INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD AZCAPOTZALCO
UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. PROFESOR: LEMUS ZUÑIGA JUAN CARLOS
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Integrantes: - BUENDIA CRUZ LUIS ENRIQUE - GONZÁLEZ SILVA CARLOS - GONZÁLEZ VARGAS ALEX GRUPO: 6MV1
INTRODUCCIÓN: Para comprender mejor la información y ejemplos mostrados en el siguiente trabajo, definiremos algunos conceptos fundamentales para la introducción a la probabilidad y estadística: -
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Estadística: La estadística es una rama de las matemáticas aplicadas que proporciona métodos para reunir, organizar, analizar e interpretar información, y usarla para obtener diversas conclusiones que ayuden a tomar decisiones en la solución de problemas y en el diseño de experimentos. Población Pobla ción y muestra: La materia prima de la estadística son los conjuntos de números obtenidos al contar o medir elementos. Por tanto, al recopilar datos estadísticos se debe tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta; de este modo, el primer paso es determinar qué información y en qué cantidad se ha de reunir. Por ejemplo, en un censo es importante obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera, cuando un físico quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas, debe empezar por determinar con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Dado que la naturaleza de los fenómenos en estudio es muy variada, es necesario proporcionar una serie de definiciones referentes a los conjuntos de datos que se han de estudiar. “La población es el conjunto que incluye el total de elementos o datos cuyo conocimiento es de interés particular”.
Cada uno de los elementos que intervienen en la definición de población es un individuo u objeto; se denominaron de esta manera, ya que originalmente el campo de actuación de la estadística fue el demográfico. Dado que la información disponible consta frecuentemente de una porción o subconjunto de la población, introducimos un segundo concepto, el de muestra de una población. “La muestra es cualquier subconjunto de la población”. -
C aracte racteres res y variables variables estad estadís ís ticas : El caracter de un elemento, individuo u objeto es cualquier característica por medio de la cual se puede clasificar y estudiar. Una variable estadística es discreta sólo cuando permite valores aislados, como números enteros. Por ejemplo, la variable número de hermanos toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Este tipo de variables se caracterizan por obtenerse mediante un proceso de conteo. Una variable estadística es continua cuando admite todos los valores de un intervalo. Por ejemplo, la variable estatura, en cierta población estadística, toma cualquier valor en el intervalo 158-205 cm. Otro más es la temperatura de una persona.
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E s ta tadís dística tica descri descri pt ptiva iva: Como ya se dijo, la estadística se divide en varias ramas, una de ellas es la estadística descriptiva. Después de haber estudiado los conceptos de población y muestra es posible definirla. La estadística descriptiva es la parte de la estadística que organiza, resume y analiza la totalidad de elementos de una población o muestra. Como ya se dijo, la estadística se divide en varias ramas, una de ellas es la estadística descriptiva. Después de haber estudiado los conceptos de población y muestra es posible definirla. La estadística descriptiva es la parte de la estadística que organiza, resume y analiza la totalidad de elementos de una población o muestra.
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Parámet Parám etros ros estad estadís ís ticos : Los números que sintetizan los aspectos más relevantes de una distribución estadística pueden obtenerse tanto de una población como de una muestra y por consiguiente deben clasificarse: los primeros, obtenidos de la población, reciben el nombre de parámetros y los obtenidos de una muestra se llaman estadísticos o estimadores. Los parámetros y estadísticos más comunes de la estadística descriptiva que se estudiarán en esta unidad se dividen, a su vez, en dos tipos: 1. Medidas centrales: media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, media ponderada. 2. Medidas de dispersión: rango, varianza, desviación estándar, error estándar, coeficiente de variación, percentiles, rango intercuartil.
Medidas centrales c entrales : Si el conjunto de datos numéricos de una muestra de tamaño n (o población de tamaño N) es de la forma x1 , x2 ,. . ., x n (o para la población x 1 , x2 ,. . ., xN ), nos podemos preguntar por las características del conjunto de números que son de interés. En está sección se estudiarán los métodos para describir su localización y, en particular, el centro de los datos. -
Media: Dado el conjunto finito de datos muestrales X1, X2, X3,…, Xn la media muestral (promedio aritmético) o estadístico media del conjunto es el estadístico que representa el promedio de los datos simbolizados por x.
De forma similar se define el parámetro media para las poblaciones finitas.
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Mediana: La mediana de un conjunto de datos es el valor medio de los datos cuando éstos se han ordenado en forma no decreciente en cuanto a su magnitud. Cálculo de la mediana Dado el conjunto de datos muestrales x 1 , x2 ,. . ., x n , la mediana muestral o estadístico mediana del conjunto se representa por x(x tilde) y se obtiene ordenando primero en forma no decreciente estos n datos, los que se renombrarán según su posición por medio de tildes de la siguiente forma Posteriormente se localiza el punto medio de los datos ordenados, con dos casos: 1. Cuando la cantidad de observaciones es impar, el valor medio del ordenamiento es el dato que se encuentre en la posición (n + 1)/ 2. 2. Cuando la cantidad de datos es par, de tal manera que resultan dos datos medios localizados en las posiciones n/ 2 y n/ 2 + 1, la mediana se considera el promedio de éstos. Finalmente, se puede resumir el cálculo de la mediana con las siguientes fórmulas
De forma similar se define el parámetro mediana. Dado el conjunto de datos poblacionales x 1 , x2 ,. . ., xN , la mediana poblacional o parámetro mediana del conjunto es el parámetro representando por u , y se calcula:
-
Moda: La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta en su distribución con mayor frecuencia. Para algunos estudios es necesario encontrar el valor central de un conjunto de datos, en donde la medida de interés está basada en la repetición de éstos; por tanto, ninguna de las dos medidas analizadas es conveniente en este caso. La moda se simboliza por Mo para las muestras y para las poblaciones. La moda también presenta los siguientes dos problemas: 1. La moda puede no existir. Por ejemplo, se tienen las siguientes series de datos: 6, 7, 34, 4, 8 6, 3, 8, 9, 3, 8, 6 y 9 En ambas series de datos la frecuencia es la misma, es decir, no tienen moda. A los conjuntos de datos como los anteriores se les llama amodales o sin moda. 2. La moda puede no ser única. Por ejemplo, se tiene la siguiente serie de datos 6, 7, 9, 4, 8, 6, 6, 8, 9, 6, 8, 6, 9, 3, 9 y 9 En esta serie están los valores 6 y 9 como los de mayor frecuencia, ambos se repiten cinco veces. Al conjunto de datos que tiene más de una moda se le llama multimodal; bimodal si son dos modas, y trimodal si son tres, etcétera.
