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Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería 100412_202 - ECUACIONES DIFERENCIALES
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ECUACIONES DIFERENCIALES 100412_202
FASE FASE 1: PLANIFICACIÓN INTRODUI!N " #"$ EU"IONE$ DI%ERENI"#E$& EU"IONE$ DI%ERENI"#E$ DE 'RI(ER ORDEN ) $U$ "'#I"IONE$ "'#I"IONE$
Tutor(a) OR#"NDO *"R+ER
PRESENTADO POR: ,UE"R" ,UE"R" E$"R "U,U$TO ,UE"R" ,UE"R" "#"RE "#"RE "$T"3O ,E"NED
.. 1.0/./. 1.0/ ./.211 211 ..1.0/1.4 ..1. 0/1.40.2 0.255
6ERN"# "RTUNDU"," %"I6ER )O"NN) ,"RON '"8O) '"8O) ,ER$ON 8"(IT* ORTI ,"RI" ED,"R %"6I"N
OD7
.. 1.0.909./2 .. 9./04./0
UNIERI$D"D UNIER I$D"D N"ION"# N"ION" # "6IERT" "6IERT" ) " DI$T"NI"- UN"D E$UE#" DE IENI"$ 6"$I"$& TENO#O,I"$ E IN,ENIERI"$ $E'TIE(6RE 2019
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INTRODUCCION
#a ense:an;a de las ecuaciones di
?eri@entado una gran eAoluciBn& tanto en tCr@inos ?edagBgicos co@o el contenido. #o ue una Ae; se ?udo considerar co@o una cole colecc cciB iBnn de @Cto @Ctodo dos& s& =a aAan aAan;a ;ado do sust sustan anci cial al@ @ente ente con con el ?er e>?erie ienc ncia ias& s& ue ue un recon reconoci ocido do @ate@ @ate@át átic icoo =a deno@ deno@in inado ado conce?tuali;aciBn& e>?loraciBn soluciBn de ?roble@as de di
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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Actii!a! i"!ii!ua# 1$ U"a %cuaci&" !i'%r%"cia# or!i"a# !% T%rc%r or!%" Li"%a# corr%o"!% a: "
( ) dy dx
3
2
x
2
d y dx
2
3
6. x
3
3
.
4
D. c
2
2
d y 2 x 3 J dx
d y 2 x 3 5 dx d y 4 dx
J 9
dy dx 5 K 2
d y 2 dx 9
2
d y dx
2
dy dx J K 0
dy dx J 9 K 1
2
d y 2 dx K 0
R%u%ta: Es la o?ciBn 6
( ) ( ) 4
*$ La %cuaci&" !i'%r%"cia#
2
2
2
d y d y + 3 y + y 3 dydx =5 x corr%o"!% a: 4 2 dx dx
". EcuaciBn di
R%u%ta: orres?onde a una ecuaciBn ordinal de cuarto orden ?or ue el orden de la deriAada @aor en la ecuaciBn es de orden cuartoL es una ecuaciBn di
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ue la ?otencia de
d y 4 dx
4
2
la de
d y 2 d x es 2 la de la Aariable M + es ?ara ser
lineal deben ser 1.
