Makalah Turunan Fungsi TrigonometriFull description
link download : http://bit.ly/turunanfungsiDeskripsi lengkap
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
Dalam makalah ini yang dibahas adalah turunan fungsi implisit dan turunan fungsi parameter.Deskripsi lengkap
RPP Turunan Fungsi TrigonometriDeskripsi lengkap
Makalah Turunan Fungsi TrigonometriDeskripsi lengkap
cvhjbgvkFull description
Deskripsi lengkap
hjhj
Full description
bahan ajar matematika kelas XI ttg turunan fungsiDeskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Full description
Page 1 of 21
BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR 1. Definisi Turunan Fungsi
Definisi x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f ’( x) Fungsi f : : x → y atau y = f ( x ’( x dy df ( x ) = atau di definisikan : dx dx
y ' = f ' ( x ) = lim
f ( x + h ) − f ( x )
h
h →0
dy
=
df ( x )
dx
=
dx
lim
f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x
∆ x → 0
Contoh Soal : x) = 4 x – 3 1. Tentukan turunan dari f ( x Penyelesaian f ( x x) = 4 x – 3 f ( x + h) = 4( x + h) – 3
= 4 x + 4h – 3 maka f ' ( x ) = lim
f ( x + h) − f ( x) h
h →0
=
lim h→0
=
lim
(4 x + 4h − 3) − (4 x − 3) h 4 x − 4 x + 4h − 3 + 3 h
h→0
=
lim h→0
=
4
4h h
atau
Page 2 of 21
x) = 3 x 2. Tentukan turunan dari f ( x
2
Penyelesaian 2
f ( x x) = 3 x
2
f ( x x + h) = 3( x x + h) 2
2
x + 2 xh + h ) = 3( x 2
= 3 x + 6 xh + 3h maka: f ' ( x ) = lim
2
f ( x + h ) − f ( x ) h
h →0
= lim
(3 x 2
+ 6 xh + 3h
) − 3 x 2
h
h →0
= lim
2
6 xh + 3h 2 h
h →0
= lim 6 x + 3 h h →0
= 6 x+ 3.0 = 6 x Latihan
Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut: x) = 6 – 2 x ⇒ f ' ( x ) = −2 1. f ( x 2 x) = 5 x +2 x ⇒ f ' ( x ) = 10 x + 2 2. f ( x
3. f ( x ) =
1 x
2
⇒ f ' ( x ) =
4. f ( x) = x ⇒ f ' ( x ) =
−2
x 3
1 2 x
Page 3 of 21
2. Teorema -Teorema Turunan Fungsi
Teorema 1 Turunan Fungsi Konstan
Jika f ( x) = a, dimana a adalah konstanta maka:
f ( x) = a ⇒ f ' ( x) = 0; a ∈ R
Contoh Soal :
1. f ( x ) = 5 ⇒ f ' ( x ) = 0 2. f ( x ) = 2b ⇒ f ' ( x ) = 0 4 3. f ( x ) = y 2 ⇒ f ' ( x) = 0 3
Teorema 2 Jika f ( x) merupakan fungsi aljabar dan bukan fungsi konstan, a bilangan real dan n adalah bilangan rasional maka :
f ( x ) = ax n ⇒ f ' ( x) = n.ax n −1 Contoh soal :
1. Turunan dari f ( x ) = 2 x 3 adalah… Penyelesaian
Diketahui : - a = 2 - n =3 maka : f ' ( x ) = 3.2.x 3−1 =
6 x 2
2. Turunan dari f ( x) = Penyelesaian
x 2 3
x
2
adalah …….
Page 4 of 21
x
f ( x) =
3
2
disederhanakan bentuk aljabarnya menjadi :
x 2 −
2
3
f ( x) = x .x f ( x) = x
2
2
2−
3
.
4
f ( x) = x 3 . 4
4
f ' ( x ) =
−1
x3 .
3 4
1
f ' ( x) = x 3 . 3
43
f ' ( x) =
3
x .
