traitement du signal

Université Amar Telidji de Laghouat Faculté de Technol Technologie ogie - Département dElectronique Télécommunication ation Sections : 1Ere Année Master Télécommunic Module: Traitement numérique du signal

Chapitre Chapit re 1: Trans Transformé formée e de Fourie Fourierr discrète discrète 1. In Intr trod oduc ucti tion on Le traitement du signal est devenu une science incontournable de nos jours : Toutes applications de mesures, de traitement dinformation mettent en œuvre des techniques de traitement sur le signal pour extraire linformation désirée. Le développement et lessor des techniques numériques ont fait que les solutions apportées aux traitements des signaux à temps discret ont pris une place essentielle aujourdhui, comparée à celle quoccupent les traitements portant sur les signaux à temps continu.

2. Rapp Rappel el sur les opérati opérations ons d'échanti d'échantillonn llonnage age et de quantifi quantificati cation on

Le schéma synoptique ci-dessous décrit les différentes étapes du traitement numérique et de la restitution dun signal analogique électrique :

y(nT e)

Filtre de restitution

Le premier bloc représente léchantillonnage, c’est c’est-à-dire -à-dire le choix de dates auxquelles prélever des valeurs discrètes au signal analogique (qui est par définition continu). Te est la période déchantillonnage du signal. •

Le premier bloc représente un filtre anti-repliement qui a pour rôle

•

léchantillonnage, c’est-à-dire c’est-à-dire le choix de dates auxquelles prélever des valeurs discrètes au signal analogique (qui est par définition continu). T e est la période déchantillonnage du signal.

Auteur: Mme F. Benkouider Benkouider

(2016/2017) (2016/2017)

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Université Amar Telidji de Laghouat Faculté de Technol Technologie ogie - Département dElectronique Sections : 1Ere Année Master Télécommunication Module: Tr itement numérique du signal

•

Le deu deuxi xièm èmee bloc bloc rep repré rése sen n te un convertisseur analogique-n analogique-numérique q i permet dassocier un nombre nombre binaire binaire à une valeu valeur du signal analogique. Ce sont ces nombres qui seront traités par la machine.

•

Le troi troisi sièm èmee bloc bloc repr représ ésen en e le trai traite teme ment nt numé numéri riqu quee qui qui peut peut,, par par exem exemple, être un filtrage ou une une ana analy lyse se spec spectra trale le (ce (ce q i correspond à notre programme de lannée).

•

Les valeurs valeurs binaires binaires y(nT y(nTe) obtenu obtenues es sont sont à reconv reconvert ertir ir en valeu valeurs rs discrè discrètes associées à des convertisseur eur numérique numérique – analogiq – analogiq e. temps nTe par lintermédia re dun convertiss

•

Il reste alors à réaliser lopération inverse de léchantillonnage, ce que éalise le filtre de restitution.

2.1

Echant Ech antillo illonn nnage age

Léchantillonnage (e (en anglais sa sa pling) est une opé op ération qui consiste à prélever élever sur sur un sign signal al à temps temps contin continu u une suit suitee de vale rs, prises en une suite dinstants t n, n

∈

. Dans la suite nous

nen nenvi visag sager eron onss que que lé léchantillonnage ré Lintérêt porté aux régulier où tn = nTe. Linté aux pro probl blèm èmes es de léchantillonnage tient au dévelo pement des techniques numériques. Lidée co consiste à utiliser un un in interr pteu pteurr parf parfai aitt que que lo lon ferm fermee pend endant ant un inte interrvalle de temps très court puis que lon ouvre pendant TE. On prélève ainsi une valeur x(nT e) tous l s Te.

