Geometría
1
Triángulos: Propiedades Fundamentales y Auxiliares
TRIÁNGULO RECTÍLINEO Perímetro de la región triangular ABC. 2P9ABC = AB + BC + AC Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB; BC y AC Notación: 9 ABC se lee triángulos ABC.
CLASIFICACIÓN 1. Según sus lados: Triángulo escaleno a!b
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
Base: AC
b!c
c!a
2.
Según sus ángulos Triángulo rectángulo
Triángulo acutángulo
Triángulo obtusángulo a2 + b2 < c2
Se cumple. a + b = 90º
2
2
2
a +b =c
(Teorema de Pitágoras)
Se cumple: 0º < a < 90º 0º < b < 90º 0º < q < 90º
3
Se cumple: 0º < b < 180º 0º < a < 90º 0º < q < 90º GEOMETRÍA
1
TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES
5.o año
TEOREMAS 1. Relación de existencia a ≥ b ≥ c b–c 1 a 1 b + c a–c 1 b 1 a + c a–b 1 c 1 a + b
Nota: Si nos indican en un problema que dibujemos un triángulo y no especifican el tipo de triángulos se dibuja siempre un triángulo escaleno.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES a + b + q = 180º
x + y + z = 360º
x=a+b
a+b=m+n
x+y=a+b
PROPIEDADES ADICIONALES x=a+b+q
x + y = 180ª + q
1
GEOMETRÍA
a+q=x+y
4
TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES También: 1.
5.o año
2.
x= a+b 2
3.
x= a-b 2
x= a+b 2
Trabajando en clase Integral
Resolución: En el triángulo ADC por propiedad x = a + q ............. (1) Luego en el triángulo ABC, por propiedad 4a + 4q + 60º = 180º 4a + 4q = 120º a + q = 30º Reemplazando en la ecuación (1) x = 30°
1. Si un triángulo rectángulo, un ángulo externo mide 140°, ¿cuál es la medida del ángulo externo del otro ángulo agudo? 2. Calcula “ x ”: y
5. Calcula “x”. 3. Calcula “x”.
6. Calcula “x”, si AB = BC = BD. PUCP 4. Calcula “x”.
7. Si dos lados de un triángulo miden 5u y 7u, ¿cuál es el valor del mínimo perímetro entero de dicho triángulo?
5
GEOMETRÍA
1
TRIÁNGULOS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES Y AUXILIARES
5.o año UNMSM 8. Calcula “x”, si AB = BC y CD = DE,
UNI
12. Si: AB = LC = NC y m∠BML = 3(m∠CAB). Calcula el menor valor entero de la m∠CAB
Resolución:
Piden: “x” ; CD = DE = AB = BC = Además: iABC : isósceles ⇒ m∠BAC = m∠BCA = q iDEC : isósceles ⇒ m∠DEC = m∠ECD = q En el triángulo DEC, por propiedad ⇒ q = 70º 40º + 2q = 180º Finalmente en el triángulo DFA, por propiedad. 40º + x = q ⇒ 40º + x = 70º ∴ x = 30°
9. Calcula “x”, si AB = BC y CD = DE.
14. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado AC. Si 90º < m∠ADC = 180º; AD = 8u y CD = 15u. Calcula el menor perímetro entero del triángulo ABC.
11. Calcula “q”, si: AB = BD y m∠CAE = m∠ABD = m∠ACB.
GEOMETRÍA
Piden el mayor valor entero de: Datos: AB = LC = NC m∠BML = 3(m∠CAB) En el iAMN m∠MNC = 3x + x = 4x LC = NC m∠NLC = m∠LNC = 4x En el iNLC 8x + f = 180° ⇒ f = 180° – 8x Luego: BC > AB x > 180° - 8x 9x > 180° x > 20° ∴ xmin = 21° 13. Se ubica el punto P exterior relativo al lado BC de un triángulo ABC. Las longitudes de los segmentos PB, PC y PA están en razón de 1, 2 y 3. Calcula la suma del mayor y menor valor entero que puede tomar AP, si el perímetro de la región triangular ABC es 36 cm.
10. Calcula “x”, si BM es bisectriz del ∠ABC
1
Resolución
6
2
Líneas Notables asociadas a los triángulos Ceviana
Mediana
Segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o su prolongación.
Segmento de recta que tiene por extremos a un vértice del triángulo y al punto medio, del lado opuesto.
BQ : ceviana interior. BP y BR :ceviana exterior.
M: punto medio de AC BM:mediana relativa a AC
Bisectriz
Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior del triángulo.
Altura
Ceviana perpendicular al lado al cual es relativa.
BH: altura relativa a AC
BE: bisectriz interior relativa a AC
BE: bisectriz relativa a AC
exterior BM: altura relativa a CA
Mediatriz
Recta que biseca a un lado del triángulo en forma perpendicular.
L : mediatriz de AC
BL: altura relativa a AC
Propiedades m x = 90° + 2
m x = 90°– 2
L : mediatriz de CA
x= m 2
L: mediatriz relativa a AB
7
GEOMETRÍA
2
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS
5.o año
PROPIEDADES 1. En todo triángulo isósceles.
4. El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama baricentro.
Z ] Altura ] Mediana BH [ ] Bi sec triz ] \ Mediatriz
G: baricentro
2. En todo triángulo rectángulo.
Si BM → mediana
⇒ AM = MC = BM.
5. El punto de intersección de las mediatrices se llama “circuncentro”
3. En todo triángulo, sus bisectrices interiores siempre se intersecta en un mismo punto llamado “incentro” por ser el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
6. Si BD es bisectriz del ∠ABC
I: incentro y PQ // AC
PQ = AP + QC
O: Circuncentro
además: 2piPBQ = AB + BC
⇒
2
GEOMETRÍA
I: incentro r: inradio BI = c + a IH b
8
x=
a+b 2
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS
5.o año
Trabajando en clase Integral 1. Calcula “x”.
Entonces: m∠BDA = 40º + a ...... (1)
pero:
2. Calcula “x”, si: QR = BR.
iABD es isósceles, AB = BD,
por lo tanto m∠BAD = 40º + a.
En el iABD se cumple:
40° + a + 40° + a + a = 180º → a = 100°/3
En (1).
90º – 100 = 170 = Ca 3 3
5. Calcula el suplemento de “a”.
3. Si “O” es el circuncentro del triángulo ABC, calcula “q”
6. En un triángulo ABC se traza por B una paralela al lado AC que corta a las prolongaciones de las bisectrices interiores de A y C en M y N, respectivamente. Calcula “MN”, si AB = 6u y BC = 7u.
PUCP 4. Calcula el complemento de “a”
7. Calcula “x”.
Si BD es bisectriz
Resolución.
UNMSM
Piden Ca = complemento de a = 90º – a
8. Si en el triángulo ABC, BH es altura y BM es mediatriz calcula m∠MBH
Propiedades de triángulo:
9
GEOMETRÍA
2
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS TRIÁNGULOS
5.o año
UNI 12. Calcula “x” en funcion de “q” y “a”
Resolución: Piden m∠MBH = x, en el problema aplicamos la propiedad
Resolución: Piden “x” en función de “q” y “a” aplicamos la propiedad de la mediana
entonces: m∠ABH = 40º m∠BCA = 40º m∠CBM = 40º Por lo tanto: m∠ABH + m∠HBM + m∠MBC = 90º 40º + x + 40º = 90º x = 10º
Donde: m∠A = 90° + q m∠B = 90° + a
9. Si en el triángulo ABC, BM es mediana del triángulo ABC. Calcula m∠MBH.
entonces el cuadrilátero DBEM. 90 + θ - (90 + a) θ - α = =x 2 2
13. Calcula “b” en función de “x” y “ϕ”
10. Calcula “AB”.
14. Si en el triángulo ABC, “H” es el ortocentro, “”I” es el incentro, determina la relación entre a, q y b
11. Calcula “b”
2
GEOMETRÍA
10
3 Congruencia de Triángulos CONGRUENCIAS Dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen la misma figura y el mismo tamaño.
iABC ≅ iA’B’C’
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Nota: Para que dos triángulos sean congruentes: - De los elementos que los identifican, a dos o más triángulos, se deben repetir como mínimo tres, de las cuales uno debe ser un lado.
Se denota: iABC @ iPQR
CASOS DE CONGRUENCIA A. 1er caso: lado – ángulo – lado (L.A.L.)
B. 2do caso: ángulo – lado – ángulo (A.L.A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual medida y, además, los lados que determinan a dicho ángulo, respectivamente, de igual longitud.
Si: m∠BAC = m∠B’A’C’
Luego: AB = A’ B’ ∧ AC = A’C’
⇒iABC @ iA’B’C’
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y, además, los ángulos adyacentes a dichos lados, respectivamente, de igual medida.
Si: AC @ A’C’ Luego: m∠BAC = m∠B’A’C’ m∠ACB = m∠A’C’B’ ⇒ iABC @ iA’B’C’
11
GEOMETRÍA
3
5.o año
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
C. 3er caso: lado – lado – lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados son de igual longitud.
Si: AB = A’B’ ; BC = B’C’; AC = A’C’ ⇒ iABC @ iA’B’C’
CASOS COMUNES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES 1.
2.
3.
Trabajando en clase Integral
3. Calcula «x».
1. Calcular “AE” si: AB = 2 m y DE = 7 m.
2. Calcular AB.
3
GEOMETRÍA
PUCP 4. Calcula «x», si: AB = 12 u y DE = 2x + 2u.
12
5.o año
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS UNMSM
Resolución:
8. Calcula «x», si: PC = AB.
iABC ≅ iCDE Caso A.L.A.
Resolución:
⇒ AB = DE 12u = 2x + 2u 2x = 10 u ∴x=5u 5. Calcula «x», si: AC = 20 u y CE = 4x.
Dato: PC = AB iAQP: Isósceles (m∠QAP = m∠QPA) ⇒ AQ = QP iBQC: Isósceles (m∠QBC = m∠QCB) ⇒ AQ = QC 6. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado, además: BH = 5 u y PH = 17 u.
Finalmente: iABQ ≅ iPCQ Caso: L.L.L. ⇒ m∠QCP = 4x = m∠ABQ Luego: 4x + 6x = 90° 10x = 90° ∴ x = 9°
7. Si los triángulos ABC y PQC son congruentes, calcula «x».
13
9. Calcula «x», si: PC = AB.
GEOMETRÍA
3
5.o año
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS m∠ABD = a y m∠EBC = q
10. Si: BE = 10 u y BD = 8 u, calcula «BH».
q + a = 90° ⇒ m∠BAD = q y m∠BCE = a, Luego: iADB ≅ iBCE Caso: A.L.A. AD = 1u ⇒ BE = 1u BD = 4u ⇒ EC = 4u
11. Si AB = BC y los triángulos APR y CRQ son congruentes, calcula el perímetro del triángulo PQR.
Como: BD = 4u ⇒ BE = 1u Triángulo rectángulo DEC. x = 5u 13. Calcula «CD» si: AD = 7 u y BD = 12 u.
UNI 12. Calcula «CD», si AD = 1 u y BD = 4 u.
Resolución:
14. Si ABCD es un cuadrado, además AQ = 12u y QC = 4 u. Calcula “BP”.
Trazamos CE ⊥ BD
3
GEOMETRÍA
14
4
Aplicación de la congruencia (Triángulos Rectángulos Notables)
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA • Propiedad de la bisectriz
Colorario
Si OM es bisectriz del ∠AOB y «P» ∈ OM
Si “M” y “N” son puntos medios de AB y BC, respectivamente L 1 // L 2 y MN = AC y MN = AC 2
→ PR = PQ y OR = OQ
Advertencia
• Propiedad de la mediatriz
Bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos de igual medida. Mediana en un triángulo, es la recta trazada desde un vértice al punto medio del lado opuesto.
Si L es mediatriz de AB y P ∈ L
→ PA = PB
9APB: isósceles
• Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa o menor mediana
• Propiedad de los puntos medios
9ABC: BM mediana relativa a AC.
Si L1 //L2
BM = AC 2
⇒ BN = NC y MN = AC 2
15
GEOMETRÍA
4
5.o año
APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA
Observación
Triángulos rectángulos aproximados
x = 90°
• Propiedad de los triángulos isósceles
Altura BH es:
Bisectriz Mediana Mediatriz
Observación Los triángulos isósceles se pueden reconocer por la combinación de líneas notables trazadas interiormente, estos son tres casos:
Triángulos rectángulos pitagóricos
3 casos son triángulos isósceles
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Se denominan así a ciertos triángulos rectángulos en los que conociendo las medidas de sus ángulos internos, denominados ángulos notables, se tendrá presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados y viceversa.
4
GEOMETRÍA
16
5.o año
APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA
Trabajando en clase Integral
MPD es notable (MP = DP = 3 u)
1. Calcula «x» si AC = 4x.
∴x=3 2u Piden “x 2 ” ⇒ 3 2 ( 2 ) = 6 u 5. Calcula «x 2 ».
2. Calcula «x». 6. Calcula «x».
3. Calcula «b».
7. Calcula “BP”, si AQ = 20 u.
PUCP
UNMSM
4. Calcula «x 2 ».
8. Si m∠BAC – m∠BCA =30° y AB = MC, calcula el valor de «x», si L es mediatriz de AC.
Resolución:
Resolución: Se traza MP // AB 9ABC (Propiedad de los puntos medios)
MP = AB → MP = 3 u 2
17
GEOMETRÍA
4
5.o año
APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA
Dato
Resolución:
m∠BAC – m∠BCA = 30°
b – q = 30°
Piden: x
• L es mediatriz de AC (AD = DC) y (AE = EC) • iABE (isósceles) x = 75° 9. Si m∠BAC – m∠BCA = 40° y AB = EC, calcula el valor de «x», L es mediatriz de AC.
• Se prolonga PA hasta M (PA = AM) • 9PCM isósceles (PC = CM) ⇒ PQ // MC x = 70°
10. Calcula «x», si: AC = 2(DB).
13. Calcula “PQ” si PC = 8 m y 2(PA) = PB.
11. Si PQR es un triángulo equilátero de lado 16 u. Por A, punto medio de PQ, se traza AB perpendicular a PR; por B se traza BC, perpendicular a QR. Calcula BC. UNI 12. Calcula «x», si: BP = 2(PA).
14. Se tiene un cuadrilátero ABCD donde:
4
GEOMETRÍA
18
m∠ABC = m∠ADC = 90º y BD = 3 . AC 2 Calcula m∠BCD.
5 Polígonos y perímetros
DEFINICIÓN Es la figura geométrica cerrada que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales, mediante segmentos de tal modo que dicha figura limita una región del plano.
B. No convexo o cóncavo
Será no convexo cuando al menos una recta secante corta en más de dos puntos al polígono.
2. Clasificación por la regularidad de sus elementos A. Polígono equilátero
Es aquel que tiene todos sus lados congruentes.
ZZ Notación: Polígono ABCDEFG… ZZ Elementos:
1. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, … 2. Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...
Perímetro = n(medida del lado)
3. Ángulos internos de medida: a1, a2, a3, a4, ...
Ángulos externos de medida: b1, b2, b3, b4, ...
4. Diagonales: AC, AD, DF, ...
B. Polígono equiángulo
5. Diagonales medias: MN, PQ
Es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes, siempre es convexo.
CLASIFICACIÓN 1. Clasificación por la medida de sus ángulos A. Convexo
Será convexo cuando toda recta secante solo corta en 2 puntos al polígono.
a = m∠i =
180º (n - 2) n
q = m∠e = 360º n
19
Donde: n = # de lados
GEOMETRÍA
5
5.o año
POLÍGONOS Y PERÍMETROS
C. Polígono regular
Es el polígono equiángulo y equilátero a la vez. En la figura, “O” es centro del polígono y m∠AOB es el ángulo central.
m∠central = 360º n
∑∠s = 360º n
(Ap) Apotema del hexágono regular
PROPIEDADES GENERALES PARA TODO POLÍGONO CONVEXO DE “N” LADOS
2. Número total de diagonales: n _n - 3 i D= 2 3. Número de diagonales trazadas desde “m” vértices consecutivos: _m + 1 i_m + 2 i nºD(m) = m . n – 2 4. Número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un solo vértice: nº9s = n – 2 5. Suma de las medidas de los ángulos internos: ∑∠sint = 180º(n–2) 6. Suma de las medidas de los ángulos externos: ∑∠sext = 360º 7. Número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos internos: Nº∠rectos = 2(n – 2) Observación: Existe una relación entre “n” (# de lados) y D (diagonales) y es mediante el siguiente cuadro:
1. El número de diagonales trazadas desde un solo vértice: n° d1 = n – 3
Trabajando en clase Integral
Resolución:
1. Calcula el número de lados de un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es 1080°.
Dada la relación entre el número de lados y su número de diagonales se puede realizar del siguiente cuadro: n: # lados
2. Calcula el perímetro de un polígono equilátero, si su lado mide 8 cm y tiene 27 diagonales.
D: # de diagonales
3. Dos polígonos regulares, uno de 6 lados y el otro de 5 lados, tienen un lado en común. Si el perímetro total es de 135 cm, ¿cuál es el perímetro del polígono de 5 lados? Observamos que n = 6 PUCP 4. Si en un polígono el número de lados aumenta en 3, el número de diagonales se triplica. Calcula la suma de las medidas de sus ángulos interiores.
5
GEOMETRÍA
Piden:
∑∠sint = 180º(n - 2) = 180º(4)
∴ ∑∠sint = 720
20
5.o año
POLÍGONOS Y PERÍMETROS 5. Si en un polígono, el número de lados aumenta en 5, el número de diagonales aumenta en 45°. Calcula la medida de su ángulo exterior. 6. Si ABCDE es un polígono regular, calcula «x».
11. Calcula «x».
7. Si la medida del ángulo interior de un polígono regular es 160°, calcula el número total de diagonales de dicho polígono. UNMSM 8. Desde 7 vértices consecutivos de un polígono, se pueden trazar 55 diagonales. Calcula la medida de su ángulo central. Resolución: Sabemos:
DK = nk –
_ k + 1 i_ k + 2 i 2
K: # de vértices consecutivos n: # de lados D7 = 55 ⇒ n(7) – 7n – 36 = 55
UNI 12. Sabiendo que ABCDEFGH es un octógono equiángulo, calcula m∠BDA si: 4AB = 2CD = 2 BC.
Resolución: Si: AB = m ⇒ CD = 2 m y BC = 2 2 m • Prolongamos DC y AB hasta “O”. • m∠OCB = m∠CBO = 45º ( ext. De un octógono) • ⇒ OC = OB = 2 m • Triángulo DOA, notable: OD = 4 m y OC = 3 m ⇒ m∠ODA = 37º • Triángulo DOB, notable: OD = 4 m y OB = 2 m ⇒ m∠ODA = 53º = 26,5º 2 Finalmente: ⇒ x + 26,5º = 37° ∴ x = 10,5°
D: # de diagonales
Dato:
8_9 i = 55 2
7 n = 91
n = 13 Piden: ∠central = 360º = 360º n 13 9. Desde 6 vértices consecutivos de un polígono, se pueden trazar 32 diagonales. Calcula la suma de las medidas de sus ángulos interiores. 10. Si se sabe que ABCDE es un polígono regular y que AF = AE, calcula «x».
