Treinamento HP 12C

TREINAMENTO CURSO DE EXTENSÃO EM HP12-C

Professor: João Batista Gomes

GOIÂNIA 2009

1

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

02

1 - IDENTIFICANDO UMA HP-12C

03

2 - A PILHA OPERACIONAL

11

3 - FUNÇÕES MATEMÁTICA

13

3.1 - CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES

13

3.2 - OPERAÇÕES COM DECIMAIS

14

3.3 - INVERSO DE UM NÚMERO – 1/X

15

3.4 - POTENCIAÇÃO

15

3.5 - RADICIAÇÃO

17

3.6 - PORCENTAGEM

19

3.7 - DIFERENÇA PERCENTUAL

21

3.8 - PORCENTAGEM DO TOTAL

22

3.9 - LOGARITMO NEPERIANO

26

4 - FUNÇÃO DE CALENDÁRIO

28

4.1 - NÚMEROS DE DIAS ENTRE DATAS

30

4.2 - DATAS FUTURAS OU PASSADAS

31

5 - FUNÇÕES FINANCEIRAS

32

5.1 - JUROS SIMPLES

34

5.2 - JUROS COMPOSTOS

35

5.3 - VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE

37

5.4 SÉRIE UNIFORME POSTECIPADO

38

5.5 SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA

41

5.6 TAXAS

45

5.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO

48

6 - CONHECENDO A HP-12C POR FUNÇÃO

52

7 - PROGRAMA PARA CALCULAR COEFICIENTES MULTIPLICADORES COM HP12C REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

56 59

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO

02

1 - IDENTIFICANDO UMA HP-12C

03

2 - A PILHA OPERACIONAL

11

3 - FUNÇÕES MATEMÁTICA

13

3.1 - CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES

13

3.2 - OPERAÇÕES COM DECIMAIS

14

3.3 - INVERSO DE UM NÚMERO – 1/X

15

3.4 - POTENCIAÇÃO

15

3.5 - RADICIAÇÃO

17

3.6 - PORCENTAGEM

19

3.7 - DIFERENÇA PERCENTUAL

21

3.8 - PORCENTAGEM DO TOTAL

22

3.9 - LOGARITMO NEPERIANO

26

4 - FUNÇÃO DE CALENDÁRIO

28

4.1 - NÚMEROS DE DIAS ENTRE DATAS

30

4.2 - DATAS FUTURAS OU PASSADAS

31

5 - FUNÇÕES FINANCEIRAS

32

5.1 - JUROS SIMPLES

34

5.2 - JUROS COMPOSTOS

35

5.3 - VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE

37

5.4 SÉRIE UNIFORME POSTECIPADO

38

5.5 SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA

41

5.6 TAXAS

45

5.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO

48

6 - CONHECENDO A HP-12C POR FUNÇÃO

52

7 - PROGRAMA PARA CALCULAR COEFICIENTES MULTIPLICADORES COM HP12C REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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INTRODUÇÃO

Parabéns! Você acaba de aceitar mais um desafio em sua vida! Aprender a usar a calculadora financeira HP12-C. Assim como você, nós apostamos na sua capacidade de superar obstáculos. Visando facilitar sua empreitada, estruturamos o Curso de HP12-C, dentro de uma seqüência lógica que permite aprendizado, apoiado nas informações e material disponibilizados. A carga horária total do curso está estipulada em 16 horas. Obviamente variações podem ocorrer, em face do próprio ritmo de cada treinamento. A interrupção dessa rotina pode comprometer seu desenvolvimento. Lembre-se de que qualquer processo de aprendizagem depende fundamentalmente do empenho do aluno. Caso você se depare com alguma dificuldade, releia atentamente o Manual de Orientação ao Treinamento, reveja os conceitos, refaça os exercícios, enfim, revise o material. Neste módulo você estará revisando alguns conceitos matemáticos que lhe serão extremamente úteis no estudo da MATEMATICA FINANCEIRA e também iniciando a familiarização com a HP-12C. Para isso, desenvolvemos um processo de revisão objetivo, sucinto, com exemplos, exercícios e gabaritos comentados que ajudará você a enfrentar o desafio de aprender matemática e operar a HP-12C.

APOSTAMOS NO SEU SUCESSO!!!

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1- IDENTIFICANDO UMA HP-12C A diferença de uma HP para as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos dados. As calculadoras convencionais executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à seqüência natural da Matemática. Para somar 2 mais 3, tecla-se primeiro o 2, depois o (+), em seguida o 3 e, finalmente, a tecla (=). Resultado: 5. Na HP-12C, você vai procurar a tecla de igual (=) e não vai achar. A ordem de entrada dos dados na HP é diferente. Vamos fazer a mesma operação (2+3), agora usando a HP. Pegue a máquina e ligue-a, pressionando a tecla [ON], no canto inferior esquerdo. Caso o visor apresente um número diferente de zero, limpe-o utilizando a tecla CLX. Depois, pressione a tecla [F]. Agora o número [2], para que o visor apresente duas casas decimais. Aperte novamente a tecla [2], em seguida, tecle [ENTER], maior tecla da HP. Digite a tecla [3]. Por último, a tecla [+]. Resultado: 5. Percebeu como o processo de cálculo é diferente das calculadoras convencionais? Por isso, você vai estudar em detalhes como usar sua HP. Provavelmente aquele 5 ainda continua no visor. Desligue a máquina, pressionando de novo o [ON], e o visor se apagará. Agora, aperte novamente o [ON]. O 5 permanece. Esta é mais uma diferença. Vamos descobrir outras, passo a passo. A HP-12C é uma calculadora de tecnologia norte-americana. Portanto, suas teclas têm letras que sintetizam, em inglês, as funções que representam.

1.1 - LIGAR E DESLIGAR Tecla ON. No canto inferior esquerdo você encontra a tecla ON. Pressionando você ligará a sua HP12C. Pressionar novamente a calculadora será desligada. Se você esquecer de desligar a HP12C ela desligará automaticamente de 08 a 17 minutos após a sua última utilização. Para não gastar a bateria rapidamente, e aconselhável desligar a HP12C após o uso. Quando a bateria estiver fraca, e você ligar a calculadora, aparecerá no canto inferior esquerdo do visor, um asterisco piscando. Quando isto acontecer desligue a HP12C e leia as instruções do Manual de Proprietário – item Bateria, Garantia e Informações sobre Assistência Técnica.

1.2 - INDICAÇÃO DE BATERIA FRACA A sua calculadora, quando ligada, indica a condição de bateria fraca através de um asterisco (*) que fica piscando no canto inferior esquerdo do visor. Quando isto acontecer, desligue a calculadora e substitua as baterias. 1.3 - TESTES Existem dois processos para testar o bom funcionamento da HP12C: Primeiro Teste: Desligue a máquina. Mantenha a tecla [ x ] pressionada. Ligue a máquina e solte a tecla x simultaneamente. No visor deverá aparecer a palavra running piscando. Após alguns segundos surgirá no visor:

4

Se não aparecer: CUIDADO. Tente novamente, caso continue dando ERROR sua máquina necessita de reparos. Importante ressaltar que a HP12C é uma calculadora blindada. Alguns problemas só serão resolvidos com a troca da máquina. Os telefones do Atendimento ao Cliente da Hewlett Packard do Brasil são: (011)829.6612 ou (011)822.5565 – Srta. Solange.

Segundo Teste: Desligue a HP12C. Mantenha a tecla [ ] pressionada. Ligue a máquina e solte a tecla [ ] simultaneamente. Aparecerão alguns traços no visor. Pressione todas as teclas da esquerda para direita e de cima para baixo. Pressione [ON], também. Pressione [ENTER ] na 3ª. Linha e também na 4ª. Linha. Obs: se a calculadora estiver OK, após apertar a ultima tecla [ + ] surgira no visor o número 12. Se uma tecla for pressionada fora de ordem ou se a calculadora estiver com algum defeito, o visor apresentará a mensagem ERROR 9. Se não aparecer: CUIDADO. Tente novamente, caso continue dando ERROR sua máquina necessita de reparos.

1.4 - O TECLADO A maioria das teclas da HP – 12C realiza duas ou até mesmo três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior da tecla. As funções alternativas de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em dourado acima da tecla e pelos caracteres impressos em azul na face oblíqua da tecla. Tais funções alternativas são especificadas pressionando-se a tecla de prefixo adequada, antes da tecla correspondente à função desejada: Para especificar a função alternativa impressa em dourado acima da tecla, pressione a tecla dourada, de prefixo ( f ), em seguida pressione a tecla da função.



Para especificar a função primária impressa na face superior de uma tecla, basta apenas pressioná-la sozinha. 

Para especificar a função alternativa impressa em azul na face oblíqua da tecla, pressione a tecla azul, de prefixo ( g ), e então pressione a tecla da função. 

Se você pressionar por engano, uma das teclas de prefixo f ou g, elas poderão ser canceladas pressionando-se f CLEAR PREFIX. Esta última seqüência de teclas também pode ser usada para se cancelar as teclas STO , RCL , GTO (tais teclas podem ser consideradas com de “prefixo”, uma vez que as teclas numéricas devem ser pressionadas em seguida a elas, para se executar a função correspondente). Como a tecla PREFIX também é empregada para se

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apresentar a mantissa (todos os 10 dígitos) de um número que esteja no visor, a mantissa do número que estiver no visor será apresentada por um momento após a tecla PREFIX ser solta. Ao se pressionar uma das teclas f ou g de prefixo, o indicador de estado (anúncio) correspondente, f ou g ficará aceso no visor. O anúncio se apaga após se pressionar uma tecla de função (executando a função alternativa da tecla), uma outra tecla de prefixo, ou f CLEAR PREFIX.

1.5 - LIMPAR O VISOR Para limpar o visor basta apertar a tecla CLX. 1.6 - TROCAR PONTO POR VÍRGULA A HP12C possuí duas metodologias de descrição numérica – separação da parte inteira da decimal: a metodologia americana e a brasileira. Na metodologia americana os números são escritos da seguinte forma: 123,456.78 – o separador de casas decimais é o ponto. Na metodologia brasileira os números são escritos da seguinte forma: 123.456,78 – o separador de casas decimais é a virgula. Para modificar a metodologia apresentada em sua calculadora, adote os seguintes passos: Desligue a máquina. Mantenha a tecla · pressionada. Ligue a máquina soltando simultaneamente as duas teclas. Se você repetir esta operação, os separadores anteriores voltarão a serem utilizados.

1.7 - FIXAÇÃO DE CASAS DECIMAIS Para alterar o número de casas decimais, digite f, seguido do número que representa a quantidade de casas decimais desejadas. Para ter duas casas decimais após a vírgula é só apertar a tecla f e o número 2. Se você quiser trabalhar com três casas decimais é só apertar a tecla f e o número 3. E assim por diante. A HP12C adota o arredondamento estatístico. Se o número no registro interno, posterior à última casa decimal fixada, for igual ou superior a cinco, haverá aumento de uma unidade na última casa decimal. Se isto não ocorrer, não haverá arredondamento.

