Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
B.1. Expresión de la matriz de transformación La transformación de Park o D-Q convierte las componentes 'abc' del sistema trifásico a otro sistema de referencia 'dq0'. El objetivo de la transformación consiste en convertir los valores trifásicos 'abc', variables senoidalmente en el tiempo, a valores constantes 'dq0', en régimen xr ] se obtiene permanente. El vector con las componentes del nuevo sistema de referencia [ x
multiplicando el vector de coordenadas trifásicas [ x] por la matriz de transformación [T ], ], según la expresión (B.1).
⎡ xd ⎤ ⎡ xa ⎤ ⎢ x ⎥ = x = T ⋅ x = T ⋅ ⎢ x ⎥ ⎢ q⎥ [ r] [ ] [ ] [ ] ⎢ b⎥ ⎢⎣ x0 ⎥⎦ ⎢⎣ xc ⎥⎦
(B.1)
La expresión de la matriz de transformación [T ] se tiene en (B.2).
⎡ cos (θ ) cos θ − 2π 3 ⎢ 2 ⎢ [T ] = ⋅ ⎢− sin (θ ) − sin θ − 2π 3 3 ⎢ 1 ⎢ 1 2 2 ⎣
( (
) )
(θ + 2π 3 ) ⎤⎥ ⎥ − sin (θ + 2π )⎥ 3 cos
1 2
(B.2)
⎥ ⎥ ⎦
donde θ (B.3) (B.3) es el ángulo de la referencia rotativa (ejes D-Q), ver figura B.1. t
θ
= ∫ (ω ⋅ t ) ⋅ dt + θ 0
(B.3)
0
donde ω :
velocidad angular de la referencia D-Q (igual a la pulsación del sistema trifásico del lado de alterna del convertidor)
θ 0 :
ángulo inicial de la referencia D-Q
− 311 −
Transformación de Park o D-Q
Apéndice B
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Cuando la velocidad angular
ω es
constante, la transformación se puede expresar según la
expresión (B.4).
⎡ cos (ω ⋅ t + θ ) cos ω ⋅ t + θ − 2π 0 0 3 ⎢ 2 ⎢ [T ] = ⋅ ⎢ − sin (ω ⋅ t + θ 0 ) − sin ω ⋅ t + θ 0 − 2π 3 3 ⎢ 1 1 ⎢ 2 2 ⎣
( (
(ω ⋅ t + θ + 2 π 3 ) ⎤⎥ ⎥ − sin (ω ⋅ t + θ + 2 π 3 ) ⎥
) )
cos
0
0
(B.4)
⎥ ⎥ ⎦
1 2
b
ω
d
q
θ
ω·t θ0
a
c
Figura B.1. Sistemas de referencia trifásico y D-Q.
B.2. Propiedades de la matriz de transformación El término que multiplica la matriz de transformación en (B.2) y (B.4) puede tener un valor diverso [106][224]. En las expresiones (B.2) y (B.4), este término presenta el valor √(2/3). Con este valor, se consigue que la transformación sea ortonormal, al verificar la propiedad [T ]-1 = [T ]T, según (B.5).
2
[T ] =
3
⋅T
⇒
T [T ] =
2 3
⋅ T T
T [T ] ⋅ [T ] =
2 3
⋅T ⋅
2 3
⋅TT =
2 3
⋅ T ⋅ T T = [ I ]3×3
− 312 −
⇒
−1 T [T ] = [ T ]
(B.5)
Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Las transformaciones ortonormales se caracterizan por mantener invariante el producto escalar, ver (B.6).
[ x1r ] = [T ] ⋅ [ x1 ]
[ x2 r ] = [ T ] ⋅[ x2 ]
;
T
T T T T [ x1r ] ⋅ [ x2 r ] = ([T ] ⋅ [ x1 ] ) ⋅ ([T ] ⋅ [ x2 ] ) = [ x1 ] ⋅ [T ] ⋅ [T ] ⋅ [ x2 ] = [ x1] ⋅[ x2 ]
(B.6)
Como consecuencia de la anterior propiedad, el valor de la potencia instantánea se mantiene invariante, independientemente del dominio donde se calcule 'abc' ó 'dq0' (B.7).