Medidas de dis pers ió ión: n:
Para un análisis más completo de la distribución de los datos, el estudio de sus medidas centrales no es suficiente, puesto que en diferentes conjuntos de datos puede haber medidas centrales iguales, por tanto, no se tendría conocimiento de la forma de su distribución. Por ejemplo, se tienen dos conjunto de datos, uno contiene los valores 20, 12, 15, 16, 13 y 14, y el segundo 5, 0, 50, 17, 8 y 10; se calcula su media. Como se puede verificar en ambos casos se obtiene 15. Pero si se representan los valores en una recta, es notable que las observaciones del segundo conjunto tienen una distribución distribuci ón (variación) mucho mayor. Por tanto, es necesario realizar un estudio de la distribución de los datos con respecto a su valor central, es decir, se necesita un valor que indique una medida para comparar las dispersiones de datos entre diferentes conjuntos; estas medidas son valores dedispersión o variabilidad del conjunto de datos. -
Rango: Es el primer valor que nos muestra cómo están distribuidos (dispersos) los datos. El rango de las observaciones está simbolizado por r para la muestra y R para la población. El rango es una medida de variación de los datos que lo único que muestra es el tamaño o longitud del intervalo en el que los datos se encuentran distribuidos y es: El rango es igual a el valor mayor menos el valor menor de los datos.
-
Varianza y desviación estándar: Otra medida de dispersión de los datos que está relacionada directamente con la media del conjunto es la varianza. Se llama varianza de un conjunto de datos al promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a su valor medio. Respecto a la muestra La varianza muestral o estadístico varianza del conjunto de datos x 1 , x2 ,. . ., x n , se representa por S² y se define como el valor medio de los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a X, y se calcula por:
La varianza se calcula con los cuadrados de las desviaciones y, por tanto, no está en las mismas unidades que los datos. Por consiguiente, se introduce una nueva medida de dispersión de la siguiente forma. -
Desviación estándar: Se llama desviación estándar de un conjunto de datos a la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir:
Medidas de dispersión relativas
Hay ocasiones en las que deseamos comparar la relación que existe de dos o más medidas de dispersión para un conjunto de datos. Por ejemplo, la desviación estándar de la distribución de horas de sueño, en relación con la desviación estándar de la distribución del consumo de tazas de café. Esto es imposible porque no podemos comparar directamente estos valores dado que sus unidades son diferentes entonces, el coeficiente de variación es útil cuando se desea comparar la diversificación de dos o más conjuntos de datos en relación con el nivel general de los valores y por lo tanto con la media de cada conjunto.
Datos Agrupados
Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos o clases para así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos. • Para construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los
intervalos, se debe determinar la frecuencia absoluta (fi) correspondiente a cada intervalo, contando la cantidad de datos cuyo valor está entre los extremos del intervalo. Luego se calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente. • Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera:
(recuerda que los intervalos de clase se emplean si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua). - Se busca el valor máximo de la variable y el valor mínimo. Con estos datos se determina el rango. - Se divide el rango en la cantidad de intervalos que se desea tener,(por lo general se determinan 5 intervalos de lo contrario es ideal que sea un numero impar por ejemplo 5, 7, 9) obteniéndose así la amplitud o tamaño de cada intervalo. - Comenzando por el mínimo valor de la variable, que será el extremo inferior del primer intervalo, se suma a este valor la amplitud para obtener el extremo superior y así sucesivamente. • Otra forma de calcular la cantidad de intervalos es aplicando los siguientes metodos:
Método Sturges: k = 1 + 3,332 log n donde: k= número de clases n= tamaño muestral Debemos tener en cuenta 2 cosas. Primero que el número de intervalos me tiene que dar impar, segundo que el resultado se redondea generalmente a la baja. Si al redondear a la baja nos da como resultado un número par debemos redondear al alza. Este es el método que tiene mayor precisión.
Marca de clase: La marca de clase es el valor central de la misma que se obtiene al sumar el límite real inferior más el límite real superior entre dos
Medidas de tendencia central Son el conjunto de valores alrededor de los cuales las observaciones tienden a agruparse, y permiten ubicar lo que en algún sentido pudiera llamarse el centro de un conjunto de datos. Dentro de las medidas de tendencia central más comúnmente usadas encontramos a la media aritmética, la mediana, la moda. Cuando se mide una característica de una población esta se define como parámetro y se representa habitualmente con una letra del alfabeto griego. Así mismo cuando se mide una característica de una muestra se denomina estadístico la cual se representa con una letra del alfabeto latino.
Ejemplo 1. N= {1,2,1,3,5,7,9,2,3,3,4,5,7,9,11,13,15,18} N= {1,1,2,2,3,3,3,4,5,5,7,7,8,9,11,13,15,18} Moda= 3 Mediana= Media=
+ 5
6.5555 xi 1 2 3 4 5 7 9 11 13 15 18
ni 2 2 3 1 2 2 2 1 1 1 1
TABLA DE FRECUENCIA Ni fi 2 11.10% 4 11.10% 7 16.60% 8 5.50% 10 11.10% 12 11.10% 14 11.10% 15 5.50% 16 5.50% 17 5.50% 18 5.50%
Fi 11.10% 22.20% 38.80% 44.30% 55.40% 66.50% 77.60% 83.10% 88.60% 94.10% 99.60%
Servicio de Telefonía (Salón).
Movistar: IIIII= 5 Telcel: IIIIIIIIIIIIII= IIIIIIIIIIII II= 14 AT&T: II= 2 Unefón: II= 2
Moda: Telcel Mediana: En datos cuantitativos no podemos obtener mediana y media.
