INTRODUCCION El principio de trilateracion es utilizado para extender el control horizontal. Consiste, básicamente, en la medición directa de las longitudes de los lados de los triángulos y el subsecuente cálculo de los ángulos. Constituye una alternativa a la triangulación y debe vérsele como complementaríamos métodos de poligonacion y triangulación para proveer control. Las mismas consideraciones que originaron la adopción de los métodos de triangulación, o sea, la posibilidad de trasferir con exactitud las posiciones de puntos sobre terreno accidentado, han apoyado el empleo de la triangulación. Tanto la triangulación como la trilateracion tienen en común, la rigidez de la figura y la intervisibilidad entre las estaciones.
FUNDAMENTOS:
La Trilateración es un método de levantamiento topográfico el cual es complementario a la triangulación, este consiste en medir longitudes de los lados de un triángulo para determinar con estas, de manera trigonométrica, los valores de los ángulos de los triángulos descritos, esta es la operación contraria a la de la triangulación, también es un método matemático para determinar las posiciones relativas de objetos usando la geometría de triángulos triángulos de forma análoga a la triangulación. triangulación. A diferencia de ésta, que usa medidas de ángulo ángulo (junto con al menos una distancia conocida para calcular la localización del sujeto), la trilateración usa las localizaciones conocidas de dos o más puntos de referencia, y la distancia medida entre el sujeto y cada punto de referencia. Para determinar de forma única y precisa la localización relativa de un punto en un plano bidimensional usando sólo trilateración, se necesitan generalmente al menos 3 puntos de referencia. La trilateracion se caracteriza por ser un método simple de aplicación, que no requiere de la utilización de instrumentos sofisticados. Los datos se obtienen de forma directa, a partir de la comparación con un patrón, por lo que no son necesarias las fórmulas o relaciones adicionales. Nos basta conocer la distancia de nuestro punto a otros dos puntos relevantes previamente conocidos, puntos que llamaremos estaciones, y que se encuentran en una misma línea base. Así, el levantamiento queda definido por una serie de triángulos, en que sus vértices representan los puntos relevantes del terreno, y los lados, las distancias horizontales. CALCULOS DE LA TRILATERACION: 17.2. CÁL CUL OS Y VERIFICACIONES Los ángul os
se determi nan
cal culadora el ectróni ca, di stan ci as
fáci lmente
usando
deben estar reduci das
la
con
l ey
l a ayu da
de
a nivel
de
l os
de una
cosenos.
Las
mar; dond e l as
di stan ci as a, b y c son l os l ados de l os t riángul os opuestos a l os ángul os A, B y C,
resp ecti vame nte.
FÓRMULA N 17.1. LEY DE COSENOS °
L a s uma de l os án gu los calculados deben s er exactam en te 180° y deben cons iderars e a los án gulos com o plan os y n o es es féri cos . Sin em bargo, al s atis facer la con dición geom étri ca s olo s e verifica qu e el cálculo de los án gulos es correcto. Por ell o, debe efectu ars e algun as comprobacion es extern as midien do de vez en cu an do algun os án gulos , com paran do aci mutes calcu lados y obs ervados a lo largo de lín eas s eleccion adas , y con los errores de cierre de pos ición , can do se h agan li gas con otro con trol de orden igu al o s u perior.
17.1.
a)
. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE
POLÍGONOS
El gráfi co y l as mediciones de l os lados del si stema
FIGURA N 17.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SISTEMA TRI LATE RAD RADO °
CUADRO N 17.1. MEDIDAS DEL S ISTEMA TRILATERAD RADO °
LADO
DI STA NCI A
LADO
( m)
DI ST ANCI A ( m)
AB
720. 82
BG
576. 61
BC
759. 90
CG
533. 79
CD
785. 85
FG
432. 12
DE
819. 45
CF
815. 82
EF
800. 30
FH
656. 50
FA
718. 14
CH
603. 59
AG
617. 77
DH
499. 49
EH
533. 74
b) Rep res ent aci ón gráfi ca del t ri ángul o ABG
F I GU RA N 1 7 .2 . R E P R E S E N T A C I Ó N G RÁ F I C A °
DEL P RI M E R
T R I ÁN GU L O
TRILATERADO
d)
Las ec uaci ones de la Ley de Cosen os para l os t res ángul os i nternos del t ri ángul o ABG
FÓRMULA N 17.2. CÁLCULO DE ÁNGUL GULO INTERNO A CON LA LEY DE COSENOS °
b 2 g 2 a2 cos A 2bg
FÓRMULA N 17.3. CÁLCULO DE ÁNGUL GULO I NTERNO B CON LA LEY DE COSENOS °
FÓRMULA N 17.4. CÁLCULO DE ÁNGUL GULO INTERNO C CON LA LEY DE COSENOS °
e)
Reempl azando en l as ecuaci ones con l os val val ores medi dos en camp o y reportados en l a tabl a.
e)
Si l os cál cul os son correctos l a suma tori a de l os t res ángu l os i nternos deben sumar, exactamente, 180°.