1.8 - INTRODUZINDO NÚMEROS Para introduzir um número na calculadora, pressione as teclas dos dígitos na mesma seqüência que você o escreve. Para introduzir o número 123: Pressione a tecla 1, depois a 2 e depois a 3. Após introduzir o último algarismo pressione a tecla ENTER. A tecla ENTER informa à calculadora que o número foi completamente fornecido e o separa de outros números a serem introduzidos.

1.9 - NÚMEROS NEGATIVOS Para fazer com que o número que está no visor fique negativo basta pressionar a tecla CHS (CHS quer dizer Change Sign, isto é, troca o sinal). Quando o visor estiver com um número negativo (precedido pelo sinal -) é só pressionar a tecla CHS e ele fica positivo.

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1.10 - FUNÇÕES DAS TECLAS – LIMPEZA (f) Clear - limpa e apaga os registros estatísticos (f) Clear FIN – limpa e apaga os registros financeiros (f) Clear PRGM – limpa e apaga os registros de PRGM (f) Clear REG – limpa e apaga todos os registros da calculadora exceto os de PRGM (f) Clear PREFIX – apresenta o visor com todos os números sem vírgula ou ponto CLx – limpa e apaga o número do visor As Teclas “CLEAR”

Tecla (s) CL x f CLEAR ∑ f CLEAR PRGM f CLEAR FIN f CLEAR REG

Apaga O visor ( o registrador X). Os registradores estatísticos (R 1 a R 6), os registradores da pilha operacional, e o visor. A memória de programação (somente quando pressionadas no modo PRGM). Os registros financeiros. Os registradores de armazenamento de dados, os registrado-res financeiros, os registradores da pilha operacional e ÚLTIMO X (LAST X), e o visor.

1.11 - TROCAR A ORDEM DOS NÚMEROS INTRODUZIDOS Ao pressionar X≥ Y, se troca o conteúdo dos números armazenados. Suponha que você queira dividir 49 por 7 e por engano, você introduziu 7, pressionou enter e então introduziu 49. Neste instante você percebeu que a ordem correta é exatamente o contrário do que você fez. Para corrigir este engano, basta trocar o primeiro valor pelo segundo, pressionando X ≥ Y. 1.12 - ARMAZENAMENTO DE NÚMEROS Para armazenar um número numa memória: Tecle o número a ser armazenado Pressione a tecla [ STO ] Tecle a identificação da memória ( 0 a 9 ou .0 a .9) Exemplo: Colocar na memória o número 72 na memória 5 e o número 14 na memória .7.

[ f ] [ CLX ] 72 [ STO] [ 5 ] 14 [ STO ] [ .7 ]

1.13 - MENSAGENS DE ERRO NO USO DAS MEMÓRIAS

7

Se a tentativa de armazenamento resultar no aparecimento da mensagem “error 6”, significa que a memória foi convertida em linha de programa e não pode ser utilizada para armazenamento.

1.14 - RECUPERAÇÃO DE NÚMEROS CONTIDOS NAS MEMÓRIAS Para trazer um número guardado numa memória para o visor, pressione a tecla [ RCL ] seguida da identificação da memória. Ex.: No exercício anterior você colocou os números 72 e 14. Recupere esse número.

[ CLX ] [ RCL ] 5

[CLX ] [ RCL ] .7

No visor aparecerão os números 72 e 14 que havíamos guardado na memória.

1.15 - APAGANDO OU SUBSTITUINDO O CONTEÚDO DE UMA MEMÓRIA Para apagar o conteúdo de uma única memória coloque zero nessa memória. Ex.: Apagar o conteúdo da memória 5, que colocamos no exercício anterior.

[ CLX ] 0 [ STO ] 5 Caso queira substituir o número contido numa memória, basta armazenar o novo número, sem necessidade de apagar previamente o conteúdo anterior.

1.16 - APAGANDO SIMULTÂNEAMENTE AS MEMÓRIAS AUTOMÁTICAS, DE ARMAZENAMENTOS FINANCEIROS E ESTATÍSTICOS. Para apagar simultaneamente o conteúdo de todas as 20 memórias de armazenamento, as 4 memórias automáticas, as memórias financeiras e as memórias estatísticas. Tecle: [ f ] [ REG ]

1.17 - APAGANDO SIMULTANEAMENTE TODAS AS MEMÓRIAS Além das memórias já mencionadas (memórias automáticas, memórias de armazenamento, memórias financeiras e memórias estatísticas), a calculadora HP-12C tem ainda a memória de programação. Para apagar todas as memórias da calculadora ao mesmo tempo, os passos são os seguintes: - Desligue a calculadora - Pressione e mantenha pressionado a tecla de menos [ - ], enquanto religa a calculadora. Então, surgirá no visor a mensagem (pr Error). Para elimina-lo pressione uma tecla qualquer. 1.18 - ESCOLHA DO NÚMERO DE CASAS DECIMAIS NO VISOR Para determinar o número de casas decimais a ser apresentado no visor, proceda da seguinte forma pressione a tecla amarela [ f ] Tecle o dígito referente ao número de casas decimais desejado no visor [ 0 a 9 ] Ex.: Para colocar o visor com 2 casas decimais:

[f][2]

1.19 - ARREDONDAMENTO DE UM NÚMERO DECIMAL NO VISOR

8

Quando escolhemos o número de casas decimais a ser apresentado no visor, ele pode ser menor do que o número de casas decimais, mantido internamente pela calculadora. O número interno pode ter sido introduzido ou ser resultado de um cálculo. Quando o visor tiver menos casas decimais do que o número interno ocorrerá arredondamento da última casa decimal á direita do visor. Ex: Faça o arredondamento do número 1,8571 e verifique, colocando na calculadora com e 4 casas decimais no visor.

1,8571 [ Enter ] [ f ] [ 2 ] aparecerá no visor 1,86 [ f ] [ 4 ] aparecerá no visor 1, 8571

1.20 - INTRODUÇÃO DE NÚMEROS COM MAIS DE 10 DÍGITOS O visor da HP-12C comporta até 10 dígitos, computando-se à parte interira e fracionária. Para introduzir um número com mais de dez dígitos, proceda da seguinte maneira: Escreva aparte o número em notação científica Tecle a mantissa Pressione a tecla [ EEX ] Tecle o expoente Ex.: Introduzir o número 500.000.000.000

Sua notação científica é 5 x 10 onde 5 é a mantissa e 11 o expoente. [ f ] [ CLX ] [f][.] 5 [ EEX } 11 No visor aparecerá 5,

11

1.21 - RECURSOS ADICIONAIS PARA CÁLCULOS A calculadora HP-12C possui funções que dão maior agilidade aos cálculos. A principal vantagem dessas funções é a economia de tempo conseguida na introdução e correção de dados. Apresentação de todos os dígitos internos do número do visor

Para apresentar os dez dígitos do número contido no visor são necessários os seguintes passos: Pressione a tecla [ f ] Pressione e mantenha pressionado a tecla [ PREFIX ] Enquanto a tecla “PREFIX” estiver pressionada, os dez dígitos serão mostrados no visor, sem ponto e sem vírgula. Alteração de precisão interna

Quando introduzimos um número com casas decimais na calculadora ou realizamos uma operação cujo resultado é um número com casas decimais, o número que fica internamente na calculadora pode ter mais casas decimais do que aquele apresentado no visor. Em qualquer cálculo realizado com o número introduzido, a calculadora considera o número interno e não aquele apresentado no visor. É possível fazer com o número interno fique exatamente igual ao apresentado no visor. Isto permite que se escolha a precisão interna da calculadora. Os procedimentos são os seguintes: - Coloque o visor com o número de casas decimais igual à precisão desejada. - Tecle [ f ] [ Rnd ], imediatamente antes de cada número que deseja introduzir com uma precisão igual ao número de casas decimais do visor.

9 Ex.: Multiplique a divisão de 9 por 7 usando uma previsão de 4 casas decimais para o resultado da divisão.

Caso não tivéssemos usado a função [ f ] [ Rnd ], o número interno referente ao resultado final seria diferente [ f ] [ CLX ] [f][4] 9 [ ENTER ] 7[ ] 1, 2857 [ f ] [PREFIX ] 1285714286 5[X] 6,44285 [ f ] [PREFIX ] 6428571430

1.22 - UTILIZANDO A PARTE INTEIRA DE UM NÚMERO CONTIDO NO VISOR Para que o número interno fique à parte inteiro daquele contido no visor, pressione as teclas: [ g ] [ Intg ] Ex.: Divida 2 por 7e multiplique a parte inteira do resultado pó o,6.

[ f ] [ CLX ] 12 [ ENTER ] 7[ ] [ G ] [ INTG ] 1,0000

0,6 [ x ] 0,6000

1.23 - RECUPERAÇÃO DO CONTEÚDO DO VISOR A tecla [ Lst x ] permite recuperar o conteúdo anterior do visor. Ex. Tendo efetuado a soma 7 + 3 e após o resultado aparecer no visor, se teclarmos [ g ] [ Lst x ] , o número 3 (último número ou número anterior do visor ou memória x) será reapresentado no visor.

7 [ ENTER ] 3[+] [ g ] [ Lst x ] 3

Obs.: 3 é número anterior da memória x.

1.24- CÁLCULO COM CONSTANTE Para efetuar cálculos com valor constante os passos são os seguintes: Tecle o número a ser usado como constante Pressione [ ENTER ] 3 vezes consecutivas Introduza o número que deseja operar (somar, multiplicar, dividir etc) com a constante Tecle [ CLX ] Introduza o próximo número a ser operado com a constante e repita o processo. Ex.: Multiplique os valores 123, 435 e 48 pela constante 3.

[ f ] [ CLX ]

10

3 [ Enter ] [ Enter ] [ Enter ] 123 [ x ] 369,00 [Clx] 435 [ x ] 1.305,00 [Clx] 48 [ x ] 144,00

1.25- FUNÇÕES DAS TECLAS – MATEMÁTICAS y x – potenciação 1

x

- inverso de um número

(g) x - raiz quadrada (g) e x – antilogarítmo natural (g) LN – logaritmo natural 1.26 – FUNÇÕES DAS TECLAS – OUTRAS (f) RDN – arredonda a mantissa com mais de 10 números (g) FRAC – elimina o número inteiro deixando a fração (g) INTG – elimina a parte fracionária de um número decimal R - (rolls down) memória rotativa apresenta no visor os últimos 4 registros no ENTER x y – inverte os valores CHS – (change) troca o sinal do número do visor ( ± ) EXX – introduz expoente (g) LSTx – recupera o último número introduzido no visor ENTER – separador de números (g) MEM – (memory) mostra as linhas de programa e memórias para uso ON – liga e desliga a calculadora (f) – aciona as teclas amarelas (g) – aciona as teclas azuis STO – introduz os números nas memórias RCL – recupera os números das memórias

