Knyga skirta pasikartoti matematikos kursą prieš egzaminąFull description
istorijos isplestinis kursas 11 kl.
kerti kalenárium
Descripción: Contenidos programaticos de la asignatura Logopedia del Habla para el Plan de Estudios 2006 del programa de Fonoaudiología de la Universidad de Pamplona
Descripción: Trafico promedio diario, red vial fundamental bolivia
Descripción: Nch181.Of2006
Descripción completa
Auerbach.rfid.in.the.Supply.chain.nov.2006
Full description
enFull description
Safety_Handbook-2006 of CPL (Chevron Pipeline Company)
concurso de primavera 2006
COCINA 2006Descripción completa
Descripción: Moldes correspondientes al Anuario 2006
Full description
Full description
Descrição completa
V I D M A N T A S PEKARSKAS
TRUMPAS MATEMATIKOS KURSAS
Kauno technologijos universitetas VIDMANTAS PEKARSKAS
TRUMPAS MATEMATIKOS KURSAS Vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams
Scanned by Cloud Dancing r ^
TECHNOLOGIJA KAUNAS-2006
UDK 51(075.8) Pe 58
Recenzavo : prof, habil. dr. Leonas SAULIS doc. dr. Nijolė JANUŠAUSKAITĖ
Trečiasis leidimas
Be raštiško leidyklos ,,Technologija" sutikimo nė viena šios knygos dalis jokiais tikslais ir jokiomis priemonėmis neturi būti kopijuojama.
Leidyklos ,, Technologija " knygas galima užsisakyti internetu www, knygininkas. It
Spausdinti rekomendavo KTU Senato studijų komisija
KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS Vidmantas PEKARSKAS TRUMPAS MATEMATIKOS KURSAS Vadovėlis Redagavo autorius
PRATARMĖ Šis vadovėlis parengtas panaudojant anksčiau išleistų trijų to paties autoriaus vadovėlių [1, 2, 3] medžiagą. Jis atitinka Kauno technologijos universiteto Cheminės technologijos, Dizaino ir technologijų, Elektrotechnikos ir automatikos, Fundamentaliųjų mokslų, Informatikos, Mechanikos, Statybos ir architektūros. Telekomunikacijų ir elektronikos fakultetuose I kurse dėstomų modulių „Matematika 1" ir „Matematika 2" programą. Jame taip pat pateikti tie Il kurse dėstomo modulio „Taikomoji matematika" klausimai, kurie yra bendri visoms šių fakultetų studijų programoms. Manome, kad knyga galės pasinaudoti ir kitų techniškųjų universitetų studentai, taip pat studentai, studijuojantys gamtos, socialinius bei humanitarinius mokslus. Rašant trumpą matematikos kursą reikėjo atsisakyti daugelio subtilių teorinių samprotavimų, todėl kai kurie klausimai čia dėstomi iš kitų metodinių pozicijų. Turint galvoje ir lai, kad vadovėlis adresuotas techniškųjų specialybių studentams, daugiausia dėmesio jame skiriama ne tiek griežtam kai kurių matematinių metodų pagrindimui, kiek tų metodų esmės bei jų taikymo galimybių aiškinimui. Svarbiausi klausimai knygoje pateikti su įrodymais, o išdėstant kitus apsiribota apibrėžimų ir reikalingų formulių pateikimu. Teorija knygoje iliustruojama daugeliu išspręstų pavyzdžių. Kiekvieno skyriaus gale pateikta uždavinių, skirtų studentams išspręsti savarankiškai. Teoremos įrodymo, pavyzdžio sprendimo pabaiga žymima ženklu Nuoširdžiai dėkoju Vilniaus Gedimino technikos universiteto prof, habil. dr. L. Sauliui ir Kauno technologijos universiteto doc. dr. N. Janušauskaitei, doc. dr. A. Pekarskienei, atidžiai perskaičiusiems rankraštį ir pateikusiems vertingų pastabų, taip pat bendradarbei D. Nenortienei už pagalbą rengiant šią knygą spaudai. V. Pekarskas
Matricos sąvoka Tiesinės matricų operacijos Matricų daugyba Antrosios ir trečiosios eilės determinantai Aukštesniųjų eilių determinantai Atvirkštinė matrica Matricos rango sąvoka Elementariųjų matricos pertvarkių panaudojimas apskaičiuojant matricos rangą Uždaviniai
11 14 15 17 24 27 30 31 33
T I E S I N Ė S LYGČIŲ S I S T E M O S
35
Pagrindinės sąvokos Neišsigimusiųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimas atvirkštinės matricos metodu Kramerio formulės Kronekerio ir Kapelio teorema Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu Homogeninės tiesinės lygčių sistemos Uždaviniai
35 38 39 41 47 51 53
VEKTORINIS SKAIČIAVIMAS
54
Vektoriaus sąvoka Tiesinės vektorių operacijos Vektoriausprojekcijos Vektoriaus koordinatės Dekarto koordinačių sistemoje Spindulys vektorius. Atstumas tarp dviejų taškų Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu Skaliarinė dviejų vektorių sandauga Vektorinė dviejų vektorių sandauga Mišrioji trijų vektorių sandauga Uždaviniai
54 55 58 59 63 64 67 71 76 82
T I E S Ė IR PLOKŠTUMA
84
Bendroji plokštumos lygtis Kampas tarp dviejų plokštumų Taško atstumas iki plokštumos Erdvės tiesės kanoninės lygtys Erdvės tiesės bendrosios lygtys Kampas tarp tiesės ir plokštumos
84 87 88 89 91 93
4.7. 4.8. 4.9. 4.10.
Taško atstumas iki tiesės erdvėje Tiesės plokštumoje lygtys Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje Taško atstumas iki tiesės plokštumoje Uždaviniai
94 95 97 100 101
5.
A N T R O S I O S EILĖS K R E I V Ė S IR PAVIRŠIAI
Antrosios eilės kreivės. Apskritimas Elipsė Hiperbolė Parabolė Antrosios eilės paviršiai. Sfera Sukimosi paviršiai Elipsoidai Hipcrboloidai Elipsinisparaboloidas Hiperbolinisparaboloidas Cilindriniai paviršiai Kūginiai paviršiai. Sukimosi kūgiai Polinė koordinačių sistema Įvairios kreivės polinėje koordinačių sistemoje Uždaviniai
Elementariosiosfunkcijos Parametrinės kai kurių kreivių lygtys Skaičių seka ir jos riba Sekos ribos egzistavimo požymiai. Skaičius e Hiperbolinės funkcijos Funkcijos ribos sąvoka Vienpusės funkcijos ribos Neaprėžtai didėjančios funkcijos Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos Nykstamosiosfunkcijos Neapibrėžtieji reiškiniai sin χ Riba h m
6.13.
Riba
.v—>0 X
r Iim f 1 + 1 - Y ,
.V—>±coV 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18.
χ e R
146
147
X,
Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos Ekvivalenčią nykstamųjų funkcijų naudojimas apskaičiuojant ribas Funkcijos tolydumo taške sąvoka Funkcijos trūkio taškai Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės Uždaviniai
VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS
158
Funkcijos išvestinės sąvoka Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys Funkcijų diferencijavimo taisyklės Išvestinių lentelė Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas Logaritminisdiferencijavimas Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, diferencijavimas Funkcijosdiferencialas Aukštesniųjų eilių išvestinės Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, aukštesniųjų eilių išvestinės Aukštesniųjų eilių diferencialai Vidurinių reikšmių teoremos Lopitalio taisyklė Teiloro formulė Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas Makloreno formule Funkcijų tyrimas Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė atkarpoje Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai Grafiko asimptotės Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo schema Uždaviniai
Aibės plokštumoje ir erdvėje Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka Funkcijos riba ir tolydumas taške Dalinės išvestinės Pilnasis funkcijos pokytis ir pilnasis diferencialas Sudėtinių funkcijų išvestinės Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas Aukštesniųjų eilių išvestinės Aukštesniųjų eilių diferencialai Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai Sąlyginiai ekstremumai Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai Kryptinė išvestinė Gradientas Uždaviniai
Tiesioginiointegravimometodas Integravimas keičiant kintamąjį Integravimo dalimis metodas Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris, integravimas Kompleksinio skaičiaus sąvoka Racionaliosios trupmenos. Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas paprasčiausių trupmenų suma Racionaliųjų trupmenų integravimas Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas Diferencialinių binomų integravimas Trigonometrinių reiškinių integravimas Integrali, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis Uždaviniai
227 228 230 232 234
10.
A P I B R Ė Ž T I M S INTEGRALAS IR J O TAIKYMAS
251
10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7.
Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo sąvoka Apibrėžtinio integralo savybės Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu Niutono ir Leibnico formulė Kintamųjų keitimo metodas Integravimasdalimis Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje Figūros ploto apskaičiavimas polinėje koordinačių sistemoje .... Kreivės lanko ilgis Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo rėžiais Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų konvergavimas Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas. Niutono ir Leibnico formulės taikymas Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka tolydumas, diferencijavimas Uždaviniai
Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais Bendrasis sprendinys. Vronskio determinantas Antrosios eilės tiesinių homogeninių diferencialinių lygčių su pastoviaisiais koeficientais sprendinių formulės Aukštesniųjų eilių tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygtys .. Konstantų variacijos metodas Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties atskirojo sprendinio parinkimo metodas Mechaninių svyravimų lygtis Laisvųjų svyravimų tyrimas Normalioji diferencialinių lygčių sistema Uždaviniai
311 312 313 316 317 318 321 326 327 329 334
12.
EILUTĖS
336
12.1.
Skaičių eilutė ir jos sumos sąvoka. Konverguojančiųjų eilučių savybės Būtinasis eilutės konvergavimo požymis Pakankamieji teigiamųjų eilučių konvergavimo požymiai Alternuojančiosios eilutės. Leibnico požymis Absoliutusis ir reliatyvusis eilučių konvergavimas Funkcijų eilutės konvergavimo sritis Laipsninės eilutės sąvoka. Abelio teorema Laipsninės eilutės konvergavimo intervalas ir spindulys Laipsninių eilučių savybės Funkcijos reiškimo jos Teiloro eilute sąlygos Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas jų Makloreno eilute Eilučių taikymas sprendžiant diferencialines lygtis Uždaviniai
Cilindro tūris. Dvilypio integralo sąvoka Dvilypio integralo savybės Dvilypių integralų apskaičiavimas Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemoje Paviršiaus ploto apskaičiavimas Dvilypio integralo taikymas mechanikoje Kūno masės apskaičiavimas ir trilypio integralo sąvoka Trilypio integralo savybės Trilypio integralo apskaičiavimas Trilypis integralas cilindrinėje koordinačių sistemoje Trilypio integralo taikymas mechanikoje Uždaviniai
366 368 370 375 378 380 384 386 387 390 393 395
14.
KREIVINIAI INTEGRALAI
397
14.1. 14.2.
Kreivės lanko masė ir pirmojo tipo kreivinio integralo sąvoka .. Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas
Jėgų lauko darbas ir antrojo tipo kreivinio integralo sąvoka Antrojo tipo kreivinio integralo apskaičiavimas Gryno formulė Sąlyga, kad kreivinio integralo reikšmė nepriklausytų nuo integravimo kelio Pilnųjų diferencialų integravimas Uždaviniai
Periodinės funkcijos ir harmoninė analizė Trigonometrinės eilutės koeficientų nustatymas Furjė metodu .. Lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė eilutės Neperiodinių funkcijų Furjė eilutės Atkarpoje [0; π] apibrėžtų funkcijų reiškimas Furjė eilute Funkcijų, kurių periodas 2/, Furjė eilutės Kompleksinė Furjė eilutės forma Furjė integralo sąvoka Lyginių ir nelyginių funkcijų Furjė integralai Uždaviniai Atsakymai Dalykinė rodyklė Literatūra
1.1. Matricos sąvoka Tarkime, turime stačiakampę lentelę, sudaryta iš mn skaičių «II я21
«12 a22
··· a In ••• Ci2l1
«ml
«m2
···
«иш
patelė, gimdytoja) ir
Ši lentelė vadinama skaičių matrica A (lot. matrix žymima trejopai:
A=
«II
«12
«1«
«21
O22
«2«
a
m I
a
m2
d
A=
«11
«12
«In
«21
«22
«2»
«ml
mn
«II
«12
«ι»
«21
«22
«2«
V«ml
«/n 2 λ
a m 2
Šiame vadovėlyje toliau vartosime pirmąjį matricos žymenį. Matricą sudarančius skaičius a (/ (/ = 1,2,..., /и; j = 1, 2 , . . . , n) vadiname matricos elementais ir žymime raide su dviem indeksais, kurių pirmasis rodo atitinkamos eilutės, o antrasis - stulpelio numerį. Taigi a η yra elementas, parašytas /'-tosios eilutės iry-tojo stulpelio sankirtoje: «II _ L «н; I
a
I"
Todėl matricą Λ patogu žymėti trumpai taip: A = [a,y ], i = 1, m; j = 1, n. Norėdami pabrėžti, kad matricą sudaro m eilučių ir n stulpelių, j ą vadinsime m χ n eilės matrica ir žymėsime Amxn. Pavyzdžiui, duotos dvi matricos
A
3X2
=
" 1
3
-4
2
5
-1
1 2 - 1 5 B
2x4
=
3
0
4
-2
Pirmoji jų yra 3 x 2 eilės, ją. sudaro 3 eilutės ir 2 stulpeliai, antroji yra 2 x 4 eilės. Matrica, sudaryta iš vienos eilutės, vadinama matrica eilute A
Un=[a\\
a
\2
••• "Ih L
o matrica, sudaryta iš vieno stulpelio, vadinama matrica
A
mx I
stulpeliu
"II '21
=
*m\ Matrica, kuri gaunama iš matricos A, sukeitus jos eilutes ir stulpelius vietomis, vadinama transponuotąja matrica (lot. transponere - perkelti, T persodinti). Ji žymima simboliu A . Taigi kai "n «II
"12
a2i
a 22
"ml
"от2
··•
"In
'2n
,tai
A
"12
=
"1/7
/
a
"22
a
0
5
4 - 1 1
Pavyzdžiui, matricos A = A2x4 = 3 AT = A 4x2
0
1
4
2
-1
5
1
m\
m2
a
2n
α Λ , tai AT = [a
Jei A = Amxn ,tai A = Anxm ; jei A 3 1 2
yra
"21
м а
transponuotoji matrica
Matrica «π
«12
«21 ^ 2 2 «31
«13
··•
« 2 3 ^ - · ' «2/7
«32
...
···
...
«//I
«/72
«ь
«3/7
...
«/73
··•
«7777
kurios w = и, vadinama kvadratine, o skaičius и — jos eile. Tada elementai «1Ь«22'
«/7/7
sudaro
jos pagrindinę
«2,,-h · · · > «/?i — šalutinę
įstrižainę,
o
elementai
a\„,
įstrižainę.
Pirmosios eilės matricą Α\/Λ = [orj j ] sudaro tik vienas skaičius a\ \ . Matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui, vadinama nuline matrica. Kvadratinės matricos būna šių tipų. Kvadratinė matrica, kurios visi elementai, išskyrus pagrindinės įstrižainės elementus, lygūs nuliui, vadinama diagonaliąja matrica: ci] j O
O
...
O
O22
...
O
O
...
a„n
O
Šiai matricai būdinga tai, kad jos Ciij = O, kai i Φ j ir o,y # O, kai i = j (arba о л φ O ). Diagonalioji matrica, kurios visi
atl = 1, vadinama
vienetine
matrica ir žymima simboliu E:
E= O Kvadratinė matrica A =
O
vadinama simetrine, kai o ,y = a j,.
Matricų lygumo sąvoka apibrėžiama turint galvoje tik tos pačios eilės matricas. Dvi m χ n eilės matricos A •
ir B
kai o,. = bįj, i = \,m, j = \,n . Tokiu atveju rašoma:
iš-
A=B.
vadinamos lygiomis.
1.2. Tiesinės matricų operacijos Matricų aibėje apibrėžiamos šios tiesinės operacijos: matricų sudėtis ir matricos daugyba iš skaičiaus. Sudėti galima tik tos pačios eilės matricas. Dviejų matricų suma vadinama matrica C11
ir Bn
, kurios elementai e,.
gaunami sudedant atitinkamus matricų A ir B elementus a η ir Cjj = a,y + bjj,
Amxn
i = \, m,
. Taigi
j = l,n .
Matricų A ir B suma žymima A + B = C. Pavyzdžiui, kai -3
7
O
4
5
A= -2
1
4
5
B= -3
7
-8
13
11
-9
9
12
-11
tai
Matricos
An
1
1
12
A+ B = -5
11
-3
22
23
-20
ir skaičiaus
a
sandauga
vadinama matrica
U , kurios elementai b g a u n a m i dauginant kiekvieną matricos A
h
elementą iš skaičiaus α . Vadinasi, bjj = CUijj, i = \,m,
j = 1, n .
Matricos A ir skaičiaus α sandauga žymima αA . Pavyzdžiui, kai α = 3 ir 7 8 9" A= , tai 11 - 2 3 aA = 3A =
-21
24
27
33
-6
9
Matrica (-l) A vadinama priešinga matricai A ir žymima -A. Kad ir kokios būtų tos pačios eilės matricos A ir B, visada egzistuoja vienintelė m a t r i c a i , su kuria A + X = B. Matrica X žymima X = B-A ir vadinama matricų BuA skirtumu. Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad B-A = B + (-A).
1.3. Matricų daugyba Tarkime, kad duota n dėmenų а,(/ = 1,и) suma O1 + a2 +... + a„. Ją galime pažymėti trumpiau: a
n \ + a 2 + . . . + a„ =YjOi
;
/=1
čia Σ - sumos simbolis, didžioji graikiškoji raidė sigma. Indeksas /' vadinamas sumavimo indeksu. Pavyzdžiui, n Σαυ
=°i/
+a
=ai\
+a
2,·
+···+««/;
;=1
n Σαϋ
i2
+ ··• + ",„·
7=1
Matrica A vadinama suderinta su matrica 5, kai matricos A stulpelių skaičius lygus matricos B eilučių skaičiui. Taigi matricos Amxn ir Bnxp yra suderintos. Tačiau matrica Bnxp
nėra suderinta su matrica Amxn . Vadinasi, iš
to, kad matrica A yra suderinta su B, dar ne visada išplaukia, jog B yra suderinta su A. Aišku, kad bet kurios dvi tos pačios eilės kvadratinės matricos visada yra suderintos. Matricų daugyba apibrėžiama tik turint galvoje suderintąsias matricas. Tarkime, kad duotos dvi matricos: a i,
ax 2
a \n
bu
°\p
b
ir
J
i2
2\
Bnxp
b a
m\
n\
a
Amxn
ir
b
'np
W
Bnxp sandauga
, kurios elementai c,·.· apskaičiuojami pagal = ai\b\j
b
Ip
m2
Apibrėžimas. Matricų Cmxp
'2 j
+ aHbIj
+ · · · + ainbr,j = Σ aIkS; k=\
vadinama
matrica
formulę čia
' = ^m, j = \, p.
Matricų A ir B sandauga žymima AB. Iš apibrėžimo išplaukia, kad matricos C = AB
elementas Cjj, esantis
/-tosios eilutės iry'-tojo stulpelio sankirtoje, lygus matricos A /-tosios eilutės ir
matricos B /-tojo stulpelio elementų sandaugų sumai. Tai iliustruoja tokia schema: i °\p b 2P
c
c
Il
I/ ι
,
- mp
--np rlA
Г Itixn uRr\xp — ^mxp ·
lš šios schemos aiškiai matyti, kad matrica A turi turėti tiek stulpelių, kiek eilučių yra matricoje B, taigi abi dauginamos matricos turi būti suderintos. 1 pavyzdys. Raskime A B, kai
Sukeitę matricas A ir B vietomis, sandaugos BA negalėsime rasti, nes matrica B nebus suderinta su A. • 2 pavyzdys. Raskime AB, kai 3 - 4 ^2x3
Sprendimas.
A2x3 · B3x2
1
5 β
1
2
=
7
3χ2 = 4 O
3-16+0
18 + 8 + 15
1+8+0
6 - 4 + 21
6 -2 3 -13
41
9
23
Šį kartą galima apskaičiuoti ir sandaugą By x2 ' Λ-2x3 5
3 x 2 ' ^2x3
-
:
3+6
- 4 + 12
5 + 42
9
8
47
12-2
-16-4
20-14
10
-20
6
0+3
0+6
0 + 21
3
6
21
Nors egzistuoja abi sandaugos AB ir BA, tačiau AB Φ BA . • Iš šių dviejų pavyzdžių matyti, kad matricų daugybai bendruoju atveju nebūdinga komutatyvumo savybė. Kai AB = BA, tai matricos A ir B vadinamos komutuojančiosiomis.
