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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO INGENIERÍA DE SISTEMAS SISTEMAS

TAREA TRABAJO PRÁCTICO: ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I CÓDIGO: 315 FECHA DE ENTREGA AL ESTUDIANTE: Ad junt ju nt o al Plan de Evalu Ev aluaci ació ón FECHA DE DEVOLUCIÓN: Ad junt ju nt o a l a Pru eba In t egr al NOMBRE DEL ESTUDIANTE: CORREO ELECTRÓNICO DEL ESTUDIANTE: CÉDULA DE IDENTIDAD: CENTRO LOCAL: CARRERA: 236 CARRERA: 236 NÚMERO DE ORIGINALES: FIRMA DEL ESTUDIANTE: LAPSO: 2010/1 LAPSO: 2010/1

UTILICE ESTA MISMA PÁGINA COMO CARÁTULA DE SU TAREA O TRABAJO

Especialista: María E. Mazzei.

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Ingeniería de Sistemas

Evaluadora: Carmen Velásquez

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TRABAJO PRÁCTICO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I (315) OBJETIVO ESPECIFICACIONES La empresa SOLUCIONES ARTEX, elabora puertas de tamaño estándar, en cinco modelos: Batiente, Blindada Castellana, Guayacán, Provenzal y Moderna. Para la elaboración de dichos productos se emplean las siguientes máquinas: 3 cortadoras, 2 taladradoras, 3 pulidoras, 2 cepilladoras y 2 soldadoras. Adicionalmente, en la fabricación de cada puerta se emplean ciertos tiempos de producción, en horas, los cuales se presentan a continuación: Modelo Horas máquina Cortadora

Batiente Blindada Guayacán Provenzal Moderna Castellana 0,3 0,4 0,5 0,2 0,35

Taladradora

0,02

0,03

-

0,11

0,09

Pulidora

0,5

0,6

0,4

0,43

0,3

Cepilladoras

0,1

0,13

0,15

0,09

0,12

Soldadora

0,02

0,1

0,04

0,05

0,06

Los beneficios que obtiene SOLUCIONES ARTEX, al vender estos productos, en miles de Bs., son:

Batiente Blindada

Guayacán Provenzal Moderna

Castellana 180

300,6


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220,2


250

230,4


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SOLUCIONES ARTEX, desea planificar la producción de los diferentes modelos de puertas para el trimestre: Enero - Febrero - Marzo del próximo año, tomando en consideración que las siguientes máquinas estarán en mantenimiento, durante el tiempo especificado a continuación: Mes

Máquina en mantenimiento Cortadora (1)

Enero

Cepilladora(1) Pulidora (1)

Febrero

Soldadora (1) Cortadora (1)

Marzo

Pulidora (1) Cepilladora (1) Soldadora(1)

Por otra parte, existen estimaciones de la demanda para el trimestre considerado, que deberán tomarse en cuenta al momento de planificar la producción, las cuales presentamos a continuación: Modelo

Batiente

Demanda Mes

Blindada Guayacán Castellana

Provenzal

Moderna

Enero

300

400

500

350

400

Febrero

150

100

350

300

450

Marzo

420

50

400

350

600

La empresa opera 23 días al mes y 16 horas al día. Especialista: María E. Mazzei.

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Sobre la base de la situación planteada determine la planificación de producción que permita a

SOLUCIONES ARTEX satisfacer la demanda y

obtener un beneficio máximo, bajo las siguientes consideraciones: - SOLUCIONES ARTEX no dispondrá de un inventario inicial de producto alguno. - La empresa puede fabricar puertas, cada mes para satisfacer la demanda y mantener algunas en inventario para ventas futuras. No obstante existe una capacidad de almacenamiento limitada a 100 puertas. El costo unitario de almacenamiento por mes es de Bs. 2.500. - La empresa desea mantener en inventario 20 puertas de cada tipo al final del mes de marzo. Para ello formule y resuelva el modelo de Programación Lineal adecuado. Ayuda: -

Defina las variables de decisión que utilizará, tome en consideración en qué unidades se medirá. Seguidamente construya la función objetivo sobre la base del objetivo del problema y luego las restricciones que surgen de las especificaciones del mismo. Evite la redundancia de restricciones.

