Sistemas de Controlo Sistema Electromecânico de Posicionamento Angular
Trabalho realizado por:
André Costa –
[email protected] António Silva –
[email protected] Fábio Fernandes –
[email protected] José Rodrigues –
[email protected] 23 de Novembro de 2015
1
Conteúdos 1.
Índice Índice de figuras figuras .......................... ........................................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ..................... ....... 4
2.
Tabela de designações ....................................................................................................................... 6
3.
Introdução e objetivos ....................................................................................................................... 7
4.
Caracterização de componentes .................................................................................................... 8
Servomotor DC (RX320E), constituído por um taquímetro (TB206) e um codificador incremental (K9) ....................................................................................................................... 9
Redutor planetário (GB 1/5) ................................................................................................... 12
Driver (RTS 10/20 – 60 M); ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. .................. ... 14
Tabela de constantes determinadas ..................................................................................... 16
5.
Modelação do sistema ..................................................................................................................... 17
Obtenção das equações diferenciais ..................................................................................... 17
Diagrama de simulação .............................................................................................................. 19
Diagrama de blocos ..................................................................................................................... 20
Funções de transferência .......................................................................................................... 20
6.
Controladores PID ............................................................................................................................ 24
Componente proporcional ........................................................................................................ 24
Componente derivativa.............................................................................................................. 25
Componente integrativa ............................................................................................................ 26
7.
Simulação Simulação........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ................ 27
Controlador proporcional ......................................................................................................... 27
Para π/3 ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 28
Definindo Kp=0.5 .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................ 28 Definindo Kp =0.05 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 28 Definindo Kp =0.005 =0.005 ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 29 Definindo Kp =0.0005 =0.0005 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 29 Definindo Kp =0.00038........ =0.00038...................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 30
Para 5π/3 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 30
Definindo Kp =0.5 ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 30 Definindo Kp =0.05 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 31 Definindo Kp =0.005 =0.005 ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 31 Definindo Kp =0.0005 =0.0005 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 32 2
Conteúdos 1.
Índice Índice de figuras figuras .......................... ........................................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ..................... ....... 4
2.
Tabela de designações ....................................................................................................................... 6
3.
Introdução e objetivos ....................................................................................................................... 7
4.
Caracterização de componentes .................................................................................................... 8
Servomotor DC (RX320E), constituído por um taquímetro (TB206) e um codificador incremental (K9) ....................................................................................................................... 9
Redutor planetário (GB 1/5) ................................................................................................... 12
Driver (RTS 10/20 – 60 M); ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. .................. ... 14
Tabela de constantes determinadas ..................................................................................... 16
5.
Modelação do sistema ..................................................................................................................... 17
Obtenção das equações diferenciais ..................................................................................... 17
Diagrama de simulação .............................................................................................................. 19
Diagrama de blocos ..................................................................................................................... 20
Funções de transferência .......................................................................................................... 20
6.
Controladores PID ............................................................................................................................ 24
Componente proporcional ........................................................................................................ 24
Componente derivativa.............................................................................................................. 25
Componente integrativa ............................................................................................................ 26
7.
Simulação Simulação........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ................ 27
Controlador proporcional ......................................................................................................... 27
Para π/3 ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 28
Definindo Kp=0.5 .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................ 28 Definindo Kp =0.05 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 28 Definindo Kp =0.005 =0.005 ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 29 Definindo Kp =0.0005 =0.0005 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 29 Definindo Kp =0.00038........ =0.00038...................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 30
Para 5π/3 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 30
Definindo Kp =0.5 ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 30 Definindo Kp =0.05 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ......................... ........... 31 Definindo Kp =0.005 =0.005 ........................... ......................................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 31 Definindo Kp =0.0005 =0.0005 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 32 2
Definindo Kp =0.00038........ =0.00038...................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ...................... ........ 32
Controlador proporcional e derivativo ................................................................................ 33 Definindo Kp =0.005 e KD=0.1 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. .................. ... 34 Definindo Kp =0.005 e KD=0.005 =0.005 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 34 Definindo Definindo K p =0.015 e KD=0.09........................... .......................................... ............................. ............................ ...................... ........ 35
8.
Conclusões Conclusões........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 36
9.
