algún punto del intervalo MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
0,1 153
1 1±√ 1 4 0→ 10→ 0→ 2 1→1±√ 1 4 0→ 0imposible→0, ∀ ∈ℝ 0→14 155 1 1 3 1 1 5 3 5 3 15 5 1 1→ 1 1 3 5 ; 0→3 50→ 3
Se tiene que:
b) Derivamos:
5 3 5 3 15 53 0 15 31 → 32 ; 53 0→í 53.
2007 Septiembr e (Opció n A)
3 3 1 04. 3 1 6 1 123 1 1 4 2 1 11· 2 · 2 1 12 114 216 21 3 66 1 1 1 0→ 10→ 1→ 1 210 → 1→ 1 0 2 í 1 527 → Mínimo relativo: 1,752 { á 1 2 →Máximo relativo: 1, 2 √ 3 12√ 3 3 → √ 3 0 4 0→2 30→ √ 3 0 0→′ ′ 00 → √ 3 → √ 3 0 √ 3 124 √ 3
Dada la función:
a) Obtener sus extremos relativos y sus puntos de inflexión. b) Determinar una función tal que su derivada sea y además a) Derivamos:
Se obtiene, derivando nuevamente:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
154
124 √ 3 √ 3 , Puntos de inflexión: 102,3 √ 3 { √ 3, 4 3 3: 1→CocResietnto:e: 3 → 3 1 2 1 | 3 3 3 3 l n 1 1 2 1 2 1| +>→⏟ 1 3l n 04→ln14→4→3l n 14 , 0, ∀ ∈ 0,2. 0, ∀ ∈ ∞, 0 ∪ 2 , ∞ , ∪ 0, 0, ∀ ∈ 1 , 3 , ∀ ∈ ∞, 1 3,∞. 2, 1. →−lim10, 0 2 ∞ →+lim 3.
b) Dividiendo polinomios:
2007 Septiembr e (Opció n B)
Sea una función continua y derivable para todo valor real de información: mientras que mientras que
de la que se conoce la siguiente
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) Analizar razonadamente la posible existencia o no existencia de asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. b) Dibujar esquemáticamente la gráfica de esta función. c) Si encontrar un valor tal que
∫ →∞, →∞, 2,1.
0. 3 1,0, 1 3.0,2,
a) Como la función es continua en toda la recta real, carece de asíntotas verticales. Hay una asíntota horizontal, para que es la recta: Para con los datos disponibles, solo podemos decir que puede haber una asíntota oblicua o una rama parabólica. b) Con los datos que tenemos: Hay un corte con el eje horizontal en hay un máximo relativo en un mínimo relativo en Hay puntos de inflexión en los puntos de abscisa
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
155
; 0→1 →0→ 1 , 0 0 , . →,2→ →2 . , 2 →22 →2 0→0. 02·0 → 0→⏟> √ →2 →21→ 1 → 1 → → 1 2 2 12 , 12→12 12 →12 12 → 12 14 → 14 124 2√ 33; 2√ 3 2√ 3 →0 0→ 120→2√ √ −√ 124 12 16 4 4 416 1 2 1 4 4 1 8 221 8arctan2→ √ √ √ 12 −√ 4 8arctan2−√ 8arctan2−√ 8arctan√ 32√ 38arctan√ 32√ 3 −√ ⏟=−= 163 4√ 3
c) En virtud del Teorema fundamental del Cálculo:
2007 Juni o (Opción A)
Se considera la función donde es una constante. a) Para cada valor de hallar el valor de tal que la recta tangente a la gráfica de esta función en el punto pase por el origen de coordenadas. b) Halla el valor de para que la recta sea tangente a la gráfica de a)
Punto de tangencia:
Pendiente de la recta tangente en . Ecuación de la recta tangente:
Si pasa por el origen, para
b)
Entonces:
Punto de tangencia:
2007 Juni o (Opción B.1)
Dada la función:
Calcular el área de la región acotada encerrada por su gráfica y el eje OX.
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
156
2007 Juni o (Opción B.2)
Dibujar la gráfica de la siguiente función, indicando dominio, asíntotas e intervalos de monotonía.
