IV. La croissance optimale : le mod` ele de Ramsey ele 1. La croissance optimale
Quelle part part de son revenu un pays pays peut-il d´ epenser epenser et quelle part part doit-il doit-il investi investirr ? R`egle egle d’or d’or : r´epon ep onse se parti partiel elle le,, limi limit´ t´ee ee `a la co comp mpara arais ison on de SCE SCE Probl´ ematique ematique de la croissance optimale : optique intertemporelle Il s’agit de d´ eterminer, eterminer, parmi tous les sentiers de croissance de l’´economie econom ie possible pos sibless `a partir des conditions condi tions initiales, initi ales, celui que choisirait un planificateur bienveillant maximisant un crit`ere ere de bien bien-ˆ -ˆetre etre soci so cial al inte intert rtem emp porel orel refl´ re fl´etan etantt les les pr´ef´ ef´eren erence cess en mati` mati`ere er e de consommation des agents, sous la contrainte de ressources de l’´economie Le long de ce sentier senti er optimal, optima l, la part du revenu reven u consacr´ consac r´ee ee `a chaque inst instan antt `a la co cons nsom ommat matio ion n et cell cellee co cons nsac acr´ r´ee ee `a l’´eparg epargne ne sont sont les les meille meilleure uress du point oin t de vue du crit` cri t`ere ere de bien-ˆ bie n-ˆetre etr e socia so ciall adopt´ adopt´e par le planificateur Approche clairement normative
IV. La croissance optimale : le mod` ele de Ramsey ele 2. Le mo mod` d` el e ele
Economie « `a la Solow » Foncti Fonc tion on de produ pro duct ctio ion n n´eocl eo clas assi siqu que, e, `a rend rendem emen ents ts d’´eche echellllee constants y = f (k ) Conso Con somma mmati tion on par tˆete ete c , investissem inves tissement ent brut par tˆete ete i , avec c + i = f (k ) Croissance de la population au taux n D´epr´ epr´ecia eciati tion on du capi capita tall au taux taux δ Dans un premier temps pas de progr` progr`es es technique Contraireme Contra irement nt au mod`ele ele de Solow dans lequel leque l le taux d’´epargne epargne est exog`ene, ene, le comportement comp ortement de consommation consom mation et d’´epargne epargne des agents agents est ici endog` endog`ene ene
Fonction d’utilit´e est u (c ), o` u u est croissante et concave On suppose l’existence d’un planificateur central bienveillant qui prend soin des int´erˆets des agents et s’occupe de d´eterminer le meilleur sentier de consommation au regard d’un crit`ere de bien-ˆetre social intertemporel , sous une contrainte de ressources de l’´economie Ici, crit`ere dit « utilitariste escompt´e » bien-ˆetre intertemporel du m´enage repr´esentatif, dont on suppose la dur´ee de vie infinie Programme du planificateur :
∞
max V = t =0 e −ρt u (c )dt ˙ = f (k ) − c − (n + δ )k k e k 0 = K 0 /L0 donn´
avec ρ le taux de pr´ef´erence pour le pr´esent, suppos´e constant et strictement positif
Condition n´ecessaire d’optimalit´e : u (c ) Soit σ(c ) = − cu l’´elasticit´e de substitution intertemporelle de (c ) la consommation Condition de Keynes–Ramsey : ′
′′
c ˙ = σ(c )(f ′ (k ) − n − δ − ρ) c
Le taux de croissance de la consommation par tˆete d´epend de l’´ecart entre la productivit´e marginale du capital par tˆete et le taux de croissance d´emographique augment´e du taux de d´epr´eciation et du taux de pr´ef´erence pour le pr´esent, ´ecart modul´e par l’´elasticit´e de substitution intertemporelle
IV. La croissance optimale : le mod` ele de Ramsey 3. L’´ etat stationnaire
Existe-t-il une croissance optimale ´equilibr´ee ? Syst`eme dynamique :
˙ = f (k ) − c − (n + δ )k k ˙ c ′ c f = σ( ) ( (k ) − n − δ − ρ) c