R%o"!a #a r%,u"ta - + . co" /a% a #a i,ui%"t% i"'or0aci&"$ En una I'" del E"D IbaguC del curso de ecuaciones diacta ni lineal& ?odría@os trans?resar co@o una
-$ T%"i%"!o %" cu%"ta #a i"'or0aci&" a"t%rior #a o#uci&" ,%"%ra# !% #a %cuaci&" !i'%r%"cia# 2o0o,3"%a$ * 4 * 5 corr%o"!% a: ". K J 6. e
x y
K
. K D. K 2
R%u%ta: (ulti?licando ?or dx
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Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería 100412_202 - ECUACIONES DIFERENCIALES x
2
2
dy 2 . dx + y dx = xy dx dx 2
x dy + y dx = xy dx
"=ora iguala@os a cero 2
2
x dy + y dx − xy dx =0
Ea#ua0o i % u"a %cuaci&" 2o0o,3"%a 2
2
F ( x , y )= x dy + y dx − xy dx
DeHa@os la
2
F ( tx,ty )= (tx ) dy + ( ty ) dx − ( tx ) ( ty ) dx
Desarrolla@os o?eraciones @ate@áticas ?ara si@?li
2
2
2
2
2 "?lica@os
F ( tx,ty )=t ( x dy + y dx − xy ) dx 2
2
2
F ( tx,ty )=t F ( x , y ) 2
E
f ( x , y ) es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad: F ( tx,ty )=t F ( x , y ) ” 2
6ra!o !% #a %cuaci&"
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Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería 100412_202 - ECUACIONES DIFERENCIALES M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 2
2
x dy +( y − xy ) dx = 0 M ( x , y ) dx =( y − xy ) dx 2
N ( x , y ) dy = x dy 2
#a ecuaciBn es de segundo grado 7 Y Reali;a@os una sustituciBn& ree@?la;a@os y =ux 2
2
x dy +( y − xy ) dx = 0
[
2
]
2
x ( u dx + x du )+ ( ux ) − x ( ux ) dx =0
O?era@os tCr@inos si@?li
3
2
2
2
2
3
2
2
2
x u dx + x du + u x dx − x u dx = 0 x u dx + x du + u x dx − x u dx = 0 3
2
2
x du + u x dx =0 3
2
2
x du =−u x dx 2
du x = dx −u2 x3
du
−u
2
du
−u
2
1
= dx x 1
= dx x
Integra@os
dy =u dx + x du
6
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∫ −udu =∫ x1 dx 2
1
+ c =ln ( x )+ c
u
Ree@?la;a@os las
1
y / x
u=
y x
+ c = ln ( x )+ c
x + c = ln ( x ) + c y
EleAa@os a la Euler ?ara si@?li
e
+ e c =e ln ( x ) x + e c
Resultado x / y
e
= x . c
.$ El tutor durante la I'" le indica a los estudiantes ue en las ecuaciones di
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6. K 1 . K 1 J D. K 0
R%u%ta: x y
e = x . c 1
e 1 =1. c
Resultado e =c
8$ La o#uci&" ,%"%ra# !% #a %cuaci&" !i'%r%"cia# a: 1
". x + ln| y|+ ( y + 1 ) √ y + 1 − 3 y + c =0 2
2
2
2 2 6. x + ln| y|+ √ y + 1 + c =0
1
2
1
2
. x + ln| y|+ 3 ( y + 1 ) + c = 0 2
D. x + ln| y|+ 3 ( y + 1 ) √ y + 1 + c =0 2
2
R%u%ta: dy dx = 2 2 2 −2 xyln ( y ) x + ( y √ y + 1 )
dy dx = 2 2 2 −2 xyln ( y ) x + ( y √ y + 1 ) corr%o"!%
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Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería 100412_202 - ECUACIONES DIFERENCIALES dy −2 xy ln y = 2 2 2 =ecuacion diferencialhomogenea dx x + y √ y + 1
( x + y √ y 2
2
2
+ 1 ) y +2xy ln {y} =0
ecu 1
*alla@os el
(ulti?lica@os toda la ecuaciBn ?or 1 ?or u ( y )
(
)
2
x dy 2 2 xy ln y + + √ y + 1 =0 =e cuaciondiferencialexacta y dx
∫
2
f ( x , y ) = 2 x ln y dx = x ln y + g ( g ) 2 df ( x , y ) d x dg ( y) 2 ( ) = =( x ln y + g g )= + dy dy y dy
x dg ( y ) x + = + y √ y 2+ 1 y dy y 2
