Topografia y Geodesia 2011 UCAN

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA INGENIERÍA CARTOGRÁFICA, GEODÉSICA Y FOTOGRAMETRÍA

ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA

APUNTES

“TOPOGRAFÍA Y GEODESIA”

UNIDAD DIDÁCTICA I

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA

Profesor Responsable: Julio Manuel de Luis Ruiz.

Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

1



UNIDAD DIDÁCTICA I INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 1. DEFINICIÓN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BÁSICOS 1.1. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 1.1.1. Forma de la tierra 1.1.2. Elementos geográficos sobre las superficies de aproximación 1.1.3. Referenciación geográfica 1.1.3.1. Figura de aproximación esférica 1.1.3.2. Figura de aproximación elipsoidal 1.1.4. Redes topográficas y geodésicas 1.2. ENCUADRE REFERENCIAL 1.2.1. Conceptos generales 1.2.1.1. Introducción y objeto de la Topografía 1.2.1.2. Mapas, planos y cartas 1.2.1.3. Problemática condicionada 1.2.2. Aspectos geométricos de un plano o mapa 1.2.2.1. Escala 1.2.2.2. Tipos y clasificación de escalas 1.2.3. Límite de percepción visual 1.2.3.1. Concepto 1.2.3.2. Importancia 1.2.4. Topografía en la ingeniería 1.3. LA MODELIZACIÓN CONVENCIONAL DEL RELIEVE 1.3.1. Levantamiento topográfico 1.3.2. Sistemas básicos de representación 1.3.2.1. Sistema de planos acotados 1.3.2.2. Aplicaciones elementales 1.3.3. Explotación de la información cartográfica 1.3.3.1. Configuración del terreno 1.3.3.2. Perfiles sobre cartografía 1.3.3.3. Aplicaciones caracterizadas 1.3.4. La problemática de la representación cartográfica 1.3.4.1. Los desarrollos cartográficos 1.3.4.2. Sistemas usuales 1.4. LECTURA DE MAPAS Y PLANOS 1.4.1. Introducción general 1.4.1.1. Situación cartográfica actual 1.4.1.2. Sistemas más utilizados de referenciación


2


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.4.1.3. Información geográfica adicional 1.4.2. Aspectos particularizados de los mapas y planos 1.4.2.1. Condicionantes básicos 1.4.2.2. Asentamientos urbanos y vías de comunicación 1.4.2.3. Hidrografía marina e interna 1.4.2.4. Vegetación y usos del suelo 1.4.2.5. Información adicional 1.4.3. Introducción a los sistemas cartográficos numéricos 1.4.3.1. Introducción a los sistemas de georreferenciación 1.4.3.2. Tratamiento informatizado de la cartografía numérica 1.4.4. Consideraciones finales sobre la información contenida en los planos 2. INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA. APLICACIÓN A LA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 2.1. NECESIDAD Y LÍMITES DE SU ESTUDIO. LA MEDIDA COMO VARIABLE ALEATORIA 2.1.1. Inevitabilidad, causas y tipos de errores 2.1.2. Introducción al estudio de una variable aleatoria 2.2. FUNCIONES DE DENSIDAD QUE SE APOYAN EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 2.2.1. Distribución normal 2.2.2. Distribuciones derivadas de la normal 2.2.3. Aproximación al empleo de la normal y sus derivadas en metrología elemental 2.2.4. Tratamiento simplificado de los errores en las medidas 2.3. CONSIDERACIONES ADICIONALES 2.3.1. Estimación de parámetros 2.3.2. Determinación de la precisión de los instrumentos 3. FUNDAMENTOS DE ASTRONOMÍA GEODÉSICA 3.1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA 3.1.1. Objeto y división de la astronomía 3.1.2. Nociones de cosmografía 3.1.2.1. Base observacional 3.1.2.2. Definiciones en la esfera celeste 3.1.3. Movimientos de la tierra 3.1.3.1. Rotación y traslación 3.1.3.2. Equinoccios y solsticios 3.1.3.3. Signos del zodíaco, trópicos y círculos menores 3.1.4. Coordenadas geográficas 3.1.4.1. Elementos constituyentes 3.1.4.2. Longitud y latitud 3.2. SISTEMAS DE COORDENADAS 3.2.1. Coordenadas horizontales Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

3


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.2.2. Coordenadas ecuatoriales horarias 3.2.3. Coordenadas ecuatoriales absolutas 3.2.4. Coordenadas eclípticas 3.2.5. Resumen de los sistemas de coordenadas 3.3. LA TIERRA EN EL UNIVERSO 3.3.1. Configuración del cosmos 3.3.2. Las distancias en astronomía 3.3.3. La vía láctea y el sistema solar 3.3.4. El diagrama HR 3.3.5. La radioastronomía: cuásares y púlsares 3.3.6. Observatorios astronómicos 3.3.7. Últimas consideraciones


4



1. DEFINICIÓN DE ESCENARIOS Y CONTENIDOS BÁSICOS


5


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.1. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA 1.1.1. FORMA DE LA TIERRA La Geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra en un contexto territorial amplio. La Topografía actúa en un marco territorial reducido donde puede despreciarse la falta de planeidad de la Tierra. Ambas ciencias tienen como uno de sus objetivos la representación de una parte de la superficie terrestre sobre un plano, y en la actualidad, dada la evolución tecnológica del instrumental destinado a evaluar distancias, es difícil establecer una separación concisa. La Geodesia comienza allí donde termina la Topografía, pero no pueden separarse ya que la Topografía necesita apoyarse en la Geodesia en la mayor parte de las aplicaciones. La Tierra tiene una complicada configuración geométrica, siendo necesario definir una superficie de referencia. Así, se define el geoide como una superficie equipotencial, coincidente aproximadamente con el nivel medio de las aguas de los océanos, o también como el lugar geométrico de los puntos que están en equilibrio por la actuación de las siguientes solicitaciones: -

Fuerzas de atracción de los demás astros.

-

Fuerzas de atracción de la propia masa de la Tierra.

-

Fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre.

Estudiando estas fuerzas y los potenciales que provocan se puede definir física y geométricamente la figura del geoide, que es asimilable a prolongar la superficie de los mares en calma por debajo de los continentes. El geoide no coincide con exactitud con la superficie real del mar, dado que los océanos están sujetos a mareas y corrientes. Por esta razón, para definir al geoide se utiliza el concepto de nivel medio del mar. Como el geoide es una superficie equipotencial, el potencial en cualquier punto de él será el mismo y la dirección de la gravedad en cualquier punto de él será perpendicular al geoide. El geoide se ha escogido como la superficie equipotencial que corresponde al nivel medio del mar dado que ésta es una superficie con realidad física suficiente. Si la Tierra tuviera una densidad uniforme y no existiese orografía consolidada, el geoide tendría forma de esfera achatada, centrado sobre el centro de masa de la Tierra. Pero la simplificación no es real, dado que las variaciones de la densidad de la Tierra provocan alteraciones en la forma del geoide. Este efecto tiene como consecuencia que el geoide se aparta de la forma regular media de ± 100 m. Esta desviación se conoce como ondulación o altura geoidal. En cualquier caso, siempre será una figura de complicada matemática para ser utilizada para realizar cálculos, por lo que en Geodesia Geométrica se tiende a utilizar una superficie de referencia con estructura matemática más sencilla. En la actualidad se utilizan dos figuras de aproximación de la superficie terrestre: - Esfera:

parámetro R (radio)

- Elipsoide de revolución: parámetros a,b (semidiámetros)


6



Figura Número 1.- Características del geoide

En una primera aproximación puede suponerse que la Tierra es posible sustituirla por una esfera cuyo valor del radio es 6.370.000 m. La investigación geodésica, apoyada en costosos trabajos de campo, ha dado lugar a la aparición de elipsoides con parámetros diferentes, cuyo grado de aproximación a la figura real de la tierra es mucho mayor que el de la esfera. Así, cada país iba confeccionando sus mediciones geodésicas en concordancia con el elipsoide adoptado, creando un problema en los enlaces de diferentes trabajos y, por lo tanto, en el establecimiento de una cartografía uniforme.

Figura Número 2.- Superficie terrestre y figuras de aproximación


7


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En el año 1910, Hayford obtuvo el elipsoide más conveniente para representar los Estados Unidos de América. En 1924 la Asamblea Internacional de Geodesia y Geofísica, celebrada en Madrid, adoptó el elipsoide de Hayford como elipsoide internacional de referencia. Posteriormente, la Unión Astronómica Internacional estableció en 1964 un elipsoide con parámetros muy similares: PARÁMETROS

1910

1964

Semieje mayor (a)

6.378.388 m.

6.378.160 m.

Semieje menor (b)

6.356.909 m.

6.356.775 m.

Excentricidad (e)

0,081998

0,0818

Aplanamiento (α)

1/297

1/298,25

Excentricidad:

e=

Aplanamiento:

α=

a2 − b2 a a−b a

También es utilizado el parámetro denominado segunda excentricidad, que tiene como valor: Segunda excentricidad: 1.1.2. ELEMENTOS APROXIMACIÓN

e' =

GEOGRÁFICOS

a2 − b2 b SOBRE

LAS

SUPERFICIES

DE

Considerando la Tierra aproximada por una esfera o por un elipsoide de revolución, pueden definirse los siguientes elementos geográficos generales:

Figura Número 3.- Elementos estructurales


8


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA -

Eje terrestre: Línea coincidente con el eje de rotación de la Tierra. Es un diámetro en el caso de figura esférica y coincide con el diámetro de menor longitud en el caso de superficie elipsoidica.

-

Polos terrestres: Puntos de intersección del eje terrestre con la superficie de la Tierra.

-

Plano meridiano: Plano que contiene al eje terrestre.

-

Meridiano: Intersección de los planos meridianos con la superficie terrestre. Es una circunferencia máxima en el caso de esfera y una elipse (elipse meridiana) en el caso de elipsoide de revolución.

-

Plano paralelo: Plano normal al eje terrestre.

-

Paralelo: Intersección de los planos paralelos con la superficie terrestre. Es una circunferencia en ambos casos de superficies de aproximación. Ecuador es el paralelo máximo y divide la superficie terrestre en dos hemisferios, Norte y Sur.

El elemento geográfico más importante asociado al estudio de la Geodesia es la vertical a la superficie terrestre.

Figura Número 4.- Vertical en un punto de la superficie terrestre

Si la figura de aproximación es la esfera, la vertical de un lugar es la recta determinada por dicho punto y el centro de la propia esfera. Si la figura de aproximación es el elipsoide de revolución hay que diferenciar tres conceptos de vertical del punto considerado: -

Vertical astronómica: Es la línea que toma en dicho lugar la plomada y es independiente del elipsoide adoptado.

-

Vertical geodésica: Es la línea perpendicular al elipsoide adoptado en el punto considerado.


9



Vertical concéntrica: Es la línea que une el punto considerado con el centro del elipsoide.

Otros elementos geográficos son los siguientes, para un punto determinado: -

Plano horizontal: Es el plano tangente a la superficie de aproximación. Es único para la esfera (horizonte sensible) y tiene tres variantes en el caso de elipsoide, según sea perpendicular a cada una de las tres verticales definidas.

-

Meridiano: Es la recta intersección entre el plano horizontal y el plano meridiano que contiene a dicho punto.

La gran importancia de esta variedad en la definición de las verticales condiciona la planificación del trabajo topográfico y geodésico, ya que la posición en campo de los aparatos para evaluar los ángulos (horizontal y vertical), y las distancias, quedan caracterizados haciendo coincidir la vertical del lugar (vertical astronómica) con el eje principal (vertical) del aparato topográfico.

Figura Número Nº5.- Desviación de la vertical

En un determinado lugar, la diferencia entre la vertical astronómica y la vertical geodésica se denomina desviación de la vertical. 1.1.3. REFERENCIACIÓN GEOGRÁFICA 1.1.3.1. Figura de aproximación esférica Considerando la Tierra esférica, la posición de un punto quedará determinada por medio de dos coordenadas medidas sobre la esfera, considerando como planos referenciales el Ecuador y un meridiano origen. Para usos referenciales se empleaban diversos meridianos, tales como aquellos que pasaban por lugares determinados (observatorios astronómicos) de capitales de naciones. En la actualidad, el meridiano origen más utilizado es el que pasa por el observatorio de Greenwich. En la cartografía española antigua, el origen es el meridiano de Madrid, y en la actualidad es el de Greenwich.


10



Figura Número 6.- Longitud y latitud geográficas

-

Longitud geográfica λ: Es el ángulo diedro formado por los meridianos origen (00) y el meridiano del punto considerado. Se evalúa de 0O a 3600 o de 0h a 24h positivo hacia el Oeste. También suele evaluarse de 00 a 1800 al Oeste, positivo, y de 00 a 1800 al Oeste, y de 00 a 1800 al Este, negativo.

-

Latitud geográfica ϕ: Es el ángulo formado por la vertical del punto y el plano del Ecuador. Se evalúa a partir del Ecuador, siendo de 00 a 900 positivo al Norte y de 00 a 900 negativo al Sur.

Figura Número 7.- Diferencia entre meridianos origen

1.1.3.2. Figura de aproximación elipsoidal Considerando la tierra elipsoidica, habrá que considerar las coordenadas según el origen que se adopte: geodésicas, geocéntricas y astronómicas. Las coordenadas geográficas geodésicas y geocéntricas están definidas sobre el elipsoide y dependen de las dimensiones adoptadas. Por el contrario, las coordenada geográficas astronómicas se definen con independencia de toda hipótesis sobre la forma y dimensiones de la Tierra. La definición de las coordenadas de un punto determinado del elipsoide serán:


11



Latitud geocéntrica (ψ): Es el ángulo que forma la recta definida por el punto y el centro del elipsoide con el plano del Ecuador.

-

Latitud geodésica (ϕ’): Es el ángulo que forma la normal al elipsoide en el punto dado con el plano del Ecuador.

-

Latitud astronómica (ϕ): Es el ángulo que forma la vertical del lugar con el plano del Ecuador.

Figura Número 8.- Coordenadas sobre el elipsoide

De igual forma, debido a la falta de coincidencia entre geoide y elipsoide de referencia, existen dos tipos de longitud: -

Longitud geodésica (λ’): Es el ángulo medido a lo largo del Ecuador entre el meridiano origen y el meridiano del punto considerado relativo al elipsoide.

-

Longitud astronómica (λ): Es el ángulo medido a lo largo del Ecuador, entre el meridiano origen y el meridiano astronómico del lugar. El meridiano astronómico puede ser definido como el plano que contiene al eje de rotación de la Tierra y el cenit astronómico del punto considerado.

Otros elementos de gran relevancia en el contexto geográfico son los de acimut y datum. Puede definirse sobre las dos superficies de aproximación, aunque realizando la definición sobre el elipsoide queda englobada la definición sobre la esfera. Acimut desde un punto P a un punto Q sobre el elipsoide es el ángulo entre dos planos, ambos conteniendo la normal al elipsoide en el punto P, uno de los cuales contiene el polo norte del elipsoide y el otro el punto Q. El ángulo es medido en el sentido de las agujas del reloj, desde el Norte. Este acimut es referido al polo elipsoidal y a la normal al elipsoide en el punto P (acimut geodésico). De igual forma, desde un punto P a un punto Q, puede ser definido como el ángulo entre dos planos, ambos conteniendo la vertical en P, uno de los cuales (el meridiano astronómico) contiene el polo norte geográfico y el otro, al punto Q (acimut astronómico).


12



Figura Número 9.- Representación del acimut

Se denomina datum al punto donde coinciden el geoide con la figura de aproximación (elipsoide). En este punto coinciden las coordenadas astronómicas y geodésicas. Con mayor generalidad, el datum geodésico consistiría en definir geométricamente el elipsoide de referencia a través de dos parámetros (a,b); (a,α) …, y definir su posición respecto al geoide a través del conocimiento en un punto de la desviación de la vertical y la ondulación del geoide. A partir del datum, y mediante observaciones angulares y de distancias, se irán transmitiendo las coordenadas geodésicas a todos los puntos necesarios. 1.1.4. REDES TOPOGRÁFICAS Y GEODÉSICAS Las redes topográficas están constituidas por vértices posicionados entre sí relativamente en el contexto espacial por medio de aparatos topográficos y métodos apropiados. Configuran los sistemas de referenciación para trabajos usuales de ingeniería y es el soporte imprescindible para el análisis en el terreno, ya sea en el contexto cartográfico, en el de captar información geográfica o simplemente en el de posicionar elementos constituyentes (definición geométrica de alineaciones, puntos de marcada significación, etc.). Es conveniente que estas redes topográficas (planimétricas y altimétricas) queden encuadradas en otras de textura superior, que a nivel regional o nacional existen, para controlar el trabajo y, sobre todo, para unificar los posicionamientos en el ámbito geográfico. La red geodésica es una macroestructura que está formada por cadenas de triángulos que cubren todo un amplio territorio. La red geodésica española está diferenciada en dos grandes bloques: -

Red de primer orden: con lados de triángulos de unos 50.000 m.

-

Red de orden inferior: con lados de triángulos de 8.000 m.

La red está materializada en el territorio por medio de los vértices geodésicos, que son hitos de variada tipología, posicionados en lugares apropiados para lograr la intervisibilidad entre ellos y que proporcionen, como dato más representativo, la longitud y latitud geodésicas en el centro del pilar.


13



Figura Número 10.- Vértice geodésico

La red geodésica española de primer orden está configurada por triángulos de lado medio unos 50 km., que cubre todo el territorio nacional, incluyendo las Islas Baleares y el enganche africano que une la costa sur con Argelia y Marruecos. Los trabajos se iniciaron hacia 1858 para confeccionar el mapa topográfico nacional a escala 1/50.000. Tuvo su inicio con el establecimiento de la base de Madridejos (Toledo), medida con una regla bimetálica creada por el Militar del Cuerpo de Ingenieros d. Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero (1825-1891), auténtico impulsor del proyecto. De esta base de sólo 14.662,887 m., ubicada en una zona llana y centrada en el territorio nacional, surgió la triangulación que permitió tomar los datos métricos del mencionado mapa. El cálculo de los vértices se efectuó con datum Madrid, utilizando el elipsoide de Struve como figura de aproximación de la tierra. En 1875 se publica la primera hoja del Mapa Topográfico Nacional a escala 1/50.000 (Hoja Nº559 de Madrid). El trabajo finalizó noventa y cuatro años después con la publicación de la última hoja, constituyendo, por la época de su realización, un trabajo impresionante, y no valorado adecuadamente.

Figura Número 11.- Red geodésica fundamental


14


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A principios de 1980, el Instituto Geográfico Nacional inició una gran campaña para densificar la Red Geodésica Nacional, configurando vértices geodésicos con lado medio 5.000 m. Campañas para posicionar, construir, observar y calcular permitieron tener la actual estructura. Cantabria tiene 111 vértices obtenidos utilizando como fundamentales cinco vértices de la red de primer orden: Llatias, Ibio, Cerrado, Valnera y Valdecebollas, los puntos Laplace.

Figura Número 12.- Red Geodésica Nacional en Cantabria

Un punto Laplace (denominado así en recuerdo a Pierre Simon, Marqués de Laplace, 1749-1827) se define como un vértice geodésico que pertenece a una red de orden principal, desde el cual se han efectuado observaciones astronómicas de gran precisión. Los datos que se obtienen son la longitud y la latitud astronómica y el acimut. Un dato de gran transcendencia en estos puntos es la desviación relativa de la vertical astronómica y geodésica, que sólo se hacen coincidentes en un punto, denominado fundamental (datum). Estas observaciones angulares, en la actualidad se complementan con medidas de distancias con el fin de ajustar la escala. Las condiciones que deben cumplir los puntos Laplace son las siguientes: -

Deben pertenecer a la Red Fundamental de vértices geodésicos.

-

Ser de fácil acceso para transportar el material.

-

Tener la posibilidad de ser nivelados geométricamente desde una señal NAP.

-

Ser posible montar una caseta de observación.

De todos los vértices geodésicos existen reseñas convenientemente documentadas. Por una parte un croquis y una fotografía ilustran la forma de acceder hasta el vértice, adjuntándose un mapa con la ruta a seguir desde el lugar más idóneo.


15


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En el portal web del Instituto Geográfico Nacional http://www.ign.es se puede descargar toda la información relativa a este tipo de redes geodésicas y otras que se irán describiendo a lo largo de la asignatura. A continuación se incluyen el croquis y la fotografía del vértice de orden inferior Alto de Guriezo y el mapa informativo para acceder al punto Laplace Ibio.


16



Al igual que la Red Geodésica Nacional permite plasmar las coordenadas cartesianas con total precisión. Existe otra red, la Red de Nivelación de Alta Precisión, que permite la identificación de puntos con extraordinaria precisión altimétrica.


17




18


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.2. ENCUADRE REFERENCIAL 1.2.1. CONCEPTOS GENERALES 1.2.1.1. Introducción y objeto de la Topografía La palabra Topografía aglutina el conjunto de técnicas y métodos que tienen por objeto determinar la forma y dimensiones de un terreno, representándolo gráficamente en plano o mapa con los accidentes naturales y artificiales y su posición relativa: - Planimétrica:

x,y

- Altimétrica:

z

Cualquier estudio de Ingeniería necesita utilizar la información contenida en los mapas o planos dado que en cualquier Ingeniería (Caminos, Minas o Industrial) se incide de una forma muy activa en el proyecto, construcción y control de una obra o instalación, en las que el plano es el soporte fundamental de trabajo. El objetivo fundamental de la Topografía es medir ángulos y distancias con aparatos adecuados y, utilizando métodos apropiados, determinar los posicionamientos en la doble vertiente: -

Captar información en el terreno y, tras el trabajo en gabinete, posicionar en plano o mapa.

-

Analizar geometría en gabinete y posicionar los puntos representativos en el terreno.

Las principales magnitudes empleadas en Topografía son: -

Magnitudes lineales y superficiales: la unidad más utilizada es el metro lineal y el metro cuadrado, aunque en superficies de gran extensión se emplea la hectárea (10.000 m2).

-

Magnitudes angulares: se emplean indistintamente sexagesimales, centesimales o radianes.

las

unidades

360o = 360 x 60 = 21.600’ = 360 x 60 x 60 = 1.296.000”

representando: 400g = 400 x 100 = 40.000c = 400 x 100 x 100 = 4.000.000cc

La equivalencia entre estas unidades y el radian es la siguiente:

1 radian =

1.296.000 = 206.265" 2π

1 radian =

4.000.000 = 636.620" 2π

1.2.1.2. Mapas, planos y cartas La cartografía tiene como finalidad la concepción, preparación, redacción y realización de todos los tipos de mapas, planos y cartas. Implica el estudio de la


19


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA expresión gráfica de los fenómenos a representar y engloba el conjunto de operaciones que partiendo de los datos de campo o documentos recogidos finaliza en la impresión y utilización del mismo. Constituye una transcripción gráfica de los fenómenos geográficos. Se denomina mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que, por su extensión y debido a la curvatura de la superficie de la Tierra, requiere hacer uso de sistemas especiales de transformación propios de la Geodesia y de la Cartografía Matemática. Si el mapa abarca la totalidad del planeta se denomina planisferio, y si la representación del mundo se consigue mediante dos hemisferios se denomina mapamundi. Los mapas pueden ser terrestres, o más simplemente mapas, y marinos, denominados cartas. Estas pueden ser las destinadas a la navegación o las que señalan diferentes particularidades físicas del mar, como profundidades, corrientes, etcétera. En las cartas de navegación o de derrota se indican con todo detalle los accidentes de las costas, faros, boyas, etc. También se denominan cartas a los mapas usados para navegación aérea. El mapa como instrumento de trabajo puede ser: -

Analítico: son los que estudian un fenómeno temático y lo asocian con el lugar donde se manifiesta.

-

Experimentación: por la combinación de dos o varios mapas de análisis puede estudiarse la existencia de correlaciones.

-

Síntesis: soportan una información mucho más amplia.

Los mapas topográficos dan a conocer el terreno que representan con todos sus detalles, naturales o debidos a la mano del hombre, y son, por tanto, las representaciones más perfectas de la superficie de la Tierra. Se da propiamente el nombre de plano a la representación gráfica que por la escasa extensión de superficie a que se refiere no exige hacer uso de los sistemas cartográficos. El plano representa una superficie donde se prescinde de la curvatura de la Tierra. La relación entre medidas en campo y medidas en el plano puede considerarse constante. 1.2.1.3. Problemática condicionada Representar una porción de la superficie terrestre en un mapa o en un plano presenta una problemática que se orienta en un triple sentido: -

Tamaño: representar una amplia zona de un territorio en una superficie reducida, volcando la información adicional.

-

Proyección: plasmar en una superficie plana la información existente en una figura no desarrollable que en una aproximación es una esfera o elipsoide.

-

Relieve: dotar de información altimétrica a una superficie plana.


20



Figura Número 13.- Problemas asociados a la representación

1.2.2. ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE UN PLANO O MAPA 1.2.2.1. Escala Todo mapa o plano, al tener que ser de dimensiones menores a las de la superficie que representa, habrá de dibujarse configurando una figura semejante. Esta razón de semejanza recibe el nombre de escala y puede ser cualquiera, si bien, para mayor comodidad, se utilizan siempre escalas cuyo numerador sea la unidad y el denominador, números sencillos terminados en cero. Una escala de 1/ 2.000 indica que cada centímetro del plano representa 20 m. del terreno. 1.2.2.2. Tipos y clasificación de escalas Las escalas pueden ser numéricas y gráficas. La escala numérica viene definida por la relación constante:

E=

l L

siendo: l = longitud sobre plano o mapa L = longitud sobre terreno denominando M a la relación

l resulta: L L =M l

1 =M E

La escala gráfica ordinaria se representa por una recta dividida en partes iguales, anotando en cada una, a partir del origen, la magnitud equivalente en el terreno.

Figura Número 14.- Escala gráfica

La escala de transversales da con mayor precisión las distancias a medir. Se dibujan para ello once escalas de 1/E, unas debajo de otras, de modo que las divisiones se correspondan en perpendiculares comunes, pero sin marcar las divisiones pequeñas de la izquierda del cero nada más que en la primera y en la Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

21


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA última escala. Estas divisiones se unen después por una serie de transversales en la forma indicada en la figura.

Figura Número 15.- Escala transversal

La denominación de un mapa según la escala es la siguiente: -

Plano técnico (PT) – Escalas grandes: 1/100 , 1/500 , 1/1.000 , 1/10.000

-

Mapa topográfico (MT) – Escalas medias: 1/25.000 , 1/50.000 , 1/100.000 , 1/200.000

-

Mapa geográfico (MG) – Escalas pequeñas: 1/400.000 , 1/500.000 , 1/800.000 , 1/1.000.000

-

Mapas generales (MG) – Escalas generales: Desde 1/1.000.000 en adelante.

1.2.3. LÍMITE DE PERCEPCIÓN VISUAL 1.2.3.1. Concepto Se admite que la vista humana normal puede alcanzar a diferenciar dos puntos en el papel cuando éstos están separados una distancia de 0,2 mm. Para distancias menores, los dos puntos el ojo humano los ve superpuestos. Cualquier longitud en el terreno será despreciable si al convertir a la escala del plano es igual o menor que 0,2 mm. Igual tratamiento puede darse a los ángulos, siendo despreciables aquellos a los que corresponda un arco que, a la escala del plano, determine puntos extremos dentro de los 0,2 mm. Para las escalas más usuales resulta: ESCALA

DISTANCIA EN EL TERRENO PARA 0,2 mm. EN EL PLANO

1/500

10 cm.

1/1.000

20 cm.

1/ 2.000

40 cm.

1/5.000

1 m.

1/25.000

5 m.

1/50.000

10 m.


22


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El producto de 0,2 mm. por el denominador de la escala determina la distancia en el terreno que resulta despreciable. 1.2.3.2. Importancia Definido el valor del límite de percepción visual ocasiona, de inmediato, una restricción, para una escala determinada de plano o mapa, en la captación de información en el terreno. De esta forma se puede orientar de una manera realista la fase de toma de datos. De nada serviría tomar en campo las cuatro esquinas de una arqueta de registro, de dimensiones 0,8 x 0,8 m., si se pretende grafiar la información a escala 1/5.000, pues los cuatro puntos, en la representación, serán coincidentes. El límite de percepción visual se emplea como criterio básico para limitar los trabajos topográficos, planimétricos. Las mediciones en campo y la transcripción de información en gabinete, desde un enfoque planimétrico, están condicionadas por la escala y por el límite de percepción vusial. Su limitación dará lugar a los símbolos o signos convencionales, que se utilizarán cuando sea necesario representar en el plano o mapa detalles que no tengan representación gráfica a la escala utilizada. Es decir, fijada la escala 1/E, todos aquellos detalles de dimensiones menores que E·0,2 mm. necesitarán para su representación recurrir a símbolos o signos convenidos de antemano. 1.2.4. TOPOGRAFÍA EN LA INGENIERÍA La Topografía tiene una importancia trascendental en la ingeniería en su triple vertiente: civil, minera e industrial. La mayor parte de la actividad profesional está enfocada hacia la realización de proyectos y ejecución de obras. En ambas facetas, la Topografía juega un papel de extraordinaria importancia, sustentada en las fases significativas siguientes: -

Captura de la información geográfica a escalas convenientes.

-

Manejo de la cartografía existente.

-

Definición geométrica de la obra.

-

Replanteo planimétrico y altimétrico de cualquier eje.

-

Control, ejecución y medición de la obra.

En Ingeniería Civil, los condicionantes topográfico-cartográficos suponen un gran despliegue de medios y recursos humanos cualificados, configurando una partida presupuestaria de gran repercusión en el contexto global. Diseñar un adecuado enfoque topográfico en el proyecto y en la construcción de una determinada actuación repercute de forma directa en la propia gestión (económica, rendimientos, plazos, …). La cartografía numérica (informatizada) permite obtener escalas variadas a partir de una cartografía original, siendo necesario clarificar: -

La escala de la cartografía original que define un determinado “nivel de detalle”.


23



La escala de la cartografía manipulada, que sigue teniendo el mismo nivel de detalle que el original, a pesar de la variación de la escala. No obstante, merece un comentario adicional para los dos casos que se pueden presentar: ampliación o reducción.

Figura Número 16.- Ventana de cartografía digital a escala 1/5.000

1.3. LA MODELIZACIÓN CONVENCIONAL DEL RELIEVE 1.3.1. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO Un levantamiento topográfico es un conjunto de operaciones necesarias para representar un terreno, siendo la planimetría la parte del levantamiento en la que se logra la representación de la superficie terrestre sobre un plano horizontal, y la altimetría la parte que se encarga de posicionar verticalmente los puntos de un terreno. Un levantamiento topográfico puede ser: -

Levantamiento convencional: se utilizan aparatos y métodos adecuados según la calidad del trabajo exigida.

-

Levantamiento no convencional: en caso contrario. Este tipo de levantamiento se excluye en el contexto de la asignatura.

Un levantamiento diferentes:

convencional

-

Por topografía clásica.

-

Por fotogrametría.

puede

realizarse

por

dos

procedimientos


24


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El primero se fundamenta en captar información de forma puntual, midiendo en campo ángulos y distancias. El segundo, aunque está supeditado a la anterior, captura información de manera global y se apoya en el uso de fotografías aéreas o terrestres. En el presente capítulo se establecen las ideas básicas de formación de un plano topográfico con el objetivo de ser empleado para explotar información de la cartografía existente. En capítulos sucesivos se tratarán los temas de realización de los levantamientos topográficos y fotogramétricos. La taquimetría es la parte de la Topografía que estudia los procedimientos para determinar la distancia horizontal y vertical entre dos puntos de manera simultánea. De esta manera, cada punto del terreno que representa el límite, un determinado detalle, o simplemente el propio detalle, puede ser referenciado en planta con dos valores (x,y), coordenadas planimétricas en un cierto sistema referencial y puede ser dotado con una cota (z), coordenada altimétrica respecto a un plano de comparación. 1.3.2. SISTEMAS BÁSICOS DE REPRESENTACIÓN 1.3.2.1. Sistema de planos acotados Los puntos del terreno captados por métodos taquimétricos son susceptibles de ser proyectados sobre un plano horizontal. El punto proyectado y la expresión de su cota respecto a un sistema de referencia altimétrico configura el elemento esencial para su tratamiento según define el sistema de planos acotados. La superficie terrestre no puede representarse atendiendo a consideraciones geométricas. Por ello hay que emplear las superficies topográficas, teniendo absoluta vigencia la proyección acotada.

Figura Número 17.- Proyección de puntos situados en el terreno


25


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Entre dos puntos A y B, situados sobre el terreno, pueden establecerse las siguientes definiciones: -

Distancia geométrica: Distancia real entre puntos A y B.

-

Distancia reducida: Proyección de la distancia geométrica sobre el plano horizontal.

-

Desnivel: Diferencia de cotas entre los puntos A y B.

-

Superficie geométrica: Superficie real.

-

Superficie reducida: Proyección de la superficie geométrica sobre el plano horizontal.

Los puntos de una determinada superficie que se caracterizan por tener igual cota, respecto a un plano de comparación, determinan una curva de nivel o isohipsa, que tiene su representación proyectada sobre un plano horizontal. La diferencia de cotas entre dos curvas de nivel consecutivas se denomina equidistancia. Aunque no se puede definir de forma categórica, pues depende del tipo del territorio que se pretenda representar, existe una cierta correspondencia entre la escala del plano y la equidistancia de las curvas de nivel.

Figura Número 18.- Curvas de nivel

A continuación se incluye un catálogo de relaciones usuales entre la escala del plano y la equidistancia de las curvas de nivel.


26



Figura Número 19.- Relación usual entre escala de plano o mapa y equidistancia

Un plano o mapa queda caracterizado en alzado con las curvas de nivel. Para su confección se unen puntos de igual cota. En una primera etapa se dibujan las curvas directoras y posteriormente se intercalan las restantes, según marque la equidistancia. La siguiente figura establece una información en planta, junto a la altitud, respecto a un plano referencial previamente establecido. La información se ha tomado en campo mediante topográfica clásica y facilita la posterior modelización del territorio.

Figura Número 20.- Información altimétrica de una nube de puntos representados en planta

El antiguo profesional a mano, o el actual con los programas de ordenador adecuados, consiguen crear el modelo digital del terreno (M.D.T.), curvando el


27


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA conjunto, con una equidistancia consecuente con la escala del plano-mapa y con la densidad de puntos capturados del terreno.

Figura Número 21.- Modelización del territorio en base a la nube de puntos anterior

A continuación se incluye también el detalle de un plano para contrastar su faceta respecto a la georreferenciación.

Figura Número 22.- Georreferenciación de la modelización del territorio en el plano


28


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El establecimiento de la información en planta y en alzado entra de lleno en el sistema de captación y tratamiento de la información geográfica, que se analizará con detalle en temas sucesivos. El curvado realizado de forma manual es la operación que tiene por objeto, apoyándose en los puntos de cota caracterizada, plasmar una información continua. Para ello hay dos aspectos de suma importancia: -

La densidad de los puntos captados ha de ser compatible con la definición altimétrica que se desea obtener y hay que conseguir que los puntos captados sean verdaderamente representativos.

-

La realidad del curvado tan solo se logra con la adecuación de la superficie topográfica al relieve, siendo preciso el acercamiento a la realidad por medio del conocimiento del terreno.

Figura Número 23.- Curvas de nivel directoras e intercaladas

1.3.2.2. Aplicaciones elementales Definido un plano o mapa por sus curvas de nivel y la equidistancia (e) se puede dibujar sobre él un punto de cota determinada. También puede obtenerse la cota de un determinado punto. Para cada sección vertical del terreno y en cada punto existe una pendiente. El valor es la tangente del ángulo de inclinación. En la práctica, la pendiente se mide en tanto por ciento, es decir, en metros de elevación correspondientes a cada 100 m. de recorrido horizontal. Las diversas secciones que pasan por un punto en concreto determinan otras tantas pendientes. Entre todas existe una caracterizada que es la que determina el mayor valor de la pendiente y se denomina línea de máxima pendiente.

Figura Número 24.- Posición altimétrica de puntos situados entre curvas de nivel consecutivas


29



Figura Número 25.- Diversas pendientes de secciones que pasan por un determinado punto

Geométricamente se denomina pendiente de la superficie en un punto determinado P al valor de la máxima pendiente en dicho punto, que vendrá establecido por la línea de máxima pendiente. Queda establecido, para cada punto, una relación entre la pendiente, equidistancia de las curvas de nivel y separación en planta de las propias curvas (dependientes de la escala del plano o mapa). 1.3.3. EXPLOTACIÓN DE LA INFORMACIÓN CARTOGRÁFICA 1.3.3.1. Configuración del terreno La información cartográfica configura una aproximación de la superficie terrestre denominada superficie topográfica. De esta información planimétrica (los detalles grafiados en el plano o mapa están a una determinada escala) y altimétrica (las curvas de nivel aproximan las cotas referenciales) se obtienen los datos necesarios para abordar trabajos concretos en el ámbito de la Ingeniería. Los aspectos más caracterizados de la superficie topográfica son: -

Divisorias: Líneas que dividen áreas de diferentes cuencas vertientes. Los puntos de la divisoria son puntos de cota máxima.

-

Vaguadas: Parte de la superficie topográfica donde se reúnen las aguas de la escorrentía.

-

Collados: Depresiones suaves situadas en las divisorias. También se denominan puertos.


30



Figura Número 26.- Divisorias, vaguadas y collados

-

Cumbres: Máximos absolutos o relativos de la superficie topográfica. Se caracteriza por curvas de nivel cerradas de manera que cada una envuelve a otras de cota superior.

-

Simas: Mínimos absolutos o relativos de la superficie topográfica. Se caracterizar por curvas de nivel cerradas, de manera que cada una envuelve a otra de cota inferior.

Figura Número 27.- Cumbres y simas

1.3.3.2. Perfiles sobre cartografía Aunque las mediciones para los trabajos reales deben tomarse directamente del terreno, para anteproyectos, estudios previos o análisis de índole general, la información puede obtenerse de la cartografía, en una primera aproximación. Es muy usual hallar la intersección de la superficie topográfica con un plano o una superficie. La intersección con un determinado plano o superficie se realiza uniendo los puntos de encuentro de las curvas de nivel, que proporciona la información altimétrica.

Figura Número 28.- Intersección de un plano con la superficie topográfica


31


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Si el plano es vertical o la superficie reglada es de generatriz vertical, la intersección se denomina perfil. Los perfiles más utilizados en Ingeniería, por la información global que proporcionan, son los perfiles longitudinales y los transversales. A) Perfiles longitudinales Los perfiles longitudinales son la base de mediciones lineales y configuran la estructura del terreno a lo largo de la traza (intersección de la superficie topográfica con el plano vertical o con la superficie reglada que contiene a la alineación definitoria de la actuación). La información que proporciona el perfil longitudinal es de esencial trascendencia para el establecimiento de rasantes (eje de vía de comunicación, conducciones de cualquier tipo, etc.) o simplemente para analizar posiciones relativas de puntos determinados (zonas vistas y ocultas, tendidos aéreos, establecimientos, etc.).

Figura Número 29.- Perfil longitudinal de traza recta

Figura Número 30.- Perfil longitudinal de traza no rectilínea


32


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El perfil tiene una representación plana interviniendo dos escalas. La escala 1/H del eje horizontal, con clara expresión de distancias reducidas, siempre informa del desarrollo proyectado en planta. Usualmente, la escala 1/H coincide con la escala del plano o mapa base del cual se obtiene la información, aunque puede emplearse otra diferente. Los puntos más apropiados para tomar información altimétrica son los de intersección de la alineación definida sobre el plano o mapa con las curvas de nivel.

Figura Número 31.- Perfiles sobre una determinada alineación

La escala vertical 1/V dependerá de la necesidad de exagerar el relieve y de los propios condicionantes del terreno. Es frecuente utilizar la misma escala que la horizontal para perfiles geológicos y cinco o diez veces mayor para los perfiles topográficos propiamente dichos. La alteración de la homogeneidad de las escalas en la representación trae como consecuencia inmediata la necesidad de emplear coherencia en el momento de utilizar la información almacenada: pendientes, taludes, longitudes, superficies, etc. Escala de la información cartográfica base

Escala del perfil horizontal

1/25.000

1/25.000

1/25.000

1/5.000

1/ 2.500

1/5.000

1/5.000

1/5.000

1/ 2.000

1/500

1/ 2.000

1/ 2.000

1/ 2.000

1/500

1/200

Escala del perfil vertical

Lo más cómodo es conservar la escala horizontal 1/H y que coincida con la escala de la cartografía base 1/E. Si fuera necesario alterarla por alguna circunstancia, no varía la metodología general para la obtención de las distancias entre curvas de nivel. La ampliación o reducción se logra transformando las distancias parciales obtenidas a la escala del plano o mapa origen en las nuevas, combinando los dos segmentos (ejes horizontales de la representación) de tal forma que la relación de la correspondencia coincida con la relación de las dos escalas.


33


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Es de destacar el gran avance que ha supuesto la cartografía automática con el juego de las escalas y, por lo tanto, de los perfiles obtenidos de la propia cartografía.

Figura Número 32.- Perfiles longitudinales del terreno y rasante

Los perfiles longitudinales permiten definir la rasante sobre la propia alineación y contrastar las zonas del eje que están situadas sobre el terreno o debajo de él o coincidente con él. La rasante es la alineación geométrica en alzado de una cierta configuración (eje de una vía de comunicación, superficie de una plataforma, etc.). Los perfiles longitudinales permiten definir la rasante sobre la propia alineación y contrastar las zonas del eje que están situadas sobre el terreno o debajo de él o coincidente con él. La rasante es la alineación geométrica en alzado de una cierta configuración (eje de una vía de comunicación, superficie de una plataforma, etc.). En cierta medida, el perfil longitudinal definirá la interrelación que existe entre planta y alzado y las posibilidades del entronque de la rasante con el terreno natural. Un perfil longitudinal con la definición de la rasante informa de la interacción de dos ejes que, en un mismo plano vertical, definen altimétricamente una actuación. Junto al perfil propiamente dicho se incluye una información en bloque compacto, usualmente denominado guitarra, que completa los datos grafiados. - Identificación del perfil. - Distancias al origen. - Distancias parciales.


34


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA - Cota del terreno. - Cota de la rasante. - Altura de desmonte. - Altura de terraplén.

Figura Número 33.- Guitarra característica del perfil longitudinal

B) Perfiles transversales Los perfiles transversales son secciones (perfiles longitudinales) perpendiculares al eje que define la alineación, usualmente señalados por la posición de los perfiles longitudinales, y constituyen la base de las mediciones superficiales y volumétricas. Como servirán para evaluar superficies, se dibujan a una escala uniforme. La escala horizontal y la escala vertical coinciden. En trabajos de Ingeniería es frecuente utilizar la escala 1/100, aunque es variable, dependiendo de la finalidad del trabajo.


35


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Sobre los perfiles transversales se dibuja la sección prevista en la definición de la actuación, permitiendo evaluar las magnitudes en dos y tres dimensiones.

Figura Número 34.- Perfiles transversales

Los perfiles transversales permiten discretizar la banda de actuación y evaluar, de una forma aproximada, los movimientos de tierras en general.

Figura Número 35.- Batería de perfiles transversales

El cálculo de la superficie de un perfil transversal puede evaluarse bien directamente por geometría elemental o bien con la ayuda de un planímetro.


36



Figura Número 36.- Esquema del planímetro

El planímetro consta de dos barras articuladas, el extremo de una de las cuales llamado polo, permanece fijo. En el extremo de la obra barra hay una aguja, con la que se sigue el contorno de la figura, hasta rodearla por completo, llegando al punto de partida. En un índice dotado de nonius se hacen las lecturas inicial y final, y la diferencia de ambas multiplicada por el cuadrado del denominador de la escala proporciona la superficie deseada. Existen planímetros digitales que permiten evaluar de una forma más directa las áreas de las secciones transversales. Calculadas las áreas de todas las secciones transversales se pueden calcular los volúmenes de desmonte o terraplén. Denominando: -

T: superficie en terraplén.

-

D: superficie en desmonte.

-

VT: volumen en terraplén.

-

VD: volumen en desmonte.

-

d: separación entre perfiles.

Figura Número 37.- Geometría de los perfiles transversales


37


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El cálculo de desmontes y terraplenes en los casos más usuales se presenta a continuación: a) Sucesión de perfiles en terraplén Sean T1 y T2 las superficies de los dos perfiles consecutivos. La distancia existente entre los dos perfiles es dT:

VT =

dT (T1 + T2 ) 2

b) Sucesión de los perfiles en desmonte Sean D1 y D2 las superficies de los dos perfiles consecutivos. La distancia entre los dos perfiles es dD.

VD =

dD (D1 + D2 ) 2

Figura Número 38.- Perfiles consecutivos de igual configuración

c) Sucesión de dos perfiles, uno en terraplén y otro en desmonte Sean T y D las superficies de los dos perfiles: uno en terraplén y otro en desmonte.

Figura Número 39.- Perfiles consecutivos en desmonte y en terraplén

Existirá una línea de paso de superficie nula. Los volúmenes independizados serán:


38



VD =

a D 2

;

VT =

b d −a T= T 2 2

d) Sucesión de dos perfiles en media ladera Los volúmenes en desmonte y en terraplén se obtienen de la siguiente forma:

Figura Número 40.- Sucesión de perfiles a media ladera

VD =

d D1 + D2 d D *2 d  D1 + D2 D *2    + = + 2 2 2 D * + T * 2  2 D * + T *  VT =

d T1 + T2 d T *2 d  T1 + T2 T *2    + = + 2 2 2 D * + T * 2  2 D * + T * 

1.3.3.3. Aplicaciones caracterizadas Entre las aplicaciones más caracterizadas pueden destacarse las siguientes: A) Análisis altimétrico de una determinada zona Definido un plano o mapa, a una cierta escala y con una determinada equidistancia de curvas de nivel, es posible diferenciar y establecer el estado altimétrico por estratos de alturas predeterminadas. Marcando las curvas de nivel separadoras se consigue implantar una división que caracteriza el relieve. B) Determinaciones de perfiles y cuencas de aportación Dado que un plano o mapa define el relieve con el estado altimétrico que confieren las curvas de nivel, es sencillo determinar las vaguadas, divisorias, etc., y realizar estudios hidrológicos, evaluando, de forma aproximada, pendientes y cuencas de aportación. C) Estudio de zonas vistas y ocultas Sobre un mapa o plano se pueden obtener de forma aproximada las zonas vistas ocultas desde un determinado lugar de observación, dibujando los


39


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA perfiles longitudinales necesarios (a más densificación de perfiles más exactitud en el establecimiento de las zonas). D) Caracterización de un trazado en una primera aproximación Definido un trazado que se caracteriza por una planta y una rasante, se pueden evaluar de manera aproximada las características del eje en lo referente a su situación con relación al terreno natural. Con unos parámetros iniciales se pueden evaluar los tramos en desmonte, terraplén, obra de fábrica y túnel. E) Cubicación de movimientos de tierra De forma bastante aproximada se pueden obtener volúmenes en desmonte o en terraplén, evaluando los perfiles transversales obtenidos de la cartografía existente. F) Tanteo de trazado con análisis de pendientes Definida una hoja, es posible analizar de forma aproximada la incidencia del trazado en planta y de las pendientes. Para ello se analiza la separación en planta de las curvas de nivel y su equidistancia, y se contrasta con la pendiente que se pretende dotar al trazado. G) Evaluación de la capacidad de un embalse Es un caso particular de cubicación por medio de perfiles transversales, pero estratificados horizontalmente, con total aprovechamiento de las curvas de nivel. El método sencillo consiste en sumar los volúmenes comprendidos entre curvas de nivel consecutivas que se cierran con la presa que se pretende construir. Aunque el cálculo se puede aproximar todo lo que se quiera, es frecuente emplear relaciones sencillas que otorgan una aproximación suficiente.

V =

B1 + B2 B + B3 B + Bn h h+ 2 h + ... + n −1 h = [B1 + 2 B2 + 2 B3 + ... + 2 Bn −1 + Bn ] = 2 2 2 2 B  B  V = h  1 + B2 + B3 + ... + Bn −1 + n  2 2

Figura Número 41.- Planta y sección de un embalse


40


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Como entre el estrato más profundo y el fondo del embalse hay un espacio pequeño, se compensa, abreviando la relación:

B  V = h  1 + B2 + B3 + ... + Bn −1 + Bn  2  También es usual la no coincidencia de la línea de máximo embalse con B1. Simplificando:

V = h [B1 + B2 + B3 + ... + Bn −1 + Bn ] relación que puede utilizarse como resultado aproximado. H) Cálculo de desmontes por estratos horizontales De igual manera que en el caso de un embalse, se puede obtener el volumen en desmonte de un determinado territorio. 1.3.4. LA PROBLEMÁTICA DE LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA 1.3.4.1. Los desarrollos cartográficos Dado que las superficies de aproximación de la tierra, esfera y elipsoide no son desarrollables, se utiliza el sistema de proyectar desde un lugar determinado los puntos situados en la superficie de aproximación sobre una superficie que sea desarrollable: plano, cilindro y cono. Las proyecciones geométricas se denominan de la siguiente forma, según la situación del punto de proyección: gnomónica, estereográfica, escenográfica y ortográfica.

Figura Número 42.- Las proyecciones geométricas

Las proyecciones así efectuadas sobre un plano, un cono y un cilindro determinan las metodologías más empleadas en cartografía. La forma de proyectar, así como la superficie desarrollable elegida, determinan el sistema cartográfico. Hay sistemas que conservan las distancias a lo largo de direcciones caracterizadas, las superficies o los ángulos. Cada uno de ellos determina un modo cartográfico: sistema equidistante, equivalente y conforme.


41



Figura Número 43.- Los desarrollos cartográficos

1.3.4.2. Sistemas usuales El sistema cartográfico más utilizado se fundamenta en la proyección de Mercator, disponiendo el cilindro tangente a un meridiano. Se denomina proyección UTM (Universal, Transversa, Mercator). La universalidad se basa en la movilidad del cilindro donde se realiza la proyección. Se utilizan husos de 6o de amplitud, que se numeran del 1 al 60 a partir del meridiano de 180o de longitud respecto de Greenwich, que separa los husos 30 y 31. La proyección es conforme siendo el meridiano central de cada huso automecoico, teniendo como representación una recta.

Figura Número 44.- Situación del cilindro transverso

Se adopta como modelo de la Tierra el elipsoide de revolución de Hayford, tangente interiormente a un cilindro, cuyo eje está situado en el plano del Ecuador.


42


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Esta proyección es recomendable para la representación de casi todos los países, exceptuando las zonas situadas a ±80o de latitud, que deben complementarse con estereografía.

Figura Número 45.- Situación de España en la referenciación U.T.M.

Las condiciones que se imponen en esta proyección son: -

Proyección conforme.

-

Meridiano central del huso, automecoico.

-

El ecuador y el meridiano central de cada huso se representan por líneas rectas.

-

El origen de coordenadas es la intersección del recuadro con el meridiano central del huso.

En España, comprendida entre los husos 28, 29, 30 y 31, se adopta como huso fundamental el 30. Con el fin de trabajar con coordenadas positivas en el territorio peninsular se retranquea el meridiano central del huso 30, 500 km. hacia el Oeste. 1.4. LECTURA DE MAPAS Y PLANOS 1.4.1. INTRODUCCIÓN GENERAL 1.4.1.1. Situación cartográfica actual En la producción cartográfica intervienen organismos y entidades que se encargan de poner a disposición de los usuarios interesados la información geográfica básica para los diversos cometidos de aplicación. Sin carácter exhaustivo se pueden discretizar los actuales productores de cartografía topográfica de la forma siguiente. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

43


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A) Cartografía producida por organismos a nivel nacional a) Cartografía oficial Es la realizada para cubrir todo el territorio nacional y tiene una finalidad básicamente civil. La formación y producción de este tipo de cartografía las realiza el Instituto Geográfico Nacional (IGN), que tiene, además, otras actividades conectadas con la cartografía: -

Proyecto, observación y cálculo de la Red Geodésica Nacional.

-

Proyecto, observación y cálculo de la Red de Nivelación de Alta Precisión.

-

Sistema de Información Geográfica (SIG).

-

Imágenes de los satélites Landsat y Spot de todo el territorio nacional.

-

Ortoimágenes.

Entre las publicaciones más caracterizadas del IGN, para usos en ingeniería, destacan: -

Mapas nacionales a diversas escalas.

-

Mapas autonómicos a diversas escalas.

-

Mapas provinciales a escala 1/200.000.

-

Ortoimágenes E: 1/100.000 del sensor TM del satélite Landsat 5.

-

Mapa Topográfico Nacional a escala 1/50.000.

-

Mapa Topográfico Nacional a escala 1/25.000.

-

Mapas temáticos magnético, etc.).