Solution stationnaire caract´eris´ee par un capital et une ˙ = 0 et c consommation par tˆete constants : k ˙ =0:
f (k ∗ ) = c ∗ + (n + δ )k ∗ f ′ (k ∗ ) = n + δ + ρ
La seconde ´equation est la r`egle d’or modifi´ee R`egle d’or (rappel) : f ′ (k g ∗ ) = n + δ a k g ∗ , le montant de la r´eduction d´ependant de ρ, k ∗ est inf´erieur ` taux de pr´ef´erence pour le pr´esent (impatience)
Taux d’´epargne : f (k ∗ ) − c ∗ k ∗ = (n + δ ) s = ∗ f (k ) f (k ∗ ) ∗
Cas Cobb–Douglas f (k ) = k α : f (k )/k = Ak α−1 = f ′ (k )/α ∗
s = α
n + δ n + δ + ρ
Taux d’´epargne de la r`egle d’or dans le cas Cobb–Douglas (rappel) : s g = α Ici, sur le SCE, le planificateur choisit un taux d’´epargne inf´erieur `a celui de la r`egle d’or, en raison de la pr´ef´erence pour le pr´esent des agents, qui traduit leur impatience et les pousse `a consommer davantage et `a ´epargner moins
IV. La croissance optimale : le mod` ele de Ramsey 4. Stabilit´ e autour de l’´ etat stationnaire
Diagramme de phases repr´esentant les trajectoires possibles de l’´economie dans le plan (k , c ) ˙ = 0 : c = f (k ) − (δ + n )k ◮ Lieu des points v´ erifiant k Courbe passant par l’origine et par le point A de coordonn´ees (k 0 , 0), avec f (k 0 ) = (n + δ )k 0 Courbe qui atteint son maximum au point C en lequel on a dc ′ ′ = ( ) f k − (n + δ ) = 0 ⇐⇒ f (k ) = n + δ dk C est donc le point de la r`egle d’or, de coordonn´ees (k g ∗ , c g ∗ ) ◮ Lieu des points v´ erifiant c ˙ = 0 : droite verticale d’abscisse k ∗ , le stock de capital par tˆete de la r`egle d’or modifi´ee ˙ = 0 et c ◮ Intersection des courbes k ˙ = 0 au point E qui est l’´equilibre stationnaire de l’´economie ◮ Fl` eches : indiquent la fa¸con dont ´evoluent capital et consommation par tˆete `a partir d’un point initial situ´e dans ˙ = 0 et chacun des secteurs du plan d´elimit´es par les courbes k ˙ 0 c
˙ = 0, pour un niveau donn´e de k la Au dessus de la courbe k consommation par tˆete c est trop ´elev´ee. f (k ) − c − (n + δ )k ˙ < 0. C’est l’inverse en dessous de la est donc trop faible, et k courbe. ` droite de la courbe c ˙ = 0, pour un niveau donn´e de c le ◮ A stock de capital par tˆete k est trop ´elev´e (> k ∗ ). f ′ (k ) est donc trop faible et c ˙ = σ(c )c (f ′ (k ) − δ − n − ρ) est n´egatif. C’est l’inverse `a gauche de la courbe. ◮
E est un point-selle Branche stable repr´esent´ee sur la figure par le lieu BB’ Le syst`eme converge vers l’´etat stationnaire si et seulement si il d´emarre d’un point situ´e sur la branche stable
c
dc dt
=0 B’
C
E c 0
I B
O
k 0 Fig.: Le
∗
k
∗
k g
dk dt
=0
A k
diagramme de phases
IV. La croissance optimale : le mod` ele de Ramsey 5. Mod` ele de Ramsey avec progr` es technique
Progr`es technique neutre au sens de Harrod, taux λ Equation d’accumulation du capital : ˙
ˆ = f (k ˆ ) − e −λt c − (n + δ + λ)k ˆ k Le planificateur maximise l’utilit´e intertemporelle des m´enages (d´ependant de la consommation par tˆete) sous cette contrainte On obtient : ˙ c ˆ ) − (n + δ + ρ)) = σ(c )(f ′ (k c
Etat stationnaire :
ˆ ∗ ) − (n + δ + λ)k ˆ∗ c = e −λt f (k et la r`egle d’or modifi´ee : λ ∗ ˆ f (k ) = n + δ + ρ + σ ′
Par rapport au mod`ele de Solow : ◮
Le taux d’´epargne est maintenant endog`ene, ajust´e `a chaque instant de mani`ere optimale par le planificateur. Sur le SCE, le taux d’´epargne optimal n’est pas celui de la r`egle d’or mais lui est en g´en´eral inf´erieur, en raison de l’impatience de la soci´et´e
◮
