UJIAN AKHIR SEMESTER MATA KULIAH : PENGANTAR FISIKA STATISTIK
1. Jelaskan secara singkat beberapa konsep : (a) Ruang fase
(d) Peluang Thermodinamika
(b) Makrostate
(e) Entropy
(c) Mikrostate 2. Buktikan Bahwa ln W = N ln N - Ni ln Ni 3. Buktikanlah bahwa ln Ni Ni 4. Buktikan bahwa
!
5. Buktikanlah bahwa energy internal system diberikan oleh: U
NkT 2
ln Z
d
dT
6. Buktikan bahwa S = k ln W = Nk ln Z + kβU 7. Misalkan dalam suatu ruang fase terdapat tiga b uah cell : 1, 2, dan 3. Ambilah N Ambilah N = = 30, N 30, N 1= N 2= N 3 = 10, dan W 1 = 2 Joule, W 2= 4 Joule, W 3 = 6 joule. Jika N 3 = -2, carilah N 1, N 2 sedemikian sehingga N = N = 0 dan U = U = 0. 8. Sebuah ruang fase terdiri dari 5 105 cell dan ke dalam ruang fase didistribusikan 10 partikel. 6
Energi w1 adalah sama untuk semua cells. Tentukan peluang thermodinamika : (a) Peluang distribusi yang sering muncul (b) Peluang distribusi yang paling kecil 9. Misalkan dalam sebuah system terdapat N partikel dan ruang fase terdiri dari empat cell 1,2,3, dan 4. Anggaplah energi w1=0, w2 = / 2 , w3 = , w4 =3 / 2 . Tentukanlah : (a) Distribusi partikel pada masing-masing cell, berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi. (b) Energi internal system dan berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi. (c) Entropi system berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi.
1
PEMBAHASAN UJIAN AKHIR SEMESTER FISIKA STATISTIK
1. Pengertian : (a) Ruang fase
Ruang kecepatan menyatakan koordinat tentang titik-titik representatif per satuan volume di dalam ruang kecepatan. Meskipun keseluruhan argumen dapat diungkapkan dengan basis matematika murni, namun kebanyakan orang menggunakan cara geometri dan untuk mengungkapkan tiga koordinat posisi dan tiga koordinat kecepatan molekul untuk menentukan posisi sebuah titik di dalam ruang 6 dimensi (hyperspace) atau ruang fase. Jadi, ruang fase itu membicarakan titik-titik representatif dalam tiga koordinat posisi dan tiga koordinat kecepatan dari molekul, seperti posisi molekul yang berlangsung dengan laju yang berhingga di dalam enam dimensi. (b) Makrostate
Macrostate merupakan sifat-sifat makroskopik system yaitu sifat partikel yang dapat kita ketahui secara nyata (seperti tekanan, temperatur, volume, dan jumlah mol). Partikel partikel yang terbedakan atau tidak, yang menyatakan spesifikasi jumlah partikel Ni di dalam masing-masing tingkat energi adalah merupakan "makrostate" dari system. (c) Mikrostate
Microstate dari suatu sistem merupakan sifat microskopis yang dimiliki partikel dimana posisi dan kecepatan setiap setiap partikel. spesifikasi lengkap untuk masing-masing molekul dari sistem menyatakan mikrostate dari suatu system. (d) Peluang Thermodinamika
Jumlah mikrostate yang berkaitan dengan makrostate tertentu. Jumlah mikrostate yang berkaitan dengan makrostate tertentu disebut peluang (probabilitas) thermodinamika dari makrostate dan dinyatakan dengan W. Secara umum W adalah bilangan yang sangat besar. (e) Entropy
Pada sistem tertutup di mana terjadi keseimbangan maka entropinya akan maksimum. Jika sistem tidak seimbang maka akan terjadi perubahan dalam sistem sampai entropi maksimum tercapai. Jadi, di dalam keadaan seimbang baik entropi dan peluang thermodinamika mempunyai harga maksimum, yang mana akan dapat digunakan sebagai dasar memprediksi korelasinya. Kita mengasumsikan bahwa entropi sebanding dengan 2
logaritma probabilitas thermodinamika. Di dalam ekspansi adiabatik reversibel dari gas, volume bertambah tetapi temperatur berkurang. Entropi yang tersisa adalah konstan, dengan demikian ketidakteraturan juga tetap. Peningkatan ketidakteraturan sebagai akibat penambahan volume dikompensasi dengan penurunan ketidakteraturan akibat dari pemancaran kecepatan yang lebih kecil pada suhu yang lebih rendah. Menurut hukum thermodinamika, proses ini hanya dapat terjadi di dalam sistem tertutup untuk entropi yang membesar atau di dalam limit yang tersisa konstan. Setiap proses di mana entropi akan berkurang merupakan sesuatu yang dilarang. Kita lihat bahwa penjelasan statistik menginterpretasikan entropi merupakan pernyataan dogmatis yang harus dimodifikasi. Misalkan sebuah sistem dalam keadaan peluang thermodinamika maksimum atau entropi maksimum. Keadaan ini bukanlah statis karena perubahan kontinu titik fase di dalam ruang fase. Kadang-kadang sebuah keadaan akan menghasilkan peluang dan juga entropi kurang dari harga maksimum. Perubahan kecil lebih mungkin daripada perubahan besar, namun perubahan besar tersebut tidak mungkin. 2. Perumusan ln W = N ln N - Ni ln Ni merupakan persamaan kemungkinan susunan makrostate dalam cell i. Berdasarkan kemungkinan termodinamika W, maka: W
N !