CUADRO N 17.2. COMP ROBACIÓN DE LOS ÁNGULOS INTERNOS °
V ÉRT I C E
Á NGULO
A
50. 312182°
B
55. 534480°
G
74. 153338° 180. 000000°
f)
)
Los val ores de l os demás t ri ángul os, son:
C U A DR O N 1 7 .3 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E RN O S D E L °
S E GU ND O
TRIÁNGULO
S EGUNDO T RI ÁNGULO: BCG
DI ST ANCI A
LADOS
( m)
NÚM
VÉ RT I C E
ÁNGULOS ( ° )
BC
759. 900
3
B
44. 504549
CG
533. 790
4
C
49. 217671
GB
576. 610
12
G
86. 277781 180. 000000
C U A D R O N 1 7 .4 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E RN O S D E L T E R C E R °
TRIÁNGULO
T ERC ER T RI ÁN GULO: C FG
DI ST ANCI A
LADOS
( m)
NÚM
VÉRT I C E
ÁNGULOS ( ° )
CF
815. 820
5
C
28. 725585
FG
432. 120
6
F
36. 419668
GC
533. 790
13
G
114. 854747 180. 000000
C U A D R O N 1 7 .5 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E RN O S D E L C U AR T O °
TRIÁNGULO
CU ART O T RI ÁNGULO: FA G
LADOS
DI ST ANCI A ( m)
NÚM
VÉRT I C E
ÁNGULOS ( ° )
FA
718. 140
7
F
58. 875309
AG
617. 770
8
A
36. 783219
GF
432. 120
14
G
84. 341473 180. 000000
C U A DR O N 1 7 .6 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E RN O S D E L Q U I N T O °
TRIÁNGULO
QUI NTO T RI Á NGULO: FCH
DI ST ANCI A
LADOS
( m)
NÚM
VÉRT I C E
ÁNGULOS ( ° )
FC
815. 820
15
F
46. 875811
CH
603. 590
16
C
52. 547112
HF
656. 500
23
H
80. 577077 180. 000000
C U A D R O N 1 7 .7 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E R N O S D E L °
SEX TO
TRIÁNGULO
S EXT O T RI ÁNG ULO: CDH
LADOS
DI ST ANCI A ( m)
NÚM
VÉ RT I C E
ÁNGULOS ( ° )
CD
785. 850
17
C
39. 463941
DH
499. 490
18
D
50. 179813
HC
603. 590
24
H
90. 356247 180. 000000
C U A D R O N 1 7 . 8 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E R N O S D E L °
SÉP TIMO
TRIÁNGULO
S ÉPT I MO T RI ÁNGULO: DE H
LADOS
DI ST ANCI A ( m)
NÚM
VÉRT I C E
ÁNGULOS ( ° )
DE
819. 450
19
D
39. 008064
EH
533. 740
20
E
36. 088869
HD
499. 490
25
H
104. 903067 180. 000000
C U A DR O N 1 7 .9 . C Á L C U L O D E L O S Á N GU L O S I N T E RN O S D E L Ú L T I M O °
TRIÁNGULO
ÚLTI MO T RI ÁNGULO: EFH
DI ST ANCI A
LADOS
( m)
NÚM
VÉRT I C E
EF
800. 300
21
E
54. 642456
FH
656. 500
22
F
41. 533246
HE
533. 740
26
H
83. 824298
759. 900
g)
ÁNGULOS ( ° )
180. 000000
Los ángul os i nternos del predi o ABCDEF, son:
C U A D R O N 1 7 .1 0 . Á N GU L O S I N T E RN O S D E L °
V ÉRT I C E
ÁNGULO ( ° )
A
87.09540
B
100.03903
C
169.95431
D
89.18788
E
90.73132
F
183.70403
SUMA
720.71197
S I S T E M A T R I L A T E R AD O
FIGURA N 17.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO TRILATERADO °
h)
Los ángulos internos corregi dos, geométri camente, del predi o ABCDEF, son:
CU ADRO N 17.11. ÁNGUL GULOS INTERNOS CORREGIDOS DEL SISTEM A TRILATERAD RADO °
V ÉRT I C E
ÁNG ULO ( ° )
A
86.976739
B
99.920366
C
169.835647
D
89.069215
E
90.612662
F
183.585372
SU MA
720.000000
i)