Utilice nombres de variables alusivos a lo que representan en el problema real. - Al resolverlo, analice cuidadosamente los resultados para determinar si tienen sentido real. -

El estudiante deberá resolver el problema individualmente y entregar un informe que contenga lo siguiente: Especialista: María E. Mazzei.

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I - Formulación del problema: I-1 Descripción de las variables de decisión Formulación general del problema. Por ello se entiende la

I-2

formulación matemática del problema, expresada en forma concisa, empleando sumatorias e índices cuando sea necesario. I-3 Total de variables de decisión y restriccion es: presente en forma explícita el número de variables de decisión, y número de restricciones. Considere dentro de las restricciones las cotas de variables (si las hay). Número de iteraciones r equeridas p ara la ejecución II – Solución al problema a- Reporte: de la data, solución y análisis de sensibilidad del problema, utilizando algún paquete de optimización lineal, como: LINDO Systems, Inc.: Es un paquete de optimización muy fácil de manejar, es muy flexible y tiene la ventaja de permitir introducir la función objetivo y las restricciones en forma natural sin necesidad de insertar las entradas con coeficientes iguales a cero. Acepta hasta 150 restricciones y hasta 300 variables. Para mayor información consulte la siguiente dirección: http:// www.lindo.com TORA Optimization System © Hamdy Taha. Es útil en el caso de problemas de pequeña escala, en donde la data no requiere representaciones decimales muy grandes o muy pequeñas. El número máximo de variables que acepta es de 30 y el número máximo de restricciones es 30. La última versión ( en Visual Basic) presenta mayores facilidades de operación. LOPT™ © Robert Bixby. Este paquete es útil para resolver problemas de mediana escala, hasta 1.200 variables y 600 restricciones. Microsoft Excel Solver™: es un módulo de optimización, útil para problemas de gran escala y presenta una amplia flexibilidad para el manejo de la data y solución del problema; se instala con el Microsoft Office y se activa con la opción Solver del menú Herramientas de Excel. Winqsb: Al igual que el paquete de Optimización anterior, permite introducir la data en forma natural. •

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Para mayor información consulte la siguiente dirección: www.investigacion-operaciones.com/Software/Winqsb.zip •

Existen otros paquetes como: AMPL, GAMS, LINGO y MPL. Algunos tienen ediciones para estudiantes, que se pueden bajar desde sitios web.

b- En el reporte obtenido, señale o resalte la solución, en caso de existir; su estado, el número de iteraciones y el valor óptimo de la función objetivo. III – Análisis de los r esultados. Una vez resuelto el problema, utilice el reporte generado para responder razonadamente lo siguiente: III -1 Determine el beneficio máximo de la empresa. III -2 Analice la solución y determine si tiene sentido real. III-3 ¿En cuáles meses es conveniente almacenar mercancía? ¿Cuántas puertas?. ¿De cuáles modelos?. III-4 ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que pueden alcanzar los costos de almacenamiento que garanticen el plan óptimo de producción obtenido?. III-5 Si en el mes de enero sólo disponemos de una cortadora, se mantiene óptimo el plan de producción obtenido?.


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III-6 Determine si se consumieron totalmente las horas de operación de cada tipo de máquina, durante el mes de febrero. III-7 Realice una interpretación económica de los precios duales resultantes en el modelo. FIN DEL TRABAJO PRÁCTICO


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MODELO DE RESPUESTA DEL TRABAJO PRÁCTICO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I (315) Problema de fabricación; almacén y venta de puertas I – Formulación del problema: I-1 Descripción de las variables de decisión. El problema planteado es un problema dinámico ya que considera variables (almacenamiento, fabricación y venta) que cambian de mes a mes. Esto sugiere la siguiente definición de las variables: xij : número de puertas del modelo i a fabricar en el período j yij : número de puertas del modelo i a almacenar en el período j zij : número de puertas del modelo i a vender en el período j Existen 5 modelos de puerta, los cuales denotaremos Como: el modelo 1: Batiente, 2: Blindada Castellana, 3: Guayacán, 4: Provenzal, 5: Moderna. Igualmente se consideran 3 meses.