Ni!
Jika kedua ruas di ln-kan maka diperoleh:
N ! Ni! ln W ln N ! ln Ni! ln W ln
Berdasarkan persamaan sterling, ln x! = x ln x – x, sehingga persamaan diatas menjadi: ln W
=( N ln N – N ) - ( Ni ln Ni – Ni) = N ln N – N - Ni ln Ni + Ni = N ln N – N - Ni ln Ni + N = N ln N - Ni ln Ni
(TERBUKTI )
3 Pembuktian bahwa Ni Ni adalah perubahan waktu dan titik fase didalam cell dari ruang fase menyebabkan Ni juga berubah. Jika sistem dalam keadaan peluang termodinamika maksimum, 0
W variasi ini muncul dari variasi Ni. (variasi Ni = 0) menyatakan perubahan kecil yang muncul dari gerak kontinu titik fase didalam ruan g fase. 3
Menurut persamaan: ln W = N ln N - Ni ln Ni ln W akan berubah jika turunan persamaan ln W = 0, sehingga:
ln W 0 = N ln N - Ni ln Ni = 0 - Ni ln Ni
Ni ln Ni
=0
Ni ln Ni + ln Ni Ni=0 dengan: Ni ln Ni = Ni.1 / Ni. Ni = Ni = Ni = N = 0 Jadi 0 + ln Ni Ni = 0
ln Ni Ni = 0
(TERBUKTI )
4. Untuk membuktikan
maka:
Jika Wmax atau ln W maksimum, maka didapat:
Sehingga didapatkan:
Akan sama artinya dengan:
Dengan menggunakan
, maka didapatkan:
4
Jadi, Dari persamaan:
, maka:
Persamaan ini disebut persamaan pokok dengan
merupakan perubahan kecil.
Karena
Maka Persamaan ini merupakan persamaan syarat pertama untuk Jika N adalah jumlah molekul gas terisolasi, maka energi dalam gas U akan konstan pula,
karena N konstan. Jika energi masing-masing molekul cell dan N i adalah W i sama dengan jumlah molekul
atau jumlah phase poniknya maka dapat dituliskan:
Jika N i berubah, maka U berubah dan perubahan U dapat ditulis untuk U konstan.
