Trigonometría
1 Sistemas de medición angular ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es la rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial a una posición final.
Observación:
Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo su medida cambiará de signo.
Advertencia pre: Para convertir un ángulo en un sistema distinto, se tiene que multiplicar a dicho ángulo por un factor de la forma:
x → Sistema que quiero y → Sistema que no quiero 3
TRIGONOMETRÍA
1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
5.o año
Trabajando en clase 1. Halla el valor de “x”.
2. Halla el valor de “x”.
≠ = 180º = 25° 42’ 51’’ 7 7 ⇒ a = 25 b = 42 c = 51 Piden: a + b + c = 25 + 42 + 51 = 118
9. Si: ≠ rad = a° 3b’ 1c’’ 21 Calcula: R = b a-c 3. Halla el valor de “x”, si: 63° = (4x – 6)g
10. Si un ángulo se expresa como ab° y también como (a+1)0g, halla: “a + b”.
4. Halla el valor de “x” si se cumple: 20g = x≠ rad 20 Resolución: 20 g = x≠ = ≠ rad 200 g 10 ≠ x≠ rad = rad 10 20
11. Halla un ángulo en radianes, tal que: 2C – S = 55
12. Señala la medida radia de un ángulo que verifica: 3S – C + 20R = 20,1416 Resolución: 3S – C + 20R = 20,1416 3(9k) – (10k) + 20 f ≠k p = 20,1416 20 144424443 17k + pk = 20,1416 Reemplazando: p = 3,1416 17 k + 3,1416k = 20,1416 144424443 20, 1416 k = 20, 1416 k=1 Piden: R = ≠k = ≠ rad 20 20
x=2
5. Halla el valor de “x” si: 40g = x≠ rad 40 6. En un triángulo rectángulo sus ángulos agudos miden 20mg y 12m°. Expresa en el sistema radial el siguiente ángulo: a = (1 + m + m2 + m3)g 7. En un triángulo ABC, sus ángulos internos miden: 10xg, 21x° y ≠x rad. Señala el valor de “x”. 6
13. Señala la medida radial de un ángulo que verifica: S + C + R = 383,1416
8. Halla el valor de: a + b + c, si se cumple: ≠ rad = a° b’ c’’ 7
14. En un triángulo isósceles, los ángulos congrueng 2 tes miden: d x + 18x + 1 n cada uno. Si dicha x medida es mínima (x ∈ R+), ¿cuál es la medida
Resolución: ≠ rad # 180º = 180º ≠rad 7 7
1
TRIGONOMETRÍA
radial del ángulo desigual?
4
5.o año
SECTOR CIRCULAR
Sector circular
L: longitud de arco q: ángulos en radianes R= radio de la circunferencia Tener en cuenta:
Z ]θ = a - b ] c Se cumple [ ( a + b) c ]] S = 2 \
Trabajando en clase Integral 1. En un sector circular el ángulo central mide 3rad y el radio 5cm. Calcula el perímetro del sector circular.
3. Halla el área de la región sombreada.
2. Si OA =AB=8m, halla el área del sector AOB.
Resolución:
PUCP 4. Halla la medida del radio de la circunferencia mostrada.
5
TRIGONOMETRÍA
1
5.o año
SECTOR CIRCULAR Piden:
L=qR ≠ 2≠ = R 2 R=4 5. Halla la medida del radio de la circunferencia mostrada.
6. Calcula: E =
S1 + S 4 S 2 + S3
1 ≠ (4 ) 2 2 12
S1 = S2 1 ≠ (6) 2 2 6 1 4 1 16≠ 16 ≠ .6 S1 = 12 = S2 36≠ 36 ≠ .12 6 3 6 3 S1 2 = S2 9 9. Calcula:
Resolución:
S1 S2
S= 7. Halla el área sombreada
10. En la figura AOB y COD son sectores circulares. Si el área de COD es 9cm2 y la longitud del arco AB es 10 cm, halle el área de la región sombreada.
–
S = 1 ≠ b2 - 1 ≠ a2 2 5 2 5 S = ≠ _ b2 - a2i 10 S = ≠ (82) ← pitágoras 10 S = 64≠ 10 S = 6,4 p
13. En la figura AOB y DOC son sectores circulares. Si AC = 10, halla el área sombreada. UNMSM 8. Calcula:
S1 S2
11. En la figura mostrada: OA = OB = 60 cm. O y B son centros. Calcula la longitud ! del arco PQ . 14. Calcula el área de la región sombreada. ! ! _L! AC = LCD = L BD i
Resolución: * 15° ×
1
≠ = ≠ 180º 12
UNI
* 30° × ≠ = ≠ 180º 6
12. En la figura AOB y DOC son sectores circulares, si AC=8, halle el área sombreada.
TRIGONOMETRÍA
6
2
Razones trigonométricas de ángulos agudos
OPERADOR TRIGONOMÉTRICO Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. El día de hoy se estudiaran a seis de ellos, los cuales son: Operador
Abreviatura
Seno
Sen
Coseno
Cos
Tangente
Tan
Cotangente
Cot
Secante
Sec
Cosecante
Csc
Donde: a y c son catetos b es la hipotenusa a y b son los ángulos agudos Cateto opuesto
Cateto Hipotenusa adyacente
Respecto al ángulo a
a
c
b
Respecto al ángulo b
c
a
b
Con respecto al ángulo agudo a se tiene:
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
La razón trigonométrica en un triángulo rectángulo, es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Sena =
cateto opuesto a = hipotenusa b
Cosa =
cateto adyacente c = hipoteusa b
Tana =
cateto opuesto =a cateto adyacente c
Cota =
cateto adyacente c = cateto opuesto a
Seca =
hipotenusa = b cateto adyacente c
Csca =
hipotenusa = b cateto opuesto a
Sea un triángulo rectángulo ABC.
b2 = a2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
7
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
5.o año
Trabajando en clase N= a+b =1 a+b
Integral 1. Si: Tanx = 1 3 Calcula: L = 10 Cscx (x: agudo)
5. Del gráfico mostrado, calcula: L = Tanf – Tany
10. Del gráfico calcula Cota, si: Cotf = 2,4
Cotθ + Cotβ 2. Calcula: Cotα
6. En un triángulo ABC, recto en A, reduce la siguiente expresión: 3. Calcula:
a2 TanB . SenB . SenC
Tana . Tanb
11. Si en el gráfico “I” es el incentro del triángulo ABC, calcula: R = Cota + Cotb
7. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple: 4SenA=7SenB. Calcula: 65Sen2A – 42TanB.
PUCP 4. Del gráfico mostrado, calcula: N = Tana + Tanq
9. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es de 210 m, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Halla cuánto mide el cateto menor.
UNMSM 8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de sus ángulo agudos es 2,6. Calcula la longitud del mayor cateto. Resolución:
UNI 12. Si AB=BC, calcula: Q = Cota – Cscf
Csca = 2,6 = 26 = 13 ! H 10 5 ! CO Resolución:
Resolución:
Piden: N = Tana + Tanq N= a + b a+b a+b
2
TRIGONOMETRÍA
Dato: perímetro = 150 1442443 13K + 12K + 5K = 150 30K = 150 K=5 Piden: 12K = 12(5) = 60u
8
Aplicando Pitágoras en los triángulos ABO y BCO a2 + b2 = 52 ( 2
2
2
a +3 =b (
ABO) BCO)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Resolviendo las ecuaciones:
5.o año 13. Calcula: Tanb
a=2 2 Piden: Q = Cota – Cscf Q=
14. Si AC es diámetro. Calcula Cotq, siendo AF = 20 ∧ ED = 16 (EB = BD)
3 - 5 2 2 2 2
Q = - 2 =- 1 2 2 2
9
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
Razones trigonométricas de ángulos notables TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Destacan los siguientes triángulos: b) De 45° y 45°
a) De 30° y 60°
c) De 37° y 53°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 30°
45°
60°
37°
53°
Seno
1 2
2 2
3 2
3 5
4 5
Coseno
3 2
2 2
1 2
4 5
3 5
Tangente
3 3
1
3
3 4
4 3
Cotangente
3
1
3 3
4 3
3 4
2 3 3
2
2
5 4
5 3
2
2
2 3 3
5 3
5 4
Secante Cosecante
Advertencia pre
Por lo tanto: Tan A = a c+b 2 Cot A = c + b 2 a
2
TRIGONOMETRÍA
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año
Trabajando en clase 6. Del gráfico, halla: SenxCscy
Integral 1. Calcula “x” en la igualdad: 2xSen30° + 2Sec260° = 4xTan45° + 5Cos53° 2. Halla el valor de: L=(Sec53°+Cot37°)Cos60°Cot45°
7. Halla: Cot 45 2
3. Del gráfico, calcula Tanq
UNMSM 8. Calcula:
M = 4Tana + 7Tanq
PUCP 4. Del gráfico, calcula Tanq si en triángulo ABC es equilátero.
Resolución:
Resolución:
Piden: M = 4Tana + 7Tanq 2 3 +73 3 M= 4 8 7
Tanq = 3 6
5. Del gráfico, calcula Tana (ABC: equilátero)
M=4 3
9. Del gráfico, calcula: N = 27Tana – 29Tanq
11
TRIGONOMETRÍA
2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
5.o año 10. Si Senq = Tan37°
Resolución
Calcula: E=
7 Tanθ + 1
11. Del cubo mostrado, halla Cos2a + Tan230° Del gráfico: Tanq = 1 2 13. Del gráfico mostrado calcular “Tanq + Tan60°” (ABCD: cuadrado)
UNI 12. Del gráfico, calcula Tanq
(ABCD es un cuadrado)
2
TRIGONOMETRÍA
14. De la figura mostrada, calcula el perímetro del triángulo.
12
3
Propiedades de las Razones Trigonométricas
Si tomamos el triángulo ABC, recto en C, como referencia:
RAZONES COMPLEMENTARIAS Llamadas también co–razones, se caracterizan por tener igual valor numérico solo si sus ángulos suman 90°, por ejemplo: SenA = a y CosB = a c c → SenA = CosB Generalizando:
RAZONES RECÍPROCAS Son aquellas parejas de R. T. cuyos valores son inversos, por ejemplo: SenA = a ⇒ CscA = c c a
SenA = CosB
TanA = CotB
SecA = CscB
R.T.(q) = Co-R.T. (90º – q)
SenA . CscA = a . c = 1 c a En conclusión: SenA . CscA = 1 CosA . SecA = 1 TanA . CotA = 1
⇒
A + B = 90º
También se puede escribir:
Ahora, si multiplicamos estas R.T. tendríamos:
⇒
Tener en cuenta:
Ángulos iguales
Para que estas propiedades se cumplan los ángulos tienen que ser agudos.
Trabajando en clase Integral
3. Sabiendo que:
1. Indica V o F según corresponda: I. Sen25° = Cos65°...................................... ( )
Calcula:
Tan3x.Cot(48°-x)=1
E = Sec25x - 4Tan(3x + 1°)
II. Tan20°.Cot70°=1..................................... ( ) III. Cos50°.Sec40°=1..................................... ( )
UNMSM
IV. Tan(15°+x)=Cot(75°-x).......................... ( )
4. Si: (Cos17°+5Sen73°).Sec17=4Tana (0°< a <90°) halla el valor de: M = Sena + 5Cosa UNMSM2002
2. Calcula “Sen3x”, si: Sec(3x–20°) = Csc(5x+30°)
13
TRIGONOMETRÍA
3
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
5.o año Resolución: (Cos17 + 5 Sen73°) . Sec 17° = 4Tana (Cos17 + 5 Cos17°) . Sec 17° = 4Tana 6Cos17°Sec17° = 4Tana 144424443 6(1) = 4Tana CO CA
" "
3 = Tanα 2
9. Si Cos4x.Sec(90° - 3x) = 1. Halla el valor de: L = Sen6x + Tan5x + Sec4x Cosx Cot2x Csc3x 10. Considera a = _ x + y + 60 i° y b = _ x - y + 10 i° en el primer cuadrante de modo que: SenaSecb = 1. Hallar “x”. (UNMSM 2008-II) 11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se tiene:
Piden: M = Sena + 5Cosa M = 3 + 5. 2 13 13
12. Si q es la medida de un ángulo agudo que verifica la igualdad: Sec b ≠ Tanθ l = Csc b ≠ Tanθ l 3 4 Calcula el valor de:
5. Reduce: P=(7Sen42°+2Cos48°).Csc42°+5Sec60°
E = 2Senθ - Cosθ Cosθ - Senθ
6. Reduce:
Resolución: Dato: Sec b ≠ Tanθ l = Csc b ≠ Tanθ l 3 4
M = Sen1ºSen2ºSen3º...Sen89º 3Tan20º + Tan70º Cos1ºCos2ºCos3º...Cos89º (UNMSM 2005)
≠ Tanθ + ≠ Tanθ = 90 3 4 60ºTanq + 45
7. Si: Sen(4x+10°)Tan(3x+30).Secx=Cot(60°-3x) Calcula: P = 6Tan2(3x - 18°) + 7Tan6(x+29°) (UNMSM 1992)
7 105 Tanθ
CO CA
PUCP 8. Si Tan5x=Cot6x, simplifica: L = Sen8x + Tan10x Cos3x Cotx Resolución: Dato: Tan5x = Cot6x 5x + 6x = 90° 11x = 90° 11x = 90° 14243 8x + 3x = 90° Sen8x = Cos3x Sen8x = 1 Cos3x Piden: L = Sen8x + Tan10x Cos3x Cotx L = 1 + 1
3
⇒L=2
TRIGONOMETRÍA
Halla. “CscA”
UNI
M = 13 = 13 13
SenA SenA SenA = _CosB iSenA
11x = 90° 14243 10x + x = 90° Tan10x = Cotx Tan10x = 1 Cotx
" "
= 90 6 6 = Tanθ 7
Piden: E = 2Senθ - Cosθ Cosθ - Senθ 26 - 7 E= m m ⇒E= 7 - 6 m m
5 m ⇒E=5 1 m
13. Si q es la medida de un ángulo agudo que verifica la igualdad: Sen b ≠ Cotθ l = Cos b ≠ Cotθ l 6 4 Calcula el valor de: E = Cosθ + Senθ Cosθ - Senθ 14. Sabiendo que: Tan(40°+x).Sen(50°-x)=Cos(10°+x) Tan(2x-5°). Tany=Tan1°.Tan2°.Tan3°.Tan4°…..Tan89°. Calcula: E=Sec2(2x+5°)+Tan2(y+5°)+Csc2(y-x-5°)
14
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5.o año
Resolución de triángulos rectángulos REGLA GENERAL
Lado incógnita = (Lado dato) × R.T.(q) Caso 1
Caso 2
Caso 3
Advertencia pre
S: área S = abSenθ 2
15
TRIGONOMETRÍA
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5.o año
Trabajando en clase Integral 1. Halla “x” en función de los datos dados.