(sismoestructural,

sismotectónico,

gravimétrico,

b) Cartografía militar Es la realizada para ser utilizada fundamentalmente para fines militares. Se forma y se produce en el Servicio Geográfico del Ejército (SGE). La cartografía militar está muy imbricada con la civil y en la actualidad es de libre difusión en la mayor parte de las escalas producidas. Entre las publicaciones más caracterizadas del SGE, para usos en ingeniería, destacan: -

Mapas serie 5V a escala 1/25.000.

-

Mapas serie L a escala 1/50.000.

-

Mapas serie C a escala 1/100.000.

-

Mapas serie 2C a escala 1/200.000.

c) Cartas marinas Este tipo de cartografía tiene el objetivo de proporcionar al navegante la información náutica necesaria para facilitar una navegación segura. Se forma en el Instituto Hidrográfico de la Marina (IHM). La labor cartográfica se fundamenta en los levantamientos hidrográficos con buques especializados. Las cartas de mayor interés para la ingeniería son las siguientes: -

Portulanos o cartas de puertos a escalas superiores a 1/25.000. Proporcionan información adicional.


44



Cartas de aproches: son cartas a escala 1/25.000.

-

Cartas de navegación costera: están a escalas comprendidas entre 1/50.000 y 1/200.000.

-

Cartas de arrumbamiento: a escalas entre 1/200.000 y 1/300.000.

d) Mapas aeronáuticos Son realizados por el Servicio Cartográfico y Fotográfico del Aire. Confecciona planos a escala 1/2.000 de las áreas de influencia de los aeropuertos. La principal obra cartográfica es el Mapa Aeronáutico de España a escala 1/1.000.000. B) Cartografía producida por organismos a nivel regional o local Existen multitud de organismos o entidades que en la actualidad están realizando cartografía. En general, predominan las siguientes variedades de planos: -

Escalas 1/5.000 ó 1/10.000 a nivel regional, es decir, cubren una determinada región autónoma.

-

Escala 1/2.000 a nivel de núcleos de población consolidados de una región. Al igual que los anteriores los suelen realizar los diferentes gobiernos autonómicos.

-

Escalas 1/1.000 y 1/500 para ingeniería, particularizados para zonas concretas son realizados generalmente por entidades locales o gabinetes de ingeniería.

1.4.1.2. Sistemas más utilizados de referenciación Un plano o mapa está referenciado planimétricamente y altimétricamente con relación a un sistema predeterminado que depende de la superficie de aproximación de la Tierra adoptado, del tipo de proyección y de la referencia altimétrica que se adopte. En la cartografía española es muy usual referir las altitudes al nivel medio del Mediterráneo en Alicante y emplear la Proyección Universal Transversa Mercator (UTM), utilizando el elipsoide de Hayford con datum en Postdam (datum europeo). En la figura se incluye la información referencial del Mapa Topográfico Nacional 1/50.000 y 1/25.000 en edición moderna. Las hojas antiguas existentes utilizan el elipsoide de Struve y sistema de proyección poliédrica.

Figura Número 46.- Referenciación de los mapas topográficos nacionales actuales


45


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La cartografía militar a escala 1/100.000 está calculada sobre el elipsoide de Struve, en proyección Lambert. En la actualidad, se superponen la cuadrícula Lambert y la cuadrícula UTM. Usualmente se informa en estos dos tipos de cartografía de las coordenadas geográficas geodésicas, longitud y latitud. La longitud tiene por origen el meridiano de Greenwich. Las hojas antiguas del Mapa Topográfico Nacional a escala 1/50.000 tienen el origen de longitudes en el meridiano que pasa por el observatorio de Madrid. Los planos utilizados en ingeniería están generalmente referenciados en coordenada UTM.

Figura Número 47.- Coordenadas geodésicas del Mapa Topográfico Nacional

1.4.1.3. Información geográfica adicional Los mapas topográficos nacionales proporcionan información sobre aspectos geográficos de interés general como declinación o convergencia de la cuadrícula. -

Declinación magnética: informa, para un punto del territorio centrado en la hoja, el valor del ángulo entre el norte geográfico y el norte magnético, en una fecha concreta. También se informa de la variación de la misma.

-

Convergencia de cuadrícula, ángulo que en el centro de la hoja forma el eje de ordenadas del sistema referencial adoptado (usualmente la proyección UTM) con la dirección del norte geográfico.

Figura Número 48.- Información complementaria


46


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.4.2. ASPECTOS PARTICULARIZADOS DE LOS MAPAS Y PLANOS 1.4.2.1. Condicionantes básicos Los mapas y planos están destinados, usualmente, a ofrecer información métrica, como objetivo primordial, y tan solo una parte de la información temática general que se puede obtener con una simple observación. Mientras que los mapas topográficos suelen tener información casi al límite de la capacidad posible tanto temática como toponímica, los planos realizados por entidades privadas están muy por debajo de la información que por escala o finalidad pudieran tener. El condicionante económico y la generalizada falta de control cartográfico condicionan la calidad del producto final. 1.4.2.2. Asentamientos urbanos y vías de comunicación Dependiendo de la escala, tienen representación concreta tanto los edificios aislados como los bloques o manzanas.

Figura Número 49.- Influencia de la escala del plano o mapa

Las vías de comunicación suelen estar jerarquizadas según su importancia. En escalas pequeñas, suelen grafiarse con mayor anchura para remarcar su importancia.

Figura Número 50.- Jerarquización de la información geográfica


47



Figura Número 51.- Mapa topográfico del SGE

Figura Número 52.- Plano topográfico a escala 1/2.000

En los mapas topográficos, las vías de comunicación tienen una simbología convencional preestablecida y definida. También se especifican en los mapas la categorización de los núcleos de población y la separación de las diversas divisiones administrativas: nación, región, provincia, etc.


48



Figura Número 53.- Leyenda y signos convencionales del MTN25

Figura Número 54.- Divisiones administrativas del MTN25

1.4.2.3. Hidrografía marina e interna La hidrografía analiza la información concerniente a aguas, ya sean marinas o internas. Se representan por masas o líneas de color azul. El problema más importante es la definición de la línea de costa real ya que la marea o el propio oleaje no permiten la completa definición. En teoría, la separación de la zona mar-tierra debería ser la cota cero. Se denomina strand a la zona de litoral que es batida por la marea. Depende de la pendiente del litoral y de la magnitud de la marea en la zona. Se denomina línea de separación de la zona marítimo-terrestre a una línea real, posicionada en el terreno que tiene vigencia administrativa, aunque no tenga ninguna propiedad ni altimétrica ni planimétrica.


49



Figura Número 55.- Representación de zonas costeras en el MTN25

También tienen representación las corrientes naturales (ríos, arroyos, torrentes, ramblas …) y las corrientes artificiales (canales, acequias, …). Todos tienen su símbolo.

Figura Número 56.- Símbolos usuales de hidrografía en el MTN25

Otros datos hidrográficos que también suelen incluir los mapas topográficos son: manantiales, pozos, fuentes, estanques, albercas, abrevaderos, salinas, etc. 1.4.2.4. Vegetación y usos del suelo Los datos más variables de incluir en un mapa o plano son los relativos a la vegetación y a los cultivos. Grafiar los usos agrarios del suelo resulta difícil dada la gran variabilidad de datos a incluir. Los principales problemas de la representación son los siguientes: -

Identificar el cultivo representativo de un lugar.

-

Usos susceptibles de cambios a corto plazo.

-

Dada la gran variedad de especies se produce mucha confusión en la lectura.


50


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Existen signos convencionales para informar de los cultivos y de los usos del suelo.

Figura Número 57.- Signos convencionales para cultivos y usos de suelo del MTN25

En los planos a escala 1/10.000, 1/5.000 ó 1/2.000, la simbología no es tan exhaustiva, a pesar de las ventajas relativas a la escala. Suelen utilizar letras indicativas para señalar el tipo de cultivo: Ma (monte alto), Mb (monte bajo), Pd (pradería), etc.

Figura Número 58.- Indicación de cultivos en un plano

1.4.2.5. Información adicional También suele grafiarse la información adicional de muy diversa funcionalidad: -

Vértices geodésicos.

-

Canteras y minas.

-

Iglesias, ermitas, cementerios.

-

Molinos.

-

Torres, castillos y faros.

-

Centrales eléctricas.

-

Líneas eléctricas.


51



Figura Número 59.- Simbología adicional en los MTN25

1.4.3. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS CARTOGRÁFICOS NUMÉRICOS 1.4.3.1. Introducción a los sistemas de georreferenciación El plano o mapa constituye el soporte de información y comunicación más usual, a pesar de su abstracción y subjetividad, por tener una interpretación o lectura más fácil y estructurada que cualquier otra forma de comunicación científica. Su aplicación se ha generalizado en el estudio de las ciencias, en sentido global y sobre todo en las que de una manera directa inciden sobre el territorio: explotaciones mineras, ordenación del territorio, obras públicas, transportes, comunicaciones, medio ambiente, excavaciones arqueológicas. De ahí, la gran producción cartográfica de los últimos años, tanto de cartografía topográfica como temática, por parte de las diversas administraciones, entidades, empresas y profesionales. Se puede asegurar que el mapa o, mejor, la información cartográfica, constituye la herramienta fundamental para el análisis, toma de decisiones y seguimiento de todas las actividades relacionadas de una u otra manera con el territorio. Entendiendo el mapa como medio de comunicación, el proceso cartográfico ha de cuidarse para conseguir una transmisión eficaz y precisa de la información. Lo primero es captar la información geográfica de forma adecuada para con posterioridad realizar el tratamiento correcto. En los últimos años, tanto la forma de captar la información, como la manera de realizar el posterior proceso cartográfico, han evolucionado de una forma extraordinaria. La captación de información en la etapa previa a la utilización de nuevas metodologías y nuevos instrumentos era una auténtica odisea, siendo siempre puntual e “in situ”. La confección de cartografía por métodos clásicos obligaba al Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

52


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA cartógrafo a hacer la selección antes de la toma de información, de tal manera que se representaba un territorio como un conjunto de puntos cuyos parámetros espaciales había que determinar uno a uno. Es necesario pensar en esos planos levantados con planchetas, brújulas y otros goniómetros estadimétricos. Con la puesta a punto de los equipos electrónicos (estaciones topográficas y niveles digitales) y la incorporación del Sistema de Posicionamiento Global a los trabajos geodésicos, se ha dado un impulso definitivo a una nueva forma de captar y tratar la información. Bien mediante una estación topográfica o un GPS, una vez obtenida una colección de datos (x, y, z, atributo) relativos a una zona del territorio, es posible configurar una nube de puntos, susceptibles de formar un modelo digital del terreno (MDT). Un MDT es una representación analítica de las características del terreno mediante el sistema “coordenadas/atributos”, almacenadas en un soporte para que en su posterior procesado permita una explotación útil, completa y fiable, consiguiendo la automatización del procedimiento de captura de información. Las ventajas más inmediatas al automatizar el proceso cartográfico son: -

La información se registra en un soporte totalmente estable, pudiendo realizar copias de seguridad de manera fácil, rápida y económica.

-

El almacenamiento es fácil y poco voluminoso, y mantiene la precisión geométrica, pues los soportes analógicos, aún siendo indeformables, sufren con el tiempo desajustes dimensionales.

-

La puesta al día de la información es fácil y rápida, y es susceptible de tratamientos geométricos propios del soporte digital.

-

Posibilidad de cambio de sistema de referencia y de escala, y posibilidad de seleccionar la parte de información que sea necesaria.

-

Posibilidad de integrar la información cartográfica con bases de datos monográficos, y acelerar el proceso de producción de mapas, acortando el tiempo entre la toma de datos y la edición.

-

Eliminar las partes más tediosas de la producción cartográfica como es el dibujo, cortado de máscaras, rotulación, simbología, etc., que requieren en general personal muy especializado, reduciendo los costes cuando la cadena de producción es operativa.

Después de todo lo expuesto, las técnicas de análisis y representación de datos espaciales en el ámbito regional pasan por un tratamiento informático para hacer posible que el volumen y variedad de datos de tipo físico, social y económico puedan almacenarse, tratarse y recuperarse, dando todo ello lugar a los Sistemas de Información. Un Sistema de Información se puede definir como un archivo de datos constantemente actualizado, que al consultarlo se pueda obtener de forma idónea la información solicitada por el usuario. En función del tipo de datos almacenados, así se denominará al sistema. Será un Sistema de Información Geográfica cuando se nutra al sistema de información sobre datos que posean una localización geográfica, sobre un soporte bien referenciado (SIG). Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

53


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La puesta en soporte informático de toda la cartografía clásica derivada o temática, con una estructuración adecuada, constituye una Base Cartográfica Numérica (BCN) y la puesta en soporte informático, de información no estrictamente cartográfica pero referenciable espacialmente como datos descriptivos de algún resto, caracterización del soporte, etc., constituye una Base de Datos Monográficos (BDM). El SIG será la fusión de un BCN y una BDM, de tal manera que el SIG debe recoger datos sobre situación y características de elementos geográficos y organizarlos en las correspondientes Bases de Datos (BD), que deben estructurarse de forma que resuelvan rápidamente las demandas de información. La estructuración en BD de la información se ha de hacer tanto por temas como por escalas, siendo el nexo común la localización geográfica. 1.4.3.2. Tratamiento informatizado de la cartografía numérica La cartografía numérica (digital) puede ser tratada por programas especialmente diseñados para ello. Entre los más utilizados está MicroStation, que será analizado secuencialmente durante la formación del alumno en estas disciplinas. En esta primera asignatura se tratarán tan solo los siguientes contenidos: -

Manejo de herramientas básicas del entorno gráfico.

-

Herramientas de medida.

-

Labores de digitalización y ensamblaje.

-

Modelos digitales y perfiles.

Estos contenidos serán esbozados en las clases teóricas y tendrán su reflejo práctico en las actividades de campo y gabinete, en grupos reducidos frente al ordenador. 1.4.4. CONSIDERACIONES FINALES SOBRE LA INFORMACIÓN CONTENIDA EN LOS PLANOS La información contenida en los planos depende fundamentalmente de las exigencias impuestas a la empresa especializada que realiza el trabajo y al control de calidad que impone el particular o la Administración que encarga el trabajo. Para una misma escala, y para zonas parecidas, las hojas resultantes pueden contener una información muy diferente. Para planos encargados por administraciones locales o regionales existe una serie de símbolos convencionales que complementan la información métrica incluida en todo plano.


54



2. INCERTIDUMBRE EN LA MEDIDA. APLICACIÓN A LA TOPOGRAFÍA Y GEODESIA


55


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.1. NECESIDAD Y LÍMITES DE SU ESTUDIO. LA MEDIDA COMO VARIABLE ALEATORIA 2.1.1. INEVITABILIDAD, CAUSAS Y TIPOS DE ERRORES Toda técnica de medida está sometida a la inevitable dependencia de los errores. En Topografía, las operaciones a realizar se reducen, en último extremo, a medir distancias y ángulos, y por tanto está inmersa en el contexto global de los errores. Como principales causas del error pueden argumentarse las siguientes: a) Limitación de los sentidos. La visión humana tiene un límite de percepción del cual no se puede pasar. Toda medición realizada con intervención de la vista no será nada más que aproximada. Algo similar ocurre con el tacto, cuando se manipulan los instrumentos topográficos. b) Instrumentales. Los propios aparatos topográficos han sido construidos con unas limitaciones específicas. Un aparato no diseñado para evaluar segundos ofrece un resultado en grados y minutos. Los segundos contenidos en ese ángulo no quedan registrados. c) Condiciones ambientales. Las condiciones atmosféricas hacen cambiar las lecturas (temperatura, presión, humedad, viento, refracción, etc.). Todas estas causas condicionan el trabajo topográfico, haciendo que las lecturas tomadas en campo no sean nada más que aproximadas. Se denomina error a la diferencia entre un valor obtenido y el real. Los errores pueden clasificarse de las formas siguientes: a) Groseros o equivocaciones. No son admisibles y son fácilmente evitables. Suelen representar variaciones sustanciales frente a la magnitud real. Se eliminan por medio de controles y verificaciones. b) Sistemáticos. Se presentan al realizar una medida y proceden de una causa permanente que obliga a cometerlo siguiendo una tendencia marcada. Al realizar operaciones escalonadas se van acumulando, siendo evitables con una metodología adecuada, sin necesidad de conocerlos. c) Accidentales. Provienen de la combinación de todas las causas posibles, no siguiendo una tendencia marcada. Son evaluables, pudiendo establecerse algún tipo de acotación, pero son inevitables. Es bien conocido que, en general, dos o más medidas de un mismo mensurando (ángulo o distancias) no conducen a un mismo resultado, sino que muestran una dispersión. Los valores medidos son diferentes. Cuando se hace un número suficientemente grande de medidas bajo las mismas circunstancias se ve que las observaciones siguen un cierto modelo, que puede ser descrito por las siguientes características: -

Todas las observaciones fluctúan alrededor de un valor central, que puede ser representado en una gráfica por un punto o una línea.


56



Las desviaciones positivas y negativas de este valor central son igualmente frecuentes.

-

Las pequeñas desviaciones son más frecuentes que las grandes.

Las observaciones se pueden agrupar de acuerdo con su magnitud en clases y su distribución se puede mostrar gráficamente mediante una representación. Grafiando los límites de las clases a intervalos iguales de la abscisa, la frecuencia de las observaciones en el intervalo se representa por el área del rectángulo con la base igual al intervalo y una altura igual al número de observaciones en el intervalo. En la figura se da un ejemplo de representación donde quedan reflejadas las frecuencias de unas lecturas, para determinar la precisión en la orientación de la visual con un teodolito. El intervalo entre dos clases es de 0,2 segundos sexagesimales de arco. El teodolito es de gran precisión.

Figura Número 60.- Frecuencias de las observaciones

Las observaciones topográficas, cuando son representadas de esta manera, dan representaciones muy similares. Las frecuencias más bajas están agrupadas, aproximadamente, de forma simétrica alrededor de un centro “de gravedad” de la figura resultante. Inmediatamente surge la necesidad de estudiar la medida como una variable aleatoria. 2.1.2. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE UNA VARIABLE ALEATORIA A. Introducción Variable aleatoria es una variable que toma unos valores llamados resultados con una cierta probabilidad. Si los resultados que puede tomar son finitos o infinitos pero numerables, dicha variable se denomina variable discreta, mientras que si pueden tomar incontables valores en ese intervalo se dice que es una variable continua. Es en este último apartado donde se centra el estudio en el ámbito de la teoría de la medida. Al realizar una determinada medida (longitud, ángulo, ...) ésta puede tomar los valores que otorgue la precisión del instrumento (1 milímetro, 0,5 segundos centesimales, ...). En determinaciones de precisión, es habitual tratar las variables aleatorias como resultados continuos dada la proximidad de los diferentes valores discretos propios.


57


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Las formas de expresar la distribución de probabilidad de las variables aleatorias continuas es mediante la función de densidad y la función de distribución. B. Función de densidad y función de distribución La forma más directa de expresar el comportamiento de una variable aleatoria X es mediante su función de probabilidad (probabilidad de cada clase de la distribución X) si es discreta y mediante su función de densidad de probabilidad si se trata de una función continua, que serán las que se estudien en este apartado, tal y como se ha establecido. La función de densidad f(x) no representa probabilidades, ahora bien, si consideramos f(x)*∆x siendo ∆x un valor finito y pequeño, este resultado es aproximadamente igual a la probabilidad siguiente:

Pr[x ≤ X ≤ x + ∆x ] = ∫

x + ∆x

x

f (t )dt

Una función obtenida a partir de ésta es la función de distribución de manera que según que la variable aleatoria sea discreta o continua se habla de función de distribución discreta o continua. Se llama función de distribución de una variable aleatoria X a la función:

F ( x ) = FX ( x ) = Pr( X < x ) Igual a la probabilidad de que X tome valores más pequeños que “x”. Las funciones continuas de distribución se pueden poner en la forma:

F ( x) = ∫

x

−∞

siendo

∫

+∞

−∞

f (t )dt

f ( x )dx = 1 y no siendo f(x) negativa.

Figura Número 61.- Funciones de densidad y distribución


58


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La primera establece la valoración puntual o por tramos de la probabilidad del espacio muestral considerado. La segunda la valoración acumulada de la probabilidad. Existen infinitas funciones que se acomodan a las diferentes variables aleatorias que se utilizan en el ámbito de la medida. C. Momentos de variables aleatorias continuas Se define momento de una variable aleatoria continua al siguiente valor:

M ak = ∫ ( x − a ) k f ( x )dx R

a .. valor respecto al que se establece el momento. k .. orden del momento; 1, 2, 3 ... En el estudio elemental de las variables aleatorias se utilizan momentos que son característicos de las funciones de densidad definidas en términos de expectativas o desviaciones. a) Esperanza o media. a ... origen y k=1 ∞

M 01 = E ( X ) = µ = ∫ xf ( x )dx −∞

b) Varianza. a ... la media y k=2 ∞

σ 2 = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x )dx −∞

En la teoría de la medida tiene gran trascendencia tanto el valor de la media como la dispersión, y es usual en Ingeniería recurrir al simil de relacionar el momento M01 con el centro de gravedad y el momento Mµ2 con el momento de inercia. 2.2. FUNCIONES DE DENSIDAD QUE SE APOYAN EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 2.2.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal N(µ,σ2) se caracteriza por tener, como parámetros característicos, los momentos M 10 (µ) y M 2µ (σ2). Tiene como función de densidad: − 1 f ( x) = e σ 2π

( x − µ )2 2σ 2

sin duda ha sido la distribución más utilizada. Usando el cambio de variable:

z=

x−µ

σ


59


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA se obtiene la distribución normal tipificada N(0,1) que al estar tabulada permite el empleo universal de la distribución general N(µ,σ2) y tiene como función de densidad: x2

1 −2 e 2π

f ( x) =

Figura Número 62.- Función de densidad de la distribución Normal

De esta forma, la utilización de la distribución Normal es muy sencilla: a) Normal tipificada z∼N(0,1). -

P=P[z≤1,96] (probabilidad p=0,975=97,5%).

p

correspondiente al percentil

z(P)=1,96:

-

P=P[z>1,96]=1-0,975=0,025:p=2,5%

-

Para probabilidades correspondientes a un percentil negativo se opera de la siguiente forma: P(z<-1,64)=1-P(z≤1,64)=1-0,9495=0,0505 P(z>-1,64)=P(z≤1,64)=0,9495

-

Probabilidad correspondiente a un intervalo. Se trata de una combinación de los dos casos anteriores.

b) Normal cualquiera N[µ,σ2]. Se realiza el cambio de variable y se actúa de igual forma. Se supone N[2, 2,25]. Calcular P(x≤4,1).

z=

4,1 − 2 = 1,4 1,5

P( z ≤ 1,4) = 0,9192 Tabla de la distribución NORMAL N(0,1) de GAUSS Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

60



2.2.2. DISTRIBUCIONES DERIVADAS DE LA NORMAL Existen tres funciones que se derivan de la normal que son ampliamente utilizadas en el ámbito de la metrología: Chi-cuadrado de Pearson, t de Gosset (Student) y F de Snedecor (en honor a Fisher). Estas funciones serán tratadas en otras asignaturas de la titulación de corte más matemático. 2.2.3. APROXIMACIÓN AL EMPLEO DE LA NORMAL Y SUS DERIVADAS EN METROLOGÍA ELEMENTAL A. Población y muestra aleatoria Todo problema de inferencia estadística está generado por desconocimiento de la función de densidad (distribución de la población). En la teoría de la medida, establecer una buena medición de un ángulo o una distancia llevaría a realizar infinitas observaciones (la población).


61


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Pero tan solo se realiza un número determinado de observaciones (series), a partir de las cuales se desea determinar el valor deseado. De esta forma se obtiene un conjunto de valores que constituyen la muestra aleatoria. El número de repeticiones efectuadas se denomina tamaño de la muestra (n). La muestra debe ser representativa, obteniéndola mediante repeticiones independientes siguiendo un determinado procedimiento: muestra aleatoria simple. En el ámbito de la teoría de la medida usualmente se trabaja en el siguiente ambiente conceptual: µ,σ2.

Población de tamaño N: __

Muestra de tamaño n : x , S2. siendo: __

__

x ... media muestral .... x =

1 n ∑ xi n i =1

S2 ... varianza muestral ... S 2 =

__ 1 n ( x − ∑ i x )2 n − 1 i =1

Con este panorama se puede considerar que los parámetros fundamentales de estudio son: __

M 10 → µ y x (población y muestra). M 2media → σ2, S2 (población y muestra). Según unos u otros sean conocidos se establece el oportuno contraste, dado que __

existe una concordancia de los parámetros µ, x , σ2 y S2 con las distribuciones N(0,1), tn-1 y χ n2−1 , como se establecerá en otras asignaturas de la titulación. B. Muestreo de poblaciones con distribución normal En la medida, la distribución normal tiene un gran protagonismo, dado que se ajusta al intrínseco sentido del objetivo. La distribución teórica N(µ,σ2) desconocida, se aproxima por la obtenida a partir del muestreo, consiguiendo los __

estimadores de los parámetros fundamentales x y S2. -

En primer lugar se obtiene como estimador de la hipotética población infinita la media de la muestra, es decir: __

x=

-

1 N

N

∑x

i

i =1

A continuación se obtiene como estimador de la varianza de la hipotética población infinita la cuasi varianza de la muestra, es decir:


62



N

∑

2

S =

i =1

-

__

( xi − x ) 2 N −1

La distribución real de la hipotética población infinita se puede estimar mediante una distribución normal de parámetros: N (µ , σ 2 )

-

Se obtiene como error medio cuadrático de la muestra, como estimador de la desviación típica de la hipotética población infinita: N

ec =

__

∑ i =1

( xi − x ) 2 = S2 N −1

2.2.4. TRATAMIENTO SIMPLIFICADO DE LOS ERRORES EN LAS MEDIDAS A. Planteamiento general La variable normal es reproductiva respecto a ambos parámetros (µ,σ2) si X e Y son dos variables independientes y normales de parámetros respectivos:

X = N ( µ x , σ x2 )

;

Y = N ( µY , σ Y2 )

la variable aleatoria Z = x + y es una variable normal y de parámetros:

Z = N ( µ1 + µ 2 , σ 12 + σ 22 ) de lo que se deduce:

µ2 = µ x + µ y σ z2 = σ x2 + σ y2 En la mayor parte de los trabajos topográficos la medida final suele obtenerse como una composición o suma de varias mediciones intermedias. Considerando que cada una de las medidas intermedias son variables aleatorias normales, la medida final, como composición de una colección de variables aleatorias normales, será también normal, siendo:

e1c , ec2 , ec3 ,..., ecn los errores medios cuadráticos de cada una de las mediciones intermedias:

( m1 , m2 , m3 ,..., mn ) por la reproductividad de la variable normal, el error medio cuadrático se obtendrá:

(e ) (e )

1 2 c

→ σ 12

2 2 c

→ σ 22


63


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA .

.

.

.

.

.

(e )

n 2 c

(e )

f 2 c

→ σ n2

= σ 2f = σ 12 + σ 22 + ... + σ n2 = (e1c ) + (ec2 ) + ... + (ecn ) 2

n

ecf = ec

2

2

∑ (e )

i 2 c

i =1

que es la expresión del error medio cuadrático final o conjunto. Así pues, la composición de errores se realiza habitualmente en forma de media cuadrática. Una aplicación inmediata de lo visto anteriormente es el cálculo del error medio cuadrático de la media aritmética. Cuando se realiza una serie de observaciones, cada una de estas observaciones, considerada aisladamente, se ve afectada de un error igual que el error medio cuadrático. El valor representativo de la colección de datos es la media aritmética de los propios datos. El error de esta media aritmética es menor que el error medio cuadrático de la colección de datos. Dadas n observaciones,

x1 , x2 , ... , xn la media será: n

∑x

__

x=

i

i =1

n

El error medio cuadrático de la media será:

enm =

1 n

(e ) + (e ) 1 2 c

2 2 c

+ ... + (ecn )

2

donde ec2 es el valor de cada observación, que a priori es desconocido, pero que puede ser acotado por el valor del error medio cuadrático:

eci ≤ ec De aquí toma el error medio cuadrático de la media su verdadera expresión:

ecm =

1 n

n

∑ (e )

2

c

i =1

=

e 1 n 2 n(ec ) = ec = c n n n

obteniéndose el valor del error medio cuadrático de la media.


64


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA De aquí se deduce que el error medio cuadrático es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de observaciones. La función se caracteriza por la rama asintótica en el eje de las abscisas. La estructura de la función:

y=

1 n

es de la forma:

Figura Número 63.- Precisión y número de observaciones

No es aconsejable hacer más de 5/10 mediciones. Resulta más positivo variar las circunstancias de la medición. Por lo tanto, resulta como expresión final de una serie de medidas:

x i ± ec

Medida aislada:

__

x ± ecm

Valor más probable: donde:

ec = error medio cuadrático de las observaciones: __   x − x ∑  i =1  n −1 n

ec =

2

emc = error medio cuadrático de la media:

ecm =

ec n

B. Observaciones con diferente peso En Topografía existen circunstancias que generan mediciones evaluadas con diferente precisión (diferentes aparatos, diferente observador, diferentes condiciones, etc.). Hay que analizar la forma de ponderar la evaluación final.


65


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Se tienen n valores L1, L2, L3, ..., Ln, provenientes cada uno de una serie distintas de observaciones. Cada uno tiene su propio error medio cuadrático previo al ajuste. El error cuadrático eci determina el peso Pi o valor de cada observación en el proceso de ajuste. Se puede escribir la siguiente relación:

Pi ( e i +1 ) 2 = ci 2 Pi + 1 ( ec ) Los pesos son números arbitrarios pero con una estrecha relación entre ellos. Es habitual asignar peso unidad al de mayor error medio cuadrático. La media ponderada es: n

P · L + P2 · L2 + ... + Pn · Ln Lm = 1 1 = P1 + P2 + ... + Pn

∑ P· L i

i

i =1 n

∑P

i

i =1

La forma intuitiva de apreciar la función del peso en las observaciones es considerar la variación de la precisión a medida que se toman más datos para establecer la medida final. Una medida aislada .....

precisión ..

ec

El valor más probable .

precisión ..

ecm =

ec n

En cierta forma, el valor de n está definiendo una cualidad: Para n = P1 ...ecm1 =

ec P1

→ ec = ecm1 P1

Para n = P2 ...ecm 2 =

ec P2

→ ec = ecm 2 P2

ecm1 P1 = ecm 2 P2 ecm1 = ecm 2

P2 P1

→

(e ) (e )

m1 2 c m2 2

c

=

P2 P1

De igual forma que se ha obtenido la precisión de una medición aislada y de la media se podía obtener el valor asignado a la media ponderada. Teóricamente no tiene ninguna dificultad. Se pone de manifiesto en el siguiente ejercicio el valor del error en la media ponderada. SUPUESTO PRÁCTICO Dos equipos miden una misma altura por métodos diferentes, con los siguientes resultados:


66



MÉTODO I

MÉTODO II

21,27 m.

20,84 m.

22,35 m.

20,94 m.

21,64 m.

21,69 m.

21,15 m.

21,30 m.

Calcular: a) Valores más probables. b) El error medio cuadrático de una medición aislada. c) El error máximo. d) El error medio cuadrático de las medias. e) Precisión de cada medida. f)

Pesos de cada una de las medidas.

g) Media ponderada. h) Error en la media ponderada. RESOLUCIÓN a) Valores más probables. Equipo I: µ I =

21,27 + 22,35 + 21,64 + 21,15 = 21,6025 4

Equipo II: µ II =

20,84 + 20,94 + 21,69 + 21,30 = 21,1925 4

b) El error medio cuadrático de una medición aislada. EQUIPO I ε

ε2

21,27

0,3325

0,1106

22,35

-0,7475

0,5588

21,64

-0,0375

0,0014

21,15

0,4525

0,2048

∑=21,6025

0

0,8756

ecI =

0,8756 = 0,54 3


67


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El error medio cuadrático de una medición aislada en el Equipo I:

21,27 ± 0,54 EQUIPO II

ε

ε2

20,84

0,3525

0,1243

20,94

0,2525

0,0638

21,69

-0,4975

0,2475

21,30

-0,1075

0,0116

∑=21,1925

0

0,4472

ecII =

0,4472 = 0,3860 3

El error medio cuadrático de una medición aislada en el Equipo II:

20,84 ± 0,39 c) El error medio cuadrático de las medias. Equipo I.

ecmI =

0,54 = 0,270 4

ecmII =

0,386 = 0,193 4

Equipo II.

d) Precisión de cada medida. Equipo I. Precisión de una medición aislada ..

±0,54

Precisión del valor más probable ....

±0,27

Precisión de una medición aislada ..

±0,3860

Precisión del valor más probable ....

±0,1930

Equipo II.

e) Pesos de cada una de las medidas.

P1 =

1 = 13,717.....1 0,27 2


68



P2 = f)

1 = 26,846.....1,957 0,1932

Media ponderada.

Mp =

21,6025 ⋅ 1 + 21,1925 ⋅ 1,957 = 21,331 2,957

g) Error de la media ponderada. Mp

Mi

ε

ε2

Pesos

21,331

21,6025

-0,2715

0,0737

1

21,331

21,1925

+0,1385

0,0912

1,957

* emp =

Σε 2 Pi = ( n − 1)ΣPi

0,0737 x1 + 0,0912 x1,957 = 0,194 1x 2,957

Siendo, por lo tanto, el resultado definitivo de la medición: 21,331 m. ± 0,194 m. 2.3. CONSIDERACIONES ADICIONALES 2.3.1. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Dada una población, las técnicas de muestreo definidas en la teoría de muestras determinan en cada caso la muestra que trata de aproximar a la población. Con ella se trabaja para obtener los mejores representantes estadísticos de la población (la medida buscada). La estimación tiene por objeto determinar los parámetros de interés siguiendo unas pautas definidas. Estimar un parámetro de una población a partir de una muestra tomada aleatoriamente es una parte esencial de la inferencia estadística. Una determinada medida no se puede tomar N veces (población) y se sustituye por la toma de una muestra (n). Estimadores de la media poblacional y de la varianza poblacional son los valores __

obtenidos anteriormente x y S2. Se denomina intervalo de confianza para un determinado parámetro fijo y desconocido de una población a un intervalo aleatorio obtenido a partir de una muestra de la población tal que la probabilidad de que dicho intervalo contenga al parámetro tiene un valor (1-α):0,9(90%), 0,95(95%), 0,99(99%). A este porcentaje se denomina nivel de confianza y va enlazado con el proceso de estimación. Para la N(0,1) se pueden obtener estos valores: 1-α z(1-α)

0,9

0,95

0,99

1,64

1,96

2,58


69


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Para otras distribuciones usualmente utilizadas χ n2 o tn, también se puede aplicar este concepto. El nivel de confianza marca la seguridad de la probabilidad. En el caso habitual de la medida suelen coincidir los siguientes conceptos:

Figura Número 64.- Conceptos estadísticos

[

x ≡ N µ,σ 2

]

Distribución de la población (dato inicial). Un estimador de la media

__

es x y tiene una desviación típica de

σ n

, por lo tanto,

__

z=

x− µ ≡ N [0,1] σ/ n

En la asignatura Estadística se demostrará una relación similar para la distribución de Student muy utilizada en la teoría de la medida: __

x− µ ≡ t n −1 s/ n Esta es la forma usual de obtener los intervalos de confianza, que están definidos para cada uno de los niveles de confianza. Población Normal con σ2 conocida:

 __  α  σ __  α  σ   x − z 1 − 2  n , x + z  1 − 2  n        a)

Población Normal con σ2 desconocida:

 __  α  S __  α S   x − t n−1 1 − 2  n , x + t n−1 1 − 2  n       


70


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Tabla de la distribución t de GOSSET (Student)

SUPUESTO PRÁCTICO Se quiere determinar la flecha en el punto central de una viga cargada con 3 t. Para ello se realizan 12 ensayos, obteniendo los siguientes resultados (mm.): 1,01 / 1,04 / 0,74 / 0,88 / 0,90 / 1,32 / 1,21 / 1,17 / 1,31 / 1,06 / 1,15 / 1,12 Encontrar el intervalo de confianza de la media poblacional para un nivel de confianza del 95%. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

71



RESOLUCIÓN __

x = 1,08 S = 0,175 1 − α = 0,95 → α = 0,05 → 1 −

α 2

= 1 − 0,025 = 0,975

t n −1 = t11 (0,975) = 2,201 En intervalo será:

1,08 ± 2,201

0,175 12

→ (1,08 ± 0,111)mm.

2.3.2. DETERMINACIÓN DE LA PRECISIÓN DE LOS INSTRUMENTOS A. Los sistemas de calidad en la medición Los sistemas de calidad aplicados a la Ingeniería Cartográfica, Geodésica y Fotogrametría han tomado pleno sentido, especialmente en los últimos años en los que el mecanismo de control sobre las observaciones se ha descrito mediante los correspondientes estándares y normativas de calidad.

Figura Número 65.- Sistemas de calidad en la medida


72


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La magnitud es el atributo representativo, -

Distancia reducida entre dos puntos.

-

Altura entre dos puntos.

-

Ángulo acimutal entre dos visuales.

siendo necesario diferenciar los siguientes conceptos: - Exactitud: No expresa la relación cuantitativa que se necesita. - Este distanciómetro es muy exacto. - Este teodolito es más exacto que aquel. -

Repetibilidad: Expresa resultados de medidas realizadas en las mismas condiciones. Un parámetro representativo es su desviación típica. El valor ε es la desviación típica de ocho medidas realizadas con distanciómetro en un corto espacio de tiempo.

-

Reproducibilidad: Las medidas son realizadas en distintas condiciones. También queda representado por su desviación típica.

-

Precisión: Depende de los errores aleatorios en diferentes situaciones. Es cuantitativo y tiene gran importancia su determinación.

-

-

-

La precisión de un teodolito conforme a la Norma DIN 18723 es 3cc.

-

La precisión de un teodolito conforme a la Norma ISO 8322 es 0,5 mgon.

Incertidumbre : Valor asociado a una medida y caracteriza la dispersión, que puede ser: -

Aleatoria:

σa

-

Sistemática:

σs

-

Combinada:

σ c2 = σ a2 + σ s2

-

Expandida:

σ E = k· σc

Tolerancia: Incertidumbre particularizada, usualmente, techo no alcanzable. Es necesario plasmar concisamente su evaluación.

B. Formas de evaluación en el marco de la normativa Hace años fueron publicadas las normas DIN 18723 y establece en apartados independientes la “teoría de muestras” que permite determinar la precisión de los instrumentos topográficos en unas condiciones establecidas de uso: niveles, teodolitos, taquímetros, giróscopos, etc. Por lo tanto, toda medida de la precisión está adosada a unos condicionantes de uso y a un análisis estadístico. Lo primero es definir la serie de observaciones y la muestra de cada una, y tener en consideración los conceptos iniciales de varianza y cuasivarianza.


73



Figura Número 66.- Peculiaridad en la medida

Definidas las series y el número de medidas por serie (norma), el proceso de __

x

cálculo es inmediato, siendo matemática).

S i2 =

el valor más probable de la serie (esperanza

1 1 [ViVi ] Σ( xi − x ) 2 = n −1 n −1

siendo [ViVi] la suma de los cuadrados de los residuos de la serie. Se obtienen las consecuencias siguientes:

( n − 1) S12 = [V1V1 ]   ( n − 1) S 22 = [V2V2 ] ( n − 1) S 32 = [V3V3 ]

[VV ] = (n − 1) ∑ Si2  υ

 1=1

1/ 2



siendo [VV] la suma de los cuadrados de los residuos de todas las series.

S DIN

υ   ( n − 1 ) Si2  ∑  1  = υ ( n − 1)    

1/ 2

 υ 2  ∑ Si   = 1  υ   

Es decir, la varianza resultante es la esperanza matemática de las varianzas intervinientes. De este valor se obtiene la correspondiente desviación. Este valor es mayorado por un multiplicador que se obtiene en función de los grados de libertad ν(n-1), siendo v el número de series y n el número de observaciones en cada serie y el nivel de significación prefijado que se desee obtener: 90% - 95% - 99%. * S DIN = k · S DIN


74



Figura Número 67.- Cuadro de mayoración

SUPUESTO PRÁCTICO Para establecer la precisión de un distanciómetro al evaluar una distancia en unas circunstancias concretas se realizan cinco series, con los datos siguientes (distancias geométricas evaluadas): A

B

C

D

E

1.743,243

1.743,230

1.743,232

1.743,248

1.743,244

1.743,232

1.743,237

1.743,248

1.743,231

1.743,241

1.743,235

1.743,245

1.743,239

1.743,237

1.743,236

Determinar el límite superior del intervalo de confianza, al nivel del 95%. RESOLUCION En primer lugar se calculan las cuasivarianzas de las cinco series de valores medidos. S A2 = 32,33 S B2 = 56,33


75


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA S C2 = 64,33 S D2 = 74,33 S E2 = 16,33

Se determina la cuasivarianza media: 48,7. 1/ 2

 ΣS i2   S =   υ 

= 6,9 mm.

Los grados de libertad son ν(n-1)=5(3-1)=10, correspondiendo al nivel del 95% un coeficiente de 1,59. Precisión = Coeficiente · Cuasivarianza S* = 1,59 x 6,9 ∼ 11 mm.


76



3. FUNDAMENTOS DE ASTRONOMÍA GEODÉSICA


77


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.1. INTRODUCCIÓN A LA ASTRONOMÍA El proceso de orientar un plano, es decir, determinar la dirección de la meridiana en un punto, se lograba con suficiente precisión mediante observación a las estrellas. De todos los astros, el sol y la polar reúnen condiciones idóneas para realizar esta determinación. En el primer caso, una vez estacionado el instrumento geodésico, el teodolito, en el punto considerado, se hace lectura acimutal a la referencia y al sol, siguiendo unas directrices marcadas (proyectando la imagen del sol, logrando la tangencia con los hilos del retículo, etc.). Se realizan las lecturas acimutales y cenitales, anotando la hora, tanto en círculo directo como en círculo inverso. En el segundo caso, la observación se realiza mediante puntería directa a la polar, siguiendo metodología de resolución idéntica. La determinación de las coordenadas geodésicas de un punto, longitud y latitud astronómicas que permiten definir un lugar sin ambigüedad, también estaban basadas en observaciones al sol y la polar, tomando los mismos datos en el momento considerado. Una determinación de precisión de la longitud geodésica necesita un instrumental de muy poca apreciación en los limbos, utilizando frecuentemente el método de Mayer, basado en la observación de estrellas a su paso por el meridiano. Para establecer de forma conjunta la longitud y la latitud, un método muy utilizado fue el denominado de Steneck y posteriormente a través de fotografías cenitales de estrellas. En la actualidad, los modernos sistemas de posicionamiento global permiten obtener con procedimientos de observación muy sencillos, la posición de puntos sobre la superficie terrestre, pero para entender el fundamento de dichos sistemas también hay que conocer las órbitas, sus parámetros, etc., por lo que la astronomía, en este caso geodésica, es necesaria para su buen entendimiento. 3.1.1. OBJETO Y DIVISIÓN DE LA ASTRONOMÍA La Astronomía es la ciencia que analiza la estructura interna y evoluciones estelares, el movimiento y posición de los astros y la composición química de los mismos. El estudio global puede ser dividido en varias partes: A.- Cosmografía o Astronomía de Observación Analiza todo cuanto configura el cielo en una simple observación. Describe y estudia las constelaciones, el movimiento del sol en su órbita aparente, la inclinación de la eclíptica, los paralajes, las aberraciones, la medida del tiempo, etc. B.- Astrofísica Estudia la estructura interna y todo el proceso de evolución estelar y su medio, estableciendo los modelos cosmológicos y analizando la física del universo. C.- Astronomía matemática o mecánica celeste Estudia el conjunto de leyes que regulan el estado de equilibrio de los cuerpos celestes.


78


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA D.- Astronomía de posición Estudia la resolución de los problemas relacionados con la determinación del Norte (acimut de una dirección) y las coordenadas geográficas de un lugar (posicionamiento de un punto en la superficie terrestre). 3.1.2. NOCIONES DE COSMOGRAFÍA 3.1.2.1. Base observacional Se denomina esfera celeste a una esfera ideal, con centro y radio arbitrarios, donde se suponen situados todos los astros que existen en el universo. Para fijar la posición de un punto sobre la esfera es necesario definir unos círculos de referencia. Para ello se elige un circulo máximo fundamental, determinado por la intersección de la esfera con un plano que pase por el centro. La normal a ese plano por el centro de la esfera corta a ésta en dos puntos, en general llamados polos. Todos los círculos máximos que contengan a los polos se les denominará círculos secundarios. Así, la posición de un punto en la esfera queda determinado por dos coordenadas esféricas: a) La distancia angular EB, arco incluido en el círculo secundario que pasa por el punto desde el círculo fundamental al punto. b) La distancia angular BC arco medido en el círculo fundamental entre el punto de intersección de círculo fundamental con el círculo secundario y un punto arbitrario C en el círculo fundamental que se toma como origen.

Figura Número 68.- Coordenadas esféricas

Según la definición dada de la esfera celeste, el centro es arbitrario, pero en astronomía de posición se usan preferentemente tres puntos: a) El lugar de observación, punto de la superficie terrestre, dando lugar a las coordenadas topocéntricas.


79


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA b) El centro de masas de la tierra, dando lugar a las coordenadas geocéntricas. c) El centro de masas del sistema solar, dando lugar a las coordenadas heliocéntricas. La posición relativa de los astros en la esfera se determina por los ángulos que forman entre sí las visuales dirigidas por el observador a ellos, denominadas distancias angulares. Los astros se clasifican en fijos o errantes según conserven entre sí o no las distancias angulares constantes (o con una variación poco perceptible a lo largo de los siglos). Al grupo de los errantes pertenecen los planetas que se caracterizan por tener movimientos propios de traslación apreciables por hallarse mucho más cercanos a la Tierra. 3.1.2.2. Definiciones en la esfera celeste Aparentemente la esfera celeste gira en torno a la tierra, con un movimiento uniforme de Este a Oeste, llamado movimiento diurno. Este giro aparente es debido al giro real de la Tierra en sentido contrario y se realiza alrededor de una línea que pasa por su centro denominada eje del mundo, siendo los polos celestes los puntos de intersección del mencionado eje con la esfera celeste. La intersección del eje con la tierra determina los polos terrestres, siendo los polos Norte y Sur celestes los polos del Ecuador (círculo máximo fundamental).

Figura Número 69.- Elementos básicos del movimiento diurno

El plano perpendicular al eje del mundo que pasa por el centro de la esfera celeste se denomina ecuador celeste. Los círculos máximos originados por la intersección de la esfera celeste con los planos que contienen a la recta PP’ se denominan meridianos celestes y los círculos menores intersección de la esfera celeste con los planos paralelos al ecuador se denominan paralelos celestes.


80



Figura Número 70.- Meridianos y paralelos celestes

Entre el lugar de observación, tierra, y el espacio observado, esfera celeste, existen unas interdependencias que es preciso definir antes de establecer los sistemas referenciales. Entre los conceptos a manejar destacan los siguientes: A.- Vertical de un lugar Es la dirección de la gravedad en cada lugar, también conocida por ser la normal al geoide en un punto dado, pudiéndose materializar por la dirección de la plomada. Esta vertical corta a la esfera celeste en dos puntos diametralmente opuestos: cenit, por encima del observador, y nadir, por debajo. B.- Horizonte de un lugar Es el plano normal a la vertical de un lugar que pasa por el lugar de observación. Se suele denominar también horizonte al círculo máximo en que dicho plano corta a la esfera celeste. Divide a ésta en dos hemisferios, el superior o visible y el inferior o invisible. C.- Verticales de un lugar Son los planos que contienen la vertical del lugar. Se suele denominar también verticales a los círculos máximos intersección de dichos planos con la esfera celeste. D.- Almicantarat Son círculos menores resultantes de la intersección de la esfera celeste con planos paralelos al horizonte del lugar.


81



Figura Número 71.- Líneas y planos notables en la esfera celeste

E.- Meridiano de un lugar De todos los planos verticales posibles, se define como plano meridiano aquél que contiene al eje del mundo PP’. Su intersección con la esfera celeste genera un círculo máximo llamado meridiano, denominándose meridiano superior al semimeridiano que contiene al cenit y meridiano inferior al semimeridiano que contiene al nadir. La intersección del plano meridiano con el plano horizontal determina la línea Norte-Sur llamada meridiana.

Figura Número 72.- Meridiano de un lugar y meridiana

F.- Primer vertical Es el vertical perpendicular al meridiano de un lugar. Su intersección con el plano horizontal determina la línea Este-Oeste normal a la Norte-Sur o meridiana. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

82



Figura Número 73.- Primer vertical y línea Este-Oeste

G.- Triángulo de posición Se denomina triángulo de posición de un astro al triángulo constituido por los vértices: cenit, polo celeste y astro (Z/P/E). Los tres lados se caracterizan por ser arcos de círculos máximos de la esfera celeste. -

El arco PZ está sobre el meridiano celeste que pasa por el cénit.

-

El arco ZE está sobre el vertical que contiene al astro.

-

El arco PE está sobre el meridiano celeste que contiene al astro.

Figura Número 74.- Triángulo de posición y círculo horario

3.1.3. MOVIMIENTOS DE LA TIERRA 3.1.3.1. Rotación y traslación La tierra tiene un movimiento de rotación alrededor de la línea de los polos que origina el movimiento aparente de los astros fijos denominado diurno en sentido contrario y, por tanto, cada astro fijo describirá aparentemente en un día un paralelo celeste. El movimiento es constante y uniforme en primera aproximación y, por tanto, también lo es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos de


83


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA un meridiano cualquiera por el mismo lugar, tomándose su valor como patrón para evaluar el tiempo, denominándose día sidéreo. También tiene la tierra un movimiento de traslación alrededor del sol a una distancia media de 149.504.201 km., describiendo una elipse en la que el centro de gravedad común (situado en el interior de la masa solar) ocupa uno de sus focos. Este movimiento real de la tierra produce aparentemente un movimiento de traslación del sol en una trayectoria ideal simétrica a la de la tierra, ocupando ésta uno de los focos, y recorrida en idéntico sentido. El plano que contiene la órbita de la tierra se llama plano de la eclíptica. Su intersección con la esfera celeste determina un círculo máximo llamado eclíptica. La intersección de este plano corta al plano del ecuador según un diámetro de la esfera celeste que intercepta a ésta en dos puntos: Aries y Libra. Ambos puntos no son fijos pero su posición es conocida, siendo su velocidad media de traslación de 29,76 km/sg. Cuando el sol se halla más próximo a la tierra se dice que está en su perigeo y la tierra en su perihelio; cuando se encuentran más alejados, se dice que el sol está en su apogeo y la tierra en su afelio. La tierra tiene otro movimiento de traslación, común a todo el sistema planetario y como parte integrante de la galaxia en la que se encuentra. 3.1.3.2. Equinoccios y solsticios El plano de la órbita terrestre (plano de la eclíptica) forma con el del ecuador un ángulo denominado oblicuidad de la eclíptica, que varía muy lentamente con el transcurso de los siglos, siendo su valor medio 23o 26’ 50”, disminuyendo 48” por siglo. Se denomina punto vernal o punto Aries (γ) al equinoccio de primavera, que es punto en que el sol, en su movimiento aparente, corta el ecuador para pasar del hemisferio Sur al Norte. Se denomina punto Libra (Ω) al equinoccio de otoño que es el lugar que ocupa el sol cuando atraviesa el ecuador al pasar del hemisferio Norte al Sur.

Figura Número 75.- Eclíptica y puntos significativos


84


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El eje que une el punto Aries y el punto Libra se denomina línea de los equinoccios. El diámetro de la eclíptica perpendicular a la línea de los equinoccios se denomina línea de solsticios y sus extremos son los puntos solsticiales (solsticio de invierno y verano) de igual forma que en el caso anterior se definen los puntos equinocciales. El eje mayor de la órbita se denomina línea de los ápsides que forma un ángulo de 11o con la línea de los solsticios.

Figura Número 76.- Líneas características en la eclíptica

La normal trazada por el observador al plano de la eclíptica corta a la esfera celeste en dos puntos llamados polos de la eclíptica (π,π’). La línea denominada eje de la eclíptica forma con el eje del mundo un ángulo idéntico a la oblicuidad de la eclíptica. El círculo máximo que pasa por los polos de la eclíptica se denomina coluro. Si contiene a los puntos equinocciales se denomina coluro de los equinoccios. De igual forma se define el coluro de los solsticios.