2
2
y + 1 ¿ dg ( y ) = y √ y 2 + 1= g ( y ) dg
3 2
∫ y √ y +1 dy = 13 ¿ 2
se sustituye g ( y )
2
y + 1 ¿
3 2
1 3
2
f ( x , y ) = x ln y + ¿
Resultado7 x + ln| y|+ 2
1 2 ( y + 1 ) √ y2 +1 +c =0 3
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dy
9$ A# R%o#%r #a %cuaci&" !i'%r%"cia# sen ( x − y + 1 ) =dx i y ( 0 )= π −1 %# a#or !% #a co"ta"t% ;c< corr%o"!% a: A$ =1 6. 2. 0 . 1 D. 2
R%u%ta: dy =sen ( x − y + 1 ) =sen ( x ) cos ( 1− y ) + sen ( 1− y ) cos ( x ) dx dy = sen ( x ) cos ( 1− y ) dx + sen ( 1− y ) cos ( x ) dx cos ( 1− y )=cos ( 1 ) cos ( y ) + sen (1 ) sen ( y )
sen (1 − y )= sen ( 1 ) cos ( y )− sen ( y ) cos ( 1 ) dy = sen ( x ) cos ( 1 ) cos ( y ) dx + sen ( x ) sen (1 ) sen ( y ) dx + sen ( 1 ) cos ( y ) cos ( x ) dx − sen ( y ) cos ( 1 ) cos ( x ) dx
dy = cos ( y ) ( sen ( x + 1 ) dx ) −sen ( y ) ( cos ( x + 1 ) dx )
y (t )=t + 1−2 atan
y ( 0 )=1− 2 atan
( −−+++ ) t 2 C t C
( )= − 2 + C
C
π 1
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−2 atan
atan
( + )= − 2 C
( )
C
π 2
C
2 + C
C
2 + C
11
= tan
=
− π −2 2
( − )=− π
2
2
0.6421
2= C (−1.6421 )
C ≅− 1
Resultado7
3 3 3 3 >$ La i,ui%"t% %cuaci&" !i'%r%"cia# x ( 2 x −3 y ) dy = y ( 2 x − y ) dx ti%"% co0o o#uci&"
,%"%ra#7
A$
||
−2 −9 ln y =6 ln | x|+ c 3
()
x
y x
−2
y / x y / x e e ( ) ( ) 9 6 − = +c 3
6.
()
.
9 ln
D.
9 (e )
y x
||
y =6 ln| x|+ c x
y / x
=6 ( e ) y / x + c
R%u%ta: 3
3
y ( 2 x − y ) dy = dx x ( 2 x3 −3 y 3)
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4
dy 2 x y − y = dx 2 x 4−3 x y 3
Reali;a@os una sustituciBn 3
'
z x + z =
4
2 x ( xz )−( xz ) 2 x
4
−3 x ( xz )3
4
'
z x + z =
4
2 x z − x z 2 x
4
4
− 3 x 4 z 3
4
4
x ( 2 z − z )
'
z x + z = 4 3 x ( 2−3 z )
(2 z − z 4) z x + z = (2−3 z 3) '
4
z −2 z z x + z = 3 3 z −2 '
4
z −2 z z x = 3 − z 3 z − 2 '
4
4
z −2 z −3 z + 2 z z x = 3 3 z −2 '
− 2 z 4 z x = 3 3 z − 2 '
4
dz − 2 z x = 3 dx 3 z −2
(3 z3 −2) dz dx = x −2 z 4
y ' ' y = xz ; z = ; y = z x + z x
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−1 2
∫
3
3 z
z
[ ∫
−1
−2 4
∫ dx x
dz =
3
]
z dz dz −2 3 = ln / x /+ C 1 4 4 2 z z
[
−1 2
∫
2 −3 3 ln ( z ) + z 3
]=
ln / x /+ C 1
¿ x /¿+ c 1 −3
1 −3 ln ( z ) − z =ln ¿ 2 3
Reali;a@os el ca@bio
¿ xz; z=
y x
¿ x /¿+ c 1 −3
−3
() ()=
1 y y ln − 2 3 x x
ln ¿
(ulti?lico ?or 9 toda la ecuaciBn
¿ x /¿+ 6 c 1 −9 ln
()
y 2 − −3 =6 ln ¿ x y x
C =6 c 1
()
Reali;a@os el ca@bio luego
Resultado7
¿ x /¿+ C −9 ln
()
y 2 − −3 =6 ln ¿ x y x
()
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Este ti?o de ?reguntas consta de un enunciado& ?roble@a o conte>to a ?artir del cual se ?lantean cuatro o?ciones nu@eradas de 1 a 4& usted deberá seleccionar la co@binaciBn de dos o?ciones ue res?onda adecuada@ente a la ?regunta @arcarla en la =oHa de res?uesta& de acuerdo con la siguiente in
?$ E# %tu!ia"t% u%!% a'ir0ar @u% #a Ecuaci&" !i'%r%"cia#
2
( )
2
d y dy e +2 =1 % u"a 2 dx dx y
%cuaci&" !i'%r%"cia# or!i"a# No #i"%a# or@u%: y 1. #a segunda deriAada de?ende de e
2. # ecuaciBn di
B$ 1 + - o" corr%cta$ . 2 4 son correctas. D. 4 son correctas.
