PROBLEMAS
11.2-1. Considere la siguiente red en la que cada número junto con una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo es encontrar la ruta más corta del origen al destino.
f*₂ (A)=11
11
A f*₃ (E)=6
D
O
(Origen)
(Destino)
T
B
E f*₃ (E)= 7
C
f*₂(A)=13
11 Respuesta
Etapa 3 S D E
6 7
T T
Etapa 2 S A B C
D 5+6=11 7+6=13
E 8+7=15 6+7=13
11 13 13
D D E
Etapa 1 S 0
A 9+11=20
B 6+13=19
C 7+13=20
B
Solución:
0-B-D-T=19
11.2-2. El gerente de ventas de un editorial de libros de texto universitarios tiene 6 agentes de ventas que puede asignar a tres regiones distintas del país. Ha decidido que cada región debe tener por lo menos un agente y cada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones, pero ahora quiere determinar cuántos agentes debe asignar a las respectivas regiones con el fin de maximizar las ventas.
La siguiente tabla da el incremento estimado en las ventas de cada región (en las unidades apropiadas) si se le asignan diferentes cantidades de agentes.
Agentes de venta 0 1 2 3 4
Región 1 2 3 0 0 0 35 21 28 48 42 41 70 56 63 89 70 75
n=3 S3 1 2 3 4
Decisión D3 1 28 28 28 28
2
3
F2(S2)
D2(S2)
28 41 63 75
1 2 3 4
F2(s2)
D2(s2)
49 70 84 105
1 2 1,3 2
4
41 41 41
63 63
75
2
3
4
n=2 S2 2 3 4 5
Decisión D2 1 21+28=49 21+41=62 21+63=84 21+75=96
42+28=70 42+41=83 42+63=105
56+28=84 56+41=97
70+28=98
n=1 S1
Decisión D1 1 2 3 6 35+105=140 48+84=132 70+70=140 Solución óptima: Alternativa 1 Asignar 1 agente a la región 1 Ventas obtenidas 35 2 agentes a la región 2 ventas obtenidas 42 3 agentes a la región 3 Ventas obtenidas 63 Total de ventas: 140
4 89+49=138
F2(s2)
D2(s2)
140
1,3
11.2-3. Considere la siguiente red de proyecto cuando se aplica PERT/CPM, donde el número sobre el nodo es el tiempo requerido para la actividad correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria más larga (el mayor tiempo total) a través de esta red desde el inicio hasta el término, ya que la trayectoria más larga es la ruta critica.
1 4
5
F
C 5
J
4
A
G
2
4
0
INIICIO
D 3
B
K
6
H
3
0
TERMINACION
7
E
L 2
I Etapa 1
Etapa 2
Etapa 5
Etapa 4
Etapa 3
Etapa 5 S3 J K L Etapa 4
F G H I Etapa 3
C D E Etapa 2
D3 TERMINACION 0 0 0
J 5+0=5
Terminación Terminación Terminación
K
L
4+0=4 4+0=4 7+0=7
F 1+5=6
G 4+4=8
J K K I
H
I
6+4=10 6+4=10
7+2=9 7+2=9
G H H
A B Etapa 1
INICIO
C 4+8=12
D 2+10=12
E C,D E
3+10=13
A 5+12=17
B 3+13=16
A
INICIO-A-C-G-K-TERMINACION=17 INICIO-A-D-H-K-TERMINACION=17
11.2-4. Considere las siguientes afirmaciones sobre la solución de problemas de Programación Dinámica. Etiquete cada una como Falsa o Verdadera y después justifique su respuesta haciendo referencia a afirmaciones específicas. a) El procedimiento de solución utiliza una relación recursiva que permita obtener la política óptima para la etapa n+1 dada la política óptima para la etapa n.
b) Después de completar el procedimiento de solución, si se toma por error una decisión no optima en alguna etapa, deberá aplicarse de nuevo el procedimiento para determinar las nuevas decisiones optimas (dada esta decisión no optima) en las etapas subsecuentes. Verdadero, ya que al escoger otra decisión se altera todo el problema llegando al final con una cadena que bien puede no ser la mejor. c) Una vez que se ha encontrado una política óptima para todo el problema, la información necesaria para especificar la decisión óptima en una etapa en particular es el estado en esa etapa y las decisiones tomadas en las etapas anteriores. Verdadero, ya que siguiendo el estado y las decisiones tomadas vamos formando el camino óptimo o deseado según nuestras necesidades. 11.3-1. El propietario de una cadena de 3 supermercados compró 5 cargas de fresas frescas. La distribución de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los 3 supermercados. El propietario quiere sabes cómo debe asignar las 5 cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada.
