Investigue acerca del uso de variables aleatorias en las siguientes actividades o sectores económicos: Salud. Contabilidad. Finanzas. SALUD Estudios para verificación y probabilidad de nacimientos de niños en buenas condiciones Según estudios, ya se tiene parametrizado las medidas de los huesos y músculos de los niños por semanas de gestación, con variables aleatorias continuas y discretas, en este caso se analizará una variable aleatoria continua, que sigue una distribución normal, y con esto se puede calcular, tomando muestras de mujeres embarazadas con determinadas semanas de gestación, si el feto tiene altas probabilidades de estar en el rango adecuado de medidas, y poder tomar acciones preventivas y correctivas por parte del doctor. Ejemplo: La longitud del fémur de cualquier feto a las 20 semanas de gestación sigue una distribución Normal con medio 44 mm y desviación típica 2mm. Si tomamos una embarazada al azar con 20 semanas de gestación ¿qué probabilidad tenemos de que el fémur de su feto mida más de 46mm? ¿Y de que mida entre 47mm y 49mm? Para este análisis se escogió una variable aleatoria continua que sigue una distribución de probabilidad normal cuyos parámetros son:
X N (μ, σ ) X N ( 44 , 2 ) Como es una distribución normal, de por sí ya conocemos los parámetros de la media y la desviación estándar de la variable aleatoria que en este caso es x=”Longitud del fémur de un feto de 20 semanas de gestación” y tendremos que la variable
Z=
X−44 2
, seguirá una distribución Normal Estándar.
Para el análisis nos formulamos dos preguntas:
Si tomamos una embarazada al azar con 20 semanas de gestación, ¿qué probabilidad tenemos de que el fémur de su feto mida más de 46 mm? Calculamos la probabilidad de que al elegir un feto de 20 semanas de gestación al azar, su fémur mida más de 46:
P ( X >46 )=P
46−44 > =P ( Z >1 )=1−P ( Z ≤ 1 ) ( X −44 2 2 )
Para calcular el valor de
P (Z ≤ 1)
debemos utilizar la tabla de la distribución
normal estándar (Z) para el valor de Z=1.00 (Se adjunta tabla para su referencia)
Este valor nos da Z=0.8413. Por lo tanto:
P ( X >46 )=1−P ( Z ≤ 1 )=1−0.8413=0.2587 La respuesta es 0.2587 (o lo que es lo mismo, el 25,87 % de los fetos de 20 semanas de gestación tienen una longitud de fémur superior a 46mm).
¿Y de que mida entre 47mm y 49mm?
P ( 47< X< 49 ) =P
X −44 49−44 < > =P ( 1.5< Z <2.5 )=P ( Z <2.5 )−P ( Z <1.5 )=0.9937−0.9331=0. ( 47−44 2 2 2 )
Por tanto la probabilidad de que cualquier feto tenga un fémur entre 47 y 49 milímetros será 0.0606 (un 6.06 %). Los datos de esperanza, varianza y desviación estándar, vienen incluidos en la distribución normal estándar, los cuales son Esperanza
μ=E ( x )=44 mm Varianza
V ( x ) =σ 2=22=4 Desviación Estándar
σ =√ V ( x )=√ 4=2
CONTABILIDAD En contabilidad y economía se puede usar las variables aleatorias continuas en el ámbito de la demanda de productos que quieren ingresar al mercado, dado que su comportamiento puede modelarse con distribuciones probabilidad continua, en rangos donde la variable cumple con una determinada función y se puede determinar si esta demanda va a cumplir con las expectativas de la gerencia. Ejemplo: La demanda anual que se espera de cierto producto, por miles de unidades, es una variable aleatoria continua X que tiene densidad de probabilidad
{
1 2 f ( x )= 9 x 0 ≤ x ≤3 0 en otro caso
La variable aleatoria que se define en este caso es x=”Demanda anual de cierto producto”. Como podemos observar es una variable aleatoria continua, cumple con las propiedades de una función de cuantía, ya que cada una de las probabilidades es mayor a cero, y además la función de distribución acumulada nos indica que si sumamos las probabilidades obtenemos 1.