2. Halla “x” en función de q y a
Piden: perímetro 1444442444443 n + nCotq + nCscq n(1 + Cotq + Cscq) 5. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide a y su cateto adyacente mide “a”. Halla el perímetro de dicho triángulo.
DC = Cota m DC = mCota ABCD: cuadrado ⇒ AD = DC x + m = mCota x = m(Cota – 1) 9. Si ABCD es un cuadrado, halla “x”
6. Determina “x” en función de “m” y “a”
3. Determina el área del triángulo ABC.
PUCP 4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°) uno de los ángulos agudos mide “q” y el cateto opuesto a este mide “n”. Obtén el perímetro del triángulo.
7. Determina “x” en función de “m”, “a” y “q”
UNMSM 8. Si ABCD es un cuadrado, halla “x”.
10. Halla AB es función de “R” y “q“
11. En la figura, halla “x” (UNMSM - 2003)
Resolución: UNI
Resolución:
12. Del gráfico mostrado, halla “x”.
AB = Cotθ " AB = nCotθ n AC = Cscθ " AC = nCscθ n
3
TRIGONOMETRÍA
16
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
5.o año
Resolución FD = Cosθ b FD = b.Cosθ
ED = Senθ a ED = a.Senθ
(EBCF: rectángulo) → BC = EF 14243 BC = ED – FD x = aSenq – bCosq
14. Del gráfico, halla ED en función de “R” y “q”.
13. Halla “x” en función de “m” y “n” y “q”.
17
TRIGONOMETRÍA
3
4
Ángulos verticales
DEFINICIÓN Son aquellos ángulos formados en el plano vertical con dos líneas llamadas visual (línea de mira) y horizontal. Si la visual se encuentra sobre la horizontal el ángulo recibe el nombre de “elevación”, de lo contrario recibe el nombre de “depresión”
Advertencia pre
Se conoce como ángulo de observación al ángulo formado por dos visuales.
Trabajando en clase Integral 1. Desde la parte superior de un acantilado de 48m se observa una lancha con un ángulo de depresión de 37 °. ¿A qué distancia del pie del acantilado se encuentra la lancha? 2. Una persona de estatura “ b” metros; observa la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación “q”. Halla la altura
4
TRIGONOMETRÍA
del árbol si la visual para la visión efectuada mide “a” metros.
elevación de 30° , luego de alejarse 40 m observa nuevamente con un ángulo de elevación de 15° . Halla la altura del edificio
3. Un niño de 1 m de estatura observa los ojos de una señorita de estatura 3 con un ángulo de elevación a. Calcula la distancia que los separa, sabiendo que: Cotα = 3 + 1 PUCP 4. Una persona observa lo alto de un edificio con un ángulo de
18
Resolución:
∴ x = 20m
5.o año
ÁNGULOS VERTICALES 5. Una persona observa lo alto de un árbol con un ángulo de elevación de 15°, luego de acercarse 12m observa nuevamente con un ángulo de elevación 30°. Halla la altura del árbol. 6. Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con una ángulo de elevación de 60° y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 30°. Si la altura del pedestal es de 2 m. Halla la altura de la estatua. 7. Desde un punto ubicado en la parte superior de un faro a 20m sobre el nivel del mar , se observa a dos barcos que se encuentran colineales con ángulos de depresión a y b . Si: Cota – Cotb = 10, halla la distancia entre dichos barcos. UNMSM 8. En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera; a 12 m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de elevación a y b, respectivamente. Halla la altura del asta si: Tana = 1,5 y Cotb = 0,6 Resolución:
Dato:
Tana = 1,5
a =3 12 2
→ a = 18 Dato:
Cotb = 0,6
2 12 6 x a = 10 + 20=x+a 20=x+18 x=2
9. Es la parte superior de un edificio, se encuentra una antena, a 15 m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior de la antena con ángulo de elevación a y q respectivamente: halla la longitud de la antena si: Tana = 2 y Tanq = 7 3 10. Desde la azotea de dos edificios de 20 y 12 metros de altura, se observa un punto en el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53° y 37°, respectivamente. Calcula la distancia entre ambos edificios. 11. A 20 de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación a y si nos alejamos 10 m el ángulo de elevación es el complemento de a. Halla Tana. UNI 12. Un avión que inicialmente se encuentra a 2800 m de altura
19
sobre un objeto, empieza a descender con un ángulo de 37° por debajo de la línea horizontal 500 m en total, luego avanza en forma horizontal una distancia “x” y en ese preciso instante el piloto observa el objeto con un ángulo de depresión de 45°. Halla “x”. Resolución:
Objeto
Del gráfico: 400 + x = 2500 x = 2100m 13. Un avión que inicialmente se encuentra a 2700m de altura sobre un objeto, empieza a descender con un ángulo de depresión de 45°, 600 2 m, luego avanza en forma horizontal “x” y en ese instante el piloto observa el objeto con un ángulo de depresión de 37°, halla “x”. 14. Desde un punto en el suelo se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación a, si avanzamos el triple de la longitud de dicho edificio, el nuevo ángulo de elevación sería el complemento de a. Obtener el valor de: . K = Tan2a + Cot2a
TRIGONOMETRÍA
4
5.o año
REPASO
Repaso Trabajando en clase 1. Dos de los ángulos de un triángulo miden 60g y ≠ 12 rad. Calcula el tercer ángulo en grados sexagesimales. (UNFV - 2004) a) 99°
b) 111°
d) 133°
e) 144°
c) 122°
2. ¿Cuántos segundos hay en: b = 2°4’5’’? (PUCP-2004) a) 7444’’
b) 7445’’
d) 7404’’
e) 7448’’
c) 7446’’
a) 12m
b) 14m
d) 18m
e) 20m
c) 16m
4. Calcula q (en radianes)
b) 14
d) 35
e) 15
c) 27
6. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe que BC=65. Si además CosA = 84 determina el pe85 rímetro de dicho triángulo. (UNFV - 2008)
3. Calcula la longitud del radio de una circunferencia de 56 m de longitud de arco que subtiende un ángulo central de 4 radianes. (PUCP 1995)
a) 13
a) 195
b) 810
d) 728
e) 546
c) 910
7. Halla el valor de “x” en la ecuación: 6(x–1)Cos245º – (x–40)Csc30º = x Tan260º 2 (UNMSM 2006-II)
(UNAC-1990)
a) 10
b) 21/5
d) 21/4
e) 14
c) 15
8. En la figura, AOC es un cuadrante y AOD es un triángulo equilátero. Calcula: Q = 4 3Cotθ + 3 (UNALM 1996) a) 1/2
b) 3/4
d) 5/2
e) 4/3
c) 2/3
5. En el gráfico adjunto, calcula la medida del arco ! AB . (UNMSM 2006-I)
4
TRIGONOMETRÍA
20
5.o año
REPASO a) 1 d) 3
b) 2 e) 3
11. Halla la longitud de la piscina “x” en función de los datos mostrados. (UNI 1998-I)
c) 2
9. Siendo los menores ángulos positivos que verifican las relaciones: ...................(I) Sena . Sec(3a + q) = 1 ...................(II) Tana . Tan(2a + q) = 1 Determina el valor de: M = 2Sen(4a – q) + Tan(2q – a) (UNALM - 2006) a) 5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. En la figura, calcula “x” si “D” es punto medio de AC (UNAC 2006-I)
a) 2aCosaSenb c) 2aCscaCscb e) 2aCotaCosb
a) LCosq + d + (h + LSenq) Cotf b) LCosq + d + (h + LSenq) Tanf c) LSenq + d + (h + LCosq) Tanf d) LSenq + d + (h + LCosq) Cotf e) LSenq + d + (h + LSenq) Cotf 12. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio y de la antena que se encuentra en su parte más alta. Los ángulos de elevación son 45° y 53°, respectivamente. Si la longitud de la antena es de 6 m, ¿Cuál es la altura del edificio? (UNALM - 2001) a) 2 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36
b) 2aCotaSenb d) 2aSenaCosb
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: McGranw-Hill HALL, H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elementa. Editorial: Uteha. HOBSO, E. W.: Plane anda advanced trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K. : Historia de las matemáticas. Editorial Mir. Moscú. Trigonometría 5° Pre RACSO editores.
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TRIGONOMETRÍA
4
Trigonometría
1 Ángulos en posición normal Un ángulo trigonométrico está en posición normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje de las abscisas. El lado final se ubica en cualquier cuadrante que indicará a que cuadrante pertenece el ángulo. Si el lado final coincide con un semieje; el ángulo no pertenece a ningún cuadrante. Ejemplo: y
Sen q =
Cosq = x = abscisa ⇔ Secq = r = radio vector r radio vector x abscisa Tanq =
y ordenada ⇔ Cotq = x = abscisa = y ordenada x abscisa
Nota
b g
y = ordenada ⇔ Cscq = r = radio vector y ordenada r radio vector
a q
Para recordar las definiciones anteriores, utilice los siguientes cambios:
x
Cateto opuesto < > Ordenada Cateto adyacente < > Abscisa a ∈ IC
b ∈ IIC
g ∈ IIIC
q ∈ IVC
Hipotenusa < > Radio vector ÁNGULOS COTERMINALES
Nota: Los ángulos en posición normal también se denominan ángulos canónicos o stándard.
Son aquellos, ángulos trigonométricos en posición normal cuyos lados finales coinciden, siendo la diferencia de sus medidas un múltiplo de 360°, es decir, un número positivo de vueltas. Si a y b son coterminales tal que a > b, entonces se cumple:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Si q es un ángulo canónico; sus razones trigonométricas se obtienen conociendo un punto del lado final como P(x;y) y se aplican las definiciones siguientes:
r x
5.°
año
a = 360°k + b
y
P(x;y) y
a – b = k(360°); k ∈ Z
q
y
x
a
Observaciones: y: ordenada x: abscisa r: radio vector r = x2 + y2
x b
a y b: canónicos y coterminales
95
TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Trabajando en clase Integral
5. Calcula: Tana + Senq
1. El punto P(1;–3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “a”, calcula el valor de: E = 10 Seca + Tana 2. El punto Q(–2;3) pertenece al lado final de un ángulo estándar q, calcula: Q = 13 Cscq – Cotq 3. Calcula K = 1 Seny – 2Cosy 2 y (–15;8)
Resolución: P(m–2; m–3) ↓ ↓ x y
y a
x
q
Del dato:
(4;–3)
(5;13)
m – 2 = –3m + 9 4m = 11 → m = 11/4
6. Obtén el valor de Tanb y
53º
Cotq = –3 m - 2 = -3 m-3
9. Calcula el valor de “a” si Tana = 4 y
b x
y
x 7. Calcula: M = 3Tana - 2Senq - Seca Tanq Sena Secq
PUCP
y
4. Calcula: Cscq – Sena y (–12;5)
(a+1;a–2) 10. Calcula: R=
a
(4;3) a
x
a
Sena + Senb Tana + Tanb + Sena Tana y
x
q
x
a
q
x b
Resolución: (–12;5) y xy r=13
UNMSM (4;3) a
xy r=5
x
8. Si Cotq = –3 Calcula el valor de m.
11. Obten el valor de “Tanq” y
y
q q Piden: Cscq – Sena 13 - 3 5 5 10 =2 5
1
TRIGONOMETRÍA
x P(m–2;m–3)
96
q 53º
x
5.°
año
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL UNI 12. Calcula: E = 3Tana + 1 y
5
–1
x
3 53º
A
y
O
q B
x
C
B
y 45º
A
4 a
año
3
13. Calcula 2Cotq – 1, si CB = 2BA
Resolución:
5.°
C
–2 + 1 a
(–6;4) x y
y
3d 4 n + 1 -6
53º
3
14. Calcula: Tanq – Cotq
Piden: 3Tana + 1
x
q
97
x
TRIGONOMETRÍA
1
2
Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas
SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES 90º
IIC
IC
Sen Csc (+)
Todas (+)
180º
0º; 360º IIIC
VIC
Tan Cot (+)
Cos Sec (+)
Obs.: Las que no aparecen en los cuadrantes, son consideradas negativas
270º
ÁNGULO CUADRANTAL
Es aquel en posición normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del sistema coordenado, los ángulos cuadrantales son de la forma: Ang. Cuadrantal = 90° . k
(k ∈ Z)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Grados Sexagesimales
0º
360º
90º
180º
270º
Radianes
0
2p
p 2
p
3p 2
Seno
0
0
1
0
–1
Coseno
1
1
0
–1
0
Tangente
0
0
N.D.
0
N.D.
Cotangente
N.D.
N.D.
0
N.D.
0
Secante
1
1
N.D.
–1
N.D.
Cosecante
N.D.
N.D.
1
N.D.