11

STO EXX – introduz o c no visor

1.27 - MENSAGENS DE ERRO A Calculadora HP 12C informa no visor, quando seu sistema operacional for incapaz para executar um comando acionado pelo usuário, ou, quando não for matematicamente possível a realizarão da operação desejada. São mensagens com o aspecto “error”, seguidas de um algarismo indicando a espécie de dificuldade verificada. Para desfazer a mensagem, basta acionar qualquer tecla, com exceção da tecla ON e da tecla CLX. São mensagens de erro: error 0 – Operações Matemáticas; error 1 – “Overflow”; error 2 – Operações Estatísticas; error 3 – IRR (requer uma estimativa para IRR); error 4 – Memórias de Programação; error 5 – Juros Compostos; error 6 – Registradores de Armazenamento; error 7 – IRR (não há respostas para o cálculo de IRR); error 8 – Funções de Calendário; error 9 – Auto Teste. 2 - A PILHA OPERACIONAL A HP12C foi projetada de modo que cada vez que você pressiona uma tecla de função, a calculadora realiza a operação naquele instante, permitindo que você veja os resultados de todos os cálculos intermediários, bem como o resultado final. A HP12C possuí quatro registradores especiais, os quais são usados para o armazenamento de números durante os cálculos. Para entender como esses registradores são utilizados eles devem ser visualizados em forma de pilha, um sobre o outro. Os registradores de uma pilha operacional são designados por T, Z, Y e X. A menos que a calculadora esteja no modo de programação, o número apresentado no visor será sempre o contido no registrador X. Os cálculos com um número sempre envolvem o conteúdo do registrador X, e os cálculos com dois números envolvem o conteúdo dos registradores X e Y. Os registradores Z e T são usados principalmente para a retenção automática dos resultados intermediários de cálculos em cadeia. Examinemos um cálculo simples: 5 – 2 =

Vejamos agora o que ocorre na pilha operacional durante um cálculo em cadeia:

12

[(3 x 4) + (5 x 6)]

÷7=

÷

Realizando o cálculo na HP12C:

Introduz o primeiro número na calculadora. Pressione

para separar o primeiro do

segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Introduz o primeiro número do segundo cálculo. Pressione


segundo número, do segundo cálculo. Introduz o segundo número, do segundo cálculo, na calculadora. A resposta, do segundo cálculo, é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. O resultado do primeiro cálculo é adicionado ao

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resultado do segundo cálculo. Introduz o primeiro número do terceiro cálculo.

÷

O resultado da adição é dividido pelo número informado do terceiro cálculo.

Veja como os resultados intermediários não são apenas apresentados à medida que são calculados, mas também ficam automaticamente armazenados e disponíveis na pilha operacional para serem utilizados no momento exato. Maiores informações sobre a pilha operacional podem ser obtidas no Manual do Proprietário da HP12C.

3 - FUNÇÕES MATEMÁTICA 3.1 - CÁLCULOS ARITMÉTICOS SIMPLES Neste curso vamos utilizar a HP12C com 0,0000 no visor; isto é, quatro casas decimais e a vírgula para separá-las dos inteiros. Toda operação aritmética simples envolve dois números e uma operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão). Para realizar tais cálculos na sua HP12C, você precisa informar à calculadora quais são os dois números e então qual a operação a ser realizada. A resposta é calculada quando a tecla da operação (+ , - , x ou ÷) é pressionada. Os dois números devem ser introduzidos na calculadora na mesma ordem que apareceriam se a operação fosse feita com o emprego de lápis e papel e a expressão escrita da esquerda para a direita. Após a introdução do primeiro número, pressione a tecla ENTER, a qual informa à calculadora que o número foi completamente fornecido. 1. 2. 3. 4.

Em resumo, para se realizar uma operação aritmética: Introduza o primeiro número. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. Introduza o segundo número. Pressione + , – , ou para realizar a operação desejada.

Por exemplo, para calcular 80 dividido por 30, faça o seguinte:

Introduz o primeiro número na calculadora.

14

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

Exercícios 1: 5+4= 5+4+3= 85 + 25 + 23 = 327 – 112 = 435 ÷ 5 = 71 x 14 = (36 + 32 – 24) ÷ 11 = (124 ÷ 12 x 13,9355 – 0,0002 + 16) = Respostas: 5 + 4 = 9,0000 5 + 4 + 3 = 12,0000 85 + 25 + 23 = 133,0000 327 – 112 = 215,0000 435 ÷ 5 = 87,0000 71 x 14 = 994,0000 (36 + 32 – 24) ÷ 11 = 4,0000 (124 ÷ 12 x 13,9355 – 0,0002 + 16) = 160,0000

a. (117 ÷ 4) / (316 + 5 × 3) = b. (3 + 4) × (5 + 6) = c. (27 – 14) ÷ (14 + 38) = d. 5 ÷ (3 + 16 + 21) = e. [(144 ÷ 12 + 8) + 10] ÷ 3 = f. (4 × 4 + 4) ÷ 4 = g. (4 + 4) ÷ 4 + 4 = a. (117 ÷ 4) / (316 + 5 × 3) = 0,0884 b. (3 + 4) × (5 + 6) = 77,0000

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c. (27 – 14) ÷ (14 + 38) = 0,2500 d. 5 ÷ (3 + 16 + 21) = 0,1250 e. [(144 ÷ 12 + 8) + 10] ÷ 3 = 10,0000 f. (4 × 4 + 4) ÷ 4 = 5,0000 g. (4 + 4) ÷ 4 + 4 = 6,0000

3.2 OPERAÇÕES COM DECIMAIS Toda fração pode ser transformada em um número decimal. Isto se consegue dividindo o numerador pelo denominador (teremos então, um decimal exato ou não). FRAÇÃO: significa a parte de um todo. Em aritmética seria o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. Desta forma, os números fracionários ou frações são usados para indicar uma, ou mais, parte(s) de um todo. Os componentes da fração são:

A - numerador B - denominador Sendo assim podemos expressar uma fração de duais maneiras: utilizando o traço de fração ou dividindo o numerador pelo denominador e obtendo um número decimal. Ex. 3 = 0,75 (decimal exato) 4 1 = 0,3333 (decimal não exato) 3

Exercícios: 2,2 + 3,5 + 4,1 = 7,48 – 3,02 = 3,1 x 4,5 = 9,1 ÷ 1,3 = Respostas: 2,2 + 3,5 + 4,1 = 9,8000 7,48 – 3,02 = 4,4600 3,11 x 4,5 = 13,9950 9,15 ÷ 1,3 = 7,0385 3.3 - INVERSO DE UM NÚMERO O inverso de um número inteiro nada mais é do que 1 dividido por este número. Assim, o inverso de 2 é de 1/2, o de 534 é 1/534 e assim por diante. Na HP12C existe a tecla

que tem como função inverter o valor contido no visor. Ela

nos será muito útil. Para usá-la basta pressionarmos o número que se quer inverter e termos o seu inverso.

para

16

Exemplo: 7

aparecerá 0,1429 no visor (igual a 1/7).

2


3


4

aparecerá 0,2500 no visor (igual a 1/4) .

3.4 - POTENCIAÇÃO Seja a um número real e m e n inteiros positivos. Então: an = a × a × a × ...... × a

an × am = an + m

a0 = 1

an / am = an - m

a1 = a

(am)n = amn

a-n = 1/na

(a/b)n = an/bn

Expoente é o número que indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesma. Sempre é escrito à direita e acima da base. Na HP12C a tecla yx calcula um número y elevado a uma determinada potência x, ou seja, yx. Como calcular na HP12C: Digite o número da base ( y ). Pressione ENTER para separar o segundo número (o expoente) do primeiro (a base). Digite o expoente ( x ). pressione yx para calcular a potenciação. Exemplos: 23

Introduz o primeiro número na calculadora. Pressione segundo número.


17

Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. 21,4



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

2-1,4



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. Troca o sinal do número (negativo ou positivo) A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

(-2)3

18

Introduz o primeiro número na calculadora. Troca o sinal do número (negativo ou positivo) Pressione


segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Se a é um número real qualquer e m e n inteiros positivos, definimos:

(

)

=

/

No exemplo o n é o índice (sempre maior ou igual a 2) e o a é o radicado. A forma mais conhecida de radiciação é quando temos o índice igual a 2. Esta forma é conhecida como raiz quadrada. Na raiz quadrada não é preciso escrever o índice 2√ . Basta √ . Exemplos:

√ 4 = 41/2 = ( 22 ) 1/2 = 22/2 = 21 = 2 √ 9 = 91/2 = ( 32 ) 1/2 = 32/2 = 31 = 3 Como calcular a raiz quadrada, na HP12C: Digite o número da base ( a ). Pressione a tecla g. Pressione a tecla √ – tecla 21. Exemplos: √4

19


para trabalhar com as teclas de

função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

Radiciação com índices diferentes de 2: 3√ 8

= 81/3 = ( 23 ) 1/3 = 23/3 = 21 = 2

5√ 32

= 321/5 = ( 25 ) 1/5 = 25/5 = 21 = 2

Como calcular a raiz de índice diferente de dois, na HP12C: Digite o número da base ( a ). Pressione ENTER para separar o segundo número (o índice) do primeiro (a base). Digite o número do índice ( n ). Pressione a tecla . Pressione a tecla

.

Exemplos: 5√ 32

Introduz o primeiro número na calculadora – a base. Pressione


segundo número. Introduz o segundo número na calculadora – o

20

índice. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – transforma o índice em expoente. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

3√ 36



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora – o índice. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – transforma o índice em expoente. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

24√ 1.234.567,89

21



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora – o índice. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – transforma o índice em expoente. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

3.6 - PORCENTAGEM Porcentagem é uma fração especial na qual o denominador é sempre 100. Ela pode ser indicada por um número acompanhado da notação %. Cem porcento significa 100/100, isto é 1. Na HP12C usamos as porcentagens na forma percentual: 10%. Quando realizamos cálculos algébricos utilizamos a forma unitária ou fator unitário: 0,10. A conversão é simples: Fator Unitário = Fator Percentual / 100.

100,0000%

1,0000

8.372,0000%

83,72000

10,0000%

0,1000

19,3150%

0,19315

1,0000%

0,0100

0,0060%

0,00006

A operação é simples – implica sempre em multiplicar ou dividir o número por 100. Isto significa colocar a vírgula duas casas para a direita ou para a esquerda conforme for o caso. Como calcular porcentagem - % na HP12C: Digite o número da base. Pressione ENTER para separar o segundo número (o percentual) do primeiro (a base).

22

Digite o número do percentual. Pressione a tecla %. Exemplos: Calcular 15% de 320.



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora – o percentual. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

Acrescentar 12% de imposto a uma compra de R$10.000,00.



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora – o percentual. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor a ser acrescentado. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor final acrescido do imposto.

23

Se a base já estiver no visor, como resultado de um cálculo anterior, você não precisa pressionar ENTER antes de introduzir a porcentagem, da mesma forma que num cálculo aritmético em cadeia. Exemplo: O preço de tabela de um fardo de arroz calafate é de R$28,34. O vendedor oferece um desconto de 5%, e o imposto sobre o preço da venda de 7%. Qual será o valor do desconto do vendedor e o preço total final, caso realize a compra?



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora – o percentual do desconto. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor a ser descontado. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor final diminuído o desconto. Introduz o terceiro número na calculadora – o percentual do imposto. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor a ser acrescentado. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor final acrescido do imposto.

