Trabajo Colaborativo 3 Métodos Numéricos

Aporte Individual Momento 3 100401 – Métodos Numéricos Oscar José Ramírez Cardona Grupo N° 12

MÉTODOS NUMÉRICOS

Trabajo Momento 3

Presentado por: OSCAR JOSÉ RAMÍREZ CARDONA - Cód.: 79810115 RODOLFO DANIEL BOGOTA BOGOTA - Cód.: 79976308 799 76308 CHRISTIAN EDUARDO TORRES - Cód.: 79992506 CAMILO EDUARDO MORALES - Cód.: WILSON BERNARDO PULIDO ROBAYO ROBAYO - Cód.: 79850780.

Tutor JOSE ADEL BARRERA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA INGENIERIA DE SISTEMAS Noviembre de 2014


Introducción Con el presente documento se pretende dar a conocer los conocimientos y destrezas adquiridas

con la manipulación, lectura y tratamiento que se le dio a la UNIDAD 3 “DIFERENCIACIÓN EINTEGRACIÓN NUMÉRICA, Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES” del módulo de Métodos Numéricos de la UNAD. Para tales fines fue necesario el conocimiento de temas como: Fórmulas de diferencia, Las reglas de Trapecio, Reglas de Simpson, Integración de Romberg, Método d e Euler, Método de Runge Kutta, Métodos Multipasos y otros conceptos que se encuentran en cada uno de los temas de ésta unidad. Es necesario tener estos conceptos claros para la buena complementación y desarrollo de las actividades propuestas, además es importante la aplicación de estos conocimientos en la solución de los problemas cotidianos.


Objetivo    

Estimar valores funcionales a partir de cierto número de datos iniciales. Mejorar el manejo de los conceptos de Métodos numéricos ya que a través de ellos podemos resolver una gran variedad de problemas matemáticos. Identificar los diversos métodos para la integración por métodos iterativos. Distinguir las diferentes implicaciones que tienen los métodos de integración: toma de intervalos y número de operaciones.


Desarrollo de la Actividad Fase 1 Calcular la integral a la función plantada f(x) = 1/(1+x) en el video de la unidad 3 métodos Simpson 1/3 con (n=6) utilizando los siguientes métodos:

Regla del Trapecio Vamos a usar la regla del trapecio, basados en la siguiente fórmula:

  = ∫   =  2      2  2  ⋯ ⋯  22−   Teniendo en cuenta los valores de x y f(x) para (n=6) (n =6) n

 

0 0

1 1/6

2 1/3

3 1/2

4 2/3

5 5/6

6 1

1

6/7

¾

2/3

3/5

6/11

1/2

Nuestra fórmula quedaría:

  = ∫   =  2      2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  

Remplazando por los valores de la tabla:

 0 [  ≈ 126 [0  2( 2 (16)  2( 2 (13)  2 (12)  2 (23)  2( 2 (56)  1]  0 [1 6 )  (1)]  ≈ 126 [1  2 (67)  2 (34)  2 (23)  2(35)  2 (11 2  ≈ 121 1 1,7142  1,5 1,3333  1,2 1,0909 0,5 0,5  ≈ 0,833 0,8338,3385 385  ≈ 0,6948 0,6948


Regla de Simpson 3/8 Usando la regla de Simpson 3/8, basados en la siguiente fórmula:

  2 )  = ∫   =  8  [ [  33 (23 )  3( 2 3

]

Teniendo en cuenta que (n=6) vamos a hacer la siguiente tabla para hallar f(x), teniendo en cuenta que

 =    ∗ ℎ

n

 

0 0

1 1/6

2 1/3

3 1/2

4 2/3

5 5/6

6 1

1

6/7

¾

2/3

3/5

6/11

1/2

Teniendo esto en cuenta vamos a iniciar el desarrollo de la fórmula

 ) 3(  2)  ]  =  8  [ [  33 (23 3 20 1)  3 (0  21 21)  1]  = 0 8 1 [0  33 (20 1] 3 3  = 18 [1  33 (13)  3 (23)  12]  = 18 [1  3( 3 (34)  3(35)  12]  = 0,125 251  2,2 2,255  1,8  0,5  = 0,125 255,555  ≈ 0,69375


