“AÑO DE DE LA L A DIVERSIFICACIÓN DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA LA EDUCACIÓN”
UNIVERSIDAD DE PIURA CURSO: GEOMETRÍA GEOMETRÍA FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL Y TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA
FACULTAD INGENIERÍA 1
Cálculo del N Para el N sabemos que es la unidad del resultado de la suma de todas las letras “E” de los carnés de los integrantes: ABCDEFG
!"
#oran $ando%al Branco : &'()7&(!
*"
Palacios +ilc,e- #arco
."
$il%a Dom0ngue- #iguel : &1'/5(/(
: &./'8*(&
$umamos todas las E: & 2 ( 2 ' 3 * 0. Entonces el %alor que tomará N será: 0.
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Construcci4n del condominio $eg5n los datos en una urbani-aci4n e6isten dos edi7icios:
El 8rimer edi7icio tiene 6 pisos 9 tiene base cuadrada de 10 m de lado la altura del 8rimer 8iso es de 280 cm. = 2.8 m. A 8artir del segundo 8iso la altura es 300 cm. = 3 m"
El segundo edi7icio tiene 7 pisos 9 es de base circular de radio 7 m la altura del 8rimer 8iso es 290 cm. = 2.9 m. A 8artir del segundo 8iso la altura es de 310 cm" 3 ."!m
;raba
$abemos que la distancia entre A 9 B es 60 m" ;omamos el %értice C que 8ertenece a la base cuadrada" El centro B se encuentra en la intersecci4n de dos lugares geométricos:
Circun7erencia de centro A 9 radio 60 m. Prolongaci4n del segmento AC" Entonces 8odemos tra-ar el edi7icio de centro B 9 de radio 7m.
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1. Para ubicar la pista: =uego de ubicar los edi7icios 8odemos encontrar la 8ista donde conocemos las menores distancias a los edi7icios de base cuadrada (A) 9 base circular (B) son 80m 9 100m res8ecti%amente además estas distancias deben ser 8er8endiculares a esta" Para ,allar la 8ista debemos tra-ar:
Circun7erencia de centro A 9 radio 80 m >circun7erencia m?" Circun7erencia de centro B 9 radio 100 m >circun7erencia n?" =a pista (rcta r) será una recta tangente a las circun7erencias" Para tra-ar la recta tangente debemos tra-ar:
Circun7erencia de centro B 9 radio >!11@(1?3 20 m >circun7erencia ?" Circun7erencia de centro ! >mediatri- de AB? 9 radio #B >circun7erencia -?" El 8unto se encuentra en la intersecci4n de dos lugares geométricos:
Circun7erencia " Circun7erencia -" El 8unto de tangencia " se encuentra en la intersecci4n de dos lugares geométricos:
Prolongaci4n del segmento B" Circun7erencia n" El otro 8unto de tangencia "# se obtiene a8licando al 8unto A una ;3;ras >;?" ;ra-amos una recta que una ; con ;>recta r? encontrando as0 la ubicaci4n de la 8ista"
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2. Para ubicar la casta: a ubicados los dos edi7icios 9 la 8ista 8odemos encontrar la caseta de %igilancia" Como el 8roblema no es8eci7ica las dimensiones de esta 8odemos 7irecta r? al 8unto A" %r& es la 8ista" A8licamos la re7le6i4n res8ecto a “ r ” 8ara ,allar un 8unto de la caseta > $? ;ra-amos el segmento AB" El 8unto $ se encuentra en la intersecci4n de dos lugares geométricos:
Hecta r $egmento AB bicando el 8unto $ 8odemos construir la caseta"
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3. Para ubicar l suprmrca'o: Además de la caseta se ubica un su8ermercado al igual que la caseta le 8ondremos dimensiones al su8ermercado que tendrá m de lado 9 7m de altura" =lamaremos al centro del su8ermercado" Conociendo que la suma de distancias a los edi7icios 9 a la caseta es la m0nima 8osible el 8unto será el 8unto de Fermat del triángulo ABI" bicando el 8unto 8odemos construir la tienda" Para ubicar el 8unto de Fermat tendremos que a8licar rotaci4n de 2)1J 9 @)1J a * %értices del triángulo ABI" =uego unir los 8untos con los %értices del triángulo ABI 9 en la intersecci4n de las dos rectas ubicaremos al 8unto " bicando el 8unto 8odemos construir la tienda"
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. Para ubicar l rsr*orio ' a+ua: Al rsr*orio de agua le daremos dimensiones de 2.5 m de radio 9 15 m de altura" $abemos que el centro del reser%orio > ,? con el centro del edi7icio A 9 B 7orma un ángulo de )1K" Además se sabe que la distancia del reser%orio a la l0nea de acci4n que une los centros de los edi7icios es 30m 9 se encuentra más ale
Arco ca8a- de segmento AB >distancia entre los centros de las bases de los edi7icios? 9 ángulo )1K Hecta = >Paralela del segmento AB- de longitud de .1m? En este caso obtendremos dos soluciones 8ero cogeremos es que este más cercano al edi7icio de base circular >B?"
5. o/+itu' total ' la tubra: Des8ués de de7inir lo anterior el cliente desea saber la longitud del total de tuber0a utili-ada" Para esto %amos a traba
Em8e-aremos ,allando el radio “r”: $en)13.1Lr r3.1Lsen)1 r=3.6101615
Como conocemos r ,allaremos el ángulo M >reem8la-ando?: CosM3 >.1@rcos)1?Lr = 68-52929857
Al ,allar M 8odemos ,allar sabemos que M22)13!(1" De lo que se obtiene que 4= 51-707013 #ediante la le9 de cosenos 8odemos ,allar los segmentos A, 9 B,: >AH?*3 *r *@*r *cos>!*12? >BH? *3 *r *@*r *cos>? A,= 69-0902053 B,= 30-083299
!