24

3.7 - DIFERENÇA PERCENTUAL Para calcular a diferença percentual entre dois números. Ela pode ser indicada pela notação Δ%. Como calcular a diferença percentagem - Δ% na HP12C: Digite o número da base. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro (a base). Digite o segundo número. Pressione a tecla Δ . Se o segundo número for maior do que a base, a diferença percentual será positiva. Se o segundo número for menor do que a base, a diferença percentual será negativa. Além disso, uma resposta positiva indica um acréscimo, enquanto que uma resposta negativa indica um decréscimo. Se você estiver calculando uma diferença percentual num intervalo de tempo, a base é em geral o valor que ocorre em primeiro lugar. Exemplos: Calcular a variação percentual entre 28,34 e 28,8076.



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – a resposta é 1,6500% de crescimento.

Conforme verificado na Gazeta Mercantil a cotação de suas ações adquiridas caiu de R$58,50 para R$53,25 por ação. Qual foi variação percentual?

Introduz o primeiro número na calculadora – a

25

base. Pressione


segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – a resposta é – 8,9744% de queda.

3.8 - PORCENTAGEM DO TOTAL Para calcular a porcentagem de um número sobre outro. Este procedimento é conhecido como cálculo da variação vertical. Como calcular a percentagem sobre o total - %T na HP12C: Digite o número da base. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro (a base). Digite o segundo número. Pressione a tecla %T. Pressione a tecla CLX. Digite o terceiro número. Pressione a tecla %T. Exemplos:

Receita Bruta de Vendas

10.000 100,0000%

Impostos sobre Vendas

(1.000)

10,0000%

Custos dos Produtos Vendidos

(7.650)

76,5000%

Introduz o primeiro número na calculadora – a

26

base. Pressione


segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. Troca o sinal do número no visor. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – os impostos sobre vendas representam 10,0000% da Receita Bruta. Cuidado com a análise do sinal. Apaga o visor. Introduz o terceiro número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – a Receita Líquida de Vendas representa 90,0000% da Receita Bruta. Cuidado com a análise do sinal.

E assim sucessivamente, até terminar todos os números. Desta forma saberemos quanto cada parcela participa no total. Que porcentagem representa um ganho de R$5.000,00 numa aplicação de R$25.000,00?



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – o ganho representa

27

20,0000% da aplicação.

No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de US$3,92 milhões para os EUA, US$2,36 milhões para a Europa e US$1,67 milhões para o resto do mundo. Qual foi o percentual das vendas à Europa sobre o total exportado?



segundo número. Introduz o segundo número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Introduz o terceiro número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Introduz o quarto número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – as vendas para a Europa representam 29,6855% das Vendas Totais.

A HP12C mantém o montante total após o cálculo da porcentagem do total. Portanto, para calcular a porcentagem de um outro valor sobre o total: Pressione a tecla CLX, apagando o visor. Introduza o outro valor. Pressione %T .

28

Por exemplo, para calcular (com os dados do exercício anterior) as porcentagens absorvidas pelos EUA e pelo resto do mundo sobre o total da exportação: Apaga o visor. Introduz o quinto número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – as vendas para os EUA representam 49,3082% das Vendas Totais. Apaga o visor. Introduz o sexto número na calculadora. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – as vendas para o resto do mundo representam 21,0063% das Vendas Totais.

Exercício: 1) Numa pesquisa feita em dois estabelecimentos foram constatados os seguintes valores: Estabelecimento B Produto Estabelecimento A 2,50 2,75 x 10% 54,78 53,00 y 3,249% 21,34 25,30 w 18,557% 18,42 15,78 x 14,332% 54,28 54,00 t 0,516% Calcule a diferença porcentual entre os produtos. 2) Um comerciante divide R$ 3.000,00 entre seus cinco funcionários proporcionalmente ao tempo de casa. Calcule o percentual que cada um recebeu. Valor Funcionários A 300 10% B 500 16,67% C 600 20% D 700 23,33% E 900 30% 3) Calcule quantos por cento:

29

a) R$ 121 são de R$ 484; b) 936 g são de 15.660 g; c) 912,5 g são de 73 kg; d) 45 são de 180 dm3.

Resposta: 25% Resposta: 5,98% Resposta: 1,25% Resposta: 25%

4) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000, R$ 3.700 e R$ 9.500? Resposta: R$ 636,00 5) Em uma pesquisa sobre futebol, foram entrevistadas 840 pessoas. Destas, 25% torcem pelo time x. Quantas pessoas, entre as entrevistadas, torcem pelo time x? Resposta: R$ 210 pessoas. 6) Em uma escola com 1810 alunos, 1086 são meninas. Qual é a taxa porcentual de meninas. Resposta: R$ 60% 7) Um objeto foi comprado por R$ 3.100,00 e revendido por R$ 3.472,00. Determine a taxa porcentual acrescida Resposta: R$ 12% 8) Uma conta de R$ 1.250,00 foi paga com atraso e sofreu uma multa de 3,5%. Calcule o valor pago Resposta: R$ 43,75 + R$ 1.250,00 ou seja, R$ 1.293,75

3.9 - LOGARITMO NEPERIANO A maioria das aplicações e captações existentes no mercado financeiro está inserida no regime de capitalização composta a qual, matematicamente falando, tem comportamento exponencial ou logarítmico. Os logaritmos neperianos têm base e. O número e é obtido da expressão (1 + 1/x) x quando se faz x crescer indefinidamente, ou seja, tender a infinito é, aproximadamente, 2,718281828... Indica-se: ⇔ (tecla 23) Em todos os exercícios de nosso curso, quando do uso de logaritmos, adotou-se os de base neperiana em função da possibilidade de o aluno poder resolvê-los concomitantemente com uma calculadora financeira, a qual, em sua maioria, apresenta em seu teclado o logaritmo neperiano.

Propriedades dos Logaritmos • Logaritmo de um produto

•

Logaritmo de um Quociente

30

•

Logaritmo de uma Potência

•

Logaritmo de uma Raiz

Como calcular a logaritmo neperiano - LN na HP12C: Digite o número. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. Digite a tecla g para acionar as funções em azul. Pressione a tecla LN. Exemplos: LN 10



segundo número. Pressione


função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

10 = 5n

Lembrando da propriedade de logaritmo de uma potência e lembrando de uma propriedade matemática que fala se multiplicarmos os dois termos pelo mesmo valor o resultado não modificará, então teremos: 10 = 10 = n 10 /

5n 5 5=n

31



segundo número. Pressione


função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Introduz o segundo número na calculadora. Pressione


função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

Pressionando g LN calcula-se o logaritmo neperiano; isto é, o logaritmo na base e do número no visor. Para calcular o logaritmo na base decimal do número contido no visor, calcule o logaritmo neperiano e então pressione 10 ÷.

ligar a calculadora - [ ON ] apagar o que tem no visor - [ CLX ] apagar o que tem nas memórias financeiras - [ f ] [ REG ] introduzir um número - [ número ] [ENTER ] fazer um cálculo simples - [ número ] [ ENTER ] [ número ] [ operação ] Cálculo percentual - [ número ] [ ENTER ] [ percentual ] [ % ]

32

potenciação - [ número ] [ ENTER ] [ potência ] [ yx ] radiciação - [ número ] [ ENTER ] [ raiz ] [ 1/x] [yx ] armazenar na memória - [ número ] [ ENTER ] [ STO ] [ Número qualquer] buscar um número na memória - [ RCL ] [ número onde foi armazenado ] fixar quantidade de casa decimal - [ f ] [ número de casas decimais ]

4 - FUNÇÃO DE CALENDÁRIO A função calendário permite obter as seguintes informações: a) número real de dias entre duas datas (fornece também o número de dias calculado com base no ano de 360 dias); b) data futura ou passada corresponde a um número fixo de dias, tomando-se como base uma data específica; c) dia da semana correspondente a uma data futura ou passada. Esta função serve para fazermos cálculos com datas, manipulando datas ente 15 de outubro de 1582 até 25 de novembro de 4046. Para trabalhar com datas no formato mês, dia e ano (comum na língua inglesa): Pressione a tecla g para acessar funções azuis. Pressione a tecla M.DY – tecla 28 Obs.: Não aparecerá nada na tela; porém a calculadora assumiu este tipo de formato. A HP12C já vem com este formato pré-definido. Na língua inglesa a data é escrita da seguinte forma: Abril, 01 1998. Como introduzir datas pelo sistema inglês na HP12C: Pressione os dois dígitos do mês. Pressione a tecla do ponto decimal * (tecla 48). Pressione os dois dígitos do dia. Pressione os quatro dígitos do ano. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. Exemplo: Introduzir a data 01 de maio de 1964, no formato inglês.

Introduz os dois dígitos referentes ao mês de maio.

33

Pressione tecla ponto decimal para separar o mês do restante da data. Introduz os dois dígitos referentes ao dia. Introduz os quatros dígitos referentes ao ano. Pressione

para separar o segundo

número do primeiro. Pressione para trabalhar com as teclas de função amarelas – alterar o número de casas decimais.

Para trabalhar com datas no formato dia, mês e ano (comum na língua portuguesa): Pressione a tecla g para acessar funções azuis. Pressione a tecla D.MY – tecla 27. Obs.: Aparecerá na parte inferior do teclado, ao lado do C, as letras D.MY (correspondem a day, month, year). Como introduzir datas pelo nosso sistema na HP12C: Pressione os dois dígitos do dia. Pressione a tecla do ponto decimal * (tecla 48). Pressione os dois dígitos do mês. Pressione os quatro dígitos do ano. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. Exemplo: Introduzir a data 01 de maio de 1964, no nosso formato.

Introduz os dois dígitos referentes ao dia do mês. Pressione tecla ponto decimal para separar o dia do restante da data. Introduz os dois dígitos referentes ao mês. Introduz os quatros dígitos referentes ao ano.

34

Pressione

para separar o segundo

número do primeiro. Pressione para trabalhar com as teclas de função amarelas – alterar o número de casas decimais.

Procure conservar no rodapé de sua HP12C as letras D.MY. O formato da data que você tiver especificado ficará vigorando até que você o mude; ele não é redefinido cada vez que a calculadora é ligada. No entanto, se a memória contínua for completamente apagada, o formato da data ficará sendo mês, dia e ano.

4.1 - NÚMEROS DE DIAS ENTRE DATAS Para calcular o número de dias entre duas datas na HP12C: Introduza a data mais antiga e pressione ENTER . Introduza a data mais recente e pressione (tecla 26). A resposta apresentada no visor é o número real de dias entre as duas datas, incluindo os dias adicionais dos anos bissextos, se houver. Além disso, a HP12C também calcula o número de dias entre as duas datas, na base de um mês de 30 dias (ano comercial). Tal resposta é mantida dentro da calculadora: para apresentá-la no visor, pressione novamente, a . Pressionando resposta original retornará ao visor. Exemplo: Quantos dias há entre 26 de outubro de 1966 e 26 de janeiro de 1999.

Introduzir seis casas decimais. Introduz a data mais antiga. Pressione

para separar a primeira data

da segunda. Introduz a data mais recente. Pressione


função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da

35

operação é pressionada. Resposta em dias – ano civil. A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Resposta em dias – ano comercial.

