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Álgebra

1 Ecuaciones y Sistemas Lineales ¿Qué es una ecuación?

Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas donde se puede reconocer por lo menos una variable, por ejemplo: 5x – 4 = 2x + 5

Solución de una ecuación

Es el valor que toma la incógnita y que hace verificar la igualdad. Ejemplo: 5x – 4 = 2x + 5

Si x = 1 5(1) – 4 = 2(1) + 5 Si x = 3 5(3) – 4 = 2(3) + 5

.... ....

(F) (V)

Conjunto solución

Es el conjunto formado por las soluciones de una ecuación. 5x – 4 = 2x + 5 Solo se verifica para x = 3 Por lo tanto: C.S. = {3}

ECUACIÓN LINEAL DEL PRIMER GRADO Forma general:

Ax + B = 0; A ≠ 0

Donde:

x = – B ⇒ C.S. = &- B 0 A A

Clasificación de las ecuaciones lineales

Análisis de compatibilidad

2x – 8 =5 5x – 3 = 5x – 3 2x = 13 –3 = –3 x = 13/2 (verdad) C.S. = {13/2} C.S. = R Ecuación compatible Ecuación compatible determinada indeterminada 11x – 1 = 11x + 1 –1 = 1 (absurdo) C.S. = ∅ Ecuación incompatible o inconcistente

La forma que se busca es: AX = B Si me dicen que la Si me dicen que la ecuación es compatible ecuación es compatible determinada indeterminada Se cumple: Se cumple: A≠0∧B∈R A=0∧B=0 Si me dicen que la ecuación es incompatible o inconsistente Se cumple:

A=0∧B≠0

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o más incógnitas que se verifican de manera simultánea para un determinado conjunto de valores que toman dichas incógnitas. Ejemplo: *

Forma general: *

ax + by = c mx + ny = p

Análisis de compatibilidad Sistema compatible determinado a ! b m n

2x + 5y = 11 3x - 2y = 7

Es un sistema lineal que se verifica para: x=3∧y=1

Sistema compatible indeterminado a = b = c m n p

Sistema incompatible o inconcistente a = b ! c m n p

Por lo tanto: C.S. = {(3;1)}

3

ÁLGEBRA

1

ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES

5.o año

Trabajando en clase Integral 1. Si:

8. ¿Para qué valores a y b el sistema tiene infinitas soluciones?

4x - 2 - x + 13 = 6x + 5 _ x + 1 i 3 12 4

Halle: x2 – 1 4



UNMSM

*

ax + y = 8 x + by = 9



Da como respuesta la suma de valores encontrados. (UNMSM 2004 – I) Resolución: Como el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado, se cumple: a =1 =8 1 b 9 Entonces: a= 8 y 1 = 8 "b= 9 8 9 b 9 Por lo tanto: a + b = 8 + 9 = 145 9 8 72

(CEPREPUC 2013)

2. Resuelve: 10(x - 9) – 8(5 – x) = 2(4x – 1) + 5(1 + 2x) 3. Resuelve: 3x – (2x – 1) = 7x – (3 + 5x) + (4 – x) PUCP 4. Resuelve la ecuación lineal: (2m + 5)x2 + 3mx – 1 = –x2 + 8 Resolución: Como nos dan de dato que la ecuación es de primer grado, entonces se debe cancelar el término cuadrático. Veamos: (2m + 5)x2 + 3mx – 1 = -x2 + 8 2m + 5 = -1 → m = -3 Pero como resolver significa calcular el valor de “x”, entonces reemplazamos el valor de “m” en la ecuación: –x2 – 9x – 1 = –x2 + 8 –9x = 9 ∴ x = –1

9. Determina el valor de “a . b” de modo que el sistema 6x - (a - 2) y = 3 (2 - b) x + 5y = 2

*

Tenga infinitas soluciones.

10. Si el par (1, a) es solución del sistema

*

3x - y = k 5x + y = k - 2

Halla el valor de “a” (UNMSM 2011 – I)

11. En el sistema de ecuaciones

5. Resuelve la ecuación de primer grado: (p – 1)x2 –px + 7 – 3x2 = x2 – 2x + p

ax - by = 4 (a + b) x + (a - b) y = 11

*

6. Calcula “a + b” si la ecuación: 5ax – 3b = 2x + a Es compatible indeterminada. (CEPREPUC 2013)



7. Si: Halle x2 + y2

12. ¿Para qué valores de “a” el sistema es incompatible? (1 + 2a) x + 5y = 7 * 4y + ( 2 + a ) x = 8

1

ÁLGEBRA

Halla la suma de valores de a y b para que la solución sea x = 3 e y = 2 (UNMSM 2010 – I) UNI

2x + y = 8 x + 2y = 10

(CEPRE UNI 2012)

4

ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES

5.o año

Resolución: Ordenando el sistema: (1 + 2a)x + 5y =7 (2 + a)x + 4y =8 Además el sistema de ecuaciones lineales es incompatible. Si se cumple: 1 + 2a = 5 ! 7 2+a 4 8 Entonces: 4 + 8a = 10 + 5a 3a = 6 ∴a=2

5

13. Si el sistema: (m + 3) x + (2m + 3) y = 24 (m - 3) x - (1 - m) y = 8

*

No tiene solución, calcula el valor de “m”.

14. Dado el sistema lineal

*

2x + y = n + 3 x + 2y = 3 - n

Halla “n” Para que “x” sea el doble de “y”.

ÁLGEBRA

1

2 Leyes de Exponentes POTENCIACIÓN Exponente ↑

• 3–2 = 12 = 1 9 3



-3 • b 1 l = 53 = 125 5







52 = 25

↓ ↓ Base Potencia

2 -2 • b 2 l = b 3 l = 9 3 2 4

Exponente natural

Propiedades

an = a . a . ... . a, n ∈ N ∧ n ≥ 2 1442443 n veces

1. am . an = am+n

• 37 = 3 . 3 . ... . 3 1442443 7 veces

• m7. m5 . m–3 = m7+5–3 = m9 • 72n–5 . 7n+6 = 72n–5+n+6 = 73n+1

• (x2)5 = x2 . x2 . ... . x2 1442443 5 veces

• 2n+6 = 2n . 26

• x5 . x5 . ... . x5 = (x5)2n–3 = x10n–15 1442443 (2n–3) veces

2. am = am–n an

• (–3)4 = 81 y (–4)3 = –64 Observación: (–)PAR = (+) (–)IMPAR = (–)

13 • m-9 = m13–(–9) = m22 m

Exponente cero

-5 • a-9 = a–5+9 = a4 a

0

a = 1; ∀ a ≠ 0

2n + 5 • x2n - 3 = x5+3 = x8 x

• 4689740 = 1 • (–7)0 = 1 • –90 = –1 • (53 – 102 – 52)0 = (125 – 100 – 25)0 = 00

3. (am)n = amn

0

Observación:

“0 es indeterminado” • (x4)9 = x36

Exponente negativo



a–n = 1n ; a ≠ 0 a

2

ÁLGEBRA

• (x4)–3 = x–12

• 164 = (24)4 = 216

6

• 9n+5 = (32)n+5 = 32n+10

5.o año

LEYES DE EXPONENTES 2

2

• 3–5 ≠ 3(–5) ≠ (3–5)2 debido a que: 3–25 ≠ 325 ≠ 3–10

5. a n an bbl = n b

4. n

n

3 3 • b 2 l = 23 = 8 3 125 5

n

(a.b) = a . b

x x • 72x = b 72 l = 18 x 4 4

• (x2 . y3)6 = x12 . y18 • 3x . 2x = (2 . 3)x = 6x

RADICACIÓN Índice ↑

6





raíz ↑

64 = 2 ↔ 26 = 64

↓ ↓ Símbolo Radicando de raíz

•

3 4

•

8 . 2 = 16 = 4

•

Exponente fraccionario

x5 = 2.3.4 x5 = 24 x5

x+3

22 .

x+3

x+3

2x + 3 = 2

n

• x5/2 = x5 •

7

•

• a1/2 = a ; a1/3 = 3 a

3

1

•

IMPAR

a = b

n

_- i = NO EXISTE en R

PAR

9 . 3 3 = 3 27 = 3

= 227 3 = 23 = 8

Observación: •

a.b = n a . n b

3.

-1

• 83 = 81/3 = 2 3 -1

22 .2 x + 1

8 = 4.2 = 4 . 2 = 2 2

•

7/3

n =n

• 227

x+3

2.

am/n = n am 3

2x + 1 =

•

_- i = _- i

3

•

Propiedad

125 = 27 8 = 2

3 3

n n

a,b!0 b

125 = 5 3 27

8 = 4 =2 2

4.

1.

m n

x. 3 x2 . x = 2.3.2 x11 = 12 x11

a = m.n a

ECUACIÓN EXPONENCIAL Teorema 1

Teorema 2

ax = ay ⇔ x = y, a > 0 y a ≠ 1 • 35x+3 = 2711 ⇒ 35x + 3 = (33)11 5x+3



⇒3



∴x=6

33

=3

Ecuaciones trascendentes

ax = bx ⇔ x = 0, a ≠ b ∧ a.b ∈ r – {0;1} x–2

x–2

• 3 = 11 ∴x=2

7

⇒x–2=0

xx = yy ⇔ x = y, ∀xy > 0 • xx = 27

⇒ xx = 33



∴x=3 ÁLGEBRA

2

5.o año

LEYES DE EXPONENTES

Trabajando en clase Integral

UNMSM 1024 8. Si: (2x – 1)2x = 7 con x ≠ 1 , halle 3 2x + 5 3 2 2 x-8 Resolución:

1. Reduce la siguiente expresión: 2 3 .152 M = 30 .81 182 .27 4



? 2x 1024 Sabemos: _2x - 1 i = 7 2 x -S 43 210

2. Calcula el valor de: x+1 x+2 x+3 E = 2x - 3 + 2x - 2 + 2x - 1 2 +2 +2

26

(UNALM 2007 – I) 3. Si a = 8 5 , determina el valor de la expresión: c 3 :_a3 .b i3 .c D :_c3 .b i3 .a D

3

(UNAC 2011 – II)

PUCP 4. Si x = 3, halla el valor de: K = xx

x+1

- x 2x

Resolución: Se busca para reemplazarlo por el valor de 3:

K = xx

x

1

.x

x1 x x

- _ xxi

2

- _3 i

K= x



K = _ x x i - 9 = 18



(2x–1)2x =

xx

10 (2x–1)2x . (2x – 1) = 2 6 2



9. Si (3x – 1)3x = 34 con x ≠ 1 , halle (x – 1) 3 10. Si aa = 264. Calcula el valor de “3a”.

UNI E=x

12. Calcula el valor de “n” en la siguiente expresión:

x + x1 + x

1 d3

(CEPREPUC 2013)

6

5 3

2

x . x . x

x+1

1 d3

x+1

273 = 327 Calcular el valor de: M = 6x + 10

b2

n

1 6

a 4 .b-6

n

= d b n ;a ! b a

Resolución: Acomodamos la expresión así:

7. Al resolver y encontrar el valor de “x” en:

ÁLGEBRA

a .

-1

Indicar el exponente final de “x”.

2

1 -4 5

1 3

6. Luego de efectuar



(2x –1)2x+1 = 24 Por simple comparación: 2x – 1 = 2 ∧ 2x + 1 = 4 2x = 3 ∧ 2x = 3 ∴ 3 2x + 5 = 3 8 = 2

K = 9.2 = 3 2

5. Si xx = 6, calcula:



210 2 6 _ 2x - 1 i

11. Resuelve la ecuación: 22x+2 – 5(6x) = 32x+2 Luego calcular el valor de 5x (UNMSM 2011 – I)

2



Factorizamos en el denominador el 26



x

210 27 x - 26

(2x – 1)2x =



1 -4 5

a . 1 3

(PUCP 2010)

8

b2

a 4 .b-6

n

1 6

= a-n bn

5.o año

LEYES DE EXPONENTES Como se puede observar de la expresión el exponente final de a es –n y de b es “n” para ambos; entonces solo bastará con enfocarnos en a o en b. Escogeremos trabajar con a, así:





1 d3

a -4 n 1 3

a

2. 1 3

a4

(ab) 2 . 3 cb x 3

1 6

2 ax 4 b c l b

= _ab i 9 ; a ! b 10

= a -n

(UNI 1993 – II)

4

1/6 _ a - 4 i1 / 3

13. Para qué valor de “x” se cumple la siguiente igualdad:

=

1 _ a -4 i 2 2 3

a4

14. Calcula el valor de “x” en la expresión: -2 -2 = a 4 = a 6 = a -8 = a -n a 2/3 a

9

2 2 5 x .2 x .100-x = 1 10

(UNI 1993)

ÁLGEBRA

2

3 Polinomios TÉRMINO ALGEBRAICO

Nota:

T(x,y) = –3a2 . x7 . y5 123

variables

14243

coeficientes

Son aquellos términos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos TÉRMINOS SEMEJANTES exponentes. 7x3y8 ∧ 25x3y8

DEFINICIÓN DE POLINOMIO

III. Polinomio cúbico:

Es la expresión que enlaza una combinación finita de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y potenciaciones en las cuales los exponentes de las variables son enteros positivos. Ejemplo: • P(x,y) = 25x3y7 – 3x + 7y ⇒ Si es un polinomio • Q(x) = 7x4y–2 – 3x1/6 + 7y2 ⇒ No es un polinomio

IV. Polinomio de grado “n”

Donde: - a0, a1, a2 ... an → coeficientes - a0 → Coeficiente principal - an → Término independiente - n → Grado del polinomio - n+1 → Número de términos del polinomio

P(x) = ax + b; a ≠ 0

II. Polinomio cuadrático:

P(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0



P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-1 + ... + an-1x + an; a0 ≠ 0



Polinomios de una variable I. Polinomio lineal:

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d; a ≠ 0



VALOR NUMÉRICO Si le agregamos valores a las variables de la expresión matemática y efectuamos las operaciones que se indican, el resultado que se obtiene se llama “valor numérico”. 1ER CASO Si P(x) = x2 – 2, halla P(3) P(x) = P(3) x=3 Reemplazamos x = 3 ∴ P(3) = 32 – 2 = 7

2DO CASO 2

Si P(2x-1) = x – 2, halla P(3) P(2x–1) = P(3) 2x–1 = 3 x=2 Reemplazamos x = 2 ∴ P(3) = 22 – 2 = 2

Nota: • Suma de coeficientes P(1)

3

ÁLGEBRA

3ER CASO Si P(x + 5) = 3x – 2. Halla P(2x + 3) Cambiamos “x” por “a” ⇒ P(a+5) = 3a-2 P(a+5) = P(2x+3) ⇒ a + 5 = 2x + 3 a = 2x – 2 Reemplazamos a = 2x – 2 ∴ P(2x + 3) = 3(2x – 2) – 2 = 6x – 8

• Término independiente P(0)

10

5.o año

POLINOMIOS

GRADOS DE UN POLINOMIO MONOMIO M(x,y)=3x5y7z4

GRADO RELATIVO GRADO ABSOLUTO

POLINOMIO

P(x,y)=x2y4-x4y3+2x5z5 Es el valor del exponente de la variable en Es el valor del mayor exponente de la variable en referencia. referencia. GR(x) = 5 ∧ GR(y) = 4 GR(x) = 5 ∧ GR(y) = 7 Se obtiene sumando todos los exponentes Se obtiene como la mayor suma de los de sus variables. exponentes de cada uno de sus términos. GA(M) = 5 + 7 = 12 GA(P) = 7

POLINOMIOS ESPECIALES I. Polinomios idénticos:

Dos o más polinomios son idénticos si son del mismo grado y si sus términos semejantes tienen los mismos coeficientes o cuando tienen los mismos V.N. para cualquier valor que le asignen a sus variables. Si P(x) ≡ Q(x) y además P(x) = 3x2 – 7x + 2; Q(x) = ax2 + bx + c • Como son idénticos, entonces: ∴ a = 3; b = –7; c = 2

II. Polinomio idénticamente nulo:

Es aquel en el que todos sus coeficientes son iguales a cero o cuando sus V.N. para cualquier valor que le asignen a sus variables resulta ser cero. Si P(x) = (a + 2)x2 + (2c – 6)x – b + 7 es idénticamente nulo. • Como es nulo, entonces sus coeficientes son ceros a + 2 = 0; 2c – b = 0; –b + 7 = 0 ∴ a = 2; c = 3; b = 7

III. Polinomio homogéneo:

Se caracteriza por poseer sus términos de igual grado. M(x,y) = 4x9 . y6 – x7 . y8 + 5x10 . y5 123 1 2 3 14243 15 = 15 = 15

IV. Polinomio ordenado:

Es cuando sus exponentes solo aumentan o disminuyen. P(x) = 7 + x – x3, es creciente Q(x) = x4 – 8x2 + 2x – 1, es decreciente R(x) = + x2 – 9x + 2y5, es decreciente respecto a “x”

V. Polinomio completo:

Es cuando existen los términos de todos los grados incluyendo el término independiente, hasta un grado determinado. P(x) = 4 + 6x3 + x – 3x2, es completo y de grado 3 Q(x, y) = 7x2y + 9x + 11, es completo con respecto a “x” y de grado 2.

11

ÁLGEBRA

3

5.o año

POLINOMIOS

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Si P(x) es un polinomio definido por:

P(x) = 3x8-n – 5xn-4 + 2 x Calcula “n”

n 3

2. Si: f(2x – 1) = x2 – 3 y g(x) = x + 1 4x + 1 Halla: f(4) . g(3) 3. En el monomio M(x;y) = 4(m –1)xn+3y3m el GA es 21 y el GR(y) es igual al coeficiente. Halla el valor de “m . n” (UNALM 2009 – I) PUCP 4. Calcula el término independiente y la suma de coeficientes del siguiente polinomio: P(x) = (3x –2)5 + (1 – x)n – (x – 3)2 + 7 Resolución: Sabemos: Suma de coeficientes ⇒ P(1)

Término independiente ⟹ P(0) Entonces: Suma de coef. = P(1) = (3–2)5 + (1–1)n – (1–3)2 +7 = (1)5 + (0)n – (–2)2 + 7 =1+0–4+7=4 Térm. Indep. = P(0) = (0–2)5 + (1–0)n – (0–3)2 +7 = (–2)5 + (1)n – (–3)2 + 7 = –32 + 1 – 9 + 7 = –33 5. Si: P(x) = (x – 1)2013 + (x + 2)3 + x – 3 + a, y su término independiente es –15. Calcula la suma de coeficientes de P(x) (CEPREPUC 2006) 6. Los siguientes monomios: axmy3z5 ∧ bxmynza se reduce a 4ax4ynz5. Calcula “– a + b + m – n” 7. Si P(2 – x) = x2 + 2x – 2, halla la suma de los cuadrados de los coeficientes del polinomio P(x). (PUCP 2011 – II)

3

ÁLGEBRA

12

8. Halla el valor de a2 + b2 – c2”, si el polinomio: P(x) = x2a+1 + 2xb+3 + 3xc+2 + … + 2c Es completo y ordenado. Resolución: Del polinomio se observa que tiene “2c” términos, y es de grado “2c+1”; entonces: (2a + 1) + 1 = 2c → 2a + 2 = c a + 1 = c Se sabe que el polinomio es completo y ordenado de manera decreciente:

P(x) = x 2a + 1 + 2x b + 3 + 3x c + 2 + ... + 2c

Entonces: • (2a + 1) – 2 = (c + 2) → 2a – c = 3, pero c = a + 1 → 2a – (a + 1) = 3 → a = 4 c = 5 • (2a + 1) – 1 = (b + 3), pero a = 4 → 2.4 + 1 – 1 = b + 3 → b = 5 ∴ a2 + b2 – c2 = 16 9. Si el polinomio: P(x) = nxn+5 + (n + 1)xn+6 + (n+2)xn+7 + ... Es ordenado y completo, calcula: P(1) – P(–1) (UNMSM 2009 – II) 10. El polinomio P(x;y) = (m + 5)xy4 + (n + 4)x4y – 3xy4 – 5x4y es idénticamente nulo. Halla el valor de mn + n–m (CEPREUNMSM 2011 – I) 11. Halla la suma de coeficientes del polinomio homogéneo P(x,y) = 3axn–5y12 + 2(a–b)xayb + (7b+4)xny3n–14 (CEPREUNMSM 2011 – I) UNI 12. Sean los polinomios L(x) = x5 – 2x + p B(x) = mx2 + p M(x) = mx + n + p Si L(–1) = 7, B(2) = M(1) = 10 Halla x tal que M(x) = 0 Resolución: Por dato: L(x) = x5 – 2x + p ∧ L(–1) = 7 → L(–1) = (–1)5 –2(–1) + p → 7 = –1 + 2 + p → p = 6

5.o año

POLINOMIOS



13. Sean los polinomios P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Q(x) = ax2 + d R(x) = ax + b Si P(0) = 2, Q(1) = R(2) = 1 Halla x tal que R(x) = 0

Además: B(x) = mx2 + p → B(2) = 10 → B(2) = m . 22 + p → 10 = 4m + 6 → m = 1 También: m(x) = mx + n + p ∧ M(1) = 10 → M(1) = m + n + p → 10 = 4m + 6 → m = 1 Reemplazamos en M(x): M(x) = x + 9 Nos piden hallar x tal que M(x) = 0 M(x) = x + 9 = 0 ∴ x = –9

(UNI 2000 – I)

14. Si el polinomio P(x) = (ab–ac–n2)x2 + (bc–ba–2n)x + (ca–bc–1) Es idénticamente nulo. Calcula el valor de: E = 1 + 2 + 1 a b c (CEPREUNI 2013 – I)

13

ÁLGEBRA

3

4 Productos notables Son resultados de ciertas multiplicaciones algebraicas que se obtienen de forma directa, sin la necesidad de aplicar los axiomas de la distribución.