⎡⎣v fr ⎤⎦ = [T ] ⋅ ⎡⎣v f ⎤⎦
⎡⎣i fr ⎤⎦ = [T ] ⋅ ⎡⎣i f ⎤⎦
;
p = va ⋅ ia + vb ⋅ ib + vc ⋅ ic = [ va
⎡ia ⎤ T ⎢ ⎥ vc ] ⋅ ib = ⎡⎣ vf ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ if ⎤⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ic ⎥⎦
vb
(
T
T
T
p = ⎡⎣ v f ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣i f ⎤⎦ = ⎡⎣v f ⎤⎦ ⋅ [T ]
T
p = ⎡⎣ v fr ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣i fr ⎤⎦ = ⎡⎣vd
vq
) ⋅ ([T ] ⋅ ⎡⎣i ⎤⎦ ) = ⎡⎣v f
(B.7)
T
⎤ ⎡ ⎤ fr ⎦ ⋅ ⎣i fr ⎦
⎡id ⎤ ⎢ ⎥ v0 ⎤⎦ ⋅ iq = vd ⋅ id + vq ⋅ iq + v0 ⋅ i0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ i0 ⎥⎦
B.3. Propiedades del sistema trifásico y componentes homopolares A partir de las expresiones (B.2) y (B.4), las componentes a la denominada secuencia homopolar o cero se calculan como se muestra en (B.8). v0 =
1 3
( va + vb + vc )
;
i0 =
1 3
( ia + ib + ic )
(B.8)
Según las características del sistema trifásico y las expresiones de (B.8), se pueden efectuar las siguientes deducciones:
•
Si el sistema trifásico de tensiones está equilibrado, la suma de tensiones 'abc' es nula en todo momento (va + vb + vc = 0) y la tensión homopolar (v0) es nula.
•
Si el neutro del sistema trifásico está aislado, la suma de corrientes 'abc' es nula en todo momento (ia + ib + ic = 0) y la corriente homopolar (i0) es nula.
•
Si el sistema trifásico de tensiones está equilibrado y la impedancia de carga es la misma en todas las fases (carga equilibrada), las sumas de tensiones y corrientes 'abc' son nulas en todo momento y las componentes a secuencia cero son nulas (v0 = 0, i0 = 0).
− 313−
Transformación de Park o D-Q
Apéndice B
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Suele ser común que el sistema trifásico de tensiones sea simétrico y equilibrado, y que la carga trifásica esté equilibrada. También es habitual encontrar aplicaciones o cargas donde el neutro está aislado. En estas condiciones, las componentes homopolares son nulas y la aplicación de la transformación de Park o D-Q reduce el número de variables del sistema, al pasar de tres variables trifásicas 'abc' a dos variables 'dq' (de valor constante en régimen permanente).
B.4. Aplicación genérica a un sistema en el espacio de estado Se considera el modelo de un sistema trifásico en el espacio de estado (B.9), que se desea transformar al dominio 'dq0'. d dt
[ x] = [ A] ⋅ [ x] + [ B] ⋅ [ u]
(B.9)
Si se consideran las variables transformadas (B.10), se obtiene la expresión en el espacio de estado (B.11) en el dominio de Park o D-Q. T [ xr ] = [T ] ⋅ [ x] ⇒ [ x] = [T ] ⋅ [ xr ]
d dt
T [ur ] = [T ] ⋅ [ u ] ⇒ [u ] = [T ] ⋅ [ur ]
;
[ xr ] = [ Ar ] ⋅ [ xr ] + [ Br ] ⋅ [ ur ]
(B.10)
(B.11)
Se puede demostrar que las matrices transformadas [ Ar ] y [ Br ] se expresan según (B.12).
⎡0 −1 0⎤ [ Ar ] = [T ] ⋅[ A] ⋅[ T ] − [ T ] ⋅ [ T ] = [ T ] ⋅[ A] ⋅[ T ] − ω ⋅ ⎢⎢1 0 0⎥⎥ dt ⎢⎣0 0 0⎥⎦ T
[ Br ] = [T ] ⋅[ B] ⋅[ T ]
d
T
T
(B.12)
T
B.5. Transformación del inversor NPC con filtro LC y carga R En el apartado 3.3.1 se detalla el proceso de modelado del inversor NPC con filtro LC y carga R. Una vez realizados los correspondientes pasos en la metodología de modelado, se obtiene el modelo en el espacio de estado y dominio trifásico (3.23), que se transcribe en este apartado (B.13).
