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Gérard Mbobda Note de cours de construction mécanique Chapitre 2 Les systèmes à bielles et manivelles

LES SYSTEMES A BIELLES ET MANIVELLES

Supports de cours : - Texte Schémas [2] i) définition des éléments principaux des systèmes à bielles et manivelles ii) courbes des espaces, des vitesses et des accélérations du pied de bielle iii) forme des bielles iv) Montage des bielles v) Pistons et glissières vi) Vilebrequins et manivelles - Plan de cours I. FORMULE DE STRUCTURE DES MECANISMES 1. Définition des chaînes cinématiques I.1. Liaisons élémentaires et liaisons simples 1.2. Liaisons composées et liaisons équivalentes 1.3. Couples cinématiques et schémas cinématiques 1.4. Schéma cinématique 1.5. Degré de liberté et de liaison li aison d’un solide dans un mécanisme 1.6. Etude de la mobilité d’un système mécanique 1.6.1. Notion d’Indice de mobilité a) Formule a) Formule de Maleushev b) Formule de Tchébychev-A Tchébychev-Artobolevski : mouvements purement plans ou purement sphériques c) Formule de Dobrovolsky: quatre restrictions générales imposées au mécanisme 1.6.2. Mobilité utile et mobilité interne (ou locale) 1.6.3. Degré de statisme d’un mécanisme 1.6.4. Définition du degré de mobilité d’un mécanisme a) Liaisons surabondantes b) Mobilité locale (indépendante ou superflue) 1.7. Exemple 1.8. Mobilité locale (indépendante ou superflue) 2. Analyse de la mobilité des mécanismes 2.1. Graphe des liaisons du mécanisme Définitions a) Le Graphe Graphe des liaisons du mécanisme b) Notion de nombre de cycles 2.2. Approche cinématique a) Nombre d’équations scalaires issues des équations de fermetures cinématiques b) Nombre d’inconnues cinématiques issues des des équations équations c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme d) Définition du degré de mobilité mobilité m du mécanisme e ) Définition du degré de statisme du mécanisme f) Relation entre les indicateurs de la mobilité 1


g) En résumé 2.3 Approche dynamique a) Nombre d’équations scalaires issues des équations d’équilibre des éléments mobiles b) Nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles issues des équations c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme d) Isostatisme hyperstatisme e) Définition du degré de mobilité m du mécanisme f) Définition du degré de statisme du mécanisme g) Relation entre les indicateurs de la mobilité h) En résumé II. ETUDE GENERALE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE 1. La bielle 2. La manivelle 3. La coulisse III.

SYTEME BIELLE BIELLE MANIVELLE COURANT COURANT [3] 1. Fonction 2. Emploi 3. Composition 4. Etude cinématique 4.1. Courbe des espaces du pied pied de la bielle a) Recherche du CIR de la bielle I est le point point d'intersection des normales ou trajectoires: 5. Etude des forces 6. Construction du système bielle manivelle manivelle courant 6.1. Bielle 6.2. Manivelle 6.3. Vilebrequin 6.4. Piston 6.5. Coulisseau et glissière 7. Etude des liaisons 7.1. Assemblage bras-maneton 7.2. Assemblage poignée tournante-manivelle 7.3. Assemblage bielle-manivelle (voir chapitres " Guidage en rotation et Articulation ")

IV.

EQUILIBRAGE DES MACHINES ET DES MECANISMES ME CANISMES SUR LA FONDATION [1] 1. Position du problème 2. Classification des cas de déséquilibre des systèmes mécaniques 3. Equilibrage des rotors 4. Classification de cas de déséquilibre des rotors. 4.1. Le 4.1. Le déséquilibre statique 4.2. Le déséquilibre des moments

2


4.3. Le déséquilibre dynamique V. METHODES GRAPHIQUES D’INTEGRATION DIFFERENTIATION DES COURBES [2] 1. Différentiation graphique 1.1. Position du problème 1.3. Unité de l’échelle 1.4. Méthode des cordes 1.5. Echelle des courbes obtenues 2. Intégration graphique VI.

ET

DE

METHODE ANALYTIQUE DE CALCUL DES FONCTIONS DE TRANSMISSION DES MECANISMES PLANS, APPLICATION AU SYSTEME BIELLE MANIVELLE COURANT 1. Exemple N°1 : Système bielle manivelle 2. Exemple N°2 : Mécanisme à quadrilatère articulé 2.1. Etude analytique 2.2. Recherche des vitesses 2.3. Recherche des accélérations angulaires  4 et  3 3. Exemple N°3 : N°3 : Mécanisme à coulisse

VII. SYNTHESE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE [4] 1. problème 2. Exemple ETUDE GRAPHO-ANALYTIQUE 1. Epure de vitesses et des accélérations 1.1. Définition 1.2. Construction de l’épure des vitesses 1.3. Construction de l’épure des accélérations 1.4. Formules de construction 2. Exemple 1 : Système bielle manivelle courant 3. Exemple 2 VIII.

IX. METHODE VECTORIELLE D’ANALYSE CINEMATIQUE DES MECANISMES PLANS ET TRIDIMENSIONNELLES, APPLICATION AU MANIPULATEUR DE ROBOT [2] Exemple 1 : Exemple 2 : Exemple 3 : REFERENCES

3


FORMULE DE STRUCTURE DES MECANISMES 1.

Définition des chaînes cinématiques

1.1. Liaisons élémentaires et liaisons simples On définit comme surfaces élémentaires le plan, le cylindre et la sphère. Nous entendrons par liaison élémentaire une liaison définie entre deux surfaces élémentaires él émentaires en contact. Ainsi, on distinguera : les liaisons appui plan, pivot glissant, rotule, linéaire rectiligne, ponctuelle, linéaire annulaire. Les liaisons encastrement (liaison totale ou complète), pivot (formée par une association de liaisons pivot glissant et appui plan), glissière (association de liaisons élémentaires) et glissière hélicoïdale forment avec les liaisons élémentaires un ensemble de liaisons dites simples représentées conventionnellement par des symboles normalisés. 1.2. Liaisons composées et liaisons équivalentes Un certain nombre de pièces liées entre elle par des liaisons simples peuvent être utilisées pour produire un effet équivalent à une liaison simple entre deux solides. Ainsi dans un schéma cinématique, un élément ne correspond pas toujours à une pièce, mais quelquefois à un groupe de pièces : un roulement par exemple est formé au minimum de plusieurs éléments roulants et de deux bagues, mais ensemble tous ces éléments réalisent une seule des trois liaisons simples que sont les liaisons pivot, pivot glissant et rotule. 1.3. Couples cinématiques et schémas cinématiques Un couple cinématique est cinématique est un ensemble de deux éléments (ou pièces) mobiles en contact. Parallèlement aux liaisons dites simples, on distingue les couples cylindriques, sphériques, plans, annulaires,… Une chaîne cinématique est cinématique est un ensemble de pièces en contact l’une avec l’autre. Pour tout système mécanique, le bâti est l’ensemble des pièces qui forment un système rigide et immobile. Chaînes élémentaires, chaînes composées composées : une chaîne cinématique est dite élémentaire lorsque chacun de ses éléments ne forme que deux couples cinématiques au maximum avec les autres éléments de la chaîne, ou composée s’il existe des éléments formant plus de deux couples cinématiques avec d’autres éléments. Chaînes ouvertes et chaînes fermées : dans une chaîne cinématique fermée, chaque pièce est liée au moins à deux autres pièces ; dans une chaîne cinématique ouverte un certain nombre d’éléments possèdent moins de deux liaisons avec les pièces voisines. On appelle nombre de cycles (ou nombre cyclomatique), cyclomatique), le nombre de chaînes cinématiques fermées nécessaires pour décrire un graphe. 1.4. Schéma cinématique Dans un mécanisme, il existe un ou plusieurs éléments dont le mouvement est donné : ce sont les éléments d’entrée. Le mouvement de ces éléments implique des mouvements définis

4


de manière unique de tous les autres éléments. Un ou plusieurs éléments du mécanisme produisent le mouvement requis : ce sont les éléments de sortie. Dans l’étude du mouvement d’un mécanisme, on est amené à établir son schéma cinématique. Celui-ci permet d’inventorier l’ensemble des éléments isolés et d’analyser les liaisons existant entre ceux-ci, c’est-à-dire les classes d’équivalence des couples cinématiques du mécanisme liées par la relation « est immobile par rapport à : » : » définie entre les pièces du mécanisme pour l’action de l’élément d’entrée (appelé dans ce cas aussi élément de départ) considérée. 1.5. Degrés de liberté et de liaison d’un solide dans un mécanisme Le degré de liberté d’un solide est le nombre de mouvements simples (translations ou rotations) indépendants qu’il peut effectuer librement dans l’es pace. Il est de 6 (3 translations tra nslations et trois rotations) pour un élément totalement libre dans l’espace et de zéro pour un élément fixe (totalement contraint dans l’espace). En retranchant de 6 le degré de liberté du solide, on obtient son obtient son degré de liaison. liaison. 1.6. Mobilité des systèmes mécaniques 1.6.1. Indice de mobilité a) Formule de Maleushev Soit n, le nombre total d’éléments d’un mécanisme. Soit p1 , p2 , …, p6 les nombres de liaisons simples indépendantes que forment sur le schéma cinématique deux éléments quelconques en supprimant respectivement 1, 2, …, 6 degrés de liberté. Sachant qu’un solide complètement libre dans l’espace possède 6 degrés de liberté, on peut calculer l’indice de mobilité du mécanisme à l’aide de la formule suivante : W=6.n-6p6 -5.p5-…-1.p1 Or, dans un schéma cinématique un seul élément forme le groupe fixe c’est-à-dire que p6 =1. =1. Cela permet de re-écrire cette formule sous la forme W=6.n-6.1-5.p5…1.p1 =6.(n-1)-5.p5…p1 En notant par k =n-1 le =n-1 le nombre de pièces mobiles: 5