–1
2
TRIGONOMETRÍA
98
5.°
año
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Trabajando en clase Integral
UNMSM
8. Si Sena = 9 , a ∈ IIC 41 Calcular: L = Seca + Tana Resolución #y Sena = 9 41 # r r2 = x2 + y2 412 = x2 + 92 x = –40 (ya que a ∈ IIC) Piden: L = Seca + Tana L = 41 + 9 - 40 - 40
1. Señala el signo de: L = Sen140c - Cos200c Tan320c 2. Indica el cuadrante al cual pertenece q, si se cumple: Secq < 0 ∧ Tanq > 0 3. Calcula el valor de: E = (Cos270°)Sen90° – Tan360c Cos0c PUCP
L = 50 =- 5 4 - 40 1 9. Si: Cosx = – (x ∈ IIIC) 3 Calcula el valor de: N = 2 (Cscx – Cotx)
4. Si:
Sen2x + Sen4x - Sen6x Cos2x + Cos4x + Tanx - 4Sec4x Calcula f b p l 4 Resolución f(x) =
10. Si se tiene que Tana > 0, además: Sena = Tan230° – Cot45°, calcula el valor de Cosa
Sen2x + Sen4x - Sen6x f(x) = Cos2x + Cos4x + Tanx - 4Sec4x
11. Si q es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante positivo y menor que una vuelta, determina el signo de: E = Sen2q . Cot q . Csc q 2 3
Sen2 p + Sen4 p - Sen6 p p 4 4 4 fb l = 4 p p p Cos2 + Cos4 + Tan - 4Sec4 p 4 4 4 4 Sen p + Senp - Sen3 p p 2 2 fb l = 4 p p Cos + Cosp + Tan - 4Secp 2 4 ( 1) + ( 0) - ( - 1) fb p l = 4 ( 0) + ( - 1) + ( 1) - 4 ( - 1)
UNI 12. Si: 1 - Senq + Senq - 1 = Cosf + 1 Cuando q y f son positivos y menores que 1 vuelta, calcular: Cscq + Cos2 f K= 1 - Senf
fb p l = 2 = 1 4 4 2
Resolución
Dato: 1 - Senq + Senq - 1 = Cosf + 1
5. Si: f(x) = 2Sen2x – Cos4x + Csc6x – 3Tan8x Calcula f(45°)
1 – Senq ≥ 0 → 1 ≥ Senq Senq – 1 ≥ 0 → Senq ≥ 1
6. Indica el cuadrante al que pertenece “q”, si se cumple: Senq . Cotq < 0
→ Senq = 1 ∧ q = 90° Reemplazando en el dato:
7. Calcula el valor de:
1 - 1 + 1 - 1 = Cosf + 1
Q = (Sec180°)Cot270° + 3Csc90c Cos360c
5.°
año
Cosf = -1 ∧ f = 180°
99
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Piden: K=
Cscq + Cos2 f 1 - Senf
2 K = Csc90c + Cos 180c 1 - Sen180c 2 _1 i + _- 1 i K= 1 - _0 i 2 K= =2 1
2
TRIGONOMETRÍA
13. La expresión: E = q- 2 + 4 - q es real, halla el valor de: M = Senq + Tanq + Cosq (q: es un ángulo cuadrantal) 14. Si: Sen2a = Sena + 1 ∧ a ∈ IIIC 12 Calcula: E = Cota – 4Cosa
100
UNI - 2001
5.°
año
3 Reducción al primer cuadrante En este capítulo buscaremos determinar las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida en función de un ángulo agudo.
CASO 1: ÁNGULOS NEGATIVOS
Se aplica el siguiente criterio
Sen(–x) = –Senx Csc(–x) = –Cscx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx
CASO 2: ÁNGULOS MAYORES DE 1 VUELTA (360°)
En este caso se procede a dividir el ángulo entre 360°, tomando el residuo en lugar del ángulo original.
CASO3: ÁNGULOS MENORES A 1 VUELTA (360°)
En este caso se descompone el ángulo usando un ángulo cuadrantal sumado o restado con un ángulo agudo, luego se aplica el siguiente criterio. R.T. (180° ∨ 360° ± q) = ± R.T. (q) R.T.(90° ∨ 270° ± q) = ± Co – R.T. (q)
Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Sec
El signo ± depende de analizar la expresión original con la tabla de signos de las razones trigonométricas.
Trabajando en clase Integral
III C Cos240° = Cos(180° – 60°) = –Cos60° = – 1 2 IV C Sec315° = Sec(360° – 45°) = +Sec45° = 2
1. Simplificar: Q=
Sen (- a ) 2Cos (- q) 3Tan (- b) + + Sena Cosq Tanb
2. Calcula:
Reemplazando: L = Sen150º – Cos240º + Sec2315º 2 L = b 1 l - b- 1 l + _ 2 i 2 2 L=3
E = Sec1860° – Tan1485°
3. Obtén el valor de: Q = 4Sen210° + 3Tan315° PUCP 4. Calcula: L = Sen150° – Cos240° + Sec2315° Resolución II C Sen150° = Sen(180° – 30°) = +Sen30° = 1 2 5.°
año
5. Calcula: E = Cos210º – Tan120º + Cot330º 6. Reduce: E = Sec(–60º) . Cos(–37º) [5Tan(–45º) + 6Sen(–30º)]–1 7. Calcula:
101
P = Csc1110º + Cos1440º TRIGONOMETRÍA
3
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE UNMSM
UNI
8. En un triángulo ABC, simplificar: Sen (A + B) Q= – 2Tan(A + B + 2C) . Cot(A + B) SenC Resolución A + B + C = 180º Sen (180c - C) – 2Tan(180º + C) . Cot(180º – C) Q= SenC Q = SenC – 2(TanC)(–CotC) SenC Q = 1 + 2TanC.CotC 1442443 Q = 1 + 2(1) = 3 9. En un triángulo ABC, simplifica: Cos (B + C) + Tan(A + B + C) L= CosA
12. Si x + y = 180º Calcula: Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Resolución Dato: x + y = 180º y = 180º – x Piden: Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Sen(Cosx) + Sen(Cos(180º-x)) Sen(Cosx) + Sen(–Cosx) Sen(Cosx) + –Sen(Cosx) 0 13. Si a + q = 360º
Calcula: P = Sen(Tana) + Sen(Tanq)
10. De la siguiente expresión: Sen (p + x) + Sen (p - x) +x<2 2x Calcula “x”
14. Siendo q un ángulo agudo tal que:
11. Simplifica:
Calcula:
E=
3
7
/ (Cos:_- 1ik qD2 = 5
k=1
7
/ (Tan:_- 1ik qD2
Sen (360c - x) + Cos (270c - x) Sen (180c - x)
TRIGONOMETRÍA
k=1
102
5.°
año
4 Circunferencia Trigonométrica I. DEFINICIÓN
Se llama circunferencia trigonométrica (C.T.) a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema
N b Senb (+)
B M
q P
a(+) a
A’
Sena (+)
a
Senf (–)
Q
f
A
b b(–)
N
A: (1;0)
Origen de Arcos
M y N
Extremos de Arco
B: (0;1)
Origen de complementos de arcos
A’: (–1;0) Origen de suplementos de arcos
B’: (0;–1) Sin denominación
a y b
a, b, q y f son arcos en posición normal
B. L.T. Coseno
B’
El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada del extremo del arco hacia el eje de ordenadas.
b N
Arcos en posición normal
Cosb (–) (–)
q
2. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS (L.T.)
Senq (–)
M
Representan los valores numéricos de las R.T. de un arco, ángulo o número real siempre que este definido.
P
Cosq
Cosa
M a
(+) (+) Cosf
Q
f
A. L.T. Seno
5.°
El seno de un arco se representa por la perpendicular trazada del extremo del arco hacia el eje de las abscisas.
año
103
a, b, q y f son arcos en posición normal
TRIGONOMETRÍA
4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Trabajando en clase Integral
5. Calcula el área sombreada
1. Coloca el signo >, < o = I. Sen110º ( ) Sen20º II. Sen200º ( ) Sen250º
b
2. Coloca el signo >, < o = I. Cos20º ( ) Cos340º II. Cos100º ( ) Cos195º 3. Halla el área sombreada C.T.
C.T.
6. Calcula el área de la región sombreada y
O q
4. Halla el área sombreada
a
M
7. Si 90º < q < 180º, entonces señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
11. Halla la longitud PO. C.T.
|Cosa| > |Cosq| ................... ( ) UNMSM
C.T.
P O
q
8. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Resolución
q Senq
C.T.
N
Cosa > Cosq ....................... ( ) O
14243 1
I. Sen69º > Sen21º ........... ( ) II. Sen215º > Sen255º ....... ( ) III. |Sen310º| > |Sen320º| ... ( ) Resolución 90º
C.T. (1) (Senq) 2 S = Senq 2 S=
4
10. Halla la longitud del segmento MN
C.T.
Sena < Cosq ....................... ( )
q
9. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda I. Cos70º > Cos21º .......... ( ) II. Cos100º > Cos170º ...... ( ) III. |Cos230º| > |Cos160º| .. ( )
x
a
PUCP
Del gráfico: I. verdadero II. verdadero III. verdadero
TRIGONOMETRÍA
180º
– – 215º 255º
104
UNI 12. Calcula el área de la región sombreada C.T.
69º
21º + + – – 320º 310º
a
5.°
año
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 13. Calcula el área sombreada.
Resolución C.T. 1
a
B
C.T.
O
14243
14243
–Sena
A
q
1
C
–Cosa Ssombreada = S9AOB + S9BOC – S9AOC Ssombreada =
1 (- Sena ) 1 (- Cosa ) 1.1 + 2 2 2
Ssombreada = - Sena - Cosa - 1 2
5.°
año
14. Coloca >, < o = según corresponda. I. Sen(Sen1)
Sen(Sen2)
II. Cos(Sen1)
Cos(Sen2)
Cos(Cos2)
105
III. Cos(Cos1)
TRIGONOMETRÍA
4
5 Variación de senos y cosenos VARIACIÓN DEL SENO –1 ≤ Senq ≤ 1 Senqmax = 1
Senqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Senq < 1
0 < Senq < 1
–1 < Senq < 0
–1 < Senq < 0
VARIACIÓN DEL COSENO –1 ≤ Cosq ≤ 1 Cosqmax = 1
Cosqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Cosq < 1
–1 < Cosq < 0
–1 < Cosq < 0
0 < Cosq < 1
Trabajando en clase Integral 1. Señala la variación de: Q = 7Sena – 5 2. Señala la variación de: F = 7 – 3Cosq 3. Si Senq = 2n - 1 7 ¿Cuál es la suma de los valores enteros que toma n?
5
TRIGONOMETRÍA
PUCP 4. Si q ∈ IIC, señala la variación de: E = 3Senq + 1 Resolución Si q ∈ IIC → 0 < Senq < 1 0 < 3Senq < 3 1 < 3Senq + 1 < 4 1
106
5. Si a ∈ IIIC, señala la variación de: R = 3Cosa – 2 6. Si x ∈ IVC, señala la variación de: L = 2Cosx + 1 7. Indica en que cuadrante el coseno es positivo y decreciente.
5.°
año
VARIACIÓN DE SENOS Y COSENOS UNMSM 8. Calcula el máximo valor de: E = 3Sen2x – Cosy – 2Cos2z; x ≠ y ≠ z Resolución E = 3Sen2x – Cosy – 2Cos2z Emax = 3(1)2 – (–1) – 2(0)2 Emax = 3 + 1 – 0 Emax = 4 9. Calcula el mínimo valor de: L = 2Sena – 3Cosq + 4Sen2b; a≠q≠b
11. Determina la extensión de: A = Cosq - 3 Cosq - 2
año
⇒ 1 < Sena ≤ 1 2
UNI
2 < 4Sena ≤ 4
12. Sabiendo que 30º < a < 120º, señala la variación de: L = 4Sena – 1 Resolución
1 < 4Sena ≤ 3
a 1
10. Determina la extensión de: E = Cos2q + Cosq + 1
5.°
Si 30º < a < 120º
1 2
30º
L ∈ <1;3] 13. Si 60º < x < 210º, señala la extensión de: H = 8Cosx+1
C.T.
107
1
14. Señala la variación de: C = Sen(Senx + 2)
TRIGONOMETRÍA
5
6
Identidades Trigonométricas Fundamentales
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable angular, las cuales se verifican para todo valor de la variable que no presente indeterminación en una o más razones trigonométricas existentes en la igualdad. Se clasifican en:
I. IDENTIDADES PITAGÓRICAS 14243
Sen2x = 1 – Cos2x Cos2x = 1 – Sen2x
Sen2x + Cos2x = 1
; ∀x∈R
2.
Tg2x + 1 = Sec2x
Sec2x – Tg2x = 1 ; ∀ x ≠ (2n + 1) p , n ∈ Z 2 Tg2x = Sec2x – 1
3.
Ctg2x + 1 = Csc2x
; ∀ x ≠ np, n ∈ Z
14243
1.
14243
Csc2x – Ctg2x = 1
Ctg2x = Csc2x – 1
II. IDENTIDADES RECÍPROCAS 1 Senx
1.
Senx. Cscx = 1
; ∀ x ≠ np, n ∈ Z → Cscx =
2.
Cosx . Secx = 1
; ∀ x ≠ (2n + 1) p p, n ∈ Z → Secx = 1 2 Cosx
3.
Tanx.Cotx = 1
; ∀ x ≠ n p , n ∈ Z → Ctgx = 1 2 Tgx
III. IDENTIDADES POR DIVISIÓN 1.
Tanx = Senx Cosx
; ∀ x ≠ (2n + 1) p , n ∈ Z 2
2.