2|| , 0 | | 2 2 2 , ≥0 ˄ 2 → ℝ2} l→im l→i m 2 022+ ∞ →Asíntota vertical: 2 →lim lim → 2 0− ∞ lim→− 2 1 → AsíAsníntototatahorhoriizzontontaall→∞ l →−im lim →∞ : 1 : 1 lim →+ 2 1 →+ 2 1 − 2 → 2 0 2 2 2 → →∄′ 0 2 2 1 + 2 → 2 2 0 2 0→ ∈ ∞, 0 02 ˅ 2→0→ 0→ ∈ 0,2 ∪ 2,∞
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
157
2006 Septiembr e (Opció n A.1)
Calcular la integral:
2 2 2
1 0→ 12 2 2 2 →1 2, ∀ ∈ℝ→2→2 1 → 2 1 1 2 22 12 ln|| 12 ln| 2| 12 ln 2 ln 2 ln ln 1 ln 1 ln 12 ln 3 ln √ 6 2 2 2 3 13 2 2 32, 0 0≤ , 2cos, ℝ. , ≥ . 0 . l →im 3 22 →22→ 1 →lim →llim →im 2cos20 2 → 2 →⏟ 2 l limim lli→mim 2cos → = → → 32, 0 2, 0≤ 2, ≥ 32→ 3 0−+3 −+2 2cos→ 22si n → 0 0 2 2→ 2 es derivable en ℝ0} 0
Efectuamos la descomposición en fracciones simples:
2006 Septiembr e (Opció n A.2)
Determinar
de modo que la función
sea continua en
Estudiar la derivabilidad de
En cada tramo, la función es continua, pues es suma de funciones elementales continuas. Forcemos la continuidad en y en
Se sigue, pues que
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
. En
hay un punto anguloso.
158
2006 Septiembr e (Opció n B)
Se considera la función:
.
Se pide:
a) Representación gráfica (indicando: dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión). b) Área de la región plana comprendida entre el eje OX y la gráfica de la función dada entre y
1
a)
1. 00. ℝ. lim ∞; l i m lim lim ∞→ →+ →+ →+ →+ →∞, As í n t o t a hor i z ont a l 1 1 par a →∞ lim ·⏟ →−lim 1 lim→− − ⏟ →−lim 2− ∞ 0→ 0 →− ô → ·2 21 2 2 1 ·2 4 44 1 1 0 →⏟> 2 ; 0 →⏟> 1. 12 21 1 1 1 1 0→ Mí n i m o r e l a t i v o: → decr e c i e n t e en ∈ ∞, 2 2 1 1 12 →0→ creciente en ∈ 12 ,∞ → 2 , 2 Punt o de i n f l e xi ó n: 0→ cónca 1→ 1→ 0→ v a en ∈ ∞, 1 1 convexa en ∈1,∞ → 1, Como es continua, no hay asíntotas verticales. También:
Para
no hay asíntota horizontal, ni oblicua. Hay rama parabólica.
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
159
b)
0→0∈1,1 → − → → 12 → 1 2 12 12 14 2 14→ 2 14−31 2 1411− 312 14 1 142312 14 14 4 4 4 44 4 4 4 4 + + →lim + ℝ1} lim 2 2− ∞ ota vertical: →−→−lim 1 21 200+ ∞ → Asínt1 l→+im 12 lim→+ 12 1 2 → Asíntota horizontal: l→−im 12 lim→− 12 1 2 2 2 12 → es2crec12·1 ient1e en su domini1o 0, ∀ 1→ La superficie pedida:
Resolvemos por partes:
2006 Juni o (Opción A)
Se considera la función: a) Dibujar la gráfica de esta función, indicando su dominio, asíntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Demostrar que es monótona creciente la sucesión: c) Calcular: a) Es
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
160
0: + 1 → + , ∀∈ℕ 2 22 2 l→i m 21 l→im + 2422 l i m → 11 1 2 1 4 2 l→i m · 21 lim→ 32 l→i m 1 32 2 2 21 1,
b) Considerando que la función es creciente en
c)
2006 Juni o (Opción B)
a) Estudia y representa gráficamente la función:
5/2.
b) Halla el área de la región plana acotada comprendida entre la función anterior y las rectas a) J
b)
1 21 → 21 1→ 2 1→3 1 52 , 3 1: 1 1 2 1 2 42 52 12
El intervalo de integración es: Y en dicho intervalo,
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
161
2005 Septiembr e (Opció n A)
0
,, 0.
Dada la función: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto para b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado anterior con los ejes coordenados. c) Hallar el valor que hace que las distancias entre los dos puntos obtenidos en el apartado anterior sea mínima.
