El número de kilos por pedido y el valor total a pagar en el año por costos de envío, teniendo en cuenta las condiciones dadas (esta relación corresponde al costo total anual por envío). Sea S: el costo de emitir una orden de compra. (S = $15.000 ) D: la demanda. Medida en unidades por año. (D = 2.500 ) Q: Cantidad de unidades a comprar. La función de costo a pagar por cada año, es igual a:
S∗ D/Q = 15.000∗ 2.500/Q = 37´500.000/Q
El número de kilos de frijol almacenado y el valor total anual por almacenamiento, teniendo en cuenta que entre uno y otro pedido, el promedio de frijol almacenado es de un tercio de la cantidad de kilos por pedido (esta relación corresponde al costo total anual por almacenamiento). Sea: H: Costo de mantener una unidad en inventario por año. (H = $200 ) Q: La cantidad a ordenar. La función de costo asociado a la administración administración del inventario o el mantenimiento mantenimiento del Stock.
H∗ Q/3 = 200∗Q/3 = 200∗ Q/3 El número de kilos de frijol por pedido y el costo total anual para surtir los 2.500 kilos de frijol (esta relación corresponde corresponde al costo total anual). C(Q)= 37´500.000/Q + 200*Q/3 ¿Cuál es el dominio y rango del costo total anual, teniendo en cuenta el contexto dado?
: ∈ / ≠ 0 :: ∈ ∈ − ∞,−10 ∞, −10..00000][10.000,∞ La gráfica de la función de costos es la siguiente.
¿A qué valor tienden los costos totales anuales si el número de kilos frijol por pedido aumenta acercandóse a la cantidad anual vendida? Para responder a esta pregunta, se hace una tabla en Excel, donde se mostrará gráficamente y numéricamente que pasa con el costo cuando la cantidad a pedir (kg) se acerca cada vez mas al valor de la demanda anual.
Costo total anual $200,000 $180,000 $160,000 $140,000 $120,000 $100,000 $80,000 $60,000 $40,000 $20,000 $500
700
900
1100
1300
1500
1700
1900
2100
2300
2500
Cantidad a pedir
Costo total anual
500 700
$ $
108.333 100.238
900 1100
$ $
101.667 107.424
1300 1500
$ $
115.513 125.000
1700 1900
$ $
135.392 146.404
2100
$
157.857
2300
$
169.638
2500
$
181.667
Cada vez que la cantidad de kilogramos pedidos por cada compra, se acerca a la demanda anual (2.500 kilogramos) kilogramos) el costo va v a aumentando como se muestra en la gráfica y como se muestra en la tabla.
¿A qué valor tienden los costos totales anuales si el número de kilos frijol por pedido disminuye significativamente? significativamente? Para responder a esta pregunta, se hace una tabla en Excel, donde se mostrará gráficamente y numéricamente numéricamente que pasa con el costo cuando la cantidad a pedir (kg) se acerca cada vez más a 0.
Costo anual $2,000,000 $1,800,000 $1,600,000 $1,400,000 $1,200,000 $1,000,000 $800,000 $600,000 $400,000 $200,000 $20
Cantidad de unidades a comprar
40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320
Costo anual 20 40
$ $
1.876.333 940.167
60
$
629.000
80
$
474.083
100
$
381.667
120
$
320.500
140
$
277.190
160
$
245.042
180
$
220.333
200
$
200.833
220 240
$ $
185.121 172.250
260
$
161.564
280
$
152.595
300
$
145.000
320
$
138.521
Cada vez que la cantidad de kilogramos a pedir por cada pedido se acerca a cero, el costo anual aumenta, por lo tanto, no es una buena opción disminuir la cantidad de kilogramos que se pide, ya que esto generaría más pedidos y por lo tanto más costo.
A través del concepto de límite límite y su notación algebraica, algebraica, represente represente las respuestas respuestas dadas a los dos item it em anteriores. 37´500.000/Q + 200*Q/3
l→im 37´500. 000 200/ 200/33 = ∞ l→+im 37´500. 000 200/ 200/33 = 0 ¿Cuál es la cantidad de frijol de cada pedido que minimiza los costos totales anuales? Para calcular la cantidad de frijo en cada pedido que minimiza los costos totals se debe deriver la función de costos e igularlo a cero.
Se despeja Q
(37´500. 000 2003 ) = 2003 − 37500000 = 0 37500000 2 00 = 3 = 3∗ 37500000/200 3∗37500000 = √ 3∗37500000 200 = 750
Luego se saca raiz cuadrada en ambos lados, obteniendo:
La cantidad que hay que pedir por cada compra son 750 unidades.
¿Cuál es el costo total anual mínimo que se obtiene? Para calcular el costo total anual, se reeemplaza Q=750, en la función de co sto total.
C(750)= 37´500.000/750 + 200*750/3= $100.000 ¿Cuál es la cantidad de pedidos que se deben realizar anualmente anualmente para que el costo total anual sea mínimo?
La cantidad de pedidos que se deben hacer es igual a la demanda anual dividido por la cantidad a pedir por pedido, osea el valor Q=750 2500/750=3,3333 Se deben pedir 3,333 pedidos anualmente.
Determinar el costo marginal de aumentar en un kilo la cantidad de frijol realizada en cada pedido.
Se sabe que la función de costo marginal es la derivada de del costo total.