4.2 - DATAS FUTURAS OU PASSADAS Para determinar a data e o dia, tendo decorrido um certo número de dias a partir de uma determinada data na HP12C: Introduza a data fornecida e pressione ENTER . Introduza o número de dias. Se a data for no passado, pressione CHS. Pressione g DATE. A resposta calculada pela função DATE é apresentada num formato especial. Os dígitos do dia, mês e ano são isolados por separadores de dígitos, e o dígito à direita da resposta indica o dia da semana: 1 para segunda-feira e 7 para domingo. Exemplo: Um CDB de 90 dias comprado em 04 de janeiro de 1999 vence em que dia?

Introduzir seis casas decimais. Introduz a data fornecida. Pressione


do número de dias. Introduz o número de dias. Pressione


função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. 04 de abril de 1999 – domingo.

36

Um CDB resgatado em 23 de novembro de 1998 foi comprado 90 dias antes. Qual a data em que foi comprado?

Introduzir seis casas decimais. Introduz a data fornecida. Pressione


do número de dias. Introduz o número de dias. Transforma o número positivo em negativo. Pressione


função azul.

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. 25 de agosto de 1998 – terça-feira.

5 - FUNÇÕES FINANCEIRAS A tecla “n” Serve: Para assimilar o prazo (expresso em dias) de um cálculo de juros simples a ser efetuado com o recurso de juros simples a ser efetuado com o recurso da função amarela RND. Para assimilar o número de períodos de capitalização de um cálculo financeiro, efetuado conforme o processo exponencial de juros (juros compostos). Esta situação requer a mensagem “c” ativada.

A tecla “i” Serve: Para assimilar a taxa anual de juros lineares (num processo de cálculo de juros lineares/simples), a ser efetuado com o recurso da função amarela INT

37

Para assimilar e/ou calcular a taxa de juros efetivos (num processo de cálculo de juros exponenciais/compostos) a ser efetuado através das teclas financeiras. Esta situação requer a mensagem “c” ativada.

A tecla “PV” Serve: Para assimilar e/ou calcular o valor do capital (valor inicial único) de uma operação financeira em sendo efetuada através das teclas financeiras. A tecla “PMT” Serve: Para assimilar e/ou calcular o valor da parcela de um financiamento formatado conforme o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price). Para assimilar e/ou calcular o valor da parcela de aplicação de capital, conforme um Plano de Capitalização (com parcelas de mesmo valor e com uniformidade na periodicidade de aplicação). A tecla “FV” Serve: Para assimilar e/ou calcular o montante (valor final único) de uma operação financeira em sendo efetuada através das teclas financeiras. A função (azul) “CFo” É a função que faz a assimilação de um número digitado, caracterizando-o como fluxo (de capital) inicial de uma série de pagamentos, formatada como uma operação financeira. Quando se tratar de um desembolso de capital, deve-se atribuir sinal negativo ao número em questão. A função (azul) “CFj” É a função que faz a assimilação de um número digitado, caracterizando-o como o (s) fluxo (s) (de capital) seguinte ao fluxo inicial de uma série de pagamentos, formatada como uma operação financeira. Quando se tratar de desembolso de capital, deve-se atribuir sinal negativo ao número em questão. A função (azul) “Nj” É a função que serve para indicar a quantidade de vezes, que um número já assimilado como CFj, repete-se sucessivamente, caracterizando assim o aspecto repetitivo de um fluxo (de capital) de uma série de pagamentos, formatada como uma operação financeira. A função (azul) “BEG” É a função que estabelece o caráter de antecipação das Parcelas de um financiamento, formatado conforme o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price). Também estabelece o caráter de postecipação do resgate do Capital formado por um Plano de Capitalização, confeccionado com parcelas iguais de aplicação de capital. A função (azul) “END” É a função que estabelece o caráter de postecipação das parcelas de um financiamento formatado conforme o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price). Também estabelece o caráter de antecipação do resgate do Capital formado por um Plano de aplicação de capital. A função (amarela) “AMORT”

38

É a função que desencadeia a decomposição das parcelas de um financiamento, formatado conforme o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price). Esta função em conjunto com a tecla X Y e com a instrução “RCL PV”, fornece: 1º – o valor do juro presente na parcela em questão; 2º - o valor da amortização presente na parcela em questão; 3º - o saldo devedor (estado da dívida) no momento da parcela em questão. Esta função também fornece, os totais de Juros, de Amortização e o Saldo Devedor, num determinado momento de um financiamento formatado conforme o Sistema Francês de Amortização.

A função (amarela): “INT” É a função que calcula os juros simples, quando: o prazo (expresso em dias) é armazenado na tecla financeira “n”; a taxa (anual e linear) de juros é armazenada na tecla financeira “i”; o capital (atribuindo-lhe sinal negativo) é armazenado na tecla financeira “PV”. A função (amarela): “NPV” É a função que calcula o Valor Presente Líquido de uma Série Não Uniforme de Pagamentos (em sendo armazenado o fluxo de pagamentos, através das funções azuis “CFo”, “CFj”, e “Nj”). A função (amarela): “IRR” É a função que calcula a Taxa Interna de Retorno de uma Série Não Uniforme de Pagamentos (em sendo armazenado o fluxo de pagamentos, através das funções azuis “CFo”, “CFj”, e “Nj”). PRICE – preço dos títulos ou debentures (f) YTM – rendimento até o vencimento DEPRECIATION – depreciação (f) SL – depreciação pelo método linear (f) SOYD – depreciação pelo método das somas dos dígitos (f) DB – depreciação pelo método do declínio em dobro 5.1 - JUROS SIMPLES Para calcular juros simples utilizando as teclas financeiras da máquina, vamos trabalhar com as funções:

[PV] Capital inicial [n]

Tempo (em dias)

[i]

taxas de juros, expressa em percentagem (ao ano) INT

[f] [ i ]

Valor de juros simples

Observações: INT

a) a seqüência de teclas [ f ] [ i ] dá o valor dos juros simples; INT

39

b) existem duas condições essenciais para o cálculo do [ f ] [ i ]: - TAXA sempre ANUAL (10%aa etc. ou 5% am = 5 x 12 meses = 60% aa); - TEMPO sempre em dias (125 dias, 46 dias etc. ou 3 meses = 90 dias, 2 anos = 720 dias); c) o valor a ser armazenado no [PV] será sempre impostado com sinal negativo a fim de se obterem os juros com sinal positivo. Para isso utilizaremos a tecla [CHS]. Vejamos: Exemplo 1: PV = $ 200.000,00 N = 90 dias i = 160% aa j = ?

TECLAS 200000 [CHS] [PV]

VISOR -200.000,00

COMENTÁRIOS Armazena o capital

90

90,00

Armazena o prazo, em dias

160,00

Armazena a taxa, ao ano

80.000,00

Encontra os juros simples

[n]

160 [ i ] INT

[f] [i]

Exercício de Fixação 1) Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00 à taxa de 8,4% ao ano, pelo prazo de 1 ano, 3 meses e 20 dias. Obs. : Não sendo citado, prevalece o ano comercial. Resposta: R$ 274,17 2) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 400,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 5 meses. Resposta: R$ 50,00 3) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 2.500,00 à taxa de 20% ao ano, durante 80 dias considerando o ano civil para fins de cálculo. Resposta: R$ 2.609,59

5.2 - JUROS COMPOSTOS Muito bem! Agora é que começamos a separar os adultos das crianças. Não precisa começar a se desesperar: os cálculos envolvendo juros compostos possuem uma estrutura muito semelhante à usada nos juros simples, como você verá. Os juros compostos referem-se às situações em que os juros são integrados ao /capital, a cada cálculo. Para facilitar, vamos pegar um exemplo clássico: Caderneta de Poupança. A cada mês os juros são incorporados ao Capital e no próximo mês os juros incidirão sobre esse montante e assim sucessivamente. Nos caso dos juros compostos, o resultado é o próprio Montante.

OBS: A unidade de tempo utilizada para o período ( n ) deve ser a mesma da taxa de juros ( i ), ou seja, se o período ( n ) é dado em:

40

Dia – taxa em dia ( i% ad ) Mês – taxa em mês ( i% am ) Ano – taxa em ano ( i% aa ). Na HP-12C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras [ n ], [ i ], [PV] e [FV] Observações: a) a tecla [FV] não utilizada em juros simples. Passaremos a utilizá-la a partir de agora; b) a unidade de tempo para o período [ n ] deve ser a mesma da taxa de juros [ i ].

Exemplo: Um capital de $ 500.000,00 foi aplicado a uma taxa de 15% am. Determine o montante no final de seus meses.

TECLAS 500000 [CHS] [PV]

VISOR -500.000,00

COMENTÁRIOS Armazena o capital

6 [n]

6,00

Armazena o prazo

15 [ i ]

15,00

Armazena a taxa

[FV]

1.156.530,38

Cálculo do montante

Exercícios de Fixação 1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. Resposta: R$ 121,01 2) Determine o juro de uma aplicação de R$ 2.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses. Resposta: R$ 844,20 3) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 7.803,16 4) Calcule o montante de R$ 85.000,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. Resposta: R$ 228.230,43 5) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 197.521,36. Resposta: 150.000,00 6) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzirá um montante de R$ 146.853,37, à taxa de 3% ao mês? Resposta: 13 meses 7) Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 37.737,15 de juro. Determine a taxa de aplicação. Resposta: 2,5% a. m.

41

8) O capital de R$ 120.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a R$ 155.590,77. Calcule a taxa de juro. Resposta: 3,3% a. m. 9) A que taxa bimestral devo aplicar o meu capital, de modo a obter um total de juro igual a 50% do capital aplicado no fim de 8 meses? Resposta: 10,67% a. b. 10) O capital de R$ 92.000,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 1 ano e 9 meses, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante? Resposta: 157.572,68

5.3 - VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE Cálculos Financeiros e o Diagrama do Fluxo de Caixa O diagrama de fluxo de caixa é um valioso instrumento auxiliar para o uso de sua calculadora nos cálculos financeiros. O diagrama não é nada mais do que uma descrição gráfica temporal e direcional das transações financeiras, rotuladas com termos correspondentes ao teclado da sua calculadora. O diagrama começa com uma linha horizontal denominada linha de tempo. Ela representa o período de duração do problema financeiro planejado para 6 meses, tendo uma composição de juros mensal, teria o seguinte diagrama: 0

1

2

3

4

5

6

O intercâmbio do dinheiro num problema é desenhado com flechas verticais. O dinheiro recebido é representado por uma flecha apontada para cima, que se inicia no ponto da linha de tempo onde a transação ocorreu; o dinheiro pago é representado por uma flecha apontada para baixo.

Dinheiro pago Dinheiro recebido

Os valores do problema que correspondem às 5 primeiras teclas da fileira superior do teclado estão agora evidentes no diagrama de fluxo de caixa:

• n é o número de períodos de composição. Tal quantidade pode ser expressa em anos, meses, dias ou qualquer outra unidade de tempo, contanto que a taxa de juros seja expressa nos termos do mesmo período de composição básico.

