IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIE REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE MBRE 2010 1
TRIGONOMETRÍA
SEMANA Nº 01 TEMAS: ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO, SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR.
Mgtr. Graciela del Pilar Burgos Namuche COORDINADORA:
ANGULO ANGULO TRIGONOMETRICO TRIGONOMETRICO Es aquel que se e!era al "a#er r$%ar u! ra&$ '$r su
Equ(+ale!#(a: 1! 9 100$
$r(e!) lla*ad$ +,r%(#e) desde u!a '$s(#(! (!(#(al .lad$
1! 9 10 000 "
(!(#(al "as%a u!a '$s(#(! (!al .lad$ (!al
$
1 9 100
SISTEMAS SISTEMAS DE DE MEDICIÓN MEDICIÓN ANGULAR ANGULAR S$! las d(s%(!%as $r*as $ *ed($s 'ara *ed(r !ul$s #ada u!a #$! sus 'r$'(as relas & u!(dades Las u!(dades de *ed(da e! #ada s(s%e*a se #rea! e! $r*a ar3(%rar(a) %al es as4 que se le 'uede %$*ar #$*$ #$*$ u!(dad u!(dad de *ed(da *ed(da u! !ul$ !ul$ #u&$ ar#$ es equ(+ale!%e equ(+ale!%e a
1 360
)
1 400
) e%# e%# 'ar%e de u! !ul$ !ul$ de
"
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R) Ta*3(,! Ta*3(,! lla*ad$ lla*ad$ circular $ internacional es aquel que %(e!e #$*$ u!(dad a u! rad(a! .1 rad 1 Rad#an '1 Rad(.) Se Rad(.) Se de(!e as4 a la *ed(da del !u !ull$ #e!% #e!%ra rall que que su3% su3%((e!de e!de e! #ual #ualqu qu(e (er r #(r#u!ere!#(a u! ar#$ de l$!(%ud (ual al rad($
u!a +uel%a P$r l$ e5'ues e5'ues%$ %$ se e!%(e! e!%(e!de de que e5(s%e e5(s%e! ! *u#"$s *u#"$s s(s%e*as 'ara *ed(r !ul$s) 'er$ l$s *s usuales $ #$!$#(d$s s$! %res: S Se5aes(*al
S Ce!%es(*al
R
S Rad(al
D(#"$ s(s%e*a d(+(de al !ul$ de u!a +uel%a .1 + e! 670 'ar%es (uales & a #ada 'ar%e se le de!$*(!a 18 '$r l$ %a!%$:
1 +uel%a 9 6708 Sus u!(dades:
R
⇒ θ = Si: L = R ⇒ θ = 1 Lue$:
1 vuelta = 2π rad. rad.
O3s. π = 3.141592654 K Per$ el +al$r de π se le a%r(3u&e +al$res a'r$5(*ad$s #$*$:
1 *(!u%$ se5aes(*al
1
1 seu!d$ se5aes(*al
1;
= 3.14 π =
π =
22 7
Equ(+ale!#(a:
RADI RADI=N =N:: Es la *ed( *ed(da da del del !u !ul$ l$ #e!% #e!%ra rall que que
18 9 70 1 9 70
R = L
1 L Radian
O
SISTEMA SEXAGESIMAL (S) Lla*ad$ S(s%e*a Inglés ) es aquel que %(e!e #$*$ u!(dad a: Un Grado Sea!e"#$a% 1º
1$ 1"
1 *(!u%$ #e!%es(*al 1 seu!d$ #e!%es(*al
18 9 6700;
su3%(e su3%(e!de !de e! #ualqu #ualqu(er (er #(r#u! #(r#u!er ere!# e!#(a (a u! ar#$ ar#$ de l$!(%ud (ual al rad($
SISTEMA CENTESIMAL (C)
R 1 rad R
Lla*ad$ %a*3(,! francés) es aquel que %(e!e #$*$ u!(dad a: Un Grado Cen&e"#$a% 1! D(#"$ s(s%e*a d(+(da al !ul$ de u!a +uel%a .1 + e! <00 'ar%es (uales & a #ada 'ar%e se le de!$*(!a 1 ! '$r l$ %a!%$: 1 +uel%a 9 <00! Sus u!(dades:
1 rad =
∠ 1 +uel%a 9 2 πrad
∠ 1 vuelta 2π
R
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2010 2
TRIGONOMETRÍA
O*"er+a#one":
θ 9!ul$ #e!%ral e! Rad(a!es 0 ≤ θ
1 1 Rad 9 >?8 1? <<
≤ 2π
2 1 @ 18 @ 1 rad
6 Para #ualqu(er !ul$ '$s(%(+$ se #u*'le: R@S@C < Para *(!u%$s & seu!d$s %a!%$ se5aes(*al & #e!%es(*al se %(e!e:
2? 9 >0*
1 9 2>0s
AP AP
ÁREA ÁREA DEL DEL SECTOR SECTOR CIRCULAR CIRCULAR
Se %(e!e que) 'ara u! !ul$ θ #$rres'$!de u! rea S ) e!%$!#es:
RELACIÓN RELACIÓN NUMÉRICA NUMÉRICA ENTRE ENTRE LOS LOS SISTEMAS SISTEMAS DE DE MEDICIÓN MEDICIÓN ANGULAR ANGULAR
S =
l
S =
2
l .R
S =
2
≤ 2π
AP APLICACIÓN AP APLICACIÓN DE DE LA LA LONGITUD LONGITUD DE DE ARCO ARCO
S ° 9 C g 9 R rad . I.