21
13. En un octógono equiángulo ABCDEFGH, calcula m∠BDA, si: 4AB = CD = 2 BC. 14. Un polígono de “n” lados posee 10 ángulos interiores cuya suma es 1600°. Determina la suma de las medidas de los ángulos exteriores correspondientes a los vértices restantes. GEOMETRÍA
5
6 Cuadriláteros A. Simétrico
DEFINICIONES
Polígonos de cuatro lados, pueden ser convexos o no convexos. Convexo
Notación: kABCD convexo
B. Asimétrico
No convexo
Notación:
ABCD convexo
ZZ Elementos (para ambas figuras)
1. Vértices: A, B, C y D
Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatriz de la otra.
Es aquel que no tiene ninguna simetría. Es también llamado trapezoide irregular.
2. Trapecios
Son cuadriláteros que solo tienen dos lados paralelos, los cuales son denominados bases.
A. Escaleno
2. Lados: AB, BC, CD y AD
Es aquel que tiene sus lados no paralelos, desiguales.
3. Diagonales: AC y BD ZZ Propiedad (para ambas figuras)
Suma de medidas de ángulos interiores: a + b + g + q = 360°
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS 1. Trapezoides
Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
6
GEOMETRÍA
Si BC // AD a ≠ b
a + b = 180°
q + g = 180°
22
5.o año
CUADRILÁTEROS
B. Isósceles
B. Si BC // AD
Es aquel que tiene sus lados no paralelos, de igual longitud.
a + q = 180°
AC = BD
BC // AD // PQ
x = b-a 2
PQ: Segmento que une los puntos medio de las diagonales.
C. Rectángulo
Es aquel trapecio en que uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
3. Paralelogramos
Cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ángulos opuestos son de igual medida de dos ángulos consecutivos siempre son suplementarios. Además, sus diagonales se bisecan mutuamente.
Si BC // AD a ≠ b
a + q = 180°
CLASIFICACIÓN
Propiedades del trapecio
1. Romboide
A. Si BC // AD
2. Rectángulo
BC // PQ // AD: Base media del trapecio
x = b+a 2
PQ: base media del trapecio
23
GEOMETRÍA
6
5.o año
CUADRILÁTEROS 4. Cuadrado
3. Rombo
Trabajando en clase Integral
Resolución:
1. Calcula «x».
Datos: 2. Calcula «x» si y AD y BC son paralelos. (AD // BC)
AH = HD = k 3 2
⇒ AB = AD = 5k ⇒ 9AHB (37° y 53°) kHBGD x = 53°
5. Calcula “x”, Si ABCD es un rombo y AH = HD . 7 18 3. Calcula BF, si ABCD es un romboide.
PUCP
6. Calcula MP. Si BC // AD, BC = 4 u y AD = 16 u.
4. Calcula «x», si ABCD es un rombo y AH = HD . 3 2
6
GEOMETRÍA
24
5.o año
CUADRILÁTEROS 7. Calcula «x», si ABCD es un rectángulo.
11. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado y BCDF es un rombo.
UNMSM 8. Si las diagonales de un trapecio miden 12 u y 18 u, calcula el máximo valor entero que puede medir la mediana de dicho trapecio. Resolución:
UNI 12. Si las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 6 m y 8 m, calcula la medida de la mediana del trapecio. Resolución: Piden la longitud de la mediana del trapecio.
YY Se ubico M, el punto medio de AB
(AM = MD) YY En los triángulos ACD y ABD la propiedad de los puntos medios. YY Sea el PMO (rel, existencia triangular)
YY Datos:
AC = 8 u y BD = 6 u
YY Piden: x = a + b
2
YY Se traza un romboide jBCRD: BD = CR = 6 u YY iACR (37° y 53°)
3u < x < 15 u xmáx = 14 u
9. Si las diagonales de un trapecio miden 9 u y 16 u, calcula el máximo valor entero que pueda medir el segmento que une los puntos medios de las diagonales. 10. Si ABCD es un rectángulo, calcula «x».
25
a + b = 10 u ∴x=5u
13. Si las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 24 m y 7 m, calcula la medida de la mediana del trapecio. 14. Si ABCD es un cuadrado y EFGH, un rectángulo, calcula el perímetro de dicho rectángulo.
GEOMETRÍA
6
7 Circunferencia TEOREMAS FUNDAMENTALES
Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto (centro) de dicho plano.
1. Teorema del radio y la tangente
P: punto de tangencia
R: radio
T: recta tangente
⇒ OP ⊥
• P y Q son puntos de la circunferencia. • OP = OQ = radio = r
LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA 2. Teorema de las dos tangentes
CIRCUNFERENCIA DE CENTRO “O” Y RADIO “R” Cuerda: CD Diámetro: AB
Recta secante: PQ Recta tangente: L T (T: punto de tangencia) Recta normal: LN ! Arco PQ: PQ GEOMETRÍA
A y B son puntos de tangencia
3. Teorema de la bisectriz del ángulo formado por 2 tangentes:
Flecha o sagita: EF
7
AP = BP
26
5.o año
CIRCUNFERENCIA
Teorema de Poncelet
4. Si:
Si AB = CD
a + b = c + 2r
! ! Entonces: m AB = m CD
o: incentro r: inradio
5. Si AB // CD
Teorema de Pitot
! ! Entonces: m AC = m BD
a+c=b+d
6. Si Teorema de Steiner
Entonces: MH = HN ! ! ! ! mAM = mAN y mMB = mNB
a–c=b–d
Trabajando en clase Integral 1. Calcula «x» si A, C, D y F son puntos de tangencia.
27
2. Calcula la longitud del inradio si BC y AD son paralelos.
GEOMETRÍA
7
5.o año
CIRCUNFERENCIA
3. Calcula el perímetro del cuadrilátero ABCD.
PUCP 4. Calcula «x» si 4AO = 3CD y D es punto de tangencia.
7. Calcula “x” si E, F y P son puntos de tangencia.
UNMSM 8. Calcula «R» si: BE = FG, BH = 14 cm y E, F, G y H: son puntos de tangencia.
Resolución: Del dato AO = 3K y CD = 4K
Trazamos OD ⊥ CD ⇒ OD = R = 3K Triángulo rectángulo ODC (37° y 53°) ⇒ OC = 5K Sabemos: OB = R = 3K ⇒ x = 2K …. (1) Del gráfico: 3K + 5K = 32u 8K = 32 u K = 4u Reemplazando en ecuación (1): ∴ x = 2(4) = 8 u
Resolución: Del dato: BE = FG = a, sea HC = b = GC, AE = C = AF (teorema de las tangentes).
En el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Poncelet. a + n + 14cm + m = n + a + m + 2R R = 7 cm
9. Calcula «R» si BE = FG, BH = 12 cm, E, F, G y H son puntos de tangencia.
5. Calcula «x», si D es punto de tangencia y 15AO = 8CD.
10. Calcular “R” si AB = 9 u , BC = 40 u y D,E son puntos de tangencia.
6. En una circunferencia de radio 25 u, se tiene una cuerda cuya longitud es 48 u, calcula la longitud de la flecha correspondiente.
7
GEOMETRÍA
28
5.o año
CIRCUNFERENCIA 11. Si 20 u es la suma de las longitudes de los radios de las circunferencias exinscritas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo, calcula la longitud de la hipotenusa.
⇒ CF = FD = 10 m Por tanto en el triángulo rectángulo OFD, aplicamos el teorema de Pitágoras.
R2 = (4m)2 + (10m)2
UNI 12. En una circunferencia, un diámetro divide a una cuerda en dos segmentos que miden 7 m y 13 m. Si la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda mide 4 m, calcula la longitud del radio de dicha circunferencia. Resolución: Sea: AB: Diámetro y CD: Cuerda OF: Distancia del centro a la cuerda CD = 20 m y OF ⊥ CD
R2 = 116m2
R = 116 m = 4 # 29 m
∴ R = 2 29 m
13. En una circunferencia, el diámetro AB divide a una cuerda CD (E: punto de intersección de la cuerda y el diámetro; AE > EB) en dos segmentos, CE (11 cm) y ED (21 cm). Si la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda AB mide 12 cm, calcule AE. 14. Se tiene tres circunferencias de radios 1 u, 2 u y 3 u, tangentes exteriores entre sí, dos a dos. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo formado al unir los centros de las primeras circunferencias.
29
GEOMETRÍA
7
8 Repaso Trabajando en clase 1. Calcula «x».
a) 60° d) 75°
5. Calcula «α», si los polígonos ABCE y CDE son regulares.
b) 65° e) 80°
c) 70° a) 15° d) 30°
2. Calcula m∠EBD si L1 y L2 son mediatrices de AB y BC respectivamente.
a) 31° d) 34°
b) 32° e) 35°
b) 20° e) 35°
c) 25°
6. Calcula el perímetro del ∆ABC si ∆ABC es equilátero y ADEF es un rombo, .
c) 33° a) 2 a d) 5 a
3. Calcula PQ, si ABCD es un romboide y AB = 8 m
b) 3 a e) 6 a
c) 4 a
7. Calcula m ∠ ABD, si B es punto de tangencia.
a) 16 m d) 18 m
b) 20 m e) 12 m
c) 8 m a) 20° d) 35°
4. Calcula «x».
a) 15° d) 30°
8
GEOMETRÍA
b) 25° e) 40°
c) 30°
8. Calcula AC, si D, E y F son puntos de tangencia.
b) 18° e) 12°
a) 15 u d) 30 u
c) 20°
30
b) 20 u e) 35 u
c) 25 u
5.o año
REPASO 9. En un triángulo ABC (AB = BC), se toman dos puntos, D en BC y E en AC, de modo que m∠DAE = 20°, m∠BAD = 30° y AD = AE, calcula m ∠ EDC. a) 10° b) 12° c) 18° d) 30° e) 32° 10. En un triángulo rectángulo isósceles ABC (AB = BC), la ceviana interior BD se prolonga hasta un punto E. Si el triángulo ABE es equilátero, calcula m ∠ EAC. a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
31
11. Si AB = DC, calcula «x».
a) 15° d) 30°
b) 18° e) 36°
c) 22,30°
12. En el interior de un triángulo ABC (AB = BC), se toma el punto P de modo que m ∠ PBA = 10º y PB = AC, si m ∠ PBC = 30º calcula m ∠ PAB. a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30°
GEOMETRÍA
8
Geometría
1
Ángulos asociados a la circunferencia
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA ÁNGULO CENTRAL
ÁNGULO SEMI-INSCRITO
ÁNGULO INSCRITO
b O a
b
q
2q b
B
A
b = 2a
A
A
x B
b b
x
a+b 2
ÁNGULO EXTERIOR
C
B
q=
T: pto. de tangencia
ÁNGULO INTERIOR
a
D
C
A
C
b
x
D a
C
B A: Puntos de tangencia
A y C: Puntos de tangencia
a+b 2
x
b
a
D
x=
a
2b
a=b
A
q
b
C a
B
a
secante
T
A
A
ÁNGULO EXINSCRITO
B x=
x + b = 180°
a-b 2
CUADRILÁTERO INSCRITO EN UN CIRCUNFERENCIA En la figura, ABCD está inscrito, entonces: C B a
A
b
a + b = 180°
5.°
año
B
a
En la figura, ABCD está inscrito, entonces:
C
b
A D a=b
49
B
D
C
b
a A
D a=b
GEOMETRÍA
1
E
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE C
B
B
b
B
C
C b
a
A
D
A
b
a
a
D
A
D a=b
a=b
a + b = 180°
Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible
Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible
Entonces, ABCD es un cuadrilátero inscriptible
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula «a», si B y D son puntos de tangencia y ABCD es un romboide.
4. Calcula «a», si mAE = b y m BD= f. A
40°
a C
a
D 2. Calcula «a», si C y D son puntos de tangencia y AB es diámetro.
E
a
D
140° O
A
B
3. Si ABCD es un romboide. Calcula x, si AE es diámetro. B A
C
O E
1
GEOMETRÍA
40°
Dx E
b f/2
b/2
B f
a
D
C
B a
E
C
A 7. Calcula «b». A
B
150°
D
50
C
b
F
100° D E UNMSM
5. Calcula «a», si mAE = 80º y mBD = 30°. A
100°
f b b- f = &a= 2 2 2
A
E
x
C
Resolución Se traza BE, entonces m∠BED = f/2 por ángulo inscrito y m∠ABE = b/2 también por ángulo inscrito. En el 9EBC se tiene por ángulo exterior a+
C
D
E
B
140°
B
B A
6. Calcula «x».
C
8. Calcula «b». C 3b B A 2b
O
D
Resolución Se traza CD, se tiene un triángulo rectángulo isósceles. El lABCD está inscrito en la circunferencia, entonces:
5.°
año
ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA 2b + 3b + 45° = 180° b = 27° B
C
45°
C 3b
A 2b
A
C 7b
A 3b
C
a
E
45° D
O
9. Calcula «b». (AD: Diámetro) B
13. Calcula «a», si ED es diámetro y «b» es punto de tangencia
B
D
30° B
UNI 12. Calcula «a» en función de «b», si O es centro de la semicircunferencia y B es punto de tangencia. C
E
A 10. Calcula m∠DAC, si A y C son puntos de tangencia, además AD // BC y m∠ABC = 40°
a
E
D
O
Resolución Se traza BD, entonces m∠BDE = b y por ángulo seminscrito m∠ABE = b. Entonces: C a + b = 90° – b b a = 90° – 2b
B
D C
O
D
B
B
D
A
a
14. Calcula «a», si A, C, D y F son puntos de tangencia.
b
O
A
93°
A
C
F
D a
E
b B 11. Calcula «a», si AB = BE y mBC= 50°.
5.°
año
A
a
E
90°–b
51
O
b
D
GEOMETRÍA
1
2 Segmentos Proporcionales I 1. RAZÓN GEOMÉTRICA ENTRE LAS LONGITUDES DE DOS SEGMENTOS
1. Si EF //AC B
Es la comparación de las longitudes de dos segmentos mediante el cociente obtenido entre ellos. A B C D
2cm
6cm
2. SEGMENTOS PROPORCIONALES
C
4cm 10cm
AB = 2 CD 5
M
6cm
D P
15cm
AB = MN CD PQ
2. Si EF //AC
F
E
N
B
Q
A
MN = 2 PQ 5
C
⇒
3. TEOREMA DE THALES
BE = BF EA FC
⇒
Se denominan segmentos proporcionales a dos pares de segmentos que presentan razones geométricas iguales. B
C
A
AB = 1 CD 3
A
F
E
EB = FB BC BA
3. Si EF //AC
Tres o más rectas paralelas determinan en dos rectas transversales segmentos proporcionales A D L
B
1
B C
E
L2
F
L3
AB = DE BC EF
Toda recta secante a dos lados o a sus prolongaciones en un triángulo y paralela al tercer lado determinan sobre los lados anteriores, segmentos proporcionales.
2
GEOMETRÍA
E
F BA = BC AE CF
5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UN TRIÁNGULO
4. COROLARIO DE THALES
C
⇒
Si: L1 // L2 // L3 ⇒
A
52
En un triángulo, se cumple que la bisectriz interior o exterior corta al lado al cual es relativo en segmentos proporcionales a los lados del triángulo adyacentes de la bisectriz.
5.°
año
SEGMENTOS PROPORCIONALES I 1.
En la figura: AB > BC B
A
C
D
2.
⇒
BA = AD BC DC
A ⇒
A
B b a b
a
B b b
AD = AE DC CE
⇒
a a
AB = AD BC CD
D
E
C
6. TEOREMA DE MENELAO
C D Si AB > BC y BD es bisectriz exterior.
B
M
Nota
N
A
En un triángulo, los puntos de intersección de las bisectrices interior y exterior trazados desde un mismo vértice, dividen armónicamente al lado opuesto.
P
C
L: recta secante
⇒ (AM)(BN)(CP) = (MB)(NC)(AP)
Trabajando en clase Integral
3. Calcula x.
1. Calcula “x”, si L1 // L2 L1 2a a
q
B
q
4k
8m A
L2
x
B
12m
Resolución Piden y – x
5m
L3
C
P x
2. Calcula x. B
6m
q q
A
4. Si L1 // L2 // L3 . Calcula «y–x». B
8m
A
10u
x 12m
5.°
año
A
q
x
q
15m
53
q
y
L1
6u C
10u q
q
x
15m
3k
= x 5 k 15
L3
y
*
x = 9 m
L2
q
L1
6u
L2 L3
C
Por Tales si: L1 // L2 // L3 *
8u C
5k 3k
PUCP
8u
5k 4k
= 15 y
x = 12 m
\y–x=3m 5. Sabiendo que L1 // L2 // L3 Calcula «x – y». GEOMETRÍA
2
SEGMENTOS PROPORCIONALES I
y
L2 q
q
q
9m 12m
L3
15m
45
45°
Q
b
A B
P
C
4m
R 2m
T x
7. En un triángulo acutángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y exterior BE, tal que AD = 4m y DC = 2m. Calcula CE.
P
5m
3m
11. Calcula «x – y», si AC = 7 m. B
y
A
6m
8. Calcula x.
q
4m
3m
P
x
C
4m
3m
P
GEOMETRÍA
O
q
D
Q
x
45°
C
8m
b
B
45 B
x
x
q 3m 12m C
q
4u
3u
b
C
x
b
q
D
A
14. Si A y F son puntos de tangencia, además BF = 3m y AC = 2(FC) = 2(AE ) = 4m. Calcula AD. B
C
* Se observa que BQ es bisectriz * Aplicando Cuaterna Armónica
2
45
13. Calcula x, si ABCD es un cuadrado.
12. Si ABCD es un cuadrado. Calcula x.
B q a q
Q
Q
C
* Se trazan las diagonales del cuadrado ABCD * 4BPQO es inscriptible * 4RPCO es inscriptible * 9BPC: Cuaterna Armónica 4 . x = 3(7 + x) 4x = 21 + 3x ⇒ x = 21 m
P
a
R
x
UNI
Resolución
A
M
3u
A
D
B q
Q
x
4u
C
10. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC inscrito en una circunferencia, sobre el arco AC se ubica el punto D tal que mABC = mDC , las cuerdas AC y BD se cortan en “P” tal que 2(AP) = 3(PC)si BP = 4 m. Calcula «AB».
UNMSM
A
Q
b
q
B
B
A
45°
45 45
9. Calcula x.
6. Calcula “x”, si A, B y C son punto de tangencia.
P
45°
4 . x = 3 . (7 + x) 4x = 21 + 3x x = 21 m
45 +q
L1
16m
Resolución
(AQ) . (PC) = (QP) . (AC)
45+b
x
b
q
E D
A
54
D
A
F C 5.°
año
3
Segmentos proporcionales II y Semejanza de Triángulos
TEOREMA DE CEVA
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ • Interior
Sea P el cevacentro del triángulo ABC, entonces: B
B a a
Q S
L1 A
b
a
P C
R
m
A
(AS)(BQ)(RC) = (SB)(QC)(AR)
TEOREMA DEL INCENTRO
• Exterior B q m
I C
D
a
L5
L4
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
L1 m
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida y sus lados homólogos son proporcionales.
L2
Los lados homólogos en triángulos semejantes , son aquellos lados opuesto, a ángulos de igual medida. B
L3
N
b a =m b n
5.°
año
b
m =n a b
Sea L1 // L2 // L3
n
D
C
A
TEOREMA DE THALES
b
q
n
BI = AB + BC ID AC
a
C
a = b m n
Si I es el incentro de triángulo ABC, entonces: B
A
n
D
A
55
a
b
q
C M
a
q
Q
GEOMETRÍA
3
SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Notación:
B
ck
9ABC ~ 9MNQ
A
Símbolo de semejaza: ~ Se lee: “es semejante a” Pares de lados homólogos: AB y MN; BC y NQ; AC y MQ Se cumple:
N C M
a
b
Entonces:
a
A
ii) Si L //AC
P
9ABC ~ 9MNQ 2. Dos triángulos son semejantes si un ángulo del primer triángulo es de igual medida de un ángulo del segundo y los lados que los determinan son respectivamente proporcionales.
ck
Entonces:
L
a
q
C
c bk
C M
N
a
b
2. En todo triángulo, al unir los pies de dos alturas, siempre se forma un triángulo parcial semejante al total. B b P a q Q
Q
m∠BAC = m∠NMQ y AB/AC = MN/MQ Entonces: 9ABC ~ 9MNQ
A
3. Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer triángulo son proporcionales a los tres lados del segundo triángulo.