42

• i é a taxa de juros por período de composição. A taxa de juros do diagrama de fluxo de caixa (introduzida na calculadora) é terminada dividindo-se a taxa de juros anual pelo número de períodos de composição. • VP, o valor presente, é o fluxo de caixa inicial, ou o valor presente de uma série de futuros fluxos de caixa. • PMT é o pagamento periódico. Quando todos os pagamentos são iguais, eles são denominados anuidades. • VF , o valor futuro, é o fluxo de caixa final ou o valor composto de uma série de fluxos de caixa anteriores. Para especificar a modalidade de pagamento:

• Pressione g BEG ( BEGin = início) se os pagamentos forem feitos no início dos períodos de composição. • Pressione g END ( END = fim) se os pagamentos forem feitos ao final dos períodos de composição. O indicador de estado (anúncio) BEGIN fica aceso quando tal modalidade está em vigor. Se BEGIN não estiver aceso, a modalidade de pagamento em vigor será END.

Calculando o Número de pagamentos ou de Períodos de Composição (Resumo) 1. Pressione f CLEAR FIN para apagar os registradores financeiros. 2. Introduza a taxa de juros periódica, usando i ou 12 . 3. Introduza pelo menos dois dos seguintes valores:

• O valor presente, usando PV. convenção de sinal • O pagamento, usando PMT. • O valor futuro, usando FV.

Observação: Lembre-se de respeitar a do fluxo de caixa.

4. Se PMT for fornecido, pressione g BEG ou g END para estabelecer a modalidade de pagamento. 5. Pressione n para calcular o número de pagamentos ou períodos. Se a resposta for um número não inteiro (isto é, com dígitos não nulos na parte decimal), a calculadora arredondará a resposta para o inteiro imediatamente superior, antes de armazená-lo no registrador n e apresentá-la. Por exemplo se n for calculado como sendo 318.15, a resposta a ser apresentada no visor será 319.00 .

5.4 SÉRIE UNIFORME POSTECIPADO Os pagamentos, recebimentos ou depósitos acontecem no final do período, ou seja, sem entrada. Exemplo 1: Durante os últimos 6 meses, A depositou R$ 350,00 no fim de cada mês em uma conta de poupança que paga 1,8% ao mês capitalizados mensalmente. Qual o montante acumulado logo após o último depósito?

43

PRESSIONE 350 CHS PMT

VISOR – 350.00

6 n

6.00

1,80 i

1.80

FV

2.196,80

Exemplo 2: De 3 em 3 meses, um pai depositou R$ 200,00 numa conta de poupança que paga juros de 5,4% a. t. capitalizados trimestralmente. O primeiro depósito foi feito quando o filho tinha 3 meses de idade e o último quando completou 21 anos. O dinheiro continuou depositado sendo que foi oferecido ao filho no seu 24º aniversário. Quanto recebeu ele nessa data? PRESSIONE f FIN

VISOR 0.00

200 CHS PMT

– 200,00

84 n

84,00

5,4 i

5,40 FV

303.373,48

f clear FIN CHS PV

– 303.373,48

12 n

12,00

5,4 i

5,40

FV

570.249,54

Exemplo 3: Paulo comprou um apartamento, pagando R$ 8.000,00 de entrada e prometendo pagar R$ 375,00 por mês, durante 4 anos. O vendedor calculou juros a 18% ao ano, capitalizados mensalmente. a) Qual era o valor à vista do apartamento?

44

PRESSIONE 375 CHS PMT i

1,50

n

48,00

1,5 48

VISOR – 375.00

PV

12.765,96 +

8.000

20.765,96

b) Se Paulo deixasse de efetuar os 12 primeiros pagamentos, quanto deveria pagar no vencimento do 13º para pôr-se em dia com os pagamentos? PRESSIONE f CLx n

13

1,5 375

VISOR 0.00 13.00

i

1,5

CHS PMT

– 375.00

EXERCÍCIOS 1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do “X” a)

X 7% trimestres 0

1

2

3

9

10

200

200

1.200 u.m.

Resposta: 8.428,30 u.m. b)

200

200

200

9% trimestres 0

1

2

3

17

18

45 X

Resposta: 8.260,27 u.m. c)

1.000 5% trimestres 0

1

X

2

X

3

X

7

X

8

X

Resposta: 154,72 u.m. 2) Qual o valor atual de uma renda imediata de 15 termos trimestrais de 5.000 u.m., à taxa de 6% ao trimestre? Resposta: 48.561,24 u.m. 3) Uma pessoa deposita 6.000 u.m. no fim de cada trimestre, a 24 % a. a., durante 3 anos. Calcular o montante. Resposta: 101.219,64 u.m 4) A dívida de R$ 200.000,00 deve ser paga com 20 prestações anuais de R$ 16.048,50. Calcular a taxa. Resposta: 5% a. a. 5) Qual o valor da prestação anual que, a 4% a. a., em 20 anos, amortiza a dívida de R$ 500,00? Resposta: 36,79 6) A que taxa foi emprestada a quantia de R$ 500,00 se ela deve ser paga com 20 prestações anuais de R$ 36,79? Resposta: 4% a. a. 7) A que taxa foram emprestadas R$ 50.000,00 se foram pagos com 20 prestações anuais de R$ 3.679,10? Resposta: 4% a. a. 8) Um empréstimo, cujo principal é de $ 20.000,00, foi realizado a juros compostos, e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Determinar o valor dessas prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a libertação dos recursos. Resposta: 1.776,98 9) Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo valor à vista é de $ 10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $ 3.000,00 por ocasião da compra. Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada, sabendo-se que o financiamento é realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resposta: 339,41

46

10) Um equipamento cujo o valor à vista é de $ 25.000,00 está sendo financiado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determinar o valor que deve ser dado de sinal, a título de entrada, para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e sucessivas seja limitado a $ 1.700,00. Assumir que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resposta: 5.866,37 11) Um financiamento cujo principal é igual a $ 10.000,00 deve ser liquidado com 10 prestações mensais, sucessivas e iguais a $ 1.075,00. Determinar a taxa interna de retorno desse financiamento, no regime de juros compostos, assumindo que a 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. Resposta: 1,34% a. m. 12) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de $ 2.000,00 numa instituição financeira e verificou que o saldo a sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de $ 21.000,00. Determinar a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos. Resposta: 1,08% a. m.

5.5 SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA Uma série uniforme antecipada tem um número limitado de termos iguais e sucessivos que se verificam no início de cada período. A diferença deste tipo de anuidade para a anuidade postecipada está apenas na disposição dos termos em relação ao tempo. Tal diferença implica em diferença de valor futuro e, consequentemente, diferença de valor presente. Exemplo 1: Qual o valor acumulado (Valor Futuro) gerado por 8 depósitos mensais, iguais e consecutivos de R$ 250,00, o primeiro deles sendo efetuado hoje, considerando uma taxa de juros de 2,5% ao mês? PRESSIONE

VISOR g BEG f FIN

BEGIN

250

CHS PMT

– 250.00

2,5

8 n

8.00

FV

2.238,63

Exemplo 2: Qual o valor presente (Hoje) de uma série de 20 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 480,00 sendo que o primeiro ocorrerá hoje, considerando uma taxa de juros de 3% ao mês?

47

PRESSIONE

VISOR g BEG f FIN

BEGIN

480

CHS

– 480.00

3

20 n

20.00

PV

7.355,42

EXERCÍCIOS 1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do “X”: a)

X 2% meses 0

1

2

3

11

12

220

220

500 u.m.


220

220

220

220

2% meses 0

1

2

3

11

12

X

Resposta: 3.009,67 u.m c)

.

2.000 6% trimestres 0

X

1

X

2

X

3

X

9

X

10

X

Resposta: 256,35 u.m. 2) Um aparelho de televisão foi comprado com 10 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. Sabendo-se que os juros são de 2% ao mês, qual o preço à vista do televisor? Resposta: 916,22 u.m.

48

3) Uma empresa deposita 20.000 u.m. no início de cada semestre, a 20% a. a., durante 5 anos. Qual o montante. Resposta: 350.623,34 u.m. 4) Quanto se deve depositar, no início de cada trimestre, a 20% a. a., durante 3 anos, para no fim de 4 anos, retirar o montante de 100.000 u.m.? Resposta: 4.922,53 u.m. 5) Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações anuais de R$ 2.000,00 à taxa de 5% a. a., devendo a 1ª prestação ser paga no ato do empréstimo? Resposta: R$ 26.170,60 6) Calcular o valor atual de uma renda anual antecipada de 10 termos iguais a R$ 800,00, sendo 5,5% a. a. a taxa de juros. Resposta: R$ 6.361,76 7) Calcular o valor atual de uma renda mensal antecipada de 10 termos de 1.000 unidades monetárias, à taxa de 2% ao mês. Resposta: 9.162,237 u.m. 8) Uma mercadoria é vendida a prazo por 6 prestações mensais antecipadas de 100 u.m. com juros de 1,5% ao mês. Qual o valor a vista dessa mercadoria? Resposta: 578,264 u.m.

EXERCÍCIOS 1) Interprete cada problema e depois calcule o valor do “X”: a)

X 9% 0

1

2

11

12 semestres

0

1

2

6 3.000 u.m.


150

150

150

150 0

1

2

11

12

49 trimestres 0

1

2

3

24

7% X

Resposta:19.653,75 Resposta:19.653,75 u.m. c)

3.000 2%

0

1

2

11

12 trimestres

0

1

2

3

4 X

X

X

X

Resposta: 307,06 307,06 u.m. 2) Calcular o valor atual de uma renda anual de 20 termos iguais a R$ 2.000,00 cada uma, à taxa de 5% a. a., diferida de 7 anos. Resposta: R$ 17.713,30 3) Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de 200 u.m., com 9 meses de carência, à taxa de 5% ao trimestre. Resposta: 1.334,065 u.m. 4) Um empréstimo de 100.000 u.m. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao trimestre. Resposta: 15.595,636 u.m. 5) Uma máquina foi comprada com 2.000 u.m. de entrada e 12 prestações trimestrais de 800 u.m., diferidas de um ano. Sendo os juros 8% ao a o trimestre, qual o preço à vista da máquina? Resposta: 6.431,3936 u.m. 6) Um financiamento, com o principal de $ 10.000,00, deve ser liquidado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Assumir os meses com 30 dias e determinar o valor dessas prestações nas seguintes hipóteses: a) a 1ª prestação deve ser paga 30 dias após a liberação dos recursos; Resposta: 1.067,18 b) a 1ª prestação deve ser paga no ato da liberação dos recursos, a título de entrada; Resposta: 1.054,53 c) a 1ª prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos. Resposta 1.106,06

5.6 TAXAS Taxa

É o percentual da remuneração do capital.

Taxa Nominal A taxa nominal é expressa normalmente para periodicidade anual, sendo transformada em taxa para periodicidade menor de forma proporcional. Taxa Proporcional A proporcionalidade estivéssemos tratando de juros simples.

de

taxas

é

realizada

como

se

50

Taxa Efetiva É a taxa que realmente é paga no período em que foi fornecida, independente do período de capitalização. Isto quer dizer que se um capital foi aplicado durante um tempo a determinada determinada taxa, não importa o período de capitalização, que o resultado final, o montante, será o mesmo. Quando queremos ajustar uma taxa ao período de capitalização utilizamos a equivalência de axas. Taxa Equivalente Dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando um valor é aplicado por um prazo e, calculado o montante com as diversas taxas, obtemos o mesmo resultado. CÁLCULO DA TAXA EQUIVALENTE Seja:

i = taxa do período (anual) k = número de capitalizações no período (nº de capitalizações no ano) ik = taxa equivalente a “i”

i k

k

1 i 1

e

i

(1

i k ) k

Exemplo 1: Qual a taxa mensal equivalente a 120% a. a.?