θ .R 2
θ 9!ul$ #e!%ral e! Rad(a!es) 0 ≤ θ
Las *ed(das s$!: S ° ) C g ) R rad .
Se #u*'le:
2
2θ
DOS
RUEDAS
EN
CONTACTO,
CON
ENGRANA-ES)
L$s !*er$s de las *ed(das s$!: S , C , R
Al "a#er (rar e! $r*a s(*ul%!ea a*3as ruedas: Se #u*'le que:
S 180
S Ade*s: 9
=
C 10
=
=
C 200
20 R
=
=
L AA ¼ '
R
R.θ R
π
K
π
=
LBB ¼ '
=
r .θ r
S = 9K C = 10K π K
R =
20
S(e!d$: S: N*er$ de rad$ se5aes(*al de θ C: N*er$ de rad$ #e!%es(*al de θ R: N*er$ de rad(a!es de
II. DOS RUEDAS UNIDAS OR UNA /A-A Al "a#er (rar e! $r*a s(*ul%!ea a*3as ruedas:
θ
= LBB R.θ R = r .θ r L AA ¼ '
LONGITUD DE LONGITUD DE ARCO ARCO
¼ '
» La l$!(%ud de ar#$ AB (ual a l ; se #al#ula:
III. DOS RUEDAS UNIDAS OR UN E-E COMN Al "a#er (rar e! $r*a s(*ul%!ea
l
= θ . R
θ
R
= =
l
R l
θ
θ A
= θ B
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2010 6
TRIGONOMETRÍA
D$!de: nv 9 N*er$ de +uel%as
d 9 d(s%a!#(a que re#$rre el #e!%r$ de la rueda r = Rad($ de la rueda *e!$r R 9 Rad($ de la rueda *a&$r
E-ERCICIOS
I. NMERO DE UELTAS 2UE DA UNA RUEDA
Para de%er*(!ar la #a!%(dad de +uel%as
( nv )
1
L$s !ul$s (!%er!$s de u! "e'%$!$ se e!#ue!%ra!
dadas '$r la rueda de rad($ r ) desde la
e! 'r$res(! ar(%*,%(#a Se sa3e que el !ul$
'$s(#(! (!(#(al A "as%a la '$s(#(! (!al B
(!%er*ed($.e!
nv
=
la
'r$res(!
es
equ(+ale!%e
a:
α g β mφ s
d 2π r
Cal#ule:
r 9 rad($ de la rueda d 9 L$!(%ud re#$rr(da '$r el #e!%r$ de la rueda a 1< 2
E = α
− ( β + θ )
# 1>
d -1>
3 -1<
Del
r(#$
s(u(e!%e)
(!d(#ar
e 17 #ul.es
de
las
'r$'$s(#($!es s(u(e!%es s$! +erdaderas . $ alsas . β α
Ca"o I: RUEDA 2UE GIRA DENTRO DE UNA RUEDA MAYOR
I
α
II
α + β = 180º
=
θ
θ
III θ es u! !ul$ '$s(%(+$ & α es u! !ul$ !ea%(+$ a 6
nv
=
d 2π r
=
3
d
e
Al #al#ular:
( R − r )θ w=
2π r
D$!de: nv 9 N*er$ de +uel%as
#
x º x ' x '
+
x g x m xm
Se $3%(e!e:
d 9 d(s%a!#(a que re#$rre el #e!%r$ de la rueda r = Rad($ de la rueda *e!$r R 9 Rad($ de la rueda *a&$r
a 170
3 171
# 172
d 176
e 17<
< E! la (ura) #al#ular " m " :
Ca"o II: RUEDA 2UE GIRA /UERA DE UNA RUEDA MAYOR
a 7
nv
=
d 2π r
=
( R + r ) θ 2π r
3 ?