− 314 −
Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⎡ 0 ⎢ ⎡ ia ⎤ ⎢ ⎢ i ⎥ ⎢ 0 ⎢ b ⎥ ⎢ d ⎢ ic ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥= dt ⎢va ' N ⎥ ⎢ 1 ⎢ C ⎢vb ' N ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ vc ' N ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 0
⎤ ⎡1 ⎥ 0 ⎡ ia ⎤ ⎢ L ⎥ 1 0 0 0 0 − L ⎥ ⎢ ib ⎥ ⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ L 0 0 0 0 − 1L ⎥ ⎢ i ⎥ ⎢ ⎥ c + 0 0 ⎥ ⎢v ⎥ ⎢ 1 − 0 0 0 0 ⎥ ⎢ a'N ⎥ ⎢ RC ⎢ vb ' N ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ 1 −1 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 ⎥⎢ 0 C RC ⎥ ⎢⎣ vc ' N ⎥⎦ ⎢⎢ 0 0 ⎣ 1 −1 ⎥ 0 0 0 C RC ⎦ ⎡ia ⎤ 1 d ⎡( d ap + d an ) ( d bp + dbn ) ( d cp + d cn )⎤ ⋅ ⎢ ib ⎥ [ vo ] = − ⎦ ⎢ ⎥ dt C DC ⎣ ⎢⎣ ic ⎥⎦ 0
− 1 L
0
0
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥ ⎡vao − vNo ⎤ 1 ⎥ ⎢v ⎥ L ⎥ ⋅ ⎢ bo − vNo ⎥ 0 ⎥ ⎢⎣ vco − vNo ⎥⎦ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎦⎥⎥
(B.13)
En la transformación del modelo (B.13) al dominio D-Q, se tratan los lados de alterna y de continua por separado, para luego reunirlos en el modelo definitivo. Se ha visto en el apartado 3.3.1 que las ecuaciones del modelo (B.13) que describen el lado de alterna se extraen de la aplicación de las leyes de Kirchhoff (3.9), que se transcriben en este apartado en las expresiones (B.14) y (B.15).
⎡1⎤ [ v] = L ⋅ [iY ] + [ vY ] = L ⋅ [ iY ] + [ vYN ] + ⎢⎢1⎥⎥ ⋅ vNo dt dt ⎢⎣1⎥⎦ d
d
d
1
dt
R
(B.14)
[iY ] = C ⋅ [ vYN ] + ⋅ [ vYN ]
(B.15)
Es necesario recordar algunas expresiones ya indicadas en el apartado 3.3.1.
⎡ vVSId ⎤ ⎡ vao ⎤ T ⎢ v ⎥ = T ⋅ ⎢v ⎥ vr ] = [T ] ⋅ [ v] v] = [ T ] ⋅ [ vr ] ; ; [ ] [ [ VSIq bo ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣vVSI 0 ⎥⎦ ⎢⎣ vco ⎥⎦ ⎡ iYd ⎤ ⎡ia ⎤ T ⎢ i ⎥ = T ⋅ ⎢i ⎥ ; ; iYr ] = [ T ] ⋅ [ iY ] iY ] = [ T ] ⋅[ iYr ] [ ] [ [ Yq b ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣iY 0 ⎥⎦ ⎢⎣ ic ⎥⎦ ⎡ vYNd ⎤ ⎡va ' N ⎤ ⎢ v ⎥ = T ⋅ ⎢v ⎥ ⎢ YNq ⎥ [ ] ⎢ b ' N ⎥ ⎢⎣ vYN 0 ⎥⎦ ⎢⎣ vc ' N ⎥⎦ ⎡ vYd ⎤ ⎡va ' o ⎤ ⎢ v ⎥ = T ⋅ ⎢v ⎥ ⎢ Yq ⎥ [ ] ⎢ b ' o ⎥ ⎢⎣ vY 0 ⎥⎦ ⎢⎣ vc ' o ⎥⎦ ⎡ d pd ⎢ ⎢ d pq ⎢ d p 0 ⎣
d nd ⎤
⎡ dap ⎥ ⎢ d nq ⎥ = [T ] ⋅ ⎢ dbp ⎢ dcp d n 0 ⎥⎦ ⎣
[ vYNr ] = [T ] ⋅ [ vYN ]
;
;
[ vYr ] = [T ] ⋅ [ vY ]
;
;
T [ vYN ] = [ T ] ⋅[ vYNr ]
T [ vY ] = [ T ] ⋅[ vYr ]
(B.16)
(B.17)
(B.18)
(B.19)
dan ⎤
⎥
dbn ⎥
dcn ⎥⎦
;
[ dr ] = [T ] ⋅ [ d ]
− 315−
;
T [ d ] = [ T ] ⋅[ dr ]
(B.20)
Transformación de Park o D-Q
Apéndice B
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⎡ vVSId ⎤ ⎡ d pd ⎢v ⎥ = ⎢d ⎢ VSIq ⎥ ⎢ pq ⎢⎣ vVSI 0 ⎥⎦ ⎢⎣ d p 0
d nd ⎤
⎡v p ⎤ ⎥ ⎡ v p ⎤ d nq ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = [ d r ] ⋅ ⎢ ⎥ ⎣v n ⎦ ⎣v n ⎦ d n 0 ⎥⎦
;
⎡i p ⎤ ⎢i n ⎥ = [ d r ⎣ ⎦
T
]
⎡ iYd ⎤ ⋅ ⎢⎢ iYq ⎥⎥ ⎢⎣iY 0 ⎥⎦
(B.21)
También es importante realizar algunas observaciones sobre las componentes homopolares. De (B.16) y (B.17) se extrae: 1
vVSI 0 = iY 0 =
3 1 3
⋅ ( vao + vbo + vco )
⋅ ( ia + ib + ic )
(B.22) (B.23)
Si el neutro de la carga está aislado (ia + ib + ic = 0), la corriente homopolar es nula en todo momento (iY0 = 0). En estas condiciones, al aplicar (3.13) sobre (B.22), se tiene vVSI 0 =
1 3
⋅ ( vao + vbo + vco ) = 3 ⋅ vNo
(B.24)
a) Transformación de la primera ecuación del lado de alterna.