R%u%ta: $e @arca la o?ciBn 6& ?orue ?ri@ero la ecuaciBn es no lineal debido a ue la ?ri@era deriAada esta al cuadrado el coe
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$ Teniendo en cuenta ue el ?ri@er @Ctodo de solucionar una ecuaciBn di
dy =f ( x ) g ( y ) dx
al se?ararlas
dyg ( y )= dxf ( x ) & se integra se ?uede llegar a la soluciBn general& =a ocasiones ue se
reuiere una trans
tCr@inos
de
>&
dy
dx =f ( x , y )
dy =f ( u ) donde u es una e>?resiBn en dx
dy =f ( u ) , dondeu esuna expresión enterminos de x , y dx
auto@ática@ente se conAierte en Aariables se?arables.
Co" /a% a #a a"t%rior i"'or0aci&" %# 03to!o 0 aroia!o + #a o#uci&" ,%"%ra# !% #a 2 2 2 2 %cuaci&" ,%"%ra# dx =( x y + x + y +1 ) dy corr%o"!%" a:
1. Trans
x + 1 ¿ . y + 1=ce x −2 x ¿ 2
4
y + 1 ¿ 4. x 2+ 1 =ce y −2 y ¿ 2
A$ 1 + * o" corr%cta$ 6. 1 son correctas. . 2 4 son correctas. D. 4 son correctas.
R%u%ta: Es una ecuaciBn ue se ?uede resolAer ?or @edio de se?araciBn de Aariables
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 o@o7 x y + x + y + 1 = x ( y + 1 ) + ( y + 1 )=( x + 1)( y + 1 )
$e describe la ecuaciBn di
2
dx =( x + 1 )( y + 1) dy
Esta es una ecuaciBn de Aariable se?arable& se se?aran las Aariables7 dx 2
x + 1
=( y2 + 1 ) dy
Desarrollando la integral
∫ xdx+1 =∫ ( y +1 ) dy 2
2
arctanx=
y
3
3
+ y + C
Resultado7 y
3
3
+ y + C
x =tan ¿
1$ T%"i%"!o %" cu%"ta #o 03to!o !% o#uci&" !% #a %cuacio"% !i'%r%"cia#% !% ri0%r or!%"
%#
03to!o
aroia!o
!%
o#uci&"
!%
#a
( x + e x seny + y ) dx =1 + u o#uci&" ,%"%ra# corr%o"!%" a: −( 3 x y + e x cosy + y ) dy 3
3
2
4
1.
x + y
4
+ e x cosy+ x y 3= c
4 4
2.
3
x + y
4
4
. E>actas
+ e x seny + x y 3 =c
%cuaci&"
!i'%r%"cia#
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4. %actor integrante ". 1 2 son correctas. 6. 1 son correctas. . 2 4 son correctas. D. 4 son correctas.
* + - o" corr%cta FEsta o?ciBn no se encuentra en las o?ciones establecidas anterior@ente& se co@?robB nueAa@ente el eHercicio dando nueAa@ente estas o?cionesG
R%u%ta:
( x + e x seny + y ) dx + ( 3 x y +e x cosy + y ) dy = 0 3
3
3
x
2
M = x + e seny + y
3
x
2
3
N =3 x y + e cosy + y
3
o@o7 x
2
M =e cosy + 3 y y
N = 3 y2 + e x cosy !
ObserAa@os ue7 M N = y !
Es una ecuaciBn diacta
$e integra ( res?ecto a P ?er@itiendo constante7 x
F =
4
4
+ e x seny + y 3+ " ( y )
$e deriAa % res?ecto a 7
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F x =e cosy + 3 x y 2 + " ' ( y ) y x 2 2 x 3 $e iguala con N ?ara ue se cu@?la7 e cosy + 3 x y + " ( y )=3 x y + e cosy + y
$e tiene7 " ( y )= y '
" ( y )= y
3
3
Resultado7 4
x + y 4
4
+ e x seny + x y 3 =C
Pri0%ra actii!a! 6rua#: onductiAidad del @aterial. 6aHo ciertas condiciones la cantidad constante Q caloríassegundo de calor ue ?asa a traACs de una ?ared está dada ?or.