PRESSIONE 120 100

VISOR ENTER

÷

120,00 1,20

1 +

12

1 x

y x

1,07

1 –

0,07

100

6,79

Exemplo 2: Qual a taxa anual equivalente a 0,5% a. m. PRESSIONE 0,5 100

1 +

VISOR ENTER

0,50

÷

0,01

1

51

12 y x

1,06

1 –

0,06

100

6,17 PROGRAMA DE CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES PARA CALCULADORA HP-12C TECLAR

APARECE NO VISOR

COMENTÁRIOS

[f] [ P/R] programação

00-

coloca a máquina no modo

[f] [PRGM]

00-

limpa a memória de programação

[x y]

01-34

[EEX]

02-26

[2]

03-2

[÷]

04-10

[1]

05-1

[+]

06-40

[x y]

07-34

[y x]

08-21

[1]

09-1

[-]

10-30

[EEX]

11-26

[2]

12-2

[×]

13-20

[f] [P/R]

NORMAL

INSTRUÇÕES DE USO DO PROGRAMA : 1. Subir Taxa Exemplo: Mensal  Anual Diário  Mensal - tecle a taxa em %

volta ao visor normal

52

- tecle [ENTER] - tecle o numero de vezes que o período menor cabe no maior. - tecle [R/S]

2. Descer Taxa Exemplo : Anual  Mensal Mensal  Diário. - tecle a taxa em % - tecle [ENTER] - tecle o numero de vezes que o período menor cabe no maior. - tecle [1/x] - tecle [R/S]

EXERCÍCIOS 1) Calcular a taxa mensal proporcional e a equivalente a 24% a. a.. Resposta: 2% a. m. 1,809% a. m. 2) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondente a 2% ao mês. Resposta: 24% a. a. 26,824% a. a. 3) O capital de 1.000 unidades monetárias produziu o montante de 1.700 unidades monetárias em 1 ano e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros? Resposta: 7,88% a. t. 4) Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a. a.? Resposta: 5,10% a. t. 5) Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente? Resposta: 19,56% a. a. 6) Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a. a.? Resposta: 1,531% a. m. 7) Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% ao mês? Resposta: 12,68% a. a. 8) Qual a taxa semestral de juros equivalente a 20% a. a.? Resposta: 9,54% a. s.

5.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO Amortização consiste na liquidação ou pagamento de uma dívida mediante prestações fixas, sucessivas e iguais.

53

Esta permite calcular os juros e amortização contidas em uma prestação calculada pela tabela PRICE (ou sistema FRANCES) e determinar o saldo devedor e o número de prestações pagas. O sistema PRICE se caracteriza pelo pagamento de um empréstimo na forma de prestações iguais e consecutivas.

Exemplo 1: Uma dívida de R$ 3.000,00 com juros de 18% ao ano, capitalizados mensalmente deve ser amortizada por meio de pagamentos mensais iguais durante os próximos 6 meses, devido o primeiro daqui a um mês. Construir uma tabela de amortização para dívida do exemplo 1: Período Pagamento Juro devido no fim Capital Saldo Devedor no do período amortizado no início do período fim do período 1 2 3 4 5 6 Totais Período 1 2 3 4 5 6

Pagamento 526,58 526,58 526,58 526,58 526,58 526,58

Totais

Juro devido no Capital Saldo Devedor no início fim do período amortizado no fim do período do período 45,00 481,58 3.000,00 37,78 488,80 2.518,42 30,44 496,14 2.029,62 23,00 503,58 1.533,48 15,45 511,13 1.029,90 7,78 518,80 518,77 3.159,48 159,45 3.000,03

A HP – 12C permite que você calcule as partes dos seus pagamentos referentes aos juros, principal , além do saldo devedor do seu empréstimo após um ou mais pagamentos. O plano de amortização deve ser definido da seguinte maneira: Pressione f CLEAR FIN para apagar os registradores financeiros. Introduza a taxa de juros periódica i. Introduza o valor do empréstimo PV. Introduza o pagamento período CHS PMT. (o sinal deve ser negativo por ser uma saída no fluxo de caixa) 5. Pressione g BEG ou g END para estabelecer a modalidade de pagamento. 6. Introduza o número de pagamentos a serem amortizados. 7. Pressione f AMORT para apresentar a parte dos pagamentos referentes aos juros. 8. Pressione x y para apresentar a parte dos pagamentos referentes ao principal. 9. Para apresentar o número de pagamentos que acabaram de ser amortizados, pressione R R . 10. Para apresentar o saldo devedor restante, pressione RCL PV. 11. Para apresentar o número total de pagamentos amortizados, pressione RCL n. No quadro de amortização do Exemplo 1: 1. 2. 3. 4.

0,03

54

PRESSIONE

VISOR

f CLEAR FIN 526,58 CHS PMT

– 526,58

1,5 i

1.50

6 n

6.00

3000 PV

3.000,00

1 f AMORT

– 45,00

Juros da 1ª prestação.

x y

– 481,58

Amortização da 1ª prestação.

RCL PV

2.518,42

Saldo Devedor.

1 f AMORT

– 37,78


x y

– 488,80


RCL PV

2.029,62

Saldo Devedor.

1 f AMORT

– 30,44


x y

– 496,14


RCL PV

1.533,48

Saldo Devedor.

1 f AMORT

– 23,00


x y

– 503,58


RCL PV

1.029,90

Saldo Devedor.

1 f AMORT

– 15,45


x y

– 511,13


RCL PV

518,77

Saldo Devedor.

1 f AMORT

– 7,78


x y

– 518,80


RCL PV

– 0,03

Saldo Devedor.

Exemplo 2:

55

Suponha que você queira comprar uma casa de R$ 15.000,00 a juros de 15% ano. Os pagamentos necessários deverão ser de R$ 500,00 ao final de cada mês. Calcule as partes referentes aos juros e ao principal dos dois primeiros anos de pagamentos. PRESSIONE

VISOR

f FIN 500 CHS PMT

– 500,00

15 g 12

1.25

15.000 PV

15.000,00

24 f AMORT primeiros meses.

– 3.316,20

Juros relativos aos 24

x y anos.

– 8.683,80

Principal pago nos 2 primeiros

RCL PV pagamentos.

6.316,20

Saldo Devedor após 2 anos de

RCL n amortizados.

24.00

Número total de pagamentos

O número de pagamentos introduzidos imediatamente antes de se pressionar f AMOT é tomado como sendo o número de pagamento realizados após quaisquer pagamentos que já tenha sido amortizados. Dessa maneira, se você pressionar agora 6 f AMORT , a sua HP – 12C calculará os montantes relativos aos juros e ao principal, nos 6 meses seguintes após os 2 primeiros anos de pagamentos. 6 f AMORT dos últimos 6

– 393,44

Parcela relativa aos juros meses.

x y últimos 6 meses.

– 2.606,56

Principal

RCL PV

3.709,64

Saldo Devedor após 30 meses.

amortizado

dos

Número total de pagamentos amortizados.

Obs.: Somando-se os juros mais amortização, teremos a prestação. Os juros sempre incidirão sobre o saldo devedor anterior a prestação. Se não for necessário, por exemplo, ter os juros e amortização da 1ª prestação, você pode teclar simplesmente 2 f AMORT e sua HP – 12C dará o somatório das amortizações até a 2ª prestação e o saldo devedor após o pagamento da mesma. Teclando após 1 f AMORT a sua HP – 12C lhe dará os juros e amortização da 3ª prestação, como também o saldo devedor.

Exemplo 3:

56

No exemplo 1 achar o saldo devedor logo após o 4º pagamento e conferir com a entrada na tabela do exemplo 1. O saldo devedor logo após o 4º pagamento, é o valor atual dos 6 – 4 = 2 pagamentos ainda a efetuar-se. Assim, SD (Saldo Devedor) HP – 12C

PRESSIONE f CLEAR FIN

VISOR

526,58 CHS PMT

– 526,58

6 n

6.000

1,5

3000 PV

3.000,00

4 f AMORT

– 136,22

RCL PV

1.029,90

Saldo Devedor .

EXERCÍCIOS 1) A fim de remodelar sua loja, um comerciante toma emprestados R$ 13.000,00. Concorda em amortizar seu débito, capital e juros a 6% ao ano, por meio de pagamentos mensais iguais durante os próximos 3 anos, o primeiro com vencimento para daqui a um mês. Achar: a) O pagamento mensal. Resposta: 395,49 b) O saldo devedor logo após o 20° (vigésimo) pagamento. Resposta: 6.066,64 2) M toma emprestados R$ 100.000,00 com juros de 6% ao ano compostos trimestralmente. A dívida deve ser liquidada mediante um pagamento de R$ 20,000.00 daqui a 2 anos, seguindo de pagamentos trimestrais iguais no fim de cada período durante 8 anos. a) Achar o pagamento periódico necessário. Resposta 3.666,79 b) Calcular o saldo devedor logo após o 5° pagamento periódico. Resposta: 80.917,29 c) Que parte do último pagamento é empregada para pagar os juros? Resposta: 54,19 3) Um equipamento no valor de R$ 8.500,00 é adquirido em 48 pagamentos mensais postecipados, a juros de 2% ao mês. Calcule: a) O valor da prestação. Resposta: 277,12

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b) A amortização relativa às prestações 20, 30 e 40. Resposta: 156,05; 190,23; 231,89 c) O saldo devedor logo após o pagamento das prestações 20, 30 e 40. Resposta: 5.897,28; 4.154,36; 2.029,76 4) Um imóvel é financiado em 240 prestações mensais e consecutivas. O valor financiado corresponde a R$ 25.000.00 e a taxa de juros é 1% ao mês, com pagamentos postecipados. Calcule: a) O valor dos juros e amortização das prestações relativos às prestações 50, 120 e 200. Resposta: 234,12; 192,70; 92,22; 41,15; 82,57; 183,05. b) O saldo devedor logo após o pagamento das prestações 50, 120 e 200. Resposta: 23.371,03; 19.186,94; 9.039,39 5) A contraiu um empréstimo bancário no valor de R$ 3.300,00 para ser pago com juros de 7,5% ao mês, durante 11 meses. Qual o valor relativo aos juros pagos durante as 3 primeiras prestações? Resposta: 695,54

6 - CONHECENDO A HP-12C POR FUNÇÃO ON] - Liga e desliga a calculadora [F] - Tecla de prefixo. Seleciona a função alternativa impressa em dourado sobre as teclas de funções. Usada também para a formatação do visor. [G] - Tela de prefixo. Seleciona a função alternativa impressa em azul na face oblíqua das teclas de funções. CLEAR [PREFIX] - Pressionada após [F], [G], [STO], [RCL] ou [GTO] cancela tais teclas. [F] CLEAR [PREFIX] - Também apresenta a mantissa do conteúdo.