xi Movistar Unefón AT&T Telcel
20%
TABLA DE FRECUENCIA ni Ni fi 5 5 21.70% 2 7 8.69% 2 9 8.69% 14 23 60.86%
1 2
40% 20% 20%
3 4
Fi 21.70% 30.39% 39.08% 99.90%
Servicio de cafetería de la escuela. Bueno= II Regular= IIIIIIII Malo= 0 n= {Regular, Regular, Regular, Regular, Regular, Regular, Regular, Regular, Bueno, Bueno} Moda= Regular. Mediana= Regular. Media= -----------
Variable cualitativa (ordinaria) En estos datos no se puede obtener la media. xi Bueno Regular Malo
TABLA DE FRECUENCIA ni Ni fi 2 2 20.00% 8 10 80.00% 0 10 0.00%
Fi 20.00% 100.00% 100.00%
Estaturas (Salón). N= {1.58, 1.59, 1.72, 1.65, 1.75, 1.75, 1.74, 1.72, 1.80, 1.4, 1.71, 1.74, 1.76, 1.69, 1.58, 1.52, 1.75, 1.53, 1.75, 1.57, 1.65, 1.76, 1.65, 1.75, 1.68} N={1.52,1.53,1.57,1.58,1.58,1.59,1.64,1.65,1.65,1.65,1.68,1.69,1.71,1.72,1.72,1.74,1.74,1 .75,1.75,1.75,1.75,1.75,1.76,1.76,1.80} Media=
1.68
Moda= 1.75 Mediana= 1.71
xi 1.52 1.53 1.57 1.58 1.59 1.64 1.65 1.68 1.69 1.71 1.72 1.74 1.75 1.76 1.8
ni 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 2 2 5 2 1
TABLA DE FRECUENCIA Ni fi 1 4.00% 2 4.00% 3 4.00% 5 8.00% 6 4.00% 7 4.00% 10 12.00% 11 4.00% 12 4.00% 13 4.00% 15 8.00% 17 8.00% 16.00% 22 24 8.00% 4.00% 25
Rango= Valor Máximo – Valor mínimo
Fi 4.00% 8.00% 12.00% 20.00% 24.00% 28.00% 40.00% 44.00% 48.00% 52.00% 60.00% 68.00% 88.00% 96.00% 100.00%
Rango= 1.80 – 1.52= 0.28
− ̅ ̅ Donde Varianza= ℴ ∑ −
Mues tra= S2= ∑
ℴ √ℴ
O 2= (1.52-1.68) 2 + (1.53-1.68) 2 + (1.57-1.68) 2 + 2(1.58-1.68) 2 + (1.59-1.68) 2 + (1.64-1.68) 2
+ 3(1.65-1.68) 2 + (1.68-1.68) 2 + (1.69-1.68) 2 + (1.71-1.68) 2 + 2(1.72-1.68) 2 + 2(1.74-1.68) 2 + 5(1.75-1.68) 2 + 2(1.76-1.68) 2 + (1.80-1.68) 2
O 2= 0.1589
Varianza=
√ 0.0.1589 0.398622
. 6.3510−
O=
En la siguiente tabla de datos se dan los tiempos de llegada en minutos de 60 aviones en un aeropuerto. 2.6 4.7 2.5 7.2 3.9 8.0
3.9 6.1 2.8 3.4 4.6 5.6
4.5 6.0 3.2 7.9 4.5 3.9
4.0 5.0 3.1 3.6 5.7 4.6
3.7 4.5 4.6 3.6 4.8 4.8
3.2 6.2 5.2 4.8 6.9 5.9
5.7 3.4 6.1 5.2 6.3 6.2
4.3 2.9 4.5 6.3 2.6 3.2
3.8 3.6 4.1 8.2 2.5 4.5
3.6 4.1 3.8 5.3 6.8 5.0
2.5,2.5,2.6,2.6,2.8,2.9,3.1,3.2,3.2,3.2,3.4,3.4,3.6,3.6,3.6,3.6,3.7,3.8,3.8,3.9,3.9,3.9,4,4.1,4. 1,4.3,4.5,4.5,4.5,4.5,4.5,4.6,4.6,4.6,4.7,4.8,4.8,4.8,5,5,5.2,5.2,5.3,5.6,5.7,5.7,5.9,6,6.1,6.1, 6.2,6.2,6.3,6.3,6.8,6.9,7.2,7.9,8,8.2
. 4.69 .+. Mediana= =4.5 Media=
Moda= 4.5
Rango= 8.2 – 2.5= 5.7 O 2=9.5922+8.7362+3.5721+3.2041+2.5281+6.6603+3.3282+4.7524+0.9801+1.5842+1.87 23+0.4761+0.6962+0.4521+0.1805+0.0243+0.0001+0.0363+0.1922+0.5202+0.3721+0.82 81+2.0402+1.4641+1.7161+3.9762+4.5602+5.1842+4.4521+4.884+6.3001+10.3041+10.9 561+12.3201
O 2=118.446 O = 10.88
. √ 1.1.9741 1.4050
VARIANZA =
Tabla de frecuencia con intervalos Con 6 marcas =rango /marcas Intervalos 1. 2. 3. 4. 5. 6.
2.35-3.35 3.35-4.35 4.35-5.35 5.35-6.35 6.35-7.35 7.35-8.35
Primer intervalo 2.35-3.35 (2.5, 2.6, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2)
28.5 61.6 82.45 64.35 20.55 23.55 281
Xi intevalo 1.(2.35-3.35)
ni
ni
fi
FI
10
10
16.6%
16.6%
Marca de clase 2.85
2. (3.35-4.35) 3. (4.35-5.35) 4.(5.35-6.35) 5.6.35-7.35 6. (7.35-8.35)
16 17 11 3 3
26 43 57 57 60
26.66 28.33 18.33 5 5
43.32 71.75 89.98 94.98 99.98
3.85 4.85 5.85 5.8 5 6.85 7.85
Moda=4.35 a 5.35 Media=4.68
281/60
Mediana=30
ni/2
Ø 2.854.688 3.3.85 4.68^ 68^22 ^23 23 7.85 85 4.68^ 68^22 Ø
(16)+(4.85-4.68)
(6.85-4.68)
3)
^2
(17)+(5.85-4.68)
^2
(11)+
33.489+11.0224+0.4913+15.0579+14.1267+30.1467=104.34
Varianza=104.334/60=1.7389
√ 1.1.7389 1.3186 STURGERS #i=”K”=1+3.3Log(ƞ)
∴ 1 1 3.3 log60 60 6.86 ≅ 7 # √ ó√ ó √ k
k
Media poblacion
Media muestral
u
Ø
Ø
′ s
̃ ´ ̇== ̃ =
x = número de datos de la muestra
Cierto fabricante de llantas quiere saber la duración promedio de su producto según el uso y el manejo de diferentes conductores, para lo cual se toma una muestra aleatoria de 100 de sus compradores los cuales reportaron la duración de sus llantas en miles de kilómetros
55.3
59.5
60.0
48.6
59.1
63.5
56.3
55.0
53.7
52.8
50.5
56.7
60.8
67.6
68.0