=a longitud total de la tuber0a será la suma de A, 9 B, entonces el resultado es 99-1739902"
6. Para ubicar l tlscopio: A,ora se desea instalar un telesco8io el cual se ubicará a la ma9or distancia con res8ecto del reser%orio si se sabe que en ese lugar se 8ueda obser%ar a las 8artes su8eriores de los edi7icios con un ángulo de ele%aci4n de 25 esto es 8ara que no interrum8an la %isi4n al cielo" Primero es necesario considerar las alturas de los edi7icios" Conocemos que la altura del edi7icio de base cuadrada es 17.8 m 9 la del edi7icio de base circular es 21.5 m" =lamaremos " a la ubicaci4n del telesco8io entonces ,allaremos la distancia de ; a los 8untos A 9 B >centros de las bases de los edi7icios?" na 8ersona desde su ubicaci4n mirará solo un 8unto de la 8arte su8erior de ambos edi7icios con un ángulo de ele%aci4n de *'K" Escogeremos el 8unto C del edi7icio de base cuadrada 9 el 8unto del edi7icio de base circular" C es la 8ro9ecci4n ortogonal de A >edi7icio de base cuadrada? ,acia donde la 8ersona %a a mirar 9 D es la 8ro9ecci4n de ortogonal de B >edi7icio de base circular?" Podemos ,allar las distancias ;A 9 ;B 8or triángulos rectángulos" El ángulo M es el ángulo del %értice ; 7ormado 8or los lados A;@C; 9 B;@D;" Entonces el 8unto C se 8odrá obser%ar con un ángulo de ele%aci4n de *'K desde todos los 8untos de una circun7erencia de centro A 9 radio A; >.("!&***.!O m?"
"
El 8unto D se 8odrá obser%ar con un ángulo de ele%aci4n de *'K desde todos los 8untos de una circun7erencia de centro B 9 radio B; >/)"!1)(O(&O m?" Entonces el 8unto ; se encuentra en la intersecci4n de dos lugares geométricos:
Circun7erencia de centro A 9 radio A; >.("!&***.!O m?" Circun7erencia de centro B 9 radio B; >/)"!1)(O(&O m?" abrá dos soluciones 8ero elegimos la soluci4n que está más ale
7.
Para ubicar la +ruta: Finalmente se desea colocar una 8equea gruta con una escultura religiosa 9 esta se tiene que encontrar en un lugar donde la suma de los cuadrados de las distancias a las 8artes in7eriores del reser%orio 9 del su8ermercado es 1002 9 la relaci4n de estas distancias es de * a !" A la gruta la nombraremos %” 8ara ,allar G sabemos lo siguiente:
$e encuentra en un lugar geométrico notable ("orma 18) seg5n este teorema debemos conocer la suma de cuadrados de las distancias la cual será nuestro $=1002 9 el 8unto medio del segmento , (pu/to ) donde caerá la mediana- luego
1#
de ordenar los datos encontraremos la mediana numéricamente que será nuestro radio de circun7erencia con centro en el 8unto medio del segmento H$" m3
√ 2 k − RS
*
L*
m=65.97508706
Como conocemos la relaci4n de lados utili-aremos circun7erencia de A8olonio
Entonces la gruta >G? se encuentra en la intersecci4n de dos lugares geométricos:
Circun7erencia de centro 9 radio m=65.97508706 Circun7erencia de A8olonio de Q3* 9 8unto H 9 $" En este caso obtendremos dos soluciones 8ero escogeremos el que está más cerca del telesco8io"
Cálculos numéricos Aqu0 ,allaremos todas las longitudes de los 8untos entre s0 lo cual lo ,aremos numéricamente" 1) la ubicaci;/ ' la pista: A*3 )1* @ *1* A= 56.568529
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2) la ' la •
ubicaci;/ casta: BA*3 !(1* 2 A* BA<= 188.6796226 CosM3 >BA* 2 !)1* R )1*? L *>BA?>!)1? = 17.63523
•
•
3 O1 R M 4= 72.5536766
A ´ K Sen 90 3
80
Sen β
A<$= A$= 83.85761006 Entonces $A##=25.1157
B$= 10.8220125 B##$= 31.2696792
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3) la ubicaci;/ 'l suprmrca'o: #ediante le9 de cosenos: a= 3.8927071 b= 53.0822709 c= 92.028682 = 36.7292727 •
$3 b R S ƴ=
•
16.3531562
3 !(1 @ !*1 @ $ 4= 3.668538 >$B2$A2$I? *3 BI* 2 IA* R *>BI?>IA?>Cos>a2)1?? B>A>$= 139.711035
•
BS Senβ 3
60
Sen 120
B= 7.819285
•
AS Sen ƴ 3
60
Sen 120
A= 19.5068266 $= 72.3892
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) la ubicaci;/ ' la +ruta: #ediante de cosenos: CosM3 >HB* 2 BA* R HA*?L *THBTHA = 9.266933 H$*3 BH* 2 B$* R *>BH?>B$?>Cos>&&"O!!/O/&!? ,= 50.8837061 •
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P%&'&()*+,-( .(*/ 0&/ /*( *%* /* +(')%++,-( 0&/ +(0,(,:
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