1 de 8
Simulação numérica de condução de calor através do Método das Diferenças Finitas
Cristian Lucas Endler Universidade Federal de Santa Catarina. Centro Tecnológico de Joinville. Rua Presidente Prudente de Moraes, 406, Joinville, Brasil.
Resumo – Contemporaneamente, Contemporaneamente, com o advento de casos
A figura 1 ilustra o meio e as condições de contorno do
de engenharia com condições de contorno e geometrias
problema em questão. O enunciado do mesmo está descrito a
cada vez mais complexas, os métodos analíticos de
seguir:
resolução de problemas têm se tornado, em muitos casos,
“Na indústria
farmacêutica, um tubo de cobre (Kc = 400
insuficientes para as etapas de projeto e de tomada de
W/m.K) com diâmetro interno de 20 mm e espessura de
decisão. Tal fato origina uma crescente demanda por
parede de 2,5 mm é usado para o transporte de oxigênio
ferramentas de simulação computacional, as quais
líquido para o tanque de armazenamento. O oxigênio líquido
permitem a resolução de problemas que se tornam
que flui no tubo tem temperatura média de -200 °C e
impossíveis ou muito dispendiosos se abordados por
coeficiente de transferência de calor por convecção de 120
meios analíticos. Com base neste contexto, o presente
W/m².K. A condição em torno do tubo tem temperatura
trabalho tem por objetivo a simulação computacional de
ambiente de 20 °C e coeficiente e transferência de calor
um problema de condução de calor através da utilização
combinada de 20 W/m².K. Se o ponto de orvalho é 10 °C,
softwa are educacional TRANSCAL, desenvolvido pela do softw
determine a espessura do isolamento (Ki = 0,05 W/m.K) em
equipe do Laboratório de Simulação Numérica em
torno do tubo de cobre para evitar a condensação na
Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor da UFSC.
superfície externa. Considere que a resistência de contato seja
softwa are utiliza o Método das Diferenças Finitas para Tal softw
insignificante” (ÇENGEL, 2009).
simulação,
o
qual
será
explicitado
com
maior
detalhamento detalhamento no decorrer do trabalho.
I. I I. I NTRODUÇÃO Desde sua gênese, ocorrida nos estudos de Courant, Friedrichs e Lewy em meados da década de 1920, o Método das Diferenças Finitas tem se caracterizado como uma importante ferramenta na análise de problemas complexos de engenharia, os quais normalmente não possuem solução analítica (THOMÉE, 1999). No presente trabalho, tal método foi aplicado a um problema de condução de calor permanente. Apesar de tal problema ser relativamente simples, através dele é possível compreender o método com boa profusão.
Figura 1 – Ilustração Ilustração do problema. Fonte: ÇENGEL (2009).
2 de 8 II. EMBASAMENTO TEÓRICO E METODOLOGIA UTILIZADA
demonstrações
das
duas
equações
anteriores
encontram-se disponíveis nos anexos 1 e 2 do presente
O método das diferenças finitas consiste, basicamente, em transformar um domínio contínuo de variáveis num domínio discreto aproximado, através da criação de uma malha de nós interconectados. Segundo Incropera et al , “cada nó
representa uma certa região e a sua temperatura é uma medida da temperatura média da região” (2008). O
As
software
utilizado no presente estudo, o TRANSCAL, utiliza o método de diferenças finitas em sua formulação implícita, ou seja, as temperaturas nodais são determinadas em função das temperaturas nodais adjacentes durante o mesmo instante de tempo. Apesar de este tipo de formulação gerar um sistema de equações interdependentes, ele possui a vantagem de ser incondicionalmente estável, ao contrário do método explícito,
trabalho. O problema em questão, o qual possui como incógnita a espessura do isolamento, não pode ser resolvido diretamente com o software TRANSCAL, pois este possui como função principal o cálculo das temperaturas nos nós. No intuito de suplantar este fato, o processo de resolução foi dividido em duas etapas: a estimativa da espessura do isolamento seguida do cálculo da temperatura nos nós externos do mesmo, já que esta variável é diretamente dependente de tal espessura. Tal processo de resolução foi iterado até que a temperatura externa do isolamento calculada pelo programa estivesse satisfatoriamente próxima do valor dado no enunciado do problema.
o qual possui um critério de convergência a ser satisfeito. Devido ao fato de o programa TRANSCAL sempre Para a resolução do presente problema, foram adotadas as
seguintes
hipóteses
simplificativas:
condução
bidimensional, em regime permanente e sem geração de calor. Considerando que este é um problema descrito em coordenadas cilíndricas, a formulação adotada pelo software
utilizar uma noção de tempo e visto que o problema em questão é caracterizado por ser de regime permanente, procurou-se utilizar um grande número de avanços no tempo, para que, assim, as condições físicas do problema atingissem o estado permanente.
para a temperatura de um nó interno pode ser descrita como: Visto que a presente questão é completamente simétrica, simulou-se apenas uma parte da seção transversal, assumindo-se as condições de contorno de fluxo nulo nas fronteiras norte e sul. Nas fronteiras leste e oeste, foram estabelecidas condições de convecção, condizentes com os dados da questão. Procurou- se, também, utilizar uma “malha Já a formulação adotada pelo software para a temperatura de um nó externo sob o efeito de convecção é definida como:
fina”, ou seja, uma malha com um grande número de pontos
nodais, pois este é o principal requisito para se obter uma solução precisa com o método de diferenças finitas. Tais características da simulação estão ilustradas na seguinte figura:
3 de 8 IV. DISCUSSÕES Analisando a figura 3 e comparando-a com os dados do problema, percebe-se que seu resultado é racional. Um exemplo disto é o fato de que, sensivelmente, a perda de calor por parte da face externa do isolamento deve diminuir conforme aumenta-se sua espessura, pois assim se oferece maior resistência à transmissão de calor por condução. É Figura 2 – Malha utilizada no software TRANSCAL. Fonte: O autor.