3. Turunan pertama dari f ( x ) = 2 x 3
+ 12 x
2
− 8x + 4
adalah …
Penyelesaian 3
2
f ( x)
= 2 x + 12 x – 8 x + 4
f ’( x)
= 2.3 x + 12.2 x – 8
2
2
= 6 x + 24 x - 8
(
4. Turunan dari f ( x ) = 2 x
−3
)
4
x3
+2
adalah ….
Penyelesaian
(
f ( x ) = 2 x
−3
f ( x ) = 2 x . x 4
f ( x ) = 2 x
3
+4
+
2 disederhakan bentuk aljabar sehingga menjadi :
x
−3
4
1
3
2
− 3x 4 − 6
f ' ( x ) = f ' ( x ) =
10
f ' ( x ) =
5 2
x
4
+
4 x 5
.2. x
4
3
4
5
5 4
)
4
−1
+
2
1
. x
4
1
−
+ 2 x
.4 x +
2 x
1
.4 x
1 2
−
2
9 4
−
−1
−
3
3 4
−
x
9 4
x
4 x
1 4
−6
3
.3 x 4
−1
−0
Page 5 of 21
Teorema 3 Turunan perkalian dua fungsi aljabar
Jika f ( x) merupakan fungsi hasil perkalian dua fungsi, maka :
f ( x ) = u ( x ).v ( x) ⇒ f ' ( x ) = u ' ( x)v( x) + u ( x)v ' ( x)
Contoh Soal :
1. Turunan dari f ( x) = (3 x – 2)(4 x + 1) adalah … Penyelesaian f ( x) = (3 x – 2)(4 x + 1)
diketahui : u( x) = 3 x – 2 ⇒ u’( x) = 3 v( x) = 4 x + 1 ⇒ v’( x) = 4
sehingga f ' ( x ) = 3(4 x + 1) + 4(3x − 2 ) f ' ( x ) = 12 x + 3 + 12 x − 8 f ' ( x ) = 24 x − 5
2. Turunan dari f ( x ) = x 2 3 x 2 +
2
(2 x 6 3 x 3
Penyelesaian
f ( x ) = x 2 3 x 2
+
2
(2 x 6 3 x 3
83 2 − 32 6 f ( x ) = x + x (2 x 3
−4
)
−4
)
−4
) adalah….
Page 6 of 21
8
maka : - u ( x ) = x
3
+
- v( x ) = 2 x 6
2 3
−
x
5
3
8 ⇒ u ' ( x ) = x 3 3
2
−
−
x
5 2
⇒ v' ( x ) = 12 x 5
−4
Sehingga : 5 8 53 83 2 − 32 − 6 5 2 f ' ( x ) = x − x (2 x − 4 ) + 12 x x + x 3 3 23
16 f ' ( x ) = x 3 3
−
3
23
f ' ( x ) = f ' ( x ) = f ' ( x ) =
32
x
5
7
3
2
− 2 x
−
+ 4 x
5
23
2
3
5
7
+ 12 x
7
+ 8 x 2
5
− 52 3 32 x + 6 x 2 − x 3 + 4 x 2 3 3 52 3 23 32 3 5 4 x + 6 x 7 − x + 3 3 x 5
13 3
(
x 5 523 x18
)
− 32 + 6
x 7
+
4 x
5
Teorema 4 Turunan hasil perkalian tiga fungsi aljabar
Jika f ( x) merupakan fungsi hasil perkalian tiga fungsi u( x), v( x) dan w( x) maka :
f ( x )
=
uvw ⇒ f ' ( x )
=
u ' v + u ' w + v ' u + v' w + w' u + w' v
Contoh Soal
1. Tentukan turunan pertama dari f ( x ) = (3 x − 2)( x 2 − x )(x 3 Penyelesaian • u ( x ) = 3 x − 2 2