1.4. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai Determinantu (lot. determinants — apibrėžiantis) vadinamas skaičius, kuris pagal tam tikrą taisyklę priskiriamas kvadratinei matricai. Pirmosios eilės matricos [θ| | ] determinantas yra skaičius Oi | . Antrosios eilės matricos a
A=
W
«12
a
a
_ 2\ 22^_ determinantu, arba trumpiau — antrosios eilės determinantu, skaičius ^ i j t f 2 2 ~a\2a2\ · J ' s žymimas det A =
«11
«12 _
O21
a 22
vadinamas
- CTj j et 22 ~ « | 2 « 2 I •
Matricos A determinantą dar galima žymėti simboliu | A | arba Δ. Vadinasi, skaičiuodami antrosios eilės determinantą, iš skaičių a11 ir я 2 2 > esančių pagrindinėje jo įstrižainėje, sandaugos atimame skaičių Д| 2 ir а 2 ь esančių šalutinėje įstrižainėje, sandaugą. Pavyzdžiui, 3
Įsidėmėti šio determinanto apskaičiavimo formulę padės vadinamoji Sarijaus\ arba trikampių, taisyklė, pavaizduota tokia schema:
Trikampių taisyklę nusakysime žodžiais. Pirmieji trys (1) formulės nariai gaunami sudauginant pagrindinės įstrižainės elementus ir elementus, esančius dviejų lygiašonių trikampių, kurių pagrindai lygiagretūs su pagrindine įstrižaine, viršūnėse. Kiti trys (1) formulės nariai imami su priešingais ženklais, be to gaunami sudauginant šalutinės įstrižainės elementus bei elementus, esančius dviejų lygiašonių trikampių, kurių pagrindai lygiagretūs su šalutine įstrižaine, viršūnėse. Sarijaus taisyklę galima iliustruoti ir tokia schema:
Išvardysime antrosios ir trečiosios eilės determinantu savybes, kurios tiesiogiai išplaukia iš šių determinantu apibrėžimo. τ I. det A = del A Šią savybę pritaikysime trečiosios eilės determinantui:
Pjeras Frederikas Sarijus (P. F. Sarrus, 1 7 9 8 — 1 8 6 1 ) — prancūzų matematikas.
«11 det A = « 2 1
«12
«13
«22
«23
«31
«32
«33
=
«11
«21
«31
«12
«22
«32
«13
«23
«33
= det A1
Vadinasi, sukeitus eilutes ir stulpelius vietomis, determinanto reikšmė nepasikeičia. Tai reiškia, kad eilutės ir stulpeliai yra lygiateisiai. Todėl toliau determinanto savybes formuluosime tik eilutėms, turėdami galvoje, kad analogiški samprotavimai tinka ir stulpeliams. 2. Sukeitus dvi gretimas determinanto eilutes vietomis, pakinta to determinanto ženklas. Pavyzdžiui, sukeitę pirmąją ir antrąją determinanto eilutę, gausime: «11
«12
«13
«21
«22
«23
«21
«22
«23
«II
«12
«13
«31
«32
«33
«31
«32
«33
3. Jei visi kurios nors determinanto eilutės elementai lygūs nuliui, tai toks determinantas taip pat lygus nuliui. 4. Bendrąjį kurios nors eilutės elementų daugiklį galima iškelti prieš determinanto ženklą: λα,,
λ
«12
λ α 13
«11
«12
«13
«22
«23
«32
«33
«21
«22
«23
= λ · «21
«31
«32
«33
«31
Ši savybė rodo, kad, dauginant determinantą iš skaičiaus, nelygaus nuliui, reikia iš to skaičiaus padauginti kurios nors vienos (tik vienos!) eilutės elementus. Priminsime, kad, dauginant matricą iš skaičiaus, reikia iš to skaičiaus padauginti visus jos elementus. 5. Determinantas, kurio dvi eilutės yra vienodos, lygus nuliui. 6. Jei dviejų determinanto eilučių elementai yra proporcingi, tai toks determinantas lygus nuliui: «11
«12
λα, ι
λα,2
«31
«32
«13
λα,3 = 0 «33
Pavyzdžiui, 1
2
3
3
6
9 = 3· 1
4
-1
5
1
4
2 2 -1
3 3 = 3 5
7. Jei kurios nors determinanto eilutės kiekvienas elementas yra išreikštas dviejų dėmenų suma, tai toks determinantas lygus dviejų determinantu sumai:
pirmojo determinanto minėtą eilutę sudaro pirmieji dėmenys, antrojo — antrieji dėmenys; kiti abiejų determinantų elementai yra tokie pat, kaip pradinio determinanto. Pavyzdžiui, «11
+ /
'll
«12
«13
+h\2
+/>I3
«21
«22
«23
«31
«32
«33
=
«11
«12
«13
b\ ι
«21
«22
«23
«31
«32
«33
h\2
b\ 3
+ «21
«22
«23
«31
«32
«33
8. Jei prie kurios nors determinanto eilutės elementų pridėsime kitos eilutės elementus, padaugintus iš to paties skaičiaus, nelygaus nuliui, tai determinanto reikšmė nepakis. Pavyzdžiui, pirmosios eilutės elementus padauginkime iš skaičiaus λ Φ 0 ir pridėkime prie atitinkamų antrosios eilutės elementų. Šiuos pertvarkius pavaizduokime schemiškai: "II
«12
«13
«11
«12
«13
«21
«22
«23
«21
«22
«23
"31
«32
«33
«31
«32
«33
a i,
o,2
θ2ΐ+λα]|
«22
«31
Sakykime,
а,з
λίϊ] 2
«23
^"«13 «33
«32
apskaičiuojame
t?.
determinantą
1
2
3
-2
4
5
0
naudodami
1 - 1
trikampių taisyklę: 1
2
3
-2
4
5 = - 4 - 6 - 5 - 4 = -19.
0
1
-
Pritaikę 8-ąją savybę, gausime tokią pat šio determinanto reikšmę. Patikrinkime. Pirmosios eilutės elementus padauginkime iš 2 ir pridėkime prie antrosios eilutės elementų: 1
2
3
1
2
-2
4
5
0
8
11 = - 8 - 1 1 = - 1 9 .
0
1
-1
0
1 - 1
3
Veiksmai, kurie minimi formuluojant 4-ąją ir 8-ąją savybę, vadinami elementariaisiais determinanto pertvarkiais. Prieš nusakydami kitas determinantu savybes, apibrėšime minoro (lot. minor — mažesnis) ir adjunkto (lot. adjunctus — prijungtas) sąvokas. Il
«12
«13
a2i
«22
«23
«31
«32
«33
a
Išbraukime
kurią nors vieną determinanto
eilutę,
pavyzdžiui, /-tąją, ir kurį nors vieną stulpelį, pavyzdžiui, y'-tąjį (i = 1, 2, 3; 7 = 1 , 2, 3). Jų sankirtoje yra elementas a y . Iš likusių elementų sudarytas antrosios eilės determinantas vadinamas elemento
a^ minoru
ir žymimas
simboliu M i . . Pavyzdžiui, jei išbrauksime trečiąją eilutę ir antrąjį stulpelį, tai jų sankirtoje turėsime elementą a32.
Jo minoras bus likęs antrosios eilės
determinantas: M32 =
«11
«13
«21
«23
= «ll«23 ~«21«13·
Panašiai elemento a \ 3 minoras bus M13 =
«21
«22
«31
«32
:
«2Ι«32
—
«31«22 ·
Elemento a μ adjunktu vadinamas reiškinys A
i j
^ r
j
M
i j
-
čia i - išbrauktos eilutės numeris,y - išbraukto stulpelio numeris. Pavyzdžiui, [-If+2M32=-M32,
A32=
A13 = ( - l ) 1 + 3 Af 13 = M 1 3 . Analogiškai apibrėžiami ir antrosios eilės determinanto elementų minorai bei adjunktai. 9. Determinantas yra lygus kurios nors eilutės (stulpelio) elementų ir jų adjunktų sandaugų sumai. Pavyzdžiui, «11
«12
«13
det A = «21
«22
«23 = «21 ' ^ 2 1 + «22 ' - ½ + « 2 3
«31
«32
«33
'^23
Sakome, kad determinantą išskleidėme antrosios eilutės elementais.
det A = an • An + ai2 · An + aį3 · Αβ = £ aik · Aik .
(2)
A-=I
Kadangi eilutės ir stulpeliai yra lygiateisiai, tai, skleisdami determinantą /-tojo stulpelio U = 1, 2, 3) elementais, gautume sandaugų sumą: det A = a\j · Ayj + a2 j • A2j + a3J -A3j = Y akj • Akj . k=1
(3)
Šia savybe galima pasiremti apskaičiuojant determinantą. 2 pavyzdys. Apskaičiuokime
det A=
'3
-7
4
2
6
5
1
-8
9
Sprendimas. Determinantą apskaičiuosime išskleisdami jį pirmosios eilutės elementais: 3 - 7 4 det A = 2 1 = 3-(-1)'1+1
6
5
-8
9
6
5 = 3-4,+(-7)-42+4-.4,3 =
-8
9 ,1+2
(-7)-(-1)1
2
5
1
9
,1+3 2
-4-(-1)'
6
1
- 8
= 3-94 + 7-13 + 4 - ( - 2 2 ) = 2 8 5 . Jeigu nagrinėjamąjį determinantą skleistume, pavyzdžiui, antrojo stulpelio elementais, gautume tą patį atsakymą: 3 - 7 det A = 2
= -7-(-1)
1+2
6
1
-8
2
5
1
9
4 5 = - 7 · A, 4|27 + 6 · A22 -8 132 = 9 -6-(-1)
2+2 3
4
1
9
-8-(-1)
= 7-13 + 6-23 + 8-7 = 285 . •
3+2 3
4
2
5
3 pavyzdys. Apskaičiuokime det A=
1
3
-4
2
-1
5
-3
1
2
Sprendimas. Iš pradžių šį determinantą pertvarkysime panaudodami 8-ąją savybę. Pasirinkime pirmąją eilutę, jos elementus nuosekliai padauginkime iš (-2) ir 3, paskui pridėkime atitinkamai prie antrosios ir trečiosios eilutės elementų. Tada visi pirmojo stulpelio elementai, išskyrus elementą 1, bus lygūs nuliui. Šiuos elementariuosius pertvarkius pavaizduokime schemiškai:
det A=
2 -3
Dabar gautą determinantą išskleiskime pirmojo stulpelio elementais: det A = I-Au
+O-A-,, +O-A3,
= 10
—7 i
13 t
= 1· tu
=10(7-13) = -40.
-10
•
10. Suma, kurios dėmenys yra kurios nors determinanto eilutės (stulpelio) elementai, padauginti iš atitinkamų kitos eilutės (stulpelio) elementų adjunktų, lygi nuliui. Pavyzdžiui, trečiosios eilės determinanto pirmosios eilutės elementus padauginkime iš antrosios eilutės elementų adjunktų. Tada suma Ol 1^21 +«12^22 + «13^23 = 0. Bendru atveju šią savybę užrašome taip: 3 a A
i\ j\
+ OllAj2
+ Qi3Aj3
= JjOikAjk
čia i Φ j . Ši savybė vadinama determinanto anuliavimo Apjungę (2) ir (4) formules turime
savybe.
=0;
(4)
1.5. Aukštesniųjų eilių determinantai Tarkime, kad duota «-tosios eilės kvadratinė matrica a
a
a2\
Q12
U
A=
Ί
η\
a\
\2
a
n
a
2n
n 2
Jos n-tosios eilės determinantu det A vadinsime skaičių, kuris priskiriamas matricai pagal tam tikrą taisyklę (kai determinantas yra trečiosios eilės, j ą nusako 9-oji determinanto savybė), kurią suformuluosime toliau. Trečiosios eilės determinanto minoro ir adjunkto apibrėžimus apibendrinsime, taikydami bet kurios eilės determinantui. Elemento
aų
minoru
Mjj (/' = 1, и,
7 = 1 , n) vadinsime determinantą,
kuris lieka išbraukus pradinio determinanto /-tąją eilutę ir/-tąjį stulpelį. Elemento atj adjunktu vadinamas reiškinys A
= ^ r
l j
j
M
i j
,
čia i — išbrauktos eilutės numeris, j — išbraukto stulpelio numeris. Be įrodymo pateiksime, kad «-tosios eilės determinantą galima apskaičiuoti pagal formules, analogiškas (2) ir (3) formulėms, kurios skirtos trečios eilės determinantams apskaičiuoti. Taigi teisingos yra formulės det A=
(6)
YjOikAik. A=I
det A =
YakjAkj.
(7)
A=I
Jas galima nusakyti taip: kvadratinės matricos A determinantas yra lygus kurios nors jo eilutės (stulpelio) elementų ir jų adjunktų sandaugų sumai. Taikydami (6) formulę, sakome, kad determinantą skleidžiame /'-tosios (/ = 1,/z) eilutės elementais, o taikydami (7) formulę — / - t o j o (/ = l,n) stulpelio elementais. 1 pavyzdys. Apskaičiuokime determinantą -3 det A =
5
6
4
2
0 - 1 7
3
2 - 1 2
- 4 1 3 3
Sprendimas. Jį apskaičiuosime skleisdami antrosios eilutės elementais, nes vienas šios eilutės elementas lygus nuliui, todėl (6) reiškinio dėmuo, atitinkantis elementą O, bus irgi lygus nuliui. Taigi taikome formulę: det A = Ci2tA2l +O22A22 +O23A23 +O24A24 , +0-Ai 2 2
Iš šio pavyzdžio matyti, kad determinantą geriausia skleisti tos jo eilutės ar stulpelio, kuriame yra daugiau nulių, elementais. Tą patį determinantą apskaičiuokime išskleisdami j į antrojo stulpelio elementais: det A = U12A12 + O22A22 + O32A32 + я 4 2 Л 4 2 =
5-(-D
1+2
2 - 1 7
-3
6
3 - 1 2
+ 0-(-l)2+2 3
-1
-4
3
-4
3
3 -3
+ 1-(-1)
4+2
6
4
-3
3 2 2 + 2-(-1) + 2
-4
3
6
4
-1
7
3
3
4
2 - 1 7
= - 5 - 3 4 - 2 - ( - 1 2 4 ) + 91 = 169.
3 - 1 2
/г-tos eilės determinantu savybės analogiškos antros ir trečios eilės determinantu savybėms, todėl j ų čia ir neformuluosime. Iš analogijos (5) formulei galime užrašyti: f det A, Yaik k=]
A
jk =
O,
kai
/' = j ,
kai
i Φ j.
Išnagrinėsime «-tosios eilės determinanto apskaičiavimo budą, paremtą determinanto savybėmis. Taikydami elementariuosius determinanto pertvarkius, jį pakeičiame taip, kad visi kurios nors eilutės (arba stulpelio) elementai, išskyrus galbūt vieną, būtų lygūs nuliui. Kaip žinome, elementarieji pertvarkiai nekeičia determinanto reikšmės. Paskui determinantą skleidžiame tos eilutės (arba stulpelio) elementais.
2 pavyzdys. Apskaičiuokime determinantą 3 - 8
4
2
7
- 2
4
4
- 2
9
det A =
Sprendimas. Pasirenkame antrąją eilutę ir jos elementus, nuosekliai padaugintus iš ( - 2), ( - 6) ir ( - 2), pridėkime atitinkamai prie pirmosios, trečiosios ir ketvirtosios eilutės elementų. Virš 1 ir po juo, gausime nulius. Pavaizduokime šiuos elementariuosius pertvarkius schemiškai:
det A =
3
-11
-18
7
7
5
O
O
4
-38
-27
16
- 2
-16
-9
13
- 2
Dabar šį determinantą išskleiskime trečiojo stulpelio elementais: А*А = 0 - А \ Ъ + \ А 2 г + 0 - А к + 0 - А А Ъ = I A 2 3 =
•(-i)
,2+3
-11
-18
О
-38
-27
16 = - ( - 2 0 0 7 ) = 2 0 0 7 .
-16
-9
13
Tą patį determinantą galėjome apskaičiuoti ir taip: 3 7
1.6. Atvirkštinė matrica «-tosios eilės kvadratinė matrica
A
au
a12
a21
Ct22
=
a
n\
...
a,„ a
In
Cln 2
vadinama neišsigimusią/a, kai det A Φ 0 . Priešingu atveju, t. y. kai det /4 = 0, ji vadinama išsigimusią/a. Apibrėžimas. Matrica
A ' vadinama matricos A atvirkštine
matrica,
Λα/ Л/Г 1 = / Γ ' Λ = £·; čia E — n-tosios eilės vienetinė matrica. Išvesime formulę, nusakančią atvirkštinę matricą. Sakykime, matrica A yra neišsigimusi. Iš jos elementų aų adjunktų Ajj sudarykime matricą
B=
A11
A2,
Ai
A12
A2 2
42
,4л 4л kuri vadinama prijungtine matricos A matrica. Atkreipiame dėmesį, kad pirmojoje jos eilutėje surašyti matricos A pirmojo stulpelio elementų adjunktai, antrojoje eilutėje - matricos A antrojo stulpelio elementų adjunktai ir t. t. Sudauginę matricas A ir B, gauname: OuAn +«,,Л,, +. a,.An + O11A ι, +. -O2η 1,,\»А,
Matome, kad matricos AB pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs matricos A eilučių elementų ir tuos elementus atitinkančių adjunktų sandaugų sumai, todėl jie visi lygūs det A. Kiti matricos AB elementai lygūs matricos A kurios nors eilutės elementų ir kitos eilutės elementus atitinkančių adjunktų sandaugų sumai. Pagal anuliavimo savybę, jie visi lygūs nuliui. Todėl
AB =
"det Λ
O
0
det A
0
0
0
det A
Taigi AB = det A- E,
...
arba A
O l
Γΐ
0
0
1
0
0
= det Λ
...
0" 0
1
-B = E. det A Kadangi matrica A yra neišsigimusi, tai det A φ 0 . Vadinasi, 1 A' 1 = -•B. det A
A~·
=-
A11
A21
Ά
A 2
A
4„2
An
A
η1
22
det A
Pavyzdys. Raskime A
Sprendimas.
1
, kai
Apskaičiuojame
A=
2n
3
-4
2
1
-3
5
2
6
1
det A = - 1 1 1 φ 0 .
Vadinasi,
matrica yra neišsigimusi. Atvirkštinę jos matricą A r a s i m e formule
pradinė
remdamiesi
1
A~ =-
det A
Au
A21
A
A12
Л 22
A
A
A
A
23
13
M 32 33
Todėl apskaičiuojame adjunktus:
Λ|1=(-ΐΓ A
3l
ι-З
5
6
1
=(-!P'
-4
2
-3
5
3
2
2
1
1
-3
2
6
Л22=(-1)2+2 л,з=(-1)1+3
Λ21=(-ι)2+1
= -33,
Λ 12 = ( - 1 ) 1 +
= -14,
Λ32=(-1)3+2
= -1, = 12,
Л 2 3 =(-1) 2 + 3
+3 3 1
-4
-33
16
-14
9
-1
-13
12
-26
-5
^33=(-1)3
-3
-4
2
6
1
1
5
2
1
2
3
2
1
5
= 16, = 9,
= -13,
3
-4
2
6
= -26,
= -5.
Tada
Norėdami patikrinti, ar teisingai radome atvirkštinę matricą A sudauginkime su matrica A: -4 2 -33 16 -14 A-A^
=A''
-A = -
111
9
-1
-13
12
-26
-5
-99 + 16-28 1 111
1 TTT Taigi matrica A
-3 2
132-48-84
5
6 - 6 6 + 80-14
27-1-26
-36 + 3-78
18-5-13
36-26-10
-48 + 78-30
24-130-5
0 "—111 0 0 -111 0 0 0 -111
rasta teisingai.
-1
0 0" 0 1 0 = 0 0 1 !
E.