#
d >
e 10
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2010 < º
>
'
S( α = x5 y 6 z 7
''
es el #$*'le*e!%$ del !ul$
TRIGONOMETRÍA
C$! es%as de(!(#($!es del !ue+$ s(s%e*a #$!+(er%e
de *ed(da 14,3925º
π
Cal#ular:
6
= a 6
x + z y
3 2
# >
d 1
e -6
rad a rad$s) *(!u%$s & seu!d$s A%a"ual'a
a 41 A33*15**
3 40 A33*16**
# 41 A32*
d 41 A30*
) e 41 A33*16.6**
S(e!d$ S , C l$s !*er$s de rad$s se5aes(*ales
7
& #e!%es(*ales de u! *(s*$ !ul$ que #u*'le: −1
S
10 E! la (ualdad) #al#ule ! ) s( S , C , R s$! l$
= C + C + C + K −1
−2
−3
#$!$#(d$ 'ara u! !ul$ !$ !ul$
Cal#ular el #$*'le*e!%$ de d(#"$ !ul$ e!
( S + C)
rad(a!es a
π
π
3
20
#
6
π
π
d
5
e
10
a
9π 20
d
2
+
( C + R)
2
+
1800 + 19π 90 1800 + 19π 720
? Se *(de u! !ul$ %r($!$*,%r(#$ e! el se!%(d$
( R + S)
3
2
=
2(
S + C + R)
1800 + 19π
e
810
#
2
−
2
!S
1800 + 19π 81
1800 + 19π 8100
"$rar($ & se $3ser+a l$ s(u(e!%e: El #$#(e!%e e!%re la d(ere!#(a & la su*a del !*er$ de rad$s
11 Se %(e!e el se#%$r #(r#ular A"B #$! #e!%r$ e! " " "
se5aes(*ales & #e!%es(*ales es (ual al #$#(e!%e
) (!%er!a*e!%e se %raa el se#%$r CB# #$! #e!%r$
e!%re el !*er$ de rad(a!es & 5π E!#ue!%re el +al$r del !ul$ e! se5aes(*ales
» e! " B " . " # " e! "B & " C " e! AB )%al que :
"# a
d
−900 19 ÷ −400 17π ÷
º 3
º e
−800 17π ÷ −900 17π ÷
º #
−400 19π ÷
º
n−m
=
23
l
» BC
+
su rea es 1 + 6 Ar$Sen
º
R2
&
4l
=
» C#
3π l
»
AC
De%er*(!e la *ed(da del rad($ del se#%$r A"B ) s(
a
Dada la (ualdad:
n+m
= #B
1 2
u
1
÷u 4
3 1 u # 2 2 u d
−1
12 U! ar$ de rad($ (ual a
D$!de m, n, R re'rese!%a! el !*er$ de *(!u%$s
3 4
2
2 2
u
e
6u
m re#$rre u!a '(s%a
se5aes(*ales) !*er$ de *(!u%$s #e!%es(*ales &
#(r#ular de rad($ (ual a 15m Cal#ular el !ul$ que
!*er$ de rad(a!es de u! *(s*$
su3%(e!de el ar#$ re#$rr(d$ e! el #e!%r$ de la '(s%a
!ul$)
res'e#%(+a*e!%e Cal#ule el *e!$r !ul$ e!
#ua!d$ el ar$ da +uel%as
rad(a!es que #u*'le d(#"a #$!d(#(!
a 1608
a -12
3 -1<
# -10
d -
e -7
3 1278
# 1<<8
d 678
e F08
16 E! el r(#$ *$s%rad$ se %(e!e u! s(s%e*a de e!ra!aHes & '$leas La '$lea A de rad($ 6 $m
F
Su'$!a que e! el Per se (!+e!%a u! s(s%e*a de *ed(#(! a!ular d$!de la u!(dad es el rad$ Atahualpa
( 1 ) que equ(+ale a la >00 a+a 'ar%e de A
la *ed(da del !ul$ de u!a +uel%a) as4 %a*3(,! '$de*$s de(!(r su3*l%('l$s %al que: A
1
*
1
= 50* .1* : U! *(!u%$ A%a"ual'a
= 50** .1** : U! seu!d$ A%a"ual'a
(ra u! !ul$ de 708 Ju, !ul$ (ra el e!ra!aHe
C K S( el rad($ de la '$lea B es de l$!(%ud 16 $m.