*

x (t)

Te

Te Fig.1 Principe de l'échantillonnage

Asp A spe ects cts tempor els et fr équent uentii ls de l’é l’échanti llonnage *

Lobt obten enti tion on dun dun sign signal al écha échant ntil illo lo né x (k.Te) à par partir tir dun dun signa signall anal analog ogiqu iquee x(t) peut être modélisée modélisée mathé mathématiq matiqueme uement nt dan le domaine domaine tempore temporell par la multiplic multiplication ation d x(t) par un peigne de Dirac de période T e (not δT (t) ):








Léchantillonnage est illustré graphiquement dans le domaine temporel aux points (i), (ii) et (iii) de la fig.5. Léchantillonnage peut également être décris graphiquement graphiq uement dans le domaine fréquentiel. Au signal analogique x(t), est associé dans le domaine fréquentiel le spectre X(f) (fig.5) sétendant sur une bande de fréquence de – f fmax ax à f max m max. On rappelle un certain nombre de résultats démontrés en cours danalyse de Fourier : •

Une multiplication dans le domaine temporel correspond à un produit de convolution dans le domaine spectral (et inversement),

•

La transformée de Fourier dun peigne de Dirac temporel, de période T e, et damplitude 1, est un peigne de Dirac dans le domaine fréquentiel, de période

t

=

et damplitude

.

δf e (f)

xe(kTe) Xe(f) (f) × 1/T 1/Te

Fig.5 Echantillonnage d'un signal analogique

Ainsi, à la multiplication temporelle x(t). δT (t) on fait correspondre dans le domaine fréquentiel le produit de convolution X(f)* δf e (f) (δf ech ech(f) étant la transformée de Fourier de δTe(t), cf. point (v) de la Fig. 5). Le résultat de ce produit de convolution (Fig. 5.vi) est la transformée de Fourier du signal








Reconstitution du signal échantillonné Une approche graphique dans le domaine spectrale permet dillustrer la récupération de linformation contenue dans un signal échantillonné par un filtrage passe bas (cf. Fig. 6). En supposant un filtrage passe bas parfait (un tel filtre est impossible à réaliser) sur la bande de fréquence de – f f e /2 à f e /2 (appelée bande de Nyquist , le fréquence f e /2 étant appelée fréquence de Nyquist ), on retrouve le spectre X(f) et donc le signal temporel qui y correspond x(t).

Xe(f) (f) × Te

Fig.6 Récupération du signal x(t) par filtrage passe-bas

Notion de repliement de spectre (aliasing). max. Dans le cas où on Les illustrations illustrations graphiques graphiques précédentes précédentes correspondent au cas où f e /2 /2 > f max

augmente la période déchantillonnage (on a alors f e qui diminue) il apparaît un phénomène de recouvrement recouvrement spectral illustré Fig.7. xe(kTe) Xe(f) (f) ×1/ ×1/ Te

Te

-f e

f e








spec spectr tree qui qui se supe superp rpos osen entt saj sajou outtent, ent, et on on obtien obtientt le spec spectre tre repli repliéé de la figu figure précédente. Il nest plus possible possible de récup récupérer érer le le signa signa l analogique de départ par filtrage passe bas. La contrainte qui en découle sur la fréquence fréquence déchantillo déchantillonnage nnage pour évite le repliement sécrit mathématiquement mathématiquement : max f e > 2.f max

théorème de Shannon , ou théorème de l’écha tillonnage : Elle sénonce sous la forme du th

signal al x(t) x(t) peut peut être être repr représe ésen n é de manière univoque par une suite de val urs écha échantillo ntillonnée nnéess si "Un sign

la fréquence d’échantillonnage,

e ,

est au moins deux fois plus élevée qu e la plu pluss gran grande de des des

max , fréquences, fréquence s, f max , contenues dans dans le spectre."