I-2 Formulación del problema: El beneficio se calcula como los ingresos por concepto de ventas menos los costos de almacenamiento. Como no se consideraron costos de fabricación, en la función objetivo no figuran las variables x ij, por lo tanto la función objetivo a maximizar es: 5

z 

3

 bi z ij

5



i 1 j 1

3

2,5 y ij

(en miles de

Bs )

i 1 j 1

En donde bij representan los beneficios resultantes de vender el producto y las constantes 2,5 representan los costos fijos de almacenamiento.

Restricciones: -

De producción: se relacionan directamente con los tiempos consumidos en cada máquina según el modelo de puerta a fabricar, tomando en cuenta el recurso horas –máquina, disponible para cada mes, y son las siguientes: 5

 t ik x ij 

hkj

(k  1,..., 5)

( j  1, 2, 3)

i 1

Los coeficientes tij se refieren a los tiempos(en horas), que se emplean para fabricar cada modelo. Los hkl representan la disponibilidad mensual de cada tipo de maquinaria. La disponibilidad en horas está dada por: 23 x 16 x Número de maquinas del tipo k = 368 x Número de maquinas del tipo k Especialista: María E. Mazzei.




-

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De balance: relacionan los productos fabricados, con los almacenados y los vendidos. Entre estos elementos existe la siguiente relación: Cantidad a fabricar + cantidad almacenada del mes anterior = cantidad a vender + cantidad a almacenar para el próximo mes. Así las restricciones son las siguientes: x ij  y ij 1  y ij  z ij  0

(i  1,..., 5)

( j  1, 2, 3)

De acuerdo a las especificaciones del problema, debemos tomar en cuenta que no hay inventario inicial, por lo tanto: yi0 = 0. Igualmente como SOLUCIONES ARTEX desea mantener 20 puertas de cada tipo al final del mes de marzo, entonces y i3 = 20, para todo i.

-

De almacenamiento: como existen restricciones de espacio, la cantidad de puertas a almacenar estará limitada por 100, resultando las siguientes restricciones: 5

 y ij  100

( j  1,2)

i 1

Es importante aclarar en este punto que no estamos considerando las variables de almacenamiento para el mes 3, ya que sus valores son conocidos y por lo tanto son constantes.

-

De demanda: de acuerdo a las especificaciones del problema, hay una cierta demanda que debe satisfacerse, la misma es útil para orientar la producción. Por lo tanto existen las siguientes restricciones o cotas de fabricación: z ij  d ij

(i  1,..., 5)

( j  1, 2, 3)

Los dij son las cotas de demanda que se asignan a las variables relacionadas con las ventas de los productos.

Formulación General del problema: 5

Maximizar

3

 bi z ij

z 

i 1 j 1

5



3

2,5 y ij

(en miles de

Bs )

i 1 j 1

5

sujeto

a

 t ik x ij 

hkj

(k  1,..., 5)

( j  1, 2, 3)

i 1

k tipos de máquinas, j meses





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x ij  y ij 1  y ij  z ij  0

(i  1,..., 5)

( j  1, 2, 3)

i modelos de puertas, j meses 5

 y ij  100

( j  1,2)

i 1

z ij  d ij

(i  1,...,5)

( j  1, 2, 3) i modelos de puertas, j meses

yij ≥ 0 xij ≥ 0

(i=1,…,5) (j = 1,2,3) (i=1,…,5) (j = 1,2,3)

I-3 Cálculo del número de variables y restricciones Número de variables: 40, distribuidos en: 10 yij , 15 xij y

15 zij

Número de restricciones: 47, distribuidos en: 15 igualdades, 17 desigualdades y 15 cotas inferiores.