Se aplica la transformación D-Q a la primera ecuación del lado de alterna (B.14).
⎡1⎤ [T ] ⋅ [ v] = [T ] ⋅ L ⋅ [ iY ] + [ T ] ⋅[ vYN ] + [ T] ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ ⋅ vNo dt ⎢⎣1⎥⎦ d
(B.25)
Aplicando las expresiones (B.16)-(B.18) y efectuando el producto del último sumando del lado derecho de la igualdad de (B.25):
⎡0 ⎤ T [ vr ] = [T ] ⋅ L ⋅ [T ] ⋅ [ iYr ] + [ vYNr ] + 3 ⋅ ⎢⎢0 ⎥⎥ ⋅ vNo dt ⎢⎣1 ⎥⎦ d
(
)
(B.26)
Desarrollando la derivada del producto:
⎡0 ⎤ [ vr ] = L ⋅ [T ] ⋅ [T ] ⋅ [ iYr ] + L ⋅ [ T ] ⋅[ T ] ⋅ [ iYr ] + [ vYNr ] + 3 ⋅ ⎢⎢0 ⎥⎥ ⋅ vNo dt dt ⎢⎣1 ⎥⎦ d
T
T
d
(B.27)
Se sabe que [T ]·[T ]T = [ I ] y además, de (B.12) se extrae que:
⎡0 −1 0⎤ [T ] ⋅ [T ] = ω ⋅ ⎢⎢1 0 0⎥⎥ dt ⎢⎣0 0 0⎥⎦ d
T
− 316 −
(B.28)
Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
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En consecuencia:
⎡ 0 −1 0⎤ ⎡0 ⎤ d [ vr ] = L ⋅ ω ⋅ ⎢⎢1 0 0⎥⎥ ⋅ [iYr ] + L ⋅ [ iYr ] + [ vYNr ] + 3 ⋅ ⎢⎢0⎥⎥ ⋅ vNo dt ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
(B.29)
Desarrollando (B.29):
⎡ vVSId ⎤ ⎡ −iYq ⎤ ⎡ iYd ⎤ ⎡ vYNd ⎤ ⎡0 ⎤ d ⎢ v ⎥ = L ⋅ ω ⋅ ⎢ i ⎥ + L ⋅ ⎢ i ⎥ + ⎢ v ⎥ + 3 ⋅ ⎢0 ⎥ ⋅ v Yq YNq ⎥ ⎢ VSIq ⎥ ⎢ Yd ⎥ ⎢ ⎥ No dt ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ vVSI 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣iY 0 ⎥⎦ ⎢⎣vYN 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
(B.30)
Analizando la componente homopolar mostrada en (B.30): vVSI 0 = L ⋅
d dt
iY 0 + vYN 0 + 3 ⋅ vNo
(B.31)
El neutro está aislado, por tanto la corriente homopolar es nula en todo momento y su derivada es nula también. Teniendo en cuenta además (B.24), resulta vYN0 = 0, según (B.32). En consecuencia, puede suprimirse la ecuación a secuencia homopolar. vYN 0 = L ⋅
d dt
iY 0 + 3 ⋅ vNo − vVSI 0 = 0 + 3 ⋅ vNo − 3 ⋅ vNo = 0
(B.32)
Despejando las derivadas temporales de (B.30) y eliminando la secuencia homopolar:
⎡ −iYq ⎤ 1 ⎡vYNd ⎤ 1 ⎡vVSId ⎤ d ⎡iYd ⎤ ⎢ i ⎥ = −ω ⋅ ⎢ ⎥+ ⋅⎢ ⎥ ⎥− ⋅⎢ dt ⎣ Yq ⎦ ⎣ iYd ⎦ L ⎣ vYNq ⎦ L ⎣ vVSIq ⎦
(B.33)
Aplicando (B.21) a las tensiones vVSId , vVSIq:
⎡ −iYq ⎤ 1 ⎡vYNd ⎤ 1 ⎡ d pd d ⎡iYd ⎤ = − ⋅ ω ⎢ ⎥ ⎢ i ⎥ − L ⋅ ⎢v ⎥ + L ⋅ ⎢ d dt ⎣ iYq ⎦ ⎣ Yd ⎦ ⎣ YNq ⎦ ⎣ pq
dnd ⎤ ⎡v p ⎤
⎥⋅ dnq ⎦ ⎢⎣v n ⎥⎦
(B.34)
Finalmente, sustituyendo v p, vn por vo, v pn, se tiene la primera ecuación del lado de alterna en el dominio D-Q.