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2010 >
a
d
π 3
π 6
rad
3
π 5
e
rad
rad
π 8
#
π 4
rad
rad
1< L$s rad($s de las ruedas de u!a 3(#(#le%a s$! e!%re s(
TRIGONOMETRÍA
es
el
#e!%r$
A!
= B =
a
2
+
#
2
+
e
2+
π
2
π
4
+ π d
2
#$*$ es a 20 Cal#ular el !*er$ de +uel%as que
ar#$
» !B
Ade*s
2
7 2
5 2
del
π +
3 2 2
2
+7
+ π
+ π
2π
π 2
da la rueda *e!$r #ua!d$ la *a&$r 3arre u! !ul$ 1 U! #uadrad$ ABC# (ra res'e#%$ al +,r%(#e A )
de 1200π rad
"as%a que el 'u!%$ B se e!#ue!%ra e! la d(a$!al a 700
3 1>00
d 2000
e 2>00
# 1000
AC ) de la '$s(#(! 'r(*era Ju, l$!(%ud re#$rre
1> L$s rad($s de las ruedas de u!a 3(#(#le%a s$!
10 $m & 60 $m res'e#%(+a*e!%e Cal#ular .e! m
el +,r%(#e C .e! $m ) s( la d(a$!al del #uadrad$ *(de 8 $m K
el es'a#($ re#$rr(d$ '$r la 3(#(#le%a) s( se sa3e ade*s que la d(ere!#(a del !*er$ de +uel%as que d(er$! #ada u!a de las ruedas 'ara re#$rrer el es'a#($ a!%er($r ue 200 a 48π
3 4800π
d 240π
e 24π
# 480π
a 8π
es 3(se#%r( del !ul$ B"# De%er*(!ar
# 2/>
2π
d 2 2π
e 4π
que las reas de l$s se#%$res A"C & B"# s$! (uales . α , θ e! rad(a!es
S 1 S 2
a 3 6/>
#
1F De%er*(!ar el rea de la re(! s$*3reada sa3(e!d$
17 E! la (ura *$s%rad se +er((#a 3 "A = AB & "C
a 1>
3 2π
d 1/1>
− θ )
3
# 1? De%er*(!e el 'er4*e%r$ de la re(! s$*3reada e! la
2
− θ )
R 2 ( α 4
e
R 2 ( θ 2
− α )
R 2 ( θ
2
e 1>/2
» (ura) d$!de " " " es el #e!%r$ del ar#$ AB &
R 2 ( α
+ α )
d
R 2 ( θ 4
− α )
IDEPUNP/CICLO REGULAR/SETIEMBRE-DICIEMBRE 2010 7 20
TRIGONOMETRÍA
E! la (ura adHu!%a " " " es el #e!%r$ de la #(r#u!ere!#(a) #u&$ rad($ *(de 1 $m De%er*(!ar el rea de la re(! s$*3reada) sa3(e!d$ que:
x : es la +(,s(*a 'ar%e de u! !ul$ de u!a +uel%a y : es la d$#ea+a 'ar%e de u! !ul$ de u!a +uel%a z : es la %r(,s(*a 'ar%e de u! !ul$ de u!a +uel%a w : es la se5%a 'ar%e de u! !ul$ de u!a +uel%a
a
π 3
$m2
d π $m 2
3
4π
e
3
π 6
$m2 $m2 .
#
2π 3
$m2
HOJA DE CLAVES Semana 1 CICLO AGOSTO-DICIEMBRE 2010 Cu!"# TRIGONOMETR$A C""%&na%"a# M' Graciela del Pilar Burgos Namuche. *e'una C+a,e 01 02 0 0 03 04 05 06 07 10 11 12 1 1 13 14 15 16 17 20
B C C C A E A C E B E C E B A D E B A C
T&em" D&.&/u+a% (M&n) M 2 2 2 M M 2 M M D D 2 2 M M 2 2 2 M M