64.4
58.0
49.9
65.4
47.9
45.2
68.1
56.5
50.5
51.2
55.9
61.8
73.0
65.3
60.0
56.6
57.3
49.9
69.5
50.2
52.1
56.7
56.2
52.9
55.0
49.8
51.4
56.8
60.1
56.7
55.9
55.2
65.0
54.8
50.2
56.7
67.0
58.8
57.9
46.9
50.6
58.6
54.8
53.8
52.0
52.8
51.9
61.0
62.5
64.2
67.1
59.9
58.1
56.7
54.0
56.3
53.9
52.0
52.9
51.9
56.0
58.1
52.0
57.0
56.1
49.9
61.0
62.5
51.8
50.1
50.8
60.2
57.8
53.2
51.8
60.1
60.9
56.8
48.0
58.9
57.6
59.7
60.7
63.6
65.3
49.9 51.8 53.2 55.9 56.7 58.1 60.1 63.5 68
50.1 51.9 53.7 55.9 56.7 58.1 60.1 63.6 68.1
Datos Datos ordenados: ordenados: 45.2
46.9 50.5 52 54 56.2 56.8 58.9 60.8 65
47.9 50.5 52 54.8 56.3 57 59.1 60.9 65.3
48 50.6 52.1 54.8 56.3 57.3 59.5 61 65.3
48.6 50.8 52.8 55 56.5 57.6 59.7 61 65.4
49.8 51.2 52.8 55 56.6 57.8 59.9 61.8 67
49.9 51.4 52.9 55.2 56.7 57.9 60 62.5 67.1
49.9 51.8 52.9 55.3 56.7 58 60 62.5 67.6
50.2 51.9 53.8 56 56.7 58.6 60.2 64.2 69.5
Moda: 56.7
= 56.74
Media:
Rango=73-45.2 = 27.8
xi 45.2 46.9 47.9 48 48.6 49.8 49.9 50.1
ni 1 1 1 1 1 1 3 1
Ni 1 2 2 4 5 6 9 10
fi% 1 1 1 1 1 1 3 1
Fi% 1 2 3 3 5 6 9 10
50.2 52 53.9 56.1 56.8 58.8 60.7 64.4 73
50.2 50.5 50.6 50.8 51.2 51.4 51.8 51.9 52 52.1 52.8 52.9 53.2 53.7 53.8 53.9 54 54.8 55 55.2 55.3 55.9 56 56.1 56.2 56.3 56.5 56.6 56.7 56.8 57 57.3 57.6 57.8 57.9 58 58.1 58.6 58.8 58.9 59.1 59.5 59.7 59.9 60 60.1 60.2 60.7 60.8
2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1
12 14 15 16 17 19 21 23 25 26 28 30 31 32 33 34 35 37 40 41 42 44 45 46 47 48 50 51 56 58 59 60 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 73 75 77 78 79 80
2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1
12 14 15 16 17 19 21 23 25 26 28 30 31 32 33 34 35 37 40 41 42 44 45 46 47 48 50 51 56 58 59 60 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 73 75 77 78 79 80
60.9 61 61.8 62.5 63.5 63.6 64.2 64.4 65 65.3 65.4 67 67.1 67.6 68 68.1 67.5 73
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81 83 84 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ø 130 13011 1694 1694 Ø 2996.2048 √ 9.9.962048 5.4737
Varianza = 2996.2048/100= 29.962048 Rango =27.8 =3.5 Amplitud A mplitud =
Número de I ntervalos ntervalos : 8 3.50x8=28-27.8=0.2 45.1-48.6
Media = 56.72
48.6-52.1
Mediana = 50
52.1-55.6
Moda = 55.6 a 59.1
55.6-59.1 59.1-62.6 62.6-66.1 66.1-69.6 69.6-73.1
81 83 84 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Xi
ni
Ni
Fi
Fi
45.1-48.6 48.6-52.1 52.1-55.6 55.6-59.1 59.1-62.6 62.6-66.1 66.1-69.6 69.6-73.1
4 21 17 27 17 7 6 1
4 25 42 69 86 93 9 100
4 21 17 27 17 7 6 1
4 25 42 69 86 93 99 100
Marca de clase 46.85 50.35 53.85 57.35 60.85 64.35 67.85 71.35
Sumatoria*ni
187.4 1057.35 915.45 1548.45 1034.45 450.45 407.1 71.35
Desviación media
5672
VARIANZA:
446..8556.72 21 53.8556.72 57.3556.72 Ợ17 2 21 50. 3 556. 7 2 2 2 2 1760.8556.722 764.3556.722 67.8556.722 71.3556.722 Ợ . +17
+6
+27
+1
= 30.4731
DESVIACIÓN ESTÁNDAR:
NÚMERO DE INTERVALOS:
Ợ √ . . 5.52024456
Los números de intervalos a utilizar se determinan mediante la fórmula, donde n representa el número total de datos: 1+3.33log(n) 1+3.33log(100)=7.66 ≥ 8
DESVIACIÓN MEDIA: Se representa mediante la siguiente fórmula:
Que es igual a:
.−.= 4.1655
MEDIANA: Se representa por la fórmula: Md =
−
−
− Que es igual a: 55.6 + (
55.93
MODA: Se representa por la siguiente fórmula: Mo = Mo =
+ − − −+− − 3.5 − −−
Mo= (55.6) +
Mo= 55.6 + 1.75 = 57.35 - Mo= Moda - LRI= Limite real inferior de la clase modal - d1= Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.
- d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente. Xi 22 22.5 23 24 25 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 30
ni 4 3 3 4 6 5 4 4 4 10 4 5 4
Ni 4 7 10 14 20 25 29 33 37 47 51 56 60
Fi 6.66 5 5 6.66 10 8.33 6.66 6.66 6.66 16.66 6.66 8.33 6.66
Fi 6.66 11.66 16.66 23.32 33.32 41.65 48.31 54.97 61.63 78.29 84.95 93.28 99.94
Ejemplos : Cuartiles.
15 (Posición # 15) = Cuartil 3 = Q3= = 45
Cuartil 1 = Q1= = Q1= 25 (Valor numérico)
También puede hacerse por deciles o percentiles según se nos indique (10,100).