Cotx = Cosx Senx
; ∀ x ≠ np, n ∈ Z
6
TRIGONOMETRÍA
108
5.°
año
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
Trabajando en clase Integral 1. Reduce:
m2 – 12 = 1 n m2n2 – 1 = n2 n2(m2 – 1) = 1
L = Tanx.Cosx + Sen2x.Cscx
2. Reduce:
P = (Tanx + Cotx)Senx
9. Elimina “x” si Secx = a y Cotx = b
N = Tanx.Senx + Cosx
10. Expresa “E” en términos de Cotx E = Senx + Tanx Tanx Cscx
3. Reduce:
PUCP 4. Reduce:
2
M = f 1 - Sen 2 x + 1 p Tan2x 1 - Cos x Resolución
2 M = f 1 - Sen 2 x + 1 p Tan2x 1 - Cos x
11. Si: Tanq + Cotq = 3 Calcula: E = (Senq + Cosq)4 + (Senq – Cosq)4 + 1,1| UNI 12. Calcula a + b para que se cumpla la igualdad mostrada 1 - Senx = aSecx + bTanx 1 + Senx Resolución
2
M = f Cos2 x + 1 p Tan2x Sen x
1 - Senx = aSecx + bTanx 1 + Senx
M = (Cot2x + 1)Tan2x M = 1 + Tan2x ⇒ M = Sec2x
(1 - Senx) (1 - Senx) = aSecx + bTanx (1 + Senx) (1 - Senx)
5. Reduce:
(1 - Senx) 2 = aSecx + bTanx 1 - Sen2 x
2
P = f 1 - Cos2 x + 1 p Cot2x 1 - Sen x 6. Simplifica
7. Simplifica
(1 - Senx) 2 = aSecx + bTanx Cos2 x 1 - Senx = aSecx + bTanx Cosx
3 J = Senx - Sen 3x Cosx - Cos x
1 - Senx = aSecx + bTanx Cosx Cosx Secx – Tanx = aSecx + bTanx → a = 1 ∧ b = –1 Piden: a + b = 0
4 C = Sec x2- 1 - 1 Tan x
UNMSM 8. Elimina “x” si: Cscx = m y Tanx = n Resolución Cscx = m Tanx = n → Cotx = 1 n Sabemos: 2 2 Csc x – Cot x = 1 2 (m)2 – b 1 l = 1 n 5.°
año
2 2 ⇒ m n2- 1 = 1 n ⇒ m2n2 – n2 = 1
13. Calcula a – b para que se cumpla: 1 + Senx = aSecx – bTanx 1 - Senx 14. Simplifica: Tan5 q + Tanq + 1 + Sec2q – Tan3q Tanq + Sec2 q
109
TRIGONOMETRÍA
6
7 Identidades Trigonométricas Auxiliares Son aquellas relaciones o expresiones que por el uso frecuente se han hecho conocidas, algunas de estas son: 1 1. Tanx + Cotx = Secx.Cscx = Senx.Cosx 2. Sec2x + Csc2x = Sec2x.Csc2x 3. Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2xCos2x 4. Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2x.Cos2x 5. (1 ± Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx)(1 ± Cosx)
Trabajando en clase Integral
6. Simplifica:
1. Reduce: E = (Secx. Cscx – Tanx) . Senx 2. Reduce: Q = (Sen2x – Cos2x)2 + 4Sen2x . Cos2x 3. Reduce:
L = (Tanx + Cotx) . Cos2x PUCP
4. Si: A = 9(Sen x + Cos4x) B = 6(Sen6x + Cos6x) Además: A – B = n Halla el valor de n2 + 9 Resolución A = 9(1 – 2Sen2x.Cos2x) = 9 – 18Sen2x.Cos2x B = 6(1–3Sen2x.Cos2x) = 6 – 18Sen2x.Cos2x Dato: A – B = n (9 – 18Sen2x.Cos2x) – (6 – 18Sen2x.Cos2x) = n 3=n Piden: n2 + 9 = 18 4
Q=
7. Simplificar: E=
TRIGONOMETRÍA
(Sec2 x + Csc2 x) . Cosx Tanx + Cotx
UNMSM 8. Si: Senx + Cosx = 2 3 Calcula: H = Sen4x + Cos4x Resolución 2 Dato: Senx + Cosx = 3 2 (Senx + Cosx)2 = d 2 n 3
Sen2x + Cos2x + 2Senx.Cosx = 2 3 144424443 2 1 + 2Senx.Cosx = 3 2Senx.Cosx = – 1 3 1 Senx.Cosx = – 6 Piden: H = Sen4x + Cos4x H = 1 – 2Sen2x.Cos2x
5. Reduce: T = 3(Sen4x + Cos4x) – 2(Sen6x + Cos6x) + 4
7
(1 - Senx - Cosx) 2 + Cosx 2 (1 - Senx)
110
2
H = 1 – 2 b- 1 l 6 1 H = 1 – 2 d n = 17 18 36 5.°
año
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 3 3 N = Sen x + Cos x Cosx Senx
1 3 6 Calcula: N = Sen x + Cos6x
9. Si: Senx + Cosx =
10. Si Senx + Cosx = n Determina: M = (1 + Senx)(1 + Cosx) 11. Si Sec2x + Csc2x = 81 (x: agudo)
Calcula: M = (Tanx + Cotx) 3 UNI
12. Si Senx.Cosx = 1 4 Calcula N = Sen2x.Tanx + Cos2x.Cotx Resolución N = Sen2x . Senx + Cos2x . Cosx Cosx Senx
5.°
año
4 4 N = Sen x + Cos x SenxCosx 2 2 N = 1 - 2Sen xCos x Senx.Cosx 2 1 - 2b 1 l 4 N= = 7 2 1 b4l 13. Si Senx.Cosx = 1 3 Calcula L = Sen4x.Tanx + Cos4x.Cotx
14. Simplifica: E=
2 (1 - Senx) + Senx 1 - Cosx 1 - Cosx
(x ∈ IVC)
111
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso Trabajando en clase 1. Calcula: E = (Cos270°)Sen90° – Tan360c + (Sec180°)Cot90° Cos30c UNFV 2003 a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2
7. Si a ∈ IIIC, señala la variación de C = 3Sena + 1 UNFV 1996 b) 〈–2;3〉 c) 〈2;3〉 a) 〈–1;2〉 e) 〈–2;1〉 d) 〈 1;2〉
2. Calcula:
8. Halla B’Q
Cosp - Sen 3p + 4Csc p 2 2 Q= p Cos0 + Tan 4 UNMSM 1997 a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3
3. Calcula:
a) 4
C = Sec240c Cos120c b) –4
q A’
O
A
B’ USMP 1996 c) 3
4. Reduce: J = Tan(90°+x) Tan(180°+x) Sec(270°–x) UNFV 2004 a) Cosx b) Cscx c) Cotx d) Tanx e) Secx 5. Calcula: M = 2Sec120c - 1 + 3 Tan240° 4Tan315c - 1 UNMSM 1999 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. En un triángulo ABC, reduce: E = SenA + Sen(B+C) +6 Sen(A + B + C) UNMSM 2008 a) 0 b) 2SenA c) –2SenA d) 1 e) –1 TRIGONOMETRÍA
C.T.
45° Q
UNAC 1997
3 d) – 3 e) 3
8
B
a) 1 – Senq d) 1 + Cosq 9. Reduce:
b) 1 + Senq e) Senq – 1
c) 1 – Cosq
3 3 R = Sen x + Cos x Senx.Cosx - 1
UNMSM 1994 b) –Senx – Cosx d) Senx.Cosx
a) Senx + Cosx c) 1 e) –Senx.Cosx 10. Si: Tanx + Cotx = 3 Halla P = (Secx + Cscx)2
112
a) 6 d) 15
b) 9 e) 18
UNFV 2004 c) 12
5.°
año
REPASO 11. Reduce:
4 4 P = Sen 6 x + Cos6 x - 1 Sen x + Cos x - 1
a) 5/3 d) 1/3
b) –1 e) 3/4
12. Calcula:
UNFV 1996 c) 2/3
E= a) 0 d) 4a
(a + b) 2 Csc90c + (a - b) 2 Cos180c aTan360c + bCsc270c b) 3a e) –4a
c) –3a
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elementa. Editorial: Uteha. HOBSO, E. W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú. Trigonometría. 5° Pre RACSO editores.
año
113
TRIGONOMETRÍA
8
Trigonometría
1 Ángulos compuestos I Básicamente la utilidad de estas identidades radica en que con ellas se pueden calcular razones trigonométricas de ángulos desconocidos a partir de ángulos cuyas razones sean conocidas. Si deseo calcular el Sen67º simplemente bastará con descomponer el ángulo como Sen(30º + 37º) y aplicar la definición. I. Seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos. Sen(α + θ) = SenαCosθ + CosαSenθ Sen(α – θ) = SenαCosθ – CosαSenθ II. Coseno de la suma y de la diferencia de dos ángulos. Cos(α + θ) = CosαCosθ – SenαSenθ Cos(α – θ) = CosαCosθ + SenαSenθ
III. Tangente de la suma y de la diferencia de dos ángulos. Tanα + Tanq Tan(α + θ) = 1 – Tanα⋅Tanq Tanα – Tanq Tan(α – θ) = 1 + Tanα⋅Tanq
Aplicación
Calcula aproximadamente Sen67º. Sen67º = Sen(30º + 37º) Sen67º = Sen30º Cos37º + Cos30º Sen37º Sen67º = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 2 5 2 5 3 ∴ Sen67 = 4 +103
Trabajando en clase Integral
Cosy CosxCosy ⇒A= Seny CosxSeny
A=
2. Calcula B = Tan8º
∴ A = Coty
3. Calcula el equivalente de: J = Sen3º Cos34º + Cos3º Sen34º
5. Reduce:
1. Calcula A = Sen75º
PUCP 4. Reduce la siguiente expresión: Cos(x + y) + SenxSeny CosxSeny Resolución: A = CosxCosy – SenxSeny + SenxSeny CosxSeny 5.°
año
A=
Sen(x + y) + Sen(x – y) Cos(x – y) – Cos(x + y)
6. Si Tan(2α – β) = 3 y Tan(2β – α) = –2 Calcula Tan(α + β) 7. Calcula «m» Si: mTan50º = Tan70º – Tan20º
105
TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS COMPUESTOS I UNMSM
UNI
8. Calcula: Tanθ.
12. Calcula Tanx. θ
3
3
x 37º
2
Resolución:
Resolución:
θ
3
2
3Tanθ + 3Tanα = 5 – 5TanθTanα 2 2 3 Tanθ + 3 3 = 5Tanθ 3
9Tanθ + 6 = 15 – 10 Tanθ
19Tanθ = 9 ∴ Tanθ = 9
De la figura: x = 37º + β ∧ Tanβ = 10 = 2 15 3
Tanx = Tan(37º + β)
Tanx = Tan37º + Tanβ 1 – Tan37º Tanβ 3 +2 4 3 Tanx = 1–3 2 4 3 17 8 Tanx = 6 8
9. Calcula Tanα. 4 2
a
37º
53º
19
Tanx = 17 8
13. Calcula Tanθ, si AD = 2DC B
9 10. Calcula:
E=
θ
3Sen50º – Cos50º Sen25º – Cos25º
11. Calcula: M = Tan50º – Tan40º Tan10º
1
TRIGONOMETRÍA
10
x
b
a 3
Tanθ + Tanα = 5 1 – TanθTanα 3
15
10
37º
De la figura, Tan(θ + α) = 5 ∧ Tanα = 2 3 3
M 37º
A
D
C
14. Si: Sen4 + Cos3 = x Sen3 – Cos4 = y Calcula Sen1
106
5.°
año
2 Ángulos compuestos II Propiedades
I. Si: K = A . Senx ± B ⋅ Cosx
Kmáx = A2 + B2 ⇒ Kmín. = – A2 + B2
II.
Por ejemplo: YY E = 3Senx + 4Cosx Emáx. = 32 + 42 = 5 ⇒ Emín = – 32 + 42 = –5 YY Q = 2Senx – 7Cosx
Qmáx. = 22 + 72 = 3 ⇒ Qmín. = – 22 + 72 = –3
Tanα + Tanβ + Tanα ⋅ Tanβ ⋅ Tan(α + β) = Tan(α + β) YY Tan12º + Tan14º + Tan12º ⋅ Tan14º ⋅ Tan26º = Tan26º
12º + 14º
YY Tan2x + Tan3x + Tan2x ⋅ Tan3x ⋅ Tan5x = Tan5x 2x + 3x
III. Si: α + β + θ = 180º ∨ 180º n; (n ∈ Z) 1) Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα ⋅ Tanβ ⋅ Tanθ ⇒ 2) Cotα ⋅ Cotβ + Cotα ⋅ Cotθ + Cotβ ⋅ Cotθ = 1 YY Tan40º + Tan80º + Tan60º = Tan40º ⋅ Tan80º ⋅ Tan60º (40º + 80º + 60º = 180º) YY Cot20º ⋅ Cot60º + Cot60º ⋅ Cot100º + Cot100º ⋅ Cot20º = 1 (20º + 60º + 100º = 180º)
5.°
año
107
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULOS COMPUESTOS II
IV.
Si x + y + z = 90º ∨ (2n + 1) π ; (n ∈ Z)
1) Cotx + Coty + Cotz = Cotx ⋅ Coty ⋅ Cotz 2) Tanx ⋅ Tany + Tanx ⋅ Tanz + Tany ⋅ Tanz = 1
2
YY Cot20º + Cot60º + Cot10º = Cot20º ⋅ Cot60º ⋅ Cot10º (20º + 60º + 10º = 90º) YY Tan20º ⋅ Tan42º + Tan42º ⋅ Tan28º + Tan28º ⋅ Tan20º = 1
(20º + 42º + 28º = 90º)
Trabajando en clase Integral 1. Calcula el mínimo valor de: P = 5Senx – 12Cosx + 7 2. Encuentra el valor de «x» si: Tanx + Tan2x + Tanx ⋅ Tan2x ⋅ Tan 3x = 3
6. En un triángulo ABC TanA = 1 y TanB = 2. Calcula TanC. 7. En un triángulo ABC TanA + TanC = 3TanB Obtén el valor de E = TanA ⋅ TanC UNMSM
3. En un triángulo ABC, simplifica:
Q=
TanA + TanB + TanC TanA ⋅ TanB
8. En un triángulo ABC, simplifica: R=
Resolución: CotA 2TanB CotB 3TanC CotC TanA R= + + + + + TanB TanB TanC TanC TanA TanA
R = CotA⋅CotB+2+CotB⋅CotC+3+CotC⋅CotA+1 R = (CotA⋅CotB + CotB⋅CotC + CotC⋅CotA) + 6 R= 1 + 6 R=7
PUCP 4. Reduce: 4 + Tan22º + Tan23º ⋅ Tan22º Q = 3 + Tan23º Resolución: 1 Q = 3 + Tan23º + Tan22º + Tan23º ⋅ Tan22º ⋅ (1) 5 (23º+22º)
Q = 3+Tan23º+Tan22º+Tan23º⋅Tan22º ⋅ Tan45º θ Q 6= 3 + Tan45º Q=3+1 Q=4
5. Calcula: 1
N=
2
Tan32º + Tan28º + 3Tan32º ⋅ Tan28º Cot60º
TRIGONOMETRÍA
CotA+2TanB CotB+3TanC CotC+TanA + + TanC TanA TanB
9. Si α + θ + β = 180º, calcula:
E=
Cotα+6Tanθ Cotq+5Tanb Cotb+4Tana + + Tanb Tana Tanθ
10. Calcula: N = 4 + Tan210º + 2Tan70º ⋅ Tan10º
108
5.°
año
ÁNGULOS COMPUESTOS II 11. Calcula Cotθ.
