UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO FACULTAD DE INGENIERIA ECONÓMICA
ARTÍCULO MODELO DE AHORRO ÓPTIMO DE RAMSEY CURSO: INGENIERÍA MATEMÁTICA IV DOCENTE: ING. FAUSTINO FLORES LUJANO PRESENTADO PRESENTADO POR: MONJE YUCRA DENNIS STEPHEN CÓDIGO: 135375 FECHA: 15/!/"1! PUNO PERU
INTRODUCCIÓN
En el presente artículo se analizará el modelo de ahorro óptimo de Ramsey basado en supuestos y se analizara el comportamiento del agente representativo de la economía, para hallar una senda óptima. La presencia de variables de control y de estado es lo que hace a un problema dinámico esencialmente distinto de un problema estático. No son una secuencia de problemas estáticos ya que los perodos están ligados a trav!s de las decisiones que se toman en cada uno de ellos. La decisión de c "t# a$ectará al sistema en el $uturo, de modo que no solo a$ectará retornos corrientes, sino tambi!n los retornos $uturos.
INTRODUCTION %n this article the model o$ Ramsey optimal savings based on assumptions and behavior o$ the representative agent o$ the economy are analyzed to $ind an optimal path &ill be analyzed. 'he presence o$ control variables and state is &hat ma(es a $undamentally di$$erent dynamic problem o$ a static problem. 'hey are not a sequence o$ static problems since the periods are bound by the decisions made in each o$ them. 'he decision c "t# a$$ect the system in the $uture, so that not only a$$ect current returns, but also $uture returns.
OBJETIVOS - )nalizar el modelo de Ramsey - )nalizar la importancia del *toc( de capital - +er cómo in$luye el ahorro en el largo plazo
MARCO TEORICO e$iniremos algunos conceptos generales usados en el desarrollo de este artículo. -ran( lumpton Ramsey, $ue un matemático y $ilóso$o ingl!s cuyos estudios y actividad docente tuvieron lugar en la /niversidad de 0ambridge. Ramsey hizo contribuciones $undamentales en economía. or e1emplo, el concepto de precio de Ramsey, en el que se precisa la trayectoria óptima que debe seguir el precio de un monopolista regulado, que quiera ma2imizar el bienestar del consumidor. )demás, tambi!n estableció una teoría del comportamiento óptimo de la hacienda p3blica para la $i1ación de la imposición más adecuada. -inalmente, el modelo de Ramsey es uno de los más usados por la macroeconomía. En !l, los consumidores se presentan como individuos que ma2imizan su utilidad a lo largo de un horizonte in$inito. Esto es especialmente adecuado para estudiar el crecimiento de las economías, la respuesta óptima del gobierno $rente a shocks, etc. Ramsey desarrolló su modelo a $inales de los a4os 56, pero el uso de ecuaciones di$erenciales, la herramienta matemática que utilizó para resolverlo, hizo que la mayor parte de los economistas ignoraran su traba1o. No $ue hasta 789: cuando 0ass y ;oopmans desarrollaron paralelamente un modelo muy similar, aceptado por los economistas. Entonces se comprobó que dicho modelo "una versión me1orada del modelo de crecimiento de *olo&# era en realidad equivalente al desarrollado casi <6 a4os antes por Ramsey.
Modelo de Ramsey Las bases analíticas del modelo de Ramsey=0ass=;oopmans $ueron construidas por -. . Ramsey en 785> y se re$inaron d!cadas despu!s por 0ass "789:# y ;oopmans "789:#. *e trata del primer modelo de crecimiento económico en el que el patrón de ahorro y, por ende, el de consumo, no están dados a priori, sino que son endógenos y responden a las pre$erencias y restricciones presupuestarias en el tiempo de las $amilias consumidoras. or lo tanto este modelo es una versión so$isticada y me1or micro $undamentada del modelo neoclásico de crecimiento de Robert *olo&. En ese sentido, logra e2plicar de $orma consistente y simpli$icada el proceso de crecimiento en economías con rendimientos constantes a escala y productividades marginales decrecientes en el capital, en las que se supone que tanto las $irmas como las $amilias act3an de $orma racional.
Control óptimo El control óptimo es una t!cnica matemática usada para resolver problemas de optimización en sistemas que evolucionan en el tiempo y que son susceptibles de ser in$luenciados por $uerzas e2ternas. ueden ser sistemas que evolucionan en el tiempo el cuerpo humano y el sistema económico. /na vez que el problema ha sido resuelto el control óptimo nos da una senda de comportamiento para las variables de control, es decir, nos indica qu! acciones se deben seguir para poder llevar a la totalidad del sistema de un estado inicial a uno $inal de $orma óptima.
Sto! de Capital El stoc( de capital está compuesto por el con1unto de activos $i1os durables utilizados directamente en la producción de bienes y servicios. Este stoc( es el determinante $ísico de las posibilidades de producción. 0uando se incrementa el stoc( de capital, se produce la acumulación. Es decir adquiriendo maquinaria y equipo, instalaciones, etc que permitirá seguir produciendo bienes y servicios .