# =−
%$ d& dx
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Donde S es la conductiAidad del @aterial& F2G es la su?erFc@G de esa cara& de au@enta. *allar el n@ero de calorías ?or =ora del calor ue ?asa a traACs de F12G de la ?ared de una =abitaciBn terior es de 5.
So#uci&" Des?eHa@os d& d& =
−#
%$dx
$ea x la distancia a ue está de la cara e>terior un ?unto interior de la ?ared Integra@os la ecuaciBn& los lí@ites del lado i;uierdo de la ecuaciBn serán los Aalores de te@?eratura de la cara interior de la cara e>teriorL los lí@ites del lado derec=o de la ecuaciBn será el es?esor de la ?ared −5
125
75
0
∫ d& =∫ −$%# dx $aca@os la constante de la integraciBn de
125
∫ d& = −# ∫ dx 75
%$0
ResolAiendo las integrales tene@os
[ & ]−755= −# [ x ]125 0
%$EAaluando los lí@ites
[ 75−(−5 ) ]= −$%# [ 0 −125 ]
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Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería 100412_202 - ECUACIONES DIFERENCIALES 80= 125
20
#
%$o@o nos ?iden =allar el n@ero de calorías ?or =ora& des?eHa@os # de la ecuaciBn #=
80 $% 125
m 1¿
¿
100 cm ¿
2
¿
$abe@os ue
$ =0,0025
el Aalor de " en centí@etros cuadrados es
ree@?la;ando los Aalores #=
80 ( 0,0025 )( 10000 cm
#=16
2
)
125
cal seg
'ero co@o nos ?iden es calorías ?or =ora entonces #=16
cal 3600 sg . sg 1 hr
Resultado7 #=57600
cal hr
1m
¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ % =¿
&
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S%,u"!a actii!a! 6rua#: $e sabe ue la ?oblaciBn de cierta co@unidad au@enta& en un instante cualuiera& con una ra?ide; ?ro?orcional al n@ero de ?ersonas ?resentes en dic=o instante. $i la ?oblaciBn se du?lica en 5 a:os& cuánto de@orará en tri?licarseV& uánto de@orará en cuadru?licarseV
So#uci&": : ?oblaciBn de la co@unidad en el ti?o t 0 7 'oblaciBn inicial& en
t =0
t 7 Tie@?o& en a:os dp dt 7 Ra?ide; con la ue au@enta la ?oblaciBn $ > 0 7 onstante de ?ro?orcionalidad
De tal @odo ue7 dp dp = $ ⇔ =$dt ⇔ ln= $t + c 1 ⇔ =c e$t ( 1 ) dt t 0= ( 0 ) ( 2 )
$ustituendo (*) en (1) o?te@os el Aalor de la constante c: 0=c e
$ ( 0 )
⇔
c = 0 ( 3 )
= 0 c e ( 3 ) en ( 1 )( 4 ) $t
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Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniería 100412_202 - ECUACIONES DIFERENCIALES t =5 =2 0
}
'oblaciBn se du?lico en cinco a:os
5 $
⇔
F5G
( 3 ) en ( 1 )
5 $
2 0= 0 e
2= e
22
5 $ =ln 2 ⇔ $ ( 0.13863 ( 6 )
#a
0.13863 t
(7)
uando la ?oblaciBn se tri?lica& FG ueda7 3 0= 0 e
0.13863 t
⇔
3 =e
0.13863 t
⇔
0.13863 t = ln 3 ⇔ t =
1.09861 ⇔ t =7.9 0.13863
uando la ?oblaciBn se cuadri?lica& FG seria 0.13863 t
4 0= 0 e
⇔
0.13863 t =ln 4 ⇔ t =
1.38629 ⇔ t =10 0.13863
R%u%ta: #a ?oblaciBn se tri?licará& a?ro>i@ada@ente a los . a:os se cuadru?licara a los 10 a:os
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CONCLUSIONES
#ogra@os a?licar los conoci@ientos aduiridos de la Unidad 17 Ecuaciones di?resan eAoluciBn& trans
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BIBLIOGRAFÍA
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