W==6.k-( i.p ) i i=1

b) Formule de Tchébychev-A Tchébychev-Artobolevski: mouvements purement plans ou purement sphériques La restriction plane réduit l’ensemble des couples c ouples cinématiques par la suppression de 3 degrés de liberté. On peut utiliser la formule de Tchébychev suivante : W=(6-3).k-(5-3).p5-(4-3).p4 soit : W=3.k-2.p5-p4

5


Cette même formule a été proposée par Artobolevski pour les mécanismes à couples cinématiques exclusivement sphériques. c) Formule de Dobrovolsky: quatre restrictions générales générales imposées au mécanisme Certains mécanismes plans ne comportent que des couples de translation dont les axes de mouvement sont parallèles à un plan commun quelconque. Les éléments d’un tel mécanisme ne peuvent pas tourner autour d’un axe perpendiculaire au plan de leur mouvement, c’est-àdire qu’ils n’ont que deux degrés de liberté. Le mécanisme le plus élémentaire de ce t ype est le mécanisme à coin (fig. b): on peut citer aussi le mécanisme à 3 vis (fig. b). On calcule parfois l’indice de mobilité de ces systèmes à l’aide de la formule : W=2.n+p5

B

a)

b) 3 A 1

3 2

A

A

2 1

Figure 1.1.

1.6.2. Mobilité utile et mobilité interne (ou locale) On définit par mobilité utile mu, le nombre de mouvements indépendants faisant intervenir au moins un des paramètres d’entrée-sortie. Par contre, la mobilité interne mi ne modifie pas les paramètres paramètres d’entrée-sortie du mécanisme 1.6.3. Degré de statisme d’un mécanisme mécanisme C’est le nombre de degrés de liberté h nécessaire et suffisant pour garantir un montage et un fonctionnement sans contrainte du mécanisme. 1.6.4. Définition du degré de mobilité d’un mécanisme a) Liaisons surabondantes En pratique, dans l’ensemble des liaisons, peut rentrer un certain nombre h de liaisons « répétitives » dites surabondantes doublant d’autres liaisons sans diminuer l’indice de mobilité du mécanisme: dans ce cas, on a: m=(6.n- i.pi)+ i.pi)+ h= W+h soit m= W + h est le degré de mobilité (ou mobilité) du mécanisme Discussion :

6


-

pour h=0, h=0, le mécanisme est déterminé ou isostatique pour h>0, h>0, le mécanisme est hyperstatique (ou indéterminé). Généralement, l’équation ci-dessus est difficile à résoudre parce qu’elle a plusieurs inconnues.

Remarques : - Un couple cinématique est formé par deux éléments en contact. On sait qu’un arbre se fixe sur deux paliers ; mais, pour augmenter la rigidité de l’arbre, il peut arriver a rriver qu’on augmente le nombre de roulements dans l’un des paliers. Le roulement du second palier fera du mécanisme un système hyperstatique : il impose une précision de coaxialité élevée et une difficulté de fabrication, mais permet d’obtenir la rigidité et la résistance nécessaires. - Dans une chaîne cinématique à liaison surabondante, ces lia isons devraient être éliminées en partie ou totalement si possible, car elles compliquent la construction et amènent des défaillances supplémentaires. b) Mobilité locale (indépendante ou superflue) Considérons la variante du quadrilatère articulé ci-dessous :

B

C

A D Figure 1.2. Mécanisme à quadrilatère articulé Calculons son indice de mobilité : W = 6.3-2.5-3.2=2 Admettons que le fonctionnement prévu correspond à un seul mouvement d’entrée. Son indice de mobilité m égale à 2. Elle est la somme - d’une quantité m quantité mi appelée mobilité locale et correspondant à la rotation indépendante possible de l’élément BC autour de son axe égale au degré de mobilité - d’une quantité m quantité mu appelée mobilité utile correspondant au mouvement d’entrée imposé de la manivelle. visiblement W-mi =(6.n- i.pi)-m i.pi)-mi = mu soit

W = mi +mu

avec

m =mi +mu

7


On a alors

mi = mu =1

1.7. Exemple Pour le mécanisme à quadrilatère articulé (Fig. 3a), on aura suite à l’imprécision de fabrication, le non parallélisme des axes A et D. Il sera difficile d’assembler les pièces 1 et 2 sans déformer les systèmes de coordonnées. On impose comme indice de mobilité la mobilité utile. La mobilité interne est rendue égale é gale à 0 : m=mu=1 h=m-W=m-(6.k   i.pi) =1-6.3+5.4=3 soit 3 liaisons surabondantes à supprimer.

a)

Z

b) B

Y

CC

X

C

B

AA

A D D

Figure 1.3.

On obtiendrait un système statiquement indépendant en remplaçant respectivement les couples cylindrique B(R) et C(R) par un couple sphérique B(3R) et un pivot glissant C(2R) (Fig. 3b); alors : h=1-6.3+5.2+4.1+3.1=0 A remarquer que d’autres solutions peuvent être proposées avec d’autres liaisons simples. B

a)

b) 3 A 1

3 2

A

A

2 1

Figure 1.4.

8


2. Analyse de la mobilité mobilité des mécanismes 2.1. Graphe des liaisons du mécanisme Définitions a) Le Graphe des liaisons du mécanisme est mécanisme est un dessin sur lequel les sommets représentent les éléments. Ces sommets sont reliés entre eux par des lignes (ou arcs) symbolisant les liaisons entre les éléments b) Notion de de nombre nombre de cycles C’est le nombre de chaînes fermées indépendantes  nécessaires pour décrire un graphe. 2.2. Approche cinématique Soit N Soit N L et N et N P respectivement les nombres de liaisons et de sommets (éléments ou pièces) d’un graphe de liaisons. On a :  =N =N L-N P +1 c) Nombre d’équations scalaires issues des équations de fermetures cinématiques Chacune des chaînes fermées dont est constituée le graphe des liaisons permet d’écrire 6 équations scalaires issues des équations de fermeture cinématique ; par exemple, supposons la chaîne composée de sommet notés 1, 2 …n … n et notons par vij la vitesse de l’élément de rang i par rapport à celle de l’élément j, l’équation tensorielle correspondante est de la forme : vin=vi1+v12+…+vn-1n

De ce qui précède, on a :

E c=6.

c) Nombre d’inconnues cinématiques issues des équations Le nombre d’inconnues I c est égal à la somme des degrés de liberté de chacune des N L liaisons. 5 Ic=p5+2.p4+3P 3+4P 2+5p1 =  i.p -i-i i=1

où i est le nombre de sommet à p à pi degrés de liaison c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme C’est la différence entre le nombre d’inconnues et le nombre d’équations scalaires : W c=I c-E c c) Définition du degré degré de mobilité mobilité m du mécanisme C’est la différence entre le nombre d’inconnues I d’inconnues I c des équations et le rang r c du système d’équations scalaire de fermeture des boucles: en pratique, c’est le nombre d’inconnues que l’on doit passer au second membre des équations. m=I c-r c d) Définition du degré de statisme du du mécanisme h=E c-r c

9


C’est la quantité d’équations ne servant pas à la résolution, le plus souvent de la forme (0=0) e) Relation entre les indicateurs de la mobilité m=I c-r c => m-h=I c-E c h=E c-r c f) En résumé On peut représenter le système d’équations scalaires sous la forme :

I c (nombre d’inconnues cinématiques): colonnes

E c (lignes)

r c (rang)

m (degré de mobilité)

I c =

0 . . . .

h (degré de statisme) 0

2.3. Approche dynamique a) Nombre d’équations scalaires issues des équations d’équilibre d’équilibre des éléments mobiles Dans l’approche dynamique, on étudie l’équilibre de chacune des pièces du mécanisme, chaque sommet du graphe des liaisons. Puisque le mouvement de toutes les pièces est considéré relativement à une pièce fixe prise comme référentiel, Np-1 éléments sont à considérer. A chacun des éléments (ou pièce) du graphe graphe des liaisons correspond 6 équations scalaires décrivant son comportement sous l’influence des actions mécaniques qui lui sont appliquées ; par exemple, en isolant un élément i supposons-le soumis aux charges venant d’un ensemble d’élément j et dont la résultante constitue le torseur des actions mécanique transmissible T ij ij . L’équation dynamique s’écrit : T ijij = 0 D’où le nombre d’équations scalaires : Es=6.(N P -1) b) Nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles issues des équations équations Le nombre d’inconnues d’actions mécaniques transmissibles I s est égal à la somme des nombres de paramètres d’actions mécaniques transmissibles sur chacune de N de N L liaisons. liaisons. 5