BINOMIO AL CUADRADO (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab

• _ 7 - 2 i = 7 2 + 2 2 - 2 7 2 = 9 - 2 14 2

Nota:

Ejemplos: • (x+5)2 = x2 + 52 + 2(x)(5) = x2 + 25 + 10x • (m – 7)2 = m2 + 72 – 2(m)(7) = m2 + 49 – 14m • (2x2 + 3)2 = (2x2)2 + 32 + 2(2x2)(3) = 4x4 + 9 + 12x2

1 2 1 1 1 2 2 b x + x l = x + 2 + 2x. x = x + 2 + 2 x x 1 2 1 1 1 2 2 b x - x l = x + 2 - 2x. x = x + 2 - 2 x x

IDENTIDAD DE LEGENDRE (a + b)2 + (a – b)3 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

Nota: 1 2 1 2 1 2 bx + x l + bx - x l = 2dx + 2 n x

Ejemplos: • (x + 3)2 + (x – 3)2 = 2(x2 + 32) • (m + 3n)2 – (m – 3n)2 = 4(m)(3n)

1 2 1 2 1 b x + x l - b x - x l = 4.x. x = 4

DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b)(a – b) = a2 – b2 Ejemplos: • (x + 6)(x - 6) = x2 – 62 = x2 – 36

• _ 5 + 2 i_ 5 - 2 i = 5 2 - 2 2 = 5 - 2 = 3 • (n2 + 1)(n2 – 1) = (n2)2 – 12 = n4 – 1 • (n4 + 1)(n4 – 1) = (n4)2 – 12 = n8 – 1

BINOMIO AL CUBO (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Forma reducida: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Forma reducida: (a + b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Ejemplos: • (x – 1)3 = x3 – 13 – 3(x)(1)(x – 1) • (x + 1)3 = x3 + 13 + 3(x)(1)(x + 1) • (3m – 2)3 = (3m)3 – (2)3 – 3(3m)(2)(3m – 2) Nota: 1 3 1 1 1 1 1 3 3 b x + x l = x + 3 + 3x. x b x + x l = x + 3 + 3 b x + x l x x 1 3 1 1 1 1 1 3 3 b x - x l = x - 3 - 3x. x b x - x l = x - 3 - 3 b x - x l x x

1

ÁLGEBRA

14

5.o año

PRODUCTOS NOTABLES

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 Ejemplos: • (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 23 = x3 + 8 • (x – 3) (x2 + 3x + 9) = x3 – 33 = x3 – 27 • (3m + 1) (9m2 – 3m + 1) = (3m)3 + 13 = 27m3 + 1

• _3 7 - 3 2 i_3 49 + 3 14 + 3 4 i = 7 3 - 2 3 = 7 - 2 = 5

IDENTIDADES DE STEVIN (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplo: • (x + 6) (x – 9) = x2 + (6 – 9)x + (6) (-9) = x2 – 3x – 54 • (x – 3) ( x – 1) = x2 + (- 3 – 1)x + (-3) (-1) = x2 – 4x + 3

IDENTIDADES ADICIONALES (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b + c)(a + c) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 Ejemplo: A = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x2 + 2x + 4) + 64 A = (x2 – 4)(x4 + 4x2 + 16) + 64 A = (x2)3 – 43 + 64 = x6

IDENTIDADES CONDICIONALES Si a + b + c = 0 • a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) • a3 + b3 + c3 = 3abc Ejemplo: Si a + b + c = 0, calcula el valor de: 3 3 3 2 2 2 M = a +b +c + a +b +c = 3-2 = 1 abc ab + bc + ac

15

ÁLGEBRA

4

5.o año

PRODUCTOS NOTABLES

Trabajando en clase Integral

Calcula:

1. Si x + y = 10; xy = 5, calcula x2 + y2 3

M+N 9b3 - 3b2

2. Si x – y = 4; xy = 1, calcula x + y

UNMSM

3. Si x + y = 6; x2 + y2 = 15 Calcula x – y, si x > y

8. Si: 2 + 1 = 8 , a y b números no núlos. a b a + 2b

PUCP

4. Si x + 1 = 4 , calcula x2 + 12 + x3 + 13 x x x Resolución: Sabemos que: 2 b x + 1 l = x2 + 12 + 2x. 1 x x x

→ 42 = x2 + 12 + 2 x



→ x2 + 12 = 14 x

Calcula E =

a6 + 17b6 a6 - 52b6 (UNMSM 2002)

Resolución: Por dato:

2 + 1 = 8 " a + 2b = 8 a b a + 2b a.b a + 2b



→ (a + 2b)2 = 8ab → a2 + 4ab + 4b2 = 8ab



→ a2 – 4ab + 4b2 = 0



→ (a – 2b)2 = 0 → a – 2b = 0 → a = 2b Entonces: a6 = (2b)6 = 64b6

También:

Reemplazando:

1 3 1 1 1 3 b x + x l = x + 3 + 3x. x b x + x l x



(CEPREPUC)

3



a6 + 17b6 = a6 - 52b6

E=

64b6 + 17b6 = 64b6 - 52b6

81b6 12b6



→ 43 = x3 + 13 + 3(4) x



→ x + 13 = 52 x

=



∴ x2 + 12 + x3 + 13 = 14 + 52 = 66 x x

9. Si 1 + 1 = 4 , a y b números no nulos. a 3b a + 3b (a ≠ b)

3

5. Si x – 1 = 3, calcula x2 + 12 +x3 – 13 x x x 6. Si a =

3 - 1 , calcula: 2

2

E = d a + 1 n +d a - 1 n 2 2 2 2

(CEPREPUC) 7. Si: M = (3b – 2a)(9b2 + 6ab + 4a2)



ÁLGEBRA

2 2 Calcula E = a +2 ab +2 b a -b

10. Si x2 + 5x – 3 = 0, calcula el valor de: U = (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) 11. Suponiendo que a + b + c = 0 y a, b y c no nulo, calcula:

N = (2a 2a – 3b)(2a 2a + 3b)

4

27 4

2 2 2 E= a +b + c bc ac ab

(UNMSM 2004 – II)

16

5.o año

PRODUCTOS NOTABLES UNI

9 2 _M2 - 2 i = a9 + 2 + x a x

9 12. Si se sabe que: a9 + x = 7 , ¿cuál es el valor de a x



la expresión

4

a +4 x ? a x9

M2 –2 = 3 → M = 5 (UNI 1981)

Resolución: Sea: M = 4

2

M =

M2 =

4

(M2 – 2)2 = 7 + 2

9

a + 4 x9 a x9 a 2 + 24 x9 a +2+ x9

_M2 - 2 i = f 2

a x9

4

x9 4 x9 2 + a a

x3 = 14 , ¿cuál es el valor + y x3



4

de la expresión

y

3 +4 x y x 3

14. Halle el valor numérico de

x9 a

a + x9

y

13. Si se sabe que:

2

x9 a p

-1



-3 m -3 P = f n -+ p m 3 .n-3



mn = 2 3 18

si ; m + n = 3 12 ;

(UNI 2008 – I)

17

ÁLGEBRA

4

5 División algebraica Sean D(x) y d(x) dos polinomios, tales que el grado de D(x) es mayor o igual que el grado de d(x). D (x) ,y La división está denotada por D(x) ÷ d(x) o d (x) consiste en hallar los polinomios q(x) y R(x).

D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

Donde: D(x): Dividendo d(x): Divisor q(x): Cociente R(x): Residuo o resto Además: GA(D) ≥ GA(d) y GA(d) > GA(R)

CLASES DE DIVISIÓN De acuerdo a su resto, se puede clasificar en:

I. División exacta:

La división es exacta si y solo si R(x) ≡ 0



D(x) = d(x) . q(x)

II. División inexacta:

La división es inexacta si y solo si R(x) ≠ 0



D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

PROPIEDADES DE GRADOS DE LA DIVISIÓN I. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor. GA(q) = GA(D) – GA(d) II. El máximo grado que puede alcanzar el residuo, es igual al grado del divisor menos uno. GAmax(R) = GA(d) – 1

MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS I. Método de Horner

Se utiliza para dividir polinomios de cualquier grado.



Procedimiento

Paso 1: Los polinomios dividendo D(x) y el divisor d(x) deben estar completos, y si falta algún término, en su lugar se reemplazará con un coeficiente cero. Paso 2: Armar el esquema de Horner, donde los coeficientes del divisor van con signo cambiado. Además de trazar una línea vertical que separe los coef. del q(x) de los coef. del R(x).





5

ÁLGEBRA

Coef. principal del d(x)

Coeficientes del dividendo D(x)

Coef. del d(x) con signo cambiado

Coeficientes del cociente q(x)



Paso 3: El esquema se completa haciendo las siguientes operaciones aritméticas: ÷

18

Coeficientes del resto R(x)

×

+

5.o año

DIVISIÓN ALGEBRAICA

II. Método de Ruffini

Se considera un caso particular del método de Horner, puesto que este método se utiliza cuando el divisor es de primer grado o adopta la forma lineal: d(x) = ax + b; a ≠ 0.



Procedimiento



Paso 1: El polinomio dividiendo D(x) y el divisor d(x) deben estar completos, y si falta algún término, en su lugar se reemplazará con un coeficiente cero.



Paso 2: Armar el esquema de Ruffini, los coeficientes del dividendo van con su respectivo signo. Además trazar una línea vertical en el último término, de tal manera que separe los coef. q(x) de R(x).



Nota: Si a ≠ 1, se realiza una división adicional solo a los coeficientes del coeficiente q(x).

TEOREMA DEL RESTO Este teorema se aplica en divisiones de la forma: P (x) ax + b

2º paso: Reemplazamos este valor en el dividendo: R(x) = D(–4) = (–4 + 5)25 + (2 + –4)2 – (–4) – 7 R(x) = 125 + (–2)2 + 4 – 7 = 1 + 4 – 3 = 2

En este tipo de divisores, el resto se obtiene calculando el valor numérico del dividendo, cuando x = –b/a. Entonces:

Ejemplo: Calcula el resto de dividir

R(x) = P d- b n a

x10 + 3x8 + x 4 - 5 x2 + 1 1º paso: d(x) = x2 + 1 = 0 → x2 = –1 El dividendo se puede expresar como: D(x) = (x2)5 + 3(x2)4 + (x2)2 – 7 2º paso: Reemplazamos x2 = –1 en el dividendo D(x): R(x) = (–1)5 + 3(–1)4 + (–1)2 –7 R(x) = –1 + 3(1) + 1 – 7 = –1 + 3 – 6 = –4

Ejemplo: Calcula el resto de dividir

25 2 _ x + 5 i + _2 + x i - x - 7 x+4

1º paso: d(x) = x + 4 = 0 → x= –4

Trabajando en clase Integral

PUCP

4 2 3 1. Al dividir 2x + 32 x - 3 + x , calcula el q(x) y 2x + x - 1 R(x)

4 3 4. En la división 9x + 26x + mx + n , el resto de la 3x + 2x - 1

3x 4 - x3 + 4x2 - ax + b es exacta. x2 + x + 3

3

(CEPREUNAC) 3

división es 3x + 7. Calcula el valor de m + n. Resolución: ÷

2. Calcula a – b, si la división:



2

3. Si el polinomio P(x) = x + 3x + ax + b es divisible por x2 + 2x – 8; entonces, halla el valor de “a – b” (UNFV 2007)

19

9

–2 1

6

0

–6

3

÷

0 ÷

m

n

0 –2

1

3 0 1 3 7 1444442444443 144424443 coef q(x) coef R(x) ÁLGEBRA

5

5.o año

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Entonces: R(x) = 3x + 7 = (m – 2)x + (n + 1) m–2=3∧7=n+1 m = 5 ∧ n = 6 ∴ m + n = 11 5. Si el resto de dividir

8x5 + 4x3 - mx2 + nx + p

10. Se divide el polinomio x3 + 2ax2 – 7ax2 + 2a3 entre x – a ¿cuál debe ser el valor de a2 de modo que el residuo sea 1? (UNMSM 2011 – I) 11. Calcula el resto al dividir:

2x 3 + x 2 + 3 es 5x2 – 3x + 7, halla el valor de “m+n+p”.



6. Calcula suma de coeficientes del cociente 6x 4 - 13x3 - x2 - 2x - 17 2x - 5



UNI 12. Halla el resto al dividir:

Resolución: Sabemos que si el d(x) es de 2do grado, entonces: R(x) es de grado uno. R(x) = ax + b Por el algoritmo de la división:

UNMSM

D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

8. Halla el resto de dividir:

(x+2)6 + 2x3 + 10 = (x+3)(x+2)q(x)+ ax + b

x2014 - 16x2010 + (2x - 3) 50 - 7x + 9 x-2 Resolución: Por el teorema del resto: d(x) = x – 2 = 0 x=2 2014 – 16.22010 + (2(2) – 3)50 –7.2 + 9 R(x) = 2 2014 – 24.22010 + 1 – 14 + 9 R(x) = 2 R(x) = 22014 - 22014 - 4 R(x) = –4



(x + 2) 6 + 2x3 + 10 ( x + 3 ) ( x + 1) (CEPREUNI 2013 – I)

7. El polinomio por el cual hay que dividir x3 – 2 para obtener x – 3 como cociente y 8x + 1 como residuo, es: (PUCP 2008 – II)



x100 - x15 + x8 + x5 - 1 x2 + 1



–2a = –52 a = 26 ∧ b = 35 R(x) = 26x + 35

13. Determina el resto que se obtiene al dividir:

(x - 3) 11 + (x - 4) 11 + 7 ( x - 3) ( x - 4) (CEPREUNI 2013 – I)

9. Halla el resto de dividir:

14. Determina el residuo de dividir:

4 ( x - 7 ) 8 - ( 3x - 5) 5 + 8 x-3



x300 + x3 + 1 entre x2 + x + 1 (UNMSM 2005 – I)

5

ÁLGEBRA

(CEPREUNI 2008)

20

6 Factorización Es la transformación de un polinomio, en una multiplicación indicada de sus factores primos, sobre un campo numérico. Factorización x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Multiplicación

Polinomio irreductible

Es aquel que no puede ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo numérico.

Factor primo

Es un factor irreductible de un polinomio que aparece como factor en una multiplicación indicada. P(x,y) = –3a3y7(3y – 7)4(2x2 + 1)8 2 • Factores primos: x ; y ; 3y – 7; 2x + 1 • Factores primos lineales: x ; y ; 3y – 7 • Factores primos cuadráticos: 2x2 + 1

MÉTODOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS • T(a;b) = 3a2 + 3a – 2ab – 2b, agrupamos de 2 en 2

Existen diversos métodos de factorización. Veremos los más utilizados.



1. Método del factor común

Se aplica cuando todos los términos de un polinomio tienen variables y/o constantes comunes.

• R(x) = 7x5 + x3, se observa que todos los términos tienen en común a “x2”, entonces lo extraemos: R(x) = x3 (7x2 + 1) 0 14243 F.P. 1 F.P.2 • S(m;n) = 6m2n – 3mn2 + 12mn, extraemos el factor común “3mn”, asi: S(m,n) = 3 m . n . (2m – n + 4) 0 0 1442443 F.P. 1 F.P.2 F.P.3

2. Método de agrupación

Se aplica cuando todos los términos de un polinomio no tienen factor común, por lo que agrupamos convenientemente aquellos que si lo tienen, para finalmente sacar el factor común.

21

T(a;b.) = 3a(a + 1) – 2b(a + 1), extraemos el factor a + 1

T(a;b) = (a + 1)(3a – 2b) 14243 14243 F.P.1 F.P.2

3. Método de identidades

Usaremos las identidades de los productos notables para factorizar (a + b)(a – b) = a2 – b2 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

• P(x) = 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) 0 0 14243 14243 F.P.1 F.P.2 0 0 2x 3 ÁLGEBRA

6

5.o año

FACTORIZACIÓN

• P(x) = x4 – 1 = (x2 + 3)(x2 – 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 x2 1 2 = (x + 1)(x + 1)(x – 1) 142431424314243 F.P.1 F.P.2 F.P.3

3. Se aplica un aspa simple de comprobación a los términos 1º, 4º y 6º. 4. El trinomio es expresado como la multiplicación de factores que se toman en forma horizontal. • P(x;y) = x2 – xy – 6y2 + 7x – 11y + 10 x –3y +2 x +2y +5

• P(x) = x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) 0 0 1 2 3 1442443 3 3 F.P.1 F.P.2 123123 x 2

P(x;y) = (x – 3y + 2)(x + 2y + 5) 1442443 1442443 F.P.1 F.P.2

4. Método del aspa simple

Se aplica cuando los polinomios a factorizar son de la forma: P(x) = ax2n + bxn + c ó

6. Método del aspa doble especial

P(;y) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e



P(x;y) = ax2n + bxmyn + cy2n



Procedimiento:

1. Se descomponen adecuadamente los extremos del trinomio. 2. Se comprueba que el término central es igual a la suma de los productos en aspa. 3. El trinomio es expresado como la multiplicación de factores que se toman en forma horizontal. • P(x;y) = 12x2 + 7xy – 10y2 = 4x –3y → 15x + 3x +2y → –8x 7x P(x;y) = (4x + 5y)(3x – 2y) 14243 14243 F.P.1 F.P.2

5. Método del aspa doble

Se aplica cuando los polinomios a factorizar son de la forma: P(;y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f



Procedimiento:

1. Se adecua el polinomio a la forma general y, en caso falten términos, se completan con ceros. 2. A los tres primeros términos se les aplica aspa simple, y también a los términos 3º, 5º y 6º.

6

ÁLGEBRA

Se aplica cuando los polinomios a factorizar son de la forma:

Procedimiento:

1. Se adecua el polinomio a la forma general y, en caso falten términos, se completan con ceros. 2. Se descomponen convenientemente los extremos, se multiplican en aspa y se suman los productos obtenidos. 3. El resultado anterior se compara con el término central y lo que falta para que sea igual a este es la expresión a descomponer en las partes centrales de los nuevos factores. 4. Se verifica en aspa simple en cada lado. Los factores se toman en forma horizontal, y si estos no son primos, se factorizan por aspa simple

• P(x) = x4 – 6x3 + 7x2 – 6x + 1 –5x +1 x2 –1x +1 x2 Se debe tener: 7x2 Se tiene: 2x2 Falta: +5x2 P(x) = (x2 – 5x + 1)(x2 – x + 1) 14424431442443 F.P.1 F.P.2

7. Método de los divisores binómicos

Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, generalmente de una sola variable y que admitan factores lineales: ax ± b ó x ± a

22

5.o año

FACTORIZACIÓN

RAÍZ DE UN POLINOMIO Dado un polinomio P(x) no constante, es una raíz del polinomio P(x), si y solo si P(a) = 0 Ejemplo:

P(x) = x3 + 3x – 4 Si x = 1, P(1) = 13 + 3 – 4 = 0 Entonces: x = 1 es una raíz de P(x)

Regla para calcular las posibles raíces racionales de un polinomio PRR = (

divisores de Term. Independiente 2 divisores de Coef. Pr incipal

Ejemplo: P(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21 1; 3; 7; 21 PRR = ± ( 2 = ±{1; 3; 7; 21} 1 Para x = 3, P(x) = 0; entonces un factor será x – 3 1 x=3 1

–11 3 –8

31 –24 7

–21 +21 0

P(x) = (x2 – 8x + 7)(x – 3) x –7 x –1 P(x) = (x – 7)(x – 1)(x – 3)

Trabajando en clase Integral



La expresión factorizada será:

1. Indica la cantidad de factores primos de los siguientes polinomios: P(x; y; z) = –3ª2x3y5(2x – 7)2 P(m;n) = 2 m3n2(m–1)7(m–n)9(p–5)10

(6x + 5)(x – 3) 1424314243 F.P.1 F.P.2

2. Factoriza: a) P(x;y) = 3y(x–7) + (7–x) + 5y(x–7) b) S(x) = x3 + y2 + 2x + 2



3. Factoriza: a) P(x) = 4x2 – 25 b) Q(y) = 8y3 + 1 PUCP 4. Factoriza: 6x2 – 13x – 15 Calcula a) La cantidad de factores primos. b) La suma de factores primos Resolución: El método a emplear para factorizar es el de “sapa simple”. La expresión factorizada será:



6x2 – 13x – 15 6x + 5 = + 5x x – 3 = –18x – 13x



ΣCoef1 = 11

ΣCoef2 = –2

∴ a) La cantidad de FP es 2 b) La suma de FP es 7x + 2

5. Factoriza: 2x2 – x – 3 Y da como respuesta la suma de los coeficientes de uno de dichos factores. (CEPREPUC 2013) 6. Factoriza: x4 – 41x2 + 400 la suma de factores primos obtenidos. (CEPREPUC 2013) 7. Al factorizar 12x2 – 8x – 15, se obtuvo (Ax ↓ B) (Cx ↑ D), donde A, B, C y D son números enteros positivos. Calcula el valor de: (A ↑ B) ↓ (C ↑ D) con A > C UNMSM 8. Factoriza y señala la suma de los factores primos del siguiente polinomio

23

P(x;y) = 3x2 + 8y2 – 14x + 22y + 15 – 10xy

ÁLGEBRA

6

5.o año

FACTORIZACIÓN

Resolución: Adecuamos el polinomio a la forma general: P(x;y) = 3x2 – 10xy + 8y2 – 14x + 22y + 15 3x –4y –5 x –2y –3





X = –2

∴ La ∑ factores primos es:

2

3x – 4y – 5 + x – 2y – 3 = 4x – 6y – 8 9. Factoriza y señala la suma de los factores primos: 12x2 + 5xy + 14x + 17y – 3y2 – 10

ÁLGEBRA

17 –14 3

6 –6 0

Observa que: 2x2 + 7x + 3 2x + 1 x +3 se puede seguir factorizando Entonces:

P (x) = (x + 2)(2x + 1)(x + 3) SSS FP1

UNI

6

11 –4 7

P(x) = (x + 2) (2x2 + 7x + 3)

10. Se descompone: a3 – ab2 + a2b – b3 + a2 – b2 en factores lineales. Halla la suma de dichos factores. (UNMSM 2004 – II)

12. Luego de factorizar: P(x) = 3x3 + 11y2 + 17x + 6 Indica la cantidad de factores primos lineales. (CEPREIUNI) Resolución: Por divisores binómicos Coef. princ. = 2

Tenemos 2

Luego: P(x;y) = (3x – 4y – 5)(x – 2y – 3)

11. Halla el número de factores primos del polinomio: P(x) = x5 + x4 + x3 – x2 – x – 1

PC = !) 1; 2; 3; 6 3 = !'1; 2; 3; 6; 1 ; 3 1 1; 2 2 2

FP2

FP3

∴ La cantidad de FP lineales es 3. 13. Factoriza: 2x3 – 3x2 – 11x + 6 Y señala cantidad de factores primos lineales. 14. Calcula la suma de los términos independientes de todos los factores primos del polinomio: P(x) = 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6 (CEPREUNI)

24

7

Números Complejos I: Unidad imaginaria

CANTIDADES IMAGINARIAS Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo. Ejemplos: –3 ; 4 - 17 ; 8 - 512

Unidad imaginaria

Es la cantidad imaginaria más importante: - 1 Notación: i = -1

Potencias de la unidad imaginaria n

Estudiaremos el comportamiento de i , n ∈ z i1 = i i2 = –1 i3 = –i i4 = 1

i5 = i i6 = –1 i7 = –i i8 = 1

Ejemplos: ° ZZ i–33 = (–1)33. i33 = –i33 = –i 4 +1 = –i1 = –i ° ZZ i–50 = (–1)50 = i50 = i2 = i 4 +2 = i2 = –1 ° ZZ i–20 = (–1)20 . i20 = i20 = i 4 = 1

I. i + i2 + i3 + i4 = 0

i9 = i i10 = –1 i11 = –i i12 = 1

II. i + i2 + i3 + i4 + ... + i4n= 0

Propiedades

En el desarrollo de las potencias de la unidad imaginaria, se nota: i4 = i8 = i12 = … = i4n = 1 Esto implica que la unidad imaginaria elevada a un múltiplo de cuatro es igual a la unidad. i4n = 1; ∀ n ∈ z i720 = 1

i–k = (–1)k . ik; ∀ n ∈ z

Propiedades

+

Se observa que cada grupo de cuatro potencias de i, se repiten los mismos valores: i, –1, –i, 1.

