Transformational Geometry
Frank M. Eccles
Nama
: Ni Made Aristya Dewi
NIM
: 1113011100
Kelas
: VI B
Problem Set 2.7
5.
Which of the following sets are closed under th e specified operations? (a) The set of all multiples of 3 under subtraction (b) The set of all odd numbers under addition (c) The set of all line reflections under composition (d) The set of all transformations under composition (e) The set
S {1,0,1} under
multiplication; under addition
Solution: (a) The set of all multiples of 3 under subtraction Misalkan T adalah himpunan semua kelipatan 3 T
{...,3,0,3,6,9,...,3n}
3
6
9
…
3k
…
3n
3
0
3
6
…
3(k 1)
…
3(n 1)
6
-3
0
3
…
3(k 2)
…
3(n 2)
9
-6
-3
0
…
3(k 3)
…
3(n 3)
…
…
3k
3(1 k )
3(2 k )
3(3 k )
…
0
…
3(n k )
…
…
3n
3(1 n)
3(2 n)
3(3 n)
…
3(k n)
…
0
Pada tabel terlihat bahwa hasil pengurangannya masih merupakan anggota himpunan kelipatan tiga sehingga himpunan tersebut bersifat tertutup.
Transformational Geometry
Frank M. Eccles
Jadi, himpunan semua kelipatan tiga tertutup terhadap operasi pengurangan. (b) The set of all odd numbers under addition Himpunan bilangan ganjil tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Contoh: 1 + 3 = 4 Hasil penjumlahan tersebut menghasilkan anggota yang tidak merupakan anggota dari himpunan bilangan ganjil, sehingga himpunan bilangan ganjil terhadap operasi penjumlahan tidak tertutup. (c) The set of all line reflections under composition Himpunan dari semua pencerminan garis didalam komposisi merupakan operasi tertutup karena hasil dari komposisi pencerminan dua buah garis adalah pencerminan garis dan merupakan kolineasi.. (d) The set of all transformations under composition Himpunan dari semua transformasi didalam komposisi merupakan operasi tertutup karena komposisi dari sebuah transformasi merupakan tranformasi juga. (e) The set
1
0 1
S {1,0,1} under
1
0
1
multiplication; under addition +
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
1
0
0
1
1 0
0
1
1
2
Berdasarkan tabel di atas, terlihat bahwa S tertutup terhadap perkalian tetapi tidak tertutup terhadap penjumlahan karena ada hasil penjumlahan yang bukan merupakan anggota S, yaitu
2 dan 2.
Transformational Geometry
Frank M. Eccles
Problem Set 3.2
8. For each of the following specify True or False. Assume A B . (a)
R A, R A,
R A,
, R A,
(b)
R A, R B ,
R B ,
, R A,
(c) If , then
R A, RA, has
no fixed points.
(d) If , then
R A, RB , has
no fixed points.
R
(e) If 180 then
R B,
A,
1
R A, RB,
Solution: (a)
(b)
R A, R A,
R A,
, R A,
R A, R A,
R A, R A, R A,
R A, R B ,
R B ,
, R A, (True)
, R A,
Misalkan s AB akibatnya terdapat garis R B ,
M
R A,
M u M s
1.
s
M t
R A, R B ,
M M M u
M
u
M
s
M t
s
M M M s
s
t
IM t
u
M u M t
2.
R B , , R A,
M M M s
t
u
M s
u
dan t sehingga
Transformational Geometry
Frank M. Eccles
M s M t M u M s
Dari (1) dan (2) diperoleh
R A, R B ,
R B , , R A,
Jadi, pernyataan 2(b) salah.
(c) If , then
R A, R A, has
R A,
R A, M s M u
R A,
M u M s
no fixed points.
Ambil sembarang titik sehingga R A, R A, ( P )
M M M M P s
u
u
s
M s M u M u M s ( P )
M s IM s ( P )
M I M
M s M s ( P )
I ( P )
P
s
s
( P )
Karena P sembarang titik dan
R A, R A, ( P )
P
maka
R A, R A, memiliki
banyak titik tetap dan membentuk suatu garis yang disebut garis tetap. Jadi, pernyataan 2(c) salah.
Transformational Geometry
(d) If , then
Frank M. Eccles
R A, RB , has
no fixed points.
B A
dan besar sudut yang terbentuk dari
ke adalah 2 atau
Karenanya besar sudut yang terbentuk dari ke adalah Namun karena besar sudut
ke
0
R A, R B ,
R A, RB , adalah
M M M u
M
u
s
s
M t
suatu pencerminan, karena
M M M s
s
t
M u IM t M u M t
Jadi, jika , maka R A, RB , tidak mempunyai titik tetap. Penyataan 2 (d) benar.
2 .
( 2) atau 2 .
juga sama dengan 2 , maka dapat
disimpulkan bahwa t // u . Oleh karena itu
mengakibatkan
Transformational Geometry
Frank M. Eccles
R
(e) If 180 then
1
R B,
A,
R A, RB,
Berdasarkan gambar di atas. R A,
M
a
M c dan R B ,
M
c
M b
Karena 180 maka perpotongan garis dan harus tegak lurus sehingga berlaku sifat komutatif pencerminan yang mengakibatkan
R
R B ,
A,
1
M M M M 1
M M 1 M M 1
a
c
c
b
c
1
M
b
M
b
a
1
c
1
M c M c M a
M c M c M a
b
M
b
M M M c
M
IM a
M
M a
c
b
b
RC , R , R , A B
Jadi, pernyataan 2(e) benar.
a
1