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD AZCAPOTZALCO
UNIDAD 2.PROFESOR: LEMUS ZUÑIGA JUAN CARLOS
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Integrantes: - BUENDIA CRUZ LUIS ENRIQUE - GONZÁLEZ SILVA CARLOS - GONZÁLEZ VARGAS ALEX GRUPO: 6MV1
Introducción: El análisis combinatorio combinatori o es una rama de las matemáticas discretas de gran aplicación, como la teoría de las probabilidades y el análisis de algoritmos, entre otras. Las aplicaciones de la teoría combinatoria están basadas en el empleo de métodos para cuantificar los diferentes tipos de arreglos que se obtienen con los elementos de uno o más conjuntos. Puesto que en la teoría de las probabilidades no siempre es fundamental encontrar todos los puntos muestrales, basta conocer la cantidad de éstos; en particular, cuando se aplica la definición de probabilidad, es decir, cuando el espacio muestral se considera uniforme, el cálculo de la probabilidad de un evento requiere una división de la cantidad de elementos del evento entre la cantidad de elementos del espacio muestral, por lo que es necesario conocer las técnicas que se pueden aplicar para calcular la cantidad de puntos muestrales en un experimento. En esta unidad se analizan varios conjuntos y sus arreglos por medio de dos reglas elementales de conteo: regla de multiplicación y regla de suma. En ocasiones los arreglos se grafican por medio de diagramas de árbol. También se trabajarán trabajar án por separado los casos especiales de los arreglos que se forman con una parte o todos los elementos de un conjunto cuando el orden en que se coloquen éstos sea importante –permutaciones – y la elección de los elementos se realice con o sin reemplazo; se ampliará el estudio de los casos con elementos iguales en un conjunto y los casos cuando el orden entre los elementos de los arreglos no es importante –combinaciones –
Regla de la multiplicación: La regla de multiplicación aplicada a dos conjuntos consiste en que dados los conjuntos A = {a1 , a2 ,..., an } y B = {b1 , b2 ,..., bm }, se quiere saber cuántas parejas diferentes se pueden formar con sus elementos si se coloca un elemento del conjunto A y posteriormente un elemento del conjunto B. Primero se elige un elemento cualquiera del conjunto A y se relaciona con cada uno de los elementos del conjunto B, de tal forma que se obtienen m arreglos diferentes (puesto que B contiene m elementos) a1 b1 , a1 b2 , a1 b3 ,..., a1 bm Después se escoge un segundo elemento del conjunto A, y se relaciona con cada uno de los elementos del conjunto B y se obtienen otros m arreglos, los cuales son todos diferentes respecto de los que se formaron antes, ya que se combinaron elementos diferentes del conjunto A a2 b1 , a2 b2 , a2 b3 ,..., a2 bm .Continuando el proceso se tienen n m parejas distintas que contienen un elemento de cada conjunto. En estos arreglos se escriben primero los elementos del conjunto A seguidos de los del B. El proceso se puede generalizar para el caso de k conjuntos.
Dados A1 ,..., Ak k conjuntos diferentes y n1 , n2 ,..., nk las cantidades respectivas de elementos de dichos conjuntos, entonces la cantidad de arreglos diferentes que contienen un elemento de cada conjunto, escribiendo primero los elementos del conjunto uno seguidos de los del conjunto dos, sucesivamente hasta llegar al conjunto k, se llama regla generalizada de multiplicación, y está dada por n1*n2 ... *nk.
Ejemplos: 1. Se tienen ocho libros de física, cuatro de química y siete de matemáticas, todos ellos diferentes, ¿cuántos arreglos de tres libros, que contengan un libro de cada tema, se pueden formar con todos los libros si primero van los de física, seguidos por química y matemáticas? Con los datos anteriores y el uso de la regla de multiplicación, que indica el total de arreglos de libros diferentes de cada tema, se obtiene 8 *4* 7 = 224
2. Para ir de la ciudad A a la ciudad B existen tres caminos, de la ciudad B a la C existen cuatro, de la ciudad C a la D dos, ¿dé cuántas maneras se puede ir de la ciudad A a la D, sin pasar por la misma ciudad más de una vez? Con los datos anteriores y con el uso de la regla de multiplicación, el total de caminos diferentes para ir de A a D es 3 *4* 2 = 24
Diagramas de árbol: El nombre diagrama de árbol se debe a su forma, ya que con los elementos de los diferentes conjuntos que se estudian se construyen ramificaciones, con las cuales se obtienen todos los arreglos posibles. El diagrama de árbol es una forma gráfica de encontrar todos los arreglos que se pueden formar con los diferentes elementos de los conjuntos que se tiene. Un arreglo es una ramificación (desde su punto inicial hasta su punto final), donde cada ramificación debe tener un elemento de cada conjunto.
Retomando los datos del ejemplo 1, número 2, es posible resolver el problema mediante un diagrama de árbol. Primero se representa en un punto a la ciudad A, después se trazan, a partir de este punto, tres líneas rectas para los tres caminos de la ciudad A a la B; de igual forma, de cada punto que representa a la ciudad B, se trazan cuatro líneas para los cuatro caminos de la ciudad B a la C; finalmente, de cada punto que representa la ciudad C, se trazan dos líneas para los dos caminos de la ciudad C a la D.
El diagrama muestra todos los caminos posibles para viajar de la ciudad A a la D, pasando por las ciudades B y C, los cuales se pueden obtener al unir rectas desde el punto A al D sin regresar por ningún camino. Como se observa, los diagramas de árbol son bastante sencillos y muestran todos los arreglos posibles. Sin embargo, en los casos en que la cantidad de elementos es grande, se tiene también una cantidad grande de ramificaciones, y trazarlo ya no sería factible. No obstante, como se verá en la siguiente unidad, los diagramas de árbol tienen gran aplicación al resolver problemas de probabilidad condicional.
Arreglos con y sin reemplazo: Al aplicar la la regla de multiplicación multiplicación se debe tomar en cuenta cuenta que que no sólo se emplea con diferentes conjuntos sino que puede estar aplicada a un mismo conjunto en los casos que se pida realizar arreglos con todos o alguna parte de sus elementos. Dichos arreglos, sin embargo, pueden ser de dos tipos: cuando se permite el reemplazo (o repetición) y cuando no se repiten.
Arreglos con reemplazo: Se dice que los arreglos son con reemplazo o con repetición cuando después de tomar un elemento éste se puede tomar nuevamente cada vez que se realice otra extracción. Es decir, si se tiene un conjunto A con n elementos diferentes y se realiza una extracción, ésta se podrá hacer de n formas diferentes. Dado el conjunto A = {a1 , a2 ,..., an }, se pide formar arreglos diferentes que contengan k elementos del conjunto en el cual se permite el reemplazo. Por la regla de multiplicación (definición 3.1), esto es equivalente a tener k
conjuntos iguales de los cuales se forman arreglos diferentes que contengan un elemento de cada conjunto, de tal forma que del primer conjunto se tendrán n elementos para escoger uno, del segundo conjunto también n elementos –puesto que se permite la repetición –, sucesivamente k veces, lo que se expresa:
Ejemplos: ¿Cuántos números diferentes de placas se pueden formar con los números dígitos y las letras del alfabeto, si cada placa consta de tres letras y tres dígitos y se permite la repetición? Cada letra del arreglo se puede elegir de 26 maneras, ya que se permite la repetición, al igual que cada dígito del arreglo se puede escoger de diez maneras, por tanto: 26 *26* 26* 10* 10* 10 = * placas diferentes.