Ejemplos: i100 = 1 Además:

Teorema

i123456 = 1

i4+k = i4 . ik = ik Ejemplos: ZZ i41 = i4+1 = i1 = i ZZ i98 = i4+2 = i2 = –1 ZZ i123 = i4+3 = i3 = –i ZZ i97531, para números grandes se recomienda verificar si las dos últimas cifras de 97531 son múltiplos de 4, entonces: i97531 = i31 = i4+3 = i3 = –i

25

III. in + in+1 + in+2 + in+3 = 0 Ejemplos: ZZ i + i2 + i3 + i4 + … i2016 = 0 ZZ i41 + i42 + i43 + i44 = 0

Resultados notables (1 + i)2 = 2i

(1 – i)2 = 2i

(1 + i)3 = –2(i – 1)

(1 – i)3 = –2(1 + i)

(1 + i)4 = –4

(1 – i)4 = –4 1 - i =- i 1+i

1+i = i 1-i 1 = i–1 = –i i

ÁLGEBRA

7

NÚMEROS COMPLEJOS I: UNIDAD IMAGINARIA

5.o año

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el valor de: S = - 8 . - 2 + - 11 . - 11 - - 169 . - 1



Reemplazando:

2. Calcula: M = 4i36 – 7i1071 + 2i22 – 7i81 3. Calcula el valor de:

13

10. Si: Z = 1 + i

4. Reduce:



(k) Z = (1 + i) - (1 - i) - 2 d 1 - i n 1+i

Entonces: Z = (2i) – (–4) – 2(–i) Z = 2i + 4 + 2i = 4 + 4i = 4(1+i) 5. Reduce:

Z

(UNAML 2013 – I)

11. Si: i2 = –1, el número complejo 2003 Z = i -i 1-i



(UNAC 2011 – II) UNI 12. Calcula: 8k E = d 1 - i n ; K ∈ Z+ 2 2

Z = (1 - i) 2 - d 1 - i n + 3i2014 - (1 + i) 4 1+i 4

Resolución:

8k 8k _1 - i i E = d 1 - i n = d1 - i n = > 2 2 2 22

2 4k

6. Calcula:

M = 1 + 12 + 13 + 14 + ... + 119 i i i i i

N = >d 1 - i - 1 + i n 1+i 1-i

d1

+i

1-i

-

1-i 1+i

n

i

H

4k

- 2 13 i 1+i

4k

4k

13. Si: n = 8k / k ! Z+ , calcule el valor de R:

UNMSM 8. El equivalente de:

H

E = b - 2i l = _- i i = _- 1 i .i 4k = 1 .1 = 1 2

7. Reduce:

ÁLGEBRA

Calcula: E = Z 4 + 14

4

Resolución: Sabemos por los resultados notables que: (1 + i) 2 = 2i;(1 + i) 4 =- 4 / 1 - i =- i 1+i

7

(1 - i) 2 1 - i = - 2i = = =- i 1+i 1+i 1+i

5 Z= 5 2 i 1-i



PUCP



- 213 i = - 213 i 1+i 1+i

9. Reduce:

2 3 2015 A = i + i + i + 2... +3 i 2-i+i -i

2

Resolución: Si: i = i . 1 = i . i12 = i13 & i = i13 / - 2i = (1 - i) 2

n

n

R = d 1 + 1 i n + d- 1 + 1 i n 2 2 2 2 (UNI 2007–I)

14. Halla la suma A de número complejos A = (1 + i) + (2 + u2) + (3 + i3) + … + (4n + i4n) (UNI 2004 – I)

26

8 Repaso 1. Resuelve:

a) 2 d) 3

x-1 - x = 3- x+3 5 4 2 b) 5 c) 9 e) 7

a) 10 d) 11

b) –2 e) 1

7. Si x + 1 = 4 , calcula

x

x2 + 12 + x3 + 13 x x

2. En el sistema de ecuaciones

ax - by =- 4 * (2 - a) x + (3 - b) y = 5 Es un sistema que tiene por conjunto solución {(2; 3)}. Calcula a + b a) 5 b) 3 c) 1 d) –1 e) 0

3. Luego de efectuar 40

3

4

x2 . x5 . x-5 ,

x 3n - 1



se obtiene



Calcula el valor de “n” a) 9 b) 10 d) 12 e) 13

b) 80 e) 102

(UNMSM 2002) c) 66

y x 9xy + = 2 , calcula el valor de A = 2 2 x y 3x + y a) 1 b) 9/4 c) 2 d) 3/2 e) 3

8. Si

x50 + 2x21 - x10 + 3x3 - 2 x2 + 1

c) 11 a) –x – 2 c) –x + 1 e) x – 3

b) x – 2 d) x

10. Halla a + b, si al dividir 2x4 + 3x2 + x3 + ax + b entre x2 – 2x + 1 el resto es 2x + 3 a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) –2 c) 4

11. Factoriza a) 4x2 – 49y2 b) m3 + 125 c) ab – b + a2 – a – x + ax d) 14x2 – 29x – 15 e) 3x2 – 7xy + 2y2 – 7x + 4y + 2

5. Si P(x) es un polinomio definido por: n



P (x) = x23 - n + px 3 - 3 x 4 - 8x n - 11



Calcula “n” a) 14 d) 9

b) 10 e) 8 2015

a) 76 d) 90

9. Calcula el resto de la siguiente división:

4. Si b, x, r ∈ R y se verifica Z ] y 8 r + 3 9 - 2 3r ]y = [ 93 ]] x 2 -x + 1 = 0 \9 . 3 - 3 Entonces calcula: xy a) –1 b) 3 d) 6 e) –5 n

c) 0

c) 12

12. Reduce:

G = d 1 + i n - (1 + i + i2 + i3 + i 4 ) 2015 + 4i12348 1-i 4

2

– (x + 3) + 7x + a, y su térmi6. Si P(x) = (x – 1) no independiente es –1. Calcula la suma de coeficientes de P(x).

27

a) 0 d) 4

b) –1 e) –2

c) 2

ÁLGEBRA

8

Álgebra

1 Números complejos II Todo número complejo z de define como el par ordenado (a; b) de componente reales.

ZZ División

z=3–i y w=2+i z = 3 - i # 2 - i = 6 - 5i + i 2 w 2+i S 2-i 4 - i2

z = (a;b) o z = a + bi Donde a: parte real de z, se denota Re(z) = a b: parte imaginaria de z, de denota Im(z) = b

⇒ 5 - 5i = 1 - i 5

Tipos de números complejos

Representación geométrica de un número complejo

Complejo imaginario puro

Complejo real

se multiplica por su conjugado



La representación se realiza en un plano, al cual llamaremos plano complejo o plano de Gauss. Donde al eje x lo denominaremos eje real y al eje y como eje imaginario. Sea z = a + bi

Es aquel complejo Es aquel complejo que que carece de la parte carece de la parte real. imaginaria. z = 0 + bi = bi z = a + 0i = a Complejo nulo Es aquel complejo cuyas partes real e imaginaria son cero. z = 0 + 0i = 0

Im b

Definiciones

Dado el complejo z = a + bi Complejo conjugado de z (z)

|z| q

z = a – bi Complejo opuesto de z (z*)

Módulo

z* = –a – bi

|z| = a2 + b2

Operaciones con números complejos

arg(z) = q

Del gráfico se obtiene: a = |z|cosq y b = |z|senq Por lo tanto:

z = 3 + 5i y w = 1 – 2i z + w = (3 + 1) + (5 – 2)i = 4 + 3i

z = |z|(cosq + isenq)

ZZ Sustracción

Observación

z = –4 + 2i y w = 3 + i z – w = (–4 – 3) – 2 (2 – 1)i = –7 + i

cosq + isenq = cisq

ZZ Multiplicación

z = 3 + 2i y w = 2 – i z . w = (3 + 2i)(2 – i) = 6 – 3i + 4i – 2i2 z . w = 6 – 3i + 4i – 2(–1) = 8 + i

año



Argumento

Forma polar o trigonométrica

ZZ Adición

5.°

Re

a

Luego:

25

z = |z| cisq

ÁLGEBRA

1

Números complejos II

Teoremas

Teorema de Moivre

Dados los complejos z = |z|(cosa + isena) w = |w|(cosb + isenb)

Si z = |z|(cosq + isen nq), entonces: zn = |z|n(cos nq + isen nq) , para todo n ∈ Z

Entonces:

Teorema de Euler

zw = |z||w|(cos(a + b) + isen(a + b)) z = z (cos(a – b) + isen(a – b)) w w arg(zw) = arg(z) + arg(w) arg b z l = arg(z) – arg(w) w

eiq = cosq + isenq Donde: • e es la base del logaritmo neperiano • q es el argumento en radianes Forma exponencial de un número complejo: z = |z|eiq

Trabajando en clase Integral

5. Calcula el módulo de: w= 2 + 3+i 1 - i 1 - 3i

1. Calcula: Re(z) + Im(z), sabiendo que: z = (1 + i)2 + i6 – i32 2. Calcula ab, si:

6. Calcula el valor de «m» si el siguiente complejo es imaginario puro z = 3 - 2mi 1 + 5i

3. Calcula z y z*, en : z = 6 + (3 – i)(–2 + 5i)*

7. Calcula el valor de «a», si se tiene el complejo real: Z = 1 + 3i 2 - ai

a + bi = _2 - i i2 + 1 - i 1+ i

PUCP 4. Reduce w = 5 + 4 + i 1 + 2i 1 - 4i Resolución Reuerda i2 = - 1

UNMSM 8. Calcula el módulo y el argumento de: z = (3 + 2i)2 – (1 + i)2 + (1 – i)2 – i666 Resolución: Recuerda

(1 - 2i) 4 + i (1 + 4i) w= 5 . . + 1 + 2i (1 - 2i) 1 - 4i (1 + 4i)

(1+i)2 = 2i

2 w = 5 - 10i2 + 4 + i + 16i +2 4i 1 - (2i) 1 - (4i) w = 5 - 102i + 4 + 17i -2 4 1 - 4i 1 - 16i w = 5 - 10i + 17i 1 + 16 1+4

ÁLGEBRA

i4+k = ik

z = (3 + 2i)2 – (1 + i)2 + (1 – i)2 – i666 z = 9 + 12i + 4i2 – 2i + (–2i) – i2 z = 5 + 12i – 2i – 2i + 1 z = 6 + 8i → |z| = 62 + 82 = 100 = 10 Módulo de z: |z| = 10

w = 5 - 10i + 17i = 1 - 2i + i = 1 - i 17 5

1

(1–i)2 = 2i

Gráfica de z = 6 + 8i

26

5.°

año

Números complejos II Resolución

Im 8

Por dato: |z| + z = 3 – 3 i y z = a + bi Entonces:

Re

q

a2 + b2 + a + bi = 3 - 3 i

6 Se observa que q = 53°, por lo tanto: Argumento de z: arg(z) = 53°:

Por igualdad de complejos: a2 + b2 + a = 3; b =- 3 Remplazando:

9. Calcula el módulo y el argumento de: z = (1 + 2i)2 – 4i2018 + 3 d 1 - i n 1+i

a 2 + (- 3 ) 2 + a = 3 a2 + 3 = 3 - a, elevando al cuadrado

10. Calcula |A + B| y el arg (A) + arg (B) Im A(4;3) B(–1;1)

a2 + 3 = 9 – 6a + a2 a=1 Por lo que z = 1 – 3 i → |z| = 2 \

z = 2

Re 13. Si el número complejo z = a + bi, con a y b números reales, cumple |z| + z = 2 + 8i, entonces |z|2 es igual a :

11. La forma binomial del complejo: z=

3 2 (cos 35c + isen35c) 2 2 (cos 55c + isen55c) 6 (cos 17c + isen17c) 6 (cos 13c + isen13c)

UNAC 2012-I 14. Al resolver el sistema *

UNI 12. Si |z| + z = 3 – 3 i; (z = a + bi) Halle z

5.°

año

UNALM 2010-II

z - 3i = 2 y - x2 = 1

Donde z = x + iy es un numero complejo; la suma de las ordenadas de los puntos solución es: UNI 2011-II

27

ÁLGEBRA

1

2 Ecuaciones cuadráticas Propiedades de las raíces

Son aquellas ecuaciones que pueden reducirse a la forma: (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0

Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Donde: ax2 → término cuadrático bx → término lineal c → término independiente

Donde se cumple: ZZ Suma de raíces x1 + x2 = - b a

a, b y c son los coeficientes respectivos de sus términos

ZZ Producto de raíces

Resolución de una ecuación cuadrática

x1 . x2 = c a

1. Por factorización Ejemplos: • x2 + 7x = 0

• x2 + 5x – 14 = 0

Factorizando por factor común x (x + 7) = 0 123 14243 =0 =0 ⇒ x1 = 0 ∨ x2 = –7 \ C.S. = {–7;0}

Factorizando por aspa simple: x2 + 5x – 14 = 0 x –2 x +7 (x – 2)(x + 7) = 0 1424314243 = 0 =0 ⇒ x1 = 2 ∨ x2 = –7 \ C.S. = {–7;2}

ZZ Suma de inversas de las raíces

1 + 1 = -b x1 x2 c ZZ Diferencia de raíces

x1 – x2 = ! D a Ejemplo: • x2 + 2x – 5 = 0

2. Por fórmula

Indentificamos: a = 1, b = 2, c = –5 Entonces:

Se aplica cuando no es posible la factorización. Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0 y la discriminante D = b2 – 4ac Las soluciones o raíces son: x1 = - b + D 2a

∨

YY x1 + x2 =

YY x1 . x2 = - 5 = –5

1

x2 = - b - D 2a

YY

Ejemplo: • x2 + x – 1 = 0 Identificamos a = 1, b = 1, c = 1 D = (1)2 – 4(1)(–1) = 5 Por lo cual, las raíces son: x1 = - 1 + 5 ∨ x2 = - 1 - 5 2 2

2

ÁLGEBRA

- ( 2) = –2 1

1 + 1 = - (2) = 2 x1 x2 5 -5

YY Para la diferencia, primero se calcula:

28



D = (2)2 – 4(1)(–5) = 24



→ x1 – x2 = ! 24 = ! 2 6 1 5.°

año

Ecuaciones cuadráticas

Análisis de la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática En la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 de coeficientes reales, raíces x1; x2 y discriminante D = b2 – 4ac se cumple: 1. Si D > 0, las raíces x1; x2 son reales y x1 ≠ x2 2. Si D = 0, las raíces x1; x2 son reales y x1 = x2 3. Si D < 0, las raíces x1; x2 no son reales, son complejos imaginario y conjugados, es decir: x1 = m + ni x2 = m – ni

Reconstrucción de una ecuación cuadrática

Si x1; x2 son las raíces de una ecuación cuadrática, entonces la ecuación viene dada por

x2 + (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0 Ejemplo: • Reconstruye la ecuación cuadrática cuyas raíces son x1 = – 7 y x2 = 5 La ecuación cuadrática es x2 + (–7 + 5)x + (–7)(5) = 0 → x2 – 2x – 35 = 0

Raíces especiales de una ecuación cuadrática

Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0 de raíces x1 y x2 (no nulas). Diremos que la ecuación: 1. Tiene raíces simétricas si y solo si x1 = –a y x2 = a; es decir: x1 + x2 = 0 2. Tiene raíces recíprocas si y solo si x1 = a y x2 = 1 ; es a decir: x1 . x2 = 1

Trabajando en clase Integral 1. Resuelve a) 2x2 – 5 = 11 b) 3x2 + 7x = 0 c) x2 – 7x – 60 = 0 2. Resuelve x2 – 5x + 3 = 0 3. Si: 5x2 + 7x – 2 = 0, cuyas raíces son x1 y x2 Calcula: a) x1 + x2 b) x1 . x2 c) 1 + 1 x1 x2

PUCP 4. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación: x2 – 3x + 1 = 0 Calcula el valor de: x1 x2 + x2 x1 Resolución x1 x2 x12 + x22 + ⇒ x2 x1 x1 .x2

5.°

año

De la ecuación x1 + x2 = 3 ∧ x1 . x2 = 1 ⇒ (x1 + x2)2 = x12 + 2x1x2 + x22 32 = x12 + 2 + x22 7 = x12 + x22 \

x12 + x22 7 = =7 x1 .x2 1

5. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuacion: x2 – 4x + 1 = 0 x x Calcula el valor de: 1 + 2 x2 x1 6. Si m y n son raíces de: x2 + 5x – 2 = 0 Calcula m3 + n3 7. Si r y s son raíces de: x2 + 4x + 2 = 0 Calcula (r+1) (s+1) UNMSM 8. ¿Para que valores de «a» la ecuación: x2 – (3a – 1)x + 5a + 1 = 0 admite raíces iguales

29

Resolución Como admite raíces iguales entonces: D = 0 → [–(3a–1)]2 –4 . 1 . (5a+1) = 0 9a2 – 6a + 1 –20a –4 = 0 9a2 – 26a –3 = 0 9a 1 → a = -1 9 a –3 → a = 3 \ valores de «a»: - 1 ∧ 3 9 9. En la ecuacion: x2 – 2(n–3)x + 4n = 0 Determina los valores que puede tomar «n» para que la ecuación tenga raíces iguales. Da como respuesta la suma de estos valores UNMSM 2004-I 10. Calcula la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuacion (2k+2)x2 + (4–4k)x + (k–2) = 0, donde una raíz es el universo multiplicativo de la otra. UNMSM 2008-I ÁLGEBRA

2

Ecuaciones cuadráticas 11. Sea a = 2 + 5 . Indica el polinomio cuya raíz es «a2» UNMSM 2008-I UNI 12. Determina el valor de «m», de modo que en la ecuación: x2 – 2mx + m = 0, una de las raíces sea el triple de la otra. Resolución: ⇒ x1 = k x2 = 3k

2

ÁLGEBRA

• x1 + x2 = 4k 14243 2m = 4k → m = 2k .... (1) • x1x2 = 3k2 3 m = 3 k2 → m = k2 ........(2) Igualando (1) y (2) ⇒ 2k = k2 → 2 = k De (1) m = 2(2) \ m = 4 13. Dada la ecuación 2x2 + mx + 30 = 0 y

30



x1 y x2 son raíces, ¿para qué valores de «m» se cumple que x1 3 = ? x2 5 UNI 2001-I

14. Calcula m+n, tal que las ecuaciones tengan las mismas raíces: (5m–52)x2 – (m–4)x + 4 = 0 (2n+1)x2 – 5nx + 20 = 0 CEPREUNI 2013-I

5.°

año

3 Teoría de ecuaciones Es aquella ecuación cuya forma general es: P(x) = a0x + a1x n

n–1

+ a2x

n–2

Ejemplo:

ZZ Resuelve: x3 – x2 – x – 2 = 0

+ ... + an–1x + an = 0



Esta ecuación es de grado «n» si y solo si: a0 ≠ 0, de otro lado a0, a1, a2, ..., an son coeficientes de la ecuación de grado «n».

x=2

Raíz de un polinomio

–1

–1

–2

↓

2

2

2 0

ZZ Resuelve: x4 – 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = 0

Factorizando por aspa doble especial x4 + 2x3 – 6x2 + 2x + 1 = 0 – 2x +1 x2 2 + 4x +1 x

Teorema fundamental del álgebra Toda ecuación polimonial de grado «n», con cualquier tipo de coeficientes numéricos, tiene por lo menos una raíz ya sea real o compleja.