Figura Número 77.- Polos de la eclíptica y coluros

3.1.3.3. Signos del zodíaco, trópicos y círculos menores Se denomina zodiaco a una zona limitada por dos planos paralelos a la eclíptica cuya distancia angular es de unos 16o. Dentro de esta zona los primitivos astrónomos seleccionaron doce constelaciones conocidas de la esfera celeste repartidas de 30o en 30o, a las que atribuyeron los conocidos signos. En la actualidad, no existe coincidencia a consecuencia del desplazamiento del punto vernal. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

85


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La banda ecuatorial en la que se mueve el sol (aparentemente) está limitada por dos círculos menores llamados trópicos, equidistantes del ecuador y con latitud igual a la oblicuidad de la eclíptica. Se denomina trópico de cáncer al boreal y trópico de capricornio al austral. Estos círculos son los paralelos que aparentemente describiría el sol en los momentos de máxima y mínima altura en la eclíptica. Otros dos círculos menores, llamados polares, son los descritos por los polos de la eclíptica en el movimiento diurno, denominando círculo polar ártico al del hemisferio norte y círculo polar antártico al del hemisferio sur. 3.1.4. COORDENADAS GEOGRÁFICAS 3.1.4.1. Elementos constituyentes Para situar un punto en la superficie terrestre se utilizan las coordenadas geográficas. Bueno es saber desde el principio y dejar claro para lo que sigue que hay tres sistemas de coordenadas geográficas: A.- Coordenadas geográficas astronómicas Son completamente independientes de la forma y dimensiones de la tierra. Se pueden definir sin hacer ninguna hipótesis y se determinan mediante la vertical astronómica en un punto, línea inequívoca materializada por la dirección de la plomada. B.- Coordenadas geográficas geodésicas Dependen de la forma y dimensiones de la tierra. Se determinan mediante la normal a una superficie matemática adoptada arbitrariamente (elipsoide que se aproxima a la forma real de la tierra). C.- Coordenadas geográficas geocéntricas Representan la posición de los puntos de la superficie terrestre respecto al centro de la tierra. Se considera la superficie de la tierra representada por un elipsoide de revolución y en ella un lugar S.

Figura Número 78.- Elementos sobre el elipsoide


86


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El eje mayor del elipsoide describe el plano del ecuador. Su intersección con el elipsoide define una circunferencia llamada ecuador. Las elipses que pasan por los polos Norte y Sur son los meridianos terrestres. Los paralelos son las circunferencias resultantes de la intersección del elipsoide con planos paralelos al plano del ecuador. Por cada punto de la superficie del elipsoide pasan un meridiano y un paralelo. Se adoptarán un paralelo y un meridiano como origen para medir las coordenadas; como paralelo se adopta el ecuador y como meridiano el que pasa por el observatorio de Greenwich. 3.1.4.2. Longitud y latitud Aunque se establecen las definiciones de geodésicas y astronómicas, tan solo quedarán definidas con rigor las geodésicas. Las astronómicas serían tan solo en una primera aproximación. Es preciso definir y diferenciar los conceptos siguientes, referidos a un punto S sobre la superficie terrestre. A.- Longitud geográfica Es el ángulo diedro formado entre el plano meridiano de Greenwich y el plano meridiano superior de S que viene medido por el arco de circunferencia que ambos meridianos determinan sobre el ecuador λ. Se suele evaluar entre 0o y 180o al Este y Oeste de Greenwich, siendo positiva o negativa. También se evalúa de 0 h. a 24 h. B.- Latitud astronómica Es el ángulo que la vertical en S (dirección de la plomada) forma con el plano del ecuador ψ. La vertical en S se confunde con la normal del geoide en el punto pero difiere de la normal al elipsoide. C.- Latitud geodésica Es el ángulo que la normal al elipsoide de referencia, previamente definido, forma con el plano del ecuador ψ’. No se pueden determinar por observación directa sino por cálculos geodésicos.

Figura Número 79.- Diferentes conceptos de latitud


87


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA D.- Latitud geocéntrica Es el ángulo formado por el radio en el centro con el plano del ecuador ψ’’. 3.2. SISTEMAS DE COORDENADAS La posición de los astros en la esfera celeste se fija por medio de sus coordenadas, utilizándose para ello diversos sistemas, aplicables según el instrumento utilizado en la observación y el objetivo final del análisis. 3.2.1. COORDENADAS HORIZONTALES La posición de un astro queda fijada por el acimut y la altura: -

Acimut (A): Es el arco medido sobre el horizonte entre el meridiano del lugar y el vertical del astro, contado a partir del punto Sur y en sentido retrógrado.

-

Altura (h): Es el arco medido sobre el vertical del astro desde el horizonte al astro, puede ser positiva o negativa según el astro esté por encima o debajo del horizonte. Otra manera de dar esta coordenada es por la distancia cenital Z, siendo Z=90o-h.

Figura Número 80.- Coordenadas horizontales y distancia cenital

Entre las ventajas e inconvenientes de este sistema pueden destacarse los siguientes: -

Para un instante dado, la posición de un astro queda perfectamente fijada por su acimut y altura.

-

Su medida es fácil de obtener ya que con un teodolito, su puesta en estación materializa la vertical del lugar y, por tanto, define el plano horizontal donde se puede medir A, si se tiene materializada la dirección N-S o bien alguna otra referencia de la que se conozca su acimut, y desde donde se mide h.

-

Para un mismo instante y lugares diferentes, ambas coordenadas son diferentes por no tener los diferentes lugares el mismo horizonte.

-

Debido al movimiento diurno (aparente) para un mismo lugar, las coordenadas del astro varían con el tiempo.


88


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.2.2. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS La posición de un astro queda establecida por el ángulo horario y la declinación. -

Angulo horario (H): Es el ángulo medido sobre el ecuador desde el meridiano superior del lugar al meridiano del astro, en sentido retrógrado. Varía de 0 a 360o o bien de 0 a 24 horas.

-

Declinación (δ): Es el ángulo medido sobre el meridiano del astro desde el ecuador al astro. Puede ser positiva o negativa según que el astro se encuentre por encima o debajo del ecuador (boreal o austral). Otra manera de dar esta segunda coordenada es con la “distancia polar” (es el arco del meridiano del astro comprendido entre el polo Norte y el astro P=90o-δ).

Figura Número 81.- Coordenadas ecuatoriales horarias y distancia polar

Algunas de las ventajas e inconvenientes del sistema son: -

Como la esfera celeste tiene un movimiento aparente (suponiendo la tierra fija) en sentido retrógrado, y se supone que el movimiento es uniforme, ocurrirá que para un lugar de observación el ángulo horario de un astro variará uniformemente en función del tiempo.

-

Como el movimiento aparente de las estrellas es a lo largo de paralelos celestes, el valor de la declinación para una estrella es una coordenada fija, independiente del observatorio y del instante de la observación.

-

Para diferentes observatorios, la variación del ángulo horario de un astro en un instante fijado es proporcional a la diferencia de longitudes geográficas de ambos observatorios.

-

Su mayor inconveniente es que para la observación se necesita colocar el plano horizontal del aparato paralelo al plano del ecuador, es decir, el eje vertical del aparato paralelo al eje del mundo. El teodolito así colocado se denomina ecuatorial.


89



Figura Número 82.- Colocación en posición del aparato de observación

3.2.3. COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS La posición de un astro queda fijada por la ascensión recta y la declinación. -

Ascensión recta (α): Es el ángulo medido en el ecuador y en sentido directo desde el punto aries al meridiano del astro.

-

Declinación (δ): Es la misma del sistema anterior.

Figura Número 83.- Coordenadas ecuatoriales absolutas

Este sistema posee una relación de ventajas e inconvenientes entre los que destacan: -

La gran ventaja de este sistema es que tanto la ascensión recta como la declinación son coordenadas fijas para un astro independientes del instante y lugar de observación.

-

Para la observación se podría hacer con un anteojo ecuatorial, pero carece de precisión. Para conseguir precisiones adecuadas cada coordenada se mide independientemente con un instrumento: un anteojo meridiano en conexión con un cronómetro o péndulo sidereal (de tiempo sidéreo), con ellos se mide la ascensión recta, y con un círculo nural se mide la declinación.


90


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.2.4. COORDENADAS ECLÍPTICAS La posición de un astro queda caracterizada por la longitud y la latitud eclípticas. -

Longitud eclíptica (X): Es el ángulo medido en la eclíptica desde el punto aries al punto de intersección de la eclítptica con el coluro del astro, o mejor el ángulo diedro formado por el coluro del punto aries y el coluro del astro. Se mide en sentido directo.

-

Latitud eclíptica (Y): Es el ángulo medido en el coluro del astro desde la eclíptica al astro. Puede ser positiva o negativa según que el astro esté por encima o debajo de la eclíptica.

Figura Número 84.- Coordenada eclípticas

Este sistema referencial tiene las ventajas e inconvenientes siguientes: -

Este sistema es independiente del lugar de observación.

-

Depende del instante de la observación. Normalmente, se emplean para estudiar los movimientos del sol y los planetas.

-

No se obtienen por observación directa de los astros por no existir instrumentos apropiados para ello.

3.2.5. RESUMEN DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS Los sistemas de coordenadas analizados se sustentan en una serie de círculos máximos, notables, que han ido definiéndose en la esfera celeste: horizonte, ecuador, eclíptica, verticales, meridiano, coluros.


91



Figura Número 85.- Círculos máximos sustentadores de las coordenadas astronómicas

El resumen de los sistemas de coordenadas astronómicas queda reflejado en el cuadro siguiente y esquematizado en representación conjunta. SISTEMAS

COORDENADAS

ANOTACIONES

ORIGEN

SENTIDO

Acimut

A

Sur

Retrógrado

Altura

h

Horizonte

Hacia el cenit o nadir

Angulo horario

H

Declinación

δ

Ecuador

Hacia los polos

Ascensión recta

α

Punto Aries

Directo

Declinación

δ

Ecuador

Hacia los polos

Longitud eclíptica

X

Punto Aries

Directo

Y

Eclíptica

Hacia los polos de la eclíptica

HORIZONTALES

E. HORARIAS

Meridiano Sup.

E. ABSOLUTAS

ECLIPTICAS

Latitud eclíptica

Retrógrado


92



Figura Número 86.- Representación conjunta de las coordenadas astronómicas

3.3. LA TIERRA EN EL UNIVERSO 3.3.1. CONFIGURACIÓN DEL COSMOS El universo surgió hace 15.000 millones de años en una gran explosión (big bang) aún no completamente explicada y se expandió rápidamente. En la actualidad, está formado por galaxias que se alejan unas de otras a una velocidad mayor cuanto mayor es la distancia entre ellas (Edwin Hubble. 1889-1953). Para Aristóteles, el universo estaba configurado por cuerpos celestes que habían permanecido y tendrían que seguir permaneciendo inmutables en el tiempo. A medida que la astronomía se convertía en ciencia de la observación, a partir de Tycho Brahe, Galileo y las observaciones posteriores, se demostró que los cuerpos celestes cambian, existiendo una dinámica caracterizada por unas etapas evolutivas en las que características como el color y la luminosidad, sufren variaciones. Algunas tardan en manifestarse decenas o centenas de millones de años. Otras lo hacen en intervalos de tiempo del orden de algunos meses e incluso días. Se denomina grupo local al conjunto de unas treinta galaxias de marcado significado como la Vía Láctea, Andrómeda, Triángulo, Nubes de Magallanes, etc. Existen más de 100.000 millones de galaxias y en cada una existen más de 100.000 millones de estrellas, constituídas principalmente por hidrógeno, que nacen, se desarrollan y mueren. Nacen cuando grandes masas de hidrógeno y polvo se concentran y por acción de la gravedad se colapsan cuando la masa es suficiente (proceso que dura millones de años) y ponen en marcha la fusión, encendiendo el reactor nuclear que dará luz propia al astro y producirá una importante fuente de energía. Si no existe masa crítica, la masa gaseosa no llega a ser estrella, como el caso de Júpiter. Cuando se agota el combustible (hidrógeno), si la estrella es pequeña (tipo sol), los gases se expanden (gigante roja) y después se contraen (enana blanca), desapareciendo del universo. Si, por el contrario, la estrella es masiva, todo finaliza de forma similar, pero más violenta. En la


93


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA evolución de una estrella de gran masa, en la fase final, se libera gran cantidad de energía (comparable a la emitida durante toda la vida de la estrella). Al finalizar los procesos de fusión nuclear, el equilibrio se rompe (vence la presión gravitatoria) y la estrella se contrae. El calentamiento rápido ocasiona reacciones incontroladas con explosiones que destruyen la estrella. Las supernovas son estos sucesos violentos que caracterizan el fin del astro. Del resto de supernovas (cúmulos gaseosos) también quedan los neutrones de la primitiva estrella, que se agrupan formando un resto estelar superdenso: estrella de neutrones. De todas las galaxias, la vía láctea es donde surgió el sistema solar formado por los planetas, asteroides y cometas que giran alrededor del sol, estrella que se formó hace unos 4.500 millones de años a partir de una nube de gas y polvo que giraban sobre sí misma bajo la acción de su propio peso. 3.3.2. LAS DISTANCIAS EN ASTRONOMÍA En el marco del universo es necesario definir nuevas unidades de distancias. Las más utilizadas son las siguientes, según el espacio de trabajo sea el sistema solar, la galaxia o el conjunto de galaxias. Para medidas en el sistema solar la unidad más utilizada es la UA (Unidad Astronómica) que tiene una longitud de 150 millones de kilómetros (distancia media entre el sol y la tierra). En el contexto de distancia en la galaxia se emplea el AL (año luz) que representa la distancia recorrida por la radiación electromagnética en un año: AL = 300.000 x 365 x 24 x 60 x 60 = 9,46 · 1012 km. La relación con la UA es la siguiente: 1 AL = 63.072 UA Cuando se trata de establecer distancias entre galaxias, la unidad más empleada es el pc (pársec) y sus múltiplos kpc (kiloparsec) y mpc (megaparsec). Se denomina pársec a la distancia equivalente a 1 segundo sexagesimal de paralaje sol-tierra.

Figura Número 87.- Representación gráfica del pársec

sen1" =

1UA 1UA → DET = ∼ 206265UA T sen1" DE

1 ps = 206.265UA = 3,27 AL pudiendo establecer: kpc = 3.270 AL mpc = 3.270.000 AL


94


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.3.3. LA VÍA LÁCTEA Y EL SISTEMA SOLAR La Vía Láctea tiene forma de disco, más grueso en el centro, del que parten brazos en forma de espiral, tiene un diámetro de 100.000 años luz y más de 100.000 millones de estrellas. Todas giran en torno al centro de la galaxia que tiene tres partes significativas: el núcleo, formado por las estrellas más antiguas, el bulbo central con un diámetro de 12.000 AL y los brazos espirales de unos 50.000 AL de longitud. En uno de ellos, denominado brazo de Orión, se encuentra del sol a una distancia de 30.000 años luz del centro de la galaxia. El centro está ocupado por un agujero negro que tiene un tamaño próximo al sol, pero una masa de 2,5 millones de veces. El sol es una estrella pequeña que gira alrededor de la galaxia a una velocidad de 270 km/seg., tardando más de 200 millones de años en dar un giro completo. Los datos más importantes del sol son: - Diámetro:

1.400.000 km.

- Masa comparativa:

332.946 (T=1)

- Temperatura:

6.000o C y 15.000.000o C

- Gravedad:

27,9 (T=1)

- Consumo de combustible:

4 millones de toneladas de hidrógeno cada segundo

Alrededor del sol giran los planetas rocosos (telúricos) y los gigantes gaseosos (jovianos). Los radios de las esferas de aproximación son los siguientes: - Sol:

700.000 km.

- Mercurio:

2.439 km.

- Venus:

6.051 km.

- Tierra:

6.370 km.

- Marte:

3.393 km.

- Júpiter:

70.492 km.

- Saturno:

60.268 km.

- Urano:

25.559 km.

- Neptuno:

24.764 km.

- Plutón:

1.150 km.

Este conjunto de planetas tiene los siguientes datos característicos:


95



DISTANCIA AL SOL PLANETAS

DENSIDAD

GRAVEDAD

MASA

Agua (l.)

(T=1)

(Tierra 1)

0,33

5,44

0,28

0,05

0

105

0,7

5,25

0,88

0,8

0

T

150

1

5,5

1

1

1

M

225

1,5

3,95

0,38

0,1

2

J

800

5,333

1,33

2,3

318

16

S

1500

10

0,75

0,92

95

18

U

2900

19,333

1,29

0,79

15

15

N

4500

30

1,64

1,1

17

8

P

6000

40

2,1

0,04

0,0025

1

(Millones km)

UA

M

50

V

SATÉLITES

La tierra gira alrededor del sol con una velocidad media de 29,8 km/seg. (107.280 km/h) con un movimiento simultáneo de rotación que representa en el ecuador una velocidad tangencial de 1.670 km/h. 3.3.4. EL DIAGRAMA HR El primer intento de catalogar estrellas tomando como parámetro diferenciador su luminosidad se debió a Hiparlo de Nicea (siglo II a.C.). Su “catálogo estelar” de 850 estrellas sirvió de base para la ampliación y reforma de datos realizada por Claudio Tolomeo (siglo II d.C.). Su obra Almagesto reorganiza la astronomía conocida hasta entonces e incrementa el número de cuerpos celestes catalogados. Durante más de mil años fue considerado el mejor catálogo de Astronomía, dividiendo las estrellas en seis clases: las más brillantes eran las de magnitud uno y las menos de magnitud seis. El diagrama de Hertzsprung y Russel (diagrama HR) es uno de los métodos que sirve para relacionar la temperatura y la luminosidad de una estrella. En 1913, un astrónomo holandés, Ejnar Hertsprung (1873-1967) y otro estadounidense, Henry Norris Russel (1877-1957), obtuvieron independientemente el gráfico que sirve para comprender la evolución de la vida de las estrellas. Según su espectro, las estrellas se clasifican en siete tipo: 0 (las más calientes), B, A, F, G, K, M (las menos calientes). La magnitud absoluta (luminosidad intrínseca) proporciona el dato de la energía que emite, siendo preciso conocer la distancia a la tierra. Por definición, se establece un valor estándar: distancia 10 parsec (32,6 AL). La magnitud aparente ma, magnitud absoluta mA y distancia d están relacionados por sencillas expresiones de tipo logarítmico. El diagrama relaciona la temperatura en oC (eje de abscisas) con la luminosidad, es decir, la magnitud absoluta (eje de ordenadas).


96



Figura Número 88.- Diagrama HR

Para confeccionar el diagrama se toma una muestra de estrellas, cuya distancia a la tierra es conocida, determinando su magnitud absoluta. Para conocer la temperatura se identifica el tipo espectral u otro parámetro (índice de color). Se obtiene evaluando la magnitud de la estrella en dos longitudes de onda diferentes. En el diagrama, la mayor parte de las estrellas se disponen en una banda diagonal: parte superior izquierda – parte inferior derecha, denominada secuencia principal. Las estrellas, como el sol, están en fase estable (el 90% de las existentes). La estrechez de la banda revela el delicado equilibrio existente. En la parte derecha está la zona de las gigantes rojas, estrellas más frías (unos 3.000o C) que son más luminosas pues al tener más tamaño tienen mayor superficie para radiar. El diámetro puede ser hasta 200 veces el diámetro del sol (doble de la distancia sol-tierra). En la parte inferior izquierda del diagrama están las enanas blancas, estrellas muy calientes pero muy poco luminosas, siendo de menor diámetro. Son extraordinariamente densas (1 cm3 ≡ 1 tonelada en la tierra). Con el presente diagrama resulta muy sencillo interpretar la evolución de los diferentes tipos de estrellas. 3.3.5. LA RADIOASTRONOMÍA: CUÁSARES Y PÚLSARES La telescopía óptica iniciada por Galileo en 1610 con anteojos refractores de tan solo treinta aumentos fue perfeccionándose con los telescopios reflectores creados por Newton (1671) hasta lograr construir el telescopio espacial Hubble que fue puesto en órbita a más de 600 km. de la superficie terrestre en abril de 1990. Tiene una longitud de 13,3 m., un diámetro de 4,3 m. y un peso superior a las 11 toneladas. Con él se han conseguido las mayores aportaciones de esta forma de capturar la información.


97


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Pero a mediados del siglo XX, un nuevo sistema revolucionó este clásico método de observar los astros. En 1937 Grote Reber construye el primer radiotelescopio de 9 m. de diámetro y se inicia una nueva etapa en la observación del espacio. En 1957 se construye el radiotelescopio Novell en Jodrell Bank. Los radiotelescopios revelaron emisiones radioeléctricas, inicialmente en algunas galaxias (radiogalaxias). Hacia 1963 al observar emisiones en la banda radioeléctrica y localizar la galaxia correspondiente (galaxia huésped) se hizo un trascendental descubrimiento. Algunas de estas radiofuentes no estaba asociadas a galaxias sino a cuerpos de tipo estelar. Se les denominó cuásares y se comprobó que estaban situados a distancias comprendidas entre 10.000 y 15.000 millones de años luz. Quizá son los cuerpos celestes observados más distantes del universo. El cuásar 3C273 (objeto celeste 273 del tercer catálogo de radiofuentes de Cambridge) se aleja a una velocidad de 44.000 km/seg., causada por la expansión del universo. En el momento de su descubrimiento era el objeto más lejano y luminoso observado. Estudios posteriores establecen que existe un cuásar por cada 100.000 galaxias. Estos objetos han permitido desarrollar sistemas como el VLBI (muy larga base interferométrica) que ha jugado un papel de especial trascendencia en la implantación de puntos fijos para el Sistema de Posicionamiento Global (GPS). En 1967, Jocelyn Bell, tomando datos para su tesis doctoral en el Instituto de Radioastronomía de la Universidad de Cambridge, encontró la señal pulsante con un periodo de 1,37 seg. La doctoranda y su director, Anthony Hewish descubrieron posteriormente el primer púlsar PSR 1919+21 (ascensión recta: 19 h. 19 m.; declinación +21). En la actualidad hay más de 700 púlsares en nuestra galaxia. Los púlsares y las estrellas de neutrones, anteriormente citadas, representan los restos de grandes estrellas que agonizan. Los pulsos de radio regulares tienen periodos desde milisegundos hasta centenas de segundo, pudiéndose interpretar como relojes cósmicos. En nuestro país se encuentra operativo un radiotelescopio de 40 m. de diámetro en el Centro Astronómico de Yebes (CAY), situado a 80 km. de Madrid, en la provincia de Guadalajara. 3.3.6. OBSERVATORIOS ASTRONÓMICOS El Real Decreto 243/1992, de 13 de Marzo, y e Reglamento de la ley 31/1988, de 31 de octubre, dictaminan medidas tendentes a garantizar la calidad de las observaciones en las proximidades de los observatorios astronómicos, en base a limitar: -

Alumbrado.

-

Emisoras de radio.

-

Establecimiento de industrias.

-

Limitación de actividades.


98


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Son las disposiciones legales que regulan las condiciones que deben cumplir las obras que se proyecten y se construyan en el área de influencia de un observatorio astronómico. 3.3.7. ÚLTIMAS CONSIDERACIONES A) Viaje de Cassini-Huygens Tras siete años de viaje la nave y la sonda llegaron a la órbita prevista de Saturno, cuyos anillos (composición, espacios, …) fueron analizados por el primero de los Cassini: Gian Domenico Cassini (1625-1712). A primera hora del día de Navidad del 2004 partió hacia su destino final, Titán, descubierto por Christian Huygens (1629-1695), el viaje duro hasta mediados de Enero de 2005, donde investigó el gran satélite de Saturno, sobre todo la composición de nitrógeno y metano. El objetivo era obtener información de su configuración pues se cree que pudo ser muy similar a la atmósfera que tenía la tierra cuando apareció la vida. b) Radios de las esferas en el sistema solar y velocidades:

Figura Número 89.- Radios de las esferas en el sistema solar

Las velocidades galaxia / sol / tierra: Luna:

1 km/seg.

Luna:

Tierra:

30 km/seg.

Tierra:

108.000 km/h. 972.000 km/h.

Sol:

270 km/seg.

Sol:

Vía Láctea:

500 km/seg.

Vía Láctea:

3.600 km/h.

1.800.000 km/h.

c) Aspectos curiosos - αcentauri: estrella más cercana al sol, encontrándose a 38 billones de km. - Enana blanca: tiene la masa del sol y el radio de la tierra. - Estrella de neutrones: tiene la masa del sol y pocos km. de radio.


99



APUNTES


UNIDAD DIDÁCTICA II

INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS

Profesor Responsable: Julio Manuel de Luis Ruiz. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

1



UNIDAD DIDÁCTICA II INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS JUSTIFICACIÓN 1. MEDIDAS ANGULARES 1.1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE UN GONIÓMETRO 1.1.1. Ángulos en el plano horizontal y ángulos en el plano vertical 1.1.2. Partes esenciales de un goniómetro 1.2. EL TEODOLITO ÓPTICO 1.2.1. Partes esenciales de un teodolito óptico 1.2.2. Clasificación de los teodolitos ópticos 1.2.3. Utilización del teodolito 1.2.4. Parámetros representativos de un teodolito 1.2.5. Comprobaciones y correcciones 1.3. LA BRÚJULA 1.3.1. El campo magnético terrestre 1.3.2. Tipos de brújulas 1.3.3. Comprobaciones y usos 1.4. EL TEODOLITO ELECTRÓNICO 1.4.1. Medición electrónica de ángulos 1.4.2. Sistemas de evaluación de ángulos 1.5. ERRORES EN LAS MEDIDAS ANGULARES 1.5.1. Errores sistemáticos y accidentales 1.5.1.1. Error de verticalidad 1.5.1.2. Error de dirección 1.5.1.3. Error de puntería 1.5.1.4. Error de lectura 1.5.1.5. Error total 1.5.2. Métodos para aumentar la precisión 2. MEDIDA DE DISTANCIAS 2.1. MEDIDA DIRECTA DE DISTANCIAS 2.1.1. Introducción 2.1.2. Cintas métricas y reglas 2.1.3. Hilos ínvar 2.2. MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS POR MÉTODOS ESTADIMÉTRICOS 2.2.1. Fundamento de la estadia 2.2.2. Anteojos estadimétricos. El taquímetro 2.2.2.1. Aspectos diferenciadores


2


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.2.2.2. Funcionalidad del taquímetro 2.2.3. Relaciones taquimétricas 2.2.3.1. Evaluación de distancias 2.2.3.2. Evaluación del desnivel 2.2.3.3. Introducción al empleo de coordenadas 2.2.4. Taquímetros autorreductores 2.2.5. Estadia horizontal ínvar 2.2.5.1. Elementos constituyentes 2.2.5.2. Forma de evaluar la medición 2.2.5.3. Precisión en la evaluación de la distancia 2.3. MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS POR MÉTODOS ELECTROMAGNÉTICOS 2.3.1. Fundamento de la medición electrónica de distancias 2.3.1.1. Aspectos generales 2.3.1.2. Particularidades de la evaluación de la distancia 2.3.2. Funcionalidad de la medición electrónica de distancias 2.3.2.1. Precisiones 2.3.2.2. Precauciones en la utilización de los distanciómetros 2.3.2.3. Ventajas adicionales 3. LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 3.1. LA MEDICIÓN COMPACTA 3.2. PARTICULARIDADES SIGNIFICATIVAS 3.3. OFERTA ACTUAL DE ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 3.3.1. Mejoras generalizadas 3.3.2. Mejoras particularizadas 3.3.3. Consideraciones finales 4. MEDIDA DE ALTURAS 4.1. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO ALTIMÉTRICO 4.2. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 4.2.1. Corrección por esfericidad y refracción 4.2.1.1. Corrección por esfericidad 4.2.1.2. Corrección por refracción 4.2.2. Errores en la nivelación trigonométrica 4.3. EL NIVEL 4.3.1. Fundamento 4.3.2. Partes esenciales 4.3.3. Errores en la nivelación geométrica 4.3.3.1. Errores propios del aparato 4.3.3.2. Error adicional por falta de verticalidad de la estadía 4.3.3.3. Error altimétrico total 4.3.4. Formas de trabajo con un nivel


3



JUSTIFICACIÓN La topografía tiene por objeto fundamental obtener representaciones del territorio y para ello trata de determinar la posición espacial de los puntos que geométricamente definen el propio territorio. En el ambiente coloquial a las representaciones del territorio se les denomina “planos” y a la posición espacial “coordenadas”. Así, una vez determinado el conjunto de coordenadas de una nube de puntos, la obtención del plano se suele considerar más un problema de delineación que topográfico. Por tanto, el objetivo de la topografía es obtener las coordenadas de un conjunto de puntos, generalmente cuantioso, y para ello se hace necesario establecer un sistema de referencia que permita realizar diferentes trabajos topográficos con un único sistema de coordenadas en toda la zona objeto de representación. Tal y como se analizó en la unidad didáctica anterior, los sistemas de referencia utilizados en topografía suelen ser tridimensionales, estableciendo para ello tres ejes cartesianos y un origen de coordenadas, que se pueden materializar en el terreno en base a la ubicación en el territorio de puntos de coordenadas conocidas e intervisibles, que viene a constituir lo que en geodesia se denominan “marcos de referencia”, cuya mínima expresión en topografía es la “base topográfica”. En base a dos puntos de coordenadas conocidas e intervisibles (una base topográfica), la topografía convencional procede de forma general bajo el siguiente procedimiento para obtener las coordenadas de un punto y, por tanto, extensible a todos los puntos que se deseen calcular. Si se analiza la siguiente figura, en la que se pretende analizar una observación estrictamente altimétrica:

Figura Número 1.- Obtención de la coordenada altimétrica

Se pueden deducir las siguientes relaciones elementales:

D AB = Dg AB · sen V AB

z A + t AB + i A = z B + mB


4



t AB = D AB · cot g V AB

z B = z A + D AB · cot g V AB + i A − m B

Si el mismo análisis se realiza desde un punto de vista planimétrico, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Figura Número 2.- Obtención de las coordenadas planimétricas x,y

También se puede deducir:

x B = x A + D AB · sen θ AB y B = y A + D AB · cos θ AB Cabe reseñar que en la tercera unidad didáctica se profundiza en los métodos o procedimientos existentes para obtener mayor rendimiento al procedimiento general descrito anteriormente, que simplemente pretende justificar que para determinar las coordenadas de un conjunto de puntos en un sistema referencial al margen de la base topográfica, se hace necesario un instrumental que permita determinar ángulos en el plano horizontal y vertical (H y V), distancias geométricas o reducidas (D ó Dg) y alturas (i,m,zE), siendo éste el motivo por el que la presente unidad didáctica se estructura en tres capítulos: las medidas angulares, las medidas distanciométricas y la medida de alturas. Destacar que debido al carácter introductorio de esta asignatura, no se van a acometer el desarrollo y fundamento de diversos instrumentos que actualmente se están utilizando en el ámbito de la topografía clásica, postergándolo para asignaturas posteriores. Entre este instrumental se encuentran: 1.- Estaciones robotizadas. 2.- Sistemas de Posicionamiento Global (GPS). 3.- Combinación entre estaciones topográficas y GPS. 4.- Sensores de captura masiva de datos: . Aerotransportados (Lidar). . Terrestres (láser escáner).


5



1. MEDIDAS ANGULARES


6


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.1. DESCRIPCIÓN GENERAL DE UN GONIÓMETRO 1.1.1. ÁNGULOS EN EL PLANO HORIZONTAL Y ÁNGULOS EN EL PLANO VERTICAL Se denomina goniómetro al instrumento que en el terreno evalúa los ángulos necesarios para realizar los trabajos topográficos. Entre las variedades angulares, las más sencillas de tratar son los ángulos contenidos en el plano horizontal y los ángulos en el plano vertical. El esquema general de un goniómetro se ajusta a las funciones a desarrollar, debiendo disponer de elementos para estacionar, referenciar y evaluar los ángulos. Los ángulos en el plano horizontal tienen diferentes denominaciones según el origen que se considere.

Figura Número 3.- Determinación de los ángulos en el plano horizontal

( )

-

Acimut topográfico θ 1A : Es el ángulo horizontal determinado por las direcciones de la meridiana geográfica (N) y la visual considerada.

-

Acimut geodésico G 1A : Es el ángulo horizontal determinado por las direcciones de la meridiana geográfica (S) y la visual considerada.

-

Rumbo R 1A : Es el ángulo horizontal determinado por las direcciones de la meridiana magnética (NM) y la visual considerada.

-

Orientación T A1 : Es el ángulo horizontal determinado por las direcciones al eje de ordenadas de la cuadrícula (NC) y la visual considerada.

-

Lectura L1A : Es el ángulo horizontal determinado por las direcciones de una visual origen cualquiera y la visual considerada.

( )

( )

( )

( )


7


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA También los ángulos en el plano vertical tienen diferentes denominaciones según el origen adoptado.

Figura Número 4.- Denominación de los ángulos en el plano vertical

( ) ( )

-

Angulo vertical o altura α 1A , α A2 : Es el ángulo que forma el plano horizontal con la visual. Será de elevación o de depresión según que la visual sea ascendente o descendente.

-

Angulo cenital V A1 , V A2 : Es el ángulo que forma la vertical ascendente con la visual considerada.

-

Angulo nadiral β 1A , β A2 : Es el ángulo que forma la vertical descendente con la visual que se considera.

( ) ( ) ( )( )

Con la obtención de estos ángulos queda determinada la semirrecta en el espacio donde está el punto referenciado. Llevando sobre ella la distancia geométrica o bien la distancia reducida, el punto considerado quedaría bien determinado.

Figura Número 5.- Determinación angular de un punto en el espacio


8


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Según la facultad de un goniómetro para medir ángulos se clasifican de la forma siguiente: -

Completos: Goniómetro capaz de evaluar los ángulos en el plano horizontal y los ángulos en el plano vertical.

-

Acimutal: Goniómetro que tan solo es capaz de evaluar los ángulos en el plano horizontal.

-

Eclímetro: Goniómetro que tan solo es capaz de evaluar los ángulos en el plano vertical, expresando el resultado en unidades angulares convencionales (grados sexagesimales o centesimales).

-

Clisímetro: Goniómetro capaz de evaluar los ángulos en el plano vertical, expresando el valor de su pendiente en tanto por ciento.

1.1.2. PARTES ESENCIALES DE UN GONIÓMETRO En esquema, el goniómetro consta de tres partes fundamentales que se articulan en torno a tres ejes perpendiculares entre sí: -

Eje principal: Es el eje vertical del aparato materializado por el calado de la plataforma nivelante.

-

Eje secundario o de muñones: Por construcción es normal al eje principal. Alrededor de él gira el anteojo.

-

Eje de colimación: Es la recta que une el centro óptico del objetivo con el centro de la cruz filar del retículo.

El eje principal del instrumento topográfico se coloca, en campo, coincidente con la vertical del lugar. La bondad de la coincidencia dependerá de las características del sistema de nivelación del propio aparato.

Figura Número 6.- Esquematización de un goniómetro


9



Anteojo o colimador: Sirve para realizar la puntería según el eje de colimación. Tiene posibilidad de movimiento en torno al eje secundario o de muñones.

-

Alidada: Elemento móvil que arrastra al anteojo. Tiene libertad de giro en torno al eje principal.

-

Limbos: Discos graduados para evaluar los valores de los ángulos en el plano horizontal y en el plano vertical.

Los elementos esenciales participan de movimientos en torno a los ejes fundamentales definidos, con lo que se puede hacer puntería a cualquier punto y permiten la lectura de los ángulos en el plano horizontal y en el plano vertical. La medición de un ángulo en el plano horizontal se puede realizar de forma directa haciendo corresponder el valor cero del limbo horizontal con el punto origen y evaluar el ángulo recorrido hasta llegar al punto que se desea observar.

Figura Número 7.- Medida de un ángulo en el plano horizontal

También se puede determinar por diferencia de lecturas entre los dos puntos considerados sin necesidad de ubicar el origen de ángulos del limbo horizontal en el punto origen de la medición.

L1R = L1o − l oR La medición de un ángulo en el plano vertical se realiza a partir del origen considerado, haciendo puntería en el punto a visar. La iniciación es automática o a través del calado de un nivel, siendo el caso más usual los goniómetros con origen de ángulos en el plano vertical situado en el cenit.


10



Figura Número 8.- Medida de un ángulo en el plano vertical

1.2. EL TEODOLITO ÓPTICO 1.2.1. PARTES ESENCIALES DE UN TEODOLITO ÓPTICO Entre los goniómetros o aparatos medidores de ángulos, el más perfeccionado es el teodolito. Se pueden separar las siguientes partes: -

Una plataforma nivelante, que mediante tres tornillos permite la nivelación del aparato. De esta forma se consigue que el eje principal del teodolito coincida con la dirección de la vertical del lugar.

-

En su interior se dispone de un eje solidario del limbo acimutal, permitiendo con un tornillo de presión efectuar el movimiento del limbo, independientemente del anteojo. Este giro se denomina movimiento general del instrumento.

-

A su vez, existe un segundo eje solidario con la alidada horizontal, que tiene tornillos de presión y coincidencia, consiguiendo el giro sobre el eje, denominándose movimiento particular de la alidada.

-

Sobre esta superficie se dispone el soporte del anteojo giratorio alrededor de un eje horizontal, arrastrando en su giro a la alidada cenital, disponiendo de tornillos de presión y coincidencia. Este giro es el movimiento del eclímetro o alidada cenital.

Los grados de libertad definidos permitirán determinar las lecturas con ayuda de nonius, en un principio, y de micrómetros ópticos en la actualidad, aumentando la precisión y la rapidez de lectura, aligerando de peso a los instrumentos.


11



Figura Número 9.- Partes esenciales de un teodolito

Por lo tanto, existen movimientos compatibles que permiten posicionar un punto angularmente: -

Al fijar el movimiento general del limbo horizontal y liberar el tornillo de la alidada acimutal, el giro acimutal del anteojo se puede evaluar como diferencia de lecturas.

-

Al fijar el movimiento de la alidada horizontal y liberar el general del limbo permite orientar el aparato, pudiendo posicionar una lectura cualquiera del limbo acimutal en una dirección preestablecida.

-

En el tercer movimiento, al girar el anteojo sobre el eje horizontal (eje de muñones) desplaza la alidada vertical, variando la lectura y evaluando la inclinación del anteojo.

Además de las partes enumeradas, los teodolitos disponen de niveles, que pueden ir colocados sobre los muñones del eje horizontal (nivel caballero), sobre la alidada acimutal, sobre el eclímetro y sobre el anteojo. Usualmente no llevan más que uno o, como caso excepcional, dos. Los elementos accesorios de un teodolito son: Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

12



Trípode: Elemento soporte del instrumento, de muy diversa constitución y tipología.

-

Plomada: Para asegurar la coincidencia del eje principal sobre el punto estación. Pueden ser ópticas o clásicas, imperando las primeras.

-

Señales de puntería: Materializan la posición del punto a captar. Pueden ser permanentes, semipermanentes o accidentales.

Figura Número 10.- Elementos accesorios de un teodolito

Un teodolito debe ser un goniómetro que permita efectuar la vuelta de campana, pudiendo hacer observaciones con el anteojo a la derecha del eclímetro, posición normal (lectura en círculo directo: CD) o con el anteojo a la izquierda del eclímetro, posición invertida (lectura en círculo inverso: CI).

Figura Número 11.- Teodolito usual


13


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El teodolito así descrito debe reunir las siguientes condiciones para efectuar la captura adecuada de ángulos: -

El eje principal del aparato y el eje de la alidada acimutal deben coincidir. La falta de coincidencia se denomina torcedura de eje.

-

El eje principal del aparato debe coincidir con la vertical del lugar. Todos los niveles estarán calados para asegurar esta circunstancia.

-

El eje de colimación ha de ser normal al secundario, por lo que, al girar el anteojo, el de colimación debe describir un plano perpendicular al eje de muñones.

-

El eje principal ha de ser normal al secundario pues, en caso contrario, el plano que describe el de colimación no sería vertical.

-

En visuales horizontales, el eclímetro ha de marcar 0g (0o) ó 100g (90o), según el tipo.

-

Los limbos han de estar bien graduados y dispuestos en planos normales a los ejes correspondientes (el acimut con el eje vertical y el eclímetro con el eje secundario).

1.2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS TEODOLITOS ÓPTICOS Los teodolitos ópticos, atendiendo al tipo de precisión del movimiento general, pueden ser: -

Teodolitos repetidores: Están provistos de tornillo de precisión y de coincidencia acimutales. En cualquier lectura puede inicializarse la ubicación del origen de ángulos en el plano horizontal. Se puede iniciar la medida de un ángulo, es decir, la lectura a la referencia con cualquier valor.

-

Teodolitos reiteradores: Tan solo están provistos del tornillo de presión acimutal, careciendo del de coincidencia.

En cualquier caso, la graduación de los limbos puede ser centesimal o sexagesimal. 1.2.3. UTILIZACIÓN DEL TEODOLITO A) Puesta en estación y nivelación Al situar el aparato en un punto del terreno para efectuar una observación, su eje principal debe ser coincidente con la vertical del lugar y pasar por el punto A de estación, utilizando la plomada normal o la plomada óptica. Esta operación va sincronizada con la correcta nivelación del instrumento por medio de tres tornillos de nivelación, situados sobre la plataforma nivelante.


14



Figura Número 12.- Posición en la estación

Esta operación va sincronizada con la correcta nivelación del instrumento por medio de tres tornillos de nivelación, situados sobre la plataforma nivelante.

Figura Número 13.- Fundamento de la nivelación con el nivel tórico

B) Observación Tras la nivelación se realiza la observación a los diferentes puntos, cerrando en el punto primero. Esto se denomina vuelta de horizonte, pudiendo comprobar el error de arrastre. A continuación se efectúa la vuelta de campana, girando acimultamente 200g (180o) y volviendo a observar al punto, efectuando una nueva vuelta de horizonte, pero esta vez en sentido contrario. Las lecturas en las diferentes vueltas deben concordar con una diferencia de 200g (180o), salvo el error en la lectura. La lectura de punto es el promedio, eliminando previamente la diferencia 200g (180o).


15


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La aproximación a la puntería se realiza con un dispositivo coincidente con el anteojo y situado sobre él y la puntería final con el propio anteojo.

Figura Número 14.- Fundamento de la puntería

La puntería se realiza en la intersección de la cruz filar, grabada en la propia óptica del anteojo (retículo). Dado que el teodolito se utiliza como tal, es decir, para hallar ángulos exclusivamente, pero también, y con mayor frecuencia, asociado a un sistema de evaluación de distancias, además de la puntería a un lugar concreto genérico o a una diana predeterminada, predominan las punterías realizadas a elementos que están asociados a sistemas de evaluación de distancias: estadías horizontales, estadías verticales y prismas de reflexión de ondas.

Figura Número 15.- Sistemas usuales de puntería

Este sistema compacto de teodolito asociado a un sistema óptico o electrónico de evaluación de distancias conlleva el empleo de sistemas concretos de realizar la puntería que serán detallados en el siguiente capítulo. Aún así, las lecturas de los ángulos resultantes se obtienen observando el microscopio de lectura. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

16



Figura Número 16.- Microscopios de lectura

Estas lecturas, para el teodolito óptico, son independientes del sistema utilizado para hacer puntería: estadía horizontal, estadía vertical, prisma sobre jalón, diana de puntería, punto genérico, etc. Los sistemas ópticos captan los valores angulares del punto observado y se traducen en un valor concreto. Los mecanismos de lectura en los micrómetros dependen de los fabricantes de instrumentos, los cuales diseñan dichos micrómetros con el objetivo de simplificar al máximo las lecturas. 1.2.4. PARÁMETROS REPRESENTATIVOS DE UN TEODOLITO Entre las especificaciones técnicas que caracterizan a un teodolito destacan, por su participación en las relaciones que regulan los errores sistemáticos, los siguientes: sensibilidad del nivel, aumentos del anteojo y apreciación. A) Sensibilidad del nivel Evalúa la coincidencia entre la dirección del eje principal del aparato y la vertical del lugar, una vez que el nivel tórico, el de precisión, se encuentra calado.

Figura Número 17.- Nivel tórico de un teodolito

Para evaluar la sensibilidad de un nivel se efectúa una visual horizontal en la dirección de dos tornillos nivelantes a una regla graduada situada a una distancia


17


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA conocida D, obteniendo una lectura m1. Moviendo uno de los tornillos se desplaza la burbuja n divisiones, obteniendo en este caso la lectura m2. El ángulo girado será:

α=

m1 − m2 D

La sensibilidad del nivel se obtendrá dividiendo el ángulo entre el número de divisiones:

s=

α n

También puede definirse la sensibilidad de un nivel como el ángulo de giro correspondiente al desplazamiento de la burbuja en una división. B) Aumento del anteojo El anteojo está constituido por dos lentes convergentes, constituyendo un sistema dióptrico centrado. Se denomina aumento a la relación existente entre los ángulos bajo los que se ve la imagen de un objeto a través del anteojo y directamente. Depende exclusivamente de su configuración óptica. C) Apreciación Los sistemas para marcar el valor de un determinado ángulo dependen de la constitución del microscopio de lectura. La apreciación define la bondad del conjunto limbo-microscopio para identificar completamente una lectura. Los valores son muy diversos, siendo este parámetro el que más caracteriza la disposición del aparato para evaluar con precisión un determinado ángulo. 1.2.5. COMPROBACIONES Y CORRECCIONES Con el simple propósito de tener una noción de las impresiones previas a la utilización de un teodolito se nombran algunas precauciones a considerar para comprobar el estado del instrumento. Para todos los efectos se considerará que el aparato topográfico está revisado y dispuesto para su uso, sin más limitaciones que las definidas en sus características técnicas particulares. -

Torcedura del eje principal: Es un defecto grave del aparato. Para comprobar su existencia se estaciona el teodolito, nivelándolo completamente, empleando uno de los giros, por ejemplo, el general del aparato. Fijando luego éste y soltando el de la alidada, debe permanecer nivelado. Si no sucede, existe torcedura del eje principal.

-

Falta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el secundario: Con el teodolito estacionado se observa, en horizontal, un punto lejano. Se efectúa vuelta de de campana y giro acimutal de 200g (180o), con lo


18


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA cual, si no existe este error, se tendría visado al punto considerado. Si existiese variación, su valor será la mitad de la diferencia de lecturas acimutales en el punto de ambos casos. Para corregirlo se lleva el anteojo a la posición media entre las dos visuales, y moviendo lateralmente el retículo con los tornillos correspondientes se lleva la cruz filar hasta el punto visado. -

Corrección del eclímetro: Consiste en colocar éste de manera que con el aparato nivelado marque 0g (0o)ó 100 (90o). Caso de no ser así, la corrección se realiza con tornillos que hacen girar el limbo con independencia del anteojo o bien al revés. Esta corrección suele hacerse automáticamente en los nuevos modelos o bien a través de un nivel llamado por ello nivel de eclímetro, que hay que calar en cada puntería.

1.3. LA BRÚJULA 1.3.1. EL CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE La existencia del campo magnético terrestre es conocida y ha sido analizado en otras disciplinas. La tierra se comporta como un imán esférico con polos magnéticos próximos a los polos geográficos. Una aguja imantada toma en cualquier lugar de la tierra una dirección bien determinada, formando un diedro las direcciones del plano vertical que pasa por ella y el plano meridiano, denominado declinación magnética.

Figura Número 18.- Declinación magnética. Concepto y variación

La aguja está constituida por dos mitades. La parte Norte, que se dirige al norte (el Norte magnético actúa como Sur actualmente), y la parte Sur, que lo hace al sur. Cuando la parte Norte queda al Oeste de la meridiana, la declinación magnética se dice que es occidental o negativa, mientras que si queda al Este, la declinación es oriental o positiva. Las líneas que unen puntos de igual declinación magnética se denominan isógonas, y la isógona de valor cero se denomina ágona o línea agónica.


19


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Al seguir las líneas de fuerza la dirección del campo magnético y no ser éstas paralelas a la superficie terrestre, la parte Norte de la aguja se inclina hacia la tierra en el hemisferio Norte y la Sur en el hemisferio Sur, formando un ángulo con la horizontal, denominado inclinación magnética. Para evitarla, en el hemisferio Norte se disminuye de peso o bien se añade una abrazadera a la parte Sur de la aguja a modo de contrapeso, que es desplazable sobre la aguja.

Figura Número 19.- Inclinación magnética

Las líneas que unen puntos de igual inclinación magnética se denominan isoclinas. La intensidad del campo magnético tampoco es constante, siendo su componente horizontal correlativa con la inclinación. Las líneas que unen puntos de igual intensidad magnética se denominan isodinámicas. La influencia de la inclinación magnética se puede anular con el contrapeso, pero introducir la influencia de la declinación magnética es imposible al tener variaciones seculares (aproximadamente el polo magnético gira sobre el geográfico con un periodo de 740 años), anuales (éstas no son tan sinusoidales, influyendo el número de manchas solares), mensuales (por efecto de la luna), diurnas (varía a lo largo del día), geográficas (dependen del lugar considerado) y accidentales (tormentas o tempestades magnéticas). En España la declinación media actual es occidental, aumentando de Este a Oeste. En 1980 se tenían los valores: Mallorca (2o05’), Toledo (5o46’) y Canarias (10o04’). La variación anual, como promedio en cada lugar, es de unos 6’. En París, en 1580 la declinación era oriental de 13o. Se anuló hacia 1663, pasando a ser occidental, alcanzando el máximo de 25o en 1814. A partir de ese momento desciende hasta hacerse nuevamente oriental. Un mapa, en el que se han trazado las líneas isógonas, isoclinas e isodinámicas, se denomina mapa magnético. En ellos debe ir muy explícita la fecha de realización. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

20


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA a)

Carta de isógonas.

b)

Carta de isódinámicas.


21


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA c)

Carta de isoclinas.

1.3.2. TIPOS DE BRÚJULAS La propiedad de las agujas imantadas de señalar siempre el norte magnético se utiliza en topografía, ya que conociendo el valor de la declinación en un lugar, permite orientar fácilmente las visuales, siempre que se trate de trabajos en los que no sea necesaria una gran precisión. Actualmente, en nuestro país basta restar el valor de la declinación magnética del rumbo de una visual para obtener su acimut, dado que la declinación es occidental. Las brújulas pueden ser: -

Brújulas de limbo móvil: El limbo acimutal gira con el anteojo, siendo la aguja la imantada y sirve como índice para hallar el valor del ángulo.

-

Brújulas de limbo fijo: La aguja gira con el anteojo, estando el limbo fijo y unido a un imán y, por lo tanto, se orienta de forma automática.

Figura Número 20.- Sistemas generales de brújulas

En cualquier caso, los rumbos así determinados son ángulos horizontales con respecto al norte magnético de la visual trazada por medio de un anteojo solidario con el sistema. Al anteojo se le puede dotar de un limbo vertical y de esta forma


22


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA tener la posibilidad de evaluar también ángulos verticales de idéntica forma que un teodolito. 1.3.3. COMPROBACIONES Y USOS Antes de realizar la medición del rumbo hay que dejar que la aguja oscile libremente hasta alcanzar la posición de equilibrio. Es también aconsejable obtener lecturas con ambas puntas de la aguja en diferentes posiciones del limbo, debiendo ser la diferencia de lecturas de 200g (180o).

Figura Número 21.- Brújula con limbo vertical

La brújula puede utilizarse en topografía para evaluar ángulos de muy variada significación, siendo imprescindible contrastar la precisión que se espera de un valor dado. Las determinaciones más usuales son las siguientes: -

Determinación de ángulos: La brújula se utiliza como goniómetro para evaluar ángulos acimutales. Si se considera una brújula de limbo fijo, el ángulo existente entre dos visuales se obtiene por diferencia de sus rumbos.

-

Determinación de la meridiana magnética: Haciendo estación con la brújula en el punto considerado queda materializada la dirección de la meridiana, que puede ser referencia respecto a un punto cualquiera.

-

Determinación de la meridiana astronómica: Para determinar la dirección del norte geográfico es necesario hallar la declinación magnética del lugar y establecer la relación: acimut = rumbo ± declinación


23



Figura Número 22.- Usos de la brújula

Para usar correctamente la brújula y poder trabajar con orientación respecto al norte/sur geográfico es necesario conocer la declinación del lugar. Para ello se realiza la operación denominada declinar la brújula, para lo que se estaciona el aparto en un vértice geodésico (si no tiene armadura) y se hacer puntería a todos los restantes que se puedan divisar desde él. Conociendo las coordenadas geodésicas de los vértices se puede obtener, con una precisión compatible, el valor de la declinación.