• v( x ) = x − x
⇒ u ' ( x) = 3 ⇒ v' ( x ) = 2 x − 1
w( x) = x 3 + 1 ⇒ Sehingga •
w' ( x) = 3 x 2
)
+1
Page 7 of 21
f ' ( x ) = 3( x 2 − x ) + 3( x 3 2
)
(
3
2
= 3 x − 3 x + 3 x + 3 + 6 x − 7 x + 2 + 4
2 x 4
4
3
= 3 x +
)
+ 1 + (2 x − 1)(3 x − 2 ) + (2 x − 1) x + 1 + 3 x
3
3
3
3
2 x 4 − x 3 + 2 x − 1 + 9 x 3
3
2
2
2
2
(3 x − 2) + 3 x 2 ( x 2 − x ) 2
4
− 6 x + 3 x − 3 x
+ 3 x − x + 9 x − 3 x + 3 x + 6 x − 6 x − 3 x − 7 x +
2 x + 3 + 2 − 1
2
= 5 x + 8 x + 3 x − 8 x + 4
Teorema 5 Turunan hasil pembagian dua fungsi aljabar
Jika f ( x) merupakan fungsi hasil bagi fungsi u( x) oleh fungsi v( x) maka :
f ( x ) =
u ( x ) v ( x )
⇒ f ' ( x ) =
u ' ( x )v ( x ) − v ' ( x )u ( x)
Contoh Soal
3 x − 2 1. Jika f ( x) = maka f’( x) = …. x + 4 Penyelesaian
Missal : - u ( x ) = 3 x − 2 ⇒ u ' ( x) = 3 - v( x ) = x + 4 ⇒ v' ( x ) = 1 Sehingga : f ( x ) =
3 x − 2 x + 4
⇒ f ' ( x ) =
u ' v − v' u
⇒ f ' ( x ) =
3( x + 4) − (3 x − 2)
⇒ f ' ( x ) =
3 x + 12 − 3 x + 2
⇒ f ' ( x ) =
v2
( x + 4 )2 ( x + 4)2 14
( x + 4 )2
(v ( x ) )2
3
Page 8 of 21
x
2. Jika f ( x ) =
3
6 x 2
−2
tentukan turunan pertama
Penyelesaian
⇒ u ' ( x )3 x 2 - v( x ) = 6 x 2 − 2 ⇒ v' ( x ) = 12 x - u ( x) = x 3
Misal :
f ( x )
=
x 2 6 x
3
−2
⇒ f ' ( x ) = ⇒ f ' ( x) = ⇒ f ' ( x) = ⇒ f ' ( x) =
u ' v − v' u 2
v
3 x 2 (6 x 2 18 x 4
− 2) − 12 x ( x
(6 x
2
−2
− 6 x
2
− 12 x
(6 x
2
6 x 4
− 6 x
(6 x
−2
2
−2
3
)
)
2 4
)
2
2
)
2
Teorema 6 Turunan fungsi berpangkat
Jika f ( x) merupakan fungsi hasil dari u( x) pangkat n, dimana n adalah bilangan rasional maka :
f ( x ) = (u ( x ) ) ⇒ f ' ( x) n
=
n.(u ( x ) ) .u ' ( x )
Contoh Soal 3
1. Jika f ( x) = (2 x – 1) maka nilai f ‘( x) adalah … Pembahasan • u ( x) = 2 x − 1 ⇒ •
u ' ( x ) = 2
n=3
f (2 x − 1) 3
⇒ f ' ( x ) = n(u ( x ) )n−1 .u ' ( x ) ⇒ f ' ( x ) = 3(2 x − 1) − ( 2) 3 1
⇒ f ' ( x ) = 6(2 x − 1)2 ⇒ f ' ( x ) = 6(4 x 2 − 4 x + 1) ⇒ f ' ( x ) = 24 x 2 − 24 x + 6
n −1
Page 9 of 21
3 2 12 Jika f ( x) = (2 x – 4 x + x ) maka nilai f ‘( x) adalah …
2.