я
1.7. Matricos rango sąvoka Matricos rango (vok. der Rang, pranc. rang—eilė) sąvoka bus reikalinga nagrinėjant bendrąją tiesinių lygčių sistemų sprendimo teoriją. Tarkime, duota m * n eilės matrica
A=
«11
«12
«1/7
«21
«22
«2/7
_«/77l
«/7/2
··•
«//7
Pasirinkime k jos stulpelių ir k eilučių. Iš elementų, esančiųjų sankirtoje sudarykime λ-tosios eilės determinantą. Jis vadinamas matricos A k-tosios eilės minoru. Aišku, kad matrica A gali turėti minorų, kurių eilė lygi 1,2,3,...,min(w,w).
i —
b W/,
% 1.1 paveiksle pavaizduota 6 x 7 eilės matricos 4-osios eilės minoro sudarymo schema, kai pasirenkama 1-oji, 3-oji, 5-oji ir 6-oji eilutė bei 2-asis, 4-asis, 5-asis ir 7-asis stulpelis.
% 0
Z
i
i 1.1 pav.
Apibrėžimas. Matricos rangu vadinama didžiausios eilės minoro, nelygaus nuliui, eilė. Kai visi matricos minorai lygūs nuliui, tai matricos rangas taip pat lygus nuliui. Matricos rangą žymėsime rang/1. Iš matricos rango apibrėžimo tiesiogiai išplaukia šios savybės: 1. Kai matrica A yra m χ n eilės, tai O < rang A < min(/w, n). 2.
rang A = O tada ir tik tada, kai matrica yra nulinė.
3.
Jeigu A yra «-tosios eilės kvadratinė matrica, tai rang A = n tik tada,
kai matrica yra neišsigimusi. 4 1 pavyzdys. Raskime matricos A -
2
rangą.
12 Sprendimas. Matrica A turi pirmosios eilės minorą, nelygų nuliui, pavyzdžiui, elementą au = 2. Kadangi visi galimi antrosios bei trečiosios eilės minorai lygūs nuliui, tai rang A = 1. •
Apskaičiuojant matricos rangą, patogu naudotis šia rango savybe: jei visi A-tosios eilės minorai lygūs nuliui, tai ir (& + l)-osios eilės minoras lygus nuliui. Taip yra todėl, kad (£ + l)-osios eilės determinantą galima išreikšti A-tosios eilės minorų, lygių nuliui, skleidiniu. Tada ir pats (A" + l)-osios eilės determinantas bus lygus nuliui. "12 2 pavyzdys. Apskaičiuokime matricos A =
4
-3"
6
-4
3
5
4
5 - 2
5
8
24
3
rangą.
-19
Sprendimas. Matrica turi pirmosios eilės minorą, nelygų nuliui. 2 Kadangi = - I v t O, tai matrica A turi antrosios eilės minorą, nelygų 3 5 nuliui. Apskaičiavę visus galimus trečiosios eilės minorus (o jų yra iš viso 16), sužinome, kad jie visi lygūs nuliui. Tada ir ketvirtosios eilės determinantas lygus nuliui. Vadinasi, rang A = 2 . A Iš šio pavyzdžio matyti, kad apskaičiuoti matricos rangą, tiesiogiai remiantis jo apibrėžimu, yra gana sunku. Kitame skyrelyje išnagrinėsime paprastesnį matricos rango skaičiavimo būdą, pagrįsta elementariaisiais matricos pertvarkiais. Bet pirma suformuluosime dar keletą savaime aiškių matricos rango savybių. 1. Jei išbrauksime kurią nors matricos eilutę arba stulpelį, tai gautos matricos rangas bus lygus pradinės matricos rangui arba vienetu mažesnis. 2. Jei prie pradinės matricos prijungsime eilutę arba stulpelį, tai gautos matricos rangas bus lygus pradinės matricos rangui arba vienetu didesnis. 3. Jei išbrauksime matricos stulpelį ar eilutę, sudarytą iš nulių, arba tokį stulpelį ar eilutę prijungsime prie matricos, tai jos rangas nepakis.
1.8. Elementariųjų matricos pertvarkių panaudojimas apskaičiuojant matricos rangą Elementariaisiais matricos pertvarkiais vadinami šie pertvarkiai: 1) matricos eilutės (stulpelio) daugyba iš skaičiaus, nelygaus nuliui; 2) matricos eilutės (stulpelio), padaugintos iš nelygaus nuliui, skaičiaus pridėjimas prie kitos matricos eilutės (stulpelio); 3) dviejų matricos eilučių (stulpelių) sukeitimas vietomis. Tarp pertvarkytų matricų rašysime ženklą reiškiantį, kad viena matrica gauta iš kitos elementariaisiais pertvarkiais. Be įrodymo suformuluosime teoremą, kuria pagrįstas matricos rango skaičiavimas.
Teorema. Elementarieji matricos pertvarkiaijos -2
8
4 Pavyzdys. Raskime matricos A
rango nekeičia. 7
6
3 - 1 2
5
rangą.
7 - 8 5
6
-5
-8
-4
-6
-11
15
-8
Sprendimas
A=
- 2
8
7
26
29
7
4
3
-1
O
O
-1
5
7
-27
-17
- 8
6
-5
-26
-29
- 8
54
34
15
- 6
-11
15 Γ
Θ
26
29
О
20
О
О
-1
О
-27
-17
-11
-26
-29
54
34
о о о
О
-20 22
Atkreipsime dėmesį į vieną įdomų dalyką. Pridėdami antrąją eilutę, padaugintą iš 7, - 8, 15, atitinkamai prie pirmosios, trečiosios ir ketvirtosios eilutės, trečiajame stulpelyje gavome nulius (išskyrus antrojoje eilutėje esantį - 1), o kiti matricos elementai liko nepakitę. Vadinasi, jei visi eilutės (ar stulpelio) elementai, išskyrus tik vieną, lygūs nuliui, tai, ieškant matricos rango, į šonus (arba į apačią ar viršų) nuo to elemento galima automatiškai surašyti nulius. 26
29
0
20"
0
0
-1
-27
-17
0 0
CO
"26
29
0
20
0
0
0
-1
0
0
-11
-1
12
0
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
26
341
0
0
O
254
- 1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0
0
1 0
l
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1 0
0
о
O
0 - 1 0
- 1 0
0
0 0 0 0 о
l
0
0 - 1 0
о
0 0 0 0 oj
|_о
о
о
о
Kadangi jos įstrižainėje yra 3 vienetai, tai trečios eilės determinantas 1
0
0
0
1
0 φ 0 . Jį aprėpiantys ketvirtos eilės determinantai lygus nuliui, nes
0
0
1
turi eilutę (arba stulpelį) sudarytą tik iš nulių. Vadinasi, rang A = 3.
2. Apskaičiuokite m ir n, kai A4xm • S 3 x 7 = C4xn . 3. Duotos matricos Λ 3 χ 4 , S 4 x | , C 4 x 4 . Ar turi prasmę šios jų sandaugos:
a) AB; b) BA- c) AC; d) CA; e) ABC; f) ACB? 4. Sudauginkite matricas: a)
3
1
2
Γ c) Įl
2
-4
-3
1 4
1 ;
b)
7
-5j· - 2
-1
Q-
o A=
= E , kai E- vienetinė matrica,
-7
-3
2
6
4
1
0
-2
1
5
4
3
2
-4
I
0
5
5. Raskite ite ( α β \ , kai
A=
-3
1
4
2
5
7
,
7
-1
0
B= 2 4
-2
3
-5
8
įsitikinkite, kad [ a b \ = BtAT. 6. Apskaičiuokite šiuos determinantus:
a)
e)
1
-7
2
5
3
-1
2002 ; b)
2003
2
4
5
1
0
9
9
13 - 1
17
4
1 2 7
-3
2
1
; c) - 4 1991 1
5
2
6
-2
1990
- 1 2
3
;
4
3 - 2 1 2 ; f)
8
0
4
1
-6
2
3
3
7
0
-2
d) I 2
4
-3
6
5
- 6
1
4
3
g)
-3
6
-9
1
7. Raskite šių matricų atvirkštines matricas:
a)
4
3
1
3
3
0 ; b) 1 - 3 3 1 1
1
0
1
2
-5 3
; c)
-2
3 - 5
2
1
8
4
5
-3
1
1 1 1 1 0
d)
1 1 1
0
0
0
0
11 0
1
8. Raskite matricąX, kai AX+ B =C, o 2
-1
3
A= 4
2
0
0
5 , 1
I B= 2 1
-1 6 , 4
-1
0
5
6
0
-1
C=
9. Apskaičiuokite šių matricų rangą: 3 a)
2 0
1 d)
2 0
1 -
4
b)
5
3
-I
0
1 -1 I
2
4
1
2 5
5 -4
-4
1 2 1 -1
2
1
2
3
-1
0
1 -1
1
2
4
1
3
-2
1
5
5 -4
-4
3
4
0
1
8
7 -7
-8
; e)
; c)
4
3
8
6 - 7 4
-5
4
3
-8
4
3
1
8
2
3 2
2
7 2 - 5
6 - 1 4 - 6
0
TIESINĖS LYGČIŲ SISTEMOS
2.1. Pagrindinės sąvokos Nagrinėkime sistemą, sudarytą iš m lygčių su n nežinomųjų: a
\ \ x \ + «12*2 + - +
V »
«21*1 +«22*2 + ... + «2,Л, = b 2 , +· • + amnxn
a
IiiIxI + am2x2
(D
mi
čia cijj,bį (i = 1, m\ j = 1 , « ) — r e a l i e j i skaičiai. Skaičiai aц vadinami sistemos koeficientais, bj — laisvaisiais nariais, χ j — nežinomaisiais (arba kintamaisiais). Ši sistema vadinama tiesinių
lygčių sistema
arba, trumpiau,
tiesine
sistema, nes j ą sudarančios lygtys yra tiesinės (pirmosios eilės) nežinomųjų Xj atžvilgiu. Bendruoju atveju lygčių skaičius m nebūtinai sutampa su nežinomųjų skaičiumi n. Kai visi laisvieji nariai b , = O (/ = 1,/м), sistema vadinama lygčių sistema, o kai bent vienas Л, ^ O — nehomogenine
lygčių
homogenine sistema.
Matrica
A=
«II
«12
«I»
«21
«22
«2 n
a
a
wl
m2
···
«/»
sudaryta iš sistemos koeficientų, vadinama sistemos matrica, o matrica
A=
«II
«12
«1«
«21
«22
«2 π
«ml
«m2
gauta iš A, prijungus prie jos laisvųjų narių stulpelį, — išplėstąja matrica. Nagrinėkime dar dvi matricas stulpelius:
V
x\
b2
x
2
X =
sistemos
,
B =
x
h
n
m
Kadangi matricos A ir A" yra suderintosios, tai galima rasti jų sandaugą «11*1 + CI12X2+••• AX
=
«21*1 + « 2 2 * 2
a
m\x\
+ a
m2x2
+
+
+ainxn
· · · + «2«*»
+
--
a
mnxn
Matome, kad šios matricos stulpelio elementai yra (1) sistemos lygčių kairiosios pusės. Remdamiesi matricų lygybės apibrėžimu, (1) sistemą galime trumpai užrašyti matricine lygtimi AX=B.
Apibrėžimas. Tiesinės lygčių sistemos sprendiniu vadinamas skaičių rinkinys U|,a2, α „ , kurį įrašę vietoj nežinomųjų x | , x 2 , . . . , x „ , iš kiekvienos lygties gauname teisingą lygybę. Sprendinį žymėsime trejopai: kaip tašką
(α,;α2;...;α„); α, Ct 2
kaip matricą stulpelį
kaip matricą eilutę
[α I
«2
...
ο ν Γ
1 pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą Vlx-Ъу
= 13,
j χ + 2y = 3. Sprendimas.
Antrąją lygtį padauginę iš - 2 ir sudėję su pirmąja, turime:
-Iy = 7, y = - 1 . Tada χ = 5. Taigi sistema turi vienintelį sprendinį (5; -1).
•
2 pavyzdys. Sistema 3 x - 4 y = 5, - 2x-3y
= 4,
5x + y = 7 neturi sprendinio, nes skaičių pora (—1; —2), tinkanti pirmosioms dviem lygtims, netinka trečiajai lygčiai (gauname neteisingą lygybę - 7 = 7). • 3 pavyzdys. Sistema, sudaryta iš vienos lygties I x - y + 2z = 4 , turi be galo daug sprendinių. Iš tiesų, išreiškę y nežinomaisiais χ ir z, gauname y = lx +
2z-4.
Laisvai pasirinkę χ ir r reikšmes, apskaičiuosime atitinkamą y reikšmę. Pavyzdžiui, kai χ = 1, o z = 2, tai y = 7; kai χ = - 1 , z = 2, tai y = - 7 ir t. t. Skaičių trejetai (1; 7; 2), (—1; —7; 2) ir kt. yra šios sistemos sprendiniai. Bendruoju atveju rašysime taip: jei parenkame χ = α , z = β (α, β — realieji skaičiai), tai y = 7α + 2β - 4 . Vadinasi, visi sistemos sprendiniai apibūdinami skaičių trejetais: (α; 7 a + 2 β - 4 ; β]. Šie sprendiniai sudaro aibę {(α; 7α + 2β - 4; β) I a , β e /?}. • Iš šių pavyzdžių matyti, kad tiesinė lygčių sistema gali turėti vieną sprendinį, be galo daug sprendinių arba jų visai neturėti. Sistema, turinti sprendinį, vadinama suderintąja, o neturinti sprendinių — nesuderintąja. Suderintosios sistemos dar skirstomos į apibrėžtąsias (turinčias vieną sprendinį) ir neapibrėžtąsias (turinčias be galo daug sprendinių). Dvi sistemos vadinamos ekvivalenčiosiomis, kai bet kuris vienos sistemos sprendinys kartu yra ir kitos sistemos sprendinys, ir atvirkščiai. Taigi ekvivalenčiųjų sistemų sprendinių aibės sutampa. Elementariaisiais
tiesinių lygčių sistemų pertvarkiais vadinami šie:
1) abiejų bet kurios sistemos lygties pusių dauginimas iš to paties skaičiaus, nelygaus nuliui; 2) vienos sistemos lygties, padaugintos iš skaičiaus, nelygaus nuliui, pridėjimas prie kitos sistemos lygties. Aišku, kad, užuot elementariai pertvarkius lygtis, galima elementariai pertvarkyti praplėstosios matricos eilutes. Nesunku įrodyti, kad, elementariai pertvarkę tiesinę lygčių sistemą, gauname jai ekvivalenčią sistemą.
2.2. Neišsigimusiųjų tiesinių lygčių sistemų sprendimas atvirkštinės matricos metodu Nagrinėkime n tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistemą anx\
+ αηχ2
+
· · · + α\ηχη
=
a2\X\+ Ci11X1 +... + O2l1Xn = b2,
+a
n2x2
+ --- + aIinxIi
(2)
-b„,
kurios matricinė išraiška yra AX = B;
(3)
čia A — kvadratinė matrica, būtent a
W
A=
«12
· • «1»
X, x
«21
«22
· • «2 и
«»1
an 2
.
2
Qfm
V ,
B=
Xn
h h
n
Tarkime, kad det A = А φ ( ) . Tada (2) sistema vadinama priešingu atveju — išsigimusią/a.
neišsigimusią/a,
Kai det ΑΦ O, kvadratinė matrica A turi atvirkštinę matricą A~\
nusako-
mą formule AU
A11
...
ANL
A12 i det A
A11
...
AN 2
n
A
2n
Išspręskime (3) matricinę lygtį, padaugindami iš kairės abi jos puses iš A-': A'X[AX)=A~XB Kadangi A 1(AX)=(
A '/IjAr =
.
= X , tai (3) lygties sprendinys
X = A~'B . (4) formulė yra (2) lygčių sistemos sprendinio matricinė išraiška.
Pavyzdys. Atvirkštinės matricos metodu išspręskime lygčių sistemą 5x+2y
+ 3z = 9,
χ + 2y-
z = 5,
3x + y-5z
Sprendimas.
= -16.
"5
2
3"
" 9 "
A= 1
2
3
1
- 1 , B = 5 , X = У , detA = - 5 6 , -5 -16 z A21
Au 1
A- = • Al det /1
A
3,
Al
A32
A
A
23
Аз
X
J_ 56
33
-9
13
2
-34
-5
1
Tada = ^
X =
= - L 56
-9
13
9
2
-34
5
-5
1
-16
18-170-128
112 J_ 56 - 2 8 0
- 4 5 + 5-128
-168
- 8 1 + 65 + 128 _1_
56
Taigi χ = - 2 ,
y = 5,
- 2
5 3
z=3.
Atsakymas: (—2; 5; 3). A
2.3.Kramerio* f o r m u l ė s Šios formulės taikomos, sprendžiant n tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų, kai tos sistemos determinantas nelygus nuliui, t. y. kai (3) sistema yra neišsigimusi. I (5) formulę įrašykime matricų išraiškas:
x
2
1
Au
A21
Al
A12
A2 2
4.2
41«
42»
det A Xn
" Gabrielis Kramcris (G. C r a m e r , 1 7 0 4 - 1 7 5 2 ) — šveicarų matematikas.
M l l + M 2 1 + • . + bnAn! M l 2 + b2A22
1
x
2
+. • + M » 2
det A Xn
hA\
b A
n +
2 2n+·
•+
b A
n nn
lš čia, pažymėję det A simboliu Δ , gauname: +b A
=τ(Μΐΐ Δ
+
2 2i
··· + Μηΐ)>
+ Ь А
2 2г,+---
Xn = t(MI« Δ
+
Ь А
п ш)·
Taigi, kai Δ φ O , tai su bet kuriuo j = 1, n x
= į ( M i J + M
J
/ + ··· + M » / ) ·
2
(5)
Matome, jog reiškinys b]A]j+b2A2j+... lygus adjunktų AI J, A2J,...,
и-tąją eilutę bei/-tąjį stulpelį, ir elementų b\,b2,...,bn
sandaugų sumai. Todėl
šis reiškinys lygus determinantui det A, kuriame j'-tasis jo stulpelis yra pakeistas laisvaisiais nariais. Vadinasi, -aI7-I
b
«21 «22 ··· « 2 / - I
b
«11 /
«12
I «1/41 - "In
2 «2/+Ι
·· «2n
"nI
«n2
···
a
b
nj~I
n
a
nj+\
·••
«ии
Turėdami galvoje (7) žymėjimą, iš (6) formulės gauname: Δ: JC/=-^-,
'
Δ
— У = 1,и.
(7)
Vadinasi, kai и tiesinių lygčių sistemos su n nežinomųjų determinantas nelygus nuliui, ši sistema turi vienintelį sprendinį, randamą pagal (7) formules. Šios formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Pavyzdys. Taikydami Kramerio formules, išspręskime lygčių sistemą Ix - 8 v + 4z = 27, • 3x + 2 y - z = - 2 , 5x + y + 3z = 13.
2.4. Kronekerio* ir Kapelio** teorema Nagrinėkime m tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistemą, nusakomą (1) formulėmis. Be įrodymo suformuluosime tokios sistemos suderintume kriterijų, vadinamąją Kronekerio ir Kapelio teoremą. Kronekerio ir Kapelio teorema. Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada. kai sistemos matricos A ir jos išplėstosios matricos
A
rangai
sutampa: rang A = rang A . 1 pavyzdys. Įrodykime, kad sistema 3x - 4 v + 5z - 6t = -33, χ + Iy - 3z + 4t = 34, 7x - 2_v - 4z + / = 14 yra suderinta. Sprendimas. Užrašykime pradinės sistemos matricą A ir išplėstąją matricą A:
A
=
3 - 4
5
1
7
-3
7
-2
-4
A
=
-4
5
7
-3
4
34
-2
-4
1
14
- 6 -33
Apskaičiuokime rang A ir rang A :
Leopoldas Kronckeris (L. Kronecker, 1 8 2 3 - 1 8 9 1 ) — vokiečių matematikas. A l f r e d a s Kapelis (A. Capelli, 1855—1910) — italų matematikas.
5 - 6-33
3 - 4 A =
1 7 - 3 4 7 - 2 - 4
-25
14
1
-7,
14
-18 -135
7 - 3
4
17
-27 -224
0
-25
14
-18 -135
1
О
О
О
О
О
-1
-11
9
46
О
261
1 0
-18 -135
34
-51
О
-3
34
0
О
О
-51
17
0
0 0
0 0
1 0
1 0
Θ
261
- Ъ
-1285
0
0
0
-11
9
46
1
-Ι-
0
Ο
0 - 1 0 0 1 0
1 0 0
0
-27 -224
0 о 1 о 0 -1
9 0
0
О
-243 -1285
0 - 1 0 0
1
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0 1 0
Taigi rang А = rang A = 3, todėl pradinė sistema yra suderinta. 2 pavyzdys, {rodykime, kad sistema 2x - 6 y + 9 z = 22, x + 5y-z
Kadangi rang A = rang A = 2 , tai sistema yra suderinta.