⎡ −iYq ⎤ 1 ⎡vYNd ⎤ 1 ⎡( d pd + d nd d ⎡iYd ⎤ ⋅⎢ ⎢ ⎥ = −ω ⋅ ⎢ i ⎥ − ⋅ ⎢ v ⎥ + dt ⎣ iYq ⎦ L L 2 ⎢( d pd + d nd ⎣ Yd ⎦ ⎣ YNq ⎦ ⎣
− 317−
) (d ) (d
pd
pd
− dnd ) ⎤ ⎡ v o ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ − dnd ) ⎥⎦ ⎣ v pn ⎦
(B.35)
Transformación de Park o D-Q
Apéndice B
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b) Transformación de la segunda ecuación del lado de alterna.
Se aplica la transformación D-Q a la segunda ecuación del lado de alterna (B.15). d
1
dt
R
[T ] ⋅ [iY ] = C ⋅ [T ] ⋅ [ vYN ] + ⋅ [ T ] ⋅[ vYN ]
(B.36)
Aplicando las expresiones (B.17) y (B.18):
[iYr ] = C ⋅ [T ] ⋅
d
([T ] dt
T
)
⋅ [ vYNr ] +
1 R
⋅ [vYNr ]
(B.37)
Desarrollando la derivada del producto: d
d
1
dt
dt
R
T T [iYr ] = C ⋅ [T ] ⋅ [T ] ⋅ [ vYNr ] + C ⋅[ T ] ⋅[ T ] ⋅ [ vYNr ] + ⋅[ vYNr ]
(B.38)
Puesto que [T ]·[T ]T = [ I ] y empleando (B.28), se extrae:
⎡0 −1 0 ⎤ 1 d [iYr ] = C ⋅ ω ⋅ ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ ⋅ [ vYNr ] + C ⋅ [ vYNr ] + ⋅ [ vYNr ] dt R ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
(B.39)
Se desarrolla (B.39) y se elimina la secuencia homopolar, ya que iY0 = 0 y vYN0 = 0, como se ha visto anteriormente.
⎡iYd ⎤ ⎡ −vYNq ⎤ d ⎡vYNd ⎤ 1 ⎡vYNd ⎤ ⎢ i ⎥ = C ⋅ ω ⋅ ⎢ v ⎥ + C ⋅ ⎢ v ⎥ + ⋅ ⎢ v ⎥ dt ⎣ YNq ⎦ R ⎣ YNq ⎦ ⎣ YNd ⎦ ⎣ Yq ⎦
(B.40)
Despejando las derivadas temporales, se tiene la segunda ecuación del lado de alterna en el dominio D-Q. d ⎡ vYNd ⎤ 1 ⎢ ⎥= dt ⎣ vYNq ⎦ C
⎡iYd ⎤ ⎡ −v ⎤ 1 ⎡vYNd ⎤ ⋅ ⎢ ⎥ − ω ⋅ ⎢ YNq ⎥ − ⋅⎢ ⎥ i v v RC ⎣ YNd ⎦ ⎣ Yq ⎦ ⎣ YNq ⎦
(B.41)
c) Transformación de la ecuación del lado de continua.