II- Solución del problema: Para resolver el problema se utilizó el paquete LOPT, ya que el paquete TORA resultó insuficiente para resolverlo

II-1 Listado de la DATA : PROBLEM:

Puertas.lp1

# CONSTRAINTS: # VARIABLES : # NONZEROS : MAX

ST c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13

32 40 132

- 2.5 y11 - 2.5 y12 - 2.5 y21 - 2.5 y22 - 2.5 y31 - 2.5 y32 - 2.5 y41 - 2.5 y42 - 2.5 y51 - 2.5 y52 + 180 z11 + 180 z12 + 180 z13 + 300.6 z21 + 300.6 z22 + 300.6 z23 + 220.2 z31 + 220.2 z32 + 220.2 z33 + 250 z41 + 250 z42 + 250 z43 + 230.4 z51 + 230.4 z52 + 230.4 z53 + 0.3 x11 + 0.4 x21 + 0.5 x31 + 0.2 x41 + 0.35 x51 <= 736 + 0.02 x11 + 0.03 x21 + 0.11 x41 + 0.09 x51 <= 736 + 0.5 x11 + 0.6 x21 + 0.4 x31 + 0.43 x41 + 0.3 x51 <= 1104 + 0.1 x11 + 0.13 x21 + 0.15 x31 + 0.09 x41 + 0.12 x51 <= 368 + 0.02 x11 + 0.1 x21 + 0.04 x31 + 0.05 x41 + 0.06 x51 <= 736 + 0.3 x12 + 0.4 x22 + 0.5 x32 + 0.2 x42 + 0.35 x52 <= 1104 + 0.02 x12 + 0.03 x22 + 0.11 x42 + 0.09 x52 <= 736 + 0.5 x12 + 0.6 x22 + 0.4 x32 + 0.43 x42 + 0.3 x52 <= 736 + 0.1 x12 + 0.13 x22 + 0.15 x32 + 0.09 x42 + 0.12 x52 <= 736 + 0.02 x12 + 0.1 x22 + 0.04 x32 + 0.05 x42 + 0.06 x52 <= 368 + 0.3 x13 + 0.4 x23 + 0.5 x33 + 0.2 x43 + 0.35 x53 <= 736 + 0.02 x13 + 0.03 x23 + 0.11 x43 + 0.09 x53 <= 736 + 0.5 x13 + 0.6 x23 + 0.4 x33 + 0.43 x43 + 0.3 x53 <= 736





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c14 + 0.1 x13 + 0.13 x23 + 0.15 x33 + 0.09 x43 + 0.12 x53 <= 368 c15 + 0.02 x13 + 0.1 x23 + 0.04 x33 + 0.05 x43 + 0.06 x53 <= 368 c16 + y11 + y21 + y31 + y41 + y51 <= 100 c17 + y12 + y22 + y32 + y42 + y52 <= 100 c18 + x11 - y11 - z11 = 0 c19 + x21 - y21 - z21 = 0 c20 + x31 - y31 - z31 = 0 c21 + x41 - y41 - z41 = 0 c22 + x51 - y51 - z51 = 0 c23 + x12 + y11 - y12 - z12 = 0 c24 + x22 + y21 - y22 - z22 = 0 c25 + x32 + y31 - y32 - z32 = 0 c26 + x42 + y41 - y42 - z42 = 0 c27 + x52 + y51 - y52 - z52 = 0 c28 + x13 + y12 - z13 = 20 c29 + x23 + y22 - z23 = 20 c30 + x33 + y32 - z33 = 20 c31 + x43 + y42 - z43 = 20 c32 + x53 + y52 - z53 = 20 BOUNDS z11 >= 300 z12 >= 150 z13 >= 420 z21 >= 400 z22 >= 100 z23 >= 50 z31 >= 500 z32 >= 350 z33 >= 400 z41 >= 350 z42 >= 300 z43 >= 350 z51 >= 400 z52 >= 450 z53 >= 600

II-2 Listado de la solución: SOLVING -- PHASE I IT INFEASIBILITY IN VAR OUT VAR 0 70.00 x12 z12 1 39.10 x23 z23 2 0.00 y22 c13 slack PHASE II ------- OBJ ------------------------------3 1279743.98 z21 c1 slack 4 1292704.98 z41 z21 5 1334864.28 z52 z22 6 1342638.28 y41 c16 slack OPTIMAL: x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32