3
A
Q
q wa B w
9ABC ~ 9PBQ
B
A
q C
9ABC ~ 9PBQ
Q
m∠BAC = m∠NMQ y m∠ACB = m∠MQN Entonces:
a
Q
1. En todo triángulo, al trazar un recta paralela a uno de sus lados, siempre se forma un triángulo parcial semejante al total. i) Si L //AC B b a P q Q L
1. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del primer triángulo son de igual medida a dos ángulos del segundo triángulo.
b
b
PROPIEDADES
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
a
C M
bk
a
9ABC ~ 9MNQ
donde k es la razón de semejanza.
A
c
N
Si AB = BC = AC , entonces MN NQ MQ
AB = BC = AC = k MN NQ MQ
B
ak
GEOMETRÍA
a
q
C
9ABC ~ 9PBQ
56
5.°
año
SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Consecuencia:
4. En las figuras: B
B
P
Q q
x
b q
A
x
x x a
A
C
9ABC ~ 9PBQ
C
B
3. En la figura: 9ABC ~ 9PBQ
a
x
A
B
C
P
b D
Q
a
B
x
x A a
P
n
m
x
bA
C
C D a
Se cumple: x2 = m . n
Se cumple:
x = a .b a+b
Trabajando en clase Integral
3. Calcula «PQ», si AC//PQ. B
1. Calcula «x». B
M 2a
n
a
N
6u
P C
2. Calcular «x», si I es el incentro del triángulo ABC. B
7u A
5.°
año
3n I n D x
B
8u
A
x
Q
10 3 u
2n
A
PUCP 4. Calcula «x». B 3n 20u
C A
x
60°
P
Q
57
60°
H
x
P
2n
Q
C
Trazamos la altura BH, luego en el triángulo ABH (30° y 60°); BH = 10 3 u. Finalmente, aplicando semejanza en los triángulos CPQ y CBH, tenemos: 2n x = 10 3 u 5 n 2 1
C
18u
3n
20u
7n 3n
A x P
Resolución
2n C
\x=4 3u
GEOMETRÍA
3
SEGMENTOS PROPORCIONALES II Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5. Calcular «x».
P
n
B
3n
x
3u
A
37°
Q
C
6. Calcular «AB». B 6
m C 2 m
q
A
q
D
7. Calcular «CD» C
8cm B
2cm
Luego, CE es bisectriz exterior por tanto: m∠BCE = m∠ECF = b E ⇒ Excentro relativo a BC Propiedad: m∠AEC = m+ABC = 2q 2 2 ⇒ m∠AEC = q iABI ~ iAEC x = 8u \ x = 20u 30u 12u 9. Calcular «IE», si AC = 5m, AI = 3m, AB = 6m; además I es incentro del triángulo ABC y CE es bisectriz exterior.
D q
E
B
11cm q
A
I
A
E
C
10. Calcula «x»
UNMSM 8. Calcular «AB», si: AC = 12u, AI = 8u y IE = 22u; además I es el incentro del triángulo ABC y CE es bisectriz exterior.
E
B
B
3u
C
x M
A
I
A
Resolución
C
E
B x
8u
a A
u
22
qq a I
b C
b
GEOMETRÍA
R
r I A
12u Piden «x», si «I»: Incentro, entonces: m∠BAI = m∠IAC = a m∠ABI = m∠IBC = q
3
11. Calcula « BI », si: O, I son cenID tros, además R = 4r. B
q
F
D
12u
DO
C
PD cortan a BC en los puntos E y F, respectivamente. Resolución Q P B a q F 3u 2 q a u x C E O A
D
Piden «x» como AB = AD ⇒ mAB = mAD ⇒ m∠BPA = m∠APD = q Trazamos PC y el triángulo APC es rectángulo (AC: diámetro) Por tanto: m∠APD + m∠DPC = 90° Si: m∠DPC = a ⇒ a + q = 90 Luego: B, P y Q son colineales ⇒ como a + q = 90° ⇒ 2a + 2q = 180° \ m∠CPQ = a Finalmente: B, E, F y C conforman una cuaterna armónica ⇒ 3(x) = 2(3 + 2 + x) \ x = 10u 13. Calcula «EF», si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, además AB = AD; BE = 6m; FC = 9m y AC es diámetro. P es un punto de BC, PA y PD cortan a BC en los puntos E y F, respectivamente. 14. Calcular « AB + BC », si: I es inAC centro y G es baricentro del triángulo ABC, además IG//AC. B
UNI 12. Calcula «FC», si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, además AB = AD; BE = 3u; EF = 2u y AC es diámetro. P es un punto de BC, PA y
58
I A
G
D M
C 5.°
año
4
Relaciones métricas en el Triángulo Rectángulo
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UNA RECTA
En el triángulo rectángulo ABC AB y BC: catetos AC : hipotenusa BH: altura (menor) AH: proyección ortogonal de AB sobre AC CH: proyección ortogonal de BC sobre AC
Se denomina proyección ortogonal de un punto sobre una recta al pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Los puntos que pertenecen a la recta son proyecciones de sí mismo. Se denomina proyección de un segmento sobre una recta a la porción de recta comprendida entre las proyecciones de los extremos del segmento. Esta proyección es también un segmento, excepto cuando el segmento que se proyecta es perpendicular a la recta, en tal caso, la proyección es un punto. A
Propiedades: A c B
D
C
G
B
E
A’ B’ C’ D’
b
h m
H
n a
1. a2 = b2 + c2
H I’
F G H’
2. h2 = m . n
L
3. ah = bc
I
4. c2 = ma; b2 = na 5. 12 = 12 + 12 h b c
A’ : Proyección de A sobre L B’C’: Proyección de BC sobre L D’ : Proyección de DE sobre L
Propiedades adicionales:
FG’: Proyección de FG sobre L
1. En el gráfico, AB: diámetro
H’I’: Proyección de HI sobre L
Se cumple:
h2 = mn P
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
h A
En todo triángulo rectángulo, al trazar la menor altura se forman dos triángulos, los cuales son semejantes al triángulo rectángulo dado.
m 2. En el gráfico, AB: diámetro
B
Se cumple:
5.°
año
a
H
n
B
b2 = cn P
b a A
C
b b
A
C
59
O c
H
n B
GEOMETRÍA
4
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 3. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia
Advertencia pre
Se cumple: x = 2 Rr
R
O1
O2 r B
C
A
En los ejercicios de relaciones métricas, nos podemos ayudar usando alguno de los teoremas ya vistos anteriormente y usar un método más práctico como se muestra en la figura.
x
Trabajando en clase Integral 1. ¿Qué longitud igual se le debe quitar a cada lado de un triángulo cuyas medidas son 9u, 16u y 18u para obtener un triángulo rectángulo? 2. Calcula la suma de las longitudes de los catetos, si la hipotenusa mide 15 u y la altura relativa a ella mide 6 u. 3. Calcula «x»
4u
x
A
PUCP 4. Calcula «CD» si se tiene que la hipotenusa AC de un triángulo isósceles ABC mide 8 2 u, se prolonga BA hasta el punto D, tal que: AD = 7u. Resolución C 45°
x
8u 8 2 u
4
8u
5. Calcula «CD» si se tiene que la hipotenusa AC de un triángulo isósceles ABC mide 9 2 u, se prolonga de BA hasta el punto D, tal que: AD = 31u.
4u
45°
GEOMETRÍA
A
7u
D
D 2u
A
C
7. Calcula la longitud de la hipotenusa si los lados del triángulo rectángulo están en progresión aritmética de razón 4u.
x
m
h
E
b
D
n
h2 = m.n
x a nn a b 1. x2 = a(2n + a) x2 = 2an + a2 2 2 x -a = n 2a 2 2. x = n(a + b) 2 2 x2 = x - a (a + b) 2a desarrollando y agrupando: a b + a = x b-a 9. Calcula «x» si BCFG es un cuadrado y C es punto de tangencia.
UNMSM
B
8. Calcula «x», si BCFG es un cuadrado y C es punto de tangencia.
x
60
C
O F Resolución Recordar:
17u = x
C
B
A a G
(8u)2 + (15u)2 = x2
B
H
B
CBD: pitágoras
6. Calcula el perímetro del triángulo equilátero ABC.
B 3u
Por notable de 45° y 45°: BC = AB = 8u
A 2u G O
C
F
E
7u D 5.°
año
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 10. Calcula «x», si T es punto de tangencia, además: OB = 3u y AB = 2u.
B 3u G
Resolución Recordar: h
O
T
x B
h
A 5u F
h
h2 = m.n A
14. Calcula «x», si B es punto de tangencia y ACDF es un rectángulo.
En el problema: 11. Calcula «x», si A y D son puntos de tangencia. A 7u O B x
D 5u E
x
(x – a)x = (x – b)2
x=
x
año
x–a
O F
C 7u
x E
D
x(2b–a) = b2
B b G
5.°
x–b
x
A a
A 2u B
2xb – ax = b2
12. Calcula «x».
ED
B b
x2 – ax = x2 –2xb + b2
UNI
A a F
C
ED
C
b2 2b - a
13. Calcula la longitud del radio de la semicircunferencia de diámetro AC.
61
GEOMETRÍA
4
5
Relaciones métricas en Triángulos Oblicuángulos
1. TEOREMA DE EUCLIDES 1er caso:
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos, por la longitud de la proyección del otro sobre él. Sea ABC, el triángulo; donde 0° < a < 90°. AH: proyección de AB sobre AC. Entonces: a2 = b2 + c2 – 2bm B
A
a m
B c
H
b
A
5
GEOMETRÍA
m
A
b
C
m
H
b
a
C
M
4. TEOREMA DE STEWART
En todo triángulo, la longitud de una altura, es igual al doble de la inversa de la longitud del lado sobre el cual cae, por la raíz cuadrada del producto del semiperímetro y su diferencia con la longitud de cada lado. Consideremos los gráficos adjuntos; en cada caso, el triángulo en mención es ABC. El semiperímetro p: p= a+b+c 2
C H
c
2. TEOREMA DE HERÓN
b
c
En todo triángulo, la suma de cuadrados de las longitudes de dos lados, es igual a dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana hacia el menor lado, más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho lado. Sea BM una mediana del triángulo ABC. Entonces: 2 B a2 + c2 = 2m2 + b 2
AH: proyección de AB, sobre AC.
Am H
a
h
C
En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Luego: a2 = b2 + c2 + 2bm B 90° < a < 180° a c a m C H A b
a
h
3. TEOREMA DE LA MEDIANA
2do Caso:
B
h = 2 p ( p - a ) ( p - b ) (p - c ) b
a
c
La fórmula para el Teorema de Herón, con relación a la altura BH. Fig 1 Fig 2
En todo triángulo, la longitud de una ceviana interior, puede evaluarse con la siguiente expresión: iABC → BE, ceviana interior a2m + c2n = x2b + mnb
B c A
62
a
x m
b
E
n
C
5.°
año
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Trabajando en clase 5. Calcular «x».
Integral
A
1. Calcula «x». B 2u A x H
H
C
x
B
7u
(6 5 ) 2 2 180 2 49 + 169 = 2a + 2 128 = 2a2 ⇒ a = 8u 72 + 132 = 2a2 +
C 8u
6. Calcular «BP» B
2. Calcular la longitud de la menor altura del triángulo ABC. B
5m
2m A
Finalmente, aplicando el teorema de Euclides en el triángulo AMC (3 5 )2 = 132 + a2 – 2(13)x 45 = 169 + 64 – 26x \ x = 94 u 13
C 16u
7. Calcular la longitud de la altura del trapecio, si BC//AD. B 12m C
12c m M
5cm
u
A 4u P
3. Calcula «AM». B
12
6u
C
6m
A
12u
8u
7u
Piden «x» Sea AM = a Calculando «a», por tanto aplicamos el teorema de la mediana en el triángulo ABC
13m
10cm
15m
A
C
9. Calcular la longitud de la proyección de la mediana AM sobre el lado AC B
D
26m
8m
UNMSM 8. Calcular la longitud de la proyección de la mediana AM sobre el lado AC.
PUCP 4. Calcular «x» B 6m
H
x
10m A
B 5m
C
7u
6m
H
x
A
10m A
5m
M
Aplicando el teorema de Euclídes para un triángulo obtuso 102 = 62 + 52 + 2(5)x 100 = 36 + 25 + 10x 39 = 10x \ x = 3,9 m
5.°
año
B 7u
3 5u
A
x
13u
63
O A
M
7u N
B
3 5u M
a
10. Calcular «AB».
C
13u
C
12m
9u
Resolución
C
A
3 5u
Resolución B
M
4m
H
3 5u C
11. Calcular «OM», si el lado del cuadrado mide 8u, ademas O es el centro de la circunferencia. GEOMETRÍA
5
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS B
C
E O
A
relación de los cuadrados de los catetos es igual a 3 . Cal5 cular «x», si BM es la mediana
B b
a
M
A
D
26-x H x M 26cm
12. La hipotenusa de un rectángulo mide 52 cm y la relación de los cuadrados de los catetos es igual a 5 . Calcula «x», Si BM 8 es la mediana relativa a la hipotenusa. B
* Por RM en el triángulo ABC &a2 = (26 - x)52 &b2 = (26 + x)52
H x M Resolución Dato:
5
C
b A
13x = 78
C
H x M
14. Calcular «x», si O1,O2 y O3 son centros.
Reemplazando en la ecuación (1) (26 - x) 52 5 = (26 + x) 52 8 5x + 130 = 208 - 8x
A
B
26cm
Sean: AB = a y BC = b
UNI
relativa a la hipotenusa.
C
5u 3u A
O1
x O3
O2 C
B
\ x = 6 cm
a2 = 5 ... (1) b2 8
13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40 cm y la
GEOMETRÍA
64
5.°
año
6
Relaciones métricas en la circunferencia
• TEOREMA DE LAS CUERDAS
Si en una circunferencia se trazan dos cuerdas secantes, entonces se cumple que el producto de multiplicar las longitudes de los segmentos determinan sobre cada cuerda son iguales. Si : B
A
a
• TEOREMA DE PTOLOMEO
D
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible se cumple que el producto de multiplicar las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de multiplicar las longitudes de sus lados opuestos. Si: C b B
• TEOREMA DE LAS SECANTES
Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos o mas secantes entonces el productos de multiplicar las longitudes de la secante y su parte externa es una constante. Si: a
b
N T
M: punto de tangencia
N
ab = cd
M
c
a
P
A
D
d
c
x × y = ac + bd
d
• TEOREMA DE ARQUÍMEDES
Si:
B
ab = cd
Si por un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, se cumple que el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto de multiplicar las longitudes de la secantes con su parte externa Si:
b
a
A
• TEOREMA DE LA TANGENTE
año
y
x
Q
5.°
b
x2 = ab b
d
P
Q
C
c
a
x
M
C
O d
c
D
R
a2 + b2 + c2 + d2 = 8R2
65
GEOMETRÍA
6
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
• TEOREMA DE CHADU Si:
B
b
P
Si: b x
a
a
x
x2 = a2 + b2 Si:
C
D
x
x=a+b A
• TEOREMA DE FAURE Si:
x=
B
O
B
b
2 ab a + b2 2
Si:
b
A a
O
a
a
C
c
d
c
R
b
D a2 + b2 + c2 + d2 = 4R2
a2 + b2 = c2 + d2
d
Trabajando en clase 3. Calcula «x», si T es punto de tangencia.
Integral 1. Calcula «x». B
T
12u 9u
x C C
M 3u
2. Calcula «x», Si AC = 7u y EC = 6u B
D E
6
GEOMETRÍA
B
9u
3u
A
D
A
A
x
3u x
C
(x+2)2 = (5+x)x x2 + 1x + 4 = 5x + x2 x = 4u
PUCP 4. Calcula «x». (T y P: punto de tangencia) T Q P
x 2u
Resolución Del gráfico. TQ = PQ = 2u+x T. tangente x+2u x 5u+x
5. Calcula «x», (T y P: puntos de tangencia) T Q P
x 3u
4u
3u
66
5.°
año
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 6. Si ABC es un triángulo equilátero y AD + BD = 10u, calcula DC. B
D
(AC)2–(AB)2 = (CD)2–(DE)2
Resolución
(AC) +(DE) = (AB) +(CD)
Se traza el diámetro DE, luego se une B y E, luego se deduce que BE = y–x
2
2
2
2
9. Calcula (AB)2 +(CD)2,si AC = 6u, DE = 4u, si B y E son puntos de tangencia A
A x
B
C
A
B
C
a A
a
10. Si AP = 8u y BQ = 6u Calcula PQ (A y B son puntos de tangente)
C
P
8. Demostrar: (AB)2 + (CD)2 = (DE)2 + (AC)2,si B y E son puntos de tangencia. A
C F
D
Resolución 1) Teorema de la tangente: (AB)2 = (AG)(AC) 2) Teorema de la tangente: (DE)2 = (DF)(CD) 3) Teorema de la secante: (CG)(AC) = (CF)(CD) pero: (AC–AG)(AC)=(CD–DF)(CD) (AC) –(AG)(AC)=(CD) –(DF)(CD) 2
5.°
año
A a
T
B
2
a a C
O
E
(y–x)2+(m+n)2 = (2R)2 y2–2xy+x2+m2+2mn+n2 = 4R2
entonces:
11. Calcula «AT», si T es punto de tangencia
A
EBD :Pitágoras
x2+y2+m2+n2 = 4R2
B
G
R
R
xy = mn
B
UNMSM
O
pero por el teorema de cuerdas: Q
D
C
R
D
D
A
E
y
E n
E 7. Demostrar que (AB)(BC) = (BE)(BD). (Teorema de las isogonales). B
y–x
m
(AE)2+(EC)2+(BE)2+(DE)2= 4R2 13. Calcular «R»
A
B 1u 1u
O
C
5u
5u
R
UNI
D
12. Demostrar: (AE)2 + (EC)2 + (BE)2 + (DE)2 = 4R2. (teorema de faure)
14. Calcula (AC)(DB). A
B E
A
O
C R
1u 3u
D
D
67
B 3/2u
2u
C
GEOMETRÍA
6
7 Polígonos regulares 1. POLÍGONOS REGULARES
B
Son aquellos polígonos convexos que tienen sus lados y ángulos respectivamente congruentes. Todo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a dos circunferencias concéntricas Ln C a B A H
Ln 2
n
R an
A
B
O
P
Z
a4 O
90°
D
3) Hexágono Regular: R O 60°
L6
R
a6
P
L6 = R; a6 = R 3 2 4) Octógono Regular: L8
Ln = R 2 (1 - Cosan)
R
45° 45° O R R L8 = R 2 - 2 ; a8 = 2+ 2 2
Cálculo del Apotema En el iOHZ: an = 1 4R2 - L2n 2
5) Dodecágono Regular:
2. POLÍGONOS REGULARES NOTABLES
L12
R
a12
1) Triángulo Equilátero: L3 = R 3 ; a3 = R 2 GEOMETRÍA
C
L4 = R 2 ; a4 = R 2 2
Cálculo de la longitud del Lado En el iCOB con la ley de cosenos
7
L4 R
A
an = 360c n
C
P 120°
2) Cuadrado:
R
O: Centro de la circunferencia R: Circunradio Ln : Longitud del lado, para el polígono regular de “n” lados. an: longitud del apotema.(ó apn). iCOB: Elemento fundamental del polígono. an: Medida de ángulo central o del arco que subtiende cada lado del polígono.