DESARRO""O DE" MODE"O A#"ICACIÓN DE A$ORRO Ó#TIMO DE RAMSE% SU#UESTOS& - )naliza ara El Largo lazo. - )naliza el comportamiento del agente representativo de la economía. - )naliza la importancia del stoc( de capital.
Desarrollo − rt
MáxV [ K ] =U ( C T ) e
dt
S'(eto a&
K ( 0 )= Dado
Si&
U (C T ) ; U ’ ( C T )> 0 ,U ’ ’ ( C T )< 0
K ( t ) : Dado
C T =Y T – I T
Donde& Y T
& Ni)el de prod'ión
"A #RODUCCIÓN& Y T =f ( K T ) y I T = K ' T
La $unción de consumo en el Largo plazo, se da en base a las siguientes variables
C T = f ( K T ) – K ’T
Replanteando la e2presión a optimizar T
∫
−rt
MáxU [ K ] = U ( f ( K T )− K ' T ) e
dt
0
NOTA& ?Es bueno incrementar el nivel de ahorro@ *priv "incremento# "56=5:A# ==B%p "incrementa# ==B K ' T "incrementa# ===BNivel de Cienestar "incrementa# ==B 0onsumo "incrementa# *public "incremento# "D=:A# ==B%pub "incrementa# ==B K ' T "incrementa# ===BNivel de Cienestar "incrementa# ==B 0onsumo "incrementa#
Desarrollando *+ Identi,iando el ,'nional −rt F =U ( f ( K T ) − K ' T ) e -+ Apliar la e'aión de E'ler F K ' K ' ×K ’’ T + F K ' K × K ’T + F K ' T − F K = 0 F K =
d F K ' dT −rt
F K =U ( C T ) f ' ( K T ) e '
F K ' =¿
d U ( … ) d C T d C T d K ’T
F K ' =¿
−U ' ( C T ) e−rt
−d {U ' ( C T ) e−rt } dT
=−{U ' ' ( C T ) e−rt −rU ' ( C T ) C ' T e−rt }
Reempla.ando& −rt
U ( C T ) f ( K T ) e '
'
=rU ' ( C T ) e−rt −U ' ( C T ) C ' T e−rt
U ( C T ) f ( K T )= rU ' ( C T )−U ' ( C T ) C ' T '
'
r − f ' ( K T ) U ( C T ) '
'
U ' ( C T ) C T =¿
U ( C T ) '
' T
C =
''
U ( C T )
{r −f ' ( K )} T
Di)idiendo am/as por 0 C T 1 tenemos& '
C T C T
{r −f ( K ) } = '
T
α
Donde&
α =
C T U ' ' ( C T ) U ' ( C T )
"a elastiidad de la Utilidad Mar2inal
'
C T C T
& 'asa de crecimiento del consumo
ANA"ISIS #RIMERO& '
Si&
C T >0 f ( K T )> r → C T '
A2ente paiente 3Cons'mo reiente4
SE5UNDO& '
Si&
C T <0 f ( K T )< r → C T '
A2ente impaiente 3Cons'mo dereiente
a ,'t'ro4 NOTA& r > ρ →
Mayor a6orro paiente4
→
Cons'mo reiente a ,'t'ro 3A2ente
r = ρ
r < ρ →
Menor a6orro impaiente4
→
Cons'mo dereiente a ,'t'ro 3A2ente
SENDA Ó#TIMA NOTA& No es $actible encontrar las raíces características porque no se cuenta con la $unción de producción e2plicita, tampoco se da la $unción de utilidad de $orma e2plícita.
#ara 6allar la senda óptima s'ponemos&
1−
Y T =b K T
b!
Si&
U (C T )=
C T 1
−
b −r
b> "
b−
0 < r <1
( )
r −b r−b K ’ T + b K T = 0 − K ’ ’ T −¿
esarrollando la E obtenemos la senda óptima del stoc( de capital bt
¿
K T = # 1 e
+ # 2
( ) e
b− r t
CONC"USIONES e la aplicación de la ecuación de Euler hallamos la tasa de crecimiento del consumo en $unción a ?r@ y a ?p@, así como tambi!n se puede notar que el ahorro óptimo está en $unción al stoc( de capital, depende a la variación de ?r@ y ?p@ el comportamiento y del agente y el tipo de consumo que se tieneF '
*iF
C T >0 f ( K T )> r → C T
*iF
C T <0 f ( K T )< r → C T
'
)gente paciente "0onsumo creciente#
'
'
)gente impaciente "0onsumo decreciente a
$uturo#
BIB"IO5RA78A • Argandoña, A., Gámez, C. y Mochón F. (1999). Macroeconomía Avanzada y . McGra!-"#$$. • %omer, &. (''). Macroeconomía Avanzada. McGra!-"#$$. eg*nda ed#c#ón, +aña. • a$a--Mar#n, /. (1990). A*ne de Crec#m#eno +conóm#co. Anon# och +d#or. eg*nda ed#c#ón.