1 → 1 →Punt o de t a ngenci a : , 1 1 1 →Pendi e nt e : ≡ 1 → 1 2 2 2 0→ →0, 1 2 0 →⃗ 2, 2 →0→2→2, 2 4 4 1 2√ ⃗ , 2 4 1 2· 4 1 4 2 1 2 1 ·2√ 2√ 1 2√ 1 → √ 1 √ 1 0→ 10→ 1 1no se admite 0→ es decreciente. →í 12√ 2 . 0 1→ 1→ 0→ es creciente. ,l n − ln 1 → 1,∞; l n ln 12l n l n 1→ 2 2 11 22 1 1 ; 0→2; 2l n 42l n 2→ Punto pedido: 2,2ln2
a) Se tiene que:
b) Obtengamos los puntos de intersección de los ejes con esta recta:
c)
2005 Septiembr e (Opció n B.1)
Dada la función: Hallar un punto
tal que la recta tangente a la gráfica de en ese punto sea paralela al eje OX.
Si la recta tangente es paralela al eje OX, significa que es una recta horizontal, o sea, que su pendiente es 0. Por tanto, igualaremos a 0 la derivada de la función:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
162
2005 Septiembr e (Opció n B.2)
Dada la función:
+
∫ 1 ≥ →0≤1 1 1·2 1 111 2 11 0→1 0→ 1→0→01 0→deccrerceiceinentteeenen∈∈0,∞,∞0 → Máximo relat0i,v1o y absoluto: 0→1→ 1→0→ 0→ − l →−im 1 1 − 1 00 1 0 1 → lim 1 lim→+ 12 lim→+ 1 2 ∞ 0 →+ 1 →0→2;→1 1 + 1 1 1 1 + 1 1 2 2 1 1 1 1 4→ 2 1 4 → 21 1 14 →4 422 →2 6→ 3→ln3
a) Calcular sus extremos locales (relativos) y globales (absolutos) de esta función. b) Determinar el valor del parámetro tal que: a) La función es continua en toda la recta real. Además: Calculemos su derivada:
La función carece de mínimo (tanto relativo como absoluto). b) Hallemos la integral definida, con el cambio:
2005 Juni o (Opción A.1)
0,12 1 0,1 10 ∫ . 2 →∫ 2 → 22 2 →1210·02→ 2 2·001→2 1→ 12
Sea una función derivable en el intervalo
y continua en el intervalo
, tal que
y
Utilizar la fórmula de integración por partes para calcular: Integramos por partes:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
163
2005 Juni o (Opción A.2)
1. 0 , 1 . 54 3 2 → 462 3 2 0110 1 320 0 0 5 1 1 1 0 0 0 → → → → → 20 30 3 30 5 1 5 4 3 2 54 4 3 2 0 4 4 2 4 21 1 15 35 1 →+lim →+lim arctan 2 √ √ l→+im −⏟ →+lim √ √ √ √ 2 2 l→+im √ √ lim→+ √ √ ⏟ →+lim √ √ l→+im 1 1 2 1 1 √ 1 0√ 2 1 0 22 1 l→+im arctan 2 ⏟+= →+lim arctan1 2 ⏟ →+lim 1 1 · ô 2 2 2 lim 1 ⏟ →+lim 2 lim→+ 2 lim→+ 2 ⏟ →+ ô22 ô 1 1 1 lim 2 lim→+ ⏟ →+lim ∞ 0 →+
Calcular un polinomio de tercer grado sabiendo que se verifica: Tiene un máximo relativo en Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas Se verifica que:
De las condiciones se sigue:
2005 Juni o (Opción B)
Calcular los límites siguientes: a)
b)
ô
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
164
2004 Septiembr e (Opció n A)
4 87: 4 0→4 4 ˅ 71 →1 47→ 0→ 870→ 0→ es creciente en ∈ ∞,1 1→ 0→ 14→ es de c r e c i e n t e en ∈ 1 , 4 → es dec r e c i e nt e en 4 0→ 47→ es de c r e c i e n t e en ∈ 4 , 7 7→0→ es creciente en ∈ 7,∞ → cre ciedecntereencie∈nteen∞,∈1 ∪1,77,∞ MáxiMínimmoorreelalatitvivooenen71 40, 4 Punto de inflexión en 4. +++ 12 √ 3 , 12, 12 √ 3 0 2. 2 1· 1 2 1 21·2 1 2 114 41 2 3 3 61 1 1 1 1 0→ 0 0→ 10→1→˅ 11 10→ 1±√ 2 3 ∉ℝ→ ℝ 0→ 1→ decreci e nt e Máxi m o r e l a t i v o: 0 , 1 0→ creci e nt e 10→ → 0→0→ decreciente Mínimo relativo: 1, 1
Sabiendo que la derivada de la función es: a) Hallar los intervalos de crecimiento de . b) Hallar los máximos y mínimos relativos de . c) ¿Es el punto de abscisa un punto de inflexión? Justificar la respuesta.