Figura Número 23.- Declinar una brújula

Para cualquier par de vértices geodésicos se verifica que el ángulo formado por la dirección del norte de cuadrícula y la dirección de los vértices se evalúa de la forma:

θ ij = arc tg

x j − xi y j − yi

siendo, en el caso de la figura, las siguientes expresiones:


24



θ 0V = arc tg

x1 − x0 y1 − y 0

θ 0V = arc tg

x 2 − x0 y2 − y0

θ 0V = arc tg

x 4 − x0 y4 − y0

1

2

3

Conociendo esta dirección se puede trabajar con ella, como aproximación a la meridiana geográfica, o bien evaluada con exactitud, calculando previamente la convergencia de meridianos. En cualquier caso, la declinación de la brújula en el lugar considerado y en el tiempo real será: n

Declinación =

(R

1

) (

)

(

) ∑ (R

− θ 0V1 + R2 − θ 0V2 + ... + Rn − θ 0Vn = n

i

−θi )

i =1

n

siendo Ri el rumbo de todos los vértices usados desde el considerado y

θ i el

ángulo desde el norte de cuadrícula, en una primera aproximación el norte geográfico, para una mayor precisión. Puesto que el valor de la convergencia es muy variable (en Cantabria puede variar desde unos 11’ en la zona oriental hasta 1o10’ en la zona occidental), conviene siempre tenerla en cuenta. 1.4. EL TEODOLITO ELECTRÓNICO 1.4.1. MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE ÁNGULOS El diseño general de los teodolitos no ha sufrido ninguna variación sustancial en el tiempo, aunque se produjeron avances en los materiales intervinientes, en la óptica y en el sistema de ofrecer la lectura angular. Un cambio radical tuvo lugar en la década de los 80, con la implantación de sistemas de lectura de círculo electrónico y de sensores para detectar la inclinación de la vertical del instrumento y su conexión con la distanciometría electrónica han hecho realidad su operatividad. Parece que fue en 1977 en Estocolmo cuando se presentaron los primeros teodolitos electrónicos. A partir de ese momento, las investigaciones se orientaron hacia la implantación de sistemas de lectura de círculo electrónico. Tan solo a partir de los años ochenta el coste de estos instrumentos les hizo competitivos. La medición angular (acimutal o cenital) se establece a partir de captaciones dinámicas con exploración óptico-electrónica o bien por métodos basados en un sistema de evaluación incremental por vía óptica. De esta forma, entre dos


25


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA posiciones fijas (una inicial y otra final) sobre los limbos horizontal y vertical se determinan los valores angulares de forma rápida y con precisión similar a los logrados con los teodolitos ópticos. El esquema funcional coincide con el teodolito descrito, salvo que el esquema se articula en la sustitución de los limbos clásicos por un círculo de vidrio con una serie de divisiones electrónicamente discretizadas, que accionadas convenientemente, marcan en pantalla, de forma numérica, el valor del ángulo leído. 1.4.2. SISTEMAS DE EVALUACIÓN DE ÁNGULOS Existen varias formas o sistemas de establecer la medida electrónica de un determinado ángulo por medio de un teodolito. A) Sistemas basados en la conversión de analógico a digital El método supone convertir una determinada lectura al código binario por medio de un codificador. El círculo convenientemente codificado es leído por fotosensores, otorgando posiciones de luz y oscuridad en paralelismo con los valores angulares. De esta forma se obtiene una lectura angular para cada visual. El ángulo quedaría establecido como diferencia de lecturas.

Figura Número 24.- Sistema absoluto

B) Sistemas basados en codificadores ópticos El codificador giratorio incremental óptico está formado por una escala principal y una escala secundaria, junto con una sección sensora. La variación de luz y sombra que se genera cuando la escala principal gira un paso se transforma en señal sinusoidal susceptible de ser cuantificada y codificada.


26



Figura Número 25.- Sistema incremental

C) Sistemas basados en la captación dinámica del ángulo En cada medida son auscultados todos los trazados del círculo, eliminando posibles errores. Estableciendo un origen se determina el número entero de divisiones y por medio de un comparador se determina el desfase existente en la medición. Un motor impelente hace rotar al círculo a través de dos parejas de fotodiodos, los cuales se encuentran diametralmente dispuestos. Uno es fijo LF y hace oficio de posicionador en el origen de la evaluación angular. El otro es móvil LM y recorre todas las posiciones posibles del círculo de forma solidaria con el anteojo del aparato. La determinación de un valor angular Φ entre los dos diodos se lleva a cabo midiendo la diferencia de fase entre las señales recibidas de LF y LH. Si ambas están en concordancia de fase, el ángulo estará definido por el número entero de unidades de fase. Si la señal de LH se halla desplazada con respecto a la de LF, la relación vendrá dada por:

φ = nΦ o + ∆Φ


27



Figura Número 26.- Sistema dinámico

Lo interesante de este tipo de instrumento es la gran ventaja de ofrecer las dos lecturas angulares de forma digital y, por lo tanto, susceptible de ser captada y almacenada de manera automática sobre un soporte magnético (libreta electrónica).

Figura Número 27.- Lecturas angulares de un teodolito electrónico


28


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Otra gran ventaja que tienen los teodolitos electrónicos con respecto a los ópticos es la inclusión se sensores electrónicos que detectan automáticamente y corrigen cualquier inclinación del eje vertical del aparato. Aumentan la precisión total, dado que disminuye el error de verticalidad. 1.5. ERRORES EN LAS MEDIDAS ANGULARES 1.5.1. ERRORES SISTEMÁTICOS Y ACCIDENTALES Como sucede en cualquier medida, hay que diferenciar entre errores sistemáticos, que son propios del instrumento y actúan siempre con igual magnitud y en el mismo signo, y los errores accidentales, que dependen de los sentidos del operador, de las condiciones ambientales, etc., siendo variables en magnitud y sentidos. Estos son los peligros y es necesario realizar su estudio y controlar su influencia. Los errores sistemáticos se han enumerado ya como condiciones que debe reunir el teodolito, siendo necesario efectuar las coordenadas de manera que el error total de los residuos resultantes sea menor que la precisión global del aparato. Los errores accidentales a considerar son los que se pormenorizan a continuación. 1.5.1.1. Error de verticalidad Este error se produce por la falta de verticalidad del eje principal del aparato. La no coincidencia del eje principal, posicionado por el operador con la incertidumbre que otorga la sensibilidad del nivel y de la verticalidad del lugar, confiere un error en la evaluación del ángulo. La influencia es muy distinta en las observaciones acimutales y en las cenitales, debiendo estudiar ambas separadamente. El estudio se realiza comparando la influencia que produce apartar la posición del eje del aparato de la vertical del lugar sobre la esfera de radio unidad, demostrándose que para observaciones acimutales el error resulta ε v = observaciones cenitales ε v =

S y para 12

S . 3

1.5.1.2. Error de dirección El error de dirección tiene su origen, exclusivamente, en la operación de estacionar el aparato y posicionar el elemento de puntería y repercute tan solo, pero de manera muy significativa, en la evaluación del ángulo horizontal. Al estacionar el aparato en un punto E existirá una desviación ε E entre el punto marcado y el punto verdadero, definido por la intersección del eje vertical del aparato y el terreno.


29


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA De la misma forma, la señal observada tendrá una desviación

ε p respecto a la

posición real del punto considerado.

Figura Número 28.- Elementos intervinientes del error de dirección

Denominando εE y εP a las máximas desviaciones admisibles entre el punto marcado en E y P y el verdadero estacionamiento dado, tanto del aparato como de la puntería, se obtiene el lugar geométrico del recinto de variabilidad de ambos puntos, círculos de radio εE y εP. El caso más desfavorable se producirá cuando al sumar los dos errores quede la visual tangente interior a ambos círculos.

Figura Número 29.- Evaluación del error de dirección

sen ε d =

ee + e p D

≈ εd =

ee + e p D

Expresado en segundos y suponiendo las tres distancias en idénticas unidades, resulta:

εd = εd =

ee + e p D ee + e p D

206265 , expresado en segundos sexagesimales

636620 , expresado en segundos centesimales


30


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Este error repercute muy notoriamente en las visuales de cortas distancias. En la actualidad, los teodolitos van dotados de plomada óptica o electrónica, reduciendo el valor de ee. El error, al hacer lectura en el elemento de la puntería, es mucho más peligroso, dado que al utilizar mira o prisma, la posición en el punto a captar información queda fuera del control del observador, dependiendo tan solo de la disposición del auxiliar. Es destacable que la falta de verticalidad del jalón que sostiene el prisma o de la estadía vertical provoca un incremento del error de dirección. Para trabajos de precisión existen dispositivos para atenuar o eliminar el error de dirección.

Figura Número 30.- Falta de verticalidad en los elementos de puntería

1.5.1.3. Error de puntería Dado que la coincidencia de los hilos de la cruz filar del aparato con el objeto puntual que se desea visar no es perfecta, dadas las imperfecciones de las lentes incluidas en el anteojo, se produce un error de puntería que hay que evaluar por separado según se trate de observaciones cenitales o acimutales. Está demostrado que el error de puntería se considera ε p =

k  4A  1 +  , siendo k A  100 

una constante que depende de la óptica de las lentes cuyos valores máximos para observaciones acimutales son 30cc ó 10” y para centesimales 150cc ó 50”. 1.5.1.4. Error de lectura En cualquier caso de lectura angular de un instrumento topográfico, el error de lectura viene dado por los 2/3 de la apreciación del aparato:

2 3

εL < a


31


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA siendo “a” la apreciación del aparato. 1.5.1.5. Error total Según la ley de transmisión de errores, el error total se obtiene componiendo cuadráticamente los errores tratados con anterioridad: A) Error total para una observación acimutal

ε TH < ε V2 + ε p2 + ε d2 + ε 12 B) Error total para una observación cenital

ε TC < ε V2 + ε p2 + ε 12 1.5.2. MÉTODOS PARA AUMENTAR LA PRECISIÓN Uno de los métodos usuales en topografía para aumentar la precisión de la medición es la repetición de la observación. En la evaluación de las medidas angulares es necesario acotar este extremo, pues no es rigurosamente cierto en un contexto global. Con la repetición de medidas, el error de verticalidad y el error de dirección no experimentan mejoría en la precisión. El primero por depender de un parámetro ajeno al sistema de observación (sensibilidad del aparato), y el segundo por depender del modo en que se estaciona el aparto y se coloca la puntería. Si el doblete estación-puntería está mal posicionado, aunque se repita la medición no se gana precisión. En cualquiera de los dos casos, es preferible volver a realizar completamente el proceso: estacionar, colocar el sistema de puntería y observar. El error de lectura y de puntería queda mejorado, dado que es usual en medidas angulares de cierta repercusión en el trabajo global hacer una nueva puntería y, por lo tanto, una nueva lectura, leyendo en otro lugar del limbo, realizando la vuelta de campana del teodolito, tal y como quedó descrita en un apartado anterior. Este procedimiento de mejorar el error angular total de una medida angular de la forma definida se denomina regla de Bessel. . Primera lectura angular:

l1

. Segunda lectura angular:

l2

. Valor angular adoptado: l =

. Error de puntería:

l1 + l 2 2

ε p = f ( A)

1 2


32



ε l = f (a)

. Error de lectura:

1 2

siendo f(A) y f(a) las expresiones función del aumento y apreciación del instrumento analizado anteriormente. SUPUESTO PRÁCTICO Para realizar una campaña de observaciones angulares se utiliza un teodolito Wild T-2, que tiene las siguientes especificaciones técnicas: . Aumentos:

30

. Sensibilidad:

20”

. Apreciación:

1”

Sabiendo que la distancia de observación es 1.500 m. y que se observa el ángulo directo y el inverso, hallar el error total acimutal y cenital. RESOLUCIÓN A) Cálculo del error total acimutal 1.- Error de verticalidad:

εV =

1 20 S= = 1,7" 12 12

2.- Error de dirección (se considera ee+ep=2,5 cm.):

εD =

0,025 206265 = 3,4" 1500

3.- Error de puntería:

εP =

k 4 A  10  120  1 = 0,52" 1 + = 1 +  A  100  30  100  2

4.- Error de lectura:

εL =

2 1 a 1 a ∼ = = 0,5" 2 2 3 2

Error total acimutal: ε TH = ε V2 + ε D2 + ε P2 + ε L2 = 1,7 2 + 3,4 2 + 0,5 2 + 0,5 2 = 3,9" B) Cálculo del error total cenital 1.- Error de verticalidad:

1 3

εV = S =

20 = 6,7" 3


33



2.- Error de puntería:

εP =

k 4 A  50  120  1 = 2,6" 1 + = 1 +  A  100  30  100  2

3.- Error de lectura:

2 3

εL = a

1 2

≈ =

a 1 = = 0,5" 2 2

Error total cenital: ε TC = ε V2 + ε P2 + ε L2 =

6,7 2 + 2,6 2 + 0,5 2 = 7,2"


34



2. MEDIDA DE DISTANCIAS


35


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.1. MEDIDA DIRECTA DE DISTANCIAS 2.1.1. INTRODUCCIÓN Medir una determinada longitud, de forma directa, es compararla con otra longitud que se toma como unidad. En los trabajos topográficos usuales tan solo se utiliza este sistema de medición en ocasiones, que corresponden a dos facetas bien diferenciadas, casi siempre en circunstancias puntuales: medición de distancias sin necesidad de grandes precisiones y medidas particulares con necesidad de grandes precisiones. En los trabajos topográficos, la medición más generalizada está entroncada en mediciones indirectas de distancias. 2.1.2. CINTAS MÉTRICAS Y REGLAS Las cintas normales y los rodetes suelen ser de tela, plástico o fibra, con el claro exponente de instrumento para evaluar distancias de forma rápida y poco precisa. El envejecimiento del material y las deformaciones son tan importantes que su campo de actuación es muy restringido. La cinta metálica tiene una precisión muy superior, con un error relativo que puede aproximarse al valor 1/ 2.000. Estructuralmente está constituida por una laminilla de material metálico de dimensiones variables y longitud imperante 25 ó 50 metros. Si se utilizan cintas contrastadas y se aplican las correcciones recomendadas por el fabricante, la precisión puede incrementarse. Los principales parámetros de la cinta metálica son: . . . .

Longitud de la cinta: Peso por unidad lineal: Coeficiente de dilatación: Módulo de elasticidad:

l P α E

En una determinada medida hay que corregir los efectos provocados por la falta de nivelación y de alineación, y por los efectos catenaria, térmicos y ocasionados por la lectura. Si se necesita obtener mayor precisión en la medida directa de distancia es necesario utilizar otro tipo de instrumental, como las reglas o reglones. Este equipo está compuesto, al menos, por dos reglas, que se colocan alineadas y niveladas sobre unos soportes adecuados. Los espacios entre las reglas se pueden evaluar, obteniéndose errores relativos próximos al valor 1/10.000. Estas reglas, inicialmente de madera, se han utilizado en su variedad metálica. La más conocida ha sido la regla bimetálica, diseñada por Ibáñez de Ibero. Tenía una longitud de 4 m. y con ella se evaluó la distancia de la base de Madridejos, que sirvió para determinar el triángulo inicial de la Red Geodésica Española. Con ella se midieron los 14.657 m. de longitud entre el vértice de Bolos y el de Carboneras. La medición fue realizada en 1858. La base se midió en cinco tramos, y comprobaciones posteriores otorgaron precisiones absolutas inferiores a 3 mm.


36


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Las reglas metálicas o bimetálicas tienen el gran inconveniente de la limitación de longitud y dificultad de manejo por su peso excesivo. Su empleo quedó sustituido por el uso de los hilos invar. 2.1.3. HILOS ÍNVAR El invar es una aleación (64% Fe, 36% N) fácilmente maleable y dúctil, con coeficiente de dilatación muy próximo a cero y de densidad 8 gr/cm3. El equipo es manejado por dos operadores, uno en cada extremo, haciendo que la vertical del extremo coincida con el inicio de la medición y marcando, de igual manera, el extremo del hilo. En Europa se utilizan hilos de 24 m., mientras que en EEUU se usan 50 m. En la medición se utilizan dos clases de trípodes, unos con una polea para estirar el hilo mediante una pesa de 10 kg. y los otros con un microscopio que permitirá leer la distancia. El error relativo medio de este sistema de evaluar longitudes es del orden de 1/25.000 ÷ 1/50.000. En las mediciones con hilos invar hay que tener en cuenta aspectos circunstanciales de la manipulación que afectan de forma directa a la evaluación final de la distancia y corregir determinados efectos provocados por el propio instrumental: -

Corrección Corrección Corrección Corrección Corrección

por alineación. por inclinación. por elasticidad. por dilatación. por catenaria.

2.2. MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS POR MÉTODOS ESTADIMÉTRICOS 2.2.1. FUNDAMENTO DE LA ESTADÍA Los métodos estadimétricos tienen su fundamento en la proporcionalidad existente entre la longitud interceptada por la visual en los trazos del anteojo, con su correspondiente referencia exterior.

Figura Número 31.- Correspondencia fundamental


37


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA De la figura se obtiene la fórmula fundamental de la estadimetría:

δ l

=

δ L

→ D=

δ l

L

Según se consideren constantes o variables los elementos que integran la relación fundamental, aparecen los diversos tipos de estadímetros. A) Estadímetro de primera categoría Se mantienen constante las magnitudes δ y l. Por lo tanto, la relación fundamental resulta

D=

δ l

L=K·L

la distancia D es proporcional a la longitud de estadía interceptada. A la constante K se le denomina constante diastimométrica o estadimétrica. Los taquímetros usuales son de este tipo y el valor usual de la constante es 100, aunque también existen valores de 50 y 200. B) Estadímetro de segunda categoría Se mantienen constantes las magnitudes δ y L. La relación fundamental resulta:

D=

δ ·L l

=

K1 l

C) Estadímetro de tercera categoría Se mantienen constantes las magnitudes l y L. La relación fundamental resulta:

D=

L δ = K2 δ l

la distancia es directamente proporcional a la distancia δ. 2.2.2. ANTEOJOS ESTADIMÉTRICOS. EL TAQUÍMETRO 2.2.2.1. Aspectos diferenciadores El anteojo puede utilizarse como estadímetro cuando el retículo lleva impreso, además de la cruz filar, dos trazos (trazos estadimétricos), simétricamente situados del punto de intersección de los hilos que configuran la cruz.

Figura Número 32.- Retículo de un taquímetro


38


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La existencia de estos trazos estadimétricos marca la principal diferencia de funcionalidad con el teodolito, al que es similar, en líneas generales. Como aspectos diferenciadores, pueden señalarse los siguientes: -

El taquímetro necesita menor precisión en la medida de ángulos horizontales y verticales.

-

El taquímetro permite evaluar distancias por métodos estadimétricos (distanciometría óptica).

-

El taquímetro suele ser repetidor en vez de reiterador como el teodolito, pues para su empleo es muy útil llevar orientado el instrumento.

-

El taquímetro permite captar la información completa, posicionando el punto en el espacio de forma concreta. El teodolito definía tan solo una dirección (infinitas posiciones).

2.2.2.2. Funcionalidad del taquímetro Con las limitaciones propias de su funcionalidad, este instrumento, junto con la brújula taquimétrica, configuró durante muchos años el esquema básico de la taquimetría operativa y sigue siendo hoy válido el sistema, sustituyendo la distanciometría óptica por la electrónica. El taquímetro necesita de una estadía para evaluar la distancia. La estadía vertical, usualmente denominada mira, permite establecer la relación fundamental de la distanciometría óptica.

Figura Número 33.- Estadía vertical

El fundamento del sistema trazos estadimétricos para evaluar distancias está referenciado en lo señalado para el estadímetro de primera categoría. En el retículo existen dos hilos grabados simétricos respecto a la horizontal central a una distancia δ conocida, con separación l entre ellos. Al observar la estadía vertical a una distancia D, los hilos estadimétricos quedan proyectados sobre la estadía, obteniéndose una magnitud L, resultante de la diferencia de lecturas de ambos hilos sobre ella. Por semejanza de triángulos se obtiene el valor de la distancia:


39



δ l

=

D δ →D= L L l

siendo los valores de δ y l constantes (estadías de primera categoría), variando la distancia en proporción directa al tramo L interceptado por los hilos en la estadía.

K=

δ l

es la constante diastimométrica, que suele valer K=100, lo que significa

que 1 cm. de mira interceptada por los hilos equivale a 1 m. de distancia en el terreno, con las particularidades que posteriormente se comentarán. La relación establecida corresponde al caso ideal de la perpendicularidad entre el eje del aparato y la estadía vertical, extremo que también hay que comentar debido a que dicha perpendicularidad no se suele dar en la observación.

Figura Número 34.- Condición de proporcionalidad

Para mantener la correspondencia en cualquier caso sería preciso obligar a la perpendicularidad entre la visual desde el aparato y la estadía vertical.

Figura Número 35.- Condición para verificar la proporcionalidad

Dada la dificultad de lograr en campo esta condición, es preferible situar la estadía en la vertical del lugar y establecer una serie de correcciones adicionales.


40


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.2.3. RELACIONES TAQUIMÉTRICAS La taquimetría configura la serie de operaciones necesarias para establecer la información posicional de un punto con relación a otro, utilizando como elemento captador de los datos necesarios el taquímetro. El posicionamiento en altura permite establecer la diferencia de cota entre dos puntos y evaluar la distancia en proyección horizontal (distancia reducida). 2.2.3.1. Evaluación de distancias La distancia evaluada, la distancia geométrica y la distancia reducida se pueden obtener con el taquímetro. Entre ellas hay unas relaciones que es necesario determinar y que, en cierta medida, condicionan el resultado final. Sea una visual relativa a dos puntos sobre el terreno, P y Q, y sea AB el intervalo interceptado en la estadía vertical, correctamente posicionada. El intervalo interceptado en la estadía situada sobre el punto considerado y en posición coincidente con la vertical del lugar determina un segmento sustentado por una línea que usualmente no es perpendicular a la visual que pasa por el centro de la cruz filar.

Figura Número 36.- Relación de distancias

La falta de perpendicularidad entre la visual y la estadía hace que el intervalo AB interceptado en la mira por los hilos estadimétricos sea diferente al interceptado en la estadía en el estado de perpendicularidad A’B’Al valor realmente interceptado AB se le suele denominar número generador, que puede ser expresado en unidad de mira o bien en distancia sobre el terreno, aplicando la constante diastimométrica, pero sin representación real. El verdadero valor interceptado en la mira es A’B’ y sirve para evaluar la distancia geométrica TR. Para calcular la relación que existen entre AB y A’B’ se analizan los triángulos formados, obteniéndose los siguientes valores: Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

41


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA - Lectura en la estadía vertical:

L

- Distancia geométrica TR:

Dg = K L sen V

- Distancia reducida TT’:

D = K L sen 2V

Para captar el número generador se tiene libertad en el establecimiento de la visual, fijando de esta forma el ángulo cenital. También, en el marco del entorno establecido, se puede establecer sensiblemente la visual en el plano vertical hasta fijar a voluntad uno de los hilos estadimétricos en la estadía, facilitando de esta forma la lectura del número generador.

Figura Número 37.- Posicionamiento del hilo estadimétrico

2.2.3.2. Evaluación del desnivel El taquímetro permite evaluar el desnivel existente entre el punto estación y el punto visado. Para ello, estacionando el taquímetro en A (altura del aparato iA) y haciendo puntería a la estadía vertical colocada en B (a una altura de mira mB), el ángulo vertical obtenido es V AB y la distancia geométrica obtenida a partir del número generador es

(Dg I ). B A

Figura Número 38.- Esquema elemental de la taquimetría. Terreno ascendente


42


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En el triángulo marcado se verifica:

cot g V

B A

t AB = B → t AB = D AB cot g V AB DA

siendo D AB la distancia reducida de A a B. Denominando ∆Z AB al desnivel existente entre A y B, en la figura queda la igualdad fundamental:

m B + ∆Z AB = t AB + i A despejando el valor del desnivel entre los puntos A y B:

∆Z AB = t AB + i A − m B Si la lectura a la puntería se hiciese a una altura de mira mB tal que mB=iA, resultaría una relación más sencilla:

∆Z AB = t AB Si el terreno fuera descendente, la relación permanecería inalterada.

t AB = D AB − cot g V AB como la cotangente del ángulo cenital es negativa, t es un valor negativo.

∆Z AB = t AB + i A − m B Esta expresión del desnivel es general, obteniendo el valor del desnivel con su signo.

Figura Número 39.- Esquema elemental de la taquimetría. Terreno descendente

2.2.3.3. Introducción al empleo de coordenadas El taquímetro es el aparato topográfico que permite, con los datos tomados en campo desde un punto determinado A de coordenadas planimétricas cartesianas (x A , y A ) , obtener las coordenadas en el mismo sistema referencial del punto


43


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA observado B ( x B , y B ) . De igual forma, conociendo la cota del punto A, ZA, permite conocer la cota del punto B, ZB.

Figura Número 40.- Definición por coordenadas

En campo, con el taquímetro, se captan los siguientes datos y se anotan de forma ordenada en la libreta taquimétrica. I.- Altura del aparato: Altura, sobre el punto estación considerado A, del punto de intersección del eje de colimación con el eje de muñones. II.- Estación: Lugar de estación del aparato. III.- Punto visado: Punto que se desea referenciar. Punto de posición de la mira. IV.- Distancia: Con taquímetro y mira se anota el número generador. V.- Angulo H: Es el ángulo horizontal respecto al origen considerado. Fácilmente se puede hacer corresponder con un origen con significación geográfica. Si se trata de la meridiana geográfica se denomina acimut. En


44


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA cualquier caso, siempre se puede evaluar el ángulo θ AB de un origen determinado (eje de ordenadas) respecto a la visual que posiciona el punto B. VI.- Angulo V: Es el ángulo vertical. Es usual en la mayor parte de los casos, ángulo cenital V AB . VII.- Altura de la mira: Altura, evaluada en la estadía vertical de la visual considerada sobre el punto visado B.

Figura Número 41.- Libreta taquimérica

El valor de la distancia reducida D AB se obtiene a partir del número generador y de la constante diastimométrica.

Dg = número generador · sen V

D AB = número generador · sen 2 V AB En la figura, fácilmente se pueden comprobar las siguientes igualdades:

∆x AB = D AB sen θ AB ∆y AB = D AB cos θ AB ∆z AB = t AB + i A − m B Las coordenadas de B serán:

x B = x A + ∆x AB = x A + D AB sen θ AB y B = y A + ∆y AB = y A + D AB co s θ AB z B = z A + ∆z AB = z A + t AB + i A − m B SUPUESTO PRÁCTICO Dada la libreta taquimétrica, obtener las coordenadas del punto B sabiendo las coordenadas de A (1.000, 1.000, 100) y que el origen de ángulos horizontales es el eje de ordenadas de la representación. Los ángulos verticales son cenitales y ambos están expresados en graduación centesimal.


45


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA RESOLUCIÓN

D AB = 199,19 · sen 2 96,1900 = 198,478 ∆x AB = 198,478 · sen 321,6080 = −187,155 ∆x AB = 198,478 · cos 321,6080 = 66,081 ∆z AB = t AB + i A − m B = 198,478 cot g 96,1900 + 1,51 − 1,10 = 12,293

x B = x A + ∆x AB = 812,845 y B = y A + ∆y AB = 1066,081 z B = z A + ∆z AB = 112,293 2.2.4. TAQUÍMETROS AUTORREDUCTORES El tratamiento de los datos captados en campo para la obtención de las coordenadas de un determinado punto origina gran trabajo en gabinete. Para rentabilizar este proceso aparecieron los taquímetros denominados autorreductores, que permiten determinar directamente el valor de la distancia reducida, e incluso el valor del desnivel entre el punto estación y el punto puntería, para una altura de mira igual que la altura del aparato. El fundamento del taquímetro autorreductor tiene su origen en un sistema de variación de la separación de los hilos del retículo para cada pendiente, configurando un estadímetro que tiene los hilos del retículo adaptables para cada pendiente, evaluando no solo la distancia reducida directamente, sino también el desnivel. De igual forma que los taquímetros normales, los autorreductores han perdido toda su vigencia.

Figura Número 42.- Hilos de separación variable


46


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.2.5. ESTADÍA HORIZONTAL ÍNVAR 2.2.5.1. Elementos constituyentes Básicamente, la estadía horizontal está constituida por una regla de dos metros de longitud, de invar, con elementos de puntería en sus extremos y con posibilidad de colocarla sobre un trípode, ubicarla en posición horizontal y perpendicular a una determinada dirección. La estadía precisa del empleo de un teodolito para evaluar el ángulo horizontal comprendido entre las dos marcas extremas de la estadía.

Figura Número 43.- Sistemas de medida

El entronque de la barra horizontal con el trípode tiene los elementos necesarios para posicionar el eje del conjunto en la perpendicular al plano horizontal del lugar. También dispone de un pequeño anteojo que permite hacer puntería al eje del teodolito y asegurar la perpendicularidad de la estadía con el eje de colimación.

Figura Número 44.- Elementos estadía horizontal

2.2.5.2. Forma de evaluar la medición En planta queda representada la forma operativa del cálculo de la distancia entre el punto estación del teodolito y del punto estación de la estadía horizontal.


47



Figura Número 45.- Planta del triángulo fundamental

tg

α 2

=

b2 D AB

→

D AB =

α b cot g 2 2

como b suele ser 2 m., la relación fundamental queda de la forma siguiente:

D AB = cot g

α 2

El valor de D AB es la distancia reducida y el valor α, el ángulo horizontal observado. El sistema configura un estadímetro de segunda categoría que tiene la propiedad de evaluar siempre la distancia reducida, ya que el ángulo horizontal evaluado permite la obtención de la misma.

Figura Número 46.- Evaluación de la distancia reducida

En la figura se verifican las siguiente igualdades:

D AB =

b α cot g 2 2

D A' B =

b γ cot g 2 2

Como el teodolito evalúa el ángulo horizontal α y no el ángulo inclinado γ, el valor resultante de aplicar la relación fundamental será D AB y no D' BA .


48


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En una medida concreta, como la longitud de la estadía suele ser b=2 m., la precisión en la evaluación de la distancia será función del teodolito utilizado y de la propia distancia. 2.2.5.3. Precisión en la evaluación de la distancia La precisión de la estadía horizontal al evaluar distancias reducidas dependerá de la precisión del teodolito al evaluar ángulos horizontales y de la propia distancia considerada. Partiendo de la relación anteriormente deducida:

D=

b α cot g 2 2

diferenciando miembro a miembro:

dD =

b b 2 α 1 2 α dα 1 + cot g  dα = 1 + cot g 2 22 4 2 

Para una variación angular dα se obtiene una variación en la evaluación de la distancia dD.

 b b· D 2  α  b b  dα dD =  + cot g 2 dα =  + 2  4  4 4 4 pasando a extremos de errores absolutos, y suponiendo b=2, resulta:

1 D2  H eD =  + εT 2  2 despreciando la primera parte del paréntesis frente a la segunda:

eD =

D2 H εT 2

siendo: eD = error absoluto en la medición de la distancia D = distancia reducida

ε TH = error angular acimutal total del teodolito utilizado El error absoluto es directamente proporcional al cuadrado de la distancia calculada. SUPUESTO PRÁCTICO Analizar la incidencia de los errores absoluto y relativo en la medición de una distancia de 1.000 m. con estadía horizontal invar utilizando un teodolito con error angular acimutal total de 6cc.


49


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA RESOLUCIÓN Aplicando la relación simplificada a diferentes formas de ejecutar la medición se obtiene:

D 2 ε TH eD = n 2 636620 siendo: eD = error absoluto en la medida total

ε TA = error absoluto en la medida de un tramo n = número de tramos

Tramos

Longitud por tramo

Error absoluto por cada tramo

Error absoluto total en la medición

Error relativo total en la medición

1

1.000 m.

4,712 m.

4,712 m.

1/212,2

2

500 m.

1,178 m.

1,666 m.

1/600,2

4

250 m.

0,295 m.

0,589 m.

1/1.697,6

8

125 m.

0,074 m.

0,208 m.

1/4.801,7

10

100 m.

0,047 m.

0,149 m.

1/6.711,4

15

75 m.

0,025 m.

0,097 m.

1/10.309,27

20

50 m.

0,0117 m.

0,053 m.

1/18.867,92

Nº

Es importante, en este método de medición, fraccionar la distancia a medir y tener bien evaluado el valor del error angular del teodolito. Si al discretizar la medida total, en tramos simples, las distancias parciales son diferentes, se obtiene:

Figura Número 47.- Distancia en dos tramos


50



D AB = cot g

α1 

2  D C = D B + D C = cot g α 1 + cot g α 2  A B α2  A 2 2 C DB = cot g  2 El error absoluto total será:

[e ] = (D ) 2

B 2 A

B D A

ε TA [e D ]CB =

(D ) ε C B

2

A T

considerando invariable el error angular acimutal del teodolito. El error total valdrá:

[eD ]CA = 2.3. MEDIDA INDIRECTA ELECTROMAGNÉTICOS

eD DE

B2 A

+ eD

C2 B

DISTANCIAS

POR

MÉTODOS

2.3.1. FUNDAMENTO DE LA MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE DISTANCIAS 2.3.1.1. Aspectos generales La medida electrónica de distancias es una forma indirecta de evaluar longitudes, consistente en la emisión de una onda electromagnética, su reflexión en un prisma y su posterior recepción y análisis.

Figura Número 48.- Esquema elemental de funcionamiento

La onda portadora crea una “cinta métrica” con divisiones conocidas que permite efectuar la medición. La idea de medir distancias utilizando radiaciones electromagnéticas tuvo su origen en las investigaciones realizadas para determinar la velocidad de la luz. En 1849, Fizeau estableció un sistema para determinar la velocidad de la luz, conociendo la distancia. Basándose en este experimento, cien años más tarde, el geodesta Bergstrand diseñó un aparato utilizando medios electrónicos para la determinación de la velocidad de la luz. Con posterioridad se empleó para determinar distancias una vez conocida la velocidad de la luz. En la actualidad, los aparatos que evalúan distancias electromagnéticos se clasifican según el tipo de onda portadora:

por

métodos


51



Electromagnéticos: Utilizan como portadora microondas de longitud de onda de 1 m. a 1 cm. Se los suele denominar telurómetros.

-

Electroópticos: Emplean como portadora ondas luminosas del tipo luz visible (0,4 µm – 1,2 µm). Se suele denominar geodímetros a los de largo alcance y distanciómetros a los de corto y medio alcance.

Los distanciómetros suelen emplear ondas infrarrojas generadas por LED (diodos emisores de luz) de arseniuro de galio, que emiten a temperatura ambiente. El logro de evaluar la distancia de forma sencilla y precisa ha supuesto para la topografía y la geodesia el avance más significativo jamás logrado, provocando, sin duda, el establecimiento de una nueva etapa: la etapa de la distanciometría electrónica. Atendiendo al tipo de modulación, pueden ser: -

Modulación indirecta: La modulación la realiza un oscilador de cuarzo a través de una célula Kerr u otro método (modulación de amplitud).

-

Modulación directa: Utilizada en los distanciómetros modernos en que la intensidad de la luz emitida está directamente relacionada con la corriente que llega al diodo.

A continuación se describen los aspectos más generales del geodímetro, del telurómetro y de los distanciómetros. A) El geodímetro Fue creado por el geodesta sueco M. Bergstrand en 1947. Consiste en la emisión de luz hacia el lugar de puntería, en el cual un prisma devuelve la luz, que es recogida en el geodímetro, siendo calculada la distancia al conocerla la longitud de onda y medirse el desfase de la onda entre la salida y la llegada. Para distancias cortas (4 ó 5 km.) se emplea luz procedente de lámpara de tungsteno, mercurio o tubos de xenón (en el visible), o bien diodos de arseniuro de galio en el infrarrojo. Para usos geodésicos de distancias largas (hasta 60 km.) se emplean láseres de helioneón, fáciles de orientar, muy precisos y poco influenciados por las condiciones ambientales. La luz emitida por la fuente luminosa pasa a través de un polarizador que únicamente deja pasar la luz en la dirección de ángulo θ. Posteriormente pasa a través de una célula de Kerr, ampolla de dos caras transparentes y paralelas en cuyo interior hay dos electrodos paralelos sumergidos en nitrobenzol, que al ser birrefrigente gira el ángulo de polarización una cantidad proporcional a la tensión que introduzcamos. Los electrodos van conectados con un oscilador de cuarzo, por lo que el giro será una función sinusoidal del tiempo. Después de la célula de Kerr, un nuevo polarizador de ángulo (90+0) va a permitir el paso de la luz en una intensidad dependiente del ángulo con que salga de la célula de Kerr, es decir, sale modulada en amplitud. Esta luz llega al prisma y es reflejada de nuevo, recogiéndose en el geodímetro, siendo convertida en una señal eléctrica por un fototubo, del cual pasa a un comparador de fase, al cual llega por un circuito interno también la señal emitida, siendo comparadas y retrasándose la fase inicial hasta que la diferencia entre


52


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA ambas es de 180o (midiéndose el desfase), utilizándose para ello un indicador de nulos, pues cuando el desfase es 180o una anula a la otra.

Figura Número 49.- Geodímetro

B) El telurómetro Consta de dos unidades idénticas, el máster y el remoto, aunque en el máster va a ser en el que se van a efectuar las lecturas de medidas. El máster emite una onda portadora de alta frecuencia (de 7,5 a 10 MHz) controlada por cristales de cuarzo, regulados termostáticamente. La onda portadora lleva la frecuencia patrón hasta el remote (al ser de mayor frecuencia es menos susceptible de dispersión y se necesita menos energía para su transmisión), desde donde es devuelta con una nueva portadora, comparándose en el máster las fases de salida y llegada. Con varias frecuencias se obtiene perfectamente el valor de n. Los telurómetros tienen la ventaja de que al poder usarse para la transmisión telefónica permiten la comunicación interoperadores, de que pueden usarse de día o de noche y de que se pueden usar con peores condiciones atmosféricas (polvo, niebla), aún siendo menores las precisiones.

Figura Número 50.- Telurómetro


53


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA C) Los distanciómetros El descubrimiento de los LED (diodos emisores de luz) de arseniuro de galio, de los semiconductores y posteriormente el del cristal AsGa, que emitían luz en el infrarrojo, hicieron posible la aplicación de las radiaciones infrarrojas a la medición de las distancias. En la actualidad, la mayor parte de los instrumentos de distanciometría electrónica que se emplean en Ingeniería Civil son de este tipo. La emisión de la onda se realiza a temperatura ambiente con una longitud de onda comprendida entre 0,9 y 0,92 micras, situada en una banda del espectro que se caracteriza por no existir fuertes absorciones, excepto si la humedad relativa y la temperatura son muy altas.

Figura Número 51.- Distanciómetro

2.3.1.2. Particularidades de la evaluación de la distancia Casi todos los distanciómetros funcionan por el método de comparación de fase, consistente en la salida de una onda portadora desde un foco emisor que tras reflejarse en el prisma regresa al origen. La portadora es tratada con una onda moduladora, recorriendo el doble de la distancia que se pretende evaluar.

Figura Número 52.- La onda discretizadora de la distancia

La onda portadora tiene la misión de configurar el enlace entre el foco emisor y el prisma, siendo usual en los distanciómetros el empleo de haces de luz en la región del infrarrojo antes señalado.


54


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La onda moduladora es la auténtica onda que ejecuta la medición. La forma de enviar esta onda moduladora de la medición es modulando la portadora. Los sistemas de modulación utilizados usualmente son: en frecuencia, en amplitud, pulsante y por giro del plano de polarización. -

La modulación en frecuencia, empleada en los instrumentos de microondas, consiste en que la frecuencia de la portadora es proporcional a la onda moduladora.

-

La modulación en amplitud, utilizada muy frecuentemente en los distanciómetros usuales, consiste en que la amplitud de la portadora es proporcional a la onda moduladora.

-

La modulación por pulsación consiste en que la amplitud de la portadora es proporcional a la onda moduladora.

-

La modulación de fase se utiliza en los aparatos tipo láser de altísima precisión (distanciómetros submilimétricos de microondas).

Figura Número 53.- Modulación de la onda portadora

La modulación en amplitud, utilizada muy frecuentemente en dos distanciómetros, consiste en hacer proporcionales la amplitud de la portadora y la onda moduladora. Considerando un sistema referencial, las ondas tienen un movimiento oscilatorio definido por la ecuación:

x = a sen (ωt + ϕ o )


55


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA siendo: a = amplitud de la oscilación ω = pulsación: ω =

2π = 2ηf T

T = periodo f = frecuencia t = tiempo ϕo = fase inicial

Figura Número 54.- Sistema referencial del movimiento ondulatorio

Suponiendo la emisión de una onda de longitud λ en el instante to desde un punto A hacia otro B, desde el cual el reflector devuelve la señal. La distancia que se pretende evaluar es, por lo tanto, AB=D, siendo equivalente a considerar la continuación de la onda hasta C y considerar doble espacio recorrido. Con este planteamiento siempre habrá un número entero de longitudes de onda de fácil determinación y la posibilidad de evaluar la diferencia de fase entre la onda emitida y la reflejada (con un comparador de fase). 2.3.2. FUNCIONALIDAD DE LA MEDICIÓN ELECTRÓNICA DE DISTANCIAS 2.3.2.1. Precisiones Las fuentes de error que tienen influencia en la distanciometría electrónica se dividen en dos grupos: -

Errores proporcionales a la distancia: índice de refracción y frecuencia de modulación.

-

Errores no proporcionales a la distancia: constante del equipo y error cíclico.

Se deja para la siguiente unidad didáctica la inclusión del error en el posicionamiento de los elementos que intervienen en la medición, por considerarlo parte integrante de las diversas metodologías y que tampoco son proporcionales a la distancia medida. Las fuentes de error proporcionales a la distancia crean una distorsión lineal enmarcada en la distancia. Plantean una problemática muy especial, porque la precisión interna no se ve afectada por este error, obteniéndose valores normales como si no existiese la mencionada distorsión. La distorsión en la distancia se manifiesta cuando un trabajo concreto ha de unirse a otro ejecutado con un Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

56


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA distanciómetro diferente. La discrepancia de coordenadas se puede resolver con una transformación y queda eliminada igualando las distorsiones, pero siempre quedará la duda de qué instrumento medía de forma adecuada. Estos errores proceden fundamentalmente de problemas inherentes a la refracción y a las variaciones de la frecuencia moduladora. Las fuentes de error no proporcionales a la distancia generan errores absolutos. Unos son sistemáticos, como la constante de equipo y el error cíclico, y otros accidentales, como los causados por inexacto centrado de estacionamiento. A) Errores proporcionales a la distancia a) Índice de refracción Un distanciómetro mide el tiempo de tránsito que invierte la portadora (adecuadamente modulada) en recorrer la distancia dos veces (ida y vuelta). La velocidad de propagación es una variable que depende de la longitud de onda A, de la portadora y de las características de propagación del medio (la atmósfera). La cuantificación para una λ concreta, en función de c (velocidad de la luz en el vacío), se realiza mediante el índice de refracción n que es la relación entre la velocidad de propagación de la radiación electromagnética en el vacío “c” y la velocidad “cm” de la onda portadora que usa el distanciómetro en el medio y momento de la observación.

n=

c cm

El fabricante de un instrumento elige una cierta atmósfera tipo. En ella, la lectura ofrecida coincide exactamente con la distancia medida. Al relacionar el índice de refracción residente nr con el índice de refracción local del medio n se obtiene el factor corrector por velocidad que hay que aplicar:

c=

nr n

El índice de refracción real se ajusta en función de los parámetros meteorológicos: temperatura y presión. Los distanciómetros tienen mecanismos propios para realizar el ajuste y, por lo tanto, verificar la corrección. b) Frecuencia de modulación Si la frecuencia de modulación varía, las longitudes de onda experimentarán cambio, motivando lecturas sujetas a un determinado error. Conceptualmente, el problema es evidente: si la frecuencia de modulación aumenta, las longitudes de onda disminuirán y cabrán más en una distancia dada, lo que motivará lecturas mayores de la real y, por lo tanto, habrá que aplicar un factor de corrección. La medida de la frecuencia sólo será posible si el instrumento ha sido provisto por el fabricante de la adecuada toma externa. En instrumentos normales no se suele disponer de ella porque se supone que el usuario no tiene acceso ni capacitación


57


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA para hacer él mismo la medida de la frecuencia de modulación y lleva periódicamente el instrumento al servicio técnico de la marca para su mantenimiento y calibración. Para la medida de la frecuencia de modulación es preciso disponer de un frecuencímetro, contrastado y de superior rango al del oscilador del instrumento o preferiblemente de un oscilador atómico (reloj atómico) y un contador. B) Errores no proporcionales a la distancia a) Error cíclico El error cíclico o de linealidad es el que se repite en la distancia, en cada módulo de semilongitud de onda moduladora. Este error suele oscilar entre valores de ±3 ó 4 mm., carece de significación en los distanciómetros normales, considerando la precisión que éstos obtienen, por lo que los fabricantes ni siquiera suelen facilitar su gráfica. b) Constante de equipo La constante de equipo es inherente a la propia instrumentación que se utilice. Definida como la diferencia entre la distancia real a evaluar y la distancia que separa los centros del equipo, viene a ser la suma de las incertidumbres propias en la salida del tren de ondas del instrumento y en la reflexión de las mismas en el prisma. Es aconsejable someter al equipo de medición de distancias a un contraste en bases interferométricas para conocer su respuesta global. En 1978, el Instituto Geográfico Nacional configuró en las proximidades de Valladolid una base de calibración: la base de Väisälä. Se emplea para determinar constante de equipo, aunque es ineficaz para detectar errores de distorsión lineal ya que podrían quedar enmascarados por la parte significativa y constante de la relación que define la precisión. Los distanciómetros tienen la particularidad del crecimiento lento del error absoluto en la medición de la distancia, pero arranca de un valor de importancia, entre 5 mm. y 10 mm. Para distancias muy cortas, la medición de distancias con distanciómetro no es recomendable si se quiere tener elevadas precisiones. La práctica profesional aconseja utilizar para los distanciómetros usuales expresiones del tipo, para estar del lado de la seguridad. Error absoluto en la distancia = 1 cm. + 0,5 cm./km. Esta relación, aplicada a una distancia de 2.000 m., obtendría un error absoluto de 2 cm. No obstante, hay que anotar dos aspectos importantes: -

El remanente constante permanece inalterado en la distanciometría usual, impidiendo precisiones que hasta hoy tan solo consiguen las mediciones mediante soporte angular.

-

La precisión en la distancia suele ser menor que lo considerado con las relaciones anteriores, ya que el error de dirección influye de forma distorsionante y llamativa.


58


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En la actualidad han aparecido distanciómetros especiales con precisiones submilimétricas con relación fundamental del orden: 0,2 mm. + 0,2 mm./km. 2.3.2.2. Precauciones en la utilización de los distanciómetros Al evaluar la distancia, el distanciómetro mide el tiempo que tarda el tren de ondas en recorrer el tramo entre el emisor y el receptor. Para ello utilizan un índice de refracción de referencia, instalado en la fabricación del instrumento nr, tal y como se comentó en el apartado anterior. De esta forma: d0 =

c·t nr

siendo:

d o = distancia medida c = velocidad de la luz en el vacío t = tiempo nr = índice de refracción del instrumento Al considerar nr se está suponiendo que las observaciones se ejecutan en una atmósfera estándar, muy diferente a las existentes en la realidad. El índice de refracción del medio es función del lugar y del estado atmosférico. Existen dos aspectos básicos que obligan a realizar la corrección meteorológica antes de evaluar una distancia con el distanciómetro: A.- Corrección por velocidad de propagación B.- Corrección por dirección de propagación El primero se corrige introduciendo en el instrumento, previamente a la medición, el valor obtenido, usualmente expresado en ppm (partes por millón), en un ábaco en el que se entra con datos de temperatura y presión atmosférica.

Figura Número 55.- Corrección meteorológica


59


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La segunda consideración (el tren de ondas experimenta un cambio en la dirección), aunque despreciable, será analizada posteriormente, de igual forma que se estudiarán los dos problemas más importantes que la medición electrónica de distancias, por su peculiaridad de medir distancias largas, tienen: la reducción y la proyección. La distancia geométrica obtenida, corregida por factores meteorológicos (D) se pasa a D1 y posteriormente al elipsoide y geoide (D2). Finalmente se transforma según el sistema cartográfico que se utilice.

Figura Número 56.- Problemática adicional de la medición electrónica de distancias

En ocasiones, al medir una distancia de unos dos kilómetros con un distanciómetro no ajustado a las condiciones reales puede tener un desfase, rompiendo por completo la buena precisión que proporcionan este tipo de instrumentos. 2.3.2.3. Ventajas adicionales La gran ventaja adicional, al igual que en la captación de ángulos con teodolito electrónico, es su expresión digital. Ambos instrumentos (teodolito electrónico y distanciómetro) han revolucionado los trabajos topográficos y geodésicos, haciendo aparecer la estación topográfica. La estación topográfica, también denominada taquímetro electrónico, aglutina la medición de ángulos y distancias por medios electrónicos y realiza tareas computacionales utilizando un microprocesador que lleva integrado (evaluación de la distancia reducida, cálculo de las coordenadas, determinación de los desniveles, etc.). El instrumento puede ser capaz de almacenar datos, tanto en una unidad de memoria interna como en un registrador exterior fácilmente acoplable. Tradicionalmente, el topógrafo ha registrado los datos de las observaciones en una libreta de campo de forma manual, transcribiendo y calculando en gabinete los datos captados. En la actualidad se utilizan registradores de datos (libretas o tarjetas electrónicas) que almacenan no sólo las observaciones numéricas (distancias, ángulos, etc.), sino también, por medio de una codificación alfanumérica, acotaciones de cualquier tipo y condición. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

60


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A todas estas ventajas hay que añadir la amplia variedad de modelos existentes en la actualidad, dotados de versatilidad, robustez y fiabilidad, que han hecho posible calificar a la estación topográfica de imprescindible en los trabajos topográficos y geodésicos.


61



3. LAS ESTACIONES TOPOGRÁFICAS


62


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.1. LA MEDICIÓN COMPACTA En el marco de la medición electrónica de ángulos y distancias se denomina medición total a la acción de, realizada una determinada puntería, obtener directamente los tres valores que caracterizan el posicionamiento de un punto en el espacio: ángulo horizontal, ángulo vertical y distancia geométrica. Conociendo los tres datos, es inmediata la evaluación de la distancia reducida y del desnivel (datos que también proporcionan el equipo).

Figura Número 57.- Caracterización de la medición compacta

Para lograr el objetivo de evaluar los ángulos (horizontal y vertical) y la distancia por métodos electromagnéticos, a partir de una toma de datos única, se pasó por tres fases intermedias que han caracterizado el avance técnico en la actualidad consolidado. A) Fase del equipo excéntrico En una primera etapa, una vez conseguido evaluar distancias por métodos electromagnéticos, se ubicaban el teodolito y el aparato medidor de la distancia, constituyendo un sistema excéntrico que, mediante los datos tomados en campo, permitía obtener el resultado deseado. Era necesario realizar dos punterías totalmente diferenciadas.

Figura Número 58.- Sistema con equipo mixto excéntrico

Se trata de posicionar el punto B en un sistema referencial, siendo el eje Y de la representación el marcado. Si las lecturas se toman respecto a otro eje cualquiera, se estudiará en la próxima unidad didáctica el método para su transferencia. Para posicionar el punto B, conociendo las coordenadas de A, se toman lecturas y se realiza el análisis en sentido genérico. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

63


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Valores conocidos: . Ángulos:

LBA y LBA'

. Distancias reducidas:

D AB' y D AA'

La reducción de las distancias se logra tras la medición del ángulo cenital V AB , siendo necesario que el teodolito y el distanciómetro estén sensiblemente a la misma altura. En la figura se verifica que el valor del ángulo A’AB es:

AAB = LAA' − LBA Por otra parte, también se cumple:

AA' A' B = sen e B sen LAA' − LBA

(

→ sen e B =

)

AA' sen LAA' − LBA A' B

(

)

de esta forma se determina el ángulo eB conociendo las distancias AA’ y A’B, ambas evaluadas con facilidad. Las lecturas LAA' − LBA están medidas con el teodolito. Por lo tanto, el ángulo AA' B = 200 g − LAA' − LBA − e B expresar:

AA' A' B = sen A A' B sen A' AB

⇒

AB = A' B

→

(

AB = A' B

está determinado. Se puede

sen AA' B sen A' AB

sen 200 g − LAA' − LBA − e B sen LAA' − LBA

(

)

⇒

)

insistiendo en la necesidad de tratar todas las distancias en su expresión de reducidas. Conociendo el acimut de AB, la distancia reducida de AB y las coordenadas de A, se determinan con facilidad las coordenadas de B. B) Fase del equipo en tándem vertical Al aparecer los distanciómetros, eran montados sobre los teodolitos o incluso taquímetros, constituyendo un sistema con un posicionado relativo que, aunque más cómodo que en el caso anterior, también precisaba realizar puntería doble: puntería para la toma de ángulos y puntería para la determinación de distancias. También era necesario evaluar el ángulo cenital interviniente en la determinación de la distancia geométrica para calcular la distancia reducida en función del ángulo cenital captado por el teodolito y de la separación de los ejes de ambos aparatos.