Les conclusions du mod`ele de Solow sont peu modifi´ees : l’´economie se d´eplace `a long terme le long d’un SCE au taux constant n ou n + λ, et ce sentier est stable ; l’´economie partant d’une condition initiale quelconque converge toujours `a long terme vers ce SCE
◮
Les probl`emes d’inefficience dynamique et d’impossibilit´e de comparer diverses trajectoires correspondant `a divers taux d’´epargne ne se posent plus ici, puisque le planificateur choisit le meilleur taux d’´epargne et la meilleure trajectoire de consommation au regard du crit`ere de bien-ˆetre social adopt´e
V. Instabilit´ e et extinction de la croissance 1. Le mod`ele d’Harrod–Domar
Harrod (1939) Domar (1946) Inspiration keyn´esienne : transposent dans un cadre dynamique les concepts de la Th´eorie G´en´erale en d´epassant la probl´ematique du court terme `a capital fixe par l’ajout d’une ´equation d’accumulation du capital Hypoth`eses : ◮
progr`es technique exog`ene, neutre au sens de Harrod, croissant `a taux constant (taux λ) et croissance d´emographique donn´ee (taux n)
◮
taux d’´epargne constant (s )
◮
mais technologie `a facteurs compl´ementaires : Y = min
λt
K e L , v z
◮
Cas o` u le stock de capital est totalement employ´ e et la main K e λt L d’œuvre exc´edentaire (min v , z = K ): v
Y =
K v
⇒
˙ = Y
1 ˙ 1 K = (I − δ K )
v
v
d’o`u, sachant que I = sY et K = vY : 1 ˙ Y = (sY − δ vY ) v
i.e.
s ˙ Y /Y = − δ v
◮
Cas o` u le plein-emploi est r´ealis´e et o` u une partie du stock de K e λt L e λt L capital est inutilis´ee (min v , z = z ) :
˙ /Y = L˙ /L + λ = n + λ Y
Condition d’´equilibre dans la croissance : s − δ v
=
n + λ
taux garanti
taux naturel
Ne peut ˆetre v´erifi´ee que par hasard. Si elle ne l’est pas, ◮
◮
soit le taux naturel est inf´erieur au taux garanti et la croissance ´equilibr´ee est impossible faute de main d’oeuvre suffisante (cas de suraccumulation, peu plausible) soit le taux naturel est sup´erieur au taux garanti et la croissance s’accompagne d’un chˆomage croissant (cas keyn´esien)
Mod`ele surd´etermin´e On cherche `a expliquer le fait que le coefficient de capital est constant en supposant a priori sa constance. Dans le mod`ele de Solow, cette constance r´esulte d’un ajustement du mod`ele vers sa valeur d’´equilibre
V. Instabilit´ e et extinction de la croissance 2. L’extinction de la croissance : existence d’un facteur rare
Malthus : existence d’un facteur rare (disponible en quantit´e fixe et non reproductible), la terre La croissance n’est pas « soutenable » `a long terme en raison des rendements d´ecroissants Ricardo : mˆeme id´ee d’un blocage de la croissance par la disponibilit´e des terres Seule issue : progr`es technique augmentant la productivit´e de la terre Mod`eles modernes dans lesquels le facteur rare est constitu´e par les ressources naturelles non renouvelables : la pr´esence d’une ressource non renouvelable (´energie fossile, minerai) indispensable `a la production cr´ee l’effet de blocage de la croissance mis en ´evidence par Ricardo, sauf si le progr`es technique permet de trouver des ressources reproductibles de substitution
Le mod` ele malthusien
Economie agricole Fonction de production : Y = AT β L1−β
e fixe T est le stock de terre, disponible en quantit´ Revenu par tˆete : y = AT β L−β
Il est r´eduit par la croissance de la population en raison des rendements d´ ecroissants (la terre est un facteur fixe, qui ne peut croˆıtre en mˆeme temps que le travail). Taux de croissance de la population, endog`ene : L˙ = n(y ) L
avec n′ (y ) > 0, limy →∞ n(y ) = nmax > 0, limy →0 n (y ) = nmin < 0
Avec ces hypoth`eses, il existe y ∗ unique tel que n(y ∗ ) = 0.