a)
b) Consideraciones anteriores nos conducen a que:
c) Al ser el punto de abscisa es un punto estacionario de la gráfica de la función. Sabemos que un punto estacionario puede ser un máximo relativo, un mínimo relativo o bien un “punto de silla” (punto de inflexión con tangente horizontal). Entonces, sin necesidad de hallar la derivada segunda, podemos asegurar que hay un 2004 Septiembr e (Opció n B)
Sea la función:
a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado anterior y que tiene exactamente tres puntos de inflexión, cuyas abscisas son: c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas
y
a) Derivamos:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
165
21 1 2 21 2 l→±im 1 ⏟ →±lim 1 lim 0 1 2 →± ±∞ 2 3 As í n t o t a hor i z ont a l → 0
Como la función es continua en toda la recta real, carece de asíntotas verticales.
No hay asíntotas oblicuas.
0→1 1→2 1; 2→7 21 1 − 1 17 1 67 8 ℎ 28→ 82 ℎ − − √ 1 642√ 4 ℎ2 ·2√ 24 √ 4 , con 0≤≤4 83 √ 4 · 2√ 14 242√ 4 2√ 4 0→830→ 83 →ℎ2 4 83 2· √ 23 → ℎ 4√ 33
b) Cambio de variable:
2004 Juni o (Opción A.1)
Calcular la base y la altura de un triángulo isósceles de perímetro
y área máxima.
Sea la base, la altura y cada uno de los lados iguales del triángulo isósceles. Aplicando el Teorema de Pitágoras
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
166
8 0→ creciente. →á 83 83 4 83 3√ 163 169√ 3 0 → 3 83 4→0→ decreci e nt e . 8 16 8 3 2 32 → 83 →Triángulo equilátero. −+ . ∫ 4 10, ∀ ∈ℝ, 4 41 4 1 4 2 1 4 41 l→±im 4 1 lim→± 4 1 ⏟ →±lim 41 lim→± 4 1 400 40 1→ As í n t o t a hor i z ont a l y1 2 1 4 2 1 4 1 2 1 ·8 421 4 4 1 → 4 1 141221 1 1 1 1 → 2 16 2 2 42121 → 4 1 421 2 ; 0→ 1 →˅ 10 { 2 2 1 0→ creciente. → 2 1 2 12 →0→ decreciente. → MáxMínimimoorelrealtaitvio:vo: 112 2 12 →0→ creciente. lim 11 →− 122 → Máximo absoluto en: 112 ,2 lim 20 Mí n i m o abs o l u t o en: , 0 2 →+ 1 4 4 1 8 4414 1 → 1 1 4 1 4 1 2 4 1 → 12 ln|4 1| 10 12 l n 5ln 11 12 ln51ln√ 5
2004 Juni o (Opció n A.2)
Se considera la función: a) Calcular las asíntotas y el máximo y el mínimo absolutos de b) Calcular a) Considerando que carece de asíntotas verticales.
la función es continua en toda la recta real, por lo que
b) Expresamos la función racional de forma propia, dividiendo los polinomios:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
167
2004 Junio (Opción B)
1. , 01. ∈ 0,1 ,. , 1 2. , 1 . → 2 2. ≡ 1 ≡2 1 0→11→0,1 1 0→ 2 → 2 , 0 , 1 ⃗ 1, , 2 2 ⃗ 21 , 1 21 , 1 1 21 , 1 −>→⏟> 2 4 1 ⃗ 1 |⃗|||⃗|→ ⃗ 1 21 1 1 1 44 12 4 1 { ⃗ 2⃗ → 4 12· 12 4 1→ 1 → 1 → 2 √ 2 1→ 12 → 2 0 N√ 2o se admite 2 sin en ∈2,2 2cos 2,2. 2cos0,
Se considera la función Se pide: a) Recta tangente a la gráfica de esta función en el punto de abscisa con b) Hallar los puntos en los que la recta hallada en el apartado anterior corta a los ejes OY y OX respectivamente. c) Determinar el valor de para el cual la distancia entre el punto y el punto es el doble de la distancia entre el punto y el punto a) El punto de tangencia es: La pendiente es:
b)
La recta tangente pedida:
c) La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une.