64



Figura Número 59.- Sistema con equipo mixto en tándem vertical

En la figura se verifica la siguiente igualdad, aplicando el teorema del seno:

Dg sen V sen α =

a sen V AB' ' Dg

B' A'

=

a sen α

 a sen V AB' '  → α = arc sen    D g 

Figura Número 60.- Dependencia de magnitudes

Y, por lo tanto:

 a sen V AB' '  V AB' ' = V AB' ' + arc sen    D g  Con esta expresión se puede valorar la incidencia de la falta de coincidencia entre el eje de la visual para ángulos y distancias. C) Equipo unitario Se trata de un equipo único que tiene los elementos precisos para evaluar con una puntería única los ángulos y la distancia. En un principio, el teodolito era óptico, y el equipo así formado con el distanciómetro se denomina semiestación topográfica. La estación topográfica tiene el teodolito electrónico y, por tanto, los ángulos horizontal y vertical son evaluados por medios electromagnéticos. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

65



Figura Número 61.- Trabajo con una estación en alzado

La captación directa del ángulo horizontal permite establecer el posicionamiento en planta, una vez conocida la distancia reducida. En el caso más general, queda totalmente referenciado el punto B en función de las coordenadas del punto A(xA, yA, zA). Datos captados por la estación total: -

Angulo horizontal respecto al eje Y (acimut) θ AB .

-

Angulo cenital V AB .

-

Distancia geométrica D g .

Datos adicionales: -

Altura del aparato i A

-

Altura del prisma m B

El establecimiento de las coordenadas del punto B se realiza de la siguiente forma:

D AB = D g · sen V AB x B = x A + D AB · sen θ AB y B = y A + D AB · cos θ AB z B = z A + t AB + i A − m B siendo:

t AB = D AB cot g V AB


66


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.2. PARTICULARIDADES SIGNIFICATIVAS Las consideraciones citadas con anterioridad para la evaluación electrónica de ángulos y distancias son aplicables a la estación topográfica. Con el fin de completar aspectos particulares de gran trascendencia en el uso de estos instrumentos se detallan a continuación los más relevantes, completando en la Unidad Didáctica III los detalles que resten. A) Tipología general de las estaciones topográficas Las estaciones topográficas que existen en el mercado responden a dos formas constructivas diferentes. La compacta propiamente dicha, que es un bloque inseparable para evaluar la distancia y ángulos de forma electrónica, y la estación separable, que puede actuar de manera compacta, como la anterior o bien como un teodolito electrónico exclusivamente.

Figura Número 62.- Estación topográfica separable

La ventaja de poder evaluar exclusivamente ángulos sin necesidad de transportar el distanciómetro justifica plenamente el trasiego de elementos que pueden alterar la propia configuración interior del instrumento. B) Errores angulares y de distancia condicionados al uso de la estación topográfica Las estaciones topográficas permiten captar la información del posicionamiento de un determinado punto a largas distancias en unas condiciones que obliga a reconsiderar las relaciones que gobiernan los valores de los errores angulares y en las precisiones en las distancias. a) Errores angulares Las relaciones que deben ser matizadas son las correspondientes al error de dirección, error de puntería y al error de lectura. a1) Error de dirección La expresión usualmente empleada es la siguiente:

εd =

b 636620 (graduación centesimal) D


67



εd =

b 206265 (graduación sexagesimal) D

siendo: b = valor que engloba la desviación en la estación y en la puntería (m) D = distancia reducida desde la estación total al punto considerado (m) Era tradicional asignar a b valores de hasta 5 cm. Con el uso de las plomadas ópticas con nivel y trípode, valores apropiados pueden ser los comprendidos entre 0 cm. (centrado forzoso) y 2 cm. a2) Error de lectura La expresión usual es la siguiente:

2 3

εl = a siendo a la apreciación del instrumento. Dado que el concepto de apreciación es diferente para los teodolitos electrónicos, parece más racional sustituirla por:

εl = a a3) Error de puntería Hay que considerar la influencia de la distancia en la puntería, puesto que conlleva a incertidumbres de marcada significación, sobre todo en altimetría. Mientras que a distancias cortas la puntería está muy bien definida, a medias o largas distancias la puntería para caracterizar el ángulo horizontal y vertical queda con una indeterminación que es necesario introducir a través de valorar la experiencia, pues las fórmulas usuales no contemplan esta circunstancia.

Figura Número 63.- Condicionante de la distancia en el error de puntería


68


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La incertidumbre alcanza su máxima expresión en la valoración altimétrica del error, puesto que el término mB, que intervienen, acusa de manera directa la influencia de la incertidumbre de la puntería. b) Error en la distancia Toda estación topográfica tiene caracterizada la precisión del distanciómetro con una relación del tipo: Error = A( mm) + B ( ppm) siendo: A = cantidad fija en mm B = valor en mm por km evaluado (ppm) Dado que la precisión es del mismo orden de magnitud que la parte lineal del error de dirección, es necesario incorporar éste al cómputo final del valor de la precisión. Al estudiar las metodologías topográficas se pondrá de manifiesto la necesidad de incorporar la incertidumbre en la determinación de la distancia que incluye el error de dirección, obteniendo una relación final del tipo: Incertidumbre total en la distancia = b (mm) + A (mm) + B (ppm) El valor de b suele tomarse entre 0 y 2 cm. Se ha optado por una composición lineal en vez de cuadrática para fortalecer el concepto de cota no alcanzable del error. Este error admite una reducción en condiciones específicas que serán analizadas y pormenorizadas al estudiar las metodologías de cálculo.

Figura Número 64.- Error en la distancia de una estación topográfica


69


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Las rectas proporcionan información de la variación del error absoluto en la evaluación de las distancias para una relación de precisión del distanciómetro: 10 mm. + 5 mm/km. y un valor de b comprendido entre 0 y 2 cm. Destaca la poca repercusión que tiene el error absoluto con la distancia a medir y la significación del error de partida. Comparando los errores obtenidos con los logrados al evaluar la distancia con estadía horizontal invar o taquímetro se sacan las siguientes conclusiones: -

La distanciometría electrónica ha revolucionado el sistema general de evaluar distancias permitiendo medir largas distancias con precisiones muy competitivas, descartando el resto de sistemas usuales de medición que no sean para el logro de elevadas precisiones.

-

La distanciometría electrónica es totalmente competitiva para altas precisiones, y en el entorno del orden de 1-2 mm. será siempre más acertado que usar la estadía horizontal invar o hilos invar, pudiéndose recurrir para precisiones mayores a emplear distanciómetros submilimétricos, de microondas, en vez de los que usan infrarrojo.

Figura Número 65.- Comparación del error absoluto


70


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.3. OFERTA ACTUAL DE ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 3.3.1. MEJORAS GENERALIZADAS En los últimos años la mejora generalizada de los prototipos ha sido un reto constante. Entre ellos es necesario destacar diversos aspectos que repercuten de forma directa en la determinación del ángulo y la distancia. Uno de los aspectos más representativos es la propia configuración del instrumento: completo, cómodo, sencillo de manejar, con menús de acceso fácil. La siguiente figura incluye el TC-2003.

Figura Número 66.- Estación topográfica. 1998

En este marco de instrumentación donde las firmas especializadas Leica, Osilla, Pentax, Geodimeter, Topcon y demás han apostado para lograr una oferta completa y moderna, pueden ser destacados los siguientes parámetros: A.- Plomada láser Es la forma más moderna de hacer coincidir el eje principal del instrumento con el punto-estación considerado. Se asegura un milímetro de dispersión, en las habituales condiciones de altura de instrumento.

Figura Número 67.- Plomada láser


71


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En la puesta en estación con la plomada láser, un punto luminoso hace corresponder el centro del instrumento en el punto estación en el suelo a través de la vertical del lugar. De esta manera, el operador asegura una dispersión de 1 mm. en el estacionamiento.

Figura Número 68.- Estacionando con plomada láser

B.- Nivel electrónico Es la forma más actual de hacer coincidir la vertical del lugar con la vertical del instrumento una vez que se le hace pasar por el punto-estación considerado.

Figura Número 69.- Nivel electrónico

Ambos sistemas contribuyen de forma decisiva a minimizar el error de dirección en la distancia, y también el angular tanto acimutal como cenital, ya que el valor de la sensibilidad del nivel queda reducido hasta 6cc. C.- Precisión y alcance en la determinación de la distancia Existen equipos con apreciaciones por debajo del segundo centesimal que los posicionan en lugar de privilegio para realizar trabajos geodésicos. Asimismo, existe cobertura suficiente en cuanto a la precisión y alcance, utilizando reflectores de un solo prisma o paneles de más (tres prismas, nueve prismas, etc.). D.- Teclados de estructura lógica y gestión de datos Cada vez más estos instrumentos tienen asignados teclados estructurados de una forma lógica y su manejo resulta muy sencillo. Los menús son cómodos y la versatilidad del conjunto está garantizada, teniendo completa libertad de asignación.


72



Figura Número 70.- Teclado funcional

Con los menús incluidos en los instrumentos se puede lograr entrada de datos para su gestión y buscar códigos y atributos de forma rápida, disponiendo de los elementos necesarios para lograr el múltiple objetivo: -

Teclas que permiten medir los ángulos y la distancia y grabar los datos obtenidos.

-

Memoria interna para 3.000 series de datos ó 4.000 puntos con coordenadas.

-

Posibilidad de consultar la hora y la fecha en cualquier momento. Grabación de éstas con cada serie de datos.

-

Puerto apropiado para conexión a ordenador y terminal de datos.

Las nuevas líneas de instrumentos existentes en el mercado ofrecen nuevos métodos para combinar medidas, informaciones, grabación de datos y formatos de salida personalizados. Las opciones para la medición continua de ángulos y la medida rápida de distancias en 1 segundo, las funciones integradas y los diversos programas de aplicación también resultan muy ventajosos para trabajos de toma de datos para un proyecto y obras de construcción.

Figura Número 71.- Versatilidad de los equipos


73


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Los datos captados quedan registrados en tarjetas dotadas de una alta capacidad de memoria. Son ligeras, de pequeño formato, flexibles y fiables, utilizándose no sólo en las estaciones topográficas totales, sino también en receptores GPS.

Figura Número 72.- Tarjetas de memoria y lector

Las tarjetas de memoria son aptas para cualquier gama de temperatura y su capacidad de memoria de hasta 4 Mb asegura flexibilidad absoluta en la gestión de los datos, que son tratados con programas de aplicación adaptados a las necesidades del usuario. A continuación se presentan los datos técnicos de instrumentos de la serie media de Leica.

Figura Número 73.- Datos técnicos de instrumentos de serie media de Leica


74


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.3.2. MEJORAS PARTICULARIZADAS En los últimos prototipos aparece una serie de ayudas a la toma de datos de marcada significación. Entre ellas pueden ser destacadas las que inciden en la puntería al prisma y las que representan mejoras de gran importancia en el contexto global de la medida. -

Autofocus. Tecla especial de algunas estaciones que permite, una vez realizada la puntería grosera al prisma, efectuar un enfoque automático.

-

Punto guía. En los replanteos por polares (ángulo y distancia) resulta muy cómodo el dispositivo para informar al portaprisma por medio de luz de diferente color para posicionar en la alineación correcta.

-

Medición de distancias sin prisma. Se basa en tecnologías láser por pulsos y, en la actualidad, el alcance de la medida puede llegar hasta los cien metros, dependiendo de la textura superficial y reflectividad de la superficie.

También es necesario destacar los nuevos sistemas con módulos rastreadores tipo autolock (autoenganchable), condicionado a desplazamientos con movimiento del prisma a menos de 18 km/h., utilizando prismas de reflexión total. La transmisión sin cable y la toma de datos con opción “instrumento libre” es otra de las mejoras del instrumental moderno. Así como la irrupción del GPS en estos equipos que permiten el posicionamiento absoluto de forma rápida y sencilla.

Figura Número 74.- Estación topográfica de última generación

3.3.3. CONSIDERACIONES FINALES En la actualidad, existen firmas especializadas que tienen en el mercado estaciones topográficas para cualquier tipo de trabajo. En el marco general de los trabajos topográficos para apreciaciones entre 3cc y 9cc existen al menos diez fabricantes de aparatos que prácticamente cubren cualquier necesidad. Además cabe destacar el extraordinario avance en la oferta en el contexto general de la estación topográfica en los últimos.


75



4. MEDIDA DE ALTURAS


76


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 4.1. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO ALTIMÉTRICO Definido un punto en la superficie terrestre queda perfectamente determinado no sólo por su posición en planta, sino también por la altitud, distancia del punto a una superficie de referencia, evaluada sobre la normal a dicha superficie que pasa por el punto. La superficie de referencia con significación física es el geoide, aunque es difícil de determinar. Tras continuadas tomas de datos se puede modelizar, estableciendo la superficie de cota cero, presentándose a continuación dos problemas: -

Determinación de dicha superficie.

-

Dar cota a puntos de la superficie terrestre respecto a ella.

Para obtener la superficie de cota cero, los países que tienen costa utilizan los mareógrafos que funcionan plasmando, de forma continuada, el nivel instantáneo del mar.

Figura Número 75.- Esquema de un mareógrafo

El palpador está constituido por una hoya que comunica el movimiento vertical a un rollo de registro donde queda el dato almacenado. En España, el mareógrafo referencial está en Alicante y en Francia en Marsella. Para dar cota a los puntos de la superficie terrestre hay varios métodos que condicionan los aparatos topográficos que deben ser utilizados: -

Nivelación trigonométrica: Está analizada con anterioridad. Constituye una faceta importante de las relaciones taquimétricas. Para ello se utilizan el taquímetro y la estación o semiestación (teodolito óptico o electrónico) con distanciómetro.

-

Nivelación geométrica: Se utiliza el aparato topográfico denominado nivel, que con un adecuado método es la mejor forma de conseguir buenas posiciones.


77



Nivelación barométrica: Emplea la relación física existente entre la altitud y presión atmosférica. No tiene buenas precisiones y en ingeniería apenas se utiliza.

No obstante, aunque la referenciación a un origen altimétrico común es aconsejable y en temas cartográficos, imprescindible, en Ingeniería se puede trabajar con una cota referencial arbitraria en el marco de un trabajo concreto. En cualquiera de los dos primeros métodos es conveniente conocer las peculiaridades del sistema de altitudes, que pasan por el conocimiento de las superficies equipotenciales y el establecimiento de las alturas ortométricas y dinámicas. En Topografía son despreciables las influencias de ambos condicionantes, que serán analizados en otra asignatura específica que trata sobre Geodesia y Cartografía. 4.2. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 4.2.1. CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD Y REFRACCIÓN 4.2.1.1. Corrección por esfericidad Supuestas esféricas las superficies de nivel se estaciona el aparato topográfico en un punto E de altitud hE, siendo EE’ su eje vertical y EA la visual a un punto A, cuyo desnivel respecto de E se desea calcular. _____

El desnivel aparente (si la tierra fuese plana) estaría definido por la distancia

AA' ,

_____

mientras que el desnivel real está definido por la distancia AA2 , distancia sobre la normal en A entre sus curvas de nivel. Por tanto, la corrección por esfericidad será: ____

_____

C e = AA2 − AA'

Figura Número 76.- Influencia de la esfericidad


78


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En la figura se verifica: ____ ____

____

____

AA2 = AA1 + A1 A2 =

____ AA' + A1 A2 cos ω

pero:

cos ω = 1 −

ω2 2!

+ ...

tomando términos de primer orden: ____

____

____

AA2 = AA'+ A1 A2

sustituyendo en la expresión de la corrección: ____

____

____

____

____

____

C e = AA2 − AA' = AA'+ A1 A2 − AA' = A1 A2

Los lados del triángulo OEA1 tienen por valores: ___

OE = R + h E ____

OA1 = R + h E + C e _____

_____

_____

_____

EA1 = EA' − AA1 = D − AA' tg ω

En la figura, se cumple: 

(R + hE + C e )2 = (R + he )2 +  D − 

 AA' ω  

_____

2

habiendo sustituido ω por un infinitésimo equivalente: 

(R + hE )2 + 2C e (R + hE ) + C e2 = (R + hE )2 +  D − 

 AA' ω  

_____

2

el valor de Ce es muy pequeño comparado con el de R. Despejando Ce: _____    D − AA' ω    Ce = 2 (R + h E )

2

siendo: D = distancia reducida entre E y A R = radio medio de la tierra (en una primera aproximación) _____

AA' = desnivel aparente de A y E


79


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En la aproximación aceptable en topografía, si no se trata de distancias cortas con _____

mucha pendiente, se puede aproximar D − AA' ω por D, obteniendo:

Ce =

D2 D2 = 2 ( R + hE ) 2 R

relación válida en el ámbito de las aplicaciones topográficas. Como valor del radio de la tierra se suele tomar R=6.370 km. Esta corrección de esfericidad es siempre positiva, el desnivel real es mayor que el aparente. 4.2.1.2. Corrección por refracción Al pasar la luz de un medio a otro de distinta densidad sufre una refracción que tiene que ver con estas densidades de los distintos medios. Como la atmósfera no tiene densidad uniforme se van produciendo sucesivas refracciones en las distintas capas, que en condiciones normales son menos densas cuanto más elevadas están (a no ser que se produzca algún proceso de inversión térmica que influya en ellos), obteniéndose una curva como dirección seguida por el rayo. Dentro del campo de la topografía, dado que las visuales son de escasa pendiente y de longitud corta/media, dicha curva puede asimilarse a un arco de circunferencia, de radio constante mientras no varíen las condiciones atmosféricas.

Figura Número 77.- La refracción de la visual

Para calcular su valor se considera un observador que desde un punto E observa a otro A, del cual la imagen le llegará según el arco de circunferencia AE, de centro O’ y radio R. Para este observador es como si el punto A estuviese situado en A’ en vez de en A, con EA’ la tangente al arco de circunferencia en E.


80



Figura Número 78.- Cálculo de la corrección por refracción

En los ángulos verticales este fenómeno produce un error ρ, llamado ángulo de refracción, siendo AA’ el valor lineal de la corrección. Por tanto, la corrección de refracción valdrá: ______

______

______

______

______

C r = 0' A' − 0' E = 0' A' − 0' A = A' A

En el triángulo 0EA' , rectángulo en E, se verifica:

R' 2 + D 2 = (R'+C r )

2

R' 2 + D 2 = R' 2 +Cr 2 + 2CrR ' despreciando el término Cr2:

Cr =

D2 2 R'

fórmula semejante a la de esfericidad donde el radio de la tierra, R, está sustituido por el de la curva de refracción, R’. La relación entre estos radios será una característica de este último R’, al ser R=cte., por lo que para cada medio se tendrá un coeficiente F de refracción dado por:

2F =

R R'

Por lo tanto, la corrección por refracción será:

Cr =

D2 D2 D2 = =F 2 R' 2 R R 2F


81


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A falta de datos que permitan determinar el valor de F con más rigor, se considera, para unas circunstancias medias, el valor de F=0,08, resultando:

Cr = 0,08

D2 R

El valor fijado para F representa que R’=6,25 R. Como se puede apreciar, la refracción introduce desniveles negativos, el real es menor que el aparente, por lo que sirve para corregir en parte el efecto de la esfericidad.

D2 Ce = siempre positiva 2R Cr = 0,08

D2 siempre negativa R

La corrección final conjunta resulta:

∆H = 0,5

D2 D2 D2 − 0,08 = 0,42 R R R

Luego el valor final del incremento altimétrico quedaría de la forma: B A

B A

∆Z = t + i A − m B B A

(D ) +

= t + i A − mB

B 2 A

2R

(D ) − 0,08

B 2 A

R

=

(D ) + 0,42

B 2 A

R

Figura Número 79.- Corrección conjunta en nivelación trigonométrica

Siendo, por lo tanto:

Z B = Z A + ∆Z AB Estas relaciones serán consideradas, en general, en el campo de la topografía. La corrección por esfericidad y refracción comienza a ser significativa a partir de los 400 m. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

82


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA DISTANCIA

CORRECCIÓN

400 m.

1 cm.

1.000 m.

7 cm.

2.000 m.

26 cm.

4.000 m.

106 cm.

8.000 m.

422 cm.

15.000 m.

1.483 cm.

20.000 m.

2.638 cm.

Para determinar el valor F correspondiente a una determinada zona con más precisión se emplean visuales conocidas desde los puntos, obteniéndose con ellas su valor, utilizándose después éste con el resto de visuales de la zona (por ejemplo, para nivelaciones trigonométricas con una sola visual). 4.2.2. ERRORES EN LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA En la taquimetría tradicional, o en la actualidad con las estaciones totales, la expresión del desnivel (nivelación trigonométrica) existente entre dos puntos viene dada por la relación:

∆Z AB = t AB + i A − m B + 0,42

D AB R

Figura Número 80.- Fuentes de error en la nivelación trigonométrica

Las fuentes del error están incluidas de forma significativa en los tres primeros términos:

∆z AB = t AB + i A − m B t AB = D AB cot g V AB

Distancia reducida de A a B Angulo cenital Altura del aparato Altura del prisma


83


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Definidas las características del instrumento topográfico se obtienen los siguientes valores: - Error o incertidumbre al evaluar la distancia:

∆D

- Error o incertidumbre al evaluar el ángulo cenital:

ε TV

- Error o incertidumbre al evaluar la altura del aparato: - Error o incertidumbre al evaluar la altura del prisma:

i m

A) Aportación al error altimétrico de t AB Las incertidumbres altimétricas vienen definidas por las expresiones:

etI ≤ ∆D AB cot g V AB (para ε TV = 0 )

[

]

etII ≤ D AB cot g (V AB ± ε TV ) − cot g V AB (para AD=0) siendo ∆D AB una cota del error lineal considerado para cada uno de los casos que se puedan presentar, que serán analizados en la siguiente unidad. El doble signo está motivado por la condición de encontrar una cota superior del error. B) Aportación al error altimétrico de iA La medición se realiza con una cinta métrica metálica, pudiendo estimar una cota superior del error altimétrico: ei ≤ 1 cm. C) Aportación del error altimétrico de mB El valor que resulta difiere según el sistema que se utilice para la determinación de la nivelación trigonométrica.

Figura Número 81.- Nivelación trigonométrica. Falta de verticalidad de la estadía

C1) Utilizando un taquímetro Dada la figura, se analiza la incertidumbre altimétrica.


84


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Si la estadía está inclinada un ángulo β, la lectura no se realiza en B’ sino en C”, existiendo un error: ______

______

______

______

______

e m = BC" − BB' = BC" − BC ' = C ' C "

Pero, al trabajar con una cota superior del error, se tiene: _____

tg (α + β ) =

CC" _____

B' C _____

_____

CC" = B' C tg (α + β )

_____

_____

_____

e m ≤ C ' C ≤ CC" = B' C tg (α + β )

y será cota mayor del error, sustituyendo el segmento B’C por el arco de circunferencia B’C’ y, por lo tanto, mB·β:

em ≤ m B · β · tg (α + β ) siendo: - mB: altura sobre el suelo de la intersección de la visual con la mira - β: ángulo de inclinación - α: pendiente de la visual α = 100 g − V AB como valor medio del ángulo β se suele tomar 1g ó 2g. C2) Utilizando estación topográfica El prisma situado sobre un jalón, portador de un sistema para contrastar la verticalidad puede, con ayuda de un trípode, posicionarse vertical y, por lo tanto, eliminar el error altimétrico por esta causa. La falta de verticalidad del jalón provocaría incertidumbre altimétrica y un error adosado en la evaluación de la distancia geométrica y en la determinación del ángulo cenital.

Figura Número 82.- Falta de verticalidad del jalón


85


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Estos errores establecidos para el caso de la nivelación taquimétrica o con estación topográfica son prácticamente despreciables en condiciones normales si se comparan con el error que se comete debido al efecto de la distancia en la puntería, por lo que finalmente este error se suele cifrar en función de la distancia de observación, tomándose los siguientes valores significativos: RANGO DISTANCIA

ERROR PUNTERIA

D < 100 m.

em = 1 cm.

100 < D < 200 m.

em = 2 cm.

200 < D < 500 m.

em = 3 cm.

500 < D < 1000 m.

em = 4 cm.

1000 < D < 2000 m.

em = 5 cm.

2000 < D

em = 10 cm.

D) Error altimétrico total Considerando no nula la incertidumbre altimétrica por falta de verticalidad del jalón, el error altimétrico total para una visual aislada será:

ez =

(∆D

B A

· cot g V AB

) + {D [cot g (V 2

B A

B A

)

± ε TV − cot g V AB

]}

2

+ ei2 + em2

siendo: - ∆D AB :

Error longitudinal

- D AB :

Distancia entre la estación y puntería (reducida)

- V AB :

Angulo cenital

- ε TV :

Error angular cenital

- ei, em:

Error altimétrico en la estación y en la puntería

SUPUESTO PRÁCTICO Con un taquímetro que tiene las siguientes especificaciones técnicas: S = 30”

;

A = 30

;

a = 33”

se analiza el desnivel entre un vértice estación y un determinado punto. Los datos de la captación de información son los siguientes: - Distancia reducida estación-puntería:

180 m.

- Error en la evaluación de la distancia:

0,36%

- Pendiente de la visual:

V AB = 85 o

- Falta de verticalidad de la estadía:

β = 2o

- Altura de la mira:

mB = 1,5 m.


86


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Evaluar la incertidumbre total altimétrica. RESOLUCIÓN A) Error angular:

1 3

1 3

ε v = S = 30 = 10" εp =

4 A  50  120  50  1 +  = 1 +  = 3,6" A  100  30  100  2 3

2 3

ε l = a = 33 = 22"

ε Tv = ε v2 + ε p2 + ε l2 = 24,4" B) Errores altimétricos parciales - Error en t:

ε tI = ∆D cot g V AB =

0,36 180 cot g 85 o = 0,057 m. 100

ε tII = D AB [cot g (V AB − ε TV ) − cot g V AB ] =

[

]

= 180 cot g (85 o − 24,4") − cot g 85 o = 0,022 m. - Error en i:

ei = 1 cm. = 0,01 m. - Error en m:

em = m B β tg (α + β ) = 1,5

2 · 60 · 60 tg 7 o = 0,0065 m. 206265

C) Error altimétrico total:

eT = etI 2 + etII 2 + ei2 + em2 = 0,057 2 + 0,022 2 + 0,012 + 0,0065 2 = 0,062 m. 4.3. EL NIVEL 4.3.1. FUNDAMENTO El nivel es el instrumento topográfico que, correctamente estacionado, es capaz de definir un plano perpendicular a la vertical del lugar y, por lo tanto, con ayuda de dos estadías verticales, permite conocer el desnivel entre dos puntos.


87



Figura Número 83.- Fundamento del nivel

El desnivel entre los dos puntos considerados es:

∆Z AB = ma − mb Conociendo la cota del punto A, la cota del punto B queda definida de la forma:

Z B = Z A + ∆Z AB En la nivelación geométrica, la corrección por esfericidad y refracción puede eliminarse, entrando de lleno al estudio de las metodologías topográficas. 4.3.2. PARTES ESENCIALES Existen cuatro grandes grupos de niveles: el nivel convencional, el automático, el láser y el electrónico o digital. La única diferencia entre ellos es la forma que tienen de aproximar el eje vertical del aparato a la posición particularizada de la vertical del lugar. A) Nivel convencional Dispone de un anteojo para efectuar la puntería y de un nivel, montado sobre una plataforma, gobernado por los tornillos nivelantes.

Figura Número 84.- Nivel convencional

El nivel queda caracterizado por los aumentos de su anteojo y por la sensibilidad de su nivel de burbuja. El retículo está formado por la cruz filar, usual o simplemente por un hilo horizontal, simple o en forma de cuña. Dispone de tornillos de presión y coincidencia y enfoques de visión y de hilos. Se estaciona Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

88


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA como cualquier instrumento topográfico, a través de la plataforma nivelante y sus correspondientes tornillos de nivelación y niveles esféricos y tóricos.

Figura Número 85.- El retículo del nivel

B) Nivel automático Dispone de un anteojo para efectuar la puntería y de un sistema interno a base de un péndulo que, una vez estacionado el aparato, posiciona la vertical del lugar y, por lo tanto, define el plano horizontal.

Figura Número 86.- Nivel automático

Lleva incorporado un nivel esférico para detectar la posición correcta en el sentido de operatividad del péndulo interno. Igual que el nivel convencional, se rige por los mismos parámetros que el nivel convencional. C) Nivel láser Este instrumento, que se estaciona de forma cuasi-automática, al igual que el anterior, se caracteriza porque una vez estacionado y encendido emite una radiación en el espectro del láser que mediante dos sensores deslizantes en las estadías permiten identificar la altura a la que se encuentra el láser en diferentes puntos y, por lo tanto, establecer el desnivel entre puntos dado que el rayo láser está contenido en el plano horizontal.


89


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Se utiliza especialmente en obra civil y edificación porque tiene la ventaja de necesitar sólo un operario.

Figura Número 87.- Equipo de nivelación láser

Figura Número 88.- Planos capaces de nivelarse con un nivel láser

D) Nivel electrónico o digital La nivelación digital logra evaluar la imagen de una mira codificada mediante un procedimiento electrónico. El instrumento óptico tradicional se convierte en un sensor convencional con una finalidad concreta. El sensor identifica el código de barras con la mira (usualmente de invar), incluso evalúa la distancia de forma bastante aproximada.


90



Figura Número 89.- Equipo de nivelación digital

El código de la estadía es binario (blanco y negro). Un elemento básico mide una longitud determinada (2,025 mm. para la NA-3000 de Leica). El código completo está configurado por 2.000 elementos, necesitando una longitud de 4,05 m. Se emplea el método de la correlación, tomando como patrón un código no periódico seudoestocástico.

Figura Número 90.- Elementos básicos del nivel digital

La desviación típica en este tipo de instrumental puede llegar hasta la centésima de milímetro, en la determinación de la altura, mientras que la precisión en la determinación de la distancia es del orden centimétrico. La reproducibilidad de la medición altimétrica, en el caso de los modelos anteriormente mencionados, está reflejada en el siguiente cuadro. La precisión del Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

91


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA sistema (mm/km. en nivelación doble) en la nivelación digital depende del modelo de instrumento empleado (NA-2002, NA-3003) y del tipo de mira. MIRA DE NIVELACION NIVEL

GKNL4

GPCL 2/3

NA-2002

σ = 1,5 mm/km

σ = 0,9 mm/km

NA-3003

σ = 1,2 mm/km

σ = 0,4 mm/km

La temperatura, los cambios de iluminación e incluso las turbulencias motivadas por el tráfico rodado, contribuyen a distorsionar las posibilidades de la medición, debiendo conceder tiempo de aclimatación. Continúa vigente la metodología basada en la nivelación geométrica utilizando el punto medio como alternativa de empleo. Con los niveles digitales y niveladas del orden de 35 m. es sencillo lograr precisiones del orden de 1 mm. por kilómetro, considerada alta precisión. 4.3.3. ERRORES EN LA NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 4.3.3.1. Errores propios del aparato Al realizar una visual se cometerán dos tipos de errores accidentales diferentes: -

Error de verticalidad.

-

Error de puntería.

Ambos son errores angulares que usualmente están definidos por las siguientes expresiones: a) Error de verticalidad:

1 3

εV ≤ S siendo S la sensibilidad expresada en graduación centesimal o sexagesimal. b) Error de puntería

εp ≤

50 A

εp ≤

 4A  1 + 100   

150 A

en graduación sexagesimal

 4A  1 + 100  en graduación centesimal  

En ambos casos, A expresa los aumentos del anteojo del nivel. La composición cuadrática de los dos errores angulares permite obtener el error total cenital.

ε TC ≤ ε H2 + ε p2 Con la composición angular se puede obtener el error altimétrico total.


92



e z = ε H2 + ε p2 L siendo L la distancia entre el nivel y la estadía vertical. En el caso de realizar una nivelación de longitud total D, pero efectuada en tramos uniformes de longitud L, el error altimétrico total resultará:

eZT = ε H2 + ε p2 L

D L

Al utilizar estas expresiones hay que tener precaución en el uso de las diferentes unidades: - εV y εp:

ángulos expresados en radianes

- L:

longitud aparato/estadía. De la unidad utilizada dependerá la unidad del error altimétrico total

-

D : L

deben proporcionar el número de tramos, es decir, es un número adimensional

4.3.3.2. Error adicional por falta de verticalidad de la estadía Otro error, que suele tener importancia y que es necesario conocer su incidencia, aunque es independiente del aparato topográfico, es el motivado por la falta de verticalidad de la estadía. La falta de verticalidad (ángulo β) motiva una lectura en la estadía BC” diferente de la lectura verdadera BB’=BC’.

Figura Número 91.- Falta de verticalidad de la estadía

El error, por falta de verticalidad de la estadía, estará definido por:

em = BC"− BC ' = C ' C" En el triángulo B’B”C se verifica:

tg β =

CC" → CC" = B ' C · tg β B' C


93


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA También se verifica:

B' C < B' C ' < B' C" Por lo tanto, un techo del error estará definido, realizando la sustitución de B’C por B’C”, resultando:

CC" = B ' C tg β = B ' C ' tg β Pero:

B' C ' = m B · β Luego, reemplazando, se obtiene el error por falta de verticalidad de la mira:

em ≤ m B · β · tg β O bien:

em ≤ mB

β" 206.265

tg β = mB

β CC 636.620

tgβ

Puede evitarse, en una proporción muy significativa, utilizando trípode para asegurar, dentro de una cierta tolerancia, la verticalidad de la estadía. 4.3.3.3. Error altimétrico total Considerando la falta de verticalidad de la mira, la composición del error altimétrico total resulta: A) Caso de una nivelación de un tramo único Datos: . Longitud del tramo ……..

L

. Error de horizontalidad …

εV

. Error de puntería ………..

εp

. Lectura de estadía ………

mB

. Angulo de inclinación ….

β

A1) Error altimétrico, por consideraciones angulares:

eZI = ε V2 + ε p2 L A2) Error altimétrico, por falta de verticalidad de la estadía:

eZII = m B

β r

tg β

siendo: r” = 206.265 rcc = 636.620


94


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A3) Error altimétrico total:

(e ) + (e ) I 2 Z

eZT =

II 2 Z

B) Caso de una nivelación de n tramos Se trata de una nivelación de longitud total D, efectuada en tramos de longitud L (D / L = n ) . Igual que en el caso anterior, al efectuar la nivelación en un tramo, el error altimétrico resultante queda caracterizado por la expresión:

(e ) + (e ) I 2 Z

eZT =

II 2 Z

Para el caso de n tramos será:

[e ]

T * Z

(e ) + (e ) I 2 Z

=

II 2 Z

n

El error altimétrico unitario total será:

(e ) + (e ) I 2 Z

eZT =

II 2 Z

El error altimétrico en 1 km., también denominado kilométrico, se calcula:

e zk =

(e ) + (e ) I 2 z

II 2 z

1000 L

SUPUESTO PRÁCTICO Al realizar una nivelación geométrica se utiliza un nivel de las siguientes características técnicas: Sensibilidad:

50cc

Aumentos:

26

Considerando una falta de verticalidad de la mira generalizada de 1g y niveladas de 80 m., calcular el error altimétrico esperado al nivelar 100 km. En primer lugar se calcula el error angular cenital:

εV ≤ εP ≤

150 26

S 50 = = 16,7 cc 3 3

 4 · 26  cc 1 + 100  = 11,8  

ε TC ≤ ε H2 + ε P2 = 20,4 cc El error altimétrico, unitario, por consideraciones angulares será:

eZI = ε H2 + e P2 L =

20,4 80000 = 2,56 mm. 636620


95


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El error altimétrico, unitario, por falta de verticalidad de la estadía será:

eZII = 2000

10000 tg 1g = 0,49 mm. 636620

El error total resulta:

eZT = 2,56 2 + 0,49 2

100000 = 92 mm. 80

4.3.4. FORMAS DE TRABAJO CON UN NIVEL El trabajo con un nivel se realiza, de manera ordenada, haciendo lecturas a los puntos A y B donde se han situado las estadías. Elegido un sentido de avance, se denomina lectura de frente o de espalda según coincida o no con el sentido establecido.

Figura Número 92.- Utilización del nivel

Figura Número 93.- Libreta de nivelación


96


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Las anotaciones se plasman en la libreta de nivelación, donde quedan referenciados los datos: lecturas de frente y espalda, así como el origen de la altitud. Los métodos de nivelación específicos se analizarán en unidades didácticas posteriores una vez que se desarrollen otros conceptos previos sin los cuales no se entienden dichos métodos. SUPUESTO PRÁCTICO Completar la libreta de nivelación adjunta:

RESOLUCIÓN Aplicando los conceptos anteriormente expresados, resulta:


97



APUNTES


UNIDAD DIDÁCTICA III

MÉTODOS TOPOGRÁFICOS

Profesor Responsable: Julio Manuel de Luis Ruiz. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

1



UNIDAD DIDÁCTICA III MÉTODOS TOPOGRÁFICOS 1. INTRODUCCIÓN GENERAL 1.1. NECESIDAD DEL ESTABLECIMIENTO METODOLÓGICO 1.1.1. Elementos participantes 1.1.2. Planteamiento general 1.2. TÉCNICAS ELEMENTALES DE CAMPO Y GABINETE 1.2.1. Observaciones en campo 1.2.2. Observación sin desorientación 1.2.3. Observación con desorientación 1.3. PRINCIPALES METODOLOGÍAS TOPOGRÁFICAS 1.3.1. Introducción 1.3.2. Aspectos generales de los métodos 1.3.2.1. Determinaciones planimétricas 1.3.2.1. Determinaciones altimétricas 2. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DE ESTACIONES TOPOGRÁFICAS 2.1. CONCEPTOS PREVIOS Y OBJETIVOS 2.2. DETERMINACIONES PLANIMÉTRICAS 2.2.1. Método de radiación 2.2.1.1. Concepto y resolución 2.2.1.2. Tolerancias 2.2.2. Método de itinerario 2.2.2.1. Concepto y resolución 2.2.2.2. Tolerancias 2.3. DETERMINACIONES ALTIMÉTRICAS 2.3.1. Nivelación trigonométrica simple 2.3.1.1. Concepto y resolución 2.3.1.2. Tolerancias 2.3.2. Nivelación trigonométrica compuesta 2.3.2.1. Concepto y resolución 2.3.2.2. Tolerancias 2.4. CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES 2.4.1. Concepto de compensación 2.4.2. Tipos de poligonales a compensar 2.4.2.1. Poligonales colgadas 2.4.2.2. Poligonales cerradas 2.4.2.3. Poligonales encuadradas 2.4.3. Condición de compensación


2


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.4.3.1. Precisión 2.4.3.2. Tolerancia 2.4.3.3. Cierre 2.4.4. Tipos y fundamento de compensación 2.4.4.1. Compensación planimétrica 2.4.4.2. Compensación altimétrica 3. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO EXCLUSIVO DEL TEODOLITO 3.1. MÉTODO DE INTERSECCIÓN DIRECTA 3.1.1. Introducción 3.1.2. Fundamento y resolución 3.1.2.1. Intersección directa simple 3.1.2.2. Intersección directa múltiple 3.1.3. Cálculo de la tolerancia 3.2. MÉTODO DE INTERSECCIÓN INVERSA 3.2.1. Introducción 3.2.2. Fundamento y resolución 3.2.2.1. Intersección inversa simple 3.2.2.2. Intersección inversa múltiple 3.2.2.3. Procedimiento de Hamsen 3.2.3. El error en la intersección inversa 4. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO EXCLUSIVO DEL DISTANCIÓMETRO 4.1. LA DISTANCIOMETRÍA 4.2. INTERSECCIÓN DE DISTANCIAS 4.3. CÁLCULO DE LA TOLERANCIA


3



1. INTRODUCCIÓN GENERAL


4


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.1.- NECESIDAD DEL ESTABLECIMIENTO METODOLÓGICO 1.1.1.- ELEMENTOS PARTICIPANTES La finalidad de todo trabajo topográfico es la observación en campo de una red de puntos que permita en gabinete, posteriormente, obtener un modelo planimétrico y altimétrico representable gráficamente a una escala definida. El trabajo es realizado por un equipo humano que emplea un instrumental y que sigue una metodología preestablecida. Normalmente, la ejecución de un determinado trabajo topográfico tiene los siguientes condicionantes: -

Se utiliza un equipo humano que dispone de un abanico de instrumentos topográficos concreto, con características determinadas.

-

Se desea obtener una determinada precisión, exigida tanto en planimetría como en altimetría.

Por tanto, se precisa conocer la tolerancia del mencionado trabajo, que será función del instrumental disponible y de la metodología utilizada. Partiendo de los condicionantes anteriores, se deberá plantear el trabajo empleando instrumental y metodologías topográficas que garanticen que la incertidumbre que siempre existe en toda labor de medir quede por debajo de la precisión exigida, es decir: tolerancia < precisión exigida. Lo relativo al instrumental topográfico ha sido analizado en la Unidad Didáctica II. Por tanto, en la presente unidad se aborda el tratamiento de las diversas metodologías con enfoque directo hacia el instrumental descrito. 1.1.2.- PLANTEAMIENTO GENERAL Habitualmente, el objetivo de un levantamiento topográfico es la obtención de coordenadas planimétricas (x,y) y altimétricas (z) de forma conjunta. Antes de tomar la decisión sobre el método topográfico a emplear conviene analizar en primera instancia los recursos disponibles: -

Número de equipos topográficos.

-

Instrumentos topográficos.

-

Métodos topográficos.

Y en segunda instancia conviene analizar las necesidades que hay que cubrir: -

Precisión exigida.

-

Plazo de ejecución.

-

Rendimiento y coste económico.

Para poder elegir adecuadamente el método a emplear conviene sopesar adecuadamente todos los recursos disponibles y por supuesto las necesidades que se han de cubrir, solamente teniendo en cuenta todos estos criterios se puede elegir adecuadamente la metodología topográfica a emplear, todos estos aspectos se recogen en la siguiente figura.


5



Figura Número 1.- Planteamiento de un trabajo topográfico

A continuación se enumeran y describen de forma general las combinaciones de métodos topográficos planimétricos y altimétricos más frecuentes, así como el instrumental empleado en cada uno. El caso más sencillo consiste en definir la posición de un punto desde una estación de coordenadas conocidas. En planimetría se emplea el método de radiación y en altimetría, el de nivelación trigonométrica simple. En la actualidad, las radiaciones se efectúan empleando estaciones topográficas y un prisma como elemento reflector. Tradicionalmente se había venido empleando taquímetro y estadía vertical (mira). A este primer supuesto de trabajo se le denomina taquimetría simple o, únicamente, radiación.

Figura Número 2.- Representación planimétrica de la radiación

Cuando no es posible radiar todo el área de trabajo desde una única estación, se deben establecer varias estaciones intervisibles entre sí, de manera que desde el conjunto de las mismas sea posible observar toda la superficie del levantamiento. En este caso, planimétricamente se utiliza el método de itinerario, y altimétricamente la nivelación trigonométrica compuesta. Es importante destacar


6


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA que la precisión que se puede conseguir con este método está directamente relacionada con la precisión que se obtenga en el “encadenamiento” de las sucesivas estaciones. Como se verá posteriormente, al estudiar los diferentes métodos topográficos, a veces la nivelación trigonométrica no garantiza en un itinerario la precisión requerida, siendo preciso acudir a un método que proporcione mejores precisiones altimétricas que, como se estudiará posteriormente, es la nivelación geométrica, es decir, la nivelación ejecutada con nivel. De forma genérica, a este método de trabajo se le llama taquimetría compuesta o, como se denomina frecuentemente, itinerario o poligonal.

Figura Número 3.- Representación planimétrica de un itinerario

En algunos trabajos es preciso establecer con gran exactitud las coordenadas planimétricas. La falta de precisión en la medida de distancias por métodos estadimétricos hizo que las medidas angulares fuesen siempre de mayor calidad, lo que supuso emplear para estos casos métodos angulares o intersecciones, siendo frecuente establecer las cotas altimétricas mediante nivelación geométrica. Para la obtención de la planimetría se empleará un teodolito y para la obtención de los desniveles, un nivel. Generalmente, este método se denomina intersección.

Figura Número 4.- Representación planimétrica de la intersección


7


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.2.- TÉCNICAS ELEMENTALES DE CAMPO Y GABINETE 1.2.1.- OBSERVACIONES EN CAMPO En este apartado se va a exponer, de forma completa, la metodología a seguir para realizar las observaciones de campo, que serán comunes para cualquier método de trabajo que se quiera utilizar. La nomenclatura que se emplea queda reflejada en la figura y aunque se grafía para el caso más habitual (estación topográfica) es fácilmente identificable para cualquier otro aparato topográfico de los denominados completo o casi completos (evalúan los dos ángulos y las distancias o simplemente los dos ángulos).

Figura Número 5.- La observación en campo

Los elementos intervinientes son los siguientes: A

-

Angulo cenital: V P . Es el ángulo vertical con el que se observa desde la estación A el punto P. Se supone, como es habitual con los instrumentos actuales, que el aparato es cenital, es decir, que el origen de ángulos verticales en el cenit.

-

Lectura horizontal: L A . Es el ángulo horizontal con el que se observa desde la estación A el punto P a partir de una orientación establecida. Es el valor que se lee en el aparato para una posición dada del origen angular.

P

Dg

A P

-

Distancia geométrica: . Desde instrumento hasta el punto observado.

el

centro

geométrico

del

-

Distancia reducida: D A . Distancia desde la estación A hasta el punto P, proyectada sobre el plano horizontal.

P


8


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En primer lugar, se estaciona el aparato en el primer punto que se ha elegido como estación, denominada A. Se nivelará y se anota la altura del aparato (iA). En caso de emplear estación, se medirán la temperatura y la presión atmosféricas para efectuar, si procede, correcciones meteorológicas. A continuación se orienta el aparato planimétricamente. Es importante recordar que el limbo horizontal, a diferencia del vertical, no tiene un origen fijo, constante en cualquier trabajo, sino que debe ser establecido explícitamente en todo levantamiento. Tanto en el tratamiento de ángulos horizontales como de ángulos verticales, se pueden realizar observaciones en círculo directo (CD) exclusivamente o en círculo directo y círculo inverso (CD y CI), dependiendo de la instrumentación, metodología o finalidad del trabajo. En este último supuesto, es necesario evaluar el ángulo promedio.

Dg =

Dg CD + Dg CI 2

-

Promedio de distancias:

-

Promedio de ángulos horizontales: L =

-

Promedio de ángulos verticales: V = VCD + 

LCD + LCI ± 200 2

 400 − VCD − VCI   2  

1.2.2.- OBSERVACIÓN SIN DESORIENTACIÓN Consiste en situar el origen de ángulos horizontales (0g) según una alineación de referencia asociada al tipo de representación planimétrica que se desea establecer, es decir, se hace coincidir el eje de ordenadas con el origen de ángulos horizontales. Para mantener esta coincidencia normalmente se eligen puntos lejanos, que resultan fácilmente identificables para posteriores orientaciones desde la estación A, dándoles una correcta lectura.

Figura Número 6.- Observación angular horizontal orientada

De esta forma, sabiendo las coordenadas de A y R, se conoce con exactitud la situación del eje de ordenadas y, por tanto, el inicio de lectura de los ángulos horizontales. Es suficiente otorgar a la referencia R una lectura LRA igual al acimut


9


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA definido por las coordenadas de A y R, es decir, LRA = θ AR para que todas las restantes lecturas desde A sean verdaderos acimutes. La relación entre los parámetros topográficos en planta (acimut y distancia reducida) y las coordenadas de los puntos es directa.

Figura Número 7.- Relaciones fundamentales

1.2.3.- OBSERVACIÓN CON DESORIENTACIÓN En la toma de información planimétrica puede suceder que, por diversos motivos, no se pueda hacer coincidir en campo, en el momento de la observación, el eje de ordenadas de la referenciación utilizada con el eje inicializador de ángulos. Es caso muy frecuente disponer de una base, es decir, dos vértices topográficos (puntos bien materializados en campo), intervisibles entre sí, y comenzar la captura de puntos a partir de ellos, aun sin conocer sus coordenadas. Se coloca el eje de inicialización angular horizontal con respecto a uno de ellos, estando el instrumento estacionado en el otro y se completa una campaña de datos. Con posterioridad se transforman las lecturas en acimutes.

Figura Número 8.- Caracterización de la desorientación

-

i j Lectura de un punto genérico: L A , L A .

-

Desorientación en A: ε A .

-

i j Acimut de un punto genérico: θ A , θ A .

Para todo punto captado desde A se verifica:

θ Ai = LiA + ε A Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

10


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.3.- PRINCIPALES METODOLOGÍAS TOPOGRÁFICAS 1.3.1.- INTRODUCCIÓN Es habitual tratar las diversas metodologías topográficas bajo el criterio de la participación por objetivos planimétricos y altimétricos. De esta forma es común entender esta clasificación: - Métodos planimétricos: . Radiación. . Itinerario. . Intersección. - Métodos altimétricos: . Nivelación geométrica. . Nivelación trigonométrica. La clasificación estaba totalmente justificada por la instrumentación existente. En la actualidad, aunque la clasificación es válida, puede establecerse otra forma de plantear las diversas metodologías basadas en la instrumentación, tal y como se estableció en el análisis de los aparatos topográficos (Unidad Didáctica II). En este apartado se establecen las directrices básicas de los diversos métodos, tratándose en cada bloque particular la aplicación concreta y caracterizada. 1.3.2.- ASPECTOS GENERALES DE LOS MÉTODOS En este apartado tan solo se establecen las bases de los tratamientos individualizados y los bloques de aplicación concreta en los restantes capítulos. 1.3.2.1.- Determinaciones planimétricas a) Radiación Un punto queda caracterizado en planta tras la definición del acimut (o lectura) conociendo la desorientación y la distancia reducida.

Figura Número 9.- Caracterización de una radiación

Se suele realizar con una estación topográfica o semiestación. También con un taquímetro. Como caso poco usual, con un teodolito y una cinta métrica. b) Itinerario o poligonal


11


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Es una sucesión encadenada de radiaciones, que permite determinar las coordenadas de las diferentes estaciones de que consta la poligonal.

Figura Número 10.- Caracterización de un itinerario

Se suele realizar con una estación topográfica o semiestación. También con un taquímetro. c) Intersección Procedimiento de posicionamiento a partir de observaciones angulares. A partir de una base se pueden calcular las coordenadas de V.

Figura Número 11.- Determinación de una intersección

De los datos de la base se obtiene la distancia reducida, AB, y tras la obtención de los ángulos α y β con un teodolito se calculan las distancias reducidas D VA y D BV .

D AB =

( x B − x A )2 + ( y B − y A )2

sen α sen β sen γ = = D VB D VA D AB

DBV =

sen α B DA senγ

Conociendo las distancias y los acimutes ya se pueden determinar las coordenadas planimétricas del punto V.


12


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.3.2.2.- Determinaciones altimétricas a) Nivelación trigonométrica Para calcular el desnivel del punto B respecto al punto A se estaciona en A y se obtienen los siguientes datos: -

Angulo cenital: V AB

-

Altura de jalón o mira: mB

-

Altura reducida: D AB

-

Altura del aparato: iA

∆Z AB = t PA + i A − m B + 0,42

D2 R

Figura Número 12.- Nivelación trigonométrica

La nivelación trigonométrica se realiza usualmente con estación topográfica, aunque también se puede ejecutar con taquímetro. b) Nivelación geométrica Para calcular el desnivel existente entre el punto B respecto al punto A se estaciona el nivel y se realizan dos lecturas a las estadías verticales. La determinación es inmediata, obteniéndose el incremento de cota mediante la expresión:

∆Z AB = m A − m B

Figura Número 13.- Nivelación geométrica


13



2. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO DE ESTACIONES TOPOGRÁFICAS


14


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.1. CONCEPTOS PREVIOS Y OBJETIVOS El equipo topográfico formado por teodolito óptico y distanciómetro (semiestación) y por teodolito electrónico y distanciómetro (estación topográfica) configura la instrumentación más habitual utilizada en los trabajos topográficos usuales. En el marco de la medición electrónica de ángulos y distancias se denomina medición total a la acción de, realizada una determinada puntería, obtener directamente los tres valores que caracterizan el posicionamiento relativo de un punto en el espacio: ángulo horizontal, ángulo vertical y distancia geométrica. Conociendo los tres datos es inmediata la evaluación de la distancia reducida y del desnivel (datos que también proporciona el equipo) entre el centro óptico del instrumento y el punto colimado.

Figura Número 14.- Fundamento del posicionamiento relativo

siendo: - Coordenadas del punto A conocidas ( x A y A z A ) . - Angulo horizontal (acimut) evaluado en campo θ AB . - Angulo cenital obtenido en campo V AB . - Distancia geométrica o reducida medida D g

B A

ó D AB .