I s=5.p5+4.p 4+3p3+2p2+p1 =  i.pi i=1

10


c) Définition de l’indice de mobilité du mécanisme On a : I c-E c=(6.N L-I c )-6..(N L-N p+1)=6.(N p-1)-I s=E s-I s

Il s’en suit que l’indice de mobilité du mécanisme peut être définie comme la différence entre le nombre d’inconnues et le nombre d’équations scalaires : W s=E s-I s d) Isostatisme hyperstatisme Un mécanisme est isostatique si en absence d’actions mécaniques extérieures, toutes les inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons sont nulles Un mécanisme est hyperstatique si en absence d’actions mécaniques extérieures, il existe des inconnues d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons (indéterminées). Remarque : Notons : Notons que l’hyperstatisme peut être un choix : dans ce cas, la raideur r aideur du système est plus grande mais son coût élevé. e) Définition du degré degré de mobilité mobilité m du mécanisme C’est le nombre d’équations ne servant pas à la détermination des actions mécaniques de liaisons, de la forme 0=0 pour l’équation homogène associée. De la dual ité entre les deux approches –cinématique et dynamique, là où il n’existe aucune composante d’actions mécanique, il y a une possibilité de mouvement. m=I c-r c f) Définition du degré de statisme du mécanisme C’est le nombre d’inconnues qu’il faut passer au second membre du système d’équations. h=I s-r s g) Relation entre les indicateurs de la mobilité m=I c-r c => m-h=I c-E c h=E c-r c h) En résumé On peut représenter le système d’équations scalaires de l’approche dynamique sous la forme : I s (nombre d’inconnues d’action mécaniques transmissibles): colonnes

E s (lignes)

r s (rang)

h (degré de statisme)

second I s=

. membre

m (degré de mobilité) 11


3. Conclusion Approche cinématique Nbre de pièces d’un mécanisme Nbre de liaisons d’un mécanisme Nbre de cycles Nbre d’équations Nbre d’inconnues Indice de mobilité (W) Degré de mobilité Degré de statisme Approche globale

II.

=N L-N P +1  =N E c=6.

Approche dynamique Np NL E s=6(N P -1) I s E s-I s m= E s-r s h = I s- r s E s-I s = m-h

I c I c-E c m=I c-r c h = E c-r c I c-E c = m-h

ETUDE GENERALE DES MECANISMES A BIELLES MANIVELLES

1. La bielle On considère deux pièces mobiles guidées 1 et 2. Pour assurer leur interdépendance, on réalise au point A de 1 et B de 2 des liaisons articulées avec une barre rigide 3. On donnera à la barre rigide le nom de bielle. bielle . Exemple :

b)

a)

A



3

A

1

B

2

3

1 A

c)



3

B

2

B 2

1 O

Fig. 2.1 a) Système bielle manivelle courant ; b) Système avec pièces guidées en translation ; c) Quadrilatère articulé 12


2. La manivelle C’est une barre rigide guidée en rotation autour d’un axe passant par l’une de ses extrémités et munie à la seconde extrémité d’une articulation, le plus souvent cylindrique, parfois sphérique. Les pièces 1 des figures a) et c) sont des manivelles. 3. La coulisse On se propose de commander en translation une tige T par le levier L dont le point d’appui est A et qui est articulé en B sur T. B ayant un mouvement de rotation par rapport à A, décrit dans son mouvement un arc de cercle. Le problème peut être résolu par l’emploi des biellettes permettant le déplacement du point A ou du point B (Fig. (Fig. 2 b, c).

L

L

B

a)

B’ b)

 A

B

T

T

A

B’ L

c)

d)

B

B A’

A

A

Fig.2.2 : Définition de la coulisse : Levier à coulisse Une autre solution consiste en l’utilisation d’une coulisse permettant le glissement du point A sur le point A’ ou de B sur B’. Un tel mécanisme porte le nom de levier à coulisse (Fig. 3). Autres applications :

13


a)

a) A

3

A

2

3

2 1

1

c)

d)

D

A



A

D

 B

B

1 A

C

C

Fig.2.3 a) manivelle à coulisse ; b) excentrique à cadre ; c, d) balancier (ou bielles) à coulisse La manivelle à coulisse (Fig. coulisse (Fig. 2.3a) permet d’obtenir un mouvement sinusoïdal exact. Elle est voisine de l’excentrique (Fig.2.3 b). Le balancier à coulisse coulisse permet de transformer un mouvement circulaire continu en mouvement rectiligne alternatif. Ce type de mouvement est observé chez les étaux-limeurs, les mortaiseuses, les raboteuses, etc., avec un retour rapide de l’élément de sortie. Le balancier est un levier articulé en C et attaqué par le bouton d’une manivelle se déplaçant dans une coulisse. Le rapport aller retour est es t environ de 2/3. Exercice : Vérifier : Vérifier que la valeur de l’indice de mobilité de chacun des mécanismes décrits cidessus correspond à la valeur indiquée.

14


III.

SYTEME BIELLE MANIVELLE COURANT COURANT [3]

1. Fonction Transmettre la puissance entre un organe moteur et un organe récepteur avec transformation du mouvement circulaire continu du premier en mouvement rectiligne alternatif du second. La transformation inverse est possible dans certains cas. 3. Emploi Pompes et compresseurs, presses hydrauliques et mécaniques, etc. 4. Composition Manivelle, bielle, coulisseau, glissière. Dans certains mécanismes courant le couple coulisseau-glissière est réalisé par un vérin hydraulique; cependant l'ensemble piston-cylindre peut être insuffisant soit parce que moins rigide, soit parce que n'aboutissant pas à la précision voulue; on adjoint alors une liaison glissière supplémentaire. 5. Etude cinématique Courbe des espaces du pied de la bielle y

B L Ai



R

i

i

B0

O O

B1

Figure 3.1.: schéma du système biellemanivelle courant Notons par O l'axe de rotation du pied de la l a manivelle OB animé dans le plan vertical d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire  repérons les positions A0 , A1i A2,..., Ai du pied de bielle, correspondant aux positions B 0, B 1, B 2,...,Bi de la tête de bielle aux instants t 0 , t 1…t i, La manivelle et la bielle font avec l'horizontal les angles respectifs  i et i. a) La courbe des espaces espaces (courbe des déplacements) est la représentation graphique des déplacements OAi du pied de bielle A en fonction du temps (ou de la position angulaire de la manivelle ); on admet ici que la vitesse angulaire de la manivelle est constante:  = =  . . t . Expression de la courbe des des espaces du pied de bielle: En projetant sur les axes Ox et Oy et Oy:: avec R=OB, avec R=OB, on a:

A0 A1=B0 B1=2.R

15


R.cos i+L.cos  i=AiO R.sin i-L.sin  i=0 =>

1/2 A0 Ai=(R+L)-[R.cos i+L.(1-R2 /L2.sin2 ) i ]

Posons L/R= Posons L/R= : 2 1/2 A0 Ai=R.(1-cos )+L-(L -R2.sin2 ) i i 2  i /   2 )1/2 ; A0 Ai=R.(1-cos )+L.[1-(1-sin i

Habituellement

 4, valeur apparemment très petit; ce qui permet d'écrire:

(1-sin2 / 1–1/2sin2 /  2 )1/2 1–1/2sin  2 ; i  i 

 )] alors: A alors: A0 Ai R.[1-cos i+sin2 /(2. i A0 Ai R.(1-cos )+[1/(4. )].[1-cos(2. ) i i

b) Courbe des vitesses et des accélérations - Vitesse:  .R.[sin v A=dA0 A /dt= .R.[sin i+sin2 i /(2. )] i - Accélération:

 A=dv A /dt =  2.R.(cos i+cos2. /  ) i 

c) Recherche du CIR de la bielle I est le point d'intersection d'intersection des normales ou trajectoires:

I

y

vB B L

H

i vA

B0



R O O

B1

x

Figure 3.2: Recherche du CIR du mouvement de la bielle 16


d) v A= * . IA, v B =  * . IB =

 . . R => v A / v B = IA/IB=OH/OB

=> v A=v B .OH/OB= .R.OH/R= .OH

-

Propriétés  La course du coulisseau est égale au double du rayon de la manivelle  La courbe des espaces est symétrique  La courbe n'est pas une une sinusoïde; mais elle a l'allure sinusoïdale; elle se rapproche d'autant plus de la sinusoïde que l'inclinaison de la bielle est plus faible  v = 0 en fin de cours ( aux points morts )  la courbe de vitesse a un point de symétrie  Le mouvement est accéléré à l'aller puis retardé au retour ( ou le contraire ).