2003 Septiembr e (Opció n A)
Se considera la función:
a) Calcular los puntos del intervalo donde alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos. b) Dibujar la gráfica de la función en el intervalo dado. c) Calcular:
a) Como la función dada es continua, en particular en El Teorema de Weierstrass nos asegura la existencia de máximo y mínimo absolutos. Al ser la función derivable, dichos extremos absolutos los buscamos entre los puntos singulares y los bordes del intervalo. MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
168
sin → cos·2cossi n · s i n 2coscos si n 2cos 2cos 2cos 2cos2cos cos si n 2cos 2cos1 → 53 0→2cos10→cos 12 → 33 en 2,2 53 20√ 3 53 22 12 √ 33 3 √ Máxi m o abs o l u t o : 3 √ 3 3 √ 2 3 2 12 3 → en 53 3 3 2√ 231 √ 33 Mínimo5absoluto: √ 33 2 en 3 3 3 √ 53 2212 √ 33 { 20 2,0, ,0, 0,0, , 0 2,0.
b) Cortes con los ejes:
0→2cos0211 1 3 2cos→s i n · ; →2cos 2 sin | | 3 3 3 2 2 2cos ln l n 2ln1ln3ln2
c) Hacemos el cambio de variable:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
169
2003 Septiembr e (Opció n B)
2|4 | , 0,5. 4→| ≤4→|44 |4 40→4, → |4 224 4,, 4≤4 →22 8, 8, ≤4 4 4. l ilmim ll→iimm2280 80 → es continua en R. → → →40 8→ 48 → 2 4 2 8→ 48 2 4 ℎ 8 4 ℎ0 2ℎ 8ℎ 4−l→i m →4 ℎ4 lim l i m → ℎ lim → 2ℎ8 ℎ4−8 → ℎ → 4 ℎ4 2 4 ℎ 8 4 ℎ0 2ℎ 8ℎ 4+lim l i m lim l i m 2 ℎ8 → → → ℎ ℎ ℎ 4+8 → 48, 4 4−4+→ ∄4 Entonces:48, 4 0,00→ 4,0.480→2 vale, pues 24 →28 480→2 no vale
Se considera la función: a) Estudiar su continuidad y su derivabilidad. b) Dibujar su gráfica. c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica de a) Considerando que
el eje OX y las rectas
entonces:
En cada tramo, la función es polinómica y, por lo tanto, es continua. Veamos en
La función es derivable en cada tramo. Estudiemos en
b) Cortes con los ejes: Extremos relativos:
(máximo)
Representación gráfica:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
170
2 8 2 8 2 2 3 4 3 4 1283 6402503 1001283 64 26
c) Por la propiedad aditiva de la integral respecto del intervalo:
2.003 Jun io (Opci ón A.1)
l→im llnnccosos32 →lim√ 4 4√ 4 +∞3sin3 l n 0 l→lim lnnccosos32 ⏟ →lim 2sicosn32 l→im 3t2taann32 ⏟ →lim 9411ttaann32 910 9 410 4 s i n 2 ô ô l→im √ 4 4√ 4 ⏟ →lim √ 4 4√ √ 44√ √ 4 4√ 4 l→im 444 √ 4 √ 4 l→im 4√ 4 2 √ 4 l→im 2√ 4 1 √ 4 2√ 41 √ 4 18 1
Calcular los límites siguientes:
a) Recordemos que:
b) Racionalizaremos el numerador:
2003 Juni o (Opció n A.2)
Dada la función:
Encontrar sus puntos de discontinuidad y razonar si alguna de sus discontinuidades es evitable. Estudiar si tiene alguna asíntota vertical. Una función racional es discontinua en los valores que anulan el denominador.
1 1 0 1 0→1 1 0→1˅ 0 → 1˅ 1 1. →lim 1 ⏟ →lim 11 1 l i m → 1 → 1 1 2 1 l→−im 1 ⏟ →−lim 11 lim→− 1 10− ∞ → í : l→−im 1 ⏟ →−lim 11 lim 1 →− 1 10+ ∞ 1
La función es discontinua en
y en y en
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
171
2003 Junio (Opción B)
. 1 ℝ. 1∞ ∞0∞∞ →No hay asíntotas horizontales. l→−im −lim∞∞ →+ 1 0 lim→− lim→− − 1011;lim →− lim→+ lim→+ 1 ⏟ →+lim 1 1∞ → ô , →∞. → 1; 0→ 1→0 es c o nvexa. 0, ∀ ∈ℝ→Mínimo relativo y absoluto: 0, 00,1
a) Dibujar la gráfica de la función b) Calcular el dominio de definición y los límites en el infinito de la función: c) Determinar, si existen los máximos y los mínimos absolutos de a) La función existe y es continua en
Hay una asíntota oblicua:
en su dominio de definición.