0
0 0
Spręsdami pavyzdžius įsitikinsime, kad suderintoji tiesinių lygčių sistema turi vieną sprendinį, kai matricų A ir A rangas lygus nežinomųjų skaičiui ir be galo daug sprendinių, kai matricų A ir A rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių. 1 pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą Ъх-ly
+ z = -4,
x + 2y-2z
= 10,
<2x + 5 y + 2z = 3, 2x- y-T z = 24, 5x + 4 v = 14. Sprendimas. Raskime rang A ir rang A . 3
1 -4
-7
1
2 - 2
A= 2
5
2
-1
5
4
0
-13
1
0
0
1
- 6
1
2
10
7 -34 -2
10
0
1
- 7 24
0
-5
-3
14
0
-6
10 - 3 6
2
0
7 -34
0
0
0
1
0
0
6 -17 4
85 - 2 5 5 0
0
6
-17
0
1
0
0
27 - 8 1
10 - 3 6
0
0
46 - 1 3 8
255
0 0 0
о
0 0 0
1
O O
о
1
о
O 1 O
о
О
1 о
6 -17 4
1
0
0
0
1
0
o
-3
0
-13
3
-3 0
0
S - 138
85 ) Į - 4 6 )
O O 1 О О О
- 3 о
о
О О 1 О О О
Taigi rang А = rang А = 3. Sistema yra suderinta. Kadangi pirmoji ir paskutinioji matricos eilutės sudarytos iš nulių, tai pirmoji ir paskutinioji sistemos lygtys yra kitų lygčių išvada, todėl jas atmetame. Turime išspręsti sistemą
χ + 2γ-2ζ
= 10,
• 2x + 5y + 2z = 3, 2χ - у - Ίζ = 24, sudarytą iš trijų lygčių su trimis nežinomaisiais. Taikysime Kramerio formules. Apskaičiuojame: 1 2 - 2 A= 2
5x] - 5x3 + 6x4 = 17, 8x] - H x 2 +6x3 - I O x 4 = 9 . Sprendimas.
A=
Raskime rang A ir rang A .
1
2
-3
4
6
1
2
-3
3
-4
1
-2
5
0
-10
10
-14 -13
5
0
-5
6
17
0
-10
10
-14 -13
8
-14
6
-10 9
0
-30
30
-42 -39
1
2
-3
6
0
-10
10
-13
0
0
0
0
0
0
4
0
6
1 0
0
O -10
10
O
0
0
0
0
0
O
0
0
0
0
0
0
- 1 4 -13
99
1
0
0
00
1 0
0
00
0
-10
0
00
0
0
0
1 0
00
00
0
0
0
0
00
0
0
0
00
0
0
0
00
Kadangi rang A = rang A = 2, tai pradinė sistema yra suderinta. Ji ekvivalenti sistemai, sudarytai iš pirmųjų dviejų lygčių. Taigi turime sistemą, sudarytą iš dviejų lygčių su keturiais nežinomaisiais, todėl du nežinomuosius, pavyzdžiui X3 ir X4 laikome laisvaisiais, galinčiais įgyti bet kokias realias reikšmes. Juos perkėlę į dešiniąją pusę, gauname tokią sistemą: X1 + 2x 2 = 6 + 3x 3 - 4x 4 , 3X] - 4X2 = 5 - X3 + 2X4. Pritaikome Kramerio formules: 6 + 3x 3 - 4x 4
2
5 - X3 + 2x 4
-4
χ, = -
1
2
3
-4
1
6 + 3 3 - 4x 4
3
5 - X3 + 2X4
X2 = 1
2
3
-4
- 34 - 1 Ox3 +1 2x 4 -10
- 1 3 - IOx3 +14x 4 -10
= —(17 + 5x 3 - 6 x 4 ) ,
= — ( l 3 + 10x3 - M x 4 ) .
Laisviesiems nežinomiesiems x 3 ir x 4 suteikime bet kokias realiąsias reikšmes: x 3 = α ,
X4 = β ; čia α, β e R. Tada sistemos sprendinį užrašysime
taip: — (l7 + 5α - 6β); — ( l 3 + IOa - 14β);α; β α , β e R >. Sistema turi be galo daug sprendinių. Visi jie gaunami įrašius į sprendinį bet kokias realiąsias α ir β reikšmes. A
2.5. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso* metodu Gauso metodu galima spręsti bet kurią tiesinę lygčių sistemą. Jis patogus tuo, kad nereikia iš anksto tirti, ar lygčių sistema yra suderinta, ar nesuderinta, ar apibrėžta, ar neapibrėžta, nes visa tai paaiškėja sprendžiant. Gauso metodas — tai nuoseklaus nežinomųjų eliminavimo (lot. eliminare — išskirti, išstumti, pašalinti, panaikinti) metodas. Nežinomieji eliminuojami per keletą kartų, elementariai pertvarkant sistemos auxi + Cti2X2+••• +ainx„= O2iXi +a22x2+
b],
... + a2nxn
= b2,
(8)
a
m\X\ + am2x2 + · · · + amnxn = bn
lygtis. Pirmuoju žingsniu iš visų lygčių, išskyrus pirmąją, eliminuojame X\ ir toliau pirmosios lygties nebenaudojame eliminuodami kitus nežinomuosius. Antruoju žingsniu iš visų kitų lygčių, išskyrus antrąją, eliminuojame X2 ir 1.1. Sprendžiant (8) sistemą, patogiau pertvarkyti ne jos lygtis, o išplėstosios matricos a
W
a
a
2\
a
a
m\
a
A=
\2
"In a
22
2n
a
m2
w
b
-
eilutes. Elementariaisiais eilučių pertvarkiais matrica A pakeičiama laiptuota matrica «11
«12 «22
«13 «23
«S? O
«Ir
2r (2)
«1«
O(D 2n
«3/
.(2) 3n
>-1)
()—1)
2 ь(2)
(' b):
i)
(r)
b°r+1
Karlas Frydrichas Gausas (C. F. Gauss, 1777-1855)— vokiečių matematikas, astronomas, fizikas.
kuri apibudina lygčių sistemą Ci11JC1 +<7,2*2 + a I 3*3 + ··• + a\rxr J Dx v . a 22 2
, JDv. +
+--- + OinXn
=
b{,
^ aJ D x
+ « 2 3 3 + • · · + 2r r • 2» » — 2 ' J2) J 2 ) v _a(2) a(2), x 33 3 + · · · + I r I - + ••• + «з„
fl
J1r - D +O ^ - n Xл/7 =A "ί'/J "r '
«<Γη XF +
υ0 · χ
+ l '
ekvivalenčią pradinei (8) sistemai. Cia koeficientai O 1 ^ a 2 2 ,
Jr-D Я33',..., a)' r
nelygūs nuliui. Galimi trys atvejai: lygčių sistema turi vieną sprendinį, neturi nė vieno sprendinio, turi be galo daug sprendinių. Su jais susipažinsime spręsdami pavyzdžius. 1 pavyzdys. Gauso metodu išspręskime lygčių sistemą 3 x | - 2 X 2 + 4хз = - 8 ,
2x] + 7X 2 - 5x 3 = 26, X1 - 3x 2 + 8x 3 = - 2 5 . Sprendimas. Parašome išplėstąją sistemos matricą A , pirmojoje jos eilutėje surašydami trečiosios lygties koeficientus, ir ją elementariai pertvarkome taip, kad pirmajame stulpelyje po vienetu likusieji elementai būtų lygūs nuliui: 1
2.6. Homogeninės tiesinės lygčių sistemos Nagrinėkime homogeninę lygčių sistemą, t. y. tokią sistemą, kurios visi laisvieji nariai lygūs nuliui: Я] JX1 + Oj2X2 + ... + OinXn = O, O21X1 + tf22x2 +... + a2nx„ = 0 ,
Om 1*1 +Om2X2 +... + OmnXn = 0 . Ji visada yra suderinta, nes visais atvejais rang A = rang A . Todėl ši sistema turi arba vieną sprendinį, arba be galo daug sprendinių. Homogeninei lygčių sistemai visada tinka nežinomųjų reikšmės X\ — X2 — ... — Xn = O . Sprendinys (0; 0; ...; 0) vadinamas (10) sistemos nuliniu, arba trivialiuoju (lot. trivialis paprastas), sprendiniu. Homogeninę lygčių sistemą spręsime Gauso metodu. 1 pavyzdys. Išspręskime homogeninę lygčių sistemą 3x - 4y + 4 z = O, 2x + 3y - 5z = O, : — 7y + 8z = 0. Sprendimas. Pertvarkome matricą A : 3
-4
4 0
1 -7
2
3
-5 0
2
3
-5 0
1 -7
8 0
3
-4
4 0
1 -7
8 0
8 0
1 -7
0
17
-21 0
0
17
0
17
-20 0
0
0
Pertvarkyta matrica A apibudina lygčių sistemą x - 7 j > + 8z = O, \ly-2\z
= Q, 1·ζ = 0,
kurios sprendinį gauname išsyk: z = 0, y = 0 ir χ = 0. Atsakymas: (0; 0; 0). A 2 pavyzdys. Išspręskime homogeninę lygčių sistemą 3x| - 2x 2 + 2x 3 - 5x 4 = 0, Xl - X2 + 2x 3 - xą = 0, 2x| - X 2 - 4X4 = 0, 4xį - 3x 2 + 4x 3 - 6x 4 = 0. Sprendimas
A
=
3
-2
2
1
-1
2
-5 0 η -1 0 J
2
-1
0
-4 0
4
-3
4
-6 0
1
-1
0 0 0
2
-1
2
-3Y-2Y-4
•2 2 -1
0
4 - 3
4 - 6
-1
2
-1 0
0
1
-4
-2 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0
-1 0
1
1
-4 -2 0
1
-4 -2 0
1
-4 -2 0
Tokia matrica apibūdina lygčių sistemą X| - X2 + 2x 3 - X 4 = 0 , I
x
2 ~~ 4*3
_
^x4 = 0.
Ji yra suderinta, nes r = rang A = rang A = 2 . Gavome r < и, todėl sistema turės be galo daug sprendinių. Laisvaisiais nežinomaisiais parinkime x 3 = a , x 4 = β ; čia α , β - bet kokie realieji skaičiai. Tada X | - X 2 = - 2 α + β, X2 = 4 a + 2β Atsakymas:
ίχ| = X 2 - 2 a + β = 2 a +3β, j x 2 = 4 a + 2β.
i (2a + 3β;4α + β; α; β) Įa, β € R j .
Uždaviniai 1. Šias tiesines lygčių sistemas išspręskite atvirkštinės matricos metodu:
3x + y-2z = -4, χ + 4 v +14z = O, χ — y + z = —2, a) χ-γ + 7ζ = 10, b) 3 x - 2 y - 4 z = 11, c) 2x + y-2z = 6, 7x + 6_y + 28z = 15; 2 x - 4 . y + 8z = 2; χ+2γ + 3ζ = 2. 2. Šias tiesines lygčių sistemas išspręskite taikydami Kramerio formules:
3x + y-z = \\, 3x + 2 v - 5z = - 1 7 , + z = O, a) 2x+7y+z = —1, b) 2x + 5x +11 y + 3z = 2; x-6y-2z = 12; 3. Ištirkite išspręskite:
5. Išspręskite homogenines tiesines lygčių sistemas: 2 x + y - 5 z = 0,
3x - 2 v + 5z = O,
a) 4x + y -Iz = Q, χ + 2 y + 6z = 0;
b)
2x - 5 y + z = O,
χ - 3 y + 2z = O, 3x + 2 ^ - z = 0, 3x - 5 v + 8z = 0;
χ + ^ - 3z = O, c)
x - l 3 . y + l Iz = O, χ - 3 y + z = 0.
VEKTORINIS SKAIČIAVIMAS 3.1. Vektoriaus sąvoka Matematikoje, fizikoje, technikoje ir kitur dydžiai skirstomi į dvi rūšis. Tie dydžiai, kuriems apibūdinti užtenka vieno skaičiaus, vadinami skaliariniais. Prie jų priskiriami pavyzdžiui, kūno tūris ir masė, aplinkos temperatūra. Tačiau tenka nagrinėti ir kitos rūšies dydžius, apibūdinamus ne tik skaitine reikšme, bet ir kryptimi. Jie vadinami vektoriniais (lot. vector — vežėjas, nešėjas), kaip antai, judėjimo greitis, pagreitis, jėga. Vektoriniai dydžiai paprastai vaizduojami kryptinėmis atkarpomis, nurodant tų atkarpų pradžią ir pabaigą. Apibrėžimas. Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Vektorių, kurio pradžios taškas yra A, o galo taškas — B, žymėsime AB . Kartais vektorius žymimas viena raide a, b ir t. t. Taip pat vartojamas žymuo be rodyklės, tačiau tada vektorius rašomas riebiu šriftu: a, b ir 1.1. Nagrinėsime laisvuosius vektorius, t. y. vektorius, kuriuos galima perkelti lygiagrečiai su jais pačiais. Taigi bet kuris vektorius AB reprezentuoja visą aibę vektorių, gaunamų iš jo lygiagrečiuoju postūmiu. Toliau laisvuosius vektorius vadinsime tiesiog vektoriais, bet visada turėsime galvoje, kad kiekvieną vektorių galima perkelti lygiagrečiai su juo pačiu. Kalbėdami apie vektorius, vartosime plokštumos ir erdvės vektorių sąvokas. Vektorius, kurio pradžios bei galo taškai sutampa, vadinamas nuliniu vektoriumi ir žymimas O . Vektoriaus AB ilgiu, arba moduliu, ilgis. Vektoriaus ilgis žymimas taip:
vadinamas kryptinės atkarpos AB
AB , |<5|,
Nulinio vektoriaus ilgis
lygus nuliui. Du nenuliniai vektoriai a ir b , esantys lygiagrečiose tiesėse (arba toje pačioje tiesėje), vadinami kolineariaistais.
Žymime a | h . Kolinearieji vekto-
riai gali būti vienakrypčiai arba priešpriešiniai (3.1 pav.).
b h
Vienakrypčiai vektoriai
Priešpriešiniai vektoriai 3.1 pav.
Du vienakrypčiai vektoriai a ir b vadinami lygiaisiais, kai | a | = \b Nulinis vektorius laikomas kolineariu su bet kokiu vektoriumi. Trys nenuliniai vektoriai a, b ir c vadinami komplanariaisiais,
kai jie
yra lygiagretūs su ta pačia plokštuma. Kitaip tariant, vektoriai a ,b ,c yra komplanarūs, jei egzistuoja plokštuma, kuriai jie visi priklauso (išsyk arba po lygiagrečiojo postūmio). Trys vektoriai, kurių vienas yra nulinis, laikomi komplanariais.
3.2. Tiesinės vektorių operacijos Vektorių aibėje apibrėžiamos šios tiesinės operacijos: vektorių sudėtis bei atimtis, vektoriaus daugyba iš skaliaro. Tarkime, kad duoti vektoriai a ir b . Pasirinkime bet kurį tašką A ir nuo jo atidėkime vektorių AB = a , paskui nuo taško B — vektorių BC = b (3.2 pav.).
3.2 pav. 1 apibrėžimas. Vektorius
3.3 pav. AC, jungiąs
vektoriaus
a pradžią su vekto-
riaus b galu, vadinamas vektorių a ir b suma a + b . Sis apibrėžimas nusako vadinamąją vektorių sudėties trikampio taisyklę. Vektorius galima sudėti ir pagal lygiagretainio taisyklę. Ją iliustruoja 3.3 paveikslas. Trikampio taisyklę nesunku apibendrinti, kai duotas baigtinis kiekis vektorių a \ , a 2 , . . . , a „ . Šių vektorių suma yra grandis OA11, uždaranti laužtę OA1A2 ...A17 (3.4 pav.).
3.4 pav.
3.5 pav.
Vektorius - b vadinamas priešingu vektoriui b , kai jie yra vienodo ilgio ir priešingų krypčių.
2 apibrėžimas. Vektorių a ir b skirtumu lygus vektorių a ir-b
a - b
vadinamas
vektorius,
sumai (3.5 pav.).
Vadinasi, kai vektoriai a ir b turi tą pačią pradžią, tai vektorius
a - b
jungia vektorių a ir b galus ir yra nukreiptas į vektoriaus a galą. 3 apibrėžimas. Nenulinio vektoriaus vadinamas
vektorius
b = aa,
turintis
a ir realiojo skaičiaus a sandauga vektoriaus
priešingą kryptį, kai a < 0. To vektoriaus ilgis |й| =
a kiyptį,
kai a > O, ir
|а|-|а|.
Iš apibrėžimo išplaukia, kad vektoriai a ir b = a a yra kolinearūs. Teisingas ir atvirkščias teiginys: kai nenuliniai vektoriai a ir b yra kolinearūs, tai egzistuoja realusis skaičius α Φ 0 , su kuriuo teisinga lygybė b = aa. Nenulinio vektoriaus a vienetiniu vektoriumi, arba ortu, vadinamas vektorius a a = . n
I fl I
Iš čia aišku, kad ortas a" ir vektorius a yra vienakrypčiai, tik orto ilgis lygus vienam matavimo vienetui, taigi
= 1.
Apibrėžėme tris vektorių operacijas, kurios vadinamos tiesinėmis. Šioms operacijoms būdingos tokios savybės. 1. Vektorių sudėtis tenkina komutatyvumo (perstatomumo) dėsnį: a+b 2.
=b+a.
Vektorių sudėtis tenkina asociatyvumo (jungiamumo) dėsnį: (a + b)+ c = a + (& +c).
3.
Vektoriaus daugyba iš skaičiaus tenkina asociatyvumo dėsnį: α(βα)=(αβ)α;
čia α, β - realieji skaičiai. 4. Vektoriaus daugyba iš skaičiaus tenkina distributyvumo (skirstomumo) dėsnį skaičių sudėties atžvilgiu: (α + β)α = α ο + β α ; čia α, β - realieji skaičiai. 5. Vektoriaus daugyba iš skaičiaus tenkina distributyvumo dėsnį vektorių sudėties atžvilgiu: α (a + b)= aa + ab ; čia а - realusis skaičius.
smailusis kampas lygus —. Vektorių 4 AD išreikškime vektoriais a = AB ir E=BC.
"
Sprendimas. Kadangi BAD =
3.6 pav.
, tai AB\ = C\D =
a j.
Tuomet AD
BC
Vektoriai BC ir AD yra kolinearus, todėl AD = AD
BC =
M+
2 pavyzdys. Nuo taško O atidėti du vektoriai: OA = a ir OB = b . _ Raskime vektorių OM, nukreiptą kampo AOB pusiaukampine (3.7 pav.).
Bf
kai \ОМ\ = c . O
aa
A
3.7 pav. Sprendimas.
Vektorių OA ir OB ortus pažymėkime atitinkamai a° ir
b ° . Tada a
a = —r
Nubraižykime lygiagretainį, kurio kraštinės sutampa su vektoriais a° ir b°. Kadangi šio lygiagretainio kiekvienos kraštinės ilgis lygus 1, tai lygiagretainis yra rombas. Jo įstrižainė ON kartu yra ir kampo BOA pusiaukampine. Pagal lygiagretainio taisyklę,
ON = 3° +b" = A +
A.
Vektoriaus ON ortas ά
b
r + -j r
IaI H
ON ON
b
ά
I -I+ T 4
H H Kadangi OM || ON" , tai a
b
ά
b
μ ei
+
b b\
3.3. Vektoriaus projekcijos Žinome, kad ašimi vadinama tiesė, kurioje nurodyta kryptis. Kampu tarp dviejų vektorių (arba tarp vektoriaus ir ašies, arba tarp dviejų ašių) vadinsime mažiausią kampą φ, kuriuo reikia pasukti vieną vektorių (ašį), kad jo kryptis sutaptų su kito vektoriaus (ašies) kryptimi. Aišku, kad kampas φ tenkina sąlygą O < φ < π (3.8 pav.).
/
/
3.8 pav. Sakykime, duotas vektorius AB ir ašis /. Per taškus A ir В nubrėžkime plokštumas, statmenas ašiai / (3.9 pav.).
Ii' 3.9 pav.
D' 3.10 pav.