Fase 2 Realizar un cuadro comparativo entre los tres métodos y establecer la repuesta de mayor exactitud. (Sobre algunas dudas en la guía del trabajo colaborativo momento 3, quiero aclararles que para la fase 2 el cuadro comparativo entre los tres métodos y establecer la respuesta de mayor exactitud, se utiliza: Regla del trapecio, Regla de Simpson e integración de Romberg) Antes de hacer el cuadro comparativo, vamos a realizar el ejercicio por algoritmos de Romberg. Para resolver por medio de los algoritmos de Romberg, debemos tener en cuenta las siguientes fórmulas: Primero que todo la regla del trapecio:

 = ∆2       2Σ      Δ =    Donde: a=límite inferior b=límite superior n=subintervalos = primer valor = último valor = suma de los valores dentro del intervalo

  Σ

Para obtener cada nivel usamos la fórmula:

4− ∗ ℎ  1 ∗ 4−  1 4−  1 ∗ ℎℎ Donde h2 es la iteración de mayor exactitud y h1 la de menor exactitud, se dice que la exactitud es mayor cuando tenemos mayor número de iteraciones, lo que nos proporciona más fuentes de datos.


Resolviendo las iteraciones por la fórmula de trapecios tenemos: a 0

i 1

b 1

x

pr i mer o 1

úl ti mo 0 ,5

nivel 1 f(x ) ∆x

0

1

1

0, 0,5

1

 ∫ 1+  n trape trapecio cio 1

ni vel 2 0 ,7 5

4  ℎ  − 1 (ℎ) 3 316 1 (ℎ)  ℎ −  15 15 64  ℎ  − 1 (ℎ) 63 63 256  ℎ  − 1 (ℎ) 255 255 nivel 3

i

x

f(x )

∆x

n

0

1

0 ,5

2

1 2

0 ,5 1

0 ,6 6 6 7 0 ,5

i

x 0

f(x ) 1

0 ,3 3 3 3 0, 0 ,6 6 6 7 1

0 ,7 5 0 ,6 0 ,5

0 ,6 9 4 4

ni vel 4

0 ,7 0 8 3

0 ,6 9 7 4

0 ,6 9 7 2

1 2 3

∆x

0 ,3 3 3 3

n 3 0 ,7

0 ,6 9 5 9

0 ,6 9 6 0

0 ,6 9 6 0 i

x

f(x )

∆x

n

0 0 ,2 5

1 0 ,8

0 ,2 5

4

1 2

0 ,5

0 ,6 6 6 7

3 4

0 ,7 5 1

0 ,5 7 1 4 0 ,5

0 ,6 9 7 0

0 ,6 9 5 1

0 ,6 9 5 1

0,6952 x

f(x )

∆x

n

0 0 ,2

1 0 ,8 3 3 3

0 ,2

5

1 2

0 ,4

0 ,7 1 4 3

3 4 5

0 ,6 0 ,8 1

0 ,6 2 5 0 ,5 5 5 6 0 ,5

i

x

f(x )

∆x

n

0

1

0 ,1 6 6 7

6

1

0 ,1 6 6 7

0 ,8 5 7 1

2 3

0 ,3 3 3 3 0,50 0,5000 00

0 ,7 5 0,66 0,6667 67

4

0, 0 ,6 6 6 7

0 ,6

5

0,83 0,8333 33

0,54 0,5455 55

6

1, 1 ,0 0 0 0

0 ,5

0 ,6 9 5 1

0 ,6 9 5 6

0 ,6 9 4 6

0 ,6 9 4 6

0 ,6 9 4 9

ni vel 6

1024  ℎ  − 1 (ℎ) 1023 1023 0 ,6 9 4 6

0 ,6 9 4 6

0 ,6 9 4 6

i

ni vel 5


Ahora podemos proceder a comparar los resultados de los tres métodos.

Simpson 1/3 (vídeo)

Regla del Trapecio

Simpson 3/8

Integración de Romberg

0,6931

0,6948

0,6937

0,6946

Con base en los resultados obtenidos, podríamos decir qu e el método que nos n os da la respuesta de mayor exactitud (tomando como referencia la dada en el vídeo por Simpson 1/3) es la de Simpson 3/8. Aunque en lo personal pienso que la respuesta más ex acta de las 4 es la obtenida por Integración de Romberg, pues tenemos mu chos más datos lo que nos da una mayor aproximación que en los otros casos. METODO

REGLAS TRAPEZOIDALES.