5. Etude des forces F1

B F1'

 A Figure 3.3: Isolement de la bielle F3 H

B

F1

K

F4 F1'

R



O

A Figure 3.3: poussée de la manivelle

I

T

B

N

G A FiT

Fic

O

Figure 3.4: Influence de l'inertie 17


-

Supposons les frottements nuls: nuls: la bielle se voit soumise à la compression ou à l'extension par 2 forces ayant pour support la ligne d'axe l'axe AB et appliquée à ses extrémités ; On observe 2 points morts ( points B 0 et B1 où OK=OH=0 ). En marche, l'arc-boutement est vaincu à l'aide de l'inertie des masses en mouvement. - Influence des frottements: les frottements augmentent la difficulté de démarrage et de passage aux points morts; un volant d'inertie faciliterait le mouvement. - Influence de l'inertie: elle a lieu aux grandes vitesses: . - Conséquences:  Nécessité d'équilibrage statique 2 2  masse_gauche masse_gauche .  .r_gauche= masse_droite. masse_droite. .r_droite  Nécessité d'équilibrage dynamique )=0  M( F F )=0 pendant pendant le mouvement.  Section de la manivelle en H ou tubulure pour les grandes vitesses, carré pour les petites vitesses . 6. Construction des systèmes bielles manivelles courants courants 6.1. Bielle - Les problèmes de construction de la tête de bielle et du pied de bielle sont les mêmes que pour les paliers. - La bielle peut être en acier moulé, forgé, en fonte malléable. - 3 sections sont utilisées: constante, galbée et croissante du pied vers la tête ( schéma ). - L'articulation de la bielle avec la manivelle peut être en porte-à-faux ou à chape. - La bielle doit être résistante, légère et rigide. 6.2. Manivelle - Elle est soumise à la compression et à l'extension alternée, et à la flexion - phénomène de fatigue -; en porte-à-faux, elle subit une contrainte de torsion; pour réduire les effets de la force d'inertie (flexion, vibrations, etc.), on a intérêt à l'équilibrer. - L'assemblage avec la bielle relève des problèmes habituels de guidage. - La forme se rapproche à celle d'égale résistance à la flexion. Ainsi elle est décroissante du moyeu vers la tête, soit la variation de la largeur seule, soit celle simultanée de la largeur et de l'épaisseur; la face située du coté de la bielle est plane. Elle peut avoir avoir la forme coudée rendue agréable si la poignée poignée est tournante, tournante, du vilebrequin, d’un plateau manivelle, de manivelle à rayon variable par rainure, d’un volant muni de poignée souvent amovible. - Pour ramener le centre de gravité sur l'axe de rotation, on prévoit quelquefois une masse opposée au maneton, calculée de façon à équilibrer une partie de la masse de la bielle. 6.3. Vilebrequin - Avantages  suppression du porte-à-faux  meilleur guidage de l'arbre ( 2 paliers )  possibilité de recevoir plusieurs coudes  possibilité d'un bon équilibrage; on réalise des trous à des endroits convenablement choisis  réduction des contraintes de flexion, l'effort étant supporté par plusieurs bras. - Inconvénients

18


Difficulté de montage: la tête de bielle doit être obligatoirement de type ouvert ou du type palier. - Matériau Fonte à graphite sphéroïdal, fonte au nickel, fonte malléable, acier alliés, acier moulé, etc. - Graissage Le graissage est réalisé grâce aux canalisations forées à travers le vilebrequin. 6.4. Piston - Problèmes de construction  résistance  étanchéité  guidage en translation  Problèmes thermiques ( formes coniques pour les pistons à simple effet )  Réduction des forces d'inertie - Matériau Fonte, acier forgé 6.5. Coulisseau et glissière - Forme: plane, cylindrique, en T, à queue d'aronde, etc. - Matériau: (voir : matériaux des surfaces de glissement): fonte, PTFE, bronze, etc. Pour les coulisseaux, acier pour les glissières; les surfaces de glissement sont le plus souvent rapportées; prévoir le dispositif de réglage des jeux rapportées. 7. Etude des liaisons 7.1. Assemblage bras-maneton : Conditions nécessaires: position relative: précision requise dans la distance des axes, maintien de contact: emmanchement forcé et rivetage, emmanchement cylindrique, conique serré par écrou ou par clavette; un maneton vissé avec centrage peut être envisagé. 7.2. Assemblage poignée tournante-manivelle Positionnement angulaire nécessaire assuré correctement par clavetage ( rainure du côté du bras de la manivelle ); dans, certains cas, un réglage de la position angulaire est prévu. - Possibilité de démontage: difficile à concilier avec une grande rigidité: exemple: clavette forcé ou clavette vélo. 7.3. Assemblage bielle-manivelle ( bielle-manivelle ( voir chapitres " Guidage en rotation et Articulation ") L'articulation est un œil de la barre, pour diminuer le frottement et localiser l'usure, on ajoutera une bague en bronze et un trou graisseur. Coussinet seul en 1 ou 2 parties, tête en 1 ou 2 parties pour faciliter l'assemblage. Centrage par boulon des têtes en 2 parties.

EQUILIBRAGE DES MACHINES ET DES MECANISMES SUR LA FONDATION [1] IV.

1. Position du problème Le fonctionnement des mécanismes est caractérisé par le mouvement de ses éléments. Ce mouvement se traduit en général par l’apparition des charges dynamiques supplémentaires dans les couples cinématiques par suite des forces d’inertie. Le bâti étant l’élément fixe,

19


porteur, subit ces charges et les transmet à la fondation. Les charges supplémentaires sont à l’origine des forces de frottement supplémentaires dans les couples cinématiques, des vibrations, des éléments de la fondation, des contraintes supplémentaires dans certains éléments du mécanisme. C’est pourquoi lorsqu’on conçoit les mécanismes et lorsqu’on décide d’améliorer un mécanisme existant, on mène des actions visant à supprimer totalement ou partiellement les charges dynamiques nées au cours du fonctionnement. Le calcul des charges dynamiques sont faits de préférence à l’aide des méthodes cinétostatiques. L’équilibrage des forces d’inertie pose deux problème indépendants : celui de l’équilibrage des charges dynamiques sur la fondation et celui de de l’équilibrage des charges dynamiques dans les couples cinématiques. Rappelons que tout système de forces agissant sur un solide peut être réduit à un vecteur principal du système de force et à un moment principal. 2. Classification des cas de déséquilibre des systèmes mécaniques Soit F iii ,i M ,i F iii , ,i respectivement la résultante des forces et de moment des forces extérieurs ; F i et M Fi , la résultante des forces d’inertie et de de moment des forces d’inertie sollicitant l’élément i appartenant à un système mécanique donné. Admettons que l’élément menant A effectue un mouvement de rotation de vitesse  constante autour d’un axe passant par un point A. Réduisons tout le système des forces d’inertie et des moments des forces d’inertie au point A et écrivons : M  i+ MA(  i)  S= i , , M   i+  i)  = Le bâti étant l’élément numéro 0, on a : F 0 = S M 0 =   S Lorsque  S 0, c’est-à-dire F c’est-à-dire F 0 0, le mécanisme est dit statiquement sta tiquement déséquilibré. Si au contraire, M   0 , mais  S=0, il s’agit du déséquilibre des moments. Les dispositions prises pou atteindre  S =0 portent le nom d’équilibrage statique. Ainsi, un mécanisme équilibré statiquement n’a aucun effet dynamique sur sa fondation. D’autre part, la force d’inertie est le produit de la masse par l’accélération : =m.a  =m.a Elle est nulle si l’accélération est nulle, dont pour un système statiquement équilibré, le centre des masses des éléments mobiles devient fixe. 1. Equilibrage des rotors On sait que la pression des corps en rotation sur leur appuis est la somme de deux composantes : statique due à l’action des forces agissantes et dynamique due au mouvement accéléré des particules dont se compose le corps en rotation (c’est-à-dire le rotor). Lorsque la composante dynamique est différente de zéro, le rotor est dit non équilibré. Pour une rotation uniforme autour de son axe OZ, la projection de la composante dynamique se détermine de la manière suivante :

20


X A+X B=F X , Y A+Y B=F Y Y -X A.a+X B.b=M Fy ,

Y

X

Y A.a-Y B.b=M Fx

XA

Z

XB

XS

O S YA

YS

YB

Figure 4.1: Vecteur balourd d’un solide en en rotation autour d’un On a:

2 2 1/2 2 2 2 F x= 2.m.(X S S +Y S S ) = .mYs, M Fx=- .J yz ; M Fy=- .J xzs ,

Où est l os os est le rayon vecteur du centre des masses occasionnant sa position excentrée et étant la masse excentrée du rotor. La quantité D st =m.e st porte le nom de vecteur résultant des balourds du rotor. Evidemment, F= Evidemment, F= 2.D st . On a : 2 2 2 1/2 2 M   = .(J yz +J xz ) = . M D 2. Classification de cas de déséquilibre des rotors. 4.1. Le 4.1. Le déséquilibre statique Le déséquilibre statique caractérise le rotor dont le centre des masses est écarté du centre de rotation, mais dont l’axe d’inertie principal est parallèle à l’axe de rotation. Dans ces conditions est=0 ; J xz=Jyz=0. Par conséquent, le déséquilibre statique s’exprime parle vecteur Dst des balourds dirigé radialement tournant ensemble avec le rotor. Eliminer le déséquilibre statique serait possible si l’on fixait sur le rotor une masse corrective telle que : Dc=m.ec=- D Dst

L’équilibrage statique n’est pas parfois réalisable possible au moyen d’une masse ; par exemple, le vilebrequin est équilibré par 2 masses situées dans deux plans. En général, le nombre de masses et de positions sont choisis en fonction de la construction et l’utilisation du rotor.