Se aplica la transformación D-Q a la ecuación del lado de continua (B.13). Esta ecuación se deduce de las expresiones (3.20) y (3.7). La ecuación (B.42) es la expresión (3.20). dvo dt
=−
1 C DC
⋅ ( i p + in )
(B.42)
Se aplica la ecuación (B.21) sobre las corrientes i p, in de (B.42). dvo dt
=−
1
⋅ ⎡ d pd + d nd ) ⋅ iYd + ( d pq + dnq ) ⋅ iYq + ( d p 0 + dn 0 ) ⋅ iY 0 ⎤⎦
( C DC ⎣
− 318 −
(B.43)
Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Eliminando la componente homopolar (iY0 = 0): se tiene la ecuación del lado de continua en el dominio D-Q. dvo dt
=−
1
⋅ ⎡ d pd + d nd ) ⋅ iYd + ( d pq + dnq ) ⋅ iYq ⎤⎦
( C DC ⎣
(B.44)
d) Tensiones de la carga referidas a 'o' y a 'N'.
En (B.14) se indica la relación entre las tensiones de carga (a',b',c') referidas a punto medio del bus de continua 'o' [vY ] y referidas al neutro de la carga 'N' [vYN ].
⎡1⎤ [vY ] = [ vYN ] + ⎢⎢1⎥⎥ ⋅ vNo ⎢⎣1⎥⎦
(B.45)
Su transformación al dominio D-Q resulta, ver (B.25) y (B.26):
⎡0 ⎤ [vYr ] = [ vYNr ] + 3 ⋅ ⎢⎢0 ⎥⎥ ⋅ vNo ⎢⎣1 ⎥⎦
⇒
⎡ vYd ⎤ ⎡ vYNd ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢v ⎥ = ⎢v ⎥ + ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ Yq ⎥ ⎢ YNq ⎥ ⎢ ⎢⎣vY 0 ⎥⎦ ⎢⎣vYN 0 ⎥⎦ ⎢ 3 ⋅ v ⎥ No ⎦ ⎣
(B.46)
Teniendo en cuenta, además, que vYN0 = 0 (B.32) y que vVSI0 = √3·v No (B.24), se tiene: vYd = vYNd vYq = vYNq vY 0 = 3 ⋅ vNo = vVSI 0
;
(B.47)
vYN 0 = 0
La ecuación (B.47) indica que las tensiones de la carga referidas al punto medio del bus de continua 'o' o al neutro de la carga 'N' tienen la mismas componentes 'd' y 'q'. La componente cero de las tensiones de la carga referidas al neutro de la carga 'N' es nula. Toda la tensión a secuencia cero está presente en la tensión entre 'o' y 'N' (v No). e) Modelo completo en el espacio de estado y dominio D-Q.
Empleando la expresión (B.47), agrupando las ecuaciones (B.35), (B.41) y (B.44), y diferenciando entre variables de estado (iYd , vYd , iYq, vYq) y de entrada (v pn), se obtiene el modelo completo del sistema en el espacio de estado y dominio D-Q.
− 319−
Transformación de Park o D-Q
Apéndice B
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 1 ⎡ iYd ⎤ ⎢ C ⎢v ⎥ ⎢ Yd d ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ iYq ⎥ = ⎢ −ω dt ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vYq ⎥ ⎢ ⎢⎣ vo ⎥⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎢ − (d + d ) pd nd ⎢ ⎢⎣⎢ C DC
+ d nd ) ⎤ ⎥ 2⋅L L ⎥ ⎥ −1 ω 0 0 ⎥ ⎡ iYd ⎤ ⎡( d pd RC ⎥ ⎢v ⎥ ⎢⎢ ⎢ Yd ⎥ −1 ( d pq + d nq ) ⎥⎥ ⋅ ⎢ i ⎥ + ⎢ 0 0 Yq (d ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ pq 2⋅L L ⎥ ⎢vYq ⎥ 1 −1 ⎥ ⎢⎣ vo ⎥⎦ ⎢ 0 −ω ⎢⎣ C RC ⎥ ⎥ − ( d pq + d nq ) ⎥ 0 0 0 ⎥⎦⎥ C DC −1
0
ω
(d
pd
− d nd )⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ v pn (B.48) − d nq ) ⎥ ⋅ 2· L ⎥ 0 ⎥ 0 ⎦⎥
f) Modelo de régimen permanente.