26 10
Arreglos sin reemplazo (permutaciones): Los arreglos son sin reemplazo o sin repetición cuando después de tomar un elemento, éste no se puede tomar de nuevo. Es decir, si se tiene un conjunto A1 = {a1 , a2 ,..., an } con n elementos diferentes y se realiza una extracción, ésta se podrá hacer de n maneras diferentes. Sea el elemento tomado a3 , éste ya no se regresa al conjunto teniendo un conjunto A2 = {a1 , a2 , a4 , a5 ,..., an } con n – 1 elementos diferentes, de forma tal que cuando se realice una segunda extracción será de n – 1 maneras. Sea el conjunto A = {a1 , a2 ,..., an }, se pide formar arreglos diferentes que contengan k elementos elegidos del conjunto sin reemplazo. Por la regla de multiplicación, esto es equivalente a tener k conjuntos, de manera que del primer conjunto se tendrán n elementos para tomar uno, del segundo conjunto n – 1 elementos (puesto que no se permite el reemplazo), sucesivamente hasta llegar al k-ésimo conjunto, el cual contendrá (n – (k – 1)) elementos diferentes para tomar uno. Con la regla de multiplicación la cantidad de arreglos diferentes que se puedan formar con los k conjuntos está dada por:
Ejemplo: ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar con los números dígitos y las letras del alfabeto, si cada placa consta de tres letras y tres dígitos si no se permite la repetición? La primera letra se puede elegir de 26 maneras, la segunda las 25 restantes, la tercera 24. En el caso de los números se escogerán el primero de diez maneras, el segundo nueve y
el tercero ocho. Finalmente, por la definición 3.4 y la regla de multiplicación se tiene que la cantidad de arreglos es: (26 *25* 24) (10* 9* 8) = 11 232 000 placas.
Permutaciones con elementos iguales: Para los casos en que se quieren formar arreglos con todos los elementos de un conjunto, entre los cuales existen algunos que son iguales, se tiene que, de forma general, cuando existen n1 elementos iguales, n2 elementos iguales,... y nm elementos iguales, tales que n1 + n2 + ... + nm = n, resulta la cantidad total de ordenamientos diferentes considerando todos los n elementos por ordenamiento.
Ejemplos: 1. Se tienen cuatro computadoras X, tres computadoras Y y tres computadoras W; ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en línea recta? Se tienen en total diez computadoras, de las cuales existen cuatro, tres y tres de cada tipo, por la fórmula 1, se tiene:
10! 4!3!3! 4200
2. ¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra Guanajuato? Aquí el problema es que existen elementos iguales, se tienen tres letras a, dos u y sólo una de las siguientes g, n, j, t y o. Por la fórmula 1, se tiene:
10! 3!2!1!1!1!1!1! 302 400 Combinaciones En la sección anterior se analizaron las permutaciones, arreglos en los que el orden entre sus elementos es de suma importancia, por tanto, la permutación ab es diferente al arreglo ba. En la presente sección se verán los arreglos en los que el orden entre sus elementos no importa, es decir, dado un conjunto de n elementos distintos se desea contar el número de subconjuntos no ordenados de tamaño k. Por ejemplo, dado un grupo de 40 estudiantes, se piden tres alumnos para que representen al grupo. En este caso no es importante el órden de los alumnos.
Dado un conjunto con n elementos diferentes, se llama combinación a cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k. El número de combinaciones de tamaño k que se pueden formar con los n elementos se denota por: Como Ck n representa la cantidad de subconjuntos no ordenados que co representa la cantidad de subconjuntos no ordenados que constan de nstan de k elementos tomados de un total de n, se tiene que en cada una de esas combinaciones se pueden formar k! arreglos diferentes. Por tanto, si Ck n representa la cantidad total de subconjuntos no ordenados formados de k elementos diferentes, k!Ck n representa la cantidad de arreglos diferentes de k elementos tomados de un total n. Como se analizó en la sección 3.3.2, esta cantidad es igual a Pk n , de donde se deduce: Pk n = k!Ck n Despejando se obtiene:
Una diferencia fundamental entre las permutaciones y las combinaciones consiste en que en el orden de los elementos de los grupos escogidos en las combinaciones no importan, sólo se considera la cantidad de elementos en el grupo, mientras que en las permutaciones el orden entre sus elementos es fundamental. Permutaciones ab ba Combinaciones {a, b} = {b, a}. Ejemplos: 1. Se calcula: a) b)
! 120 !!− ! − ! !!− −! 1365
2. ¿Cuántos grupos de dos elementos se pueden formar de un conjunto que contiene cinco elementos? Como en estos casos no importa el orden entre los elementos, con la fórmula 2, se tiene:
2!2! 55! 2! 10
1. ¿En cuántas formas puede la Sociedad de Ingenieros Mecánicos programar a 3 conferencistas en tres diferentes congresos, si los primeros están disponibles en cualquiera de 6 fechas posibles?
¿Se toman todos los elementos ? NO ¿Importa el orden? NO ¿Se repiten elementos? NO COMBINACION SIMPLE
! ! ! 6 36!! 3! 654321 20 321321 2. ¿En cuántas formas diferentes pueden acomodarse 4 focos rojos, 5 amarillos y 3 azules en un árbol de navidad con 12 receptáculos?
¿Se toman todos los elementos ? SI ¿Importa el orden? SI ¿Se repiten elementos? SI PERUTACION CON REPETICION
!!! ! ,, !!! ! 27720 3. Se quiere saber cuántas placas de motocicleta pueden formarse si cada placa consta de 3 dígitos y 3 letras (se tomaran en cuenta 26 letras y 10 dígitos)
¿Se toman todos los elementos ? NO ¿Importa el orden? NO
¿Se repiten elementos? SI COMBINACION CON REPETICION
1 ! 1 1 ! ! 3661 ! 63661 1! 36 36! 750000
4.- En la elección sindical , el Sr. Benito, la Sra. Graciela y la Sra. Julia están postulados para directores. El Sr. Andrés, la Sra. Rebeca y el Sr. Saúl están postulados para subdirector. Elabore un diagrama de árbol que en donde se muestren los resultados posibles y úselos para determinar el número de maneras en que los dos funcionarios sindicales no sean del mismo sexo.