Por tanto, no hay asíntotas verticales. Además:
para
0→ ℝ l→−im lim→− 11 ∞11 0 → Asíntot0 a hor i z ont a l : lim lim→+ ∞ 0 →+ 1 1 1 → ; 0→0→01 0→decreci 0→0→ creciententee. . → Máximo relativ0o,1y absoluto en: 0→
b) A la luz del apartado anterior,
c) Derivamos:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
172
2002 Septiembr e (Opci ón A.1)
+ 0 ∫ 1 1·2 1 1 → 1 1 1 ; 0→1 0 1 →1 → 1 1 12 2 Mí n i m o r e l a t i v o: 1 0→ 1, 1→ es dec r e c i e nt e . 2 0→ 11→ es cr e c i e nt e . → 1→ 0→ es decreciente. Máxim1,o r12elativo: 1 1 2 21 12 ln| 1| 12 ln 1l n 1 12 ln 1l n 1 1→ln 11→ 1→ 1 → 1→ 10 1 √ 22, , ≥22 3. 2. l limi m llim→i√ m 2 20 → → es c o nt i n ua en ℝ . 02 → → 2→ 22 para 2 2 √ 2 → 3 12 para 2. Veamos en 2: 2−l→i m ′l→i m2 22 2+l→i m l→i m 3 12 01+ ∞ →∄′2 , 22 → es derivable en ∈ℝ 2} 22, 1 3 2
Dada la función: a) Determinar sus máximos y mínimos relativos. b) Calcular el valor para el cual se verifica la igualdad:
a) La función existe y es continua en toda la recta real. Derivamos:
b)
2.002 Septiembr e (Opción A.2)
Dada la función:
a) Estudiar su continuidad y su derivabilidad. b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa a) En cada tramo, la función existe y es continua. Estudiémosla en
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
173
√ 3 2 1→ 3,1. 3→ 3 3 3 312 13 →Recta tangente: ≡1 13 3→≡30 1, 2, 3 14 0 1 0 0, l→im 2 1 1 · →01 0 · 00 → →01 1 3· 0 14· 14·4→ 016 01 2·1 2 0 →⏟ 2· 0 l→im 2 1 1 1 11 0 ô · · 2 1 2· 2 1·1 4 0 l→im 1 l→im 10′1 1248 13 . , 0. 1 2 → → 3 3 3 2 3 3 34 61 2 3 32· 2·210 3 1 1 0→12 0→1→ →Punt o de t a ngenci a : 1, 1 4 4 2 1 1 1 Pendiente: 1 1≡821→ →Re c t a t a nge n t e : ≡ 3 16 8 ≡830 4 8 1→ 1 830→ 38 ; 13 3 8 13 38 18 13 √ 31 1
b) Punto de tangencia:
Punto
Pendiente:
2002 Septiembr e (Opció n B)
Sea una función
a) Calcular b) Calcular el
a)
b)
derivable y con derivada continua en todos los puntos, tal que:
siendo
2002 Juni o (Opción A)
Sea la función:
a) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexión con abscisa positiva de b) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función la recta anterior y el eje a) Calculamos la derivada y la derivada segunda:
b) Punto de intersección de la curva y su tangente:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
174
38 161 √ 33 √ 131 38 161 √ 33 arctan√ 3 3 √ 3 456√ 3 165 √ 33 arctan √ 13 arctan0165 √ 33 · 6456√ 144 144 31 , ≥1 12 , 1 0, 1, 2. 01no da problemas → ℝ0} 10→11 0 1 31 1 l→im l→i m 31 −1 ∞ → ineviDitsacblonte iinnfuiinditada en 0 0 {→limlim llim →i m 31 0+ ∞ 1 2 2 1 1 →Continua en 1 →−l→−im lim→−→− 1 11 2 es contiAsnuaíntenotaℝverti0c}al: 0 l→−im lim→− 12 lim→− 12 1 2→ Asíntota hori2zontal →∞: 31 1 l→+im lim lim 3 ∞→ →+ →+ 31 31 3 1 lim→+ lim→+ 31 lim lim 1 →+ 31 →+ 11 lim→+ lim→+ Asíntota obllim lim 3 3 →+ →+ icua →∞: 3 1 , 2 ≥1. 31 1 3 1 9 2 3l n|| 26ln 22 3ln 1 2 ln2
2002 Junio (Opción B)
Se considera la función:
a) Estudiar el dominio y la continuidad de esta función. b) Hallar sus asíntotas. c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por esta función y las rectas a)
Basta hacer el estudio local en
y en
:
b) Consideraciones anteriores nos proporcionan:
Buscamos una asíntota oblicua
c) El intervalo de integración es
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
:
está en el tamo
Entonces:
175
2001 Septiembr e (Opció n A)
23 .
