Universidade Federal de Sergipe Depto de Engenharia Elétrica
Máquinas Elétricas
Modelagem, Características e Funcionamento Prof.. Levi Prof Levi Oliveira Oliveira
A Transformada de PARK Robert H. Park formulou a teoria em 1929. A transformada de PARK promove uma maior simplificação das equações obtidas no estudo de circuitos trifásicos em corrente alternada.
A Transformada de PARK Robert H. Park formulou a teoria em 1929. A transformada de PARK promove uma maior simplificação das equações obtidas no estudo de circuitos trifásicos em corrente alternada.
A Transformada de PARK
A transformação de PARK difere da transformação 0 por permitir a representação das variáveis rotóricas num referencial pseudo-estacionário.
A Transformada de PARK
S S S
0
Mesmo após a aplicação da transformada de CLARKE no modelo da máquina trifásica simétrica, a matriz LSR () e os fluxos estatóricos, variam senoidalmente com o ângulo .
LS 0 0
0
0
iS 0 iS LS iS 0
0
LS 0
3 M SR 2
0 0 0
i R cos sin i R i sin cos R 0
0
0
A Transformada de PARK
Definindo-se novas correntes rotóricas cujos fluxos sejam dados por: R R R
0
d
q
Com
1 0 0
R cos sin R sin cos R 0
0
0
1
i Rdq B i R
A Transformada de PARK
Neste caso, a matriz B-1 é dada por: cos sin B sin cos 1
A Transformada de PARK
Aplicando-se a transformada de PARK à máquina trifásica simétrica no referencial 0 tem-se: S LS iS mSR B 1i R R L R i R mSR BiS 1
1
3
Com B B I , B B e mSR M SR t
2
A Transformada de PARK
Aplicando-se a transformada às variáveis rotóricas, temos que: 1
S LS iS mSR B Bi Rd q 1
1
1
B R B L R Bi Rdq mSR B BiS
A Transformada de PARK 1
Mas B B I , logo:
S S S
LS 0 0
R R R
0 0 0 mSR 0 0
0
0
d
q
0
0
iS 0 iS LS iS
0 0 0 mSR 0 0
iS 0 iS mSR iS
L R 0 0
0
0
LS 0
0
0
0
0
i R 0 i R mSR i R
i R 0 i R L R i R
0
0
d
q
0
0
L R 0
d
q
A Transformada de PARK
Notar que:
A componente homopolar não é alterada. Somente as variáveis rotóricas sofrem a transformação. A transformada de PARK é ortogonal e, portanto, invariante quanto à potência.
cos sin cos sin cos sin
1 cos 0 sin
0
1
Interpretação Física
A máquina bifásica cujo fluxo magnético rotórico gira, é visto como estacionário na máquina dq.
A Transformada de PARK
As equações das tensões da máquina trifásica simétrica em variáveis são dadas por: d vS RS iS S dt d v R R R i R R dt
A Transformada de PARK
Aplicando-se a transformada de PARK às variáveis rotóricas, temos que: 1
1
B v R B R R Bi Rdq B
1
d B Rd q dt
Portanto:
v Rdq R Ri Rd q
B d B B B R dt dt 1
d Rd q
1
dq
A Transformada de PARK
Mas,
B cos sin sin cos 0 B sin cos cos sin 1 1
Assim, v Rd q R R i Rd q
0 dt 1 d Rdq
1
d
R 0 dt dq
1
0
A Transformada de PARK
Compactando todas as expressões, temos que: vS d q RS iS d q LS
v Rdq R Ri Rdq mSR
diS dq dt
L R
di Rdq dt
diS d q dt
mSR
d 0
dt 1
di Rd q dt 1
mSRiS L R iR 0 dq
dq
A Transformada de PARK A expressão do torque, a partir das tensões no referencial dq são dadas por: LSR t T iS i R 1 L m B Mas SR SR Assim, 1 B t T mSRi Bi R mSR iS i R iS iR
S d q
dq
q
d
d
q
Considerando n Pares de Polos Até o momento considerou-se, nas equações, que o número de pares de polos era de 1. ele n mec Mas, sabe-se que: Assim, onde aparece ou , este deve ser multiplicado pelo número de pares de polos (n).
m
Equações completas
Considerando o rotor em curto (v R vR 0 ): d
vS v S 0 0
d
q
q
pmSR 0 0 iS RS pLS RS pLS pmSR iS 0 0 pmSR n mSR R R pL R n L R i R n mSR pmSR n L R R R pL R i R
d
q
d
q
T nmSR iS q i Rd iS d iRq
Generalização da Transformada de PARK
psi teta
Os eixos (d,q) podem ser colocados, para simplificar as equações, em qualquer referencial conveniente.
Generalização da Transformada de PARK
Fazendo-se as projeções das FMMs sobre os eixos (d,q) obtém-se:
iS i S
cos sin
i R i R
cos sin
d
q
d
q
sin iS
i cos S
i R i cos R sin
Generalização da Transformada de PARK
Assim, pode-se ter os seguintes casos:
Referencial no estator (=0)
iS i S
d
q
i R i R
d
q
1 0
0 iS
i 1 S
cos sin i R i sin cos R
Generalização da Transformada de PARK
Referencial no rotor (=)
iS i S
cos sin
i R i R
1 0
d
q
d
q
sin iS
i cos S
0 i R
i 1 R
Generalização da Transformada de PARK
iS i S
d
q
i R i R
d
q
Referencial no campo girante (=St)
cos S t sin S t
S t iS i cos S t S sin
cos S m t sen S m t i R i sen S m t cos S m t R
Máquina trifásica simétrica no referencial genérico
Adotando-se as matrizes transformadoras: 1
BS
B R
1
cos sin
sin
cos
cos sin
cos sin
Máquina trifásica simétrica no referencial genérico
Aplicando a transformação genérica às equações da máquina no referencial , tem-se: 1
1
BS vS BS RS Bi S d q BS
1
dB S d q dt
Com: 1
BS
dB S dq dt
1
BS B
d S d q dt
1
BS
BS S dq
Máquina trifásica simétrica no referencial genérico
Assim,
vS d q RS iS d q
0 1 n S dt 1 0
v Rdq R R i Rdq
0 1 n R dt 1 0
d S d q
dq
d Rd q
dq
Máquina trifásica simétrica no referencial genérico
Desmembrando-se os fluxos:
vS RS pLS LS n iS v S LS n RS pLS iS d
d
q
q
i R pm m n SR SR i R mSR n pmSR
d
q
L R n i v R pmSR mSR n iS R R pL R R v i i R S R mSR n pmSR L R n R R pL R d
d
d
q
q
q
Máquina trifásica simétrica no referencial genérico A expressão do torque fica: t t LSR T iS BS B R iR 1 . L n m B Com SR SR Assim,
dq
T n.mSR i Rd iS q i Rq iS d
dq
Máquina trifásica simétrica no referencial genérico Quando o motor gira à velocidade constante, as equações da máquina são lineares. A equação mecânica é sempre não linear, pois aparece iSxiR . Os ensaios a vazio e com rotor bloqueado são usados para se determinar os parâmetros da máquina.
