tranformacion de Laplace El objetivo de este tema es el desarrollo de técnicas para el análisis de circuitos con una amplia gama de entrada y salidas. Dichos circuitos están modelados a través de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones describen el comportamiento total de la respuesta de los circuitos. Se han contemplado métodos matemáticos para determinar, de manera sistemática, las soluciones a las ecuaciones diferenciales. Ahora se presenta un método muy poderos, la transformación de Laplace, la cual involucra la conversin de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, facilitando as! en gran medida el proceso de solucin.
Denición La transformada de la place es una transformacin integral de una funcin "#t$ del dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo %ue da por resultado "#s$. Dada una funcin "#t$, su transformada de Laplace, denotada por "#s$ o L&"#t$', se de(ne como,
Respuestas natural y forzadas )ay una e*elente ra+on matematica para considerar %ue la respuesta completa deba tener dos partes#respuesta for+ada y la respuesta natural$. La ra+on se basa en el hecho de %ue la solucion de cual%uier ecuacion diferencial lineal puede e*presarse como la suma de dos partes solucion complementaria#respuesta complementaria#respuesta natural$ y la solucion particular#respuesta for+ada$.Sin entrar en detalles sobre la teoria general de las ecuaciones diferenciales, se procedera procedera a e*aminar una ecuacion general del tipo %ue se estudio en la seccion anterior
se podra identi(car - como una funcion for+ada y e*presada como -#t$ para subrayar su dependencia general del tiempo. se simpli(ca la e*plicacion si se supone %ue es una constante positiva.Despues se supondra %ue - es constante, restringiendo de ese modo el uso se funciones ro+adas de cd.
la respuesta natural Se observa primero %ue en un circuito sin fuente, - debe ser cero y la solucion consiste en la respuesta natural
Se puede ver %ue la constante nunca es negativa en un circuito solo con resistencias, inductores y capacitores/ su valor depende nada mas de los elementos pasivos del circuitos y de su intercone*ion en el circuito. or lo tanto la respuesta natural se apro*ima a cero cuando el tiempo aumenta sin limites. Este debe ser el caso del circuito 0L simple debido a %ue la energia inicial se disipa de modo gradual en la resistencia, en forma de calor. 1 ambien hay circuitos ideali+ados en los %ue es cero/ en tales circuitos la respuesta natural no se desvanece. En consecuencia, se vera %ue uno de los dos termicos %ue conforman la respuesta completa tiene la forma de la respuesta natural/ incluye una amplitud %ue dependera #aun%ue a menudo no ser a igual$ del valor inicial de la respuesta completa, y por ello tambien del valor inicial de la funcion for+ada
La respuesta forzada A continuacion se puede ver %ue el primer termino de la ecuacion &23' depende de la forma funcional de -#t$, la funcion for+ada. Siempre %ue se tiene un circuito en el %ue la respuesta natural se devanece conforme t se vuelve in(nita, el primer termino debe describir por completo la forma de la respuesta despues de %ue desaparecio la respuesta for+ada/ tambien se conoce como respuesta de estado permanente, solucion particular o integral particular. or ahora, se decide considerar solo los problemas %ue implican la aplicacion repentina de fuente de cd, asi %ue -#t$ sera entonces una constante para todos los valores del tiempo. Si se desea, se evalua ahora la integral en la ecuacion &23' para obtener la respuesta for+ada
En el caso del circuito 0L en serie -4 representa la corriente constante 5o40 y 64 la constante de tiempo t. Se observa %ue la respuesta for+ada podria haberse obtenido sin evaluar la integral, debido a %ue debe ser la respuestacompleta en el tiempo in(nito/ corresponde solo a la tension de la fuente dividida por la resistencia en serie. ello %uiere decir %ue la respuesta for+ada se obtiene por inspeccion del circuito (nal. Determinacion de la respuesta completa Se utili+a el circuito simple 0L en serie para ilustrar la forma de determinar la respuesta completa mediante la adicion de la respuesta natural y for+ada.EL circuito presente ya se anali+o, pero por un metodomas largo. La respuesta deseada es la corriente i#t$ asu %ue se e*presa primero esta corriente como la suma de la corriente natural y de la corriente for+ada, esto es
La forma funcional de la respuesta natural debe ser la misma %ue la %ue se obtuvo sin fuente alguna.or lo tanto, se sustituye la fuente de tension de escalon por un cortocircuito y se reconoce el la+o en serie 0L anterior. De tal modo,
donde la amplitud A aun debe determinarse/ ademas, debido a %ue la condicion inicial se aplica a la respuesta completa, no se puede suponer simplemente A7i#3$. A continuacion se anali+a la respuesta for+ada. En este problema particular la respuesta for+ada debe ser constante, debido a %ue la fuente es una constante 5o para todos los valores positivos de tiempo. or lo tanto, despues de %ue la respuesta natural se desvanece, no hay tension en el inductor, por consiguiente, aparece una tension 5o en los e*tremos de 0, de modo %ue la respuesta for+ada es simplemente
8bservar %ue la respuesta for+ada esta por completo determinada/ no hay una amplitud desconocida. A continuacion se combinan las dos respuestas para obtenes
y se aplica la condicion inicial para evaluar A. la corriente es cero antes de 673, ademas, no es posible %ue cambie de valor en forma instantanea, puesto %ue es la corriente %ue 9uye por un inductor.En consecuencia, la corriente es nula inmediatamente despues de t73, y
8bservar con todo cuidado %ue A no es el valor inicial de i, pues A7:5o40, en tanto %ue i;3$73. Al considerar los circuitos sin fuente, se encuentra %ue A fue el valor inicial de la respuesta. Sin embargo, cuando se presentan funciones for+adas, se debe determinar primero el valor inicial de la respuesta y luego sustituirlo en la ecuacion de la respuesta completa para determinar A.
ecuacion en e*ponencial &23'