21


M

F B

A

N

F B

O S

I

Z



I

B

Dst

Figure 4.2: Balourd du déséquilibre déséquilibre statique d’un vilebrequin à un coude

4.2. Le déséquilibre des moments Le déséquilibre des moments a lieu lorsque le centre des masses se trouve sur l’axe de rotation et le moment d’inertie et le moment d’inertie incliné sur l’axe de rotation du rotor d’un angle g (fig. b). Dans ce cas est=0 ; J xz  J yz  0. 0. Dans ce cas, il s’exprime par un couple de balourds D M1 et D M2. I

h

D M1

O F B

A

A

 S

Z

B

F A

I M

D M2

N

Figure 4.3: 4.3: Balourd du du déséquilibre des moments d’un vilebrequin vilebrequin à un coude

4.3. Le déséquilibre dynamique Le déséquilibre dynamique est la présence simultanée du déséquilibre statique et du déséquilibre des moments. Par conséquent, il s’exprime par les deux vecteurs D1 et D2 situés dans des plans de correction perpendiculaires à l’axe de rotation.

22


Dst

D M1

A

A

I

F B

S



Z

F B ’

F A

F A

F A

’

F B

B

I D M2

N

Figure 4.4: Balourd du déséquilibre dynamique dynamique d’un vilebrequin vilebrequin à deux coude à disque disque excentré

Conclusion :

Le terme déséquilibre statique ne signifie pas que le déséquilibre en question concerne l’état statique de la machine ou du mécanisme à équilibrer. A l’époque actuelle, il existe des machines de haute précision qui permettent de déterminer le déséquilibre statique en régime dynamique. Eliminer les déséquilibres statique et dynamique dynamique d’un rotor revient à faire coïncider son axe de rotation avec l’axe d’inertie principal. RESUME 1: F 1: F in in=m. .(x+y ) 2

2 1/2

2 1/2

=>e st =(x+y ) , Dst=m.est => équilibrage statique (1)+(2) :=> équilibrage dynamique

2: M 2: M in in=m. .(J +J ) =>D M =m.(J +J ) =>équilibrage des moments 2

2 xz

2 1/2 yz

V.

2 xz

2 1/2 yz

METHODES GRAPHIQUES D’INTEGRATION DIFFERENTIATION DES COURBES [2]

ET

DE

1. Différentiation graphique 1.1. Position du problème Soit C la courbe décrite par une fonction  (t). Il (t). Il s’agit d’obtenir graphiquement la courbe Cv donnée par la dérivée de  (t) dans (t) dans un système d’axes de coordonnées (Ox, Oy) :

 (t)/dt v(t)=d  (t)/dt

23


1.2. Définition de l’échelle d’une courbe représentée graphiquement En notant par y la valeur de  (t) (t) mesurée sur le dessin, définissons l’échelle formue : (t). z =y  (t). soit   =y  (t) = (t)/  (t) y (t)/

   par par la

1.3. Unité de l’échelle : [  y (t)]/[ (t)]/[ (t)] (t)]=[ y y ]/[ ]/[ ] ] =[ y 1.4. Méthode des cordes Adoptons les notations suivantes : Y  ,t - valeurs respectives des fonctions  ,, ,, v et v et t mesurées mesurées sur le dessin ;  , yv , x , M, v et t les échelles correspondantes. On peut écrire : v=d  /  /dxt = /dx  /dt=d(y   ) / d(x /  )=(   /   ).dy  /   ).tg     t  t t t t  t t t =(  t t  Posons v≈v/ t . En divisant l’axe des abscisses xt en intervalles égaux  x, x, choisissons un point K convenable sur l’axe x t. Joignons chaque point d’abscisse x i au point d’abscisse x i+1 et mesurons l’angle i que fait chaque segment obtenu avec l’axe x t, il vient :

 / i i  xi=tg    /   xt ).tg   v=( 

Enfin :

Retrouvons les points i’’ tels tels que l’angle de l’axe des ordonnées soit égaux à  i i , vi est donnée par le point de coordonnées ( x ( x ,i i’’). i ’’). En joignant les points vi, on obtient la courbe cherchée. vi=(   /   )..  /   ).tg  i  / t t  i  xt =(  t t  On obtient une précision acceptable en pratique en appliquant cette méthode aux courbes des espaces, des vitesses et des accélérations. Cette précision est considérable avec l’aide de l’outil informatique. y

 i   

i’

i’

2

 1 1 xi 0

1

2

3

4

5

6

7

Xt

24


yv

 i i’’

 1  2

xi K

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Xt

Figure 5.1: Différenciation graphique des courbes

1.5. Echelle des courbes obtenues On a:

 /   ).tg  i =(   /   ).(K/K). i =[   /(   .K)].K.tg i vi=(  tg  .K)].K.tg  t t  t t  t t  =[  .K)].yvi = yvi /[  . K)]  /(   .K)].y  / .K)] t t  t t (  =>  v=  . K)  / (  .K) De la même façon,

 i=  vi.dt=  (yvi /  v ). dxt /  t t = v ) /  t t (yvi. dxt /   v . )t t =  (yvi. dx ) t /(  v . )t t = y /( /(  soit:

  =  v. t

25


2. Intégration graphique Il suffit de faire l’opération inverse de la précédente en commençant par le choix d’un segment OK sur l’axe des abscisses de la courbe donnée en reportant les angles obtenus dans l’espace graphique attaché au repère choisi pour la courbe intégrée.

VI.

METHODE ANALYTIQUE DE CALCUL DES FONCTIONS DE TRANSMISSION DES MECANISMES PLANS, APPLICATION AU SYSTEME BIELLE BIELLE MANIVELLE MANIVELLE COURANT

Les méthodes graphiques sont évidentes et universelles, mais elles ne permettent pas toujours d’obtenir le degré de précision nécessaire dans certains problèmes concret d’analyse des mécanismes. Le rôle des méthodes analytiques d’analyse des mécanismes a une importance particulière parce que disposant des relations analytiques anal ytiques entre les principaux paramètres cinématiques et structuraux du mécanisme, on peut établir un programme de calcul sur ordinateur et obtenir les résultats voulus. Illustrons la marche à suivre dans la méthode des contours vectoriels l’analyse du système bielle manivelle et du mécanisme à quadrilatère articulé et du mécanisme à coulisse. 1. Exemple N°1 : N°1 : Système bielle manivelle Considérons le système bielle manivelle (Fig. ) composé d’une bielle, d’une bielle et d’un guidage en translation dont le plan du déplacement du coulisseau fait une distance a avec l’axe de rotation de la manivelle.

B l 2 2

 2

3

A

 3

l 3 l 24 24 C

a

4

1

X

xc Figure: Mécanisme bielle manivelle à axe de rotation de la manivelle éloigné du plan de déplacement du coulisseau

26


1) On divise le contour fermé du mécanisme en figures géométriques, de préférence en triangles dont les côtés sont parallèlement formés par ses éléments. => les triangles OAC et ABC dont dont les côtés l 2 , l 3 et a sont connus. 2) On écrit pour les contours les équations vectorielles : => Contour 1 : triangle : a-x c+u=0

=> Contour 2 : triangle : l 2+l 3+u=0

Ces 2 équations peuvent en former une : a + l 2+l 3= x c 3) Projeter les vecteurs des équations sur les axes de coordonnées =>Par rapport à OX et OY: l 2.cos 2+ l 3.cos 3 = x = xc a+ l 2.sin 2+ l 3.sin 3=0

(*) (**)

4) Résoudre les équations obtenues => sin 3=-(l 2.sin 2 +a)/(- l 3 ) => sin (notons que l 3 et  3 sont toujours positifs - de l’équation (*), il vient : xc= l 2.cos 2+ l 3..[ 1-(l 2.sin 2 +a)/ l 3 )2 ] 1/2 - l’espace parcouru est donc : 2 2 1/2 2 1/2 x=OC 0-x c =[ (l (l 2+ l 3 ) -a )] - l 2.cos 2- l 3..[ 1-( l 2.sin 2 +a)/ l 3 ) ] 5) Rechercher les vitesses et les accélérations en dérivant les équations vectorielles des contours fermés projetés sur les axes. => pour déduire les équations des vitesses angulaires et des accélérations angulaires, procédons par une double dérivation des équations du système ci-dessus : 2 /dt- l 3.sin 3 d   3 /dt= dxc /dt -l 2.sin 2. d  2 /dt+ l 3.cos 3 d  3 /dt= 0, -l 2.cos 2. d  D’où -l 2.sin 2- i32.sin 3 d  3 = vc -l 2.cos 2+ i32 l 3..cos 3 = 0 (***)  3 /dt)/(d   2 /dt) = 2 Où i32= (d  /dt) = et v et vc = dxc / d  3 -  2 )/cos 3 D’autre par : i32=3/2 = -l 2.cos 2/ l 3..cos 3 et v et vc = l 2.sin(  On trouve l’accélération en dérivant une 2ème fois les équations (**) : -l 2.cos 2 - i322 l 3..cos 3 – i32’ . l 3.. sin 3= ac -l 2.sin 2 - i322 l 3..sin 3 – i32’ . l 3.. cos 3= 0 Où i32’ = d i d i32/d  = dvc / d  2 et ac = dv 2

27


2

2

2

1/2

si a=0, xc= l 2.cos 2+ l 3..[ 1-( l 2 /l 3 ) ).sin  2 ] x= l 2+ l 3-l 2.cos 2-l 3..[ 1-( l 22 /l 3 )2 ).sin2 2 ] 1/2

En pratique, on pose parfois  =l =l 2 /l3 et l’on développe en série le radical de l’équation : [ 1-( l 22 /l 3 )2 ).sin2 2 ] 1/2=(1-  2.sin2 2 )1/2=1-(1/2). 2.sin2 2-  4.sin4 2-… Bornons-nous aux deux premiers termes et tenons compte du fait que sin2 2= (1/2). (1cos2 2 ) x= l 2.[1+  /4)-(cos /4)-(cos 2+(  /4). cos2 2 )]  /4).