Plokštumų ir ašies / sankirtos taškus pažymėkime A' ir B'. Kadangi BB'H ir AA'Ll, tai taškai A' ir B' yra taškų A ir B ortogonaliosios projekcijos ašyje /. Apibrėžimas. Vektoriaus AB projekcija ašyje I vadinamas atkarpos A1B' ilgis su pliuso ženklu, kai kryptis iš A' į B' sutampa su ašies I kryptimi, arba su minuso ženklu, kai šios kryptys yra priešingos. Vektoriaus a projekcija ašyje / žymima taip: pr/a. Iš 3.10 paveikslo matyti, kad pr/ AB > O , o pr/ CD < O. Taigi kai vektorius su ašimi sudaro smailųjį kampą, jo projekcija toje ašyje yra teigiama, kai bukąjį kampą — neigiama. Be to, teisingos formulės pr, AB = AB • cos φ j,
pr/ CD = CD •cos φ τ·
Vadinasi, kad ir koks būtų kampas φ tarp vektoriaus a bei ašies / - smailusis ar bukasis, - visada teisinga formulė pfya = |a|-coscp.
3.4. Vektoriaus koordinatės Dekarto* koordinačių sistemoje Yra žinoma, kad trys viena kitai statmenos ašys Ox, Oy ir O: (3.1 1 pav.), nubrėžtos per tašką O, sudaro stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą. Ašyse Ox, Oy, Oz atidėkime vienetinius vektorius, kuriuos atitinkamai pažymėsime i, j ir k . j Vektorių a perkelkime taip, kad jo pradžia sutaptų su koordinačių pradžios tašku O, ir nubraižykime stačiakampį gretasienį, kurio įstrižainė sutaptų su ~χ vektoriumi a (3.12 pav.). Žinome, kad 3.11 pav.
r
a = OA+ OB + OC .
(D
Kai vektorius a yra pirmajame oktante, tai OA = OAį i,
OB = OB j , OC = OC k.
Bendruoju atveju OA = ±\OA\-J,
OB =
\OB\·],
OC = ±\OC\k.
3.12 pav. ' Renė Dekartas (R. Descartes, 1596-1650) — prancūzų filosofas ir matematikas.
Ženklas priklauso nuo to, kokie yra vektoriai i
ir OA , j
ir OB,
k
ir
OC — vienakrypčiai ar priešpriešiniai. Kadangi ±
OA = P r O v f l '
±
OB
± OC
PtQya'
= prOza'
tai (I) formulę galime užrašyti taip: a = p r a v B-J + PT0y B-j + pr0z a-k. Pažymėję рг0л. a = ax,
pr 0 y a = av,
(2)
pr0- B = az, (2) formulę parašome
taip: a = axi +ayj
+azk
.
(3) t
Dydžiai
ax,av,az
vadinami
vektoriaus koordinatės ax,ay,az
vektoriaus
a
koordinatėmis.
nurodomos taip: a =
Trumpiau
fax;ay;azj.
Kampus, kuriuos vektorius a sudaro su koordinačių ašimis Ox, Oy, Oz, pažymėkime atitinkamai α, β, γ (3.13 pav.).
Iš stačiojo trikampio OBA išplaukia, kad -ρη- = cos α, todėl |α
ar=
lal-cosa .
(4)
Analogiškai gautume: α,, = | α I-cos β
ir
a . = |a|-cosy .
(5)
Kadangi stačiakampio gretasienio įstrižainės ilgio kvadratas lygus trijų jo matmenų kvadratų sumai, tai |o|2 =O1x +aI ls
+al-
cia 2 y
+ a
2 z
Skaičiai cos α, cos β ir cos γ vadinami vektoriaus a krypties
(6)
kosinusais.
Iš (4), (5) ir (6) formulės turime: or
I
IK
cos α =
^2x +,
2 Oy
+ a2
2 Oy
+ az
Oy
aV
(7)
И
+
2
Z
a.
5
2
Ja x+a2y+al
7
7
a
II Tada cos α + cos
7
β + cos γ = 1.
Kadangi a
a
a
tai a" = {cos a ; cos β; cosy}. Vadinasi, vektoriaus a krypties kosinusai yra jo vienetinio vektoriaus a koordinatės. Žinome, kad, atliekant tiesines operacijas su vektoriais, tos pačios operacijos atliekamos su jų koordinatėmis. Tarkime, kad a = \ax\av\a2 j, b = \bx;by;bz}.
Tada a±b
= [ax±bx;
av ±bv;a.
±b.),
λα = {λα,.; λα,,; λα ζ }. Kai vektoriai α ir b yra kolinearūs, egzistuoja realusis skaičius λ * O, su kuriuo
b = λα , t. y. {bx; by·, b. }= {λα^; Xay; λα-}.
Tada bx = λα x,
by = λα v ,
b- = λα Γ ir bx
Taigi kolineariųjų vektorių atvirkščias teiginys, todėl
by
koordinatės
bz yra
proporcingos.
Teisingas
ir
!pavyzdys. Vektoriai a
ir b = {б; - 8; - 7,5} yra kolinearūs. Apskai-
čiuokime vektoriaus a koordinates, žinodami, kad jis
su ašimi Ox sudaro
smailųjį kampą, be to, \a | = 50 . Sprendimas.
Pažymėkime: a = {x;y\z}.
Kadangi a\\b , tai abiejų vekto-
rių koordinatės yra proporcingos: —- — - ——-λ 6~-8~-7,5~ Iš
čia χ = 6λ, y = - 8 λ , z = - 7 , 5 λ .
Taigi
ieškomasis
vektorius
a=
= {6λ;-8λ;-7,5λ} . Iš sąlygos \a = 50 gauname lygtį -Jx2 + y2 +z2
=50.
yj36λ 2 + 6 4 λ 2 +56,25λ 2 = 50,
Ją išsprendę, turime:
V156,25λ 2 = 5 0 , 12,51 λ| = 50,
j λ| = 4 .
Kadangi vektorius a su ašimi Ox sudaro smailųjį kampą, tai jo projekcija ašyje Ox yra teigiama, todčl a = {24;—32;—30}.
ir
j λ| = λ = 4 . Galutinai
gauname!
•
2 pavyzdys. Vektorius a su ašimi Ox sudaro kampą α = 60°, su ašimi Oy — kampą
β = 45°,
su
ašimi
Oz — bukąjį
kampą.
Apskaičiuokime
vektoriaus a koordinates, kai |o| = 8. Sprendimas. Pasinaudokime vektoriaus krypties kosinusų savybe: cos
2
α + cos
2
2
β + cos γ = 1.
Iš čia 2
cos y = l - c o s Tada
Įcos γ| = —.
2
α-cos
Kadangi
|cosy| = - c o s y . Taigi
2
2
kampas
cosy =
.
ο
β = 1-ΰ08 6 0 ° - c o s γ
yra
Vektoriaus
bukasis, a
2
ο
1
45°=—. 4
tai
koordinates
cos γ < 0
ax,aY,a-
apskaičiuosime pagal (4) ir (5) formulę: ax = !oleosa = 8cos 60° = 4; a . = |a|cosy Vadinasi, A =
4 -JL; - 4}.
•
av = ΙαΙΰοββ = 8cos45° = 4>/2; :
ir
3.5. Spindulys vektorius. Atstumas tarp dviejų taškų Taško M spinduliu vektoriumi r vadinamas vektorius OM, kurio pradžia sutampa su koordinačių sistemos pradžia (3.14 pav.). Kiekvieną erdvės tašką M (x; v; z) atitinka tik vienas spindulys vektorius ir atvirkščiai. Kadangi taško M koordinatės M sutampa su spindulio vektoriaus V projekcijomis koordinačių ašyse, tai 0 r = {x; y; z}. Taigi spindulio vekto/ y riaus r ir jo galo taško M koordinatės yra vienodos. Tarkime, kad erdvėje pažymėti 1
rΧ du taškai:
Mi (xį; yi; z 1 )
ir
z
M 2 Ix 2 ', У2'> i)>
3.14 pav.
kuriuos atitinka
vektoriai Ą ={x\;y\',Z\} ir r2 = {x2 \y2',z2} MiM2 =r2-f\, tai MiM2 = {x2 -X\',y2 ~y\',z2 Vadinasi, norint rasti vektoriaus
(3.15pav.).
spinduliai Kadangi
-Zi -
koordinates, kai žinomos jo pradžios taško M 1 bei galo taško M2 koordinatės, reikia iš galo taško koordinačių atimti pradžios taško koordinates. Atstumas d tarp dviejų taškų Mi ir M2 lygus vektoriaus MiM2
Pavyzdys. Taškas M nutolęs nuo taško A (0; 0; 12) atstumu, lygiu 7, o vektoriaus OM
yra kolinearus vektoriui a = { - 2;-3;-б}. Raskime taško M
koordinates. Sprendimas.
Pažymėkime: M (x; y\ z); kartu ir OM = įx;y;zj.
Remda-
miesi vektorių OM ir a kolinearumu, gauname: χ _ У _
z
(9)
Pritaikę atstumo tarp taškų M ir A formulę, gauname dar vieną lygtį д/х 2 + y 2 + ( z - 1 2 ) 2
=7.
Aišku, kad j ą patogiausia spręsti z atžvilgiu, tačiau pirma reikia kintamuosius χ ir v išreikšti kintamuoju z. Iš (9) lygčių turime: z z X=—, y =— (11) 3 ' 2 Įrašę šias χ ir y išraiškas į (10) formulę ir pertvarkę, gauname kvadratinę lygtį 49 τ — z 2 - 2 4 z + 95 = O, 36 turinčią du sprendinius: randame X1 = 2 ,
Z1 = 6 ir z 2 =
V J =3;
X2 =
570
. Atsižvelgę į (11) formules,
У2 =
• Vadinasi, uždavinio sąlygą
tenkina du taškai: w л, . M 11V(2; 3; 6), '
,, I fl90 \ 49
M
2
;
285 49
;
570 49
3.6. Atkarpos dalijimas duotuoju santykiu A C
Sakoma, kad taškas C dalija atkarpą AB (3.16 pav.) santykiu λ : C B
AC kai
AC
vektoriai
CB
ir
yra
vienakrypčiai,
ir
kai
λ = CB
AC = ±λ CB
priešpriešiniai. Tada
,arba AC = X CB .
A
A -o
Bo«-
C -•O—
3.16 pav. Raskime taško C(xc;yc;zc) koordinatės:
A ( X
AC = XCB »
A
; V
A
; Z
a
koordinates, kai žinomos taškų A ir B
B(xB;yB;zB)
) ,
.Kadangi }= X{xB - xc\yB
{ x c - x A ; yc - yA;zc-zA x
C ~XA
УС 'УA zc -zA
=λ(χβ = ^(Ув =X(zB
-УС). -zc).
Iš čia Χ^+λΧβ C =1+ λ
x
- yc\zB
_ УA + ^ УB J c =1+ λ
_ =C =-
_ζΑ+λ:Β 1+ λ
-
zc),
Kai С — atkarpos AB vidurio taškas, tai λ = 1. Taigi gauname tokias atkarpos vidurio taško koordinačių formules XΛ +XL - /I + W Ул + Ув x Ус = • C =2 ' " 2 " 2 1 pavyzdys. Atkarpa AB taškais С ir D padalyta į 3 lygias dalis (3.17 pav.). Raskime taškų C ir β koordinates, kai žinomos taškų A ir D koordinatės:
J14
Sprendimas.
12 \,D\ - ; - 2 ; 2 |. Kadangi taškas C yra atkarpos AD vidurio taškas, tai 14 4 —
XA
x
C ~
+ XD
; 2 - 8 - 2
Ус
+
—
3
« = -5's
A
->.
z
C
=
1 2I± 2
=
C
D
B
3.17 pav.
7·7
Taigi C(3;-5;7). AB Taškas S atkarpą AD dalija santykiu λ =
= - 3 , todėl BD
χβ
Ув =
4 - - 3 — J 3 1-3
X л + λχ D 1+ λ
-8-3-(-2) r-г—1-3
, >
= 1
2
B=
12-3-2 . , =~31-3
Vadinasi, S l - - ; l ; - 3 j . Aišku, kad taško B koordinates galėjome rasti ir kitu būdu, atsižvelgę į tai, kad taškas D yra atkarpos CB vidurio taškas. Todėl iš sąlygos i 4 1 gautume x B = 2 x D - x ę = 2 - - - 3 = - - .
C +xB
x D
=
Analogiškai
У B = 2^D - v c = 2 · ( - 2)+ 5 = 1, ZG = 2 Z
d
- Z Q
= 2- 2 - 7 = - 3 .
A
2 pavyzdys. Trikampio viršūnės yra taškai A ( 2 ; —1; 4), B ( 3 ; 2; —6) ir C ( - 5 ; 0 ; 2 ) (3.18 pav.). Raskime j o pusiaukraštinių sankirtos taško M koordinates. Sprendimas. Pirmiausia randame kraštinės AC vidurio taško N koordinates:
2 "5 K N = " Г - = -1,5,
+0 nc yN = — - — = -0,5,
x
4+2 N =—— = Ъ-
2
Iš geometrijos žinome, kad trikampio pusiaukraštinės susikirsdamos dalija viena kitą santykiu 2 : 1 , skaičiuojant nuo kampo viršūnės. Todėl BM λ =
=—= 2 MN
ir χ
= M
УM =
xb+^N
=
1+λ
3 + 2-(-1,5)
0
-6 + 2 - 3
2 + 2-(-0,5) _ 1 1+2
=
1+2 -м
1+2
= 0.
Taigi 3 pavyzdys. Trikampio viršūnės yra taškai
A (l; 2; - 1 ) , в{2\ - 1 ; 3) ir
C(-4;7;5) (3.19 pav.). Apskaičiuokime j o vidaus kampo B pusiaukampinės ilgįSprendimas. Iš geometrijos žinome, kad pusiaukampinė BD dalija priešingą kraštinę AC į dalis, proporcingas kitoms dviem trikampio kraštinėms. Todėl B AD
AB
DC
BC
λ =
3.19 pav. Randame vektorių AB ir BC ilgį: AB = ^ ( 2 - 1 ) 2 + ( - 1 - 2 ) 2 + ( 3 - ( - 1 ) ) 2 = ^ , BC
->/26^ 1 Tada λ = — - = = = — . Apskaičiuojame taško D koordinates: 2 л/26 2
= X
xA+lxc
1+ --(-4) 2 ^
1 + λ
°
Vn =
^
2+--7 2 , 1 1+— 2
=
1+2 ,, 11 3
,
ZDn=
Vadinasi,
£>(— — ; — ; 1 j. Pusiaukampinės BD . 3 3 . atstumo tarp dviejų taškų formulę:
2, 3
- 1 + —-5 2 , 1 1+— 2
'
, = 1.
ilgį apskaičiuojame
pagal
BD 3J
{
3 J
3
3.7. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga Apibrėžimas. Vektorių a ir b skaliarine sandauga vadiname lygų šių vektorių modulių ir kampo tarp vektorių kosinuso sandaugai.
skaičių,
Vektorių a ir b skaliarinę sandaugą žymėsime a b arba (a, b ) . Taigi a - b = I a M f t -coscp;
čia φ =
(12)
a,b
V У Iš (12) formulės išplaukia: 1)
a b > O, kai vektoriai α ir ft sudaro smailųjį kampą φ O < φ < — , 2.
nes šiuo atveju cos φ > 0; 2)
Tt o-ft < 0 , kai vektoriai bukąjį kampą ;ktoriai α ir ft sudaro bukaii kanroa φ (D ĮI— < φ < π
nes tada cos φ < 0; 3) a-b = 0 tada ir tik tada, kai vektoriai a ir ft yra statmeni arba vienas iš j ų — nulinis. Kadangi pr„ ft = ft -costp
ir
pr^ a = | a | - c o s t p ,
(13)
tai iš (12) formulės išplaukia kita formulė, apibrėžianti skaliarinę vektorių sandaugą: a - b =|а|-рГдй = |/>|-рг^а .
(14)
Vadinasi, skaliarinė dviejų vektorių sandauga lygi vieno iš jų moduliui, padaugintam iš antro vektoriaus projekcijos pirmojo vektoriaus kryptyje. Bet kurių nenulinių vektorių skaliarinei sandaugai būdingos šios savybės: 1. 2.
Skaliarinė sandauga yra komutatyvi: a-b = b-a. Skaliarinė sandauga yra distributyvi vektorių sudėties atžvilgiu: (a + b\c
čia λ - realusis skaičius. Taigi daugindami skaliarinę vektorių sandaugą iš skaičiaus, galime iš to skaičiaus padauginti vieną vektorių, o rezultatą — skaliariškai iš kito vektoriaus. 4. Skaliarinis vektoriaus d kvadratas lygus jo modulio kvadratui. Iš tiesų a • a = a 2 = Įa|"\
arba
^ = -^3 2 .
(15)
Remdamiesi šiomis savybėmis, išnagrinėkime vektorių i, j,k
skaliarinę
sandaugą. Kadangi vektoriai i , j , k yra vienetiniai, tai, pritaikę 4-ąją savybę, gauname: J-J = J2 = 1,
J-J = J2=I
k-k=k2=
1.
Vektoriai i , j , k poromis yra statmeni, todėl J-J = O,
Awr = O,
J-k = O,
J-J = 0,
k-J = 0,
J-k = 0.
Vadinasi, vektorių i, j , k skaliarinę sandaugą galime pateikti 1 lentele. / lentelė
i j k
_
k
1
J 0
0
1
0
0
0
1
I
0
Apskaičiuokime vektorių α ir ii skaliarinę sandaugą, kai žinomos šių vektorių koordinatės stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Tarkime, kad a = \ax; a v; a-}= a xi + avj + a-k,
b = {bx;bv;b:}=
bxi + bvj + b-k.
Tada a-b = (axi + ayj + a,k)(bxi
+ byj + b:k).
Remdamiesi skaliarinės sandaugos savybėmis, suskliaustus dauginsime kaip daugianarius. Atsižvelgę į 1 lentelę, gauname: a-b = axbxi
2
+ a.bxk
+axbyi
-j + axb-i
-i + a:byk
-k + aybxj-i
• j + a-b-k2
+ aybyj2
= axbx + ayby
vektorius
+ ayb.j-k +
+
a-b..
Taigi a-b = \ax \ay; a-}· {bx;by;b. Skaliarinė dviejų vektorių koordinačių sandaugų sumai.
}= axbx + avbv
sandauga
Pavyzdžiui, jei a = 3 / + j - 2k,
o
lygi
+a.b..
tų vektorių
(16) vienavardžių
b = / + 5 j - 6k, tai
a • b = {3; 1; - 2}· {l; 5; 6} = 3 · 1 +1 · 5 + ( - 1 ) - ( - б) = 3 + 5 + 12 = 20. Jeigu vektoriai a ir b yra statmeni, tai skaliarinė j ų sandauga lygi nuliui: a-b = 0 => axbx + avby + a-b- = 0. Iš (15) ir (16) formulės galime gauti jau žinomą vektoriaus modulio formulę: |a| = -Ja-a = Ja2
+ a2 + a2 .
Skaliarinė sandauga taikoma sprendžiant šiuos pagrindinius uždavinius: 1.
Ieškant kampo tarp vektorių a ir b : " ' bj—г.
cos φ =
/,-74 (17)
И'И 2.
Ši formulė gaunama iš (12) formulės. Ieškant vieno vektoriaus projekcijos kitame vektoriuje: -
a
b
11 o\
H
Ši formulė gaunama iš (14) formulės. 3. Apskaičiuojant darbą A, kurį atlieka jėga F , veikdama materialųjį tašką, kol jis nueina tiesės atkarpa kelią |i|: A = |F|-|?Į-cos9
= F ·.?;
(19)
čia φ - kampas tarp jėgos ir kelio krypčių. Vadinasi, darbas lygus kūną veikiančios jėgos ir to kūno poslinkio vektoriaus skaliarinei sandaugai (skaliarinės sandaugos mechaninė prasmė).
pavyzdys. Apskaičiuokime skaliarinę sandaugą (за - 26 )(20 + b), kai a = 3 , Ы = 4 , о kampas φ = a, b = 1 2 0 ° . v Sprendimas. (За -2b]{la I -|2
C (2; 5; 12). Iš viršūnės C nuleista aukštinė dalija kraštinę AB į dvi atkarpas. Apskaičiuokime kiekvienos jų ilgį ir trikampio viršūnės A vidaus kampo didumą φ (3.20 pav.). Sprendimas. AB = {3;4; θ}, AC = {θ; 6;8}. Taikydami (17) formulę, gauname: COS(I) =
JB-JC AB
Bet AB -AC = {3;4;0}·{0;6;8}=24,
AB = л/9 + 1 6 = 5 , AC =л/36 + 64 = 10,
todėl cos φ = Iščia
24
12
= — = 0,48 . 5-10 25
φ«61°18'. Toliau remsimės (18) formule: AD
AC
—;
AB-AC AB
Kadangi DB
AB
AD
tai DB = 5 - 4 , 8 = 0,2. A
24
3 pavyzdys. Duoti vektoriai a = {З;— 1 ;5} ir b = {l;2;-3}. Raskime vektorių irt , statmeną ašiai Oz ir tenkinantį lygybes т а = 9, Sprendimas.