Persamaan ini merupakan persamaan syarat kedua untuk Ni. Dari persamaan pokok dan persamaan syarat pertama dan kedua dapat diterapkan metode perkalian tak tentu dari Lagrange dengan cara: a. Kalikan persamaan syarat pertama
Dengan suatu konstanta yang besarnya – ln , Sehingga:
b. Kalikan persamaan syarat kedua
5
Dengan konstanta , Sehingga:
c. Jumlahkan hasi (a) dan (b) dengan persamaan pokok
Sehingga:
Sehingga: Karena Ni bergantungan, maka dari
Jika
maka
Karena
, maka:
5. Energy internal system dirumuskan dengan: U= N i W i Jumlah titik dalam cell i dapat dinyatakan dengan T : Ni
N Z
Wi kT
exp
Dimana fungsi partisi : 6
harus sama dengan nol
Z = exp (-Wi/kT) Energi dalam U dari system menjadi: U = Ni Wi =
Wi Wi exp Z kT
N
Turunan Z terhadap T adalah: dZ dT
1 2
kT
Wi Wi exp kT
Sehingga:
U
Wi N Wi exp Z kT dZ
dT
U
Wi N Wi exp Z kT 1
U
U
U
kT
N Z
2
Wi Wi exp kT
kT 2
NkT 2 NkT 2
dZ dT
dZ dT
dZ dT
dZ Z
1 T
ln Z dT
(TERBUKTI ) 6. Dalam system tertutup dimana terjadi keseimbangan entropinya akan maksimum. Persamaan Z = exp (- βWi) dapat menyatakan untuk N i dalam cell 1 dari phase space dimana molekul statenya memiliki kemungkinan termodinamikanya (W) memiliki harga maksimum. Sehingga dapat disimpulkan bahwa dalam system tertutup entropinya maksimum dan juga kemungkinan termodinamikanya juga maksimum. Hubungan antara entropi (S) dan termodinamikanya (W) dapat ditulis: S = kW
atau
S = k ln W
Berdasarkan persamaan: S
= k ln W
ln W
= N ln N - Ni ln Ni 7
Ni
=
N Z
exp Wi
Maka nilai S dan W dapat dicari dengan cara: ln W = N ln N - Ni ln Ni = N ln N - Ni (ln N – ln Z – β Wi) = N ln N – ln N Ni + ln Z Ni + β Wi Ni Karena N i = N;
W N i i = U ; Maka: ln W = N ln N - N ln N + N ln Z + βU ln W = N ln Z + βU sehingga : S
= k ln W = k (N ln Z + βU) = k N ln Z + k βU
Jadi terbukti bahwa; S
= k ln W = N k ln Z + kβU
(TERBUKTI )
7. Diketahui: Jumlah molekul total ( N ) = 30 Jumlah phase point cell 1 ( N 1) = 10 Jumlah phase point cell 2 ( N 2) = 10 Jumlah phase point cell 3 ( N 3) = 10 Energy molekul dalam cell 1 (W 1) = 2 Joule Energy molekul dalam cell 2 (W 2) = 4 Joule Energy molekul dalam cell 3 (W 3) = 3 Joule
N 3 = -2 Ditanya :
N 1, dan N 2 sedemikian sehingga N = 0 dan U = 0…………..? Jawab: Untuk N dan U yang konstan berlaku: a. N = N i = 0
; i = 1,2,3 8
b. U = Wi N i = 0 N = N i = 0
N 1 + N 2 + N 3 = 0 N 1 + N 2 – 2 = 0…………………(1) N i = 0 U = Wi W 1 N 1 + W 2 N 2 + W 3 N 3 = 0 2 N 1 + 4 N 2 + 6 (-2) = 0 2 N 1 + 4 N 2 - 12 = 0…………….(2) Untuk mencari N 1, dan N 2 maka digunakan metode eliminasi pada kedua persamaan tersebut :
N 1 + N 2 – 2 = 0
( 2)
2 N 1 + 2 N 2 – 4 = 0
2 N 1 + 4 N 2 - 12 = 0
( 1)
2 N 1 + 4 N 2 - 12 = 0 -2 N 2 + 8 = 0
N 2 =
8 2
N 2 = 4 Maka : N 1 + 4 – 2 = 0
N 1 = -2 Jadi didapat bahwa: N 1 = -2 dan N 1 = -2 8. Diketahui : Cell sejumlah 5 105 cell 6
Ruang fase didistribusikan 10 partikel Energi w1 adalah sama untuk semua cells Ditanya
: (a) Peluang distribusi yang sering muncul
(b) Peluang distribusi yang paling kecil Jawab
:
9
-
Z
n w exp kT i 1
w n exp kT w 5 Z 5 10 exp kT Z
w N kT w exp N i Z kT n exp w kT N exp
N i
N
n
10
6
5.10
5
2
(a) Peluang termodinamika yang sering muncul N
N
N ! n N i !
N !