2.2

Quanti Qua ntific ficati ation on

Lopé opéra rati tion on de quan quanti tifi fica cati tion on cons consiste iste à attr attrib ibue uerr un nomb nombre re binai binaire re à toute toute val valeur prélevée au signal lors de léchantillonnage. Cest le CAN CAN (co (conver nverti tiss sseu eurr ana analo log gique ique numé numéri ri ue) qui réalise cette opér opérat atio ion. n. Cha Chaqu quee nive niveau au de de tens tensii on est co codé sur p bits, chaque bit pouvant p endre deux valeurs (0 p

ou 1). Donc un convertisseur à p bits possède 2 niveaux de quantification. Considérons un CAN 4 bits, il ny a donc que 24 = 16 v aleu aleurs rs poss possib ible less att attri ribu buab able less à tou toute tess les les val valeurs p rélevées lors de lécha léchanti ntillo llonna nnage ge.. Lopé Lopérati ration on se fait fait don doncc avec avec une une per perte te di dinf nfor orma mati tion on da dau utant plus grande que p dessous repr représ ésen ente te une une par parti tiee de de la la car carac acté téri rist stii ue de transfert dun est petit. Le schéma cici-dessous convertisseur 4 bits ; à tous les niveaux de tension dun même palier, le convertisseur fait donc correspondre un seul et et mê même no bre binaire :








q est le pas de quantification : il correspond orrespond à la plus petite petite varia variation tion de tensio tension que le convertisseur peut peut cod coder er.. On voit voit bie bien n que que pl s q est faible, meilleure sera la précision de codage. Pour une est comp compri riss ent entre re nq et (n+1 (n+1)q )q,, le lerrreur commise appelée quantification par défaut, où x n = nq si x est bruit de quantification est donnée ur le graphe ci-dessous :

Fig.3 Bruit de quantification ε(t (t)) = x( x(t) t) - xn (t)

•

Pour Pour la la resti restitu tutio tion n musi musica call , léchantill léchantillonnage se fait à 44 kHz, la quant ification sur 16 bits (soit 65536 niveaux) et le uantum vaut 1,5 10-3 %.

•

En té téléphonie, l léchantillo nage se fait à 8000 Hz, la quantification sur 8 bits (soit 256 niveaux) niveaux) et et le quantum quantum vaut 0,4 % Exemple

signal analogique

sign signal al écha échan ntill tillon onné né

sig sig al quantifié

Fig.4 Quantification

3. Tra Transf nsform ormée ée de Fou Fourie rierr à emps discret (TFTD) la transfo transformée rmée de de Fourier Fourier à temp temp disc iscret ret est un cas partic rticu ulier lier de la tra transfo nsfo mée de Fourier, cette










Il sagit dune fonction à valeurs complexes dont le module est une fonction pa ire:

( ) =

(− )

et la phase est impaire

( ) = −

(− ) . Elle est définie par :

On peut noter que si on avait cherché à approximer le résultat de la transformée de Fourier (∫

( )

) en approximant le signal x(t) par la suite x n, on aurait tr uvé la transformée transformée de

Fourier temps discret multiplié par Te. Dans la définition ce T e nest pas pr ésent, ésent, mais il y a de nombre nombreuse usess occa occasio sions ns où de fait fait on le rajoute (soit pour (soit pour ajuster les spectre du signal temps continu avec un signal temps discret, soit pour établir de des équivalences entre la la tr transformée de Fourier et la tran transf sfor ormé méee de de Fou Fourie rierr temp tempss dis discc et pour des signaux particuliers). La tran transf sfor ormé méee de de Fou Fouri rier er disc discrr ète inverse transforme un spectre qui est f e-périodique en une succe successi ssion on de raies raies qui corres correspon pon au sig signa nall te temps mps dis disccret ret au aussi ssi la la fo formul rmulee ca calcul lculee une une suite suite à parti partirr dune fonction à vale valeu urs comple mplexe xes définies sur un intervalle

:

Où xn est est un un sig signa nall tem temp ps dis discr cret et dont la période déchantillonnage est 1=1/f e.

3.1 3. 1 Pro rop pri rié été téss de la tr tran anssfo form rmée de Fourier à temps discret Soit sn un sign signal al temp tempss dis discr cret et n on périodique à valeurs réels. Alors sa tra sformé sforméee de de Four Fourier ier à temps discret

( ) vérifie pour t ut f.