) Los rumbos y di stanci as, parti endo del rumbo de parti da AB = N 5. 5. 232 600° E, del predi o ABCDEF, son :
CU AD ADR RO N 17.12. RUMBOS Y DISTANCIAS DE L SISTEM A TRI LATERADO °
LADOS
AB
R UM BO S (°)
N
D I ST ANCI AS ( m)
5.232600 E
720. 820
BC
N 85.312234 E
759. 900
CD
S 84.523413 E
785. 850
DE
S
819. 450
6.407373 O
EF
N 84.205289 O
800. 300
FA
N 87.790662 O
718. 140
TOTAL
4604. 460
j) ) Los al ej amien tos y l ati tudes del predi o ABCDE F, son:
CUAD ADR RO N 17.13. ALEJAM IENTOS Y LATI TUDES DEL S ISTEM A TRILATERADO °
A LE JA MI E N T OS
LA TI T U DE S
DI S TA N CI A
RU MB OS
LA DO
ES TE
OE S TE
N OR T E
SU R
AB
N
5 . 23 26 00
E
720. 8 20
65 . 7 38
0 . 00 0
7 17 . 81 6
0 . 00 0
BC
N
85 . 31 2234 E
759. 9 00
757. 3 58
0 . 00 0
62 . 10 3
0 . 00 0
CD
S
84 . 52 3413 E
785. 8 50
782. 2 63
0 . 00 0
0 . 00 0
75 . 00 1
DE
S
6 . 40 73 73 O
819. 4 50
0 . 0 00
91 . 44 8
0 . 00 0
8 14 . 33 1
EF
N
84 . 20 5289 O
800. 3 00
0 . 0 00
7 96 . 21 0
80 . 80 2
0 . 00 0
FA
N
87 . 79 0662 O
718. 1 40
0 . 0 00
7 17 . 60 6
27 . 68 5
0 . 00 0
4 60 4. 4 60
1 605 . 359
1605 . 265
8 88 . 40 6
8 89 . 33 2
0 . 09 4
- 0 . 92 6
Los al ej ami entos y l ati tudes compensados del predi o ABCDEF,
k)
son:
CUADRO N 17.14. ALEJAM IENTOS Y LATITUD ES COM PENSADOS DEL SIS TEMA °
TRILATERADO
C OMP E NS A CI ON E S
DI S TA N CI A
R UM B OS
LA D O
ALE JA MI E N .
l)
LA TI T UD ES
AB
N
5. 232600 E
720. 820
65. 723
717 . 961
BC
N
85. 312234 E
759. 900
757. 342
62 . 256
CD
S
84. 523413 E
785. 850
782. 247
- 74 . 843
DE
S
6. 407373 O
819. 450
- 91. 465
- 814 . 167
EF
N
84. 205289 O
800. 300
- 796. 227
80 . 963
FA
N
87. 790662 O
718. 140
- 717. 621
27 . 829
4604. 460
0. 000
0 . 000
)
Las medi das corregi das, l as coordenadas, l as dobl es
áreas y el área del predi o, ABCDE F,
son:
CUADRO N 17.15. ÁREA DEL S ISTEM A TRILATERAD RAD O °
DI S T A N CI A S LA DO
CO OR DE NA DA S D OBLE S Á RE AS
R U M B O S (°) (m)
ES T E
N OR TE
AB
N
5. 230380 E
720. 963
0. 000
0. 000
0. 000
BC
N
85. 300654 E
759. 897
65. 723
717. 961
51, 278.555
CD
S
84. 534771 E
785. 818
823. 066
780. 217
-10, 359. 524
DE
S
6. 409826 O
819. 288 1605. 313
705. 375
-1,427, 137.750
EF
N
84. 193945 O
800. 333 1513. 848
-108. 792
-1,067, 829.717
FA
N
87. 779193 O
718. 160
717. 621
-27. 829
78, 071.414
TOTAL
4604. 460
0. 000
0. 000
-2,375, 977.022
Área (m2)
1, 187, 988 .511
APLICACIONES:
La trilateración puede usarse en la detección del lugar de caída de un rayo. Los detectores que operan en un sistema de sincronización común pueden usar la variación del tiempo de llegada de las emisiones de radiofrecuencia radiofrecue ncia que acompañan al rayo para determinar las distancias desde cada detector al mismo. Tales sistemas pueden ser útiles en silvicultura para la prevención de incendios y en el seguimiento de tormentas. Pero su empleo más habitual es el proceso de determinación determinación de la posición empleado empleado por el sistema GPS