L3
O a3
30° O
R
L12 = R 2 - 3 ; a12 = R 2 + 3 2
68
5.°
año
POLÍGONOS REGULARES 6) Decágono Regular:
7) Pentágono Regular R
a10
R O a5 72° R
L10
36° O
R
L10 = R ( 5 - 1) ; 2 R a10 = = 10 + 20 4
L5
L5 = R 10 - 20 2 a5 = R ( 5 + 1) 4
P
Propiedad: Los lados del pentágono, hexágono y decágono, regulares forman un triángulo rectángulo así:
L5
L6
L10
an
(ángulo central)
Ln (lado del polígono regular)
a (apotema del polígono regular)
Triángulo
120°
R 3
R 2
Cuadrado
90°
R 2
Hexágono
60°
R
Octógono
45°
R 2- 2
Dodecágono
30°
R 2- 3
Decágono
36°
R _ 5 - 1i 2
Pentágono
72°
R 10 - 20 2
Polígono Regular
R 2 2 R 3 2 R 2+ 2 2 R 2+ 3 2 R 10 + 20 4 R _ 5 + 1i 4
Trabajando en clase Integral 1. Calcular el lado de un hexágono regular, si el radio de la circunferencia circunscrita a dicho polígono regular mide 8 m. 2. Calcular «x» si Ln es el lado de un polígono regular de n lados. B C L3 A
5.°
año
L6
x
D
E
3. Calcular la longitud del lado de un octógono regular si el radio de la circunferencia circunscrita mide 2 m. PUCP 4. Calcular el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de un hexágono regular,cuyo circunradio mide 4 m
69
Resolución B 4u x P A
C
4u 4u x O x
F
R
Q
D
E
Piden el perímetro del = 3x
i
PQR
Sabemos que: AO = OD = BC = 4u En el trapecio ABCD, «x» es la base media, por tanto: GEOMETRÍA
7
POLÍGONOS REGULARES x = 4u + 8u 2 x = 6u Finalmente: El perímetro del triángulo iPQR = 3(6u) = 18u
como AQ y CH son alturas, entonces AHQC es un cuadrilátero inscriptible con diámetro AC.
6. Calcular la longitud del inradio de un triángulo equilátero cuyo circunradio mide 6 3 u.
Sabemos Ln = R 2 (1 - Cosan)
E
A
F H
UNMSM 8. En un triángulo acutángulo ABC, m∠ABC = 75° y AC = 12 cm. Se trazan las alturas AQ y CH. Calcula: «HQ». Resolución Graficando convenientemente B 75°
A
7
15° 6u
30° x
O
GEOMETRÍA
6u
mHQ = 2(15) = 30°
Q
C
Entonces: AH = HD Luego: AD = 2AH
x = 6 2 - 3 cm
70
C
2u
Trazamos: BH = AC
x = L12 = 6 2 (1 - 3 ) 2
12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) mide 2u, se traza la bisectriz interior de BD. Si: BD = AB. Calcular «AB».
D
(L8 = x 2 (1 - Cos45c) )
x = L12 = 6 2 (1 - Cos30c)
UNI
H
x
&AD = L8, pues m∠ABD = 45°
Reemplazando:
11. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular, sabiendo que una diagonal mide 10m.
45°
Como AB = BD&B es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos A y D.
Piden: HQ = x ! como mHQ = 30° ⇒ HQ = L12
10. En una circunferencia de radio 6u. Calcular la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 144°.
x
A
&AH = AD = X 2 - 2 2 2 En el triángulo ABC, por relaciones métricas
9. En un triángulo acutángulo ABC, m∠ABC = 75° y AC = 8cm. Se trazan las alturas AQ y CH. Calcular «HQ».
G
H
x
m∠BAQ = 15° ⇒ mHQ = 2m∠BAQ
B
B
* En el triángulo ABQ
5. Calcular el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de un hexágono regular,cuyo circunradio mide 6u.
7. Calcular «AD», si ABCDEFGH es un octógono regular, cuyo circunradio mide 4 m. C D
Resolución
AB2 = (AH)(AC) x2 = x 2 - 2 .2 2 x= 2- 2 u 13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) mide 8u. Se traza la bisectriz interior BD, Si BD = AB. Calcular «AB». 14. En una circunferencia de ra-
dio 2 + 3 m , se inscribe un triángulo isósceles ABC, tal que m∠ABC =120°. Se dibuja interiormente un cuadrado BCPQ. Calcular «AQ».
5.°
año
8 Repaso 1. Indica la relación correcta si B es punto de tangencia. B A a
D
E
b
C
a) a + b = 90° b) 2a = b c) a = 3b d) a = b e) a = 2b 2. Indica la relación correcta. Teorema de Menelao.
PUCP 4. Calcula el radio de la circunferencia inscrita en el triangulo mixtilíneo AED, si se tiene un cuadro de lado 12u luego tomando como centros A y D se trazan los arcos BD y AC respectivamente las cuales interceptan en E. a) 4u b) 4,2u c) 4,5u d) 4,8u e) 4,9u 5. Calcula «x», si ABC es un cuadrado. B C O
C B
D
A
3. Calcula «BC», si se tiene un triángulo ABC en el cual se traza la bisectriz interior BD y en BC se ubica el punto E tal que AB // DE, ademas, DE = 3u y BC = 3AB. a) 8u b) 9u c) 10u d) 11u e) 12u
5.°
año
R
M
D
6. Calcula el perímetro de un hexágono regular , si la longitud de su circunradio es 4u. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 7. Calcula la medida de la mediana relativa a BC, si AB = 2u. B 105° A
30° a) 2 u b) 4 + 2 c) 4 - 2 d) 4 + 3 e) 4 - 3
3 3 2 2
u u u u
71
A
B H x
F D y E G
a) x +y = 180° + a 2 b) x +y = 90° + a 2 c) x +y = 360° – a 2 d) x +y = 180° – a 2
a) R 2 b) R 2 c) R 2 2 3 R 2 R 2 d) e) 4 5
A
E F a) (AB)(CD)(FE) = (BC)(DF) (AE) b) (BC)(CD)(FE) = (AB)(DF) (AE) c) (AB)(DF)(FE) = (BC)(CD) (AE) d) (AB)(CD)(AE) = (BC)(DF) (FE) e) (DF)(CD)(FE) = (BC)(AB) (AE)
x
8. Indica la relación correcta, si A, H, G, F, E son puntos de tangencia. C a
e) x +y = 90° – a 2 9. Calcula «x» si L1 // L2 // L3 a b L4
3b
2
6a
x
L5
L1 L2 L3
L6
a) 2 u b) 2 2 u c) 3 2 u d) 4 2 u e) 5 2 u 10. Calcula «a». B aaa
C
A 2u E 1u D a) 30° d) 53°
b) 37° e) 60°
C
3u c) 45°
GEOMETRÍA
8
REPASO 11. Calcula «x», si ABCD es un cuadrado. C B x E O r A D a) r 2 b) 2r 2 c) 3r 2 d) 4r 2 e) 5r 2
12. Indicar si las proporciones son verdaderas o falsas, si los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio R. • El apotema de un cuadrado es R 2 . • El apotema de un hexágono es R( 5 + 1) /2 .
• El apotema de un octógono es R 2 + 2 2 • El apotema de un triángulo es R 2 /2 a) VVFF b) FFVF c) FFFF d) VVFV e) VFVF
Bibliografía 1. 2. 3. 4.
8
Guzman, Francisco: Tópicos de matemática. Lima, Perú, 3era Edición. Geometría. Editorial: Lumbreras, Lima, Perú, 2da Edición. ALVA, Luis: matemática y Geometría. Lima, Perú, 2da Edición. Tito, Rubén: Geometría y trazos auxiliares. Lima, Perú, 1era Edición
GEOMETRÍA
72
5.°
año
Geometría
1 Área de regiones triangulares a) Fórmula básica
e) Fórmula de Herón
B h
A
ADABC =
H
b⋅h 2
B
b
A
BH: altura relativa AC.
b) En un triángulo obtusángulo B h H
C
b
A
ADABC =
p: semiperímetro de la región triangular ABC.
Observación:
En un triángulo equilátero B l
c b
A
AB y AC: catetos
C
c b
C
ADABC =
l
f) En función del inradio
B
q
h
2 3 2 3 =h ADABC = l 4 3 A l C l: AB = BC = AD: lado del triángulo equilátero h: altura
b⋅c ADABC = 2
d) Fórmula trigonométrica
b⋅c 2 Senq
B
ADABC = p × r
O r
p → semiperímetro r → inradio
A año
p(p – a)(p – b)(p – c)
B
5.°
C
En el DABC: p = a + b + c 2
ADABC =
c) En un triángulo rectángulo
b
b⋅h 2
BH: altura relativa AC.
A
a
c
C
53
C GEOMETRÍA
1
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
Demostración:
(ac) ADABC = b ⋅ 2 2R abc ∴ ADABC = 4R
B
c
r Or r
a
Con los exradios
C A b SDABC = S∆BOC + S∆AOC + S∆AOB
A = (p – a)ra A = (p – b)rb A = (p – c)rc
a⋅r b⋅r c⋅r S∆ABC = + + 2 2 2 a+b+c S∆ABC = r 2
A = r ⋅ ra ⋅ rb ⋅ rc
B
rc
ra
A
c ba
A
C
rb
1=1+ 1 +1
r
S∆ABC = p ⋅ r
ra rb
rc
r: inradio del triángulo ABC
g) En función del circunradio B
R a
c
O b
A
ZZ Si DABC ∼ DPMQ
C
B P
a c
Luego:
b⋅h ADABC = 2
B
M
R: circunradio
Demostración:
PBC ∼ AHB a = 2R ⇒ ac = h 2R h c
abc 4R
ADABC =
A
R
a
h
O
H b
A
a
S1
q
C
P
a
S2
q
Q
a R
C
⇒
S1 BC2 AB2 AC2 = = = S2 MQ2 PM2 PQ2
Trabajando en clase Integral
2. Calcula el área de la región triangular cuyos lados miden 8 u, 5 u y 11 u.
1. Calcula el área de la región triangular ABC. B
3. Dos lados de un triángulo miden 1,5 m y 2 m, si el área de su región es máxima. Calcula su perímetro.
10u A
1
GEOMETRÍA
53º
D 20 u
PUCP
C
4. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero.
54
5.°
año
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES C
B
D
E B
6cm
10u
4u A
D
Resolución: B
3cm
6c
3u
6cm
O
6cm
D
30º
m
A
60º
E
6c
m
H
6cm
C
7. Calcula el área de la región triangular ABC, si T y B son puntos de tangencia y CD = 2 u. B
C 60º E
A
60º
A
D
T
C
UNMSM
ABCD es cuadrado, entonces: AB = BC = CD = AD = 6 cm AED es un triángulo equilátero, entonces: AE = ED = AD = 6 cm m∠ADE = m∠EAD = m∠AED = 60º ⇒ m∠EDC = 30º Trazamos la altura CH, luego: Triángulo DHC (30º y 60º) ⇒ CH = 3 cm Finalmente: S(área) 3 6×3 = 9 cm2 S= 2
8. Calcula el área de la región triangular BFH, si ABCD es un cuadrado y BE = 4 m. B C E
H
F
A Resolución: 4m E
5. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. B C
D
B
C
a F b
H
b
E A
F 4 2u
A
D
6. Calcula el área de la región sombreada, si ABC y CDE son triángulos equiláteros. 5.°
año
D
Sea: BF = a y AB = b Relaciones métricas 42 = ab … (1) También: AB = AD = FH = b ⇒ SBFH = b × a ... (2) 2
Reemplazando (1) en (2)
42 = = 8 m2 S BFH 2
55
GEOMETRÍA
1
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES 9. Calcula el área de la región triangular AFH, si ABCD es un cuadrado y EA = 6 m. B C F
E
YY S ea: AM = a ⇒ AN = a y a: medida del ∠BAC. YY Relacionamos:
H
A
D
10. Calcula el área de la región sombreada, si: OA = 4 u. (O y T: puntos de tangencia). T
E
A
SAMN a × a Sena a2 = = … (1) SABC 6 × 9 Sena 54
YY Se tiene que: BC = 7 u = 6 u –a + 9u – a
a=4u
YY Además:
SABC = p(p – a)(p – b)(p – c)
SABC = 11 × 5 × 4 × 2
SABC = 2 110 u2
C
Semiperímetro: 6+7+9 P= 2
B
O
p = 11 u
11. En un triángulo ABC, se traza la altura BH, tal que m∠ABH = 2m∠HBC; 2(AH) = 5(HC) y AB = 6 u. calcula el área de la región triangular BHC.
UNI 12. En un triángulo ABC, AB = 6 u, BC = 7 u y AC = 9 u, la circunferencia inscrita es tangente en M y N con AB y AC, respectivamente. Calcula el área de la región triangular AMN. Resolución: Graficando
6–
a
B 6u
7u
14. El área de la región limitada por un triángulo rectángulo ABC recto en B, es 32 u2. Exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BCF. Si el área de la región triangular EBF es k veces el área de la región triangular ABC, calcula el valor de k. UNI 2008-II
9–
a
a a
N
9–a
C
9u
1
GEOMETRÍA
16 110 u2 27
13. En un triángulo ABC; AB = 8 u, BC = 5 u y AC = 11 u, la circunferencia inscrita es tangente en M y N con AC y BC, respectivamente. Calcula el área de la región triangular CMN.
a
a A
SAMN =
6–
M
Reemplazando en (1): SAMN 16 = 54 2 110
56
5.°
año
2 Área de regiones cuadrangulares Paralelogramo
Rombo
El área de la región limitada por un paralelogramo es igual al producto de la longitud de un lado y su altura relativa. B
N
C
h A
El área de la región limitada por un rombo es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
M
O D P d
=b×h
A D
b
A = D×d 2
Trapecio
Rectángulo
El área de la región limitada por un trapecio es igual a la semisuma de las longitudes de sus bases por la longitud de su altura. (BC // AD)
El área de la región limitada por un rectángulo es igual al producto de sus dimensiones. B
C b
B b A
h A
D
a
C
a A =
A =a×b
D
(a+b) h 2
Cuadrado
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. B
C d
A
5.°
año
L
Recuerda
2 A =L = d 2 2
En todo cuadrilátero cuyas diagonales son perpendiculares entre sí, el área de la región se calcula como el semiproducto de las longitudes de dichas diagonales.
D
57
GEOMETRÍA
2
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
Trabajando en clase Integral
B
s
F A Resolución:
G
E
s1 C
B
D
F E D A YY Trazamos FG y EG YY Aplicamos la propiedad de áreas trapeciales: ⇒ Área FGE = S – S1 – S2 ∴ El área romboidal ABCD es igual al doble del área AGD. ⇒ Área = 6(S – S1 – S2)
5. Calcula el área de la región romboidal ABCD si S = 30 u2; S1 = 5 u2 y S2 = 6 u2. B G C
C O
s2
1
2. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrilátero inscriptible, AC = k y 2(AE) = 3(BD).
A
s2
S–
H
C
S–
D
s1
D G
B
E
C
s2
2
F
s1
S
1. Calcula el área de la región trapecial ABCD, si BG = a y GC = b, además, E, F, G y H son puntos de tangencia. A
G
B
E
3. Calcula el área de la región sombreada, si AOC es un cuadrante, además, AB = 17 u y AO = 15 u.
S1 A
A
S
S1
E
F
D
6. Calcula el área de la región rectangular ACDE, si BC = k. E
B
B a
O
D
A
C
a
C q
PUCP 4. Calcula el área de la región romboidal ABCD en función de S, S1 y S2.
2
GEOMETRÍA
E
58
F
q
D
5.°
año
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 7. Calcula «FG», si ABEF es un cuadrado cuya área de su región es 25 m2 y BC = 3 m. (E y G: Puntos de tangencia) A B
10. Calcula el área de la región sombreada. A B O C F
C 4k F
D
E
E
G
11. Calcula el área de la región trapecial ABCD en función de A y B, si AD // BC. B C A
UNMSM 8. Calcula el área de la región rectangular PQRS si se inscribe en un cuadrado ABCD de centro O y cuyos lados son paralelos a las diagonales de dicho cuadrado, OP = 4u y la distancia de O a AD = 3 u. (P ∈ AD) Resolución: A Q B
H P a D a
3u
O
4u a 2 S
b
4u
R
b 2
b
B A
D
UNI 12. Calcula «X» en función de A y B si ABCD es un romboide. C B A
C
X
YY Si DS = a y SC = b
⇒ PD = DS = a SC = RC = b Tenemos: PS = a 2 ; SR = b 2 YY Área de la región PQRS: a 2 ⋅ b 2 = 2ab YY Si DC = 6 u ⇒a+b=6u YY Por Pitágoras en el PSR (a 2 )2 + (b 2 )2 = 82 2a2 + 2b2 = 64 → a2 + b2 = 32 (a + b)2 = 62 → a2 + b2 + 2ab = 36 Reemplazando: 32 + 2ab = 36 2ab = 4 u2
B Resolución:
año
D
E
A
C
B
A A–B A
9. Calcula el área de la región rectangular PQRS si se inscribe en un cuadrado ABCD de centro O y cuyos lados son paralelos a las diagonales de dicho cuadrado, OP = 5 u y la distancia de O a AD = 4 u. (P ∈ AD) 5.°
D
4k
59
S
S B
E
D
YY T razamos BE YY P or propiedad S2 = AB → S = AB YY Por propiedad ADABD = ADBCD
⇒ Área ABE = A – B
x = A – B + AB
YY x = A – B + S
GEOMETRÍA
2
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES 14. Calcula el área de una región octogonal regular de lado «a».
13. calcula «x» si ABCD es un romboide, A = 25 u2 y B = 4 u2. B
C
Recuerda
A
Para todo cuadrilátero:
X
a
E
D A
2
GEOMETRÍA
SABCD=(AC)(BD)Sena 2 S: área
B A
C
B
60
D
5.°
año
3 Área de regiones circulares Círculo
Corona circular
Se denomina círculo a la región interior del plano limitada por una circunferencia.
Es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas. (O: centro y M: Punto de tangencia) B
R
M A
r O R
A = pR2 ACorona = p(R2 – r2) = circular
Sector circular
Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido. (O: centro).
Trapecio circular
Es la porción del plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. (O: centro).