Se debe tener: –6x2 Se tiene: 2x2 Falta: –8x2 (x2 – 2x + 1) (x2 + 4x + 1) = 0 1442443 1442443 =0 =0 2 • x – 2x + 1 = 0 → x1,2 = 1 • x2 + 4x + 1 = 0 → x3,4 = –2 ± 3

Corolario:

Toda ecuación polinomial de grado «n», tiene «n» raíces, contadas con la multiplicidad. Ejemplos: ZZ x2 – 5x + 6 = 0 ⇒ tiene 2 raíces ZZ x3 – x2 – 2x + 2 = 0 ⇒ tiene 3 raíces ZZ x4 – 16 = 0 ⇒ tiene 4 raíces

\ C.S. = {1, –2 + 3 , –2 – 3 }

ZZ x – x – 8x + 8 = 0 ⇒ tiene 5 raíces 3

1

1 1 1 2 Entonces: (x –2)(x + x + 1) = 0 Igualando cada factor a cero: • x – 2 = 0 → x = 2 • x2 + x + 1 = 0 → x = - 1 ! 3 i 2 3 i 1 \ C.S. = ( 2, - + , -1 - 3 i 2 2 2 2 2

Sea P(x) es un polinomio no constante, diremos que a es una raíz del polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0. Luego, P(x) = (x – a)q(x) Ejemplo: • Sea P(x) = x3 – 6x + 5, una de sus raíces es x = 1 → P(1) = (1)3 – 6(1) + 5 = 0 Luego: P(x) = (x – 1)q(x)

5

Factorizando por el teorema del factor, vemos que 2 es una raíz, por Ruffini:

2

Teorema de Cardano

Teorema de paridad de raíces

En toda ecuación polinomial de grado «n» y con coeficientes reales, si se tiene una raíz de la forma:

Relación entre los coeficientes de un polinomio con sus raíces. Sea la ecuación polinomial de grado «n»

x1 = a + bi → x2 = a – bi; a, b ∈ R ∧ b ≠ 0

P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–1x + an = 0 de raíces x1 , x2, x3, ..., xn se cumple:

Corolario:

En toda ecuación polimonial de grado «n» y con coeficientes racionales, si se tiene una raíz de la forma:

1. Suma de raíces x1 + x2 + x3 + ... + xn = –

x1 = a + b → x2 = a – b ; a ∈ Q ∧ b ∉ Q 5.°

año

31

a1 a0 ÁLGEBRA

3

Teoría de ecuaciones

2. Suma de productos binarios

Esta ecuación tiene raíces de la forma:

a x1. x2 + x2. x3 + ... + xn–1. xn = 2 a0

x1 = a; x2 = –a; x3 = b; x4 = –b

3. Suma de productos ternarios

x1 . x2 . x3 + x1 . x2 . x4 + ... + xn–2 xn–1 . xn = –

a3 a0

4. Suma de productos tomados de k en k

a x1 . x2 . x3 ... xn + x2 . x3 ... xk–1 . xn + ... = (–1) k a0 k

5. Producto de raíces

x1 . x2 . x3 . ... . xn = (–1)n

an a0

Ejemplo:

ZZ Resuelve:

Factorizando

Ecuación bicuadrática

Es una ecuación de cuarto grado de la forma: ax4 + bx2 + c = 0

Y se resuelve de forma similar a una ecuación cuadrática.

con abc ≠ 0



9x4 – 37x2 + 4 = 0 –1 9x2 2 –4 x (9x2 – 4) (x2 – 4) = 0 14243 14243 =0 =0 9x2 – 4 = 0; 4x2 – 1 = 0 x2 = 4 ; x2 = 1 9 4 2 x1,2 = ± ; x3,4 = ± 1 3 2 2 2 1 \ C.S. = & ; - ; ; - 1 0 3 2 2 3

Trabajando en clase Integral 1. Si x3 – 5x2 – 3x – 1 = 0 • x1 + x2 + x3 = • x1x2 + x1x3 + x2x3 = • x1x2x3 = 2. Si 3x4 – 3x2 + x + 1 = 0 Calcula: M = Suma de productos binarios N = Suma de productos ternarios 3. Si 2x5 + x4 – 4x2 + 3x + 6 = 0 Calcula: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x1x2x3x4x5 PUCP 4. Si la ecuacón : x3 + 3x2 + mx + n = 0, tienen una raíz igual a 3 – 2 . Calcula la raíz real. Resolución Por el teorema de Cardano se sabe: - ( 3) x1 + x2 + x3 = =- 3 1

3

ÁLGEBRA

y por el teorema de paridad de raíces: x1 = 3 – 2 → x2 = 3 + 2 entonces: x1 + x2 + x3 = –3 123 123 3– 2 3+ 2

6 + x3 = –3 \ x3 = –9 5. Si la ecuación: x3 – 5x2 + ax – b = 0, tiene una raíz igual a 2 + 3i. Calcula la raíz entera. 6. Si la ecuación: x3 + nx2 + mx + 7 = 0, tiene una raíz igual a 4 + 2 . Calcula la raíz real. 7. Siendo a, b, q las raíces de la ecuación: 2x3 + x – 10 = 0 Calcula el valor de: a3 + b3 + q3 E= 2 a + b2 + q2

32

UNMSM 8. Resuelve: x3 + 3x2 + 2x – 6 = 0 Resolución Factorizando por el teorema del factor, vemos que 1 es una raíz, por Ruffini: x=1

1

3

2

–6

↓

1

4

6

1

4

6

0

Entonces: (x–1)(x2 + 4x + 6) = 0 Igualando cada factor a cero: • x –1 = 0 → x = 1 • x2 + 4x + 6 = 0 → x = - 4 ! 8 i = –2± 2 i 2 \ C.S. = {1,–2+ 2 , 2– 2 } 9. Resuelve: x3 + 2x – 12 = 0 5.°

año

Teoría de ecuaciones 10. Resuelve: x4 – 5x3 + 8x2 – 5x + 1 = 0 11. Indica la suma de cuadrados de las soluciones de la ecuación: 2x4 – 5x3 + 5x – 2 = 0 UNI 12. Resuelve x8 – 626x4 + 625 = 0

5.°

año

Resolución x8 – 626x4 + 625 = 0 – 625 x4 4 –1 x 4 (x – 625)(x4 – 1) = 0 (x2 – 25)(x2 + 25)(x2 + 1)(x2 – 1)= 0 Entonces: x1;2 = ±5; x3;4 = ±5i; x5;6 = ±i; x7;8 = ±1

33

13. Encuentra el conjunto solución de la ecuación x8 – 257x4 + 256 = 0 UNI 2013-II 14. Si x1 = 2 ∧ x2 = –1 son raíces de x4 – ax2 + b = 0 Calcula a – b UNI 2012-I

ÁLGEBRA

3

4 Desigualdades e intervalos Desigualdad

Es una comparación que se establece entre dos números reales a,b utilizando los símbolos de relación de orden. a es mayor que b

a
a es menor que b

a≥b

a es mayor o igual que b

a≤b

a es menor o igual que b

Clases de intervalos

Existen diferentes clases de intervalos como los finitos (o acotados), los que pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados e infinitos (o no acotados). Intervalo cerrado

Ley de tricotomía

Intervalo abierto

a>0∨a=0∨a<0

Intervalos infinitos

〈–∞,b〉 = {x ∈ R/ –∞ < x < b }

Es una recta geométrica, donde se establece una relación biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta, es decir, a cada punto de la recta numérica le corresponde un único punto de la recta y a cada número real le corresponde un único punto de la recta. Números negativos

[a,+ ∞〉 = {x ∈ R/ a ≤ x < +∞} 〈a,+ ∞〉 = {x ∈ R/ a < x < +∞}

1

1

2

3

–∞

b +∞

–∞

b +∞

–∞ a

+∞

–∞ a

+∞

B

–∞

–2 4 –8 Unión (∪) A ∪ B = 〈–8; 9〉 Intersección (∩) A ∩ B = [–2; 4]

+∞

Intervalo Es un subconjunto de los números reales definidos mediante la relación de orden dada en el conjunto de los números reales. Un intervalo de extremos a y b (a < b) es el conjunto de todos los números reales que estén entre a y b. Representación gráfica de un intervalo: ÁLGEBRA

b +∞

A = 〈–8;4] y B = [–2;9〉 A

p

2

–∞ a

Operaciones con intervalos

Números positivos

–p 2 –3 –2 –1

b +∞

Representación

〈–∞,b] = {x ∈ R/ –∞ < x ≤ b}

Recta numérica

–∞ a

Representación

〈a,b〉 = {x ∈ R/ a < x < b}

Ejemplo: • Si 3 ∈ R, entonces: 3>0∨3=0∨3<0 1 2 3 123 1 2 3 V F F

4

Representación

[a,b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}

Sea a ∈ R, entonces:

–∞

b

Donde a y b son los extremos del intervalo, que pueden o no pertenecer a él.

Notaciones: a>b

a

–∞

A = 〈–13;5〉 y B = [–6;8] A –∞ –13 Diferencia (–)

34

–6

9

+∞

B 5 A – B = 〈–13; –6〉 B – A = [5; 8]

8

+∞

5.°

año

Desigualdades e intervalos

Propiedades de las desigualdades

4. Propiedad del recíproco para desigualdades

1. Propiedad de no negatividad



Para cualquier número real a, el valor de a2 es 0 o positivo; es decir, a2 es no negativo

Establece que el recíproco de un número real positivo es positivo y que el recíproco de un número real negativo es negativo.

a2 ≥ 0; ∀ a ∈ R

Si a > 0, entonces 1 > 0

2. Propiedad de la suma para desigualdades

a

Si se suma el mismo número en ambos lados de una desigualdad, se obtiene una desigualdad equivalente.

Si a < 0, entonces 1 < 0

a

Si a < b, entonces a + c < b + c Si a > b, entonces a + c > b + c

5. Propiedad del inverso para desigualdades

3. Propiedad de la multiplicación para desigualdades

Establece que podemos invertir un desigualdad siempre y cuando los extremos de la desigualdad tenga el mismo signo.

Si a < b y si c > 0, entonces ac < bc Si a > b y si c > 0, entonces ac > bc Si a < b y si c < 0, entonces ac > bc Si a > b y si c < 0, entonces ac < bc

Si a < x < b, entonces 1 > 1 > 1

a

x

b

Trabajando en clase Integral 1. Sean los intervalos A = 〈–6;3] y B = [–1;5] Calcula: A ∪ B = A ∩ B = A–B= B–A= 2. Si –3 < x < 4 ¿a qué intervalo pertenece –3x + 5? 3. Si x ∈ 〈–1;5] ¿a qué intervalo pertenece 2 ? x+3 PUCP 4. Si 2 ≤ x < 5 ¿a qué intervalo pertenece (x –3)2 + 1? Resolución ⇒ (2 ≤ x < 5) – 3 (–1 ≤ x – 3 < 2)2 (0 ≤ (x –3)2 < 4) + 1

5.°

año

1 ≤ (x – 3)2 + 1 < 5 \ (x – 3) – 1 ∈ [1;5〉 2

5. Si x ∈ 〈–7;–3〉, entonces ¿a qué intervalo pertenece ____?

a) (x + 5)2 – 2



b) (x + 2)2 + 5

6. Si los número reales a y b son tales que a > b y ab > 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) b > 1 a b) ab2 < a2b c) a > 0 ∧ b < 0 d) |a| < |b| 7. Si a < a < 1, ordena de menor a mayor: 1 ; a ;1 a b

35

UNMSM 8. Si x ∈ 〈3;7] calcula la suma de los extremos del intervalo al que pertenece y= 2-x x+1 Resolución ( x 1) 3 • y = 2x -+ x1 =- +x + 1+ =- 1 + x +3 1 ⇒ (3 < x ≤ 7) +1 (4 < x + 1 ≤ 8)–1 b1 > 1 $ 1 l#3 4 x+1 8 b3 > 3 $ 3l-1 4 x+1 8

- 1 > 3 - 1 $ -5 4 x+1 8 \ y ∈ <- 5 ; - 1 8 4 9. Si x ∈ 〈0;7〉 calcula la suma de los extremos del intervalo al que pertenece y = 5-x x+3 UNMSM 2010-II ÁLGEBRA

4

Desigualdades e intervalos 10. Si x ∈ R, calcula el menor valor que puede asumir: F = 2x + 1 2x CEPREVI 2012



entonces, E ≥ a; luego el valor de a es: Resolución ⇒ a + b $ 2 b a

11. Calcula el mínimo valor de M= 1 xy Si x + y = 1 con x, y ∈ R+ UNAC 2008-I UNI 12. Si a, b, c ∈ R+, de manera que: E = a+c + a+b + b+c c a b

4

ÁLGEBRA





c +a $2 a c



b+ c $2 c b

E ≥6 \a=6 13. Si a2 + b2 + c2 = 3

(+)

x2 + y2 + z2 = 5

Donde a, b, c, x, y, z ∈ R+ y son diferentes.



Calcula el valor de «m» en la desigualdad:

a +b+c +a +b+ c $6 b a c c b_ _ a= = ooo ooo

a+c + a+b + b+c $ 6 b c a 144444424444443 E

36

ax + by + cz < m 14. Si f(x) = 6x + x2 ∧ x ∈ 〈–3,5]

Calcula la variación de f.

5.°

año

5 Inecuaciones I. Inecuación Lineal

Forma general:



ax + b >< 0

Ejemplo 1. 2x + 1 ≥ 5 x≥2

Se pinta la zona negativa, ya que la expresión es menor a cero

+

–∞

\ CS = [2;+∞〉

–∞ \ CS = [2;3]

+∞

2

negativo cambia de sentido

x > –3/2



–∞ –3/2 \ CS = 〈–3/2;+∞〉

3.

3x + 1 < 2(x + 1) + x 3x + 1 < 2x + 2 + x 1 < 2 (verdad) CS = R

+∞

2

+

+∞

–

–∞ 4 0 \ CS = 〈–∞;0〉 ∪ 〈4;+∞〉

+ +∞

Observaciones

1. Si: (ax + b)2 ≥ 0 → CS = R (ax + b)2 > 0 → CS = R – {–b/a} (ax + b)2 ≤ 0 → CS = {–b/a} (ax + b)2 < 0 → CS = ∅ 2. Si: ax2 + bx + c Tiene a > 0 ∧ D < 0 Entonces: ax2 + bx + c > 0 144424443

II. Inecuación Cuadrática Forma general



ax + bx + c

+ 3

Se pinta la zona positiva, ya que la expresión es mayor a cero

4. 4(x – 1) + 7 ≤ 2(2x – 3) 4x - 4 + 7 # 4x - 6 3 ≤ –6 (absurdo) \ CS = ∅

2

–

2. x2 – 4x > 0 Factorizamos x2 – 4x > 0 x (x – 4) > 0 123 14243 =0 =0 Puntos críticos: 0; 4

2. –2x + 3 < 6 –2 x < 3 ↓ ↓

(x – 3) (x – 2) ≤ 0 1424314243 =0 =0 Puntos críticos: 3; 2

> 0 <



Para su resolución se emplea el método de los puntos críticos Ejemplo: 1. x2 –5x + 6 ≤ 0 Factorizamos: x2 – 5x + 6 ≤ 0 x –3 –2 x

5.°

año

«Trinomio positivo»

III. Inecuación de Grado Superior



Para determinar los puntos críticos se utiliza la factorización por divisores binomicos o aspa doble. Ejemplo: x4 – x3 – 7x2 + x + 6 ≥ 0 Factorizando por aspa doble (x – 1)(x + 2)(x – 3)(x +1) ≥ 0 14243 14243 14243 14243 =0 =0 =0 =0

37

ÁLGEBRA

5

Inecuaciones Puntos críticos: –2; –1; 1; 3 +

–

+

–

2.

+

–∞ –2 –1 1 CS = 〈–∞;–2] ∪ [–1;1] ∪ [3;+∞〉

x–5≠0→x≠5 Puntos críticos x + 1 = 0; x –3 = 0; x – 5 = 0 x = –1; x = 3; x = 5 PC → –1; 3 ; 5

+∞

3

IV. Inecuación fraccionaria Forma general



f (x) g (x)

> 0 <

– –∞

Toma en cuenta g(x) ≠ 0 y para hallar los puntos críticos se iguala f(x) = 0 ∧ g(x) = 0 Ejemplo: 1. x - 2 > 0 x+3 x + 3 ≠ 0 → x ≠ –3 Puntos críticos x – 2 = 0 x+3=0 x = 2 x = –3 PC → –3; 2

+ –∞

( x + 1) ( x - 3) #0 ( x - 5)

– –3



–1

– 3

+ 5

+∞

CS = 〈–∞;–1] ∪ [3;5〉

V. Inecuación irracional Teorema 1 Si x; y ∈ R, x ≤ y ⇔ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≤ y2

Teorema 2 ∀ y < 0; x ≥ y ⇔ x ≥ 0

+ 2

+

Teorema 3

+∞

∀ y ≥ 0; x ≥ y ⇔ x ≥ 0 ∧ x ≥ y2

CS = 〈–∞;–3〉 ∪ 〈2;+∞〉

Trabajando en clase Integral

Resolución ⇒ (2x – 5)2 < (5x – 2)2 4x2 – 20x + 25 < 25x2 – 20x + 4 21 < 21x2 0 < 21 x2 – 21 0 < x2 – 1 0 < (x + 1)(x – 1) 123 123 0 0 x = –1; x = 1

1. Resuelve: 3x - 4 + 5x - 6 $ 8 - 7x 2 4 2 2. Resuelve: 2x – 5 < x + 3 < 3x – 7 UNFV 2005 3. Resuelve: a(x – b) – b(x – a) ≤ a2 – b2; a < b CEPREUNAC 2012

+ –∞

PUCP 4. Determina el conjunto solución de la siguiente inecuación: a) (2x – 5)2 < (5x – 2)2

5

ÁLGEBRA

– –1

+ 1

+∞

CS = 〈–∞;–1〉 ∪ 〈1;+∞〉 5. Determina el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones

38

a) (3x + 2)2 > (2x + 3)2 b) 3x2 – 10x < 0 c) 6x2 – 11x – 10 ≥ 0 6. Calcula el valor de m.n, si: x2 + mx + n ≥ 0 y su

CS = 〈–∞;–3] ∪ [2;+∞〉

7. Determina el conjunto solución de cada una de las siguiente inecuaciones: a) x2 + 6x + 9 < 0 b) x2 + 6x + 9 > 0 c) x2 + 6x + 9 ≤ 0 d) x2 + 6x + 9 ≥ 0

5.°

año

Inecuaciones UNMSM 8. Calcula el menor número «k» con la propiedad de que ∀ x ∈ R se cumple Resolución Ordenando la inecuación 0 ≤ x – 6x + k – 1 2

Como cumple para todo x ∈ R, entonces el trinomio es positivo si y solo si D≤0∧a>0 (–6)2 –4(k – 1) ≤ 0 ∧ 1 > 0 36 – 4k + 4 ≤ 0 40 ≤ 4k 10 ≤ k \ El menor valor de k = 10

5.°

año

9. Calcule el mayor número real «r» que satisface la relación r ≤ x2 + 4x + 6, ∀ x ∈ R

Resolución

10. Resuelve e indique el número de valores enteros positivos que lo verifican:

⇒

2 ⇒ x - 5x + 4 # 0 x-1

(x - 4)(x - 1) x-1

# 0; x ! 1

⇒x≤4 \ C.S. = 〈–∞;4] – {1}

2x3 – 3x2 – 11x + 6 ≤ 0

13. Al resolver:

11. Resuelve: (2x + 1)7(x – 3)4(x + 7)3(x – 5) ≥ 0 UNI 12. Determina el conjunto solución de la inecuación: x 2 - 5x + 4 # 0 x-1

39

x2 25 < (x - 1) (x + 7) (x - 1) (x + 7)



se obtiene: x ∈ 〈a; –b〉 ∪ 〈c;b〉 Calcula abc

14. Calcula el conjunto solución: 7 $ 8 x+2 x-5

ÁLGEBRA

5

6 Relaciones y funciones I. Par ordenado abscisa

(a ; b)



ordenada



Importante

R = {(x;y) ∈ A × B/ x > y} → A × B = {(2;3) (2;4) (5;3) (5;4) (7;3) (7;4)} → De el conjunto A × B, tomamos los pares (x;y) que cumplan con x > y R = {(5;3) (5;4) (7;3) (7;4)}

IV. Funciones



1. (a;b) ≠ (b;a) 2. Si (a;b) = (m;n) →a=m∧b=n

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, y una relación F ⊂ A × B, definimos a F como función de A en B, si y solamente si para cada x ∈ A, existe un único elemento y ∈ B, de manera que (x;y) ∈ F. F = {(x;y) ∈ A × B/ ∀ x ∈ A; ∃! y ∈ B} f

II. Producto Cartesiano



A

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, definimos el producto cartesiano (A × B), como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B.

B Siendo a ≠ b ≠ c

a b

1

c

1

Entonces: A × B = {(1;1) (1;2) (1;3) (2;1) (2;2) (2;3)} B × A = {(1;1) (1;2) (2;1) (2;2) (3;1) (3;2)}

2

Conclusiones: → A × B ≠ B × A → n(A × B) = n(B × A) → n(A × B) = n(A) × n(B) Dados dos conjuntos no vacios A y B, llamaremos relación o relación binaria de A en B, a todo subconjunto R del producto cartesiano A × B, es decir: R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A × B



Ejemplo: Si A = {2; 5; 7} ∧ B = {3; 4} Determina la relación R: A → B, definida de la siguiente forma:

6

ÁLGEBRA

B

a b c

Siendo a ≠ b ≠ c F no es función

Una función es una relación en la que para cada valor de la primera componente, existe un único valor de la segunda componente.

Observación

III. Relaciones



f

F es función

A × B = {(a;b)/ a ∈ A ∧ b ∈ B} Ejemplo: Dado A = {1; 2} B = {1; 2; 3}

A

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función ZZ Si (a;b) f → f(a) = b ZZ Dominio de una función f, se denota por Df y se define Df = {x ∈ A/ ∃! y, (x;y) ∈ f} ZZ Rango de una función f, se denota por Rf Rf = {y ∈ B/ ∃ x; (x;y) ∈ f} ZZ

40

5.°

año

Relaciones y funciones

Trabajando en clase Integral 1. Calcula el menor valor de xy, si: (25; x + 3) = (x2; y + 1)



4. Calcula la suma de elementos del rango de la función. F = {(4;3)(a;–1)(2;a2)(7;a–2)(2;a+12)] Resolución Sabemos que F es una función, entonces a2 = a + 12 a2 – a – 12 = 0 a – 4 +3 a a=4 (a – 4)(a + 3) = 0 a = 3; analizando: ⇒ a = 4 ⇒ F = {(4;3)(4;–1)(2;16)(7;2)} No cumple que F sea función ⇒ a = –3 ⇒ F = {(4;3)(–3;–1)(2;9)(7;–5)} Cumple que F sea función Rf = {3; –1; 9; –5} \ Suma de elementos del rango = 6

2

5

2

3

3

3



x

UNMSM 8. Si f(x – 3) = x2 + 5x – 2, uno de los valores de K, tal que f(k) = k + 1 es: Resolución f(k) = f(x – 3) ⇒ k = x –3 x = k +3 f(k) = (k + 3)2 + 5(k + 3) – 2 123 14444244443 k + 1 = k2 + 11k + 22 0 = k2 + 10k + 21 0 = (k + 7)(k +3) \ k = –7 ∨ k = –3

f (2) + g (f (2)) del diagrama que se 6. Calcula f (3) + g (f (3)) muestra f g 5

x

y

5. Calcula la suma de elementos del dominio de la función F = {(3;1) (b;4) (3;a2) (5;4) (5;a + b}

2

y x

PUCP

9. Si f(x – 2) = x2 + 3x – 2 ∧ f(k) = k + 1 Calcula el valor de k2 + 6k + 12 3x2; x < 3 2x - 5; x $ 3 Calcula el valor de f(5) + f(2) – f(3)

10. Sea f(x) = *

2x + a ; x < 5 x + b; x $ 5 Además f(0) = 4 ∧ f(8) = 10 Calcula el valor de a2 + b2

11. Si f(x) = *

7. ¿Cuáles de los siguiente gráficos no representa a una función?

año

y

3. Calcula el dominio y rango de F, si F es una función F = {(7;a+b)(a;b2)(7;3)(5;1)(5;a–b)}

1

x

x

2. si A = {1; 2; 3; 4}, indica el número de elementos de la siguiente relación R = {(x;y) ∈ A2/ x + y < 4}

5.°

y

y

41

ÁLGEBRA

6

Relaciones y funciones UNI

\

12. Si f es una función real tal que f(x – 1) = x + 3, entonces para a ≠ 0. f (a + 1) - f (1) Calcula el valor de a Resolución f(x – 1) = f(a + 1) ⇒ x – 1 = a +1 x = a +2 2 ⇒ f(a + 1) = (a + 2) + 3 = a2 + 4a + 7 2

f (a + 1) - f (1) = a+4 a 13. Si los puntos (0;0) y (–1;9) pertenecen a la función f(x) = m(x – 2)2 – p Calcula el valor de m + p 14. Si [xb] = bxb–1 y f(x + 1) = [x2] + 3[x3] + f(x) calcula f(2) si se sabe que f(4) = 2 UNI 2003-II

f(x – 1) = f(1) ⇒ x – 1 = 1 x=2 ⇒ f(1) = 22 + 3 = 7

6

ÁLGEBRA

2 f (a + 1) - f (1) a + 4a + 7 - 7 = a a

42

5.°

año

7 Valor absoluto I. Definición

Ejemplos:

Sea a ∈ R, el valor absoluto se denota por |a| el cual se define por



a; a ≥ 0 –a; a < 0

14243

|a| = Ejemplos: • |2| = 2 • |–2| = –(–2) = 2

•

x+1 = x+1 3 3

•

x+2 =- x + 2 3 -3

5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto de la base elevado al cuadrado a2 = |a|2

II. Propiedades:

6. La raíz cuadrada de todo número elevado al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del número. a2 = |a|

1. El valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo. |a| ≥ 0 2. El valor absoluto de todo número real siempre es igual al valor absoluto de su opuesto. |a| = |–a|

Advertencia pre Recuerda:

Nota

Teoría de exponentes x2 = x

• Generalizando |a + b| = |–a –b|; |a – b| = |b – a|

x≥0

∀x∈R

7. Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b| I. Si |a + b| < |a| + |b|, entonces ab < 0 II. Si |a + b| = |a| + |b|, entonces ab > 0

4. El valor absoluto de la división de dos números reales (divisor diferente de cero) es igual a la división de los valores absolutos. a = a ;b≠0 b b

año

x2 = |x|

Comentario Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el trabajo de una ecuación o inecuación con un valor absoluto

3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números reales es igual a la multiplicación de los valores absolutos de los números en mención. |ab| = |a| |b| Ejemplos: • |3 (x – 4)| = 3|x – 4| • 2|x + 2| = |2x + 4| • –2|x + 2| = –|2x + 4|

5.°

Números reales

III. Ecuaciones con Valor Absoluto A. Caso 1

43

|x| = 0 ⇔ x = 0 ÁLGEBRA

7

Valor absoluto Ejemplo: • |x – 3| = 0 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

Ejemplo: |x – 3| ≤ 5: 5 ≥ 0 ∩ (–5 ≤ x – 3 ≤ 5) –2 ≤ x ≤ 8

B. Caso 2 |x| = a ⇔ (a ≥ 0) ∧ (x = a ∨ x = –a)

B. Caso 2

Ejemplos:

|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ –a

• |x – 3| = 5 si 5 ≥ 0 x – 3 = 5 ∨ x – 3 = – 5 x = 8 ∨ x = –2

Ejemplo: |x –2| ≥ 3: x – 2 ≥ 3 ∨ x – 2 ≤ –3 x ≥ 5 ∨ x ≤ –1

• |x – 3| = –4 si –4 ≥ 0 \ C.S. = ∅

C. Caso 3

C. Caso 3 |x| ≤ |y| ⇔ (x – y)(x + y) ≤ 0 Ejemplo: |x – 2| ≤ |2x – 3| ⇔ (–x + 1)(3x – 5) ≤ 0 (x – 1)(3x – 5) ≥ 0 Aplicando P.C.

|x| = |a| ⇔ x = a ∨ x = –a

Ejemplos: |x – 3| = |2x + 2| x – 3 = 2x + 2 ∨ x – 3 = –2x – 2 –5 = x 3x = 1 x= 1 3

+ –∞

IV. Inecuaciones con Valor Absoluto A. Caso 1

1

–

5 3

+ +∞

x d -3;1 A j : 5 ; + 3 3

|x| ≤ a ⇔ a ≥ 0 ∧ (–a ≤ x ≤ a)

Trabajando en clase Integral 1. Calcula: F = |p – 7| + |p – 5 | + | 5 – 2| 2. Resuelve: |12x2 + 7x – 10| = 0 3. Resuelve: |3x2 – 10| = – 1 PUCP 4. Resuelve e indica el producto de soluciones 5x - 1 = 4 x+2

7

ÁLGEBRA

Resolución: 5x - 1 =4 x+2 |5x – 1| = 4|x + 2| |5x – 1| = |4x + 8| 5x – 1 = 4x + 8 ∨ 5x – = –4x – 8 x = 9 ∨ 9x = –7 x = 9 ∨ x = –7/9 5. Calcula la suma de soluciones de la ecuación: 4x + 3 = 3 x+2 6. Calcula la suma de soluciones de la ecuación: ||x – 1| – 2| = 2014

44

7. Resuelve: |x – 3| + |2x – 6| – 8 = 0 UNMSM 8. Resuelve: |3x – 7| = 4x – 9 Resolución: |3x – 7| = 4x – 9; 4x – 9 ≥ 0 x ≥ 9 4 3x – 7 = 4x – 9 ∨ 3x – 7 = 9 – 4x 2=x CS = & 16 0 7

∨

7x = 16 x = 16 7

5.°

año

Valor absoluto 9. Resuelve: |2x + 17| = x + 18 10. Resuelve: |3x – 2| = |x + 5| 11. Dada la ecuación: x + 1 2 - 7 x + 1 =- 6

5.°

año

UNI 12. Resuelve: |3x – 2| ≤ 7 Resolución:

b _ x + 1 i2 - 3 l_ x 3 + 8 i

x2 - 2 x + 4

|3x – 2| ≤ 7 –7 ≤ 3x – 2 ≤ 7 –5 ≤ 3x ≤ 9 -5 ≤x≤3 3

13. Si el conjunto solución de la inecuación:

\ CS = :- 5 ; 3 D 3

45

$0

Es 〈–∞;a] ∪ [b;+∞〉. Calcula b – a 14. Resuelve: |2x – 3| > |x + 4|

ÁLGEBRA

7

8 Repaso Trabajando en clase 1. Calcula 10 z2 = 3 – i a) 1 + 17i b) 6 – i c) 3 + 4i d) 3 – 2i e) 1 + 6i

z1 , si: z1 = 2 + 5i y z2

2. Calcula el valor de «m», si el siguiente complejo es imaginario puro: z = 3 - mi 1+i a) –1 b) 2/3 c) 2 d) 1 e) 3 3. Calcula el valor de «a», si se sabe que el complejo real: z = 7a + i 2-i a) –2/7 b) 6 c) 1/3 d) –7 e) 1/6 4. Si r y s son raíces de: x2 – 5x + 2 = 0 Calcula r2 + s2 CEPREPUC 2013 a) –25 b) 20 c) 15 d) 21 e) 25

8

ÁLGEBRA

5. Si r y s son raíces de: x2 – 8x + 6 = 0 Calcula (r+1)(s+1) a) 15 b) –2 c) 7 d) 14 e) –5 6. Si –2 es una de las raíces de la ecuación x2 – 5x + k = 0, calcula la otra raíz UNALM 200 a) 7 b) –4 c) 8 d) 6 e) –5 7. Resuelve e indica la mayor solución de: x2 – x – 1 = 0 a) 1 + 5 b) 1 c) 1 + 5 2 d) 1 + 3 e) 1 + 2 8. Si: 2x4 – 6x2 + 7x + 1 = 0 M = Suma de productos binarios N = Suma de productos ternarios Calcula el valor de M + N a) –13/2 b) 3/2 c) 5/2

46

d) 11/2 e) –4 9. Si 2x5 + 3x4 – x2 – 7x + 9 = 0 Calcula: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x1x2x3x4x5 a) –6 b) –3 c) 2 d) 3 e) –4 10. Resuelve e indica la menor solución: x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 a) –6 b) –4 c) –2 d) –1 e) 2 11. Calcula el valor de «ab», si –7 ≤ x < 4, además –2x + 7 ∈ 〈a;b] a) –16 b) –24 c) –21 d) –15 e) 24 12. Si x, y ∈ R – {0}, calcula el menor valor que puede asumir: 2 y 2 F = 5 d x n + 125 b l y x a) 36 b) 25 c) 50 d) 24 e) 20 5.°

año

Álgebra

1 Funciones II Cálculo del dominio y el rango de una función

ax + b III. Función racional f(x) = cx + d

En la función f real de variable real, si (x; y) ∈ f, su regla de correspondencia es y = f(x). Consideremos lo siguiente: ZZ Calcular el dominio consiste en encontrar todos los valores reales de «x» para que la función esté bien definida en los reales. ZZ Calcular el rango de la función consiste en encontrar todos los valores reales de «y» o «f(x)» a partir del dominio.

Sin dominio restringido ZZ Para el cálculo de dominio: cx + d ≠ 0 ⇒ x ≠ –d/c ∴ Domf = R – {–d/c}

Con dominio restringido Se debe construir el rango utilizando las propiedades de desigualdades, a partir del dominio que lo tenemos como dato: ZZ Para el cálculo del Ejemplo: rango: Si f(x) = x+5; x ∈ 〈4; 8] x+3 ax+b y= , despeja cx+d Se sabe lo siguiente: «x» y = x+5 ⇒ y = 1 + 2 x+3 x+3 ⇒ x = –dx+b ⇒ cy–a Construimos «y» a partir de x ∈ 〈4; 8] cy – a ≠0 (4 < x ≤ 8) + 3 ⇒ y ≠ a/c (7 < x + 3 ≤ 11) inversa ∴ Ramf = R –{a/c} 1 1 1 ≤ < ×2 11 x+3 7 2 2 2 ≤ < +1 11 x+11 7 13 ≤ 1 + 2 < 9 x+11 7 11 Ranf = [13/11; 9/7〉

I. Función lineal f(x) = mx + b; m ≠ o



Sin dominio restringido Si f(x) = –4x + 5, entonces Domf = R Romf = R

Con dominio restringido Si f(x) = –4x + 5, x ∈ 〈–2; 3] Entonces: Domf = 〈–2; 3] Para el rango (–2 < x ≤ 3) × –4 (–12 ≤ –4x < 8) + 5 –7 ≤ 4x + 5 < 13 ∴ Ranf = [–7; 13〉

II. Función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c: a ≠ 0

Sin dominio restringido Con dominio restringido

Usaremos el h = –b ∧ 2a k = f(h) para el cálculo del rango. Entonces, tenemos: ZZ Domf = R ZZ Ramf = [k; +∞〉; a > 0 Ramf = 〈–∞; k]; a < 0 f(x) = –x2 + 2x + 3 a = –1 h = –2 = 1 2(–1)

Se busca completar cuadrados f(x) = a(x – h)2 + k f(x) = x2 + 6x + 3; x ∈ 〈1; 5] complet ando cuadrados f(x) = (x + 3)2 – 6 ∧ como x ∈ 〈1; 5] entonces tenemos: (1 < x ≤ 5) + 3 (4 < x + 3 ≤ 8)2 (16 < (x + 3)2 ≤ 64) – 6 k = f(1) = 4 2 entonces, Domf = R ∧ 10 < (x + 3) – 6 ≤ 58 ∴ Ranf = 〈10; 58] Ramf = 〈–∞; 4]

5.°

año

IV. Función raíz cuadrada f(x) = a x–h + k YY Para el cálculo del dominio:



x–h≥0⇒x≥h Entonces, Domf = [h; +∞〉

YY Para el cálculo del rango:

Partimos de x–h ≥ 0 a x–h ≥ 0; a ≥ 0 ⇒ a x–h + k ≥ k ⇒RF = [k; +∞〉 a x–h ≤ 0; a < 0 ⇒ a x–h + k ≤ k ⇒RF = 〈–∞; k]

29

ÁLGEBRA

1

FUNCIONES II

Trabajando en clase Integral

2 7 <1+ ≤2 x+2 5     

1. Calcula el rango de f(x) = 3x – 2; si x ∈ 〈–4; 5] 2. Calcula el rango de f(x) = –x + 3; si x ∈ [–8; 2〉 4 3. Determina el máximo valor de la función: G(x) = –4x2 + 8x UNALM 2008-I



∴ Ranf = 〈7/2; 2]

5x+1 2x–3 CEPREVI 2013

10. Calcula el rango de la función: f(x) =

2 11. Dada la función: f(x) = 5x –7x–6 , definida sox+3

YY Con a = 2 > 0, entonces: Ranf = [2; +∞〉



y

x+1 , 9. Sea f: 〈3; 5] → R, definida por f(x) = x–2 determina el rango de f.

4. Calcula el mínimo valor de: f(x) = 2x2 –x + 20 Resolución: Para calcular el mínimo valor de «f» se usará el «método del vértice»: h = – (–12) = 3 ⇒ k = f(3) = 2(3)2 – 12(3) + 20 = 2 2(2)



∴ mínimo valor de «f» es 2.

5

〈

bre – 3 ; 3  , calcula el rango de f. 5 5

5. Si f(x) = 2x2 – 5x + 8, determina: Domf ∩ Ranf CEPREPUC 2013



UNI 2008-I

6. Calcula el rango de f(x) = x + 6x – 1; si x ∈ 〈–5; 2〉 2

UNI

7. Calcula el rango de f(x) = x2 – 2x; si x ∈ 〈–4; –1]

12. Calcula el dominio de la función:

PUCP



8. Sea f: [0; 3〉 → R, definida por f(x) = x + 4 , x+2



determina el rango de «f». Resolución: Transformamos: 1 (x+2)+2 x x + 4 = ⇒ y= +2 + 2 y= x+2 x+2 x+2 x+2 ⇒y=1+ 2 x+2



8–x

0

3

8

+∞

∴ Domf = [0; 8〉 – {3}

13. Calcula el dominio de la función:

YY Construimos «y», a partir de

(0 ≤ x < 3) + 2 (2 ≤ x + 2 < 5) invertimos:



1 1 1 < ≤ ×2 5 x + 2 2 2 2 < ≤1 +1 5 x + 2 ÁLGEBRA

1

Resolución: x–3≠0∧x≥0∧8–x>0 x≠3 ∧x≥0∧ 8>x

–∞

YY Además, se sabe que x ∈ [0; 3〉

1

f(x) = 1 + x + x–3

f(x) = 1 + x + x–2

1

5–x

14. Calcula el rango de la función: f: R – {0} → R

30

Definida por f(x) = x + 1

x

UNI 2007-II 5.°

año

2 Funciones III Función lineal

ZZ Gráfica

y

ZZ Regla de correspondencia:



f(x) = mx + b; m ≠ 0

k

ZZ Dominio y rango:

Domf = R Ranf = R ZZ Gráfica: y m>0 (b > 0) b



–b x m Ejemplos: YY Grafica f(x) = 5x – 3 ⇒ y = 5x – 3 Tabulamos: x 0 3/5

y –3 0

y b

–b m

g

x

Punto de intersección: (x; y) Como nos damos cuenta, el punto (x; y) pertenece a las dos funciones, por lo que este punto se hallará igualando las respectivamente funciones: Ejemplo: Calcula el punto de intersección de f(x) = 4x – 7 ∧ g(x) = 8 + x Igualando funciones: f(x) = g(x) 4x – 7 = 8 + x 3x = 15 x=5 Reemplazando x = 5 en f(x), entonces y = f(5) = 4(5) – 7 = 13

Graficamos: y 3/5

x

–3

∴ el punto de intersección es (5; 13)

Función identidad f(x) = x Gráfica

x

Domf = R Ranf = R

y

Función constante

ZZ Regla de correspondencia:

y=x

f(x) = k; k ∈ R 45º

ZZ Dominio y rango:

5.°

año

k<0

Sean f ∧ g dos funciones lineales cuyas gráficas son: f

1/4

Domf = R Ranf = {k}

k

Intersección de funciones lineales

m<0 (b > 0)

⇒ y = –4x + 1 Tabulamos: Graficamos: y x y 0 1 1 1/4 0



x

x

YY Gráfica: f(x) = –4x + 1



y

k>0

31

m=1 ∧ b = 0 x

q = 45º

ÁLGEBRA

2

FUNCIONES III

Trabajando en clase Integral

5. Calcula la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es: y

1. Dado: 3x + 2y = 12 a) Calcula la pendiente e intercepto b) Grafica la función

3

2. Grafica e indica el área de la región formada por la función y los ejes coordenados: f(x) = 2x – 5 3. Grafica: a) f(x) = –3

–4

b) f(x) = x

6. Calcula el punto de intersección de las funciones:

PUCP 4. Calcula la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es: y

f(x) = –x + 7 ∧ g(x) = x – 8

2

3

7. La gráfica de la función: y = q – x , con q > 0 es:

2

UNMSM

4 –5

8. Calcula el área de la región formada por las gráficas de las funciones: f(x) = 3x – 6 ∧ g(x) = 3 y el eje de ordenadas. Resolución: Graficamos cada una de las funciones:

x

Resolución: Se sabe que la gráfica corresponde a una función lineal, es decir f(x) = mx + b ↓ y





Además, del gráfico:



y

x 0 2

f(x) = 3x – 6

y –6 0

g(x) = 3 ↓ y =3

Intersección: f(x) = g(x) 3x – 6 = 3 ⇒x=3∧y=3 (3; 3)

xy (0;4) –5;0 xy

x

x

3

3

(3;3)



Entonces, tenemos: YY (0; 4) ∈ f ⇒ 4 = m(0) + b ⇒ 4 = b YY (–5; 0) ∈ f ⇒ 0 = m(–5) + b ↓ 4 ⇒ m = 4/5 ∴ f(x) = 4 x + 4

2

9

–6

∴ Área = 9⋅3 = 27 u2 2 2

5

2

ÁLGEBRA

32

5.°

año

FUNCIONES III 9. Calcula el área de la región formada por las gráficas de las funciones: f(x) = –2x + 6 ∧ g(x) = –4 10. Una recta intersecta a los ejes coordenados, determinando un segmento cuyo punto medio es M(3; 4). La ecuación de la recta es: UNFV 2000 11. Calcula el área de la región formada por las funciones f(x) = 2x – 7 ∧ g(x) = 2 – x y el eje de ordenadas.



Si g = h ⇒ –x + 11 = 2 x=9 y=2 B(9; 2)



Si f = h ⇒ x + 3 = 2 x = –1 y=2 C(–1; 2)

4 7 ∴ Área ∆ABC = 1 –1 2 = 1 (50) = 25 u2 2 2 9 2     

12. Calcula el área de la región formada por las funciones: f(x) = x + 3; g(x) = –x + 11; h(x) = 2 Resolución: h(x) = 2 f(x) = x + 3 g(x) = –x + 1 x x y y y =2 0 0 3 11 –3 11 0 0   

a



y 11

4 –1 a = –7 9 18 8 4 19

7 2 2 7

8 =69 – 19 = 50 –2 63 69

A(4;7) C(–1;2)

3

B(9;2)

2 –3

11

13. Calcula el área de la región formada por las funciones: f(x) = x – 6; g(x) = –x + 4; h(x) = 1

h

14. Calcula el área del triángulo sombreado si L es una recta de pendiente –4. y

x

(–1;12)

Intersecciones Si f = g ⇒ x + 3 = –x + 4 x=4 A(4; 7)

5.°

año

x L

33

ÁLGEBRA

2

3 Funciones IV Función cuadrática

Análisis de la gráfica de la función cuadrática según su discriminante

f(x) = ax + bx + c 2

Sea f(x) = ax2 + bx + c

YY Cálculo del vértice: V(h; k)

h = – b ∧ k = f(h)

2a

∆>0 y

YY Intersección con los ejes coordenados ●● Con el eje de abscisas: «y» se iguala a cero

∆<0 y

a>0

y se reemplaza en la función para obtener el punto o los puntos de corte con el eje «x». y = 0

x

a<0

y se reemplaza en la función para obtener el punto de corte con el eje «y». x = 0

x

YY Gráfica de una función

x y

y

●● Con el eje de ordenadas: «x» se iguala a cero

Caso I:

∆=0 y

x y

x

x

Intersección de una recta con una parábola

y

h x

CASO I CASO II CASO III Cuando la recta Cuando la recta Cuando la recta es secante a la es tangente a la y la parábola no parábola, corta parábola, corta se cortan: en dos puntos: en un punto: f(x) = g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) ∧ ∧ ∧ ∆<0 ∆>0 ∆=0

x

V(h; k) a>0

●● k es el mínimo valor de «f»

Caso II:

x

y

V(h; k)

h

No hay punto Hay 2 puntos Hay 1 punto de de intersección de intersección intersección

x

Relación en la función cuadrática y la ecuación cuadrática

Se tiene la función: f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 si f(x) = 0, entonces, ax2 + bx + c = 0 es una ecuación cuadrática. Si las raíces de dicha ecuación son r y s, se cumple lo siguiente:

a<0 ●● k es el máximo valor de «f»

3

ÁLGEBRA

34

5.°

año

FUNCIONES IV y

Advertencia pre

f(x) = a(x–r)(x–s) r

r

h = –b/2a k = f(h)

Sea: f(x) = ax2 + bx + c

x

ZZ Si a > 0 ; entonces: RF = [k; +∞〉 Fmín. = k ZZ Si a < 0 ; entonces: RF = 〈–∞; k] Fmáx. = k

ZZ (r; 0) y (s; 0) son los puntos de intersección del

gráfico de f con el eje «x». Si el vértice es (h; k), r+s entonces h = 2

Trabajando en clase Integral

YY Gráfica

y

1. Calcula el vértice y el mínimo valor de la función: f(x) = x2 + 8x + 3 2. Calcula el vértice y el máximo valor de la función: f(x) = –x2 + x + 1

–3

V

3. Calcula los puntos de intersección con los ejes coordenados: f(x) = x2 – 4x – 12

x

1 –3 –4

5. Grafica e indica el máximo valor que puede alcanzar la función: f(x) = –x2 + 6x – 8. CEPREPUC 2013

PUCP 4. Grafica: f(x) = x + 2x – 3 Resolución: f(x) = x2 + 2x – 3 a = 1; b = 2; c = –3 –b –2 h= = = –1 ∧ 2a 2(1) 2



–1

6. Grafica y = x2 + 1, si –1 ≤ x ≤ 4 e indica el dominio y rango. 7. Determina la ecuación correspondiente a la parábola mostrada: CEPREPUC 2013 y

k = f(h) = f(–1) = (–1)2 + 2(–1) – 3 k = –4 YY Vértice: V(–1; –4)

x

YY Si a=1>0 ⇒ La parábola se abre hacia arriba

(2;–4)



YY Intersecciones ●● Con el eje de abscisas (y = 0)



0 = x + 2x – 3 x +3 x –1 ∴ Puntos de intersección (–3; 0) y (1; 0) ●● Con el eje de ordenadas (x = 0) y = 02 + 2(0) – 3 y = –3 ∴ punto de intersección: (0; –3)

5.°

año

UNMSM

2

8. Según la gráfica de f, calcula f(5): y

2 –4

35

8

x f(x)

ÁLGEBRA

3

FUNCIONES IV



UNI

Resolución: Usaremos la forma siguiente: y = a(x – r)(x – s)

12. Según la figura, calcula «a + b + c + d». y f(x) = x2–10x+4



donde «r» y «s» son puntos de intersección del gráfico de f con el eje «x». entonces, del gráfico:



r=2∧s=8 ⇒ y = a(x – 2)(x – 8) Además, (0; –4) ∈ f ⇒ –4 = a(0 – 2)(0 – 8)



a=



⇒ y = f(x) =



Nos piden:



f(5) =

g(x)=x–26

(c;d) Resolución: Del gráfico se reconoce que (a, b) y (c, d) son los puntos de intersección de f y g, por lo tanto: f(x) = g(x) x2 – 10x + 4 = x – 26 x2 – 1x + 30 = 0 x –6 x –5 (x – 6)(x – 5) = 0 x1 = 6 x1 = 5 entonces, tenemos: x1 = 6 ⇒ y1 = 6 – 26 = –20 x2 = 5 ⇒ y2 = 5 – 26 = –21 luego: (a, b) = (6; –20) ∧ (c, d) = (5; –21) a = 6; b = –20; c = 5; d = –21 ∴ a + b + c + d = –30



–1 4 –1 (x – 2)(x – 8) 4

9 –1 (5 – 2)(5 – 8) = 4 4

9. Según la gráfica de f, calcula f(1). y

13. Según la gráfica, calcula «m + n + p + q». y f(x)=7x+2

f(x) 5

–1

x

(a;b)

x

(p;q)

–2

(m;n) x g(x)=–x2+3x–1

10. Determina los puntos de intersección de las siguientes funciones: f(x) = x2 – 1 ∧ g(x) = 3x – 1

14. Dada la función «f», cuya regla de correspondencia es f(x) = x2 – 2x + a, podemos afirmar que los gráficos adjuntos corresponden: UNI 1997 i. y ii. y iii. y

11. Según la gráfica, calcula «m». y f(x) = x2+mx+4

x

x

x

x



⇒ocurre cuando: ⇒ocurre cuando ⇒ocurre cuando

3

ÁLGEBRA

36

5.°

año

4 Funciones V Gráfica

I. Función valor absoluto f(x) = a x – h + k

CASO I

Vértice V(h; k)

Intersección con las coordenadas YY Con el eje de abscisas: se iguala «y» a cero (y = 0) YY Con el eje de ordenadas: se iguala «x» a cero (x = 0)

Gráfica y

a>0

y k

h x k

arriba

Vértice: V(2; 1)

Vértice: V(3; –2) Intersecciones: Intersecciones: - Con el eje «x» (y = 0): - Con el eje «x» (y = 0): (–1; 0) no hay - Con el eje «y» (x = 0): - Con el eje «y» (x = 0): (0; 3; –2) y no hay

V(h;k)

y

x

–1

1 2

Vértice V(h; k)



Intersección con los ejes de coordenadas YY Con el eje de abscisas: se iguala «y» a cero (y = 0) YY Con el eje de ordenadas: se iguala «x» a cero (x = 0)

x

abajo

y = – + x+2 +3

y = – – x+4 +1

Vértice: V(–2; 3) Intersecciones: - Con el eje «x» (y = 0): (7; 0) - Con el eje «y» (x = 0); (0; – 2 + 3) y

Vértice: V(4; 1) Intersecciones: - Con el eje «x» (y = 0): (3; 0) - Con el eje «y» (x = 0): (0; –1)

derecha

V(–2;3)

Si F(x) = |x|, su gráfica: Si F(x) = –|x|, su gráfica y y F(x) x

V(3;–2)

CASO IV

CASO III

Advertencia pre

x

x

abajo



3

3–2 –2

V

Ranf = 〈–∞; k]

II. Función raíz cuadrada f(x) = a x – h + k

año

izquierda

V(h;k)

Ranf = [k; +∞〉

5.°

y = + – x+3 – 2

derecha

Rango:

arriba

y = + +x–2 + 1

a<0

h

CASO II

–2

3 3– 2 7

izquierda

V(4;1)

1

x

–1

3 4

F(x)

37

ÁLGEBRA

4

FUNCIONES V

Trabajando en clase Integral

UNMSM

1. Grafica: f(x) = x – 3 – 5

8. Grafica: y = – –x+16 + 2 Resolución:

2. Grafica: f(x) = –x – 2 + 4 3. Grafica: f(x) = –x + 6 y calcula el área de la región formada por la gráfica y el eje de abscisas.