13. Calcula el mínimo valor de: Q = 5Cos(37º + x) + Senx
4
1 5 θ
6
14. Si Sen(z + w) = 6 ∧ Cos(x + y) = 5 85 34 Determina:
E = 5Tanx + 5Tany + 3Tanx ⋅ Tany 7Tanw + 7Tanz + 6Tanw ⋅ Tanz
1 UNI
Advertencia pre
12. Señala el mayor valor de: Q = 2 2 Sen(45º + x) + Cosx Resolución: Q = 2 2(Sen45ºCosx + Cos45ºSenx) + Cosx
Sen(x + y) = Cotx + Coty Senx ⋅ Seny Sen(x – y) = Coty – Cotx Senx ⋅ Seny
Q = 2 2 1 Cosx + 1 Senx + Cosx 2 2
Sen(x + y) = Tanx + Tany Cosx ⋅ Cosy
Q = (2Cosx + 2Senx) + Cosx Q = 2Senx + 3Cosx Qmáx. = 22 + 32 Qmáx. = 13
5.°
año
Sen(x – y) = Tanx – Tany Cosx ⋅ Cosy
109
TRIGONOMETRÍA
2
3 Ángulo doble
Identidades fundamentales
Sen2x = 2Senx Cosx ∀ x ∈ R
Cos2x = Cos2x – Sen2x ∀ x ∈ R
π π Tan2x = 2Tanx2 ∀ x ≠ (2n + 1) 4 ; (2n + 1) 2 1 – Tan x n ∈ Z
Operando: x = x ∧ θ = x
Obtenemos: Tan(x + x) =
Tanx + Tanx Tan2x = Tan(x + x) = 1 – TanxTanx 2x
El objeto de estas igualdades es expresar razones trigonométricas del ángulo doble (2α; 2θ; ...; 2x) en términos de las razones trigonométricas del ángulo simple (α, θ, ... x); estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
Tan2x =
2Tanx 1 – Tan2x
Demostración de las identidades fundamentales ZZ Demostración de Sen2x = 2SenxCosx
Sabemos lo siguiente: Sen(α + θ) = SenαCosθ + SenθCosα Operando: α = x ∧ θ = x Obtenemos: Sen(x + x) = Senx Cosx + CosxSenx 2x Sen2x = 2Senx Cosx
Advertencia pre
Con la ayuda de la identidad Sen2x + Cos2x = 1 se puede expresar el coseno del ángulo doble (Cos2x), ya sea en función del seno o del coseno del ángulo simple (Senx o Cosx), para ello proceredemos del siguiente modo:
ZZ Demostración de Cos2x = Cos2x – Sen2x
Sabemos lo siguiente: Cos(α + θ) = CosαCosθ – SenαSenθ Operando: α = x ∧ θ = x Obtiene: Cos(x + x) = Cosx Cosx – SenxSenx 2x
ZZ Sabemos que Cos2x = Cos2x – Sen2x
Pero Cos2x = 1 – Sen2x ⇒ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x
∴ Cos2x = 1 – 2Sen2x ZZ Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x
∴ Cos2x = Cos2x – Sen2x
Pero Sen2x = 1 – Cos2x ⇒ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x) ∴ Cos2x = 2Cos2x – 1
2Tanx 1 – Tan2x Tanα + Tanθ Sabemos: Tan(α + θ) = 1 – TanαTanθ
ZZ Demostración de Tan2x =
3
TRIGONOMETRÍA
110
5.°
año
ÁNGULO DOBLE
Trabajando en clase Integral 1. Calcula el valor de:
B = 1
2
2Tan22,5º , 1 – Tan222,5
L = 2Sen15ºCos15º +
C=2 D=2
2. Reduce: Cos24θ – Sen24θ + 2Sen5θ ⋅ Cos5θ – Cos8θ
Piden: 1 + 1 ⋅ 2 + 2 = 2
3. Indica el valor de «x», si se cumple: Sen2x = 1 ∧ x ∈ 〈0º; 90º〉 Cosx
9. Si: Sen6x + Cos6x = E – FSenG (Hx) Calcula: E + (G + H)F 10. Si Tanx = 5, calcula Cot2x.
PUCP 4. Si Tanx = 4 (x: agudo), calcula Cos2x. Resolución:
17
Tanx = 4 1
2
11. Calcula «x». x
4 θ θ
x
1 Piden: Cos2x = Cos x – Sen2x 2
1 17 Cos2x = –15 17 Cos2x =
2
–
4 17
UNI
6. Si Senθ + Cosθ = 1,2. Calcula Sen2θ 7. Reduce: E = Cosx(Cosx + Secx) – Senx(Senx + Cscx) UNMSM 8. Si: Sen4x + Cos4x = A – BSenD(Cx) Calcula: A + B ⋅ C + D Resolución: Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2x ⋅ Cos2x 2SenxCosx Sen4x + Cos4x = 1 – 2 2 2 Sen2x 4 4 Sen x + Cos x = 1 – 2 2
2
12. Señala el máximo valor de: D = Senθ ⋅ Cosθ ⋅ Cos2θ ⋅ Cos4θ ⋅ Cos8θ Resolución: 2D = 2Senθ ⋅ Cosθ ⋅ Cos2θ ⋅ Cos4θ ⋅ Cos8θ 2D = Sen2θ ⋅ Cos2θ ⋅ Cos4θ ⋅ Cos8θ 4D = 2Sen2θ ⋅ Cos2θ ⋅ Cos4θ ⋅ Cos8θ 4D = Sen4θ ⋅ Cos4θ ⋅ Cos8θ 8D = 2Sen4θ ⋅ Cos4θ ⋅ Cos8θ 8D = Sen8θ ⋅ Cos8θ 16D = 2Sen8θ ⋅ Cos8θ 16D = Sen16θ Sen16θ D= 16 (Sen16θ)máx. Dmáx. = = 1 16 16 13. Calcula el mínimo valor de: M = 7Senx ⋅ Cosx ⋅ Cos2x ⋅ Cos4x 14. Determinaa Tanθ.
2
2
5.°
año
θ
3
Sen4x + Cos4x = 1 – 1 Sen2 (2x) → A = 1
5
2
5. Si Tanx = 0,3333... (x: agudo), calcula Sen2x.
3
2θ
111
TRIGONOMETRÍA
3
4 Ángulo mitad Introducción El objetivo de estas igualdades es expresar las razones trigonométricas del ángulo mitad a ; b ; q ... x en 2 2 2 2 función de las razones trigonométricas del ángulo simple (α; β; θ; ...; x). Estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
Identidades fundamentales Sen
x ± 1 – Cosx = 2 2
Cos x = ± 1 + Cosx 2 2
Tan x = ± 1 – Cosx 2 1 + Cosx
x∈R
x ∈ R – (2n + 1)π / n ∈ Z 2
x∈R
Observación
El signo que aparece en los radicales depende del x y cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad 2 la razón que lo afecte; así por ejemplo: → Si: x ∈ IIC ⇒ Sen 2 → Si: x ∈ IIC ⇒ Cos 2 → Si: x ∈ IIC ⇒ Tan 2
Fórmulas especiales Tan x = Cscx – Cotx 2
x tendrá signo (+) 2 x tendrá signo (–) 2 x tendrá signo (–) 2
Cot x = Cscx + Cotx 2
Trabajando en clase Integral 1. Obtén el equivalente de: 1 – Cos50º – Tan25º 1 + Cos50º 2. Reduce: 1 + Cos84º 1– 2 2
4
TRIGONOMETRÍA
3. Si Cosθ = 1 ; 0º 〈 θ 〈 90º 6 Calcula: Sen θ 2 PUCP 4. Si Cosβ = 1 ; 270º 〈 β 〈 360º 7 Calcula: Cosβ 2
112
5.°
año
ÁNGULO MITAD
UNI
Resolución: 270º < β <360º
12. Calcula: Tan a 2
135º < β < 180º 2
Cos β = – 1 + Cosβ 2 2 1+1 Cos β = – 7 2 2
a
1
Cos β = – 2 7 2
Resolución:
5. Si Cosx = –1 ; 90º 〈 x 〈 180º
a
5
Calcula: Sen x 2
6. Si Tanq =
5
2
a ; 180º 〈 θ 〈 270º
Calcula: Cos θ 2
7. Obtén el equivalente de: M = Sec40º – Tan40º UNMSM 8. Reduce: P = Csc2x + Csc4ax + Csc8x + Cot8x
Resolución: P = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x P = Csc2x + Csc4x + Cot4x P = Csc2x + Cot2x P = Cotx
Calcula Tan 45º –
11. Si: Cscβ =
–6
11 Calcula Sen β 2
5.°
año
θ 2
; 180º 〈 β 〈 270º
5
1 1
Piden: Tan a = + 1 – Cosα 1 + Cosα 2 1–2 3 Tan a = 2 1+2 3
Tan a = 1 5 2 13. Calcula Tan x 2
4
10. Si Senθ = 1 3
4 a 1
Del gráfico: Cosα = 4 = 2 6 3
9. Reduce: L=Cscx+Csc2x+Csc4x+Csc8x+Csc16x+Cot16x
5
1 x
14. Si: Csc2α+ Csc2β + Csc2θ = Cot2α + Cot2β + Cot2θ Halla: Tan3α + Tan3β + Tan3θ N= Tanα ⋅ Tanβ ⋅ Tanθ
113
TRIGONOMETRÍA
4
5 Ángulo triple Fórmulas fundamentales
Sen3x = 3Senx – 4Sen3x Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx 3 x Tan3x = 3Tanx – Tan 1 – 3Tan2x
1. Demostración:
Sen3x = 3Senx – 4Sen3 Sen3x = Sen(x + 2x) Sen3x = Senx ⋅ Cos2x + Cosx ⋅ Sen2x Sen3x = Senx(1 – 2Sen2x) + Cosx(2SenxCosx) Sen3x = Senx – 2Sen3x + 2SenxCos2x Sen3x = Senx – 2Sen3x + 2Senx(1 – Sen2x) Sen3x = Senx – 2Sen3x + 2Senx – 2Sen3x ∴ Sen3x = 3Senx – 4Sen3x
2. Demostración:
Si Tan3x = Tan(x + x + x) Tanx+ Tanx+ Tanx– Tanx Tanx Tanx ⇒ Tan3x = 1(Tanx Tanx+ Tanx Tanx+ Tanx Tanx) 3 x ⇒ Tan3x = 3Tanx – Tan 2 1 – 3Tan x
Usando identidades podemos demostrar lo siguiente: Sen3x = 2Cos2x + 1 Senx Además:
Cos3x = 2Cos2x – 1 Cosx
Por lo tanto:
Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx Cos3x = Cos(x + 2x) Cos3x = CosxCos2x – SenxSen2x Cos3x = Cosx(2Cosx2 – 1) – Senx(2SenxCosx) Cos3x = 2Cos3x – Cosx – 2Sen2xCosx (1 – Cos2x) 3 Cos3x = 2Cos x – Cosx – 2Cosx + 2Cos3x ∴ Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx
Tan3x 2Cos2x + 1 = 2Cos2x – 1 Tanx
Recuerda Sen18º = 5 – 1 4
3. Demostración:
TanA+TanB+TanC–TanATanBTanC 1– (TanATanB+TanATanC+TanBTanC)
Tan(A + B + C) =
Cos36º = 5 + 1
3 x Tan3x = 3Tanx – Tan 2 1 – 3Tan x
4
Trabajando en clase Integral
2. Determina el valor de «x» si:
1. Calcula el valor de:
3Tan2x – Tan32x = 3 1 – 3Tan22x
3Sen20º – 4Sen320º
5
TRIGONOMETRÍA
114
5.°
año
ÁNGULO TRIPLE 3. Determina Cos111º PUCP 4. Si Cosx = 1 , calcula Cos3x. 4
Resolución: Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx 3 Cos3x = 4 1 = 3 1 4 4 Cos3x = –11
16
6. Determina el valor de: 3Sen6º – 4Sen36º + 1 4 7. Si Tanx = –1, calcula el valor de Tan3x. UNMSM 8. Calcula el mínimo valor de: M = Sen3x – 3 Senx Resolución:
3 M = 3Senx – 4Sen x – 3 Senx 3 M = 3Senx – 4Sen x – 3 Senx Senx
M = 3 – 4Sen2x – 3 M = –4Sen2x Mmín = –4(1)2 = – 4
5.°
año
10. Simplifica:
3 E = 3Tan(30º + α) 2– Tan (30º + α) 1 – 3Tan (30º + α)
11. Simplifica:
5. Si Senx = 1 , calcula Sen3x 3
9. Determina el máximo valor de: N = Cos3x + 3 Cosx
P=
Sen3x + Sen3x Cos3x – Cos3x UNI
12. Simplifica la expresión: 3 N = Cos x – Cos3x Sen2x Resolución:
N = Cos3x – (4Cos3x – 3Cosx) 2SenxCosx 3Cosx – 3Cos3x N= 2Senx Cosx 3Cosx(1 – Cos2x) N= 2Senx Cosx 2 N = 3Cosx (Sen x) 2Senx Cosx N = 3 Senx 2
13. Simplifica:
3 L = Sen3θ + Sen θ Sen2θ
14. Resuelve y señala un valor para «x» si: 6x – 3 = 8x3
115
TRIGONOMETRÍA
5
6 Transformaciones trigonométricas I Sumas y diferencias a producto (A > B) SenA + SenB = 2 ⋅ Sen A+B ⋅ Cos A–B 2 2 SenA – SenB = 2 ⋅ Cos A+B ⋅ Sen A–B 2 2 CosA + CosB = 2 ⋅ Cos A+B ⋅ Cos A–B 2 2 CosB – CosA = 2 ⋅ Sen A+B ⋅ Sen A–B 2 2
Trabajando en clase Integral 1. Simplifica: E=
Cos7x + Cos5x Sen7x – Sen5x
2. Reduce: Q = (Sen50º + Sen10º) Sec20º 3. Simplifica:
Sen30º – Sen10º L= Cos10º – Cos30º
5. Simplifica:
Sen2x – Senx Cos2x + Cosx
6. Calcula «x» si: Sen80º + x ⋅ Cos50º = Sen20º 7. Calcula: E=
Sen50º + Cos50º Cos5º
4
UNMSM PUCP
4. Reduce:
N=
L = (Sen9x + Senx)Csc5x Resolución: L = (2Sen5x Cos4x) Csc5x L = 2Cos4x (Sen5x Csc5x) L = 2Cos4x(1) L = 2Cos4x
6
TRIGONOMETRÍA
8. Simplifica: Senθ + Sen2θ + Sen3θ M= Cosθ + Cos2θ + Cos3θ