A
R
R
O a R
p(AB)2 4
B
D
O a r C
ASector = pR 360º circular
A
B
2
2 2 ATrapecio = pa(R – r ) circular 360º
Segmento circular
Es la porción del círculo comprendida entre la cuerda y el arco que subtiende. A
Advertencia pre
B R
O
A R
R O
r
r=
R 3
B
circular
año
O1 R
ASegmento = ASector – ADAOB
5.°
60º
Sea AOB un sector circular, se cumple:
61
GEOMETRÍA
3
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
Trabajando en clase Integral
1. Calcula el área de la región circular si P, T y Q son puntos de tangencia. B
Resolución: Sea «r» radio, piden S = pr2 … (1) A T R
25m
P
T P
O
C 7m 2. Calcula el área de la región circular, si O1 y O2 son centros; además, P, T y Q son puntos de tangencia. A 21u Q
A
P
O1 60º
T
O2
21 Q u
B
r
r
Reemplazando en (1) S = p22 = 4p u2
P
O1
O O2
D
O
3
GEOMETRÍA
Q
B
6. Calcula el área de la región sombreada si ABC es un triángulo equilátero y A, B, C son centros.
PUCP 4. Calcula el área de la región circular si R = 2( 2 + 1)u. P, T y H son puntos de tangencia; además O y O1 son centros. A R T P
O1 r
2
H B R Trazamos O1H = O1P = r Luego: OO1 = r 2 y O1T = r Finalmente: R = r 2 + r = r( 2 + 1) Dato: R = 2( 2 + 1)u ⇒ 2( 2 + 1) = r( 2 + 1) ∴ r = 2u
14 cm
A
r
5. Calcula el área de la región circular, si R = 6 2 u + 6 u, O1 y O son centros. (P, T y Q: puntos de tangencia). A R T
3. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado, además O1 y O2 son centros. C B
O1
r
B
R
12u M
N R
R
O1 H
A
B
62
P
C
5.°
año
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES B
7. Calcula el área de la región sombreada, si mAB = 60º y «O» es centro.
T
S1
C Sx
B
Q
P 6u
A
O
A
C
8. Calcula el área «Sx», si: S1 + S2 + S3 = 200 cm2, ABCD es un cuadrado; P, T, Q y S son puntos de tangencia (S1; S2 y S3: áreas) T
S1
30º
O
C
A
S2
S3
S
11. Calcula el área de la región sombreada, si AM = MC y R = 10 u.
D
M A
T
S1
P
A
S2
R S3
D
De la figura: B + Sx = pR2 … (1)
2 B + S1 + S2 + S3 = p(2R) = pR2 … (2) 4
Igualando: B + Sx = B + S1 + S2 + S3 → Sx = S1 + S2 + S3 ∴ Sx = 200 cm2
O
B
Resolución: A
6cm
M 2 3cm
9. Calcula el área «S1», si: S2 = 10 m ; Sx = 20 m , ABCD es un cuadrado; además; P, T, Q, S son puntos de tangencia. 2
año
N
M
5.°
B
Q
O
S
O
12. Calcula el área de la región sombreada, si AM = OM = 2 3 cm. A
Sx
B
18º
UNI
C
2R
C
R
Resolución: Sea «R» el radio B
B
2 3 cm
Q
O
P
R= 6 m
Sx
P
D
S
10. Calcula el área de la región sombreada, si AOB es un sector circular. Q A
UNMSM
B
S2
2
O
63
60º
4
P 30º 3cm
N
cm 4 3
B GEOMETRÍA
3
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
Trazamos ON, entonces:
S=
S
A
SA
–
O N
M P
–
SM
14. Calcula el área de la región sombreada, si P y Q son puntos de tangencia y O es centro. N
B
O
3
π(9 3)2 ⋅ 60 π(2 3)2 2 3 ×6 S= – – 4 2 360º
S = 8π – 3π – 6 3 = (5π – 6 3) cm2
R 3u A
B
A
3
GEOMETRÍA
Sea BAC un cuadrante:
A N
⇒
O
A=B
Donde: A y B son áreas
B A
O
C
O
Recuerda
13. Calcula el área de la región sombreada, si: AM = OM = 6 3. u
M
P
C
B
64
5.°
año
4
Área de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia
Área de una región triangular en función del inradio
Área de una región triangular en función del circunradio B
El área de una región triangular es igual al semiperímetro por el inradio. A∆ = p ⋅ r Se cumple: C a
p=a + b + c 2
A
r c
C
b
A
También:
b
B
R c
a
A∆ = a ⋅ b ⋅ c 4R
ABC
=m⋅n B
A
Observación
cuando se quiere calcular el área de una región, la fórmula que vas a usar depende de los datos que te brinden en el problema.
A m
C
n
Trabajando en clase Integral
B
1. Calcula el área de la región sombreada en función de «r», si el DABC es equilátero y D, E, F son puntos de tangencia.
F
A
r D
año
H
O
D
E
3. Calcula el área de la región sombreada en función de «r», si ABCDEF es un polígono regular.
F
C
C
2. Calcula el área de la región sombreada en función de «R», si ABCD es un cuadrado y E, F, G, H son puntos de tangencia, además, R es la medida del radio. 5.°
C
R
A
B E
G
E
O
B
r A
65
D
F
GEOMETRÍA
4
ÁREA DE POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA PUCP 4. Calcula el área de la región sombreada en función de «r», si ABCDEFGH es un polígono regular. D E L C F B
r A
Resolución:
º
a
º
a
45º
º
45
45º
a a 2 Área Área Área = – círculo octógono
Área 4a2 (1 + 2 ) – pr2 pero: a(2 + 2 ) = 2r ⇒ a = 2r 2+ 2
reemplazando y ordenando 4(1 + 2 ) Área = – p r2 3+2 2
B
r a
a
4u
5. Calcula el área de la región sombreada, si ABCDEFGH es un polígono regular. D E
2u A
Sea el triángulo ABC ⇒ P = 4 + 6 + 8 = 18u = 9 u 2 2 Calculamos el área ABC por S= 9(9 – 4)(9 – 6)(9 – 8) = 9 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = 3 15 u2 Sabemos que: S =pr 3 15 = 9r ⇒ r = 15 /3 u
10. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un trapecio AD // BC, además: CH = a, HD = b. (AB = CD)
G H
B
6. Calcula el área de la región sombreada, si AB = 3u y BC = 4 u. B
A
4
GEOMETRÍA
C
8u
9. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo cuyos lados miden 13 u, 14 u y 15 u.
F
B
6u
O r
A
C
C
b
8. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un triángulo cuyos lados miden 4 u, 6 u y 8 u. Resolución:
a 2
45º
a
UNMSM 45º 45
º
O
R A
a 2
a
c
H
45
a
B
G
a 2
a
45
abc 4R
7. Demostrar Área =
C H
C
A
66
D
5.°
año
ÁREA DE POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA 11. Calcula el área de la región sombreada.
C
B
O R
D
A
Sabemos A = A – ADACB
2 Del gráfico AB = R 3 → A∆ABC = 3 3R 2 4 ∴ A = πR2 – 3 3R 4
A = R2 (π – 3 3 ) 4
13. Calcula el área de la región sombreada si ABC es un triángulo equilátero. B
UNI 12. Calcula el área de la región sombreada en función de «R», si ABC es un triángulo equilátero. B
8u O
R
A
A
C
C
14. Calcula el área de la región sombreada en fun ción de «R», si ABCDEFGH es un polígono regular. D C E
Resolución: B R
B
30
R R 2 30 H
A R 3 2
5.°
año
O
C
F R
R 3 2
A
G H
67
GEOMETRÍA
4
5 Relación de áreas 1. Regiones triangulares B
B
A
A
A
M
2A A C A n D 2n
C
B Q
A
A A A GA
A
R C
A
G: Baricentro
C
A
C
R A
A P
A
C
G: Baricentro
b) Regiones romboidales B
x
Q
a A1
a
n
a
C
A2
b A
Q
Q A
A
P
A
B
A G A A
∆ABC ∼ ∆PQR
b
A A A
B
P
A
B
b
m
P
x x
x
M
x
N
D A
A
Observación
R
C B
C P
D
x=M+N
P: Punto arbitrario
Para una región delimitada por cuadrilátero convexo. B C z x y
b2 A1 a2 = 2 = 2 A2 m n
w
A
x⋅y=z⋅w D
2. Regiones cuadrangulares a) Regiones trapeciales BC // AD B x
M
N
C x
A
x D
x2 = M × N
B
A
También: Si AB // PS; BC // TQ y AC // UR . M
⇒ SABC = A + B + C
C
N
B
Donde: T S, A, B y C: áreas D
U
x=M+N
GEOMETRÍA
A
D
B
R
C A
5
S
68
P
C
Q
5.°
año
RELACIÓN DE ÁREAS
Trabajando en clase Integral
Resolución:
B
1. Calcula el área de la región sombreada. B 60º
3S
6m
M
M
2S A
2m
N
4m
2k
C
Q
2k
P
A
D
k 6S C
Trazamos GA; luego: Propiedad: GN = k y AG = 2k Si: SGMN = S ⇒ SAMG = 2S SMBN = 3S SANC = 6S Finalmente: SABC = 12S = 36 m2 ∴ S = 3m2
5. Calcula el área de la región sombreada, si «G» es baricentro y SABC = 48 cm2. (S: área). B
3. Calcula el área de la región sombreada, SABC = 80 m2. (S: área). B
M
N
A
2. Calcula el área de la región sombreada si BC // AD y SBPC = 2m2 y SAPD = 8 m2. (S: área) B C 3k
S G
N
M
N G
A
C PUCP
6. Calcula el área de la región sombreada si SABC=60 m2; 2AB = EA; 3BC = CF. (S: área). B
4. Calcula el área de la región sombreada si, «G» es baricentro y SABC = 36 m2. (S: área) B
A M
5.°
año
C
N G
A
C
A
E C
F
69
GEOMETRÍA
5
RELACIÓN DE ÁREAS 7. Calcula el área de la región sombreada si, SABC = 21 m2 (S: área) B
B
C O
N Q A
A
N
M 10. Calcula el área de la región sombreada si, SABCD = 96 cm2; AM = MB; BN = NC; AE = ED; además ABCD es un romboide (S: área). B N C
C
P
8. Calcula la relación entre el área de región sombreada y la no sombreada. B C O
N
A
E
s 12
n
2b A
O
P
C
∼ P
D
UNMSM
D
12. En un triángulo ABC, AB = 8 cm y BC = 10 cm. La mediana AM y la bisectriz interior BD se interceptan en el punto «P». calcula el área de la región triangular BPM, además el SABC = 26 cm2 (S. área). Resolución: B
(relación de 1 a 2)
⇒ OP = n y PD = 2n Sea SOMP = 2S ⇒ SMPD = 4S Tambie´n: SAOM = SOMD = 6S ⇒ SAQM = SQOM = 3S Sombreado = 5S Stotal = 48 S Piden: Sombreado = 3S = 3 No sombreado 43S 43
GEOMETRÍA
5c
a a 8cm
m
5S 8S P 8k
9. Calcula la relación entre el área de la región sombreada y la no sombreada.
5
D
q
Trazamos OM, luego: M
D
a
q Q 3s 2n 2s b a P 3s 4s M a a
A
O
12s
b
E
C
12s
N
Q
11. Calcula el SABCD, si: SBEF = 4 m2 y SAED = 9 m2 (S: área y ABCD: romboide). B F C
D
Resolución: B
F
M
A
M
b
D
M
A
70
10
cm
M 5k
5c
m
13S D
C
5.°
año
RELACIÓN DE ÁREAS
14. Calcula el área de la región triangular ABC, si SDEP = 4m2; SPMF = 9m2; SNPQ = 16 m2. También AB // MN; AC // EF y BC // DQ (S: área).
BP: bisectriz, entonces: PM = 5k y AP = 8k Por tanto: SPBM = 5S y SAPB = 8S Finalmente: SABM = SAMC = 13S ⇒ 26 S = 26 cm2 S = 1 cm2 Piden: 5 S ⇒ SBPM = 5 cm2
B
13. Calcula el área de la región sombreada, si SABC = 121 m2; 3BM = 2MC = 2/3 AB (S: área). B
M D
aa
P
E
M
F
P A A
N
Q
C
D
C
5.°
año
71
GEOMETRÍA
5
6 Geometría del espacio Postulado fundamental
A
R
C
Si A, B y C son puntos no colineales, entonces A, B y C determinan el plano H.
Teoremas importantes
A
Si: A ∉ L
A y L determinan el plano P.
P// Q P∩ Q=f
Proyección ortogonal de un plano y una recta sobre un plano P
A
L1
L1 ∩ L2 = {P}
L1 y L2 determinan el plano Q.
3. Dos rectas paralelas determinan un plano.
H
L1
P sobre el plano H.
Si:
P∩
H={L }
Posiciones relativas entre dos rectas
ZZ L es la proyección ortogonal 1
de L2 sobre el plano H.
Teorema de las tres rectas perpendiculares
a) Rectas paralelas
L1
H
L2
B
ZZ P’ es proyección ortogonal de
P Q
L2
P’ arista
P
GEOMETRÍA
P
Si dos rectas no son paralelas ni secantes.
L
2. Dos rectas secantes determina un plano.
6
Si: ⇒
L2
L1
b) Planos secantes
Q
c) Rectas alabeadas
P
Q
L
Dos rectas secantes siempre son coplanares porque determina un plano.
Posiciones relativas entre dos planos a) Planos paralelos
L2
L1
P
L1 y L2 determinan el plano R.
1. Una recta y un plano que no pertenecen a ella determinan un plano.
P
L1
Si L1// L2
B H
b) Rectas secantes
L2
Tres puntos no colineales determina un plano al cual pertenecen.
L2
Dos rectas paralelas siempre son coplanares.
72
L1 L2
a L L3
H
5.°
año
GEOMETRÍA DEL ESPACIO Si L1 ⊥
2. Ángulo poliedro
H
L2 ⊥ L (L2 ⊂
⇒ L3 ⊥ L
∴ a = 90º
H)
Es la figura que se genera cuando un rayo es desplazado por los lados de un polígono, manteniendo fijo su origen y exterior al plano que contiene al polígono. Ángulo poliedro O – ABCDE O
Ángulo entre una recta y un plano El ángulo entre una recta y un plano, se mide con el ángulo que determina la recta con su proyección en
A
dicho plano.
B
q L'
0º < Sm(caras) < 360º
3. Ángulo triedro
ZZ θ es la medida del ángulo entre L y el plano H.
Es aquel ángulo poliedro de tres caras. B
Distancia entre dos rectas alabeadas
Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas alabeadas, cuyos extremos pertenecen uno a cada recta.
O
c ab
b
Ángulo triedro: O – ABC Triedro: O – ABC Medidas de las caras: a, b, c Medidas de los diedros: a, b, q Propiedades
d
Ángulo diedro y ángulo poliedro 1. Ángulo diedro
θ: medida del ángulo diedro
Planos perpendiculares
Dos planos son perpendiculares, cuando deter-
año
180º < a + b + θ < 540º
Si a > c ⇒ a > θ
Advertencia pre ZZ Sea «n» el # de puntos: n ⇒ # planos = C3 máximo ZZ Sea «n» el # de rectas: n ⇒ # planos = C2 máximo
minan un diedro que mide 90º.
5.°
a–c
A Ángulo diedro AB y (H – AB – P)
0º < a + b + c < 360º
Es la figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen en común su recta de origen denominada arista. P arista B x H q y
C
A
L2
θ
a
L1
A
C
Propiedad En todo ángulo poliedro, la suma de las medidas de las caras es:
L
H
D
E
73
GEOMETRÍA
6
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Trabajando en clase Integral
Resolución: Q
1. Calcula «MN», si AQ = QB = 13 u; NQ = 12 u y AB = 8 u. Q
4u 4u
P
N B
M
A
P
5u B 5u
4u
3u
A
H C 3u YY BH = 4 u; por ser BHPQ cuadrado QP = 4u = HP YY PC = 5 u y m∠QPC = 90º
2. Calcula la medida del ángulo formado por AB y el plano P. A 12u
4u
13u
ÁreaCPQ = (5u) ⋅ (4u) = 10 u2 2
B 7u
5. Calcula el área de la región triangular CPQ, si AB = BC = 13u; AC = 10u y BHPQ es un cuadrado. Q
P 3. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y O es el centro. E
P
2u B O A
B
C
D
2u
1u
M
A
1u
H C
PUCP
6. Calcula la distancia del punto «A» hacia cualquier recta tangente a la circunferencia de diámetro 12 u.
4. Calcula el área de la región triangular CPQ, si AB = BC = 6 u; AC = 6 u y BHPQ es un cuadrado. Q
A 8u
P B
P
O
A C
6
GEOMETRÍA
H
7. Calcula la menor distancia de «A» hacia «B» pasando por un punto del plano P.
74
5.°
año
GEOMETRÍA DEL ESPACIO A
10. Calcula la medida del ángulo entre AO y el plano que contiene al triángulo equilátero ABC, si dicho triángulo y un cuadrado BPQC de centro O están contenidos en planos perpendiculares.
8u
B 4u 9u
P
11. Calcula la medida del ángulo entre AD y OP, si en un cuadrado ABCD de centro O se traza CP perpendicular al plano que contiene al cuadrado, si AD = 6 u y OP = 5 u.
UNMSM 8. Calcula la medida del diedro AB , si O es centro del cuadrado ABCD y el triángulo ABP es equilátero, OP = AD. P B
UNI 12. Calcula la medida del ángulo entre AQ y BC , si se tienen los triángulos ABC y ABQ no coplanares, AQ = BC = 2 u, M es punto medio de BQ y N es punto medio de AC , MN = 1 u. Resolución:
C O
A
C D
N
Resolución: Trazamos OM = a y MP = a 3 Entonces: P 2a a 3 B M
A
a
1u
2a
O
a
a 3 D
2a a
a
B
año
Trazamos MP y NP , entonces NP = MP = 1 u por lo tanto el triángulo MNP es equilátero. ∴a = 60º
14. Calcula la medida del diedro P – AB – C, si el triángulo ABC es equilátero y APQB es un rectángulo, si PM = MQ, AP = 4 3u, AC = 10 u y MC = 3 3 u. Q M P
P
5.°
Q
13. Calcula la medida del ángulo entre AQ y BC , si se tienen los triángulos ABC y ABQ no coplanares, AQ = BC = 4 u, M es punto medio de BQ y N es punto medio de AC , MN = 2 u.
a = 90º
9. Calcula la medida del ángulo MPO, M punto medio de AB, O es centro del cuadrado ABCD y el triángulo ABP es equilátero, OP = AD.
A
M
1u
C
2a
M
2u
B
1u a P
A
2u
C
B
O A
D
C
75
GEOMETRÍA
6
7 Poliedros regulares Poliedro
Poliedro no convexo o cóncavo
Es un sólido geométrico limitado por cuatro o más regiones poligonales, denominadas caras. Los lados comunes de las caras se denominan aristas, y estas concurren en puntos llamados vértices. Diagonal
Vértice
Poliedros regulares
Son poliedros que poseen caras regulares y congruentes entre sí y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Estos son solo cinco:
Plano Secante
1. Tetraedro regular
P
Sección Plana Caras
a
H
Diagonal
A
Segmento que une dos vértices de caras diferentes. Las denominacioness de los poliedros, están en función al número de caras que presenta. Así tenemos: tetraedro (4 caras), pentaedro (5 caras), … etc.
C
G
M B
Notación: tetraedro regular P – ABC Sus caras: cuatro triángulos equiláteros congruentes Aristas: AB, BC, AC, AP, PC, y PB AB = BC = AC = AP = PC = PB = a YY Altura: PG G: baricentro del triángulo ABC. Altura Altura 6 3 a del de la PG = PM = a 3 2 tetraedro cara
Teorema de Euler
En todo poliedro convexo se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Así, tenemos: C+V=A+2 C: número de caras V: número de vértices A: número de aristas
Clases de poliedros Poliedro convexo
YY Área de la superficie total (AST):
AST = a2 3
YY Volumen 3 2 V= a 12
7
GEOMETRÍA
76
5.°
año
POLIEDROS REGULARES
4. Dodecaedro regular
2. Hexaedro regular o cubo
A
D
H a
a
Poliedro regular limitado por doce regiones pentagonales regulares congruentes.
a
O
F E
C
B
G
Notación: cubo ABCD – EFGH Sus caras: seis cuadrados congruentes Aristas: todas de medidas iguales AB = BC = CD = … = a Centro: O YY Diagonal: AG, BH, … AG = a 3
5. Icosaedro regular
Poliedro regular que presenta veinte regiones triangulares equiláteras congruentes.