Pažymėkime: m = [mx; my; m.}.
m -b = - 4 . л sI m, Oz = 9 0 ° , v /
f Kadangi
tai m z = |/«|-cos90° = 0 . Tada m = \ m x ; m v ; θ } . Žinome, kad т а = 9, m · b = —4
j
- m v = 9, Įmx+2mv
=-4.
Išsprendę šią lygčių sistemą, gauname: m x = 2, W y = - 3 . Todėl ieškomasis vektorius m ={2; - 3 ; 0}.
•
4 pavyzdys. Materialųjį tašką P(3;2;-5) veikia dvi jėgos: F\ = {3;-2;4} ir F2 = {7;l;-l}. Apskaičiuokime darbą, kurį atlieka šių jėgų atstojamoji
F,
5
perkeldama materialųjį tašką/ į tašką Q (1; 2; 4). Sprendimas.
Taikysime (19) formulę. Kadangi F = f j +F2 = {10; - 1 ; 3},
o s = P g = { - 2 ; 0 ; 9 } , tai A = F s = 1 0 - ( - 2 ) - 1 0 + 3-9 = 7 .
•
3.8. Vektorinė dviejų vektorių sandauga Tarkime, kad a ir b yra nekolinearieji vektoriai. Jų sudaromą kampą pažymėkime φ (θ < φ < π ) . Apibrėžimas.
Vektorių
a ir b
vektorine
sandauga
a χb
vadiname
vektorių c (3.21 pav.), tenkinantį tris sąlygas: 1)
C-Lči ir c L b ,taigi c statmenas vektorių a ir b plokštumai;
2)
vektoriaus
c
modulis lygus lygiagretainio, kurio dvi
gretimos
kraštinės sutampa su vektoriais a ir ό, plotui, t. y. c = άχb 3)
vektorius č
' ^lygiagr.
M
•sin(p;
(20)
nukreiptas taip, kad, žiūrint iš j o galo, atrodytų, jog
vektorius d , pasuktas mažiausiu kampu φ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį, sutampa su vektoriaus b kryptimi. Žymima
c = axb
arba
ab
Dar sakoma, kad trečiąjį reikalavimą tenkinantys vektoriai a.b.č
sudaro
dešininį trejetą. Kai vektorius a sukamas prieš laikrodžio rodyklės sukimosi kryptį (3.21 pav.) iki vektoriaus b , tai vektorius a χ b rodo kryptį, kuria judėtų
^
dešininį sriegį turintis varžtas, esant pasirinktai sukimo krypčiai. Dešininę sistemą galima pavaizduoti dešiniosios rankos pirštais: nykštį nukreipus vektoriaus a kryptimi, o smilių — vektoriaus ft kryptimi, didysis pirštas rodys vektoriaus c kryptį. Tais pačiais kairiosios rankos pirštais galima pavaizduoti kairinę sistemą. Bet kurių nenulinių vektorių
3.21 pav.
vektorinei savybės:
a X b
a
1.
sandaugai
būdingos
šios
α xft = -(ft χ a ) .
Vadinasi, vektorinė sandauga nėra komutatyvi. 2. Vektorinė sandauga asociatyvi daugybos iš skaliaro atžvilgiu: λ(αχ/>)= ( λ α ) χ ΐ = ο χ ( λ / ) ) ; čia λ - realusis skaičius. 3. Vektorinė sandauga yra distributyvi vektorių sudėties atžvilgiu: (a + ft )x c = a x c + ftxc . 4. Vektorinė sandauga a χ ft = O tada ir tik tada, kai bent vienas iš daugiklių yra nulinis vektorius arba šie vektoriai yra kolinearūs: a χ ft = O o a \\b . Kadangi galioja 2-oji ir 3-oji savybė, tai vektorius dauginame vektoriškai pagal tas pačias taisykles, kaip ir du pirmojo laipsnio daugianarius. Tačiau turime nepamiršti, kad, sukeisdami daugiklius vietomis, kartu turime pakeisti ir atitinkamo nario ženklą. 1 pavyzdys. Sudauginkime (з<5 - 5ft )x [a<3 + ft). Sprendimas.
Daugindami panariui, gauname
( 3 a - 5 f t )x(4o + ft)= 3α χ 4a + 3a χ b -5b χ 4a - 5 f t χ ft = = 3ά χ ft - 5ft χ 4α = 3 (α χ ft)- 20 (ft χ a ) = 3 (α χ ft)+ 20 (я χft)=
2з(а χ ft). •
Remdamiesi vektorinės sandaugos apibrėžimu, galime sudaryti vektorių i, j , k vektorinių sandaugų lentelę. 2 lentelė
i
3.22 pav.
ι
j
k
0
k
- j
0
i
j
-k
k
j
-i
0
įsidėmėti šią lentelę padės schema, pavaizduota 3.22 paveiksle. Jei trumpiausiu keliu nuo pirmojo iki antrojo vektoriaus einama priešinga laikrodžio rodyklės sukimuisi kryptimi, tai sandauga lygi trečiajam vektoriui, o jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi, tai trečiasis vektorius imamas su minuso ženklu. Vadinasi, i χ j = k, j χ k = i, bet / χ k = - j ir t. t. Dabar apskaičiuosime vektorių a iv b vektorinę sandaugą, kai žinomos tų vektorių koordinatės stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Tarkime, kad a = {a(; av; a. }= axi +avj
+ azk ,
b = ^px\bY\b-
+ b:k .
}= bxi +bYj
Vektorius a ir b dauginame kaip daugianarius ir pasinaudojame 2-osios lentelės rezultatais: ά χ b = [a J + ay] + a,k)x = aXbX
Geometrijoje vektorinė vektorių a ir b sandauga taikoma apskaičiuojant lygiagretainio bei trikampio, kurių kraštinės sutampa su šiais vektoriais (3.23 pav.), plotus: "-Mygiagr. = I « x b j , = — I axb I, 2> I taip pat j ų aukštines (žr. (27) formulę). SaΔ
3 pavyzdys. Dvi lygiagretainio kraštinės sutampa su vektoriais a ir b . Apskaičiuokime j o plotą, kai i \
- О \ a x b = 13| m χ ή\ = 13 ·\ηι\ -|и| sm m, ή V V
= 1 3 · 2 - 5 - s i n 3 0 ° = 13·2·5·— = 65 (kv. vien.). 2
4 pavyzdys. Trikampio ABC viršūnės yra taškai Λ(ΐ;-1;2),/?(5;-6;2) ir C ( l ; 3 ; - l ) . Apskaičiuokime šio trikampio plotą ir aukštinės, nuleistos iš viršūnės B į kraštinę AC, ilgį (3.24 pav.). Sprendimas.
Žinome, kad 1
ABxAC
>ΔABC
(25)
Randame vektorių AB ir AC koordinates bei vektorinę sandaugą: J b = {4; - 5 ; 0}, A C = { 0 ; 4 ; - 3 } , i ABxAC=
Norėdami rasti trikampio aukštinę h, pritaikykime kitą trikampio ploto formulę: AC •h. Sulyginę (25) ir (26) formules, gauname:
1 2
—
(26) •
—
ABxAC
.
1 ~ 2
AC •h.
Iš čia ABxAC h= AC Kadangi AC
+ 1 6 + 9 = 5 , tai trikampio ABC aukštinė 25 h = — = 5 (ilgio vien.).
5 pavyzdys. Raskime vektorių m , statmeną vektoriams a = J2;—3; 1 j ir b = {l;—2;3} bei tenkinantį sąlygą m • (/ + 2 j - Ik)= 10. Sprendimas. m _L a ir in
Tarkime, ieškomasis vektorius m = \mx\mY\mz\.
Kadangi
h , tai m yra kolinearus vektorių a ir b vektorinei sandaugai,
t. y. m ||(axft). Iš pradžių randame vektorių a χ b : i
k
j
iχ6 = 2
-3
1 = -ll-5]-k
1
-2
3
= {-7;-5;-l}.
Žinome, kad kolineariųjų vektorių koordinatės yra proporcingos, todėl M
X
_
Т
У
_
M
Z
=
Χ
-1
-1 Iš čia ms=~7λ,
ηιν=-5λ,
(28)
mz = - λ .
Nežinomą dydį λ rasime iš sąlygos m • (/' + 2 j - Ik )= 10 . Iš jos išplaukia, kad m x + 2m v - I m z = 10, arba — 7λ + 2 · ( - 5 λ ) - 7 · ( — λ ) = 10, - 1 0 λ = 10, λ = -1. Įrašę šią λ reikšmę į (28) lygybes, randame vektoriaus m koordinates, taigi ir patį vektorių m = {7; 5; l ) .
•
3.9. Mišrioji trijų vektorių sandauga Vektorinės
sandaugos
axb
rezultatas yra vektorius. Padauginę
šį
vektorių skaliariškai iš vektoriaus c , gauname skaliarą. Apibrėžimas. Trijų vektorių skaičius, vektoriaus
gautas
skaliariškai
a, b
ir c mišriąja sandauga
padauginus
vektorinę
sandaugą
trijų vektorių
vektoriškai
vadinamas axb
iš
c .
Vadinasi, mišrioji
sandauga
yra
sandauga. Mišrioji sandauga žymima (α χ б)·c arba
(abčj.
skaliarinė
Tarkime, kad vektoriai a, b ir c
=α χ
yra nekomplanarieji. Atidėkime juos nuo to paties pradžios taško O ir nubraižykime
gretasienį,
kurio
trys
briaunos sutaptų su vektoriais a, b ir c
(3.25 pav.). Įrodysime, kad trijų
vektorių 5, b ir c mišrioji sandauga (α χ л)· c
lygi
gretasienio,
kurio
briaunos sutaptų su šiais vektoriais,
bxa ^
^ 2 5 pav.
tūriui, paimtam su pliuso ženklu, jei vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą, arba su minuso ženklu, jeigu minėti vektoriai sudaro kairinį trejetą. Iš pradžių sakykime, kad vektoriai a ir b yra nekolinearieji. Tada lygiagretainio OADB, kurio kraštinės sutampa su vektoriais ά ir h , plotas bus lygus
(<5x й)-с = I a χ b I |č | · cos Θ = Si y g i a g r pr^ с ;
. Bet prn c = OE = ±h ; čia h - gretasienio aukštinė. Pažymėję
v gretasienio turį raide V ir žinodami, kad jis lygus pagrindo bei aukštinės sandaugai, gauname [a χ i у г = S l y g i a g r ( ± h ) = ± v . Dabar išsiaiškinkime, kuriuo atveju rašomas pliuso ženklas, kuriuo — mif л л nuso ženklas. Žinome, kad p r c = +h , kai kampas Θ c, d yra smailusis V ) O<Θ<— 2;
Šiuo atveju vektoriai d, b ir č sudaro dešininį trejetą. Tuo
tarpu, kai kampas Θ yra bukasis Į γ < Θ < π J, pr^ с = - h ir vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą. Taigi įsitikinome, kad anksčiau suformuluotas teiginys yra teisingas. Kai vektoriai a, b ir c yra komplanarieji, tai vektorius c yra vektorių a ir b sudaromoje plokštumoje ir todėl p r j c = O . Vadinasi, ir (α χ A )· c = O .
Lieka išnagrinėti atvejį, kai vektoriai
a ή b
yra kolinearieji. Tada
axb = Ο , ο drauge ir ( a x i ) · c=0. Kadangi turis matuojamas teigiamais vienetais, tai gretasienio tūrio formulę galima užrašyti taip: I (дхй)-С I . Kgretas. 1 Trikampės piramidės (3.26 pav.), kurios trys briaunos sutampa su vektoriais a, b ir c , tūris apskaičiuojamas pagal formulę V
•' pir.
U
=—V g •'
\xb
·c
3.26 pav. Bet kurie nenuliniai vektoriai a, b ir c turi tokias savybes: 1)
(α χ 6 )• c = O - būtinoji ir pakankamoji trijų vektorių komplanarumo
sąlyga; 2)
(s χ b)· г > O , kai vektoriai a, b ir c sudaro dešininį trejetą;
3)
( д х й ) с < O , kai vektoriai a, b ir c sudaro kairinį trejetą;
4)
(a x į ) - c = (б xc\a
= (c χ a)· b = -(c χ b)· a = -{b xa\c
= -(a χ c)·b .
Trumpiau šią savybę galima užrašyti, vartojant kitą mišriosios sandaugos žymenį, būtent: (abc)= (bča)= (сай)= -(acb)= -(cba)=
-(йяс).
Vadinasi, kai dauginami vektoriai cikliškai sukeičiami vietomis 3.27 paveiksle parodyta rodyklės kryptimi, tai mišrioji sandauga išlieka teigiama, nes vektoriai a, b ir c visą laiką sudaro dešininį trejetą, o kai priešinga minėtame paveiksle parodyta rodyklės kryptimi — neigiama 3.27 pav. (šiuo atveju trys mišriosios sandaugos vektoriai sudaro kairinį trejetą). Raskime vektorių a, b ir c mišriąją sandaugą, žinodami šių vektorių koordinates stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Tarkime, kad a = {ax; ay; a,}= axi + ayj + a,k , b = \bx; by -,b,}= bxi + byj + b,k, c —
, Cy, cz j — cxi + Cyj + czk .
Žinome, kad vektorių a ir b vektorinė sandauga axb i
k
j
axb = ax
Z b.
V by
b
x
a h
b
v
a
X br
a
a
z
Z b.
yra vektorius a
X
Oy
br
bv
Padauginkime šį vektorių skaliariškai iš vektoriaus c . Tam tikslui vienavardes vektorių a x b ir c koordinates sudauginkime ir sudėkime: a
a
(ά χ b)·c =
Z b.
V
K
a X Z •c„. + b b. X
a
a
a
X
CY r -
V
1
b
X
•C- .
K
Dešiniojoje lygybės pusėje parašytas reiškinys yra trečiosios eilės determinanto a
a
a
X X
V by
X
Cy
b c
Z
b
Z C-
skleidinys trečiosios eilutės elementais. Iš tiesų a
X
b
X
Cx
V by
a
c
c
a
V
Z b. = C A -
ay
a
Z
O 3 + ' by
b
Z
Z a
+ c , • ( " D ,3+3
x
b
x
Cyl-1)3+2
+
a
a
b
b
X X
Z
+
Z
ay b
v
todėl galutinai trijų vektorių mišrioji sandauga lygi trečiosios eilės determinantui: a
a
a
X
V by
Cx
Cy
C-
X
(α χ b )· (
b
Z b.
Trijų nenulinių vektorių komplanarumo sąlyga yra
(axbj-c=
a
X
ay
bb r
b„ by Cy
X
Cx
a
Z b. bC-
=0.
! p a v y z d y s . Trikampės piramidės viršūnės yra taškai Λ ( 3 ; - 1 ; 5 ) , B (5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D (7; 3; - 1 ) . Apskaičiuokime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį (3.28 pav.). Sprendimas.
Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško,
pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris
ABxAC
V • = ' pir.
Randame
-AD
AB, AC ir
vektorių
(31)
AD
koordinates: I B = {2;3;l}, AC = { - 4 ; 4 ; - l } , ! Б = {4;4;-6}. 3.28 pav. Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
(ABxAc)-AD
2
3
1
= -4
4
- 1 = -156.
4
4 - 6
Tada trikampės piramidės turis v •Γ = 1 . 1 Ρ' · A
1561 = —
= 26 (kub. vien.).
Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę: ^pir.
Bet
SM
B C
ABxAC
= r
Saabc
'
f l
•
, todėl Vpir.•
= -
ABxAC
•h.
Sulyginkime šią formulę su (31) formule: \ABxACjAD
ABxAC
h.
Iš čia ^ABx
AC^ AD
h= ABxAC Kadangi ABxAC=
ABxAC
tai
i
j
k
2
3
1 = -Ii
-4
4
-1
-2]
+ 20k = { - 7 ; - 2; 2θ},
= >/49 + 4 + 400 = л/453 . Tada trikampės piramidės aukštinė h
lygi h
-156
156
д/453
,/453
=
: 7,33 (ilgio vien.).
2 pavyzdys. Su kuria λ reikšme vektoriai a, b ir c bus komplanarieji, kai a = (3λ; 1; 4), b = (З; 2λ; - б), с = 8/ + j - 2k ? Sprendimas.
Vektoriai a, b ir c yra komplanarieji, kai mišrioji j ų san-
dauga lygi nuliui: 3λ
1
(axi)· c = 3
2λ
8
1
4 - 6 = 0 <=> 6λ + 2 3 λ +15 = 0 . -2
Išsprendę šią kvadratinę lygtį, gauname dvi reikšmes λ 1 = —3 ir λ 2 = — , s u 6 kuriomis vektoriai 5, b ir c bus komplanarieji. A 3 pavyzdys. Ar gali keturi taškai A ( 1; 2; 3), B (2; 4; 1), C ( l ; - 3 ; 6) ir D (4; - 2 ; 3) priklausyti vienai plokštumai (3.29 pav.)? Sprendimas. Taškai A, B, C ir D priklausys plokštumai π, kai vektoriai AB, AC ir
AD bus komplanarūs. Randame šių vektorių koordinates:
AB = {l; 2;—2}, Л С = { 0 ; - 5 ; 3 } , ~AD = |3;-4;θ}.
Apskaičiuojame mišriąjąjų sandaugą: 1
[aBXAC\
2
-2
AD = 0 - 5
3
3 - 4
0
Kadangi mišrioji trijų vektorių sandauga lygi nuliui, tai tie vektoriai yra komplanarūs, o taškai A, B, C ir D priklauso vienai plokštumai π. •
Uždaviniai 1. Vektoriai a ir b sudaro 120° kampą. Apskaičiuokite a + b ir 5-b
kai
=5 .
5 = 3 ir
2. Vektoriai m ir ή sutampa su rombo ABCD įstrižainėmis AC = m ir BD = n . Vektorius AB, ВС, CD ir DA išreikškite vektoriais m ir Я . 3. Materialųjį tašką A veikia dvi jėgos F\ ir F2, kurių |Fį| = 2N, Raskite jų atstojamosios jėgos F f kai
modulį bei kampą tarp jėgos F
If2I = IN.
ir jėgos F1,
Λ : 60° .
4. Apskaičiuokite vektoriaus d = a-2b+3c
modulį bei vienetinį vektorių d°,
kai a = {2;-3;l}, £ = {l;5;-2}, с = {3;-4;3}. 5. Materialųjį tašką A veikia trys jėgos: Fi, F2 ir F 3 . Raskite jų atstojamąją, kai yra žinoma, kad F1 = {l; 1; l},
F 2 nukreipta vektoriaus {1; 2; -2} kryptimi, F3 — vek-
toriaus {3; -4; 0} kryptimi, be to, F2 = 6 , 0
= 10.
6. Duoti vektoriai a = {l;-l;2}, 6 = {-2;0;2) ir c = {З;2;l}. Apskaičiuokite: a) a • c ; b) \ a + b • c ; c) a • \2b + 3? ; d) α · b • c . 7. Apskaičiuokite vektorių я = 3 т - 0 , 5 й ir AB m = { 1;-1;2}, Л = {2;4;-б}, A{l;-l;-2), fi(4;l;-2).
skaliarinę sandaugą, kai
8. Raskite vektorių m, kolinearų su vektoriumi a = {2;3;2},kai т а = 34. 9. Jėga F = {3;-2;5} perkelia materialųjį tašką iš padėties P į padėtį Q. Apskaičiuokite jos atliekamą darbą, kai taškų P ir Q padėtis nusakoma spinduliais vektoriais OP = {l; 4; -1}, OQ = {- 2; 3; 1}.
10. Raskite vektoriaus a = {2;—3; 4} projekciją vektoriuje b, kuris su koordinačių ašimis sudaro lygius smailiuosius kampus. 11. Su kuria α reikšme vektoriai a + ab ir a - ab yra statmeni, kai |ά| = 3 , o = 5? 12. Duoti vektoriai a = {2; 1; θ}, b = {2;-l; l} ir c = {θ; 1; l}. Raskite: a) axb ; b) ^ a x f t j x c ; c) p r f x ^ 3 5 - 6 j . 13. Dvi gretimos lygiagretainio kraštinės sutampa su vektoriais 5 = 2;'+ j
ir
= - j + k . Apskaičiuokite šio lygiagretainio plotą bei įstrižainių sudaroma kampą. 14. Apskaičiuokite
trikampio, kurio dvi kraštinės sutampa i \ π a = p + 2q \x b =2p + q , plotą, kai | = 1, |q\ = 1 , o φ =p>q 3 V У
su
vektoriais
15. Raskite vienetinį vektorių m", kai m = 2/3x3? + 4a ir a = 2i - j +3k , P = H-2k
, r = {2;—1;—1}.