´ = (37´500. 000 2003 ) = 2003 − 37´500. 000
Una unidad de mas dentro del pedido, sería aumentar conocer
Realizar la gráfica de la función costo marginal identifcar el intervalo para el cual sus valores son negativos y explicar explicar qué represen representan tan estos valores valores en el contexto dado. A continuación continuación se dibuja la gráfica del costo marginal marginal total de pedido pedido de unidad unidad de product
´ = 2003 − 37´500. 000
La tabla anterior se hizo con ayuda de footplot.com aquí se encuentra que entre 0 y 750, el costo total va disminuyendo, hasta ser el mínimo en 750, y cuando sobre pasa 750, el costo empieza aumentar.
Plantear una expresión matemática que muestre una relación, que sea función entre: -
El número de kilos de frijol por cada pedido y el número total de pedidos realizados. Sea x la cantidad de pedidos hechos por año. 2500 la cantidad de kilogramos que se piden en el año Entonces se tendrá que:
= 2500/
-
Donde f(x) será la cantidad de kilos a pedir por pedido. El número de kilos pedidos por pedido y el valor total a pagar en el año por costos de envío, teniendo en cuenta las condiciones dadas (esta relación corresponde al costo total anual por envío). Sea g(x), la función que describe el costo anual por envío.
= 15. 0 00 = 2500 , , , : : = 2500 , 2500 ó á = 15.000
Se tiene entonces que la relación entre el costo de envío y la cantidad de kilos enviados por viaje es: g(x)= 37.500.000/f(x) -
El número de kilos de frijol almacenado y el valor total anual por almacenamiento, teniendo en cuenta que, entre uno y otro pedido, el promedio de frijol almacenado es de un tercio de la cantidad de kilos por pedido (esta relación corresponde al costo total anual por almacenamiento) almacenamiento) El costo de almacenamiento es de 200 pesos por kilo. Se sabe que la cantidad de kilos que llegan por pedido es de 2500/x, de estos solo se almacenan, en promedio, 1/3 de este. La cantidad almacenada se puede escribir como: la tercera parte de la cantidad pedida, de forma matemática es:
2500 ∗ (13) ℎ = 2500 ∗ (13) ∗ 200 200
A esta cantidad se le multiplica por el costo, quedando, la función costo h(x):
-
El número de kilos de frijol por pedido y el costo total anual para surtir los 2.500 kilos de frijol (esta relación corresponde al costo total anual). Los costos están relacionados con la cantidad pedida por pedido, donde se sumará el costo por envío y el costo por almacenamiento.
ℎ = 15.00000 2500 ∗ (13) ∗ 200 200 = 15.00000 2500 ∗ (13) ∗ 200 200
Se suma g(x) y h(x), teniendo:
La nueva función m(x), que será la función de costos total:
Gráfico de la función. Usando la herramienta de wólfram alpha se tiene la siguiente gráfica.
La primera está en escala de (1:200.000) y la segunda está a escala de (10:500.000) El dominio y el rango son: Dominio x que pertenece a los reales excepto el cero. Rango Todos los y pertenecientes pertenecientes a los reales, definido menores o iguales a -100.000 o mayores o iguales a 100.000
3. Observar la gráfica y luego escribir una inferencia respecto a: ¿A qué valor tienden los costos totales anuales si el número de kilos de frijol por pedido aumenta acercándose a la cantidad anual vendida? Para responder a esta pregunta, se deberá ir disminuyendo el valor de x (cantidad de pedidos) hasta llegar a 1, para así conocer como se comportan los datos.
Cantidad de pedidos
Costo $
166.667
10
$ $
153.519 140.833
9 8
$ $
128.810 117.778
7 6
$ $
108.333 101.667
5 4
$
100.556
3
$
113.333
2
$
181.667
1
Se puede ver que el costo mínimo que se da, es cuando los pedidos son iguales a 3, teniendo un costo total de 100.556 -
A que valor tienden los costos totales anuales si el número de kilos frijol por pedido disminuye significativamente significativamente
Si el número de kilos de frijol por pedido disminuye, es que la cantidad de pedidos hechos aumenta significativamente, es decir, x aumenta. Según la gráfica cuando x aumenta, el costo total aumenta significativamente. -
A través del concepto de límite y su notación algebraica, representar las respuestas dadas anteriormente. Para el caso I
→ = → (15.00000 2500 ∗ (13) ∗ 200) 200) = (→15.00000 200→2500 ∗ (13) ∗20 ∗ 200)0) 15.0002500∗ 3 = 181.666,666 → = → (15.00000 2500 ∗ (13) ∗20 ∗ 200)0) 2500 ∗ (13) ∗ 200 2→ = (→15.000002500 2 00) ) 15.000∗2500 2500 ∗ 300 = 37´500.066,66
Para el caso II
-
4. Hallar la primera derivada de la función de costo total anual y a partir de ella responder. Cual es la cantidad de frijol de cada pedido que minimiza los costos totales anuales.
= 15.000− 500.3000 = 0
Se despeja x, teniendo. x=-10/3 o x=10/3 La respuesta matemática sería, 3.33 pedidos por año, pero esto no es una respuesta para el contexto del problema, por lo tanto se redondea hacia 3. La cantidad de frijol a pedir será entonces 2500/3=833,33 entonces serán dos pedidos de 833 y un pedido de 834, ya que no se pueden pedir 0,33 kilogramos.
3 = (15.000003 25003 ∗ (13) ∗200 ∗ 200)) = $10$100.0.56666 La cantidad de pedidos que se deben hacer en total son 3.