2n
106 ! 5
2 510
10 10 ! N 5 2 5
2 5 . 2 10
(b) Peluang distribusi yang paling kecil In w = N In N In w = In w =
Ni ln Ni
Ni ln Ni
n Ni ln Ni
In w = 5 105 . 2 ln 2 Jadi In w = 106 ln106 5105 . 2 ln 2 In w = 106 ln 106 106 . ln 2 In w = 6. 106 ln10 106 . ln 2 In w = 6. 106 ln10 106 . ln 2
10
In w = 106 6 . ln 10 ln 2 w = ln 106 6 . ln10 ln 2 9.
Diketahui : Jumlah Partikel = N Ruang fase terdiri dari 4 cell = 1,2,3 dan 4 w1 = 0 w2 = / 2 w3 = w4 = 3 / 2 Ditanyakan : (a) Distribusi partikel pada masing-masing cell, berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi. (b) Energi internal system dan berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi. (c) Entropi system berikanlah interpretasi fisis untuk kasus temperature sangat rendah dan sangat tinggi. Penyelesaian : (a) Distribusi partikel pada masing-masing cell Fungsi partisinya adalah Z= exp (-w i/kT) Z= exp (-w1 /kT) + exp (-w2 /kT) + exp (-w3 /kT) + exp (-w4 /kT) Z= exp (-0/kT) + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) Z= 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) Jumlah partikel pada setiap cell adalah
Pada cell 1 N 1
N 1
N 1
N Z
exp (- w1/kT) N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) 11
exp (- 0/kT)
(1)
N 1
N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Untuk temperature rendah artinya /k >>> T maka exp (- /2kT), exp (- /kT),
dan exp (-3 /2kT) harganya sangat kecil sehingga N 1
N
1
N
Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N 1
N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Pada cell 2 N 2
N 2
N 2
N Z
exp (- w1/kT) N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) N .
exp (- /2kT)
exp (- /2kT)
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Untuk pada temperature rendah artinya /k >>> T maka N2 harganya sangat kecil
karena exp (- /2kT), exp (- /kT), dan exp (-3 /2kT) sangat kecil . Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N2 cukup besar yaitu N 2
N .
exp (- /2kT)
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Pada cell 3 N
N 3
N 3
N 3
Untuk temperature rendah artinya /k >>> T maka harga N3 harganya sangat
Z
exp (- w1/kT) N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) N .
exp (- /kT)
exp (- /kT)
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
kecil karena exp (- /2kT), exp (- /kT), dan exp (-3 /2kT) sangat kecil . 12
Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N3 cukup besar yaitu
N 3
N .
exp (- /kT)
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Pada cell 4 N
N 4
N 4
N 4
Untuk temperature rendah artinya /k >>> T maka harga N3 harganya sangat
Z
exp (- w1/kT) N
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) N .
exp (-3 /2kT)
exp (-3 /2kT)
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
kecil karena exp (- /2kT), exp (- /kT), dan exp (-3 /2kT) sangat kecil .
Untuk temperature tinggi /k <<< T maka N3 cukup besar yaitu N 4
N .
exp (-3 /2kT)
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
Oleh karena itu pada temperature sangat rendah hampir seluruh partikel berada pada cell1 dan pada temperature sangat tinggi, partikel tersebar merata di setiap cell.
(b) Energi internal system Energi dalam system dirumuskan sebagai : U
NkT
2
dZ dT
d (1 + exp
(- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) dT
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) NkT
U
.
Z NkT
U
2
2
.
3 3 . exp exp exp 2kT kT kT 2kT 2kT 2kT 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT)
(c) Entropi system dirumuskan dengan 13
.
S N k In Z S N k In
U T
1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT
NkT 2 1 T S N k In
3 3 . exp exp exp 2 2 2 2 kT kT kT kT kT kT 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT
1 3 3 N exp exp exp 2 1 2kT kT 2 2kT 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) T S N k 0 + (- /2kT) + (- /kT) + (-3 /2kT 1 3 3 exp exp exp 1 2 2kT kT 2 2kT N 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) T 1 3 3 exp exp exp N 2 2kT kT 2 2kT S N k (-3 /kT) T 1 + exp (- /2kT) + exp (- /kT) + exp (-3 /2kT) 1 3 3 exp exp exp N k 3 2 2kT kT 2 2kT S 1 + exp (/2kT) + exp (/kT) + exp (-3 /2kT) T kT Untuk temperature (T) rendah maka
S
N 3 T
3 0 N kT kT
Untuk temperature (T) tinggi maka
S N
0 0 0 14
