Tp traitement du signal [Tapez le sous-titre du document] Encadré par : 18/06/2013
Introduction Le traitement du signal est la discipline qui développe et étudie les techniques de traitement, d'analyse et d'interprétation des signaux. Parmi les types d'opérations possibles sur ces signaux, on peut dénoter le contrôle, le filtrage, la compression de données, la transmission de données, le débruitage, la déconvolution, la prédiction, l'identification, la classification, etc. Bien que cette discipline trouve son origine dans les sciences de l'ingénieur (particulièrement l'électronique et l'automatique), elle fait aujourd'hui largement appel à de nombreux domaines des mathématiques, comme la théorie du signal, les processus stochastiques, les espaces vectoriels et l'algèbre linéaire et des mathématiques appliquées, notamment la théorie de l'information, l'optimisation ou encore l'analyse numérique.
I. Operations sur les signaux Objectif : Matlab est un logiciel très développé puisque il contient plusieurs fonctions avec lesquelles on va essayer de manipuler certains outils de base en matière de traitent se signal, l’accent sera mis particulièrement sur la génération des signaux, l’analyse de Fourier, les opérations de convolution et le calcul des fonctions de corrélation
Analyse de Fourier d’un signal carré Code Matlab :
fs=1000; %la frequance du signal n=5000; % le nombre de point dont on va échantillonner t=(0:1/fs:5);%l’intervalle de temps y=square(2*pi*20*t );% square fonction déjà prédéfinie dans Matlab sert a générer un signal carré b=fft(y,n);% « fft » fonction déjà prédéfinie dans Matlab sert à faire une transformée de Fourier f=(0:fs/n:500); % l’intervalle de fréquences m=abs(b);% le module a=angle(b) ;la phase plot(f,m(1:2501),f,a(1:2501))% commande permettre tracer la phase et le module
Corrélation et convolution sous Matlab et Le théorème de Plancherel : Rappel du théorème Plancherel
() () ( ) ( ) ∫ ()() ∫ ( )()
Code Matlab : clear clc t=-1:0.01:5; x=heaviside(t)-heaviside(t-2); % défintion du signal x(t) : x(t)=1 si (0
% Théorème de Plancherel N=512; %le nombre d'échantillon temporel a=fft(x,N);% a vaut la transformé de Fourier discréte du signal x % b=fft(y,N);% b vaut la transformé de Fourier discréte de y % c=a.*b; f=fft(w,N);% f vaut la transformé de Fourier discréte du produit de convolution %
subplot(5,1,5); hold on % tracer sur la même figure l'amplitude de TF du produit de convolution ainsi que le produit des TF plot(abs(c)) plot(abs(f)) title('fft'); hold off
x(t) 1 0.5 0 -1
0
1
1 0.5 0 -1
0
1
200 100 0 200 100 0
0
0
200
400
200
400
2 y(t)
3
4
5
2 3 produit de convolution
4
5
600 800 produit de corrélation
4
4 2 0
800
1200
1400
1000
1200
1400
fft
x 10
0
600
1000
100
200
300
400
500
600
D’après la dernière figure fft on constate que le spectre d’amplitude de la TF du produit de convolution est le même que le spectre du produit des deux TF d’où le théorème
Plancherel est très bien vérifier !
II. Echantillonnage idéal Objectif : Génération des deux signaux S1 et S2 : Le code Matlab : tmax=0.005; fe=100/tmax; %fréquence d’échantillonnage t=0:tmax/100:tmax; % l’intervalle de temps s2=cos(2*pi*(fe-350)*t); s1=cos(2*pi*350*t); plot(t,s1,t,s2)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 -3
x 10
Les allures
On remarque d’après la courbe que les deux allures coïncide d’où ils ont la même fréquence et la même amplitude !
Sous – échantillonnage : Le code Matlab
clear clc tmax=0.005; Fc=350*2; F=800; T=1/F fe=100/tmax; t=0:tmax/100:tmax; n2max=floor(tmax*Fc); n1max=floor(tmax/T); a=[0:n1max]*T %la nouvelle base de temps s2_sub=cos(2*pi*(fe-350)*a); s1_sub=cos(2*pi*350*a);
subplot(2,1,1) plot(s1_sub,'r') subplot(2,1,2) plot(s2_sub)
1 0.5 0 -0.5 -1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1 0.5 0 -0.5 -1
Figure
Visualisation des échantillons
1 0.5 0 -0.5 -1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1 0.5 0 -0.5 -1
Les deux signaux numériques sont définis par un nombre d'échantillons 5 élevés à une fréquence d'échantillonnage 800
Traçons le spectre de S1 et S1_sub Le code matlab clear clc tmax=0.005; Fc=350*2; F=800; T=1/F n2max=floor(tmax*Fc); n1max=floor(tmax/T); fe=100/tmax; t=0:tmax/100:tmax; a=0:1/F:n1max; s2=cos(2*pi*(fe-350)*t); s1=cos(2*pi*350*t);
s2_sub=cos(2*pi*(fe-350)*a); s1_sub=cos(2*pi*350*a); subplot(2,1,1); plot(abs(fft(s1))) title('spectre de S1'); subplot(2,1,2); plot(abs(fft(s1_sub))) title('spectre de s1 sub')
spectre de S1 60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
spectre de s1 sub 1500
1000
500
0
0
500
1000
1500
Traçons le spectre pour s2 et s2_sub Le code matmalab clear clc tmax=0.005; Fc=350*2; F=800; T=1/F n2max=floor(tmax*Fc); n1max=floor(tmax/T); fe=100/tmax; t=0:tmax/100:tmax;
2000
2500
3000
3500
a=0:1/F:n1max; s2=cos(2*pi*(fe-350)*t); s1=cos(2*pi*350*t); s2_sub=cos(2*pi*(fe-350)*a); s1_sub=cos(2*pi*350*a); subplot(2,1,1); plot(abs(fft(s2))) title('spectre de S2'); subplot(2,1,2); plot(abs(fft(s2_sub))) title('spectre de s2 sub')
spectre de S2 60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
spectre de s2 sub 1500
1000
500
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Effectuons el sous-échantillonnage à la fréquence limite obtenu par application de théorème de Shannon Le code Matlab : clear clc tmax=0.005; Fc=350*2; F=800; T=1/F n2max=floor(tmax*Fc);
n1max=floor(tmax/T); fe=100/tmax; t=0:tmax/100:tmax; s1=cos(2*pi*350*t); b=0:1/Fc:n2max s1_sub=cos(2*pi*350*b) plot(abs(fft(s1_sub))) title('spectre de s1 sub ')
spectre de s1 sub 1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
500
1000
1500
2000
2500