116
Resolución: (Sen3θ + Senθ) + Sen2θ M= (Cos3θ + Cosθ) + Cos2θ (2Sen2θCosθ) + Sen2θ M= (2Cos2θ Cosθ) + Cos2θ 5.°
año
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Sen2θ(2Cosθ + 1) M= Cos2θ(2Cosθ + 1) M = Sen2θ = Tan2θ Cos2θ
9. Simplifica: Cos50º +Cos30º + Cos10º L= Sen50º + Sen30º + Sen10º 10. Simplifica:
N=
Sen(3x + y) + Sen(x + 3y) Sen2x + Sen2y
11. Pasa a producto: E = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x
2Cosx(Cos14x + Cos10x) 2Cosx(Sen14x + Sen10x)
Q=
Q = 2Cos12x Cos2x 2Sen12xCos2x Q = Cos12x Sen12x
Q = Cot12x
13. Obtén el valor de:
N = Sen75º + Sen65º + Sen55º + Sen45º Cos75º + Cos65º + Cos55º + Cos45º
14. Calcula el área del cuadrilátero PQRS. (OP = OR = m) P
UNI 12. Reduce: Q = Cos15x + Cos13x + Cos11x + Cos9x Sen15x + Sen13x + Sen11x + Sen9x Resolución: Q = (Cos15x + Cos13x) + (Cos11x + Cos9x) (Sen15x + Sen13x) + (Sen11x + Sen9x) Q = 2Cos14xCosx + 2Cos10xCosx 2Sen14xCosx + 2SenxCosx
5.°
año
O
3α α
Q
S
R
117
TRIGONOMETRÍA
6
7 Transformaciones trigonométricas II De producto a suma o diferencia
Se suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar un determinado producto mediante una suma o diferencia. Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales. 2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) 2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y) 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) 2SenxSeny =Cos(x – y) – Cos(x + y)
Demostración
Demostración
2Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) Recordemos: Cos(x + y) = Cosx ⋅ Cosy – Senx ⋅ Seny ... (I) y Cos(x – y) = Cosx ⋅ Cosy + Senx ⋅ Seny ... (II) Sumando (I) y (II) Cos(x + y) + Cos(x – y) = 2Cosx ⋅ Cosy
Demostración
2SenxSeny = Cos(x – y) – Cos(x + y) ⇒ Cos(x – y) = Cosx ⋅ Cosy + Senx ⋅ Seny ... (I) ∧ Cos(x + y) = Cosx ⋅ Cosy – Senx ⋅ Seny ... (II) Restando (I) – (II) Cos(x – y) – Cos(x + y)
2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) Recordemos: Sen(x + y) = Senx ⋅ Cosy + Seny ⋅ Cosx ... (I) y Sen(x – y) = Senx ⋅ Cosy – Seny ⋅ Cosx ... (II) Sumando (I) y (II) Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2Senx Cosy
Recuerda Sen(x + y) ⋅ Sen(x – y) = Sen2x – Sen2y Cos(x + y) ⋅ Cos(x – y) = Cos2x – Sen2y
Trabajando en clase Integral 1. Reduce:
P = 2Sen4x Cosx – Sen5x
Resolución: (Cos4x + Cos2x) – Cos4x P= (Sen6x + Sen2x) – 6Senx Cos2x P= Sen2x
2. Calcula: R = 2Cos20º Sen10º + Sen10º
3. Determina el máximo valor de: L = 2Cos3x Cos2x – Cos5x
5. Simplifica: 2Cos3xSen2x + Senx N= 2Cos4xCosx – Cos3x
PUCP 4. Simplifica:
P=
7
2Cos3x ⋅ Cosx – Cos4x 2Sen4x ⋅ Cos2x – Sen6x
TRIGONOMETRÍA
P = Cot2x
6. Calcula:
118
E = Sen50º(1 – 2Cos80º)
5.°
año
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS II 7. Simplifica:
1 Cos2x – Cos3xCosx E= 2 Cos4x UNMSM
8. Si 3Cos2θ = 4Cos8θ Calcula: M = Cos5θ ⋅ Cos3θ Cos2θ
Resolución: 2Cos5θ ⋅ Cos3θ M= 2Cos2θ
M = Cos8θ + Cos2θ 2Cos2θ
Del dato:
10. Reduce: L = Cos25x – (2Cosx ⋅ Sen6x – Sen7x)2 11. Calcula el valor de: 1 – 4Sen10º ⋅ Sen70º Cos80º UNI 12. Reduce: P = Sen3x Cos4x + Sen3x Cos2x – Sen6x Cosx Resolución:
2P = 2Cos4xSen3x + 2Sen3xCos2x – 2Sen6xCosx
2P=(Sen7x–Senx)+(Sen5x+Senx)–(Sen7x+Sen5x)
→ Cos2θ = 4k ∧ Cos8θ = 3k Reemplazando: M = 3k + 4k = 7k = 7 8k 8 2(4k)
2P = Sen7x – Senx + Sen5x + Senx – Sen7x – Sen5x 2P = 0 P=0 13. Reduce: L = Cos5xCosx + Sen4xSen2x + Sen3xSenx
9. Si 2Sen9x = 5Senx Calcula: Q = Cos4x Sen5x Senx
14. Calcula el valor de: E = Cos π + Cos 3π + Cos 5π + Cos 7π 9 9 9 9
5.°
año
Cos2θ 4 = Cos8θ 3
119
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Calcula Cot8º. a) 1 c) 3 b) 2 d) 5
7. Simplifica: e) 7
Cscx+Csc2x+Csc4x+Csc8x+...+Csc256x+Cot256x x Cot 2 x a) 1 c) 2 e) Tan2 2 x b) 1,5 d) Cot2 2
2. Indica un valor de «x» si: Tan4x + Tanx + Tan4x Tanx Tan5x = 1 a) 1º c) 5º e) 9º b) 3º d) 7º
8. Simplifica:
3. Calcula Tanα. a) 11/33 b) 19/33 3 c) 17/33 d) 29/33 e) 31/33
α 2
Sen50º + Sen30º + Sen10º Cos50º + Cos30º + Cos10º
1
a) 1 c) 3 1 3 b) d) 3 4
5
e) 2
4. Simplifica: Sen2θ + Cosθ 2Senθ + 1 a) Senθ b) Cosθ
c) Tanθ d) Cotθ
e) Secθ
5. Reduce:
1 1 – Secx Cscx
D=1– a) Sen2x b) Cos2x
c) Tan2x d) Cot2x
2
9. Reduce: Q = Cos40º – 2Sen80º Sen40º a) 0 c) –1 e) –1/2 b) 1 d) 1/2 1 10. Si Tanx = , calcula Tan3x. 2 a) 3/2 b) 5/2
e) Sec2x
11. Si: x =
c) 7/2 d) 9/2
e) 11/2
π rad, calcula: 24
6. Calcula el valor de: 1 + Cos48º – Cos78º 2
L= 1–
a) –2 b) –1
8
2 c) 0 d) 1
TRIGONOMETRÍA
N = Senx Cos3x – Sen3x Cosx 1 1 c) e) 4 16 1 1 b) d) 2 8
a) 1
e) 2
120
5.°
año
REPASO 12. Simplifica: (Sen4x – Sen2x)(Cosx –Cos3x) C= (Sen3x + Senx)(Cos4x + Cos2x)
Claves
a) 1 b) 2 c) Tan2x d) Cot2x e) Tan4x
1.
E
5.
A
9.
E
2.
E
6.
C
10.
E
3.
B
7.
A
11.
D
4.
B
8.
B
12.
C
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: Mc Granw - Hill HALL, H. S.; KNIGHT, S. R.: Trigonometría elemental. Editorial: Utera. HOBSON, E. W.: Plane and advanced trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K. Historia de las matemáticas. Editorial Mir Moscú. Trigonometría 5º Pre RACSO Editores.
año
121
TRIGONOMETRÍA
8
Trigonometría
1
Resolución de triángulos oblicuángulos I (Senos y proyecciones)
Concepto
Resolver un triángulo es determinar la medida de los tres lados y ángulos. Para resolver un triángulo oblicuángulo es suficiente conocer la medida de tres elementos entre ángulos y lados, donde por lo menos uno de ellos debe ser un lado.
Ley de senos
Entonces:
BAQ = SenC =
C C ⇒ = 2R ... (1) 2R SenC
BCQ = SenA =
a a ⇒ = 2R ... (2) 2R SenA
Igualando (1) y (2) c a = = 2R ... (α) SenC SenA
ZZ Trazamos el diámetro que pasa por A se demues-
En un triángulo ABC B
tra en forma análoga: b c = = 2R ... (β) SenB SenC
a
c
ZZ Se demuestra de (α) y (β):
A
b
a b c = = = 2R SenA SenB SenC
C
Se cumple:
Ley de proyecciones
a b c = = = 2R SenA SenB SenC
En todo triángulo ABC: B
R: Circunradio
a
c
Demostración
ZZ Todo triángulo es inscriptible en una circunfe-
A
rencia tal como se observa en la figura: B
c
R
c = a CosB + b CosA
a
C A Q
Demostración:
C
ZZ En la figura, trazamos BH:
B
ZZ Por B trazamos un segmento que pasa por el centro
de la circunferencia hasta Q. (BQ = 2R; R: Radio).
m∠BAQ = 90º y m∠BCQ = 90º Además: m∠BQA = C y m∠BQC = A
año
a
c
ZZ Observar que:
5.°
C
a = b CosC + cCosB b = a CosC + c CosA
R A
b
A
129
m
H
n b
C
TRIGONOMETRÍA
1
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y PROYECCIONES) ZZ Se determina sobre el lado AC dos segmentos m y
n tal que: b = m + n AHB: m = c CosA CHB: n = a CosC m + n = c CosA + a CosC
∴ b = c CosA + a CosC
Advertencia pre En todo triángulo oblicuángulo se cumple: a = 2R SenA b = 2R SenB c = 2R SenC donde: R: circunradio
Trabajando en clase Integral
6. De la figura, calcula «x» (ABCD: trapecio).
1. Según el gráfico mostrado, calcula «b».
B
C 7 B
3. Se tiene un ∆ABC, m∠A = 45º; m∠B = 120º; a = 2. Calcula «b».
4. En un ∆ABC: a = 3 ∧ b = 5. 2SenB + SenA Calcula: S = 2SenB – SenA Resolución:
Por ley de senos: SenB =
Luego:
b a ∧ SenA = 2R 2R
a b + 2n + a 2(4) + 3 2R 2R = = S= 2b – a 2(4) – 3 b a 2⋅ – 2R 2R b a 2 – 2R 2R 2⋅
S=
11 = 2,2 5
5. En un ∆ABC: a = 10; b = 13 ∧ c = 15 Calcula: SenA + SenB + SenC SenC – SenA
1
TRIGONOMETRÍA
D
7. En un ∆ABC, se cumple: SenA SenB SenC = = 2 3 4
Calcula: F =
b2 + c2 b2 – a2 UNMSM
8. Para un ∆ABC, reduce: M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A
Resolución: M = (a + b) CosC + (a + c) CosB + (b + c) Cos A
M=aCosC+bCosC+aCosB+cCosB+bCosA+cCosA
ordenando, se tiene:
M=(aCosC+cCosA)+(bCosC+cCosB)+(aCosB+bCosA) b a c (Ley de proyecciones) ∴M=a+b+c
PUCP
θ
53º
2θ
30º
A
2. En un ∆ABC, m∠+C = 60º ∧ R = 4. Calcula «c» donde R: circunradio.
x
a
b A
C
9. Para un ∆ABC, reduce: N = a(CosB + CosC) + b(CosA + CosC) + c(CosA + Cosb)
130
5.°
año
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I (SENOS Y PROYECCIONES) 10. En un ∆ABC; de lado a, b ∧ c, ¿a qué es igual? c – aCosB F= aSenB 11. En un ∆ABC, simplifica:
R=
(a – bCosC)TanB⋅Sen(A + B) +bSenC
⇒ 2Cos2 – 1 =
3 ∴ Cosα = 5
13. De acuerdo al gráfico, calcula «Senα».
UNI
C
12. De acuerdo al gráfico, calcula «Cosα». 7 α
7
5 A
3α
Resolución: Aplicando la ley de senos, tenemos:
⇒
1 3 ⇒ Cos2α = 5 5
3x
9 x
14. En el ∆ABC, si a = 14; b = 10 ∧ c = 12.
7 5 7 5 = ⇒ = Senα Senα(2Cos2α+1) Senα Sen3α
Calcula el valor de la expresión:
1 5
M=
10Cos2α + 5 = 7 ⇒ 10Cos2α = 2 ⇒ Cos2α =
5.°
año
B
131
CscB – CscA CscC – CscA
TRIGONOMETRÍA
1
2
Resolución de triángulos oblicuángulos II (Cosenos y Tangentes)
Ley de cosenos B
a
c A
Nota: En un ∆ABC se cumple: (2p: perímetro) P = R(SenA + SenB + SenC)
a2 = b2 + c2 – 2bc CosA b2 = a2 + c2 – 2ac CosB c2 = a2 + b2 – 2ab CosC C
b
Demostración
Demostración
ZZ Trazamos la altura BH, determinándose los trián-
gulos rectángulos BHA y CHB.