Pembahasan •
u ( x) = 2 x
•
n = 12
f (2 x
3
3
− 4 x
2
2
⇒ u ' ( x ) = 6 x 2
+ x
− 8 x + 1
⇒ f ' ( x ) = n(u ( x ) )n−1.u ' ( x )
12
− 4 x + x )
⇒ f ' ( x ) = 12(2 x 3 − 4 x 2 + x ) (6 x 2 − 8 x + 1) 11
⇒ f ' ( x ) = (72 x 2 − 96 x + 12 )(2 x 3 − 4 x 2 + x )
11
3. Jika f ( x ) = 4 (3 x 2
)
− x +1
3
maka f ' ( x ) adalah …
Pembahasan • f ( x ) =
4
(3 x 2
2
• u ( x ) = 3 x − x + 1 •
n=
)
− x + 1
3
= f ( x ) =
(3 x
3
2
)
− x + 1
4
⇒ u ' ( x) = 6 x − 1
3 4
f ( x ) = 4 (3 x 2 − x + 1)
3
⇒ f ' ( x ) = n(u ( x ) )n −1.u ' ( x ) ⇒ f ' ( x ) =
3 4 3
(3 x
2
)
− x + 1
⇒ f ' ( x ) = (6 x − 1) ⇒ f ' ( x ) = ⇒ f ' ( x ) = ⇒ f ' ( x ) =
(3 x
3
(6 x − 1) 4
(3 x
2
1
(6 x − 1)
4
1
4
4
−
1
2
)
− x + 1
)
− x + 1
3(6 x − 1) 44 (3 x 2 − x + 1) 18 x − 3 44 (3 x 2 − x + 1)
4
Page 10 of 21
4. Jika f ( x) = 3 (3 x 2 − 2 x + 8) maka nilai f ' (0) adalah … Pembahasan • f ( x ) =
3
(3 x
2
)
− 2 x + 8 = f ( x ) =
n=
− 2 x + 8
)
3
⇒ u ' ( x ) = 6 x − 2
2
• u ( x ) = 3 x − 2 x + 8 •
(3 x
1
2
1 3
f ( x ) = 3 (3 x 2
− 2 x + 8
)
⇒ f ' ( x ) = n(u ( x ) )n−1.u ' ( x ) ⇒ f ' (0) = ⇒ f ' (0) =
1 3
(3(0)
2
− 2(0) + 8
)
−
2 3
(6(0) − 2)
−2
12
Teorema 7 Turunan Aturan Rantai
Jika f ( x) merupakan fungsi hasil komposisi antara u( x) dan g( x) dinama u( x) dan g( x) mempunyai turunan maka :
f ( x ) = u ( g ( x )) ⇒ f ' ( x)
=
u ' ( g ( x ) ).g ' ( x )
Contoh Soal :
1. Jika g ( x ) = 2 x + 1 dan h( x ) = x 2 Penyelesaian •
g ( x) = 2 x + 1 ⇒
•
h( x) = x
•
(h
o
+4
⇒ h' ( x) = 2 x
g )( x) = h( g ( x) ) = f ( x)
Sehingga Cara I
2
g ' ( x) = 2
+
4 maka turunan dari (h g )( x ) adalah… o
Page 11 of 21
f ( x ) = h( g ( x )) ⇒ f ' ( x ) = h' ( g ( x )).g ' ( x) =
2(2 x + 1).2
=
4(2 x + 1)
=
8 x + 4
Cara II f ( x) = h( g ( x)) = h(2 x + 1)
maka f ' ( x)
=
(2 x + 1)2 + 4
=
4 x 2
=
8 x + 4
+
4 x + 5
2. Turunan pertama dari f ( x) = (2 x 3
−
x + 1)
10
adalah…
Penyelesaian f ( x ) = (2 x misal :
3
)
− x + 1
10
•
u ( x ) = 2 x 3 − x + 1 ⇒
•
g ( x ) = u
•
f ( x ) = g (u ( x ))
10
u ' ( x ) = 6 x 2 − 1
⇒ g ' ( x ) = 10 x 9 ⇒ f ' ( x ) = g ' (u ( x )).u ' ( x)
Sehingga f ( x ) = (2 x 3 − x + 1)
10
⇒ f ' ( x) = g ' (u ( x)).u ' ( x) ⇒ f ' ( x) = 10(2 x 3 − x + 1) (6 x 2 − 1) 9
⇒ f ' ( x) = (2 x 3 − x + 1) (60 x 2 − 10 ) 9
Latihan soal. Tentukan turunan dari: 3 1. f ( x ) = 2 x − 2. f ( x) =
3 x
5
3 3. f ( x ) = 4 x
4. f ( x ) = (2 x + 1)10 (3x − 2 )
Page 12 of 21
5. f ( x ) =
( x + 2) 2 x
6. f ( x) = x 2
− 5 x
Page 13 of 21
Evaluasi Kegiatan pembelajaran 1
1. Jika f ( x ) = 4 x 2 x maka f’( x) adalah… a. 10 x x
d. 2 x x
b. 8 x x
e. 2 x2
c. 4 x x 2. Jika f ( x ) = x 3 f’(a) adalah… a. b. c.