YY Volumen : V = a3 YY Área de la superficie total: AST = 6a2
Recuerda: El tetraedro es una pirámide regular.
YY Área de la superficie laterales: ASL = 4a2
3. Octaedro regular P
¡Sugerencia!
a B A
O
Cuando nos pidan hallar «d»: distancia entre L1 y L2 en el cubo mostrado:
C D
Q Notación: octaedro regular P – ABCD – Q Sus caras: ocho triángulos equiláteros congruentes Aristas: todas son congruentes AP = PC = PD = … = a Centro: O
d L2
Para calcular «d» debemos proyectar L1 y L2 en
YY Diagonal: AC, PQ y BD
un mismo plano, de modo que L1 o L2 ⊥
BD = AC = PQ = a 2
5.°
año
y la
distancia será el segmento que une el pide de L2
YY Área de la superficie total: AST = 2a2 3 YY Volumen: V =
L1
con el pie de la perpendicular a L1 .
a3 2 3
77
GEOMETRÍA
7
POLIEDROS REGULARES
Trabajando en clase Integral
F
1. Si la arista de un tetraedro regular mide 8 u, calcula la longitud de la altura de la cara.
E
H
2. Si la diagonal de un octaedro regular mide 6 2 u, calcula su volumen.
B
4. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD – EFGH es un hexaedro regular.
6c
m
G
P
E
H
A
4 cm
Resolución:
D
D
A’
H
D’
2c m
B
A
4 cm Triángulo equilátero
C B
C
D A
l2 3 (4 2)2 3 = 4 4
8u
D
UNMSM
SAFC = 8 3 cm
2
8. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide 6 m. calcula el área de la superficie total de dicho sólido.
5. Si el área de la región sombreada es 6 3m2. Calcula la longitud de la diagonal del cubo.
GEOMETRÍA
I
x
4
4 2 cm
7. Dado un cubo ABCD – A’B’C’D’. Calcula «x». B’ C’
G
m 4 2c
7
C
C
F
E
Q
B
B
SAFC =
D
6. Si A – BCD es un tetraedro regular. Calcula «PQ», si P y Q son baricentros de los triángulos ABD y ADC, respectivamente. A
PUCP
C
A
3. Si la diagonal de un cubo mide 7 3m, calcula el área de su superficie lateral.
F
G
78
5.°
año
POLIEDROS REGULARES Resolución:
E
B
a 3 6
A
9. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide 8 cm. Calcula la longitud de la diagonal de dicho octaedro.
C
M
a 5 2
G
6m
a2 = 36 a=6m Piden: AST = 2a2 3 = 72 3m2
10. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD – EFGH es un cubo.
D
F
a 3 3
a
G
N
Q
E
F Trazamos FM: mediana DG = 6m (G: baricentro) Calculamos «DM» Triángulo MAD, aplicando el T. de Pitágoras a = MD2 a2 + 2
∴MD = a 5 2
P M
A
A a 3 G 6
D
4m
E
F F
a 5 2⋅ a 3 +a2⋅ a 3 =62⋅ a 3 + a 3 ⋅ a 3 ⋅ a 3 3 6 3 2 2 6 2
5a2 a 3 a3 3 a3 3 ⋅ + = 18a 3 + 4 6 12 3
a3 3 = 18a 3 2
5.°
año
L1
D
A
6m a 3 3
C
B
a
a 3 2
C
11. Dado el octaedro regular cuya arista mide 8 m. calcula la mínima distancia entre las rectas L1// L2.
Triángulo MDF, aplicamos el T. de Stewart: D a 5 2
B R
Sabemos que: MF = a 3 y 2 2MG = GF ⇒ MG = a 3 y 6 GF = a 3 2
H
L2
UNI 12. Se tiene un tetraedro regular O – ABC, si la distancia de un vértice O al baricentro de la cara opuesta G mide 12 m. Calcula la distancia de dicho vértice a la intersección de las alturas del triángulo AOM (M: Punto medio de BC).
79
GEOMETRÍA
7
POLIEDROS REGULARES Resolución:
O
x
12m
P l
A
2l
13. Se tiene un tetraedro regular O – ABC, si la distancia de un vértice O al baricentro (G) de la cara opuesta mide 16 m. calcula la distancia del punto de intersección de las alturas del triángulo AOM (M: Punto medio de BC) al baricentro «G».
2l
N
B
14. Calcula el área de la proyección ortogonal de una cara de un tetraedro regular, sobre otra cara, si el área de la superficie total es 600 m2.
l
G
l(x)(2l) = (2l)(12m – x)(3l) x = 36 m – 3x 4x = 36 m ∴ x= 9 m
M C
En el triángulo GOM, aplicamos el T. de Menelao. O 2l
x M
7
GEOMETRÍA
2l
G
ZZ En el icosaedro regular:
l
12m–x A
Advertencia pre
N
l
AST = 5a2 3 Recordar que son 20 triángulos equiláteros.
M
80
5.°
año
8 Repaso k e) k a) k c) 4 2 6
1. Calcula: S1 . (S1 y S2: Áreas) S2 B a 3a a
b
4. Calcula «X», si ABCD es un romboide; además, A = 9 m2 y B = 4 m2. (A, B y X: Áreas)
S2
S1 A
k b) k d) 5 3
B
C ab e) b a) a c) a + 2b a + 2b 2b – a b) b d) a a + 2b 2b – a D
A X A
2. Calcula el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado. B C G
A
a
F
C
año
e) 9 m2
S
S1 A
S2
B
a) S1 + S2 c) 2(S1 + S2) e) 3(S1 + S2) 2 3(S1 + S2) b) S1 + S2 d) 2
D
5.°
c) 11 m2 d) 10 m2
E
O
3. Calcula el área de la región sombreada, si el área de la región ABC es «k». B E 45º
O
D
5. Calcula «S», si se tienen 3 cuadrantes de centros A, B y C respectivamente: (S, S1 y S2: Áreas)
2 a2 e) a2 a) a c) 2 5 5 2 2 a b) a d) 4 2
A
B
P
a) 13 m2 b) 12 m2
H
D
C
6. Calcula la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular ABC («O» centro y F, D y A son puntos de tangencia).
C
81
GEOMETRÍA
8
REPASO F
E
10. Indica la proposición verdadera: A. Todo plano determinado por 2 rectas paralelas a otro plano es siempre paralelo al otro plano. B. Si 2 rectas son paralelas a un plano, son siempre paralelas entre sí. C. Toda recta paralela a uno de 2 planos que se cortan perpendicularmente, es siempre perpendicular al otro plano. D. Todo plano perpendicular a una recta en un plano es perpendicular al plano. E. Toda recta perpendicular a una recta contendida en un plano será perpendicular al plano. a) E c) C e) A b) D d) B
C
O D
B
A
a) 4 π c) 2 π e) π/2 b) 3 π d) π 7. calcula el área de la región triangular cuyo inradio mide 4 u y la circunferencia inscrita determina sobre uno de sus lados segmentos de 12 u y 8 u. c) 74 u2 e) 54 u2 a) 94 u2 2 2 b) 96 u d) 64 u
11. Determina el número de vértices que tiene un poliedro formado po 10 triángulos,; 10 cuadriláteros y 30 pentágonos. a) 64 c) 68 e) 72 b) 66 d) 70
8. Calcula el área de la región sombreada, si ∆ABC es equilátero («O» es centro y D, E, F: Puntos de tangencia). B R A
E
12. Calcula el número de vértices de un poliedro formado por 40 triángulos; 20 cuadriláteros y 60 pentágonos. a) 134 c) 130 e) 126 b) 132 d) 128
F D
C
Claves
2 3 R2 3 3 R2 e) a) 7 3 R c) 16 16 32 2 3 R2 b) 5 3 R d) 16 16
9. Calcula el máximo número de planos que determinan cinco puntos en el espacio. a) 12 c) 10 e) 8 b) 11 d) 9
1.
A
5.
B
9.
C
2.
D
6.
D
10.
D
3.
E
7.
B
11.
E
4.
C
8.
C
12.
B
Bibliografía 1. Editorial Lumbreras. Victor Robles. Lima. Perú. I Edición. 2. Un recorrido por la geometría. Rincón Abello. Bogotá. Colombia. I Edición. 3. La geometría en las Olimpiadas matemáticas. Donayre Peña; Milton. Lima. Perú. I Edición.
8
GEOMETRÍA
82
5.°
año
Geometría
1 Prisma y tronco de prisma Superficie prismática
Se llama superficie prismática, a aquella que genera una recta (generatriz), al deslizarse paralelamente a su posición inicial, a lo largo de una poligonal o polígono (directriz). Si la directriz es una poligonal, la superficie prismática es abierta. Si es un polígono, la superficie es cerrada. n
r
Q R A
P
B C D
T
S
Superficie prismática cerrada n : generatriz PQRST: directriz
Superficie prismática abierta r : generatriz ABCD: directriz
Prisma
Un prisma, es el poliedro determinado al interceptar una superficie prismática cerrada, mediante dos planos paralelos entre sí. La figura adjunta muestra un prisma. Las regiones poligonales ABCDE y A’B’C’D’E’ son paralelas y corresponden a los polígonos congruentes. Estas dos caras son las «bases» del prisma y la distancia entre ellas es la altura del sólido. Las demás caras son regiones paralelográmicas, llamadas «caras laterales»; sus intersecciones se llaman «aristas paralelas». Todas las aristas laterales son paralelas y congruentes.
Clasificación de los primas
B
C D
A E C’
E’
A’
D’ E’
Se clasifican en: recto, oblicuo y regular
a) Prisma recto
Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son regiones rectangulares, y las aristas laterales son congruentes a la altura.
b) Prisma oblicuo
5.°
Tiene sus aristas laterales oblicuas a las bases. Según sus bases sean regionales triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc, los primas se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. Por ejemplo, la figura (a) muestra un prisma recto triangular.
año
61
(a)
(b)
GEOMETRÍA
1
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA Nota Si B y SR, son las áreas de la base del prisma y de la sección recta, respectivamente; entonces: SR=BCosβ donde β, es la medida del ángulo diedro que forman los planos que contienen a la base del prisma y a la sección recta.
c) Prisma regular
Aquel prisma recto, cuyas bases corresponden a polígonos regulares. (En cualquier otro caso, el prisma no es regular)
Secciones de un prisma
ZZ Una «sección» de un prisma, es la región determi-
nada por la intersección del prisma con un plano.
ZZ Una «sección transversal» de un prisma, es la sec-
P
ción del prisma con un plano paralelo a la base. ZZ Una «sección recta» de un prisma, es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales. Por ejemplo, la sección PQR, en la siguiente figura.
R
SR Q B
Paralelepípedo
Aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.
Clasificación de paralelepípedos
Se clasifican en a) Paralelepípedo recto: sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son regiones rectangulares. b) Paralelepípedo: tiene sus aristas laterales oblicuas a las bases. Las seis caras son regiones paralelográmicas. c) Paralelepípedo rectangular: aquel paralelepípedo recto cuyas bases son regiones rectangulares. Llamado también rectoedro. d) Cubo: es un paralelepípedo rectangular que tiene todas sus aristas congruentes. e) Romboedro: aquel paralelepípedo que tiene por bases regiones romboédricas.
d
c
b
a Paralelepípedo rectangular (rectoedro) d: longitud de la diagonal d2 = a2 + b2 + c2
Paralelepípedo oblicuo
Fórmulas I. Superficie lateral y total de un prisma
La superficie lateral de un prisma es la suma de las superficies de todas sus caras laterales. La superficie total del prisma es la suma de superficie material y de las dos bases. A dichas superficies se refieren las áreas lateral y total. Teorema El área lateral de un prisma oblicuo es el producto del perímetro de una sección recta por la longitud de una arista lateral. Así, para el prisma de la figura: a → longitud de la arista lateral P → perímetro de la sección recta
1
GEOMETRÍA
62
5.°
año
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
B
Sección recta
h a
aº
B
El área lateral:
Área total Si B, es el área de cada base, el área total será: ST = SL + 2B
Observaciones En la figura anterior, αº, es la medida del ángulo que forman las aristas laterales con las bases. YY Es evidente que, en un prisma oblicuo, α < 90 y h < a. Además, el área de la sección recta, es menor que el área de la base: SR < B. YY En un prisma recto: α = 90; h = a y SR = B. YY De lo anterior, se deduce que, el área lateral de un prisma recto, es el producto del perímetro de una base por una arista lateral. Asimismo, el volumen es igual a producto del área de una base por la arista lateral. YY Si a, b y c, son longitudinales de tres aristas concurrentes de un paralelepípedo rectangular, entonces su volumen será: V=a⋅b⋅c
SL = pa
II. Volumen de un prisma
También, el volumen de un prisma, es el producto del área de una sección recta por una arista lateral. Así, llamado SR, el área de una sección recta: V = (SR) ⋅ a
El volumen de un prisma es el producto del área de una base por su altura. Si h, es longitud de la altura del prisma: V=B⋅h
YY Si se extiende (se desarrolla) la superficie lateral de un prisma, a partir de una arista lateral, (por ejem-
plo: PQ ), de modo que todas las caras laterales queden coplanarias, se dice que se ha desarrollado dicha superficie. P M P
R Q
N
Q
F
R
F
M
N
P’
Q’
Tronco de primas
Se obtiene al interceptar la superficie lateral de un prisma, con plano no paralelo a las bases. Las caras laterales son trapecios.
G’
ZZ El volumen es igual al producto del área de una sección recta y la
longitud del segmento que une los centros de gravedad de las bases del tronco (CG’). (Las secciones rectas del tronco son las mismas que el prisma original). ZZ Existen fórmulas sencillas para evaluar el volumen de un tronco de prisma de base triangular. Así, para el tronco de la figura 2; el volumen V, se evalúa: h + h2 + h3 V = (área AEC) ⋅ 1 3
5.°
año
63
G Fig. 1
GEOMETRÍA
1
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA ZZ También, se pueden presentar gráficos como en la
R
figura 4; donde B es el área de la base, del tronco de prisma recto.
F Q h1
h3
V=B
h2
b=0;c=0
a
a
c
Fig. 2
ZZ A veces, es frecuente tener troncos originados al
interceptar la superficie lateral de un prisma con dos planos como en la figura 5; donde AB , CD y EF son aristas del tronco.
AF + EQ + CR V = (área de una sección recta) ⋅ 3
AB + CD + EF área de una V = sección recta ⋅ 3
ZZ Si el tronco de prisma es recto (originado de un
prisma recto), y de base triangular, las caras laterales resultan trapecio rectángulos. (fig. 3). En este caso: a +b + c V=B⋅ 3
a
c
b
C E A Sección recta
Fig. 3 B
F
B a, b, c: longitudes de las aristas laterales B: área de la base del prisma recto original.
Superficie cilíndrica
B
B
También, para la misma figura 2:
a 3
C E
V=B⋅
b=0
A
a+c 3
D
CILINDRO Y TRONCO DE CILINDRO
Es la superficie generada, al deslizarse una recta (generatriz), a lo largo de una curva, (directriz), manteniéndose paralela a su posición inicial. r C2 r Fig. 1
C1
C2
Fig. 2
1
GEOMETRÍA
64
5.°
año
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA
Cilindro de revolución
En la figura 1: r, es la generatriz de la superficie cilíndrica y c1, la directriz. Como c1 no es cerrada, la superficie obtenida es abierta. En la figura 2: c2 es una curva cerrada, luego, la superficie generada es cerrada.
Se genera al girar una región rectangular, una vuelta, alrededor de un eje que contiene a un lado. Las bases son círculos y la altura mide igual que la generatriz. Es también llamado cilindro circular recto.
Cilindro
Es el sólido obtenido al interceptar una superficie cilíndrica cerrada, por medio de dos planos paralelos. Las regiones que determinan dichos planos, son las bases del cilindro y la distancia entre ellos es la altura. Las bases son congruentes. Si «B», es el área de una base y «h» longitud de la altura; el volumen del sólido se evalúa:
r
g
g
e j e
h
V=B⋅h B
r B g
SR
h
Fórmulas: Área lateral:
B
Área total: ZZ En la figura, el segmento de longitud g, es la geneZZ
ZZ ZZ
ZZ
SL = 2πrg
St = SL + 2B
Volumen: V = Bh
ratriz del cilindro. La sección recta del cilindro, es la intersección del sólido con un plano perpendicular a las generatrices. (Todas las generatrices del cilindro, son congruentes). El cilindro es oblicuo, si las generatrices son oblicuas a las bases. El cilindro es recto, si las generatrices son perpendiculares a las bases. En este caso: g = h y además, las secciones rectas son congruentes a las bases. Si «C», es el perímetro de una sección recta, entonces el área de la superficie lateral, se expresa:
En este caso:
B = πr2
Desarrollo de la superficie lateral Es la región rectangular, obtenida al extender (desarrollar) la superficie lateral, de modo que los lados del rectángulo sean la generatriz y las circunferencias de las bases, del cilindro de revolución original.
SL = C ⋅ g
Y, el área total:
St = SL 2B
g
ZZ Si SR, es el área de una sección recta, el volumen:
5.°
V = (SR) ⋅ g
2pr
año
65
GEOMETRÍA
1
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA Nota En el caso de un cilindro oblicuo, el desarrollo puede resultar romboide o rombo.
g
g
Tronco de cilindro
Se obtiene al intersectar la superficie lateral de un cilindro, con un plano no paralelo a las bases.
V = πr2
0+G 2
O ∴ V = πr2
G
g
G 2 G
O’
Fig.3
g=0
En la figura 1, OO’ es el eje del tronco; g y G, son longitudes de dos generatrices opuestas. (g < G). Las secciones rectas del tronco son las mismas que del cilindro original. El volumen se puede evaluar, así:
ZZ Otras posibilidades
h
V = (área de una sección recta) ⋅ OO’ g+G 2 ZZ Si el tronco se deriva de un cilindro de revolución, su volumen es: g+G V = πr2 2 (figura 2) ZZ Si una generatriz es nula, el sólido se llama «cuña cilíndrica». Por ejemplo, en la figura 3: elipse
H B
Donde: OO’ =
V=B
h+H 2
h y H: alturas (h < H) B: área de la base
Tronco de cilindro de revolución, con dos bases elípticas. área de la sección recta: πr2
G
g
V = πr2
g+G 2
g
r
G
r (Si g = 0, se trata de una cuña cilíndrica)
base (círculo)
1
GEOMETRÍA
66
5.°
año
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA Algunos «desarrollos» de las superficies laterales de troncos de cilindro, son: a) elipse L/2 (longitud L) G
g
L/2 G
g
r 2pr circunferencia b)
elipse (longitud L)
g
L 2
L 2
r
2pr
g
G
(aprox.)
L’ 2
elipse (longitud L’) elipse (longitud L)
L’ 2
L 2
G g=0
G
L 2 (aprox.)