REGLADE SIMPSON

METODO ROMBERG

La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de NewtonCotes.Corresponde Cotes.Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación es de primer orden

Una forma evidente de mejorar la aproximación de numérico , el Método de Romberg genera Romberg genera una una integral es con una mejor aproximación para el En análisis numérico, matriz triangular cuyos elementos son estimaciones integrando ƒ(x). Esto se puede lograr con un numéricas de la integral definida siguiente: definida siguiente: polinomio de grado 2

Richardson de forma reiterada usando la extrapolación de Richardson de N O I C I N I F E D

En donde f1(x) corresponde a una línea recta que se representa como:

Considérese la función ƒ( x x ) en el intervalo [ a , b ] y x 0 = a , x 1 = x 0 + h , x 2 = b , donde

El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b:

Con los puntos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)) y(x2, ƒ(x2)) se construye el polinomio de Lagrange de grado 2,

El resultado de la integración es:

ahora

en la regla del trapecio. trapecio . El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el

IT[ h] IT[h / 2]

I S[ h / 2]

IT[h / 4]

I S[ h / 4]

I R [ h / 4]

IT[h / 8]

IS[ h / 8]

IR [ h / 8]





La integral del polinomio se resuelve resuelve por partes y resulta:

I S [h]

CARACTERISTICAS

La regla del trapecio es exacta para funciones lineales ( f f ( x x ) = mx + c ) ya que el término de error contiene f'' ( z z )

La regla de Simpson es exacta para funciones polinómicas de grado menor o igual a 3, ya que el error contiene

yeste caso f'' x( x ) = 0 yel error sería cero. Una manera de mejorar la aproximación de una integral definida de una función f en un intervalo [a ,b ], consiste en dividir el intervalo [ a ,b ] en varios subintervalos yaplicar en cada subintervalo la regla del trapecio o la regla de Simpson. Estos métodos se conocen como regla compuesta o extendida endida del trapecio y de Simpson respectivamente. respectivamente.

IQ[ h / 8]





4 I T [h] I T [2h] 



3

No obstante que las condiciones de la proposición 1 son sumamente generales, no setiene garantía de que, al aplicar los métodos usualmente conocidos para resolverintegrales, se pueda encontrar la antiderivada de una función f(x) cualquieranecesaria para obtener la integral definida. El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg,la cual es una fórmula recursiva.

Los métodos de Trapecios, Simpson y Romberg permiten estimar la integral con error de orden n 2, n4, n,… . Usan nodos equiespaciados, incluyendo los extremos del intervalo. Son casos particulares de Newton-Cotes

Aporte Individual Momento 3 100401 – Métodos Numéricos Oscar José Ramírez Cardona Grupo N° 12 Método de Euler

DEFINICION

Es un Procedimiento de Integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial Dado. El método de Euler es el más simple de los Métodos Numéricos para Resolver un Problema del siguiente tipo

Pvi

 = ∫(, ) Y(x )=y o

o

Método de Runge Kutta

Método Metapasos

Son un Conjunto de Métodos genéricos interactivos, explícitos E implícitos de resolución Numérica de Ecuaciones Diferenciales El Método RK (de orden∞) tiene la siguiente expresión en su forma más general:

Son llamados Métodos de un paso porque la aproximación de la solución en el punto i 1 de la malla se obtiene con información proveniente de la aproximación obtenida en el punto i Un método metapasos De p paso para resolver un problema

Yn+1 = yn + h

∞  =1

Y(x1)=?