Objective = = = = = = = = =


1342638.283333 300.000000 150.000000 440.000000 400.000000 165.166667 4.833333 500.000000 350.000000

Time =


0.00 sec



x33 x41 x42 x43 x51 x52 x53 y22 y41 z11 z12 z13 z21 z22 z23 z31 z32 z33 z41 z42 z43 z51 z52 z53 slack slack slack slack slack slack slack slack slack slack slack slack slack

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= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

c2 c3 c4 c5 c6 c7 c9 c10 c11 c12 c14 c15 c17

420.000000 480.000000 200.000000 370.000000 400.000000 1119.666667 620.000000 65.166667 100.000000 300.000000 150.000000 420.000000 400.000000 100.000000 50.000000 500.000000 350.000000 400.000000 380.000000 300.000000 350.000000 400.000000 1119.666667 600.000000 629.200000 187.600000 119.800000 622.000000 386.050000 605.275000 494.668333 257.303333 101.066667 630.555000 152.671667 286.216667 34.833333

SENSIBILIDAD :

CONSTRAINT c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 c15 c16 c17

SENSE L L L L L L L L L L L L L L L L L

RHS SENSITIVITY DUAL PRICE 1250.000000 zero zero zero zero zero zero 768.000000 zero zero zero zero 772.166667 zero zero 77.740000 zero


DOWN 730.000000 106.800000 916.400000 248.200000 114.000000 717.950000 130.725000 535.100000 241.331667 110.696667 634.933333 105.445000 733.100000 215.328333 81.783333 0.000000 65.166667


UP 823.255814 +INFINITY +INFINITY +INFINITY +INFINITY +INFINITY +INFINITY 1066.900000 +INFINITY +INFINITY +INFINITY +INFINITY 775.100000 +INFINITY +INFINITY 130.000000 +INFINITY



c18 c19 c20 c21 c22 c23 c24 c25 c26 c27 c28 c29 c30 c31 c32

VARIABLE x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 x41 x42 x43 x51 x52 x53 y11 y12 y21 y22 y31 y32 y41 y42 y51 y52 z11 z12 z13 z21 z22 z23 z31 z32 z33 z41 z42 z43 z51 z52 z53

E E E E E E E E E E E E E E E

STATUS BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC BASIC LB LB LB BASIC LB LB BASIC LB LB LB LB LB LB LB LB LB LB LB LB BASIC LB LB LB BASIC LB

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-375.000000 -500.000000 -625.000000 -250.000000 -437.500000 -384.000000 -460.800000 -307.200000 -330.240000 -230.400000 -386.083333 -463.300000 -308.866667 -332.031667 -231.650000 OBJ SENSITIVITY REDUCED COST zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero zero -71.240000 -0.416667 -119.440000 zero -398.040000 -0.833333 zero -0.708333 -287.340000 -1.250000 -195.000000 -204.000000 -206.083333 -199.400000 -160.200000 -162.700000 -404.800000 -87.000000 -88.666667 zero -80.240000 -82.031667 -207.100000 zero -1.250000


-300.000000 -400.000000 -277.925926 -INFINITY -400.000000 -150.000000 -165.166667 -350.000000 -200.000000 -INFINITY -58.200000 -45.166667 -77.750000 -70.930233 -110.333333

20.000000 15.000000 12.000000 30.000000 17.142857 401.800000 334.833333 502.250000 467.209302 669.666667 25.800000 54.833333 27.250000 26.744186 29.666667

DOWN -INFINITY -71.240000 -0.416667 -INFINITY -0.500000 -2.500000 -INFINITY -398.040000 -0.833333 -47.493333 -INFINITY -0.708333 -INFINITY -1.250000 -1.250000 -INFINITY -INFINITY -INFINITY -3.000000 -INFINITY -INFINITY -73.740000 -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY -INFINITY 150.300000 -INFINITY -INFINITY -INFINITY 229.150000 -INFINITY