Anulando las derivadas temporales en (B.48), se tiene (B.49). Los valores de las variables en régimen permanente se indican con mayúsculas. 1
(D 2
0 = VYd + L ⋅ ω ⋅ IYq + 0 = IYd −
1 R
pd
+ Dnd ) ⋅ vo +
1 2
(D
pd
− Dnd ) ⋅ vpn
⋅ VYd + C ⋅ ω ⋅ V Yq
0 = − L ⋅ ω ⋅ IYd + VYq +
1
0 = −C ⋅ ω ⋅VYd + I Yq −
1
(D 2
R
pq
+ Dnq ) ⋅ vo +
1 2
(D
pq
− Dnq ) ⋅ vpn
(B.49)
⋅ VYq
0 = ( D pd + Dnd ) ⋅ IYd + ( Dpq + Dnq ) ⋅ I Yq Si la estrategia de conmutación que se emplea es simétrica, condición que se verifica en general, las relaciones de conducción transformadas cumplen la expresión (B.50). Dd = D pd = − Dnd
Dq = Dpq = −Dnq
;
;
D0 = Dp 0 = Dn 0
(B.50)
Si se desea controlar la tensión de salida, se conocen los valores de consigna o referencia V Yd , V Yq, además de la frecuencia de salida
ω y
la tensión del bus de continua V pn. En estas
condiciones, la quinta ecuación de (B.49) resulta nula y las ecuaciones de régimen permanente se reducen a cuatro (B.51), donde Dd , Dq son las relaciones de conducción que la estrategia de conmutación debe generar para que la tensión de la carga sea la deseada y I Yd , I Yq son las corrientes de salida del convertidor.
Dd =
VYd ⋅ (1 − L ⋅ C ⋅ ω
2
)−
L ⋅ ω R
⋅ VYq
V pn IYd =
1 R
⋅ VYd − C ⋅ ω ⋅ VYq
VYq ⋅ (1 − L ⋅ C ⋅ ω
2
;
Dq =
;
IYq = C ⋅ ω ⋅ VYd +
)+
V pn
1 R
L ⋅ ω R
⋅ VYd
(B.51)
⋅ V Yq
En la deducción de (B.51) se tiene que la quinta ecuación de (B.49) resulta nula. Este resultado no es ninguna incongruencia, indica que la corriente del punto medio del bus de
− 320 −
Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
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continua debe ser nula (B.52). Cabe recordar que las variables se han promediado, por tanto es el valor promediado el que es nulo. io = −i p − in = − ( d pd + dnd ) ⋅ iYd − ( d pq + dnq ) ⋅ iYq I o = − ( Dpd + Dnd ) ⋅ IYd − ( Dpq + Dnq ) ⋅ I Yq
(B.52)
I o = − ( Dd − Dd ) ⋅ IYd − ( Dq − Dq ) ⋅ I Yq = 0
g) Modelo de pequeña señal.
A partir del modelo de gran señal (B.48) se deduce el modelo de pequeña señal sustituyendo cada variable de gran señal por la suma de su valor de régimen permanente y su perturbación (B.53). x(t ) = X + xˆ (t )
(B.53)
Teniendo en cuenta las ecuaciones de régimen permanente y despreciando los términos de segundo orden y superiores de las perturbaciones, se extrae el modelo de pequeña señal. La primera ecuación de (B.48) queda: d
( I dt
Yd
+ iˆYd ) = −
1 L
⋅ (VYd + vˆYd ) + ω ⋅ ( I Yq + iˆYq ) +
1
1 ⎡ + ⋅ ⎡( D pd + dˆ pd ) + ( Dnd + dˆnd ) ⎤ (Vo + vˆo ) + ⋅ ( D pd + dˆ pd ) − ( D nd + dˆ nd ) ⎤ (V pn + vˆ pn ) ⎣ ⎦ ⎦ 2 ⋅ L 2⋅ L ⎣
(B.54)
(B.55)
Desarrollando los términos: d dt
+ +
IYd +
1 2 ⋅ L 1
1 1 d ˆ iYd = − ⋅ VYd − ⋅ vˆYd + ω ⋅ I Yq + ω ⋅ iˆYq + dt L L
⋅ ⎡⎣ D pd ⋅Vo + dˆ pd ⋅Vo + Dnd ⋅V o + dˆ nd ⋅V o + D pd ⋅vˆ o + dˆ pd ⋅vˆ o + D nd ⋅vˆ o + dˆ nd ⋅vˆ o ⎤⎦
⋅ ⎡ D pd ⋅V pn + dˆ pd ⋅V pn − D nd ⋅V pn − dˆ nd ⋅V pn + D pd ⋅ vˆ pn + dˆ pd ⋅vˆ pn − D nd ⋅vˆ pn − dˆ nd ⋅vˆ pn ⎤⎦ 2 ⋅ L ⎣
Eliminando la ecuación de régimen permanente, los términos perturbados de segundo orden y agrupando convenientemente, se obtiene la primera ecuación del modelo de pequeña señal.