Autres Autres relati relations ons :

Linéarité: La transformée de Fourier à temps discret est un opérateur linéaire. Elle conserve la multiplication par un facteur

α: [

où

]( ) =

[ ]( )

xn est un signal temps discret non périodique.

Additivité des signaux: signaux: Elle est conservée. conservée.

[ Retard:

Un

+

]( ) =

[ ]( ) +

[ ]( )

retard sur un signal signal temps discret non périodique se traduit aussi par un déphasage déphasage du

spectre:

[

]( ) =

[ ]( )

Où xn e t xn-d sont deux signaux temps discret discret non périodiques, périodiques, le deuxième deuxième étant retardé de dT e par rapport rapport au premier premier et Te = 1/f e est la période période déchantillonnage.

Décalage fréquentiel fréquentiel Un spectre peut être décalé en fréquence par la multiplication dun signal approprié :

( ) =

[ ]( −

)

Dilatation Dilater ou concentrer concentrer un signal temps discret non périodique(TDNP) périodique(TDNP) signifie changer sa période








On ne peut peut pas dériver dériver ou intég intégrer rer un signal signal temps temps discret, discret, en revanche revanche à partir dun signal temps discret non périodique, on peut définir le signal signal différence ou le signal somme somme cumulée avec la même même déchantillonnage. fréquence fréquence déchantillonnage. Soit xn un signal temps discret non périodique et y n = xn - xn-1 le signal différence correspondant alors:

( ) = (1 −

) ( )

Convolution La transformée de Fourier à temps discret transforme le produit de convolution entre deux signaux à temps discret non périodiques en un simple produit de transformée de Fourier.

[

∗

]( ) =

[ ]( ) .

[ ]( )

Pour des signaux signaux temps temps discret discret non périodiqu périodiques, es, on définit définit le produit de convolut convolution ion à temps discre discrett par:

∗

= ∑

∈

Z est lensemble lensemble des entiers positifs et négatifs. TFTD de l'impulsion de Dirac La transformée transformée de Fourier dun Dirac à temps discret est la fonction fonction constante 1.

[

]( ) = 1

4. Trans Transformé formée e de de Fouri Fourier er disc discrète rète (TFD (TFD)) La transformée de Fourier discrète est adaptée au cas des signaux temps discret périodiques de fréquence déchantillonnage f e = 1/Te et de période T = NT e. Le spectre est alors périodique de période f e parce parce que le signal signal est temps temps discret. discret. Le spectre spectre est composé composé de raies raies espacées espacées de

=

=








Ces coefficients coefficients forment une suite périodique de de période N. Ce sont ces coefficients qui permettent permettent de calculer calculer la transformée de Fourier discrète. Aussi Aussi la transformée de Fourier Fourier discrète peut aussi aussi sécrire sécrire sous la forme: forme:

[ ]( )

=

La transformée de Fourier discrète discrè te inverse sécrit sécrit aussi:

( )=

( −

)

∈

4.1 Propr Propriétés iétés de de la TFD Soit sn un signal temps discret périodique. Alors les coefficients de sa transformée de Fourier discrète vérifient:

Linéarité: La transformée de Fourier à temps discret est un opérateur linéaire. Elle conserve la multiplication par un facteur

α: [

où

]( ) =

[ ]( )

xn est un signal temps discret discret périodique et de période N et échantillonné à la fréquence fréquence f e.

Additivité des signaux: signaux: Elle est conservée. conservée.