16. Raskite vienetinį vektorių, statmeną plokštumai, kurioje yra vektoriai {2; -1; 1} ir {3; 4; -1}. 17. Su kuria α reikšme vektoriai a = {2;-2;-l}, b = {-3;2; 1} ir c = ai +2j + + ak yra komplanarūs? 18. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A (0; 0; 1), B (2; 3; 5), C (6; 2; 3) ir D (3; 7; 2). Apskaičiuokite piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš viršūnės A į sieną BCD, ilgį. 19. Duotos trys trikampės piramidės viršūnės Λ(-1;0;1), B ( - 2 ; - l ; 0 ) , C (2; -1; 1). Raskite ketvirtąją viršūnę D, esančią ašyje Ox, kai šios piramidės tūris V= 2 kub. vien.
4.1. Bendroji plokštumos lygtis Plokštumos padėtį erdvėje galima vienareikšmiškai
nusakyti
keliais
būdais. Siame skyrelyje išnagrinėsime tą atvejį, kai plokštumos π padėtis erdvėje apibūdinama jos tašku vektoriumi ή = \A; B; C)
spinduliai vektoriai. Kai taškas M priklauso plokštumai π, tai
vektorius
MqM
yra
toje
plokštumoje, todėl M0M _L ή . Statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui: (Я-Я0)-й = 0 .
(1)
Sis sąryšis tinka tik plokštumos π taškams, taigi jis nusako plokštumos 4.1 pav. lygtį, kuri vadinama vektorine plokštumos lygtimi. (1) sąryšį parašę koordinatine išraiška A ( χ - x0) +B( v - 3 ¾ ) + C ( z - z 0 ) = 0 bei pertvarkę, gauname bendrąją plokštumos Ax+By+
lygtį
Cz +D = 0;
(2)
čia D = -Axo - By0 - Cz0. Tai pirmojo laipsnio lygtis kintamųjų x, y, z atžvilgiu. Išnagrinėkime atskirus jos atvejus.
1. Kai C= O, tai plokštumos π normalės vektorius ή = {A\ B;0}. Kadangi jo projekcija ašyje Oz lygi nuliui, tai n _L Oz. Tačiau n I n , todėl π || Oz. Vadinasi, lygtis Ax + By + D = Q nusako plokštumą, lygiagrečią su ašimi Oz. Aišku, kad lygtys By+ Cz +D = 0 ir Ax + Cz+ D = O apibūdins plokštumas, lygiagrečias atitinkamai su ašimi Ox ir Oy. 2. Kai S = O ir C = O, tai π \\ Oy, π|\Oz. Vadinasi, plokštuma π yra lygiagreti su koordinačių plokštuma yOz. Lygtys Ax + D = 0, By + D = 0; Cz + D = O apibrėžia plokštumas, lygiagrečias atitinkamai su koordinačių plokštumomis yOz, χΟζ ι r χOy. 3. Kai D = 0, tai lygčiai Ax+By+
Cz = 0 tinka koordinačių pradžios
taško 0(0; 0; 0) koordinatės. Vadinasi, lygtis Ax +By + Cz = 0 nusako plokštumą, kuriai priklauso koordinačių pradžios taškas. 4. Kai C= 0 ir D = 0, tai π || Oz ir koordinačių pradžios taškas yra plokštumos taškas. Vadinasi, lygtis Ax + By = 0 nusako plokštumą, kurioje yra ašis Oz. Lygtys Ax+ Cz = 0 , By+ Cz = 0 apibrėžia plokštumas, kurioms priklauso atitinkamai ašys Oy, Ox. 5. Kai B = C = D = 0, tai plokštumai π priklauso koordinačių pradžios taškas ir ji yra lygiagreti su koordinačių plokštuma vOz, taigi plokštuma π yra koordinačių plokštuma vOz. Kai B = C = D = 0, iš (2) lygties gauname Ax = 0, x = 0 ( Α Φ 0 ) . Vadinasi, x = 0 yra koordinačių plokštumos yOz lygtis. Atitinkamai y = 0 - koordinačių plokštumos χΟζ lygtis ir z = 0 - koordinačių plokštumos xOy lygtis. Pavyzdys. Kokią plokštumos ir erdvės taškų aibę apibūdina lygtis 3x + 5z = 15 ? Sprendimas Л/,
z
I)
4.2 pav.
4.3 pav.
Erdvėje lygtis 3x + 5 z = 15 apibudina plokštumą, lygiagrečią su ašimi Oy (4.2 pav.). Šios plokštumos normalės vektorius n = {3; 0; 5}. Plokštumoje xOz ši lygtis nusako tiesę, kuri kerta koordinačių ašis taškuose M j ir M 2 (4.3 pav.). • Tarkime, kad plokštuma koordinačių ašyse Ox, Oy ir Oz atkerta atitinkamai atkarpas a, b ir c (4.4 pav.). Tai reiškia, kad plokštuma eina per taškus (a; 0; 0), (0; b; 0) ir (0; 0; c). Šių taškų koordinatės tinka (2) lygčiai, todėl teisingos lygybės A-a + B-0 + C • 0 + D = 0,A-0 + B • b + C-0 + D = 0, A -0 + B- 0 + C- c + D = 0. Iš čia
a
b
c
Įrašę šias A, B ir C išraiškas į (2) lygtį, gauname D
a
χ
D
v
b
D
M = n0 , z+D
c
X V Z t — + — + — = 1. a b c Ši lygtis vadinama ašine plokštumos
lygtimi
Pavyzdžiui, lygtis 3x -Ay + 2z = 12, kurios ašinę išraišką X V Z . —+ +—=1 4 - 3 6 gauname padaliję abi pradinės lygties puses iš 12, apibūdina plokštumą, pavaizduotą 4.5 paveiksle (čia pavaizduota plokštumos dalis, esanti ketvirtajame oktante). Žinome, kad trys taškai vienareikšmiškai nusako plokštumą. Išveskime plokštumos, einančios per tris taškus M\(x\,y\,z\), M 2 ( x 2 ; v 2 ; z 2 ) ir
Μ 3 ( χ 3 ; ^ 3 ; ζ 3 ) , lygtį. Kintamąjį plokštumos tašką pažymėkime M ( x ; v; z) ir nubrėžkime vektorius (4.6 pav.) M 1 M = {х-х,;у-у,;г
-z,},
M 1 M 2 = {x2 - X 1 ^ 2 - V ^ Z 2 - Z 1 I ,
M1M3 = { x 3 - X 1 J J 3 - ^ z 3 - z , } . Visi jie yra toje pačioje plokštumoje, taigi yra komplanarūs. Parašykime j ų komplanarumo sąlygą: M1MxM1M2 j-M,M3 =0 4.6 pav.
arba X-X1
V-V1
X2
z - Z1
- Л
*3-*l
Z2 - Z1 = 0 . z
Λ - > Ί
3 ~
z
I
Tai ir yra ieškomoji plokštumos lygtis.
4.2. Kampas tarp dviejų plokštumų Tarkime,
duotos
dvi
A\X + Bxy + C\Z + D\ = 0
Ti1
plokštumos
ir
+ B2y + Q
z
ir
Tt2,
+ D2 = 0 ·
kurių Kampas
lygtys tarp
plokštumų Tt| bei π 2 lygus kampui tarp jų normalės vektorių ^1 ir h 2 . Kadangi й| = { V 4 Į ; ; C Į } , n2 = {A2,B2',C2},
tai, remdamiesi 3.7 sky-
relio (17) formule, gauname sąryšį cos φ = ι »1 · "2 w
I N "2
A1A2+ B1B2+ 2
2
Aι + B +
C12
V
C1C2
ж + Bi + с .
kuris ir apibūdina kampą φ 1аф plokštumų Tt1 bei Tt2 . Plokštumų
Tt1 ir Tt2 statmenumo sąlyga išplaukia iš sąlygos щ L n2,
taigi iš sąlygos щ • n 2 = 0, ir yra tokia: A1A2+ B1B2 + C 1 C 2 = O . Plokštumų
Ttl ir Tt2 lygiagretumo
sąlyga
vektorių щ bei n 2 kolinearumo ir yra tokia: A = A = C l A2 B2 C2 ·
išplaukia iš jų normalės
4.3. Taško atstumas iki plokštumos Tarkime, kad šalia plokštumos π, kurios lygtis Ax + By + Cz +D = O, duotas taškas M\{x\,y\\z\).
Raskime jo atstumą d iki plokštumos π. Iš taško
M] nuleiskime statmenį M\ M 0 į plokštumą π ir to statmens pagrindą p a ž y mėkime
M 0 (x 0 ; v 0 ; z 0 )
(4.7 pav.).
M14 MQM
Tada d =
d
Μ0Μ\
. Kadangi vektorius
ir plokštumos π normalės
vektorius
M1 O
j
n
yra kolinearūs, tai j ų
sudaromas kampas φ
lygus
nuliui
arba π. Todėl cos φ = ±1. У
Apskaičiuokime skaliarinę vektorių M 0 M 1 ir n sandaugą:
4.7 pav. MqM\
• n = MQM I
n • cos φ = ±d • \n .
Iš čia MQM
•N
d = iii Bet
MQMi
= [Xi — XQ ; Vj -Vq^ z I ~ Zo\ ' r n=
{ A ,
B,
IAIXL -XQ) + B {y\ - yQ) + C{Z\ - Z 0 ) d =· Ja2 + B2+ C2 čia -Ax0
- By0 -
CZQ
C}, todėl Ax I +Byl +Cz 1 + D J
A2+B2· C
= D, nes M 0 e π .
Pavyzdys. Dvi kubo sienos yra plokštumose
3x - 4 y + z +15 = O ir
6x - 8 y + 2z - 7 = 0. Apskaičiuokime to kubo tūrį. Sprendimas. Kadangi nurodytų plokštumų normalės vektorių щ = {3;-4; 1} ir W2 = {6;-8; 2} koordinatės yra proporcingos, tai tos plokštumos yra lygiagrečios. Todėl kubo briaunos ilgis lygus atstumui tarp šių plokštumų. Antra vertus, šis atstumas lygus atstumui d nuo bet kurio plokštumos 6χ - 8 y + 2z - 7 = 0 taško iki plokštumos 3x - 4y + z + 15 = 0 . Parinkime kurį nors plokštumos 6x-Sy tašką, kurio y =-I,
+ 2z - 7 = 0 tašką, pavyzdžiui,
z = 1. Tada χ = - 0 , 5 . Apskaičiuokime atstumą d:
3 - ( - 0 , 5 ) - 4 - ( - 1 ) + 1 + 15
I85
37
d = д/26
д/9 + 16 + l
2^26
Vadinasi, kubo tūris V =d
Ъ1
=
: 47,76 (kub. vnt.).
2д/26
4.4. Erdvės tiesės kanoninės lygtys Tiesės Г padėtį erdvėje vienareikšmiškai nusako taškas Λ ί 0 ( χ 0 ; v 0 ; r 0 ) , per kurį eina ta tiesė, ir lygiagretus su ja nenulinis vektorius š = {l;m;n} (4.8 pav.), vadinamas tiesės krypties vektoriumi. Kintamąjį tiesės T tašką pažymėkime M(x\y\z) ir nubrėžkime vektorių MQM M
0
M
=
r - F
0
. Kadangi vektoriai =
{ . х - х
0
\ у - у
0
; г - г
}
0
ir s yra kolinearūs, tai
4.8 pav. r - F0 = t • s ;
(3)
čia r ir F0 — t a š k ų M ir MQ spinduliai v e k t o r i a i , r e a l u s i s skaičius. (3) lygtis vadinama vektorine tiesės T lygtimi. Iš jos, sulyginę vektorių F - F 0 ir t š koordinates, gauname lygtis X — XQ
'
= tl,
y-yo=tm, Z-Zq=
tn,
arba X — X0 + //, • y = y0 + tm, Z =
(4) lygtys vadinamos parametrinėmis Kadangi
vektoriai
F-F0
ir
s
ZQ
+ tn. tiesės T lygtimis.
yra kolinearūs, tai j ų
proporcingos. Iš šios sąlygos išplaukia erdvės tiesės kanoninės X - X Q _ y-yQ _ Z - Z Q I
(4)
m
koordinatės
lygtys
(5) lygtis galėjome gauti iš (4) lygčių, tereikėjo eliminuoti iš j ų parametrą/: X-Xq
'zO = t.
У-У 0 = t, m n
I Iš čia ir išplaukia (5) lygtys. Tarkime, žinomi du tiesės T taškai M \ ( x \ \ y \ , z \ )
ir M 2 (x 2 ;, v 2> z 2) ·
Tada vektorius M i M 2 = {x2 - x \ , y 2 - }']',Z2 - Z | } gali būti tiesės T krypties vektorius
s . Į (5) lygtį vietoj taško
M0
koordinačių įrašę taško
Mt
koordinates, vietoj /, m, n — dydžius X2 - X1, V2 - v ι, z 2 - Z|, gauname tiesės, einančios per du taškus, lygtį X-X| χ
Sprendimas. Iš taško P nuleiskime statmenį į plokštumą π; to statmens pagrindas Q ir bus taško P projekcija. Tašką Q galėsime rasti kaip tiesės T ir plokštumos π sankirtos tašką. Kadangi plokštumos π normalės vektorius h = {2;-4;3} yra lygiagretus su tiese T, tai jį galima laikyti šios tiesės krypties vektoriumi. Pritaikę (5) formules, parašome kanonines tiesės lygtis: x - 3 _ y- \ _ z+ 5
2 3 Norėdami rasti tiesės T ir plokštumos π sankirtos tašką Q. turime išspręsti sistemą, sudarytą iš j ų lygčių: χ - 3 _ y -1 _ Z4-5 ' 2x - 4y + 3z - 1 6 = 0.
(6)
Tokią sistemą patogiausia spręsti, pakeitus kanonines tiesės lygtis parametrinėmis: χ-3 v-1 z +5 = /, ~ — t, ~ t, 2 4 3 arba χ = 2t + 3, y = -4t +1, z = 3t - 5 . =
{rašę šias χ, y, z išraiškas į antrąją (6) sistemos lygtį, gauname 2 ( 2 / + 3 ) - 4 ( - 4 ? + 1) + 3 ( 3 / - 5 ) - 1 6 = O , 29/ - 29 = O , t= 1. Tada χ = 5, v = - 3 , z = - 2 . Vadinasi, taško P projekcija plokštumoje π yra taškas Q (5; - 3 ; - 2 ) . • 2 pavyzdys. Plokštuma π nubrėžta per dvi lygiagrečias tieses -1
Kintamąjį plokštumos π tašką pažymėkime M ( x ; v; z) ir nu-
brėžkime vektorius M\M
bei M 1 M 2 ; čia M\ (1;-1; 4), M 2 (0; 2;-5) — t a š k a i ,
per kuriuos eina duotosios tiesės 7j ir T2 (4.10 pav.). Kai taškas M priklauso plokštumai π, tai
vektoriai
M 1 M = {x-l;y
+ l;z-4}
,
MxM2 = {-1; 3;—9} ir tiesių krypties vektorius J = {3;-1;2} yra vienoje plokštumoje, taigi šie vektoriai komplanarūs. Parašykime trijų vektorių komplanarumo sąlygą: X - I
M M χ MTM
-i
y+1 3
3
4.10 pav. z-4 -9
= 0 <=> 3x + 25 v + 8z - 1 0 = 0.
2
Gautoji lygtis ir yra plokštumos π lygtis.
4.5. Erdvės tiesės bendrosios lygtys Dvi susikertančios plokštumos τΐ| ir Ti2 , nusakomos lygtimis A\X + B\y + +C\Z + D\ = 0 ir A2X + B2V + C2z + D2 = 0 , apibrėžia vieną tiesę — j ų sankirtos rezultatą. Todėl lygčių sistema ] AiX+ B1 v + C1Z + D1 = 0 , I Л2х + B2y + C2Z + D2= 0 erdvėje nusako tiesę Г (4.11 pav.). (7) lygtys vadinamos bendrosiomis lygtimis.
(7) tiesės T
Pakeiskime jas kanoninėmis lygtimis, apibrėžiamomis (5) formulėmis. Tam tikslui reikia žinoti tiesės T tašką Mq bei jos krypties vektorių s . Taško M0 koordinates rasime iš (7) sistemos, laisvai parinkę kurią nors vieną koordinatę ir išsprendę tą sistemą kitų dviejų koordinačių
4.11 pav. atžvilgiu. Kai
n| ir w2
У га plokštumų
π\ ir π 2
normalės vektoriai, tai
щ 1 7 t | , M2-L π 2 . Kadangi plokštumų sankirtos tiesė T priklauso tiek vienai, tiek kitai plokštumai, tai щ L T ir w2 ± T , taigi tiesė T yra statmena vektorių щ ir w2 plokštumai. Iš vektorinės algebros žinome, kad vektorių Wi ir w2 plokštumai yra statmenas vektorius ή χ W2. Iš čia išplaukia, kad vektorius n\ χ й 2 yra lygiagretus su tiese T, todėl jį galima laikyti tiesės T krypties vektoriumi .? . Vadinasi, s = щ χ « 2 . Pavyzdys. Bendrąsias tiesės lygtis Ых -
\2y - 3z + 10 = 0, turinčią sprendinį y = 1, z = 4. Taigi M 0 (1; 1; 4). Raskime š =щ х й 2 . Kadangi щ = {4;-5; 1}, W2 = {l;2;-3},tai i 4
J -5
1
2
k 1 = 13Г + 137 + Ш -3
Vadinasi, kanoninės tiesės lygtys yra tokios: X-I
v-1
13
13
z13
={13;13;13}.
arba X-I
_ y-\
_ z-4
~
1
~
1
'
Jas galima parašyti ir taip: X - I
= y-\
=z-A
. •
4.6. Kampas tarp tiesės ir plokštumos Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis X-X
0
=
y-V0
=
Z-Z
0
/ m n o plokštuma π — lygtimi Ax + By +Cz + D = O . Kampu φ tarp tiesės T ir plokštumos π vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje π (4.12 pav.). Kadangi φ + α = —, tai cos α = cos
φ = sin φ ;
čia α — kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus š={l;nr,n} ir plokštumos π normalės vektoriaus n = {A\B\C). Iš vektorių n ir s skaliarinės sandaugos išplaukia, kad n•š cos α =
TF
У /
J
/ /
π /
/ /
У
Tada
4.12 pav.
Al+ Вт + Cn у]а2 +B2
/
/
n • S
sin φ :
•r
+C2 у]/ 2 + m 2 + η 2
Kai Г Il π, tai и _L .s:, todėl n-s = 0. Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą·. Al + Bm + Cn = 0. Kai Γ ± π , tai w | | s , todėl j ų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga: 1
m
n
Pavyzdys. Su kuria B reikšme tiesė Γ, nusakoma lygtimis J χ - 2 v + 3z + 8 = 0, [4x -
+ 4z - 1 = 0,
bus lygiagreti su plokštuma π, kurios lygtis 2x - By - 2z - 3 = 0 ?
Sprendimas. Kai tiesė Tlygiagreti su plokštuma π (4.13 pav.), tai tiesės krypties vektorius s yra statmenas plokštumos normalės vektoriui h = {2; - B\ - 2 } ir skaliarinė j ų sandauga s n = 0. Pažymėkime: H1 = {!;—2;3}, n 2 = = {4;-3; 4}. Kadangi s = nt x n 2 , tai iš sąlygos
s n =O
išplaukia,
kad
(й| χ ή 2 )· n = O . Vadinasi, 1
-2
4 - 3 2 4.13 pav.
-B
iš čia - S B - S = 0,
3 4 = 0; -2 .B = - I .
4.7. Taško atstumas iki tiesės erdvėje Tarkime, kad duota tiesė T, kurios lygtis
I ir taškas M\
_У-Уo m
-zO
; y\; z \ ) , esantis šalia tos tiesės. Pažymėkime tašką M0(x0;y0;z0). MqM\
žinomą tiesės T Tada vektorius
ir tiesės krypties vektorius
š = {I, m, n]
apibūdins
lygiagretainį
MqM\AB (4.14 pav.), kurio aukštinė lygi atstumui d nuo taško
M\
iki
tiesės T. Remdamiesi 3.8 skyrelio (27) formule, gauname:
4.14 pav.