Se consideran las funciones:
y
2.
a) Calcular para que las gráficas de ambas funciones sean tangentes en el punto de abscisa b) Para los valores de calculados en el apartado anterior, dibujar las gráficas de ambas funciones y hallar la ecuación de la recta tangente común. c) Para esos mismos valores, hallar el área limitada por las gráficas de las funciones y el eje OY. a) Dos curvas son tangentes cuando comparten recta tangente en un punto común. Esto es, comparten ordenada (el punto) y derivada (la pendiente):
23 → 22 2 1 1 222 4434 43 → → → → ′2 424 42 12 2 1 PendiPuntenteo::2,322 →≡322→≡21
b) Recta tangente:
2, 0 , 2 : 2312 1 12 22 16 286 44 43 + ∫ ∫ →lim
c) Como las parábolas se tocan en
el intervalo de integración es
2001 Septiembr e (Opci ón B.1)
Se considera la función: a) Calcular: b) Se define:
. Calcular el
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
176
1 1 → 1 1 →→ 11 11 11 1 1 1 →1 1→1→1 0→1 → 1 11 l n||ln| 1|ln1> ln>⏟ ln1 ln1 → y 0 0 l→im ⏟ →lim ′1 00 11 12 ô
a) Hacemos el cambio:
b) Por ser
continua, en virtud del Teorema Fundamental del Cálculo:
2.001 Septiembr e (Opción B.2)
Sea
1 √ 5 . 05. , ∀ ∈ℝ 10 √ 1500 →√ 5√ 5→ 5 0 → 1 1√ 1 5 6 5 05→ 0 6·0 55→55→1→ 6 5 4 12→ 12 12→ 24 1→1010 0→12 120→ 1→ 1→ Punt o s de i n f l e xi ó n: 11240 → 240 1,0 1,0
un polinomio de cuarto grado tal que: es una función par. Dos de sus raíces son
a) Hallar sus puntos de inflexión. b) Dibujar su gráfica. a) Por ser
par, se cumple:
Entonces:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
177
b)
√ 5,0, 1,0, 0,5, 1,0 √ 5,0. 30mmáx.ín. √ 3 →√ 3 4 00 0→4 120→4 30→ 0→05 ; √ √ 3 →√ 34 √ 30 mín.
Cortes con los ejes:
Por tratarse de una función polinómica, carece de asíntotas. 2001 Juni o (Opción A)
0 sin.
0 /4., 1/2. 3 4 si0n →0, ∈ℤ. 0; 4 sin 12 → cos 12 →coscos0 12 →cos1 12 →cos 12 → 3 sinPunt→′o detcangencosia: ,sin , √ 2 2 2 √ √ 4 4 4 2 →Re c t a t a nge n t e : ≡ 2 2 4 2 √ Pendiente: 4cos4 2 →≡ √ 22 √ 22 √ 82 √ 2 √ 2 √ 2 sin 2 2 8 cos √ 42 √ 22 √ 82
Sea la función a) Calcular de forma que el área encerrada por su gráfica, el eje y la recta b) Calcular la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa c) Calcular la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de y las rectas:
a)
b)
con
Tomemos
valga
entonces, ha de cumplirse:
c) Se tiene:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
178
2 2 2 9 3 2 2 √ √ √ √ √ cos 8 2 4 2 8 8 3 4 2 8 8 4 √ 2 1 643√ 2 1643 16 16
2001 Juni o (Opció n B.1)
Sea la función
2,, ≤1 1
a) Razonar si es o no continua en toda la recta real. b) Razonar si es o no derivable en toda la recta real. c) Determinar el área encerrada entre la gráfica de y las rectas:
8, 0, 2. 1: l im liml →iml2 i m 11 → → es c o nt i n ua en R 1 → → 2 2 →→ 3 1: 2 → 1 ℎ1 1 ℎ 1 3ℎ3ℎ ℎ 1−lim 3 lim l i m 33ℎℎ ℎ lim → → → ℎ ℎ → 1 ℎ1 1 ℎ 1 2ℎℎ 1+lim ℎ lim→ ℎ l→i m ℎ lim→2 ℎ2
a) En cada tramo, por tratarse de polinomios, la función es continua. Estudiemos en
b)
Estudiemos en
c)