2pr
Problemas resueltos
1. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel del agua sube en 3,5 cm. Si el diámetro del cilindro es 8 cm, ¿cuál es el volumen del pedazo? Resolución: La variación es debida al trozo metálico, y su volumen es: 2 π ⋅ 8 (3,5) = 175 4
3,5
trozo metálico
5.°
año
variación
67
GEOMETRÍA
1
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 2. ABCD, es un rectángulo. Se traza BH ⊥ AC . Si V1 y V2, son los volúmenes de los sólidos obtenidos al girar la región triangular ABCD, alrededor de AB y BC , respectivamente. V AH 4 Halla: 1 , si: = V2 HC 25 C B Resolución: Con el gráfico: H Alrededor de AB V1 = π(BC)2 ⋅ AB A D
Trabajando en clase PUCP
Integral
4. Calcula el área de la superficie lateral del cilindro circular recto. D C O2
1. Calcula el volumen del prisma recto. D
E
12u
F
5u
10m B
A
C A
2. Calcula el área de la superficie lateral del prisma regular. D E
F 8u
A
O2
C
F
A
1
GEOMETRÍA
B 8m
C
53º A R=3mO R=3m
3. Calcula la diagonal del rectoedro.
E
B
10m
8m
4u
53º
Resolución: De la figura D
B
O1
1
G
5m
H C D
6m
68
B
ADB: (37º y 53º) ⇒ AD = 8 m y AB = 6 m También 2R = 6 m ⇒ R = 3 m Finalmente: SL = 2πRH SL = 2π(3)(8) SL = 48 πm2
5.°
año
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 5. Calcula el área de la superficie lateral del prisma recto. C D O2
F
37º/2
B
B
O1
C
D
F
G
m 4c
8cm
H
F
h
A
3 2m
SAHF = 6 41 m2
B
H
8m
G
G
C
B
F
3 2m
102 = h2 + (3 2 )2 100 = h2 + 18 h = 82 m SAHF = (6 2 )( 82 ) 2
E
E
H
F
6m
año
10m
9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD – EFGH es un rectoedro.
8. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD – EFGH es un rectoedro.
5.°
10m
O2
UNMSM
A
C
6m
10m
7. Dado un prisma recto cuya base es un hexágono regular inscrito en una circunferencia de diámetro 8 m y cuya altura es igual en longitud al diámetro. Calcula el volumen del prisma.
6m
H
B
D 8m En el triángulo AEF: AF = 6 2 m En el triángulo ADH y FGH: AH = 10 m = FH Luego: H
10cm
E
6m
A
6. Calcula el volumen del sólido.
A
G
m
6 2 m
O1
E
8m
10
6m
4 1 0c m A
Resolución: Completando la figura:
A
D
12m
5m
H
C D
5m
10. Se inscribe un cilindro en un prisma triangular. Calcula la razón entre las áreas de las superficies laterales del prisma con respecto al cilindro.
69
GEOMETRÍA
1
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 11. Calcula el volumen del cilindro circular recto, si AH = 2(HE) = 6 cm, además, E es un punto medio de la generatriz BC y AB es diámetro. D
Resolución: Utilizando el triángulo de 15º y 75º. N 75º
C
r
T
75º
r
R Q
4b
E
C
H 15º
O
A
B
P
UNI 12. La figura muestra un tronco de cilindro oblicuo, si (UN)2 – (CP)2 = 30 m2 y m∠NUP = 15º. Calcula el área de su superficie lateral. N
15º U
C R
P
U
Sabemos: SL = 2πr UN + CP 2
SL = πr ⋅ (UN + CP) … (2) Luego: TR – QR = 2r b – a = 2r b–a r= 2 Reemplazando en (2) b – a (4b + 4a) SL = π 2
Para todo prisma se cumple que su volumen es el producto del área de su base con la altura.
1
GEOMETRÍA
70
Si QR = a ⇒ CP = 4a Si: TR = b ⇒ UN = 4b Dato: (4b)2 – (4a)2 = 30 16(b2 – a2) = 30 15 ⇒ b2 – a2 = (1) 8
Advertencia pre
b
SL = 2π (b – a)(b + a) SL = 2π (b2 – a2) Finalmente: 15 SL = 2π 8 ∴ SL = 15π/4 m2 5.°
año
PRISMA Y TRONCO DE PRISMA 14. Calcula el volumen del sólido, si se muestran prismas regulares y un cilindro circular recto.
13. La figura muestra un tronco de cilindro oblicuo, si (UN)2 – (CP)2 = 32 cm2 y m∠NUP = 15º. Calcula el área de su superficie lateral. N
C Q
1u
4u
6u
P
4u
6u
U
5.°
año
71
GEOMETRÍA
1
2 Pirámide, cono y tronco de cono Pirámide
S
Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono cualquiera y como caras laterales triángulos escalenos que tienen un vértice común, que viene a ser el vértice de la pirámide.
h
AP
D Cara lateral h
h
Arista básica
Arista lateral
Base
Base
C. Pirámide irregular
Es el sólido generado por la rotación de una región limitada por un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos, tomado como eje. El cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la base y la hipotenusa es la generatriz del cono. Desarrollo de su superficie
B. Pirámide regular
Es aquella pirámide cuya base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulos isósceles congruentes. La altura de una pirámide regular cae en el centro de gravedad de la base.
Apotema de una pirámide regular Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica.
Es aquella que no cumple con las condiciones de la pirámide regular.
Cono circular recto o de revolución
A. Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc, según su base, sea una región triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.
g
g h
2. AST = ASL + ABASE
g α
SLATERAL
O r
ASL = Semiperímetro de la base × apotema
ASL = πrg
3. Volumen = 1 A ×h 3 BASE
AST = πr(g + r)
A 2 = h2 + ap2 p
GEOMETRÍA
B
L
L 2
Ap → apotema de la pirámide ap → apotema de la base
Clasificación
2
aP
A
1.
C
L M2
V=
72
1 2 πr ⋅ h 3
5.°
año
PIRÁMIDE, CONO Y TRONCO DE CONO
Cono oblicuo
Tronco de cono circular recto o de revolución
Es el cono en el cual el pie de su altura no coindice en un baricentro.
Es el sólido que se determina al cortar a un cono circular recto con un plano paralelo a su base. Se puede considerar como el sólido generado por la rotación de un trapecio rectángulo alrededor del lado perpendicular a las bases.
h
r g
h R
Advertencia pre
1. ASL = πg(r + R)
Las caras laterales de una pirámide regular recta son triángulos isósceles y solo en un caso especial serán triángulos equiláteros, en este último caso el enunciado del problema lo especificará.
2.
ASL = πg(r + R) + π(R2 + r2)
3. V =
πh 2 2 (R + r + Rr) 3
Trabajando en clase 1. Calcula el área de la superficie lateral de una pirámide regular de base cuadrada cuya área es 5 m2 y donde todas las caras laterales son triángulos equiláteros.
Resolución:
2. Calcula el volumen de un cono circular recto si el diámetro de su base mide 14 m y su generatriz mide 25 m. A
73
10u C
H
4. Calcula el área de la superficie lateral, total y volumen en una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 12 u y la altura mide 8 u.
año
8u
B
3. Calcula el volumen de un tronco de cono si sus radios miden 2 u y 4 u, además tiene 9 u de altura.
5.°
O
12u
6u
M
D
Trazamos HM = 6 u y OM = 10 u; entonces: SL = (Pbase)(Ap) = (24)(10)= 240 m2
ST = SL + Sbase
GEOMETRÍA
2
PIRÁMIDE, CONO Y TRONCO DE CONO
9. Calcula el área de la superficie lateral de un cono circular recto si su volumen es 12 m3 y la distancia del centro de su base a su generatriz es 4 m.
ST = 240 u2 + (12u)2 ST = 384 u2 Volumen = (Sbase)(altura) Volumen = (12u)2 ⋅ (8u) Volumen = 1152 u3
10. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 6u, siendo su área de la superficie lateral el quíntuplo del área de la base.
5. Calcula el área de la superficie lateral, total y volumen en una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 2u y la altura mide 2 u.
11. Calcula el volumen de un tronco de cono, si la altura y la generatriz miden 5u y 3u respectivamente; además, el desarrollo de la superficie lateral del tronco de cono circular recto es un trapecio circular cuya área 30π u2.
6. Calcula el área de la superficie lateral de un cono circular recto si su altura y generatriz miden 15 u y 17 u, respectivamente. 7. Calcula el volumen de un tronco de cono determinado por un plano perpendicular a la altura, trazado a una distancia de 3u desde el vértice y cuya área de la base del cono circular recto es de 64π u2, además; la altura del cono es de 12 u.
12. Calcula el volumen de un cono de revolución si el área de la base es A1 y el área de una sección axial es A2. Resolución: Datos_: B A1 = pr2 ... (1) (2r)h A2 = = rh 2 Sección ... (2) axial Piden: h πr2h V= 3
8. Calcula el área de la superficie lateral de un cono circular recto si su volumen es 10 m3 y la distancia del centro de su base a su generatriz es 3 m. Resolución: Piden SL = πrg ….. (1) Recordamos V
ch = ba C a
g
h
B
b
h c
A
r
O
B
En el problema: rh y reemplazamos en (1) rh = 3g ⇒ g = 3 πr2h rh SL = πr = ... (2) 3 3
πR2h = 10 3
GEOMETRÍA
A1h ... (3) 3
Finalmente en (3) π A V = 1 A2 A 3 1
14. Calcula el volumen de la pirámide regular S– ABCD, si la base se encuentra inscrita en una circunferencia de radio R y cada arista lateral tiene una inclinación de 60º con el plano de la base.
Finalmente en (2) SL= 10 m2
2
V=
13. Calcula el volumen de un cono de revolución si el área d ela base es 9 m2 y el área de una sección axial es 4 m2.
Dato: V = 10 m3
C
Calculando «h» La ec. (2) la elevamos al cuadrado A22 = r2h2 Reemplazamos (1) π A A22 = 1 h2 ⇒ h = A2 A π 1
O
r
3m A
A
r
74
5.°
año
3 Tronco de pirámide y esfera Tronco de pirámide
Es la porción de pirámide comprendida entre las bases y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo a su base. A la base y a dicha sección se les denomina bases del tronco de pirámide; sus caras laterales son regiones trapeciales, sus bases son regiones poligonales semejantes y su altura es la distancia entre sus bases. P
En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide pentagonal. Notación: ABCDE – A’B’C’D’E’
Cara lateral B’ A’
Base superior
C’
B’
h
B
ASL=∑(Áreas de las caras laterales)
D’
Base inferior
C
E’
Área de la superficie total (AST) AST = ASL + B + B’
B
A
Área de la superficie lateral (ASL)
D E
Volumen (V)
V = h (B + B’ + BB’ ) 3
B y B’: área de las bases Aristas básicas
Tronco de pirámide regular
En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide regular «hexagonal».
Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares de modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases. Sus caras laterales son regiones trapeciales isósceles congruentes entre sí, la altura de cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide. B’ C’ A’
B’ F’
A
B F
5.°
año
O’ M h
E’
O E
Notación ABCDEF – A’B’C’D’E’F’ MN: apotema del tronco de pirámide regular (MN = ap) O y O’: centro de las bases (OO’ = h)
Área de la superficie lateral (ASL)
D’ C
AST = (p + p’)ap N
D p: semiperímetro de la base ABCDEF p’: semiperímetro de la base A’B’C’D’E’F’
75
GEOMETRÍA
3
TRONCO DE PIRÁMIDE Y ESFERA Nota En un tronco de pirámide cuyas bases tiene por áreas A y B (A < B), se tiene una sección plana de área S paralela a las bases del tronco y que dista de dichas bases menor y mayor m y n respectivamente.
Se cumple: S=
n A+m B m+n
Esfera
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º, en torno a su diámetro. 360º
Semicírculo generado
Plano secante
Círculo máximo Eje de giro
A(CM) = πR2
Área de la superficie esférica (ASE)
r O
Área del círculo máximo (ACM)
O
A(SE) = 4πR2
R
Volumen de la esfera (VE) VE = 4 πR3 3
T Plano tangente
Nota Segmento esférico de dos bases, es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera. r1
3 2 2 VSE = πh + πr 1h + πr 2h 6 2 2
h
VSE: volumen del segmento esférico de dos bases h: distancia entre los planos paralelos.
r2
Trabajando en clase Integral
2. Según la figura, calcula el área de la superficie esférica.
1. Calcula el volumen de la siguiente esfera si el área de la superficie esférica es 36πu2.
2m R
3
GEOMETRÍA
76
5.°
año
TRONCO DE PIRÁMIDE Y ESFERA 7. En el gráfico, T es punto de tangencia si m AP = 120º y TQ = 4(PQ) = 4u, calcula el área de la superficie semiesférica.
3. En el gráfico, se muestra un tronco de pirámide regular, calcula su volumen.
2
E
3m
D h=9m
F
T
B
A
P
C
3 3m
Q UNMSM
PUCP
8. Se traza un plano secante a una esfera de modo que la distancia del centro a dicho plano es 6u, además el área de la sección plana determinada de la esfera es 64πu2. Calcula el volumen de la esfera. Resolución: Graficando:
4. Si el radio de una esfera es el cuádruple del radio de otra, ¿en qué razón están sus volúmenes? Resolución: Graficando:
O
4R
O
A
O1
R
H
r
Plano secante
R
6u
V2
M
O
V1
4 π(4R)3 3 4 V1 = π(R)3 3 V Piden: 1 V2
V1 =
4 π(4R)3 V1 3 V = 4 = 64 2 π(R)3 3 5. Si el radio de una esfera es el triple del radio de otra, ¿en qué razón están sus volúmenes?
VE =
6. Las áreas de las bases de un tronco de pirámide son 3u2 y 12u2. Calcula el lado de una base de un prisma equivalente que tenga la misma altura y de base cuadrada.
5.°
año
Dato: 64πu2 = π ⋅ r2 64u = R2 8u = R ← OHM (Teorema de Pitágoras) ∴ 2 2 R = 6 + r2 R2 = 62 + 82 → R = 10 u 4 400 3 πR3 = πu 3 3
9. Se traza un plano secante a una esfera de modo que la distancia del centro de dicho plano es 5u, además el área de la sección plana determinada en la esfera es 144 πu2. Calcula el volumen de la esfera.
77
GEOMETRÍA
3
TRONCO DE PIRÁMIDE Y ESFERA 32 10. Si el volumen de la esfera es πu3, calcula el vo3 lumen del cilindro.
Por dato: Vcubo = 64u3 = l3 4u = l ⇒R=2 3u
∴ VE =
4 πR3 = 32 3 πu3 3
13. Si el volumen del cubo mostrado es 216u3, calcula el volumen de la esfera circunscrita al cubo.
R
11. Se tiene el segmento esférico, calcula el volumen si h = 6u, r1 = 2u y r2 = 4u. r1
O2
h
14. En el gráfico, se tiene un cilindro de revolución. Si T es punto de tangencia, CD = (AC) 3 , BM = 3(AM) y MT = 7 u, calcula el volumen de la semiesfera.
O r2
O1
A
M
O1
B T
UNI 12. Si el volumen del cubo mostrado es 64u3, calcula el volumen de la esfera circunscrita al cubo.
C
Resolución: A
E
GEOMETRÍA
El área de la superficie semiesférica: 2
C
A
3
l
l
l
O
D
Advertencia pre
Notar: E
O
R
O l 3
R
R
C
O
78
Ssemi = 3πR2 esfera
5.°
año
4
Figuras de revolución y teorema de Pappus
Un cuerpo de revolución es aquel que se origina al girar una figura plana alrededor de un eje. Las caras de un cuerpo de revolución son curvas. L
L
⇒ L
O
⇒
Teorema de Pappus
Segundo teorema (Volumen)
Primer teorema (Áreas)
Af
L
L
x
CG
L x
Asólido = 2π ⋅ x ⋅ L
Vsólido = 2π ⋅ x ⋅ Af
CG: centro de gravedad L: longitud
5.°
año
CG
Af: área de la figura x : distancia del centro de gravedad al eje de giro.
79
GEOMETRÍA
4
FIGURAS DE REVOLUCIÓN Y TEOREMA DE PAPPUS
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula el volumen del sólido generado al girar 360º el trapecio rectángulo ABCD alrededor de la recta L.
4. Calcula el volumen del sólido generado al girar la figura 360º alrededor de la recta L.
A L 10m
L
53º B
B
C 53º
10m
6m
C
A
D
D
3m
Resolución:
2. Calcula el volumen del sólido generado al girar 360º la figura sombreada alrededor de la recta L.
L
A
B
37º
C
10m
A
B 3u
6m 4m
4m 8m
D
3. Calcula el volumen del sólido generado al girar 360º la figura sombreada alrededor de la recta L.
3u
C
L
37º
20
m
B
A
GEOMETRÍA
x=7m
V = 2πx ⋅Afig V = 2π(7)(8 × 6) V = 672 πm3
7u
4
D 3m
5. Calcula el volumen del sólido generado al girar la figura sombreada 360º alrededor de la recta L.
L O
C
80
D 4m
5.°
año
FIGURAS DE REVOLUCIÓN Y TEOREMA DE PAPPUS 6. Calcula el volumen del sólido generado al girar la figura sombreada 360º alrededor de la recta L.
la altura BH y que está a una distancia del vértice B igual a 5m, si AB = 6 3 m.
L 8m
B
10. Calcula el volumen del sólido generado por el triángulo equilátero ABC, al girar 360º alrededor de la recta L.
C E
L
53º B
D
A
6m 7. Calcula el volumen generado al girar la figura 360º alrededor de la recta L. B
C
C
9u
L
A
Af=75u2
11. Calcula el volumen del sólido generado por el rectángulo ABCD al girar 360º alrededor de la recta L.
5u
A 1u
L
B
UNMSM A
8. Calcula el volumen del sólido generado por un triángulo equilátero ABC, al girar 360º alrededor de una recta exterior al triángulo perpendicular a la altura BH y que está a una distancia del vértice B igual a 2m; si AB = 4 3 m. Resolución: 2m
4m
2 x Af = (4 3 ) 3 = 12 3 m2 4
UNI
x=6m
2m 60º 60º A 2 3m H 2 3m C
V = 2πxAf V = 2π⋅6⋅12 3 V = 144 3 πm3
12. Calcula el volumen generado al girar 360º el triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 4m alrededor de la recta L. L B
año
15º
A
9. Calcula el volumen del sólido generado por un triángulo equilátero ABC, al girar 360º alrededor de una recta exterior al triángulo perpendicular a
5.°
5m
D
L
3m
G
C
53º
4
4 3 m
30º 30º
B
10m
C
81
GEOMETRÍA
4
FIGURAS DE REVOLUCIÓN Y TEOREMA DE PAPPUS 13. Calcula el volumen generado al girar 360º el triángulo equilátero ABC sombreado cuyo lado mide 6m, alrededor de la recta L.
Resolución:
30º 3
A
G 2m
H
3
4/
30
º
4m
45º x
2m 60º
L
B B
15º
15º
A
4m
C
x=
2 6 m 3
x=
42 3 = 3 m2 4
V = 2πx ⋅ A
V = 2π
V = 16π 2 m3
4
C 14. Calcula el volumen generado al girar 360º el hexágono regular sombreado cuyo lado mide 10m, alrededor de la recta L. L C
2 6 (4 3 ) 3
GEOMETRÍA
D
B
20m
82
E A
F
5.°
año
5 Geometría analítica Propiedades
c) Área de una región triangular El área de una región triangular puede calcularse dadas las coordenadas de los vértices. R(x3;y3)
a) Punto medio un segmento de recta y
P2 M
(x1;y1)
P(x1;y1)
P1
(x1;y1)
O
x=
Q(x2;y2)
x
x1 ; y1 x2 ; y2
x1 + x2 2 y1 + y2 2
M=
x1 ; y1 A
x1 + x2 y1 + y2 ; 2 2
(–)
B
Ecuación de la recta Ecuación punto pendiente y
b) Distancia entre dos puntos y
(0; b) B(x2,y2)
y2 d A (x1;y1)
y1
x3 ; y3
(+)
y=
SA = 1 (B – A) 2
O
(x,y)
O
x2–y1
x1
a
y2–y1 O
H x2
Por el T. de Pitágoras ABH
d = (x2–x1)2 + (y2 – y1)2
(a; 0)
x
L : y = mx + b Ec. general
x
a,b,c son ax + by + c = 0 constantes
Ec. simétrica y x + = 1 p y q: con constantes q p
5.°
año
83
GEOMETRÍA
5
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Recta que pasa por el origen de coordenadas
Ejemplo gráfico y numérico y
Sea la ecuación y = –x Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada al origen es decir, b = 0. La recta para por el origen O.