Respuesta
Sr. Andrés (1/3)
Sr. Benito (1/3)
Sra. Rebeca (1/3)
Manera 1
Sr. Saúl (1/3)
Sr. Andrés (1/3)
Presidente y viceprecidente (100%)
Sra. Graciela (1/3)
Manera 2
Sra. Rebeca (1/3)
Sra. Julia (1/3)
Sr. Saúl (1/3)
Manera 3
Sr. Andrés (1/3)
Manera 4
Sra. Rebeca (1/3)
Sr. Saúl (1/3)
Manera 5
Existen 5 maneras posibles de formar la elección sindical sin que las personas sean del mismo sexo.
1.0 100% ;
5.- En un paquete de óptica, hay 6 lentes cóncavos, 4 lentes convexos , 2 prismas y 2 espejos, ¿de cuántas formas podemos seleccionar un lente cóncavo, un lente convexo , un prisma y un espejo de este paquete?
Respuesta Variación simple
! ! 6 ! ! 2 − − −! − −! −! − −! ! ! 4 ! ! 2 − −! − − ! − − ! − − ! ; ;
Como se utiliza el prefijo “y”, nuestros resultados se multiplican, quedando de la siguiente forma: 6x4x2x2 = 96 formas se pueden seleccionar un lente cóncavo, un lente convexo, un prisma y un espejo
6.- En unas vacaciones, una persona quiere visitar 3 de 10 sitios históricos de Yucatán. ¿De cuántas maneras distintas puede planear su viaje si el orden de las visitas no tiene importancia?
Respuesta Combinación simple
! ! 120 − −!! − −!!
maneras distintas puede planearlo
7. Una caja contiene 15 tornillos defectuosos y 30 tornillos buenos, si se seleccionan 8 tornillos en forma aleatoria, ¿de cuantas maneras se puede hacer la selección?, si: a) b) c) d)
No hay restricciones Todos han de ser buenos Todos han de ser defectuosos 3 han de ser defectuosos y 5 buenos
En el inciso A
En el inciso B
! ! 458 45! 978 × 10 458! 1.1.0978
En el inciso C
En el inciso D
! ! 308 30! 598 × 10 308! 2.2.3598 15! !! 158 158! 32432460 ! 5! 720 !!! 3!5!
8. En una fábrica se distribuyen 12 aparatos electrónicos en tres líneas diferentes, con 4 aparatos en cada línea. Si dos de los aparatos son defectuosos, de cuantas maneras se pueden distribuir los aparatos en las tres líneas si: a) Si los dos defectuosos quedan en la línea uno b) Los dos defectuosos quedan en la misma línea
En el inciso A
En el inciso B
! 8! 967680 !̇ ! 4!8! 4! 1 11! 958003200 1! 4!11!
9. ¿De cuantas maneras distintas se pueden asignar a once representantes de servicio para cuatro nuevos clientes corporativos, suponiendo que a cada representante de servicio se le pueda asignar a lo sumo uno de los clientes corporativos?
La respuesta es
! ! 114 11! 114! 7920
11.- Una fábrica produce lámparas eléctricas. En promedio , el 20% de ellas tiene algún defecto. Antes de ser empacadas se revisa cada pieza. El inspector clasifica erróneamente las lámparas el 10% de los casos, es decir; p (sea clasificada erróneamente/la lámpara buena)=p(sea clasificada como bueno/la lámpara con algún defecto)=10% a) ¿qué proporción de las lámparas será clasificada en buen estado? b) Ahora, supóngase que solo se empacan las lámparas que pasan la inspección, los que no la pasan son destruidas, ¿cuál es la calidad de las lámparas empacadas ?
C
B(80%)
D(20%)
CB(90%)
CB(10%)
C
CD(90%)
CD(10%)
a) P(C/B)= (0.80)*(0.90) + (0.20)*(0.10) = 0.74= 74% (0.90*0.80)/0.74=0.9729= 97.29% b) P(B/CB) = [P(CB/B)*P(B)]/ P(CB) = (0.90*0.80)/0.74=0.9729=
12.- El 55.26% de los automóviles de un estacionamiento son de cuatro puertas. Los automóviles blancos son el 21.27% del total, y los automóviles de cuatro puertas escogidos de entre los blancos son el 59.77%. Determine el porcentaje de autos blancos escogidos de entre los de cuatro puertas.
A = Porcentaje de autos de cuatro puertas = 55.26% = 0.5526 B = Porcentaje de autos blancos = 21.27% = 0.2127 A|B = Porcentaje de autos de cuatro puestas que son blancos = 59.77% = 0.5977 P(B/A)= 0.5977*0.2127)/ 0.5526 = 0.2301 P(B|A) = 23.01% 13.- Marvlad (empresa nacional) fabrica video reproductores y compra un circuito integrado, llamado CR25 a tres proveedores diferentes de los cuales 30% son suministrados por Atlántida (empresa nacional ), 20% son suministradas por Snaider (empresa alemana) y 50% por Samsung (empresa coreana). El fabricante de video reproductor cuenta con registros de los tres fabricantes y sabe que 3% de los circuitos integrados de Atlántida están defectuosos, 5% de los circuitos integrados de Snaider son defectuosos y 4% de los circuitos Samsung también son defectuosos. Cuando los circuitos integrados llegan a Marvlad , se colocan directamente en un depósito y no se inspeccionan ni se identifican de acuerdo con el proveedor, un técnico elige uno para instalarlo en un video reproductor y se da cuenta que está defectuoso. ¿Qué probabilidad hay de que el fabricante sea Snaider.
A1- Se compro en Atlántida . A2- Se compro en Snaider. A3- Se compro en Samsung. P(A1)= 0.30 P(A2)= 0.20 P(A3)= 0.50 B1- Circuito defectuoso B2- Circuito no defectuoso
P(B1/A1)= 0.03 Probabilidad que un circuito de Atlántida sea defectuoso. P(B1/A2)= 0.05 Probabilidad que un circuito de Snaider sea defectuoso . P(B1/A3)= 0.04 Probabilidad que un circuito de Samsung sea defectuoso . P(A2/B1)=[P(A2)*P(B1/A2)]/[P(A1)*P(B1/A1)+P(A2)*P(B1/A2)+P(A3)*P(B1/A3)] (0.20*0.05)/[0.30*0.03+0.20*0.05+0.50 20*0.05+0.50*0.04]= *0.04]= 0.2564= 25.64% P(A2/B1)= (0.20*0.05)/[0.30*0.03+0.