8 2 8 1 26 8 6 2 8 4 1193 1 8 1 1 7 144328 62 4016 38 312 4 3 12 12
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
179
2001 Juni o (Opció n B.2)
42 3 , 5 . 42→24→ 2. 0→240→2. 2,22,2 0 , 2 2 0→ 0 2 , 0 0→ 420→ 4±√ 2 8 2±√ 2 →2√ 2 √ 2,0
Sea la función a) Determinar sus extremos relativos y dibujar su gráfica. b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a su gráfica que pasan por el punto a)
La parábola es convexa. El vértice (mínimo):
Los cortes con los ejes:
3 , 5 . ≡5 3→≡35 ,. 35 ∈→ 42 →24 42 → 35 24 →2 4324 2 45 42 46125 42→ 650→ 2 1 1→ 2, ≡121 5→ →Rect a s t a ngent e s : ≡765 → 6, 7 ≡21 ≡623
b) Consideremos las rectas que pasan por
Entonces, consideremos un punto de tangencia
Tienen la forma:
Se cumple:
Resolvemos esta última ecuación:
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
180
2000 Septiembr e (Opci ón A.1)
Sea la función
2sin2
a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos. a) Como la función es continua, carece de asíntotas verticales.
l i m 2 si n 2 ∞ →+ 1≤sin 2≤1→→−lim 2sin2 ∞ → No hay asíntotas horizontales. lim→± 2sin2 lim→± 2 sin2202 lim→±2sin22lim→± sin2→No existe. 2si n2→22cos2→ 4sin2→ 8cos2 0→2cos20→cos21→22→ 2 , ∈ℤ 21cos2 ≥0, ∀ ∈ℝ→ es creciente en ℝ 2 4sin20; 2 8cos280→ no tiene extremos relativos Hay puntos de inflexión en: 2 , 2, ∈ℤ ,,, → 2 2 2 2 2 2 22260 0→2 2 2 0→0→3→ → 3 0→ í 3 3 No hay tampoco asíntotas oblicuas.
b)
2000 Septiembr e (Opci ón A.2)
Dados tres números reales cualesquiera
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
hallar el número real que minimiza la función:
181
2000 Septiembr e (Opció n B)
Dada la función:
4 6
a) Determinar los puntos de corte de su gráfica con los ejes de coordenadas, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Esbozar la gráfica de la función. c) Calcular el área determinada por la gráfica de el eje OX y las rectas a)
, 1, 2. 4 6 4 6 4 6123 1 2 3. 1,0, 0,0, 2,0,3,0 4 12 26 ⏟ 14 86 1 0 √ 1 2 1 0 1 0 √ √ 1 0→ 410 → → 11 1 860 1 √ 210 2 2 √ 210 →0 1 0 → decrece en ∈∞, 1 √ 210∪1, 1 √ 210 1 √ 210 1→ 11√ 1√ 0210 →0 crece en ∈1 √ 210 ,1 ∪1 √ 210 ,∞ 1 2 →0 Utilizando la regla de Ruffini, obtenemos: Entonces:
b)
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Los puntos de corte con los ejes son:
182
c) Como
0 1, 0, 2 3, − 4 6 4 6 5 3 3−5 3 3 0 15 1 13 3325 16 83 120 9815 en
es preciso descomponer en dos la integral:
2000 Juni o (Opción A)
, 02, 0, 1 1,2. ,,. →3 2→ 62 10 0 0 133 1 3 5 012 2 2 → → → → 2 2 322 0 320 3 2 6 2 20 1240 1242 56 Máxi m o en 1 32→ 23; 1210→ 10→ Mínimo en 2 2. . → → 0→ 10→0 1 → 3 4 3 4 1 17 18 3 13 14083 413 14 121 3 24843 12 12 12 12 2
Sea la función polinómica relativos para y
que cumple
y tiene dos extremos
a) Determinar b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos? a)
b)
2000 Juni o (Opció n B.1)
Sean las funciones funciones y la recta
MATEMÁTICAS B. ANÁLISIS PAU Comunidad de Madrid 2000-2016
Determinar el área encerrada por las gráficas de ambas
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