En la actualidad impera el uso de la estación topográfica. Se trata de un equipo compacto que tiene los elementos precisos para evaluar con una puntería única los ángulos horizontal y vertical y la distancia. La estación total tiene el teodolito electrónico, y los ángulos horizontal y vertical son evaluados por medios electromagnéticos, de igual forma que la distancia. La captación directa del ángulo horizontal permite establecer el posicionamiento en planta, una vez conocida la distancia reducida, obtenida directamente o bien por concurso, de la distancia geométrica y el ángulo cenital. El posicionamiento en alzado queda patentizado en la siguiente figura.


15



Figura Número 15.- Trabajo en una estación total en alzado

En los siguientes apartados se establecerán las bases conceptuales y prácticas sobre las diferentes metodologías que utiliza esta moderna estación de trabajo que permite almacenar los datos captados en campo y con ayuda de programas existentes, volver al ordenador y calcular los datos, incluso permitir salidas gráficas de las diferentes opciones posibles. 2.2. DETERMINACIONES PLANIMÉTRICAS 2.2.1. MÉTODO DE RADIACIÓN 2.2.1.1. Concepto y resolución La radiación es un método topográfico que permite determinar la posición de un punto respecto a otro a través de mediciones angulares y de distancia. Definida así la radiación, el planteamiento o situación más frecuente será la siguiente: Se conocen las coordenadas de un punto A(xA, yA, zA) y el ángulo que forma la dirección del eje de ordenadas en A y la dirección AR, siendo R una referencia materializada en el terreno y visible desde A (bien directamente o bien situando en ella algún elemento auxiliar de puntería –jalón, mira, etc.). Se trata de conocer las coordenadas xB yB zB de un punto B, visibles desde A, a través de medidas angulares LRA , LBA y V AB y medida de distancias, ya sea la distancia geométrica o la distancia reducida en cada caso. En la bibliografía existente, los diversos autores siempre han convenido considerar la radiación como método exclusivamente planimétrico, obviándose siempre el tratamiento altimétrico que se abordaba independientemente. En la presente publicación se tratará conjuntamente, pero en distinto apartado (2.3) exclusivamente por consideraciones pedagógicas.


16


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA También suele considerarse la radiación como el método planimétrico de menor precisión, dando mucha más importancia a la poligonación, intersecciones y triangulaciones. Esto estaba perfectamente justificado, puesto que la medida de distancias con precisión conllevaba una serie de dificultades que hacían que primasen las medidas angulares, más fáciles de llevar a cabo, con precisiones mucho mayores. Pero con el uso de las estaciones topográficas se ha logrado una equivalencia casi absoluta tanto en precisión como en rendimientos con esta metodología convenientemente utilizada. 2.2.1.2. Tolerancias A) DEFINICIONES PREVIAS Cuando en una determinada operación de medida existen varias causas independientes del error accidental, el error máximo resultante es la componente cuadrática de los citados errores accidentales máximos. Pero cuando las causas de error independientes actúan en direcciones perpendiculares entre sí, el error máximo que puede presentarse como consecuencia de tales errores individuales no es la componente cuadrática correspondiente, sino igual al mayor de aquellos errores independientes, dada la poquísima probabilidad que existe de que sean simultáneos los dos valores máximos.

Figura Número 16.- Composición de errores máximos

e = e A2 + e B2 Para que pueda producirse el valor e se tienen que dar los máximos valores eA y eB, suceso poco probable. Se adopta como criterio considerar el mayor radio-vector determinado por la intersección de las direcciones establecidas y por los valores (eA y eB), que definen los valores de los dos semidiámetros. Lógicamente, se determina el valor del máximo radio-vector por su coincidencia con el mayor de los dos semidiámetros eA y e B. B) APLICACIÓN A LA RADIACIÓN Al radiar un punto, los dos focos de error surgen por la incertidumbre instrumental y de posicionamiento, al determinar el ángulo y la distancia:


17



Error angular horizontal del teodolito: ε TH

-

Error al evaluar la distancia: ∆D

Estos dos factores determinan el error transversal y el error longitudinal.

Figura Número 17.- Elipse de tolerancia

B.1.- Error transversal Conocida la distancia reducida expresión:

D AP , el error transversal viene definido por la

D ε TH et = 206265 ó 636620 siendo ε TH el error acimutal total del teodolito que tiene como parámetros fundamentales: -

Sensibilidad:

S

-

Aumentos:

A

-

Apreciación:

a

El error acimutal total viene definido por la expresión:

ε TH =

(ε v )2 + (ε d )2 + (ε p )2 + (ε l )2

siendo, para la graduación centesimal: -

Error de verticalidad:

εv =

1 S 12


18



Error de dirección:

εd = -

ee + e p

636620

Error de puntería:

εp = -

D

30  4 · A  1+ A  100 

Error de lectura:

2 3

εl = a Todas las expresiones están caracterizadas por los datos del instrumento excepto el error de dirección, que es independiente del mismo y tan solo depende de la ejecución. Estas notas que siguen son una primera aproximación a la resolución de la problemática que plantea la toma de información con distanciometría electrónica, cimentadas en la experiencia profesional. Es necesario caracterizar el error de dirección:

εd =

a* 636620 D

εd =

a* 206265 D

siendo D la distancia de radiación (distancia reducida) y a* un valor que tiene en consideración la desviación conjunta en la estación y en la puntería. Es razonable utilizar valores próximos a 2 cm. B.2.- Error longitudinal Tal y como quedó patentizado en la Unidad Didáctica II parece acertado aceptar que el distanciómetro tiene una incertidumbre en la medición de la distancia definida por la expresión: 1 cm. + 5 mm./km. en el caso del instrumento que más error proporciona entre aquellos que son utilizados de forma más habitual. En una radiación de 1.000 m., el error propio de la medición es de 1,5 cm., siendo de mayor magnitud la incertidumbre propia al defectuoso estacionamiento del doblete: estación, jalón. Por tanto, y actuando de forma globalizada para estar por completo al lado de la seguridad, se puede establecer como cota superior del error longitudinal para la radiación:

[3 + 0,5 · N ]cm. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

19



siendo N el valor de la distancia de radiación en kilómetros. Una cota superior del error, suponiendo radiaciones será 3,5 cm., suponiendo el caso más general.

de valor D≤ 1.000 m.,

2.2.2. MÉTODO DE ITINERARIO 2.2.2.1. Concepto y resolución Un itinerario o poligonal no es más que una sucesión encadenada de radiaciones que tienen como uso de los objetivos más importantes establecer las estaciones necesarias para la determinación de los puntos radiados.

Figura Número 18.- Poligonal

siendo: -

Estaciones: A, B, C, …, E, F

-

Tramos o ejes: AB, BC, …, EF

Atendiendo a la naturaleza de los puntos inicial y final de un itinerario se clasifican: -

Cerrados: La primera y última estación del itinerario coinciden en un vértice cuyas coordenadas pueden ser conocidas o no.

-

Abiertos: La primera y última estación del itinerario no coinciden en un mismo punto y, por tanto, no coinciden las coordenadas de la última estación con las coordenadas de la primera. . Encuadrados: Posición del punto inicial y final, siendo diferente se conoce a priori (se conocen las coordenadas). . Colgados: El punto final no tiene posición conocida a priori (tan solo se conocen las coordenadas del punto inicial).

Atendiendo al sistema de observación que se utiliza pueden ser: -

Itinerarios orientados.

-

Itinerarios no orientados.

En los del primer tipo, las estaciones se van enlazando con la condición de ser constante las desorientaciones en cada una de ellas o, en su defecto, siempre orientación nula. En este supuesto se cumple la condición de mantenimiento del eje de inicio a lo largo de las diversas estaciones de la poligonal.


20



Figura Número 19.- Propiedad caracterizada

En caso contrario, se van evaluando las diferentes lecturas en los tramos hasta encontrar los datos que son necesarios para definición de las diversas coordenadas. 2.2.2.2. Tolerancias A) DEFINICIONES PREVIAS Es de aplicación todo lo descrito para el caso de la radiación referente a la elipse de tolerancia. Siguen siendo vigentes los conceptos de error transversal y error longitudinal. B) DETERMINACIÓN DE LOS ERRORES TRANSVERSALES Y LONGITUDINALES B.1.- Error transversal Para determinar la relación que define el error transversal se establece una simplificación previa: -

Se consideran tramos de igual longitud: d.

-

Se considera una poligonal casi rectilínea.

Se analizan los diversos tramos por separado y se cuantifica el valor final.

Figura Número 20.- Error transversal en una poligonal


21


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Datos básicos: -

Longitud total: d · n

-

Número de tramos: n.

-

Desplazamiento EE’:

( )

B

EE ' = ε TH -

( )

C B

· d (n − 1)

Desplazamiento E’E’’’:

( )

E ' E ' ' ' = ε TH -

·d·n

Desplazamiento E’E”:

E ' E" = ε TH -

A

D

C

· d (n − 2 )

Desplazamiento último:

( )

E n −1 E n = ε TH

N

H

d

Los errores son independientes, siendo el efecto acumulado:

( )

ET ≤ d 2 · n 2 ε TH

( ) , (ε )

Los valores de ε TH

B

A

H C T B

2B

A

( )

+ d 2 (n − 1) ε TH 2

( )

, …, ε TH

N

M

2C

B

( )

+ ... + d 2 ε TH

N

son desconocidos, pero pueden sustituirse

2 , dado que se realiza

por el valor del error angular mayor multiplicado por doble medida angular (para orientar y para posicionar).

ET ≤ dε TH

2M

2 n 2 + (n − 1) + (n − 2) + ... + 12 2

2

Sumando la serie del radical:

 (n + 1)(2n + 1)  2 2 n 2 + (n − 1) + (n − 2 ) + ... + 3 2 + 2 2 + 12 =   6   Por tanto, se obtiene:

ET ≤ dε TA 2

n(n + 1)(2n + 1) → 6

d ε TH 2 206265 ó 636620

n(n + 1)(2n + 1) 6

siendo, en la realidad: d:

longitud del tramo mayor

ε TH :

error angular acimutal máximo en radianes. Corresponderá al que otorgue mayor error de dirección y, por tanto, el tramo más corto

n:

número de tramos de la poligonal


22


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA De esta forma se logra la obtención de una cota máxima de error no alcanzable. Igual que en el caso anterior, estas notas basadas en la experiencia son una primera aproximación a la resolución de encontrar las relaciones que evalúan la precisión en un itinerario. Nuevamente es necesario caracterizar al error de dirección:

a* ε d = 636620 D

εd =

a* 206265 D

siendo D la distancia de itinerario (distancia reducida) y a* un valor que tiene en consideración la desviación conjunta en la estación y en la puntería. Es razonable utilizar valores próximos a 1 cm. dado el cuidado en ambos estacionamientos y el uso generalizado de trípode para el jalón, que conseguirá un continuado posicionamiento del mismo en el punto considerado. En los itinerarios es usual realizar lecturas en círculo directo y en círculo inverso. B.2.- Error longitudinal Tal y como quedó patentizado en la Unidad Didáctica II parece acertado aceptar que el distanciómetro tiene una incertidumbre en la medición de la distancia definida por la expresión: 1 cm. + 5 mm/km. en el caso del instrumento que más error proporciona entre aquellos que son utilizados de una forma más habitual. En una poligonal de 2.000 m. el error propio de la medición es de 2 cm., siendo del mismo orden de magnitud que la incertidumbre propia al defectuoso posicionamiento del doblete: estación, jalón. Por tanto, y actuando de forma globalizada para estar por completo al lado de la seguridad, se puede establecer como cota superior del error longitudinal para un tramo de poligonal: [2+0,5 M] cm. siendo M el valor de la distancia del tramo caracterizado en kilómetros. Como en un itinerario la distancia se evalúa dos veces, el error longitudinal resulta:

[2 + 0,5 M ]cm. 2 ya que se toma como distancia definitiva la media aritmética de las dos mediciones. Para el caso usual de tramos de 2 km. se tiene:

(2 + 1) cm. = 2 cm. 2


23


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Finalmente, se debe tener en cuenta el número de tramos de la poligonal o itinerario, obteniéndose la expresión final del error longitudinal como:

el = 0,02 n 2.3. DETERMINACIONES ALTIMÉTRICAS 2.3.1. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE 2.3.1.1. Concepto y resolución La nivelación trigonométrica simple está unida a la radiación, pues, como ya se indicó, se realiza de forma conjunta. En la taquimetría tradicional o en la actualidad, con las estaciones topográficas, la expresión del desnivel (nivelación trigonométrica) existente entre dos puntos viene dada por la relación: ∆Z AB

=

t AB

+ i A − mB

(D ) + 0,42

B 2 A

R

Figura Número 21.- Relación fundamental taquimétrica

2.3.1.2. Tolerancias Las fuentes del error están incluidas, de forma significativa, en los tres primeros términos de la expresión anterior. Distancia reducida de A a B 2

∆z AB = t AB + i A − m B + 0,42 t AB = D AB cot g V AB

D R

Ángulo cenital Altura del instrumento Altura del prisma

Definidas las características del instrumento topográfico, se obtienen los siguientes valores: - Error o incertidumbre al evaluar la distancia ∆D. - Error o incertidumbre al evaluar el ángulo cenital: ε TC .


24


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA - Error o incertidumbre al evaluar la altura del aparato ei. - Error o incertidumbre al evaluar del prisma em.

Figura Número 22.- Fuentes de error en la nivelación trigonométrica

A) Aportación al error altimétrico de t AB Las incertidumbres altimétricas vienen definidas por las expresiones:

etI = ∆D AB · cot g V AB (para εv=0)

(

)

etII = D AB · cot g V AB ± ε TC − D AB · cot g V AB (para ∆D=0) siendo ∆D AB una cota del error lineal considerado para cada uno de los casos que se puedan presentar analizada en el punto anterior. B) Aportación al error altimétrico de iA La medición se realiza con una cinta métrica metálica, pudiendo estimar una cota superior del error en la medida: ei ≤ 1 cm. C) Aportación del error altimétrico de mB El valor que resulte difiere según el sistema que se utilice para la determinación de la nivelación trigonométrica. Para nivelaciones trigonométricas simples usuales, entorno a valores máximos de 1.000 m., puede establecerse un techo del orden ya definido en la segunda unidad didáctica: D < 100 m. ⇒ em = 1 cm. 100 < D < 200 m. ⇒ em = 2 cm. 200 < D < 500 m. ⇒ em = 3 cm. 500 < D < 1000 m. ⇒ em = 4 cm. 1000 < D < 2000 m. ⇒ em = 5 cm. D < 2000 ⇒ em = 10 cm.


25


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El error altimétrico total para una visual aislada será:

eL =

(∆D

B A

· cot g V AB

) + {D · [cot g (V 2

B A

B A

)

± ε TV − cot g V AB

]}

2

+ ei2 + em2

siendo:

∆D AB : Error longitudinal D AB :

Distancia entre estación y puntería (reducida)

V AB :

Angulo cenital

ε TC :


ei, em: Error altimétrico en la estación y en la puntería 2.3.2. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA COMPUESTA 2.3.2.1. Concepto y resolución La nivelación trigonométrica compuesta está unida al itinerario o poligonal, que se realiza de forma conjunta. Al ser una poligonal la metodología soporte, se realiza la nivelación calculando ∆Z BA , ∆Z BA , ∆Z CB , ∆Z CB , …

Figura Número 23.- Nivelación trigonométrica compuesta

Para la determinación de las diferentes altitudes se dispone de dos determinaciones entre estaciones, resultando como definitiva la media aritmética de las dos, siempre que la diferencia entre el valor absoluto de ambas sea tolerable. 2.3.2.2. Tolerancias La determinación de la tolerancia se realiza de la misma forma que en el caso anterior. - Error o incertidumbre al evaluar la distancia ∆D. - Error o incertidumbre al evaluar el ángulo cenital: ε TC .


26


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA - Error o incertidumbre al evaluar la altura del aparato i. - Error o incertidumbre al evaluar del prisma m. A) Aportación al error altimétrico de t AB . Las incertidumbres altimétricas vienen definidas por las expresiones:

etI = ∆D AB · cot gV AB

[

(

(para εV=0)

)

etH = D AB · cot g V AB + ε TC − D AB · cot gV AB

]

(para ∆D=0)

B) Aportación al error altimétrico de i A . La medición se realiza con una cinta métrica metálica, pudiendo estimar una cota superior del error altimétrico: ei ≤1 cm. C) Aportación del error altimétrico de m B . El valor que resulta difiere según el sistema que se utilice para la determinación de la nivelación trigonométrica. Para nivelaciones trigonométricas compuestas usuales, entorno a valores máximos de 2.000 m., puede establecerse un techo del orden de la tabla empleada para nivelaciones trigonométricas simples, pero con el rango de distancias que corresponde, motivados casi en su totalidad por la falta de definición al realizar la puntería altimétrica al prisma. Para mayores distancias, la repercusión es mayor.

Figura Número 24.- Aspectos particulares en la determinación altimétrica

El error altimétrico total para una visual aislada será:

et =

(∆D

B A

· cot g V AB

) + {D · [cot g (V 2

B A

B A

)

± ε TC − cot g V AB

]}

2

+ ei2 + em2

siendo:

∆D AB : Error longitudinal D AB :

Distancia entre estación y puntería (reducida)


27



V AB :

Angulo cenital

ε TH :


ei, em: Error altimétrico en la estación y en la puntería Para el conjunto de n tramos realizados se tendrá: Ez =

ez

n

2

2.4. CÁLCULO Y AJUSTE DE POLIGONALES 2.4.1. CONCEPTO DE COMPENSACIÓN La compensación es el ajuste matemático de los resultados obtenidos de unos datos de campo con el suficiente rigor topográfico, cuyo objetivo terminal es que el resultado final obtenido sea el deseado de antemano. El ajuste matemático se hace a través de pequeñas variaciones en los incrementos de coordenadas de las bases de la poligonal. 2.4.2. TIPOS DE POLIGONALES A COMPENSAR 2.4.2.1. Poligonales colgadas De antemano se conocen las coordenadas del punto inicial pero no las del punto final, por lo que nunca se conoce el error cometido y, por lo tanto, no hay nada que compensar.

Figura Número 25.- Geometría de una poligonal colgada

Como del punto final no se tiene comprobación formal hay que suponer que está bien. Nunca se deben dejar poligonales colgadas. 2.4.2.2. Poligonales cerradas De antemano se conocen las coordenadas del punto inicial y final ya que es el mismo y, por lo tanto, se puede obtener el error y compensarlo. Aún así, existen otros dos tipos de error no detectables, por lo que hay que evitar este tipo de poligonales: -

Errores angulares.

-

Errores distanciométricos.


28


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A) Errores en ángulos Errores angulares bien en la orientación inicial o el propio error del instrumento provocan errores no detectables en el cálculo inicial.

Figura Número 26.- Geometría del posible error angular en una poligonal cerrada

B) Errores en distancias Una poligonal con las distancias mal tomadas por el motivo que sea, produce una poligonal de error final cero, pero totalmente diferente a la buscada.

Figura Número 27.- Geometría del posible error distanciométrico en una poligonal cerrada


29


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.4.2.3. Poligonales encuadradas De antemano se conocen las coordenadas del punto inicial y final y, por lo tanto, se puede obtener el error final y compensarlo.

Figura Número 28.- Geometría de una poligonal encuadrada

Este tipo de poligonales es el ideal para compensar ya que todos sus errores se pueden detectar. 2.4.3. CONDICIÓN DE COMPENSACIÓN Para que una poligonal se pueda compensar debe cumplir que: Precisión > Tolerancia > Cierre 2.4.3.1. Precisión Es el valor máximo del error que se permite en la ejecución del trabajo, generalmente demandado por el responsable del trabajo, el cliente. En su defecto se suele tomar el límite de percepción visual a la escala correspondiente. 2.4.3.2. Tolerancia Es el valor del error esperado al realizar una poligonal con un determinado instrumento topográfico. La tolerancia puede ser planimétrica:

ε TH 2

n(n + 1)(2n + 1) et = D 636620 6

ó

D·ε* el = 0,02 n = n 100

o altimétrica:

e ALT =

n 2

(e ) + (e ) I 2 t

II 2 t

+ (ei ) 2 + (e m ) 2

2.4.3.3. Cierre Es el valor del error real que se obtiene entre las coordenadas calculadas con los datos de campo y las que se tienen a priori. El cierre puede ser planimétrico:

ε x = X OBTENIDA − X DATO Cierre =

⇔ ε Y = YOBTENIDA − YDATO

(ε X )2 + (ε Y )2


30


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El cierre puede ser altimétrico:

ε Z = Cierre = Z OBTENIDA − Z DATO 2.4.4. TIPOS Y FUNDAMENTOS DE COMPENSACIÓN 2.4.4.1. Compensación planimétrica En la actualidad existen varios métodos de compensación, como por ejemplo el ajuste por mínimos cuadrados, métodos de segundo orden, métodos lineales, etc. Debido a la dificultad existente a la hora de realizar los cálculos de forma manual, sólo se deducen métodos lineales que además de ser los más usuales, matemáticamente son fácilmente resolubles de forma manual. A) Mayor precisión en distancias que en ángulos Caso de poligonales ejecutadas con estaciones o semiestaciones totales con teodolito y distanciómetro convencional. eÁNGULOS >> eDISTANCIAS

=>

et >> el

Analizando lo que sucede en un único tramo de la poligonal, en el que se desprecia el error en distancias, dado que se ha supuesto que es mucho más pequeño, sucede lo siguiente:

Figura Número 29.- Análisis de un tramo de poligonal con error exclusivamente angular

Despreciando el error en distancia y suponiendo todo el error angular se deduce:

εX ∆Y

=

εY ∆X

Con lo que el cálculo de variaciones en los incrementos y los correspondientes incrementos compensados es el siguiente:

V∆X ii +1 =

εx

∑

n

1

V∆Yi i +1 =

∆Y

εy

∑

n

1

∆X

∆Yi i +1 ⇒

∆X ii +1

∆x * = ∆x ± V∆X ∆y * = ∆ ± V∆Y

⇒

X * = X E + ∆x * Y * = YE + ∆y *


31


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA B) Mayor precisión en ángulos que en distancias Caso de poligonales ejecutadas con taquímetros: eDISTANCIAS >> eÁNGULOS

=>

el >> et

Analizando lo que sucede en un único tramo de la poligonal, en el que se desprecia el error en ángulos, dado que se ha supuesto que es mucho más pequeño, sucede lo siguiente:

Figura Número 30.- Análisis de un tramo de poligonal con error exclusivamente distanciométrico

Despreciando el error en ángulos y suponiendo todo el error en la observación de distancias, se deduce:

εX ∆X

=

εY ∆Y


V∆X ii +1 =

εx

∑

n

1

V∆yii +1 =

∆x

εy

∑

n

1

∆y

∆xii +1 ⇒

∆y ii +1

∆x * = ∆x ± V∆x ∆y * = ∆ ± V∆y

⇒

X * = X E + ∆x * Y * = YE + ∆y *

C) Precisiones en ángulos y distancias parecidas Caso general de medir poligonales con estación topográfica de altas prestaciones, teodolito de 0,1 segundos de apreciación:

e DISTANCIAS ≅ e ÁNGULOS => el ≅ et Analizando lo que sucede en un único tramo de la poligonal, en el que no se puede despreciar ninguno de los errores, sucede lo siguiente: En este caso no se puede despreciar ninguno de los dos errores por lo que ahora los triángulos no son semejantes. Aún así, se ve perfectamente que el cierre es mayor a mayor distancia, por lo que se deduce: Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

32



εx D

=

εY D

Con lo que el cálculo de variaciones en los incrementos y los correspondientes incrementos es el siguiente:

V∆xii +1 =

εx

Dii +1

∑D n

1

V∆y

i +1 i

=

⇒

εy

i +1 i

D

∑D n

∆x * = ∆x ± V∆x ∆y * = ∆y ± V∆y

⇒

X * = X E + ∆x * Y * = YE + ∆y *

1

2.4.4.2. Compensación altimétrica La variación de los incrementos de cota se hacen proporcionales a las distancias ya que es el parámetro que más peso tiene dentro del error total altimétrico.

etI = ∆D · cot g V

[

etII = D cot g (V ± ε TC ) − cot g V

]

⇒

ei = 1 cm.

V∆Z ii +1 =

em = f ( D )

εZ n

∑D

Dii +1

l


V∆Z ii +1 =

εZ

∑D n

Dii +1

1

⇒

∆Z * = ∆Z ± V∆Z

⇒

Z * = Z E ± ∆Z *

SUPUESTO PRÁCTICO Dada la libreta de campo encuadrada, que para mayor comodidad tiene los datos promediados, debido a que la poligonal se observó en campo con lecturas en círculo directo e inverso, obtened las coordenadas compensadas de la poligonal, si los errores obtenidos lo permiten, sabiendo que ésta se observó con una estación topográfica con las siguientes especificaciones técnicas: -

Sensibilidad:

60cc

-

Aumentos:

30

-

Apreciación:

-

Distanciómetro: 10 mm. + 5 ppm.

9cc

Las coordenadas de los vértices topográficos son las siguientes: V1 [423.642,18 / 4.811.314,27 / 152,15] V2[424.021,19 / 4.812.732,18 / 159,38] V6[428.696,62 / 4.812.080,01 / 69,85]


33



RESOLUCIÓN Cálculo de acimutes:

θVV12 = ε V 1 = arc tg

379,01 = 16,6282 1417,91

θVV13 = ε V 1 + LVV 13 = 16,6282 + 110,3214 = 126,9496 ε V 3 = θVV31 − LVV13 = 326,9496 − 375,2116 = 351,738 θVV34 = ε V 3 + LVV 43 = 651,7380 + 54,3642 = 6,1022 ε V 4 = θ VV43 − LVV 34 = 206,1022 − 203,1614 = 2,908 θVV45 = ε V 4 + LVV 54 = 2,9408 + 142,7721 = 145,7129 ε V 5 = θ VV54 − LVV 45 = 345,7129 − 306,1114 = 39,6015 θVV56 = ε V 5 + LVV 65 = 39,6015 + 18,4424 = 58,0439 Cálculo de coordenadas: - Coordenadas de V3:

θ VV13 = 126,9496 DVV13 = 1915,35

X = 425.388,46 Y = 4.810.527,46 Z = 142,91

- Coordenadas de V4:

θ VV34 = 6,1022 DVV34 = 1737,63

X = 425.554,76 Y = 4.182.257,12 Z = 189,26


34


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA - Coordenadas de V5:

X = 427.138,67

θVV45 = 145,7129

Y = 4.810.873,36 Z = 141,10

DVV 45 = 2103,23 - Coordenadas de V6:

X = 428.696,77

θ VV56 = 58,0439

Y = 4.812.080,23 Z = 69,88

DVV56 = 1970,84 Cálculo del cierre:

ε x = 428696,62 − 428696,77 = −0,15m. = 15cm. ε y = 4812080,01 − 4812080,23 = −0,22m. = 22cm.

ε z = 69,85 − 69,88 = −0,03m. = 3cm. Cálculo del error planimétrico:

εV =

εd = εp =

S 60 = = 5 cc 12 12

0,01 · 636620 = 3,6 cc 1737,63

30  4 · 30  1 · 1 + = 1,5 cc · 30  100  2

2 3

ε l = · 9·

1 2

= 4,2 cc

ε TH = 5 2 + 3,6 2 + 1,5 2 + 4,2 2 = 7,6 cc et = 2103,23 ·

7,6 2 4· 5· 9 · = 0,20m. 636620 6

el = 0,02· n = 0,02 · 4 = 0,04m.


35


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Condición para poder compensar una poligonal: Precisión > Tolerancia > Cierre 20 cm. ≈ 26,6 cm. En teoría no se debería de compensar, pero como caso límite y por ser un supuesto exclusivamente didáctico, a continuación se desarrolla el procedimiento de compensación. Compensación planimétrica: - Incrementos de la coordenada x:

∆xVV13 = 1746,28  ∆xVV 34 = 166,30  n  ∑ ∆x1 = 5054,59 V5 ∆xV 4 = 1583,91  ∆xVV 56 = 1558,10  - Incrementos de la coordenada y:

∆yVV13 = −786,81   ∆yVV 34 = 1729,66  n  ∑ ∆y1 = 5107,10 V5 ∆yV 4 = −1383,76 ∆yVV 56 = 1206,87  Compensación de la Coordenada “X”: Variación en los incrementos:

15 · 786,81 = 2,31 ≈ 2cm. 5107,10 15 = ·1729,66 = 5,08 ≈ 5cm. 5107,10 15 = ·1383,76 = 4,06 ≈ 4cm 5107,10 15 = ·1206,87 = 3,54 ≈ 4cm 5107,10

V∆xVV13 = V∆xVV 34 V∆xVV 45 V∆xVV 56

Incrementos compensados:

∆xVV13* = 1746,28 − 0,02 = 1746,26 *

∆xVV 34 = 166,30 − 0,05 = 166,25 ∆xVV 45* = 1583,91 − 0,04 = 1583,87 *

∆xVV 56 = 1558,10 − 0,04 = 1558,06


36


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Coordenada “x” compensada:

xV* 1 = 423.642,18 xV* 3 = 423.642,18 + 1746,26 = 425.388,44 xV* 4 = 425.388,44 + 166,25 = 425.554,69 xV* 5 = 425.554,69 + 1583,87 = 427.138,56 xV* 6 = 427.138,56 + 1558,06 = 428.696,62 Compensación de la Coordenada “Y”: Variación en los incrementos:

22 ·1746,28 = 7,60 ≈ 7cm. 5054,59 22 = ·166,30 = 0,72 ≈ 1cm. 5054,59 22 = ·1583,91 = 6,89 ≈ 7cm 5054,59 22 = ·1558,10 = 6,78 ≈ 7cm 5054,59

V∆yVV13 = V∆yVV 34 V∆yVV 45 V∆yVV 56

Incrementos compensados:

∆yVV13* = −786,81 − 0,07 = −786,88 ∆yVV 34* = 1729,66 − 0,01 = 1729,65 ∆yVV 45* = −1383,76 − 0,07 = −1383,83 ∆yVV 56* = 1206,87 − 0,07 = 1206,80 Coordenada “y” compensada:

yV* 1 = 4.811.314,27 yV* 3 = 4.811.314,27 − 786,88 = 4.810.527,39 yV* 4 = 4.810.527,39 + 1729,65 = 4.812.257,04 yV* 5 = 4.812.257,04 − 1383,83 = 4.810.873,21 yV* 6 = 4.810.873,21 + 1206,80 = 4.812.080,01


37


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Cálculo de la tolerancia altimétrica:

etI = 0,02 · cot g (102,3143) = 0,0007 m. etII = 2103,23· [cot g (102,3143 − 0,0022) − cot g (102,3143)] = 0,07 m.

 60 = 20 cc  3  150  4 · 30  cc  C g · 1 + εp =  · 2 = 7,8  ε T = 0,0022 30  100    2 1 = 4,2 cc εl = · 9 ·  3 2 

εV =

Cálculo de la tolerancia altimétrica:

 ei = 0,01m.     e · n 12 , 2 · 4 em = 0,10m. e z = = = 17,3cm. 2 2 

e = 7 2 + 12 + 10 2 = 12,2cm.

Cálculo del cierre altimétrico:

ε Z = Z DATO − Z CALCULADA = 69,85 − 69,88 = −0,03m. Condición para poder compensar una poligonal: Precisión > Tolerancia > Cierre 17 cm. > 3 cm. Se puede compensar Compensación de la Coordenada “Z”: La variación en los incrementos de cota se hace proporcional a las distancias ya que este parámetro es el que más peso tiene dentro del error altimétrico:

∆z13 = −9,24 ∆z 34 = 46,35 ∆z 45 = −48,16 ∆z 56 = −71,22

D13 = 1.915,35   D34 = 1.737,63  n  ∑ D = 7.727,05 D45 = 2.103,23 1 D56 = 1.970,84 

Variación en los incrementos:


38



3 ·1915,35 = 0,74 ≈ 1cm. 7727,05 3 V∆z 34 = ·1737,63 = 0,67 ≈ 0cm. 7727,05 3 V∆z 45 = ·2103,23 = 0,81 ≈ 1cm 7727,05 3 V∆z 56 = ·1970,84 = 0,76 ≈ 1cm 7727,05 V∆z13 =

Incrementos compensados: *

∆z13 = −9,24 − 0,01 = −9,25 *

∆z 34 = 46,35 − 0 = 46,35 *

∆z 45 = −48,16 − 0,01 = −48,17 *

∆z 56 = −71,22 − 0,01 = −71,23 Coordenada “z” compensada:

zV* 1 = 152,15 zV* 2 = 152,15 − 9,25 = 142,90 zV* 3 = 142,90 + 46,35 = 189,25 zV* 4 = 189,25 − 48,17 = 141,08 zV* 6 = 141,08 − 71,23 = 69,85 SUPUESTO PRÁCTICO Teniendo los datos de campo de una poligonal realizada con una estación topográfica de las siguientes especificaciones técnicas: -

Sensibilidad:

60cc

-

Aumentos:

30

-

Apreciación:

25cc

sabiendo además que la poligonal tiene como origen un vértice I, finaliza en otro F, que ambos son intervisibles y se utilizan como referencia y cierre, compensad la poligonal tanto planimétricamente como altimétricamente si los errores obtenidos lo permiten. I[448.277,15 / 4.816.399,66 / 474,56] F[454.925,93 / 4.816.924,39 / 475,42]


39



RESOLUCIÓN Depuración de la libreta de campo: . Promedio horizontal:

H=

CD + (CI ± 200) 2

. Promedio vertical:

 400 − CD − CI  V = CD +   2  


40


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Cálculo de acimutes:

θ IF = arctg

∆x ∆y

= arctg

6648,78 = 94,9861 524,73

ε I = θ IF − LFI = 94,9861 − 319,8445 = 175,1416 θ IE1 = ε I + LEI1 = 175,1416 + 330,1055 = 105,2471 ε E1 = θ EII − LIEI = 305,2471 − 130,1070 = 175,1401 θ EE12 = ε E1 + LEE12 = 175,1401 + 318,3720 = 93,5121 ε E 2 = θ EE21 − LEE12 = 293,5121 − 118,3700 = 175,1421 θ EE23 = ε E 2 + LEE32 = 175,1421 + 328,5940 = 98,7361 ε E 3 = θ EE32 − LEE 23 = 298,7361 − 123,5945 = 175,1416 θ EF3 = ε E 3 + LFE 3 = 175,1416 + 303,1005 = 78,2421

ε F = θ FE 3 − LEF3 = 278,2421 − 103,1015 = 175,1406 θ FI = ε F + LIF = 175,1406 + 119,8530 = 294,9936 Cierre angular:

ε α = θ REAL − θ CALCULADO ε = 94,9861 − 94,9936 = 0,0075 Compensación angular:

Vθ =

εa N º estaciones

=

75 = 15 cc 5

θ I1 = θ I1 − 0,0015 = 105,2471 − 0,0015 = 105,2456 θ12 = θ12 − 0,0030 = 93,5121 − 0,0030 = 93,5091 θ 23 = θ 23 − 0,0045 = 98,7361 − 0,0045 = 98,7316 θ 3F = θ 3F − 0,0060 = 78,2421 − 0,0060 = 78,2361

θ FI = θ FI − 0,0075 = 294,9936 − 0,0075 = 294,9861 Cálculo de coordenadas sin compensar: Distancias reducidas:

D = Dg · senV


41


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Distancias promediadas:

D=

D1 + D2 2

Incrementos de x:

∆x = D · sen θ Incrementos de y:

∆y = D · cos θ Cálculo de coordenadas sin compensar: EST.

VIS.

ACIMUTES

ACIMUTES COMPENSADOS

I

F

94,9861

94,9861

1

105,2471

105,2456

1

1 2

2

3

F

93,5121

93,5091

INCREM. “Y”

1620,14

1620,19

1614,69

-133,35

1598,36

1590,06

162,68

2173,16

2172,73

43,30

1349,54

1271,44

452,43

1598,37 98,7361

98,7316

2173,18 2173,14

78,2421

78,2361

1349,53

3 I

INCREM. “X”

1598,34

2 F

DISTANCIAS PROMEDIOS

1620,24

1 3

DISTANCIAS REDUCIDAS

1349,55 296,9936

294,9861

Cálculo del cierre: n

ε x = ∆x IF − ∑ ∆x = 6648,78 − 6648,92 = 0,14m. 1

n

ε y = ∆y IF − ∑ ∆y = 524,73 − 525,06 = 0,33m. 1

Cierre =

ε x2 + ε y2

→ Cierre = 14 2 + 33 2 = 36cm.

Cálculo de la tolerancia:

el = 0,02 · n = 0,02 · 4 = 0,04m. et = D ·

ε TH · 2 636620

·

13,7 · 2 4 · 5 · 9 n(n + 1)(2n + 1) = 2173,16 · · = 0,36m. 6 636620 6 Tolerancia = 36 cm.


42


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Condición de compensación: Precisión > Tolerancia > Cierre 36 cm. = 36 cm. Se puede compensar

et >> el ⇒

εx ∆y

=

εy ∆x

Determinación de las variaciones: Poligonal obtenida con estación topográfica suponiendo nulo el error longitudinal, obteniéndose por semejanza de triángulos:

V∆X ii +1 =

εx

∑

n

1

V∆Yi i +1 =

∆Yi i +1

∆Y

⇒

εy

∑

n

1

∆X ii +1

∆X

∆x * = ∆x ± V∆X ∆y * = ∆y ± V∆Y

X * = X E + ∆x *

⇒

Y * = YE + ∆y *

Cálculo de las coordenadas compensadas: EST.

VIS.

I

F 1

1

V∆ ∆Y

∆X*

∆Y*

X*

Y*

448277,15

4816399,66

1614,69

-133,35

0,02

0,08

1614,67

-133,43

449891,82

4816266,23

1590,06

162,68

0,03

0,08

1590,03

162,60

451481,85

4816428,83

2172,73

43,30

0,01

0,11

2172,72

43,19

453654,57

4816472,02

1271,44

452,43

0,08

0,06

1271,36

452,37

454925,93

4816924,39

2 F

F

V∆ ∆X

1 3

3

∆Y

1 2

2

∆X

3 I

Cotas y cierre altimétrico: Cálculo de cotas:

∆z l1 = −80,82 2

D i +1 D i +1 ∆z = i i +1 + ii − m1 + 0,42 · i R tgVi

∆z12 = 16,27 ∆z 23 = 15,77 ∆z 3F = 49,72


43


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Cierre altimétrico: n

ε z = ∆z1F − ∑ ∆z = 0,86 − 0,94 = −0,08m. 1

Cierre = 8cm. Tolerancia altimétrica:

etI = 0,02 · cot g 103,192 = 0,001m. etII = 2173,16 · (cot g ...) = 0,082m. ei = 0,010m. em = 0,100m. Tolerancia =

8,2 2 + 12 + 10 2 · 4

= 18,3cm.

2

Condición de compensación: Precisión > Tolerancia > Cierre 18,3 cm. > 8 cm. Se puede compensar Compensación altimétrica: Con lo que el cálculo de variaciones en los incrementos correspondientes incrementos compensados es el siguiente:

V∆Z ii +1 =

εz n

∑D

Dii +1

⇒

⇒

∆Z * = ∆Z ± V∆Z

y

los

Z * = Z E + ∆Z *

1

Cálculo de la cota compensada: EST.

VIS.

I

F 1

1

Z* 474,56

-80,82

0,02

-80,84

393,72

16,27

0,02

16,25

409,97

15,77

0,02

15,75

425,72

49,72

0,02

49,70

475,42

2 F

F

∆Z*

1 3

3

V∆ ∆Z

1 2

2

∆Z

3 I


44



3. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO EXCLUSIVO DEL TEODOLITO


45


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.1. MÉTODO DE INTERSECCIÓN DIRECTA 3.1.1. INTRODUCCIÓN La intersección directa es un método planimétrico que sólo precisa de medidas angulares para determinar la posición de puntos. Las observaciones se realizan estacionando el teodolito en dos puntos de coordenadas planimétricas conocidas, visándose entre sí y al punto que se pretende ubicar. La intersección se denomina múltiple si se tienen más estacionamientos de los necesarios, lo que permite ejercer una comprobación de los resultados obtenidos. 3.1.2. FUNDAMENTO Y RESOLUCIÓN 3.1.2.1. Intersección directa simple Sea V un vértice topográfico cuya posición se desea conocer, y A y B dos vértices de coordenadas planimétricas conocidas.

Figura Número 31.- Datos iniciales y de campo en el cálculo de la intersección

Las coordenadas del punto V pueden obtenerse a partir de las del A o a partir de las del B calculando la distancia y la orientación correspondientes, pero en realidad se consiguen por duplicado a partir de los dos puntos para poder tener comprobación de resultados. Es fundamental observar que de este modo sólo se comprueban los cálculos, pero no las observaciones de campo, pues unas observaciones de ángulos mal tomadas darán un punto V distinto al real pero perfectamente obtenible a través del proceso de cálculo. Datos iniciales:

A( x A , y A ) y B( x B , y B ) Observaciones de campo: Obtención de lecturas: LVA LVB LBA LAB Siempre será posible la obtención de los ángulos A y B. En el caso particular de inicializar una de las lecturas, la otra sería el ángulo buscado:


46


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA ^

Si LVA = 0 ... LBA = A ^

Si LAB = 0 ... LVB = B En el caso más general, se verificará si los datos obtenidos son LVA LVB LBA LAB , los ángulos definidores de la intersección se obtienen de la forma siguiente: ^

A = LBA − LVA ^

B = LVB − LAB Con los ángulos así definidos se podrán obtener las coordenadas de V.

Figura Número 32.- Resolución numérica de la intersección directa

En cualquier caso, es conocida la distancia reducida entre A y B:

D AB =

( x B − x A )2 + ( y B − y A )2

Es necesario calcular los incrementos de coordenadas entre A y V y entre B y V:

∆x VA = D VA · sen θ AV ∆y VA = D VA · cos θ AV siendo θ AV el acimut de la dirección AV.

∆x VB = DBV · sen θ BV ∆y VB = DBV · cos θ BV siendo θ BV el acimut de la dirección BV.


47


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Evaluación de los ángulos acimutales: ^

θ AV = θ AB ± A ^

^

θ BV = θ BA ± B = (θ AB ± 200 ) ± B siendo:

θ AB = arc tg

xB − x A yB − y A

θ BA = arc tg

x A − xB y A − yB

El problema de la intersección directa queda centrado por el cálculo de las distancias reducidas D VA y DBV . En el triángulo ABV se cumple: a) Relación de la distancia reducida AB con AV:

D VA ^

=

sen B

^

D AB

V A

→ D =

^

sen V ^

sen B ^

· D AB

sen V ^

^

A+ B + V = 200 g ^ ^ ^ V = 200 −  A+ B   

b) Relación de la distancia reducida AB con BV:

DBV ^

sen A

=

^

D AB ^

sen V

V B

→ D =

sen A ^

· D AB

sen V

^

siendo V el valor angular anteriormente evaluado. De esta forma, las coordenadas de V ya son fácilmente expresables. a) Partiendo de A:

xV = x A + D VA · sen θ AV yV = y A + D VA · cos θ AV b) Partiendo de B:

xV = x B + DBV · sen θ BV yV = y B + DBV · cos θ BV


48


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.1.2.2. Intersección directa múltiple Como norma general, en cualquier observación topográfica es necesario tener comprobación de las medidas efectuadas para contrastar su bondad (por lo menos con el grado de precisión con que se trabaje) y para ello han de efectuarse siempre observaciones superabundantes que servirán para comprobar los resultados. En este problema de la intersección directa consiste en estacionar en más de dos puntos de coordenadas conocidas y efectuar observaciones al vértice y desde ellos, denominándose entonces la intersección directa múltiple. Cuando se dispone de observaciones de n puntos, la solución más exacta sería considerar las distintas combinaciones de estos n puntos, tomados de dos en dos, y efectuar con cada una de ellas la obtención de los valores de las coordenadas planas del punto considerado (xV,yv). De este modo puede analizarse la bondad de las observaciones, despreciando las erróneas y tomando los valores xv,yv medios de entre los obtenidos con cada combinación. Así, para cuatro visuales se tendría lo siguiente:

Figura Número 33.- Intersección directa múltiple

En los triángulos configurados se podrían obtener siguiendo idéntica metodología que en el anterior apartado las distancias desconocidas, tomándose los valores promedios de éstas para calcular las coordenadas de V a partir de las de B, quedando entonces esa fase de cálculo sin comprobación. Aunque parece mucho más acertado calcular por separado con los valores obtenidos de todos los posibles triángulos compartidos y, posteriormente, tomar los promedios de las xV e yV obtenidas con cada uno (es decir, se soluciona con un par de visuales y se toman luego los valores medios, dando el peso adecuado a cada uno de los valores obtenidos). 3.1.3. CÁLCULO DE LA TOLERANCIA Considerando que al realizar las dos observaciones angulares necesarias en toda se crea una zona de intersección directa se comete un error angular ε TH incertidumbre en la que es previsible que se encuentre realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura.


49



Figura Número 34.- Afección del error angular en las intersecciones directas

Teniendo en cuenta que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones angulares se pueden considerar paralelas, y como la probabilidad de que se produzcan las máximas desviaciones en ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo semieje mayor se considera la tolerancia en las intersecciones directas angulares.

Figura Número 35.- Elipse de error en las intersecciones directas angulares

Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio:

Figura Número 36.- Valor del diámetro conjugado de la elipse


50


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En la figura anterior se puede apreciar que en el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN se le puede aproximar al arco, resultando las siguientes expresiones:

VN = L · ε TH · 2 sen γ =

VN VN ⇒ VN ' = VN ' sen γ

L · ε TH · 2 VN ' = sen γ Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se conoce el semieje mayor de la elipse de error mediante las siguientes expresiones:

a 2 + b 2 = 2 ⋅ VN '2

2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ·sen γ Sumando las dos expresiones anteriores, se obtiene:

a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅VN '2 ⋅(1 + sen γ )

(a + b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 + senγ )

(a + b ) =

2 ⋅VN '⋅ 1 + sen γ

Restando esas mismas expresiones, resulta:

a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − sen γ )

(a − b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − senγ )

(a − b ) =

2 ⋅ VN '⋅ 1 − sen γ

Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente, se obtiene:

[

2 ⋅ a = 2 ⋅ VN ' 1 + sen γ + 1 − sen γ

[

2 ⋅ VN ' 1 + sen γ + 1 − sen γ 2

a=

]

]

Dada la siguiente igualdad trigonométrica:

1 γ ⋅ 1 + sen γ + 1 − sen γ = cos 2 2

[

]

se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho mas reducida del semieje mayor de la elipse:


51



a = 2 ⋅ VN '⋅ cos

γ 2

Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica se obtiene:

VN ' =

L · ε TH · 2 sen γ

γ

2 · L · ε TH · 2 · cos

a=

γ

sen γ = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2

;

γ

γ 2

γ

2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al realizar una intersección directa angular.

a=

L · ε TH sen

γ 2

siendo: L.-

distancia media entre los dos pilares y la diana.

ε TH .- error angular acimutal del teodolito. γ.-

ángulo intersección.

3.2. MÉTODO DE INTERSECCIÓN INVERSA 3.2.1. INTRODUCCIÓN El problema de la intersección inversa es un problema planteado desde hace mucho tiempo, teniendo varias soluciones gráficas y numéricas. En este problema, para determinar las coordenadas de un punto P se realizan desde él observaciones con un teodolito a tres vértices topográficos A, B y C (como mínimo), tomando los ángulos formados entre sí por las visuales a dichos puntos.

Figura Número 37.- Observación en campo, simple


52


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El método tiene ventajas desde el punto de vista de la accesibilidad, pues permite posicionar un punto P realizando una observación, al menos a tres puntos de coordenadas conocidas, sin necesidad de tomarlos como estación, sino simplemente como punterías.

Figura Número 38.- El arco capaz y su tangente ___

Dado un lado AB y un ángulo α, el arco capaz de ángulo α levantado sobre AB se obtiene trazando desde los dos extremos hacia el interior las rectas de ángulo

(π 2 − α ) con AB, siendo el punto de corte de ambas en centro del área capaz.

Al considerar la tangente T, T’, en un punto P del arco capaz se verifica que APT=ABP=2 y que BPT’=BAP=1, ya que ambos son la mitad del arco de circunferencia correspondiente. En la intersección inversa P es la solución que determina la intersección de los dos arcos capaces AB de ángulo α y BC de ángulo β, obtenidos a partir de ambo segmentos. Si ambos arcos capaces coinciden, no existe solución, denominándose al arco circunferencia peligrosa. 3.2.2. FUNDAMENTO Y RESOLUCIÓN 3.2.2.1. Intersección inversa simple La intersección inversa consiste en la observación desde un vértice, cuyas coordenadas planimétricas se pretenden obtener de otros tres cuyas coordenadas planimétricas son dato (XAYA), (XB,YB) y (XCYC). Las tres visuales PA, PB y PC proporcionan los datos necesarios para resolver matemáticamente el problema. El método de resolución es conocido por el método de Pothenot.


53



Figura Número 39.- Esquema conceptual de la intersección inversa simple

Con los datos de partida se obtienen las distancias reducidas: A(XAYA) B(XBYB)

D AB =

( X B − X A )2 + (YB − YA )2 ( X C − X B )2 + (YC − YB )2

DBC =

B(XBYB) C(XCYC)

Hay que evaluar las coordenadas del punto P(XY); para ello se estaciona el teodolito en P y se evalúan los ángulos α y β. Con las coordenadas de los tres vértices A, B y C, y los ángulos evaluados en campo α y β, se obtienen las coordenadas del vértice P. Se establece el valor de la diagonal común PB en ambos triángulos y se iguala: ^

DPB

D AB = ^ sen A sen α

sen A → D = a· sen α

DPB

sen C → D = b· sen β

B P

^

DBC = ^ sen C sen β ^

B P

^

^

sen A sen C = b· a· sen α sen β

sen C

→

^

sen A

=

a sen β · b sen α

^

sen A ^

sen C

=

b · sen α =M a · sen β

En el cuadrilátero PABC se verifica:


54


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA ^ ^ ^   A+ C = 400 g −  α + β + B  = N  

En ambas igualdades M y N son valores numéricos conocidos, fácilmente evaluables: ^

^

C=N−A ^

^ ^   → sen A = M · sen N − A   

sen A =M ^   sen  N − A   

^ ^ ^   sen A = M  sen N · cos A− cos N · sen A =   ^

^

= M · sen N · cos A− M ·cos N · sen A ^

^

sen A [1 + M · cos N ] = [M · sen N ] · cos A Denominando:

1 + M · cos N = I M · sen N = J Resulta: ^

^

I· sen A = J · cos A De donde se deduce: ^

tg A =

J I

^

→

A = arc tg

J I

^

Obteniendo el valor de A , el de C es inmediato: ^

^

C=N−A ^

Conociendo los ángulos los enfoques diferentes:

^

A y C pueden calcularse las coordenadas de P desde ^

θ AP = θ AB + A ^  sen  A− α    D AP = a · sen α

^

θ CP = θ CP − C ^ ^ sen  C + B    C CP = b · sen β


55



∆x AP = D AP · sen θ AP

∆xCP = DCP · sen θ CP

∆y AP = D AP · cos θ AP

∆y CP = DCP · cos θ CP

x p = x A + ∆x AP

x p = xC + ∆xCP

y p = y A + ∆y AP

y p = y C + ∆y CP

Figura Número 40.- Evaluación de los acimuts

De esta forma se puede comprobar la bondad de los cálculos, aunque no las observaciones de campo, pues se ha evaluado con el mínimo número de datos para la obtención de la solución. 3.2.2.2. Intersección inversa múltiple Cuando se quieren situar varios puntos a partir del conocimiento de tres vértices topográficos con coordenadas conocidas, la metodología es idéntica.

Figura Número 41.- Pothenot múltiple


56


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Los datos iniciales son A(xAyA), B(xByB) y C(xCyC), y los datos cogidos en campo, los seis ángulos: α1 β 1 α2 β2 α3 β3. En todos los triángulos se verifican las siguientes igualdades:

DPB2 DPB3 = ; sen α 3 sen β 2

DPB1 DPB2 = ; sen α 2 sen α 1

DPB1 a = ; ^ sen α 1 sen A

DPC3 ^

sen C

=

b sen β 3

Multiplicando miembro a miembro:

a ^

sen α 1 · sen α 2 · sen α 3 · sen C

b

=

^

sen β1 · sen β 2 · sen β 3 · sen A ^

a sen α 1 · sen α 2 · sen α 3 · sen C = ^ b sen β · sen β · sen β · sen A 1 2 3 ^

sen A ^

sen C

=

b · sen α 1 · sen α 2 · sen α 3 =M a · sen β 1 · sen β 2 · sen β 3

En el polígono ABCP3P2P1 se verifica (n=número de vértices, para el caso n=6): ^

^

A+ C = 200 (6 − 2 ) − (B + α 1 + α 2 + α 3 + β 1 + β 2 + β 3 ) = ^

^

(

)

A+ C = 800 g − B + α 1 + α 2 + α 3 + β 1 + β 2 + β 3 = N

  ^ = M ^ ^  C = N − A  sen C  ^ ^ A+ C = N  ^

sen A

^

^ ^   = M → sen A = M sen N − A   ^   sen( N − A)

sen A

^ ^   sen A = M  sen N · cos A − cos N · sen A =   ^

^

= M · sen N · cos A − M · cos N · sen A ^

^

^

sen A + M · cos N · sen A = M · sen N · cos A ^

^

sen A [1 + M · cos N ] = M · sen N · cos A


57


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Denominando:

1 + M cos N = I M sen N = J Resulta:

I · sen A = J · cos A De donde se deduce:

sen A J = tg A = cos A I ^

→

A = arc tg

J I

^

obteniendo el valor de A , el de C es inmediato. 3.2.2.3. Procedimiento de Hamsen Cuando se quieren situar dos puntos a través del conocimiento de dos vértices topográficos de coordenadas conocidas, el procedimiento es muy parecido.