PUCP



4. Grafica: y = x + 1 – 3 Resolución:

arriba

y = + +x+1 –3

derecha



Vértice: h = –1 ∧ k = –3 ⇒ V(–1; –3)



Intersecciones:





Eje «x» (y = 0)

Eje «y» (x = 0)

0= x+1 –3 32 = ( x + 1 )2 9=x+1 x=8 ⇒ (8; 0)

y= 0+1 –3 y= 1 –3 y = –2 ⇒ (0;–2)

Gráfica:

V(–1;–3)

(8;0) (0;–2)

Vértice: h = 16 ∧ k = 2 V(16; 2) Intersecciones: Eje «x» (y = 0)

Eje «y» (x = 0)

0 = – x+16 +2 ( – x+16 )2 = 2 –x + 16 = 4 12 = x ⇒ (12; 0)

y = – – 0+16 + 2 y = – 16 + 2 y = –4 + 2 y = –2 ⇒ (0;–2)

Gráfica: y 2

(12;0) (0;–2)

V(16;2) 16

x

9. Grafica: y = – – x + 4 + 3

y –1

y = – – x+16 + 2 izquierda

10. Determina la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es:

x

y

–3 4

Ranf = [–3; +∞〉 ∧ Domf = [–1; +∞〉

5. Grafica: y = x + 4 – 2

3

x

–5

6. Grafica: y = –x+9 – 1 11. Calcula los puntos de intersección entre las funciones f(x) = 5 –x – 2 ∧ g(x) = x + 1.

7. Grafica: y = – x – 4 + 5

4

ÁLGEBRA

4

38

5.°

año

FUNCIONES V UNI 12. Calcula el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = 3x ∧ g(x) = x + 4 Resolución: x y f(x) = 3x ∧ g(x) = x + 4 (Función valor (Función lineal) 0 4 absoluto) –4 0 Vértice: (0; 0) Intersecciones Eje «x» (y = 0) ⇒ (0; 0) Eje «y» (x = 0) ⇒ (0; 0) g f (2;6)

(–4;0) (0;0)

año

El área del triángulo formado se calcula mediante determinantes:



A=1 2



A = 1 [0 + 6 + 0 – (0 – 6 + 0)] 2



A = 1 [6 + 6] = 6 u2 2

0 2 –1 0

0 6 3 0

13. Calcula el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = 2x ∧ g(x) = x + 5 2 UNMSM 2009-I

(0;4) (–1;3)

5.°



14. Grafica: 3 – x + 5 

39

ÁLGEBRA

4

5 Logaritmos I Definición

III. logb

Dados b > 0; b ≠ 1 y x > 0. El logaritmo de «x» en base, denotado con logb x, es el número y ∈ R, tal que by = x.

18 2 9 = log2 = 1 5 YY log3 = log35 – log32 2 7 YY log2 3 = log237 – log25 = 7log23 – log25 5 YY log218 – log29 = log2

Simbólicamente logb x = y ⇔ by = x Ejemplos: ZZ log2 128 = 7 ⇔ 27 = 128 ZZ log 3 9 = 4 ⇔ 3 4 = 9 –2 log3/4 16 = –2 ⇔ 3 = 16 4 9 9

IV. logbxlogxylogya = logba

Observaciones ZZ Cuando la base del logaritmo es b = 10, denotaremos log10 x =logx. ZZ Cuando la base del logaritmo sea el número trascendente e = 2,718281…, denotaremos loge x = lnx.

YY log34log49 = log39 = 2 YY log2π logπ 7 log 64 = log264 = 6 7

V.

log53 log57

YY

Ejemplos: ZZ 3log35 = 5 ZZ πlogπ3 = 3 ZZ 10log7 = 7

Antilogaritmos

Antilogby = by

Ejemplos: ZZ antilog35 = 35 ZZ antilog3 7 6 = 3 7 6 = 72 = 49

Propiedades de los logaritmos

Dados a, x y ∈R+, b > 0, b, x, y ≠ 1, se tiene:

Cologaritmos

I. logbnxm = m logyx n YY log3257 = 7 log35 2 YY log2 7 2 8 = 8 log22 = 8 7 7 Log6 3 2 = log21/621/3 = 1/3 log22 = 2 2 1/6

cologbx = –logbx = logb 1 x

Ejemplos: ZZ colog26 = –log26 ZZ colog5 1 = log5125 = 3 125

Advertencia pre

logb(xy) = logbx + logby

ZZ ZZ ZZ ZZ

YY log69 + log64 = log636 YY log335 = 3635 + log37 YY log5(23⋅3) = log523 + log53 = 3log52 + log53

ÁLGEBRA

logax logab

log29 = log59 log25

blogbx = x

5

logbx =

YY log73 cambio a base 5, entonces log73 =

Identidad fundamental

II.

x = logbx – logby y

40

ln e = 1 ln en = n eln3 = 3 elnx = x

5.°

año

LOGARITMOS I

Trabajando en clase

Integral 1. Calcula: M = log5625 – log1000 + log3729



3. Calcula: F = 7log73 + 8log25 – 27log32 PUCP

4

6. Si ak = k+1 ; k = 1; 2; … k

n m

Calcula el valor de E:

UNMSM 2012-I

UNMSM 2012-II

UNI

12. Si A = 2+ 2+ 2 +... y B = 6+ 6+ 6 +... Calcula: logA(B + 5) Resolución: Calculemos los valores de A y B A = 2+ 2+ 2 +... ; donde A > 0 A       

UNMSM 8. Reduce: 1 1 S= – + logxxy – 1 1–logxyx 1–logxyx

⇒ A = 2+A elevando al cuadrado ⇒ A2 = 2 + A A2 – A – 2 = 0 A –2 A +1

Resolución:

YY Calculemos el equivalente de las fracciones:

año

∴ S = logyx

11. Si log35 = x, el valor de log45243 es: UNMSM 2001

7. Calcula el valor de «x». logx = 2 + 1 (log18 + log8 – 2log25) 2

5.°

S = logyxy – 1 = logyxy – logyy

10. Si x = log2(log4(log864)), calcula el valor de 31+x + 31–x

calcula: S = logba1 + logba2 + logba3 + … + logba99 donde: b = 104/7



S = logyxy – logxxy + logxxy – 1



5. Si logm = –2 ∧ logn = 12,







9. Si p, q, r ∈ R+ y 1 1 1 + + +1 E= logr(pq) + 1 logq(pr) + 1 logp(qr) + 1

log b = 1 logb – 3 a 2↓ log b = 1 ⋅(–2) – 3 = – 1 – 3 = –4 a 2



1 1 = = logxxy 1–logxyy logxyx

Reemplazemos lo obtenido en la expresión S.



log b = log b –loga a ↓ b 1/2 = logb – 3 log a



1 1 = = logyxy 1–logxyx logxyy



4. Si loga = 3 ∧ Logb = –2, calcula el valor de log b a Resolución:

calcula el valor de log

Entonces, tenemos:

YY De igual manera para la otra fracción:

2. Calcula: N = log48 – log8127 + log 7 49





1 1 1 = = 1–logxyx logxyxy – logxyx logxyy 1 Por propiedad: logba = logab



41

A = 2 ∨ A = –1, pero A > 0 ⇒A=2 ÁLGEBRA

5

LOGARITMOS I

13. Si a = 1 + 2 2 2 ...

      

Lo mismo haremos en B. B = 6+ 6+ 6 +... , donde B > 0 B 2 ⇒ B2 = ( 6+B) ⇒ B2 = 6 + B B2 – B – 6 = 0 B –3 B +2

B = 3 ∨ B = –2, pero B > 0 ⇒B=3



Luego: logA(B + 5) = log28 = 3

5

ÁLGEBRA



b = 3 + 6 6 6 ... calcula: x = logba

UNI 1983-I

14. Si 10x + 10y = p x – y = log p+q p–q

42

Calcula: 10x –10y

UNI 1992

5.°

año

6 Logaritmos II Definición

Antilogaritmos

Dados b > 0, b ≠ 1 y x > 0. El logaritmo de x en base, denotado con logbx es el número y ∈ R, tal que by = x.

antilogby = by

Simbólicamente, logbx = y ⇔ by = x

Cologaritmos

Identidad fundamental

cologbx = –logbx = logb 1 x

blogbx = x

Propiedades

Ecuaciones logarítmicas logbx = logby entonces x = y

Dados a, x, y ∈ R , b > 0; b, x, y ≠ 1, se tiene: I. logbnxm = m logbx n +

ZZ Resuelve:

logx(x – 3) = logx(5 – x) Primer paso: x > 0 y x ≠ 1; x – 3 > 0 y 5 – x > 0 entonces: x > 3 y x < 5 por lo que x ∈ 〈3; 5〉

II. logb(xy) = logbx + logby x III. logb y = logbx – logby IV. logbxlogxylogya = logba V. logbx =



logax logab

Segundo paso: x–3=5–x x=4

Trabajando en clase Integral

PUCP 4. Si Z es una solución de la ecuación: log9 [log2 (log3(81z))] = 1 2 Calcula el valor de z – 1 Resolución: Aplicando la definición en:

1. Calcula el valor de «b» que satisface la siguiente igualdad: logb 4 125 = 3 2 UNI 1981 2. Resuelve:



log 9 [log2 (log3(81z))] = 1 2

log27x + log9x + log3x = 11 18



UNALM 2001

log 2 (log3 (81z)) = 91/2

3. Resuelve: logx + log(x + 3) = log(x + 1)2 UNFV 2011 5.°

año

→3



43

ÁLGEBRA

6

LOGARITMOS II



log 3 (81z) = 23

10. Calcula el valor de «x» en la siguiente ecuación: 2 + logx(x – 1)2 + logx 1 = logxx2 x2 UNMSM 2004-I

→8



⇒ 81z = 38 38 38 z= = = 34 81 34

11. Si «n» es un número entero positivo 2log24 – 1 = log22 + log24 + log28 + … + log22n



∴ z – 1 = 81 – 1 = 9 – 1 = 8



12. Si x = 81a; y = a ; además:

7. Resuelve: 2 7log7(x + 5) = 4log2(x+1)



UNMSM



log2x ⋅ log2x – 5log2x + 4 = 0



log2x –4 log2x –1 (log2x – 4)(log2x – 1) = 0 =0 De donde:





=0 log 2 x = 4 ∨ log 2 x = 1



    

81

27

Luego, tenemos: a = 3; logay = log31/27 = –3; logax = log3243 = 5

14. Dada la siguiente ecuación: logn log(2x – 1)n + log(x – 1)10 = n Calcula «x», sabiendo que «n» es cualquier entero positivo y log es el logaritmo en base 10.

9. Calcula el valor de «x» en la siguiente ecuación: logxlogx – logx – 6 = 0 Da como respuesta el producto de soluciones.

ÁLGEBRA

81

13. Dado la ecuación: (log2x)2 + (log20,5x)2 + (log20,25x)2 = 5 El menor valor de sus raíces es: UNI 2013-II

Por definición de logaritmo ∴ x = 24 ∨ x = 21

6

(logax) + 6(logay) – 7 = 0, entonces los valores de «a», logay y logax son: UNI 1982 Resolución: Reemplazando x = 81 a ∧ y = a en

    

(log2x)2 – 5(log2x) + 4 = 0

      



– log2x 5 = –4

      



81

2

(logax)2 + 6(logay) – 7 = 0 [loga(81a)]2 + 6[loga(a/81)] – 7 = 0 [loga81 + loga]2 + 6[logaa – loga81] – 7 = 0 1 1 2 log a81 + 2loga81 + 1 + 6 – 6loga81 – 7 = 0 log2a 81 – 4loga81 = 0 loga81 (loga81– 4) = 0 Entonces, loga81 – 4 = 0 loga81 = 4 a4 = 81 ⇒ a = 3 Por lo tanto: x = 81a = 243 y = a = 1

8. Resuelve: log2xlog2x – log2x5 = –4 Resolución: Recuerda que: logbxn = nlogbx Se tiene la expresión: log2x

UNMSM 2012-II

UNI

6. Calcula el valor de «x» Log3(5x – 1) + colog3(3x – 5) = 2

log2x

n



5. Si Z es la solución de la ecuación: log4[log3(log2x)] = 0 el valor de z2 + 2z + 1



calcula el valor de log 1 4

44

5.°

año

7 Función exponencial y logarítmica Función exponencial

y

f(x) = ax

9

Donde: a > 0; a ≠1 x ∈ R

3 1

f

Ejemplo: Son funciones exponenciales: ZZ f(x) = 5x ZZ g(x) = (1,6)x x ZZ h(x) = 1 3

ZZ Cuando «x» → ∞, «y» crece con rapidez. ZZ Cuando «x» → –∞, «y» se acerca a cero.

Gráfica de la función exponencial

Grafica. g(x) = 1 3

y = f(x) = ax; a > 1 y

–2 –1 0 1 2

1

a 1

ZZ Domf = R ∧

Ranf = R+ ZZ La función es creciente ZZ No hay intersección con el eje de abscisas La intersección con el eje de ordenadas es (0; 1)

y 9

x

ZZ Domf = R ∧

Ranf = R+ ZZ La función es decreciente ZZ No hay intersección con el eje de abscisas. La intersección con el eje de ordenadas es (0; 1)

–2

5.°

año

3 1

–1 0 1

2

x

Función logarítmica

f(x) = logax

Donde: a > 0; a ≠ 1 y x ∈ R+

Tabulamos y trazamos la gráfica correspondiente ... ...

1/3 1/9

Cuando «x» → ∞, «y» se acerca a cero. Cuando «x» → –∞, «y» aumenta con rapidez.

Ejemplo: Grafica: f(x) = 3x

x f(x)=3x

x

4 4

x

x

Tabulamos y trazamos la gráfica correspondiente: x ... –2 –1 0 1 2 ... x ... 9 3 1 1/3 1/9 ... 1 3

y = f(x) = ax; 0 < a < 1 y

a

0

1/3 1/9

–2 1/9

–1 1/3

0 1

1 3

2 9

Ejemplo: Son funciones logarítmicas ZZ f(x) = log3x ZZ g(x) = log1/2x

... ...

45

ÁLGEBRA

7

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Gráfica de una función logarítmica y = f(x) = logax; a > 1 y

y = f(x) = logax; 0 < a < 1 y

1

a

x

ZZ Domf = R+ ∧

ZZ

1/2 1/2

–1 1 2 –2 a 1

Cuando «x» → ∞, entonces «y» → +∞ Cuando «x» → 0, entonces «y» → –∞ Grafica: f(x) = log1/2x x 4 2 1 1/2 y=log2x –2 –1 0 1

x

ZZ Domf = R ∧ ZZ ZZ ZZ ZZ

Ranf = R La función es decreciente La intersección con el eje «y» no existe La intersección con el eje «x» es (1; 0) La curva es cóncava hacia arriba

1/4 –2

1/4 2

y 2 1

2 1

Ejemplo: Grafica: f(x) = log2x x y=log2x

4 x

4

1/4 1/2

ZZ

1

+

Ranf = R La función es creciente La intersección con el eje «y» no existe La intersección con el eje «x» es (1; 0) La curva es cóncava hacia abajo

ZZ

2

1

1

ZZ

y

x

–1 –2 1/2 –1

1 0

2 1

4 2

Cuando «x» → ∞, entonces «y» → –∞ Cuando «x» → 0, entonces «y» → + ∞

Trabajando en clase Integral

ZZ Valores de referencia YY x – 2 = 0 ⇒ x = 2

1. Grafica: f(x) = 2x 2. Grafica: f(x) = 1 2



x

7 =7 x–2=1 ⇒ x = 23 x–2

3. Grafica: f(x) = –5x 8 2

4. Grafica: f(x) = 7x–2 + 1 Resolución: Se sabe que ax > 0 entonces: 7x–2 > 0 7x–2 + 1 > 2 f(x) > 1 f no se puede interceptar a y = 1

AH

1

0 2 3 5. Grafica: f(x) = 5x–1 + 2

    

ÁLGEBRA

de «x» referencia: x 2 3 y 2 8

y

PUCP

7

ZZ Usando los valores

46

x

5.°

año

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA 6. Grafica: f(x) = (1/3)x+2 – 1



Cuando x ≥ 0, su gráfica es:

7. Grafica: f(x) = –2x + 1

y=2x

UNMSM 8. Grafica: y = log3(x – 1) Resolución: Por definición x – 1 > 0, entonces x > 1 f no puede interceptar a x = 1 Valores de referencia Usando los valores «x» de «x» referencia: ZZ x – 1 = 1 x 2 4 ⇒x=2 y 0 1

Cuando x < 0, su gráfica es: y=2x



Luego: y = 2x

y

y

ZZ log3(x–1) = 1





x–1=3 ⇒x=4

1 1

2

4

x



x

13. Grafica: f(x) = log x 9. Grafica: y = log4(x + 2) + 3

14. La figura es un esbozo del gráfico de la función definida por:

10. Sea f(x) = logx (4 – x2) una función, calcula su dominio. 11. Calcula el rango de la función f: f(x) = 23+x



y = log(a+b)(x–b)



El valor de a es: b y 2

UNI a

12. Grafica: f(x) = 2x Resolución: Sabemos x > 0 ⇒ x ≥ 0 ∨ x ≤ 0 entonces, tenemos:

5.°

año



47

3a

x UNAC 2011-I

ÁLGEBRA

7

8 Repaso 1. Calcula el rango de la función:

7. Grafica: f(x) = x2 – 10x

f(x) = 4 x – 6, si x ∈ [–5; 15〉

5

a) [–2; 6〉 b) 〈–2; 6]

a)

c) [–10; 6〉 e) 〈–10; 6] d) 〈2;–6〉

25

x

–25

x

y 25

y

e)

5

x

10

–10 –5

x

–25

y

c) –5

4. Halla el dominio de la función: f(x) = 7x + 1 x–7 a) x ∈ R c) x ∈ R –{1} e) x ∈ R –{–7} b) x ∈ R –{7} d) x ∈ R –{8}

x

5

–25

5. Calcula la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es:

8. Según la gráfica de «f», calcula f(4). y

a) y = –3 x + 5 5 y b) y = 3 x + 5 5 5 c) y = 5 x + 5 3 d) y = –5 x + 5 x 3 3 e) y = –3 x + 3 5

6 8

3 a) 0 b) 1

c) 2 d) –1

x e) –2

9. Grafica: y = x+4 – 1 y

6. Calcula el punto de intersección de la función: f(x) = 5x + 1 ∧ g(x) = 16 a) (–3; 16) c) (–16; 3) e) (2; 16) b) (16; 3) d) (3; 16) ÁLGEBRA

10

b)

3. Calcula el rango de la función: f(x) = x2 + 6x + 2, si x ∈ 〈–2; 5〉 a) [–6; 57〉 c) [–6; 57〉 e) 〈–6; 57〉 b) 〈–7; 57] d) 〈–7; 57〉

–5

d) –10

5

2. Calcula el rango de la función: f(x) = x2 + 8x + 3 a) [–13; +∞〉 c) 〈13;+∞〉 e) [–13;13] b) 〈–13;+∞〉 d) 〈–∞;–13]

8

y

y

a)

(–4;–1)

48

y

(–4;1)

–3 1 x

d)

–3

x

–1

5.°

año

REPASO y (4;1)

3

b)

x

–1

11. Calcula: L = log7

y x

e)

3

c)

(4;–1)

x

12. Calcula: 1+ 1 F=log5 1 + 1 +log5 1 + 1 +log5 1 + 1 +...log5 49 2 3 4

10. Grafica: y = x – 2 – 5 y a)

–7

x

–3

y

2

7

7 x e) (2;–5) y

–5

Claves

5 5

x

5 –7 –2

3

e) 2

x

y

–3 b) –3

c) 1 d) –1

d) 5

(–2;–5)

c)

a) 0 b) –2

y

3

27 3

49 a) 14 c) e) 1 5 4 4 b) 5 d) 14 49

(–4;–1)

y 1

9

1.

C

5.

D

9.

A

2.

A

6.

D

10.

B

3.

E

7.

E

11.