Por razones administrativas, no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, está de acuerdo en asignar 0 cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tabla proporciona la ganancia estimada encada tienda al asignar distintas cantidades de cargas:
Número de cargas 0 1 2 3 4 5
1 0 5 9 14 17 21
Tienda 2 3 0 0 6 4 11 9 15 13 19 18 22 20
Utilice Programación Dinámica para determinar cuántas cargas debes asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada. ETAPA 3 S3 0 1 2 3 4 5
F3(S) 0 4 9 13 18 20
X3 0 1 2 3 4 5
ETAPA 2 S2/x2 0 1 2 3 4 5
0 0 0+4=4 0+9=9 0+13=13 0+18=18 0+20=20
1
2
3
4
5
22+0=22
F2(S) 0 6 11 15 20 24
X2 0 1 2 1,2,3 2 1,2,3
6+0=6 6+4=10 6+9=15 6+13=19 6+18=24
11+0=11 11+4=15 11+9=20 11+13=24
15+0=15 15+4=19 15+6=24
19+0=19 19+4=23
0 0+24=24
1 5+20=25
2 9+15=24
3 14+11=25
4 17+6=23
5 21+0=21
F1(S1) 25
X1 1,3
Etapa 1 S1/X1 5
Soluciones
Tienda1 1 3
Tienda2 2 2
Tienda3 2 0
11.3-2. Una estudiante universitaria cuenta con 7 días para preparar los exámenes finales de 4 cursos y quiere asignar su tiempo de estudio de la manera más eficiente posible. Necesita por lo menos un día para cada curso y quiere concentrarse solo en un curso cada día por lo que quiere asignar 1, 2, 3 ó 4 días a cada curso. Como hace tiempo tomo un curso de Investigación de Operaciones, decide aplicar programación dinámica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4 cursos. Estima que las distintas opciones en días de estudio le redituaran puntos de calificación según la siguiente tabla:
Número de días
Puntos de calificación estimados Curso 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 3 5 2 6 2 5 5 4 7 3 6 6 7 9 4 7 9 8 9 Resuelva este problema con Programación Dinámica. Etapa 4 S4 1 2 3 4
F4(S) 6 7 9 9
X4 1 2 3 4
Etapa 3 S3/x3 1 2 3 4 5
1
2
2+6=8 2+7=9 2+9=11 2+9=11
4+6=10 4+7=11 4+9=13
1
2
3
4
F3(S3)
X3
7+6=14 7+7=14
8+6=14
8 10 13 14
1 2 3 3,4
3
4
F2(S)
X2
Etapa 2 S2/x2 1
2 3 4 5 6
5+8=13 5+10=15 5+13=18 5+14=19
5+8=13 5+10=15 5+13=18
6+8=14 6+10=16
1 3+19=22
2 5+18=23
3 6+15=21
9+8=17
13 15 18 19
1 1 1 1
4 7+13=20
F1(S) 23
X1 2
Etapa 1 S1/x1 7 SOLUCION: Curso1 2
Curso2 1
Curso3 3
Curso4 1
11.3-3. Una compañía esta planeando una estrategia de publicidad durante el año próximo para sus tres productos más importantes. Como las tres son bastante diferentes, cada esfuerzo de publicidad estará dedicado a un solo producto. En unidades de millones de dólares se dispone de un total de 6 para esta campaña de publicidad y se supone que el gasto en cada producto deberá ser un número entero mayor o igual a 1. El vicepresidente de mercadotecnia ha establecido el objetivo como sigue: Determinar cuánto gastar en cada producto a fin de maximizar las ventas totales. La siguiente tabla da el incremento estimado en ventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en publicidad. Gasto en Publicidad 0 1 2 3 4
Producto 1 2 3 0 0 0 7 4 6 10 8 9 14 11 13 17 14 15
Utilice Programación Dinámica para resolver el problema.
11.3-4. Una campaña política se encuentra en su última etapa y las preliminares indican
que la elección esta pareja. Uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de T.V. por un total de 5 comerciales en las horas de mayor audiencia en las estaciones localizadas en 4 áreas diferentes. Con base a la información de las preliminares se hizo una estimación del número de votos adicionales que se pueden ganar en las áreas de difusión según el número de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en la tabla en miles de votos:
Comerciales
Área 1 0 4 7 9 12 15
0 1 2 3 4 5
2 0 6 8 10 11 12
3 0 5 9 11 10 9
4 0 3 7 12 14 16
Utilice Programación Dinámica para determinar cómo deben distribuirse los 5 comerciales entre las cuatro áreas con el fin de maximizar el número estimado de votos ganados.
Etapa 4 S4 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1
2
3
4
5
3 3 3 3 3
7 7 7 7
12 12 12
14 14
16
0 0+0=0 0+3=3 0+7=7 0+12=12 0+4=14 0+16=16
1
2
3
4
5
5+0=5 5+3=8 5+7=12 5+12=17 5+14=19
9+0=9 9+3=12 9+7=16 9+12=21
11+0=11 11+3=14 11+7=18
10+0=10 10+3=13
9+0=9
F4(S) 0 3 7 12 14 16
X4 0 1 2 3 4 5
F3(S) 0 5 9 12 17 21
X3 0 1 2 0,1,2 1 2
Etapa 3 S3 0 1 2 3 4 5
Etapa 2 S2 0 1 2 3 4 5
0 0+0=0 0+5=5 0+9=9 0+12=12 0+17=14 0+21=21
1
2
3
4
5
6+0=6 6+5=11 6+9=15 6+12=18 6+17=23
8+0=8 8+5=13 8+9=17 8+12=20
10+0=10 10+5=15 10+9=19
11+0=11 11+5=16|12+0=12
F2(S) 0 6 11 15 18 23
X2 0 1 1 1 1 1
Etapa 1 S1 5
0 0+23=23
1 4+18=22
2 7+15=22
3 7+11=18
4 12+6=18
5 15+0=15
F1(S) 23
X1 0
Respuesta No asignar ningun commercial a la estacion ubicada en el area 1 Votos ganados:0 Asignar 1 comercial a la estacion ubicada en el area 2
Votos ganados:6
Asignar 1 comercial a la estacion ubicada en el area 3
Votos ganados:5
Asignar 3 comerciales a la estacion ubicada en el area 4 Total de votos que se espera que se ganen: 23
Votos ganados:12