Referencias Referencias.......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... ............. 37
3
1. Índice de figuras Figura 1 - Esquema do sistema eletromecânico em estudo. ........................................................ 8 Figura 2 - Dimensões do servomotor DC RX 320 E. ........................................................................ 9 Figura 4 - Características do servomotor DC RX 320 E. ............................................................. 10 Figura 3 - Características do taquímetro. ......................................................................................... 10 Figura 5 - Características do codificador incremental ................................................................ 11 Figura 6- curva característica do servomotor DC ......................................................................... 11 Figura 7 – Redutor Wittenstein TP 004 ............................................................................................ 12 Figura 8 - Características do redutor planetário ........................................................................... 13 Figura 9 - Características do redutor planetário ........................................................................... 14 Figura 10 - Combinação entre os componentes ............................................................................ 15 Figura 11 - Caraterísticas do driver em estudo ............................................................................. 15 Figura 12 - Diagrama de simulação .................................................................................................... 19 Figura 13 - Diagrama de blocos ........................................................................................................... 20 Figura 14 - Gráfico componente proporcional ............................................................................... 25 Figura 15 - Gráfico componente derivativa ..................................................................................... 25 Figura 16 – Gráfico componente integrativa .................................................................................. 26 Figura 17 - Diagrama representado no Simulink .......................................................................... 27 Figura 18 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.5 ........................................................................................................................ 28 Figura 19 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.05 ..................................................................................................................... 28 Figura 20 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.005 .................................................................................................................. 29 Figura 21 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.0005 ................................................................................................................ 29 Figura 22 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.00038 ............................................................................................................. 30 Figura 23 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.5 ..................................................................................................................... 30 Figura 24 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.05 .................................................................................................................. 31 Figura 25 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.005 ................................................................................................................ 31 Figura 26 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.0005 ............................................................................................................. 32 Figura 27 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.00038........................................................................................................... 32 Figura 28 - Tabela de resultados das simulações ......................................................................... 33 Figura 29 - Posição angular da carga em função do tempo para Kp=0.005 e KD= 0.1 ... 34 Figura 30 - Posição angular da carga em função do tempo para Kp=0.005 e KD= 0.005 ................................................................................................................................................................................... 34 4
Figura 31 - Posição angular da carga em função do tempo para Kp=0.015 e KD= 0.009 ................................................................................................................................................................................... 35
5
2. Tabela de designações Convenção U K u iA K T Jm Bm ẇm wm ϴm Jr Br ẇr wr ϴr ɳ 1/N Tr K r Jc Tc Bc ẇc wc ϴc Δϴ
Descrição
Diferença de potencial fornecida ao driver Constante de transformação do driver Corrente fornecida ao motor Constante de proporcionalidade do servomotor Inércia do motor Coeficiente de atrito viscoso no motor Aceleração angular à saída do motor Velocidade angular à saída do motor Posição angular à saída do motor Inércia do redutor Coeficiente de atrito viscoso no motor Aceleração angular à saída do redutor Velocidade angular à saída do redutor Posição angular à saída do redutor Rendimento do redutor Razão de transmissão motor-redutor Binário no redutor Rigidez angular do acoplamento Inércia da carga Binário na carga Coeficiente de atrito viscoso na carga Aceleração angular da carga Velocidade angular da carga Posição angular da carga Diferença na posição angular do redutor e da carga
6
3. Introdução e objetivos Desde sempre o ser humano utilizou sistemas mais ou menos complexos por forma a obter um determinado resultado pretendido. Assim surge uma necessidade de compreender o sistema e a relação entre as ações exercidas sobre este e as suas ações de saída. Conhecido o funcionamento do sistema é então possível o seu controlo de forma precisa e eficaz, uma das áreas mais afetadas pelo desenvolvimento de Sistemas de Controlo é a automação onde é necessário controlar movimentos mecânicos precisos através de comando elétrico por exemplo. O presente relatório foi realizado no âmbito da unidade curricular Sistemas de Controlo e o sistema em análise é um Sistema Eletromecânico de Posicionamento Angular que pode ser utilizado por exemplo numa linha de produção associado a uma garra pneumática para fazer a rotação de uma peça. Os principais objetivos deste trabalho são a modelação do sistema em análise através da obtenção de equações diferenciais bem como a função de transferência. Seguidamente serão construídos os diagramas de blocos e de simulação a fim de se simular o sistema com recurso ao software Simulink . Será ainda determinado o ganho ótimo para um controlador proporcional tendo em conta o menor tempo de resposta ( rise time) e de acomodação (settling time), maior estabilidade, menor erro de sobre-elongação (overshoot ) da saída avaliando também o impacto de uma ação derivativa.