En lo métodos de un paso se Método de un paso se calcula -Método de paso calcula cada valor sucesivo cada valor sucesivo en yn + 1 Método en varios pasos SEMEJANSAS de yn+1 solo con base en solo con base en información Método de predictor y Corrector. información acerca del valor Acerca del valor inmediato inmediato Un método en varios pasos calculados con Y DIFERENCIAS inmediato anterior a yn anterior a yn anterioridad para obtener obtener el valor de yn + 1 hay numerosas formulas aplicables en la aproximación de soluciones de Aplicaciones Diferenciales. Diferenciales. A medida que dividimos el Suelen usasen por su exactitud y Solo necesita una evaluación de función por tamaño del paso H los errores facilidad de Programación paso también se disminuyen en Esto puede originar grandes en tiempo y Costo VENTAJAS aproximadamente la mitad en Determinar las condiciones de orden es mucho un método sencillo de más sencillo implementar dependiendo del Para un método lineal Multi paso que para un grado de precisión que se dice método de Runge kutta el h puede ser muy pequeño . Tiene errores Grandes Sobre3 Una de sus Mayores desventajas Es importante asegurar que el método de un todo cuando la pendiente es que el lado derecho de la paso con el que generan los valores instantánea es decir la f unción ecuación diferencial debe iniciadores sea también consistente con el f(x,y)x.ese Método Considere evaluarse que la pendiente calculada de El mismo orden Aunque el error de DESVENTAJAS lado Izquierdo del x Muchas veces en cada etapa Truncamiento, tanto con el método de AdamsEs la misma para cada Bashforinh de cuatro pasos como el método intervalo. Una mejor de Adeams.Multohom de Tres pasos es de Aproximación a esta pendiente pendiente igual orden al de Runge Kutta será considerada no solo el punto inicial sino el promedio 4 Este es más Preciso del inicial y el final el método que utiliza esta aproximación es el método de EULER Modificado. Solución de un Problema Diferencial de Segundo Este Metodo se aplica para Su uso es co0mun tanto en Orden con retardo. encontrar la solución a las ciertas Aplicaciones como en Resuelven Problemas de valor Inicial. USOS ecuaciones Diferenciales ciencias Fundamentales como Estos Métodos sirven para mejorar la Ordinarias (EDO) Esto es son la Física la Química Biología Aproximaciones Obtenidas con los métodos métodos cuando la función involucra solo o Matemáticas. explícitos. una Variable independiente


MAPA CONCEPTUAL


MAPA CONCEPTUAL MÉTODOS ITERATIVOS EMPLEADOS EN LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE VALOR VALOR INICIAL


Fase 4: Evaluar los diversos métodos para los valores aproximado de ecuaciones diferenciales con valor inicial ecuación. Aplicar el método de Runge-Kutta de orden cuatro para obtener la aproximación y (0,8) a la solución del siguiente problema de valor inicial, c on h=0,2

Para resolver por el método de Runge - Kutta,debemos tener en cuenta las siguientes fórmulas.

+ =   16   2  2   ∗ ℎ  = ,    = (  (  ℎ2 ;   ℎ ∗2)  = (  (  ℎ2 ;   ℎ ∗2)  =   ℎ;   ℎ ∗ ∗ 

 =  −   + 1 K1

x0

0

y0

0,25

h

0,2

K2

K3

iteraci ón

X

K4

Y

0

0

1

0,2

1,25

1,3650

1,3765

1,4853

0,524

2

0,4

1,4839

1,5823

1,5922

1,6824

0,841

3

0,6

1,6811

1,7592

1,7670

1,8345

1,193

4

0,8

1,8334

1,8867

1,8921

1,9318

1,571

0,25


Conclusiones Alcanzamos manejo y destreza en la diferenciación numérica, integración numérica y ecuaciones diferenciales con métodos numéricos. Complementamos las dudas e inquietudes referentes a esta unidad, resaltando su importancia en el campo de las matemáticas. Adquirimos conocimientos para diferenciar numéricamente funciones con datos tabulados o mediante curvas determinadas en forma experimental.


Bibliografía Bucheli Chaves, Carlos Iván (2013): Curso Académico Métodos Numéricos. Numéricos. Pasto, Nariño. Chapra C., Steven; Canale, Raymond P. (2007): Métodos (2007): Métodos Numéricos para Ingenieros. Ingenieros. México.

http://www.ma3.upc.edu/users/carmona/teaching/clases/0809/trabajos/metodo%20biseccion.pdf EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN<< http://www.monografias.com/trabajos43/metodo-biseccion/metodo-biseccion.shtml http://matematica.laguia2000.com/general/metodo-de-la-regla-falsa

Trabajo Colaborativo 3 Métodos Numéricos

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