3 a
+1
2 a 2a + 1 2 a 3a + 1
+
x maka
d. e.
3a 2 a 2 a 2 a
+1
c. 12 4. Jika f ( x ) = 2 x 3 + 9 x 2 − 24 x + 5 dan f ' ( x ) < 0 maka nilai x yang memenuhi adalah… a. − 1 < x < 4 b. 1 < x < 4 c. − 4 < x < 1 d. x < −4 atau x > 1 e. x < −1 atau x > 4 5. Jika f ( 2 x − 3) 4 x 3 f ' ( 2) adalah… a.
6
2 a b. 9
3. Jika f (3 x + 2) = x x + 1 maka ) adalah… 12 f ' (11 a. 9 d. 14 b. 11 e. 15
1
2 1
3 1 c. 16 2
+8
d. 32 e. 33
maka
3 4 1 2
Page 14 of 21
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2
B. TURUNAN FUNGSI TRIGONMETRI Kompetensi Dasar : 6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi Trigonometri 6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah Tujuan Pembelajaran : 1. Menentukan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan Teorema Turunan 2. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai
Menentukan turunan fungsi trigonometri Pada prinsipnya teorema turunan fungsi trigonometri sama dengan turunan fungsi aljabar.
Teorema 8 Teorema Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
1. f ( x ) = sin x
⇒ f ' ( x ) = cos x
2. f ( x ) = cos x
⇒ f ' ( x) = − sin x
2. f ( x ) = tan x
⇒ f ' ( x) = sec 2 x
Contoh Soal: 1. Jika y
=
sec x tentukan y '
Penyelesaian
y
=
sec x
⇒
y
=
1 cos x
⇒
y
=
cos −1 x
⇒ y = (cos x )−
1
Page 15 of 21
y
=
cos −1 x
diketahui : •
n = −1
•
u
=
⇒ u ' ( x ) = − sin x
cos x n −1
y ' = n{u ( x)} y
=
1 cos − x
.u ' ( x )
⇒ y ' = (−1) cos −1−1 x.(− sin x ) ⇒ y ' = − cos − 2 x (− sin x ) ⇒ y ' = ⇒ y ' = ⇒ y ' =
2. Jika y
=
sin x cos 2 x sin x cos x. cos x tan x sec x
x − 2) tentukan y ' sin(3
Penyelesaian misalkan : •
u ( x ) = 3 x − 2
•
g ( x ) = sin u
y
=
⇒ u ' ( x ) = 3 ⇒ g ' ( x ) = cos u
sin(3 x − 2) ⇒ y
=
sin u
⇒ y = g (u ( x ))
y ' = g ' (u ( x )).u ' ( x ) y ' = cos u.3 y ' = 3 cos(3 x − 2)
3. Jika f ( x) = sin 2 3x 2 tentukan f ' ( x ) Penyelesaian
misal :
⇒ u ' ( x) = 6 x
•
u ( x) = 3 x 2
•
g ( x) = sin u
•
f ( x) = sin 2 3 x 2 ⇒ f ( x) = g (u ( x))
2
⇒ g ' ( x) = 2 sin u. cos u
Page 16 of 21
f ' ( x ) = g ' (u ( x )).u ' ( x ) f ' ( x ) = 2 sin u cos u.6 x f ' ( x ) = 12 x sin u cos u 2
f ' ( x ) = 12 x sin 3 x cos 3 x
2
⇒ sifat : sin 2 x = 2 sin x cos x
f ' ( x ) = 6 x sin 6 x 2
4. Jika
f ( x ) = 2 cos x + 3 sin 2 x maka f ' ( x ) = ....