ZZ Sabemos pr el teorema del seno:
2RSenA a a SenA = ⇒ = 2RSenB b b SenB
B b A
a
bSenA
bCosA
H
ZZ Aplicando proporciones:
c–bCosA C
a–b SenA – SenB = a+b SenA + SenB
C
a–b = a+b
ZZ En el BHC: (teorema de Pitágoras) a2 = (bSenA)2 + (c – bCosA)2 a2 = b2SenA2 + c2 – 2bcCosA + b2Cos2A a2 = b2(Sen2A + Cos2A) + c2 – 2bcCosA
a–b = a+b
uno ∴ a2 = b2 + 2 –2bcCosA
Ley de tangentes
a
b
A
2
c
C
TRIGONOMETRÍA
a–c = a+c
A–C 2 A+C Tg 2
b–c = b+c
B–C 2 B+C Tg 2
A+B A–B Cos 2 2 A+B A–B 2Sen Cos 2 2
2Sen
A+B A–B Cos 2 2 A+B A–B 2Sen Cos 2 2
2Sen
a–b A–B A+B = Tg Ctg a+b 2 2 A–B Tg a–b 2 ∴ = a+b A+B Tg 2
A–B Tg a–b 2 = a+b A+B Tg 2
B
a = 2RSenA ∧ b = 2RSenB
ZZ Dividiendo se tendrá:
Tg
Nota De Ley de cosenos:
Tg
CosA =
132
b2 + c2 – a2 2bc
5.°
año
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y TANGENTES)
Trabajando en clase Integral 1. En un ∆ABC, si m∠B = 120º; b = 3 ; c = 1. Calcula la longitud del lado «a».
x2 = 89 – 40 → x2 = 49 ∴x=7
5. Del gráfico mostrado, calcula «m».
2. Del gráfico, calcula «x».
B
C
A
2 2
x
2 60º
B
4 2m
B
37º
5.°
30º
1 A–C A+C Cot = 3 2 2 SenA Calcula: SenC Tan
D
6
60º C
Resolución: ∆BCD: BC = a ⇒ Aplicando ley de senos, tenemos: a 6 Sen30º = ⇒a=6 Sen30º Sen37º Sen37º
UNMSM c–a a+b = 8. En un ∆ABC, se cumple: b a+c
Calcula la m∠c. Resolución:
1 5 a=6 1 →a=5 5
C a
b
Luego, ∆ABC ⇒ aplicando ley de cosenos, tenemos: x2 = 82 + 52 – 2.8.5 Cos60º x2 = 64 + 25 – 80 1 2
año
C
(2a–1)
7. En un ∆ABC de lados a, b ∧ c respectivamente, se cumple que:
4. En el gráfico mostrado, calcula «x». B
120 º
B
13
8
C
(2a+3)
(2a+1)
PUCP
A
45º
A
135º
x
D
6. En el triángulo mostrado, calcula «a».
C
A
4
m
A
3. Del gráfico mostrado, calcula «m».
2m
30º
A
133
c
B
Del dato: a+b c–a operando tenemos: = a+c b TRIGONOMETRÍA
2
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS II (COSENOS Y TANGENTES)
ab + b2 = (a + c)(c – a) ab + b2 = c2 – a2 Luego: c2 = a2 + b2 + ab ... (1) por ley de cosenos: c2 = a2 + b2 – 2abCosc ... (2) (1) = (2): a2 + b2 + ab = a2 + b2 – 2abCos 1 ab = –2abCosc → Cosc – 2 ∴ C = 120º
9. En un ---ABC se cumple: bc (a + b + c)(b + c – a) = 4 Calcula «CosA»
10. En un ∆ABC de lados a, b ∧ c respectivamente, reduce: N = 2(a+b)2Sen2 c – 2ab + (a2 + b2)Cosc 2 11. En un ----ABC, se cumple que: ∠A = 45º; b = 10 2 ∧ c – a = 8 Calcula la longitud del lado «c».
Por ley de tangentes A+B Tan a+b 2 = a–b A–B Tan 2 120 Tan 3b + b 4b 2 ⇒ = ⇒ = Tan60º 3b – b 2b A–B A–B Tan Tan 2 2 3 A–B ∴ Tan = 2 2 Luego:
A–B 2 Tan(A – B) = A–B 1 – Tan2 2 2Tan
⇒ Tan(A – B) =
2⋅ 1–
UNI 12. En un ∆ABC, ∠c = 60º ∧ a = 3b. Determina el valor de S = Tan(A – B) Resolución: B a=3b C
60º
⇒ A + B = 120º
2
TRIGONOMETRÍA
b
B
3 2 3 2
2
=
3 1–
3 4
⇒ Tan(A – B) = 4 3
13. En un ∆ABC, ∠B = 30º; a = 4c. Determina el valor de: F = Tan(A – C) 14. En un ∆ABC, se cumple que: a+c A– = 4Tan B ⋅ Cot a–c C2 2
134
Calcula: TanA + TanB + TanC N= TanA ⋅ TanC
5.°
año
3 Ecuación trigonométrica Las identidades son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican para todo valor de la variable (valor admisible). En esta lección estudiaremos las ecuaciones que contienen funciones trigonométricas que verifican solo para ciertos valores, a dichas ecuaciones llamaremos ecuaciones trigonométricas. Ejemplos Tgx + Ctgx = SecxCscx : identidad : identidad Sen2x + Cos2x = 1 1 : ecuación trigonométrica Senx = 2 Cos x –
3 π 1 : ecuación trigonométrica = = 2 2 2
Para obtener las demás soluciones se les va agregando o restando 360º a cada valor obtenido.
2x = 30º, 150º ⇒ x = 15º, 75º
Son ecuaciones que requieren del uso de operaciones adicionales para convertirlos en ecuaciones elementales, estas operaciones pueden ser transformaciones, identidades, operaciones algebraicas, etc.
Recuerda
Ejemplos: 3 5 π 1 Cos x – = 2 2 π Tg 2x – =1 3
Sen3x =
x = 45º, 315º
1 Resuelve Sen(2x) = ⇒ > 0, hay solución en el I 2 y II cuadrante
Son de la siguiente forma: F.T. (ax + b) = N
2 Resuelve Cosx = ⇒ > 0, hay solución en el I 2 y IV cuadrante
II. Ecuaciones trigonométricas no elementales
Clasificación de ecuaciones trigonométricas I. Ecuaciones trigonométricas elementales
Ec. T. Elemental
Si Senx = N ⇒ x = ArcSen(N) π π – ≤ x ≤ 2 2
Ec. T. Elemental
Ec. T. Elemental
Si Cosx = N ⇒ x = ArcCos(N) 0≤x≤π –1 ≤ N ≤ 1
Trabajando en clase Integral 1. Resuelve e indica la primera y segunda solución de la ecuación trigonométrica: 1 Sen3x = 2 2. Resuelve e indica la segunda solución de la E. T. 2Cos5x – 2 = 0 5.°
año
3. Indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de: 3Tan2x – 3 = 0 PUCP 4. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T.
135
TRIGONOMETRÍA
3
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA 1 1 = =8 1 + Cosx 1 – Cosx
10. Resuelve la E. T.: 3 Cosx = 1 + Senx, donde x ∈ [0º; 360º]
Resolución: Operando, tenemos: 1 – Cosx + 1 + Cosx =8 (1 + Cosx)(1 – Cosx) 4 21 1 = 4 ⇒ 1 = 2⋅2Sen2x 2 =8⇒ 1 – Cos x Sen2x
2Sen2x =
11. Resuelve e indica la suma de las dos primeras soluciones positivas de la E. T.:
1 1 1 ⇒ 1 – Cos2x = ⇒ Cos2x = 2 2 2
UNI 12. Resuelve la E. T. en el intervalo
Luego: 2x = 60 → x = 30º
5. Halla el menor valor positivo que toma «x» en la E.T. 1 1 8 = = 1 – Senx 3 1 + Senx 6. Resuelve: 1 + Cosx = 2Sen2x Indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. 7. Resuelve e indica la solución en el intervalo 〈270º; 360º〉 de la E. T. Senx + Sen3x + Sen5x = 0 UNMSM 8. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica π Sen5x + Senx = Cos5x + Cosx; x ∈ 0; 2
〈 〈
Sen6x – Sen2x = 3 Cos4x
〈 0; 3π2 〈
Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0 Resolución: Sen3x + 2Cos2x + 1 = 0 ↓ 3Senx – 4Sen3x + 2(1 – 2Sen2x) + 1 = 0 3Senx – 4Sen3x + 2 – 4Sen2x + 1 = 0 (3Senx + 3) – 4(Sen3x + Sen2x) = 0 → 3(1 + Senx) – 4Sen2x (1 + Senx) = 0 (1 + Senx)(3 – 4Sen2x) = 0 ⇒ 1 + Senx = 0 → Senx = – 1 → x = 270º 3 – 4Sen2x = 0 → 3 = 4Sen2x 3 3 → 1 – Cos2x = → 2Sen2x = 2 2
1–
3 = Cos2x 2
1 ; x = 60º 2
⇒ Cos2x = –
∴ 2x = 120º; 240º; 480º; 600º
x = 60º; 120º; 240º; 300º
x = 45º; 135º ∨ Tan3x = 1 → 3x = 45º;225º;405º x = 15º; 75º; 135º
∴x=
Los valores de «x» son: {15º; 45º; 75º} o π ; π ; 5π 12 4 12
13. Resuelve la E. T. en el intervalo 〈0; π〉 Cos6x + 3 = 4Cos2x, e indica la mayor solución.
9. Calcula la menor solución positiva de la E.T.
14. Calcula la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: 2Cos2x = –4Cosx – 3
Resolución: Por transformaciones, tenemos: 2Sen3x Cos2x = 2Cos3xCos2x 2Cos2x(Sen3x – Cos3x) = 0 Cos2x = 0 ∨ Sen3x – Cos3x = 0 2x = 90º; 270º ∨ Sen3x = Cos3x →
Sen3x =1 Cos3x
Sen5x + Sen13x = 3 (Cos5x + Cos13x)
3
TRIGONOMETRÍA
136
π ; 2π ; 4π 3 3 3
5.°
año
4
Solución general de una ecuación trigonométrica
El objetivo de este capítulo es encontrar la solución general que satisface a una ecuación trigonométrica.