7
4. Caracterização de componentes O sistema que vai ser estudado neste trabalho é um servomecanismo para controlar, com precisão, a posição angular de uma carga inercial (fig. 1) que está acoplada a um servomotor e um redutor (de forma a absorver os desalinhamentos de montagem) fazendo variar a tensão de entrada do servoamplifier (driver ), cujo sinal de saída em corrente é enviado ao servomotor. A medida da posição angular da carga é obtida através do conhecimento da posição angular do veio do motor, assegurada por um encoder incremental, e do conhecimento da cadeia cinemática. O motor está também equipado com um taquímetro que permite a medição da sua velocidade de rotação.
Figura 1 - Esquema do sistema eletromecânico em estudo.
Os componentes que vão ser caracterizados neste sistema são os seguintes: -Servomotor DC (RX320E) (inclui: taquímetro (TB206); codificador incremental (K9); -Redutor planetário (GB 1/5); -Driver (RTS 10/20 – 60 M);
8
Servomotor DC (RX320E), constituído por um taquímetro (TB206) e um codificador incremental (K9)
Figura 2 - Dimensões do servomotor DC RX 320 E.
Um servomotor é um mecanismo que consiste num motor acoplado a um sensor que permite um melhor controlo de posição sendo que o seu movimento é proporcional a um comando. Aplicando uma tensão à entrada do dispositivo, o movimento até uma determinada posição de modo proporcional é feito de uma forma precisa e controlada, relativamente a outros motores (neste caso o servomotor é controlado em corrente contínua). Neste caso o servomotor utilizado é o RX 320 E fabricado pela PARVEX e é composto por um taquímetro, um travão de retenção e um codificador incremental. As características do servomotor e dos seus componentes encontram-se nas seguintes tabelas:
9
Figura 3 - Características do servomotor DC RX 320 E.
Figura 4 – Características do taquímetro.
10
Figura 5 - Características do codificador incremental
A curva característica do servomotor RX320 E relaciona a velocidade de rotação com o binário a que este fica sujeito.
Figura 6- curva característica do servomotor DC
11
Redutor planetário (GB 1/5)
Um redutor é um dispositivo mecânico com a finalidade de reduzir a velocidade de rotação de um atuador. No caso do redutor descrito no enunciado é um redutor planetário cuja referência é GB 1/5, ou seja, o rácio é 1/5. Devido à dificuldade de encontrar catálogo do redutor descrito foram utilizadas características relativas ao redutor Wittenstein TP 004 que é compatível com as dimensões do motor utilizado e possui o mesmo rácio de transmissão
Figura 7 – Redutor Wittenstein TP 004
12
Na seguinte tabela podemos ver as características do redutor utilizado neste sistema:
Figura 8 - Características do redutor planetário
13
Figura 9 - Características do redutor planetário
Driver (RTS 10/20 – 60 M);
O driver é um dispositivo que recebe um sinal de comando em tensão a partir de um sistema de controlo, amplifica o sinal e transmite corrente ao servomotor, de modo a iniciar movimento, com binário proporcional ao sinal. O driver utilizado no sistema é o RTS 10/20-60M fabricado pela PARVEX.
14
Nas tabelas seguintes podemos ver as caraterísticas do driver e também quando combinado com o servomotor do sistema.
Figura 11 - Caraterísticas do driver em estudo
Figura 10 - Combinação entre os componentes
15
Tabela de constantes determinadas
Convenção K u K T Jm Bm Jr ɳ 1/N K r Jc Bc
Descrição
2 A/V 0,145 Nm/A 50 * 10-5 0.9 N.cm a 1000rpm = 85.9 * 10-6 N.m.rad/s 0.166 kg.m2 >96% (admitimos 96%) 1/5 200 N.m/rad 0.05 Kg.m2 0.005 Nm/rad s-1
16
5. Modelação do sistema
Obtenção das equações diferenciais
O sistema que se pretende modelar consiste num servomotor elétrico alimentado por um sinal em corrente (i a(t)) produzido pelo driver que é alimentado em tensão. O servomotor está acoplado a um redutor que irá fazer movimentar uma carga com momento de inércia conhecido (Jc) sendo a transmissão de movimento assegurada por um veio de rigidez conhecida (Kr). Por fim é ainda conhecido o coeficiente de atrito viscoso (Bc) a que a carga está sujeita.