1 2 x dx =¿ 1 9 3
f ( x ) =¿∫ ¿ 0
∞
∫¿ −∞
Si queremos conocer la Esperanza (Valor Esperado), Varianza y Desviación Estándar, aplicamos las definiciones de estos elementos para variables aleatorias continuas: Esperanza
1 x∗( x 2)dx=¿ 2.25 9 3
xf ( x ) =¿∫ ¿ 0 ∞
μ=E ( x )=∫ ¿ −∞
Esto indica que el valor esperado de demanda anual del producto que va a ingresar en el mercado es de 2.25 miles de unidades. Varianza 2
2 V ( x ) =E ( x ) −[ E ( x ) ]
1 x 2∗( x2 ) dx−2.252=¿ 9 2
x 2 f ( x )=¿ ∫ ¿ 1
∞
V ( x ) =∫ ¿ −∞
0.3375
Desviación Estándar
σ =√ V ( x )=√ 0.3375=0.5809
FINANZAS En las finanzas se puede aplicar variables aleatorias discretas para poder los resultados sobre cómo están llevando las personas las inversiones en el mercado, en especial el grado de optimismo o pesimismo que los gerentes de grandes empresas tienen en contexto con las inversiones en corto, mediano y largo plazo, y con esto tomar decisiones que involucran muchas veces miles de dólares. Ejemplo: Se realizó una encuesta en donde se preguntó a 100 gerentes de inversiones de cierta ciudad, acerca de sus puntos de vista sobre las inversiones a largo plazo. De acuerdo con las respuestas 10% se encontraban muy optimistas, 25 % se encontraban optimistas, 30% se encontraban neutrales, 20% se encontraban pesimistas y 15% se encontraban muy pesimistas. Vamos a definir la variable aleatoria x= “grado de optimismo de los gerentes” con la siguiente tabla:
Tabla de cuantización del optimismo grado de optimismo (x) Término 1 Muy pesimista 2 Pesimista 3 Neutrales 4 Optimista 5 Muy optimista Con esta tabla y los porcentajes obtenidos en la encuesta, podemos elaborar nuestra tabla de función de cuantía y distribución de probabilidad acumulada: grado de optimismo (x) 1
Tabla de probabilidad de grado de optimismo Porcentaje Cantidad de de Función de Función de distribución gerentes gerentes cuantía acumulada 15% 15 0,15 0,15
2 3 4 5
20% 30% 25% 10%
20 30 25 10
0,20 0,30 0,25 0,10
0,35 0,65 0,9 1,00
Como podemos observar es una variable aleatoria ya que cumple con las propiedades de una función de cuantía, las cuales son que cada una de las probabilidades sea mayor a cero, y además la función de distribución acumulada nos indica que si sumamos las probabilidades obtenemos 1. Al obtener la gráfica de la función de cuantía, nos damos cuenta del comportamiento de esta variable aleatoria, que se asemeja a una distribución de probabilidad normal:
Función de cuantía cuantía 2.00Función de3.00
1.00
4.00
5.00
0.30 0.25 0.20 0.15 0.10
1
2
3
4
5
Si queremos conocer la Esperanza (Valor Esperado), Varianza y Desviación Estándar, aplicamos las definiciones de estos elementos para variables aleatorias discretas: Esperanza
x i P(¿ x i)=(1∗0.5)+(2∗0.20)+(3∗0.30)+(4∗0.25)+(5∗0.10)=3.3 n
μ=E ( x )=∑ ¿ i=1
Esto indica que el valor esperado según la asignación que dimos a nuestra variable aleatoria, es que la los gerentes se encuentren en un grado neutral sobre las inversiones.
Varianza 2
2 V ( x ) =E ( x ) −[ E ( x ) ]
V ( x ) =¿=(12∗0.5)+( 22∗0.20)+(32∗0.30)+( 42∗0.25)+(52∗0.10)−3.32=0.39 Desviación Estándar
σ =√ V ( x )=√ 0.39=0.62
Referencias bibliograficas 1.
ALEA, V. et al. (1999) Estadística Aplicada a les Ciències Econòmiques i Socials. Barcelona: Edicions McGraw-Hill EUB.
2.
CANAVOS, G. (1988) Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. México: McGraw-Hill.
3.
URIEL, E. y MUñIZ, M. (1988) Estadística Económica y Empresarial. Teoría y ejercicios. Madrid: AC.
4.
MENDENHALL, W., et al. (1994) Estadística Matemática con Aplicaciones. México: Grupo Editorial Iberoamérica.