C

4.

B

8.

D

12.

E

x

Bibliografía 1. Matemática - Ciencias: Álgebra, 5.º año. Lima: Paz, 2009. 2. Exámenes de Admisión: UNI y UNMSM. Lima: San Marcos, 2013.

5.°

año

49

ÁLGEBRA

8

Álgebra

1 Función inversa Definiciones previas A. Función inyectiva

Luego tenemos: DomF∗ = RanF RanF∗ = DomF DomF∗ = RanF ∧ RanF∗ = DomF 

F es inyectiva si y solo si x1, x12 ∈ DomF con x1 ≠ x2 ⇒ F(x1) ≠ F(x2)



Teorema

Equivalentemente: F es inyectiva si y solo si F(x1) = F(x2) ⇒ x1 = x2

Una función F tiene inversa F∗ si y solo si F es inyectiva.

Teorema

Sea F(x) =



Ejemplo:

F es inyectiva si toda recta horizontal corta a su gráfica a lo más en un punto.

un punto

y

4 puntos

1. F(x) es inyectiva

3x + 1 3x2 + 1 = F(x1) = F(x2) ⇒ 1 x1 – 5 x2 – 5 ⇒ 3x1x2 – 15x1 + x2 – 5 = 3x1x2 – 15x2 + x1 – 5

y

F

G x



⇒ 16x2 = 16x1 x2 = x1 ∴ F es inyectiva



Por lo tanto f tiene inversa f∗



x



F es inyectiva

G no es inyectiva

2. Hallamos la inversa. 3x + 1 3x + 1 ⇒ F(x) = →y= x–5 x–5

B. Función suprayectiva

Llamada también sobreyectiva, epiyectiva y suryectiva. Sea: F: A → B F es sobreyectiva si y solo si Ran F = B. Es decir, cuando el rango de la función es igual al conjunto de llegada.







yx – 3x = 5y + 1 x=

5x + 1 x–3

Advertencia pre

Dada la función inyectiva F = {(x; y) / y = F(x)} Se defina la función inversa denotando de la siguiente manera: F∗ = {(y; x) / y = F(x) ∧ x ∈ DomF}

año

5y + 1 y–3

F∗(x) =

Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Definición

5.°

→ yx – 5y = 3x + 1



C. Función biyectiva

3x + 1 ; determina su inversa si existe: x–5

Domf = R – {–n/m} Si F(x) = ax+b ⇒ Ramf = R – {a/m} mx+n

33

ÁLGEBRA

1

FUNCIÓN INVERSA

Trabajando en clase Integral

7. Si F: 〈–5; 3〉 → [m, n〉, de modo que: F(x) = x2 – 3, es suryectiva. Calcula «m + n».

1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función inyectiva. I.



II.

III.



IV.

UNMSM 8. Si G: [–3;5〉 → [a, b] con G(x) = x2 – 2x + 3 es sobreyectiva. Calcula «a + b». Resolución: como x ∈ [–3; 5〉; G(x) = x2 – 2x + 3 ⇒ (–3 ≤ x < 5) – 1; G(x) = (x – 1)2 + 2 ⇒ (–4 ≤ x – 1 < 4)2 (0 ≤ (x – 1)2 ≤ 16) + 2 2 ≤ (x – 1)2 + 2 ≤ 18 ⇒ G(x) ∈ [2; 18] = [a, b] ⇒ a = 2; b = 18 ∴ a + b = 20

2. Escribe verdadero (V) o falso (F) sustentando su respuesta. F = {(x,y) ∈ R2 / y = 7x + 8} es inyectiva G = {(x, y) ∈ R2 / y = x – 3 } es inyectiva H = {(x, y) ∈ R2 / y = x2 + 3x + 2} es inyectiva I = {(x, y) ∈ R2 / y = x – 3+ 5} no es inyectiva 3. Determina cuál de las siguientes funciones son inyectivas: F = {(1; 2), (3; 5), (1; 8), (10; 11)} G = {(3; 1), (3; 5), (8; 1), (8; 7)} H = {(1; 3), (8; 3), (10; 3), (5; 3)} I = {(0; 1), (1; 2), (3; 5), (6; π)}

9. Si G: [–1; 3〉 → [m, n〉 con G(x) = x2 + 4x + 1 es suprayectiva. Calcula «m + n». 10. Se F: ]–3; –1[ → ]m, n[ con F(x) = (x – 2)2 – 3, siendo F suprayectiva. Calcula «m⋅n». 11. Sea F(x) = 5x – 8, calcula F∗(x) UNI 2x – 1 si existe, de12. Calcula la inversa de F(x) = 3x + 1 termina su dominio y rango. Resolución: YY Para que F tenga inversa, verificamos que F sea inyectiva.

PUCP 4. Calcula «ab», si la siguiente función es inyectiva F = {(4a – 1; 5), (3b + 7; 8), (11; 5), (13; 8)} Resolución: Como F es inyectiva: ⇒ 4a – 1 = 11 ⇒ 3b + 7 = 13 4a = 12 3b = 6 a = 3 b=2

F(x1) = F(x2) ⇒

⇒ 6x1x2+2x1–3x2–1 = 6x1x2+2x2–3x–1 5x1 = 5x2 x1 = x2 ∴ F es inyectiva YY Determinamos su inversa

∴ ab = 6



5. Calcula «ab», si la siguiente función es inyectiva: F = {(3a – 5; 7) (7; 5) (b3 – 1; 5) (4; 7)} 6. Si F = [–4; 10〉 → [a, b〉, de modo que: F(x) = 5x – 1, es suprayectiva. Calcula «ab».

1

ÁLGEBRA

2x1 – 1 2x2 – 1 = 3x1 + 1 3x2 + 1

y =

34

2x – 1 ⇒ 3xy + y = 2x – 1 3x + 1 5.°

año

FUNCIÓN INVERSA

3xy – 2x = –y – 1

x =

–y – 1 3y – 2

∴ F∗(x) =

–x – 1 3x– 2

14. La función F: R → R definida por lo siguiente:

∴ DomF∗ = R – 2 3 RanF∗ = R – – 1 3

5.°

año

x–2 . 3x – 5 Si existe, determina su dominio y rango

13. Calcula la inversa de F(x) =

35

2x – 1; x < k



F(x) =  x + 10; x ≥ k



Calcula «k» si F es biyectiva.

ÁLGEBRA

1

2 Programación lineal I Gráfica de inecuaciones a) x ≥ 3 y

2. 2x – 3y < 6

b) x < 5 y ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 5 ______ ______ ______ ______

____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 3 ____ x ____ ____ ____ ____



x



d) y ≤ 3

Trazamos la gráfica de la inecuación: 2x – 3y = 6. Hallando los puntos donde la recta corta a los ejes. YY S i x = 0 ⇒ y = –2 YY Si y = 0 ⇒ x = 3

Trazamos la recta de forma punteada porque no forma parte de la solución. El punto (0; 0) se encuentra en el semiplano superior; 2(0) – 3(0) < 6 es verdadero, por lo tanto sombreamos el semiplano superior. y

___ ___________ _ ____________ ____________ ____________ ____________ ____________ ____________ _________ _____ _

x

y 3

______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______

______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______

c) y > –3 y

Resolución:

3

x

–2

–2



Gráfica de una inecuación lineal

Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales

ZZ Se traza la recta de la ecuación y = ax + b. ZZ Se toma un punto de cada uno de los semiplanos

 2x + 3y ≥ 12    x–y≥5 

determinados por las recta y se comprueba si verifican la inecuación dada. ZZ Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la inecuación.

Resolución:

Ejemplo 1. x + y ≤ 4

y 4

Resolución:

6

Trazamos la gráfica de la ecuación x + y = 4 La recta la trazamos continua porque forma parte de la solución.

–5

Vértice: 2x + 3y = 12 x–y=5

y

_ ________ _ ___________ _________________ _ ____________ _________________ _ ______ _________________ _______ ___



4

4

2

ÁLGEBRA

x

x

∴V=

36

27 2 ; 5 5

5

x

2x + 3y = 12 (+) 3x – 3y = 15 5x = 27 27 2 x= ;y= 5

5

5.°

año

PROGRAMACIÓN LINEAL I

Trabajando en clase Integral

Resolución:

1. Grafica: –3 < x ≤ 3

y 8

2. Grafica: –3 ≤ y < 5 3. Grafica: x ≤ 3   y ≤ 2

5

8

x

–10



PUCP





Vértice: 2x – y = 10 (+) x+y=8 3x = 18 x = 6 ; y = 2 ⇒ V = (6; 2)

y

___ ___________ _ ____________ _________________ _ ____________ _________________ _ _________________ _______ ___

4. Grafica: 3x + 5y ≤ 30 Resolución: x y 0 6 10 0

6

(0; 0)

10

x



En el semiplano originado por 3x + 5y = 30 se comprueba con (0; 0) reemplazando en 3(0) + 5(0) ≤ 30; como es verdadero entonces se pinta el semiplano inferior.

∴ Vértices: V1 = (0; 0) V2 = (5; 0) V3 = (6; 2) V4 = (0; 8)

9. Grafica

5. Grafica: 5x – y ≤ 10

6. Grafica: x + y ≤ 5   x – y ≤ 6

 3x + y ≤ 10    x–y≤2   x≥0    y≥0 

10. Grafica



7. Grafica: 3x + 2y ≤ 18 –x + 2y ≤ 8 UNMSM 8. Grafica:



 2x – y ≤ 10    x+y≤8   x≥0    y≥0 



e indica los vértices de la zona factible.

5.°

año



x + y ≤ 5   x – y ≤ 4   x≥0    y≥0 



Indica los vértices de la zona factible.

11. Grafica



37

 x + y ≤ 10   x – y ≤ 5   x≥1    y≥1 

ÁLGEBRA

2

PROGRAMACIÓN LINEAL I UNI

13. Sea f: R2 → R es una función definida por f(x, y) = –3 + y. Determina el punto de la región convexo mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo. UNI 2008-II y

12. Sea f: R2 → R una función definida por f(x, y) = –5x + 2y. Determina el punto de la región convexo mostrada en la figura, donde f alcanza su mínimo. y

4 3

(4;5)

4 3



Resolución: Vértices: V1 = (0; 0) → f(0; 0) = 0 V2 = (3; 0) → f(3, 0) = –15 V3 = (4; 5) → f(4; 5) = –10 V4 = (0; 4) → f(0; 4) = 8



∴ El punto donde será mínimo es (3; 0).

2

ÁLGEBRA

1

x

6

x

14. Determina el valor mínimo que toma la función objetivo; P(x, y) = 10x + 20y sujeta a las restricciones. UNI 2010-II x + y ≥ 2   x – 2y ≤ 2   y≤x 

38

5.°

año

3 Programación lineal II Pasos a considerar: 1. Elección de las incógnitas 2. Función objetivo 3. Restricciones 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles 6. Calcular el valor de la función objetivo

4. La zona sombreada es la zona factible.

y

(0;60) (0;45)

V

(60;0)

Ejemplo Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcula de forma razonada cuantos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcula esta. 1. x = nº de paquetes del tipo A y = nº de paquetes del tipo B

(40;0)

5.

y

(0;45)

3. Restricciones: Restricciones

x

y

x ≥ 0; y ≥ 0

Con cafeína

3x

2y

3x + 2y ≤ 120

Sin cafeina

3x

4y

3x + 4y ≤ 180

La función objetivo es f(x; y) y siempre se buscará su mínimo y su máximo.

año



hallar el vértice:



⇒ 3x + 2y = 120 3x + 4 = 180 2y = 60 y = 30 x = 20

20;30)

x

(+)

6. En la función objetivo, sustituimos cada uno de los vértices: Vértice Función objetivo: F(x, y) = 6x + 5y (0; 0) → F(0; 0) = 6.0 + 5.0 = 0 (40;0) → F(40; 0) = 6.40 + 5.0 = 240 (20; 30) → F(20; 30) = 6(20) + 5.30 =270 (máx.) (0; 45) → F(0; 45) = 6.0 + 5.45 = 225 La solución óptima será elaborada 20 de tipo A y 30 de tipo B, para obtener un beneficio de 270 euros.

Advertencia pre

5.°

V (40;0)

Cantidad

x 3x+2y ≤120

2. f(x, y) = 6x + 5y

Tipo A Tipo B

3x+4y ≤180

39

ÁLGEBRA

3

PROGRAMACIÓN LINEAL II

Trabajando en clase Integral



Enunciado Una panadería dispone 6 kg de harina y 10 kg de levadura para elaborar pan francés y pan de yema, que se venderán a S/.0,20 y S/.0,30 respectivamente. Para hacer un pan francés se requiere de 10 gramos de harina y 10 de levadura y para preparar un pan de yema, se requiere de 10 gramos de harina y 20 gramos de levadura. Si se quiere sacar el máximo beneficio, ¿cuántos panes franceses y de yema se deben hacer y vender?

Zona factible:

y

(0;480) (0;200)

y 1 x + ≤ 80 6 3 (210; 60) x y + ≤ 100 2 3 (300;0) (240;0)

x

Vértice: x y ⇒ + = 80 ⇒ 2x + y = 480 3 6 x y + = 100 ⇒ 2x + 3y = 600 3 2 2y = 120 y = 60 x = 210

1. Indica la función objetivo. 2. Elabora el cuadro de restricciones. 3. Elabora el gráfico, indicando sus vértices y la zona factible. Calcula el máximo beneficio.

(–)

PUCP



V = (210; 60)

4. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y da 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina de 20 para L1 y da 10 minutos para L2. Para el trabajo manual se dispone de 100 horas al mes y para la máquina; 80 horas al mes. Si se sabe que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planifica la producción para obtener el máximo beneficio. Resolución: Restricciones:



Calcular el valor de la función objetivo Vértice F(x, y) = 15x + 10y YY (0; 0) → F(0; 0) = 15.0 + 10.0 = 0 YY (240; 0) → F(240; 0) = 15.240 + 10.0 = 3600 YY (210; 60) → F(210; 60) = 15.210 + 10.60 = 3750 (máx.) YY (0; 200) → F(0; 200) = 15.0 + 10.200 = 2000

L2

x

y

Manual

x/3

y/2

x/3 + y/2 ≤ 100

Máquina

x/3

y/6

x/3 + y/6 ≤ 80



x ≥ 0; y ≥ 0

Función objetivo: f(x, y) = 5x + 10y

3

ÁLGEBRA

La solución óptima es fabricar 210 de modelo L1 y 60 del modelo L2, para obtener un beneficio de 3750 euros.

Enunciado Una persona para recuperarse de una enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es: dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B. dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B. Si se sabe que el precio de la dieta D1 es 3 euros y el de la dieta D2 es 2 euros. ¿Cuál es la distribución óptima para el menor costo?

Restricciones

L1

Cantidad



40

5.°

año

PROGRAMACIÓN LINEAL II 5. Indica la función objetivo y las restricciones.

folletos más grande, le paga S/.7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

6. Halla el conjunto de las soluciones factibles. 7. Calcula el valor de la función objetiva. UNMSM 8. Un gasolinero vendía caramelos y galletas a S/.0,20 y S/. 0,60 respectivamente. El vendedor lleva dos bolsas: una para los caramelos en la que gane 70 y otra para las galletas, en la que caben 90. Ha calculado que cada día es capaz de vender 120 golosinas como máximo. ¿Cuántos caramelos y galletas habrán de vender para que su beneficio sea máximo? Resolución: Caramelos Galletas Restricciones Cantidad

x

y

9. Indica las restricciones. 10. Halla el conjunto de las soluciones factibles. 11. Calcula el valor de la función objetiva y las vértices. UNI

0 ≤ x ≤ 70; 0 ≤ y ≤ 90 x + y ≤ 120



Función objetiva: F(x, y) = 0,20x + 0,60y Graficamos: y 120

12. Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetando de dos formas distintas: en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6; 5 y 7 euros, respectivamente. ¿Cuántos paquetes les convienen poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

(30; 90)

Resolución:

90

70 120



x

Vértice: Función objetiva YY (0, 0) → F(0; 0) = 0,20.0 + 0,60.0 = 0 YY (70,0) → F(70,0) = 0,20.70 + 0,60.0 = 14 YY (70; 50) → F(70; 50) = 0,20.70 + 0.60.50 = 44 YY (30; 90) → F(30; 90) = 0,20.30 + 0,60.90 = 60 (máx.) YY (0; 90) → F(0; 90) = 0,20.0 + 0,60.90 = 54



P2 (y)

Cuadernos

2x

3y

2x + 3y ≤ 6000

Carpetas

x

y

x + y ≤ 500

Bolígrafos

2x

y

2x + y ≤ 400

(0; 400)

Se deberá vender 30 caramelos y 90 galletas para generar el máximo beneficio.

año

Conjunto de soluciones factibles y (0; 500)

(0; 200)

V (500;0)

Enunciado Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga S/.5 por cada impreso repartido y la empresa B, con

5.°

Restricciones x ≥ 0; y ≥ 0

P1 (x)

(70; 50)

(200;0) (300;0)

41

x

ÁLGEBRA

3

PROGRAMACIÓN LINEAL II

Vértice: Función objetivo: F(x, y) = 6.5x + 7y YY (0; 0) → F(0; 0) = 0 YY (200; 0) → F(200; 0) = 1300 YY (0; 200) → F(0; 200) = 1400 YY (1502; 100) → F(150; 100) = 1675 (máx.)

Enunciado Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuestan 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,5 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G; 0,4 barriles de C y 0,1 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900 000 barriles de T. Calcula las cantidades de crudos ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades a costo mínimo



13. Elabora el cuadro de restricciones.



Calculando el vértice



⇒ 2x + 3y = 600 2x + y = 4000 2y = 200 y = 1000 x = 1500

(–)

La solución óptima son 150P1 y 100P2 con la que se obtienen 1675 euros.

3

ÁLGEBRA

14. Grafica y calcula el costo mínimo.

42

5.°

año

4 Matrices I Es un arreglo en forma rectangular, de mn elementos dispuestos en «m» filas y «n» columnas. Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m × n y esta se encierra entre «corchetes» o «paréntesis».

2. Matriz columna

Ejemplo



A=

5

0

–1

7

–2

1



B=

2×3

1

0

9

1

1

1

2

2

8

9

–3

7



A=

a12

a21 .. .

a22 .. .

am1

am2

a11 a21 A = a.31 .. an1

es una matriz columna n×1

Ejemplos 4×3



Notación general a11

Es aquella matriz de una sola columna cuyo orden es 1n × 1. Es decir:

A=

1

2 9



;

B = –1 2

2×1

a1n a2n .. . amn

3×1

3. Matriz cuadrada m×n



Es aquella matriz que tiene igual números de filas y columnas. Es decir: L = [aij]m×n es cuadrada ↔ m = n



La matriz L es de orden n × n o simplemente de orden n. Ejemplo 0 2 1 U= 1 9 8

A es una matriz formada por m filas y n columnas.

Igualdad de matrices

Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y cada elemento de A es igual al elemento de B ubicado en la misma posición. Ejemplo e A= 1 2

5

0 –1

3×2

e B= 1 2

–3 9



Es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son ceros, y los elementos de la diagonal principal al menos uno es distinto de cero. Ejemplo 9 0 I= 0 1

3×2

Tipos de matrices 1. Matriz fila

Es aquella matriz de una sola fila, cuyo orden es 1 n. Es decir: F = [a11 a12 a13 a14 ... a1n]1×n es una matriz Ejemplo A = [–1 3]1×2 B = [2 9 1]1×4

5.°

año

3×3

4. Matriz diagonal

5

0 –1

7



43

3

0

0

G= 0 0

2

0

0

1

ÁLGEBRA

4

MATRICES I

Matrices especiales 1. Matriz transpuesta

5. Matriz escalar

Es aquella matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a un número no nulo. 7 3 0 ; I= 0 G= 0 3 0



son iguales

0

0

7

0

0

7



Sea A = [aij]m×n una matriz, denotamos y definimos la matriz transpuesta de A por At, como aquella que resulta de intercambiar las filas por las columnas de A. Ejemplo

son iguales



6. Matriz identidad

Es aquella matriz donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno. Se denota por In o simplemente I. Ejemplo 1 0 0 1 0 0 1 0 I2 = ; I3 = 0 1 0 0 1

A=



son unos

7. Matriz opuesta

0

1

7

3

9

3 ⇒A = 0 1 t

2×3

7 3 9

3×2

2. Matriz simétrica

Una matriz cuadrada A = [aij]n×m es simétrica si es igual a su transpuesta; es decir: A es simétrica ↔ A = At

son unos

Sea A = [aij]m×n una matriz, denotamos y definimos la matriz opuesta de A por –A, tal que –A = [–aij]m×n

Ejemplo Si: 8 0 A = 7 –1 3 9

3

Ejemplo

–8 0 → –A = –7 1 –3 –9



A=

1

5

7

5

4

–5

7 –5

0

→ At =

1

5

7

5

4

–5

7 –5

0

A es simétrica pues A = At

3. Matriz ansimétrica

Traza de una matriz

Dada una matriz cuadrada A, a la suma de los elementos de la diagonal principal de A se le llama traza y se denota por Traz(A).

A es antisimétrica ↔ A = –At

Ejemplo Dada la matriz

A=

3

9

4

8

1

0

7

6

–3

Una matriz cuadrada A = [aij]n×m es antisimétrica si es igual al opuesto de su transpuesta; es decir:

Ejemplo 3

–1

A = –3 0 1 7

–7

0

→ At =

0

0 –3

1

0

7

–1 –7

0

3

elementos de la dagonal principal

0 3 t → –A = –3 0 1 7

Entonces, Traz(A) = 3 + 1 + (–3) = 1

Teoremas

ZZ Traz(A ± B) = Traz(A) ± Traz(B) ZZ Traz(λA) = λ ⋅ Traz(A); λ∈ R ZZ Traz(AB) = Traz(BA)

4

ÁLGEBRA



44

–1 –7 0

A es simétrica, pues A = –At

5.°

año

MATRICES I

Trabajando en clase Integral

7. Calcula «a + b + c + d», si «E» es una matriz escalar. 0 d+2 2a – 7 8 – 3a 0 0 E= c – 3 b – 4 0

1. Construye la matriz: A = (aij)2×3 aij = i + 3j 2. Construye la matriz:

B = (bij)3×3

UNMSM

i + j ; i < j bij =  i ⋅ j ; i ≥ j  

8. Si

3. Determina el valor de «xy – wz», si las siguientes matrices son iguales.

x – 5y A= 3



es una matriz simétrica, calcula el valor de «abc». Resolución: Como es simétrica; se cumple a12 = a21; a31 = a13; a32 = s23; entonces ab – 7 = 2b + 1; 4a – 3 = 6a – 9; 7 + 2c = c + 10 b = 8/3 6 = 3a c=3 a=3 ∴ abc = (3) 8 (3) = 24 3

–2 y + 2 yB= w 7

x z+x

PUCP 4. Calcula «xywz», si:

x–2 k= 0 c–7

2a w3 + 1 y + 3 3b – 1 0 2z – 7

9. Si:



es una matriz identidad Resolución: Como la matriz k es una matriz identidad, los elementos de la diagonal principal son unos, y los demás son ceros entonces: x – 2 = 1 ; y + 3 = 1 ; 2z – 7 = 1 x = 3 y = –2 z=4 3 Además: w + 1 = 0 w3 = –1 w = –1



11. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

∴ xywz = (3)(–2)(4)(–1) = 24

I.