M0Mi χ s d =
Pavyzdys. Apskaičiuokime atstumą nuo taško x +2 _ У+3 _ z -1
2
~5'
(8)
Л/1 (6; L;—6) iki tiesės
Sprendimas.
Kadangi AZ 0 (-2;-3;0), o M , ( 6 ; l ; - 6 ) , tai AZ0M1 = {8;4;-6}
4.8. Tiesės plokštumoje lygtys Tiesę plokštumoje, kaip ir plokštumą erdvėje, galima nusakyti keliais būdais: dviem taškais, per kuriuos eina priklausančiu tai tiesei, ir su ja lygiagrečiu vektoriumi; tašku, tiesei, ir jai statmenu vektoriumi. Nelygu kuris tiesės padėties pasirinktas, gaunamos skirtingos išraiškos tiesės lygtys. Kai tiesės padėtį plokštumoje nusako jos taškas normalės vektorius
h = {A\B},
vienareikšmiškai ta tiesė; tašku, priklausančiu tai nusakymo būdas
M0(X0^0)
ir jos
statmenas tai tiesei, tai analogiškai bendrajai
plokštumos lygčiai gauname bendrąją tiesės lygtį Ax+By+C=0; čia C = -Ax0
- By0 .
Matome, kad ji yra pirmojo laipsnio lygtis kintamųjų χ ir y atžvilgiu. Pavyzdys. Tiesės T, einančios per tašką M 0 ( l ; 2 ) ir statmenos vektoriui n = {3;-4}, lygtis yra 3(x -1) -4(y
- 2) = 0,
3x - 4 v + 5 = 0 .
Kai tiesė ašyse Ox ir Oy iškerta atkarpas α ir Λ (4.15 pav.), tai j ą galima nusakyti jos ašine lygtimi
a
b
•
Kai žinomas vienas tiesės taškas
Μ0(χ0;^0)
'r
su
ja
lygiagretus
nenulinis vektorius i = {/;w}, tai tiesę galima apibūdinti jos kanonine lygtimi X-Xp = v - v p / m analogiška erdvės tiesės kanoninei lygčiai.
(9)
Kai žinomi du tiesės Г taškai M j (x|; y , ) ir M 2 ( x 2 ; J 7 2 ), tai jos lygtis yra tokia: X-X,
y-y 1
=
J2 " J l Išvesime tiesės lygtį, kai žinomas taškas, per kurį ji eina, ir tos tiesės su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaromas kampas. Tarkime, kad tiesės T, einančios per tašką Af 0 (XoiJo) > krypties vektorius yra J = {I; m) arba jo ortas
= {cos a ; cos β}; čia α, β - kampai, kuriuos
vektorius s sudaro su teigiamosiomis ašių Ox ir Oy kryptimis (4.16 pav.). Kadangi α + β = — , tai cos β = cos J
1 '
X• 1УА / p b\ / 0
y
-α = s i n a i r s
= {cos a ; sin a } .
J
Vadinasi, (9) lygtį galime užrašyti taip:
T
X - X p
cos α
=
у - у р
.
sin α
iš čia у - y 0 = t g a ( x - х 0 ) , arba X
J - J o =к(х-х0).
(10)
4. 6 pav. Dydis к = t g a vadinamas tiesės T krypties koeficientu, o (10) lygtis — tiesės, kurios krypties koeficientas žinomas ir kuri eina per tam tikrą tašką, lygtimi. Pertvarkę (10) lygtį, gauname: y = Ax + y0 - kx0, y = kx + b\
(11)
čia b = v'o - Ax0 . Kadangi y = b, kai χ = 0, tai tiesė T eina per tašką N{0; b). Taigi J b I yra atkarpos, kurią tiesė iškerta ašyje Oy, ilgis (4.17 pav.). Lygtis y = kx + b vadinama kryptine tiesės lygtimi. Tiesės, einančios per koordinačių pradžią, lygtis yra y = Ax.
Pavyzdžiui, kai per tašką M 0 (-1;—3) einanti tiesė su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaro kampą α = 120°, tai k = Xg\20°=-y[3.
Tada (10) lygtis
virsta lygtimi y + 3 = - 7 3 ( x + l), y =- β x - 3 - f i .
4.9. Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje Kampas φ tarp dviejų tiesių 7j ir T2 lygus kampui tarp šių tiesių normalės vektorių n\ ir H2 arba jų krypties vektorių šj ir S2. Šis kampas randamas panaudojant 3.7 skyrelio (7) formulę. Kai tiesės Tj lygtis yra A1X + B1 y + Cj = 0 , tiesės T2 lygtis — A2X +B2y + C2 = 0 , tai ilrn2 0 0 8 φ
_
~Ν·Ν~
AiA2+
BiB2
fiftH?.
Pavyzdžiui, smailusis kampas 1аф tiesių
ĮąTĄ' 2x-7v + 4 = 0
ir
13x +
+2 v - 1 = 0 nustatomas iš sąryšio cos φ =
26-И 12 , =—Į = — į = — p = к 0,125 ; ^22 + ( - 7 ) 2 -yjl32 + 2 2 л/53 л/^ТЗ
iš čia φ « 82,8°. 1 pavyzdys. Duota tiesė T, kurios lygtis 3x - 2y + 6 = 0. Parašykime dviejų tiesių, einančių per tašką Λ/ 0 (1;-3), lygtis, kai viena tų tiesių yra
Sprendimas. Tiesės Γ normalės vektorius n={3; —2} yra statmenas tai tiesei. Imkime ieškomosios tiesės 7j kintamąjį tašką Ki(x\y) ir nubrėžkime vektorių M0Kt
= { x - l ; y + 3}. Kadangi n LT , tai kartu n _L M0Ki
s2 = {3;-2} sutampa su tiesės Γ normalės vektoriumi n . Pertvarkę (12) lygtį, gauname ieškomosios tiesės T2, statmenos tiesei T, bendrąją lygtį 2x + 3y + 7 = O . Šios tiesės normalės vektorius kartu yra ir tiesės 7j krypties vektorius, todėl f , = {2;3} .
•
Išvesime kampo tarp tiesių 7j ir T2 formulę, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai k\ ir k2.
Kadangi, susikertant dviem tiesėms, susidaro keturi
kampai, iš kurių du yra skirtingi, tai kampu tarp tiesių 7j ir T2 (4.18 pav.) sutarsime vadinti smailųjį kampą φ, kuriuo reikia sukti tiesę Ti apie tašką C, kad ji sutaptų su tiese
T2.
Jeigu sukama priešinga laikrodžio rodyklės
judėjimui kryptimi, tai kampas yra teigiamas, jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi — yra neigiamas. Tiesių 7j ir T2 su ašimi Ox sudaromus kampus pažymėkime
ir
a2.
Tada
kį = tga.|,
k2 = t g a 2 . Kadangi
trikampio ABC priekampis, tai α 2 = α.| + φ ; iš čia φ = α 2 - сц ir tg cp
= tg(a2-a,)= ' ^ - t g a · . l + tga,tga2
Vadinasi, k 2 — /с,
a2
yra
B11
С
4.19 pav.
4.18 pav.
Kai tiesės 7j ir T2 yra lygiagrečios, tai φ = O arba φ = π. Tada tgų> = O ir k\ = k2 . Lygybė k\ = k2 ir atspindi dviejų tiesių lygiagretumo
sąlygą.
Kai tiesės 7j ir T2 yra statmenos, tai φ = 90° ir a2 = o i | + 9 0 ° . Iš čia t g a 2 = tg((X| + 9 0 ° ) = - c t g a i .
Vadinasi,
tga2=-
1 tga,
Todėl lygybė 1 + k\k2 = 0 išreiškia dviejų tiesių statmenumo
arba
k2 =
k,
sąlygą.
2 pavyzdys. Tiesė eina per taškus A(2; 2) ir C( 12; 8) (4.19 pav.). Per atkarpos AC vidurio tašką M nubrėžta tiesė BM sudaranti su AC 45° kampą. Parašykite tiesės BM lygtį. Sprendimas. Parašykime tiesės AC, einančios per du žinomus taškus, lygtį: χ-12 _ y-8 2 - 1 2
~
2 - 8
'
χ - 1 2 _ >--8 -10
- 6
AC : 3 x - 5 ^ + 4 = 0. Žinome, kad kryptinė tiesės lygtis yra y = kx + b. Todėl, iš gautos lygties . . 3 4 3 išreiškę y = — χ + — , sužinosime tiesės AC krypties koeficientą k A ę = —. Tiesės
BM
krypties
koeficientą
kBM
apskaičiuosime
formule 3 T
tg45°=^
, —
BM
3 — k BM
1
^+
-kBM
remdamiesi
iš čia
k
Randame taško Mkoordinates:
B M
=-~.
xM =
= 7,
yM =
=
5.
Parašykime tiesės BM lygtį: y-s
= ~ ( x - D , 4 BM : χ + 4y — 27 = 0 . 45° kampą su įstrižaine AC sudaro ir tiesė B'M . Jos krypties koeficientas 1
к в M = 4 · n e s B'M.L BM. T u o m e t j o s lygtis bus tokia: y-5
= 4(x-7),
B'M :4x-y-23
= 0.
•
4.10. Taško atstumas iki tiesės plokštumoje Tarkime, kad šalia tiesės Γ, kurios lygtis Ax + By + C = O , duotas taškas M\(x\\ V|). Šio taško atstumas iki tiesės plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę Ax j + Byi + C d =
(13)
analogišką taško atstumo iki plokštumos formulei. Pavyzdys. Dvi kvadrato kraštinės yra tiesėse, kurių lygtys 3x-4y
+
+7 = 0 ir 3.Y - 4y + 25 = O . Apskaičiuokime to kvadrato plotą. Sprendimas. Nurodytose tiesėse esančios kvadrato kraštinės yra lygiagrečios, nes jų abiejų normalės vektorius yra n = {3;-4}. Todėl kvadrato kraštinės ilgis lygus atstumui tarp šių tiesių arba atstumui nuo bet kurio pinnosios tiesės taško iki antrosios tiesės. Pasirinkime bet kurį tiesės 3 x - 4 j ' + 7 = 0 tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio abscisė χ = 3. Iš lygties 3x - 4 y + 7 = O gauname y = 4. Apskaičiuokime atstumą nuo taško (3; 4) iki tiesės Зх - 4 y + 25 = 0 . Remdamiesi (13) formule, gauname: 3 - 3 - 4 - 4 + 25 d—
18
= 3,6
Vadinasi kvadrato plotas S = d2 =12,96 (kv. vnt.).
•
Uždaviniai 1. Taškas A(3; -4; 7) yra plokštumoje π. Parašykite jos lygtį, kai yra žinoma, kad jos normalė yra: a) vektorius ή = {2; 5;-l 1}; b) ašies O: ortas. 2. Taškas /4(-2; 1;3) yra plokštumoje π, lygiagrečioje su plokštuma 3x - Iy + z - 5 = 0. Parašykite plokštumos π lygtį. 3. Parašykite plokštumos, einančios per taškus M^-4-,0,2), A/2(3;1;I) ir Ai 3 (0;-5;l), lygtį. 4. Taškai Λ/,(2;—7;0) bei M 2 (3;4;-5) yra plokštumoje π, statmenoje plokštumai 2x + y - 2z + 3 = 0. Parašykite plokštumos π lygtį. 5. Dvi kubo sienos yra plokštumose χ+ 2y-2: + 2 = 0 ir 3x + 6 y - 6 r - 4 = 0. Apskaičiuokite kubo tūrį. 6. Tiesė Teina per tašką^4(3; -5; 2) ir yra lygiagreti su tiese j 3.Y-Iy + z-4 = 0, j 2x + 5y - 2z + 3 = 0. Parašykite kanonines tiesės Γ lygtis. 7. Įrodykite, kad tiesės χ-2 y z . \2x + y-4z + \ = 0, -2 2 1 [4x-y-5z +2=0 yra statmenos. 8. Per dvi lygiagrečias tieses x - l _ y +3_z+l χ _ y + 2 _ z -1 -2 "" ~4 i nubrėžta plokštuma π. Parašykite šios plokštumos lygtį. 9. Su kuriomis A ir m reikšmėmis tiesė ——- = - + - = — yra: 3 m 4 a) statmena plokštumai Ax + Ъу - 7z +11 =0; b) lygiagreti su plokštuma Ax + 9 y - 6 z - \ = 0? 10. Raskite tašką Q, simetrišką taškui P( 1; - 3; 8) plokštumos 3x-y+2z atžvilgiu. 11. Taškas M(3; 2; -5) yra plokštumoje π, lygiagrečioje su tiesėmis
+6=0
x-l v + 3 z +1 , == ir χ =-it, y = - 2 / - 2 , z = 7/ + 3. 2 4 - 3 Parašykite plokštumos π lygtį. 12. Tiesė χ = 3 + 2/, y = -4-1, : = 5 + 3/ yra plokštumoje π, statmenoje kitai plokštumai Ix + y - 3z + 4 = 0. Parašykite plokštumos π lygtį.
13. Parašykite tiesės, einančios per koordinačių pradžią ir lygiagrečios su tiese 3.v - 2 v + 1 = 0, lygtį. 14. Parašykite tiesės, einančios per tašką M(-2\ 1), lygtį, kai ta tiesė yra: a) statmena tiesei 2x + Iy + 3 = 0 ; b) lygiagreti su tiese Ix + Iy + 3 = 0 . 15. Tiesė T ašyje Ox iškerta atkarpą, lygią 5, ir su ašimi Ox sudaro 120° kampą. Parašykite tiesės T lygtį. Kokio ilgio atkarpą ji iškerta ašyje Oyl 16. Parašykite tiesės, einančios per tašką M(3; 5) ir sudarančios su tiese Ix + 2y — 6 = 0 45° kampą, lygtį. 17. Raskite stačiojo lygiašonio trikampio viršūnes, kai žinoma stačiojo kampo viršūnė C(3; -1) ir trikampio įžambinė 3χ->· + 2 = 0. 18. Iš taško /1(5; 4) į ašį Ox kampu φ = arctg 2 krinta šviesos spindulys. Parašykite krintančiojo spindulio ir atsispindėjusiojo spindulio sklidimo trajektorijų lygtis. 19. Iš taško /1(3; 4) į tiesę x + y + 1 = 0 krinta šviesos spindulys, kuris atsispindėjęs patenka į tašką C(6; 2). Parašykite krintančiojo spindulio ir atsispindėjusiojo spindulio sklidimo trajektorijų lygtis. 20. Šalia tiesės 7", kurios lygtis χ + 3y - 9 = 0, pažymėtas taškas /)(4; 5). Raskite: a) taško A projekciją tiesėje 7"; b) taškui A simetrišką tašką tiesės Γ atžvilgiu. 21. Viena lygiagretainio kraštinė yra tiesėje 4 x + 3 y - 8 = 0 , o šiai kraštinei priešingos lygiagretainio viršūnės — taškuose /1(1; 2) ir S (4;-2). Apskaičiuokite lygiagretainio plotą. 22. Duotos trikampio viršūnės: A(-3; 4), 5(3; 1), C(7; 6). Parašykite pusiaukraštinės, nubrėžtos iš viršūnės 5, lygtį ir apskaičiuokite atstumą nuo viršūnės A iki šios pusiaukraštinės.
ANTROS EILĖS KREIVES IR PAVIRŠIAI
t
5.1. Antrosios eilės kreivės. Apskritimas Sakykime, plokštumoje parinkta koordinačių sistema xOy, F(x,y) dviejų kintamųjų funkcija. Taškų, kurių koordinatės χ ir v tinka lygčiai F(x,y)
yra
= O,
aibė vadinama plokščią/a kreive, o pati lygybė F(x,y)
=O
kreivės
lygtimi.
Kai F(x,y) yra kintamųjų* ir v antrojo laipsnio daugianaris, t. y. kai F(x,y) tai lygtimi F(x,y)
= d\\x
2
+а\2ХУ + й22)'
^
+^13-^ + ^23^ + ^33'
= O apibrėžta kreivė vadinama antrosios eilės kreive.
Pavyzdžiui, apskritimas yra antrosios eilės kreivė. Išveskime j o lygtį. Tarkime, kad apskritimo centras yra taškas
M(x;y)
C(x 0 ;_v 0 ), spindulys lygus /\ o kintamasis taškas — taškas M(x;y)
(5.1 pav.). Kadangi
r = CM = л / U - - V 0 ) 2 + ( . v - y . o f , tai iš čia gauname apskritimo lygtį
5.1 pav.
(.Y - X0 ) 2 + (y - V0 ) 2 = r 2 .
(D
Kai apskritimo centras sutampa su koordinačių pradžia, o spindulys lygus /-, tai apskritimo lygtis įgyja išraišką X2
Vadinasi, duotoji lygtis apibrėžia apskritimą, kurio centras - taškas C(2; - 3 ) , spindulys r = 3. A Toliau išnagrinėsime svarbiausias antrosios eilės kreives: elipsę, hiperbolę ir parabolę, kurios jau buvo žinomos Senovės Graikijoje.
5.2. Elipsė Du plokštumos taškus pažymėkime raidėmis Fi ir F2, o atstumą tarp jų — 2c (5.2 pav.). Apibrėžimas. Elipse vadiname kreivę, kurios kiek\>ieno taško M atstumų nuo dviejų plokštumos taškų F\ ir F2 suma yra pastovi: F\ M + + F2M=
const.
Taškai Fi ir F2 vadinami elipsės židiniais (rusų ir anglų kalba šie taškai vadinami fokusais, lot. focus - židinys). Atstumų FiM ir F2M sumą pažymėkime 2a ir tarkime, kad 2a > 2c, t. y. a > c. Iš apibrėžimo aišku, kaip galima
5.2 pav.
mechaniškai nubrėžti elipsę. Popieriaus lapo taškuose Fi ir F2
įtvirtinkime
siūlo, šiek tiek ilgesnio už atstumą tarp tų taškų, galus, o patį siūlą ištempkime, taške M įbesdami pieštuko galą. Pieštuką traukime popieriaus lapu taip, kad siūlas visą laiką būtų įtemptas. Pieštukas brėš elipsę, nes atstumų nuo taškų F i ir F2 iki pieštuko galo M suma bus visą laiką pastovi ir lygi siūlo ilgiui. y
Mix;yj
/•2(c:0)J
5.3 pav.
X
Išveskime paprasčiausią elipsės lygtį, kuri vadinama kanonine. Tam tikslui koordinačių sistemą parinkime taip, kad židiniai Fi ir F2 priklausytų ašiai Οχ, o koordinačių pradžios taškas sutaptų su atkarpos FiF2 vidurio tašku (5.3 pav.). Židinių koordinatės bus tokios: Fi (-c; 0), F2 (c- 0).
Kintamąjį elipsės tašką pažymėkime M(x; y). Jo atstumą nuo židinių /-j ir F2 pažymėkime atitinkamai η ir r2 . Pagal apibrėžimą, elipsės lygtį nusako sąryšis F1M +
F2M=Ia,
arba η + r2 = 2a. Kadangi r, = F 1 M = J(x + c)2 +y2 ,
o
r 2 =F2M
= -J(x-c)2
+ y2 ,
tai J(x + c)2 +y2
+ J(x-c)2
+ v2 = 2a.
Antrąjį radikalą perkėlę į dešiniąją lygties pusę ir abi puses pakėlę kvadratu, gauname: (.v + c ) 2 + y 2 = Aa2 - 4aJ(x-c)2
+ y2 +(x-c)2+
y2 ;
iš čia /
aJ(x-c)
2
2
+y
=a
2
-cx.
Dar kartą pakeliame abi lygties puses kvadratu: a2(x2
- 2cx + c 2 + v 2 ) = o 4 - 2a2cx + c2x2
a 2 χ2 - cx~> 2+ a y~> =2a (a2 - c2)χ2
+ a2y2
,
- 4a c 2, 2
=a2(a2
-c2).
(2)
2 2 7 7 7 Kadangi a > c, tai a -c" > O, todėl galime pažymėti a - c = h ; čia b > O ir b < a . Tada (2) lygtis įgyja išraišką b2 χ2+a2 7 7
Abi jos puses padaliję iš a"b
y2=
a2 b2.
Φ O , turime 2
2
V f r a b
1
·
(3) lygtis vadinama kanonine elipsės lygtimi. X2
Išsiaiškinsime, koks yra geometrinis elipsės vaizdas. Kadangi — > O, a ,2