 /2). vc = l 2.[sin 2+(  /2). sin2 2 ]

d’où

ac = l 2. (cos 2+  . . cos2 2 ) 2. Exemple N°2 : N°2 : Mécanisme à quadrilatère articulé

 3

B y

l 3

C

3

a)

l 4

l 2 2

 4 4

 2

A

1

D x

l 1

 3

b)

3

B

C 4

 3s 3s  4s 4s

2

 2 A

1

 4

D x

Figure:5.1 a) Mécanisme à quadrilatère articulé ; b) Formation des contours vectoriels 28


2.1. Etude analytique - 2 contours vectoriels ABD et BCD - Equations vectorielles : Contour ABD : l 2+s-l 1=0 ; l 3-l 4-s=0 Contour BCD : l 3-l 4-s =0 ; l 3-l 4-s=0 - Projection des équations sur les axes Ax et Ay: l 2.cos 2+s.cos s-l 1=0 l 2.sin 2+s.sin s=0

 s =(-l 2.sin 2 )/(-l 2.cos 2+ l 1 ); s= (l 12+ l 22-2.l 1.l 2.cos 2 )1/2 => tg  Du triangle BCD,on a: l 32=l 42+s2+2.l 4.s.cos 4s 4s 2 2 2 l 4 =l 3 +s -2.l 3.s.cos 3s 3s (*) et (**) =>  4s cos(l 22-l 42-s2)/(2.l )/(2.l 4.s) .s) 4s=Arc cos(l 2 2 2 cos(l 3 -l 4 +s )/(2.l )/(2.l 3.s) .s)  2s 2s=Arc cos(l =>

(*) (**)

 4s 4s = 4- s ,  3s 3s = 3- s

Soit

 4=(l =(l 32+l 42-l 22+2.l 1.l 2.cos 2)/[2.l )/[2.l 4.(l 12+l 22-+s2-2.l 1.l 2.cos 2 )]1/2+artg(-l artg(-l 2.sin 2)/[-l )/[-l 2.cos 2+l 1 ] 2.2. Recherche des vitesses - Equations vectorielles: l 1+ 1+l 2+ l 3=l 4

- Projection sur les axes : -l 1+ l 2. cos 2+ 2+ l 3.cos 3 = l 4.cos 4 l 2. sin 2+ 2+ l 3.sin 3 = l 4.sin 4 =>

=>

-l 2. sin 2- l 3.sin 3.d  3 /d  2 = -l 4. sin 4 d  4 /d   3 3 /d   2=l 4.cos 4 d   4 /d  3 l 2. cos 2+l 3.cos 3.d  l 2. sin 2- i32.l 3.sin 3= i42.l 4. sin 4 l 2. cos 2+ i32.l 3.cos 3= i42.l 4.cos 4

soit en retranchant dans (***) l’angle commun  3  2- 3 )=i42.l 4. sin(   4- 3 ) l 2. sin(  => Soit i42=l 2. sin(  2 - 3 )/[l 4. sin(  4 - 3 )] De la même façon,on obtient :

2 - 4 )/[l 4. sin(  3 - 4 )] I 32 32= -l 2. sin(  2.3. Recherche des accélérations angulaires

 4 et  3

29


Dérivons (***) par  2 : l 2. cos 2+ i322.l 3.cos 3+ i32. l 3. sin 3= i422.l 4.cos 4+i42.l 4. sin 4 -l 2.sin 2- i322.l 3.sin 3+ i32’. l 3.cos 3= i422.l 4.sin 4+i42’.l 4. sin 4 Où i32 et i42 , respectivement i32’ et ’ et i42’ sont sont les dérivées premières et secondes des déplacements angulaires des éléments 3 et 4 en fonction de  2 . De la même façon que dans le paragraphe précédent, on obtient sans difficulté les relations :

 2- 3 )+ i322.l 3+ i422.l 4.cos(   4- 3 )/ [l 4. sin(   4- 3 )] i42’ = l 2. cos(  2 2  2- 4 )+ i42 .l 4+ i32 .l 4.cos(   3- 4 )/ [l 2. sin(   3- 4 )] i32’ = l 2. cos(  Remarque:  3= 2.i32:  4= 2.i42;  3= 2.i32’+ 2.i32;  4= 2.i42’+ 2.i42; 3. Exemple N°3 : N°3 : Mécanisme à coulisse

a)

y

B A

2

2

B

A

O

O

c)

d)

 2

 2 D

D

30


e) f)

D

D

VI. SYNTHESE DES MECANISMES BIELLE MANIVELLE [4] 1. problème Après l’établissement et l’analyse du schéma cinématique, l’étape suivante du projet est la synthèse. On détermine les paramètres des éléments él éments : pour ce faire, faire , on fixe les le s certaines conditions d’exploitation : il peut s’agir de donner des valeurs décrivant l’état du système mécanique pour des positions (vitesses ou accélérations) linéaires x1i ou angulaires    i choisies des organes d’entrée et de sortie aux instants t i. On peut aussi donner - le coefficient de variation de la vitesse moyenne de l’élément de sortie s=t sortie s=t a /t r r, où t a et t r r sont les durées respectives des déplacements de l’élément de sortie à l’allée et au retour ; - le rapport l 1 /l 2 des longueurs de deux éléments ; l’angle de pression de travail, etc. Les paramètres à calculer peuvent être ê tre les longueurs des éléments ou les angles définissant les directions fixes imposées entre les éléments du mécanisme. Cette relation porte le nom de l’« équation des espaces parcourus ».Ensuite, on recherche une relation liant ces paramètres aux coordonnées d’entrée et de sortie. Enfin, on forme le système d’équation dont les inconnues sont ces paramètres en substituant dans l’équation des espaces parcourus les données sur les conditions d’exploitation. 2. Exemple Considérons le quadrilatère articulé plan ci-dessous de côtés a, b, c et c et d . Admettons que d soit soit et porte l’axe des des abscisses Ax abscisses Ax . . A l’instant t ,i a, b et b et c forment avec Ax avec Ax les les angles respectifs a ,i bi et ci fixe ; Posons l b=b/a, l c=c/a et =c/a et l d d =d/a On a : a+b+c=0 l a.cos i+b.cos i=c.cos i+d =>

 b.cos i =  d d +  c.cos i-b.cos i =>

l b.sin i+b.sin i=c.sin i=c.sin i+d

 b.sin i =

 c.sin i- sin i 31


En élevant au carré, on obtient : 

2 2 cos i =  c.cos i-( c/ d ). cos(( i- i) + ( d d ). cos d +  c +1- b )/(2. d d )



2 2 p0= c, p1=- c/ d d , p2=( d d +  c +1- b )/(2. d d )

En notant

on obtient l’équation des espaces parcourus : cos i = p0.cos i- p1. cos( cos( i- i) + p + p2 En substituant dans cette équation les angles  1 ,  2 ,  3 et  1 ,  2 ,  3 correspondant à 3 positions de la manivelle, on obtient le système d’équation suivante à partir duquel on peut calculer aisément les paramètres  b ,  c et  d d. cos 1 = p0.cos 1 p1. cos( cos( 1- 1) + p + p2 cos 2 = p0.cos 2- p1. cos( cos( 2- 2) + p + p2 cos 3= p0.cos 3- p1. cos( cos( 3- 3) + p + p2 Ensuite, ayant choisi une valeur convenable convenable de a, on calcule les grandeurs b, c et et on peut réaliser l’analyse cinématique en déterminant les déplacements, les vitesses et le accélérations de touts les points du mécanisme.

a)

b y

B

C

3

 i c

a

 i

4 A

 i 1

D l 1

x

Figure 6.1: Détermination des paramètres du quadrilatère articulé VII.

ETUDE GRAPHO-ANALYTIQUE

1. Epure de vitesses et des accélérations 1.1. Définition Les représentations graphiques des vecteurs vitesses et accélérations des éléments du mécanisme à une échelle donnée sont dénommées respectivement épure des vitesses et épure des accélérations.