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA
UNIDAD AZCAPOTZALCO
UNIDAD 3.PROFESOR: LEMUS ZUÑIGA JUAN CARLOS
MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Integrantes: - BUENDIA CRUZ LUIS ENRIQUE - GONZÁLEZ SILVA CARLOS - GONZÁLEZ VARGAS ALEX GRUPO: 6MV1
Tipos Tipos de suces suces os:
Suceso Elemental
Es cada uno de los elementos que forman parte de nuestro espacio muestral. Ej. En un dado obtener del 1 al 60 2 dados del 2 al 12.
Suceso Compuesto
Es un subconjunto de mi espacio muestral del mismo ejemplo del dado obtener un numero par o número non.
Suceso Seguro
Está formado por todos los componentes del espacio muestral Ej. Obtener un numero natural al lanzar un dado, da una probabilidad de 1004 (NO Hay Condición).
Suceso Imposible
Es aquel que no tiene ningún elemento del espacio muestral Ej. Al arrojar 2 dados obtener un 1 o un 14, existe una probabilidad nula o del 0%. 0%.
Suceso Compatible
Dos sucesos A y B son compatibles cuando tienen como mínimo un elemento de un suceso elemental del espacio muestral. Ej. Obtener números pares y múltiplos de 6 al arrojar un dado.
Suceso Incompatible
Cuando dos sucesos A y B no tienen ningún elemento en común en un espacio muestral obtener un número del 1-6 y del 7-12.
Suceso dependiente
Es cuando la probabilidad de que suceda “A” Se ve afectada por la probabilidad de que suceda o no suceda “B”. Ej. Probabilidad de obtener un 12 dado que ya salió un 6.
Suceso Independiente
(126 ) ( ) 6
Dos suceso A y B son incondicionales cuando la probabilidad de que suceda A no fluye de que
suceda como “B”.
Suceso Contrario
Es aquel que ocurre cuando no ocurre “A” P(A) Probabilidad contraria de A.
P(A)=1-P(A)
Probabilidad de obtener 1 al arrojar un dado
; Probabilidad contrario
Unión De Sucesos
Es la suma de las probabilidades de A y B.
⋃⇾ ⋂⇾
A B P(A) o P (B)=P(A)+P (B)=P(A)+P (B) A B P(A) y P (B)= P(A) x P(B)
P r obabili obabilida dad d de de Lapla Laplace: La Probabilidad de un evento es la probabilidad del suceso esperado entre las probabilidades posibles. Ejemplo:
Laplace
Se extraen 5 cartas de una baraja de ¿Cuál es la probabilidad de extraer 4 aces?
;;;
5
4 X
52
Combinatoria
3 X
51
2 X
50
1
X 49
.P (4 Aces)= .
48
∗
SE extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Encontrar la probabilidad de encontrar 4 ases y un rey.
− 1. 5 310 P (4 Aces y 1 Rey)=
1
Tabl Tabla as de C onting onting encias encias : Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia.
Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades y en la cual pueden determinar unas probabilidades conociendo otras de las tablas.
Ejemplo: Se sorteó un viaje entre 120 mejores clientes de una agencia de automotriz de ellos 65 son mujeres 80 están casados y 45 son mujeres casadas se pide: 1.- ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? 2.- Si del afortunado se sabe que es casado ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer? Estado Hombres Civil Casados 35 Solteros 20 Total 55 P (hombres Solteros)=
Mujeres Total 45 20 65
P (mujeres/casados) = 0.5625
Dia Di ag rama rama de de Árbol Á rbol::
80 40 120
Para la construcción de un diagrama de árbol se partieron poniendo una rama para cada una de las posibilidades acompañando su probabilidad. En el final de cada rama parcial se construye a su vez un nudo del cual parten nuevas ramas según las posibilidades del siguiente paso salvo si el nudo representa una posibilidad final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta que la suma de posibilidades de las ramas de cada nudo ha de dar. Ejemplos: Una clase consta de 6 niños y 10 niñas, si se escoge un comité de tres al azar, ayar la posibilidad de: a) Seleccionar 3 niños P (3 niños)= b) Seleccionar exactamente 2 niñas y 1 niño. P (2 niños, 1 niño)= c) Seleccionar 3 niñas P (3 niñas)=
∗ ∗ 0.214 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0.268 ∗ ∗ 0.0357
niño niña
niño niña niño niña
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire 3 monedas salga: ½x
1/2 c 1/2 C
½C ½X
1/2 x
½C
$
1/2 X
1/2 c
½X ½C
1/2 x
½X ½C
A) TRES CARAS CARAS
× ×
Se tiene una comunidad de 900 individuos de los cuales 300 son desempleados y 600 están empleados de dicha comunidad 500 son hombres y 400 mujeres en donde 460 hombres laboran 260 mujeres no laboran A) si se selecciona una porción al azar calcule la probabilidad que la persona elegida.
( ) 2
HOMBRES MUJERES TOTAL
EMPLEADOS 460 140 600
DESEMPLEADOS 40 260 300
TOTAL 500 400 900
FORMULA:
SE SUMAN
∩ ∩ / / ×
±
() ∩
E 460/500
HOMBRES 500/900 D 40/500 PROBABILIDAD MUJERES 400/900
E 140/400
D 260/400
..
A) PROBABILIDAD DE QUE NO SEAN EMPLEADOS
Se tienen 17 hombres y 20 mujeres de las cuales 5 hombres usan gafas y 8 mujeres usan gafas A) Encontrar la P de que al seleccionar una persona al azar esta sea mujer y use gafas 20/37*8/20=8/37
8/20
Mujer 20/37 Mujer con gafas
20/37*12/20=12/37
12/20 8/17
17/37*5/17=5/37
Hombre 17/37 12/17
17/37*12/17=12/37
× ( ) ∩ ( ) HOMBRE MUJER TOTAL
CON GAFAS 5 8 13
SIN GAFAS 12 12 24
17 20 37
En una huerta hay 1000 árboles de los cuales 760 son de manzana y los demás son naranjas. Los arboles de esta fruta para jugo son 650 (hay 350 de fruta para mesa) y de estas 450 son manzanas. A) Calcular la P de que al seleccionar al azar en el árbol de manzana este sea de fruto pero de jugo B) Si son arboles de manzana manzana ¿Cuál es la probabilidad de que sean de fruta para mesa? T=100 A.M=760 A.N=240
P. JUGO P. MESA
MANZANA 450 310 760
NARANJA 200 40 240
A.S=650 A.M=350 A,J,M=450
9 0.45 (.. ) 20 .) 31 0.4768 (. 76 .) (. ∩∩ ∩∩ () ∩ . ≅ % ( ) ∩ ..
650 350 1000