1 β
A ce y ∗ correspond L∗ = y A . La population se stabilise au niveau L∗ `a long terme, quel que soit son niveau initial, et le revenu par tˆ ete se stabilise au niveau y ∗ . Stagnation malthusienne. ∗
Effet d’une croissance de la productivit´e : ◮
◮
Une hausse de A une fois pour toutes (un choc ∆A) permet `a court terme une croissance de la population, qui `a long terme annule cette hausse. L’´economie se retrouve en y ∗ . Une croissance r´eguli`ere de A au taux g > 0 entraˆıne une croissance du revenu par tˆete : ˙ ˙ y A = y A ◮
◮
L˙ = g − β n(y ) − β L
Si g > β n , croissance perp´etuelle du revenu par tˆete possible. Dans le cas contraire, la croissance de la productivit´e ne permet pas de sortir de la stagnation. Elle change juste le niveau de celle-ci : le revenu par tˆete stationnaire est y ) = βg . maintenant y˜ , d´efini par n(˜ max
Un mod` ele ` a la Solow avec terre
Fonction de production : Y = K α Lβ T γ ,
α + β + γ = 1
T est le stock de terre, disponible en quantit´ e fixe
En taux de croissance : ˙ ˙ ˙ Y K L˙ T = α + β +γ Y K L T
n
0
S’il existe un SCE au taux g , alors β
1 − α − γ g = n= n 0 tandis que capital et production par tˆ g − n < 0 c’est-`a-dire d´ecroissent
R´emun´erations des facteurs (sur le SCE) : ◮
capital : u = α Y constant K
◮
travail : w = β Y d´ecroissant L
◮
terre : t = γ Y croissant (effet de la raret´e, rente ricardienne) T
Hors mod`ele : la baisse du salaire s’arrˆete quand il atteint le niveau de subsistance, la croissance d´emographique s’arrˆete aussi, l’´economie atteint un ´etat stationnaire (avec un niveau de vie tr`es faible de la population) et y reste
Existence d’un progr`es technique augmentant la productivit´e de la terre : Y = K α Lβ (e µt T )γ ,
α + β + γ = 1
En taux de croissance : ˙ ˙ Y K = α + β n + γµ Y K S’il existe un SCE au taux g , alors β n + γµ >n g = 1−α
⇐⇒
µ>n
Si le taux de PT est suffisant, capital, production par tˆ ete et r´emun´eration du travail croissent `a long terme
Un mod` ele ` a la Solow avec ressource non renouvelable
Fonction de production : Y = K α Lβ R γ ,
α + β + γ = 1
R est le flux de ressource extraite S est le stock de ressource (S 0 est le stock initial), avec
˙ = −R S qui indique que l’extraction diminue le stock Long terme : ´epuisement du stock et effondrement de l’´economie, sauf si apparition d’une ressource renouvelable de substitution