UP 71.240000 0.416667 206.083333 119.440000 2.500000 0.500000 398.040000 0.833333 88.666667 +INFINITY 0.708333 82.031667 207.100000 1.250000 1.250000 68.740000 2.083333 116.940000 0.000000 395.540000 -1.666667 +INFINITY 1.791667 284.840000 1.250000 375.000000 384.000000 386.083333 500.000000 460.800000 463.300000 625.000000 307.200000 308.866667 327.740000 330.240000 332.031667 437.500000 441.176471 231.650000




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III- Análisis de los resultados III-1 Beneficio máximo de la empresa: Al valor óptimo de la función objetivo se debe restar el costo de almacenar 20 puertas de cada modelo, ya que este costo no se consideró en la función objetivo, debido a que sus valores eran conocidos.. El resultado es: 1.342.638,28

- 2.5 * 20* 5

(en miles de Bs.)

III -2 Análisis de la solución Al analizar la solución observamos que existen 5 valores de variables que no alcanzaron valores enteros, no tiene sentido real decir “es conveniente producir 165,17 puertas”. Tampoco es correcto redondear 165,17 a 165, ya que resulta una solución no óptima. Este tipo de problemas debe resolverse empleando técnicas de Programación Entera, lo cual escapa de nuestros objetivos.

III-3 ¿En cuáles meses es conveniente almacenar mercancía? ¿Cuántas puertas? ¿De cuáles modelos? Es conveniente almacenar 100 puertas modelo 4 (Provenzal) en el mes de enero y 65,17(?) puertas modelo 2(Blindada Castellana) en el mes de febrero.

III-4 ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que pueden alcanzar los costos de almacenamiento, que garanticen el plan óptimo de producción obtenido? Observando el reporte de sensibilidad para el caso de cambios en los coeficientes de la función objetivo asociados con los costos de almacenamiento, encontramos los siguientes valores mínimos y máximos:

y11 y12 y21 y22 y31 y32 y41 y42 y51 y52


Mínimo

Máximo

-infinito -infinito -infinito -3 -infinito -infinito -73,74 -infinito -infinito -infinito

68,74 2,083 116,94 0 395,54 -1,67 + infinito 1,79 284,84 1,25




8/8

III-5 Si en el mes de enero sólo disponemos de una cortadora, se mantiene óptimo el plan de producción obtenido? No se mantiene óptimo, ya que el mínimo valor que puede alcanzar el lado derecho en la restricción correspondiente ( c1) es 730 y si sólo se cuenta con una cortadora el valor del lado derecho es 368.

III-6 Determine si se consumieron totalmente las horas de operación de cada tipo de máquina, durante el mes de febrero. En el mes de febrero sólo se consumieron todas las horas de las 2 pulidoras. Con el resto de las maquinas no se utilizaron todas las horas-máquinas. Esto se puede observar en el reporte de sensibilidad, la única restricción del mes de febrero en donde la variable de relleno alcanzó el valor cero fue la correspondiente a las máquinas pulidoras. Es importante aclarar que los errores de redondeo a veces impiden ver con exactitud el cumplimiento de las restricciones en el sentido de igualdad.

III-7 Realice una interpretación económica de los precios duales resultantes en el modelo. Esta sección es de interpretación con palabras propias del papel de las variables duales con relación al precio de los recursos, por ejemplo horas-máquina y capacidad de almacenamiento, y su influencia en el valor de z.

CRITERIO DE CORRECCIÓN: Se logra el objetivo, si se formula correctamente el modelo de PL, tomando en consideración todo lo solicitado en las especificaciones del problema. Es posible que resulte un número diferente de variables o restricciones, esto depende de las consideraciones que se empleen en la definición de las variables. Como mínimo las variables deben definirse en este problema sobre la base de tres actividades básicas: fabricación, almacenamiento y ventas. En general, consideramos logrado el objetivo, si el estudiante formula y resuelve el problema con la data original y sobre la base de la solución obtenida responde la sección de preguntas. Enfatizamos en la importancia del análisis del problema y la interpretación de los resultados, además de una formulación adecuada; también se consideran importantes las propuestas a mejoras dirigidas a obtener una buena solución al problema.

FIN DEL MODELO DEL TP.




Tp 31520101

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