3u
6 1u
1 3
x
–1
1u
y
–x
Rectas paralelas
y=–
1/3
y=3 x+6
x
3u
–x y=
b = m = Tgx = –1u 1u
x
Dadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones: y1 = m1x + b1 y2 = m2x + b2
y2 = –1 x + 3 3
Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2
Casos particulares
Ejemplo gráfico y numérico
Si m = 0 resulta y = b = constante
y1 = 3x + 6
y
y1 = 2x+ 2 y2 = 2x + 3 m1 = m2 = 2
7
y 2u
1u
x 2u
Se representación será una recta paralela al eje «x». Ejemplo y = 4 Un caso similar se presenta si x = a = constante
1u
3
O
y= 2
x+
y= +x
y=b b
2x
+7
7
x+3
y
–x
x=a a
–y x Su representación será una recta paralela al eje «y».
Rectas perpendiculares
Dadas dos rectas y1, y2 que responde a las siguientes ecuaciones.
Advertencia pre
y1 = m1x + b1 y2 = m2x + b2 –1 Si m1 = m2
5
Distancia de un punto P(x,y) a la recta L. Dada la ecuación: L: ax + by + c = 0 las rectas serán perpendiculares.
GEOMETRÍA
+c 1 d(p; L) = ax1+by 2 2 a +b
84
5.°
año
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
O sea:
Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es posible encontrar la ecuación de la recta que determine. Dados: P1(x1; y1) y P2(x2; y2) Dos puntos cualesquiera, representamos ambos en el plano. y
m = y – y1 x – x1 Donde se cumple: y – y1 = y2– y1 (x – x1) x2 – x1
P2=(x2; y2)
M(x; y)
y2–y1
a
P1=(x1; y1) y y x1
x
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ejemplo numérico Dados P(4; 3) y P(2 – 1) reemplazando en la fórmula se tendrá:
y x
y – y1 = y2– y1 (x – x1) x2 – y1
x2
y – 3 = (–1)–3 (x – 4) 2–4
Tgα = y2 – y1 x2 – x1
y = 2x – 8 + 3 = 2x – 5
Tomando un punto cualquiera entre P1 y P2 en nuestro caso M(x, y), la tangente de la recta en este punto es: m = Tga
⇒ y = 2x – 5
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Calcula las coordenadas del punto medio del AB , si A = (1; 7) y B = (32; 5)
4. Determina para que valor de «a» la recta: L1: (a + 2)x + (a2 – a)y + 3a2 – 8a + 5 = 0 es paralela al eje de abscisas Resolución: Sabemos que la ecuación de la recta, está dada por: y = mx + b
2. Calcula el área de la región determinada por los puntos: M = (9; 9), N = (3; 4), P = (7; 8) 3. Calcula las coordenadas de punto medio de AB . y A(4; 8)
45º B
5.°
año
x
85
pendiente Ahora, por condición del problema; y = k por lo que m = 0; entonces: (a + 2) = 0 a = –2
GEOMETRÍA
5
GEOMETRÍA ANALÍTICA 9. Determina la ecuación de la mediatriz del segmento de recta determinada por los puntos A(1; 2) y B(5; 2).
5. Determina para que valor de «b» la recta: L1: (2b – 1)x – by + 1 = 0 es paralela al eje de ordenadas. 6. Los vértices de un triángulo ABC son A(2; 7), B(5; 1) y C(x; 3) si su área es 18u2. Calcula el valor de la abscisa de «C».
10. Dada las rectas paralelas: L1: 2x + ay – 4 = 0 L2: (a + 1)x + y + 1 = 0
7. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1; 5) y tiene pendiente igual a 2.
11. Una recta que pasa por los puntos A(3; –1) y B(2; –6). Determina su ecuación en la forma simétrica.
UNMSM 8. Determina la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene por extremos A(–3; 2), B(1; 6) Resolución:
UNI 12. Determina la ecuación de la recta que pasa por M(2; 1) y es perpendicular a la recta: L: 5x + 3y – 3 = 0 Resolución:
B(1; 6)
mL = –5 ⇒ mL⊥ = 3 3 5
P(x1;y1) A(–3; 2) x1 = –3+1 = –1 2 y1 = 2 + 6 = 4 2
L (Mediatriz)
y + x – 3 = 0 (ecuación de la mediatriz)
5
GEOMETRÍA
y – 1 = 3 ; de donde x–2 5 L⊥: 5y – 3x + 1 = 0
13. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 1) y es perpendicular a la recta 3x – 4y + 12 = 0
mAB = 6 – 2 = 1 ⇒ mL⊥ = –1 1–(–3) Entonces: y – 4 = –1 x–(–1)
(por ser perpendiculares)
mL mL⊥ = –1
P(–1; 4)
Calcula el valor de «a»
14. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3; 6), B(–; 3) y C(2; –1). Calcula la longitud de la altura trazada dese «C».
86
5.°
año
6 Circunferencia y parábola Circunferencia
Ecuación canónica
El centro tiene como coordenadas al punto (0; 0)
Es el lugar geométrico de aquellos puntos equidistantes de un único centro ubicado en el mismo plano r. y C r
⇒ x2 + y2 = r2
ZZ Centro: C(h, k) ZZ Longitud del
Ecuación general
radio: r La ecuación ordinaria será (x–h)2+(y–k2)=r2
k
h
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D = –2h F = h2 + k2 – r2 E = –2k
x
Parábola
Es el lugar geométrico de aquellos puntos que poseen la misma distancia hacia un punto fijo (foco) y una recta (directriz). L y
R P
Q
2p
ZZ Vértice: V(h; k) ZZ Foco: F ZZ Parámetro: p ZZ Directriz: L ZZ Eje focal: L’
k
P
V(h;k)
F
P
2p A h
L’
ZZ Lado recto: RS ZZ RS = 4 p
x S
5.°
año
87
GEOMETRÍA
6
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA
Ecuación
Eje focal paralelo al eje y
Eje focal paralelo al eje x
y
y
F p V p F (h;k)
k
eje focal
V(h;k)
x
h
x
(x – h)2 = 4p(y – k)
(y – k)2 = 4p(x – h)
Recomendación
Para determinar la ecuación de la circunferencia necesitamos: 1. Longitud del radio 2. Coordenadas del centro Para determinar la ecuación de la parábola necesitamos: 1. Parámetro (p) 2. Coordenadas del vértice (h, k)
Trabajando en clase 3. Determina la ecuación de la circunferencia.
Integral 1. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(–3; 2) y cuyo radio mide 3 u.
y
2. Si OA es el radio de una circunferencia. Determina su ecuación.
R (0;0)
A(2;5)
O
(8;0) x
O(0; 0)
6
GEOMETRÍA
88
5.°
año
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA PUCP
UNMSM
4. Determina la ecuación de la circunferencia inscrita en el DABC.
8. Determina la ecuación de la parábola Resolución:
y
y
A(0;8)
P (2;3)
F C
B(15;0) y
Resolución:
V
y (0;8) A
17 C
3
3
r 15
B (15;0) x
Aplicamos Poncelet: 8 + 15 = 17 + 2r 6 = 2r 3=r El centro sería C(3; 3) Por lo tanto la ecuación será: (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
x
La forma de la ecuación será: x2 = 4py Reemplazando el punto (2; 3) (2)2 = 4p(3) 4 = 4p(3) ⇒ 4P = 4 3
La ecuación será: x2 = 4 3
9. Determina la ecuación de la parábola. y
P(1;2)
V
5. Determina la ecuación de la circunferencia inscrita en el DABC.
x
y 10. Determina la ecuación de la parábola cuyo foco es F = (5; 5) y su directriz es L: x – 3 = 0
B(0;9)
11. Determina la ecuación de la parábola si PQ : lado recto.
C A(40;0) x
4 5u
6. Calcula el área del círculo cuya circunferencia tiene como ecuación: C: x2 + y2 – 10x – 2y + 1 = 0
O
7. Calcula las coordenadas del centro de una circunferencia cuya ecuación es: C: x2 – 4x + y2 – 6y – 12 = 0
5.°
año
P
y
F
x
Q
89
GEOMETRÍA
6
CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA UNI
13. Calcula la medida del radio de la circunferencia.
12. Determina las coordenadas del centro de la circunferencia. y
y
(x–3)2=4p(x–4)
T
Resolución: El vértice V será (3; 4) por lo tanto el centro de la circunferencia estará en el punto (3; 2)
GEOMETRÍA
x
14. Determina las coordenadas del foco de la parábola si FPOQ es un cuadrado y S = 16u2.
x
6
V
P
V
(y–2)2=4p(x–4)
P
y S
F
90
Q
V O
x
5.°
año
7 La elipse Definición
Ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
y
Elementos
E B
A D
a
b
L’
P(x,y)
A(0;b)
P(x,y)
V’(–a;0)
c (0;0)
F’(–c;0)
F’
C
V(a;0) x
M A’(0;–b)
V
V’
F(c;0)
F
L Su ecuación será:
E’
B’ D’
A’
x 2 y2 + =1 a2 b2
M’ Además:
a2 = b2 + c2
F, F’: focos de la elipse C: centro V, V’: vértices de la elipse L: eje focal L ’: eje normal VV’ : eje mayor AA’ : eje menor MM’: lado recto BB’ : cuerda EE’ : cuerda focal DD’ : diámetro PF’ , PF’ : radio vectores
Observación
Área de una región elíptica A=a⋅bπ
Ecuación de la elipse con centro C(h, k)
b F’(h–c,k)
O
5.°
año
A(h,k+b)
y
91
a c C (h,k) F(h+c,k) A’(h,k–b)
x
GEOMETRÍA
7
LA ELIPSE
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas
Su ecuación será: (y–k) (x–h) + =1 2 b2 a 2
2
y
Excentricidad (e)
A(0,b)
Se llama excentricidad a la razón e=
c a
2b
F’(–c,0)
Observación Como c < a se tiene siempre que: e < 1
2c 2a V’(–a;0) (0;0)
La hipérbola Definición
L’ S
x 2 y2 – =1 a2 b2 Además: c2 = a2 + b2
A
Ecuación de la hipérbola con centro C(h, k)
V’
y
D’
S’
A(h,k+b)
C
D
V
F
L
F’(h–c,k)
E’
a
V’(h–c,k) C(h, k)
L
V(h+a,k) F(h+c,k)
A’(h,k–b)
Elementos
(0;0)
F, F’: focos de la hipérbola C: centro V, V’: vértices de la hipérbola L ’: eje focal L : eje normal VV’ ; eje transverso AA’ : eje conjugado LL’ : lado recto SS’ , SS’’ : cuerdas EE’ : cuerda focal DD’ : diámetro FP , FP’ : radio vectores GEOMETRÍA
c
b
A’
7
x
Su ecuación será:
L’
S’ P
F’
V(a,0) F(c;0)
A’(0;–b)
Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. E
c
x
Su ecuación será: (y–k)2 (x–h)2 – =1 b2 a2
Excentricidad (e)
Se llama excentricidad a la razón: e=
92
c a
5.°
año
LA ELIPSE Observación: Como c > a se tiene siempre que e > 1.
ZZ Las rectas L1 y L2 son llamadas asíntotas de la
hipérbola.
x2 y 2 – =1 a2 b2
Asíntotas de la hipérbola L1 Tienen por ecuación:
A(0;b)
L1: bx + ay = 0
c
b
L2: bx – ay = 0
a V’(–a;0)
F’(–c;0)
V(a;0)
F(c;0)
Advertencia pre La distancia entre los vértices de la elipse es: V1V2 = 2a
A’(0;–b) L2
Trabajando en clase Integral
3. Calcula el área de la región elíptica F1 y F2 son focos.
1. Determina la ecuación de la elipse si F1 y F2 son sus focos.
y y 4u F1
O
5u 53º
F2 F2
12u
F1
x
x
PUCP 4. Determina la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0; 0) y cuyos focos son los puntos F1(3; 0) y F2(–3; 0); además uno de sus vértices tiene por coordenadas V1(5; 0).
2. Para la ecuación dada de la hipérbola 9x2 – 4y2 = 36. Halla las coordenadas de los vértices y los focos.
5.°
año
93
GEOMETRÍA
7
LA ELIPSE
Resolución: Como uno de los vértices de la elipse es V1(5; 0), se tiene que a = 5 y como c = 3 se tiene que b2 = 52 – 32 = 16 → b = 4
y
d(PF1) = (3 – 3)2 + (4 – (1 + 13 ))2
5u V2(–5;0)
F2
0
3u
Además: c2 = a2 + b2 → c = 9+4 = 13 y el centro es (3; 1) Luego las coordenadas del foco son F1(3; 1 + 13 ) y F2(3; 1 – 13 ) Los radios vectores son:
F1
V1(5;0)
x
→ d(PF1) = 3 –
3
2 2 d(PF2) = (3 – 3) + (4 – (1 – 3 ))
3
→ d(PF2) = 3 +
∴ Los radios vectores son: 3 – 3 u y 3 + 3 u.
Luego su ecuación viene dada por:
x2 y2 x2 y2 + = 1 ⇒ + =1 a2 b2 52 42
∴
9. Calcula las longitudes de los radios vectores al punto M(5; –2) de la hipérbola x2 – 9y2 – 4x + 36y – 41 = 0
x2 y2 + =1 25 16
10. Los vértices de una hipérbola son (0; 4), (0; –4) y su excentricidad es igual a 3/2. Determina la ecuación de la hipérbola.
5. Determina la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0; 0) y cuyos focos son los puntos F1(4; 0) y F2(–4; 0), además uno de sus vértices tiene por coordenadas V(–5; 0).
11. Del gráfico, calcula el área de la región sombreada F1 y F2 son focos.
6. La ecuación de la elipse es: 9x2 + 4y2 = 36. Calcula su excentricidad.
y C
7. Determina la ecuación de la elipse cuyos vértices son V1(4; 0) y V2(–4; 0) y cuyos focos son los puntos F1(3; 0) y F2(–3; 0)
F2
O
8. Calcula las longitudes de los radios vectores al punto P(3; 4) de la hipérbola. 9x2 – 4y2 – 54x + 8y + 113 = 0 Resolución: Vamos a reducir la ecuación anterior a la forma ordinaria completando cuadrados 9(x2 – 6x) – 4(y2 – 2y) = –113 9(x2 – 6x + 9) – 4(y2 – 2y + 1) = –113 + 81 – 4 De donde: 9(x – 3)2 – 4(y – 1)2 = –36
ε:
C: x2 + y2 = 81
12. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente 2 a la elipse 4x2 + 5y2 = 8 Resolución: Las rectas tangentes de pendiente 2 tendrán la forma: y = 2x + k; k ÷ cte luego reemplazando y en la ecuación de la elipse tenemos: 4x2 + 5(2x + k)2 = 8
Luego: a2 = 9 → a = 3 b2 = 4 → b = 2
GEOMETRÍA
x2 y2 + =1 144 81
UNI
(y– 1)2 (x–3)2 – =1 → 9 4
7
O
ε
UNMSM
F1
94
5.°
año
LA ELIPSE 4x2 + 5(4x2 + 4kx + k2) = 8 24x2 + 20kx + 5k2 – 8 = 0 Como las rectas son tangentes la ecuación cuadrática anteriormente mencionada debe de tener solución única, entonces: D = (20k)2 – 4(24)(5k2 – 8) = 0
13. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes de pendiente 3 a la elipse.
→ k = ± 4 15 5
14. Determina el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola:
∴ Las ecuaciones de las rectas tangentes serán: 10x – 5y – 4 15 = 0 10x – 5y + 4 15 = 0
5.°
año
x2 y2 + =1 9 4
x2 y2 – =1 9 4
95
GEOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Calcula el volumen del prisma. F
E
a) 200 m2 b) 240 m2
C
H
c) 280 m2 d) 300 m2
e) 350 m2
4. Calcula el área de la superficie total del cono de revolución mostrado.
13m
V 30º B
A
D
a) 250 m b) 300 m3
C 5m
c) 380 m3 d) 410 m3
3
O
A
e) 450 m3
a) 40π m2 b) 42π m2
2. Calcula el área de la superficie total del cilindro circular recto.
B
4m
c) 46π m2 d) 48π m2
e) 53π m2
5. Calcula el volumen del tronco de pirámide.
4m
A=4m2
8m
6m O
a) 64π m2 b) 70π m2
c) 78π m2 d) 100π m2
e) 128π m2 a) 54 m3 b) 56 m3
3. Calcula el área lateral de la pirámide regular mostrada. 12m
B A
C
6. Calcula el área de la superficie esférica (AB = 16 m) B r M
D
45º
B=16m2 c) 58 m3 e) 62 m3 3 d) 60 m
A
8 2m
R
8m O
V
8
GEOMETRÍA
96
5.°
año
REPASO a) 340π m2 b) 360π m2
c) 470π m2 d) 500π m2
10. Determina la ecuación de la parábola cuyo foco es (4; 2) y la directriz es x = –6. a) (y – 2)2 = 20(x + 1) b) (y + 2)2 = 20(x + 1) c) (y – 2)2 = 20(x – 1) d) (y + 2)2 = 20(x – 1) e) y2 = 5x
e) 512π m2
7. Calcula el volumen generado por la figura al rotar 360º alrededor de la recta L. B
360º
D
6m
11. Calcula el área de la región encerrada por la elipse mostrada. (F1: foco; O: centro) y
3m A
C V1
L a) 108π 3m3 c) 210π 3 m3 e) 360π 3m3 b) 200π 3 m3 d) 330π 3 m3
x
F1
8. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a la recta 4x – 3y + 7 = 0 y pasa por el punto P(–2; 3). a) 4x + 3y – 6 = 0 d) x + y – 12 = 0 b) 2x – 2y – 3 = 0 e) x – y – 6 = 0 c) 3x + 4y – 6 = 0
53º
O (–7;–3)
60u
9. Determina la ecuación de la circunferencia. y
A x
5m
V2
O
a) 360π u2 b) 410π u2
B a) x2 + y2 = 5 b) x2 + (y – 5)2 = 25 c) (x – 5)2 + y2 = 25
c) 440π u2 d) 540π u2
e) 560π u2
12. Sea la hipérbola 2x2 – 6y2 – 4x + 18 y – 42 = 0. Determina la distancia del centro de la hipérbola hacia la recta 3x – 4y – 1 = 0 a) 1 u c) 3 u e) 5 u b) 2 u d) 4 u
d) x2 + (y + 5)2 = 25 e) (x + 5)2 + y2 = 25
Bibliografía 1. ROBLES, Victor. Editorial Lumbreras. Lima. Perú. I Edición. 2. RINCÓN ABELLO. Un recorrido por la geometría. Bogotá. Colombia. I Edición. 3. DONAYRE PEÑA, Milton. La geometría en las Olimpiadas matemáticas. Lima. Perú. I Edición.
5.°
año
97
GEOMETRÍA
8