III. RESULTADOS A figura 3 mostra a temperatura externa do isolamento em função do diâmetro externo arbitrado do mesmo. Inicialmente, foi arbitrado o valor de 40 mm para o diâmetro do isolamento, sendo, em seguida, calculada a temperatura externa do mesmo através do software TRANSCAL. Tal procedimento foi iterado com passos de 10 mm para a variável de entrada, até que a temperatura externa do
exatamente esta a percepção que se tem quando visualiza-se a figura 3: a temperatura da face externa aumenta com o aumento do diâmetro da camada isolante. Devido à utilização de um grande número de avanços no tempo e de uma malha pormenorizada, a simulação teve um tempo de processamento razoável. Logo, o engenheiro sempre deve ponderar a relação entre a precisão necessária e o tempo disponível para a simulação, utilizando a relação que lhe seja mais adequada.
isolamento estivesse próxima do valor dado na questão (283
V. CONCLUSÃO
K). A partir de tal momento, o passo foi diminuído para 1 mm, a fim de se aproximar com maior precisão do valor requerido.
Após a realização do presente trabalho, apresentado à disciplina de transmissão de calor, foi possível compreender com maior profusão os conceitos inerentes ao método de diferenças finitas, bem como o procedimento de simulação por meio do software em questão, o TRANSCAL. Os resultados obtidos estão em consonância com o esperado, pois fazem sentido tanto no âmbito físico quanto no geométrico. REFERÊNCIAS
Figura 3 – Gráfico da temperatura externa do isolamento em função do diâmetro do mesmo. Fonte: O autor.
Da figura anterior, pode-se depreender que a resposta ao problema, ou seja, o diâmetro externo do isolamento, deve que ser maior que 82 mm para evitar a condensação na face externa do mesmo.
THOMÉE, Vidar. From finite differences to finite elements: A short history of numerical analisys of partial differential equations. Journal Of Computational And Applied Mathematics. Gotenburg, p. 1-54. set. 1999. ÇENGEL, Yunus. A. e GHAJAR, Afshin J., Transferência de Calor e Massa: Uma abordagem prática. 4ª edição, McGraw-Hill, São Paulo, 2009. MALISKA, Clovis R. et al. TRANSCAL, versão 1.1. SINMEC, 1998. INCROPERA, Frank P. et al. Fundamentos da transferência de calor e de massa. 6. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2008.
4 de 8
ANEXO 1 - DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS PARA UM NÓ INTERNO. Hipóteses assumidas: • Condução bidimensional; • Regime transiente; • Sem geração de calor.
A seguinte figura ilustra um elemento diferencial contido num cilindro , com raio “dr” e ângulo “dθ”, o qual contém o nó a ser estudado.
Figura 4 – Elemento diferencial utilizado para a presente demonstração. Fonte: O autor.
Balanço de energia do volume de controle:
Como não há energia entrando nem saindo do volume de controle:
Os termos de taxa de transferência de calor podem ser expandidos das seguintes formas:
5 de 8
Outra etapa substancial na demonstração do método das diferenças finitas é a discretização das derivadas, como segue:
O volume pode ser expresso por:
Considerando a cota Z como unitária e dθ = △θ, bem como dr = △r, tem-se:
Definindo a difusividade térmica e o número de Fourier através das equações (XII) e (XIII), respectivamente, tem-se:
Substituindo as equações de (II) a (XIII) na equação (I), tem-se:
6 de 8
A equação (XIV) é uma formulação implícita de diferenças finitas, válida para um nó interno, em regime transiente e em coordenadas cilíndricas.
7 de 8
ANEXO 2 - DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS PARA UM NÓ EXTERNO COM CONVECÇÃO. Hipóteses assumidas: • Condução bidimensional; • Regime transiente; • Sem geração de calor.
A figura 5 ilustra um elemento diferencial contido n um cilindro, com raio “dr/2” e ângulo “dθ”, o qual contém o nó a ser estudado.
Figura 5 – Elemento diferencial utilizado para a presente demonstração. Fonte: O autor.
Balanço de energia do volume de controle:
Como não há energia entrando nem saindo do volume de controle:
Os termos de taxa de transferência de calor podem ser expandidos da seguinte forma:
8 de 8
Discretizando as derivadas:
Definindo a difusividade térmica e o número de Fourier através das equações (X) e (XI), respectivamente, tem-se:
O volume pode ser expresso por:
Considerando a cota Z como unitária e dθ =
△θ,
bem como dr =
r, tem-se:
△
Substituindo as equações de (II) a (XII) na equação (I), tem-se:
A equação (XIII) é uma formulação implícita de diferenças finitas, válida para um nó externo com convecção, em regime transiente e em coordenadas cilíndricas.