0 d+1 a3 – 7 0 0 3b – 14 A= x + 4 y – 5 c/2 – 5



5.°

año

k

s

R

2

b

m es una matriz cuadrada.

x

s

J

II. la Traza de la siguiente matriz es 4 2

–1

0 –3

9

π

4

5

6. Calcula la traza de R, si es una matriz diagonal: m – 3n m – 3 R= n–2 mn

2a + 2b 2c + 10 3 6 2a + 10 L = 3a – b 5 c + 7 5a + b es una matriz simétrica. Calcula el valor de a + b + c.

10. Determina el valor de la Traz(U); si 7 0 a+1 –11 U= a–5 b–3 c+4 b–1 c+2 es una matriz triangular superior.

5. Si A es una matriz identidad, calcula: «abcd».

2b + 1 6a – 9 1 N = 5b – 7 π c + 10 7 + 2c 0 4a – 3

7

45

ÁLGEBRA

() ( )

4

MATRICES I III. La suma de elementos de la matriz transpuesta de B es 10. ( )



B =

IV.



7 – b 7 – 4a b – 7 a – 23 4a – 7 c + 1 = 23 – a c – 1

6 –6 7 4

4

–5

0

π

Por lo que: A = At es decir



7 log2 es una matriz triangular

Luego: b – 7 = 7 – b; c + 1 = –c – 1; a – 23 = 7 – 4a



0 0 e inferior. ( )



b=7

c = –1

a=6

∴ abc = (7)(–1)(6) = –42

UNI 12. Si A es una matriz antisimétrica:

13. Calcula «abc», si A es una matriz antisimétrica.

b – 7 a – 23 4a – 7 c + 1



A=



Calcula el valor de «abc» Resolución: Como A es antisimétrica A = –At



b – 7 a – 23 A = 4a – 7 c + 1 ⇒ At =



entonces:

b–7 a–23



ÁLGEBRA

a+b –2 0

14. Si B es la matriz opuesta de A y bij son los elementos de Bt.

4a–7 c+1

2 A = –2 1

7 – b 7 – 4a –At = 23 – a –c – 1

4

2a – 3b 0 0 4a + b A= 3c –7 20



46

–9 1 –4

–1 1 7

calcula el valor de b21 + b32 + b11

5.°

año

5 Matrices II Operaciones con matrices 1. Adición de matrices

Ejemplo

Dada las matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n Definimos: A + B = [aij + bij]m×n Ejemplo 5 7 A= 6 3 Entonces

A +B=



A+B=

2 1

;B=

2

–1

3

5

6

–8

5+2

7–1

2+3

6+5

3+6

1–8

7

6

5

11

9

–7



A = [2 5 –1] y B =



AB = [2.3 + 5.4 + (–1).8] = [18]1×1

4. Multiplicación de dos matrices

Dadas las matrices A = [aij]m×n y B = [bjk]n×p



Definimos la matriz producto C = [Cik]m×p tal que C = AB, en la que Cik es el producto de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz. Es decir:



n

Σ aijbjk AB = [Cik]m×p donde Cik = j=1

2. Multiplicación de un escalar por una matriz

Cuando una matriz es multiplicado por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por dicho escalar.

Observación

Para poder multiplicar A por B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Ejemplo Dadas las matrices 3 5 –3 3 4 y B= A= 1 7 4 2×3 2 1

Ejemplo 5.3 5.4 3 4 → 5A = A= –2 5.1 5(–2) 1

15 → 5A = 5

2×2

20 –10



Sean las matrices



A = [a1



b1 b a2 ..... an]1×n; B = ...2 bn



Definimos la matriz AB = [a1b1 + a2b2 + ... + anbn]1×1

5.°

año

A es de orden 2 × 2 y B es de orden 2 × 3

Entonces existe AB; además AB va a ser una matriz de orden 2 × 3. Es decir: C11 C12 C15 AB = C = C21 C22 C23

3. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

3 4 8

2×3



Hallemos cada elemento Cik: C11 = (3 4) 3 = 3.3 + 4.1 = 13 1 C12 = (3 4) 5 = 3.5 + 4.7 = 43 7

n×1

47

ÁLGEBRA

5

MATRICES II C13 = (3 4) –3 = 3.(–3) + 4.4 = 7 4 3 = 2.3 + 1.1 = 7 C21 = (2 1) 1 C22 = (2 1) 5 = 2(5) + 1.7 = 17 7 –3 = 2(–3) + 1.4 = –2 C23 = (2 1) 4

∴ AB =

13

43

7

7

17

–2



Si B = 5 –3 ; entonces det(B) = 5.0 – 2(–3) = 6 2 0

ZZ De orden 3



a11 a21 a31

Regla de Sarrus

2×3

a11 A = a21 a31

a13 a23 a33

a12 a22 a32

a12 a22 a32

          

El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma a un número real o complejo.

– a11 a21 a31

          

Determinantes

+

Notación

Ejemplo Halla el determinante de la matriz

A o det (A)

Cálculo de determinantes

A=

ZZ De orden 1

Si A = a11 → A = a11 Ejemplo: Si A = (5) → A = 5 Si B = (–3) → B = –3

2 1 –1

2 –1 2

3 0 1

Resolución: Aplicaremos la regla de Sarrus

Sea A = a11 a12 , entonces a21 a22

3 0 1

2 –1 2

2 –1 2

          

A = a11a22 –a21a12 Ejemplo: Si A = 3 2 ; entonces A = 3.4 – 1.2 = 10 1 4

– 2 1 –1

          

2 1 –1

ZZ De orden 2



a12 a22 a32

a13 a23 ; aplicaremos la regla a33 de Sarrus para hallar su determinante Si A =

+

A = (–2 + 0 + 6) – (3 + 0 + 2) = –1

Trabajando en clase Integral 1. Si M =

1 0 4

2 –1 2 ∧ N = –1 2 –3

3. Si 3 1 , calcula «2A + 3I» –5 –1

3 0 –5

PUCP

Calcula «M + N» y «M – N».

4. Sean las matrices: 2 3 –1 A = –3 7 –5 0 –2 6

2. Dadas las matrices A = 1 2 ; B = –2 0 1 1 0 5

Calcula «3A + 2B»

5

ÁLGEBRA

48

6 B= 0 10

4 2 14

12 –2 0

5.°

año

MATRICES II 1 3 7

–1 0 –2

0 2 4

7. Sean las matrices A =

1 B = 3C 2



yC=



Además A = B. Calcula A + 2C.



C=



Además: A + x –



Calcula el valor de Traz(x) Resolución: Despejamos «x» de la ecuación: 1 A + x – B = 3C 2 1 x = 3C + B – A 2



Además: 3 3C = 9 21

–3 0 –6

0 6 12

∧

1 B= 2

3 0 5

2 1 7

6 –1 0



+

3 2 6 2 3 –1 0 1 –1 – –3 7 –5 5 7 0 0 –2 6



4 –4 7 x = 12 –6 10 26 3 6



∴ Traz(x) = 4 – 6 + 6 = 4



C=

2 –1 3 YY B A= –2

4 1 3 0

2 –4 –10



⇒AB + BA =

5 7 –3 1

9. Sean: A =

5. Sean las matrices: 1 4 6 A = –1 3 –5 0 –2 –3

4 B = –2 10



–1 1 8

–1 2 3 –1 ;B= 0 1 2 0

Calcula AB + BA

10. Sean: A =

0 4 3

–6 –8 12

2 –1 ;B= a 1 3 1 c 5



tal que AB = BA



Calcula el valor de «a + c»

UNI 2004

11. Sean las matrices

Además: 1 x + A – 3B = C 2 Determina el valor de la Traz(x) 2 3 0 1 ;B= y 6. Sean A = 0 –1 3 2

UNI 1994-II

Calcula: AB + BA Resolución: YY AB =

3 –3 0 x= 9 0 6 21 –6 12

4 6 8

–8 3

UNMSM 2 3 8. Si A = ; B = 1 –1 –1 0 0 2

Entonces

–4 2

2 6–y x – 3y x ; B = y 1 6–x 1

x   x 



Donde: x ∧ y son matrices de orden 2 entonces «x» es: UNI 1994-I

5.°

año

y B= 2 b b c

A=



si se cumple que A + B = I; donde I es 1 0 . 0 1 Calcula el valor de «a + b + 2c»



+ 2y = A – y=B

a b 0 c



UNI 2 4 12. Si A = y B= 4 5 5 –3 –1 2

49

Calcula el valor de A + B ÁLGEBRA

5

MATRICES II

Resolución: YY A =

2 4 ⇒ A  = 2(–3) – 4(5) 5 –3

YY B  =

13. Si A =

A  = –26

4 5 ⇒ B  = 4(2) – 5(–1) –1 2

∴ A  + B  = –13



5

ÁLGEBRA

Calcula el valor de A y B

14. Si A =

B  = 13



50

5 –3 y B = 2 –1 2 4 7 –3

2 1 0

1 –2 1

3 0 4

yB=

4 0 3

1 2 1

–1 5 6

Calcula el valor de A y B

5.°

año

6 Determinantes

A o det(A)

4. Si una matriz tiene 2 filas o 2 columnas iguales, su determinante es cero. 1 2 3 4 4 = 0 4 5 6 =0 3 3 1 2 3

Cálculo de determinantes De orden 2

5. Si una matriz tiene una fila nula (o columna nula), su determinante es cero.

Es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma a un número real.

Notación:

A = 3 4 . Entonces: A = (3)(6) – (5)(4) = –2 5 6



4 0 = 0 –7 0

De orden 3 1 2 3

A=

0 2 4

5 –1 1

6. Si dos filas o columnas de una matriz tienen elementos respectivamente proporcionales, sus determinante es cero. ×3 3 1 0 2 6 4 5 1 =0 = 0 5 15 ×2 8 10 2

, aplicando la regla de Sarrus

        

–

0 2 4

5 1 –1 2 1 3

0 2 4

7. Si a una fila se le suma (o resta) un múltiplo de otra fila (o columna), su determinantes no se altera.

        

1 2 3

+

A = (2 + 0 + 40) – (30 – 4 + 0) = 16



Propiedades



1. A ⋅ B = A ⋅ B



Solo para matrices cuadradas

2. A = At



5.°

3 4 = 3 – 8 = –5 2 1

Si a la f1 +

1 f y se obtiene: 2 2

5 8 = (5)(2) – (4)(8) = –22 4 2

9. Si k es un escalar y A es una matriz de orden «A», entonces kA = kn ⋅ A

Intercambiando las filas. 2 1 =8–3=5 3 4

año

3 7 = (3)(2) – (7)(4) = –22 4 2

8. El determinante de una matriz diagonal, escalar o triangular, es igual al producto de multiplicar los elementos de su diagonal principal.

3. Si se intercambian dos filas o dos columnas de una matriz, el determinantes cambia de signo.

–4 1 7 5 9 2 =0 0 0 0

10. El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es cero.

51

ÁLGEBRA

6

DETERMINANTES

De orden mayor a 3

Elegimos cualquier fila o columna en este caso la fila 2.

Se aplica el «Teorema de Laplace» El determinante de una matriz A = (aij)n×n es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores.

3 Luego: A = –2 1

5 0 –3

7 4 2

5 7 3 7 3 5 + (0) – (4) –3 2 1 2 1 –3

Ejemplo Calcula el determinante de la matriz:

A = –(–2)

3 A = –2 1

A = 2(10 + 21) + 0(6 – 7) – 4(–9 – 5)

5 0 –3

7 4 2

A = 62 + 0 + 56 = 118

Trabajando en clase Integral 1. Calcula «x» en: x 6 = 16 x x



2. Calcula el valor de «A + B», si:

4 5 0 2 3 A= ;B= 7 8 1 4 5 8 10 0 0 4 5

3. Sea A =

–4 0 –1

Calcula el det(A)

1 0 0

4. Si: A =

2 0 0

4 2 0 0 –1 0

C=



Además M = A⋅B⋅C Calcula det(M)

6

ÁLGEBRA

4 0 0

0 4 0

0 0 4

Por propiedad 8



A = 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 8 B = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 C = (2)(–1)(1) = –2



∴ M = 8 ⋅ 64 ⋅ –2 = –1024



A=

2 0 5



C=

–1 0 0

0 1 π

0 0 –3 0 5 0

B=

2 0 0

0 2 0

0 0 2

y

0 0 1

Además D = A ⋅ B ⋅ C Calcula D 

y

6. Si A es de orden 3, además B = 2A; C = 3A; A = 2 Calcula B  + C 

0 0 1





5. Si:

–5 1 0

PUCP 7 3 B= 4



Resolución: M = ABC = A ⋅ B ⋅ C

b c a a b c 7. Si d e f = 10; entonces e f d es: h i g g h i

52

5.°

año

DETERMINANTES UNMSM

UNI

8. Si A . At = 5 –7 3 3

12. Calcula el det(A); si A =

Calcula A < 0 Resolución: Aplicando determinantes en ambos miembros: 5 –7 A ⋅ At  = 3 3



usando el teorema de Laplace Resolución: Elegimos la primera fila.



⇒ A  = 2



A ⋅ At  = 15 – (–21); por propiedad A = At ↓ A  ⋅ A = 36 A2 = 36



∴ A  = –6; puesto que A  < 0



2 10. Sea A = –2 1

4 0 5

11. Sea A =

A  = –81 13. Calcula el determinante de A =

1 3 7



Calcula A21 + A31 + A13

5.°

año

usando el teorema de Laplace.

–4 –1 0 3 2 6

5 2 0

14. Calcula el determinante a o c o o a o c A= b o d o o b o d

3 –2 0 0 –3 1



2 5 6 –4 –4 –1 – (–1) +5 3 1 3 0 0 1

A  = –8 – 13 – 60

Calcula M11 + M23 + M31 1 4 5

–1 5 –4 –1 0 1

A  = 2(–4) + (2 – 15) + 5(–12)

2 –3 , calcula A  < 0 6 –1

9. Si A . At =

2 6 3

53

ÁLGEBRA

6

7 Matriz inversa Matriz singular y no singular

c) De orden n ≥ 3

Matriz inversa

(A I)



Sea «A» una matriz cuadrada. Definimos: ZZ Si A = 0, decimos que A es una matriz singular (no invertible) ZZ Si A ≠ 0, decimos que A es una matriz no singular (invertible)

Se aplica el «Método de Gauss - Jordan» donde a partir de la matriz ampliada (A : I) por medio de operaciones elementales por fila, se puede obtener la nueva matriz ampliada (I : B) y se concluye que B = A–1. de fila

(I : B)

Sea A una matriz cuadrada no singular, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden tal que AB = BA = I, entonces definimos a B como la matriz inversa de A.



Ejemplo: Sea A =

Notación



Obtenemos la matriz ampliada:

Cálculo de la matriz inversa a) De orden 1 1 Si A = (a11) ⇒ A–1 = a 11



0 0 1

f2 + f1(–2)

1 0 0 1 0 0

0 3 1

1 0 –2 1 –1 0

1 0 0 1 0 0

0 0 1

1 0 0 1 1 –3 –1 0 1

f3 + f1(–1) f2 + f3(–3)

d –b Si A = a b ⇒ A–1 = 1 a –c c d A



I

Ejemplo:



A = 4 1 ⇒ A = (4)(3) – (2)(1) = 10 2 3 3 –1 = 3/10 –1/10 ∴ A–1 = 1 –1/5 2/5 10 –2 4



0 1 0

A–1

0 –3 1

Sean A y B matrices cuadradas no singulares: 1. (AB)–1 = B–1 ⋅ A–1

Operaciones elementales

ÁLGEBRA

1 ∴A = 1 –1 –1

0 0 1

Teoremas

Se llaman operaciones elementales por filas (o columnas) sobre una matriz: YY Al intercambio de dos filas (o columnas) YY A la multiplicación de una fila (o columna) por un escalar no nulo. YY A una fila (o columna) le sumamos el múltiplo de otra fila (o columna)

7

. Calcula A–1

1 0 0 1 0 0



matriz adjunta

    

b) De orden 2



0 3 1

0 3 1

      





1 0 2 1 1 0

0 1 0

      

B = A–1

1 2 1

2. (λA)–1 = 1 ⋅ A–1 λ 3. (A–1)–1 = A 4. A–1  = 1 A

54

5.°

año

MATRIZ INVERSA

Trabajando en clase Integral

5. Calcula la inversa de: –4 –3 A= 2 5

1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda: a) A = 3 12 , es singular. ( ) 1 4 ( ) b) B = 3 6 , es no singular. 5 15 2 4 5 c) C = 0 –3 6 , es invertible. ( ) 0 0 –7

2. Si A =

1 4 8 x–4 x–2

2 3 5 6 , es no invertible. 16 24





x+2 es una matriz singular x

A=



x–1 tiene inversa x



año

2 –1 3 4

UNMSM –3 2 ∧ B= 5 –1

En la ecuación matricial Ax = B –1 Multiplicamos por A Ix = A–1⋅ B



x = A–1 ⋅ B



Necesitamos A–1, entonces: A = (2)(4) – (–1)(3) = 11



Adj(A) =

4 1 –3 2

Luego: –3 2 x = A–1 ⋅ B = 1 4 1 5 –1 11 –3 2 7/11 –7/11 x = 1 –7 7 = 19/11 –8/11 11 19 –8 –8 = –15 ∴ Traz(x) = –7 + 11 11 11

–7 –1 Adj(A) –4 3 = Entonces: A–1 = –25 A

5.°

0 2

A–1 = 1 4 1 11 –3 2

–7 –1 –4 3

7/25 1/25 ∴ A–1 = 4/25 –3/25

4 6

    



Resolución: Para el cálculo de la matriz inversa A–1, necesitamos dos cosas: YY A = 3(–7) – (4)(1) = –25



∧ B=

A–1 Ax = A–1B

4. Calcula la matriz inversa de: A= 3 1 4 –7

YY Adj(A) =

1 –3 2 0

además Ax = B. Calcula la traza de «x» Resolución: Por propiedad (1) A⋅A–1 = I ∨ A–1 ⋅ A = I (2) A⋅I = A ∨ I⋅A = A

PUCP



–1 0 1 2



3. Calcula el conjunto de valores que puede tomar «x», si la matriz.

∧ B=

Calcula A–1 ⋅ B–1

8. Si A =

Calcula «x».

x+2 2x

2 4

Calcula B–1 ⋅ A–1

7. Si: A =

( )

1 3

    

d) D =

6. Si: A =

55

ÁLGEBRA

7

MATRIZ INVERSA 9. Si A = –2 1 ∧ B = –1 –1 0 3 2 1







Además Ax = B. Calcula la Traz(x)

1 0 –2 0 0 –2 –3 1

f2 ÷ (–2)

1 2 1 0 0 –2 –3 1 1 0 –2 1 0 1 3/2 –1/2

∴ A– =

–2

1

3/2 –1/2

13. Calcula la inversa de A = 1 3 4 2

Resuelve Ax + B = C

utilizando el método de Gauss - Jordan

14. Calcula la matriz inversa de: 1 –1 0 A= 0 2 4 5 1 –2 utilizando el método de Gauss - Jordan

UNI 12. Calcula la inversa de A = 1 2 , utilizando el método de Gauss - Jordan. 3 4

ÁLGEBRA

f2 + f1(–3)

    



11. Si A = 2 5 B = 3 4 C = 4 5 –1 2 2 –1 1 –1

7

1 0 0 1

A–1

entonces, calcula el valor de «a + b + c + d». UNI 2013-II



1 2 3 4 f1 + f2

10. Sean las matrices A = 1 1 y 1 3 b a tales que AB = 1 0 B= c d 0 1

Resolución:

56

5.°

año

8 1. Grafica x ≥ 5

y b)

y

5

a)

c)

y

//////////

x

5

//////////

Repaso 5

3 –1 –3 2 e) –3 5 –1 6 3 –1 c) –3 5 b)

x

4. Calcula AB, si 1 2 7 0 A= yB= –3 1 0 –1 –7 2 7 21 d) a) 21 1 –2 –1 21 –1 7 –21 e) b) 7 –2 –2 –1 7 –2 c) –21 –1

y ______ ______ ______ ______ d) ______ ______ ______ ______ 5 ______ ______ ______ ______ ______ x ______ x

y e) ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 5 x ______ 2. Grafica –3 < y ≤ 5 y y 5 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ b) a) ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______5 –3 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ x ______ ______ ______ ______ ______ –3 5 y c) ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ –3 e)

y 5 __ __ __ –3 __ __

y d) 5 ______ ______ ______ ______ ______ ______ x ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ –3

5. Construye la matriz: A = (aij)3×2 / aij = i – 2i

x

x

año

1 3 –3 0 2 –4 d) –1 1 –1

–1 b) 0 1

0 –3 3 e) 1 3 2 –1 1 4

–1 c) 0 1

–3 –2 –1

6. Si A =

x

x+y x–y

3 7

yB=

además, A = B Calcula: xy – ab a) 5 c) 11 b) –11 d) 10

7 a 3 b

e) 21

2 1 3 7. Calcula: A = 0 –1 5 6 0 –1

3. Calcula 2M – N 2 0 7 –2 Si M = yN= –1 3 –1 0 –3 –2 –3 0 d) a) –3 6 –1 5

5.°

–1 a) 0 2

a) 25 b) 50

57

c) 15 d) 75

e) 20

ÁLGEBRA

8

REPASO 8. Calcula: 3 π 5 0 –1 5 A= 6 2π 2 3 a) –12 3 b) 0

c) 6 3 d) 12

9. Reduce: x 0 1 0 x –2 = 216 0 0 x a) 6 c) 3 b) 36 d) –6

11. Calcula la inversa de; 5 2 A= 1 3 1 3 2 1 5 2 d) a) 15 1 5 13 1 3

e) 1

1 3 –2 1 3 –2 b) e) 17 –1 5 13 –1 5 c) 13 e) 10

3 –2 –1 4

12. Si la matriz es singular. x 5 A= 20 x

10. Calcula «a + b», si F: [3; 7〉 → [a, b〉, es sobreyectiva, donde F(x) = 5x – 3. a) 10 c) 34 e) [12; 32〉 b) 44 d) 20



Calcula «x» a) 10 b) –10

c) ±10 d) 50

e) –50

Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5.

8

Álgebra. Pamer, Ediciones. Lima, Perú. 2009 Álgebra. Cepre UNI. Lima, Perú, 2012 Álgebra. Cepre UNI. Lima, Perú, 2013 Álgebra. Ceprevi. Lima, Perú, 2012 Álgebra. Ceprepuc. Lima, Perú, 2013

ÁLGEBRA

58

5.°

año