( D pd + Dnd ) (Vo + V pn ) ˆ (Vo −V pn ) ˆ (D pd − D nd ) 1 d ˆ iYd = − ⋅ vˆYd + ω ⋅ iˆYq + ⋅ vˆo + ⋅ d pd + ⋅ d nd + ⋅ vˆ pn (B.56) 2⋅ L 2⋅ L 2⋅ L 2⋅ L dt L Realizando el mismo proceso para cada una de las restantes ecuaciones del modelo de gran señal, se extrae el modelo de pequeña señal del sistema (B.57)
− 321−
Transformación de Park o D-Q
Apéndice B
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⎡ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎡ iˆYd ⎤ ⎢ C ⎢ ⎥ ⎢ vˆYd ⎥ ⎢ ⎢ d ⎢ iˆYq ⎥ = ⎢ −ω dt ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ vˆYq ⎥ ⎢ ⎢ vˆ ⎥ ⎢ 0 ⎣ o⎦ ⎢ ⎢ ( D pd + Dnd ) ⎢− C DC ⎣⎢ ⎡ (Vo + V pn ) ⎢ ⎢ 2· L ⎢ 0 ⎢ + ⎢⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ − IYd ⎢⎣ C DC
(V
o
−1 L −1
0
RC
0
0
−ω
1 C
−
0
− V pn )
(D
(V
+ V pn )
o
2· L 0
0
− I Yd
− IYq
C DC
pd
+ Dnq )
⎤ ⎥ ⎥ ˆ ⎡( D pd − Dnd )⎤ ⎡ ⎤ d ⎥ ⎢ ⎥ pd 0 0 ⎥ ⎢ˆ ⎥ ⎢ ⎥ (Vo − V pn ) ⎥ ⋅ ⎢⎢ d nd ⎥⎥ + ⎢ D − D ⎥ ⋅ vˆ pn nq ) ⎥ ⎥ d ˆ ⎢ ( pq 2· L 2·L ⎥ ⎢ pq ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢⎢ d ˆ ⎥⎥ ⎢ ⎥ nq ⎦ ⎣ ⎥ ⎢ 0 ⎣ ⎦⎥ − I Yq ⎥ C DC ⎥⎦
0
0
0
pq
C DC
0
2· L 0
+ Dnd ) ⎤ ⎥ 2⋅ L ⎥ ⎥ ω 0 ⎥ ⎡ iˆYd ⎤ ⎥ ⎢vˆ ⎥ ⎢ Yd ⎥ −1 ( D pq + Dnq ) ⎥ ⋅ ⎢ ˆ ⎥ + ⎥ iYq 2⋅ L L ⎥ ⎢ˆ ⎥ ⎥ ⎢vYq ⎥ −1 0 ⎥ ⎢⎣ vˆo ⎥⎦ RC ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 ⎦⎥
( D
0
ω
C DC
(B.57)
Esta misma operativa se puede aplicar a cualquier otra ecuación del convertidor. Por ejemplo, los valores de pequeña señal de las variables io y v No son: iˆo = − ( D pd + Dnd ) ⋅ iˆYd − ( Dpq + Dnq ) ⋅ iˆYq − IYd ⋅ dˆpd − IYd ⋅ dˆnd − IYq ⋅ dˆpq − IYq ⋅ dˆnq vˆ No =
( D
p 0
+ Dn 0 )
2⋅ 3
⋅ vˆo +
(V
o
+ Vpn )
2⋅ 3
⋅ dˆ p 0 +
(V
o
−Vpn )
2⋅ 3
⋅ dˆn 0 +
(D
p0
− Dn 0 )
2⋅ 3
⋅ vˆpn
(B.58) (B.59)
B.6. Valores de las tensiones y corrientes transformadas Se consideran las tensiones simples de un sistema trifásico simétrico y equilibrado. va (t ) = 2 ⋅ VRMS ⋅ cos(ω ⋅ t )
simple
vb (t ) = 2 ⋅ VRMS ⋅ cos(ω ⋅ t − 2 π ) 3 simple
(B.60)
vc (t ) = 2 ⋅ VRMS ⋅ cos(ω ⋅ t + 2 π ) 3 simple
Aplicando la transformación D-Q a estas tensiones, y alineando el eje 'd' con el fasor de tensión, se puede demostrar que resulta (B.61). vYd = VRMS
;
vYq = 0
compuesta
− 322 −
;
vY 0 = 0
(B.61)
Apéndice B
Transformación de Park o D-Q
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Se observa que el valor eficaz del fasor queda multiplicado por un factor √3 al realizar la transformación. Esta deducción puede extrapolarse al resto de variables trifásicas transformadas. Obviamente, si el eje 'd' de la referencia de Park no está alineado con el fasor de tensión, se debe cumplir: V RMS
2 2 = vYd + vYq
compuesta
− 323−
(B.62)