Figura Número 42.- Procedimiento de Hamsen ^

^

^

Los datos iniciales son A[xA,yA] y los datos cogidos en campo los ángulos 1 , 2 , 3 y ^

4 , verificándose las siguientes igualdades: (1) ⇒

P1 A ^

=

sen B (2) ⇒

P1 P2 ^

sen 6

a ^

(3) ⇒

sen1 =

P1 A ^

sen 3

BP2 ^

=

sen 2 (4) ⇒

a ^

sen 4

P1 P2 ^

sen 5 =

BP2 ^

sen A


58


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA ^

^

(1=2) ⇒

a · sen B ^

=

^

sen 6 ^

^

^

a · sen A

=

^

sen 4 ^

^

a · sen B sen 6 ^

=

^

^

^ ^

sen B ^

^

^

^

sen 2 · sen 4 · sen 6

=

^

^

sen 2 · sen 4

^

M =

^

a· sen A · sen 5

sen 1 · sen 3 sen A

^

sen 2 · sen 4 ^

P1 P2 =

^

a · sen A · sen 5

→ P1 P2 =

^

sen 5

^

sen 1 · sen 3

^

P1 P2 · sen 2

^

a · sen B · sen 6

→ P1 P2 =

^

sen 1 (3=4) ⇒

^

P1 P2 · sen 3

^

^

sen1 · sen 3 · sen 5 ^

^

^

^

^

^

400 = 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ A+ B ^

^

^

^

^

^

^

^

N = A+ B = 400 − 1− 2− 3− 4− 5− 6 ^ ^   sen A = M · sen( N − A)  sen A  M = ^ ^ ^ ^     sen B  sen A = M  sen N · cos A− cos N · sen A     ^ `  ^ ^  N = A+ B  sen A · [1 + M · cos N ] = [M · senN ] · cos A  ^

^

^

I sen A = J ·cos A ^ ^ I = 1 + M · cos N  J → A = arctg  tan g A = J = M · sen N  I ^

^

B=N−A

  J  I  

θ AP = θ AB ±  6+ A  ^

^

1





^

P1 A

D =

a · sen B ^

sen1 X P1 = X A + D AP1 · sen θ AP1 YP1 = Y A + D AP1 · cos θ AP1


59


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA SUPUESTO PRÁCTICO Con el objetivo de implantar a lo largo de una explotación minera a cielo abierto una red de vértices topográficos, desde los cuales realizar las diferentes actividades topográficas a desarrollar dentro de cualquier explotación minera, se llevan a cabo las siguientes actividades topográficas:

Sabiendo que las coordenadas de A y B son: A[410.256,256 / 4.802.325,444] B[407.491,296 / 4.801.555,318] obtener las coordenadas de los vértices P1, P2, P3, P4, y P5.


60


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA RESOLUCIÓN Cálculo de promedios:

Identificación de las observaciones:

Figura Número 43.- Esquema de las observaciones realizadas en campo


61


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Resolución de Hamsen:

D AB = ∆X 2 + ∆Y 2 = 2.870,208m.

Figura Número 44.- Determinación de los ángulos del Hamsen ^

^

1 = 85,8278

2 = 74,7935

^

^

3 = 17,9950

4 = 53,7423

^

^

5 = 53,4692

6 = 21,3836

 ^ J  = M = A ^ ^ ^ ^  I = 1 + M · cos N  = arctg I    sen B sen1 · sen 3 · sen 5  ^ J = M · sen N  ^   ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ C=N−A   N = A+ B = 400 − 1− 2− 3− 4− 5− 6 ^

^

sen A

^

^

sen 2 · sen 4 · sen 6

^

^

A = 49,6641

B = 43,1244

Resultado de las Coordenadas del Hamsen:

P1 = [409.031,156 / 4.803.704,280] P2 = [406.906,765 / 4.804.192,316] P3 = [411.557,460 / 4.804.177,962] Resolución de la Intersección Inversa Múltiple:

Figura Número 45.- Determinación de los ángulos de la Intersección Inversa Múltiple


62



α 1 = 59,7026

α 2 = 80,9144

β1 = 73,5666

β 2 = 47,6311 ^

B = 173,8248 ^

M =

sen A ^

=

sen C

b · senα 1 · sen α 2 · senα 3   a · sen β 1 · senβ 2 · senβ 3  

I = 1 + M · cos N J = M · sen N ^

^

I · sen A = J cos A ^

tag A =

^ J J → A = arctg I I ^

^

C = N −A P4 = [410.681,866 / 4.806.359,769] P5 = [408.557,474 / 4.806.661,203]

^

⇐

A = 87,5036 ^

C = 76,8569

Figura Número 46.- Esquema final de las observaciones


63


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.2.3. EL ERROR EN LA INTERSECCIÓN INVERSA Analizando el comportamiento del acimut frente a pequeñas variaciones angulares, en definitiva los errores angulares, se llega al análisis del error en las intersecciones inversas.

Figura Número 47.- Comportamiento del acimut frente a pequeñas desviaciones angulares

Analizando el problema matemáticamente, se deduce:

tgθ PA =

XA − XP Y A − YP

Y − YP X − XP 1 dθ PA = A · dx − A · dy 2 A 2 cos θ P (Y A − YP ) (Y A − YP ) 2 cos θ PA = dθ PA =

Y A − YP

(D )

A 2 P

Y A − YP DPA

· dx −

XA − XP

(D )

A 2 P

· dy

Si las variaciones de acimut establecidas como errores angulares se aplican a cada una de las observaciones realizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones:

  sen θ PA cos θ PA A θ d = · dy − · dx   P A A A 2 A 2 DP DP DP DP   B B   θ θ − − sen Y Y X X cos  P P dy − dx cos θ PA = A A P ; sen θ PA = A A P  dθ PB = · ·  DP DP  DPB DPB  A A C C   sen θ P sen θ P cos θ P cos θ P A C  dθ P = dθ P = · dx − · dy · dy − · dx    DPA DPA DPC DPC

dθ PA =

Y A − YP

( )

· dx −

XA − XP

( )

· dy

Y si se tiene en cuenta que los ángulos de una intersección se obtienen por diferencia de lecturas o acimutes, ya se puede establecer el error angular cometido al determinar α y β:

α = θ PA − θ PB

⇒ dα = dθ PA − dθ PB

β = θ PC − θ PB

⇒ dβ = dθ PC − dθ PB


64



 senθ PB senθ PA   cos θ PB cos θ PA  dα =  − · dy − −    · dx B B DPA  DPA   DP  DP  senθ PC senθ PB   cos θ PC cos θ PB  dβ =  − · dy − −    · dx C C DPB  DPB   DP  DP 1 = rA DPA

1 = rB DPB

;

;

1 = rC DPC

Además, la ecuación vincula otros parámetros ya conocidos y el error objeto de análisis, que en definitiva no dejan de ser más que los semidiámetros de la elipse de error:

[ dβ = [r

] [ ]· dy − [r

] ]· dx

dα = rB · sen θ PB − rA · sen θ PA · dy − rB · cos θ PB − rA · cos θ PA · dx C

· sen θ PC − rB · sen θ PB

C

· cos θ PC − rB · cos θ PB

dα ≅ dβ ≅ ε TH   1 rA ; rB ; rC =  dx ; dy D A B C θ P ; θ P ; θ P  Denominando “r” a la inversa de las distancias, surge la figura geométrica que permite evaluar el error de una intersección inversa, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Figura Número 48.- Geometría fundamental del error en la intersección inversa

que, en definitiva, permiten obtener el error en la intersección inversa. 2

2

error = dx + dy =

ε TH · 2 2· S

· L2mayor + L2medio

Siendo:

ε TH = ε v2 + ε d2 + ε p2 + ε l2 Lmayor = lado mayor triángulo Lmenor = lado medio triángulo S = superficie triángulo Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

65



4. MÉTODOS BASADOS EN EL EMPLEO EXCLUSIVO DEL DISTANCIÓMETRO


66


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 4.1. LA DISTANCIOMETRÍA Siguiendo un desarrollo paralelo a los métodos angulares, las posibles operaciones o procedimientos sustitutivos de las intersecciones directas, intersecciones inversas y triangulación serían la intersección directa de distancias, intersección inversa de distancias y trilateración, aunque en el caso anterior sería muy sencillo pasar, en cálculos, de distancia a ángulo y seguir la metodología habitual de la forma siguiente. El conocimiento de (xI,yI) y (xII,yII) permite conocer:

DIII =

(xII − xI )2 + ( y II − y I )2

Medidas DIV y DIIV, se calcula α ó β según:

(D ) = (D ) + (D ) V 2 II

II 2 I

V 2 i

− 2 ⋅ DIII ⋅ DIV ⋅ cos α

( ) ( ) ( )

 DV 2 − D II − DV II I I II V  2 ⋅ D ⋅ D I I 

α = Arc cos

2

   

4.2. INTERSECCIÓN DE DISTANCIAS En el establecimiento de la posición de puntos por medio de la medición de distancias, para el caso de dos pilares PI(xI,yI) y PII(xII,yII), establecidas las distancias, las coordenadas del punto V se obtienen en el sistema referencial definido por los pilares mediante las expresiones:

(xV − xI )2 + ( yV − yI ) 2 = (DIV )2  2 2 ( xV − xII ) 2 + ( yV − y II ) = (DIIV ) 

Figura Número 49.- Esquema genérico de la trilateración

El sistema se caracteriza porque tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, por lo que se puede resolver de forma sencilla y estricta. Este procedimiento de resolución otorga a la distancia dos propiedades características que la diferencian


67


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA del observable angular, la primera es la total independencia del observador, y la segunda, y no por ello menos importante, la pérdida de protagonismo de la posición del instrumento topográfico en los vértices de coordenadas conocidas, quedando el concepto de intersección directa e inversa restringido a la determinación de la ubicación del instrumento dentro de los vértices del triángulo. Al igual que en las observaciones angulares es necesario continuar con los sistemas en los que se observa la distancia de forma múltiple, obteniendo un sistema más complejo, pero con redundancia de datos, que permite obtener comprobaciones y errores, generando así las llamadas intersecciones múltiples de distancia.

Figura Número 50.- La distancia en la intersección inversa múltiple

( xPI − xD ) 2 + ( y PI − y D ) 2 = ( DPID ) 2 D 2 ( xPII − xD ) 2 + ( y PII − y D ) 2 = ( DPII ) D ( xPIII − xD ) 2 + ( y PIII − y D ) 2 = ( DPIII )2

..................................................... ( xP − xD ) 2 + ( y P − y D ) 2 = ( DPD ) 2 El tradicional sistema indeterminado, pero con más ecuaciones que incógnitas, requiere de un procedimiento que lo sustituya, lo mecanice y consiga tener un tratamiento estadístico adosado. En este caso, en el que existen más ecuaciones que incógnitas, existe redundancia de datos y partiendo de la matriz de residuos, se puede obtener interesante información que refleje la bondad del resultado obtenido. 4.3. CÁLCULO DE LA TOLERANCIA Considerando que al realizar las dos observaciones distanciométricas necesarias en toda intersección directa se comete un error en la medida de la distancia εD, se genera una zona de incertidumbre en la que es previsible que se encuentre realmente la posición del punto objeto de determinación, tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:


68



Figura Número 51.- Afección del error distanciométrico en las intersecciones directas

Considerando que en el entorno de la intersección de visuales, las desviaciones distanciométricas se pueden considerar perpendiculares, y que la probabilidad de que se produzcan las máximas desviaciones en ambas visuales es mínima, se encaja en el interior del polígono una elipse cuyo semieje mayor se considera la tolerancia de las intersecciones directas distanciométricas.

Figura Número 52.- Elipse de error en las intersecciones directas distanciométricas

Para el establecimiento del semieje mayor de la elipse de error es necesario apoyarse en la teoría de los diámetros conjugados de una elipse formulada por Apolonio:

Figura Número 53.- Valor del diámetro conjugado de la elipse


69


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA En la figura anterior se puede apreciar que en el triángulo VNN’, VN’ es el diámetro conjugado, cuyo valor es de fácil obtención partiendo de que al valor VN coincide con el valor del error absoluto en la medición de las distancias, resultando las siguientes expresiones:

VN = ε D VN VN ⇒ VN ' = VN ' senγ

sen γ =

VN ' =

εD sen γ

Aplicando la teoría de los diámetros conjugados se puede obtener el semieje mayor de la elipse de error mediante las siguientes expresiones:

a 2 + b 2 = 2 ⋅ VN '2

2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ·sen γ Sumando las dos expresiones anteriores, resulta:

a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅VN '2 ⋅(1 + sen γ )

(a + b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 + senγ )

(a + b ) =

2 ⋅VN '⋅ 1 + sen γ

Restando esas mismas expresiones:

a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − sen γ )

(a − b )2 = 2 ⋅ VN '2 ⋅(1 − senγ )

(a − b ) =

2 ⋅ VN '⋅ 1 − sen γ

Sumando ahora las dos expresiones deducidas anteriormente, se obtiene:

[

2 ⋅ a = 2 ⋅ VN ' 1 + sen γ + 1 − sen γ

[

2 ⋅ VN ' 1 + sen γ + 1 − sen γ 2

a=

]

]

Dada la siguiente igualdad trigonométrica:

1 γ ⋅ 1 + sen γ + 1 − sen γ = cos 2 2

[

]

Se puede sustituir, obteniendo una expresión mucho más reducida del semieje mayor de la elipse:


70



a = 2 ⋅ VN '⋅ cos

γ 2

Sustituyendo el valor de VN’ ya determinando y la igualdad trigonométrica:

VN ' =

εD

γ

sen γ

γ

sen γ = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2

;

2 · ε D · cos

a=

γ

γ 2

γ

2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 Conformando definitivamente dicho semieje de la elipse de error la tolerancia o error esperado al realizar una intersección directa angular.

εD

a=

2 ⋅ sen

γ 2

siendo: L.- distancia media entre los dos pilares y la diana. ε.- error absoluto en la medida de la distancias. γ.- ángulo intersección. SUPUESTO PRÁCTICO Definida una base topográfica en el terreno: A[423.147,915 / 4.800.399,456] B[424.007,864 / 4.800.298,735] obtened las coordenadas de un punto P sabiendo que para la determinación de éstas se ha llevado a cabo una intersección de distancias, resultando los siguientes valores:

DPA = 615,743m.

;

DPB = 938,425m.

Sabiendo que el distanciómetro con el que se ha realizado la medición tiene un error absoluto de 6 mm. + 4 ppm., obtened la tolerancia esperada de la medición. Nota: Con el objetivo de homogenizar los resultados considerad que estacionado el distanciómetro en el punto P, el punto A se encuentra a la izquierda del punto B.

RESOLUCIÓN Coordenadas del punto “P”:


71



Figura Número 54.- Geometría de la observación distanciométrica

Base topográfica:

∆x = 859,949

θ AB = 100 + arctg

∆y = 100,721

100,721 = 107,4225 g 859,949

D AB 100,7212 + 859,949 2 = 865,827 m.

Figura Número 55.- Datos disponibles de la intersección distanciométrica

Ángulos de la intersección:

c 2 = a 2 + b 2 − 2· a · b · cos γ

 a2 + b2 − c2  2· a · b

γ = ar cos

  

 615,743 2 + 938,425 2 − 865,827 2 γ = ar cos 2· 938,425· 615,743 

  = 70,8953 g 


72



865,827 938,425 = sen 70,8935 sen α

=>

α = 85,0465 g

865,827 615,743 = sen 70,8935 sen β

=>

β = 44,0582 g

Coordenadas del punto P:

θ AP = θ AB + α = 107,4225 + 85,0465 D AP = 615,743 X = 423.220,585 Y = 4.799.788,016 Error planimétrico del punto P:

Error =

D·ε 2 · sen

E ABS =

(e

e

E ABS D = γ 2 · sen 2

D·

γ 2

=

+ e p ) + ( Amm + Bppm )

Error =

n

=

E ABS 2 · sen

20 + 6 + 4 2

γ 2

≈ 21mm.

21 = 28mm. ≅ 3cm. 70,8953 2 · sen 2 Error = 4 cm.


73



APUNTES


UNIDAD DIDÁCTICA IV

FOTOGRAMETRÍA

Profesor Responsable: Julio Manuel de Luis Ruiz.


1



UNIDAD DIDÁCTICA IV FOTOGRAMETRÍA 1. INTRODUCCIÓN A LA FOTOGRAMETRÍA 1.1. DEFINICIÓN Y ASPECTOS GENERALES 1.1.1. Definición 1.1.2. Fotogrametría y fotointerpretación 1.1.3. Diferencias entre fotografía aérea y mapa 1.1.4. Ventajas de la fotografía como fuente de información 1.1.5. Antecedentes históricos 1.2. EL PROCESO FOTOGRAMÉTRICO 1.2.1. La cámara métrica 1.2.2. Controles generalizados en las cámaras métricas 1.2.3. Emulsiones tipo y características principales 1.2.4. Soportes de emulsión 1.2.5. El proceso fotográfico 1.2.6. Calidad de la imagen fotográfica 1.3. CARACTERIZACIÓN GEOMÉTRICA DE UN FOTOGRAMA AISLADO 1.3.1. Concepto de escala 1.3.2. Explotación gráfica de un fotograma aéreo 1.4. LA ESTEREOSCOPÍA 1.4.1. La visión estereoscópica 1.4.2. El par estereoscópico 1.5. LA FOTOINTERPRETACIÓN 1.5.1. Aspectos significativos 1.5.2. Interpretación del relieve 1.5.3. Elementos de geografía humana 1.6. LA ORTOFOTOGRAFÍA 1.7. APLICACIONES DE LA FOTOGRAMETRÍA 1.7.1. Aplicaciones topográficas 1.7.2. Aplicaciones en ingeniería civil 1.7.3. Aplicaciones no topográficas 2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Y EL MÉTODO GENERAL DE LA FOTOGRAMETRÍA 2.1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA FOTOGRAMETRÍA 2.1.1. Haz perspectivo 2.1.2. Definición de un haz perspectivo por sus datos internos 2.1.3. Determinación de la posición en el espacio de un haz 2.1.4. Identificación de rayos homólogos 2.1.5. Restitución


2


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.2. MÉTODO GENERAL DE LA FOTOGRAMETRÍA 2.2.1. Introducción 2.2.2. Orientación interna y externa 2.2.2.1. Orientación interna 2.2.2.2. Orientación externa 3. RESTITUCIÓN FOTOGRAMÉTRICA 3.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE GEORREFERENCIACIÓN 3.2. CONTRIBUCIÓN DE LA FOTOGRAMETRÍA A LA CAPTURA DE INFORMACIÓN GEORREFERENCIADA 3.2.1. Restitución analógica 3.2.2. Restitución numérica 3.2.3. Restitución analítica 3.3. LA RESTITUCIÓN DIGITAL 3.3.1. Tratamiento digital de la imagen 3.3.2. La restitución digital 3.3.3. La ortoimagen digital 4. ACTIVIDADES FOTOGRAMÉTRICAS 4.1. ESQUEMA GENERAL 4.2. EL PROYECTO DE VUELO 4.3. APROXIMACIÓN DE COSTES 5. FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE CON CÁMARAS MÉTRICAS 5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. LA TOMA FOTOGRÁFICA 5.3. PRINCIPALES RELACIONES DE SEMEJANZA 5.4. EVALUACIÓN DE ERRORES Y SU INFLUENCIA PARA PROYECTAR TOMAS FOTOGRÁFICAS 5.5. APLICACIONES CARACTERIZADAS 5.5.1. Catedral de Calahorra 5.5.2. Iglesia de los Jesuitas (Santander)


3



1. INTRODUCCIÓN A LA FOTOGRAMETRÍA


4


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.1. DEFINICIÓN Y ASPECTOS GENERALES 1.1.1. DEFINICIÓN Etimológicamente, la palabra fotogrametría significa la métrica de lo escrito con luz. Es, en esencia, la ciencia que utiliza la fotografía para hacer medidas, y su aplicación es extensiva a numerosas áreas de conocimiento. Según Bonneval, la fotogrametría es la técnica cuyo objetivo es estudiar y definir con precisión la forma, dimensiones y posición en el espacio de un objeto cualquiera, utilizando medidas hechas sobre una o varias fotografías. 1.1.2. FOTOGRAMETRÍA Y FOTOINTERPRETACIÓN El empleo de las fotografías aéreas de eje vertical puede utilizarse de dos formas diferenciadas: -

Fotointerpretación: Estudio pormenorizado de las fotografías con el objetivo de analizar fenómenos de muy variada tipología.

-

Fotogrametría: Técnica para realizar mapas y planos a partir de las fotografías de eje vertical.

1.1.3. DIFERENCIAS ENTRE FOTOGRAFÍA AÉREA Y MAPA Las fotografías aéreas de eje vertical son resultado de una perspectiva cónica, estando sujetas a unos condicionantes geométricos que impiden su empleo como mapa pero que le complementa de una forma muy eficaz. Las diferencias fundamentales entre un mapa y una fotografía son las siguientes: A) Diferencia de contenido. -

La cantidad de información en una fotografía es infinita y en un mapa limitada.

-

En la fotografía la información no está jerarquizada, en el mapa sí, y además se puede añadir simbología adicional, toponimia, etc.

-

La fotografía presenta una información integral y objetiva, mientras que el mapa está confeccionado siguiendo ciertas reglas. La información es subjetiva.

B) Diferencias cuantitativas. -

El mapa es una proyección plana mientras que la fotografía es una perspectiva, no configurando un documento con propiedades métricas.

-

No proporciona una información numérica fiable y la información altimétrica no existe a nivel de fotograma aislado.

1.1.4. VENTAJAS DE LA FOTOGRAFÍA COMO FUENTE DE INFORMACIÓN Una fotografía es la imagen permanente de un determinado objeto, obtenida por la acción de la luz sobre un soporte y ofrece una serie de ventajas: -

Se obtienen representaciones completas de los objetos, información objetiva y el registro es instantáneo.


5



Material relativamente económico, existiendo manipulación y conservación del mismo.

facilidad

en

la

-

Posibilidad de tratar objetos en movimiento y de pasar a imagen digital mediante escaneado.

-

El proceso de toma de información y el posterior de medida no perturban el objeto a estudiar.

-

Gran rendimiento cuando se trata de grandes extensiones de superficie.

1.1.5. ANTECEDENTES HISTÓRICOS La fotografía fue inventada en 1828 por Niepce. Las primeras fotografías aéreas fueron tomadas desde un globo en 1855 por Tournachon, fotógrafo de París, que usaba el nombre de Nadar. Por esa época las placas impresionadas debían ser reveladas inmediatamente, hasta que en 1880 aparecieron las emulsiones al gelatinobromuro. Pero la aeronáutica no experimentó ningún avance en esa época. Con la aparición del dirigible aumentaron las posibilidades del empleo eficaz de la fotografía aérea, que fue absoluta con la aparición del avión. Fechas con marcada significación de avance: . 1914: Utilización con fines de reconocimiento. . 1925: Película de rollo continuo. . 1930: Nuevas emulsiones. . 1939: Gran desarrollo de la fotointerpretación. . 1960: Fotografía desde satélites artificiales. 1.2. EL PROCESO FOTOGRAMÉTRICO 1.2.1. LA CÁMARA MÉTRICA Las fotografías usualmente empleadas como base de información son tomadas por cámaras de gran formato, similares en funcionamiento a las normales, con la salvedad de que en ellas se pueden determinar con precisión sus elementos internos. La cámara métrica se compone de los siguientes elementos:

Figura Número 1.- Esquema de cámara métrica


6


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA A.- Objetivo Es la parte óptica de la cámara, tiene por misión lograr que los rayos luminosos se junten en el centro del objetivo. Puede considerarse como el vértice de la proyección y contiene o define los siguientes elementos: -

Distancia focal: Es la distancia desde el centro óptico del objetivo hasta el plano focal, donde se ubica la placa con material sensible a la luz. Se consideran objetivos normales los que tienen una distancia focal aproximada a la diagonal del cliché que impresionan.

-

El obturador: Mecanismo que mantiene cerrado el objetivo para que entre la luz en el momento deseado.

-

El diafragma: Permite al operador graduar la abertura del objetivo. Tiene por misión limitar la cantidad de luz que llega al plano focal.

Los lentes de los objetivos se clasifican según su campo en: Campo (2α α)

Focal

Angulo pequeño

60o

∼ 300 mm.

Angulo normal

80o

∼ 200 mm.

Gran angular

90o

∼ 150 mm.

Súper gran angular

120o

∼ 88 mm.

Pudiéndose deducir fácilmente α = arc tg

162 de la siguiente figura f

Figura Número 2.- Expresión gráfica de la relación fundamental

B.- Cono interior Mantiene el conjunto de lentes solidario con la superficie superior del cono, que coincide con la del plano focal. Además de la impresión fotográfica del terreno, en un cliché fotogramétrico hay otras informaciones que quedan impresas mediante un sistema auxiliar de iluminación sincrónica con la apertura del obturador. Son las siguientes:


7



Marcas fiduciales para definir el punto principal.

-

Altitud registrada en un altímetro barométrico.

-

Inclinación aproximada del eje principal, dado por un nivel esférico.

-

Número y tipo de la cámara.

-

Distancia principal.

-

Hora dada por la fotografía de un reloj.

-

Número de la fotografía dada por un sistema numerador que avanza una unidad en cada exposición. Tiene cuatro dígitos.

-

Lugar para anotaciones (en la cámara, antes de comenzar el vuelo). Puede haber alguna información más si la cámara lleva acoplado algún aparato auxiliar.

C.- Plano focal Es el definido por las marcas o señales fiduciales materializadas en la parte superior del cono interior y situado, por construcción, a una distancia igual a la principal de la pupila de salida del objetivo. D.- Cono exterior y cuerpo de cámara Tienen como misión soportar el cono interior, mantener la parte del motor y servir de apoyo al almacén de material fotosensible. E.- Motor Proporciona la energía necesaria para abrir y cerrar el obturador, operar el sistema de vacío para asegurar la planeidad de la película y deslizar ésta de una exposición a otra. Un ciclo completo de trabajo comprende: -

Desconectar el sistema de vacío.

-

Avance de la película.

-

Conexión del sistema de vacío.

-

Iluminación del sistema auxiliar para información complementaria.

-

Apertura del obturador.

-

Cierre del obturador.

La frecuencia de este ciclo depende de la velocidad del avión, la altura de vuelo y el recubrimiento longitudinal. F.- Almacén Sus funciones son: -

Guardar en recipiente hermético la película expuesta y en otro la que esta sin exponer.

-

Hacer avanzar la película la longitud adecuada entre dos exposiciones.

-

Alojar el mecanismo de planeidad.


8


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Con el formato 23x23 cm., un almacén guarda un rollo de 120 m. de película, que permite hacer 475 exposiciones. A medida que la película va pasando del rollo no impresionado hacia el impresionado, va haciendo girar una ruedecilla deslizante que mueve un contador digital para informar en todo momento de la cantidad de película que queda. Este mismo mecanismo tiene a su cargo la indicación de avance de película a cada cierto número de vueltas de la ruedecilla. 1.2.2. CONTROLES GENERALIZADOS EN LAS CÁMARAS MÉTRICAS A.- Cuadrícula A efectos de estudiar y tener en cuenta las deformaciones sufridas por el material desde su exposición hasta su utilización en la restitución, puede incorporarse a la fotografía una cuadrícula de precisión en el momento de la exposición. Puede hacerse con una placa ante el material negativo con las cruces grabadas en la superficie superior o mediante una placa similar colocada por detrás e impresionada a través del soporte de la emulsión. B.- El calibrado de las cámaras métricas Una vez que el fabricante ha controlado independientemente cada componente y los ha montado formando la cámara métrica, el conjunto debe calibrarse para determinar las características métricas que comprenden los parámetros internos que hacen posible la reconstrucción de los haces y algunos más. Esta operación debe repetirse a intervalos regulares. Los resultados de un proceso de calibrado son los siguientes: -

Distancia focal del objetivo.

-

Posición del punto principal respecto a las marcas fiduciales.

-

Distorsiones radial y tangencial.

-

Planeidad del plano focal materializado por las marcas fiduciales.

-

Posiciones relativas o distancia entre las marcas fiduciales.

Si la cámara tiene cuadrícula de fondo también se proporcionan las posiciones de los cruces respecto al sistema fiducial. 1.2.3. EMULSIONES TIPO Y CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES La película está formada por un soporte semirrígido de celuloide sobre una de cuyas superficies se ha extendido una capa de emulsión. La otra superficie está recubierta por un material opaco denominado antihalo. La emulsión está compuesta básicamente por una mezcla de halogenuros de plata. Las emulsiones más utilizadas son las de gelatina-bromuro de plata. En esencia, es una suspensión en gelatina de pequeños cristales de bromuro de plata (95%) y de ioduro de plata (5%).La medida del ennegrecimiento de un negativo revelado se realiza por medio del concepto de densidad.


9


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La velocidad de impresión de la emulsión está directamente relacionada con el tamaño del grano, que determina, en cierta medida, la sensibilidad de la película. Las emulsiones se clasifican de la siguiente forma: -

Ordinarias: Sensibles azules y violetas.

-

Ortocromáticas: Sensibles hasta el amarillo.

-

Pancromáticas: Sensibles a todo el espectro visible.

-

Infrarroja próxima: Sensibles hasta λ=0,95 µ

-

Infrarroja lejana: Sensibles hasta λ=1,25 µ

Figura Número 3.- Tipos de emulsión

En los últimos años se ha ampliado el panorama de captar información fuera del espectro visible, desarrollándose el campo de los rayos infrarrojos. Existen emulsiones de color sensibles a las radiaciones infrarrojas. Se obtienen sustituyendo la capa sensible superior por otra especial, obteniendo una imagen de color muy diferente a los colores naturales (falso color). Son muy utilizados en hidrología, edafología y cubiertas vegetales. En la actualidad se utilizan cámaras multiespectrales para captar de forma simultánea tres o más imágenes protagonizadas por radiaciones de distinta longitud de onda, que pueden tratarse analíticamente para explotar de forma más completa la información captada. No existe ninguna emulsión cuya sensibilidad se asemeje a la del ojo humano, pero con el empleo de filtros coloreados puede acercarse la sensibilidad de una emulsión a la del ojo. Las características más importantes de las emulsiones pueden agruparse en los siguientes apartados: - Velocidad de una emulsión: De ella depende el tiempo de exposición. Así, la velocidad se introduce en el exposímetro, que al medir la iluminación proporciona el tiempo de exposición, En fotogrametría aérea se usan emulsiones de gran velocidad pues las exposiciones son muy breves y la luz es muy escasa. - Finura de una emulsión: La capacidad de representar o reproducir objetos muy pequeños está relacionada con la finura o grano de la emulsión, que depende, sobre todo, de su estructura, es decir, el poder separador (líneas/mm) de una emulsión, depende de su finura o de su grano.


10


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Haciendo un pequeño esquema, resulta: EMULSIONES

GRANOS

IMÁGENES

PODER SEPARADOR

Rápidas

Grueso

Poco finas

Pequeño

Lentas

Fino

Muy final

Grande

Aquí se ve la gran contradicción del material fotográfico para uso fotogramétrico, ya que por las condiciones de toma hay que utilizar emulsiones muy rápidas, pero para su uso métrico es necesario un gran poder separador. 1.2.4. SOPORTES DE EMULSIÓN Las bases o soportes pueden ser de dos tipos diferentes: A.- Placas de vidrio Existían de espesor de cerca de 3 mm., son prácticamente indeformables y se usan para trabajos de mucha precisión, sobre todo en fotogrametría terrestre. Sus ventajas eran: -

Fácil manipulación y muy pequeñas deformaciones.

-

Muy buena planeidad y posibilidad de revelado individual.

-

Conservación ilimitada.

Sus inconvenientes eran: -

Ocupan mucho espacio y son muy frágiles.

-

Son difíciles de emplear en vuelo.

B.- Película Constituída por materiales sintéticos (acetatos, PVC, …) en los que se pueden escoger espesor, transparencia, estabilidad, etc. El espesor es de 0,13 – 0,14 mm. para fotogrametría aérea. Estos soportes son de poliéster y son casi tan estables como las placas; si presentan deformaciones, éstas aparecen como isótropas. Orden de magnitud de estas deformaciones: -

Placas:

0,03 0/00

-

Películas triacetato:

1 0/00

-

Película poliéster:

0,1 0/00

Su forma geométrica no es constante como las placas pues: -

Se fabrican por estirado y se disponen en rollos.

-

Han de ser planos en la exposición.

-

Vuelven a ser rollos después del revelado.

-

Han de volverse otra vez planos en la restitución.

Toda variación de forma trae consigo inmediatamente una deformación de los haces perspectivos que se reconstruyen sobre las fotografías. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

11


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Sus ventajas: -

Ligereza (de mucho valor en fotogrametría aérea).

-

Abultan poco y resisten muy bien a los golpes.

-

Se almacenan fácilmente.

Sus inconvenientes: -

Dificultades de conseguir perfecta planeidad.

-

Manipulación más delicada que las placas.

-

El revelado ha de ser hecho en serie.

-

Exigen un condicionamiento más estricto que las placas.

1.2.5. EL PROCESO FOTOGRÁFICO El proceso fotográfico básicamente puede esquematizarse de la forma siguiente: -

El objetivo forma una imagen óptica sobre la emulsión.

-

La energía transportada por la radiación forma una imagen latente, quedando afectado mayor cantidad de bromuro de plata (según la iluminación).

-

El revelado hace visible la imagen latente, dejando la plata metálica (granos negros) en la parte afectada, formándose así un negativo, tanto más oscuro cuando más iluminado.

-

El fijado elimina las sales de plata no afectadas por la luz.

-

El lavado arrastra las sales disueltas.

-

El secado elimina el agua.

1.2.6. CALIDAD DE LA IMAGEN FOTOGRÁFICA La calidad de la imagen depende de multitud de factores, entre los que destacan: A. - El objeto fotografiado y el medio -

Reparto y contraste de la iluminación.

-

Longitud de onda de las radiaciones.

-

Tipo y cantidad de atmósfera interpuesta.

B.- El objetivo -

Distancia focal.

-

Aberraciones residuales.

-

Abertura.

-

Tiempo de exposición.

C.- La emulsión y su tratamiento -

Naturaleza y estructura.


12



Espesor y tipo de soporte.

-

Tiempo de revelado. Temperatura.

1.3. CARACTERIZACIÓN GEOMÉTRICA DE UN FOTOGRAMA AISLADO Tanto en fotointerpretación como en fotogrametría se emplean fotografías verticales obtenidas en un vuelo fotogramétrico. En el vuelo fotogramétrico se van obteniendo las fotografías de eje vertical dotadas de un recubrimiento que las hacen activas desde el punto de vista estereoscópico.

Figura Número 4.- Recubrimiento longitudinal

Los fotogramas aéreos verticales tienen, usualmente, un formato de 23x23 cm. y el recubrimiento longitudinal suele ser del 60%. En el caso de geometría perfecta se puede obtener la superficie real recubierta en una pasada, en un caso genérico.

Figura Número 5.- Fotogramas necesarios para recubrir longitudinalmente una zona

Denominando P al recubrimiento longitudinal en tanto por ciento, resulta: -

Dos fotogramas:

2 … l2 =

P L 100

-

Tres fotogramas:

3 … l3 =

P 100 − P L+ L 100 100

-

Cuatro fotogramas: 4 … l 4 =

-

N fotogramas: N … l N =

P 100 − P L+2 L 100 100

P 100 − P L + ( N − 2) L 100 100


13


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA obteniéndose la relación general:

lN =

L [P + (N − 2) (100 − P )] 100

El avión vuela la zona a fotografiar en sucesivas pasadas, cubriendo todo el territorio deseado, fijando los pares estereoscópicos para su interpretación simple o estereoscópica.

Figura Número 6.- Recubrimiento transversal

Figura Número 7.- Fotogramas necesarios para cubrir transversalmente una zona

Los fotogramas aéreos verticales tienen usualmente un recubrimiento transversal del 20%. En el caso de geometría perfecta se puede obtener la superficie recubierta transversalmente en M pasadas. Denominando q al recubrimiento transversal, en tanto por ciento, resulta: -

Dos pasadas:

 100 − q  l 2 = L ⋅ 1 + 100  

-

Tres pasadas:

100 − q   l 3 = L ⋅ 1 + 2 100  

-

Cuatro pasadas: l 4 = L ⋅ 1 + 3 100  

-

M fotogramas: l M = L ⋅ 1 + (M − 1)



 

100 − q  100 − q  100 

obteniéndose la expresión general:

100 − q   l M = L ⋅ 1 + (M − 1) 100   Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

14


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La zona que debe fotografiarse deber ser totalmente recubierta si se quiere explotar estereoscópicamente el documento obtenido.

Figura Número 8.- Esquema del vuelo

Una fotografía vertical aislada está referenciada a un sistema cartesiano definido por las marcas fiduciales. El origen de coordenadas (centro hipotético de la foto) se denomina punto principal. El eje óptico (recta perpendicular al plano de la imagen trazada por el vértice) corta al mencionado plano en el punto principal. Las coordenadas fotográficas, usualmente conocidas como fotocoordenadas, se evalúan con instrumentos denominados comparadores, que se clasifican en monocomparadores (observación binocular de una foto), o estereocomparadores (observación binocular de dos fotos).

Figura Número 9.- Caracterización de una foto vertical aislada


15


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Además del espacio que ocupa la fotografía propiamente dicha, en cada fotograma hay un recuadro con la siguiente información esencial: -

Distancia focal de la cámara métrica expresada en milímetros, así como marca y modelo.

-

Un nivel esférico para comprobar la verticalidad de la foto.

-

Un altímetro que marca la altura del avión sobre el nivel del mar.

-

La escala aproximada de la fotografía.

-

Un reloj con segundero que informa de la hora en que se hizo la foto.

-

Un contador automático sincronizado con la máquina de arrastre de la película.

Hay unos espacios para colocar marcas especiales: fecha, nombre de la zona, empresa que realizó el vuelo, propiedad de las fotos, etc.

Figura Número 10.- Información adicional de una foto vertical

1.3.1. CONCEPTO DE ESCALA El concepto de escala no es aplicable con absoluta precisión a una fotografía aérea de eje vertical. En una primera aproximación tan solo se puede hablar de escala para segmentos horizontales. Esta circunstancia limita las posibilidades métricas de una fotografía como documento de trabajo. La escala es una función de cada punto. Cada imagen tiene una escala fotográfica, tanto mayor cuanto más alto, tanto menor cuando más bajo sea el punto imagen del terreno.

Figura Número 11.- Escala de una fotografía aérea

Mientras que f es una constante muy bien definida, H varía continuamente en un terreno no horizontal, lo que dificulta el conocimiento de la escala. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

16


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 1.3.2. EXPLOTACIÓN GRÁFICA DE UN FOTOGRAMA AÉREO Conociendo la imagen completa de un detalle vertical en un fotograma puede calcularse su altura real, siempre que el punto más bajo esté incluido en el plano de referencia. El fundamento del proceso está basado en la evaluación del desplazamiento, en la propia foto, que experimentan los dos puntos significativos del detalle vertical: el punto en el terreno y el punto extremo superior. El detalle vertical, de altura h (CD) tiene su representación en la fotografía, según una recta concurrente en el punto principal cuyo pie y cabeza distan del punto principal una distancia m y n, respectivamente. Si el detalle vertical fuese la arista de un edificio, la imagen en la fotografía de eje vertical sería:

Figura Número 12.- Explotación numérica de un fotograma aislado

Figura Número 13.- Origen en la medición de distancias

Entre los datos del terreno y los fotogramas pueden establecerse las siguientes relaciones:

DC CE cd = = FP PE Nd Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

17



h n−m = H n

h=

n−m ⋅H n

o bien, como:

1 f = E H

H = f ⋅E

h=

n−m ⋅ f ⋅E n

siendo: h = altura real del detalle vertical n y m = distancias evaluadas en la fotografía f = distancia focal de la cámara E = denominador de la escala de la foto H = altura de vuelo En un fotograma aislado, las sombras de los detalles verticales son paralelas. Los rayos solares concurren en un punto S denominado punto de fuga de los rayos solares. La forma más general de resolver los problemas de sombras es utilizar los conceptos perspectivos.

Figura Número 14.- Sombras en un fotograma aislado

1.4. LA ESTEREOSCOPÍA 1.4.1. LA VISIÓN ESTEREOSCÓPICA Se basa en la propiedad humana de apreciar el relieve en visión binocular para lo que es preciso obtener dos imágenes, una por cada ojo, que se unen en el cerebro según un proceso fisiológico-mental. Se han de cumplir dos condiciones: -

Cada ojo ha de ver sólo su perspectiva.

-

Las direcciones de visión se deben intersectar.


18



Figura Número 15.- Estereoscopía natural

Si se observa un par estereoscópico reproduciendo las condiciones de su obtención, colocando la parte común del par de tal forma que cada ojo estuviese posicionado frente a cada fotograma, a una distancia igual a la focal y con una separación igual a la que existía entre las dos posiciones del avión en el instante de ejecutar los disparos, se percibiría la sensación estereoscópica.

Figura Número 16.- Paralelismo entre obtención y uso de un par estereoscópico

En condiciones normales, la distancia b es la distancia interpupilar, pero la observación es difícil. Para conseguir una visión estereoscópica perfecta se emplea el estereóscopo.


19



Figura Número 17.- Estereóscopo de espejos

El estereóscopo de espejos aumenta la distancia interpupilar, siendo el apropiado para trabajos de gabinete. Adosando lentes complementarias aumenta la sensación de relieve, aunque disminuye el campo observado. La sensación de relieve, exagerado por este procedimiento, se denomina hiperestereoscopía. Si las fotografías se colocan cambiadas de posición se produce una sensación óptica de inversión del relieve, denominada pseudoestereoscopía, que representa al terreno con el punto de vista cambiado. Otro sistema usual de conseguir efectos estereoscópicos es el anaglifo, basado en dotar al soporte con dos colores complementarios (rojo-verde) y observar al conjunto con filtros de esos mismos colores. 1.4.2. EL PAR ESTEREOSCÓPICO Dos fotografías consecutivas de una pasada configuran un par estereoscópico, que permiten las posibilidades métricas de la fotografía. Se denomina paralaje estereoscópico al desplazamiento aparente en la posición de un objeto fijo causado por el movimiento del observador.

Figura Número 18.- Paralaje estereoscópico


20


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA La evaluación del paralaje de cada punto permite establecer la diferencia de alturas de dichos puntos. Esta propiedad constituye el gran logro de las fotografías aéreas de eje vertical y su utilización extensiva para levantamientos fotogramétricos. En un determinado momento se aísla un par estereoscópico. Suponiendo un detalle A del terreno, éste ha sido captado en las dos fotografías que configuran el par.

Figura Número 19.- Paralaje de un punto determinado

Los triángulos AO1O2 y O2a1´a2 son semejantes.

ZA B = f PA

,

ZA =

B⋅ f PA

siendo: ZA = distancia vertical entre un punto genérico del terreno y la línea de vuelo B = distancia recorrida por el avión entre dos disparos consecutivos f = distancia focal de la cámara PA = paralaje del punto A Evaluando el paralaje de dos puntos determinados en el terreno se puede obtener el desnivel existente entre ellos.


21



Figura Número 20.- Evaluación del desnivel existente entre dos puntos

En dos puntos cualquiera del terreno se verifica:

ZA =

B· f PA

ZB =

B· f PB

1 1 ZA − ZB = B ⋅ f ⋅  −   PA PB  siendo: PA y PB =

paralaje de los puntos A y B

B=

base fotogramétrica

f=

distancia focal de la cámara

ZA y ZB =

distancia vertical entre el avión y el punto considerado

La medición del paralaje se realiza con una barra de paralaje o con un estereocomparador. Con estos últimos se logran excelentes precisiones, llegando incluso a evaluar valores del paralaje con 0,01 mm. de precisión. 1.5. LA FOTOINTERPRETACIÓN 1.5.1. ASPECTOS SIGNIFICATIVOS La lectura de una fotografía aérea tan solo requiere sentido común y estar familiarizado con el producto final ofertado. Aspectos que es necesario considerar son los siguientes: -

Tono: En las fotografías pancromáticas en blanco y negro, un dato de sumo interés es el tono de los grises, asociados a los distintos colores.


22



Forma: Los contornos del objeto denotan su procedencia natural o artificial.

-

Sombras: Los objetos de forma vertical tienen sombras caracterizadas que colaboran en la identificación del objeto.

-

Fecha: El día y la hora del vuelo. El primer dato permite conocer la estación del año, y el segundo, permite orientar la fotografía y entender conductas en torno a la actividad de la población.

muy

1.5.2. INTERPRETACIÓN DEL RELIEVE Los estudios de fotointerpretación deben apoyarse en un completo análisis estereoscópico de los pares. La visión con el estereóscopo de espejos permite examinar el relieve de una forma completa y eficaz. Si el análisis del relieve hay que realizarlo con un fotograma aislado se puede tener información del relieve estudiando la hidrografía, vegetación. El estudio de las vías de comunicación es útil, ya que usualmente la planta informa de las dificultades orográficas. Los aspectos particulares que es necesario analizar son los siguientes: -

Configuración del relieve: Escarpados, desmontes, terraplenes, hoyas, arenales, etc.

-

Hidrografía: Costas y mares, ríos, lagos, embalses, albercas, canales, etc.

-

Vegetación y cultivos: Monte, terrenos despejados, viñedo, olivar, cultivos arbóreos y arbustivos.

1.5.3. ELEMENTOS DE GEOGRAFÍA HUMANA La actuación del hombre en el entorno queda patentizada con claridad en la foto aérea debido a las formas geométricas regulares. Las modificaciones del entorno pueden clasificarse características de la construcción en dos grupos: -

atendiendo

a

las

Construcciones lineales: Vías de comunicación Canales Líneas aéreas de conducción eléctrica Líneas aéreas telefónicas o telegráficas Teleféricos

-

Construcciones zonales: Núcleos urbanos Polígonos industriales Terminales de transporte


23


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Recintos mineros Embalses Obras de fábrica 1.6. LA ORTOFOTOGRAFÍA Una ortofotografía es una fotografía en proyección ortogonal en la que por tratamiento en cada uno de los puntos-imagen se ha logrado una escala uniforme en toda su superficie. En este documento pueden hacerse las mismas medidas que las practicadas en un plano o mapa. Por lo tanto, la ortografía consigue, tan solo, dotar de propiedades métricas a las fotografías. No obstante, pueden enumerarse tres claras ventajas de este tipo de documentos: -

Utilización como documento intermedio para la puesta al día de un mapa topográfico.

-

Alternativa al mapa convencional en territorios que carecen de cartografía.

-

Levantamientos catastrales.

1.7. APLICACIONES DE LA FOTOGRAMETRÍA 1.7.1. APLICACIONES TOPOGRÁFICAS La fotogrametría topográfica tiene ventajas sobre los métodos topográficos clásicos: -

Los trabajos de campo, cada vez más caros, son sustituidos en gran parte por los de gabinete.

-

Mayor precisión y homogeneidad. Posibilidad de trazado de líneas continuas plani-altimétricas sin interpolación.

-

Posibilidad de levantamiento (montañas, desiertos, …).

-

Si la superficie es grande, menor coste y mayor rendimiento.

de

terrenos

difíciles

o inaccesibles

Actualmente, la fotogrametría es el método clásico de levantamiento topográfico, pero esta fotogrametría topográfica puede ser: -

Terrestre: Haces con punto de vista en el terreno.

-

Aérea: Haces con punto de vista en el aire.

El comienzo de la fotogrametría es terrestre. Pero la fotogrametría de este tipo no es capaz de dar una representación del terreno completa, fiel y precisa, es decir, sus inconvenientes más característicos son: -

Representación incompleta: No existe, por lo general, un punto de vista desde el que se puede fotografiar todo. Siempre existirán zonas muertas que no figuran en la fotografía.


24



Levantamiento no homogéneo: La precisión de las intersecciones es función de la distancia y las distancias son muy variables.

Pero este tipo de fotogrametría sigue siendo muy valioso para levantamientos topográficos de pequeña extensión (presas, explotaciones a cielo abierto, …) en los que el empleo del avión sería muy caro. En cambio, la fotogrametría aérea topográfica tiene grandes ventajas: -

Todo el terreno (excepto casos raros: cornisas de montañas, bosques muy cerrados) se ve sin ángulos muertos.

-

Como todo el terreno está aproximadamente a la misma distancia de las tomas, las precisiones serán muy semejantes en todo el levantamiento.

-

Es el único procedimiento viable para levantamientos extensos.

Su empleo es sistemático en todo el mundo, pero su aplicación es mucho más compleja que en fotogrametría terrestre ya que: -

No puede estacionarse en los puntos de vista cuya posición es desconocida.

-

No pueden elegirse más que aproximadamente los elementos externos más favorables.

Por todo lo anteriormente enumerado, puede afirmarse que en fotogrametría aérea: -

Los elementos externos han de determinarse de modo indirecto. Por ello hacen falta los llamados puntos de apoyo que componen el canevás de restitución determinados por trabajos clásicos. Esto es una de las grandes servidumbres de la fotogrametría, aunque afortunadamente la fotogrametría es capaz de darse a sí misma este canevás (parcialmente).

-

La restitución exige métodos más complejos que en fotogrametría terrestre, que han tardado mucho tiempo en ser puestos a punto.

1.7.2. APLICACIONES EN INGENIERÍA CIVIL En el marco general de la Ingeniería existen cinco grandes grupos de actuaciones donde se utilizan las fotografías aéreas, desde el punto de vista de la fotointerpretación, ya sea con fotogramas aislados o por medio de pares estereoscópicos, con el recurso de un estereóscopo de espejos. A) Establecimiento de vías de comunicación Para analizar pasillos de posible establecimiento de trazados y detectar singularidades y áreas de conflicto, así como para estudiar interrelaciones con otras infraestructuras existentes. B) Planificación territorial En el planeamiento urbanístico y en la ordenación del territorio contribuyen a crear la base de información. Las fotos informan de una forma real sobre el territorio y sobre la población que lo habita.


25


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA El soporte de la información geográfica está conexionado por la utilidad como herramienta de trabajo. C) Análisis de reconocimiento geológico Los estudios geológicos y los geotécnicos se apoyan en muchas ocasiones en análisis de fotos aéreas, evitando visitas innecesarias al campo. Zonas de diversas estructuras geológicas, análisis de laderas inestables, etc., pueden detectarse con el empleo de fotografías. D) Hidrografía Las huellas del paso del agua son fácilmente detectables en las fotografías. Son detectables todos los accidentes asociados al fenómeno. También se identifican con suficiente claridad las cuencas vertientes y las bandas de drenaje para el establecimiento de superficies significativas. E) Estudios para confeccionar mapas temáticos Las fotos ayudan a confeccionar cartografía temática destacando los análisis de usos del suelo, entre los que predominan los diversos cultivos. Cada tipo de vegetación proporciona una respuesta particular que puede ser diferenciada. 1.7.3. APLICACIONES NO TOPOGRÁFICAS Las aplicaciones más usuales son aquellas orientadas a determinar la forma y las dimensiones de objetos fijos: -

Arquitectura y arqueología.

-

Criminología: Establecimiento del estado de cosas muy rápido.

-

Medicina: Cirugía, restitución de radiografías, localización precisa de tumores, cuerpos extraños, etc.

-

Industria: Restitución de objetos industriales, de maquetas reducidas de objetos.

-

Microfotogrametría: Cromosomas.

-

Escultura: Restitución de elementos artísticos.

Superficies

metálicas.

Alas

de

insectos.

También tienen aplicación para obtener determinaciones de objetos en movimiento o en transformación rápida. Las dificultades provienen de asegurar la simultaneidad de las tomas: -

Dinámica de fluidos: Corrientes, canales, olas.

-

Aeronomía y meteorología: Nubes, corrientes ionosféricas.