A geração do sinal de corrente pretendido para alimentar o servomotor é conseguido através do fornecimento de tensão (gama [-10V;+10V]) ao driver que por sua vez produz um sinal em corrente (gama [-20A;+20A]) diretamente proporcional à tensão fornecida. A relação entre a tensão fornecida e o sinal de corrente produzido é assegurada através da constante de proporcionalidade Ku.
= ∗ 17
O binário de saída (T m) é diretamente proporcional à intensidade de corrente sendo K t a constante de proporcionalidade associada.
T m iA = Ө == ∗Ө ∗ = ∗ ∗ <=> = ∗ ∗ = +
Analisando a o comportamento do sistema motor-redutor podemos escrever as seguintes relações.
A inércia (Jeq) vista pelo motor também sofre alterações sendo o seu valor dado pela seguinte expressão:
Como o valor da inércia do redutor foi obtido por consulta do catálogo do fabricante sabemos que este corresponde à inércia do redutor no eixo de entrada, ou seja, já é o valor relativo à inércia do redutor vista pelo motor. Considerando Jeq como a inércia vista pelo motor (a sua própria mais a equivalente do redutor), Beq como o coeficiente de atrito viscoso visto pelo motor e Keq a rigidez equivalente podemos escrever a equação do movimento para o sistema que que engloba a corrente do driver como entrada e o movimento do redutor como saída.
̇ ()∗ = − ɳ − ∗
Logo, 18
()∗ ̇ = ∗ − ɳ − () ∗ Ө
A posição á saída do redutor vai ser diferente da posição angular da carga devido ao veio de acoplamento entre eles apresentar uma rigidez angular Kr
Δ ∗ = ̇ ∗ ̇ = − ∗
Ө
Concluindo, é possível escrever a equação do movimento do segundo subsistema porque são conhecidos os valores do momento de inércia da carga , o coeficiente de atrito viscoso .
Admitindo que
e
são a aceleração e velocidade angular da carga, respetivamente:
Diagrama de simulação
Utilizando as equações obtidas acima for possível esboçar o seguinte diagrama de simulação.
Figura 12 - Diagrama de simulação
19
Diagrama de blocos
Figura 13 - Diagrama de blocos
Funções de transferência
1 1 ∗ Ωs. s = 1+ 1 ∗1 ⇔ = ∗ 1+
20
Ωs. s = 1+11 ∗ ∗11 ⇔ = ∗ 1+
1 1 ∗ ΩΔΘs = 1+ 1∗ + ⇔ = ∗ +∗ + ∗ + 21
Ωs = 1+ ∗∗ 1∗ ∗ 1 ∗+ ⇔ = 2 ∗ ∗∗+∗∗∗+ ∗ ∗ ∗
Ωs = 1+ ∗∗ ∗ ∗ ⇔ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 ∗ ∗ +∗ ∗ + = 1+2 ∗ ∗+∗ ∗ ∗∗+ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ + ∗ + ∗ + 2 ∗ ∗ + ∗ 1+ ∗ ∗ +∗ + ∗ + ∗ ∗ = ∗ 1+ ∗ ∗ +∗ + ∗ 1+2 ∗ ∗ + ∗ 1+ ∗ ∗ +∗ + ∗ + ∗ ∗ 22
= 1+( ∗ + ∗ ∗∗ ∗ 2 ∗∗ ∗ +)+ ∗
= 4 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ +3 ∗ ∗ ∗ 2 ∗ + 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 ∗∗+∗ ∗ 2 ∗ ∗+ ∗ ∗ 2 ∗ ∗ + ∗
23
6. Controladores PID Os controladores da família PID (proporcial, integrative, derivative) são utilizados para controlo de um sistema fornecendo uma ação de entrada relacionada com o erro, que se define pela diferença entre o estado que se prende obter (posição angular pretendida) e o estado atual do sistema (posição angular da carga em cada instante). A relação entre o erro e a ação de comando à saída do controlador é definida através dos ganhos proporcional (KP), derivativo (KD) e/ou integrativo (KI). Se pretendermos ter um controlador apenas proporcional (P) deveremos definir os ganhos derivativos e integrativo para 0. De forma semelhante se pode obter um controlador proporcional e derivativo (PD) definindo KI = 0 e o mesmo para os tipos de controlador PI sendo que não são normalmente utilizados controlador sem a componente proporcional uma vez que esta representa a maior percentagem da ação de comando.