Penyelesaian f ( x ) = 2 cos x + 3 sin 2 x f ' ( x ) = 2(− sin x ) + 3(cos 2 x ).2 f ' ( x ) = −2 sin x + 6 cos 2 x
5. Jika f ( x ) = 4 sin x cos 2 2 x tentukan turunan pertama f’( x) Penyelesaian
Diketahui : •
u ( x ) = 4 sin x
•
v ( x ) = cos 2 x
2
⇒ u ' ( x ) = 4 cos x ⇒ misal :
• p ( x ) = •
⇒ p ' ( x) = 2
2 x 2
r ( x ) = cos p
⇒ r ' ( x ) = −2 cos p sin p r ' ( x ) = − sin 2 p
•
v ( x ) = r ( p ( x ))
⇒ v' ( x ) = r ' ( p ( x )). p ' ( x ) ⇒ v' ( x ) = − sin 2(2 x ).2 ⇒ v' ( x ) = −2 sin 4 x
Sehingga : f ( x ) = 4 sin x cos 2 2 x ⇒ f ( x ) = u.v ⇒ f ' ( x ) = u ' v + v ' u
⇒ f ' ( x ) = (4 cos x )(cos 2 2 x ) + (−2 sin 4 x )(4 sin x ) ⇒ f ' ( x ) = 4 cos x cos 2 2 x − 8 sin 4 x sin x
Page 17 of 21
Latihan soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut : 1. f(x) = sin x – 3 cos x 2. f(x) = sin 3x 3. f(x) = cos (3x + π ) 1 π 4. f(x) = tan ( x + ) 2 3 5. f(x) = sec x 6. f(x) = sin x. cos x 2 7. f(x) = cos x x 8. f(x) = sin 2 x Evaluasi Kegiatan Pembelajaran 2
1. Jika w = sin 2t maka w’=…… a. cos 2t b. 2cos 2t c. sin 2 t + t cos 2t d. 2t cos 2t + sin2 t e. sin 2 t – t cos 2t 2. Jika f ( x ) = cos 2 x + 2 sin x maka
π = .... 4
a.
2 − 2
d.
2 + 1
b.
2 − 1
e.
2 + 2
2
3. Jika y = − x + tan x maka y ' = .... 2 2 a. sin x d. sec x b. cos2 x e. cosec 2 x 2 c. tan x 4. Jika f ( x ) = sin x cos x maka nilai dari
π = ..... 6
f
a. b. c.
1 2 1
2 1 2
3
b. 4 sin 2 (2 x 2 + x )cos( x − 1) c. 4 cos 3 (2 x 2 + x )sin (2 x 2 + x ) d. 4(2 x 2 + x )sin 3 (2 x + 2 ) cos(2 x 2 + x )
6. Turunan pertama dari y adalah.... 1 a. cos 3 x 4 1 b. − cos 3 x 4 c. − 4 cos 3 x d. − 4 cos 2 x sin x e. − 2 cos 2 x sin x
=
+
2 x )
cos 4 x
7. Jika f ( x ) = cot 2 x maka f ' ( x ) = .... d.
2
a. 4 sin 3 (2 x 2 + x )
e. 2(4 x + 1) sin 2 (2 x 2 + x )sin (4 x 2
f
c.