6.1 - INTRODUÇÃO DE DÍGITOS [ENTER] - Introduz no registrador y uma cópia do número contido no registrador x; é utilizada na separação de números. [CHS] - Muda o sinal do número ou expoente de 10 contido no registrador x. [EEX] - Introduz expoente. Depois de pressionada, os dígitos introduzidos em seguida compõe um expoente de 10. [0] a [9] - Usadas para a introdução de números e para formatação do visor. [ . ] - Ponto decimal. Também usada para formatação do visor. [CLx] - Apaga o conteúdo do registrador x (do visor), zerando-o.

6.2 - ARITMÉTICA

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[+] [-] [x] [÷] - Operadores aritméticos.

6.3 - REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO [STO] - Armazena. Seguida por uma tecla numérica. Do ponto decimal e numérica ou por uma tecla financeira da fileira superior do teclado, armazena o conteúdo do registrador x no registrador de armazenamento especificado. Também é usada para a realização de operações aritméticas com registradores de armazenamento. [RCL] - Recupera. Seguida por uma tecla numérica, do ponto decimal e numérica ou por uma tecla financeira da fileira superior do teclado, recupera no registrador x o conteúdo do registrador de armazenamento especificado. Clear [REG] - Apaga o conteúdo da pilha operacional (x, y, z , t), de todos os registradores de armazenamento estatísticos e financeiros. Não afeta a memória de programação.

6.4 - PORCENTAGEM [%] - Calcula x % de y e retém o valor de y no registrador y. [/\%] - Calcula a variação porcentual entre o conteúdo dos registradores y e x. [%T] - Calcula a porcentagem do conteúdo do registrador y representado por x.

6.5 - CALENDÁRIO [D.MY] - Estabelece o formato dia-mês-ano para as datas. [M.DY] - Estabelece o formato mês-dia-ano para as datas. [DATE] - Substitui a data contida no registrador y pelo número de dias contido no registrador x, apresentando no visor o dia da semana. [/\DYS] - Calcula o número de dias entre duas datas contidas nos registradores x e y.

6.6 - FINANÇAS CLEAR [FIN] - Apaga o conteúdo dos registradores financeiros. [BEG] - Estabelece a modalidade de pagamentos no início (BEGin) dos períodos, nos cálculos de juros compostos. [END] - Estabelece a modalidade de pagamentos no final [END] dos períodos, nos cálculos de juros compostos. [INT] - Calcula juros simples. [N] - Armazena ou calcula o número de períodos de um problema financeiro. [12x] - Multiplica o conteúdo do registrador x por 12, armazenando o resultado no registrador [N]. [ I ] - Armazena ou calcula a taxa de juros por períodos de composição. [12÷] - Divide o conteúdo do registrador x por 12, armazenado o resultado no registrador [ i ].

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[PV] - Armazena ou calcula o valor presente (o fluxo de um caixa inicial) de um problema financeiro. [PMT] - Armazena ou calcula o montante do pagamento. [FV] - Armazena ou calcula o valor futuro (o fluxo de caixa final) de um problema financeiro. [AMORT] - Amortiza x números de períodos, usando os valores armazenados em PMT, I, PV e no visor. Atualiza os valores de PV e N. [NPV] - Calcula o valor presente líquido de até 20 fluxos de caixa distintos e de um investimento inicial, usando os valores armazenados com [CFo], [CFj] e [Nj]. [IRR] - Calcula a taxa interna de retorno (rendimento) para até 20 fluxos de caixa distintos e um investimento inicial, usando os valores armazenados com [CFo], [CFj] e [Nj]. [CFo] - Fluxo de caixa inicial. Armazena o conteúdo do registrador x em Ro, inicializa n com zero, e define No=1. Usado no início de um problema de saldo de fluxos de caixa. [CFj] - Fluxo de caixa j. Armazena o conteúdo do registrador x em Rj, incrementa n de uma unidade, define. Nj=1. Usado em todos os fluxos de caixa inicial, num problema de saldo de fluxos de caixa. [Nj] - Armazena em Nj o número de ocorrências (de 1 a 99) de cada fluxo de caixa. Assume a unidade se não for definido. [PRICE] - Calcula o preço do título, dado o rendimento que se deseja até o vencimento. [YTM] - Calcula o rendimento até o vencimento, dado o preço do título. [SL] - Calcula a depreciação pelo método linear. [SOYD] - Calcula a depreciação usando o método dos dígitos da soma dos anos. [DB] - Calcula a depreciação usando o método do declínio do balanço.

6.7 - ESTATÍSTICA CLEAR [S] - Apaga os registradores estatísticos R1 a R6 e os registradores da pilha operacional. [E+] - Acumula estatísticas nos registradores de armazenamento R1 a R6, usando os dados contidos nos registradores x e y. [E-] - Cancela o efeito do conteúdo dos registradores x e y nos registradores de armazenamento R1 a R6. [ x ] - Calcula a média (aritmética) dos valores de x e dos valores em y, usando as estatísticas acumuladas. [x w] - Calcula a média ponderada dos valores em y e dos pesos em x, usando as estatísticas acumuladas. [ s ] - Calcula o desvio padrão da amostra de valores de x e y usando as estatísticas. [ y,r ] - Estimativa linear (no registrador x), coeficiente de correlação (no registrador y). Ajusta uma reta a um conjunto de pares (x e y) de valores introduzidos usando-se [S+] e então extrapola a reta para estimar o valor de y (y) para um dado valor de x. Calcula também a correlação linear (r) do conjunto de pares (x,y).

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[ x,r ] Estimativa linear (no registrador x), coeficiente de correlação (no registrador y). Ajusta uma reta a conjunto de pares 9x,y) de valores introduzidos usando-se [ ] e então extrapola a reta para estimar o valor de x (x) para um dado valor de y. Calcula também a correlação linear (r) do conjunto de pares (x,y).

6.8 - MATEMÁTICA [√x] - Calcula a raiz quadrada do conteúdo do registrador x. [yX] - Eleva o conteúdo do registrador y à potência estabelecida pelo conteúdo do registrador x. [1/x] - Calcula o inverso do conteúdo do registrador x. [n!] - Calcula o fatorial [nx (n-1) x ... x3x2x1] do conteúdo do registrador x. [eX] - Antilogaritmo natural. Eleva e (aproximadamente 2.718281828) à potência estabelecida pelo conteúdo do registrador x. [LN] - Calcula o logaritmo natural (na base e) do conteúdo do registrador.

6.9 - ALTERAÇÃO DE NÚMEROS [RND] - Arredonda a mantissa do número de 10 dígitos contido no registrador x para que coincida com o apresentado no visor. [INTG] - Extrai a parte inteira do conteúdo do registrador x, truncando sua parte fracionária. [FRAC] - Extrai a parte fracionária do conteúdo do registrador x truncando sua parte inteira.

6.10 - REARRANJO DO CONTEÚDO DA PILHA OPERACIONAL [x>
6.11 - PROGRAMAÇÃO [P/R] - Programação/Execução (program/Run). Alterna entre os modos de programação e execução. Posiciona automaticamente a calculadora na linha 00 da memória de programação, ao retornar ao modo Run. [MEM] - Mapa da memória. Descreve a alocação atual da memória, apresentado o número de linhas alocadas como memória de programação e o número de registradores de dados disponíveis.

7. PROGRAMA PARA CALCULAR COEFICIENTES MULTIPLICADORES COM HP12C

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7.1 MÓDULO DE PROGRAMAÇÃO TECLA F P/R F PRGM RCL i 1 0 0 ÷ 1 + RCL n Yx RCL i 1 0 0 ÷

VISOR 00 00 01 - 45 12 02 - 1 03 - 0 04 - 0 05 - 10 06 - 1 07 - 40 08 - 45 11 09 - 21 10 - 45 12 11 - 1 12 - 0 13 - 0 14 - 10

x ENT RCL i 1 0 0 ÷ 1 + RCL n Yx 1 ÷ f P/R

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 0,00

20 36 45 12 1 0 0 10 1 40 45 11 21 1 30 10

Efetuando essa programação a calculadora HP12-C fica preparada para calcular os Coeficientes Multiplicadores (índice entre n e i que multiplicados pelo preço a vista de qualquer bem, calcula o valor das prestações). Exemplo: Financiando um automóvel de R$ 30.000,00, determine os Coeficientes Multiplicadores, e o valor das prestações. Obs. Essa programação foi preparada para prestações postecipadas.

Formação do índice com HP12-C já com a programação efetuada. n = 4 prestações i = 2% ao mês TECLA 4 n 2 i R/S

VISOR 4,00 2,00 0,262623753

O Coeficiente Multiplicador será: 0,262623753 (para visualizar as 8 casas após a virgula pressione f 8).

Valor da prestação: 30.000,00 x 0,262623753 = 7.878,71

Tirando Prova TECLA 30000 CHS PV 4 n 2 i PMT

VISOR 30.000,00 4,00 2,00 7.878,71

Formando novos índices Nº de

Valor da taxa

Coeficientes

Valor a vista

Valor das

62

Prestações 6 12 18 24 36 6 12 18 24 36 6 12 18 24 36

2% 2% 2% 2% 2% 3% 3% 3% 3% 3% 4% 4% 4% 4% 4%

Multiplicadores do automóvel 0,17852581 0,09455960 0,06670210 0,05287110 0,03923285 0,18459750 0,10046209 0,07270870 30.000,00 0,05904742 0,04580380 0,19076190 0,10655217 0,07899333 0,06558683 0,05288688

prestações 5.355,77 2.836,79 2.001,06 1.586,13 1.176,99 5.537,93 3.013,86 2.181,26 1.771,42 1.374,11 5.722,86 3.196,57 2.369,80 1.967,60 1.586,61

Obs. A programação poderá ser eliminada acionando f PRGM. Acionando f REG não limpa a programação. Existe outra forma de determinar os Coeficientes Multiplicadores sem o sistema de PROGRAMAÇÃO, apenas utilizando as funções PV, n, i e PMT. Mas para esse formato deverá sempre utilizar todas as quatro funções. Para essa formato sempre considerar o valor de PV igual a 1 (um). Vejamos:

TECLA 1 CHS PV 4 n 2 i PMT

VISOR 1,00 4,00 2,00

0,262623753

Coeficiente Multiplicador = 0.262623753 (mesmo coeficiente do primeiro exemplo) Determinando o coeficiente com 36 prestações, e a taxa de 4% ao mês (conforme tabela acima). TECLA VISOR 1 CHS PV 1,00 36 n 36,00 4 i 4,00 PMT 0,05288688

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e Financeira Fácil. 11. ed.São Paulo: Saraiva, 1996. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira – Objetiva e Aplicada com Planilha Eletrônica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 1998. SPINELLI, Walter e QUEIROZ, Maria Helena. Matemática Comercial & Financeira. 8. ed. São Paulo: Ática, 1992. LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora, 1998. VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1989. SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1998. ARAÚJO, Carlos Roberto Vieira. Matemática Financeira – Uso das minicalculadoras HP-12C e HP-19BII – Mais de 500 exercícios propostos e resolvidos. São Paulo: Atlas, 1993. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998. ZENTGRAF, Walter. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 1995. ZENTGRAF, Walter. Programação na Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 1999. MATHIAS, Washington Franco e GOMES, José Maria. Matemática Financeira – Com mais de 600 exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 1989.

Treinamento HP 12C

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