Componente proporcional
A componente proporcional é normalmente a componente com maior efeito sobre o sinal à saída do controlador uma vez que é responsável por gerar um sinal proporcional ao erro num dado instante. Esta relação de proporcionalidade leva a que a variação do ganho proporcional (Kp) conduza a alterações do comportamento do sistema e a determinação do ganho ótimo permite a minimização de problemas como overshoot e instabilidade. A utilização de KP elevado conduz a uma instabilidade do sistema porque como o sistema tem inércia e o sinal gerado quando o erro é máximo (instante inicial) é muito elevado o sistema vai sofrer uma variação demasiado rápida e impossível de conter quando o erro tende para 0 pelo que vai ultrapassar o estado pretendido tendo então o controlador que gerar um sinal de intensidade crescente (porque o sistema continua a afastar-se do estado pretendido) e de sinal (+/-) contrário ao inicial. Este processo repete-se até um estado de equilíbrio em que existe um overshoot em relação ao estado pretendido.
24
Figura 14 - Gráfico componente proporcional
Componente derivativa
A componente derivativa influencia a magnitude do sinal à saída do controlador de acordo com a taxa de variação instantânea do erro. Podemos dizer de certa forma que esta componente trata de prever a evolução do erro usando o produto do declive do gráfico da própria evolução do erro com o Kd.
Figura 15 - Gráfico componente derivativa
Com esta componente podemos obter um controlo melhorado do sistema reduzindo o overshoot, a instabilidade e o tempo de acomodação tendo ainda um pequeno efeito no overshoot no estado de equilíbrio. 25
Componente integrativa
Esta componente é responsável pela diminuição do tempo de acomodação uma vez que a sua influência depende diretamente do integral do gráfico de evolução de erro ate ao momento instantâneo. O uso desta componente permite, no caso de o erro se manter elevado durante algum tempo, aumentar o sinal à saída do controlador provocando uma saída de maior intensidade do sistema aumentando a taxa de variação do erro conduzindo-o mais rapidamente ao estado pretendido. Ao introduzir esta componente no controlador normalmente é necessário reduzir o valor de KP uma vez que ambos contribuem para o overshoot e para a redução do tempo de acomodação.
Figura 16 – Gráfico componente integrativa
Outra utilização desta componente e talvez a mais importante é a eliminação do erro de overshoot no estado de equilíbrio.
26
7. Simulação Implementando os diagramas obtidos no software Simulink verificou-se a resposta do sistema para diferentes valores de deslocamento angular fazendo variar o ganho do controlador proporcional sendo os gráficos apresentados abaixo. Desta forma foi possível avaliar qual o ganho ótimo sendo utilizados critérios como a sobre-elongação, o tempo de acomodação e a instabilidade. Vão ser comparados os efeitos da utilização de um controlador apenas proporcional (P) com os da utilização de um controlador proporcional e derivativo (PD).
Controlador proporcional
Na primeira fase da simulação iremos avaliar o efeito da variação do ganho proporcional (Kp) tendo como critérios de avaliação o tempo de resposta, o tempo de acomodação e o overshoot máximo. Serão ainda efetuadas simulações para diferentes solicitações de posicionamento angular nomeadamente π/3 e 5π/3. Os gráficos da evolução da posição da
carga serão apresentados abaixo.
Figura 17 - Diagrama representado no Simulink
27
Para π/3
Definindo Kp=0.5
Figura 18 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de refer ência (π/3) para Kp=0.5
O sistema apresenta oscilações de grande amplitude nos instantes inicial o que nos leva a concluir que o ganho proporcional deve ser reduzido.
Definindo Kp =0.05
Figura 19 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.05
28
Definindo Kp =0.005
Figura 20 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.005
Definindo Kp =0.0005
Figura 21 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.0005
29
Com este valor de ganho proporcional já conseguimos obter uma solução bastante satisfatória quando comparada com as anteriores em termos de compromisso overshoottempo de resposta. Definindo Kp =0.00038
Figura 22 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (π/3) para Kp=0.00038
Utilizando a ferramenta de auto-tune do software Simulink conseguimos apurar que o ganho óptimo seria um valor de aproximadamente 0,00038.