Solución general
Definiciones
Si Senx = A ⇒ solución general: x = nπ + (–)n Vp donde Vp = ArcSen(A)
Si Cosx = B ⇒ solución general: x = 2nπ ± Vp
Valor principal (Vp)
Es el valor que asume el arco cuando se aplica la función inversa. Si Snx = N ⇒ Vp = ArcSen(N) También Si Cosx = N ⇒ Vp = ArcCos(N) Si Tgx = N ⇒ Vp = ArcTg(N) Ejemplos: Si Tg x = 1 ⇒ Vp = ArcTg(1) 3 π ⇒ Vp = 4 1 Si Cos 2x – π = ⇒ Vp = ArcCos 1 2 6 2 π ⇒ Vp = 3
donde Vp = ArcCos(B)
Si Tgx = C ⇒ solución general: x = nπ + Vp
donde Vp = ArcTg(C)
∴n∈Z
Recuerda Senx = A ⇒ –
π π ≤ Vp ≤ 2 2
Cosx = B ⇒ 0 ≤ Vp ≤ π Tgx = C ⇒ –
π π < Vp < 2 2
Trabajando en clase Integral 1. Determina el valor principal (Vp) para cada E. T. 3 π = YY Sen 4x – →Vp = _________ 2 6 1 YY Cos(5x + 10º) = →Vp = _________ 2
YY Cos 3x –
3 π =– →Vp = _________ 2 6
2. Resuelve e indica la solución general: 2Sen4x – 1 = 0 5.°
año
2Cos x – 3 = 0 4 PUCP 4. Resuelve e indica la solución: π Tan 2x – = 3 4 Resolución:
Tan 2x –
π π = 3 ⇒Vp = ArcTan 3 = 2 4
3 π =– YY Tan x – →Vp = _________ 3 10
3. Resuelve e indica la solución general:
137
TRIGONOMETRÍA
4
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA π = nπ + Vp 4 π π π π = nπ + → 2x = nπ + + 2x – 3 3 4 4 nπ 7π 7π →x= + 2x = nπ + 2 24 12
2x –
5. Resuelve e indica la solución general. 3 π = Tan 3x + 3 8 6. Resuelve e indica la solución general: 3 π = Sen 4x + 2 6 7. Resuelve e indica la solución general: 1 x + π =– Cos 2 3 6 UNMSM 8. Resuelve e indica la solución general de la E. T.: Sen62x + Cos62x + Cos22x = 2 Resolución:
S.q.: Sen6x + Cos6x =
5 3 + Cos4x (Identidad) 8 8
Sen62x + Cos62x + Cos2x = 2 ↓ 1 + Cos4x 5 3 + Cos8x + =2 2 8 8 5 + 3Cos8x + 4 + 4Cos4x = 2⋅8 3Cos8x + 4Cos4x = 7 3(2Cos24x – 1) + 4Cos4x = 7 6Cos24x + 4Cos4x – 10 = 0 3Cos24x + 2Cos4x – 5 = 0
3Cos4x
5
Cos4x
–1
Luego: (3Cos4x + 5)(Cos4x – 1) = 0 Cos4x – 1 = 0 ⇒ Cos4x = 1 ⇒ Vp = 0
Finalmente: nπ 4x = 2n π ± 0 ⇒ x = 2
4
TRIGONOMETRÍA
9. Resuelve e indica la solución general de la E. T. 13 ;∀n∈Z Sen6x + Cos6x = 16 10. Calcula la solución general de la ecuación: 3 Sen π + x + Sen π – x = ;n∈Z 4Cosx 6 6 11. Calcula la solución general de la ecuación: 1 π π Cos2 – x – Cos2 + x = ; n ∈ Z 2 8 8 UNI 12. Resuelve e indica la solución general de la E. T. 4π 5π Sen 2x – Cos 2x + – Cos2x + 1 = 0 3 6
Resolución: 4π 5π Cos 2x + Sen 2x – – Cos2x + 1 = 0 3 6
2Cos 2x +
4π 4π Cos – 2x – 2Cos2x + 2 = 0 3 3
por transformaciones, tenemos: 8π + Cos4x – 2Cos2x + 2 = 0 Cos 3 2π + 2Cos22x –1 – 2Cos2x + 2 = 0 Cos 3 1 – + 2Cos22x – 2Cos2x + 1 = 0 2 1 2Cos22x – 2Cos2x + = 0 2
→ 4Cos22x – 4Cos2x + 1 = 0 (2Cos2x – 1)2 = 0 ⇒ 2Cos2x – 1 = 0 1 → Cos2x = 2 π Vp = 3 π π ∴ 2x = 2n π ± → x = nπ ± 3 6
13. Indica la solución general: π x π x 2Sen + Cos – = 3 Cosx 2 4 2 4 14. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T.: Tan2x + Cotx = 8Cos2x
138
5.°
año
5 Funciones inversas I Notación:
ZZ Función seno inverso o función arco Seno:
Tener en cuenta:
ZZ
–
ZZ ZZ ZZ ZZ
Arc Sen Función coseno inverso o función arco coseno. Arc Cos Función tangente inversa o función arco tangente: ArcTan Función cotangente inversa o función arco cotangente: ArcCot Función secante inversa o función arco secante: ArcSec Función cosecante inversa o función arco cosecante: Arc Csc
π π ≤ ArcSen x ≤ ; –1 ≤ x ≤ 1 2 2
0 ≤ ArcCosx ≤ π ; –1 ≤ x ≤ 1 –
π π < ArcTanx < ; –∞ < x < ∞ 2 2
Trabajando en clase Integral 1. Calcula el valor de: 3 α = ArcSen 2
5
2. Calcula:
2 θ = ArcSen 1 + ArcCos 2 2
3. Despejar «θ» de: π Sen q + 3 6
PUCP
5.°
año
θ
1
Nos piden Tanθ = 2 6
5. Calcula:
=a
4. Calcula: J = Tan ArcCos 1 5 Resolución: 1 Senθ = ArcCos 5 1 ⇒ Cosθ = 5
2 6
M = Sen ArcTan 1 3
6. Si: θ = ArcCot
1 2
Calcula: P = Senθ ⋅ Cosθ
1 7. Si α = ArcSen . 4
139
Calcula: Sen2α TRIGONOMETRÍA
5
FUNCIONES INVERSAS I UNMSM
10. Calcula
8. Calcula: 1 C = Sen(ArcCot3 + ArcTan ) 2
UNI
Nos piden: C = Sen(α + β) C = Senα Cosβ+ Cosα Senβ Sabemos:
12. Reduce: Sec2 (ArcTanx) – Csc2(ArcCoty) J= Sen(ArcSenx) – Cos(ArcCosy)
10 YY Cotα = 3 ⇒
a
1
2
reemplazando:
C= 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 10 5 10 5
C=
5 = 1 = 5 2 5 2 2
9. Simplifica:
R = Sen ArcCot 5 – ArcCos 3 12 5
5
TRIGONOMETRÍA
1
3 5
b
1 1 + ArcTan 5 3
11. Calcula: 1 Cos ArcCot 3 2 4
Resolución: Sea: α = ArcCot3 ⇒ Cotα = 3 1 1 β = ArcTan ⇒Tanβ = 2 2
1 YY T anb = ⇒ 2
M = Tan ArcTan
Resolución: Sea: α = ArcSenx ⇒ Senα = x β = ArcCosy ⇒ Cosβ = y También: Sec2(ArcTanx) = 1 + Tan2(ArcTanx) = 1 + [Tan(ArcTanx)]2 = 1 + x2 2 Csc (ArcCoty) = 1 + Cot2(ArcCoty) = 1 + [Cot(ArcCoty)]2 = 1 + y2 Reemplazando 1 + x2 – (1 + y)2 J= x–y
J=
x2 – y2 (x + y)(x – y) = x–y x–y
⇒J=x+y 13. Reduce: Tan2(ArcSecx) – Cot2(ArcCscy) J= Sen(ArcSenx) + Cos(ArcCosy) 14. Calcula:
140
J = Cos ArcCos Tan ArcTan
1 4
5.°
año
6 Funciones inversas II Propiedades
π ArcSenx + ArcCosx = ; ∀ x ∈ [–1; 1] 2 π ArcTanx + ArcCotx = ; ∀ x ∈ R 2 π ArcSecx + ArcCscx = ; ∀ x ∈ 〈–∞; –1] ∪ [1; ∞〉 2
Para valores negativos:
ArcSen(–x) = –ArcSenx ArcCos(–x) = π – ArcCosx ArcTan(–x) = –ArcTanx ArcCot(–x) = – ArcCotx ArcSec(–x) = π – ArcSecx ArcCsc(–x) = –ArcCscx
Trabajando en clase Integral 1. Calcula:
θ = ArcSen –
1 3 + ArcCos – 2 2
2π 2. Si ArcSenx + ArcSeny = 3 Calcula: θ = ArcCosx + ArcCosy 3. Calcula: ArcSen
Q=
1 3 – ArcTan – 2 3
Arc Tan(–1) + ArcCos – 2 2 PUCP
4. Reduce: J = Sen(ArcSenx + 2ArcCosx); x ∈ 〈0; 1〉 Resolución: J = Sen [ArcSenx + ArcCosx + ArcCosx] π J = Sen 2 + ArcCosx
J = Cos(ArcCosx) J=x
5.°
año
5. Reduce: J = (3ArcSenx + 2ArcCosx); x ∈ 〈0; 1〉 6. Resuelve el sistema y halla
x y
π 6 π ArcTan(x – 2y) = 4 ArcSen(2x + y) =
7. Determina el valor de x en: Arc Cos (–x) = 4ArcSenx UNMSM 8. Calcula x si: ArcSenx = ArcCosx Resolución: Del dato ArcSenx = ArcCosx = α ⇒ Senα = x Cosa = x Sabemos que: π ArcSenx + ArcCosx = 2 π α+α= 2 π α= 4
141
TRIGONOMETRÍA
6
FUNCIONES INVERSAS II π ⇒ Sen = 1 4 2
9. Calcula x, si: ArcSen2x = ArcCos2x
Resolución: Sen 2π = Sen π 3 3 π π θ = ArcSen Sen + ArcSen Sen 3 3 θ = π + π 3 3
10. Calcula: ArcSec5 + ArcCsc5 M= 1 1 + ArcTan ArcCot 4 4
11. Calcula: R = 2(ArcSec3 + ArcCsc3)(ArcTan2 + ArcCot2)
13. Calcula: 3π π α= ArcSen Sen + ArcSen Sen 5 5
θ = 2π 3
UNI 12. Calcula 2π π θ = ArcSen Sen + ArcSen Sen 3 3
6
TRIGONOMETRÍA
14. Calcula: β = ArcSen(Sen2) + ArcCos(Cos3)
142
5.°
año
7
Funciones trigonométricas (seno y coseno)
Funciones trigonométricas seno Representación
Del gráfico se afirma: D(Coseno) = R R(Coseno) = [–1; 1] Es continua en R Creciente y decreciente Función par: Cos(–x) = Cosx Periódica; período principal: 2π No es inyectiva
F. T. (Seno) = {(x; y) / y = Senx; x ∈ D(seno)} Gráfica y 1 π
Senx1
π – 2 –1
Senx2
π x1 2
x2
3π 2
Criterios de periodicidad
2π
5π 2
Las consideraciones a tener en cuenta para el cálculo del periodo será: Dada la función: f(x) = A + B F.T.n (kx + φ) Donde k ∈ R – {0}; n ∈ Z+ ⇒ Para Seno y Coseno n: par n: impar
3π x
Del gráfico se afirma: D(Seno) = R R(Seno) = [–1; 1] Es continua en R Creciente y decreciente Periódica, período principal: 2π Es una función impar: Sen(–x) = –Senx No es inyectiva
2π T = k
π T = k
Ejemplo: f(x) = 4Cos2x 2π =π n = 1 ⇒ T = 2 k=2
Función trigonométrica Coseno Representación
F.T. (Coseno) = {(x; y) / y = Cosx; x ∈ D (coseno)}
g(x) = Sen4x π =π n = 4 ⇒ T = 1 k=1
Gráfica y
Advertencia pre
1 Cosx1
–
π 2
0 Cosx2
x1
π 2 x2
π 3π 2
2π
5π 2 3π
La gráfica de una función par siempre es simétrica con respecto al eje «y» mientras que la función impar es simétrica respecto al eje «x».
x
–1
5.°
año
143
TRIGONOMETRÍA
7
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Completa los pares ordenados de la siguiente función: π π F. T. (Sen) = (0; ), ; , ; ... 6 4 2. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: I. La función y = f(x) = Senx, tiene un máximo en 〈0; π〉 II. la función y = f(x) = Senx es inyectiva en π π – ; 2 2
〈
〈
III. La función y = f(x) = Senx es impar 3. Halla el período de: f(x) = 4Cos62x PUCP 4. Dada la función seno, calcula un valor de «x» si el par ordenado π + x; 1 pertenece a dicha fun3 2 ción. Resolución: Como π + x; 1 ∈ f(seno) 3 2 Sen π + x = 1 = Sen π 3 2 6
Resolución: Analizando: y = f(x) = Cosx–1 ⇒ Cosx – 1 ≥ 0
Cosx = 1 Cosx ≥ 1: Cosx > 1
∴ Cosx = 1 ⇒ x = 2nπ; n ∈ Z Dom(f) = {x ∈ R / x = 2nπ; n∈ Z}
sabemos que: Cosx = 1 Cosx – 1 = 0 Cosx–1 = 0
∴ Ran(f) = {y ∈ R / y = 0}
9. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = 1–Senx 10. Halla el período de la función: f(x) = 4 + 3Sen4x 11. Halla el dominio de: 3Senx + 1 g(x) = 1 + Cosx UNI
π+x=π 3 6 ∴ x = –π 6
8. Halla el dominio y rango de la función: y = f(x) = Cosx–1
5. Dada la función coseno, calcula un valor de «x» si el par ordenado π +2x; 2 pertenece a dicha 10 2 función.
12. Calcula el rango de la función: y = f(x) = Senx (1 – Senx) Resolución: y = f(x) = Senx – Sen2x = –(Sen2x – Senx) Completando cuadrados 1 y = f(x) = – Sen2x – Senx + 1 4 4 2 1 f(x) = – Senx – 1 4 2
6. Halla el dominio de: y = f(x) = 1 + 2Senx
Sabemos que: –1 ≤ Senx ≤ 1
7. Halla el rango de: y = f(x) = 4 + 3Cos2x
1 1 3 – ≤ Senx – ≤ – 2 2 2
7
TRIGONOMETRÍA
144
5.°
año
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO) 2 9 0 ≤ Senx – 1 ≤ 4 2 2 9 – ≤ – Senx – 1 ≤ 0 4 2 2 1 1 – Senx – 1 ≤ –2 ≤ 4 4 2
∴ Ran(f) ∀ y ∈ –2;
5.°
año
1 4
13. Calcula el rango de la función: g(x) = Cosx(Cosx – 1) 14. Halla el período de:
145
y = f(x) = Sen x – π + Sen x + π 3 3
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Halla el rango de la función: y = f(x) = 3 + 2Csc3x a) R – [1; 5] d) R – 〈 1; 5〉 b) R – [–1; 5〉 e) R – 〈–1; 1〉 c) R – 〈–1; 5〉
B 60 A
2 Reduce la expresión: E = ArcSen Sen 7π + ArcCos Cos 9π 8 8 a) 2π c) π e) 0
a) 30º b) 45º
3. Halla la solución principal en: Tanx + Cotx = 4 a) 10º c) 18º e) 30º b) 15º d) 20º 4. Si 0º ≤ x ≤ 360º, halla el número de soluciones de: Tg2x = 3Tgx a) 4 c) 6 e) 8 b) 5 d) 7 5. En un triángulo ABC, C = 2A; a = 9 y c = 14. Calcula CosA
6. En un triángulo ABC reduce la expresión: bcCosA + acCosB + abCosC a2 + b2 + c2 1 1 a) c) e) 2 8 2 1 1 b) d) 4 P=
c) 60º d) 120º
C e) 150º
e) 30º
9. Resuelve: 2Cos2x + 3Cosx – 2 = 0; x ∈ 〈0; 2π〉 e indica la suma de soluciones en el intervalo dado. 3π 3π e) a) 3π c) 2 4 5π b) d) 2π 2
11. Resuelve e indica un conjunto solución de la E. T. Cot2x + Tanx = 4Cos2x; n ∈ R. π π + (–1)n 12 2 π b) n + (–1)n 6 π c) 2nπ ± 24
a) n
7. En la figura mostrada calcula la medida del ángulo B, siendo BD bisectriz. TRIGONOMETRÍA
D
10. Calcula la solución general de: Tan x + π + 3 = Tan x – π ; n ∈ R 3 3 π π π c) nπ ± e) nπ ± a) nπ – 6 3 8 π π d) 2nπ ± b) nπ + 6 12
2 4 8 e) a) c) 3 9 9 7 5 b) d) 9 9
8
140
8. Resuelve: Sen5x + Senx = 3 Cos5x + Cosx 3 a) 5º c) 15º b) 10º d) 20º
π b) 3π d) 2 2
42
146
π π ± 2 24 π π e) n + (–1)n 4 24
d) n
5.°
año
REPASO 12. Halla los valores de x, si 0 < x < 2π y se cumple: Cosx > Senx 5π π ; 2π ∪ a) 0; 4 4
e)
〈 〈 〈 〈 π π 5π b) 〈 ; 〈 ∪ 〈π; 〈 4 2 4 π c) 〈0; 〈 ∪ 〈π; 2π〉 2 π 5π d) 〈 ; π 〈 ∪ 〈 ; 2π〈 4 4
〈 π4 ; 5π4 〈
Claves 1.
d
5.
b
9.
d
2.
c
6.
c
10.
e
3.
b
7.
d
11.
e
4.
d
8.
b
12.
a
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
5.°
año
ALVA CABRERA, Rubén: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos. AYRES, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: MacGranw-Hill. HALL; H.S.; KNIGHT, S.R.: Trigonometría elemental. Editorial Uteha. HOBSO, E.W.: Plane anda advance trigonometry. Cambridge University Press. RIBNIKOV, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú. Trigonometría. 5º Pre RACSO editores.
147
TRIGONOMETRÍA
8