32


1.2. Construction de l’épure des vitesses A partir d’un point p, représentons les vecteurs vitesses du mécanisme à l’échelle donnée. Le vecteur pa représente la vitesse du point A, pb la vitesse du point B et ab la vitesse de B par rapport à A, etc. 1.3. Construction de l’épure des accélérations A partir d’un point  , représentons les vecteurs accélérations du mécanisme à l’échelle donnée. Le vecteur a’ représente représente la vitesse du point A, b’ la la vitesse du point B et a’b’ la vitesse de B par rapport à A, etc. a A= a .pa’, a B= a .pa’, a B= a .pa’ 1.4. Formules de construction - des vitesses : vitesses :

v A=v B+v AB

(v AO=vOA+v AB )

où v A est perpendiculaire à OA et v AB perpendiculaire à AB, etc. -

des accélérations : n

n

a A=a B+a AB= a B+a AB + a AB , a B = +a B + a B

ou cor

rel

a A=a B+ a AB +a AB n

cor

a AB , a AB , a AB Coriolis et relative. où

cor

avec a AB =2. x v AB

et +a ABrel dénotent respectivement les normales, tangentielles, de

Remarque : - Dans ce qui suit le soulignement d’un trait signifiera que le vecteur concerné n’est que partiellement connu. Deux trait trai t indiquera que le vecteur est complètement connu. Le s ymbole T renversé indique la perpendicularité avec le vecteur du premier membre de l’équation. - Pour trouver la vitesse ou l’accélération d’un point quelconque E, on écrit les équations vectorielles du mouvement relatif par rapport à deux points de vitesses connues appartenant à deux éléments ; par exemple pour le point E (fig), on peut résoudre le système d’équations vectorielles suivantes: V E = v A + OA(connu)

v AE AE

V E = v B + v EB //connu) BE

2. Exemple 1 : 1 : Système bielle manivelle courant On donne l2=lAB et l1= lOA ; on demande de trouver la vitesse et l’accélération en tous points. Solution : - Vitesses :

-Accélérations :

v B = v A + v BA //xx OA a B = a A + a BA //xx //OA

=> v A= 1.l 1

v BA= BA.l 2



= a A + a BAn+ a BA //xx //BA

33


a A= 12.l 1

a BA= BA2.l 2

A 2



E

 2

3

O

B

1

//OA

AB

b

p

xx

b’

 //xx

//xx

OA AB

a

//OA

OA

a’

Figure 7.1: Mécanisme bielle manivelle à axe de rotation de la manivelle éloigné du plan de déplacement du coulisseau 3. Exemple 2OA : OA : mécanisme mécanisme à coulisse On donne l2=lAB et l1= lOA ; on demande de trouver la vitesse et l’accélération en tous points.

A

//AB

1

BC

(rel)

a B3B2 //AB

b3 //BC

 B

a B3B2(cor)

2 C

B2B3 3

//BC b2’

 b3’

p b2

AB

//BC

BC

34


Solution : - Vitesses :

v B2= 1.l AB //CB

= v B2 + v B3A2 BC AB (=vB1)

v B3

- Accélérations :

a B3 = a B2

+ aB3B2

a B3 = a B3n //CB

+ a B3



v BA= BA.l 2

 BA=v B3 /BC

= aB2 + a B3B2(rel)+ a B3B2(cor)  v B3B2 //AB //CB

a B3n = 32.l CB CB aB2= 2.l AB a B3B2(cor)= 32.v B3B2 

Note: a B3B2(rel)  v B3B2 a B3 VIII.

= d a B2 /dt =l CB1 CB1. 3 =>  3= a B3 / l CB1 CB1

METHODE VECTORIELLE D’ANALYSE CINEMATIQUE DES MECANISMES PLANS ET TRIDIMENSIONNELLES, APPLICATION AU MANIPULATEUR DE ROBOT [2]

Considérons deux repères d’axes de coordonnées orthogonales OX aYaZa et OX bY bZ b d’origine commune O. Un vecteur quelconque de l’espace se décompose respectivement dans les deux repères comme suit :

32

Za

Z b

Ya

21 Y b

X b

43

Xa

=ia.1(a)+ja. 2(a)+k a.3(a)=i b.1(b) +j b.1(a)+k b.3(a)

(1)

En projetant sur les axes du système s ystème de coordonnées OX bY bZ b, on a:

35


1(b)=i b. =i b.ia.1(a)+i b.ja.2(a)+i b.k a.(a) 2(b)=j b. =j b.ia.1(a)+j b.ja.2(a)+j b.k a.(a) 3(b)=k b. =k b.ia.1(a)+k b.ja.2(a)+k b.k a.(a)

(2)

Mais ia.i b=cos(X b, Xa)

i b.ja=cos(X b, Ya)

i b.k a=cos(X b ,Za)

(3)

(3) On introduit les matrice colonnes (b) et (b) tel que :

(b)=M ba.(a) Avec

(a)=(1(a), 1(a), 1(a))T, (b)=(1(b), 1(b), 1(b))T On a :

M ba=

i b.ia i b.ja i b.k a j b.ia j b.ja j b.k a = k b.ia k b.ja k b.k a

cos(X b,Xa) cos(X b,Ya) cos(X b,Za) cos(Y b,Xa) cos(Y b,Ya) cos(Y b,Za) cos(Z b,Xa) cos(Z b,Ya) cos(Z b,Za)

une matrice d’ordre 3. Ainsi connaissant les coordonnées du vecteur  dans le système de coordonnée OXaXaZa, il est facile de calculer ses coordonnées dans le système de coordonnée OX bX bZ b de même origine par simple multiplication de matrice. Remarque : M ba comme un produit de matrices élémentaires définissant des rotations des axes du système de coordonnées initial. En effet, l’origine étant supposée fixe, le nouveau repère est obtenu à partir d’une suite de rotations rotat ions autour des axes. - Rotation autour de l’axe OX a

x1

M21 =

1 0 0

0 0 cos 12 sin 12 - sin 12 cos 12

(5)

Rotation autour de l’axe OY a

y1

M32 =

cos 32 0 - sin 23 0 1 0 sin 32 0 cos 32

(6)

36


Rotation autour de l’axe OZa

y1

M43 =

cos 43 sin 43 - sin 43 cos 43 0 0

0 0 1

(7)

Conséquences : Pour déterminer les coordonnées d’un point quelconque (a)dans le repère lié à b, on peut opérer des rotations successives faisant intervenir le produits des matrices : M1m =M12. M23. M34… Mm-1 m= Mi-1 i. Prise en compte de la variation de l’origine Soit r De le rayon vecteur d’un point quelconque D dans le système de coordonnées absolu. Définissons par e1, e2, …en-1, en et par L01, L02, … L0n , les distances séparant les couples cinématiques formés par ces éléments. On a : rDe=e1.L01+e2.L12+…+en-1 .Ln-2 n-1+en.Ln-1n= M01.L01+M02.L12+…+ M0n-2.L n-2 n-1 +M0n.Ln-1 n = M0i.Li-1i D’autre part, on a: M02=M01.M12 M03=M01.M12.M23 … M0n=M01.M12.M23… Mn-2 n-1.Mn-1 n d’où

M0n=M01.[ Lo1+M12.[M12… Mn-2 n-1.Mn-1 n]…]

Formule générale de la transformation des coordonnées Soit M ba la matrice des cosinus directeurs dans transformation par rotation des directions des axes du système de coordonnée (a) en système de coordonnées (b). La formule de transformation générale est :

M ba =

a11 a12 … a1n-1 a1n a21 a22…………….. . …………………… an1 an2 … ann-1 ann0

(5)

La relation entre les e rayons vecteurs d’un point exprimé dans les deux système de coordonnées s’écrit : r 1(a)=r 1(b)+l ba (a)

r 1 =

x1(a) y1(a) z1(a)

x1(a) r 1(b) = y1(a) z1(a)

l ba=

l bax l bay l baz

37


or r 1(b) = M ba . r 1(a) + l ba

(*)

En introduisant la matrice Tab de dimension n+1xn+1 te que a11 a12 … a1n-1 a1n a21 a22………… = . …………………… an1 an2 … ann-1 ann 0 0 … 0 0

M ba l ba Tab= O

1

l bax l bay l baz 1

(*) prend la forme:

r 1(b) 1

= Tab r 1(a)

Il est facile d’observer que : T1n=T12.T23.T34...Tn-1n=Tij Exemple 1 : Rechercher les coordonnées d’un point A( 1, 2, 3) dans un repère obtenu en faisant tourner le système d’axe OXaYaZa autour de l’axe OZa et en déplaçant ce système en translation le long de l’axe OZ d’une distance de Ls(L1, L2, L3). Z b

Za X b

 Ya

Xa

La



Xa

Y b O

Réponse : cos 43

- sin 43

0

38


(b)=

cos 43 0

cos 43 0

0 1

=M21.((a)+La)

Exemple 2 : De la position initiale avec les coordonnées linéaires et angulaires généralisées l1=l2=0,5m, l3’=l3’’=0,1m, j10=30°, le bras manipulateur de la figure ci-dessous se déplace à la position de coordonnées généralisées l2*=0,6m, j10*=60°, j32=90°. Dans ces conditions, comme le montre le schéma, l1=l3’ et l3’’ ne varient pas. Déterminer la plus courte distance DD* entre la position finale de la pince du manipulateur. Réponse : Sous la forme générale, l’équation matricielle pour la détermination des coordonnées du point D dans le système X 0Y0Z0 est de la forme : 0 0 0 0 0 R D0 D0 =A01 .(A23 .rD3+L12 )+L01