Para 5π/3
Definindo Kp =0.5
Figura 23 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência ( 5π/3) para Kp=0.5
30
Definindo Kp =0.05
Figura 24 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.05
Definindo Kp =0.005
Figura 25 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a pos ição de referência (5π/3) para Kp=0.005
31
Definindo Kp =0.0005
Figura 26 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.0005
Definindo Kp =0.00038
Figura 27 - Posição angular da carga em função do tempo, comparado com a posição de referência (5π/3) para Kp=0.00038
32
Ganho Tempo proporcional resposta 0.5 0.05 0.005 0.0005 0.00038
0.316s 1.03s 1.56s 16.2s 20.5s
de Tempo de Overshoot acomodação Percentagem
68.7s 68.7s 68.6s 54.9s 64.8s
94.9% 84.5% 58.1% 13.6% 8.65%
Absoluto π/3
5π/3
0.994 rad 0.885 rad 0.608 rad 0.142 rad 0.091 rad
4.969 rad 4.424 rad 3.042 rad 0.712 rad 0.453 rad
Figura 28 - Tabela de resultados das simulações
Através da análise da resposta do sistema para solicitações de deslocamento angular diferentes constamos que o tempo de resposta e o tempo de acomodação se mantêm constantes para o mesmo ganho proporcional. O overshoot máximo em percentagem também foi o mesmo para as duas solicitações de posicionamento angular sendo que o overshoot absoluto se obtém multiplicando a percentagem de overshoot pelo valor de referência utilizado. Foi ainda possível constatar que, caso se pretenda minimizar o overshoot deve ser utilizado um ganho proporcional de cerca de 0.00038 (valor obtido graças a software de auto-tune). Contudo se um dos requisitos do sistema for um tempo de resposta rápido (<20s) a utilização de um controlador P torna-se inviável se se pretender minimizar ao mesmo tempo o overshoot. Desta forma iremos de seguida avaliar a influência de uma ação de controlo derivativa, ou seja, a utilização de um controlador PD.
Controlador proporcional e derivativo
Para melhorar a resposta do sistema iremos de seguida apresentar a análise da influência de uma ação derivativa no controlador. Uma vez que a introdução de uma ação derivativa no controlador implica alteração do comportamento do sistema é preciso conjugar os dois ganhos, proporcional e derivativo de forma a obter um comportamento ótimo do sistema.
33
Definindo Kp =0.005 e KD=0.1
Figura 29 - Posição angular da carga em função do tempo para Kp=0.005 e KD= 0.1
Para estes valores de ganho observamos que apesar de existir uma resposta rápida no início do funcionamento deparamo-nos com elevada instabilidade que é fruto de um elevado ganho derivativo que leva a que oscilações repentinas provenientes d funcionamento do sistema ou de ruído tenham uma grande influência no sinal gerado à saída do controlador Definindo Kp =0.005 e KD=0.005
Figura 30 - Posição angular da carga em função do tempo para Kp=0.005 e KD= 0.005
34
Definindo Definindo Kp =0.015 e KD=0.09
Figura 31 - Posição angular da carga em função do tempo para Kp=0.015 e KD= 0.009
Utilizando novamente a ferramenta de auto-tune constatamos que a combinação ótima dos ganhos proporcional e derivativo são cerca de K p =0.015 e KD=0.09 contudo guardamos reservas quanto a possibilidade de implementação deste controlador num sistema real muito sujeito a ruído uma vez que o ganho da componente derivativa é superior ao ganho proporcional o que pode levar a uma instabilidade do sistema.
Kp 0.005 0.005 0.015
Kd 0.1 0.005 0.09
Resposta 40s 3.63 0.8
Acomodação 57.8 1.28
overshoot >200% 52.3 1.9
35
8. Conclusões A modelação de sistemas permite uma compreensão sintetizada da relação de todas as grandezas envolvidas no sistema permitindo conhecer o comportamento esperado da saída do sistema em função da variável de entrada no mesmo. Este trabalho permitiu numa primeira fase, colocar em prática os conhecimentos de modelação de sistemas adquiridos ao longo das aulas da unidade curricular de Sistemas de controlo. De seguida fomos capazes de utilizar um software que até então desconhecíamos tendo sido capazes assim de apreender novas capacidades técnicas essenciais por exemplo na área de automação. Com recurso ao Simulink simulamos o modelo que obtivemos anteriormente por forma a analisar o comportamento do sistema em consideração face, por um lado, à utilização de diferentes ganhos proporcionais recorrendo a um controlador P, por outro, à introdução de uma ação derivativa no controlador (PD). Após o tratamento de dados foi possível concluir que a introdução de uma ação derivativa no controlador acarreta uma melhoria em todos os critérios considerados (overshoot, settling time e rise time) contudo a sua introdução obriga a uma alteração do Kp ótimo determinado para o controlador P.
36