5. Jika f ( x ) = sin 4 (2 x 2 + x ) maka f ( x) = ....
2 3
e. 1
a. 3
− 2 cos ec
2
2 x
b. 2 cos ec 2 2 x c. − 2 sin 2 2 x d. 2 sin 2 2 x e. − 2 tan 2 2 x
Page 18 of 21
C. APLIKASI TURUNAN 1. Garis Singgung Pada Kurva
y = f ( x)
y
• B((a
Perhatikan gambar di samping Gradien garis AB adalah y − y1 m AB = 2 x 2 − x1
+ h), f (a + h))
• A(a, f (a))
y = a
= x = a
x
x = a + h
=
f (a + h) − f (a)
( a + h) − a f ( a + h ) − f ( a) h
Apabila garis AB diputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A(h→0) maka tali busur AB menjadi garis singgung pada kurva y = f ( x) di titik A(a, f (a))dengan gradient :
lim
f ( a + h) − f (a )
mg
=
mg
= f ' (a )
h
h→0
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f ( x) di titik A(a, f (a)) atau A( x1, y1) adalah
y − y1
=
m( x − x1 )
Contoh Soal : Diketahui kurva y = x2 – 3 x + 4 dan titik A(3, 4) a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.
Page 19 of 21
Penyelesaian 2
− 3 x + 4
y
= x
m
= y ' =
2 x − 3
a. Gradien di titik A(3, 4) m
= y ' x =3 =
m
=
2(3) − 3
3
b. Persamaan garis singgung di titik A(3, 4) y − y1
=
m( x − x1 )
y − 4 = 3( x − 3) y − 4 = 3 x − 9 y
=
3 x − 5
Latihan soal 1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: 2
a. y = x – 6 x di titik (-1, 7) b. y = sin 2 x di titik (
π
,
1
2 2
2)
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 2
a. y = x – 2 x – 3 di titik (3, 1) 2
b. y = x - 2 x di titik dengan absis 1 c. y = (2- x)(2 x +1) di titik dengan ordinat 8 3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2 x – x2 sejajar dengan garis 4 x + y = 3, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung
Page 20 of 21
2. Fungsi Naik Dan Fungsi Turun
y
y
f ( x)
a
x1
x2
f ( x)
b
a x1 x2 b
Fungsi naik
Fungsi Turun
1. Fungsi f ( x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x
x2
≤
b berlaku :
> x1 ⇔ f ( x2 ) > f ( x1 )
2. Fungsi f ( x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x
x2 < x1
≤
b berlaku :
⇔ f ( x2 ) < f ( x1 )
3. Fungsi f (x) disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0 4. Fungsi f ( x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0 5. Fungsi f ( x) disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’(a) < 0
Contoh Soal 3
2
Tentukan pada interval mana fungsi f ( x) = x + 9 x + 15 x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun
Page 21 of 21
Penyelesaian
a. Syarat fungsi naik f’( x) > 0 3
2
f ( x) = x + 9 x + 15 x + 4 2
f’( x) = 3 x + 18 x + 15 f’( x) > 0 ⇒
3 x2 + 18 x + 15 > 0 2 x + 6 x + 5 > 0
(-) daerah Positif
(+) Daerah Positif
( x + 1)( x + 5) > 0 x < - 5 atau x > -1
-5
Jadi fungsi naik pada interval x < −5 atau x
(+) Daerah Positif -1
> −1
b. Syarat fungsi turun f’( x) < 0 3
2
f ( x) = x + 9 x + 15 x + 4 2
f’( x) = 3 x + 18 x + 15 f’( x) < 0 ⇒
3 x2 + 18 x + 15 < 0 2
x + 6 x + 5 < 0
( x + 1)( x + 5) < 0 −5<
x < −1
Jadi fungsi naik pada interval
−5<
x < −1
Latiha soal 1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. 2
a. f ( x) = x – 6 x b. f ( x) =
1 3 2 x + 4 x – 20 x + 2 3
c. f ( x) = ( x2 - 1)( x+1) 3
2
2. Tunjukkan bahwa fungsi f ( x) = x – 6 x + 12 x + 6 tidak pernah turun.