Dilatation Soit xn un sign signal al temps temps discre discrett périod périodiqu iquee de périod périodee N échan échantill tillonn onnéé à la fréq fréque uence nce dé déchantillonnage

et yn un signal temps discret périodique avec les mêmes valeurs que x n et de

même période période N mais échantillon échantillonné né à celles de

f . Alors les raies de

(f) sont espacées de

tandis que

( ) sont espacés de

Différence On ne peut peut pas dériver ou intégrer intégrer un signal temps discret, en revanche revanche à partir dun signal temps discret non périodique, on peut définir le signal signal différence ou le signal somme somme cumulée avec la même même déchantillonnage. fréquence fréquence déchantillonnage. Soit xn un signal temps discret non périodique et y n = xn - xn-1 le signal différence correspondant alors:

( ) = (1 −

) ( )

Convolution La transformée transformée de Fourier Fourier discrète entre deux signaux à temps discret discret périodiques est donnée par:

Notation matricielle En notant W

= e

, on peut peut noter la transformée de Fourier discrète sous forme matricielle:










5. Tra Transf nsform ormée ée de Fouri Fourier er rap rapide ide (ou (ou FFT FFT:: Fast Fouri Fourier er Transf Transform orm)) La FFT est le moyen utilisé par les ordinateurs et et les processeurs de traitement du signal signal (Digital Signal Processors Processors DSP) pour calculer la transformée de Fourier Fourier des signaux avec avec un coût de calcul calcul minimal. minimal. Cet algori algorithme thme est est très efficace efficace,, jusqu'à jusqu'à des centa centaines ines de fois fois plus rapide rapide que les méthode méthodess conventionnelles. conventionnelles. Elle a été inventé par deux ingénieurs(J.W. ingénieurs(J.W. Cooley et J.W. Tukey) Tukey) en 1965 .

Princi Pri ncipe pe : M valeurs successives dun signal discret x0 ,x1 , ...x N-1 ou N échantillons On considère N = 2

successifs x(0), x(T)...x((N-1)T) dun signal x(t) x(t) et on calc calcul ulee N vale valeur urss X 0 , X 1 , ...X N-1 valeurs de la transformée de Fourier du signal discret placées placées à des des fréquences fréquences réparties réparties périodiquement périodiquement entre 0 et N − 1 NT

=

( N − 1) f e N

1 2 N − 1 ), X ( ) ... X ( ) soit X (0), X ( NT NT NT








En désig désignant nant par T

N/2

la matrice qui vient en facteur du vecteur colonne des éléments d'indice pair et

en décomposant décomposant la matrice facteur facteur du vecteur vecteur des éléments éléments d'indice impair en un produit d'une d'une matric matricee diago diagonal nalee par par la matric matricee TN/2 , on obtient :

2

Pour Pour les les N derniers termes du du vecteur fréquentiel, fréquentiel, on obtient en utilisant utilisant la propriété W

N

=1:








Il apparaît alors que le calcul d'une Transformée de Fourier d'ordre N revient au calcul de deux Transformées d'ordre N/2 auquel s'ajoutent N/2 multiplications complexes. En itérant ce principe on "descend" jusqu'aux jusqu'aux Transformées Transformées de Fourier sur deux deux valeurs, qui qui s'effectuent au au moyen de de la matrice :

= 1 1 1 −1

En énumérant toutes les multiplications à effectuer on constate finalement que l'algorithme de la Transform Transformée ée de Fourier Fourier Rapide Rapide (TFR ou FFT en anglais pour Fast Fourier Transform (Cooley and 2

Tuckey Tuckey 1965)) 1965)) qui vient vient d'être d'être développé développé va deman demander der Nlog2 (N) multi multipl plic icat atio ions ns au au lieu lieu des des N multiplications du calcul direct.

Exemple: une FFT d'ordre 8 aura comme diagramme:








La fonction fft de Matlab (help fft) Il existe différents algorithmes de fft. La fft appliquée par Matlab est donnée ci-dessous à partir de laide. Si X=fft(x) et x=ifft(X), x et X vecteu vecteurs rs de de long longue ueur ur N: N

( j −1)( k −1) N

X ( k ) = ∑ x( j )W avec

W N = e −2

j =1

1

N

− ( j −1)( k −1)

x( j ) = ( ) ∑ X ( k )W N N k =1

i / N

π

Si N nest pas une puissance de 2, Matlab complète le vecteur argument avec des zéros (zéro padding) à la puissance de deux immédiatement supérieure.

traitement du signal

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