-

Resistencia de materiales: deformaciones debidas a cargas.

-

Balística: Movimiento de proyectiles.

-

Geodesia: Determinación de posiciones de puntos terrestres por fotos de satélites sobre fondo de estrellas.


26


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA De igual forma, tienen aplicación para obtener determinaciones de objetivos en movimiento o en transformaciones lentas, tomando fotografías a intervalos más o menos largos: -

Glaciares.

-

Deformaciones de presas, construcciones, obras de arte.

En todos los casos, el método es el mismo: -

Toma de vistas (al menos dos) con cámara especial. (Se conocen los elementos internos).

-

Determinación de los elementos externos de cada haz.

-

Identificación de los rayos homólogos.

-

Búsqueda de las intersecciones de estos rayos.


27



2. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Y EL MÉTODO GENERAL DE LA FOTOGRAMETRÍA


28


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 2.1. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA FOTOGRAMETRÍA 2.1.1. HAZ PERSPECTIVO Definida una superficie (S) y un punto V, fuera o dentro de (S), se denomina haz perspectivo (H), relativo a V y a (S) al conjunto finito o infinito de rectas VX.

Figura Número 21.- Haz perspectivo simple y elementos fundamentales

A V, vértice del haz, se le denomina “punto de vista” y cualquier elemento VX recibe el nombre de rayo perspectivo. El conocimiento del punto de vista y del haz perspectivo no permite determinar la superficie (S). Un haz no determina un objeto, ya que los puntos A, B, C, …, X no pueden fijarse en las semirrectas. Definida una superficie (S’) y dos puntos de vista diferentes, V1 y V2, a cada punto de la superficie le corresponden dos rayos, uno de cada haz, que son únicos V1A y V2A. Estos rayos se denominan rayos homólogos.

Figura Número 22.- Haces perspectivos con puntos de vista diferentes

Disponiendo de los haces perspectivos (H1) y (H2) se podría conocer (S) como conjunto de las intersecciones de los rayos homólogos. Para ello es necesario: -

Conocer la forma o posición relativa de los diferentes rayos que lo componen. Se podría, por ejemplo, saber el valor de los ángulos que forman entre sí los rayos, o bien, los datos que determinan esos ángulos. El conjunto de datos que determinan la forma del haz se denomina datos internos.


29



Tener información de la posición en el espacio de cada haz respecto a un sistema de referencia previamente adoptado. El conjunto de datos que determinan tal posición se denomina Datos externos.

-

Conseguir la total identificación de los rayos homólogos, asociándolos sin ambigüedad.

Si se consigue la resolución general de la problemática planteada se dice que se ha seguido el método general de la fotogrametría y así, la determinación de una superficie (S) como conjunto de intersecciones de rayos homólogos se ha reducido a un problema de geometría, que puede ser resuelto por cálculo numérico, por construcciones gráficas o por métodos mecánicos. La operación de búsqueda de las intersecciones de rayos homólogos es la restitución en general. Esta metodología es semejante a muchos procedimientos topográficos. La originalidad de la fotogrametría está en la manera de definir los haces a partir de fotografías. 2.1.2. DEFINICIÓN DE UN HAZ PERSPECTIVO POR SUS DATOS INTERNOS Existen varios métodos para definir un haz perspectivo: A.- Medida directa Podría conseguirse estacionando un teodolito en el punto de vista y desde él, visar los puntos que definen el objeto, anotando los ángulos horizontales y verticales que configuran el registro individualizado de los haces. B.- Uso de una perspectiva Definido un haz perspectivo, si se intercepta por un plano cualquiera (π) se obtiene una perspectiva o imagen perspectiva del objeto.

Figura Número 23.- Perspectiva o imagen perspectiva

Se denomina: -

Plano del cuadro: es el plano secante (π) al haz perspectivo (H).

-

Eje principal: es la normal al plano del cuadro, trazada desde el vértice del haz.


30



Punto principal: es la intersección, w, del eje principal y el plano secante (π).

-

Distancia principal: es la distancia existente, f, entre el vértice del haz y el punto principal.

Para determinar el haz es insuficiente el conocimiento de la perspectiva. Es preciso conocer f y w, denominándose a estos elementos “parámetros internos del haz”. Su conocimiento permite situar el punto de vista respecto del plano del cuadro, y las semirrectas Va, Vb, Vc, …., definen el haz. Una perspectiva dibujada no da mucha precisión, ni gran rendimiento, pero el método constituye el origen de la fotogrametría. C.- Uso de una fotografía Una fotografía no define una perspectiva geométrica ideal de un determinado objeto. Al estudiar el proceso fotográfico se deduce:

Figura Número 24.- Elementos esenciales del proceso fotográfico

El objetivo fotográfico transforma el haz (H) en el haz (H’). Se denomina: -

Haz perspectivo de (S) y pupila de entrada: (H) y V.

-

Haz perspectivo de (S) y pupila de salida: (H’) y V’.

A todo rayo VX le corresponde otro V’x pero, en general, el ángulo AVB difiere del ángulo aV’b debido a las denominadas “distorsiones” de la lente. El haz (H’) podrá ser reconstruido si se conocen sus elementos internos f y w. Conocido (H’) podrá reconstruirse (H) si se conoce la función de distorsión:

α = f (α ' ) que proporciona el ángulo de entrada conocido el de salida. Se denominan parámetros internos de la fotografía: Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

31



La distancia principal f.

-

La posición del punto principal w.

-

La función de distorsión α = f (α ' )

La determinación de un haz mediante una fotografía tiene unas características peculiares: -

El registro es inmediato, instantáneo y total.

-

El haz puede reconstruirse sin omitir ningún rayo.

-

La precisión es mucho menor que usando un teodolito.

La menor precisión es suficiente para muchas aplicaciones, siempre que haya un buen conocimiento de los datos internos. Es necesario utilizar: -

Materiales fotográficos muy particulares.

-

Cámaras fotográficas muy especiales.

-

Métodos de medida muy originales.

El primer problema de la fotogrametría es la precisa determinación de los datos internos. 2.1.3. DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN EN EL ESPACIO DE UN HAZ Es preciso adoptar un cierto sistema, en principio arbitrario, de referencia. Los datos o parámetros externos del haz se refieren a ese sistema y variarán si se acepta o no.

Figura Número 25.- Referenciación de los parámetros externos del haz

Los datos pueden ser: -

Coordenadas del vértice del haz (XV, YV, ZV), pupila de entrada del objetivo.


32



Los tres ángulos: θ (acimut de NΩ), i (inclinación del eje principal) y α (ángulo entre una dirección fija en la imagen (ωη) con la sección del plano imagen con el vertical (VNΩ)).

Pueden existir otros datos externos, pero siempre, como en toda determinación de la posición de un sólido en el espacio, se necesitan seis datos independientes. En efecto: -

Las coordenadas (XV, YV, ZV) sitúan a V y, por tanto, a V’.

-

El ángulo θ sitúa a NΩ.

-

El ángulo i sitúa VΩ y, por lo tanto, w mediante f.

-

Se traza un plano perpendicular w al eje principal.

-

Se dibuja la sección wm.

-

Con el ángulo α se sitúa h, que sitúa el plano imagen, por lo tanto, está situado el haz (H’).

-

Conociendo la función de distorsión se determina (H).

Estos parámetros pueden ser determinados: a) Directamente: Fotogrametría terrestre. Se puede estacionar en el punto de vista. b) Indirectamente: Fotogrametría aérea. El punto de vista es móvil. El segundo problema de la fotogrametría es la determinación de los parámetros externos. Su determinación es muy diferente en el caso de fotogrametría terrestre y en el de fotogrametría aérea. 2.1.4. IDENTIFICACIÓN DE RAYOS HOMÓLOGOS La identificación de rayos homólogos depende de la forma en que haya sido definido el haz perspectivo. A.- Medida directa La operación se realiza utilizando un teodolito e identificando claramente cada punto visado desde cada estación. Necesariamente, la operación ha de restringirse a un número limitado de puntos del objeto, por una parte para que la operación tenga fin y, por otra, por las dificultades debidas al hecho de que el objeto cambia de faz visto desde una y otra estación. Sólo se toman los puntos seguros. Sería precisa una tercera visual para asegurar la operación. B.- Perspectiva dibujada Existe la misma dificultad que en la medida directa. Los puntos de vista deben estar próximos para que las perspectivas se asemejen, debido a ello, la intersección no resulta perfecta. En cualquier caso, ambos modos darán lugar a la restitución de un número de puntos finitos del objeto. Por ello, las líneas continuas del objeto tendrán que reproducirse por interpolación entre los puntos restituidos.


33


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA También haría falta una tercera perspectiva para asegurar la operación. C.- Fotografía Existen las mismas dificultades que las enunciadas, pero pueden ser resueltas con la observación estereoscópica de pares de fotografías. Si se hacen dos fotografías del objeto desde dos puntos de vista diferentes y se examinan fotos en ciertas condiciones que se estudiarán con detalle posteriormente, la observación se realiza con una sensibilidad tan grande que es éste uno de los hechos básicos que han construido la fotogrametría. Serán homólogos los rayos que van a puntos fusionados estereoscópicamente. No hace falta la tercera foto y la influencia de la pequeña base no es tan importante como en los casos anteriores. La fusión estereoscópica de ambas imágenes permite identificar rayos homólogos que corresponden a imágenes no materializadas por ningún detalle, haciendo posible la restitución por líneas continuas, sin necesidad de interpolación. Esto representa una ventaja esencial sobre todos los demás métodos de representación de superficies. Se obtiene una homogeneidad y fidelidad en la reconstrucción de formas, muy difícil de obtener de otro modo. 2.1.5. RESTITUCIÓN Se denomina restitución a la búsqueda de la intersección de los rayos homólogos de los dos haces. De esta forma se determinan las coordenadas de los puntos del objeto en el sistema de referencia adoptado. En los métodos clásicos (observación con teodolito), la restitución topográfica sólo alcanza a un número finito de puntos. El resto se obtiene por interpolación. Siempre que se busca una representación mediante “líneas continuas” de un objeto, es muy interesante la automatización del proceso, único medio de aprovechar la ventaja del método de la fotogrametría. Debe diseñarse un aparato que, siempre que un operador efectúe una puntería estereoscópica, es decir, determine la identificación de dos rayos homólogos, proporcione el punto restituido mediante la intersección, a través de una representación gráfica o numérica. El aparato capaz de efectuar esta analogía mecánica se llama instrumento de restitución, restituidor o autógrafo. Un restituidor debe tener: -

Un sistema de reconstrucción, mediante sus elementos internos, de cada haz.

-

Otro para situar en el espacio cada uno mediante sus elementos externos.

-

Un sistema de observación estereoscópica de ambas fotografías.

-

Uno de restitución que materialice los pares de rayos homólogos y su intersección.


34



Un sistema de obtención gráfica de las posiciones de las intersecciones.

Esta es la llamada solución analógica. Pero también existe la solución analítica: la analogía mecánica se sustituye por el cálculo automático de las coordenadas de las intersecciones obtenidas por puntería estereoscópica. Incluso parece posible sustituir el operador humano por un correlador de imágenes que sea capaz de identificar automáticamente los rayos homólogos. 2.2. MÉTODO GENERAL DE LA FOTOGRAMETRÍA 2.2.1. INTRODUCCIÓN Sean A y B dos posiciones sucesivas del avión desde los que se han tomado fotografías. Los rayos de luz han impresionado las placas, formando dos haces perspectivos.

Figura Número 26.- Haces perspectivos y posición puntual

Colocando las fotografías en la misma posición relativa respecto a la que tenían cuando fueron impresionadas, y si se iluminan con sendos proyectores, se volverían a formar los mismos haces iniciales. Los rayos homólogos se cortarían, dando sus intersecciones una reproducción exacta del terreno. Ocurrirá que como esta operación se hace en gabinete, la distancia A-B (01-02) será más pequeña y el modelo estará a una cierta escala. El problema a resolver consistirá en conseguir en gabinete la reproducción exacta de los dos haces de rayos y que su situación respecto al terreno sea análoga a la que tuvieron al ser impresionadas ambas fotografías durante el vuelo. La operación a través de la cual se consigue todo ello es la orientación. 2.2.2. ORIENTACIÓN INTERNA Y EXTERNA 2.2.2.1. Orientación interna A través de ella se reproduce en cada proyector un haz de rayos idénticos al que se impresionó en cada fotografía. Se consigue conociendo los elementos internos: -

Distancia focal.

-

Punto principal.

-

Función de distorsión.


35



Figura Número 27.- Orientación interna

2.2.2.2. Orientación externa A través de ella se consigue que los haces formados en los dos proyectores mediante la orientación interna estén con respecto al terreno en idéntica posición a la que tuvieron al ser impresionadas las fotografías, consta de dos fases, la orientación relativa y la absoluta. La orientación relativa tiene por objeto colocar los dos haces proyectivos en posición perspectiva. Según la geometría proyectiva, bastará que se efectúe la intersección simultánea de cinco pares de rayos homólogos para que todos los otros intersecten también. La orientación absoluta tiene por objeto ajustar el modelo al sistema de coordenadas del terreno fotografiado. Para ello inicialmente se da escala al modelo y posteriormente se lleva el modelo a una posición adecuada del eje z. A.- Orientación relativa Colocando las dos fotografías obtenidas con un recubrimiento de un 60% aproximadamente, sobre sendos proyectores, los rayos homólogos no se cortarán sobre la mesa o pantalla. Determina una separación denominada descompuesta en dos componentes:

paralaje

Px:

paralaje longitudinal u horizontal

Py:

paralaje vertical o transversal

(P),

susceptible

de

ser

El paralaje horizontal se puede anular subiendo o bajando la pantalla, o bien acercando o separando los proyectores. El problema de la orientación relativa consiste en eliminar el paralaje transversal P, es decir, la orientación relativa se habrá conseguido cuando no se encuentre paralaje transversal en ninguna de las intersecciones de rayos homólogos. Los posibles movimientos de un proyector y los efectos que producen o, mejor, el paralaje que crean cada uno de estos movimientos en los diferentes puntos de un cliché, es la primera cuestión a tratar.


36



Figura Número 28.- Orientación relativa

También se pueden calcular geométricamente las fórmulas correspondientes al paralaje obteniendo expresiones finales que son necesarias tratar mediante programas de ordenador. Aplicando métodos analíticos no hace falta ni formar el modelo. Se miden las coordenadas imagen con un comparador y se calculan las ecuaciones de los rayos y así, aplicando condiciones de coplaneidad entre base y rayos homólogos, se pueden determinar matemáticamente los parámetros de la orientación relativa. B.- Orientación absoluta Finalizada la orientación relativa al modelo ya está formado, y para acabar de ajustar el par estereoscópico, quedan aún dos operaciones: -

Colocar el modelo a la escala adecuada.

Hasta ahora se ha considerado la escala fotográfica:

1 f = EF H − h y la escala de la minuta que se quería formar EM, pero hay una tercera escala, que es la escala del modelo (sistema analógico), que tiene un valor comprendido entre los dos anteriores y su valor será:

1 l = E Md L siendo l la distancia medida entre dos puntos del modelo y L su verdadero valor en el terreno. En función del aparato de restitución suele haber una escala óptima EMd, en función de las EF y EM. -

Nivelar el modelo.

Con la operación anterior se ha puesto el modelo a escala, pero puede estar en cualquier posición en el espacio, por lo que es preciso nivelarlo, es decir, Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

37


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA que su eje vertical coincida con la vertical del terreno. Para ello es necesario conocer la altitud en el terreno de tres puntos como mínimo. Del campo se obtiene la cota de tres puntos, perfectamente identificables en las fotografías y con una posición relativa A, B, C. Ajustando convenientemente se logra nivelar completamente el modelo en la opción analógica.

Figura Número 29.- Orientación absoluta

De igual forma se calcula el ∆z en el punto D. De esta forma se obtienen los ángulos que hay que introducir en los proyectores. En resumen, para el ajuste de escala hacía falta conocer dos puntos como mínimo (X1 Y1 Z1), (X2 Y2 Z2) y para el nivelado del modelo hace falta una altitud más, Z3, pero con ello no se tiene ninguna comprobación, por lo que se suelen tomar para cada par estereoscópico cuatro puntos. Estos son los llamados puntos de apoyo y es la gran dependencia que tiene la fotogrametría de la topografía clásica. Al ser una fase de trabajo que hay que realizar en el campo, encarecía bastante el trabajo final, de ahí que, desde el inicio de la fotogrametría, se ha tratado de aminorar esta dependencia por los métodos de aerotriangulación, consistente en formar parte del canevás de restitución a través de métodos fotogramétricos. En la actualidad, apoyar vuelos fotogramétricos por Geodesia Espacial es sencillo y económico, y utilizar técnicas complementarias de aerotriangulación sigue siendo útil y conveniente. A continuación se incluyen ejemplos de la posición que ocupan los puntos de apoyo en pares aislados y en esquemas de vuelo.


38



Figura Número 30.- Posición relativa de los puntos de apoyo


39



3. RESTITUCIÓN FOTOGRAMÉTRICA


40


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE GEORREFERENCIACIÓN El plano o mapa constituye el soporte de información y comunicación más usual, a pesar de su abstracción y subjetividad, por tener una interpretación o lectura más fácil y estructura que cualquier otra forma de comunicación científica. Su aplicación se ha generalizado en el estudio de las ciencias en sentido global y, sobre todo, en las que de una manera directa inciden sobre el territorio: obras públicas, transportes, comunicaciones, tipos de suelos, ordenación, medio ambiente, excavaciones arqueológicas. De ahí, la gran producción cartográfica de los últimos años, tanto de cartografía topográfica como temática, por parte de las diversas administraciones, entidades, empresas y profesionales. Se puede asegurar que el mapa o, mejor, la información cartográfica, constituye la herramienta fundamental para el análisis, toma de decisiones y seguimiento de todas las actividades relacionadas de una u otra manera extraordinaria. Entendiendo el mapa como medio de comunicación, el proceso cartográfico ha de cuidarse para conseguir una transmisión eficaz y precisa de la información. Lo primero es captar la información geográfica de forma adecuada para, con posterioridad, realizar el tratamiento correcto. En los últimos años, tanto la forma de captar la información como la manera de realizar el posterior proceso cartográfico, han evolucionado de una forma extraordinaria. La captación de información en la etapa previa a la utilización de nuevas metodologías y nuevos instrumentos era una auténtica odisea. Hace relativamente pocos años, la captación de información era siempre puntual e “in situ”. La confección de cartografía por métodos clásicos obligaba al cartógrafo a hacer la selección antes de la toma de información, de tal manera que se representaba un territorio como un conjunto de puntos cuyos parámetros espaciales había que determinar uno a uno. Es necesario pensar en esos planos levantados con planchetas, brújulas y otros goniómetros estadimétricos. Con la puesta a punto de los equipos electrónicos (estaciones topográficas y niveles digitales) y la completa incorporación del Sistema de Posicionamiento Global a los trabajos geodésicos, se ha dado un impulso definitivo a una nueva forma de captar y tratar la información. Tomando un colección de punto (x,y,z, atributo) con GPS (estaciones enganchadas en la Red Geodésica) y con una estación topográfica (los puntos radiados desde ellas), es posible configurar una nube de puntos susceptible de formar un modelo digital del terreno (MDT), que es una representación analítica de las características del terreno mediante el sistema coordenadas/atributos, almacenadas en un soporte para que en su posterior procesado permita una explotación útil, completa y fiable, consiguiendo la automatización del procedimiento de captura de información. Las ventajas más inmediatas al automatizar el proceso cartográfico son: -

La información se registra en un soporte totalmente estable, pudiendo realizar copias de seguridad de manera fácil, rápida y económica.


41



El almacenamiento es fácil y poco voluminoso, y mantiene la precisión geométrica, pues los soportes analógicos, aún siendo indeformables, sufren con el tiempo desajustes dimensionales.

-

La puesta al día de la información es fácil y rápida, y es susceptible de tratamientos geométricos propios del soporte digital.

-

Posibilidad de cambio de sistema de referencia y de escala, y posibilidad de seleccionar al parte de información que sea necesaria.

-

Posibilidad de integrar la información cartográfica con bases de datos monográficos y acelerar el proceso de producción de mapas, acortando el tiempo entre la toma de datos y la edición.

-

Eliminar las partes más tediosas de la producción cartográfica como es el dibujo, cortado de máscaras, rotulación, simbología, etc., que requieren en general personal muy especializado, reduciendo los costes cuando la cadena de producción es operativa.

Después de todo lo expuesto, las técnicas de análisis y representación de datos espaciales en el ámbito regional pasan por un tratamiento informático para hacer posible que el volumen y variedad de datos de tipo físico, social y económico puedan almacenarse, tratarse y recuperarse, dando todo ello lugar a los Sistemas de Información, que se pueden definir como los archivos de datos constantemente actualizados, que al consultarlos se pueda obtener de manera idónea la información solicitada por el usuario. En función del tipo de datos almacenados, así se denominará al sistema. Será un Sistema de Información Geográfica cuando se nutra al sistema de información sobre datos que posean una localización geográfica. La puesta en soporte informático de toda la cartografía clásica derivada o temática, con una estructuración adecuada, constituye una Base Cartográfica Numérica (BCN) y la puesta en soporte informático de información no estrictamente cartográfica, pero referenciable espacialmente como datos descriptivos de algún resto, caracterización del soporte, etc., constituyen una Base de Datos Monográficos (BDM). El Sistema de Información Geográfica (SIG será la fusión de una BCN y una BDM, de tal manera que el SIG debe recoger datos sobre situación y características de elementos geográficos y organizarlos en las correspondientes Bases de Datos (BD) que deben estructurarse de forma que resuelvan rápidamente las demandas de información. La estructuración en BD de la información se ha de hacer tanto por temas como por escalas, siendo el nexo común la localización geográfica. 3.2. CONTRIBUCIÓN DE LA FOTOGRAMETRÍA INFORMACIÓN GEORREFERENCIADA

A

LA

CAPTURA

DE

El procedimiento fotogramétrico se caracteriza por la resolución de un problema espacial: -

Conocer la forma o posición relativa de los diferentes haces perspectivos que integran la información fotográfica. Se podría, por ejemplo, saber el valor de los ángulos que forman entre sí los rayos, o bien, los datos que


42


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA determinan esos ángulos. El conjunto de datos que determina la forma del haz se denomina datos internos. -

Tener la información de la posición en el espacio de cada haz respecto a un sistema de referencia previamente adoptado. El conjunto de datos que determina tal posición se denomina datos externos.

-

Conseguir la total identificación de los rayos homólogos, asociándolos sin ambigüedad.

Si se consigue la resolución general de la problemática planteada, se dice que se ha seguido el método general de la fotogrametría y así la determinación de una superficie como conjunto de intersecciones de rayos homólogos se ha reducido a un problema de geometría, que puede ser resuelto por cálculo numérico, por construcciones gráficas o por métodos mecánicos. La operación de búsqueda de las intersecciones de rayos homólogos es la restitución en general. Se denomina restitución a la búsqueda de la intersección de los rayos homólogos de los dos haces. De esta forma se determinan las coordenadas de los puntos del objeto en el sistema de referencia adoptado. Siempre que se busca una representación mediante líneas continuas de un objeto es muy interesante la automatización del proceso, único medio de aprovechar la ventaja del método de la fotogrametría. Debe diseñarse un aparato que, siempre que un operador efectúe una puntería estereoscópica, es decir, determine la identificación de dos rayos homólogos, proporcione el punto restituido mediante la intersección, a través de una representación gráfica o numérica. El aparato capaz de efectuar esta analogía mecánica se llama instrumento de restitución, restituidor o autógrafo. Un restituidor debe tener: -

Un sistema de reconstrucción, mediante sus elementos internos, de cada haz y otro para situar en el espacio cada uno mediante sus elementos externos.

-

Un sistema de observación estereoscópica de ambas fotografías, uno de restitución que materialice los pares de rayos homólogos y su intersección, y un sistema de obtención gráfica de las posiciones de las intersecciones.

Esta es la llamada solución “analógica”. Pero también existe la solución analítica: la analogía mecánica se sustituye por el cálculo automático de las coordenadas de las intersecciones obtenidas, por puntería estereoscópica. Incluso parece posible sustituir el operador humano por un correlador de imágenes que sea capaz de identificar automáticamente los rayos homólogos. En cualquier caso, un autógrafo es una entidad muy completa de construcción muy complicada. Existen en el mundo muy pocas fábricas de instrumentos fotogramétricos. Las más importantes son europeas y los principales tipos de restitución son los siguientes: 3.2.1. RESTITUCIÓN ANALÓGICA Al trabajar con restituidores analógicos se dispone, una vez formado el modelo, de dos tipos de salida de información. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

43



Figura Número 31.- Restituidor analógico

A través de engranajes mecánicos se pueden transmitir los movimientos del índice a la mesa de dibujo. Esta ha sido la forma tradicional de restituir en los equipos analógicos, debiendo seleccionarse los engranajes adecuados en función de las escalas de modelo fotogramétrico y de plano. Con el avance de la técnica, los movimientos del índice son transformados por unos aparatos llamados codificadores en impulsos eléctricos que se transmiten a través de un cable. Dichos impulsos pueden ya ser recibidos por distintos periféricos, de uno en uno o bien varios a la vez. Así se tiene que si los impulsos van a una mesa de dibujo digital son decodificadores y el instrumental de dibujo puede ser desplazado a la posición que indican, obteniendo los mismos resultados de los engranajes mecánicos, sin el problema de los mismos. 3.2.2. RESTITUCIÓN NUMÉRICA Si los impulsos van a parar a un ordenador se está en la llamada restitución numérica, en la que los datos podrán ser tratados por el ordenador de distintas formas en función de su propia capacidad física (hardware) y de los programas disponibles para el tratamiento (software). En cualquier caso, para cada modelo se dispone de un fichero en el que se grabarán las coordenadas, siendo fundamental que el ordenador tenga la suficiente potencia como para registrar los datos a cualquier escala y con cualquier operador, sin perder ningún punto por exceso de los mismos. Una vez generado el fichero, podrá ser ploteado por separado o unido a los demás ficheros componentes de la hoja a la escala deseada, siendo sustituida la mesa de dibujo por un ploter.

Figura Número 32.- Restituidor numérico


44


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Existen dos tipos de restitución numérica: ciega e interactiva. En cualquier caso, en la restitución numérica la orientación relativa se ha de hacer de igual forma que en la restitución analógica convencional, con los giros y traslaciones disponibles en el restituidor. Para la orientación absoluta existen programas de ayuda en los que una vez que se ha posado en un par de puntos, ya el sistema puede disponer de unos valores aproximados del giro general y de la escala, y puede seguir en pantalla el movimiento sobre el modelo, realizando los cálculos necesarios y mostrando en pantalla los giros generales y la base a introducir en el restituidor. 3.2.3. RESTITUCIÓN ANALÍTICA En los restituidores analíticos ya no se va a intentar reproducir el terreno con la formación óptima de un modelo o con la mecánica, describiéndolo con el extremo de las barras correspondiente a cada proyector como ocurría en los analógicos. En los analíticos se tiene una medida de coordenadas sobre los fotogramas que por cálculos matemáticos en un ordenador va a pasar a coordenadas terreno que son registradas en un fichero, con lo cual se dispone de datos en la misma forma que en la restitución numérica, existiendo también restituidores analíticos ciegos y otros interactivos, con una clara tendencia actual a estos últimos con la evolución de la técnica. La diferencia entre la restitución numérica y la analítica procede de la entrada de datos y de la universalidad de la analítica frente a las limitaciones de la numérica procedentes del restituidor analógico que genera los datos.

Figura Número 33.- Restituidor analítico

3.3. LA RESTITUCIÓN DIGITAL 3.3.1. TRATAMIENTO DIGITAL DE LA IMAGEN Las actuales disponibilidades técnicas han permitido que muchos métodos para el tratamiento de la información se puedan expresar con mayor facilidad, destacando los relacionados con el proceso digital de la imagen. Al conseguir discretizar el píxel en base a 256 tonos diferentes de grises y cuantificar la imagen de esta forma, se logró el primer paso para conseguir el sistema color basado en cuatro colores fundamentales (carta de color): cyanmagenta-amarillo-negro. Una fotografía aérea convencional (23 cm.x23 cm.) configura una imagen continua que puede ser transformada en imagen discreta, atendiendo al tamaño de píxel. Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros – Grado en Ingeniería de los Recursos Energéticos. TOPOGRAFÍA Y GEODESIA (Plan de Estudios 2010).

45



LADO DEL PIXEL

OCUPACIÓN INFORMÁTICA

Milímetros

Micras

(Megabytes)

0,4

400

0,33

0,2

200

1,3

0,04

40

33

0,025

25

84

Es necesario destacar que en la actualidad, la instrumentación para digitalizar imágenes ya alcanzó la división de las siete micras y que la anterior cuantificación corresponde a un canal (imagen en blanco y negro), siendo preciso multiplicar por tres en el caso de color. 3.3.2. LA RESTITUCIÓN DIGITAL El restituidor digital es la nueva generación de instrumentos de restitución fotogramétrica que se fundamenta en la tecnología de imágenes aéreas pasterizadas y en los algoritmos funcionales de la fotogrametría analítica. La configuración está constituída por un sencillo entorno software (PC, MicroStation, Windows, …) y un hardware convencional (a partir de CPU: 486/766 Mhz con 64 Mb Ram), acompañados de un sistema de visión y otro de control globalizado. Una primera aproximación a la precisión esperada se puede dar de la siguiente forma:

P=

1 ⋅ R ⋅ EF 2

siendo: P: precisión altimétrica R: resolución del escaneo EF: denominador de la escala (fotografía) Aplicando esta relación a una foto aérea a escala 1/3.000, resulta: TAMAÑO PÍXEL

PRECISIÓN POSADO

CATEGORÍA

RESOLUCIÓN (Micras)

(Centímetros)

DEL RESTITUIDOR

100

15

2ª

40

6

2ª

20

3

1ª

7

1,05

1ª


46


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 3.3.3. LA ORTOIMAGEN DIGITAL La ortofotografía es un documento producto de la ya denominada fotografía convencional que permite aprovechar las propiedades informativas de las fotografías aéreas para realizar las mismas medidas que en un plano convencional. En la actualidad, en el marco de la restitución digital, se puede obtener como subproducto de la nueva restitución un documento similar al anterior de fotografía digital, con la utilización del proceso informático. Aprovechando los datos del apoyo fotogramétrico se realiza la rectificación de las imágenes: escala, pendiente y orientación, logrando el mosaico ortogonal donde se pueden superponer la altimetría, las líneas delimitadoras del espacio de la excavación y la toponimia. Y todo tratado desde las teclas de un PC por medio de programas convencionales, ampliamente difundidos. La metodología es muy sencilla y técnicamente muy factible en la actualidad. Después de escanear la fotografía aérea (la diapositiva) y obtener la información en un formato Tiff o similar, con ayuda de los datos obtenidos en el apoyo fotogramétrico se logra escalar y nivelar el conjunto de píxeles, formando la georreferenciación tras un sencillo proceso (imagen, puntos esenciales, datos de calibración). Después de los pertinentes ajustes se dota al conjunto de la cualidad (tono gris / paleta color), logrando la dualidad compacta (píxel/cualidad). Las salidas idóneas son las denominadas SDI/DGN, que permiten el intercambio con otros sistemas, aunque también comparten modo los sistemas binarios. Tras la formación de fotolitos, las impresoras láser o los ploters electrostáticos o láser permiten una configuración gráfica final susceptible de expresión y de marcada vistosidad.


47



4. ACTIVIDADES FOTOGRAMÉTRICAS


48


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 4.1. ESQUEMA GENERAL El flujo general de actividades para la ejecución fotogramétrico queda representado en la siguiente figura.

de

un

levantamiento

Figura Número 34.- Secuencia de actividades en la ejecución de un levantamiento fotogramétrico

En la actualidad, los vuelos fotogramétricos se realizan en formato digital, aunque las empresas de vuelo siguen reportando el formato positivo en color y blanco y negro, al margen del formato digital de las fotografías aéreas. 4.2. EL PROYECTO DE VUELO Es importante resaltar desde un principio que la planificación y ejecución del vuelo son de tal importancia que es inútil pretender un buen resultado con un vuelo defectuoso. Por analogía con la topografía clásica, el vuelo sería la libreta de campo. En todo proyecto de vuelo hay que considerar una serie de aspectos no sólo geométricos, sino también relativos a las características fotográficas. A.- Recubrimiento El recubrimiento de las fotografías es de dos tipos: -

Recubrimiento longitudinal (p). Se mide en % y un valor muy utilizado es el de 60.

-

Recubrimiento transversal (q). Se mide en % y un valor muy utilizado es el de 20.

Otros parámetros intervinientes son: -

l: longitud del formato de la fotografía

-

EF: denominador de la escala de la fotografía

-

s: superficie relativa a una fotografía: s = l 2

-

S: superficie de terreno de una fotografía: S = E F2 S


49


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA B.- El avance El avance es la distancia entre dos puntos principales de dos fotografías consecutivas.

Figura Número 35.- Avance entre dos fotografías consecutivas

Expresado en tanto por ciento resulta (100-p), siendo su valor frecuente del 40%. Se suele denominar base y tiene por valor:

b=

100 − p ⋅l 100

Tiene su correspondiente valor en el terreno y se obtiene introduciendo el cuantificador de la escala:

B=

100 − p ⋅ l ⋅ EF 100

C.- Separación entre pasadas La separación entre pasadas es la distancia entre dos trayectorias paralelas consecutivas del avión protagonista del vuelo.

Figura Número 36.- Separación entre pasadas

Expresado en tanto por ciento resulta (100-q) y tiene por valor:

a=

100 − q ⋅l 100

De igual forma tiene su correspondiente valor en el terreno y se obtiene introduciendo el cuantificador de la escala:

A=

100 − q ⋅l ⋅ EF 100


50


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA D.- Superficie neta que cubre un fotograma La superficie neta que cubre un fotograma vendrá definida por la expresión:

100 − p  100 − q  2 AB =   ⋅  100  ⋅ (l ⋅ E F ) 100     E.- Cadencia Se denomina cadencia y se designa por entre dos disparos consecutivos:

I=

I

al intervalo de tiempo transcurrido

B V

siendo: I: cadencia en segundos B: base en metros V: velocidad del avión en m/seg. F.- Nitidez Para que la nitidez sea adecuada, el desplazamiento de imagen no debe ser superior a 0,05 mm. Este dato fija el tiempo de obturación o exposición, en función de la velocidad del avión o viceversa.

∆d ≤ 0,05 mm H ∆d 0,05 ⋅ E F =  t max . = ∆d = V ⋅ t V V  G.- Relación entre escala de mapa y escala de vuelo Para evaluar la relación entre escalas se utiliza el ábaco definido a continuación.

Figura Número 37.- Relación entre las escalas de mapa y de vuelo


51


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Para trabajos habituales se tienen las siguientes relaciones: PLANO

FOTOGRAFÍA 1/20.000

1/5000 1/15.000 1/7.000 1/ 2.000 1/5.000 1/ 1.000

1/5.000 1/3.500

1/500 1/3.000

SUPUESTO PRÁCTICO Se quiere realizar un levantamiento fotogramétrico a escala 1/5.000 de toda una hoja del MTN 1/50.000. Para ello se dispone de los siguientes datos: -

La cámara aérea tiene f=150 mm.

-

El formato del fotograma es l=23 cm.

-

El recubrimiento longitudinal es p=60%

-

El recubrimiento transversal es q=20%

-

La velocidad del avión es V=200 km/h

RESOLUCIÓN -

Escala de la fotografía:

Gráfico Escalas ⇒ E = -

1 ⇒ E F = 20.000 20.000

Superficie de la zona: Una hoja del MTN a escala 1/50.000 equivale aproximadamente a una extensión de 50.000 hectáreas, que puede asimilarse a un rectángulo de 27x18,5 km.

-

Altura de vuelo:

1 f = EF h -

h = f · E F = 0,150 ⋅ 20.000 = 3.000 m.

Superficie de fotograma y de zona:


52



s = 0,23 ⋅ 0,23 = 0,05m 2 S = 0,05 ⋅ E F2 = 2.000 Has. -

Base:

B= -

Separación entre pasadas:

A= -

100 − p 100 − 60 ⋅ l ⋅ EF = ⋅ 0,23 ⋅ 20.000 = 1.840 m. 100 100 100 − q 100 − 20 ⋅ 0,23 ⋅ 20.000 = 3.680 m. ⋅ l ⋅ EF = 100 100

Superficie neta por fotograma:

S = A ⋅ B = 1840 ⋅ 3680 = 677,12 Has. -

Número de fotogramas:

n= -

-

50000 = 74 677,12

Número de fotogramas por pasada:

N f = 1+

27000 = 16 1840

NP = 1+

18500 =6 3680

Número de pasadas:

4.3. APROXIMACIÓN DE COSTES A.- Vuelo fotogramétrico No es sencillo establecer, a priori y sin datos del propio vuelo, superficie, época del año, etc., un coste unitario para vuelos fotogramétricos, aunque como datos orientativos se pueden utilizar los valores de la siguiente tabla. ESCALA DE VUELO

COSTE UNITARIO

1/15.000

0,20 / 0,25 €/Ha.

1/5.000

0,80 / 1,00 €/Ha.

B.- Apoyo fotogramétrico Es variable y depende de la escala de la foto, de la orografía, detalles existentes, etc. Valores orientativos lo cifran en el siguiente entorno. . Punto de apoyo fotogramétrico:

30 €/Punto

. Modelo de aerotriangulación:

30 €/Modelo


53


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA C.- Restitución fotogramétrica También varía dependiendo de la empresa. El siguiente cuadro es orientativo e incluye la restitución numérica sobre sistemas analíticos, la edición cartográfica, toponimia, salida en soporte analógico y formatos DGN y DWG. (No incluye IVA). ESCALA CARTOGRAFÍA

TIPO DE SUELO

ESCALA DE VUELO

PRECIO UNITARIO

Urbano

1/3.000

120,2 €/Ha.

Semiurbano

1/3.500

60 €/Ha.

Urbano

1/4.000

45 €/Ha.

Semiurbano

1/5.000

30 €/Ha.

Urbano

1/5.000

21 €/Ha.

Semiurbano

1/8.000

15 €/Ha.

Rústico

1/8.000

12 €/Ha.

Mixto

1/20.000

3 €/Ha.

Escala 1/500

Escala 1/1.000

Escala 1/2.000

Escala 1/5.000

SUPUESTO PRÁCTICO La parte recubierta estereoscópicamente de una zona del Ayto. de Puente Viesgo se caracteriza por: - 15% Urbano - 35% Semiurbano - 50% Rústico De dicha zona se quiere realizar cartografía numérica sobre sistemas analíticos a escala 1/1.000 de la zona urbana y semiurbana. Para todos los efectos se considera que el pliego es el apropiado para estos cometidos, y que el apoyo continuo se realiza por Geodesia Espacial. Se pide: Marcar los puntos de apoyo para apoyo continuo y establecer su coste aproximado. Obtener también el coste del vuelo y de la restitución.


54



Figura Número 38.- Relación entre las escalas de mapa y de vuelo

RESOLUCIÓN -

Escala del gráfico: Debido a la reducción realizada en la edición del texto, aunque el cajetín de vuelo marque que el gráfico de vuelo se encuentra a escala 1/50.000 esto no es así, por lo que en primera instancia se calcula la escala del gráfico para lo cuál se determina las dimensiones que tiene el fotograma en verdadera magnitud.

L = 0,23 ⋅ E F = 0,23 ⋅ 5.000 = 1.150 m. A continuación se puede determinar la escala del gráfico sabiendo que el gráfico de vuelo las dimensiones del fotograma, 18 mm., equivalen a 1.150 m. con lo que la escala del gráfico se puede obtener definitivamente.

E gráfico = -

1.150 = 63.889 ⇒ 1 / 63.889 0,018

Apoyo fotogramétrico: En el caso de llevar a cabo apoyo fotogramétrico continuo se necesitan 25 puntos de apoyo, tal y como se representa en la siguiente figura.


55



Figura Número 39.- Puntos necesarios en apoyo continuo

Con lo que el coste se calcula multiplicando el número de puntos por el precio unitario del punto de apoyo

Coste = 25 ·30 = 750 €. En el caso de llevar a cabo apoyo fotogramétrico aerotriangulado se necesitan 9 puntos de apoyo y 4 modelos, tal y como se representa en la siguiente figura.

Figura Número 40.- Puntos y modelos necesarios en apoyo aerotriangulado

Con lo que el coste se calcula multiplicando el número de puntos por el precio unitario del punto de apoyo y añadiendo el coste de de los modelos que se obtiene de forma similar

Coste = 30 (9 + 4) = 390 €. -

Coste del vuelo: Para calcular el coste del vuelo fotogramétrico hay que calcular en primera instancia la superficie a volar, para ello se hace necesario determinar la zona objeto de vuelo tal y como se puede apreciar en el gráfico de vuelo.

Figura Número 41.- Superficie volada


56


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Determinada la zona volada, calcular la superficie es sencillo ya que se conoce la escala del gráfico de vuelo. 2

S REAL = S PAPEL ⋅ E gráfico =

22 ⋅ 63.889 2 ≅ 900 Ha. 10 8

Con lo que aplicando el coste unitario del vuelo se determina el coste del vuelo fotogramétrico, al que se le añade una cantidad (2.000 €) que las empresas de vuelo suelen cobran por desplazar el avión a la zona objeto de vuelo.

Coste = 2.000 + (3 ⋅ 900) = 4.700 € -

Coste de la restitución: Para calcular el coste de la restitución hay que calcular en primera instancia la superficie a restituir, para ello se hace necesario determinar la zona objeto de restitución tal y como se puede apreciar en el gráfico de vuelo.

Figura Número 42.- Superficie objeto de restitución

Determinada la zona a restituir, calcular la superficie es sencillo ya que se conoce la escala del gráfico de vuelo. 2

S REAL = S PAPEL ⋅ E gráfico =

11 ⋅ 63.889 2 ≅ 450 Ha. 10 8

Con lo que aplicando el coste unitario por cada tipo de suelo se determina el coste de la restitución.

Coste = [450 ⋅ 0,15 ⋅ 45] + [450 ⋅ 0,35 ⋅ 30] + [450 ⋅ 0,50 ⋅ 15] = 11.137,50 €


57



5. FOTOGRAMETRÍA TERRESTRE CON CÁMARAS MÉTRICAS


58


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA 5.1. INTRODUCCIÓN La fotogrametría terrestre, nació paralelamente con la fotografía. Esta técnica permite capturar la información de un determinado objeto de forma completa, estable y rápida y tras resolver el problema geométrico derivado, obtener la información geométrica del mismo. Laussedat fue el primero en construir cámaras especiales y en levantar planos mediante esta técnica que comenzó denominándose “metrofotografía”, a mediados del siglo XIX. Pero el gran impulsor de la denominada fotogrametría terrestre fue Alberto Meydenbauer, ingeniero y arquitecto alemán nacido en 1.834. Tras finalizar sus estudios en Berlín se dedicó a restaurar la catedral de Wetzlar y a desarrollar su profesión en la sección de ferrocarriles (en la etapa de construcción de los primeros caminos de hierro). En 1.855 fue nombrado Consejero de Arquitectura y comenzó su etapa para tomar datos fotogramétricos de los monumentos. De esta forma y con una cámara métrica construida por él mismo hacia 1.865 se efectuaron las primeras pruebas, y aunque al inicio los resultados no fueron buenos, el término “fotogrametría” quedó completamente acuñado. Toda esta valiosa información se salvó de la destrucción ocasionada durante la segunda guerra mundial, y una vez duplicados los negativos a formato cómodo de 18x18 cm. (el material original eran placas de vidrio de 40x40 cm. de tamaño) fue posible restaurar parte del patrimonio arquitectónico nacional de la antigua República Democrática Alemana, recuperando las formas y la métrica de los primitivos monumentos. 5.2. LA TOMA FOTOGRÁFICA En la actualidad la toma fotográfica se puede realizar de tres formas diferentes, dependiendo del tipo de cámara: -

Cámaras estereométricas: se trata de dos cámaras métricas idénticas, situadas en un soporte común y separadas una distancia fija. No se emplean, como tales, en la actualidad, sino como independientes.

-

Cámaras métricas: son cámaras independientes, versátiles y de elevado coste. La focal varía entre 60 y 100 milímetros y los formatos que más se utilizan están comprendidos entre 60, 80 milímetros el lado menor y 80, 100 milímetros el lado mayor.

-

Cámaras semimétricas: son cámaras casi convencionales, con elementos que las diferencian, que permiten unas buenas prestaciones en comparación con su coste y con el proceso que necesitan.

Una vez definido el objeto de la toma fotográfica, se estudia la ubicación de la cámara frente al objeto. En la siguiente figura se puede apreciar la posición de la cámara métrica en el caso más simple de una toma estereoscópica simple, es decir, una toma desde dos puntos diferentes (objeto pequeño, aunque muy habitual). En la mencionada figura se puede constatar que definida la cámara existen dos parámetros de extraordinaria importancia (parámetros de diseño): distancia desde el objeto a la cámara y la separación entre las cámaras.


59



Figura Número 43.- Frente, planta y alzado de una toma simple

Si el objeto es grande se realizan más tomas de similares características y en ocasiones se realiza una multi-toma que finaliza en una selección final de instantáneas. En muchas ocasiones, el objeto se suele señalizar con mini-prismas planos, que son paneles autoadhesivos de diferentes tamaños (30x30 / 50x50 / ... mm.), que se reparten por el objeto y tienen como finalidad configurar la red de puntos de apoyo para la siguiente etapa, aunque el apoyo también puede realizarse con estación topográfica de forma sencilla. 5.3. PRINCIPALES RELACIONES DE SEMEJANZA Entre el objeto y la fotografía (el negativo, en una primera aproximación) existen relaciones de semejanza. Considerando unos ejes de referencia x,z en la foto y X,Z en el objeto y designando profundidad la dimensión en el tercer eje, y (Y) se pueden establecer, por similitud con las fotografías de eje vertical, las siguientes relaciones:

Figura Número 44.- Semejanza en un fotograma


60


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Sea un detalle A incluido en el objeto localizado en el fotograma. La relación de semejanza queda establecida de la siguiente forma:

f x Y = →X = x Y X f f z Y = →Z = z Y Z f Además de las fotocoordenadas (x,y) intervienen las coordenadas del objeto (X,Z), la focal de la cámara métrica (f) y su correspondiente distancia denominada profundidad, Y. Para establecer la vinculación de la profundidad Y resulta necesario utilizar el par fotogramétrico.

Figura Número 45.- Semejanza en un par fotogramétrico

Sean los fotogramas F1 y F2 las que configuran el par fotogramétrico de un determinado objeto. En la figura quedan marcados los principales elementos protagonistas: detalle a considerar, A en las fotografías y en el objeto, el punto principal, la focal de la cámara e, implícitamente, las fotocoordenadas de las tomas del objeto y la profundidad: -

Fotocoordenadas del detalle A (objeto): (xAzA)F1, (xAzA)F2.

-

Coordenadas de A (objeto): XAZA.

-

Profundidad de A (tercera dimensión de un punto del objeto): YA.

A partir de la fotografía se puede establecer:

P f = A yA B siendo B la base de la toma (distancia entre la posición de las tomas) y PA el paralaje del punto considerado del objeto (movimiento aparente que ha sufrido el punto considerado al pasar de la fotografía F1 a la fotografía F2), resultando:

YA =

B· f PA


61


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Para todos los puntos del objeto B y f permanecen constantes, resultando lineal la variación de YA con relación al paralaje evaluado. SUPUESTO PRÁCTICO Una cámara métrica de focal f=120 mm. y formato 60x80 mm. realiza un par fotogramétrico a un objeto con base fotogramétrica de 4 m. Sabiendo que las fotocoordenadas son: Foto izquierda: FI xA = 26 mm.

yA = 39 mm.

Foto derecha: FD xA = -22 mm.

yA = 39 mm.

Determinar las coordenadas del punto A. RESOLUCIÓN

YA =

B⋅ f 4 ⋅ 120 = = 10m. PA (26 + 22)

XA =

xA 26 ⋅ YA = ⋅ 10 = 2,167 m. f 120

ZA =

zA 37 ⋅ YA = ⋅ 10 = 3,083m. f 120

Figura Número 46.- Aplicación concreta

5.4. EVALUACIÓN DE ERRORES Y SU INFLUENCIA PARA PROYECTAR TOMAS FOTOGRÁFICAS De las relaciones igualdades:

anteriormente

establecidas

se

obtienen

las

siguientes

a) Para la coordenada X del objeto:


62



X = LX = LY + Lx − Lf

Y x f

→

dX dY dx df = + − X Y x f

De donde resulta:

dX =

X x dY = dY Y f

b) Para la coordenada Z, por igual razonamiento:

dZ =

z dY f

c) Para la coordenada Y. Partiendo del concepto genérico del paralaje y diferenciando resulta:

P=

B⋅ f ; Y

dP = −

B⋅ f dY Y2

Y2 dY = − dP Bf Definidas estas expresiones, se puede escribir:

x Y2 x Y2 dX = − dP = − dP f Bf B f2 dY = − dZ = −

Y2 dP B⋅ f

y Y2 y Y2 dP = − dP f B⋅ f B f2

A partir de estas expresiones ya se pueden determinar los errores máximos que dependen de la cámara métrica (focal y formato), de su posición relativa en las tomas (base fotogramétrica) y del instrumento que realice las medidas del paralaje (restituidor analítico). Los máximos valores de las fotocoordenadas están situados en el punto extremo del fotograma, es decir cuando

x 2

e

y 2

agotan las

dimensiones del formato. En esta circunstancia, desde el centro óptico de la cámara quedan determinados dos ángulos límites:

xL ω tg = 2 2 f


63



yL β tg = 2 2 f siendo xL e yL el tamaño del formato horizontal y vertical del negativo existente en la cámara métrica.

Figura Número 47.- Dimensiones límite en un fotograma

SUPUESTO PRÁCTICO Determinar el error máximo en una toma simple, a partir de los siguientes datos: . Formato foto 80x100 mm. . Focal: 75 mm. . Base fija: 40 cm. . Error en obtener paralaje: 10 micras (0,01 mm.). . Distancia de la toma: 9 m. RESOLUCIÓN Directamente se pueden obtener los siguientes resultados:

dY =

Y2 92 dP = 10 −5 = 0,027m. Bf 0,4 · 0,075

x 80 ω  2 dX = tg dY = dY = 2 0,027 = 0,0144m. f 75 2

y 100 β  2 2 0,027 = 0,018m. dZ = tg dY = dY = f 75 2


64


ESCUELA POLITÉCNICA DE INGENIERÍA DE MINAS Y ENERGÍA Pudiendo discretizar el error planimérico, que en el presente caso es “error de fachada” (en el plano vertical) y el error altimétrico que es de “profundidad”, ambas, en su contexto de máximo.

ε 2fachada = dX 2 + dY 2 = tg 2 ε fachada =

ω Y2 2 B⋅ f

dP + tg 2

β Y2 2 B⋅ f

dP

Y2 ω β dP tg 2 + tg 2 B⋅ f 2 2

ε profundidad

Y2 = dP B⋅ f

En el ejemplo propuesto se puede demostrar que los máximos errores son: εfachada = 0,023 m. εprofundidad = 0,027 m. 5.5. APLICACIONES CARACTERIZADAS 5.5.1. CATEDRAL DE CALAHORRA La puerta de San Jerónimo fue objeto de un levantamiento por fotogrametría terrestre utilizando un total de veintidós puntos de apoyo mitad microprismas, que fueron colocados antes de la toma fotográfica, mitad puntos significativos que existían en el objeto. Para establecer las coordenadas de esos puntos de apoyo se utilizó la estación topográfica total TC-2000 de Wild y metodologías topográficas combinadas: radiación, intersección directa y nivelación trigonométrica.

Figura Número 48.- Cámara métrica y objeto del levantamiento

La restitución se realizó con el restituidor analítico Planicom P-3 de Zeiss, obteniéndose el siguiente resultado:


65



Figura Número 49.- Resultado e información

5.5.2. IGLESIA DE LOS JESUITAS (SANTANDER) Esta iglesia, situada en un espacio confinado de la ciudad, se caracteriza por tener cinco lienzos independientes: dos fachadas amplias y las tres que definen la torre. La toma fotográfica fue muy dificultosa y no se preseñalizaron los lienzos. El apoyo se realizó mediante intersección y nivelación trigonométrica, utilizando una estación topográfica total de grandes prestaciones (TC-2000 de Wild).


66



Figura Número 50.- Toma fotogramétrica de un lienzo

La restitución se realizó con el restituidor analítico Planicom P-3 de Zeiss.

Figura Número 51.- Caracterización cartográfica de dos lienzos


67

Topografia y Geodesia 2011 UCAN

Recommend Documents