A010=

A23 =

0

L01 =

cos 10 sin 10 - sin 10 cos 10 0 0

1 0 0

0 cos 32 sin 10

-l2 0 0

-0,5 = 0 0

0 0 1

0 - sin 32 cos 32

, r D3 D3=

=

0,866 0,5 0

=

1 0 0

-l3* 0 = l 3’

-0,5 0,866 0

0 0 1

0 0 0,5 -0,866 0,866 0,5

-0,1 0 0,1

La position finale du bras manipulateur est décrite par les matruces:

A01 =

cos 10* - sin 32* 0 - sin 32 * cos 10* 0 0 0 1

A21 =

1 0 0 cos 32* 0 sin 10 *

0

L01 =

-l2 * 0 0

-0,6 = 0 0

0 - sin 32* cos 32*

, r D3 D3=

=

0,5 -0,866 0,866 0,5 0 0

=

1 0 0

-l1* 0 = l 3’

0 0 0,866

0 0 1

0 -1 0

-0,1 0 0,1

39


D’où DD*= r D0 D0*-r DO DO =

Soit

XDD YDD ZDD

0,2129 0,2812 -0,05

= DD*= (XD0*2+ XD0*2+ XD0*2)1/2=0,3562m

Exemple 3 : On considère le manipulateur de l’exemple précédent. Il comprend 3 éléments mobile en translation A, C et en rotation B formant des couples cinématiques de degré de liaison 5. Leur position dans l’espace ainsi que la position du point Dde la pince est caractérisée par les coordonnées généralisées linéaires et angulaires : l1=l2=0,5m, l3’=l3’’=0,2 : 10=30°, 32=60°. On connaît les vitesses relatives et les accélérations ; v12=0,5m.sec. Déterminer les vitesses angulaires de tous les éléments du bras manipulateur, ainsi que les vitesses et les accélérations linéaires des points B, C et D.

l3‘’

32

32

Z2



D

l 3‘



 3

Z0

D*

Z1

a21

Y3

v21 2 l2 X b

 X0



1

Xa

X1, X2, X3 A X0

O

lx

0 0

Y0 40


Réponse : La projection des vecteurs unitaires A et C correspondant aux articulations A et C sur lesa xes des systèmes de coordonnées peut être décrit par les matrices suivantes : 0 0 1

A=

cos 10 sin 10 0

C=

0,866 0,5 0

Pour l’élément 1 déterminons les vecteurs vitesse et accélération angulaires : 0 0

sec.-1

10

0 = 0 0,5

0 0 10

0 0 0,2

sec.-1

1 =

1=

=

Pour l’élément vitesse et l’accélération angulaire se déterminent è l’aide de l’équation vectorielle : 2=

1+

21

2=

1+

21+

1

21

Or

21=0

 21=0

D’où 1=

2

Les vecteurs vitesse et accélération angulaire relatives se caractérisent par la loi de la rotation de l’élément 3 par rapport à l’élément 2. On les calcule à l’aide de la formule suivante : 32=eC.|

32|

32=

eC.|

32|

Et les matrices correspondantes :

32=

32=

32 .cos 10 32 .sin 10 0

0,433 = 0,25 0

32 .cos 10 32 .sin 10 0

0,173 0,1 0

=

41


Pour obtenir la vitesse angulaire de l’élément l’é lément 3, on compose les équations vectorielles suivantes : 3=

2+

32 =

1+

3=

21

2+

32+

2

32=

Dans ces dernières équations, on trouve le produit deux vecteur an am décrits par les matrices xn xm an yn et am ym zn zm

1+

21+

2

32

1

21

, qui comme le produit de tous

Sous la forme générale on a: xn.zm- zn.ym yn.xm- xn.zm zn.ym- yn.xm

an am =

(1), (2) et (3) donne :

32=

2

-10 . 32 .sin 10 10 . 32 .cos 10 0

=

-0,125 0,2165 0

(5)

De 1, 2 et 3 on a : - 32 .cos 10 10.sin 10 10

3=

3=

10 .

D’où

=

0,433 0,25 0,5

- 32 .cos 10 - 10 32 .sin 10 32.cos 10 + 10 32.cos 10 ???

=

0,0482 0,3165 0,2

(6)

| |=0,707 sec.-1 , 3 =0,3778 sec. -1

Pour déterminer les projections des vecteurs OB, BC et CD sur les axes de coordonnées X0Y0Z0, on écrit les équations matricielles : OB=L01, BC=A01.L12, CD=A01.(A21.r D3 D3)

r D3 D3 =

XD3 YD3 ZD3

=

-l3’’ 0 l3’

=

-0,1 0 0,1

(8)

42


Avec

0 0 L1

L01 =

A01=

cos 10 -sin 10 sin 10 cos 10 0 0

A23=

1 0 0

0 0 0,5

=

0 0 1

0 0,866cos 32 sin 32 sin 12 cos 32

L12

=

0,866 0,5 0

=

1 0 1

-L2 = 0 0

-0,5 0,866 0

0 -0,5 0,8

(9)

0 0 1

0 0,8 0,5

(10)

(10)

En substituant (8) dans (11), on a:

OB=

BC=

0 0 l1

0 = 0 0,5

-l2. cos 10 -l2. sin 10 0

=

0,433 0,25 0

-l3‘’.cos 10+ l3’. cos 10.cos 32 CD= -l2‘’. cos 10+ l3’. cos 10.cos 32 -l3‘’. cos 32

Soit |OB|=0,5m

[BC|=0,5m

-0,0433 = -0,125 0

|CD|=0,1414m.

Puisque l’angle entre les vecteurs w1 et QB est nul, alors vB=0. Pour déterminer la vitesse en m/sec., du point C on utilise l’équation vectorielle : vC=vB+vCB=v21+

2

BC

ici v21=-eC.|v21| d’où

v21=

- v21.cos 10 - - v21.sin 10 0

=

-0,433 -0,25 0

(10)

43


De (1), (4) et (12) on tire :

2

BC = BC =

10.l2. sin 10 - 10.l2. cos 10 0

-0,125 = 0,2165 0

En substituant (14) et (15) dans (13), on a: - v21.cos 10 + v10.l2.cos 10 -0,3080 - v21.sin 10 - 10.l2.cos 10 = -0,4665 0 0 0

vC =

Soit

(10)

|vC|=0,5580m/sec.

La vitesse du point D vD=vC+vDC=vC+

2

CD

En utilisant (4), (6)n (12) et (17),

2

CD = CD =

l1’.(32. sin 10. cos 10+.10. cos 10. sin 32)+ l2’’.10. cos 10 l1’.(12. sin 10. cos 10+.10. cos 10. sin 32)+ l2’’.10. cos 10 - l1’.12. sin 32

=

-0,0730 -0,0433 0

-0,0730 -0,0433 0

vD=

Soit |vD|`=0,5622m/sec. L’accélération du point B : aB=

1

(

1+OB)

+

1

OB

Le vecteur et l’angle entre les vecteurs et sont nuls, nuls, par conséquent, L’accélération du point C : aD = a = aB + a + aCB = a = a21 +

2

BC) +

2

BC +2.( BC +2.(

2

v21)

ici, a21=eC. |a |a21| d’où la matrice - a21.cos 10 -0,0866 a21= - a21.sin 10 = -0,05 0 0 A partir des relations (1), (4) et (12), on a :

(20)

44


(

2

2

B) = B) =

102.l2.cos 10 102.l2.sin 10 = 0

0,1082 0,0625 0

avec 2

10.l2.sin 10 -10.l2.cos 10 0

BC = BC =

0,5 = -0,0866 0

L’accélération de Coriolis s’ubtient à partir de (1), (4) et (14)

2.(

2

2.10.l2. sin 10 v21) = - 2.10.l2. cos 10 0

0,25 = -0,4330 0

En additionnant (20) et (23) on obtient :

aC=

0,4948 -0,4071 0

Soit aD = a = aC + aDC = aC+

3

(

3

CD) +

3

CD

(4), (5), (12) et (18) donnent: 0,018 3(3CD) = 0,0562 0

2

0,0408 0,0111 0,0077

CD =

aD =

0,5464 -0,3620 -0,0298

aD=0,6561m.sec-2 Références [1] Frolov K.B.(1987), Théorie des mécanismes et des machines, Manuel de cours des Enseignements techniques supérieures, Moscou, vishaya shkola 1987. [2] Artobolevski I., Théorie des mécanismes et des machines, Edition Mir, Moscou 1977. [3] Norbert M., Philippe R., Boyer H., Technologie de construction mécanique, T.2, La Capitelle S.A.(1984), Editions Uzes (Gard). 45


[4] Youdin V.A., Barsov G.A., Tshupine Y.N(1982) Recueuil d’exercices de la Théorie des mécanismes et des machines, Vishaya schola, Moscou.

46

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